律吕新书卷一
律吕新书卷一
蔡元定
钦定四库全书
律吕新书卷一
宋蔡元定撰
古乐之亡久矣，然秦汉之间，去周未逺，其器与声犹有存者，故其道虽不行于当世，而其为法犹未有异论也。逮于东汉之末，以接西晋之初，则已浸多说矣。历魏、周、齐、隋、唐、五季，论者愈多，而法愈不定。爰及我朝，功成治定，理宜有作。建隆、皇祐、元丰之间，盖亦三致意焉，而和、胡、阮、李、范、马、刘、杨诸贤之议，终不能以相一也。而况于崇、宣之季，奸谀之会，黥涅之余，而能有以语夫天地之和哉！丁未南狩，今六十年，神人之愤，犹有未摅，是固不遑于稽古礼文之事。然学士大夫因仍简陋，遂无复以钟律为意者，则巳甚矣。吾友建阳蔡君元定季通，当此之时，乃独心好其说而力求之，旁搜远取，巨细不捐，积之累年，乃若冥契，著书两卷，凡若干言。予尝得而读之，爱其明白而渊深，缜密而通畅，不为牵合傅会之谈，而横斜曲直，如珠之不出于盘。其言虽多出于近世之所未讲，而实无一字不本于古人已试之成法。盖若黄钟围径之数，则汉斛之积分可考；寸以九分为法，则淮南、太史、小司马之说可推；五声二变之数，变律半声之例，则杜氏之通典具焉。变宫𠮓徴之不得为调，则孔氏之礼疏固亦可见。至于先求声气之元，而因律以生尺，则尤所谓卓然者，而亦班班杂见于两汉之制、蔡邕之说，与夫国朝会要，以及程子、张子之言。顾读者不深考其间，虽或有得于此，而又不能无失于彼，是以晦蚀纷拏，无复定论。大抵不拘挛于习熟见闻之近，即肆其胸臆，妄为穿穴，而无所据依。季通乃能奋其独见，超然远览，爬梳剔抉，参互考寻，用其半生之力，以至于一旦豁然而融会贯通焉，斯亦可谓勤矣。及其著论，则又能推原本根，比次条理，撮取机要，阐究精微，不为浮词滥说以汨乱于其间，亦庶几乎得书之体者。予谓国家行且平定中原，以开中天之运，必将审音协律，以谐神人。当是之时，受诏典领之臣，能得此书而奏之，则东京郊庙之乐，将不待公孙述之瞽师而后备，而参摹四分之书，亦无待乎后世之子云而后知好之矣。抑季通之为此书，词约理明，初非难读，而读之者往往未及终篇，辄已欠伸思睡，固无由了其归趣。独以予之顽钝不敏，乃能熟复数过，而仅得其指意之仿佛。季通于是亦许予为能知巳志者，故属予以序引，而予不得辞焉。季通更欲均调节族，被之管弦，别为乐书，以究其业。而又以其余力，发挥武侯六十四陈之图，绪正邵氏皇极经世之厯，以大备乎一家之言，其用意亦健矣。予虽老病，傥及见之，则亦岂非千古之一快也哉！淳熙丁未正月朔旦，新安朱熹序。
朱子曰：蔡神与名发，博学强记，髙简廓落，不能与世俗相俯仰。因去游四方，闻见益广，遂于易象、天文、地理三式之说，无所不通，而皆能订其得失。杜门扫轨，専以读书教子为事。季通生十年，即教使读西铭，稍长，则示以程氏语录、邵氏经世、张氏正䝉，而语之曰：此孔孟正脉也。季通承厥志，学行之余，尤邃律厯，讨论定著，遂成一家之言，使千古之误，旷然一新，而溯其源流，皆有成法，是亦足以显其亲于无穷矣。 季通律书法度甚精，近世诸儒皆莫能及。 季通律书分明是好，却不是臆说，自有案据。 季通理会乐律，大段有心力，看得许多书。 刘文简公爚曰：先生天资髙，闻道早，于书无所不读，于事无所不讲，明阴阳消长之运，达古今盛衰之理，上稽天时，下考人事。文公尝曰：人读易书难，季通读难书易。又曰：造化微妙，惟深于理者识之。吾与季通言而未尝厌也。 西山真氏曰：先生尝特召，坚辞不起，世谓之聘君。聘君以师事文公，而文公顾曰：季通，吾老友也。凡性与天道之妙，他弟子不得闻者，必以语季通。马异篇奥传，微辞邃㫖，先令讨究，而后亲折衷之。先生于经无不通，尝语三子曰：渊，汝宜绍吾易学。曰：沉，汝宜演吾皇极数。而春秋则以属知方焉。 黄瑞节曰：案蔡氏祖子孙，于斯文可知也。而盛时逺引，三世一辙。朱子云：蔡神与所以教其子者，不干利禄，而开之以圣贤之学。其志识髙逺，非世人所及。西山先生辞聘不起。九峰先生三十歳即弃举子业，一以圣贤为师。九峰之子抗始擢进士第，理宗宝祐参政云。律吕书盖朱、蔡师弟子相与成之者。朱子与西山书云：但用古言古语或注疏，而以已意附其下方，甚简约而极周尽，学者一览可得梗槩。其他推说之泛滥，旁正之异同，不尽载也。
律吕本原
黄钟第一，以汉志斛铭文定，
长九寸，空围九分，积八百一十分。
案：天地之数，始于一，终于十。其一、三、五、七、九为阳；九者，阳之成也。其二、四、六、八、十为阴。十者，阴之成也。黄钟者，阳声之始，阳气之动也，故其数九。分寸之数，其于声气之元，不可得而见。及断竹为管，吹之而声和，候之而气应，而后数始形焉。均其长，得九寸；审其围，得九分。此章凡言分者，皆十分寸之 一。积其实，得八百一十分。长九寸，围九分，积八百一十分，是为律本。度量衡权，于是而受法，十一律，由是而损益焉。算法置八百一十分，分作九重，毎重得九分。圆田术三分益一，得一十二，以开方法除之，得三分四厘六毫强，为实径之数，不尽二毫八丝四忽。今求圆积之数，以径三分四厘三毫自相乘，得十一分九厘七毫一丝六忽，加以开方不尽之数二毫八丝四忽，得一十二分。以管长九十分乘之，得一千八十分，为方积之数。四分取三分为圆积，得八百一十分。朱子曰：本原第一章围径之数，此是最大节目，不可草草。又曰：古者只说空围九分，不说径三分，盖不啻三分，犹有竒也。 鲁斋彭氏曰：黄钟律管有周，有径，有面羃，有空围内积，有从长。如史记论从长，律厯志论从长及积，东汉郑氏注月令论羃，东汉蔡氏月令章句论从长，皆不易之论。独周径之说，汉以前俱无明文。汉律厯志开端未竟，东汉蔡氏始创为径三分之说，晋孟氏以后诸儒续围径三分、围九分之说，宋胡氏、蔡氏又为径三分四厘六毫，围十分三厘八毫之说。然考之于古，围周径羃积率皆未有合。尝依东汉蔡氏所言径三分，以九章少广内祖氏密率乘除，止得空围内面羃七分七厘竒，乃少一分九十二厘竒。空围内积实止得六百三十六分竒，乃少一百七十三分竒。如此则黄钟之管无乃太狭。盖黄钟空积忽微，若径内差一忽，即面羃及积所差忽数至多，此东汉蔡氏之说所以不合也。晋孟氏诸儒言径三分围九分，又用径一围三之法，虽是古率，然古人大约以之圆田。若以密率推之，径一则围三有竒，假如径七，则围当二十有二。今依孟氏所言径三分，则围长当九分四厘二毫一秒彊，不但止于九分也。若依九分围长之数，则径当止有二分八厘六毫二秒六忽彊，又不及三分也。此晋孟氏诸儒之说所以不合也。宋胡氏不主径三围九之说，大意疑其管狭耳。然所言径长三分四厘六毫，围长十分三厘八毫，亦用径一围三之率。若依所言三分四厘六毫径，当得围长十分八厘七毫六秒二忽彊，不但止于十分三厘八毫也。若依十分三厘八毫围长之数，则径止得三分三厘竒，又不及三分四厘六毫也。此宋胡氏之说所以不合也。宋蔡氏说径围分数与胡氏同。至于算法，用圆田术，三分益一得一十二，开方除之，求径。又以径相乘，以管长乘之，用三分益一、四分退一之法求羃积。今姑依共说，以九方分平置，用又三分益一，以三方分割，置于九方分之外，如此 其积十二方分，其从横可得三分四厘六毫彊，不尽二毫八丝四忽，的如蔡氏之说。但依此径以密率相乘，则空围内面羃不但止得九方分，乃得九方分零四十厘六十毫五十七秒十四忽竒；空围内积实不但止得八百一十分，乃得八百四十六分五百四十五厘一百四十二秒六百忽竒。如此，则黄钟之管无乃太大。细考之，方内之圆所，古者不止四分三，圆外之方所当退者又不及四分一。以此知三分益一，四分退一，乃虚加实退，算家大约之法。此宋蔡氏之说所以又不能以尽合也。今欲求黄钟律管从长周径、羃积的实定数者，须依蔡氏多截管候气之说，又以祖氏冲之密率乘除方可。盖祖冲之乃古今算家之最，而蔡氏多截管候气之说，实得造律本原，其说乃前人未发者。今宜依此说，先多截竹以拟黄钟之管，或短或长，长短之内，每差纎微，各为一管，悉以此诸管埋地中，俟冬至时验之。若诸管之中有气应者，即取其管而计之，知此管合于造化自然，非人力可为，即以此管分作九寸，寸作九分，分作九厘，厘作九毫，毫作九秒，秒作九忽，以合十、十二终天之数，乃元气运行，自子至亥，得十七万七千一百四十七之数。凡用此管，三分损益，上下相生。由此又取此管九寸，寸作十分，分作十厘，厘作十毫，毫作十秒，秒作十忽，以合天地五位终于十之数。乃以十乘八十一，得八百一十分，以八百一十分配九十分管，知此管长九十分，空围中容八百一十分，即十分管长，空围中容九十分，一分管长，空围中容九分。凡求度量衡由此。乃以此管面空围中所容九分，以平方羃法推之，知 一分有百厘，厘有百毫，毫有百秒，秒有百忽。积而计之，一平方分通有面羃一万万忽，九平方分通有面幕九万万忽。乃以此九万万忽，依算经少广章所载宋祖冲之密率乘除，得圆周长的，计十分六厘三毫六秒八忽万分忽之六千三百一十二。又以圆周求径，计三分三厘八毫四秒四忽万分忽之五千六百四十五。又以半径、半周相乘，仍得九万万忽，内忽弱通之，得面羃九平方分也。既以周径相乘，复得面羃如此，则黄钟之广与长及空围内积实皆可计矣。故面羃计九方分，深一分管，则空围内当有九立方分；深九十分管计九寸，则空围内当有八百一十立方分。此即黄钟一管之实。其数与天地造化无不相合，此算法所以成也。算法既成之后，或以竹，或以铜，别为之。依其长，各作八十 一分，以为十二律相生之法。又依其长作九十分，乃取九十分之分，计三分三厘八毫四秒四忽万分忽之五千六百四十五，以合孔径。如此，则圆长面羃与夫空围内积，自然无不谐会。特径数自八毫以下，非可细分，而算法积忽与秒，不容不然。黄钟之实第二以淮南子、汉前志定其寸、分、厘、毫、丝之法，以律书生钟分定
子一黄钟之律
丑三为丝法
寅九。 为寸数。
卯二十七。 为毫法。
辰八十一。 为分数。巳二百四十三。 为厘法。
午七百二十九。 为厘数。
未二千一百八十七。 为分法。
申六千五百六十一。 为毫数。
酉一万九千六百八十三。 为寸法。
戌五万九千☐☐四十九为丝数
亥一十七万七千一百四十七黄钟之实
案：黄钟九寸，以三分为损益，故以三历十二辰，得一十七万七千一百四十七，为黄钟之实。其十二辰所得之数，在子、寅、辰、午、申、戌六阳辰，为黄钟寸、分、厘、毫、丝之数。子为黄钟之律，寅为九寸，辰为八十 一分，午为七百二十九厘，申为六千五百六十一毫，戌为五万九千四十九丝。在亥、酉、未、巳、卯、丑六阴辰，为黄钟寸、分、厘、毫、丝之法。亥为黄钟之实，酉之一万九千六百八十三为寸，未之二千一百八十七为分，巳之二百四十三为厘，卯之二十七为毫，丑之三为丝。其寸、分、厘、毫、丝之法，皆用九数，故丝为毫，九毫为厘，九厘为分，九分为寸，为黄钟。盖黄钟之实，一十七万七千一百四十七之数，以三约之，为丝者五万九千四十九；以二十七约之，为毫者六千五百六十一；以二百四十三约之，为厘者七百二十九；以二千一百八十七约之，为分者八十一。以一万九千六百八十三约之，为寸者九。由是三分损益，以生十一律焉。或曰：径围之分，以十为法，而相生之分厘毫丝，以九为法，何也？曰：以十为法者，天地之全数也；以九为法者，因三分损益而立也。全数者，即十而取九；相生者，约十而为九。即十而取九者，体之所以立；约十而为九者，用之所以行。体者，所以定中声；用者，所以生十一律也。或问：算到十七万有余之数，当何用？朱子曰：以定管之长短而出是声。大抵考究其法是如此。
黄钟生十一律第三
子一分
一为九寸。
丑三分二。
一为三寸。
寅九分八。
一为一寸。
卯二十七分十六。
三为一寸。 一为三分。
辰八十一分六十四。
九为一寸。 一为一分。巳二百四十三分一百二十八。
二十七为一寸。 三为一分。 一为三厘。
午七百二十九分五百一十二。
八十一为一寸。 九为一分， 一为一厘。
未二千一百八十七分一千二十四。
二百四十三为一寸， 二十七为一分， 三为一厘，一为三毫。
申六千五百六十一分四千九十六。
七百二十九为一寸， 八十一为一分， 九为一厘，一为一毫。
酉一万九千六百八十三分八千一百九十二。
二千一百八十七为一寸， 二百四十三为一分，二十七为一厘， 三为一毫， 一为三丝。
戌五万九千四十九分三万二千七百六十八。
六千五百六十一为一寸， 七百二十九为一分，八十一为一厘， 九为一毫， 一为一丝。
亥十七万七千一百四十七分六万五千五百三十六。一万九千六百八十三为一寸， 二千一百八十七为一分， 二百四十三为一厘， 二十七为一毫，三为一丝， 一为三忽。
案：黄钟生十一律，子、寅、辰、午、申、戌六阳辰皆下生，丑、卯、巳、未、酉、亥六阴辰皆上生。其上以三历十二辰者，皆黄钟之全数。其下阴数以倍者，即算法倍其实，三分本律而损其一也。阳数以四者，即算法四其实，三分本律而増其一也。六阳辰当位自得，六阴辰则居其冲。其林钟、南吕、应钟三吕在阴，无増损也。其大吕、夹钟、仲吕三吕在阳，则用倍数，方与十二月之气相应。盖阴之从阳，自然之理也。
习轩吴氏曰：子一分者，数起子得一也。丑三分二者，三其法为三分。两其实为二也。寅九分八者，三其法为九分。四其实为八也。以下生者，倍其实，以上生者，四其实也。以法以子析为三分，每分五万九千四十九五于三分之中得其二，为十一万八千九十八，积六寸为林钟。此黄钟之实，三分损一，下生林钟也。以子一析为九分，每分得万九千六百八十三。寅千九分之中得其八，为十五万七千四百六十四，积八寸为太簇。此林钟之实，三分益一，上生太簇也。自卯而下放此。 黄瑞节曰：其上云者，十二辰分字以上，如子一分、丑三分是也。其下云者，十二辰分字以下，如二八、十六是也。其上为黄钟全数，其下为损益相生之数。 此损益数即下章十二律实数。吴氏算法全载图类，今举二律起例附此。 子为阳辰，黄钟当位，自得也。丑为未冲，林钟以未而居丑，居其冲也。他放此。冲亦作衡。余载后辨证
十二律之实第四
子，黄钟，十七万七千一百四十七。
全九寸，半无。
丑，林钟，十一万八千口。口九十八，
全六寸，半二十，不用。
寅，太簇，十五万七千四百六十四。
全八寸， 半四寸。
卯，南吕，十口万四千九百七十六。
全五寸三分，半二寸六分，不用。
辰，姑洗，十三万九千九百六十八。
全七寸一分， 半三寸五分。巳，
应钟，九万三千三百一十二。
全四寸六分六厘， 半二寸三分三厘，不用。
午，蕤宾，十二万四千四百一十六，
全六寸二分八厘， 半三寸一分四厘。
未，大吕，十六万五千八百八十八，
全八寸三分七厘六毫，半四寸一分八厘二毫。
申，夷则，十一万口，口五百九十二，
全五寸五分五厘一毫， 半二寸七分二厘五毫。
酉，夹钟，十四万七千四百五十六，
全七寸四分三厘七毫三丝，半三寸六分六厘三毫六丝。
戌，无射，九万八千三百口，口四。
全四寸八分八厘四毫八丝， 半二寸四分四厘二毫四丝。
亥，仲吕，十三万一千口，口七十二，
全六寸五分八厘三毫四丝六忽，余二算。半三寸二分八厘六毫二丝二忽。
案：十二律之实，约以寸法，则黄钟、太簇得全寸全寸约以分法，则南吕、姑洗得全分；约以厘法，则应钟、蕤宾得全厘；约以毫法，则大吕、夷则得全毫；约以丝法，则夹钟、无射得全丝。至仲吕之实，十三万一千七十二，以三分之不尽二算，其数不行，此律之所以止于十二也。
变律第五
黄钟，十七万四千七百六十二。小分四百八十六。
全八寸七分八厘一毫六丝二忽，不用。半四寸三分八厘五毫三丝一忽。
林钟十一万六千五百☐☐八。小分三百二十四。
全五寸八分二厘四毫一丝一忽，三初。半二寸八分五厘六毫五丝。六初。
太簇，十五万五千三百四十四。小分四百三十二。
全七寸八分二毫四丝四忽，七初不用。 半三寸九分四厘五毫六丝六忽，八初。
南吕十☐万三千五百六十三。小分四十五。
全五寸二分三厘一毫六忽一初六秒。半二寸五分六厘七丝四忽，五初三秒。
姑洗十三万八千。口☐八十四。小分六十。
全七寸一厘一毫二丝一初二秒不用。 半三寸四分五厘一毫一丝一初一秒。
应钟九万二千口。口五十六。小分四十。
全四寸六分七毫四丝三忽一初四秒，余算半。二寸三分三毫六丝六忽六秒彊不用。
案：十二律各自为宫，以生五声二变。其黄钟、林钟、太簇、南吕、姑洗、应钟六律，则能具足。至蕤宾、大吕、夷则、夹钟、无射、仲吕六律，则取黄钟、林钟、太簇、南吕、姑洗、应钟六律之声，少下不和，故有变律。变律者，其声近正，而少髙于正律也。然仲吕之实一十三万一千☐☐七十二，以三分之不尽二算，既不可行，当有以通之。律当变者有六，故置一而六三之，得七百二十九。以七百二十九因仲吕之实十三万一千☐☐七十二，为九千五百五十五万一千四百八十八，三分益一，再生黄钟、林钟、太簇、南吕、姑洗、应钟六律。又以七百二十九归之，以从十二律之数，纪其余分，以为忽秒，然后洪纤髙下不相夺伦。至应钟之实六千七百一十☐万八千八百六十四，以三分之，又不尽一，算数又不可行，此变律之所以止于六也。变律非正律，故不可宫也。朱子曰：自黄钟至仲吕，相生之道，至是穷矣。遂复变而上生黄钟之宫。再生之黄钟，不及九寸，只是八寸有余。然黄钟君象也，非诸宫之所能役，故虚其正而不复用，所用只再生之变者。就再生之变，又缺其半。所谓缺其半者，盖若大吕为宫，黄钟为变宫时，黄钟管最长，所以只得用其半。其余宫亦放此。
律生五声图第六
宫声八十一商声七十二角声六十四
徴声五十四羽声四十八
案：黄钟之数，九九八十一，是为五声之本。三分损一以下生徴，徴三分益一以上生商，商三分损一以下生羽，羽三分益一以上生角。至角声之数六十四，以三分之不尽一，算数不可行，此声之数所以止于五也。或曰：此黄钟一均五声之数，他律不然。曰：置本律之实，以九九因之，三分损益，以为五声，再以本律之实约之，则宫固八十一，商亦七十二，角亦六十四，徴亦五十四，羽亦四十八矣。假令应钟九万三千三百二十二，以八十一乘之，得七百五十五万八千二百之十二为宫。以九万三千三百一十二约之，得八十一。三分宫损一，得五百口。口三万八千八百四十八为徴；以九万三千三百一十一约之，得五十四。三分徴益一，得六百七十一万八千四百六十四为商。以九万三千三百 一十二约之，得七十二。三分商损一，得四百四十七万八千九百七十六为羽。以九万三千一百一十二约之，得四十八。三分羽益一，得五百九十七万一千九百六十八为角。以九万三千三百一十二约之，得六十四。
变声第七
变宫声，四十二。小分六。变徴声，五十六。小分八。
案：五声宫与商，商与角、徴、羽，羽相去各一律，至角与徴，羽与宫，相去乃二律。相去一律，则音节和，相去二律，则音节逺。故角、徴之间，近徴收一声，比徴少下，故谓之变徴；羽、宫之间，近宫收一声，少髙于宫，故谓之变宫也。角声之实六十有四，以三分之，不尽一算，既不可行，当有以通之。声之变者二，故置一而两三之得九，以九因角声之实六十有四，得五百七十六，三分损益，再生变徴、变宫二声，以九归之，以从五声之数，存其余数，以为强弱。至变徴之数五百一十二，以三分之，又不尽二算，其数又不行，此变声所以止于二也。变宫、变徴，宫不成宫，徴不成徴，古人谓之和缪。又曰：所以济五声之不及也。变声非正，故不为调也。朱子曰：五声之序，宫最大而沈浊，羽最细而清轻，商之大次宫，徴之细次羽，而角居四者之中焉。然世之论中声者，不以角而以宫，何也？曰：凡声，阳也，自下而上，未及其半，则属于阴而未畅，故不可用。上而及半，然后属于阳而始和，故即其始而用之以为宫，因其每变而益上，则为商、为角、为变徴、为徴、为羽、为变宫，而皆以为宫之用焉。是以宫之声一，在五行为土，在五常为信，在五事为思。盖以其正当众声和与未和、用与未用，阴阳际会之中，所以为盛。若角则虽当五声之中，而非众声之会，且以七均论之，又有𠮓徴以居焉，亦非五声之所取正也。然自其声之始和者推而上之，亦至于变宫而止耳。自是以上，则又过乎轻清，而不可以为宫。于是就其两间而细分之，则其别又十有二，以其最大而沈浊者为黄钟，以其极细而轻清者为应钟。及其旋相为宫，而上下相生，以尽五声一变之用，则宫声常不越乎十二之中，而四声者或时出于其外，以取诸律半声之管，然后七均备而一调成也。黄钟之与余律，其所以为贵贱者亦然。若诸半声以上，则又过乎轻清之甚，而不可以为乐矣。盖黄钟之宫，始之始、中之中也；十律之宫，始之次而中少过也；应钟之宫，始之终而中巳尽也。诸律半声过乎轻清，始之外而中之上也。半声之外过乎轻清之甚，则又外之外、上之上，而不可为乐者也。正如子时初四刻属前日，正四刻属后日，其两日之间，即所谓始之始、中之中也。然则声自属阴以下，亦当黙有十二正变半律之地，以为中声之前。假如子初四刻之为者，但无声气之可纪耳。由是论之，则审音之难，不在于声而在于律，不在于官而在于黄钟。盖不以十二律节之，则无以著夫五声之实；不得黄钟之正，则十一律者又无所受以为本律之宫也。八十四声图第八正律，墨书。 半声，朱书。变律，朱书。 半声，墨书。
十一月：黄钟宫。
六月：林钟宫、黄钟徴。
正月：太簇宫、林钟徴、黄钟商。
八月：南吕宫、太簇徴、林钟商、黄钟羽。
三月：姑洗宫、南吕徴、太簇商、林钟羽、黄钟角。
十月：应钟宫、姑洗徴、南吕商、大蔟羽、林钟角、黄钟变宫。五月：蕤宾宫、应钟徴、姑洗商、南吕羽、太蔟角、林钟、黄钟变宫、变徴。十二月：大吕宫、蕤宾徴、应钟商、姑洗羽、南吕角、太蔟、林钟变宫、变徴。七月：夷则宫、大吕徴、蕤宾商、应钟羽、姑洗角、南吕、太蔟变宫、变徴。二月：夹钟宫、夷则徴、大吕商、蕤宾羽、应钟角、姑洗、南吕变宫、变徴。九月：无射宫、夹钟徴、夷则商、大吕羽、蕤宾角、应钟、姑洗变宫、变徴。四月：仲吕宫、无射徴、夹钟商、夷则羽、大吕角、蕤宾、应钟变宫、变徴，黄钟变仲吕徴、无射商、夹钟羽、夷则角、大吕、蕤宾变宫、变徴，林钟变 仲吕商、无射羽、夹钟角，夷则、大吕变宫、变徴，
太蔟变 仲吕羽。无射角变钟。夷则、变宫、变徴。
南吕变 仲吕角。无射、夹钟、变宫、变徴。
姑洗变仲吕。无射、变宫、变徴。
应钟。变仲吕变徴。
案：律吕之数，往而不返，故黄钟不复为他律役，所用七声皆正律，无空积、忽、微。自林钟而下，则有半声：大吕、太蔟一半声，夹钟、姑洗二半声，蕤宾、林钟四半声，夷则、南吕五半声，无射、应钟六半声。仲吕为十二律之穷，三半声自蕤宾而下，则有𠮓，蕤宾一变律，大吕二变律，夷则三变律，夹钟四变律，无射五变律，仲吕六变律。皆有空积忽微，不得其正，故黄钟独为声气之元。虽十二律八十四声皆黄钟所生，然黄钟二均，所谓纯粹中之纯粹者也。八十四声，正律六十三，变律二十一。六十三者，九七之数也；二十一者，三七之数也。或问声气之元。朱子曰：律历家最重这元声。元声一定，向下都定，元声差下都差。六十调图第九以周礼、淮南子、礼记郑氏注、孔氏正义，定
宫商角 变徴徴 羽 变宫。
黄钟宫，黄正、大正、姑正、蕤正、林正、南正、应正。
无射商，无正，黄变半，太变半，姑变半，仲半，林变半，南变半。
夷则角，夷正、无正，黄变半，太变半，夹半，仲半，林变半。
仲吕徴，仲正、林变，南变，应变，黄变半，太变半，姑变半。
夹钟羽，夹正、仲正，林变，南变，无正，黄变半，太变半。
大吕宫，大正、夹正、仲正、林𠮓、夷正、无正，黄变半。
应钟商，应正、大半，夹半，仲蕤半，夷半，无半。
南吕角，南正、应正、大半，夹姑半，蕤半，夷半。
蕤宾徴，蕤正、夷正、无正，黄变半，大半，夹半，仲半。
姑洗羽，姑正、蕤正、夷正、无正、应正，大半，夹半。
太蔟宫，太正、姑正、蕤正、夷正、南正、应正、大半。
黄钟商，黄正、大正、姑正、蕤正、林正、南正、应正。
无射角，无正，黄变半，大变半，姑变半，仲半，林变半，南变半。
林钟徴，林正、南正、应正、大半，太半，姑半，蕤半。
仲吕羽：仲正，林变，南变，应、变，黄变半，太𠮓半，姑变半。
夹钟宫：夹正、仲正，林变，南变，无正，黄变半，太变半。
大吕商：大正、夹正、仲正，林变，夷正，无正，黄变半。
应钟角：应正、大半，夹半，仲半，蕤半，夷半，无半。
夷则徴：夷正、无正，黄变半，太变半，夹半，仲半，林变半。
蕤宾羽：蕤正、夷正、无正，黄变半，大半，夹半，仲半。
姑洗宫：姑正、蕤正、夷正、无正、应正、大半，夹半。
太蔟商：太正、姑正、蕤正、夷正、南正、应正，大半。
黄钟角：黄正、太正、姑正、蕤正、林正、南正、应正。
南吕徴：南正、应正、大半，夹半，姑半，蕤半，夷半。
林钟羽：林正、南正、应正、大半，太半，姑半，蕤半。
仲吕宫：仲正，林变，南变，应、变，黄变半，太变半，姑变半。
夹钟商：夹正、仲正，林变，南变，无正，黄变半，太变半。
大吕角：大正、夹正、仲正，林变，夷正、无正，黄变半。
无射徴：无正，黄变半，太变半，姑变半，仲半，林变半，南变半。
夷则羽夷正、无正，黄变半，太变半，夹半，仲半，林变半。
蕤宾宫蕤正、夷正、无正，黄变半，大半，夹半，仲半。
姑洗商：姑正、蕤正、夷正、无正、应正、大半，夹半。
太蔟角太正、姑正、蕤正、夷正、南正、应正、大半。
应钟徴应正、大半，夹半，仲半，蕤半，夷半，无半。
南吕羽南正、应正、大半，夹半，姑半，蕤半，夷半。
林钟宫林正、南正、应正、大半，太半，姑半，蕤半。
仲吕商：仲正，林变，南变，应变，黄变半，太变半，姑变半。
夹钟角夹正、仲正，林变南，𠮓无正，黄变半，大𠮓半。
黄钟徴黄正、太正、始正、蕤正、林正、南正、应正。
无射羽无正，黄变半，太变半，姑变半，仲半，林变半，南变半。
夷则宫夷正、无正，黄变半，太变半，夹变半，仲半，林变半。
蕤宾商蕤正、夷正、无正，黄变半，大半，夹半，仲半。
姑洗角姑正、蕤正、夷正、无正、应正、太半，夹半。
大吕徴大正、夹正、仲正、林𠮓、夷正、无正，黄变半。
应钟羽应正、大半、夹半、仲半、蕤半、夷半、无半。
南吕宫：南正、应正、大半、夹半、姑半、蕤半、夷半。
林钟商：林正、南正、应正、大半、太半、姑半、蕤半。
仲吕角：仲正、林变、南变、应半，黄变半，太变半，姑变半。
太蔟徴：太正、姑正、蕤正、夷正、南正、应正、大半。
黄钟羽：黄正、太正、姑正、蕤正、林正、南正、应正。
无射宫：无正、黄变半，太变半，姑变半、仲半，林变半，南变半。
夷则商：夷正、无正、黄变半，太变半，夹半、仲半，林变半。
蕤宾角：蕤正、夷正、无正、黄变半、太半、夹半、仲半。
夹钟徴：夹正、仲正、林变，南变、无正、黄变半，太变半。
大吕羽：大正、夹正、仲正、林变、夷正、无正、黄𠮓半。
应钟宫：应正、大半、夹半、仲半、蕤半、夷半、无半。
南吕商：南正、应正、大半，夹半、姑半、蕤半、夷半。
林钟角：林正、南正、应正、大半、大半，姑半、蕤半。
姑洗徴：姑正、蕤正、夷正、无正、应正、大半、夹半。
太蔟羽：太正、姑正、蕤正、夷正、南正、应正、大半。
案十二律旋相为宫，各有七声，合八十四声。宫声十二，商声十二，角声十二，徴声十二，羽声十二，凡六十声，为六十调。其变宫十二，在羽声之后、宫声之前；变徴十二，在角声之后、徴声之前。宫不成宫，徴不成徴，凡二十四声，不可为调。黄钟宫至夹钟羽，并用黄钟起调、黄钟毕曲；大吕宫至姑洗羽，并用大吕起调、大吕毕曲；太蔟宫至仲吕羽，并用太蔟起调、太蔟毕曲；夹钟宫至蕤宾羽，并用夹钟起调、夹钟毕曲；姑洗宫至林钟羽，并用姑洗起调，姑洗毕曲；仲吕宫至夷则羽，并用仲吕起调、仲吕毕曲。蕤宾宫至南吕羽，并用蕤宾起调、蕤宾毕曲。林钟宫至无射羽，并用林钟起调、林钟毕曲。夷则宫至应钟羽，并用夷则起调、夷则毕曲。南吕宫至黄钟羽，并用南吕起调、南吕毕曲。无射宫至大吕羽，并用无射起调，无射毕曲。应钟宫至太蔟羽，并用应钟起调，应钟毕曲，是为六十调。六十调即十二律也，十二律即一黄钟也。黄钟生十二律，十二律生五声、二变，五声各为纲纪，以成六十调。六十调皆黄钟损益之变也。宫商、角三十六调，老阳也；其徴羽二十四调，老阴也。调成而阴阳备也。或曰：日辰之数，由天五地六错综而生，律吕之数，由黄钟九寸损益而生，二者不同。至数之成，则日有六甲，辰有五子，为六十日；律吕有六律、五声，为六十调，若合符节，何也？曰：即上文之所谓调成而阴阳备也。夫理必有对待，数之自然也。以天五地六合阴与阳言之，则六甲、五子究于六十，其三十六为阳，二十四为阴。以黄钟九寸纪阳不纪阴言之，则六律五声究于六十，亦三十六为阳，二十四为阴。盖一阳之中，又自有阴阳也。非知天地之化育者，不能与于此。朱子曰：律吕有十二个，用时只使七个，若更挿一声，便拗了 旋宫。且如大吕为宫，则大吕用黄钟八十一之数，而三分损一，下生夷则；又用林钟五十四之数，而三分益一，上生夹钟。其余皆然， 旋相为宫。若到应钟为宫，则下四声都当低去，所以有半声，亦谓之子声，近时所谓清声是也。 乐家大率最忌臣民陵君，故商声不得过宫声。如应钟为宫，其声最短而清。或蕤宾为之商，则是商声髙似宫声，为臣陵君，不可用，遂乃用蕤宾律减
半为清声以应之。虽然减半，只是此律，故亦能相应也。 若以黄钟为宫，则余律皆顺。若以其他律为宫，便有相陵处。今且以黄钟言之，自第九宫后四宫，则或为角、或为羽、或为商、或为徴。若以为角，则是民陵其君；若以为商，则是臣陵其君。徴为事，羽为物，皆可类推。故制黄钟四清声用之。清声短其律之半，是黄钟清长四寸半也。若后四宫用黄钟为角、徴、商、羽，则以四清声代之，不可用黄钟本律，以避陵慢。沈存中云：唯君、臣、民不可相陵，事、物则不必避。
候气第十
候气之法，为室三重，户闭，涂衅必周，密布缇缦。室中以木为案，毎律各一案，内𤰞外髙，从其方位，加律其上，以葭灰实其端，覆以缇索，案厯而候之。气至则吹灰动索。小动为和气，大动为君弱臣强専改之应，不动为君严猛之应。其升降之数，在冬至则黄钟九寸，升五分二厘三毫。大寒则大吕八寸三分七厘六毫，升三分七厘六毫。雨水则太蔟八寸，升四分五厘一毫六丝。春分则夹钟七寸四分三厘七毫三丝，升三分三厘七毫三丝。榖雨则姑洗七寸一分，升四分口，口五毫四丝二忽。小满则仲吕六寸五分八厘三毫四丝六忽，升三分口，口三毫四丝六忽。夏至则蕤宾六寸二分八厘。升二分八厘。大暑则林钟，六寸。升三分三厘四毫。处暑则夷则五寸五分五厘五毫。升二分五厘五毫。秋分则南吕，五寸三分。升三分口，口四毫一丝。霜降则无射，四寸八分八厘四毫八丝。升二分二厘四毫八丝。小雪则应钟，四寸六分六厘。
案：阳生于复，阴生于姤，如环无端。今律吕之数，三分损益，终不复始，何也？曰：阳之升始于子，午虽阴生，而阳之升于上者未已，至亥而后穷上反下。阴之升始于午，子虽阳生，而阴之升于上者亦未已，至已而后穷上反下。律于阴则不书，故终不复始也。是以升阳之数，自子至已差彊，在律为尤彊，在吕为少弱。自午至亥渐弱，在律为尤弱，在吕为差彊。分数多寡虽若不齐，然其丝分毫则各有条理，此气之所以飞灰，声之所以中律也。或曰：易以道阴阳，而律不书阴，何也？曰：易者，尽天下之变，善与恶无不备也。律者，致中和之用，止于至善者也。以声言之，大而至于雷霆，细而至于蠛蠓，无非声也。易则无不备也，律则写其所谓黄钟之声而已矣。虽有十二律、六十调，然实一黄钟也。是理也，在声为中声，在气为中气，在人则喜怒哀乐未发与发而中节也。此圣人所以一天人、赞化育之道也。鲁齐彭氏曰：西山蔡氏所述礼记月令章句，蔡邕说也。如邕所云，则是为十二月律，布室内十二辰。若其月气至，则辰之管灰飞而管空也。然则十二月各当其辰，斜埋地下，入地处庳，出地处髙，故云内庳外髙。黄钟之管埋于子位，上头向南，以外诸管，推之可悉知。又律书云：以河内葭莩为灰，宜阳金门山竹为管。熊氏云：灰实律管，以罗縠覆之，气至则吹灰动谷矣。又长乐陈氏曰：候气之法，造室三重，各启门。为门之位，外之以子，中之以午，内复以子，杨子所谓九闭之中也。盖布缇缦室中，上圆下方，依方位埋律管，使其端与地齐，而以薄纱覆之。中秋白露降，采葭莩为灰，加管端以候气至灰去。为气所动者，灰散；为物所动者，其灰聚。今采诸说具图云。
审度第十一
度者，分、寸、尺、丈、引，所以度长短也。生于黄钟之长。以子榖秬黍中者九十枚度之，一为一分。凡黍实于管中，则十三黍三分黍之一而满一分，积九十分，则千有二百黍矣。故此九十黍之数，与下章千二百黍之数，其实一也。十分为寸，十寸为尺，十尺为丈，十丈为引。数始于一，终于十者，天地之全数也。律未成之前，有是数而未见。律成而后，数始得以形焉。度之成，在律之后，度之数，在律之前。故律之长短围径，以度之分寸之数而定焉。
嘉量第十二
量者，龠、合、升、斗、斛所量多少也。生于黄钟之容，容以子谷秬黍中者一千二百实其龠，以井水准其槩，以度数审其容。一龠积八百一十分。合龠为合，两龠也，积一千六百二十分。十合为升，二十龠也，积一万六千二百分。十升为斗，百合，二百龠也，积十六万二千分。十斗为斛，二千龠，千合，百升也，积一百六十二万分。
谨权衡第十三
权衡者，铢、两、斤、钧、石，所以权轻重也。生于黄钟之重，以子榖秬黍中者一千二百实其龠。百黍一铢，一龠十二铢，二十四铢为一两，两龠也。十六两为斤，三十二龠，三百八十四铢也。三十斤为钧，九百六十龠，一万一千五百二十铢，四百八十两也。四钧为石，三千八百四十龠，四万六千八十铢，一万九千二百两也。律吕新书卷一