历算全书弧三角举要卷一
弧三角举要卷一
弧三角体势
弧三角与平异理故先体势知体势然后可以用算而算莫先于正弧犹平三角之有句股形也故以为弧度之宗正弧形之之角取法于黄赤交角则有定度而余角取法于过极圏交黄道之角则随度而移互用之其理益显故有求余角法弧三角以一角对一边而比例等与平三角同而其理别故有弧角比例法斜弧无相对之弧角则比例之法穷故有垂弧法三角求边则垂弧之法又穷故有次形法垂弧与次形合用则有捷法弧与角各有八线而可以互视故有相当法【余详环中尺及堑堵测量】
弧度与天相应
弧三角之法以测浑员浑员之大者莫如天员之至者亦莫如天故弧三角之度皆天度也
以平测员其难百倍以员测员其简百倍而得数且真是故测天者必以弧度而论弧度者必以天为法测弧度必以大圏
浑球上弧度有极大之圏乃腰围之一线也如赤道带天之纮原止一线如黄道如子午规如地平规尽然又如测得两星相距之逺近亦为大圏之分【若以此两星之距弧引而长之必匝于浑员之体而成大圏不论从衡斜侧皆同一法】
球上大圏必相等
所以必用大圏者以其相等也 浑球上从衡斜侧皆可为大圏而其大必相等者以俱在腰围之一线也如黄道赤道及子午规地平规俱系大圏必皆相等不相等即非大圏故惟大圏可相为比例【任测两星之距不必当黄赤道而能与二道相比例者以其皆大圏也】
球上两大圏无平行者
大圏在浑球既为腰围之一线则必无两圏平行之法若平行即非大圏【如黄赤道并止一线而无广即无地可容平行线也子午规地平规亦然】球上圏能与大圏平行者皆小圏谓之距等圏
离大圏左右作平行圏皆曰距等圏谓其四围与大圏相距皆等【如于黄道内外作纬圏其与黄道相距或近则四靣皆近或逺则四面亦皆逺无毫忽之不同平行故也赤道纬圏地平髙度并同】而其自相距亦等故曰距等也【如黄道内外或近或逺处处可作距等圏而皆与黄道平行即其圏亦自相平行故并为等距】距等圏皆小于大圏【如黄道内外纬圏但离数分其围即小于黄道其距益逺其圏益小小之极至一防而止诸纬圏并然】不能与大圏为比例【大圏惟一距等圏无数无一同者无法可为比例】故为比例者必大圏也
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷七>
如图甲乙为大圏大圏只一丙丁及戊庚等皆小圏小圏无数渐近圎顶己即其圏愈小而成一防大小悬殊故不可以相为比例
大圏之比例以度不拘丈尺
凡圏皆可分三百六十度【每圏平分之成半周四平分之成象限象限又各平分之为九十度成三百六十度】而球大者其大圏大球小者其大圏小皆以本球之围径自为比例不拘丈尺【尽本球之围分为全周之度其球上之度即皆以此为准但在本球上为最大故谓之大圏非以丈尺言其大小】古人以八尺浑仪准周天盖以此也又如古浑仪原有三重其在内之环周必小于外而其度皆能相应者在内环周虽小而在内之浑员以此为大圏即在内之各度并以此为准故也
大圏之度为公度
凡球上距等圏亦可平公三百六十度而其圈皆小于本球之大圏又大小不伦则其所分之细度亦皆小于大圈而大小不伦矣惟本球腰围大圏上所分之度得为公度故凡言度者必大圏也
如图甲乙为大圏一象限丙丁及戊庚各为距等小圏一象限象限虽同而大小迥异又如甲辛为大圈三十度丙壬及戊癸亦各为小圏之三十度其为三十度虽同而大小亦异再细攷之至一度或至一分亦大小异也故惟大圏之度为公度
大圏即本球外周其度即外周之度而横直皆相等
平员有径有周浑员亦有径有周立浑员于前则外周可见即腰围之大圏也旋而视之皆可为外周故大圏之横直皆等【皆以外周度为其度故等】
如图子午规为浑仪外周其度三百六十乃横度也地平为腰围度亦三百六十乃横度也横度直度皆得为外周故其度相等若依北极论之则赤道又为腰围而亦即外周也推是言之浑球上大圏从衡斜侧皆相等何则旋而视之皆得为腰围即皆得为外周故也大圏上相遇有相割无相切大圏相割各成两半分
球上从衡斜侧既皆成大圏则能相割矣而皆为浑员之外周则必无相切之理【若相切者必在外周之内为距等小圈】
如图甲丙乙为大圏半周能割大圏于甲于乙而不能相切丙丁成小圈则能切大圏于丙于丁
如图甲庚辛乙为大圏半周割外圏于甲于乙则甲己乙乙子甲亦各成半周若壬癸距等圏割大圏于庚于辛而庚辛非半周
球上两大圏相割必有二处此二处必相距一百八十度而各成两平分如黄赤二道相交于春分必复相交于秋分即二分之距必皆半周一百八十度而黄道成两半分赤道亦两平分也若距等圏与大圏相割必不能成两平方
两大圏相遇则成角
球上大圏既不平行则其相遇必相交相割而成角弧三角之法所由以立也角有正有斜斜角又有锐钝共三种而角两旁皆弧线与直线角异
如图己午戊子为子午规辛午乙子为地平规两大圏正相交于南地平之午北地平之子则皆正角而四角皆等并九十度角也【正角一名直角一名十字角一名正方角】
如图午辛子为地平规丁辛癸为赤道规两大圏斜相交于辛则丁辛子钝角大于九十度丁辛午锐角小于九十度两角相并一百八十度减锐角其外角必钝若减钝角亦得鋭角也故有内角即知外角 又两锐角相对两钝角相对其度分必等故有此角即知对角凡此数端并与平三角同然而实有不同者以角两旁之为弧线也
弧线之作角必两
直线剖平员作角形如分饼角旁两线皆半径至周而止弧线剖浑幂作角形如剖角旁两弧线皆半周必复相交作角而等【如黄赤道交于二分其角相等】
角有大小量之以对角之弧其角旁两弧必皆九十度
弧线角既如瓣则其相距必两端狭而中濶其最濶处必离角九十度此处离两角各均即球上腰围大圏也故其度即为角度【如黄赤道之二分交角二十三度半即二至时距度此时黄赤道离二分各九十度乃腰围最濶处也】
大圈有极
大圏能分浑员之面幂为两则各有最中之处而相对是为两极两极距大圏四靣各九十度
如图甲辛乙为赤道大圈己为北极己为南极甲己丁己等弧线距北极各九十度距南极亦然 若己为天顶甲辛乙为地平大圏亦同如甲正北辛正东乙正南丁东北丙东南所在不同而甲乙等髙弧距天顶各九十度皆等
大圏上作十字弧线引长之必过两极两极出弧线至大圏必皆十字正交
如赤道上经圏皆与赤道正交为十字角则其圏必上过北极下过南极也然则从两极出弧线过赤道必十字正交矣
大圏之极为众角所辏
如赤道上逐度经圏皆过两极则极心一防为众角之宗【经圏之弧在赤道上成十字者本皆平行渐逺渐狭至两极则成角形之锐尖】角无论大小皆辏于极而合成一防离此一防外即成锐钝之形而皆与赤道度相应所谓量角以对弧度而角两旁皆九十度以此
如图己为北极即众角之顶鋭其所当赤道之度如乙丙等则己角为鋭角如丙庚等则己角为钝角 若己为天顶外圏为地平亦然
角度与角旁两弧之度并用本球之大圏度故量角度者以角为极
有弧线角不知其度亦不知角旁弧之度法当先求本球之九十度【其法以角旁二弧各引长之使复作角乃中分其弧即成本弧之九十度而角旁弧之度可知】以角为心九十度为界作大圏【与角旁两弧并本球大圏而其分度等】乃视角所当之弧【即角旁两九十度弧所界】于大圏上得若干度分即角度也故曰以角为极
三大圏相遇则成三角三边
此所谓弧三角形也如黄道赤道既相交于二分又有赤道经圏截两道而过之则成乙丙甲弧三角形
知图己为北极戊辛为赤道丁庚为黄道二道相交于春分成乙角又己壬为过极经圏自北极己出弧线截黄道于丙得丙乙边为黄道之一弧亦截赤道于甲成甲乙边为赤道之一弧而过极经圏为二道所截成丙甲边为经圏之一弧是为三边即又成丙角甲角合乙角为三角
弧三角不同于平三角之理
弧三角形有三角三边共六件以先有之三件求余三件与平三角同所不同者平三角形之三角并之皆一百八十度弧三角不然其三角最小者比一百八十度必盈【三边在一度以下可借平三角立算因其差甚微然其角度视半周必有微盈】但不得满五百四十度【角之极大者合之以比三半周必不能及】
平三角之边小仅咫尺大则千百万里弧三角边必在半周以下【不得满一百八十度】合三边不得满三百六十度【如满全周即成全员而不得成三角】
平三角有两角即知余角弧三角非算不知
平三角有一正角余二角必锐弧三角则否【有三正角两正角者其余角有钝有鋭或两鋭两钝或一鋭一钝不等】
平三角有一钝角余二角必锐弧三角则否【其余角或鋭或正或钝甚有三钝角者】
平三角以不同边而同角为相似形同边又同角为相等形弧三角则但有相等之形而无相似之形以同角者必同边也
平三角但可以三边求角不可以三角求边弧三角则可以三角求边【弧三角之边皆员度也初无丈尺可言故三角可以求边若干三角边各有丈尺则必有先得之边以为之例所以不同 前条言有相等之形无相似之形亦谓其所得之度相等非谓其丈尺等也】
弧三角用八线之理
平三角用八线惟用于角弧三角用八线并用于边平三角以角之八线与边相比弧三角是以角之八线与边之八线相比平三角有正角即为句股若正弧三角形实非句股而以其八线辏成句股
平三角以角求边是用弧线求直线也【有角即有弧】以边求角是用直线求弧线也然角以八线为用仍是以直线求直线也句股法也弧三角以边求角以角求边并是以弧线求弧线也而角与边并用八线仍是以直线求直线也亦句股法也【盖惟直线可成句股】所不同者平三角所成句股形即在平靣而弧三角所成句股不在弧靣而在其内外
弧三角之防线面体
测量家有防线面体弧三角备有之其所测之角即防也但其防俱在弧靣【如于浑球任指一星为所测之防即角度从兹起如太阳太阴角度并从其中心一防论之】
弧三角之边即线也但其线皆弧线【如浑球上任指两星即有距线或于一星出两弧线与他星相距即成角而角旁两线皆弧线也】
弧三角之形即靣也但其靣皆浑球上面幂之分形弧三角之所丽即浑体也剖浑员至心即成锥体而并以弧三角之形为底【详堑堵测量】
浑员内防线面体与弧三角相应
前条防线面体俱在球面可以目视器测但皆弧线难相比例【比例必用句股句股必直线故也】赖有相应之防线面惟在浑体内厯员可指虽不可以目视而可以算得弧三角之法所以的确不易也 如浑球中剖则成平员即靣也于是以球面之各防【即弧三角之各角】依视法移于平员面即浑员内相应之防也又以弧与角之八线移至平面成句股以相比例是浑员内相应之线也 又如弧三角之三边各引长之成大圏各依大圏以剖浑员即各成平员面是亦浑员内相应之面也二平员面相割成瓣之体三平员面相割成三楞锥体若又依八线横割之即成堑堵诸体是浑员体内相应之分体也此皆与弧面相离在浑员之内非剖浑员即不可见而可以算得即不啻目视而器测矣
大圏与浑员同心
球上大圏之心即浑员之心【若依各大圏剖浑员成平员面其平员心即浑员之心】若距等小圏则但以浑员之轴为心而不能以浑员心为心同心者亦同径【大圏以浑贠径为径若距等圏则但以通为径】浑体内诸线能与弧三角相应者以此【浑员体内诸线皆宗其径弧三角既以大圏相割而成必宗大圏之径径同故内外相应】弧三角之边不用小圏亦以此也【距等圏既与大圏异径则其度不齐不能成边而所作之角必非真角无从考其度分也】
弧三角视法
弧三角非图不明然图弧线于平面必用视法变浑为平
平置浑仪从北极下视则惟赤道为外周不变而黄道斜立即成撱形 其分至各经圏本穹然半员今以正视皆成员径是变弧线为直线也
立置浑仪使北极居上而从二分平视之则惟极至交圏为外周不变其赤道黄道俱变直线为员径而成辏心之角【即大距度平面角】是变弧线角为直线角也【又距等圏亦变横线而成各度正与员径平行】其赤道上逐度经圏之过黄赤道者虽变撱形而其正不变且厯算可见如在平面而与平面上之大距度正同角成大小句股比例是弧面各线皆可移于平面也故视法不但作图之用即步算之法已在其中
以上谓之正视【以黄赤道为式若于六合仪取天顶地平诸线亦同他可类推】
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷七>
以上谓之旁视【浑员上有垜叠诸线从旁侧视之庶几可见虽不能按度肖形而大意不失以显弧三角之理为用亦多】
角之矢
如图甲丙乙丁半浑员以甲戊乙弧界之则其弧面分两角为一鋭一钝以视法移此弧度于相应之平面亦一鋭一钝即分员径为大小二矢而戊丙正矢为戊甲丙鋭角之度【戊乙丙亦同】戊丁大矢为戊甲丁钝角之度【戊乙丁亦同】故得矢即得角
角之八线
如前图丙戊弧为甲锐角之度与丙庚等则丙戊之在平面者变为直线即爲甲鋭角之矢而戊巳为角之余戊庚为角之正丙辛爲角之切线己辛为角之割线皆与平面丙庚弧之八线等
丁巳戊过弧为甲钝角之度与丁乙庚过弧等则丁戊在平面者变为钝角之大矢而戊巳余戊庚正丙辛切线己辛割线并与鋭角同【平面钝角之八线与外角同用弧三角亦然】正弧斜弧之角与边分为各类
凡三角内有一正角谓之正弧三角形三角内并无正角谓之斜弧三角形
正弧三角形之角有三正角者有二正角一鋭角者有二正角一钝角者【以上种种不须用算】又有一正角两鋭角者【内分二种一种两锐角同度一种两锐角不同度】有一正角两钝角者【内分二种一种两钝角同度一种两钝角不同度】有一正角一锐角一钝角者【内分二种一种锐钝角角合之成半周一种合锐钝两角不能成半周】计正弧之角九种而用算者六也
正弧三角形之边有三边并足者【足谓足九十度】有二边足一边小者【在象限以下为小】有二边足一边大者【过象限以上为大○以上三种可不用算】有三边并小者【内分二种一种二边等一种二边不等】有二边大而一小者【内分三种一种二大边等一种二大边不等一种小边为一大边减半周之余】计正弧之边八种而用算者五也
二边俱小则余边必不能大故无二小一大之形二边俱大则余边亦不能大故无三边并大之形一边若足则余边亦有一足故无一边足之形
正弧三角形图一【计三种】
正弧三角形图二【讣三种】
以上正弧形三种有同度之边与角谓之二等边形内有己形虽无同等之邉角而有共为半周之邉角度虽不同而所用之正则同即同度也
凡邉等者角亦等后仿此
正弧三角形图三【计三种】
以上正弧形三种边角与丁戊巳三种无异但无同度之边凡正弧三角形共九种
斜弧三角形之角有三角并鋭者【内分三种一种有二角相等一种三角不相等一种三角俱等】有二角锐而一钝者【内分四种一种二锐角相等一种二锐角不相等一种钝角为一锐角减半周之余一种二锐角相等而又并为钝角减半周之余】有二角钝而一锐者【内分四种一种二钝角相等一种二钝角不相等一种锐角为一钝角减半周之余一种二钝角相等而又并为锐角减半周之余】有三角并钝者【内分三种一种有二角相等一种三角不相等一种三角相等】计斜弧之角十有四种
斜弧三角形之边有一边足二边小者【内分二种一种二小边相等一种二小边不等】有一边足二边大者【内分二种一种二大边等一种二大边不等】有一边足一边小一边大者【内分二种一种大小二边合之成半周一种合二边不能成半周】有三边并小者【内分三种一种三边不等一种二边等一种三边俱等】有二边大而一小者【内分四种一种二大边等一种二大边不等一种小边为一大边减半周之余一种二大边等而又并爲小边减半周之余】有二边小而一大者【内分四种一种二小边等一种二小边不等一种大边为一小边减半周之余一种二小边等而又并为大边减半周之余】有三边并大者【内分三种一种三边不等一种二边等一种三边俱等】计斜弧之边二十种
斜弧三角形图一【计四种】
以上斜弧形四种并三角三边同度谓之三等边形内有二等边者其一边为等边减半周之余与三等边同法【以同用正故】
斜弧三角形图二【计十二种】
以上斜弧三角形十二种并二等边形内有四种以大小二边度成半周与二等边同法【小边为大边减半周之余则同用一正】
斜弧三角形图三【计十种 厯书只九种遗一鋭二钝形】
以上斜弧三角形十种并三边不等【用算只四种】
凡斜弧三角形共二十六种
通共弧三角形三十五种【内除正弧三种不须用算实三十二种】
乙丁寅为赤道乙丙癸为黄道乙与寅为春秋分癸为夏至午癸丁辰为极至交圏午与辰为南北极午丙甲为过极经圈
丙乙为黄道距二分之度甲乙为赤道距二分之度【卯同升度】丙甲为黄赤距纬成丙乙甲三角弧形甲为正角乙春秋分角与浑员心卯角相应
癸丁弧为黄赤大距【即乙角之弧亦为夘角之弧】癸巳为乙角正卯巳其余戊丁为乙角切线戊卯其割线卯癸及夘丁皆半径成癸巳夘及戊丁夘两句股形
又午夘半径庚午为乙角余切庚夘为乙角余割成午夘庚倒句股形
丙辛为丙甲距度正丙壬为丙乙黄道正作辛壬线与丁卯平行成丙辛壬句股形
子甲为丙甲距度切线甲丑为甲乙赤道正作子丑线与丙壬平行成子甲丑句股形
酉乙为丙乙黄道切线未乙为甲乙赤道切线作酉未线与子甲平行成酉未乙句股形
前二句股形在癸丁大距弧内外【癸巳邜用正余在弧内戊丁夘用割切线出弧外】后三句股形在丙乙甲三角内外【丙辛壬在丙角用两正在浑员内子甲丑在甲角兼用正切线半在内半在外酉未乙用两切线在浑员外】
论曰此五句股形皆相似故其比例等何也赤道平安从乙视之则丁乙象限与丁夘半径视之成一线而辛壬聨线甲丑正未乙切线皆在此线之上矣以其线皆平安皆在赤道平面与赤道半径平行故也【是为句线】赤道平安则黄道之斜倚亦平其癸乙象限与癸夘半径从乙视之亦成一线而丙壬正子丑聨线酉乙切线皆在此线之上矣以其线皆斜倚皆在黄道平面与黄道半径平行故也【是为线】
黄赤道相交成乙角而赤道既平安则从乙窥夘卯乙半径竟成一防而乙丑壬夘角合成一角矣
诸句股形既同角而其句线皆同赤道之平安其线皆同黄道之斜倚则其股线皆与赤道半径为十字正角而平行矣是故形相似而比例皆等也【其夘午庚倒句股形为相当之用与诸句股形亦相似而比例等】
又论曰丙辛壬形两正【丙辛丙壬】俱在浑体之内其理易明子甲丑形甲丑正在浑体内子甲切线在浑体之外已足诧矣酉未乙形两切线【酉乙未乙】俱在浑体之外虽习其术者未免自疑厯书置而不言盖以此耶今为补説详明欲令学者了然心目庶以用之不疑
用法
假如有丙乙黄道距春分之度求其距纬丙甲法为半径癸夘与乙角之正癸巳若丙乙黄道之正丙壬与丙甲距纬之正丙辛也
一 半径全数 癸夘
二 乙角正 癸巳 股
三 黄道正 丙壬
四 距纬正 丙辛 股
若先有丙甲距度而求丙乙黄道距二分之度则反用之为乙角之正癸巳与半径癸夘【若欲用半径为一率以省除则为半径午夘与乙角之余割庚夘其比例亦同】若丙甲距纬之正丙辛与丙乙黄道之正丙壬也
一 乙角正 癸巳 半径全数 午夘 股二 半径全数 癸夘 乙角余割 庚夘
三 距纬正 丙辛 股
四 黄道正 丙壬
右丙辛壬形用法
假如有甲乙赤道同升度求距纬丙甲法为半径夘丁与乙角之切线丁戊若甲乙赤道之正甲丑与丙甲距纬之切线子甲也
一 半径全数 卯丁 句
二 乙角正切 丁戊 股
三 赤道正 甲丑 句
四 距纬正切 子甲 股
若先有丙甲距纬而求甲乙赤道则反用之为乙角之切线戊丁与半径丁夘【或用半径为一率则为半径夘午与乙角之余切午庚】若丙甲距纬之切线子甲与甲乙赤道之正甲丑也一 乙角正切 戊丁 半径全数 卯午 股二 半径全数 丁夘 乙角余切 午庚 句
三 距纬正切 子甲 股
四 赤道正 甲丑 句
右子甲丑形用法
论曰以上四法厯书所有但于图増一夘午庚句股形则互视之理更明
假如有丙乙黄道距二分之度径求甲乙赤道同升度法为半径夘癸与乙角之余夘巳若丙乙黄道之切线酉乙与甲乙赤道之切线未乙也
一 半径全数 夘癸
二 乙角余 卯巳 句
三 黄道正切 酉乙
四 赤道正切 未乙 句
若先有甲乙赤道而求其所当黄道丙乙法为半径丁夘与乙角之割线戊夘若甲乙赤道之切线未乙与丙乙黄道之切线酉乙也
一 半径全数 丁夘 句
二 乙角正割 戊夘
三 赤道正切 未乙 句
四 黄道正切 酉乙
论曰以上两条酉未乙形用法予所补也有此二法黄赤道可以自相求而正角弧形之用始备矣外此仍有三弧割线余之用具如别纸
十余年前曽作弧三角所成句股书一册稿存儿辈行笈中觅之不可得也庚辰年乃复作此至辛己夏复得旧稿为之惘然然其理固先后一揆而説有详略可以互明不妨并存以征予学之进退因思古人毕生平之力而成一事良自不易世有子云或不以覆瓿置之乎康熙辛己七夕前两日勿庵梅文鼎识是日也爲立秋之辰好雨生凉炎歊顿失稍简残帙殊散人懐
甲乙丙正弧三角形即测量全义第七卷原图稍为酌定又増一酉未乙形
测员之用甚博非止黄赤也然黄道赤道南北极二分二至诸名皆人所习闻故仍借用其号以便识别案图中句股形凡五皆形相似
其一癸巳夘形
以癸卯半径为【即黄道半径】癸巳正为股【即黄赤大距弧之正】巳夘余为句【即黄赤大距弧之余】
其二戊丁夘形
以戊夘割线为【即黄赤大距弧之正割线】戊丁切线为股【即黄赤大距弧之正切线】丁夘半径为句【即赤道半径】
以上二句股形生于黄赤道之大距度乃总法也两句股形一在浑体之内一出其外同用夘角【即黄道心亦即春分角】
其三丙辛壬形
以丙壬正为【即黄经乙丙弧之正以丙夘黄道半径为其全数而夘壬其余】丙辛正为股【即黄赤距纬丙甲弧之正亦以丙夘黄道半径为其全数而辛夘其余】辛壬横线为句
法于赤道平面上作横线聨两余成夘壬辛平句股形此形以距纬余【夘辛】为黄经余【夘壬】为股而辛壬其句也此辛壬线既为两余平句股形之句亦即能为两正立句股形之句矣厯书以辛壬为丙辛之余误也然则当命为何线曰此非八线中所有乃立三角体之楞线也
其四子甲丑形
以子丑斜线为【此亦立三角体之楞线也非八线中之线】子甲切线为股【即黄赤距纬弧之正切线以赤道半径甲夘为其全数而子夘其割线也】甲丑正为句【即赤经乙甲弧之正亦以赤道半径甲夘为其全数而丑夘其余也】
其五酉未乙形
以酉乙切线为【即黄经丙乙弧之正切线以黄赤半径夘乙为其全数而酉夘其割线也】酉未立线为股【此亦立三角之楞线非八线中之线】未乙切线为句【即赤经乙甲弧之正切线亦以黄赤半径夘乙为其全数而未夘其割线也】
以上三句股形生于设弧之度第三形在浑体之内第四形半在浑体之内而出其外第五形全在浑体之外
问既在体外其状何如曰设浑圆在立方之内而以两极居立方底葢之心以乙春分居立方立面之心则黄赤两经之切线酉乙未乙皆在方体之立面而未乙必为句酉乙必为于是作立线聨之即成酉未乙句股形矣此一形厯书遗之予所补也【详堑堵测量】
论曰此五句股形皆同角故其比例等然与弧三角真同者乙角也
第一【癸巳夘形】第二【戊丁夘形】两形皆乙角原有之八线即春秋分角也其度则两至之大距也
或先有角以求边则以此两形中线例他形中线得线则得边矣
或先有边以求角则以他形中线例此两形中线得线则亦得角矣【盖夘角即乙角也○若欲求丙角则以丙角当乙角如法求之】
第三形【丙辛壬形】以黄经之正【丙壬】黄赤距度之正【丙辛】为与股是以黄经与距纬相求
或先有乙角有黄经以求距纬【用乙角实用壬角下同】
或先有乙角有距纬以求黄经
或先有黄经距纬可求乙角亦可求丙角
第四形【子甲丑形】以黄赤距纬之切线【子甲】赤经之正【甲丑】为股与句是以距纬与赤经相求
或先有乙角有赤经以求距纬【用乙角实用丑角下同】
或先有乙角有距纬以求赤经
或先有赤经距纬可求乙角亦可丙角
第五形【酉未乙形】以赤经之正切【未乙】黄经之正切【酉乙】为句与是黄赤经度相求
或先有乙角有黄经以求赤道同升度
或先有乙角有赤道同升以求黄经
或先有黄赤二经度可求乙角亦可求丙角
又论曰诸句股形所用之夘壬丑乙四角实皆乙角何也侧望则弧度皆变正而体心夘作直线至乙为夘壬丑乙线即半径也今以侧望之故此半径直线化为一防则乙角即夘角亦即壬角亦即丑角矣
癸丁为乙角之度【即黄赤大距二至纬度】癸乙为黄道半径丁乙为赤道半径戊丁为乙角切线癸巳为乙角正戊乙爲乙角割线已乙为乙角余癸巳乙戊丁乙皆句股形其乙角即夘角
丙甲为设弧距度其正丙辛其切线子甲
丙乙为所设黄道度其正丙壬【因侧望弧度正成一线】偕距度正丙辛成句股形其乙角即壬角
甲乙爲所设赤道同升度其正甲丑【因侧望弧度正成一线】偕距度切线子甲成句股形其乙角即丑角
酉乙为所设黄经切线未乙为赤道同升度切线此两线成一酉未乙句股形在体外真用乙角
正弧三角形求余角法
凡弧三角有三边三角先得三件可知余件与平三角同理前论正弧形以黄赤道为例而但详乙角者因春分角有一定之度人所易知故先详之或疑求乙角之法不可施于丙角兹复为之条析如左【仍以黄道上过极经圏之交角为例】
假如有乙丙黄道度有乙甲赤道同升度而求丙交角则爲乙丙之正与乙甲之正若半径与丙角之正也
假如有丙甲距度及乙甲同升度而求丙交角则为丙甲之正与乙甲之切线若半径与丙角之切线
假如有丙甲距度及乙丙黄道度而求丙交角则为乙丙之切线与丙甲之切线若半径与丙角之余
又如有丙交角有乙丙交道度而求乙甲同升度则为半径与丙角之正若乙丙之正与乙甲之正
或先有乙甲同升度而求乙丙黄道度则以前率更之为丙角之正与半径若乙甲之正与乙丙之正
又如有丙交角有乙甲同升度而求丙甲距度则为丙角之切线与半径若乙甲之切线与丙甲之正
或先有丙甲距度而求乙甲同升度则以前率更之为半径与丙角切线若丙甲正与乙甲切线
又如有丙交角有乙丙黄道度求丙甲距度则为半径与丙角余若乙丙切线与丙甲切线
或先有丙甲距度而求乙丙黄道则以前率更之为丙角余与半径若丙甲切线与乙丙切线
论曰求丙角之法一一皆同乙角更之而用丙角求余边亦如其用乙角也所异者乙角定为春分角则其度不变丙角为过极经圏交黄道之角随度而移【交角近大距则甚大类十字角近春分只六十六度半弱中间交角度度不同他亦然皆逐度变丙角】有时大于乙角有时小于乙角【乙角不及半象限则丙角大乙角过半象限则丙角有时小】故必求而得之又论曰丙交角既随度移而甲角常为正角何也凡球上大圏相交成十字者必过其极今过极经圏乃赤道之经线惟二至时则此圏能过黄赤两极其余则但过赤道极而不能过黄道极故其交黄道也常为斜角【即丙角】交赤道则常为正角【即甲角】
又论曰丙角与乙角共此三边【一乙丙黄道一乙甲赤道一丙甲距度】其所用比例者亦共此三边之八线【三边各有正亦各有切线】而所成句股形遂分两种可互观也
乙角所成诸句股皆以戊丁夘为例
内角所成诸句股皆以亥辰夘为例
并如后图
如图丙角第一层句股兊乙心形即乙角之壬丙辛也在乙角两正交于丙在丙角两正交于乙皆与股之比例而同不同股【乙角丙角并以乙丙黄道正为而乙角所用之股为丙甲正丙角所用则乙甲正皆正也而同股别】
丙角第二层句股女甲亢形即乙角之子甲丑也乙角丙角并以一正一切线交于甲为句与股之比例而所用相反【乙角于乙甲用正于丙甲用切线丙角则于乙甲用切线于丙甲用正皆乙甲丙甲两弧之正切线而所用逈别】
丙角第三层句股艮丙氐形即乙角之酉乙未也在乙角以两切线聨于乙在丙角以两切线交于丙皆与句之比例而同不同句【乙丙两角并以乙丙切线为而乙角以乙甲切线为句丙角以丙甲切线为句皆切线也而同句别】
球面弧三角形弧角同比例解
第一题
正弧三角形以一角对一边则各角正与对边之正皆为同理之比例
如图乙甲丙弧三角形【甲为正角】 法为半径与乙角之正若乙丙之正与丙甲之正更之则乙角之正角与对边丙甲之正若半径与乙丙之正也又丙角之正与其对边乙甲之正亦若半径与乙丙之正也合之则乙角之正与其对边丙甲之正亦若丙角之正与其对边乙甲之正
论曰乙丙两角与其对边之正既并以半径与乙丙为比例则其比例亦自相等而两角与两对边其正皆为同比例
又论曰甲为正角其度九十而乙丙者甲正角所对之边也半径者即九十度之正也以半径比乙丙之正即是以甲角之正比对边之正故以三角对三边皆为同比例
第二题
凡四率比例二宗内有二率三率之数相同则两理之首末二率为互视之同比例【即斜弧比例之所以然故先论之】
假如有甲乙丙丁四率甲【四】与乙【八】若丙【六】与丁【十二】皆加倍之比例也
又有戊乙丙辛四率戊【二】与乙【八】若丙【六】与辛【二十四】皆四倍之比例也
此两比例原不同理特以两理之第二第三同为乙【八】丙【六】故两理之第一第四能互用为同理之比例【先理之第一甲四与次理之第四辛二十四若次理之第一戊二与先理之四丁十二皆六倍之比例也】
论曰凡二率三率相乘为实首率为法得四率今两理所用之实皆乙【八】丙【六】相乘【四十八】之实惟甲【四】为法则得十二若戊【二】为法则得二十四矣法大者得数小法小者得数大而所用之实本同故互用之即为同理之比例也
试以先理之四率更为首率其理亦同【丁与辛若戊与甲皆加倍比例】若反之令两四率并为首率亦同【甲与戊若辛与丁皆折半比例】并如后图
第三题
斜弧三角形以各角对各边其正皆为同比例
乙丙丁斜弧三角形任从乙角作乙甲垂弧至对边分元形为两正角形甲为正角
依前正角形论各对边之正与所对角之正比例皆等
乙甲丁形丁角正与乙角正若半径【即甲角正】与丁乙正是一理也
乙甲丙形丙角正与乙甲正若半径与乙丙正是又一理也
两理之第二同为乙甲第三同为半径则两理之首末二率为互视之同比例故丁角之正与乙丙之正若丙角之正与丁乙之正也
又如法从丁角作丁戊垂弧至对边分两形而戊为正角则乙角正与丁丙正亦若丙角正与乙丁正 又从丙作垂弧分两形而壬为正角则乙角与丁丙亦若丁角与乙丙
一 丁角正 丙角正
乙丙丁斜弧三角形丁为钝角 法从乙角作乙甲垂弧于形外亦引丙丁弧防于甲成乙甲丁虚形亦凑成乙甲丙虚实合形甲为正角
乙甲丁形丁角之正与乙甲边若半径与乙丁边正一理也 乙甲丙形丙角之正与乙甲边若半径与乙丙正又一理也 准前论两理之第二第三既同则丁角正与乙丙正若丙角正与乙丁正也
论曰丁角在虚形是本形之外角也何以用为内角曰凡钝角之正与外角之正同数故用外角如本形角也
若用乙角与丁丙边则作丙庚弧于形外取庚正角其理同上或作丁戊垂弧于形内取戊正角分两形则如前法并同
用法
凡弧三角形【不论正角斜角】但有一角及其对角之一弧则其余有一角者可以知对角之弧而有一弧者亦可以知对弧之角皆以其正用三率比例求之
假如乙丁丙三角形先有丁角及相对之乙丙弧则其余但有丙角可以知乙丁弧有乙角可以知丁丙弧此为角求弧也若有乙丁弧亦可求丙角有丁丙弧亦可求乙角此为弧求角也
一 丁角正 一 乙丙正
二 乙丙正 二 丁角正
三 丙角正 乙角正 三 乙丁正 丁丙正四 乙丁正 丁丙正 四 丙角正 乙角正
厯算全书巻七
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
钦定四库全书
厯算全书巻八
宣城梅文鼎撰
弧三角举要巻三
斜弧三角形作垂弧説
正弧形有正角如平三角之有句股形也斜弧形无正角如平三角之有锐钝形也平三角锐钝二形并以虚线成句股故斜弧形亦以垂弧成正角也正弧形以正等线立算句股法也斜弧形仍以正角立算亦句股法也
斜弧三角用垂弧法
垂弧之法有三其一作垂弧于形内则分本形为两正角形其二作垂弧于形外则补成正角形其三作垂弧于次形
总法曰三角俱锐垂弧在形内一钝二鋭或在形内或在形外【自钝角作垂弧则在形内自锐角作垂弧则在形外】两钝一锐或三角俱钝则用次形其所作垂弧在次形之内之外【次形无钝角垂弧在其内有钝角垂弧在其外若破钝角亦可在内】
第一法垂弧在形内成两正角【内分五支】
设甲乙丙形有丙鋭角有角旁相连之乙丙甲丙二边求对边及余两角
法于乙角【在先有乙丙边之端乃不知之角】作垂弧【如乙丁】至甲丙边分甲丙边为两即分本形为两而皆正角【凡垂弧之所到必正角也角不正即非垂弧故所分两角皆正后仿此】 一乙丁丙形此形有丁正角丙角乙丙边为两角一边可求丁丙边【乃丙甲之分】乙丁边【即垂弧】及丁乙丙角【即乙分角】 次乙丁甲形有丁正角甲丁边【甲丙内减丁丙其余丁甲】乙丁边为一角两边可求乙甲边甲角及丁乙甲分角 末以两乙角并之成乙角
或如上图丁甲角端作垂弧至乙丙边分乙丙为两亦同
右一角二边而先有者皆角旁之边为形内垂弧之第一支【此所得分形丁丙边必小于元设边即垂弧在形内而甲为鋭角】
设甲乙丙形有丙锐角有角旁相连之丙乙边及与角相对之乙甲边求余两角一边
法于不知之乙角【在先有二边之中】作乙丁垂弧分两正角形一乙丙丁形此形有丁正角有丙角有乙边边可求乙丁分线及所分丁丙边及丁乙丙分角 次乙甲丁形此形有丁正角有乙丁边有乙甲边可求甲角及丁乙甲分角丁甲边 末以两分角【丁乙丙及丁乙甲】并之成乙角以两分边【丁丙及丁甲】并之成甲丙边
右一角二边而先有对角之边为形内垂弧之第二支
设甲乙丙形有乙丙二角有乙丙边【在两角之间】求甲角及余边
法于乙角作垂弧分两形并如前【但欲用乙丙边故破乙角存丙角】一乙丙丁形有丁正角丙角乙丙边可求乙丁边丁丙边丁乙丙分角 次乙丁甲形有乙丁边丁正角丁乙甲分角【原设乙角内减丁乙丙得丁乙甲】可求乙甲边甲角及甲丁边末以甲丁并丁丙得甲丙边
或于丙角作垂弧亦同
若角一钝一鋭即破钝角作垂线其法并同
右二角一边而边在两角之间不与角对为形内垂弧之第三支【此必未知之角为锐角则垂弧在形内】
设甲乙丙形有丙甲二角有乙甲边【与丙角相对与甲角相连】求乙角及余二边
法于乙角【为未知之角】作垂弧分为两形而皆正角 一乙丁甲形有丁正角甲角乙甲边可求甲丁边乙丁边丁乙甲分角 次丁乙丙形有丁正角乙丁边丙角可求乙丙边丁丙边丁乙丙分角 末以甲丁丁丙并之成甲丙边 以两分角【丁乙甲丁乙丙】并之成乙角
右二角一边而先有对角之边为形内垂弧之第四支【此先有二角必俱锐则垂弧在内】
设乙甲丙形有三边而内有【乙甲乙丙】二边相同求三角
法从乙角【在相同二边之间】作垂弧至丙甲边【乃不同之一边】分两正角形【其形必相等而甲丙线必两平分】 乙丙丁形有丁正角乙丙边丁丙边【即甲丙之半】可求丙角乙分角【乃乙角之半】倍之成乙角而甲角即同丙角【不须再求】
右三边求角而内有相同之边故可平分是为形内垂弧之第五支【此必乙丙乙甲二边并小在九十度内若九十度外甲丙二角必俱钝当用次形详第三又法】
第二法垂弧在形外补成正角【内分七支】
设甲乙丙形有丙锐角有夹角之两边【乙丙甲丙】求乙甲边及余两角
法自乙角【在先有边之一端】作垂弧【乙丁】于形外引丙甲边至丁补成正角形二【一丙乙丁半虚半实形二甲乙丁虚形】 先算丙乙丁形此形有乙丙边丙角有丁正角可求丙乙丁角【半虚半实】乙丁边【形外垂弧】丁丙边【丙甲引长边】 次甲乙丁虚形有丁正角有乙丁边甲丁边【丁丙内减内甲得甲丁】可求乙甲边甲角及甲乙丁虚角末以甲角减半周得原设甲角以甲乙丁虚角减丙乙丁角得原设丙乙甲角右一角二边角在二边之中而为锐角是为形外垂弧之第一支【此所得丁丙必大于原设边即垂弧在形外而甲为钝角】
设乙甲丙形有甲钝角有角旁之【丙甲乙甲】二边求乙丙边及余二角
法于乙角作垂弧【乙丁】引丙甲至丁补成正角 先算乙丁甲虚形此形有丁正角甲角【即原设甲角减半周之余亦曰外角】有乙甲边可求甲丁边乙丁边丁乙甲虚角 次丁乙丙形有乙丁边丁丙边【甲丙加丁甲得之】丁正角可求乙丙边丙角丙乙丁角 末于丙乙丁内减丁乙甲虚角得原设乙角
或从丙作垂弧至戊引乙甲边至戊补成正角亦同
右一角二边角在二边之中而为钝角乃形外垂弧之第二支
设乙甲丙形有丙锐角有角旁之乙丙边有对角之乙甲边求丙甲边及余二角
法从乙角作垂弧至丁成正角【亦引丙甲至丁】 先算丙乙丁形有丁正角丙角乙丙边可求诸数【乙丁边丁丙边丙乙丁角】 次丁乙甲虚形有丁正角乙丁乙甲二边可求诸数【乙甲丁角甲乙丁角甲丁边】 末以所得虚形甲角减半周得原设甲钝角于丙乙丁内减虚乙角得原设乙角于丁丙内减甲丁得原设丙甲
右一角二边角有所对之边而为锐角乃形外垂弧之第三支【此必甲为钝角故垂弧在外】
设乙甲丙形有甲钝角有角旁之甲丙边及对角之乙丙边求乙甲边及余二角
法于丙角作垂弧至戊补成正角 先算虚形【甲丙戊】有戊正角甲角【甲钝角减半周之余】甲丙边可求诸数【丙戊边甲戊边丙虚角】次虚实合形【乙丙戊】有戊正角丙戊边乙丙边可求原
设乙角及诸数【乙丙戊角乙戊边】 末以先得虚形数减之得原设数【丙角内减丙虚角得原设丙角乙戊内减甲戊虚引边得原设乙甲边】
右一角二边角有所对之边而为钝角乃形外垂弧之第四支【此先得钝角垂线必在外】
设乙甲丙形有丙甲二角【一锐一钝】有丙甲边在两角之中
法于丙锐角作垂弧至丁【在甲钝角外】补成正角 丁丙甲虚形有丁正角甲外角丙甲边可求诸数【丙丁边甲丁边丙虚角】次乙丙丁形【半虚实】有丁正角丙丁边丙角【以丙虚角补原设丙】
【角得丁丙乙角】可求原设乙丙边乙角及乙甲边【求得乙丁边内减虚形之甲丁边得原设甲乙边】
右二角一边边在两角间为形外垂弧之第五支【此亦可于甲钝角作垂弧则在形内法在第一法之第三支】
设乙甲丙形有乙甲二角【乙锐甲钝】有丙甲边与乙锐角相对【钝角相连】
法于丙锐角作垂弧至戊【在丙甲边外】补成正角 甲戊丙虚形有戊正角有丙甲边甲角【原设形之外角】可求诸数【丙戊甲戊二边丙虚角】 次乙丙戊形有戊正角乙角丙戊边可求丙角【求得乙丙戊角内减丙虚角得元设丙角】乙丙边乙甲边【求到乙戊边内减甲戊得乙甲】右二角一边而边对鋭角为形外垂弧之第六支
设乙甲丙形有乙锐角甲钝角有丙乙边与甲钝角相对【锐角相连】
法于丙锐角作垂弧至戊【在甲钝角外】补成正角 乙丙戊形有戊正角乙角乙丙边可求诸数【丙戊乙戊二边乙丙戊角】 次甲丙戊虚形有戊正角甲外角丙戊边可求原设丙甲边甲乙边【求到戊甲虚边以减乙戊得原设乙甲】丙角【求到丙虚角以减乙丙戊角得原设丙角】
右两角一边而边对钝角为形外垂弧之第七支
第三垂弧又法 用次形【内分九支】
设乙甲丙形有乙丙二角有乙丙边在两角间而两角并钝求余二边及甲角
法引丙甲至己引乙甲至戊各满半周作戊己边与乙丙等而己与戊并乙丙之外角成甲戊己次形依法作垂弧于次形之内【如己丁】分为两形【一己丁戊一己丁甲】可求乙甲边【以己丁戊分形求到丁戊以己丁甲形求到甲丁合之成甲戊以减半周即得乙甲】丙甲边【以己丁甲分形求到己甲以减半周即得丙甲】甲角【以己丁甲分形求到甲交角】
右二角一边边在角间而用次形为垂弧又法之第一支
论曰旧説弧三角形以大边为底底旁两角同类垂弧在形内异类垂弧在形外由今考之殆不尽然盖形内垂弧分底弧为两成两正角形所用者锐角也【底旁原有两锐角分两正角形则各有两锐角】形外垂弧补成正角形所用者亦锐角也【底旁原有一锐角补成正角形则虚实两形各有两锐角】故惟三锐角形作垂弧于形内一钝两锐则垂弧或在形内或在形外若两钝一鋭则形内形外俱不可以作垂弧【垂弧虽有内外而其用算时并为一正角两锐角之比例若形有两钝角则虽作垂弧只能成一正一钝一锐之形无比例可求则垂弧为徒设矣】故必以次形通之而所作垂弧即在次形不得谓之形内然则同类之説止可施于两锐【若两钝虽亦同类而不可于形内作垂弧】异类之説止可施于一钝两锐【若两钝一锐而底弧之旁一钝一锐虽亦异类然不可于形外作垂弧】非通法矣【两钝角不用次形垂弧之法己穷况三钝角乎】
又论曰以垂弧之法征之则大边为底之说理亦未尽盖钝角所对边必大既有形外立垂线垂弧之法则钝角有时在下而所对之边在上矣不知何术能常令大边为防乎此尤易见
设乙甲丙形有丙甲二角有乙甲边与丙角相对而两角俱钝求乙角及余边
如法引甲乙丙乙俱满半周防于己成丙甲己次形作己丁垂弧于次形内分次形为两可求乙角【依法求到分形两己角合之为次形己角与乙对角等】甲丙边【求到分形甲丁及丁丙并之即甲丙】乙丙边【求到次形己丙以减半周得之】
右二角一边边与角对而用次形为垂弧又法之第二支此三角俱钝也或乙为鋭角亦同
设乙甲丙形有乙丙乙甲两边有乙角在两边之中
法用甲乙戊次形【有乙甲边有乙戊边为乙丙减半周之余有乙外角】作甲丁垂弧分为两形可求丙甲边及余两角【以乙甲丁分形求到丁乙及甲分角人以甲戊丁形求到甲戊以减半周为丙甲又得甲分角并先所得成甲角即甲外角又得戊角即丙对角】右二边一角角在二边之中而用次形为垂弧又法之第三支
或丙为钝角则于次形戊角作垂弧法同上条
设乙甲丙形有丙角有甲丙边与角连有乙甲边与角对
法用甲己戊次形【甲己为甲乙减半周之余甲戊为甲丙减半周之余戊角为丙之外角】作垂弧【甲丁】于内分为两形可求丙乙边及余两角【以甲丁戊分形求丁戊及甲分角又以甲丁己形求得丁己以并丁戊成己戊即丙乙也又得分角以并先得分角即甲交角也又得己角即乙外角也】
右二边一角角与边对而用次形为垂弧又法之第四支若甲为钝角亦同
论曰先得丙钝角宜作垂弧于外而乙亦钝角不可作垂弧故用次形
设乙甲丙形有三边内有【乙甲丙甲】二边相同而皆为过弧求三角
法引相同之二边各满半周作弧线聨之成戊甲己次形如法作甲丁垂弧分次形为两【其形相等】可求相同之二角【任以甲丁戊分形求到戊角以减半周得乙角亦即丙角】及甲角【求到甲半角倍之成甲角】右三边求角内有相同两大边为垂弧又法之第五支 若甲为鋭角亦同
以上垂弧并作于次形之内
设乙甲丙形有丙甲二钝角有甲丙边在两角间
法引乙丙乙甲满半周防于戊成甲戊丙次形自甲作垂弧与丙戊引长弧防于丁补成正角可求乙甲边乙丙边乙角【先求丙甲丁形诸数次求甲戊丁得甲戊以减半周为甲乙又以丁戊减先得丁丙得丙戊以减半周为乙丙又求得戊虚角减半周为戊角即乙对角】
右两钝角一边边在角间而于次形外作垂弧为又法之第六支
或自丙角作垂弧亦同
设乙甲丙形有乙甲二钝角有甲丙边与角对
法引设边成丙戊甲次形【有甲外角有戊钝角为乙对角有丙甲边】如上法作丙丁垂弧引次形边防于丁可求乙丙边【先求甲丁丙形诸数次丙丁戊虚形求到丙戊以减半周为乙丙】乙甲边【先求到丁甲以虚线丁戊减之得戊甲即得乙甲】丙角【先求到甲丙丁角内减丙虚角得丙外角即得元设丙角】
右二角一边边与角对垂弧在次形外为又法之第七支
设乙甲丙形有丙钝角有角旁之两边【丙乙丙甲】
法用甲戊丙次形作甲丁垂弧引丙戊防于丁可求乙甲边及甲乙二角【先以甲丁丙形求到诸数再以甲丁戊虚形求甲戊即得乙甲又甲虚角减先得甲角成甲外角又戊虚角即乙外角】
右二边一角角在二边之中垂弧在次形外为又法之第八支
设乙甲丙形有甲钝角有一边与角对【乙丙】一边与角连【丙甲】
法用丙戊甲次形自丙作垂弧与甲戊引长边防于丁可求乙甲边及余两角【依法求到甲戊即得乙甲求戊角即乙角以丙虚角减先得丙角即丙外角】
右二边一角角有对边垂弧在次形外为又法之第九支
以上垂弧并作于次形之外
论曰三角俱钝则任以一边为底其两端之角皆同类矣今以次形之法求之而垂弧尚有在次形之外者益可与前论相发也