历算全书厯算全书卷十一
厯算全书卷十一
钦定四库全书
厯算全书卷十二
宣城梅文鼎撰
歳周地度合攷
攷最髙行及歳余
古厯不知太阳有最髙之行郭太史时最髙卑正在二至难于窥测西厯自多禄某以来世有积测定最髙防每年东行四十五秒每太阳平行一度髙行七防半约八十年行天一度康熙庚申又改测每年行一分○一秒十防最髙防进移二十八分故辛酉天正冬至最髙在未宫七度○七分○七秒每太阳平行一度髙行十防一○四计五十八年十个月○六日竒行天一度此永年表之新率也但最髙之度既改而又自有行动则每年歳实小余之数必不均齐夫治厯首务太阳而太阳重在盈缩爰举歴年髙行及四正相距时日前后互核以騐歳实之消长髙行之迟速列为一卷亦可为后来攷测之资云
己未年
最髙过夏至六度三十九分
春分 甲戌日申正二刻六分
中距九十三日十二刻十二分
夏至 丁未日戌初三刻三分
中距九十三日六十一刻
秋分 辛巳日午初初刻三分 距本年【春分一百八十六日七十
三刻十二分】
中积八十九日四十五刻一分
冬至 庚戌日亥正一刻四分 距本年【夏至一百八十三日一十
刻一分】
中积八十九日○八分
按最髙行为盈缩立差之主其行有序今己未最髙在夏至后六度三十九分而次年庚申即行至七度七分一年之内骤行二十八分必另有新测矣
庚申年
最髙过夏至七度七分【按永年表所载者年前冬至之数七政厯所载本年夏至之数度分同】
春分 己卯日亥正一刻十二分 距【己未秋分百七十八日四十五刻】
中积九十三日十一刻 【九分己未春分三 百六十五日卄三刻六分】
夏至 癸丑日丑初初刻十二分 距【己未夏至三百六十五日卄一刻九分】
中积九十三日六十一刻七分
秋分 丙戌日申正三刻四分 距【本年春分百八十六日七十三刻七分】中积八十九日四十六刻【十三】分 【己未秋分三百六十五日二十三刻六分】
冬至 丙辰日寅正二刻二分 距【巳未冬至三百六十五日卄四刻十三分
本年夏至一百八十三日一十三刻六分】
按最髙进移则夏至差而早冬至差而迟意者新测之冬至迟于先测耶
又按歳余二十四刻十三分于授时法得二千五百九十分必无是理其为改测无疑
据向后数冬至距冬至春分距春分俱合得三百六十五日二十三刻四分【或五分三分】以较庚申歳实多一刻○九分必为改测矣
壬戌年
最髙过夏至七度九分
春分 庚寅日巳正初刻六分
中距九十三日十刻一十二分
夏至 癸亥日午正三刻三分 距【庚申夏至七百三十日四十六刻】
中距九十三日六十二刻九分
秋分 丁酉日寅正一刻【六分】分 距【十二本年春分一百八十六日七十】
中距八十九日四十七刻
冬至 丙寅日申正初刻【三刻】分 距【六分十二庚申冬至七百三十日】中距八十八日【四十六刻十分】分 【九十四刻十二本年夏至一百八】
癸亥年
最髙过夏至七度十分
春分 乙未日申初三刻九分 距【十三日十三刻九分壬戌春分三百】中距九十三日【六十五日】分 【二十三刻三分十刻十二壬戌秋分一】
夏至 戊辰日酉正二刻六分 距【壬戌夏至三百六十五日二十三刻】中距九十三日【三分六十】九分 【二刻壬戌冬至一百八十二日九】
秋分 壬寅日己正一刻 距【刻○九分本年春分一百八十六日】中距八十九日【七十三刻】一分 【六分四十七刻壬戌秋分三百六十】
冬至 辛未日亥正初刻一分 距【五日二十三刻三分壬戌冬至三百】中距八十八日【六十五日二十】分 【三刻四分九十四刻十二本年夏至】
甲子年
最髙过夏至七度十一分
春分 庚午日亥初二刻【一百】分 距【八十三日一十三刻十分十三癸亥秋】中距九十三日【分一】十一分 【百七十八日四十五刻十三分十刻】
夏至 甲戌日子正一刻九分 距【癸亥春分三百六十五日二十三刻四】中距九十三日【分癸亥夏】十分 【至三百六十五日二十三刻○三】
秋分 丁未日申正初刻四分 距【分六十二刻癸亥冬至一百八十二】中距八十九日【日九刻○】一分 【八分本年春分一百八十六日七十】
冬至 丁丑日寅初三刻五分 距【三刻六分四十七刻癸亥秋分三百】中距八十八日【六十五日二十】分 【三刻四分癸亥冬至三百六十五日】
乙丑年
最髙过夏至七度十二分
春分 丙午日寅初二刻二分 距【甲子秋分一百七十八日四十五刻十】中距九十三日十刻九分 【三分甲子春分三百六十五日二十】
夏至 己卯日卯正初刻【三刻】分 距【四分十一甲子夏至三百六十五日】中距九十三日【二十三刻二分】分 【六十二刻十二冬至一百】
秋分 壬子日亥初三刻八分 距【八十二日九刻六分本年春分一百】
中距八十九日【八十六日】二分
冬至 壬午日巳初二刻十分 距【七十三刻六分四十七刻甲子冬至】中距八十八日【三百六十五日】分 【二十三刻五分九十四刻十一本年】
丙寅年
最髙过夏至七度十三分
春分 辛亥日巳初一刻六分 距【夏至一百八十三日十三刻十四分乙】中距九十三日十刻八分 【丑秋分一百七十八日四十五】
夏至 甲申日午初三刻【刻十】分 距【三分春分三百六十五日二十三刻】中距九十三日【四分十四乙丑】分 【夏至三百六十五日二十】
秋分 戊午日寅初二刻【十一】分 距【本年春分一百八十六日七十三刻五分】
中距八十九日【四十七刻】四分
冬至 丁亥日申初二刻 距【乙丑冬至三百六十五日二十三刻六分】中积八十八日【九十四刻】十分 【本年夏至一百八十三日十四刻一分】
按日行盈缩细攷之则春分距夏至夏至距秋分虽皆缩厯而其缩亦不同秋分距冬至冬至距春分虽皆盈厯而其盈亦不同又且年年不同细求之则节节不同又细求之且日日不同矣其故何也葢最髙一防不在夏至而在其后数度又且年年移此太阳盈缩之根而岁实所以有消长也
甲子年
春分 庚子日亥初二刻十三分 距癸亥年秋分【一百七十八日四十五刻十三】分 距癸亥年春分【三百六十五日二十三刻四分】
秋分 丁未日申正初刻四分 距春分一百八十
六日七十三刻六分
乙丑年
春分 丙午日寅初二刻二分 距甲子年秋分【一百七十八日四十五刻十三】分 距甲子年春分【三百六十五日二十三刻四分】
秋分 壬子日亥初三刻八分 距本年春分【一百八十六日七十三刻】六分 距甲子年秋分【三百六十五日二十三刻四分】
丙寅年
春分 辛亥日巳初一刻六分 距乙丑年秋分【一百七十八日四十五刻十三】分 距乙丑年春分【三百六十五日二十三刻四分】
秋分 戊午日寅初二刻十一分 距本年春分【一百八十六日七十三刻】五分 距乙丑年秋分【三百六十五日二十三刻三分】
以上二分定气之距皆相同其春分至秋分日行最髙为缩厯多八日二十七刻八分惟丙寅年秋分早到一分只多八日二十七刻七分约之为八日二十七刻半
按最髙半周多八日竒者非多八日也以较最卑半周故多八日竒若其本数只多四日有竒耳因最卑亦少四日竒故合之为八日竒熊防石乃谓本数多八日则所误多矣
假如乙丑秋分至丙寅秋分共三百六十五日卄三刻三分半之该一百八十二日五十九刻九分而丙寅春分至秋分得一百八十六日七十三刻五分则多四日一十三刻十一分 丙寅春分前距乙丑秋分得一百七十八日四十五刻十三分又少四日一十三刻十一分 合计之则为八日二十七刻七分
半周均各一百八十二日竒者谓之恒气半周有盈缩者谓之定气相差八日竒者乃两半周定气相较之数非一半周定气与其恒气自相较之数也
甲子年
春分 庚子日亥初二刻十三分 距癸亥春分三
百六十五日二十三刻四分
冬至 丁丑日寅初三刻五分 距癸亥冬至三百
六十五日二十三刻四分
乙丑年
春分 丙午日寅初二刻二分 距前春分三百六
十五日二十三刻四分
冬至 壬午日巳初二刻十分 距前冬至三百六
十五日二十三刻五分
丙寅年
春分 辛亥日己初一刻六分 距前春分三百六
十五日二十三刻四分
冬至 丁亥日申初二刻 距前冬至三百六十五
日二十三刻五分
右冬至之小余皆卄三刻五分【或四分】春分之小余皆卄三刻四分差一分
以冬至论歳余得授时万分日法之二千四百三十○半分大于消分八分
法以小余五分为实刻十五分为法除之得三之一以从刻共得二十三刻又三之一为实九十六刻为法除之得○二四三○五进四位得二千四百三十分强【进四位者以万乗也】若以春分论歳余得授时万分日法之二千四百二十三分六亦大于消分一分六
法以卄三刻化三百四十五分并入四分得三百四十九分为实日法一千四百四十分为法除之得○二四二三六进四位得二千四百二十三分半强
按授时消分为不易之法今复有长者何耶西法最髙之防在两至后数度歳歳东移故虽冬至亦有加减不得以恒为定也此是两法中一大节目其法自回回厯即有之然了凡先生颇采用回回法而不知此熊防石先生亲与西儒论厯而亦不言及何耶
丁卯年
高冲过冬至七度十四分
春分 丙辰日申初初刻十分 距【丙寅秋分一百七十八日四十五刻十】中积九十三日十刻七分 【四分春分三百六十五日二十】
夏至 己丑日酉初三刻二分 距【三刻四分丙寅夏至三百六十五日】中积九十三日【二十三刻三分】分 【六十二刻十三冬至一百】
秋分 癸亥日己初二刻 距【八十二日九刻二分本年春分一百】中积八十九日四【八十六日】分 【七十三刻五分十七刻四丙寅秋分】
冬至 壬辰日亥初一刻四分 距【三百六十五日二十三刻四分丙寅】中积八十八日九【冬至三百】分 【六十五日二十三刻四分十四刻】
戊辰年
髙冲过冬至七度十五分
春分 辛酉日戍正三刻【十本】分 距【年夏至一百八十三日十四刻二分十】中积九十三日十刻六分 【四丁卯秋分一百七十八日四】
夏至 甲午日夜子初【十五】五分 距【刻十四分春分三百六十五日二十】中积九十三日【三刻四分二刻】分 【丁卯夏至三百六十五日】
秋分 戊辰日申初一刻四分 距【二十三刻三分六十二刻十四冬至】中积八十九日四【十七刻六】分 【丁卯秋分三百六十五日二十三刻】
冬至 戊戌日寅初初刻十分 距【四分丁卯冬至三百六十五日二十】中积八十八日【三刻六分】七分 【九十四刻本年夏至一百八十三】
己巳年
髙冲过冬至七度十六分
春分 丁卯日丑正三刻二分 距【日十四刻五分戊辰秋分一百七十八】中距九十三日十刻六分 【日四十五刻十三分春分三百】
夏至 庚子日卯初一刻八分 距【六十五日二十三刻三分戊辰夏至】中积九十三日六十三刻 【三百六十五日二十三刻三】
秋分 癸酉日亥初初刻八分 距【分冬至一百八十二日八刻十三分】中积八十九日【本年春分】六分 【一百八十六日七十三刻六分四十】
冬至 癸卯日辰正三刻【七刻】分 距【戊辰秋分三百六十五日二十三刻】中积八十八日【四分十四】八分 【戊辰冬至三百六十五日二十三】
庚午年
髙冲过冬至七度十七分
春分 壬申日辰正【刻四】七分 距己巳【分九十四刻本年夏至一百八十三】
中积九十三日【十刻】四分 【春分三百六十五日卄三刻】
夏至 乙巳日午初初刻【五分十】 距己巳【一分夏至三百六十五日二十三刻】
中积九十三日六十【三 分三冬至一百八 十二刻日八】
秋分 己卯日丑正三刻【刻十二】 距本年【分十一分春分一百八十六日七十】
中积八十九日【三刻四 分四十七己巳秋分二百六 十刻七分五日】
冬至 戊申日未正三【廿三】分 距己巳【刻三分刻三冬至三百六十】
中积八十八日【五日廿 三刻四分九十四本年夏至 一百八十刻七】
辛未年
髙冲过冬至七度十八分
春分 丁丑日未正一刻【分三】 距【日十四刻七分十分庚午秋分一百】中积九十三日【七十】三分 【八 日四十五刻十四十刻分春】
夏至 庚戌日申正三【分 三百】分 距【六十五日廿三刻三分刻十三庚午】中积九十三日【夏至三 百六十五日二十三刻二 分六十三】
秋分 甲申日辰正三刻 距【冬至一百八十二日刻二分八刻十】中积八十九日【分本年 春分一百八十六日七十 三刻五分四十】
冬至 癸丑日戌正二【七庚】分 距【午秋分二百六十刻七分五日廿
本年夏至一百八十三日十四刻九分】
按庚申年夏至至冬至一百八十三日十三刻六分辛未年夏至至冬至一百八十三日十四刻九分十二年中共长一刻○三分【中积只十一年】
壬戌年冬至至次年夏至一百八十二日九刻九分庚午年冬至至次年夏至一百八十二日八刻十分九年中共消十四分【中积共只八年】
又合计癸亥夏至前半周一百八十二日九刻九分冬至前半周一百八十三日十三刻十分相较一日○四刻【一分】 辛未夏至前半周一百八十二日八刻十分冬至前半周一百八十三日十四刻九分相较一日○五刻十四分八年中较数増一刻十三分然二分之相距则无甚差何也葢最髙移而东则夏至后多占最髙之度而减度加时之数益多故益长髙冲移而东则冬至后多占最卑之度而加度减时之数益多故益消其近二至处皆为加减差最大之处故消长之较已极也
乃若二分与中距虽亦歳移而中距皆为平度不系加减其最髙前后视行小之度固全在春分后半周最髙冲前后视行大之度亦全在春分后半周毫无动移故无甚消长也
西国月日攷
攷回国圣人辞世年月
回国圣人辞世年月据西域斋期【江寕至鸿堂刻单】以康熙庚午五月初三日起是彼中第九月一日谓之勒墨藏一名阿咱而月也至六月初三日开斋是彼中第十月一日谓之绍哇勒一名荅亦月是为大节再过一百日至九月十三日为彼中第一月第十日谓之穆哈兰一名法而干而丁月其日为阿叔喇济贫之期谓之小节鼎尝以回回厯法推算本年白羊一日入第六月之第八日与此正合
又据斋期云本年庚午圣人辞世共计一千○九十六年【此太阳年】攷本单开圣人生死二忌在本年十一月十四日在彼为第三月谓之勒必欧勒傲勿勒又名虎而达查西域阿刺必年是开皇己未距今康熙为一千○九十二算减一为一千○九十一乃开皇己未春分至今康熙庚午春分之积年
又查己未年春分在彼中为太阴年之第十二月初五日 以距算一千○九十一减圣人辞世千○九十六相差五年逆推之得开皇十四年甲寅为圣人辞世之年
约计甲寅至己未此五年中节气与月分差闰五十五日甲寅春分当在彼中第十月之初
圣人辞世既是第三月则在春分月前七个月为处暑月即今七月也
自开皇甲寅七月十四日圣人辞世至今康熈庚午七月十四日正得一千○九十六年故曰共计一千○九十六年也
据此则开皇甲寅是彼中圣人辞世之年薛仪甫谓为回回厯葢以此而误
又按圣人以第三月辞世而其年春分则在第十月今彼以第十月一日为大节葢为此也
攷泰西天主降生年月
据天地仪书耶苏降生至崇祯庚辰一千六百四十年算至康熈庚午一千六百九十年
查康熙戊辰年瞻礼单诞辰在冬至后四日日躔箕宿七度 逆推汉哀帝庚申约差卝四度则是当时冬至在斗宿之末 约计耶苏降生在冬至前二十余日为小雪后四五日也
自哀帝庚申十月算至隋开皇甲寅七月望回回教圣人马哈木徳辞世实计五百九十四年不足两个多月攷厯书所纪西国年月
万厯十二年甲申西九月十五日日躔夀星二度 又十三年乙酉西九月卄八日日躔夀星十五度半万厯十四年丙戌西十月【阙】 日日躔夀星二十九度又十五年丁亥西十月卝六日日躔大火十二度太
万厯十六年戊子西十一月初八日日躔大火二十六度太 又十七年己丑西十一月卝二日日躔析木十一度弱
万厯十八年庚寅西十二月初六日日躔析木卄五度又十九年辛卯西十二月卄一日日躔星纪九度
万厯二十三年乙未西正月三十日日躔枵卄一度万厯三十五年丁未西七月初九日日躔鹑首廿六度五三 又三十七年己酉西七月廿一日日躔鹑火八度半
万厯三十八年庚戍西八月初二日日躔鹑火二十度又三十九年辛亥西八月十五日日躔鹑尾二度按此所纪皆是以日躔星纪二十度为正月初一日析木二十度【或十九度】为十二月朔 大火【十九】度【或二十度】为【十一】月朔 夀星十八度为十月朔 鹑尾十八度为九月朔 鹑火十九度【或十八度】为八月朔 鹑尾十八度为七月朔【此亦约畧之算细求之尚有太阳盈缩】
又正德九年甲戌西五月初五日子正前日躔大梁二十二度四十分 是以大梁十九度为五月朔【所测在子正前西厯纪日月午正故曰十九度】
正德十五年庚辰西四月三十日日躔大梁十七度四八 是以降娄十九度为四月朔
又本年七月十三日日躔鹑火初度 是以鹑首十八度为七月朔
嘉靖二年癸未西十一月卄九日日躔析木十五度五四 是以大火十八度为十一月朔
嘉靖六年丁亥西十月初十日日躔夀星卄七度 是以夀星十八度为十月朔
嘉靖八年己丑西二月初一日日躔枵廿一度 是以廿一度为二月朔
万厯十年壬午西二月廿六日申初二刻日躔娵訾十七度四十九分四二 是以枵廿二度为二月朔万厯十一年癸未西九月初六日日躔鹑尾廿三度是以鹑尾十八度为九月朔
万厯十四年丙戌西十二月廿六日申初二刻太阳在星纪宫十四度五十一分五三 是以析木十九度为十二月朔
万厯十六年戊子西十二月十五日巳初刻太阳在星纪三度五十三分 是以析本十九度为十二月朔万厯十八年庚寅西二月初八日午正后三十四刻太阳视行在娵訾初四十秒 是以枵廿三度为二月朔又本年九月初七日子正日躔鹑尾二十四度 据此初一日鹑尾十八度
万厯廿一年癸巳西八月初十日日躔鹑火廿七度是以鹑火十八度为八月朔
又汉顺帝永建二年丁卯西三月廿六日酉正太阳在降娄一度十三分 是以娵訾七度为三月朔
顺帝阳嘉二年癸酉西六月初三日申正太阳在实沈九度四十分 是以实沈七度为六月朔
顺帝永和元年丙子西七月初八日午正太阳在鹑首十四度十四分 是以鹑首七度为七月朔
又本年西八月三十一日九月初一太阳在鹑尾七度顺帝永和二年丁丑西十月初八日太阳在夀星十四度 是以夀星七度为十月朔
顺帝永和三年戊寅西十二月廿二日子正前四时日躔析木九度十五分 据此初一日是大火八度当是十一月非十二月
顺帝阳嘉二年癸酉西五月十七十八日太阳在大梁二十三度 据此五月朔大梁七度
按自汉顺帝永建丁卯为总积四千八百四十年至明万厯十二年甲申为总积六千二百九十七年相距一千四百五十七年相差十二三度即歳差
之行也
汉时月朔俱在各宫七八度之间万厯间月朔俱在各宫之十八九度或卄一二度
据此论之则西厯太阳年用恒星有定度其恒星节气虽从歳差西行而每月之日次则以太阳到恒星某度为定千古不变也想西古厯法只是候中星每年某星到正中即是某月
又按此法于歳差之理甚明但欲敬授民时则不如用节气为妥天经或问欲以冬至日为第一月第一日可以免闰又可授时谓本于方无可先生然沈氏笔谈已先有其説矣
今查瞻礼单
康熙丁卯年正月十八丁酉日 应西厯三月初一日
【亥宫十度 危十一度二十六分 二三】
二月二十戊辰日 应西厯四月初一日
【戌宫十一度十三分】 壁六度二三
二月二十戊戌日 应西厯五月初一日
【酉宫十度二十九分】 娄十度五三
四月廿二己巳日 应西厯六月初一日
【申一十度十五分】 毕六度九分
五月廿二己亥日 应西厯七月初一日
【未八度四十九分】 井七度五一
六月廿四庚午日 应西厯八月初一日
【午八度二十一分】 柳二度二二
七月廿五辛丑日 应西厯九月初一日
【巳八度一十分】 张六度四八
八月廿五辛未日 应西厯十月初一日
【辰七度三十○分】 轸一度○四
九月廿七壬寅日 应西厯十一月初一日
【卯八度二十二分】 亢八度一八
十月卄七壬申日 应西厯十二月初一日
寅八度【四二】 心五度一八
十一月【卄八】癸卯日 应西厯正月初一日
【丑十度二十分】 斗四度二六
十二月【三十】甲戌日 应西厯二月初一日
【子十一度五十六分】 女四度三○
据此则西国厯日是以建子之月为正月也其法不论太隂之晦朔只以太阳为主然又不论节气但以太阳到斗宿四度为正月一日耳
又其数与新法厯书所载不同岂彼国亦有改宪耶按西厯以午正纪日则以上宿度宜各加三十分依此推之欧罗巴之正月一日在斗宿五度
新法厯书万厯二十三年乙未西正月三十日太阳在枵卄一度于时日行盈厯逆推初一日是星纪卄一度以歳差攷之万厯乙未至今丁卯距九十二年计差一度半弱其时星纪卄一度是斗十四度二法相较差十度必是改宪抑彼有多国各一其法耶
又按今之斗四度是星纪十度逆推前此六百六十余年则正是冬至日太阳所躔之度也当此北宋之初瞻礼单必是此时所定
若厯书所载斗十四度则又在其前六百六十年距今丁卯共有一千三百二十余年当在汉时葢其时冬至日躔斗十四度故以为歳首意者厯书所载故是古法而瞻礼单所定乃是新率耶由是观之则耶苏新教之起必不大逺
又按西法以白羊宫初度为测算之端而纪月又首磨羯何耶曰测算论节气是以太阳之纬度为主纪月论恒星是以太阳之经度为主故也
地度弧角
地度求斜距法
有两处北极髙度又有两处相距之经度而求两地相距之里数
甲乙丙为赤道象弧丁为极【丁角之度为甲乙】戊
甲距四十五度甲乙十度半【即经度之距亦即丁角】巳乙距四十度求戊巳之距法作戊庚丙
象弧斜交于赤先求庚乙距以减巳乙得
庚巳边又求戊庚边求庚角成戊庚巳小三角弧算戊庚巳小三角先有一角【庚】两边【一戊庚边一已庚边】而求已戊边 法先作已辛垂弧截出戊辛边并求戊角因得巳戊边乃以度变成里此所得即大度若距赤同度则但以距赤道余求其比例得里数
一率 全 二率 距赤余三率 大度里数【二百五十里】四率 纬圈里数如距赤四十五度依法算得离赤道四十五度之地每一度该一百七十六里二百八十步 如东西相距二十七度该四千七百七十二里三百五十歩弱
论曰地有距赤纬度又有东西经度经度如句纬度相减之余如股两地斜距如
既有句有股可以求而不可以句股法求者地圆故也又论曰此为一角两边而角在两边之中法当用斜弧三角法求其对角一边之度变为里即里数也或用垂线分形法并同补论曰已防或在庚上或在其下其用庚角并同 但在下则当于庚乙内减巳乙而得己庚
以里数求经度法
或先有两地相距之里数而不知经度
法先求两处北极髙度乃以两髙度之余为两边及相距里数变成度【用二百五十里大度】又为一边成弧三角形 乃以三边求角法求其对里数边之一角即经度也论曰凡地经度原以月食时取其时刻差以为东西相距然月食歳不数见又必多人两地同测始能得之况月天最近有气刻时三差及朦影之改变髙度非精于测者不易得凖 今以里数求之较有把握 得此法与月食法相参伍庶几无误 凡以里数论差当取径直若遇山林水泽峻岭回谷则以测量法求其折算之数而取直焉
不但左右不宜旋绕曲折斯谓之直即髙下若干亦须用法取平
若两地极髙同度则但以距赤道余【即极髙度正】求其比例得经度
一率 距赤度余
二率 全数
三率 里数所变之度【用二百五十里为度】
四率 相应之经度【纬圏经度也与赤道大圏相应但里数小耳】
论曰北极髙度虽有凖则然近在数十里内所争在分秒之间亦无大差今以里数凖之则当以正东西为主如自东至西之路合罗金卯酉中线斯为正度若稍偏侧亦当以斜度改平然后算之视极髙度反似的确里差攷
时宪厯各省太阳出入昼夜时刻
京师 三十【九度五十五分】夏至昼五十九刻【七分】夜三十六刻【八分】盛京 四十【二 天问度 略无】 六十刻四分 三【十五】刻十【一分】山西 三十八度 五十八刻【八分】 三十七刻【七分】山东 朝鲜 【三十六度】 五十七【刻十三分】 三十八刻【二分】河南 陜西 【三十 四度竒】 五十七刻【一分】 三十八【刻十四分】江南 三十二度半 五十六刻【六分】 三十九刻【九分】湖广 三十一度 五十六刻【二分】 三十九【刻十三分】四川 三 十 度 五十【五刻】十【一分】 四十刻四分浙江 廿 九 度
江西 二十九度 五十五刻【七分】 四十刻八分福建 广西 【二十七度】 五十四【刻十二分】 四十一刻【三分】贵州 二十五度 五十四刻【四分】 四十一【刻十一分】云南 二十四度 五十四刻 四十二刻广东 二十三度半 五十三【刻十一分】 四十二刻【四分】此据壬申年厯日数也其刻数与天问略同者京师江南湖广浙江江西云南广东也刻分同则极髙确矣
山西天问略长五十八刻六分今八分是所差不多或字画误也其极髙三十八度应亦无讹
山东天问略长五十八刻四分今只五十七刻十三分是极髙原测三十七度后改测三十六度也
时宪厯各省节气时刻
以京师为主 在东者加 在西者减 毎加减四分为经度一度
朝鲜 加二刻十分
盛京 加二刻
浙江 福建 加十二分
江南 加八分
山东 加五分
以上地在京师之东皆加
江西 减十分
河南 湖广 减一刻
广东 山西 减一刻五分
广西 陜西 减二刻四分
贵州 减二刻八分
四川 减三刻七分
云南 减四刻八分
以上地皆在京师之西皆减
天象同时并见而在东者早见日故其刻分加在西者迟见日故其刻分减假如京师正午时太阳在午线而居东者已见其过午矣故加居西者方见其将午到而犹未正午也故减
陜西天问略长五十七刻十三分今只五十七刻一分是极高原测三十六度后改测三十四度奇也河南天问略长五十七刻七分今只五十七刻一分是极高原测三十五度后改测三十四奇也
褔建天问略长五十四刻八分今有五十四刻十二分是极高原测二十六度后改测二十七度也广西天问略长五十四刻四分今亦五十四刻十二分是极髙原测二十五度后改测二十七度也贵州天问略长五十四刻今有五十四刻四分是极髙原测二十四度半后改测二十五度也
天问略四川极髙二十九度半江西二十九度
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷十二>
南北纬度以北极髙下定 东西经度以月食时刻定地在东一度则见食早其差为十五分刻之四节朔同地在北则昼夜差多南则渐平
仰规覆矩 以里差赤纬为用
一查地平经度为日出入方位
一查赤道经度为日出入时刻
约法
求每日出入地平广度【春分至秋分在正卯酉北秋分至春分在正卯酉南】一率 大员半径
二率 极髙度割线
三率 赤道纬度正
四率 日出入卯酉正【地平经度】
求每日昼刻长短【春分至秋分加秋分至春分减】皆加减半昼二十四刻为半昼刻
一率 大员半径
二率 极髙度切线
三率 赤道纬度切线
四率 日出入加减度正【赤道经度】 以变时刻为加减之用
求二至日出地广度图【广者地平经度距正卯酉也即日出入方位举二至为例余日皆以赤纬定之】
已丙极髙度 即甲角之
弧【亦即乙甲丁之余弧】 乙丁为夏
至日距赤道之纬 即壬
辛【其正弧辰乙即卯甲】 今求乙甲
为夏至日出地平之广【冬至
同广但夏至在卯酉北冬至在正卯酉南逐日赤纬
皆可以此法求之得逐日出地之广】用甲乙
丁弧三角形 法为丙戊正与丙甲半径若乙丁之正乙辰与乙甲也【乙甲即正 丙戊正即北极髙度之余庚甲也以丙甲戊角即巳甲丙之余角】 或用乙甲卯句股形 则为庚甲余【巳甲丙角之余】与巳甲半径若壬辛之正卯甲与乙甲也末皆以乙甲查正表得弧为出地之广【壬辛之正壬未与乙辰卯甲同大即知乙丁与壬辛亦同大而卯甲之弧亦与壬辛同大而今以直视竟成正】
捷法 以比例尺取丙甲半径于正线之九十度定尺乃以乙甲正取对度得弧命为出地之广
法曰半径与北极出地之割线若赤道纬度正与地平出入经度距正卯酉之正也
此图已为南极 甲乙为冬至日出入之广 卯乙为冬至日轨所减于半昼之度 与前图同理
量法从乙作直立线【与午
甲平行】至戌得戌午弧即
乙星出入地平距正卯
酉经度【大圈即子午规侧望之形故午
甲线即正卯酉】
求时刻法 若欲知卯乙在距等圏之度法以卯为心癸若壬为界作半圏次从卯心出半径直线至干平分半员成象限末于乙出线与卯干半径平行至象限弧止为乙坎则其所分坎干之弧即卯乙在距等圏之度此度与甲丁赤道度相应可以知所歴时刻矣
或用比例尺 以癸卯【即赤纬余】为距等半径加正线九十度定尺乃以卯乙取对度得弧
又算法 求时刻加减度【谓逐日时刻所加减于半昼二十四刻之数春分后加秋分后减皆以度变时】 用前图巳甲乙斜弧三角形 有甲角【极出地度】有巳甲边九十度 有巳乙边赤纬之余【按用斜弧法厯书未有】 求巳角【其弧甲丁】赤道经度用查时刻
法为半径丙甲与甲角之切线酉丙
若已乙之余切亥丁【乙丁为巳乙之余故也实即
赤纬之正切也】与已角之正甲丁【甲丁即弧即正
以直视故弧线变为直线用法以甲丁查正表得角度】
右即夏至卯酉前后日行地平上之赤道度以距等圏上之卯乙即赤道上之甲丁以甲丁度化时即得本地卯正前酉正后所多之刻冬至日卯后酉前所减之度及其时刻并同【逐日求之可列表】
求乙甲边【地平经度查日出方位】此为求出地平之广与前算法并同但用斜弧形故其名顿易 法为半径丙甲与极出地甲角之割线酉甲若已乙之余乙辰与乙甲边【乙甲亦即边即正】 末以乙甲边查正表得乙甲边之度
厯算全书卷十二
自序
授时厯于日躔盈缩月离迟疾并云以算术垜积招差立算而今所传九章诸书无此术也岂古有而今逸耶载攷厯草并以盈缩日数离为六段各以段日除其叚之积度得数乃相减为一差一差乂相减为二差则其数齐同乃缘此以生定差及平差立差定差者盈缩初日最大之差也于是以平差立差减之则为毎日之定差矣若其布立成法则直以立差六者因之以为毎日平立合差之差此两法者若不相而其术巧防从未有能言其故者余因李世徳孝廉之疑而试为思之其中原委亦自晓然爰命孙【瑴成】衍为垜积之图得书一卷
钦定四库全书
厯算全书卷十三
宣城梅文鼎撰
授时平立定三差详説
太阳行天有盈有缩立成以八十八日九十一刻就整为限者【据盈厯言之】此由测验而得之也葢自定气冬至至定气春分太阳行天一象限【依古法以九十一度三一竒为象限】该歴九十一日三十一刻有竒而今则不然毎于冬至后八十八日九十一刻而太阳已到春分宿度故盈厯以此为限也
夫八十八日九十一刻而行天一象限则于平行之外多行二度四十分竒也是为盈厯之大积差若缩厯即其不及之数必行至九十三日竒而后满一象限也故缩厯之限多于盈厯日数其积差极数亦与盈厯同但此盈缩之差絶非平派或自多而渐少或由少而渐多何以能得其毎日参差之数郭太史立为平立定三差法以齐其不齐可得毎日细差及积差其理则出于垜积招差之法也
定差者何曰所测盈缩初日最大之差也凡盈缩末日即同平行其盈缩之最多必在初日今欲求逐日之差必先求初日最大之差以为之凖则故曰定差也既有此最大之差即可以求逐日之差而逐日之差皆以渐而少法当用减故又有平差立差皆减法也然何以谓之平差曰平者平方也其差之増有类平方故以名之也差何以能若平方曰初日以后其盈缩渐减以至于平以常法论之数宜平派即用差分法足矣而合之测验所得则又非平派也其近初日也所减甚少其近末日也所减骤多假如一日减平差一则二日宜减二而今则二日之平差増为四又初日平差一二日平差四则三日宜为七四日宜为十而今则三日之平差増为九四日増为十六故非平方垜积之加法不足以列其衰序也
然则又何以为立差曰立者立方也差何以又若立方曰以平差合之测验犹为未足故复设此以益之假如初日减平差一又带减立差一至二日则平差四而所带之立差非四也乃八也三限平差九而立差非九也乃二十七也葢必如此而后与所测之盈缩相应其分为六段何也曰此求差之法也一二日间虽各有盈缩之差然差少则难辨积至半次其差始多而可见矣故各就其盈缩之日匀分之一年二十四定气分四象限各有六气故其分亦以六也
既匀分六段矣又以后段连前段何也曰此所谓招差也虽匀分六段其差积仍难细分故惟于初段用本数以其盈缩多而易见也【如盈厯初段积盈七千分是最多而易见也】若末段必带前段以其盈缩少而难真也【如盈厯末段积差与第五段相减则其本段中只共盈七百四十九分数少难分故连前段论之】借彼易见之差以显难真之数此立法之意也【以太阳盈差为例他仿此】
然则各段平差不几混乎曰无虑也凡前多后少之积差合总数而匀分之即得最中之率如第六段之平差即第四十四日之盈加分【以八十八日九二折半得四十四日四六即最中之处其本段平差二百七十余分与之相应下仿此】第五段之平差即第三十七日之盈加分第四段之平差即二十九日之盈加分第三段之平差即第二十二日之盈加分第二段之平差即第十四日八二之盈加分第一段之平差即第七日四一之盈加分其数各有归着虽连前段原无牵混也然则又何以有一差二差曰一差者差之较也二差者较之较也曷言乎差之较曰各段平差是盈缩于平行之数也其数初段多而末段少各段一差是相邻两限盈缩之较也其数初段少而末段反多然则二者若是其相反欤曰非相反也乃相成也葢惟其盈缩于平行之数既以渐而减则其盈缩自相差之数必以渐而増其法于前限平差内减次限平差即知前限之盈缩多于后限若干矣而此一差之数原非平派故初限次限之较最少而次限三限之较渐多三限四限之较又多四限五限更多至五限六限则多之极矣其多之极者何也盈缩之数近末限则骤减也此一差之前少后多正所以为盈缩之前多后少也
然则二差又何以有齐数曰不齐者物之情也而不齐之中有所以不齐焉得其所以不齐斯可以齐其不齐矣今各限之一差不齐而前后两一差相减则仍有齐数为二差是其不齐者差之较而其无不齐者较之较也较之较既为齐数则较数之不齐皆有伦而有脊矣故遂可据之以求定差也
泛平积即用第一段平差何也曰今推定差初日之数也前所推第一段平差则第七日之数也故总第一段言之可曰平差而自初日言之但成泛积泛者对定之辞言必再有加减而后为定率也
二差折半何也曰以分平差立差之实也葢泛平积差既为初日盈加分多于七日之较则皆此七日中平差立差所积而成之者也而平差之数大立差之数小泛平积之大数皆平差所成而其中有六十九秒【即半二差】则立差所成故分出此数以便各求其数也
平差除一次立差除两次何也曰此平立之分也除一次者段日本数为法也除两次者段日自乘为法也于是再以段日乘之则本数者如平方之自乘自乘者如立方之再乘矣
平立合差何也曰次限少于初限之差也内有两平差六立差之共数故谓之合差【如盈厯以二分四十六秒为平差三十一微为立差今倍平差得四分九十二秒加入加分立差一秒八十六微共得四分九十三秒八十六微为平立合差是有两平差六立差之数葢加分立差原是六个立差也】
定差内又减一平差一立差为初日加分何也曰此初日加分之积少于定差之数也既以定差为初日加分矣而积又减此何也曰以定差为初日加分者乃初日最初之率也积满一日则平差立差各有所减而特其减甚微故各祗一数如平方立方之起数以一也是故此一平差一立差者即初日平立合差也
初日之平立合差何独少耶曰准于平方立方之加法正相应也葢平方幂积以自乘之积为等【其数一四九十六二十五三十六四九六四八一也】立方体积以再乘之积为等【其数一八二十七六四百二十五二一六三四三五一二也】而平立合差之数亦如之
是故初日之盈缩积是于定差内减一平差一立差如平方立方之根一者积亦一也
次日之盈缩积是于二定差内减四平差八立差 如方根二者平积必四立积必八也
三日之盈缩积是于三定差内减九平差二十七立差如方根三者平积必九立积二十七也
四日之盈缩积是于四定差内减十六平差六十四立差如方根四者平积必十六立积必六十四也
向后各限并同此推合而言之即皆逐日之平立合差也然则以一平差一立差较次日之四平差八立差固为小矣而以四平差八立差较三日之九平差二十七立差不更小乎何况以三较四则为九平差二十七立差与十六平差六十四立差其相差不更悬絶乎问次日之平立合差只两平差六立差而今又云四平差八立差三日以后之平立合差只递増六立差【逐日递増加分立差一秒八十六微是六个立差之数】而今所云者三日有平差九立差二十七其説之不同如此必有一误矣曰差之积类于平方立方者是总计其所减之数而毎加加分立差者是分论其逐日所减之数也欲明此理仍当求诸少广【少广者开方法也】
今夫平方以一四九十六二十五等为序者其幂积也若分而言之以一三五七九为序者其廉隅也【以相挨两平幂相减即得廉隅如一与四相减得三四与九相减得五九与十六相减得七十六与二十五相减得九是也】廉隅即较也而递増以二数者较之较也【一三五七九皆递増以二】今夫立方以一八二七六四一二五为序者其体积也若分而言之以七十九三七六一为序者其廉隅也【亦以相挨两体积相减得之如一减八得七八减廿七得十九廿七减六十四得三十七六十四减一百二十五得六十一是也】廉隅即较也而递増以六者较之较也【一増六得七七増二六得十九十九増三六得三十七三十七増四六得六一】是故平立差之总积是初日以来所积之差也亦如平立方之幂积体积也平立差之加法是逐日递増之较也亦如平立方之廉隅也
合初日以来之加分【即盈缩积度】与定差较则其差如平立方之幂积体积也【平差之序一四九十六二十五 立差之序一八二十七六四一二十五】若以本日之加分与定差较则其差如平立方之廉隅也【平差之序一三五七九 立差之序七十九三十七六十一】
若以本日之平立合差与初日较如平立方之廉积【平差之増二四六八立差之増六十八三十六六十】若以相近两日之平立合差自相较如平立方之廉积相较【平差之递増皆二立差之递増以六而再増十二为二六再増十八为三六再増二十四为四六也】于定差内减平差立差各一为初日加分
又于初日加分内减去二平差六立差是共减平差四【本日实减三合初日所减之一则四】立差八【本日实减七合初日所减之一则八】而为次日加分也
又于次日平立合差内加入六立差为平立合差【共二平差十二立差】以减次日加分是共减去平差九【本日实减平差五合前两日所减四共九】立差二十七【本日实减立差十九合前日所减之八则二十七】而为三日加分也
又于三日之平立合差内加六立差为平立合差【共二平差十八立差】以减三日加分是共减去平差十六【本日实减平差七合前三日所减之九则十六】立差六十四【本日实减立差三十七合前三日所减之二十七则六十四】而为四日加分也
故曰合初日以来之加分与定差较其差如平立方之幂积体积而以本日之加分【即本日实减数】与定差较则如廉隅也
若论布立成法则不言定差但以初日加分为根以平立合差减初日加分为次日加分是于初日加分内减二平差六立差也
又以六立差倂入平立合差以减次日加分为三日加分是于次日加分内又减二平差十二立差于初日加分则为减四平差十八立差也
又如上法再増六立差以减三日加分为四日加分是于三日加分内又减二平差十八立差于初日加分内则为减六平差三十六立差也
故曰以平立合差与初日较若平立方之廉积而以相近两日自相较如平立方之廉积相较也
平方二廉故相加以二立方六廉故相加以六此倍平差六因立差为平立合差之理也平方之相加以二者始终不变立方之相加以六者毎限递増此向后立差递増六数之理也
盈缩招差图説
盈缩招差本为各一象限之法【如盈厯则以八十八日九十一刻为象限缩厯则以九十三日七十一刻为象限】今只作九限者举此为例也其空格九行定差本数为实也其斜线以上平差立差之数为法也斜线以下空格之定差乃余实也
假如定差为一万平差为一百立差为单一今求九限法以九限乘平差得九百又以九限乘立差二次得八十一并两数九百八十一为法定差一万为实法减实余实九千○一十九即九限末位所书之定差也于是再以九限为法乘余实得八万一千一百七十一为九限积数
本法以九限乗定差得九万为实另置平差以九限乘二次得八千一百置立差以九限乗三次得七百二十九并两数得八千八百二十九为法以减实九万得八万一千一百七十一为九限积与前所得同
本法是先乘后减用法是先减后乘其理一也
初日减平差一庚也次日又减平差二甲也实减三并甲庚也合廉隅矣并计初日共减四合平方幂矣第三日又多减平差二乙也实减五并二甲二乙一庚也合廉隅矣并计前两日共减九合平方幂矣第四日以后仿此推之
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷十三>
中心甲一为初限所减立差即垜积形之顶
加外围六乙共七为次限所减立差平廉长廉各三隅一也并上层甲共八成根二之体积是为垜积形之第二层
又加外围丙十二共十九为三限所减立差三平廉共十二三长廉共六隅一也并上两层共二十七合根三之体积是为垜积形之第三层
又加外围丁十八共三十七为四限所减立差三平廉共二十七三长廉共九隅一也并上三层共六十四合根四体积是为垜积形之第四层
又加外围戊二十四共六十一为五限所减立差三平廉共四十八三长廉十二隅一也并上三层共一百二十五合根五之体积是为垜积之第五层
又加巳三十共九十一为六限立差其七十五为三平廉其十五为三长廉其一隅也并上层共二百一十六成体积是为垜积之第六层
又加庚三十六共一百二十七为七限立差其百○八为三平廉其十八为三长廉其一隅也并上层成体积三百四十三是为垜积之第七层
又加辛四十二共一百六十九为八限立差其百四十七为三平廉其二十一为三长廉其一隅也并上层共五百一十二如体积是为垜积之第八层
此姑以八层为式向后仿此推之 因从甲顶平视故类六角平面其实如六角锥也立方廉隅而图以锥形六角者以表其垜积招差之理也 甲恒为隅朱书者长廉余则平廉立方之平廉长廉各三离居三方则成六角 六觚形以六抱一毎层増六与立方加法同所异者六觚平面而立方必并其积故以堆垜象之 若算六角堆垜但取其底之一面自乘再乘见积与立方同
以斜立面观之最上甲一次乙二次丙三丁四戊五己六庚七辛八其底之数各如其层之数【如堆只三层则以三丙为底四层则四丁为底毎多一层其各面之底必多一数若辛下再加一层为壬必九数也】
实计其毎面六觚之数则甲一乙七丙十九丁三十七戊六十一己九十一庚一百二十七辛一百六十九【前平视之图乙为甲掩故但见外围之六丙为乙掩故但见外围十二余皆若是也观者当置身于髙处从甲顶俯视即得其理】皆以外围之数为下层多于上层之数
合计其堆垜之积则甲一乙八丙二十七丁六十四戊一百二十五己二百一十六庚三百四十三辛五百一十二【乙七并甲一成八丙十九并乙七甲一成二十七余皆若是】其堆垜之积皆如其层数之立方【以底之一面余乗又以层数乗之也】
问平差之根是以段日除积差而得则毎日适得一平差今所减平差甚多殆非实数曰泛平积差是初日多于第七日之数【亦据盈厯言之】而平差之数既如段日则于日数为加倍【盈厯段日十四日竒以此分积差为毎日平差则平差共数亦十四竒于七日为加倍】今倍减平差正合积差原数岂患其多
曰若然又何以能合平方曰以本日实减之数与定差较但取其销尽积差已足【如第七日实减十三平差第八日实减十五平差七日有竒在其中半积差必当减尽】故其法若平方之廉隅若合计初日以来减过平差与初日以来定差相较则所减之积皆如平方自乘观图自明【如七日共数得四十九八日共数得六十四之类】
又如立差以段日自乘除泛立积差而得故其数亦略如段日之自乗而毎日实减亦如立方之廉隅聊足以销去积差【本日尚有余秒后一日竒减尽】若合计初日以来共数则亦如立方再乗之积矣
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷十三>
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷十三>
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷十三>
右图以九限为例【九限以后仿论】定差设十万平差设一千立差设单一如法以本日加法并之为平立合差【如图平差立差各有加法故当并用】以平立合差减先日加分得本日加分合计从前加分为本日盈缩积【或以本日加分加先日盈缩积得本日盈缩积亦同】
又简法
置定差内减平差立差各一为初日加分【又即为第一日盈缩积】别置平差倍之加入六立差为初日平立合差以后毎于平立合差内加入六立差为次日平立合差【余同上】
用定差法
以日数乘立差得数加入平差再以日数乘之得数乃置定差以得数减之用其余为实复以日数乘之得本日盈缩积
置相近两盈缩积相减得加分又置相近两加分相减得平立合差亦同
定差本法
置定差以日数乘之得数为实又以日数自乘用乘平差得数以日数再自乘用乘立差得数平立两得数并之为法法减实得盈缩积【余同上】