历算全书厯算全书卷二十九
厯算全书卷二十九
宣城梅文鼎撰
古算衍略
古算器攷
或有问于梅子曰古者算学亦有器乎曰有曰何器曰古用筹筹何似曰汉书言之矣用竹径一分长六寸二百七十一而成六觚为一握度长短者不失毫厘量多少者不失圭撮权轻重者不失黍絫又世説言王衍持牙筹防计此用筹之明证也曰若是则筹可用竹亦可用牙矣然则即今之筹笇非欤曰非也今西厯用筹亦起徐李诸公葢从厯家之立成而成即立成表之活者耳故一筹即备九数若古之用筹用以纪数而无字画故一筹只当一数乘除之时以筹纵横列于几案一望了然观古算字作祘葢象形也然则起于何时曰是不可攷然大易揲蓍亦以一蓍当一数则其来逺矣蓍策所以决疑非常用之物故特隆重其制而加长长则不可以横故皆纵列惟分二象两之后挂一防以别之使无凌杂余皆纵列也又其数只四十九故四揲以稽其实数其用
専専则诚也布算之法有十百千万之等以乗除而升降又日用必需之物故其制短使几案可列其言六寸成觚者有度量之用古尺既小于今尺才四寸竒葢亦取其便于手握耳【浦江吴氏中馈録有算条巴子切肉长三寸各如算子様亦可以想其长短】然则其用之若何曰五以下皆纵列六以上则横置一筹以当五而纵列其余【式详后】然则十百千万何以列之曰其式皆自左而右略如珠笇之位亦如西域欧逻写算之位皆顺手势不得不同也曰亦有征欤曰有之蔡九峯洪范皇极数所纪算位一至五皆纵列六至九皆横一于上以当五又自一之一至九之九皆并列两位自左而右此用于宋者也又授时厯草所载乘除法实之式皆纵横排列自左而右以万千百十零为序此用于元者也左传史赵言亥有二首六身下二如身为绛县老人日数士文
伯知其为二万六千六百六旬而孟康杜预顔师古释之皆以为亥字二画在上其下三六为身如笇之六葢横一当五又竪一于横一之下则为六矣与皇极同也又言下亥二画竪置身傍葢即竪两笇为二万又并三六为六千六百六旬而四位平列与厯草同此又用于三代及汉晋者也曰厯草又有一至五横纪之处何欤曰此亦非起于厯草也何以知之唐人论书法横直多者有俯仰向背之法若直如笇子便不是书其言笇子即所列筹也然兼横直画言之则唐人用筹为算亦有横直可知干凿度云卧算为年立算为日葢位数多者恐其相混故三十三二十二之类笇位皆一纵一横以别之纵即立算横即卧算也干凿度不知作于何人然其在汉魏以前无可疑者则横直相错之法古有之矣五以下既可易纵为横则六以上横一当五者亦可易之而纵又何疑
于厯草哉曰然则今用珠盘起于何时曰古书散亡苦无明据然以愚度之亦起明初耳何以知之曰归除歌括最为简妙此珠盘所恃以行也然九章比类所载句长而澁葢即是时所创后人踵事増华乃更简快是书为钱塘吴信民作其年月可攷而知则珠盘之来则自不逺
按钦天监厯科所通轨凡乘除皆有定子之法惟珠算则可用然则珠算即起其时又尝见他书元统造大统厯访求得郭伯玉善算以佐成之即郭太史之裔也然则珠盘之法葢即伯玉等所制亦未可定
曰南雷畣牧斋流变三疉之问既云长水分别算位本位是竪进一位即是横本位是横进一位即是竪又引凿度卧算立算以证之矣然其所图算位俱作圆防殊无横直之形何耶曰南雷固言今之算器数分于珠是指珠算也又云长水之算只用今器其所谓横竪者分别算位南雷之意葢谓长水姑借横竪之语以分算位而实用珠算非实有横竪也然以【鼎】观之疏既以一横二竪当十二复以一竪二横当百二十终以一横二竪当千二百而皆曰进动算位明是用筹非用珠也故当十进百之时则当取去第一叠零位之二竪而加十位之一横为二横又添一竪于百位则成百二十矣故曰进动算位为第二叠也百进千则又取去十位之二横而増一竪于百位为二竪又别増一横于千位成千二百故亦曰进动算位为第三叠也説本明晰与今珠算何涉乎若如南雷所图则横竪字为赘文矣是故布筹可纵可横此亦一证
又按朱子语类云潜虚之数用五只似如今算位一般其直一画则五也下横一画则为六横二画则为七此又一证也【蔡九峯皇极数以横画当五故下竪一画为六竪二画为七与此相反然理则相通厯草则兼用之葢皆本之古法】
古布算式
皇极数图【见性理大全】
厯草算式
立差 定平差 定平积
右式皆因数有雷同故纵横列之以为别亦自然之理也
乘除法实式【亦见厯草】
亥字二首六身攷
左传襄公三十年三月癸未绛县老人曰臣生之嵗正月甲子朔四百有四十五甲子矣其季于今三之一也师旷曰鲁叔仲恵伯防郤成子于承匡之嵗也【注鲁文公十一年乙巳嵗】七十三年矣【注自乙巳嵗至今年戊午首末七十四年而曰七十三者葢计其全数而言未满七十三年也】史赵曰亥有二首六身【注言亥字上二画为首六画为身如算之六者三也春秋时有此字体□】下二如身是其日数也【注如徃也言除下亥上二画徃置身旁也□便是此老人从初生年起至今癸未日之日数也葢以亥之二画为二万之数以三六之算为六千六百六旬之数也】士文伯曰然则二万六千六百有六旬也按古法每年三百六十五日又四分之一七十三年该二万六千六百六十三日又四分之一故注以正月甲子为夏正建寅之月而三月癸未杜氏长厯及孔疏皆以为当作二月为夏之十二月也其癸未日长厯以为是二十三日然则春秋所纪者自用周正而晋人所言者自是夏正故鲁史纪戊午二月者晋人所言则仍为丁巳之十二月所以士文伯云七十三年也
筹有色以分正负
沈存中括笔谈曰天有黄赤二道月有九道此皆强名非实有也亦由天之有三百六十五度天何尝有度以日行三百六十五日而一朞强谓之度以步日月五星行次而巳日之所由谓之黄道南北极之中间度最均处谓之赤道月行黄道南谓之朱道北谓之黒道东谓之青道西谓之白道黄道内外各四并黄道而九日月之行有迟有速难以一术御故因其合散分为数段每段以一色名之欲以别算位而已如算法用赤筹黒筹以别正负之数厯家不知其意遂以为实有九道甚可嗤也
按此又宋算用筹之明证
方田通法序
学必有原不得其原不可以为学九数之学具列周官而孔子言游艺在志道据徳依仁后唐十经博士期业成以五年可形下视哉客嵗之冬从竹冠先生饮令弟乐翁所得观先生捷田歌括离竒出没杯酒间未深领其趣属他故覊治城且匝月既无携书可破岑寂乃稍忆所疑演而通之因浩然叹数学之有源虽至近若方田而易简中精深尔尔也算具不具仗三寸不聿为之今年春里中有事履亩或见问桐陵法遂出斯编相质命曰方田通法云
阏逢执徐日躔在奎勿庵梅文鼎识
方田通法
太极生生之数
数始于天一终于地十十亦一也天地之地始终乎一故曰太一太一者太极也自极而仪而象而卦皆加一倍三加而止万事托始焉是故制器者尚其象玑衡八尺周于八方寻常则之以度百物葢取诸此
两地之数
一生二二者两地也两一则二两二则四两四则八两八则十有六四象相交成十六事卦有内外也庾以命斗秉以命斛斤两则之以权百物葢取诸此
参天之数
一生二二生三三者参天也参一而三参二而六参四而十有二参八而二十有四作厯者以纪中节八节二十四气八卦二十四爻也是故玉衡之尺八而玑围二十有四斤之两十有六而铢二十有四二十有四者权度之所生数之纲也从而十之以为地纪而畆法生焉
畆法
二百四十步 古法步百为畆畆百为夫今二百四十步为畆相起于唐太宗
步法
五 合参两则五犹合四行为土土之生数也倍五则十土之成数也乗者从生故平方五尺为步而用以乗除者从成故积步二百四十为畆而用以除
方田原法
以所丈田横步与其纵步相乗得数为实以一畆二百四十步为法除之满法为畆不满退除为分厘 田之为字衡缩相交矩其外格其内象平方也田不能皆方或圆或直或梯或斜或如牛角或为矢弧不皆方故为之法以方之大约不离横纵者近是九章之术首列方田君子絜矩之道欤
截归法
或八归三归各一次或四归六归各一次或五因一十二归 邵子曰三八二十四也四六亦二十四也倍十二亦二十四也丈量家用截法可以观已
减法
或折半减二或减六减五各一次 即定身除也
飞归法
进一除二四 进二除四八 进三除七二 进四除九六 五除一二 一四四作六 一六八作七 一九二作八 二一六作九 见一加三隔位四 见二加六隔位八 不尽者留法喝之
又
三六作一五 六作二五 八四作三五 一○八作四五 一三二作五五 一五六作六五 一八作七五 二○四作八五 二二八作九五
留法
一留退四一六六 二留退八三三三 三留一二五四留一六六六六 五留二○八三三 六留二五七留二九一六六 八留三三三三三 九留三七
五 其法是除用之似乗以其为除后得数也故谓之留 若用以喝稍者言退者本位不则进一位或稍子位多者喝完总移进之更妙
凡加留减者如加减法只记原实于各挨身加减之若原用因法者则又下一位挨加减之皆记原实以留法喝之言退者各又退一位
以上截留飞减四法皆于乗土之后用以求畆惟留法则有不尽故长于喝稍
后有用两求斤留法附录之 一退六二五 二一二五 三一八七五 四二五 五三一二五 六三七五 七四三七五 八五 九五六二五 十六二五十一六八七五 十二七五 十三八一二五 十
四八七五 十五九三七五
新増径求畆步法
其法不用乘土以所得横纵之歩先得者为实后得者为法径求之可以抵掌而办原法二十有二竹冠道士衍为百二十有三勿庵氏引而伸之且三百八十有四也倚数之妙乃至斯乎而岂有外于参两乎又岂有加于所谓一者乎法列如后
减二 即十二除凡法之可以两者皆减二是为畆法之半或折半六归之
八除 或二十五于下位加之凡法之可以参者皆八除是为畆法三分之一
四十八除 即折半飞归也凡法之可以五者皆四十八除是两其畆法也
四除 或二十五乗之凡法之可以六者皆四除是为畆法六分之一
六除 凡法之可以四者皆六除是为畆法四分之一三除 凡法之可以八者皆三除是为畆法八分之一下加 凡法之上位得一者皆下加
上加 凡法之下位得一者皆上加凡加毕再用留法或飞归之
折半 凡法之十二者皆折半为畆法六分之五减六 凡法之可以十五者皆减六即两求斤留法也为畆法三分之二又为六分之四
减五 凡法之可以十六者皆减五即十五除也为畆法八分之五
加留减留 凡法之可借上者皆加留可借下者则减留所以通其穷也
随数喝畆 凡二十四则随数喝之
倍法 凡四十八五除之即二因也
减八 即畆法八分之六也凡法之可以八分用六者十八除之又为四分之三
九除 即畆法八分之三凡法之可以八分用三者九除之
二十一除 即畆法八分之七凡法之可以八分用七者二十一除
因法代除 如四十八则二因之如七十二则三因九十六则四因又如十二五因一四四六因一六八七因一九二八因二一六九因又如六用二五因八四用三五因一○八用四五因一三二用五五因一五六用六五因一八用七五因二○四用八五因二二八用九五因
加法代除 如三加二五即一二五乗所以代八除也三六加五即十五乗也又如四二径加七五五四二次加五皆不用除
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十九>
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十九>
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十九>
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十九>
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十九>
原法歌诀【出桐陵】
量田捷法少人知 不乗一数便留之 二弓折半六而一 三步之中用八归 四步由来六归是 五步还宜六八归 六数四归无走作 八上三归无改移十二将来折一半 十六三而加倍齐 二十四中
随数喝 廿五中分六八归 三十二上尤甚准 四因还要用三归 四十八上加一倍 八卦宫中谁得知 三归八因尤甚准 胜如神见不差池 七二倍之加遍五 九十六上四因之 十五之中逢二八七五之中四八归 三七半时当八八 九弓加五四归竒 十八折之加五定 三六之中加五施 此是明师真口诀 千金不度世人知
附归除捷法
多上空加一【多上者实多于法也空者实首隔一位也凡实多于法则于实前隔一位上一子若法实两数等亦同】
依前除莫疑【依前者即以前法数除之也】
少前数上五【少前者实少于法也即于实之前位上五子 不隔位】
折半数除之【折半除者用法数之半而除之也 用五乗代折半甚捷】
无除随上一【无除者上五之后不及除半数也既不及除随于实前位上一子】
化下照前除【化下者退下一位也照前除者即依法数降一位而除之也】
区田图刋误
按区田古法并以方一尺五寸为区通计毎亩可二千七百区空一行种于所种行内隔一区种一区除隔空外可种六百七十五区【此亦约畧之説后又云毎区一斗每亩可收六十六石而诗亦云限将一亩作田规计区六百六十二并大同小异】是四分而种其一也今农书之图黑白相间是二分种一与説相背且如所图既不便于营治亦不便于浇灌反不如姜田之用濶沟通人行之为便矣谨依古説改作之如左
又按四分种一亦是约畧之数若细求之则四邉近田堘处可只空半区要以随方就圆使其易行亦不在拘拘于尺寸之间也孟子曰此其大略也若夫润泽之则在君与子吾于区田亦云
如甲乙为田内毎画方一尺五寸为区【如甲子】直行毎隔一行种一行【如甲戊丙巳】因得横行亦然【如庚甲辛癸】其播种之区四面合之各成小平方如丙辛方中间子丑为种地卯寅方中间午未方为种地皆居小平方之中央又蝉聫而下通计毎田一畆为种区者约四之一图中白者是空地黒者是种区
区田説
向读嵇叔夜养生论谓区种之法亩可得粟数十钟已读王氏农书详着其法而农政全书载汜胜之书及务本书谓汤有七年之旱伊尹作为区田教民粪种负水浇田诸山陵倾坂及田邱城上皆可为之王祯田古人每区收谷一斗每亩可收六十六石今人学种可减半计贾思协曰兖州刺史刘仁之昔在洛阳于宅田七十步之地域为区田收粟三十六石然则一亩之收过百石矣古説彰彰如是而或者疑之【徐扈先生以为古今斗斛之异】余以为不必疑也葢徴之于姜芋矣吾乡土瘠每亩收稻麦不过数石而芋则每亩二十余石多者三十余石姜之下者二十余石其上者至四十余石然而种姜一亩有稻田六亩以上之工岂非粪多力勤之効乎攷姜田营治之法其畊甚深在一尺以上通水沟虽止数寸而畦土斜杀而上种姜棱背相距空间与棱背畧相等是亦空一行种一行也即区种之遗法也姜田惟空直行而区田复空横行是其功又倍于姜田也多收之数又何疑焉【又攷遂宁王灼晦叔糖霜谱蔗田亦云区种而其深畊摩劳开渠濶尺深尺五及今年为蔗田明年改种五谷以休地诸法并同姜田】 又按区田毎区方一尺五寸【贾氏説又有方深各六寸及方九寸深六寸诸法】葢欲于城上斜坡立区故为此制若平田亦可变通
畸零法解【乗法】
假如其处地畆被水所淹今涸出五分之四于中又有髙地居七分之四问若干
答曰髙地为三十五之十六
法用母乗母子乗子 两母【五七】相乗
三十五为母 两子【四四】相乗十六为
子 乗得三十五之十六
解曰分总地为五分而涸出居其四四又将此涸出之四分分为七分而髙地居其四若以总地分三十五分则髙地居其十六矣
本法置实子五之四以法子七之四乗之得十六为实法母七为法除之得五之二又小分七之二为髙地然七除不尽当用通分法以小分母七通原分母五为三十五得数二通为十四加入之二共十六是三十五之十六也
今不用七除其子而以七乗其母得数亦同【母既七倍而子不动是七之一也故乗母即同除子】
以数明之 设原数三千五百畆内涸出五之四是二千八百畆也以此二千八百畆分为七分而髙地居其四是一千六百畆也则髙地于原数为三十五之十六矣
又假如有米一宗内分七之四于预备仓收贮又于预备仓内取五之四先给赈荒问若干
答曰三十五之一十六 法见前
解曰分总米为七分而预备仓得其四又分预备仓米为五分而先给赈济者得其四若以总米分为三十五分则先给赈济者得其十六
本法置实七之四以法子之四乗之得一十六为实法母五为法除之得三又五之一如法用通分以小分五通大分七为三十五又通得数三为十五加子一为十六即三十五之十六也
今不用五除子而用五乗母即得三十五之十六省通分矣【母乗得五倍则子为五之一】
以数明之 设原米四千二百石分为七分而取其四为预备仓是二千四百石也预备仓米又分五分而取其四以给赈是一千九百二十石也若分原米为三十五分每分一百二十石则给赈米得十六分【四千二百是三十五个一百二十石一千九百二十是十六个一百二十石故也】
又法
法用倒位互除以代乘法 以法子四除实母七得一七五为母 以法母五
除实子四得○八○为子 乗得一七五之八○各进位而倍之即三十五之十十六
本法四乗五除今不以四乗其子而反以四除其母即得数同也【母既改为四之一而子不动即子为四倍故除母可代乘子也然除法多有不尽不如母乘母子乘子为便】
还原
畸零除法
假如营兵奉裁五之一留五之四其所支月饷为某仓米七之四问未裁时月饷几何
答曰该支仓米七之五
法用倒位互乗以当除法 以法子之四乗实母七得二十八为母 以法母五乗实子之四得二十为子 除得二十八之二十 约为七之五
解曰兵奉裁留五之四其原额未裁则五之五也故其原支仓米亦必七之五乃四而増一之比例
本法置实七之四 以法母五乗之得七之二十为实
以法子之四为法除之得七之五
今不用四除其子而以四乗其母得数亦同【母既四倍于原母而原子不动如四之一故乗母可代除子】
又法
法以法母五除实母七得一四为母又以法子之四除实子之四得一○为子 除得一四之一○ 约之亦得七之五
此不用五乗其子而以五除其母得数亦同【母既五除则为原母五之一而原子不动如五倍矣故除母可当乗子】
论曰以上三法所得并同然倒位乗尤妙葢以乗代除则无畸零不尽之数故也
以数明之 设营兵三千其五之四则二千四百也仓米二千五百二十石其七之四则一千四百四十石也七之五则一千八百石也兵二千四百而给米一千四百四十石则兵三千当给一千八百石
还原
用倒位互除 以代乗法 法子四除实母二十八得七为母 法母五除实子二十得四为子 乗得七之四复合原数
问仓米七之四可给营兵五之四若仓米全发给兵几何
答曰给兵五之七
如法倒位 以法子之四乗实母五得二十为母 以法母七乘实子之四得
二十八为子 除得二十○之二十八 约为五之七 子大于母收为一又五之二是可给原额兵而仍多五分之二也
解曰原给仓米七之四而今全给七分是四分而増其三也故兵亦四分増三【于五之四増五之三即为五之七】
本法置实之四以法母七乘之得五之二十八为实法子四为法除之得五之七【今以四乗母代四除子与前条同】
以前数明之仓米二千五百二十石分为七分则每分三百六十石营兵三千分为五分则每分六百以仓米四分给兵四分是每米三百六十石给兵六百名也今仓米全给为三百六十石者七则兵为六百者亦七是四千二百名也除三千名满原额净多一千二百名之饷为五分之二【以七除五不尽故不用又法】
厯算全书巻二十九
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
筹算自序
唐有九执厯不用布算唯以笔记史谓其繁重其法不传今西儒笔算或其遗意欤笔算之法详见同文算指中厯书出乃有筹算其法与旧传铺地锦相似而加便防又昔但以乘者今兼以除且益之开方诸率可谓尽变矣但本法横书彷佛于珠算之位至于除法则实横而商数纵颇难定位愚谓既用笔书宜一行直下为便辄以鄙意改用横筹直写而于定位之法尤加详焉俾用者无复纎疑即不敢谓兼中西两家之长而于筹算庶几无憾矣
康熙戊午九月已亥朔日躔在角宛陵梅文鼎勿庵撰筹算有数便奚囊逺涉便于佩带一也所用乘除存诸片楮久可覆核二也斗室匡坐笔徐观诸数厯然人不能测三也布算未终无妨泛应前功可续四也乘除一理不湏歌括五也尤便学习朝得暮能六也原法横书故用直筹筹直则积数横彼中文字实用横书也今直书故用横筹筹横则积数直其理一也亦有数便自上而下乃中土笔墨之宜便写一也两半圆合一位便查数二也商数与实平行便定位三也
钦定四库全书
厯算全书巻三十
宣城梅文鼎撰
筹算一
作筹之度
凡筹以牙为之或纸或竹片皆可长短任意以方正为度
凡筹背面皆平分九行每行以曲线界之为两半圆状凡筹背面皆相对第一筹之隂即为第九便检寻也二与八三与七四与六五与空位皆仿此共五类类各五筹当珠盘二十五位或更加之亦可 外有开方大筹为平方立方之用详见别巻
筹式列左
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷三十>
作筹之理
凡筹每行以曲线界之成两位其下为本位上为进位假如本位一两则进位为十两
凡列两筹则行内成三位下之进位与上之本位两半圆合成一位故也 列三筹则成四位 列四筹则成五位 五筹以上皆仿此
凡筹有明数有暗数明数者筹面所有之数是也暗数者行数也假如第一行即为一数第二行即为二数
凡筹与行数相因而成积数假如第二筹之第四行即为八数第九筹之第八行即为七二数
筹算之资
凡用筹算当先知并减二法今各具一则
并法
并者合也合众散数为一总数也又谓之垜积 其法先列散数自上而下对位列之千对千百对百十对十单对单以类相附
列讫并为一总数 其法从最下小数起自下而上如画卦之法 数满十者进位作暗马而本位书其零
恐混原数故以此
别之便覆核也
假如有米三千四百八十石又五千○六十八石又二万六千九百石合之共几何
如图散数三宗依法并之为
一总数得三万五千四百四
十八石
减积法
减者去也于总数内减去几何则知其仍余几何也减与并正相反减而剰者谓之减余
其法以应减去之数列左以原有之总数列右而对减之
千对减千百对减百十对减十单对减单
减而尽者抹去之 减而不尽者改而书之
本位无数可减合上位减之假如欲减八十而原数只有七十但其上位有一百则合而减之于一百七十内减八十仍余九十
假如有银三十二万五千三百一十两支放过二十九万五千三百○五两仍余几何
依法减之仍余三万○○○
五两
十万千百十两
如图先于三十万内减二十万余一十万改三为一次减九万而万位无九合上位共一十二万减之
余三万抹去一二改书三
次减五千 次减三百 皆减尽皆抹去之书作○次减五两而两位无五于一十两内减之抹去一
○改书○五 减讫余二○○○三
凡算有乘有除乘者用并法除者用减法
筹算之用
凡算先别乘除乘除皆有法实实者现有之物也法者今所用以乘之除之之规则也
凡筹算皆以实列位而以筹为法法有几位则用几筹如法有十系两位则用两筹法有百系三位则用三筹
凡法实不可误用唯乘法或可通融若除法必须细认俱详后
乘法
勿庵氏曰凡理之可言者皆其有数者也数始于一相縁以至于无穷故曰一与一为二二与一为三自此以徃巧厯不能尽乘之义也故首乗法
解曰乗者増加之义其数渐陞如乗髙而进也亦曰因言相因而多也珠算有因法有乗法在筹算总一乘法殊为简易
法曰凡两数相乘任以一为实一为法
假如以人数给粮或以人为实粮为法或以粮为实人为法皆可
凡算先列实【列书之于纸或粉板亦可依千百十零之位列之自左而右】
次以法数用筹乘之
法有几位则用几筹
【假如法为六十四则用第六第四两筹法为三百八十四则用第三第八第四共三筹】
凡乘皆从实末位最小数起
视原实某数即于筹其行取数列之
【假如实是二则取第二行数】
凡列乘数皆自下而上如画卦
凡实有几位挨次乗之但次乗之数必髙于前所列之数一位
【假如先乘者是单次乗者必是十故进位列之】
乗讫乃以并法并之合问
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷三十>
又法
凡法尾空位者省不乗但于并数之后补作圏于其下以存其位尤为简捷
如上图乘讫并得三○
○○因法尾有空又补
作一圏是为三○○○
○则知所得三万
定位法见前
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷三十>
又若田为一亩二分则所得为三合何也亩下有分故得数之三○○其尾○又是勺下之分也此定位之精理须细审之
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷三十>
一四二四四四五七五共九位因实尾空位【无零年故也】用省乘法加一○于末位下共十位而以尾○命为分得一十四万二千四百四十四日五十七刻五十○分合问
除法
勿庵氏曰天地之道盈虚消息而已无有盈而不虚无有消而不息乘者息也盈也除者消也虚也二者相反而不能相无其数每相当不失毫厘如相报也邵子曰算法虽多乘除尽之矣故除法次之
解曰除者分物之法也原作几何今作几分分之则成各得之数而除去原数也有归除有商除珠算任用筹算则独用商除为便以意商量用之故曰商除
法曰凡除以所分之物为实今欲作几分分之为法法与实须审定倘一倒置则毫厘千里矣【假如有粮若干分给若干人则当以粮为实以人之数为法除之盖粮数是所分之物人数是用以分之之法也若倒用以粮分人则所误多矣】 凡法有几位则用几筹 乃列实【自上而下直书之】 视筹之第几行中积数有与原实相同者或略少于实者用其数以减原实而得初商 有不尽者如法再商或三商以上皆如之实尽而止 余实不满法以法命之
凡商数皆以筹之行数为其数【假如所减是等第一行即商一数第二行即商二数】
书商数法曰凡书商数皆与减数第一位相对 若所减第一位是○则补作○于原实首位上而对之【此定位之根】
定位法曰除毕以商得数与原实对位求之皆于法首位之上一位命为单数【程大位曰归于法前得零古法实如法而一是也】此有二法 有法少实多者从原实内寻法首位认定逆转上一位命为单数【如米则为单石钱则为单文之类】既得单数则上而十百千万下而分秒忽微皆定矣此为正法
有法反多实反少者乃变法也法从原实首位逆溯而上至法首位止又上一位命为单数【此是虚位借之以求实数】既得单数乃顺下求之命所得为分秒之数
初商除尽式 法此欲分为七十二分也故以七二为
假如太阳每 法用两筹
嵗行天三百 实三六○ 如图先列三百六十度
六十度分为 百十 为实次简两筹行内有
七十二每 三六○与实相同用减
几何度 原实恰尽 次查所简
【答曰】每五度 系筹之第五行商作五又查所减第一位是三将商数五对三字书之
定位法曰此法少于实也宜于原实内寻十度位即法首位也法首再上一位为单度定所得为五度假令实是三千六百则所得为五十度如后图
定位法曰此亦法少于实也法亦于
原实内寻法首十位再上一位为单
位单位空补作圏再上一位是十度
定所得为五十度用筹同而得数逈
异定位之法所以当明也
再商式 法此欲分为一十二分也故以一二
假如皇极经世 为法用两筹
一元共一十二 实 如图列实【一元总数】简万九千六百年 ○一二九六○○筹第一行是○一
分为一十二会 十万千百十年二商作一数【第一行故】
各几何 【商一】减实一十二万
答曰每防一万 余九千六百不尽
○八百年 再用筹如法除之又因所减数是○一二故于原实首补作圏而以商得一对此○位书之【即所减筹上第一位也】此定位之根不可错须细审之
简两筹第八行是○九六与余实
相合再商八【第八行故也】减余实九千
六百恰尽
此所减数亦是○九六故以商得
八进位书之以暗对其○
如此审定商数位置已知不错而初商次商隔一位不相接是得数有空位也乃于其间补作圏为一○八
假如隔两位则作两圏三位以上仿此求之若非于商数审其位置鲜不误矣此算中一大闗键也非此则不能定位
定位诀曰此亦法少于实也从原实内寻法首十位再上一位是单年单位空补作圏又上一位是十十亦
【亦补作圈又上一位是百知所】
【得为八百年 也知百知千万矣定为一万○八百年假 如黄钟之法此欲分得二】【千一百八十实一十七万七乃为一分故以二一八七千】
【一百四十七为法用四筹】
【七其分法二千一百八十】
【七问若干分答曰八十一】
空
二千一百八十七再商之
简筹第一行是○二一八七正合
余实再商一除实恰尽
次商一进位书暗对所减○位
定位诀从原实寻法首位千逆转
上一位得单分则余位皆定
按筹算原书于定位颇略又其为法原实横而商数纵各居其方不相依附定位颇难故虽厯书间有讹位今特详之而两两直书于定位尤易亦足见余之非好为异也
四商法
假如有小珠三十 四此欲分为九分有【为主】竒也万三千一百五十四故粒【则六分五厘是其竒零九分之分去声】换得大珠重九钱以为法用筹三根【九六五】六分五厘每大
珠一如后图列实 先简筹第钱换小珠【三】
几何粒行略少 于【二八九五】实商减答曰【三】每
钱换三万五实余 实【二十八万九千】千五【五百五万三千】
百六十粒以 【六百五】续商以钱
次简筹第【五】行是【四八二五】为略少于余
实商【五】减余实【四万八千二百五十】仍余【五千
四百○四】以待第三商
原实 又简筹第【五】行是【四八二五】为略少于余
实又商【五】减余实【四千八百二十五】仍余
商数 【五百七十九】知尚有第四商也
又简筹第【六】行是【五七九○】与余实恰合
四次商数俱对首位 商作【六】除余实【五百七十九】恰尽定位诀从原实中寻法首【单】位逆转上一位得【单】粒定所得为【三万五千五百六十○粒】命为大珠每钱所换小珠之数五园问曰法是钱数实是粒数不类也何定位亦如是准乎勿庵曰此定位之法所以的确不易也且钱与粒不类子疑之固矣抑知单与单之为一类乎葢所问是每钱若干故钱数为单位若问每分若干则法首钱数为十位得为【三千五百五十六】矣故定位须详问意乃要诀也
法有○筹式 法此欲分作【九百○七分】也故以【九○七】
假如布二万 为法用三筹
一千七百六 如图简筹第【二】行
十八丈给与 【一八一四】商作【二】减实
九百○七人 【一万八千一百四十】余【三千六百】
各几何 【二十八丈】次简第【四】行
答曰【每人二 三六十四丈 二八】商【四】除实尽以上例皆法少于实故法首在原实中乃本法也
以上两例皆法多于实者其法首位或在原实中必原实首位也或不在原实中则在其原实上几位也要之皆不能满法其所得必为分秒乃通变之法也
论曰除者分也吾欲作几分分之则为法所分之物为实所分之物能如所欲分之数则为满法满法则成一整数假如【三十六】人分布而布有【三十六】丈则各人分得一丈古云实如法而一正谓此也程大位算法统宗曰归扵法前得零其意亦同此立法之本意也乃有所分之物原少于所欲分之数是不满法也既不满法则不能成一整数而所分者皆分秒之数假如【三十六】人分布【二十七】丈则每人不能分一丈只各得【七尺五寸】是于【一丈】内得其【七分五秒】也然必先知整数然后可以知分秒故必于原实上虚拟一满法之位若曰能如此则分得整数矣而今不能则所分得者皆分秒也于是视所拟整数虚位距商数若干位而命之若相差一位则得为十之一【如两有钱尺有寸】隔位则为百之一【如两有分丈有寸】此乃通变之法要其为法上得零则一而已矣
又论曰此原实即不满法也若余实不满法除之终不能尽则以命分之法御之详后
命分法
法曰凡除法商数至单已极而有余实不尽者不能成一整数也则以法命之此有二法
一法即以除法为命分不尽之数为得分则云几十几分之几
解曰命分者以一整数拟作若干分而命之如满此数则成一整数而今数少故命之也得分者今所仅有之数在命分数内得若干也【命分者古谓之分母得分者古谓之分子】
假如古厯以九百四十分为日法每年三百六十五日又九百四十分日之二百三十五约为四之一【约法见后】
一法除之至尽古厯家所谓退除为分秒是也单下有一位命为十分之几有两位命为百分之几十几三位则命分千四位则命分万皆以除得数为得分
假如授时厯法每嵗三百六十五日二千四百二十五分是以万分为日即命分也
式如后
假如五尺为歩每方一歩积二十五尺今有积二百四十尺得若干步
答曰九步又五分步之三
如图列实简筹第九行是二二
五商作九【第九行故】减实二百二十
五尺余一十五不尽以法命之
命为九步又二十五分歩之一
十五约为五之三【约分法见后】
若用第二命分法再列余实加
○位商之以得其分秒如后
余实下加一圈则一十五尺通
为一百五十分可再商矣
简等第六行是一五○商六分
除余实恰尽
命分九歩六分【即十分歩之六
命分第二法与法多于实除法同故皆曰除分秒也】
若余实为一十六尺则又不尽一尺法当于不尽一○之下再加一圈为一○○使此一尺化为一百分而再除之得四厘共九歩六分四厘【即百分歩之六十四】
约分法
约分者约其繁以从简也
法曰母数子数平列相减而得其纽数即以纽数为法转除两原数而得其可约之分
凡约分相减不拘左右但以少减多如左少右多则以左减右左多右少则以右减左若减之后或多者变而少则转减之必减至左右相同无可减而止即纽数也【若一减之即得纽数则不必转减】
解曰纽数者互相减之余数相等者也以此除两数则皆可分乃两数之枢纽
若相减至尽而无纽数者则不可约
假如母数二十五子数一十五约之若干
畣曰五之三
一○ 先以【十五】 复以【一十】 ○五
二五 减【二十五】一○转减【十五】 一○
一五 余【一十○】一五 余【○五】 ○五
复以【○五】转减【一十】余【○五左右皆五即为纽数】以纽数【○五】为法转除母【二十五】得【五】除子数【一十五】得【三】故曰五之三葢母数是五个五子数是三个五也
此转减例
又如母数九百四十子数二百三十五约之若干畣曰四之一
先以【二百三十五】减【九百四十】余【七百○五】又减之余【四百七十○】又减之余【二百三十五】
左右皆【二百三十五】即纽数也
以纽数【二百三十五】转除母数【九百四十】得【四】除子数【二百三十五】得一故曰四之一
母数是四个【二百三十五】
子数是一个【二百三十五】
此不转减例
厯算全书巻三十
钦定四库全书
厯算全书巻三十一
宣城梅文鼎撰
筹算二之三
开平方法
勿庵氏曰自周髀算经特着开平方法其説谓周公受于商髙矩地规天为用甚大然有实无法故少广之在九数别自为章今以筹御之简易直截亦数学之一乐也
解曰平方者长濶相等之形也其中所容古谓之幂积亦曰面幂西法谓之面面有方有圆此所求者方面也其法有方有亷有隅总曰平方也【幂音覔覆物中也】开亦除也以所有散数整齐而布列之为正方形故不曰除而曰开平方四边相等今所求者其一边之数西法谓之方根
如后图方者初商也初商不尽则倍初商之根为亷法除之得两亷又以次商为隅法自乘得隅隅者以补两廉之空合一方两亷一隅成一正方形
如图一方两廉一隅除积仍不尽则合初商次商倍之为廉法除之以得次两廉又以三商为隅法自乘得隅合一方四廉两隅成一正方形【商四次以上仿此加之】
解曰上两位者自乘之积也假如方一十则其积一百方二十则其积四百以至方九十则其积八千一百也下一位者方根也假如积一百则其根一十积四百则其根二十乃至积八千一百则其根九十也平方筹式列左
开平方筹只用两位积数何也曰开方难得者初商耳平方积数虽多而初商所用者只两位次商以后皆亷积也亷积可用小筹除之开方大筹専为初商故积止两位
筹下一位单数也而实有百也万也百万也亿也百亿也万亿也百万亿也皆与单同理故独商首位者用下位之积数焉【其积自○一至○九其方根为一二三】
筹上一位十数也而实有千也十万也千万也十亿也千亿也十万亿也干万亿也皆与十同理故合商两位者用上下两位之积数焉【其积自一六至八一其方根自四至九】
用法曰先以实列位列至单位止实有空位作圏以存其位次乃作凡作之法皆从实单位实单位起作一毎隔位则之而视其最上一以为用首位有防者以实首一位独商之【乃补作一圏于原实之上亦成两位之形】
首位无在次位者以实首位合商之
皆视平方大筹积数有与相同或差小于实者用之以减原数而得方数即初商也
定位法曰既得初商则约实以定其位知其所得为何等【或单或十或百之类】以求次商
其法依前隔位所作之总计之视有若干防
假如只一者初商所得必单数也【自方一至方九】则初商已尽无次商矣
有二者初商所得必十数也【自方一十至方九十】初商十数者有次商
有三者初商所得必百数也【自方一百至方九百】初商百数者有次商又有三商
有四者初商千也有商四次焉
有五者初商万也有商五次焉
次商法曰依前术定位则知其宜有次商与否
若已开得单数虽减积不尽不必更求次商也虽未开得单数而初商减尽亦不必更求次商也惟初商未是单数而减积又有不尽是有次商矣次商者 倍初商为亷法用小筹以除之【初商一则用第二筹初商七则用第一第四两筹皆取倍数】视筹积数有小于余实者用之为亷积视亷积在小筹某行命为次商数
既得次商减去亷积即用次商数为隅法以求隅积隅积小平方也即隅法自乘之数也【可借开方筹取之】若隅积大于余实不及减者转改次商及减而止
以数明之 假如积一百其方根十即除实尽此独用方法无亷隅矣若积一百四十四初商十除实百余四十四则倍初商之根得廿为亷法【在初商之两旁故曰亷亷有二故倍之也】次商二以乘亷得四十为亷积又次商二为隅法自乘得四为隅积共四十四除实尽开其根得一十二也
商三次以上法曰次商所得尚非单数而减积又有不尽是有第三次商矣
商第三次者合初商次商数皆倍之为次亷法 如前用筹以除余实求得第三商以减亷积
又即以第三商之数为隅法以求隅积皆如次商
商四次五次以上并同第三商
命分法曰但开至单数而有余实者是不尽也不尽者以法命之法以所开得数倍之又加隅一为命分不尽之数为得分 凡得分必小于命分
亦有开未至单宜有续商而其余实甚少不能除作单一者亦如法命之而于其开得平方数下作圈纪其位如云平方每面几十○又几十几分之几 或平方每面几百○○又几百几十几分之几
若欲知其小分别有开除分秒法见第七巻
列商数法曰凡初商得数而书之有二法 其法依前隔位所作以最上一为主凡得数皆书于此之上一位五以上者又进一位故有二法也
其故何也五以上之亷倍之则十故豫进一位以居次商四以下虽倍之犹单数也所以不同凡归除开平方须明此理不则皆误矣 大约所商单数必在亷法之上一位乃法上得零之理也平方有实无法亷法者乃其法也
凡次商列位亦有二法 次商用归除除法者皆书于筹之第一位故次商以之
看次商所减之数其筹行内第一位是空与否若不空即以次商数对而书之对余实首一位是也
若第一位是圈即以次商数进位书之以暗对其圏余实上一位是也
知此则知空位矣次商有一定之位故空位亦一定也如次商与初商隔位则作圈隔两位作两圈是也
商三次以上书法并同
隅积定位法曰凡减隅积皆视其隅数为何等【隅数即次商之数也或单或十或百千等】以求其积
隅数是单其减隅积亦尽于单位
隅数是十其减隅积必尽于百位
隅数是百其减隅积必尽于万位
隅数千其隅积必百万
隅数万其隅积必亿
每隅数进退一位则隅积差两位【隅积小平方也故皆与初商同理】
还原法曰凡开方还原皆以所开得数为法又为实而自相乘之有不尽者以不尽之数加入即得原数
假如有积三百六十平方开之
列位【单位作圈】作防【从单位起】
视首位有以首位三百独商之乃视平方筹积数有小于○三者是○一也○一之方一故商一十【有二故初商是十】
于原实内减去方积一百余二百六十【初商是十知有次商】以上一为主凡得数皆书于此之上一位此常法也四以下用常法
次倍初商【一十】作【二十】用第二筹为亷法
视筹第九行积一八小于二六次商九于初商一十之下去亷积一百八十余八十【所减数在筹上一位不空故以商数九对余实首位书之】
次以次商九为隅法其隅积八十一大于余实不及减应转改次商为八视筹之第八行积数【一六】减亷积一百六十余一百【所减第一位下空故对位书之】
乃以次商八为隅法减隅自乘积【六十四】余【三十六】不尽
隅数单故减隅积亦尽于单位
初商【一十】次商【八】共【一十八】是已开至
单位也而有单位也以法命之 以平方【一十八】倍之又加隅【一】共【三十七】为命分
命为平方一十八又三十七分之三十六
还原法
以平方一十八用筹为法即以平方
一十八为实而自相乘之得三百二
十四加入不尽之数三十六共得三
百六十如原数
命分还原论详别巻
假如有积一十二万九千六百平方开之
列位 作
视首位无在次位以两位一
十二万合商之
乃视平方筹积有小于一二者是
○九其方三也于是商三百【三故初商百】减去方积九万余三万九千六百【初商百故知有次商】
次倍初商【三百】作【六百】用第六筹为亷法
视筹第六行积数【三六】小于【三九】次商六十于初商三百之下减去亷积三万六千余三千六百【所减首位不空故对书之】次以次商【六十】为隅法减隅积三千六百恰尽【隅数十故减隅积必尽于百位】
凡开得平方三百六十○ 开方虽未至单减积已尽是方面无单数也后仿此
还原法
以所得平方三百六十○为法为实而自相乘之得一十二万九千六百○○如原数
假如有积一千平方开之
列位 作防
视在次位以首二位一千○百合商之
乃视平方筹小于【一○】者【○九】也【○九】
之方三商作三十【二防故初商十】减方积九百余一百次以初商【三十】倍作【六十】用第六筹为亷法
视第六筹第一行是【○六】小于【一百】次商一千初商三十之下减亷积六十余四十【所减是○六首位空也故书于进位以对其○今虽对于余实以所减六十言之犹进位也列位之理明矣】
次以次商一为隅法减隅积一余三十九不尽【隅积尽单位】
所开已至单位而有不尽以法命之倍所商三十一又加隅一共六十三为命分
命为平方三十一又六十三分之三十九
此以上皆初商四以下列位之例 皆以最上之一为主而书其初商所得数于防之上一位乃常法也
假如有积四千○九十六平方开之
列位 作
视在次位以四千○百合商之
乃视平方筹积数有三六小于四○
其方六也商作六十【二防故初商十】减方积
三千六百余四百九十六【初商十故知有次商】
以最上一为主而书其得数于之上两位乃进法五以上用进法
次倍初商【六十】作【一百二十】为亷法【用第一第二两筹】视筹第四行积数【四八】小于余实次商四于初商六十之下减亷积四百八十余一十六【所减是○四八首位空也故次商四进位书之若初商不进则次商同位矣】
次以次商四为隅法减隅积一十六恰尽【隅数单故隅积尽单位】
凡开得平方六十四
假如有积八千○九十九以平方开之
列位 作
视在次位以八千○百合商之
乃视平方筹有【六四】小于【八○】 其方
八也于是商八十【二防故初商十】除实六千
四百余一千六百九十九【初商是十宜有次商】次以初商八十倍作一百六十为亷
法【用第一第六两筹】
合视两筹第一行积【一六】与余实同宜商【一十】因无隅积改用第九行【一四四】次商九于初商八十之下减亷积一千四百四十余二百五十九【所减第一位不空故对位书之】
次以次商九为隅法减隅积【八十一】仍余一百七十八不尽【隅数单隅积尽单位】
已开至单位而有不尽以法命之 应倍所商八十九又加隅一共一百七十九为命分
命为平方八十九又一百七十九分之一百七十八【因少一数故不能成九十之方】
假如有积二千五百四十八万二千三百○四平方开之列位 作
视在次位以二千五百万合商
之
乃视平方筹积有【二五】与实相
同其方五也商五千【四防故初商千】除方积二千五百万余四十八万二千三百○四【初商千有次商】
【又法既以四防知所得为五千倍之则为一万即亷法也法上一位便是单逆上三倍则五千位矣】
次倍初商【五千】作【一万】为亷法【用第一筹】
视筹第四行积四与余实同次商四十于初商五千之隔位减亷积四十万余八万二千三百○四【所减是○四故进位书之以对其○然与初商五千犹隔一位故知所得为四十此定位之法之妙也】次以次商四十为隅法减隅积一千六百余八万○七百○四【隅数十故减隅积尽于百位 商至十有末商】
次合初商次商倍之得【一万○○八十】为亷【用第一第八并二空位共四筹】
【大凡商五数以上则其亷法视所商方数必进一位不论初商次商皆然若四以下则其亷法视方数必同位亦初次商尽然】
合视筹内第八行积数【八○六四】小于余实又次商八于先商五千○四十之下减亷积八万○六百四十余六十四【此所减第一位亦是○故商数八亦进位书之以对其○】
次以末商八为隅法用减隅积六十四恰尽【隅数是单故减隅积亦必尽于单位】
凡开得平方五千○四十八
以上皆商五以上进书例也
常法中有初商得二或四者进法中有初商得七或九者并杂见开方分秒法并开方捷法中
开立方法【筹算三】
勿庵氏曰物可以长短度者泰西家谓之线线之原度一横一缩而自相乘之以得其羃积者平方也西法谓之方面方面与线再相乘而得其容积则立方也西法谓之体
解曰平方长濶相等形如碁局立方长濶髙皆相等形如骰子细分之有方有平亷有长亷有小隅总曰立方
立方亦有实无法以所有散数整齐之成一立方形故亦曰开
立方长濶髙皆等今所求者其一边之数故西法亦曰立方根
如图方者初商也初商不尽
则再商之于是有三平亷三
长亷一小隅共七并初商方
形而八合之成一立方形
如图方形者长濶髙皆如初商之数
方形只一
如图平亷形者长濶相同皆如初商数其厚则如次商数 【平亷形凡三以辅于方形之三面】长亷者长如初商数其两头髙与濶等皆如次商数 【长亷形亦三以补三平亷之隙】
小隅者长濶髙皆等皆如次商数 【其形只一以补三长亷之隙】
商三位图
如后图一方三平亷三长亷
一小隅除实仍不尽则更商
又得次平廉次长廉各三
次小隅一合之共十五形凑
成一大立方形 次平亷之
长濶相等皆如初商并次商
之数厚如三商数其形三以
辅初商并次商合形之外 次长亷之长如初商并次商之数其濶与厚相等皆如三商数其形亦三以补次平亷之隙次小隅之长濶髙皆等皆如三商数其形只一以补次长亷之隙
立方筹式【列后】
解曰上三位者自乘再乘之积也假如根一十则其积一千根二十则其积八千乃至根九十则其积七十二万九千也 次两位者自乘之积即平方也置于立方
筹者以为亷法之用假如初商一百则
其平亷亦方一百其积一万乃至商九
百则其平亷方九百而积八十一万也
又如次商一十则其长亷之两头亦必
方一十而积一百乃至次商九十则其
长亷之两头必方九十而积八千一百
也 下一位者方根也假如立积一千
则其根一十立积八千则其根二十乃
至积七十二万九千则其根九十也
立方筹三位何也自乘再乘之数止于三位也且以为初商之用故只须三位其余实虽多位皆亷积耳
用法曰先以积列位至单位止无单者作圈以存其位次作从单位起每隔两位作一【即满三位去之之法也】讫视最上一以为用
在首位者独商之以首位为初商之实
单数商法也 若千若百万若十亿若万亿若千万亿凡以三位去之余一位者皆与单法同
在次位者合首两位为初商之实
十数商法也 若万若千万若百亿若十万亿若兆凡以三位去之余二位者皆与十同法
在第三位者合首三位为初商之实
百数商法也 若十万若亿若千亿若百万亿若十兆凡以三位去之余三位者皆与百同法
又法视其在首位则于原实之上加两圈在次位者上加一圈皆合三位而商之
次以初商之实与立方筹相比勘视立方筹积数有与实相同或差小于实者用之以减原实而得其立方之数即初商也
定位法曰既得初商则约实以定位知所得立方为何等【或单或十百等】以知有续商与否 皆以前所作防而合计之视有若干之命之
假如只有一则商数是单 初商已得单数无次商
有二防者商数十 初商十数者有商两次焉有三者商数百 初商百数者有三三次焉四商千 五防商万 每多一防则得数进一位而其商数亦多一次皆以商得单数乃尽也
减积法曰凡初商减积皆止于最上之位
次商法曰依前定位若初商末是单而减积未尽是有次商也次商者有平亷法有长亷法有隅法【解曰平亷古曰方法长亷法古曰亷法以后或曰平亷长长亷从质也或省曰方法亷法从古也】
先以所得初商数三之为亷法
又以初商数自乘而三之为三法 以方法用筹除积以得次商【以列位之法定之其法见后】
既得次商用其数以乘方法为三平亷积
又以次商自乘以乘亷法为三长亷积
其次商即为隅法 以隅法自乘再乘得小立方积为隅积
乃并三平亷三长亷一小隅积为次商亷隅共积若此亷隅共积与余积适等或小于余积则减而去之视其仍余若干以为用【或续商或以法命之】
若共积反大于余实不及减转改次商及减而止【若次商单一而无减以法命之】
商三次法曰次商尚未是单而减积未尽是有第三次商也
第三次商者合初商次商得数而三之为亷法又合初商次商得数自乘而三之为方法 如前以方法用筹除余实求得第三商【亦以列位法详其所得】
既得第三商如前求得三平亷三长亷一小隅积以减余实其法并同次商
四次以上皆同法
命分法曰但商得单数而有不尽则以法命之 未商得单数而余实甚少不能商单一者亦以法命之其法以所商立方数自乘而三之【如平亷】又以立方数三之【如长亷】又加单一【如小隅】并三数为命分不尽之数为得分 其命分必大于得分
列商数法曰依前隔位作防以最上一为主而论之有三法凡商得立方一数者于此之上一位书之【或单一或一十或一百或一千并同】此常法也
若商得立方二三四五者于此之上两位书之【单十百千其法并同】乃进法也
若商得立方六七八九者于此之上三位书之【单十百千其法并同】乃超进法也
平方只有进法而立方有三法何也平方以亷法为法而平方只二亷故其亷法之积数只有进一位故止立进法与常法为二也立方以方法为法而立方有三平廉故其方法之积数有进一位进两位故立进法超进法而与常法为三也其预为续商之地使所得单数居于法之上一位则同
假如立方单一其方法单三 若立方单二则方法一十二变为十数进一位矣故单一用常法而单二即用进法也
又如立方单五其方法七十五 若立方单六则方法一百○八又变百数进两位矣故单五只用进法而单六以上必用超进之法也
假如立方一十其方法三百 若立方二十则方法一千二百变千数进一位矣故一十只用常法而二十即用进法也
又如立方五十其方法七千五百 若立方六十则方法一万○八百又变万数进两位矣故五十仍用进法而六十以上必用超进之法也
若宜进而不进宜超进而不超进则初商次商同位矣不宜进而进则初商次商理不相接矣此归除开立方之大法也
其次商列位理本归除以所减积数首一位是空不是空定其进退皆同平方 商三次以上并同
隅积法曰隅法单隅积尽单位 隅法是十隅积尽于千位
隅法百隅积尽百万之位 以上仿求 大约隅法大一位则隅积大三位
还原法曰置开得立方数为实以立方数为法乘之得数再以立方数乘之有不尽者加入不尽之数即得原实
假如有积一千三百三十一立方开之
列位 作【从单位起】
视首位有以○○一千为初商
之实
乃视立方筹有○○一其立方一
于是商一十【有二故商十】减去立方积一千余三百三十一【初商十者有次商也】
以最上为主商一数者书于防之上一位常法也次以初商一十而三之得三十为亷法
又以初商一十自乘而三之得三百为方法【用第三】
视筹第一行积数○三与余
实同次商一于初商一十之
下【减积首位是○故进位书于一十之下以暗对其○】
于是以次商一乘方法仍得三百为平亷积 又以次商一自乘仍得一用乘亷法仍得三十为长亷积又以次商一自乘再乘皆仍得一为隅积 并三
积共三百三十一除余实恰尽
凡开得立方一十一【还法以立方一十一自乘得一百二十一又以一十一再乘合原积】
假如有积一十二亿五千九百七十一万二千立方开之列位 作
视首位有以○○一十
亿为初商之实
乃视立方筹有○○一其方亦一于是商一千减立方积一十亿余二亿五千九百七十一万二千次以初商一千而三因之得三千为亷法
又以初商一千自乘得一百万而三之得三百万为方法【用第三筹】
视第三筹之第八行积数二四小于余实次商八十于初商一千之下一位【所减首位不空故次商八书本位而上一位作○因与次商隔位故知其是十】
就以次商八十乘方法三百万得二亿四千万为平亷积
又以次商八十自乘得六千四百用乘廉法三千得二千九百二十万为长亷积 又次商八十自乘再乘得五十一万二千为隅积 并三积共二亿五千九百七十一万二千除实尽
凡开得立方一千○八十○【初商千次商○八是十而除实已尽是所商单位亦○也此列位之妙】
以上皆商得一数例也 皆以最上一为主而以初商得数书于之上一位乃常法也惟商得一数者可用常法一十一百一千一万并同
假如有积九千二百六十一立方开之
列位 作
视在首位以○○九千命为初商之实
乃视立方筹积有小于○○九者
○○八也其立方二于是商二十
【二故初商十】减立方积八千余一千二
百六十一
以最上一为主而以得数书于防之上两位乃进法也商二至五之法也
次以初商二十用三因之得六十为亷法
又以初商二十自乘得四百而三因之得一千二百为方法【用第一第二两筹】
合两筹第一行积一二与余实相同次商单一于初商二十之下【所减首位空宜进书也若初商不先用进法则无以处次商矣故进法自商二始】
就以次商一乘方法仍得一千二百为三平亷积又以次商一自乘得一用乘亷法仍得六十为三长亷积又以次商一自乘再乘皆仍得一为隅积 并三积共一千二百六十一除实尽凡开得立方二十一
假如有立方积三万二千七百六十八立方开之问得若干
列位 作
视在次位以○三万二千为初
商之实乃视立方筹积小于○三
二者是○二七其立方三也于是
商三十【二防故初商十】减商三十【二故初商十】减立方积二万七千余五千七百六十八
次以初商三十用三因得九十为亷法
又以初商三十自乘得九百而三之得二千七百为方法【用第二第七两筹】
合视两筹第二行积○五四小于余实次商单二于初商三十之下【所减首位○宜进书以对其○】
就以次商单二乘方法得五千四百为平亷积 又以次商自乘得四用乘廉法得三百六十为长廉积又以次商自乘再乘得八为隅积 并三积共五
千七百六十八除实尽凡开得立方三十二
假如有立方积一十一万七千六百四十九立方开得若干
列位 作
视在第三位以一十一万七千为初商之实
乃视立方筹积有小于一一七者
○六四也其立方四于是商四十
【二故初商十】减立方积六万四千余五
万三千六百四十九 次以初商四十用三因之得一百二十为亷法
又以初商四十自乘得一千六百而三之得四千八百为方法【用第四第八两筹】
合视两筹第九行积数四三二小于余实次商九于初商四十之下【所减首位不空故本位书之】
就以次商九乘方法得四万三千二百为平亷积又以次商九自乘得八十一用乘亷法得九千七百二十为长亷积 又以次商九自乘再乘得七百二十九为隅积 合计亷隅三积共五万三千六百四十九除实尽
凡开得立方四十九
假如有积一千六百六十三亿七千五百万立方开得若干
列位 作
视在第三位以一千六百六十亿为初商之实
乃视立方筹有小于一六
六者是一二五其立方五
也商作五千【四商千】除立方
积一千二百五十亿余四百一十三亿七千五百万次以初商五千用三因之得一万五千为亷法又以初商五千自乘得二千五百万三因之得七千五百万为方法【用第七第五两筹】
合视两筹第五行积三七五小于余实次商五百于初商五千之下【所减首位不空故书本位】
就以次商五百乘方法得三百七十五亿为平亷积又以次商五百自乘得二十五万用乘亷法得三
十七亿五千万为长亷积 又以次商五百自乘再乘得一亿二千五百万为隅积 并三积共四百一十三亿七千五百万除实尽 凡开得立方五千五百○○
以上乃商得二三四五之例也 皆以最上一为主而以初商所得进书之上两位进法也初商得二三四五者用进法单十百千并同
假如有积二十六万二千一百四十四立方开之列位 作
视在第三位以二十六万二
千为初商之实
乃视立方筹有小于二六二者
二一六也其立方是六商六十【二防商十】减立方积二十一万六千余四万六千一百四十四
以最上一为主而以得数书于之上三位超进法也乃商六至九之法也
次以初商六十用三因之得一百八十为亷法又以初商六十自乘得三千六百而三因之得一万○八百为方法【用第一空位第八三筹】
合视筹第四行积四三二小于余实次商四于初商六十之下【所减首位是○故进位书之以对其○】
就以次商四乘方法得四万三千二百为平亷积又以次商四自乘得一十六用乘亷法得二千八百八十为长亷积 又以四自乘再乘得六十四为隅积 并三积共四万六千一百四十四除实尽凡开得立方六十四
假如有积三十七万三千二百四十八立方开之列位 作
视在第三位以三十七万三千为初商之实
乃视立方筹积有小于三七三
者是三四三其立方七也商七
十【二商十】减立方积三十四万三
千余三万○二百四十八次以初商七十用三因之得二百一十为亷法
又以初商七十自乘得四千九百三之得一万四千七百为方法【用第一第四第七三筹】
合视筹第二行积二九四小于余实次商二于初商七十之下【所减首位空故进位书之以对其○】
就以次商二乘方法得二万九千四百为平亷积又以二自之得四用乘亷法得八百四十为长亷积又以二自乘再乘得八为隅积 并三积共三万
○二百四十八除实尽凡开得立方七十二
假如有积五十三万一千四百四十一立方开之列位 作
视在第三位以五十三万一千为初商之实
乃视立方筹积有五一二小于
五三一其方八也商八十【二商十】减立方积五十一万二千余一
万九千四百四十一
次以初商八十用三因之得二百四十为亷法又以八十自乘得六千四百三之得一万九千二百为方法【用第一第九第二三筹】
合视筹第一行是一九二小于实次商一于初商之下 就以次商一乘方法为平亷积 又以一自乘用乘亷法为长亷积 又以一自乘再乘为隅积并三积共一万九千四百四十一除实尽
凡开得立方八十一
假如有积九十七万○二百九十九立方开之
列位 作
视在第三位以九十七万○为初商之实
乃视立方筹有七二九小于九七○其方九也商九
十【二商十】减积七十二万九千余
二十四万一千二百九十九
次以初商九十三之得二百七十为亷法
又以九十自之得八千一百而三之得二万四千三百为方法【用第二第四第三三筹】
合视筹第九行是二一八七小于余实次商九于初商九十之下【所减首位不空故本位书之】
就以次商九乘方法得二十一万八千七百为平亷积 又以九自乘得八十一以乘亷法得二万一千八百七十为长亷积 又以九自乘再乘得七百二十九为隅积 并三积共二十四万一千二百九十九除实尽凡开得立方九十九
此以上皆初商六七八九之例也 皆以最上一为主而以得数书于之上三位乃超进法也初商六七八九用超进之法单十百千并同
命分例
假如有立方八百一十尺问立方每面各若干
列位 作
在第三位以八百一十○尺为
初商之实
视立方筹有小于实者为七二九
其立方九商九尺减积【七百二十九尺】余【八十一尺】
此商数已至单尺而有不尽当以法命之
法以商数九自乘【八十一】而三之得【二百四十三】如平亷又置商数九而三之得【二十七】如长亷 加小隅一共【二百七十一】为命分
命为立方每面九尺又二百七十一分尺之八十一此商得单数而有不尽以法命之例也
又如有立方积一亿二千五百七十五万尺问立方若干
列位 作
在第三位以一亿二千五百万
尺为初商实
视立方筹有【一二五】恰与实合商【五百尺】减实【一亿二千五百万尺】余【七十五万○○○○尺】
有三故知所商是【五百尺】宜有第二商第三商也乃以初商【五百尺】自乘【二十五万尺】而三之得【七十五万尺】为平亷法又以初商【五百尺】三之得【一千五百尺】为长亷法视余实【七十五万尺】仅足平亷之数而无长亷知第二商第三商皆空也补作两圈而以法命之
法以平亷法长亷法合数加小隅一共【七十五万一千五百○一尺】为命分
命为立方每面五百尺又七十五万一千五百○一分尺之七十五万○○○○
此商数虽未至单而余实甚少不能成一整数亦以法命之例也
厯算全书巻三十一
钦定四库全书
厯算全书巻三十二
宣城梅文鼎撰
筹算四之五
开带纵平方法
勿庵氏曰算有九极于勾股勾股出于圆方故少广旁要相资为用也然开平方以御勾股而纵法以御和较古有益积减积翻积诸术参伍错综尽神通变要之皆带纵一法而已
【平方者长濶相等如碁局也平方带纵者直田也长多于濶之数谓
之纵纵之濶如平方之数其长则如纵之数纵与方相乘得纵积以
加方积成一直田形积也】
平方与方纵两形初商之积也两
亷一隅一亷纵者次商之积也亷
有二故倍之亷之纵只一故不倍
也
如前图除积不尽则有第三商如
此图虽三商亦只倍亷而不倍纵
四商以上仿此详之
用法曰先以积列位如法作防从单位起隔位防之视防在首位独商之防在次位合两位商之皆命为实次以带纵数用筹与平方筹并列之各为法
视平方筹积数有小于实者用其方数为初商用其积数为方积【初商自乘之数也】 即视纵筹与初商同行之积数用之为纵积【初商乘纵之数也如初商一则用纵筹第一行】兼方积纵积两数以减原实而定初商【必原实中兼此两积之数则初商无悮矣故曰定】 若原实不及减改而商之如前求得两积以减之为初商定数 不及减又改商之及减而止若应商十数因无纵积改商单九是初商空也则于初商之位作○而纪其改商之数于○下若次商者然【初商应是百而改九十应是千而改九百并同】
定位法曰既得初商视所作原实之防共有几何以定其得数之位以知其有次商与否【如一防则得数是单而无次商二防则得数是十而有次商之类皆如平方法取之】
次商法曰依前定位知初商未是单数而减积又有未尽是有次商也 次商之法倍初商加入纵为亷法用筹除之 视亷法筹行内之积数有小于余实者用为亷积以减余实用其行数为次商 就以次商自乘为隅积以减余实以定次商【必余实内有亷隅两积则次商无误】不及减者改商之及减而止皆如平方法
商三次以上并同次商
命分法曰若得数已是单而有不尽则以法命之 法以所商数倍之加入纵为亷又加隅一为命分不尽之数为得分
亦有得数非单而余实少在亷法以下不能商作单一者亦以法命之 法即以亷法加隅一为命分
列商数法曰依平方法视所作防而以最上一防为主若初商五以上【不论单五或五十或五千或五百并同】皆用进法书其其得数于防之上两位则不论纵之多少也
若初商四以下【亦不论单十百千】则以纵之多少而为之进退法以纵折半加入初商【单从单十从十百千各以类加】若满五以上者变从进法书于防之上两位【如初商四而纵有二初商三而纵有四之类】
若纵数少虽加之而仍不满五数者仍用常法书其得数于防之上一位【如初商四而纵只有一初商三而纵只有二只有二之类】总而言之所商单数皆书于亷法之上一位故初商得数有进退之法乃豫为亷法之地以居次商也初商五以上倍之则十虽无纵加亷法已进位矣初商虽四以下而以半纵加之满五则其倍之加纵而为亷法也亦满十而进位矣亷法进位故初商必进两位书也若加半纵仍不满五则其亷法无进位矣故初商只进一位而书之葢豫算所商单数已在亷法之上也
又初商若得单数其亷法即为命分凡商得单数必在命分之上一位以此考之庶无谬误
假如有直田积六十三步但云濶不及长二步
列位【依平方法】作防【从单位起】
视防在次位合六十三步商之为实次以平方筹与纵二筹平列之各为法
视平方筹积有【四九】小于【六三】其方七也商作单
七【用进法书于防之上两位 一防知所商是单】
即视带纵筹第七行积数【一四】用为纵积
并方积【四十九】纵积【一十四】共六十三除实尽【此亦偶除尽耳设不尽其命分必是十数故前商七之数必进书之以存其位】
定为濶七步 加纵二步得长九步
凡得数在五以上用进法书于防之上两位此其例也
假如有直田六百三十步但云长多濶二步
列位【无单位补作圈】作防
视防在首位独商之以○六百步
为实
以平方带纵二各用筹为法
视平方筹积数有【○四】小于【○六】
其方二商二十步【二防故初商十】自乘得方积【四百步】随视纵筹第二行是【四】得纵积【四十步】并两积共四百四十步以减原实余一百九十步再商之【初商十故有次商也商数二十以纵折半得单一加之共二十一仍不满五数故只用常法书于防之上一位】
次以初商【二十步】倍之【四十步】加纵【二步】共四十二步为亷法【用第四第二两筹】
合视两筹第四行积数【一六八】小于【一九○】次商【四】减亷积一百六十八步余二十二步【所减首位不空次商故书本位】次以次商【四步】为隅法自乘得【一十六步】为隅积用减余实不尽六步以法命之【初商虽不进位所得次商单数已在命分之上一位矣列商数法妙在于此】倍所商【二十四步】为【四十八步】加纵【二步】又加隅【一步】共五十一步为命分
命为濶【二十四步】又【五十一分步之六】加纵【二步】得长【二十六步】又【五十一分歩之六】
凡得数在四以下以半纵加之仍不满五则只用常法书于防之上一位此其例也
假如有直田五亩但云长多濶八十八步
列位【以亩法二百四十通之得一千二百步十步单步空补作两圈】作防
视防在次位合商之以一千二
百步为实纵有两位用两筹与
平方筹并列各为法
先视平方筹有【○九】小于【一二】宜商三十【二防商十】因有纵改商二
十其方积四百步纵积一千七
百六十步【初商十与纵相乘故纵单数皆成十数】兼两积共二千一百六十步大于实不及减所商有误抹去之
改商【一十步】其方积【一百步】其纵积【八百八十步】并两积共除实九百八十步余二百二十步再为实以求次商【初商十故有次商也】
【纵折半四十四步加初商一十步共五十四步故变用进法】
次以初商【一十步】倍之【二十步】加纵【八十八步】共一百○八步为亷法【用第一空位第八三筹】
合视筹第二行积【二一六】小于【二二○】次商【二步】于初商【一十步】之下减亷积一百一十六余四步【所减首位○故进书之初商豫进正为此也】
次以次商【二步】自乘得四步为隅积除实尽
定为濶一十二步加纵【八十八步】得长一百步
假如有直田一十二亩半但云长多濶七十步
列位【以亩法二百四十通之得三千步百十单皆作圈】作防
视防在次位以三千○百步为实
以平方带纵七十各用筹为法
先视平方筹积有二五小于【三○】宜
商【五十】因纵改商【四十步】其方积一
千六百步其纵积二千八百步共四
千四百步大于实不及减抹去之
改商【三十步】其方积【九百步】其纵积【二千一百步】共三千步除实尽
【纵七十折半三十五加初商三十共六十五是五以上也故用进法书商三于防上两位假有余实则当再商或命之以分今虽商尽当存其位 命分者亷法加隅一也倍初商加纵共一百三十是原实百者亷法之位也进一位乃单位初商不进两位何以容单数】
凡开得平方三十步为田濶 加纵七十步共一百步为长
假如有直田七亩但云长多濶六十步
列位【以亩法二百四十通之得一千六百八十步单位空作圈】作防
视防在次位合商之以一千六百步
为实
以平方带纵六十步用筹各为法
先视平方筹有一六与实同宜商四
十【二防初商是十】因带纵改商三十步其方
积【九百步】纵积【一千八百步】共二千
七百步大于实不及减抹去之
改商【二十步】其方积【四百步】纵积【一千二百步】共减一千六百步余八十步再商之
【纵折半三十加初商共五十故进书之】
【假余实满命分一百○一步即当商一步故初商豫进以居次商今次商虽空当存○位故也】
次以初商【二十步】倍之【四十步】加入纵六十步共一百步为亷法 亷法大于余实不及减次商作○其余实以法命之 法以亷法加隅一为命分
命为濶【二十步】又【一百○一分步之八十】加纵为长【八十步】又【一百○一分步之八十】
假如有直田四亩但云长多濶九十步
列位【以亩法通之得九百六十步】作防
视防在首位独商之以○九百为实
以平方带纵九十步各用筹为法
先视平方筹积有【○九】与实同宜
商三十步【二防故初商十】因带纵改商二
十步其方积【四百步】纵积【一千八】
【百步】不及减又改商一十歩其方积【一百步】纵积【九百步】共一千步仍不及减 此有二防宜商十步今改商一十仍不及减是初商十位空也
【纵九十折半四十五加初商十步满五十以上故商一进书防之上两位】
改商单九步其方积【八十一步】纵积【八百一十步】共八百九十一步以减实余六十九步不尽【此宜商十数者变商单步故初商之位作○而以改商之九步书于○位下如次商然也盖必如此书之所商单数乃在命分之上一位也】
商数已得单步而有不尽以法命之以商九步倍之加纵九十步共一百○八步更加隅一步共一百○九步为命分
命为濶九步又【一百○九分步之六十九】 加纵为长九十九步又【一百○九分步之六十九】
以上四则乃纵多进位之法也凡得数虽四以下以半纵加之满五即用进法书于防之上两位此其例也
开带纵立方法【筹算五】
勿庵氏曰泰西家説勾股开方甚详然未有带纵之术同文算指取中算补之其论带纵平方有十一种而于立方带纵终缺然也程汝思统宗所载又皆两纵之相同者惟难题堆垜还原有二例只一可用其一强合而已非立术本意又不附少广而杂见于均输虽有善学何从而辨之兹因筹算稍以鄙意完其缺义取晓畅不厌烦复使得其意者可施之他率不穷云尔
凡立方带纵有三
一只带一纵
如云长多方若干或髙多方若干是也【即同髙】
一带两纵而纵数相同
如云长不及方若干髙不及方若干是也【此方多数为纵】
一带两纵而纵数又不相同
如云长多濶若干濶又多髙若干是也
大约带一纵者只有纵数而已带两纵者有纵亷又有纵方故其术不同
带一纵图三
此长多于方 此髙多于方
也为横纵横 也为直纵直
纵之形濶与 纵之形长濶
髙等如其方 相等如其方
其厚也如其 其髙也如其
纵所设 纵所设
俱立方一纵形一合为长立方形
如图立方形方纵形合者初商
也平亷三内带纵者二长亷三
内带纵者一小隅一此七者次
商也
平亷所带之纵长与立方等厚
与次商等其髙也则如纵所设
长亷所带之纵两头横直等
皆如次商其髙也如纵所设
用法曰以积列位乃作防从单位起隔两位防之防毕视积首位有防独商之以首位为初商之实首位无防以首位合有防之位商之 防在次位以首两位为初商之实 防在第三位以首三位为初商之实 皆同立方法
先视立方筹积数有小于初商之实者用其方数为初商【定位法合计所作防共有若干一防者商单数二防则商十数每一防进一位皆如立方】用其积数为初商立方积【定位法视初商方数若初商单数其积亦尽于单位若初商十数其积乃尽于千位每初商进一位其积进三位亦可以防计之皆如立方】
次以初商自乘以乘纵数为纵积
合计立方积纵积共数以减原积而定初商【若初商无误者原实中必兼此两积】命初商为方数加纵数为髙数【或长数皆依先所设】不及减者改商之及减而止
次商法曰依前定位知初商是何等【或单十百千等】若初商未是单数而减积又有不尽是有次商也
法以初商自乘而三之又以纵与初商相乘而两之共为平亷法 又法以初商三之纵倍之并其数与初商相乘得数为平亷法 或以初商加纵而倍之并初商数以乘初商为平亷法并同
又以初商三之加纵为长亷法
乃置余实列位以平亷法除之得数为次商【用筹为法除而得之】
【依除法定其位】
于是以次商乘平亷法为三平亷积 又以次商自乘以乘长亷法为三长亷积 就以次商自乘再乘为隅积 合计平亷长亷隅积共若干数以减原实【原实中兼此并积知次商无误矣】乃并初商次商所得数为方数加纵命为髙数【或长数皆如先所设】合问 不及减者改商之及减而止
商三次者以初商次商所得数加纵而倍之并商得数为法仍与商得数相乘为平亷法
又以商得数三之加纵为长亷法 余并同次商
命分法曰己商至单数而有不尽则以法命之 其法以所商得数加纵倍之加所商得数以乘所商得数【如平亷】又以所商得数三之加纵【如长亷】并两数又加单一【如隅】为命分不尽之数为得分
或商数尚未是单而余实甚少在所用平亷长亷两法并数之下或仅同其数【仅同者无隅积】是无可续商也亦以法命之法即以所用平亷长亷两法并之又加隅一为命分
列商数法曰依立方法以初商之实有防者为主【即原实内最上之一防】凡初商得数必书于防之上一位乃常法也惟初商一数者用常法
有以初商得数书于防之上两位者进法也初商二三四五者用进法
有以初商得数书于防之上三位者超进法也初商六七八九者用超进之法
若纵数多亷法有进位则宜用常法者改用进法宜用进法者用超进之法宜超进者更超一位书之其法于次商时酌而定之葢次商时有三平亷法三长亷法再加隅一为命分法于原实寻命分之位为主命分上一位单数位也从此单数逆寻而上自单而十而百而千至初商位止有不合者改而进书之若与初商恰合者不必强改此法甚妙平方带纵亦可用之
若宜商一十而改单九或宜商一百而改九十凡得数退改小一等数者皆不用最上一防而以第二防论之此尤要诀【或于初商位作圈而以所商小一等数书于圈之下即可以上一防论也细考其数则同此商数列位立法之妙宜详翫之】
假如浚井计立方积七百五十四万九千八百八十八尺但云深多方八百尺 法以立方带纵为法除之列位 作防
视防在首位独商之以○
○七百万尺为初商之实
以立方筹为法 视立方筹积有○○一小于○○七商一百尺【三防故初商百商一百故用常法书于防之上一位】得立方积一百万尺【三防者方积尽百万之位 初商之方积皆尽于最上之一防】
次以初商一百尺自乘一万尺乘纵八百尺得八百万尺为纵积 并两积九百万积大于原实不及减抹去之不用改商如后图
视立方筹第九行积七二九改商九十尺得立方积七十二万九千尺【百改十故亦改用第二防第二防是十位故方积亦尽于千位】次
以初商九十尺自乘八千一
百尺乘纵八百尺得六百四
十八万尺为纵积 并两积
共七百二十万○九千尺以减原实余三十四万○八百八十八尺再商除之【初商一百今改商九十故上一防不用用第二防论之商九者书于第二防之上三位超进法也】
次用次商又法以纵八百尺加初商九十尺而倍之得一千七百八十尺并初商九十尺共一千八百七十尺用与初商九十尺相乘得一十六万八千三百尺为平亷法 又以初商九十尺三因之得二百七十尺加纵八百尺共得一千○七十尺为长亷法乃列余实以平亷为法除之【用第一第六第八第三共四等】
商九十用超进法书于第二防之上三位今以纵多致亷法进为十万故次商时应更为酌定又超一位书之然后次商单数在亷法上一位矣改如后图【亷法十万上一位单数位也今商九十不合在此位故改之】
合视筹第二行积○三三六六小于余实次商二尺于初商九十之下【所减首位是○法宜进书也初商不改而更超之何以居次商】就以次商二尺乘平亷法得三十三万六千六百尺为平亷积 又以次商二尺自乘四尺用乘长亷法得四千二百八十尺为长亷积 又以次商二尺自乘再乘得八尺为隅积 并三积共三十四万○八百八十八尺除实尽
乃以商数命为井方 加纵为井深
计开
井方九十二尺深八百九十二尺
此超进法改而更超一位也
带两纵纵数相同图二
此髙不及方也方之横与直俱
多于髙是为两纵两纵者纵廉
二纵方一并立方而四
立方形长濶髙皆相等
纵亷形髙与濶相等如其方之
数其厚也如所设纵之数
纵方形两头等皆如纵数其髙也如立方之数两纵亷辅立方两面而纵方补其隅合为一短立方形
不及之数有在立方旁者观后图可互见其意
如图初商有立方有纵廉二纵方一共四形今只图其二余为平廉所掩意防之可也【此横头不及方也即前图之眠体】
次商平廉三内带一纵者二带两纵者一长廉三内带纵者二小隅一共七
平廉带一纵者濶如初商加纵为长厚如次商其带两纵者髙濶皆等皆如初商加纵之数厚如次啇
长廉带纵者长如初商加纵之数其两头横直皆等皆如次商
无纵长廉长如初商两头横直等如次商
小隅横直髙皆等皆如次商
用法曰先以纵倍之为纵廉【两纵并也】以纵自乘为纵方【两纵相乘】
此因两纵数同故其法如此也若两纵不同径用乘法并法矣
乃如法列位作防求初商之实
以立方筹为法求得初商方数及初商立方积【皆如立方法皆依定位法命之】
次以初商乘纵方得数为纵方积 又以初商自乘数乘纵亷得数为纵亷积
合计纵方纵亷立方之积共若干数以减原实而定初商【皆如一纵法】
命初商为髙数【或深数皆如所设】加纵为方数【不及减改商之若初商未是单数则以余实求次商】
次商法曰以初商加纵倍之以乘初商髙数得数 又以初商加纵自乘得数 并之共为平亷法【又法初商三之加纵以初商加纵乘之得数为平亷法亦同】
次以初商加纵倍之并初商数共为长亷法【又法初商三之纵倍之并为长亷法亦同】
乃置余实列位 以亷法位酌定初商列法而进退之以平亷为法而除余实得数为次商【皆以所减首位是○与否而为之进若退】 又法合平亷长亷两法以求次商
于是以次商乘平亷法为平亷积 又以次商自乘数乘长亷法为长亷积 又以次商自乘再乘为隅积 合计平亷长亷隅积共若干数以减余实而定初商【皆如一纵法】
【又法以次商乘长亷法为长亷法又以次商自乘为隅法并平亷长亷隅法以与次商相乘为次商亷隅共积以减余实亦同】
乃命所商数为髙【或深之类如所设】加纵数命为方合问
不尽者以方倍之乘髙又以方自乘【如平亷】又以方倍之并髙【如长亷】又加单一【如隅】为命分
假如有方台积五百八十六万六千一百八十一尺但云髙不及方一百四十尺 以带两纵立方为法除之【方者长濶等每面各多髙一百四十尺】
先以纵一百四十尺倍之得二百八十尺为纵积又纵自乘之得一万九千六百尺为纵方
列位 加防
视防在首位独商之以○
○五百万尺为初商之实
视立方积有○○一小于
○○五商一百尺【三防故商百尺】得立方积一百万尺【商一数宜用常法书于防之上一位今因纵多致亷法升为十万法上一位为单单上一位为十今初商是百尺故改用进法书之亷法之升见后】
就以初商一百尺乘纵方得一百九十六万尺为纵方积
又以初商一百自乘一万乘纵亷得二百八十万尺为纵亷积
合计立方纵方纵亷积共五百七十六万尺以减原实余一十万○六千一百八十一尺【初商百尺宜有续商】初商一百尺髙也 加纵共二百四十尺方也次以方倍之四百八十尺用乘髙数得四万八千尺又以方自乘之得五万七千六百尺并之得一十万○五千六百尺为平亷法
又以方倍之并髙得五百八十尺为长亷法
乃列余实 以亷法酌定初商改进一位书之
以平亷法用筹除余实
视筹第一行○一○五六
小于余实次商一尺于初
商一百尺之隔位【所减是○一○五六首位○宜进书然犹与初商隔位故知为单一尺】 就以次商一尺乘平亷法如故又以次商一尺自乘以乘长亷法亦如故就命为平亷长亷积 又以次商自乘再乘仍得一尺如故 合计三积共一十万○六千一百八十一尺除实尽
乃以所商数命为台髙 加纵为方
计开
台髙一百○一尺 方二百四十一尺
此常法改用进法也
假如有方池积五十万丈但云深不及方五十尺 先以纵【五十】尺倍之一百为纵亷 又纵自乘之得【二千五百】尺为纵方
列位 加防
视防在第三位合商之以五十
万○○尺为初商之实
视立方筹有三四三小于五○
○宜商七十尺【二防商十尺】因纵改商六十尺得立方积二十一万六千尺 次以初商六十尺自乘三千六百尺用乘纵亷一百尺得三十六万尺已大于实不及减不必求纵方积矣 改商五十尺用筹求得立方积一十二万五千尺
就以初商五十尺乘纵方得纵方积亦一十二万五千尺 又以初商五十尺自乘二千五百尺用乘纵亷得纵亷积二十五万尺 并三积共五十万尺除实尽 以商数命为池深 加纵为方
计开 池深五十尺 方一百尺
此进法改为超进也【假有次商则其平亷法二万尺矣假有命分则其命分二万○二百五十一矣】 亦有髙与长同而濶不及数者准此求之但以初商命为濶而加纵为髙与长
带两纵纵数不相同图二
此长多于濶而髙又多于
长也是为两纵而又不相
同凡为大纵亷小纵亷各
一纵方一并立方形而四
立方形长濶髙相等
大纵亷横直等如其方而
髙如大纵 小纵亷髙濶
等如其方而厚如小纵
纵方形之两头髙如大纵厚
如小纵其长也则如立方大
纵 小纵以辅立方之两
面而纵方补其阙合为一长
立方形如图初
商有立方有大纵廉小纵廉
纵方各一共四只图其二余
为平廉所掩也次商平廉三
内
带小纵者一带大纵者一带
两纵者一长廉【在初商大纵立方之
背面】三内带小纵
者一带大纵者一小隅一共
七在初商
大纵立方之
带小纵平亷濶如初商长如初商加小纵之数髙如次商
带大纵平亷濶如初商髙如初商加大纵之数厚如次商
带两纵平亷濶如初商加小纵之数髙如初商加大纵之数厚如次商
带小纵长亷长如初商加小纵之数 带大纵长亷髙如初商加大纵之数 无纵长亷长如初商数其两头横直皆如次商之数
小隅横直髙皆如次商之数
用法曰以两纵相并为纵亷 以两纵相乘为纵方列位作防求初商之实 以立方筹求得初商立方积 以初商求得纵方纵亷两积 皆如前法乃以初商命为濶 各加纵命为长为髙
求次商者以初商长濶髙维乘得数而并之为平亷法
又以初商长濶髙并之为长亷法
乃置余实列位【以平亷酌定初商之位】以平亷为法求次商及平亷积长亷积隅积以减余实乃命所商为濶各以纵加之为髙为长【如所设】皆如前法
不尽者以所商长濶髙维乘并之【如平亷】又以长濶髙并之【如长亷】又加单一【如隅】为命分
假如有长立方形积九十尺但云髙多濶三尺长多濶二尺
先以两纵相并五尺为纵亷 以两纵相乘六尺为纵方
列位 作防
视防在第二位合商之以○九十
○尺为初商之实
乃视立方筹有○六四小于○九○宜商四八因有纵改商三尺得二十七尺为立方积【原实只一防故初商是单商三故书于防之上两位用进法也】
次以初商三尺自乘九尺乘纵亷得四十五尺为纵亷积
又以初商三尺乘纵方得一十八尺为纵方积并三积共九十尺除实尽
乃以初商命为濶 各加纵为髙为长
计开
濶三尺 长五尺 髙六尺
假如有立方积一千六百二十尺但云长多濶六尺髙多濶三尺
先以两纵相并九尺为纵亷 以两纵相乘一十八尺为纵方
列位 作防
视防在首位独商之以○○一千
尺为初商之实
乃视立方筹有○○一与实同商一十尺【二防商十】得立方积一千尺次以初商一十尺自乘一百尺乘纵亷得九百尺为纵亷积又以初商一十尺乘纵方得一百八十尺为纵方积 合计之共二千○八十尺大于实不及减【商一十故用常法书于防之上一位】改商九尺得七百二十九尺为立方积【十变为单则上一防不用用第二防故商九书于第二防之上两位用超进法也】
次以初商九尺自乘八十一乘纵亷亦得七百二十九尺为纵亷积
次以初商九尺乘纵方得一百六十二尺为纵方积并三积共一千六百二十尺除实尽
乃以商数命为濶 各加纵为长为髙
计开
濶九尺 长一十五尺 髙一十二尺
假如有长立方积六万四千尺但云长多濶五尺髙又多长一尺
先以长多五尺髙多六尺并之得【十十】为纵亷 又以五尺六尺相乘三十为纵方
【解曰长多濶五尺髙又多长一尺是髙多濶六尺也】
列位 作防
视防在第二位合商之以○六
万四千尺为初商之实
视立方筹有○六四与实同宜
商四十尺因有纵改商三十尺【二防故商十尺】得二万七千尺为立方积【商三十故书于防之上两位用进法也】
次以初商三十尺自乘九百尺乘纵亷得九千九百尺为纵亷积
次以初商三十尺乘纵方得九百尺为纵方积并三积共三万七千八百尺以减原实余二万六千二百尺再商之【初商十宜有次商】
初商三十尺濶也 加纵五尺共三十五尺长也又加一尺共三十六尺髙也
乃以初商长濶髙维乘之
濶乘长得一千○五十尺 髙乘濶得一千○八十尺 长乘高得一千二百六十尺
并三维乘数共三千三百九十尺为平亷法【又法并长与髙乘濶又以髙乘长并之亦同】
次以初商长濶髙并之共一百○一尺为长亷法【又法初商三之加两纵亦同】
乃以平亷用筹为法以余实列位除之
如后图合视筹第六行是二○三四小于余实次商六尺【所减首位不空故书本位】得二万○三百四十尺为平亷积【次商乘平亷法也】
次以次商六尺自乘三十六尺乘长亷法得三千六百三十六尺为长亷积又以次商六尺自乘再乘得二百一十六尺为隅积
并三积共二万四千一百九十二尺以减余实余二千○○八不尽以法命之
法以初商濶髙长各加次商为濶髙长而维乘之濶乘长得一千四百七十六尺 髙乘濶得一千五百一十二尺 长乘髙得一千七百二十二尺
并得四千七百一十尺【如平亷】又并濶髙长得一百一十九尺【如长亷】又加一尺【如隅】共得四千八百三十尺为命分不尽之数为得分
命为四千八百三十分尺之二千○○八即竒数也计开
濶三十六尺有竒【音基】 长四十一尺有竒髙四十二尺有竒
假如有长立方形积一十万○一千尺但云长多濶五尺髙多濶六尺
先以两纵并得一十一尺为纵亷
以两纵乘得三十尺为纵方
列位 作防
视防在第三位合三位商之以
一十万○一千为初商之实
乃视立方筹有○六四小于一
○一商四十尺【二防商十】得六万四千尺为立方积【商四十故书于防之上两位进法也】
次以初商自乘一千六百尺乘纵亷得一万七千六百尺为纵亷积
次以初商乘纵方得一千二百尺为纵方积
并三积共八万二千八百尺以减原实余一万八千二百尺再商之
初商四十尺濶也 加纵五尺得四十五尺长也加纵六尺得四十六尺髙也
乃以初商濶长髙而维乘之
长乘濶得一千八百尺 濶乘髙得一千八百四十尺【又法并髙与长九十一尺以濶四十尺乘之共三千六百四十尺省两维乘其数亦同】髙乘长得二千○七十尺
并维乘数共五千七百一十尺为平亷法
又以濶长髙并之共一百三十一尺为长亷法乃列余实以平亷用筹为法除之
合视筹第三行是一七一三小于
余实次商三尺【所减首位不空故本位书之】就
以次商三尺乘平亷法得一万七
千一百三十尺为平亷积 又以
次商三尺自乘九尺乘长亷法得一千一百七十九尺为长亷积 又以次商三尺自乘再乘得二十七尺为隅积 并之得一万八千三百三十六尺大于余实不及减
改商二尺
就以次商二尺乘平亷法得一万一千四百二十尺为平亷积【即用筹第二行取之】
次以次商自乘四尺乘长亷法得五百二十四尺为长亷积 又以次商自乘再乘得八尺为隅积并之共一万一千九百五十二尺以减余实仍余六千二百四十八不尽以法命之
法以濶长髙各加次商二尺为濶长髙而维乘之并髙四十八尺长四十七尺共九十五尺以濶四十二尺乘之得三千九百九十尺【代两维乘】又以长乘髙得二千二百五十六尺并得六千二百四十六尺 又以长濶髙并之得一百三十七尺 又加一尺 共六千三百八十四为命分
命为六千三百八十四之六千二百四十八即竒数计开
濶四十二尺有竒
长四十七尺有竒
髙四十八尺有竒