历算全书厯算全书卷五十四
厯算全书卷五十四
钦定四库全书
厯算全书卷五十五
宣城梅文鼎撰
解八线割圆之根
八线割圆説
天体至圆最中一防为心过心直线为径圆面诸圏为弧弧与径古用径一围三之比例【有宻术徽术各家不同】然终非弧度之真葢圆为曲线径为直线两者为异类亘古无相通之率夫日月星辰之道皆弧线也人目测视之线皆直线也苟非由直线以得曲线纵推算极精皆非确数于推歩测量诸用所关甚钜其可畧欤西儒几何等书别立数法求得弧与径相凖之率更以逐度之弧准逐度之线内用矢外用割切于是始则因弧而求线继则因线而知弧交互推求虽分秒之弧度尽得其准立法之善即首商髙复生无以易也苐割圆八线表虽乆传于世而立法之根未得専书剖晰大测中如十边五边形之理皆缺焉弗讲薛青州作正解亦仅依式推衍未能有所发明予于厯算生平癖嗜凡有奥义必欲直穷其所以然而后快窃思割圆八线乃厯算之本源岂可习焉不察因反覆抽绎耿耿于心者数年积思之乆乃得渐次防通遂着其图衍其算理之隠赜者明之法之缺畧者补之防而成帙以备好学者之采择云尔
立表之根有七
一大圆中止有径线初无边角可寻乃作者慿空结撰求得七弧之通而全割圆表即从此推出又絶无假借纽合之病割圆之巧孰有加于是焉
表根一 圆内作六等邉切形求得六十度之通法曰六十度之通与圈之半径等作表时命为十万亦曰全数
解曰如图辛为心作甲丙丁圈甲丁为全径辛丁为半径次取丁为心辛为界作戊庚辛圈与原圈相交于丙于戊次引长丁辛线至庚必平分丙戊弧于丁亦平分戊丙弧于辛【以丁为戊庚圈心故】次作辛丙丙丁丁戊戊辛四线成丁辛丙丁辛戊二形必皆三邉等三角形何则丁为
心辛为界则丁辛与丁丙皆
为戊庚圏之半径仍用辛丁
为度辛为心丁为界则辛丁
又为甲己圈之半径辛丙亦
同则辛丁丁丙辛丙三线俱等而辛丁丙为三邉等形丁辛丙三角俱自相等每角六十度夫辛角在心者也则丙丁弧为六十度丙丁即六十度之通与辛丁半径等矣丁戊辛形仿此
次以丙辛引至己戊辛引至乙其甲辛己乙辛甲交角俱与丙辛丁戊辛丁角等角等弧亦等即平分大圈为六分次作丙丁等六线相连成六等邉内切形等邉等角葢乙辛己丙辛戊两交角之弧既当六分圈之四则中间己戊乙丙二弧亦必各为六分圈之一故成六等邉形皆以半径为邉此天地自然之数也
表根二 圈内作四等邉切形求得九十度之通法曰半径上方形倍之开方得九十度之通
解曰圈内四等邉切形即内切
直角方形也 如图甲癸丁圏
庚为心作丁癸全径又作甲己
全径与丁癸十字相交为凑心
四直角即平分大圆为四分每分九十度次作甲癸己癸己丁甲丁四线相连成四邉等形其切圏之甲丁己癸四角俱为直角【以各角俱乗半圈故】所容之癸甲丁己为正方形甲癸等为九十度之通用甲庚癸直角形甲庚半径上方与庚癸半径上方并开方得甲癸句股求术也
巳上二根并仍厯书之旧
表根三 圈内作十等邉切形用理分中末线求得三十六度之通
法曰圏径上作理分中末线其大分为十邉等形之一邉即三十六度之通今欲明十邉形之理先解理分
中末线欲明理分中末线先解方形
及矩形
一解曰凡正方形内【如乙庚戊丙方】依一角
复作正方形【如丁庚方】以小方之各邉引长之如甲午辛壬即分元方戊庚为四分小方之各邉与大方之各邉俱两两平行其与小方丁庚相对之丁戊形亦必正方形左右所截之午壬甲辛二形必皆矩形而恒自相等一解曰任设一线如甲戊两平分之于乙又任引长之为戊庚【长短不论】其全线甲庚偕引长线戊庚【即子庚】矩内形
【甲子矩】及半元线甲乙【癸丑等】上
方形【癸辛方】并成子丑壬甲磬
折形此形与半元线【乙戊】偕引
长线乙庚上之乙丙方形等
何则乙庚上方乙丙与磬折形子丑壬甲共用乙子矩形今试以此两率各试去乙子矩形两所余为乙壬矩及丑丙矩夫此两矩形邉各相等【辛丙与乙辛等辛丑与壬辛亦等以壬丑为正方故】其幂亦必等则于乙子形加丑丙得乙丙方于乙子形加乙壬得子甲壬磬折形亦无不等矣 又己辛亦正方形以相对之己庚为正方故己辛方与壬丑方亦等以同在甲庚癸子两平行线内又甲乙乙戊相等故也分中末线
解理分中末线 明上二图可论理分中末线矣法曰如图任作甲戊线两平分于乙以甲戊线自之作戊卯方从乙平分处向丁作乙丁线次以甲戊引至庚令乙庚与乙丁等于乙庚上作乙丙方又取庚子与戊庚等作癸子线分戊丁于己则戊己为戊丁元线之大分己丁为小分戊己丁己戊丁三线成连比例戊丁与戊己若戊己与己丁而戊己为中
解曰依上二图之论甲庚线偕戊庚矩形及乙戊【即甲乙】上方形并与乙庚上方等今乙庚线既令与乙丁等则
乙丁上方亦与乙庚上方等是
甲庚偕戊庚矩形及乙戊上方
并与乙丁上方等而乙丁上方
与乙戊丁戊上两方之并等此
二率者共用乙戊上方试以此二率各减去乙戊上方则所存之戊卯方与甲子矩形必等矣夫戊卯方既与甲子矩等又共用甲己矩形试各减去甲己矩形则所存戊子方与卯巳矩形必等矣卯巳与戊子两矩形既等又以巳直角相连则两形之邉为互相似之比例癸己与巳子若戊己与己丁夫癸己即戊丁也则戊丁与戊己若戊己与己丁为连比例而戊己为中率戊己上方【二三率】与戊丁【一率】偕己丁【四率】矩形等戊丁全线为首率戊己大分为中率减戊丁【甲戊同】存己丁小分为末率葢理分中末线云者于一直线上作连比例之谓也求之法以所设甲戊半于乙为句甲戊为股【即戊丁】求乙丁即乙庚也减乙戊句存戊庚即戊己大分减戊丁元线存己丁小分
又甲戊引长线止于庚者欲令乙庚等乙丁也若不为连比例戊庚可任意引长之如前二图之论然理分中末线法实从二图之理推出其关键全在乙庚乙丁二线等也
解理分中末线大分为三十六度之通 观上诸论可明理分中末线之法然何以知其大分能为十等邉形之一边如图任作甲乙线用上法分之于内为理分中末线甲乙与甲丙若甲丙与丙乙甲丙其大分丙乙其小分次用甲乙全线为半径甲为心乙为界作圏又从乙作乙丁合圏线令与甲丙等末从圏心作甲丁线相连其甲乙甲丁两半径等即甲丙丁为两腰等三角形夫此三角形其腰间之甲乙丁甲丁乙二角必各倍大于底上甲角何则试从丙作丙丁线于甲丙丁角形外作甲丙丁外切圏其甲乙偕乙丙矩内直角形与甲丙上方形等【因连比例等】亦即与至规外之乙丁上方等而乙丁切小圏于丁为切线即乙丁切线偕丁丙线所作乙丁丙角与负丁甲丙圏分之甲角交互相等【见几何三巻三
十二】此二率者每加一丙丁
甲角即甲丁乙全角与丙
甲丁丙丁甲两角并等夫
乙丙丁外角与丁甲相对
之内两角并等即乙丙丁
角与甲丁乙全角等而与相等之甲乙丁亦等丙丁与乙丁两线亦等夫乙丁原与甲丙等即丙丁与丙甲亦等因丙甲丁丙丁甲两角亦等又甲角既与乙丁丙角等即乙丁丙甲丁丙两角亦相等是甲丁乙倍大于丙丁甲亦即倍大于相等之丙甲丁角也而甲乙邉与甲丁等则甲乙丁角亦倍大于甲角也
次解曰丙丁乙角何以知其与丙甲丁角交互相等试作未丁全径与乙丁为直角又作未丙线成未丙丁直角夫丙未丁丙丁未二角并与一直角等乙丁未亦一直角此二率者各减去未丁丙角所存丙丁乙丙未丁二角必等夫丙未丁负圏角也丙甲丁亦负圏角也同负丙丁弧则丙甲丁角与丙未丁角等夫未角与丙丁乙角等也今既与丙甲丁等则丙甲丁角亦必与丙丁乙角等
依上论显甲乙丁形之乙丁二角俱倍大于底上甲角形内之丙丁乙形与甲乙丁原形相似其丙乙二角亦倍大于乙丁丙角乙丁丙丁甲丙三线俱等夫甲丁乙形之甲乙丁三角并等两直角今乙丁二角既倍大于甲角是合乙甲丁角而为五分两直角矣则乙甲丁角该五分两直角之一为三十六度夫五分两直角之一与十分四直角【全周】之一等则乙甲丁角或乙丁弧即十分圏之一分乙甲丁甲又各为半径则乙丁即十等边形之一边夫乙丁与丙丁等丙丁与甲丙等则甲丙与乙丁亦等而甲丙即理分中末线之大分故圏径上作理分中末线其大分为三十六度之通
圏内作十等边切形法 先依上作甲丁乙两腰等三角形以甲乙甲丁各引至圏界为乙己丁戊其己戊弧与乙丁等次以戊乙弧半于庚作乙庚戊庚二线各半之于辛于壬又作癸丑子寅卯庚诸线俱过甲心各抵圏界即平分大圆为十分末作戊己等十线相连即所求十边形之理据厯书见几何十三卷九题而几何六卷巳后之书未经翻译不可得见考之他书未有发明其义者余特作此解之
表根四 圈内作五等邉内切形求得七十二度之通法曰六邉形上方形及十邉形上方形并开方得七十二度通
解内切五等邉形法 法曰甲乙丁圈于圈内作甲丙
丁两腰等乗圈角形令腰间丙丁
二角各倍大于甲角即甲角所乗
之丙丁弧为全圈五分之一何则
甲丙丁形之三角并等两直角今丙丁二角既各倍大于甲角则甲角为五分两直角之一又甲为乗圈角所乗之丙丁弧必更倍大于甲角之度为全圏五之一矣【七十二度】夫丙于二角又倍大于甲角则其所乗甲丙甲丁二弧亦必倍大于丙丁为全圈五分之二即作丙戊丁乙二线平分丙丁二角亦平分甲丁甲丙二弧分大圈为五平分丙丁线即五等邉之一末作丁戊等四线相连成五等邉内切形等邉等角 此系歴书原法新増作五等邉形法
甲庚壬平圆内作五邉等形法任作
切圆直线如子丑切平圆于甲乃以
切防甲为心任作半圈如子寅丑次
匀分半圆周为五平分如子辰等次
从半圆上取五平分之各防作直线至切防甲此直线必过半圆周【如甲辰线必过庚寅甲线必过戊余仿此】末于平圆内联各防作通即成五等邉形【庚甲乙甲本为通补作戊庚丁戊乙丁三线并与庚甲乙甲
等皆七十二度通也】
解曰卯甲寅负圈角正得丁心戊
分圆角之半卯甲寅既为十等面
凑心之角必三十六度也则丁心
戊角必七十二度而为五等邉角矣 或作半圆于外如下图亦同前论
解六邉十邉两方并等五邉上方形 法曰依前理分中末线法作己丁丁丙二邉为十分圏之一乙己乙丙甲乙三线俱为中末线之大分与十边形之一等乙丁
其小分次取己丁
弧之倍至丙作甲
丙线得己丙七十
二度为五分圏之
一【己丁丙为十分圏之二即五分
圏之一矣】作丙己线即
五等形之一边也
己甲丙为七十二度之角次取己为心己丁大分为界作丁未庚圏又以丙为心丙甲半径为界作子甲丑图两圏相交于辛末从丙心向交防【辛】作丙辛线从己心向交防【辛】作己辛线成丙己辛三角形此形辛为直角丙辛六边形之边【即子丙】为股己辛十边形之边【即己丁】为句己丙五边形之边为用句股术得己丙七十二度之通
解曰丙辛己形何以知辛防必为直角试观乙己丁乙丙丁俱为两腰等形又自相等合之成己乙丙丁四等
邉斜方形则丙己线必平分
乙丁小分于壬甲丁线因己
丙弧为己丁之倍亦平分丙
己于壬壬防为直角又形
内所分之乙壬己乙壬丙丁壬己丁壬丙四句股形俱自相等夫丙己邉上方形为壬己上方形之四倍【几何言全线上方形为半元线上方形之四倍】而壬己上方乃乙己上方减去乙壬上方之数【句求股】是以乙己上方四倍之【即己乙己丁丙丁丙乙四线上方之并】减去乙丁小分上方【乙丁上方为乙壬上方之四倍以乙壬为乙丁之半故也即乙壬等四小句方之并】所余即与丙己上方等矣而此四乙己方减乙丁上方之余又与全数上方及中末线大分之方并等【即十邉形之一】何则试观二图【即理分中末线图】甲丁为全数甲戊为全数上方丁乙为大分丁子为大分上方两方之并成甲壬子戊磬折形此形内容丁子大分方形之四则重一庚己小分之方【取丙丁与乙丁等则己丁壬乙俱为大分之方而庚壬矩与丁子方等甲壬矩又与庚壬矩等是共有大分上方形之四倍而庚己小方则重叠在内庚己乃辛己小分之方也】今试于磬折形内减去重叠之方【癸辛方】是即于四个大分方内减一小分上方亦犹之前图四乙己方内减去乙丁上方而所余必等矣夫此磬折形既与前四乙己方内减乙丁上方之余幂等而此余幂又与丙己上方等则此磬折形亦与五等边之一丙己上方等而磬折形乃甲戊丁子两方之并也甲戊方之根甲丁即前丙辛己形之丙辛边丁子方形之根丁己即前丙己辛形之己辛边今丙辛己辛上两方并既等于丙己上方是丙辛己为句股形而辛为直角矣丙辛半径股也己辛大分句也丙子弧六十度之边子丙即丙辛股己丁弧三十六度之边丁己即己辛句而丙辛己辛丙己三边适凑成句股形故厯书言六边上方并十边上方与五边上方等葢以此也
若作戊乙线成戊丁乙句股形与前丙辛己形等戊乙即五边形之一益可见辛之必为直角矣
求七十二度通法取迳甚竒大测止具算术未着其理【据云见几何十三卷十题】薛书及孔林宗説殊多牵附余此图与原算脗合乃知古人立法之简奥也因更推衍四法如下
如图午丁大圈依理分中末线法作十邉等内切形丁午等俱大分次从癸昴诸防【癸甲昴甲俱为大分】作癸昴昴壁等线俱为小分各连之则中末线之大小两分成内外两十邉等形俱各两两平行一切于周一切于径次任取
戊为心甲为界作圈
亦依上法用其大分
小分作内外两十邉
等形末作乙丙乙丑
等五线为五邉形之
各邉诸线交错得求
乙丙邉之法有五
一丁乙丙形有丁丙全径有丁卯全数及卯乙大分并为丁乙【丁乙与午戊必平行】乙为直角用股求句法得乙丙邉二乙丙寅形有乙寅小分为句有丙戊戌寅两大分并得丙寅为求得乙丙股
三乙甲丙形用其半甲壬丙形有甲丙全数有甲辛大分有辛壬为辛戊小分之半并为甲壬求壬丙勾倍之得丙乙邉
四乙壬戊形有乙戊大分为有壬戊小分之半为句求乙壬股倍之得乙丙邉
又形中两圈相交内有甲卯乙戊未为小五邉形其各邉即大分甲辰戊丙庚形同又有甲卯乙戊丙庚为小六邉形其各邉亦即大分又小五邉形与午丑乙丙氐大五邉形相似而体势等则其各邉俱成比例乙甲全数与甲卯大分若乙午与午丑则以甲卯与午乙相乗全数除之亦得五邉形之一其午乙线以乙亢午直角形用句求股术取之
表根五 圈内作三等邉内切形求得一百二十度通
半之为六十度正
法曰全径上方形内减六边形
上方形开方得一百二十度之
通
解曰甲为圏心甲乙为半径作圏次乙为心仍用乙甲为半径作弧与大圏相交于丁于戊其所截之丁乙戊弧即三分圏之一何则依前六边形之论丁乙戊乙二弧俱为六分圈之一今丁乙戊弧乃倍大于丁乙必三分圈之一矣【一百二十度】即作丁戊线为三等边形之边次以乙甲引至丙必平分丁丙戊大半圏于丙以丙乙为过心线既平分丁戊弧于乙亦必平分丁丙戊弧于丙也从丙作丙戊丙丁二线成丁丙戊三边等内切形求之用乙丁丙三角形丁为直角【以丁角乗丙戊乙半圏故】丁乙为六边形之一丙乙全径上方减去丁乙半径上方【丁乙即乙甲】余开方得丙丁边句求股术也
表根六 圏内作十五等边内切形求得二十四度之通
法曰三边等形与五邉等形之较即十五分圏之一可求二十四度通
解曰戊丙大圈丑为心作丙子全径取丙防为宗依前法作丙甲辛三邉等形又作丙戊乙己庚五边等形丙甲弧为三分圈之一【一百二十度】丙戊乙弧为五分圈之二【七十二度】相较得甲乙弧二十四度即十五分圈之一也其求甲乙之邉以五邉形之邉乙己半于癸三邉形之邉甲辛半于壬得乙癸与甲壬相减【丁壬即乙癸】存甲丁为股次作乙丑甲丑两半径成乙丑癸甲丑壬二直角形以
乙丑半径上方减乙癸半
上方余开方得癸丑邉又以
甲丑半径上方减甲壬半
上方余开方得丑壬邉次以
丑癸与丑壬相减得壬癸【即乙丁】为句末用甲丁乙直角形甲丁上方与丁乙上方并开方得甲乙为十五等邉内切形之边
又解曰甲乙弧何以知为十五分圏之一凡一圏内作三边等形又作五边等形以其边数三与五相乗得十五即知可为十五等边切形其两弧之较必有十五分圏之一如甲乙也余仿此推 此亦厯书原法
表根七 圈内作九等边内切形求得四十度之通【新増】求内切九等边形 法曰甲为圆心于圆内先作庚子辛三边等形【法见前】平分大圆为三分次用甲庚为度作
庚己线与庚辛为直角庚为
心己为界作己壬弧为全圏
六之一【六十度】次于己壬弧上
任取癸防向甲心作癸甲直
线与庚辛交于戊其自癸至戊之度令与甲乙半径等次癸为心戊为界作圏与大圏相交于丙于庚【庚防为己壬弧圏心又癸戊半径与庚己等必相交于庚】从癸又作癸庚癸丙二线得庚戊丙圈所割之庚乙丙弧必为庚辛弧三之二辛丙为三之一即全圏九分之一也末作丙辛线为内切九等形之邉依此作丙乙乙庚诸线成九等邉内切形等邉等角解曰癸戊线既等甲乙半径则两圈相交之庚戊丙庚乙丙两弧必等又癸甲线既过两心【甲大圆心癸庚戊丙圈心】试作庚丙通必平分通于丁亦平分庚丙弧于乙与丙庚弧于戊而庚乙与丙乙等庚戊与丙戊等又两弧【庚乙丙庚戊丙】共用庚丙通则丙戊与丙乙庚戊与庚乙亦各相等其丙戊丙乙庚戊庚乙四线亦等又癸丙癸戊癸庚三线俱即半径【癸为庚戊丙圈心故】则癸庚戊癸丙戊为两腰等三角形而两癸角又等【庚戊丙戊二弧等故】则两形之邉角俱自相等又丙戊辛形其戊辛二角亦等何则戊角之余为丙戊庚角而丙戊庚乃庚戊癸丙戊癸两角之并亦即癸丙戊癸戊丙两角之并【癸戊庚角与癸戊丙等因两形为等形亦与癸丙戊角等】是丙戊辛角必与戊癸丙角等其丙辛戊角乗庚丙弧则辛角必得庚丙之半与乙丙弧等亦与丙戊等是丙辛戊角亦与戊癸两角等而辛丙戊为两腰等形因得戊丙与辛丙两邉亦等夫丙戊边本与戊庚等则丑丙与戊庚亦等而丙戊即丙乙庚戊即庚乙是辛丙丙乙乙庚三线等也而辛丙丙乙乙庚三圈分亦等矣前庚乙辛弧乃全圈三之一今庚乙又为庚辛三之一即全圈九之一为四十度而庚乙即四十度通 按癸丙线必与庚甲平行其交己壬弧之丑防必居癸壬弧之中而壬丑丑癸癸己为三平分各得十二度
求九边形之边 法曰取十边形相较可得九分圏之
边如图乙辛戊圆甲为心取
辛丙弧为十边形之一【三十六度】戊乙弧为九邉形之一【四十度】辛丙为十邉形之邉乙戊为
九边形之边二线令平行则其较弧辛乙与丙戊相等【各二度】次作辛乙丙乙诸线成辛乙戊丙四邉形此形有丙辛边【前第五根所得】有辛乙边【一度正之倍用后法所得】先求丙乙线用丙辛乙钝角形作辛丁垂线以辛丙半之因乙辛得辛丁次以辛丁上方减辛乙上方开方得乙丁又以减辛丙上方开方得丁丙并之得乙丙线与辛戊等次以乙丙自乗方内减去辛乙自乗方余以辛丙除之得乙戍为九边形之边即四十度通也【上图之庚乙线】
解曰丙辛线既与戊乙平行则丙乙辛戊两线相等辛乙与丙戊亦等从辛从丙作辛己丙午二垂线所截戊乙线之戊午己乙为丙辛戊乙二线相较之半亦必等夫丙乙自乗得丙乙上方形辛乙自乗得丙戊上方形【辛乙与丙戊等故】而丙乙上方乃丙午乙午上两方之并丙戊上方又丙午戊午上两方之并则试于丙乙上方减去丙午上方所余为乙亥方丙戊上方减去丙午上方所余为午未方而午未方即己子方也今于丙乙上方形减丙戊上方形是减去丙午上一方又减去巳子一方【即戊午上方形】所余为午卯丑亥磬折形夫午乙与己戊二线相等则午丑与巳酉两方形亦等因得卯午矩与申酉矩等移卯午补申酉则丑未矩形与午卯丑亥磬折形等矣故以子丑除之【子丑即丙辛以卯亥为正方故】得子未边即乙戊四十度通也
按九边形法诸书所无然缺此则九十度之正不备壬寅秋客润州魏副宪官署时魏公鋭意厯学因作此图补之
附求一度之通【一度为全圆三百六十之一亦可名三百六十等邉内切形】法曰一度之通取相近之数用中比例法得之如图庚乙弧为一度先设甲庚一度三十分依前法【表根六及表法一】求其正甲癸○度○二六一七六八九又求其通得○度○二六一七九二半之得○度○一三
○八九六为己庚四十五
分弧正己辛也三分之
得己寅○度○○四三六
三三为十五分弧略大线
加己辛【即未丑】得壬丑○度○一七四五二八为一度弧略大之正次于甲癸线内减己辛【即戊癸】余戊甲亦三分之得丙戊○度○○四三六二四为十五分弧略小线加戊癸得丙癸○度○一七四五二即丁午也为丁庚一度略小弧之正夫大小两其差八数为壬亥半之得四壬申也【申亥同】加小减大得乙子○度○一七四五二四为乙庚一度之正若求其通用正与正矢为句股求之【此薛仪甫歴学防通法】
再细求一度正【系作枚法】
前四十五分弧之正○度○一三○八九六法以四十五分半之为廿二分三十秒求其正得六五四四九又半之为十一分十五秒求得正三二七二四五夫廿二分三十秒之弧倍于十一分十五秒而其亦倍则知二十分以内之弧正若平分数【纵有叅差非算所及】法以廿二分三十秒为一率正六五四四九为二率十五分为三率得四率十五分正○度○○四三六三二六次以十五分正与四十五分余○度九九九九一四三相乗得○度○○四三六二八八六○六八六为先数以十五分余○度九九九九九○四八与四十五分正○度○一三○八九六相乗得○度○一三○八九四七五三八为后数【相乗之理见表法六】两数相并得○度○一七四五二三六一四五为一度正与薛书略同但此法似宻
论曰弧与非平分数然一度以内弧相切曲直之分所差极微故可以中比例法求也
按上七根所求者皆各弧之通表中所列俱正葢论割圆必以通便算则惟正然正即通之半全与分之比例等其理一也
作表之法有七
用上根数于大圆中求七弧之通以为造端之始而各度之尚无从可得爰立六种公法或折半或加倍或相总或相较转辗推求以得象限内各度之正葢上诸法乃其体此则其用也二者相资表以成焉
表法一 有一弧之正求其余及半本弧之正与余
解曰如图甲为圈心乙丙戊弧为全圈四之一【九十】乙甲戊甲俱半径设有戊丁丙弧其正为丙庚即从丙作丙甲线成丙庚甲直角形法甲丙全数上方减丙庚正上方余开之得甲庚与丙辛等即丙戊弧之余也又用甲庚减甲戊半径得庚戊矢又作丙戊线成丙庚戊直角形法庚戊矢上方与丙庚上方并开方得丙戊为戊丁丙弧通半之得丙己或戊己即半本弧丙丁或丁戊之正又以丙甲己形【戊甲己形同】用句求股
术求己甲得半本弧之余【癸丙等】若
再以丙己丁己二边求丙丁半之
又得半丙丁弧之正余仿此逓求
之
论曰丙戊弧既平分于丁其丙戊
亦必平分于巳故半丙戊为半本弧
之正试作丁甲壬象限则丙己正己甲余尤了然矣
表法二 有一弧之正余求其倍本弧之正与余解曰甲丙象限内设有甲戊弧其正戊己余己乙今求倍甲戊之甲丁弧正丁癸与余癸乙法先作丁甲线为丁戊甲倍弧之通此线必为乙戊线平分
于壬则壬甲亦为甲戊弧正与
戊己等丁壬亦等夫壬甲既等戊
己则其余壬乙亦必等己乙法
用己戊乙庚壬乙两形乙戊全数
与戊巳正若乙壬余【即乙己】与壬庚而壬庚即辛癸倍之得丁癸为倍弧甲丁之正
论曰乙戊己乙壬甲两形相等戊乙等甲乙戊己等甲壬己乙等壬乙故壬乙得为余又乙戊己乙壬庚两形相似故第四率可求壬庚【即辛癸】而壬庚必为丁癸之半以丁癸甲直角形丁甲既平分于壬从壬作壬辛垂线亦必平分其股于辛也故倍癸辛得丁癸为倍弧甲戊丁正又壬庚线亦平分甲癸句于庚用甲壬庚形依句股术求甲庚倍之以减甲乙存癸乙或丁子即倍弧之余也
表法三 求象限内六十度左右距等弧之正解曰六十度左右距等弧之正与其前后弧两正之较等如图乙丙象限内设丙戊为六十度【不动】有丙己小弧【须在三十度以上】丙巳丁大弧其大弧与丙戊六十度之较戊丁令与丙己小弧与戊丙六十度之较戊己等其大小两弧正一为己辛一为丁庚相较为丁癸此丁癸与己壬丁壬等则丁癸为戊丁戊己距等弧之正壬甲为余
论曰试从巳向子作巳子线则丁巳子为三边等形何则形中壬子丁壬子己两形相等【丁子壬己子壬两角本等又同用壬子边则两形自等】而丁子壬角与乙甲戊角等【以丁庚与乙甲平行故】为三十度【乙甲戊为丙戊甲角六十度之余】则丁子巳角为丁子壬之倍必六十度又丁子壬巳子壬两角等则其余壬丁子壬巳子二角亦必各六十度而与丁子巳角等则丁子巳为
平边三角形夫丁子巳既为平边
三角形其巳癸垂线必平分丁子
于癸子壬垂线必平分丁巳于壬
两分之丁癸与丁壬必等而丁癸
乃己丙丁丙大小二弧两正【一巳辛一丁庚】之较
按此须先求得象限内六十率之正依上法可求左右三十率之正外此即不可用以六十度之余止三十度故也
表法四 任设两弧之正余求两弧并及较弧折半之正
解曰戊壬象限内任设不齐之两弧一置在上如戊丙
一置在下如丁壬中间所容丙丁
弧即戊丙丁壬两弧并之余今求
半丙丁弧丙乙【丁乙同】之正法作
丁壬弧正丁辛余丁癸戊丙
弧正丙壬【即癸己】余丙子又作丙丁线为较弧之通成丙己丁直角形次以丁壬弧正【丁辛巳子同】减戊丙弧余【丙子】得丙己为股丁壬弧余【丁癸】减戊丙弧正【癸己】得丁己为句句股求得丙丁邉半于庚得丙庚或庚丁为丙丁半弧丙乙之正
巳上俱系厯书原法
表法五 有一弧之正求倍本弧之矢因得余解曰设戊乙弧其正乙丁戊丙为戊乙弧之倍其正丙己正矢戊己丙戊为倍弧通半于辛其辛戊与乙
丁等法用戊丙己戊辛甲两直角
相似形【二形同用戊角故相似】甲戊与戊辛
若丙戊与戊己倍弧矢夫四率之
理二三相乗之矩内形与一四相
乗之矩等则丙戊乗辛戊即甲戊乗戊己而丙戊乗辛戊所得矩形为辛戊上方形之倍【戊辛自乗得辛庚方倍之为丙庚矩即丙戊与戊庚相乗之幂也戊庚即戊辛】而全数【甲戊也】又省一除故以乙丁正【即辛戊】自乗倍之退位即得戊己倍弧矢用减半径得倍弧余己甲若反之以戊己矢折半进位开方即得半本弧之正【丁乙】 此孔林宗术勿庵称为正简法余作此图以着其理
表法六 任设不齐之两弧求两弧相并之正及相较之正
解曰寅巳未圏甲为心寅巳为一象限设寅已弧内有己辛弧若干度为前弧又有己戊弧小于己辛为后弧戊子为后弧正子甲其余午辛为前弧正午甲
其余次取辛丑弧与己戊后
弧等则己戊丑为前后两弧之
并弧丑亥即并弧之正次作
丑壬线为丑辛弧正与戊子
等其余壬甲亦与子甲等辛壬亦与子巳等法用甲午辛甲壬丁二相似形以后弧之余壬甲因前弧之正辛午全数【甲辛】除之得壬丁为初数【卯亥等】寄位 次用甲辛午丑壬卯二相似形【甲辛午形之辛角与丑乙辛角等因丑壬乙为直角其丑壬卯角亦与丑乙壬角等则亦与甲辛午角等又二形之卯午俱为直角则两形相似】甲辛与甲午若丑壬与丑卯则以前弧之余甲午因后弧之
正丑壬全数【辛甲】除之得丑
卯为次数末以五卯与初数
卯亥相并得丑亥为已戊丑
两弧相并之正 若求两
弧相较之正法以后弧丑壬正引长之抵圈界于癸则丑癸为丑辛癸弧之通因壬防为直角其癸壬与丑壬必等因得丑辛癸辛两弧亦等夫丑辛弧原与戊巳后弧等则辛癸与戊己弧亦等即以辛癸减辛己前弧得癸己为两弧之较癸庚即较弧之正癸酉其余法用丑辰癸形此形内之癸申壬丑卯壬二直角形相等【丑癸辰句股形丑癸既平分于壬则从壬作壬卯壬申二垂线亦必平分丑辰句于卯癸辰股于申而癸申壬丑卯壬两形必等】因得壬申即丑卯次数【壬申等卯辰卯辰即丑卯】用以减初数壬丁存申丁即癸庚也为较弧癸巳之正亦与戊辛弧正等
若两弧相并在象限外如次图巳寅丑弧理亦同【钤记同前】有不齐之两弧求相并相较弧正又法
法曰两弧【小甲丙大甲戊】相并曰总弧【甲癸】相减曰多弧【戊丙】置大小两弧以大弧正【戊辛】因小弧较【子庚】曰先数【庚乙】以大弧较【辛庚】因小弧正【庚午】曰后数【午未】 视两弧在象限内者以后数【亥壬】减先数【亥丙也以午亥丙形与庚乙子形等故】为多弧正【壬丙】以后数卯丑加先数【丑已以庚巳丑形与庚乙子形等故】为总弧正【卯巳也以卯午巳形与庚酉癸形等故卯己即酉癸】若两弧过象限者加减各异
又或置大小两弧【同上】以
大弧正【戊辛】因小弧正
午庚曰先数【庚未】以大
弧较【庚辛】因小弧较
【庚子】曰后数【子乙】 视两弧在象限下以后数【午亥】加先数得多弧较【壬庚】以后数【庚丑】减先数【庚未】得总弧较【丑未即午卯亦即庚酉】若两弧象限内外不等加减亦异
此法详三角会编五卷梅勿庵先生环中黍尺亦着其法然彼所论者弧三角形此则平圆中求正也
表法七 圆内有五通错互成四不等边形求不知一弧之通
解曰甲为圆心戊庚为圆径戊丙丙丁丁庚俱为通成戊庚丁丙四不等形丁戊丙庚为对角线法丁戊偕丙庚相乗之矩形内减丁庚偕丙戊相乗之矩形余为戊庚与丙丁相乗之矩形葢丁庚丙戊相乗之矩与戊庚丁丙相乗之矩并与丁戊丙庚两对角线相乗之矩
等也若有丙戊丁庚戊庚丙
庚丁戊五通用此可得丙
丁弧之通
论曰庚戊丁形与庚丙丁形
其戊丙两角等【同乗丁庚弧故】若以
丙丁引至己作庚己丙直角形则庚戊丁庚己丙两直角形相似庚戊与戊丁若庚丙与丙己夫四率之理二三相乗矩形与一四相乗之矩等则庚丙与丁戊相乗所得即庚丙与丙己相乗之己壬矩也【取己癸与庚戊径等】次作丁辛线与己癸平行割圈于子其子庚弧与丙戊弧等何则戊丁庚为直角丙丁子亦为直角同用戊丁子角【子戊弧】则丙丁戊庚丁子两角必等其所乗之丙戊庚子两弧亦等矣因得庚子边即丙戊通又庚子丁角与庚戊丁角等【同乗丁庚弧故】于庚作庚乙垂线与己丙平行成子庚乙直角形与庚戊丁直角形相似戊庚与庚丁若子庚与庚乙依四率之理庚子【即丙戊】与丁庚相乗所得即庚戊与庚乙相乗之己辛矩也【丁辛即庚戊己丁即庚乙】用以减己壬矩形余丁壬矩形乃庚戊与丁丙相乗之幂故以庚戊除之得丁丙为丁丙弧之通
若戊丙丁庚非半圈【或大或小不论】则庚
戊为戊丙庚弧之通理亦同但
己壬为斜方形如上图戊丁庚为
小半圈成己壬斜方其庚乙线不
与丁己平行法作己庚乙角令与
丁己庚角等则腰间相对丁乙二角亦等因得庚乙丁己为等边而庚乙子钝角为丁乙庚之余与丁己庚角自等亦即与圆内戊丁庚角等而庚乙子庚戊丁为相似形庚乙即丁己
此上古多罗某法诸书未有能言其故者得余此图庶不昧古人精意 已上二法系余所增
用上七法交互推求可得象限内各度之正细推之又可每隔十五分【四分度之一】得一正十五分以下用中比例法以十五分正为实十五为法而一得一分之正逓加之得每度内各分之正立割圆表又此正算一象限巳足以适满一直角故也
求切线角线矢线
割圆正而外又有切割矢三线并正为四线合其余为八线葢以八线凖一弧弧之曲度得其真矣切线止切圈以一防全在圏外割线从圈心过规半在内半在外正与矢全在圈内如图甲为圈心庚丁为象限庚甲丁甲俱半径设有庚乙正弧即戊乙为正乙辛【戊甲同】为余次于圏外作庚己线与戊乙平行切圈于庚又从甲心过所截弧乙防作甲己线与庚己交于己成甲己庚直角形此己庚为乙庚弧正切线己甲其正割线也而甲己庚直角形与圆内戊甲乙形相似甲戊与戊乙若甲庚与庚己故以余除正半径因之得本弧正切又戊甲与甲乙若庚甲与甲己故以余除半径全数因之得本弧正割以戊甲余减甲庚半径得庚戊本正矢此皆庚乙弧相当之线也夫庚乙既为正弧则乙丁为余弧作乙辛线为余弧之作丙丁线切圏于丙为余弧之切甲乙引出之遇于丙甲丙为余弧之割成甲丙丁直角形与圆内甲乙辛形相似甲
辛与辛乙若甲丁与丁丙得
余切甲辛与甲乙若甲丁与
甲丙得余割乙戊【即甲辛】正
减甲丁半径得辛丁余矢此
又丁乙余弧相当之线也一正一余共有八线若或以丁乙为正弧即庚乙反为余弧其八线正余之名亦互易葢此为正彼自为余耳
论曰庚乙正弧之各线为甲庚己甲戊乙两句股形所成乙丁余弧之各线为甲丁丙甲辛乙两句股形所成而甲庚己形与甲丁丙形相似【一为顺句股一为倒句股】又圆内之乙甲辛甲戊乙二句股形俱自相似亦与甲丁丙甲庚己二形相似是庚乙弧相当之线成相似之直角形四设算可以用正亦可以用余是一弧而能兼用八线此八线表所由名也
按表中不列矢线者以矢线用正余减半径即得且不常用故省之 又按割圆之难全在求正若切割线俱以比例得之
附求割线省法【用加减算】
如乙己弧为二十度其切线乙戊求割线甲戊法先以余己丙七十度半于丁得丁己三十五度丁丙等次
以戊乙切线引长之令与戊甲
等作甲戊辛两腰等三角形而
乙庚弧必与丁丙等即查乙庚
弧之切乙辛并乙戊得戊辛即甲戊割也
解曰乙庚弧何以与丁己弧等葢甲辛戊既为两腰等三角形则甲角之己庚弧必为丙己余弧【己壬也】之半壬庚与己庚等而庚防居己壬弧之中夫丙己与己壬并等两直角则己庚弧之不满直角者必为丙己之半今丙己既半于丁则以丁己益己庚丁甲庚必为直角而乙甲丙亦直角也共用乙甲丁角【或丁乙弧】则丙己与乙庚等
求矢线 余减半径得正矢正减半径得余矢求切线 余除正半径因之得正切正除余半径因之得余切
求割线 余除半径半径因之得正割正除半径半径因之得余割
按圆内矢二线当正弧初度则无九十度极大即半径圈外切割二线切线当正弧初度亦无割线即半径至九十度俱极大且切与割平行不能相遇名曰无穷之度然至此亦无切割之可言矣惟将近九十度防有极大之切割线
定八线正余之界
庚戊丙半圆甲为心戊丙为象限设丙乙正弧在九十度内则乙壬为正壬丙为正矢甲丁为正割丙丁为
正切其戊乙余弧乙己为余己
戊为余矢甲辛为余割戊辛为余
切若设庚戊乙为正弧在九十度
外亦以乙壬为正丁丙为正切
甲丁为正割壬丙为正矢而庚壬亦为正矢又名大矢其余弧仍用戊乙【非乙丙】在庚戊象限之外乙己为余戊己为余矢戊辛为余切甲辛为余割葢乙壬正为丙乙庚乙两弧共用故总以戊乙为余弧也凡算三角形取用正余诸线以此为凖
厯算全书卷五十五
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
钦定四库全书
歴算全书卷五十六
宣城梅文鼎撰
方圆幂积一卷
方圆幂积说
歴书周径率至二十位然其入算仍用古率【十一与十四之比例本祖冲之径七周二十二之宻率】岂非以乗除之际难用多位欤今以表列之取数殊易乃为之约法则径与周之比例即方圆二幂之比例【径一则方周四圆周三一四一五九二六五而径上方幂与员幂亦若四与三一四一五九二六五尾数八位并以表为用】亦即为立方立圆之比例【同径之立方与圆柱若四与二一四有竒则同径之立方与立员若六与三一四有竒】殊为简易直截癸未歳匡山隠者毛心易干干偕其壻中州谢野臣惠访山居共论周径之理因反覆推论方员相容相变诸率庚寅在吴门又得锡山友人杨昆生定三方员订注圗说益觉精明甚矣学问贵相长也
方圎相容
新法厯书曰割圆亦属古法盖人用圭表等测天天圎而圭表直与圎为异类讵能合欤此所以有割圎之法也新法名为八线表云
又云径一围三絶非相凖之率然径七围二十二则盈径五十围百五十七则朒或详绎之则径一万围三万一四五九虽亦小有竒零不尽然用之颇为相近今算得平方与同径之平圆其比例若四○○与三一四五九平方内容平员平员内复容平方则内方与外方内员与外员之幂皆加倍之比例
假如戊己庚辛平方内容甲乙丙丁
员员内又容甲乙丙丁小平方小方
内又容壬丑癸子小平员如此逓互
相容则其幂积皆如二与一也
假外大平方【戊己庚辛】之积一百则内小平方之积【甲丁乙丙】必五十平员亦然
若求其径则成方斜之比例大径如斜小径如方假如内小平方积一百以甲丁或丙乙为径【甲丙或丁乙并同】开方求一百之根得径一十其外大平方积二百以甲乙或丁丙为径【或用戊庚或己辛或己戊或辛庚为径并同】开方求二百之根得径一十四一四有竒
甲乙为甲丁方之斜故斜径自乗之幂与其方幂若二与一而其径与斜径若一十与一十四【一四竒】也折半则为五与七【○七竒】故曰方五则斜七有竒也
三邉形内容平员平员内又容三邉则其幂之比例为
四与一甲乙丙三邉形内容丁戊己
平员平员内又容丁戊己小三邉则
内小三邉形为外大三邉形四之一
内外两平员之幂其比例亦为四与一
若有多层皆以此比例逓加
浑员内容立方立方内又容浑员如此逓互相容则外员径上幂与内员径上幂为三倍之比例外立方与内立方之径幂亦然丙庚丁浑员内容丙甲丁乙立方丙戊及戊甲皆立方边【丙辛及甲辛并同丙乙及甲丁等亦同】丙戊甲辛为立方面【余六面并同】丙甲【为方面斜线】丙丁【为立方体内对角线】即浑员径【乙甲同其辛壬及己戊皆亦对角若作线亦同】丙乙及甲丁等又皆为立楞【戊壬及辛己同】解曰立方面上斜径之幂为方幂之倍【句股法也
斜为方为句又为股并句股实成实故倍方幂即成斜径之幂】又以斜径
为股立方之立楞为句求得立方体内両对
角之斜径为此实内有股实【即面上斜径之幂为
方幂者二】有句实【即立楞之幂立楞原即方邉故其幂即立方面幂】共得方
幂三而此丙对角斜径即浑员之径内小员径又在立方体内即以方径为径其径之幂即立方面也故曰三倍比例也立方内又容立员则内员径即立方之径
若求其径则外径大于内径若一十七有竒与一十内径之幂百开方得一十为径则外径之幂三百开方得一十七【又三十五之一十一】为径若有几层互容皆以此比例逓加卽得若求其体积则为五倍有竒之比例【若有多层亦以此比例逓加】假如内容立方积一千则外大立方积五千一百九十四有竒解曰立积一千则其径幂一百而外大立积之径幂三百又以径一十七【又三十五之一十一】乗之得五千一百九十四【又七之二】 此言大方积又在圗上浑员之外
积之比例
立方同径之立员其比例为六○○与三一四
立方同径之员柱其比例为四○○与三一四
员柱与同径之立员其比例为三与二
方圎周径相求
同积较径 为方变员员变方之用
凡方圎同积则员径大方径小其比例若一一二八三七九与一○○○○○○
解曰员径一一二八三七九则方径一○○○○○○也法曰有员径求其同积之方径当以一○○○○○○乗以一一二八三七九除
有方径求其同积之员径当以一一二八三七九乗以一○○○○○○除
凡方员同积则员径上平方与方径上平方其比例若四○○○○○○○○与三一四一五九二六五解曰员径自乗四○○○○○○○○则方径自乗三一四一五九二六五
法曰有员径求其同积之方径当以三一四一五九二六五乗之四○○○○○○○○除之得数平方开之得方径
有方径求其同积之员径当以四○○○○○○○○乗三一四一五九二六五除得数平方开之得员径凡方员同积则员径与方径若一○○○○○○与○八八六二二六
解曰员径一○○○○○○则方径八八六二二六也法曰有员径求同积之方径以八八六二二六乗员径一○○○○○○除之即得方径
有方径求同积之员径以一○○○○○○乗方径八八六二二六除之即得员径
约法
以一一二八二七九乗方径去末六位得同积之员径以○八八六二二六乗员径去末六位得同积之方径同积较周
凡方员同积则员周小方周大其比例若一○○○○○○与一一二八三七九亦若八八六二二六与一○○○○○○
解曰员周一○○○○○○则方周一一二八三七九也
方周一○○○○○○则员周八八六二二六也约法
以一一二八三七九乗员周去末六位得同积之方周以○八八六二二六乗方周去末六位得同积之员周凡方员同积则其径与径周与周为互相视之比例解曰方周与员周之比例若员径与方径也
论曰凡同积之周方大而员小同积之径则又方小而员大所以能互相为比例
约法
以方周乗方径为实员周除之得员径若以员径除实亦得员周
以员周乗员径为实方周除之得方径若以方径除实亦得方周 皆用异乗同除例如左
一 员周一○○○○○○ 一 方周一○○○○○○二 方周一一二八三七九 二 员周○八八六二二六三 方径○二八二○九四【七五】 三 员径○二八二○九四【七五】四 员径○三一八三○九【八八】 四 方径○二五○○○○积七九五七七【四四八 ○○○○○○】 积六二五○○○○○○○○
一 员径一○○○○○○ 一 方径一○○○○○○二 方径○八八六二二六 二 员径一一二八三七九三 方周三五四四九○四 三 员周三五四四九○四四 员周三一四一五九二 四 方周四○○○○○○积七八五三九【八一六 ○○○○○○】 积一○○○○○○○○○○○○
第四率并与一率乗得四倍积四除之得本积
论曰以上皆方员周径互相求乃同积之比例方员交变用之即比例规变面线之理
同径较积较周 即方内容员员外切方
凡方员同径则方积大员积小周亦如之其比例若四○○○○○○○○与三一四一五九二六五
方径一○○○○周四○○○○ 积一○○○○○○○○员径一○○○○周三一四一五竒积○七八五三九八一六方径二○○○○周四○○○○ 积四○○○○○○○○员径二○○○○周六二八三一竒积三一四一五九二六五凡径倍者周亦倍而其积为倍数之自乗亦谓之再加比例授时厯谓之平差
径二倍周亦二倍而其积则四倍径三倍周亦三倍而其积九倍乃至径十倍周亦十倍而积百倍径百倍周亦百倍而积万倍皆所加倍数之自乗数亦若平方谓之再加也
同周较积较径
凡方员同周则员积大方积小径亦如之其比例若四○○○○○○○○与三一四一五九二六五
方周一○○○○○○径○二五○○○○积六二五○○○○○○○○员周一○○○○○○径○三一八三○九八八积七九五七七四七○○○○方周四○○○○○○径一○○○○○○积一○○○○○○○○○○○○员周四○○○○○○径一二七三二三九五四积一二七三二三九五四○○○○论曰周四则径与积同数但其位皆陞皆视周数之位今用百万为周则积陞六位成万亿矣故虽同而实不同不惟不同而且悬絶定位之法所以当明也
问位既大陞而数不变何耶曰周径相乗得积之四倍于是四除其积即得所求平积此平幂之公法也兹方员之周既为四则以乗其径而复四除之即还本数矣惟周数之四或十或百或千万亿无定而除法之四定为单数故无改数而有进位也
又论曰周四倍之径与周一之径为四倍其积则十六倍所谓再加之比例
浑圎内容立方径一万寸求圎径 法以方斜一万四千一百四十二寸为股自乗得二亿为股实以方径一万寸为句自乗得一亿为勾实并勾股实为三亿为实开方得一万七千三百二十○半寸命为浑圎之径
又以浑圎径求围得五万四千四百十四寸弱 周径相乗得九亿四千二百四十七万六九九四寸为浑幂以四除浑幂得二亿三千五百六十一万九千二百四十八寸竒为大平圎幂即立方一万寸外切浑圎之腰围平幂也
圎柱积四万○千八百十○亿四三一八四九八四寸以浑圎径乗平圎幂得之
倍圎柱积以三除之得浑圎积二万七千二百○六九五四五六六五六寸
约法 立方径一千尺其积一十尺 外切之浑圎径一十七尺三二○五 浑圎积二千七百二十○尺六九五四 约为二千七百二十一尺弱
试再用径上立方求浑圎积法【即立方内求所容浑圎】以浑圎径自乗再乗得浑圎径上立方以圎率【三一四竒】乗之得数六除之得浑积并同
立方与员柱若四○○与三一四竒【同径之员柱也】
立方为六方角所成员柱为六员角所成其所容角体并六而方与员异故其比例如同径之周 此条为积之比例
员周上自乗之方与浑员面幂若三一四竒与一○○浑员面幂与员径上平方形亦若三一四竒与一○○皆员周与径之比例
浑员面幂与员径上平员若四与一
员柱面幂与员径上平员若六与一【六员角之底皆外向合成此数】平员并为一而员柱幂为其六倍浑员幂为其四倍浑员为员柱三之二即此可徴积之比例如其面也以上四条并面幂之比例浑员体与员角体若四与一浑员面既为平员之四倍从面至心皆成角体故体之比例亦四倍
立方面与径上平方若六与一【六面故也】
立方体与浑员体若六○○与三一四竒
浑员面与径上平方既若三一四竒与一○○而立方面与径上平方若六与一平方同为一○○而立方面为其六倍浑员面为其三倍一四竒故立方之面与浑员之面亦若六○○与三一四竒也而体之比例同面故亦为六○○与三一四竒
立员得员柱三之二
论曰凡员柱之面及底皆立员径
上平员也旁周似员筩亦如截竹
周围并以员径为髙即员径乗员
周幂也为径上平员之四倍与浑
员面幂同积【半径乗半周得平员则全径乗全周必平员之四倍】合面与底共得平员之六倍而浑员面幂原系平员之四倍是员柱幂六而浑员幂四也而体积之比例凖此可知亦必为三之二矣【三之二即六之四之半】
问体积之比例何以得如面幂曰试于员柱心作员角
体至面至底成员角体二皆以半
径为髙平员为底其余则外如截
竹而内则上下并成虚员角于是
纵剖其一邉而令员筩伸直以其
幂为底以半径为髙成长方锥【底濶
如全径直如员周髙如半径锥只一防】此体即同四
员角【或纵剖为四方锥亦同皆以周四分之一为底濶以全径
为底长以半径为髙其体并同员角何也以周四之一乗全径与半
径乗半周同故方底同员底而其髙又同则方角同员角】合面
底二员用共六员角矣而浑员体
原同四员角【浑员面为底半径为髙作员锥即同四员
角】是员柱浑员二体之比例亦三
与二也
员角体得员柱三之一 凡角体并同
凖前论员柱有六员角试从中腰平截为两则有三员角而员筩体原当四员角今截其半仍为二员角或面或底原系一员角合之成三员角以为一扁员柱然则员角非员柱三之一乎
若立方形各从方楞切至心则成六方角【皆以方面为底半径为髙】从半径平切之为扁立方则四周之四方角皆得一半成两方角而或底或面原有一方角亦是三方角合成一扁立方而方角体亦三之一矣
浑员体分为四则所分角体各所乗之浑幂皆与员径上平员幂等
甲戊丙丁浑员体 从丑乙辰乙癸乙子乙卯乙寅乙等各半径各自其浑幂透至乙心而以半径旋行而割切之则成上下两员角体一甲卯辰丑乙【以甲丑卯辰割浑员之面为底乙为其锐此割员曲径自丑而甲而辰居员周三之一】一丙癸寅子乙【以子丙寅癸浑员之割面为底乙为其锐此割员曲径亦
三之一如三百六十之一百二十】此上下两角体
相等皆居全浑体四之一中腰成
鼓形而上下两面并穵空各成虚
员角【其外则周遭皆凸面如丑戊子及辰丁癸之割员状此割
员曲径自辰而丁而癸居员周六之一为三百六十之六十】
此鼓形体倍大于上下两角体居浑员全体之半若从戊乙丁腰横截之为二则一如仰盂一如覆碗而其体亦浑员四之一也
如此四分浑体而其割员之面幂即各与员径上之平员幂等故曰浑员面幂与径上平员若四与一也问何以知中腰鼓体能倍大于上下两角体曰试于子丙乙癸角体从子寅癸横切之则成子未癸午小员面
为所切乙子寅癸小员角体之底
乃子寅小半径乗子未癸小半周
所成也然则以子寅小半径乗子
未癸小半周又以乙寅半半径为
髙乗之而取其三之一即小角体矣
试又于中腰鼓体从丑子及卯寅
及辰癸诸立线周遭直切之脱去
其外鼓凸形即成员柱体之外周
截竹形又从酉乙申横切之为两
【一仰盂一覆碗】则此覆碗体举一式为例
可直切断而伸之亦可成方角体
此体以乙寅半半径乗子未癸午
小员全周为底【其形长方】又以小半径
子寅【子寅即乙申】为髙而乗之取三之
一为长方角体此长方角体必倍
大于小员角体何也两法并以小
半径及半半径两次连乗取三之
一成角体而所乗者一为小员全
周一为小员半周故倍大无疑
也
又丙癸寅子亦可成角体与乙子
寅癸等覆碗体既倍大则兼此两
角体矣
凖此而论仰盂体必能兼甲丑卯辰及乙辰卯丑两角体亦无疑也
又角体内既切去一小角体又穵
去一相同之小角体则所余者为
丙癸寅子员底仰盂体
鼓体内既穵去如截竹之体则所
余者为内平【如丑子及辰癸】外凸【如子戊丑及辰
丁癸】之空圈体而此体必倍大于员
底仰盂体何以知之盖两体并以
半径为平面【丑子与癸丙并同】并以员周
六之一为凸面而腰鼓之平面以
半径循员周行员底仰盂之平面则以半径自心旋转周行者两头全用旋转者在心之一头不动而只用一头则只得其半矣故决其为倍大也
凖此而甲丑卯辰亦为穵空之员覆碗体而只得鼓体之半矣由是言之则上下角体各得中腰鼓体之半而鼓体倍大于角形浑体平分为四夫复何疑
曰浑体四分如此真无纎芥之疑体既均分为四则其浑体外幂亦匀分为四亦无可复疑但何以知此所分四分之一必与径上平员相等耶曰此易明也凡割浑员一分而求其幂法皆从其所切平面员心作立线至凸面心而以其髙为股员面心至邉之半径为勾勾股求其斜用为半径以作平员即与所割圎体之凸面等幂假如前圗所论上下两角体从丑夘辰横线切之则以甲夘为股夘丑为句求得甲丑与半径同以作平员与丑夘辰甲凸面等然则此角体之凸面岂不与径上平员等幂乎
甲亢半径与甲丑同以作丑
亢平员与甲丑夘辰凸面等
幂
试又作甲戊线为半径之斜线【甲乙与戊乙皆半径为句为股故也】以为半径而作平员必倍大于半径所作之平员而浑员半幂与之等则浑员半幂不又为平员之倍乎
【如图甲丑为半径作乙庚房平员与丙戊甲平员等亦与甲辰夘丑
割员凸面等为浑幂四之一也】
【甲戊为半径作戊心亥平员与甲丁乙戊半浑幂等而倍大于乙庚
房亦倍大于丙戊甲平员则平员居浑幂四之一】
如是宛转相求无不脗合则平员为浑员幂四之一信矣取浑幂四之一法
当以半径为通以一端抵圎径之端为心旋而防之则所割浑幂为四之一而其浑幂与圎径上平员幂等
甲辰【即丁乙】之自幂一百辰夘之自
乗幂【七十五】如四与三则辰丑通
为径以作平员亦丁戊全径上平
员四分之三也大小两平员各为
底以半径为髙而作员角体其比
例亦四与三也
今浑员径上平员【即下戊径上平员】所作之员角体既为浑积四之一则辰丑通径所作之员角体即浑体十六之三矣【即甲丑夘辰角体及乙丑夘辰角体之合】若以丑辰通上平员为底半半径为髙而作角体即浑体三十二之三
分浑体为四又法
甲乙丙浑员体 从员周分为三【一丑甲辰一辰癸丙一丙子丑各得周三之一】又从辰从丙从丑依各半径【辰乙丙乙丑乙皆是】至乙心旋而
切之则成三角体者三各得浑体
四之一【一辰甲丑乙一丑子丙乙一丙癸辰乙说见前】则
其所余亦浑体四之一也【此余形有三平
员面以辰丑丑丙辰丙为员径而并穵空至乙心如员锥之幂有两】
【凸面以辰丑丑丙辰丙之员周为界以乙为顶皆弧三角形三角并锐】两凸面各得浑员幂八之一按辰丑即一百二十度通也凖前论以此通为圎径作平员为底半半径为髙而成员角体此员角体积即为浑员体积三十二分之三【即先所论员角体八之三】
若依此切浑员体成半平半凸之体其积为浑积三十二之五【即员角体八之五】
环堵形面幂 锥形面幂
有正方正员面欲于周作立围之堵墙而幂积与之倍法于方面取半径为髙即得
甲乙丙平方于其周作立起之
方围形如环堵取平方乙丙半
径为髙则方围面幂倍大于平方
论曰从平方心乙对角分平方为四成四三角形并以方根为底半径为髙于是以此四三角形立起令乙锐上指则皆以乙丙半径为髙而各面皆半幂故求平方以半径乗周得幂也然则依方周作方墙而以半径为髙岂不倍大于平方幂乎
凖此论之凡六等邉八等邉以至六十四等邉虽至多邉之面而从其各周作墙各以其半径为髙则其幂皆倍于各平幂矣然则平员者多邉之极也若于其周作立圈如环而以其半径为髙则环形幂积亦必倍大于平员有方锥员锥于其周作围墙而幂积与之倍
法于锥形之各斜面取其至锐之中线【如乙丙】以为环墙之髙即得
方墙如环堵底用方周髙如乙
丙即斜面自锐至底之斜立中
线
解曰此以锥体之斜面较幂也
论曰凡方锥皆有棱两棱交于锐各成三角面而斜立从此斜立之三角面自锐至根濶处平分之得中线【乙丙】于是自棱剖之成四三角面而植之则中线直指天顶而各面皆圭形为半幂故凡锥体亦可以中线乗半周得幂也然则于底周作方墙而以中线为髙四面补成全幂岂不倍大乎
凖此论之凡五棱六棱以上至多棱多面之锥体尽然矣而员锥者多棱多面之极也则以其斜立线为髙而自其根作员环则其员环之幂亦必倍大于员锥之幂前条所论切浑员之算得此益明盖员仰盂员覆碗及穵空之鼓形其体皆一凸面一平面相合而成其凸面弧径皆割浑员圈六之一其平面之濶皆半径然而不同者其内面穵空之平幂一为锥形【仰盂覆碗之内空如笠】一为环形也【鼓体之内空如截竹】准前论穵空之环幂必倍大于锥形之幂则其所负之割浑员体亦必环形所负倍大于锥形而穵空之鼓体必能兼员覆碗员仰盂之二体
撱圎算法【订厯书之误】
偶查撱圎求体法见其截小分之法有误今以数考之假如撱圎形长径为一千四百尺短径七百尺大分截长径一千○五十尺
甲己三百五十戊乙七百相并得
一千○五十 以此乗
己乙一千○五十尺 以此除
两数相同
右依厯书先求得庚壬甲圎角形为苐三率再用截大分轴己乙为法为苐一率以截小分轴甲己并戊乙半长径为苐二率求得小分之容与圎角形等夫小分之容形外为弧线圎角之容形外为直线小分必大于圎角而今等是不合也况自此而截小分渐小则乙己大分轴反大于甲己小轴及戊乙并之数而求小分之容反将更小于圎角矣有是理哉【小分渐小如辛癸甲则其甲己小于己戊而己乙者己戊与戊乙并也则其数亦大于甲己与戊乙并矣】
又如截大分长七百二十分己乙
为其轴甲己为其小分轴六百八
十分
依厯书法甲己小分轴【六百八十】为一率甲乙长径【一千四百】并戊乙短径【七百】共【二十一百】为二率求到庚壬乙圎角体为三率则所得四率为大分之容者比圎角容大三倍有竒亦恐无是理也何也圎角在圎柱形为三分之一而撱形必小于柱形不宜有三倍之比例也【虽壬庚畧小于丙丁在中腰相近可以不论】今试求之【用苐一圗】依勿庵改法
假如截己乙大分轴一千○五十尺求庚己壬平圎面法先求庚己 依勿庵补法以己戊【三百五十尺】自乗【一十二万二千五百尺】与甲戊【七百尺】自乗【四十九万尺】相减余【三十六万七千五百尺】开方得己庚相当之原数 再以丙戊【三百五十尺】乗之甲戊【七百尺】除之为己庚实数倍之为庚壬线
再以壬庚线上方变为平员今用简法【因长径甲乙与短径丙丁原是折半之比例故也】竟以减余【三十六万七千五百尺】命为庚壬线上方以十一乗之得【四百○四万二千五百尺】又以十四除之得【二十八万八千七百五十尺】为庚壬线上所截撱体之平圎面
法以平圎面各乗其【大分小分】之轴【一千○五十尺三百五十尺】皆成圎柱形乃三除之为【大小】分内所容之【大小】圎角形
再以长径【一千四百尺】乗大圎角为实小轴【三百五十尺】除之为所截撱形之大分
以长径【一千四百尺】乗小圎角为实大轴【一千○五十尺】除之为所截撱形之小分
今用简法 置平圎面三除之得【九万六千二百五十尺】以小分轴【三百五十】乗之得庚甲壬小圎角形【三千三百六十八万七千五百尺】置小圎角四因三除之得【四千四百九十一万六千六百六十六又三之二】为所截小圎分
又置圎面三除之积【九六二五○】以大分轴【一千○五十尺】乗之得庚子乙大圎角形【一亿○一百○六万二千五百尺】
置圎角形【一○一○六二五○○】用四因之得【四亿○四百二十五万尺】为所截大圎分
小圎分大圎分两形并之【共四亿四千九百一十六万六六六六】为撱形全积
另求撱形全积
置短径【七百】自乗得【四十九万】以长径【一千四百】乗之得【六亿八千六百万】以十一因之二十一除之得【三亿五千九百三十三万三三三】为真撱圎全积
以真撱圎积与两截形并相较其差为九十分之一而弱
若用厯书法 求得截小分【二千三百六十八万七千五百尺】与小圎角同
截大分【六亿○六百三十七万五千】为大圎角之六倍
相并得【六亿四千○○六万二千五百尺】为撱圎全积 与撱圎真积相较其差更甚
如是辗转推求则知撱体大截分不可算今别立法凡撱体皆先如法求其全积再如法求其小分截积以小分截积减全积余为大分截积此法无可存