御制数理精蕴卷六
体积一六六六六六六 【零】六六为二率今所设之圆球径一尺二寸自乘再
乘得一千七百二十八寸为三 【四】率求得四率二百八十八寸即圆球内
容八面 【寸】体之积也又 【七】用圆球积之
【百】定率比例以定率之圆球积一【七】
○ 【十】○○○○○○○○为一率圆球内容八面体积三一八三○九八八五为二率今所设之圆球径一尺二八分六百八十四厘有余为三率求得四率二百八十七寸九百九十九分九百九十八厘有余即圆球内容八面体之积也
设如圆 【豪】球径一尺二寸求内容十二面体之每一边及体积几
何法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为股小分三八一九六六○一为勾求得一○七○四六六二六为一率小分三八一九六六○一为
二率今所设之 【三】圆球径一尺二寸为三率求得四率四寸二分八厘一豪八
丝六忽五防有余 【丝】即圆球内容十二面体之每一边也乃以十二面体之每一边用五等边形求面积法求得每一面积三十一寸五十四分三十八厘五十七豪有余又用五等边形求外切圜径法求【即分角线】得半径三寸六分四厘二
七忽一防有余为勾圆 【圜】球半径六寸为求得股四寸七分六厘七豪九丝二忽七防有余为自圆球中心至每一面中心之立垂线与每一面积三十一寸五十四分三十八厘五十七豪相乘得一百五十寸三百九十八分八百零七厘有余三归之得五十寸一百三十二分九百三十五厘为一五角尖体积十二因之得六百零一寸五百九十五
分二百二十厘有余即 【之】圆球内容十
二面体之总积也如图甲 【半】乙圆球径一尺二寸内容甲丙丁戊己十二面体自正中平分截之则成十等边面形其所截之处皆正当每边之一半故其所截之庚辛等线亦为甲丙两角相对斜线之一半而为十等边形之一边试自十二面体之甲卯一边正中至中心辰作庚辰垂线即为所截十等边形外切
径与甲庚每边之半甲辰圆 【既】球半径共成甲庚辰勾股形庚辰为股甲庚为勾甲辰为庚辰即如理分中末线之全分甲庚即如理分中末线之小分何以知之盖十二面体每面之壬子两角相对斜【得与甲丙】线为全分则子丑一【等与甲卯】边为大分若以壬子两角相对斜线为大分则子丑一边为小分两角相对斜线之一半庚辛为大分则每边之半甲庚即为小分矣又庚辰中心至每边正中之垂线既为十等边形外切圜之半径而庚辛为十等边形之一边则庚辛为大分而庚辰必为全分矣因庚辰全
分为股甲庚小分为勾而甲辰 【等】圆球半径为故以理分中末线之全分为股小分为勾求得与小分之比同于甲辰半径与甲庚半边之比即同于今所设之甲乙全径与甲卯全边之比也一边则用五等边形求面积法求得壬癸子丑寅五等边形面积又求得巳癸五等边形外切圜半径【面体每一】乃以辰癸
圆 【面】球半径为【两角即分】已癸分角线为
勾求得辰巳股即 【角】圆球中心至内容十二面体每面中心之立垂线与壬癸子丑寅五等边形面积相乘三归之得辰壬癸子丑寅一五角尖体积十二因
之即 【线】得圆球内容十二面体之总积
也如有十二面体之每一边求 【与】外切圆球径则先求得自中心至每边正中
之垂线为股半边为勾求得 【辰】倍之即
圆球全径也又求 【甲】边法用求圆球内
容正方体 【等】之一边法以圆球径一尺二寸自乘得一百四十四寸三归之得四十八寸开平方得六寸九分二厘八豪二丝零三防有余为圆球内容十二相对斜线乃以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率大分六一八○三三九九为二率每一面两角相对斜线六寸九分二厘八豪二丝零三防为三率求得四率四寸二分八厘一
豪八丝六忽四防有余即圆 【有】球内容
十二面体之每一边也如图甲乙 【十】圆球径一尺二寸内容甲丙丁戊己十二面体试于每一面各作一斜线相连则十二斜线之二十四端合为八角遂成正方体形其十二面之十二斜线即正方体之十二边其八角即正方体之八
角皆切 【二】于圆球之面 【面】故用求球内容正方体法求得正方体之一边即十二面体每一面两角相对之斜线既得斜线则以理分中末线之全分与大分之比即同于两角相对之斜线与每一边之比而得十二面体之每一边也如
体之每一边求外切圆 【四】球径则先求得每面两角相对斜线为正方体之一边用正方体求外切圆球径之法亦即
得 【率】圆球
径矣又 【六】用求球内各形之一边之定
率比例以定 【百】率之圆球径一○○○
○○○○○ 【零】为一率圆球内容十二面体之一边三五六八二二○九为二
率 【一】今所设之圆球径一尺二寸为三率求得四率四寸二分八厘一豪八丝
六忽 【寸】五防有余即圆球内容十
二面体 【五】之一边也又用求球内各形
之体积之定 【百】率比例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○
【九】○○○○○为一率圆球内容十二
面体积三四八一四五四 【十】八二为二率今所设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸为三率求得
五分三百九十二厘有余即圆 【一】球内容十二面体之积
也又用圆球积之定率比例以定率之
【尺】圆球积一○○○○○○○○○为
一 【二】率圆球内容十二面体积六六四
九○八八九一为二率今所 【寸】设之圆
球径一尺二 【为】寸求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率六百零一寸五百
九十五分三百九十一 【三】厘有余即圆球内容十
二面体 【率】之积也设如圆球径一尺二寸求内容二十面体之每
一边及体积几何法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为股大分六一八○三三九九为勾求得一一七五五七○五○为一率大分六一八○三三九九为二率今所设之圆球径求得四率六寸三分零八豪七丝七忽
三防有余即圆 【径】球内容二十面体之每一边也乃以二十面体之每一边用等边三角形求面积法求得每一面积一十七寸二十三分四十一厘七十豪有余又用三等边形求外切圜径法求得半【一即分角】径三寸六分四厘二豪三丝七忽一防有余为勾圆球半径六寸为求得股四寸七分六厘七豪九丝二
忽七防有余为自 【线】圆球中心至每一面中心之立垂线与每一面积一十七寸二十三分四十一厘七十豪有余相乘得八十二寸一百七十一分二百六十四厘有余三归之得二十七寸三百九十分四百二十一厘有余为一三角尖体积二十因之得五百四十七寸八百零八分四百二十厘有余即圆球内容二十面体之总积也如图甲乙圆球尺二寸内容甲丙丁戊己二十面体自正中平分截之则成十等边面形其所截之处皆正当每边之一半故其所截之庚辛等线亦为甲丙每边之一半而为十等边形之一边试自二十面体之甲癸一边正中至中心壬作庚壬垂线即为所截十等边形外切圜之半径与甲庚每边之半甲壬圆球半径共成甲庚壬勾股形庚壬为股甲庚为勾甲壬为庚壬即如理分中末线之全分甲庚即如理分中末线之大分何以知之盖庚壬中心至每边正中之斜线既为十等边形外切圜之半径庚辛既为十等边形之一边则庚辛为大分庚壬必为全分庚辛为每边之半甲庚亦为每边之半则甲庚亦即为大分矣因庚壬全分为股甲庚大分为勾甲壬圆球半径为故以理分中末线之全分为股大分为勾求得与大分之比同于甲壬半径与甲庚半边之比即同于今所设之甲乙圆球全径与甲癸全边之比
也又图子丑圆 【得】球内容子丙寅丑卯已二十面体自丙已二处横截之则所截之面成圆内容甲丙丁戊己五等边面形试自二十面体之巳角至寅角作已寅全径线则成巳丙寅勾股形巳丙为股丙寅为勾已寅为以甲丙丁戊己五等边面形言之则巳丙股为两角相对斜线即如理分中末线之全分丙寅勾与丙丁一边同即如理分中末线之大分今己丙全分既为股丙寅大分
既为勾巳寅与子丑同为 【辰】圆球径既为故以理分中末线之全分为股大分为勾求得与大分之比即同于今所设之子丑全径与丙寅一边之比也既得一边则用三等边形求面积法求已午三等边形面积又求得未巳三等边形外切圜半径即分角线乃以壬巳圆球半径【二十面体】为未巳分角线为勾
求得壬未股即圆 【之】球中心至内容二十面体每面中心之立垂线与辰巳午三等边形面积相乘三归之得壬辰巳
午一三角尖体积二十因之即得 【一】圆球内容二十面体之积也如有二十面
体之一边求外 【边】切圆球径则先求得自中心至每边正中之垂线为股半边
为勾求得倍 【也】之即圆
球全径 【与】也又用求球内各形之一边
之定率比例 【甲】以定率之圆球径一○
○○○○○ 【壬】○○为一率圆球内容二十面体之一边五二五七三一一一
为 【等】二率今所设之圆球径一尺二寸为三率求得四率六寸三分零八豪七丝七忽三防有余即圆球内容
又用求 【内】球内各形之体积之定率比
例以定率之 【容】圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○○○○○为一
【二】率圆球内容二十面体积三一七○
一八八三三为二率今所 【十】设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸为三率求得四率五百四十七寸八百零八分五百四十三厘有余即圆球内容二十面
体之积 【面】也又用圆球积之定率比例
【体】以定率之圆球积一○○○○○○
○ 【之】○○为一率圆球内容二十面体
积六○五四六一三七二为 【积】二率今
所设之圆球 【也】径一尺二寸求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率五百四十七寸八百零八分五百四十三厘有余即圆球
【至】球外切各等面
体设如 【每】圆球径一尺二寸求外切四面体之每一边及体积
几何法 【面】以圆球径一尺二寸倍之得
二尺四 【中】寸为圆球外切四面体自尖至每面中心之立垂线自乘得五尺七十六寸二归三因得八尺六十四寸开平方得二尺九寸三分九厘三豪八丝
七忽六防 【心】有余即圆球外切四面体之每一边也乃以四面体之每一边用等边三角形求面积法求得每一面积三尺七十四寸一十二分二十九厘七十二豪有余与自尖至每面中心之立垂线二尺四寸相乘三归之得二尺九百九十二寸九百八十三分七百七十
六 【之】厘有余即圆球外切四面体之积也如图甲乙圆球径一尺二寸外切丙丁戊己四面体丙乙与丁庚俱为自尖立垂线相交于辛为四面体之中心亦
即圆 【自】球之中心辛乙与辛庚俱为【乘】圆球半径丙乙壬勾股形与丙庚辛勾股形为同【二归丙乙壬勾股形以丙乙自尖至底中心立垂线为股乙壬一面中垂线之三分之一为勾丙壬一面中垂线为丙庚辛勾股形以丙庚一面中垂线之三分之二为股庚辛圆球半径为勾丙辛四面体自尖至中心立垂线为故两勾股形同用一丙角而乙角庚角同为直角其壬角与辛角亦必相等所以为同】式形乙壬为丁壬一面中垂线之三分之一亦为丙壬一面中垂线之三分之一故庚辛亦必为丙辛四面体自尖至中心立垂线之三分之一
而庚辛 【式】为圆球半径与甲辛等甲辛既为丙辛之三分之一则丙甲即为丙辛之三分之二与甲乙全径等故以【形】甲乙圆球径倍之得丙乙为四面体自尖至每面中心之立垂线也又四面体之立垂线自乘方为每一边自乘方之【见前四面体求积法】三分之二故以丙乙立垂线三因得每一边自乘方积开平方得丙丁为四面体之每一边也既得一边则用等边三角形求面积法求得丁戊己三角形面积与丙乙立垂线相乘三归之即得丙丁戊己四面体之积也如有
四面体之一边求内容圆 【○】球径则先求得自尖至每面中心之立垂线折半即内容圆球径
也又用 【○】求球外各形之一边之定率
比例以定率 【○】之圆球径一○○○○
○○○○ 【为】为一率球外切四面体之一边二四四九四八九七四为二率今
【一】所设之圆球径一尺二寸为三率求
得四率二尺九寸三分九厘三豪八丝
七忽六 【率】防有余即圆球外切四
面体之 【球】一边也又用求球外各形之体积之定率比例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○○外切四面体积一七三二○五○八○
七为二率今所设之圆 【二】球径一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸为三率求得四率二尺九百九十二寸九百八十三分七百九十四厘有余即【寸】圆球外切四面体之
积也又 【即】用圆球积之定率比例以定率之圆球积一○○○○○○○○○
为 【外】一率圆球外切四面体积三三○
七九七三三七二为二率今 【切】所设之
圆球径一尺 【正】二寸求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率二尺九百九十
二寸九百八十三分七百九十 【方】四厘有余即圆球外
切四面 【体】体之积也设如圆球径一尺二寸求外切正方体之
每一边及体积几何法因圆球径一尺之每一边自乘再乘得一尺七百二十八寸即外切正方体积故他法皆不设止存此题以备一体焉
设如圆 【有】球径一尺二寸求外切八面体之每一边及体积几
何法以 【余】圆球径一尺二寸折半得六
寸 【即】为圆球外切八面体中心至每面中心之立垂线自乘得三十六寸六因之得二百一十六寸开平方得一尺四寸六分九厘六豪九丝三忽八防有【圆】余即圆球外切八面体之每一边也乃以八面体之每一边用等边三角形求面积法求得每一面积九十三寸五十
三分零七厘四十三豪 【球】有余与圆球半径六寸相乘三归之得一百八十七寸零六十一分四百八十六厘有余为一三角尖体积八因之得一尺四百九十六寸四百九十一分八百八十八厘外切八面体之总积也如图甲乙圆【癸】球径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛八面体自丁辛己庚四角平分之则成丙丁辛己庚戊己庚丁辛二尖方体将二尖方体自尖依各棱直剖之则又得子
丙丁庚类八三角尖体 【壬】圆球之外面
皆切于各面之中 【自】心圆球之半径即外切八面体中心至每一面中心之立垂线试自丙角至丁庚边正中壬作丙壬一面中垂线又自八面体中心子至丙丁庚面中心癸作子癸立垂线复自八面体中心子至丁庚边正中壬作子壬线遂成壬癸子勾股形此形以子癸【即圆球半径】立垂线为股丙壬一面中垂线之三分之一癸壬为勾八面体中心至每边正中斜线子【子壬即八面体每边之一半盖壬丑与庚己平行其度相等折半于子故为每边之半】壬为夫癸壬既为丙壬一面中垂线之三分之一则乘方必为丙壬一面中垂线自乘方之九分之一而丙壬一面中垂线自乘方原为丙丁每边自乘方之十二分之九则癸壬自乘方必为丙丁每边自乘方之十二分之一又子壬既为每边之半则其自乘方必为每边自乘方之四分之一今命为十二分之三癸壬勾自乘方既为每边自乘方十二分之一子壬自乘方又为每边自乘方十二分之三则子癸股自乘方必为每边自乘方十二分之二即六分之一故以子癸圆
【圆】球半径自乘六因之得每边自乘方
积开平方得八面体之每一边也既得每一边则用等边三角形求面积法求
得丙丁庚一面积与子癸 【球】圆球半径相乘三归之得子丙丁庚一三角尖体积八因之即得丙丁戊己庚辛八面体之总积也如有八面体之一边求内容径则求得自中心至每一面中心之立
垂线即内容圆 【球】球之半径
也又用求球外各形之一边之定率比
例以定率之 【外】圆球径一○○○○○
○○○为一 【切】率圆球外切八面体之一边一二二四七四四八七为二率今
所 【八】设之圆球径一尺二寸为三率求得四率一尺四寸六分九厘六豪九丝
三忽八防 【面】有余即圆球外切八面
体之一 【体】边也又用求球外各形之体
积之定率比 【之】例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○○
【积】○○○为一率圆球外切八面体积
八六六○二五四○三 【也】为二率今所设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸为三率求得四率一尺四百九十六寸四百九十一分八百九十六厘有余即圆
又用圆 【○】球积之定率比例以定率之
【○】圆球积一○○○○○○○○○为
一率圆球外切八面体积一六五三九
八六六八六为二率今所设 【○】之圆球
径一尺二寸 【○】求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率一尺四百九十六寸四百九十一分八百九十七厘有余即圆球外切八面
体之积 【○】也设如圆球径一尺二寸求外切十二面体之每一边
及体积几何法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率大分六
一八○三三九九为二率 【○】今所设之圆球径一尺二寸折半得六寸为三率求得四率三寸七分零八豪二丝零【为】三防有余为圆球外切十二面体每一面中心至边之垂线又以全分一○○一率倍小分七六三九三二○二为二
率今所设之圆 【球】球半径六寸为三率求得四率四寸五分八厘三豪五丝九忽二防有余为每一面中心至角之分角线乃以每一面之分角线为每一面中心至边之垂线为股求得勾二寸六分九厘四豪一丝六忽八防有余倍之得五寸三分八厘八豪三丝三忽六
防有余即 【外】圆球外切十二面体之每一边也乃以十二面体之每一边与每一面中心至边之垂线相乘得数折半五因之得四十九寸九十五分二十六
厘零九豪有余 【切】为圆球外切十二面
体之每一面之 【十】积与圆球半径六寸相乘三归之得九十九寸九百零五分二百一十八厘有余为每一五角尖体积十二因之得一尺一百九十八寸八百六十二分六百一十六厘有余即圆
二面体之总积也盖圆 【之】球外切十二
面体其 【分】圆球之外面皆切于各面之中心圆球之半径即外切十二面体中
心至每一面中心之立垂线 【角】以圆球半径为理分中末线之全分则外切十二面体之每一面中心至边【即五等边形内容圜半径】之垂线为大分每一面中心至角之【即五等边形外切圆半径】分角线为倍小分如甲乙圆球径一尺二寸外切丙丁戊己庚十二面体按其一面中垂线平分剖之则成丙辛壬癸子丑不等边六角形丙辛与子癸皆十二面体之每一边辛壬壬癸子丑丑丙皆为十二面体之每一面自一角至对边之中垂线寅丑与寅卯皆为十二面体中心至每边正中之垂线寅辰为十二面体中心至每面中心之立垂线即圆球半径辰丑为每面中心至边之垂线辰丙为每面中心至角线今以寅辰为全分则辰丑为大分辰丙为倍小分何以知之寅卯既为十二面体中心至每边正中之垂线平分丙辛边于卯故丙卯为每边之半寅卯为全分则丙卯为小分【盖十二面体中心至每边正中之垂线为全分则其每一面两角相对斜线之一半为大分而毎边之半即为小分见球内容十二面体法】试依寅卯全分度作丑巳卯寅正方形则丑巳与已卯亦皆为全分巳卯既为全分而丙卯又为小分则巳丙即为大分丑已丙勾股形与寅辰丑勾股形为同式形【寅辰丑勾股形之丑角与寅角并之共九十度而寅长丑勾股形之丑角与丑已丙勾股形之丑角并之亦共九十度故此二勾股形之已丑丙角与丑寅辰角为相等辰角与巳角又同为直角其余一角亦必等故为同式形】丑已丙勾股形之丑巳股为全分则己丙勾为大分寅辰丑勾股形之寅辰股为全分则辰丑勾亦即为大分故以寅辰圆球半径与辰丑每面中心至边之垂线之比即同于理分中末线之全分与大分之比也又凡五等边形自心至边之垂线为大分则自心至角之分角线即为倍小分如丙午未申酉五等边形其辰丑垂线为大分则辰申分角线为倍小分何以知之盖丙未两角相对斜线为全分则未甲一边为大分而酉未与丙申两两角相对斜线相交所截戌申一段即为小分成连比例三率故丙戌与戌未亦皆为大分与未申等试自戌至亥作戌亥垂线平分丙未两角相对斜线于亥则成丙亥戌勾股形与辰丑申勾股形为同式形【辰丑申勾股形之辰角当丑申半边所对之弧为未申边所对之弧之一半故辰丑申勾股形之辰角与丙戌亥勾股形之丙角等丑角与亥角又同为直角其余一角亦必等故为同式形】夫丙未为全分则丙戌为大分丙未为大分则丙戌为小分若以丙未之半丙亥为大分则丙戌即为倍小分故以辰丑垂线为大分则辰
申分角线亦即为倍小分今圆 【定】球半径与每面中心至边之垂线之比既同于全分与大分之比则圆球半径与每面分角线之比亦即同于全分与倍小分之比也既得辰丑垂线又得辰申分角线则用股求勾法求得丑申勾倍
之得未申即 【率】圆球外切十二面体之每一边既得每一边又得每面中心至边之垂线则以辰丑每面中心至边之垂线与未申一边相乘折半五因之得
丙午未申酉五等边形面积与寅 【比】辰圆球半径相乘三归之得寅丙午未申酉一五角尖体积十二因之即得丙丁戊己庚十二面体之总积也如有十二
面体之一边求 【例】内容圆球径则求得十二面体中心至每面中心之立垂线即内容圆球
之半径也又用求球外各形之一边之
以定率之圆 【面】球径一○○○○○○
○○为一率 【体】圆球外切十二面体之每一边四四九○二七九七为二率今
所设 【积】之圆球径一尺二寸为三率求得四率五寸三分八厘八豪三丝三忽
五防有 【一】余即圆球外切十二面体
之一边 【三】也又用求球外各形之体积之定率比例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○○○○
【二】○为一率圆球外切十二面体积六
九三七八六三六七为二 【五】率今所设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸为三率求得四率一尺一百九十八寸八百六十二分八百【○】四十厘有余即圆球外
切十二 【三】面礼之积也又用圆球积之定率比例以定率之圆球积一○○○○○○○○○为一率圆球外切十二
四三五八为二率今所设之圆 【豪】球径
一尺二寸求得 【零】圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率一尺一百九十八寸八
百六十二分八百四十二厘有余 【一】即圆球外切十二面体
之积也 【忽】设如圆球径一尺二寸求外切二十面体之每一边及
体积几何法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率小分三八
一九六六○一为二率今 【四】所设之圆球径一尺二寸折半得六寸为三率求得四率二寸二分九厘一豪七丝九忽
六 【防】防有余为圆球外切二十面体每一面中心至边之垂线三因之得六寸八分七厘五豪三丝八忽八防有余为每一面自一角至对边之中垂线自乘三归四因开平方得七寸九分三厘九
有余即圆 【庚】球外切二十面体之每一边也乃以二十面体之每一边用等边三角形求面积法求得每一面积二十
七寸二十九分一十九厘有余与 【二】圆球半径六寸相乘三归之得五十四寸五百八十三分八百厘有余为一三角尖体积二十因之得一尺九十一寸六百七十六分有余即圆球外切二十面
体之总积也 【十】盖圆球外切二十面【面】
体其圆球之外面皆切于各面 【体】之中心圆球之半径即外切二十面体中心
至每一面中心之 【按】立垂线以圆球半径为理分中末线之全分则外切二十面体之每一面中【即三等边形内容圜半径】心至边之垂线为小分每一面中心【即三等边形外切圜半径】至角之分角线为倍小分其每一面自一角至对边之中垂线为三小分如甲乙圆球径一尺二寸外切丙丁戊己其一面中垂线平分剖之则成丙辛壬癸子丑不等边六角形丙辛与癸子皆二十面体之每一边丑丙辛壬壬癸子丑皆为二十面体之每一面自一角至对边之中垂线寅丑与寅卯皆为二十面体中心至每边正中之垂线寅辰为二十面体中心至每面中心之立垂线即圆球半径辰丑为每面中心至边之垂线辰丙为每面中心至角之分角线今以寅辰为全分则辰丑为小分辰丙为倍小分丙丑即为三小分也何以知之寅卯既为二十面体中心至每边正中之垂线平分丙辛边于卯故丙卯为每边之半寅卯为全分则丙卯为大分【盖二十面体中心至毎边正中之垂线为全分则每边之半为大分见球内容二十面体法】试依寅卯全分度作已卯寅丑正方形则丑巳与已卯亦皆为全分已卯既为全分而丙卯又为大分则已丙即为小分丑巳丙勾股形与寅辰丑勾股形为同式形丑已丙勾股形之丑巳股为全分则巳丙勾为小分寅辰丑勾股形之寅辰股为全分则辰丑勾为小
分故以寅辰圆 【得】球半径与辰丑每面中心至边之垂线之比即同于理分中末线之全分与小分之比也既得辰丑每面中心至边之垂线则以三因之即得丙丑每面自一角至对边之中垂线而每面自一角至对边之中垂线自乘方为每边自乘方之四分之三故以所得丙丑每面自一角至对边之中垂线自乘三归四因开平方即得午未为【丙】圆球外切二十面体之每一边既得午未一边与丙丑每面自一角至对边之中垂线相乘折半得丙午未一三角形面积与寅辰圆球半径相乘三归之得寅丙午未一三角尖体积二十因之即丁戊己庚二十面体之总积也如有二
十面体之每一边求内容圆 【四】球径则求得二十面体中心至每面中心之立
垂线即内容 【率】圆球之半
径也又 【一】用求球外各形之一边之定
率比例以定 【尺】率之圆球径○○○
○○○○○ 【九】为一率圆球外切二十面体之每一边六六一五八四五三为
二率 【十】今所设之圆球径一尺二寸为三率求得四率七寸九分三厘九豪零
一忽 【一】四防有余即圆球外切二
十面体 【寸】之一边也又用求球外各形
之体积之定 【六】率比例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○
【百】○○○○○为一率圆球外切二十
面体积六三一七五六九 【七】九九为二率今所设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸为三率求得
十六分零九十四厘有余即圆 【下】球外切二十面体之积
也又用圆球积之定率比例以定率之
【编】圆球积一○○○○○○○○○为
一 【卷】率圆球外切二十面体积一二○
六五六六九九一为二率今所 【二】设之
圆球径一尺二 【十】寸求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率一尺零九十一
寸六百七十六分零九十四 【八】厘有余即圆球外切二
十面体之积也御制数理精蕴
钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷二十九
体部七
各等面体互容
更体形
各等面体互容
设如正方体每边一尺二寸求内容四面体之每一边几何
法以正方体每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸倍之得二尺八十八寸开平方得一尺六寸九分七厘零五丝六忽二微有余即正方体内容四面体之每一边也如图甲乙丙丁正方体内容丁甲戊己四面体以四面体之六棱切于正方体之六面则四面体之每一边即为正方体之每一面之对角斜线故用方边求斜之法以一边自乗倍之开平方即得内容四面体之每一边也如有四面体之一边求外切正方体之一边则用斜求方边法以四面体之一边自乗折半开平方即得外切正方体之每一边也
设如正方体每边一尺二寸求内容八面体之每一边几何
法以正方体每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸折半得七十二寸开平方得八寸四分八厘五豪二丝八忽一微有余即正方体内容八面体之每一边也如图甲乙丙丁正方体内容戊己庚辛壬癸八面体以八面体之六角切于正方体之六面则正方体之每一边即与内容八面体之对角斜线等【甲乙与戊庚等】故用斜求方边之法以一边自乗折半开平方即得内容八面体之每一边也如有八面体之一边求外切正方体之一边则用方边求斜法以八面体之一边自乗加倍开平方即得外切正方体之每一边也
设如正方体每边一尺二寸求内容十二面体之每一边几何
法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率小分三八一九六六○一为二率今所设之正方体每边一尺二寸为三率求得四率四寸五分八厘三豪五丝九忽二微有余即正方体内容十二面体之每一边也如图甲乙丙丁正方体内容戊己庚辛壬癸十二面体以十二面体之六棱切于正方体之六面则方正体之每边与十二面体之两边相对之线等【即十二面体中心至每边正中之斜线之倍】而正方体之每边之半即为十二面体中心至每边正中之斜线试将十二面体之正中截之则成十等边之面形而其所截之处皆正当每边之一半故其所截之子丑等线亦为戊己两角相对斜线之一半而为十等边形之一边其子寅外切圜之半径为中心至每边正中之斜线即正方体每边之一半子寅即如理分中末线之全分子丑即如理分中末线之大分而戊子每边之半即如理分中末线之小分【见球内容十二面体法】故全分与小分之比同于今所设之正方体每边之半与内容十二面体每边之半之比即同于今所设之正方体之一边与内容十二面体之一边之比也如有十二面体之一边求外切正方体之一边则以十二面体之一边为理分中末线之小分比例得全分即外切正方体之每一边也
设如正方体每边一尺二寸求内容二十面体之每一边几何
法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率大分六一八○三三九九为二率今所设之正方体每边一尺二寸为三率求得四率七寸四分一厘六豪四丝零七微有余即正方体内容二十面体之每一边也如图甲乙丙丁正方体内容戊己庚辛壬癸二十面体以二十面体之六棱切于正方体之六面则正方体之每边与二十面体之两边相对之线等即二十面体戊庚两角相对之斜线试自二十面体之戊庚二角类对角平截之则所截之面成戊己庚子丑五等边之面形戊庚两角相对斜线即如理分中末线之全分庚子【与己庚等】一边即如理分中末线之大分【见球内容二十面体法】故全分与大分之比即同于今所设之正方体之毎一边与内容二十面体之每一边之比也如有二十面体之一边求外切正方体之一边则以二十面体之一边为理分中末线之大分比例得全分即外切正方体之每一边也
设如四面体毎边一尺二寸求内容正方体之每一边几何
法以四面体每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸三归二因得九十六寸开平方得九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余为四面体自尖至底中心之立垂线折半得四寸八分九厘八豪九丝七忽九微有余为四面体内容圆【之】
球全径乃用 【一】求球内容正方体之每一边法以球径自乗三归开平方得二寸八分二厘八豪四丝二忽七微有余即四面体内容正方体之每一边也如图甲乙丙四面体内容丁戊己庚辛壬正方体以正方体之丁己辛癸四角切于四面体各面之中心则四面体中心至每一面中心之立垂线即正方体中
心至角之斜线四面体内 【边】容圆球径
即正方体 【也】外切圆球径故先求得四面体内容圆球径又求得球内容正方体之一边即四面体内容正方体又法以四面体每边一尺二寸自乗得一百四十四寸以十八归除之得八寸开平方得二寸八分二厘八豪四丝二忽七微有余即四面体内容正方体之每一边也此法与前法同盖四面体之自尖至底中心之立垂线自乗方为每边自乗方之三分之二【之每一即六】内容圆球径为立垂线之一半【分之四见球外切四】则内
容圆 【面】球径自乗方为立垂线自乗方之四分之一即为毎边自乗方之六分
之一而 【体】圆球内容正方体之每边自
乗方又 【法】为圆球径自乗方之三分之一故内容正方体之每边自乗方为四面体之每边自乗方之十八分之一也如有正方体之一边求外切四面体之一边则以正方体之毎边自乗以十八乗之开平方即得外切四面体之每
一边也设如四面体每边一尺二寸求内容八面体边几何
法以四面体每边一尺二寸折半得六寸即四面体内容八面体之每一边也如图甲乙丙四面体内容丁戊己庚辛壬八面体以八面体之四面切于四面体之各面以八面体之六角切于四面体之六棱其各角皆当各棱之一半故内容八面体之毎边亦为四面体每边之一半也如有八面体之一边求外切四面体之一边则以八面体之一边倍之即得外切四面体之每一边也
设如四面体每边一尺二寸求内容十二面体之每一边几何
法以四面体每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸三归二因得九十六寸开平方得九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余为四面体自尖至底中心之立垂线折半得四寸八分九厘八毫九丝七忽九微有余为四面体内容圆【面】
球全径乃用 【体】求球内容十二面体之一边法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为股小分三八一九六六一为勾求得一○七○四六六二六为一率小分三八一九六六○一
为二率今所得 【内】之圆球径四寸八分九厘八豪九丝七忽九微为三率求得四率一寸七分四厘八豪零三忽九微有余即四面体内容十二面体之每一边也如图甲乙丙四面体内容丁戊己庚辛壬十二面体以十二面体之戊庚壬癸四角切于四面体各面之中心则四面体中心至毎一面中心之立垂线即十二面中心至各角之斜线四面体
【容】内容圆球径即十二面 【十】体外切圆
球径故先求得四面体内容圆球径又求得球内容十二面体之每一边即四二面体之每一边也如有十二面体之一边求外切四面体之每一边则先求得十二面体外切圆球径又求得球外切四面体之每一边即十二面体外切四面体之每一边也
设如四面体每边一尺二寸求内容二十面体之每
一边几何
法以四面体毎边一尺二寸求得内容
圆 【丝】球全径四寸八分九厘八豪九丝
七忽九微有【六忽法见】余乃用 【前】求球外切二十面体之一边法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率小分三八一九六六○一为二率今所得
【题】之圆球全径折半得半径二寸四分
四厘九豪四丝八忽有微有余为三率求得四率九分三厘五豪六丝二忽一微有余为二十面体毎一面中心至边之垂线三因之得二寸八分零六豪八三微有余为二十面体每一面自角至对边之垂线自乘三归四因开平方得三寸二分五厘二豪六丝三忽三微有余即四面体内容二十面体之每一边也如图甲乙丙四面体内容丁戊己庚辛壬二十面体以二十面体之丁戊癸己庚子丑丑辛寅卯辰之四面切于四面体各面之中心则四面体中心至每一面中心之立垂线即二十面体中心至每一面中心之立垂线四面体内容
圆 【面】球径即二十面体内容 【体】圆球径
故先求得四面体内 【之】容圆球径 【一】又求得球外切二十面体之一边即四面体内容二十面体之一边也如有二十面体之一边求外切四面体之一边则
求得二十面 【边】体内容圆 【也】球径又求得球外切四面体之一边即二十面体外切四
设如八面体每边一尺二寸求内容正方体之每一边几何
法以每边一尺二寸三归之得四寸自乘得一十六寸倍之得三十二寸开平方得五寸六分五厘六豪八丝六忽四微有余即八面体内容正方体之每一边也如图甲乙丙丁八面体内容戊己庚辛正方体以正方体之八角切于八面体各面之中心试自八面体之壬角至对边作壬癸一面中垂线又自一面中心辛与甲丁边平行作子丑线则壬辛为壬癸三分之二子丑亦为甲丁三分之二辛丑即为甲丁三分之一与丑庚等辛丑丑庚与内容正方体之辛庚一边遂成辛丑庚勾股形辛丑既与丑庚等故以辛丑自乘倍之开平方即得辛庚为八面体内容正方体之每一边也如有正方体之一边求外切八面体之一边则以正方体之一边自乘折半开平方得数三因之即外切八面体之一边也
设如八面体每边一尺二寸求内容四面体之每一边几何
八面体之每边即内容四面体之每一边也何以知之盖甲乙丙丁八面体内容戊乙丙己四面体以乙丙己底面合于八面体之一面则上尖戊切于八面体甲庚丁一面之中心【其戊乙边恰与乙丙边等】故八面体之每一边即内容四面体之每一边也
设如八面体每边一尺二寸求内容十二面体之每一边几何
法以八面体每边一尺二寸自乘得一尺四十四寸三归二因得九十六寸开平方得九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余为八面体内容圆球全径乃
用求 【体】球内容十二面体之一边法以全径自乘三归开平方得五寸六分五厘六豪八丝五忽四微有余为十二面体每一面两角相对斜线又以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率大分六一八○三三九九为二率今所得之每一面两角相对斜线为三率求得四率三寸四分九厘六豪一丝二忽八微有余即八面体内容十二面体之每一边也如图甲乙丙丁八面体内容戊己庚辛十二面体以十二面体之戊己庚辛壬癸子丑八角切于八面体各面之中心则八面体中心至每面中心之立垂线即内容十二面体中心
至各角之斜线八面体内容 【之】圆球径
即十二面体外 【一】切圆球径故先求得八面体内容圆球径又求得球内容十二面体之一边即八面体内容十二面边也如有十二面体之一边求外切八面体之一边则先求得十二面体外切圆球径又求得球外切八面体之一边即十二面体外切八面体之一边也
设如八面体每边一尺二寸求内容二十面体之每一边几何
法以八面体毎边一尺二寸自乘得一尺四十四寸六归之得二十四寸开平方得四寸八分九厘八豪九丝七忽九
微有余为八面体内容圆 【豪】球半径乃
用 【七】求球外切二十面体之一边法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率小分三八一九六六○一
为二率今所得 【丝】之圆球半径四寸八分九厘八豪九丝七忽九微为三率求得四率一寸八分七厘一豪二丝四忽三微有余为二十面体毎一面中心至边之垂线三因之得五寸六分一厘三二忽九微有余为毎一面自角至对边之垂线自乗三归四因开平方得六寸四分八厘二豪一丝七忽五微有余即八面体内容二十面体之每一边也如图甲乙丙丁八面体内容戊己庚辛壬癸二十面体以二十面体之戊丑子丑庚寅寅辛壬子壬癸戊己卯己庚辰己辰辛卯巳癸八面切于八面体各面之中心则八面体中心至每面中心之立垂线即内容二十面体中心至每面中
心之立垂线八面体内容圆 【之】球径即
二十面体内容 【一】圆球径故先求得八
面体内 【边】容圆球径 【也】又求得球外切二十面体之一边即八面体内容二十面体之一边也如有二十面体之一边求外切八面体之一边则先求得二十面体内客圆球径又求得球外切八面体之一边即二十面体外切八面体
设如十二面体每边一尺二寸求内容正方体之每一边几何
法以理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率今所设之十二面体每边一尺二寸为三率求得四率一尺九寸四分一厘六豪四丝零七微有余即十二面体内容正方体之每一边也如图甲乙丙丁戊己十二面体内容庚乙辛丁壬己正方体以正方体之十二棱切于十二面体之各面则正方体之每一边即十二面体之每一面两角相对斜线故用五等边面形有边求对角斜线法算之即得十二面体内容正方体之每一边也如有正方体之一边求外切十二面体之一边则正方体之一边即外切十二面体之每一面两角相对斜线用五等边面形有对角斜线求边法算之即得正方体外切十二面体之一边也
设如十二面体每边一尺二寸求内容四面体之每一边几何
法以十二面体每边一尺二寸用求十
二面体外切圆 【寸】球径法以理分中末线之小分三八一九六六○一为一率全分一○○○○○○○○为二率今所设之十二面体每边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率一尺五寸七分零八豪二丝零三微有余为十二面体中心至每边正中之斜线以此斜线为股每边之半六寸为勾求得一尺六寸八分一厘五豪一丝零二微有余倍之得三尺三寸六分三厘零二丝零
四微有余为十二面体外切 【四】圆球全径乃用求球内容四面体之一边法以球径自乗三归二因开平方得二尺七分五厘八豪九丝四忽六微有余即十二面体内容四面体之每一边也如图甲乙丙丁戊己十二面体内客庚辛壬癸四面体以四面体之四角切于十二面体之四角则十二面体中心至各角之斜线即四面体中心至各角之斜线
十二面体外切圆 【○】球径即四面体外切圆球径故先求得十二面体外切圆
球径又求 【○】得球内容四面体之一边即十二面体内容四面体之一边也如有四面体之一边求外切十二面体之
一边则先求得四面体外 【○】切圆球径
【○】又求得球内容十二面体之一边即
四面体外切十二面体
之一边也设如十二面体每边一尺二寸求内容八面体之每
一边几何法以理分中末线之小分三八一九六六○一为一率全分一○○○○为二率今所设之十二面体毎边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率一尺五寸七分零八豪二丝零三微有余为十二面体中心至毎边正中之斜线倍之得三尺一寸四分一厘六豪四丝零六微有余【即十二面体外切正方体之一边】为内容八面体两角相对斜线自乗折半开平方得二尺二寸二分一厘四豪七丝五忽二微有余即十二面体内容八面体之毎一边也如图甲乙丙丁戊己十二面体内容庚辛壬癸八面体以八面体之六角切于十二面体之六棱则十二面体中心至每边正中之斜线即内容八面体中心至各角之斜线倍之则得八面体两角相对之斜线故用斜求方边法求得方边即十二面体内容八面体之每一边也如有八面体之一边求外切十二面体之一边则先求得八面体两角相对斜线折半为外切十二面体中心至每边正中之斜线乃以理分中末线之全分与小分之比同于十二面体中心至毎边正中之斜线与每边之半之比既得每边之半倍之即八面体外切十二面体之一边也
设如十二面体每边一尺二寸求内容二十面体之每一边几何
法以十二面体毎边一尺二寸用求十二面体中心至毎面中心之立垂线法求得中心至毎边正中之斜线一尺五寸七分零八豪二丝零三微有余又求得每一面中心至边之垂线八寸二分五厘八毫二丝九忽一微有余乃以中心至毎边正中之斜线为每一面中心至边之垂线为勾求得股一尺三寸三分六厘二豪一丝九忽六微有余倍之得二尺六寸七分二厘四豪三丝九
忽二微有余为十二面体内容圆 【十】球
全径乃用 【面】求球内容二十面体之一边法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为股大分六一八○三三九九为勾求得一一七五五七○五○为一率大分六一八○三三九九为
二率今所得 【体】之圆球全径二尺六寸七分二厘四豪三丝九忽二微为三率求得四率一尺四寸零四厘九豪八丝四忽四微有余即十二面体内容二十面体之每一边也如图甲乙丙丁戊十二面体内容己庚辛壬癸二十面体以二十面体之十二角切于十二面体各面之中心则十二面体中心至毎面中心之立垂线即内容二十面体中心至
各角之斜线十二面体 【之】内容圆球径即二十面体外切圆球径故先求得十二面体内容圆球径又求得球内容二一边即十二面体内容二十面体之一边也如有二十面体之一边求外切十二面体之一边则先求得二十面体外
切圆 【为】球径又求 【二】得球外切十二面体之一边即二十面体外切十二面体之一
边也设如二十面体每边一尺二寸求内容正方体之每一边
几何法以二十面体毎边一尺二寸用求二十面体中心至每面中心之立垂线法求得中心至毎边正中之斜线九寸七分零八豪二丝零三微有余又求得每一面中心至边之垂线三寸四分六厘四豪一丝零一微有余乃以中心至毎边正中之斜线为以毎一面中心至边之垂线为勾求得股九寸零六厘九豪一丝三忽五微有余倍之得一尺八寸一分三厘八豪二丝七忽有余
十面体内容圆 【寸】球全径乃用 【求】求球
内容正方体之一边 【内】法以球径自乗三归开平方得一尺零四分七厘二豪一丝三忽四微有余即二十面体内容正方体之毎一边也如图甲乙丙丁戊己二十面体内容庚辛壬癸正方体以正方体之八角切于二十面体之八面之中心则二十面体中心至毎一面中心之立垂线即内容正方体中心至角
之斜线二十面体 【容】内容圆球径即正
方 【四】体外切圆球径故先求得二十【面】
面体内容 【体】圆球径又求得球内容正方体之一边即二十面体内客正方体之一边也如有正方体之一边求外切
二十面体之一边则先求 【之】得正方体
【毎】外切圆球径又求得球外切二十面
体之一边即正方体外
切二十面体之一边也设如二十面体每边一尺二一边几何
法以二十面体毎边一尺二寸用求二十面体中心至每面中心之立垂线法求得立垂线九寸厘六厘九豪一丝三忽五微有余【边即二法】倍之得一尺八寸一分三厘八豪二丝七忽有余为二十面
体内客圆 【见】球全径乃用 【前】求球内容四面体之毎一边法以球径自乗三归二因开平方得一尺四寸八分零九豪八丝三忽五微有余即二十面体内容四面体之每一边也如图甲乙丙丁戊己二十面体内容庚辛壬癸四面体以四面体之四角切于二十面体之四面之中心则二十面体中心至每面中心之立垂线即内容四面体中心至角之
斜线二十面体内 【题】容圆球径即四面体外切圆球径故先求得二十面体内容圆球径又求得球内容四面体之一十面体内容四面体之毎一边也如有四面体之一边求外切二十面体之一边则先求得四面体外切圆球径又求
得 【面】球外切二十面体之一边即四面体外切二十面体之一边
也设如二十面体每边一尺二寸求内容八面体之每一边几
何法以理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率今所设之二十面体毎边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率九寸七分零八豪二丝零三微有余为二十面体中心至毎边正中之斜线倍之得一尺九寸四分一厘六豪四丝零六微有【即二十面体外切正方体之一边】余为内容八面体两角相对之斜线自乗折半开平方得一尺三寸七分二厘九豪四丝七忽一微有余即二十面体内容八体之毎一边也如图甲乙丙丁戊己二十面体内容庚辛壬癸八面体以八面体之六角切于二十面体之六棱则二十面体中心至每边正中之斜线即内容八面体中心至各角之斜线倍之则得八面体两角相对之斜线故用斜求方边法求得方边即二十面体内容八面体之毎一边也如有八面体之每一边求外切二十面体之每一边则先求得八面体之角相对斜线折半为外切二十面体中心至每边正中之斜线乃以理分中末线之全分与大分之比同于二十面体中心至每边正中之斜线与毎边之半之比既得毎边之半倍之即八面体外切二十面体之一边也
设如二十面体每边一尺二寸求内容十二面体之每一边几何
法以二十面体毎边一尺二寸用求二十面体中心至毎面中心之立垂线法求得立垂线九寸零六厘九豪一丝三忽五微有余【面体】见倍之得一尺八寸一分三厘八豪二丝七忽有余为二十面
体内容圆 【中】球全径乃用 【法】求球内容十二面体之一边法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为股小分三八一九六六○一为勾求得一○七○四六六二六为一率小分三八一
九 六六一为二率今所得 【前】之圆球全径一尺八寸一分三厘八豪二丝七忽有余为三率求得四率六寸四分七厘二豪一丝三忽五微有余即二十面体内容十二面体之每一边也如图甲乙丙丁戊二十面体内容己庚辛壬癸十二面体以十二面体之二十角切于二十面体各面之中心则二十面体中心至每面中心之立垂线即内容十二
心至角之斜线二十面体内容圆 【每】球
径即十二面体外切 【一】圆球径故先求得二十面体内容圆球径又求得球内容十二面体之一边即二十面体内容十二面体之一边也如有十二面体之一边求外切二十面体之一边则先求
得十二面体外 【边】切圆球径 【也】又求得球外切二十面体之一边即十二面体外切二十面体之
更体形
设如正方体每边一尺二寸今欲作与正方体积相等之圆球体问径几何
法用体积相等边线不同之定率比例以定率之正方体之每边一○○○○
○○○○为一率圆 【积】球径一二四○七○○九八为二率今所设之正方体之毎边一尺二寸为三率求得四率一尺四寸八分八厘八豪四丝一忽有余
即 【亦】圆球之径也葢正方体之每边为
一○○○○○○○ 【为】○圆球径为一二四○七○○九八则两体积相等故以子丑寅卯正方体之每边一○○○
○○○○○与 【相】辰巳圆球径一二四○七○○九八之比即同于今所设之甲乙丙丁正方体之每边一尺二寸与今所得之戊己圆球径一尺四寸八分八厘八豪四丝一忽有余之比而两体等也
设如正方体积一尺七百二十八寸今欲作与正方边相等之圆球体问积几何
法用边线相等体积不同之定率比例以定率之正方体积一○○○○○○
○○○为一率圆 【八】球积五二三五九八七七五为二率今所设之正方体积一尺七百二十八寸为三率求得四率九百零四寸七百七十八分六百八十
三厘有余即 【分】圆球之积也葢正方体
积为一○○○○○○○○ 【六】○圆球积为五二三五九八七七五则正方体
之每 【百】边与圆球径相等故以子丑寅卯正方体积一○○○○○○○○○
【八】与辰巳圆球积五二三五九八七七
五之比即同于今所设之甲乙丙丁正方体积一尺七百二十八寸与今所得之戊己圆球积九百零四寸七百七十十三厘有余之比而正方体之每边与
圆 【分】球径亦为相等
也设如圆球径一尺二寸今欲作与圆球积相等之四面体问毎一边几
何法用体积相等边线不同之定率比
例以定率之 【二】圆球径一二四○七○○九八为一率四面体之毎边二○三九六四八九○为二率今所设之圆球径一尺二寸为三率求得四率一尺九寸七分二厘七豪三丝八忽有余即四
面体之每一边也 【厘】葢圆球径为一二四○七○○九八四面体之毎边为二○三九六四八九○则两体积相等故
以 【七】子丑圆球径一二四○七○○九八与寅卯辰巳四面体之每边二○三九六四八九○之比即同于今所设【豪】之甲乙圆球径一尺二寸与今所得之丙丁戊己四面体之每边一尺九寸七三丝八忽有余之比而两体积亦为相等也
设如圆球积一尺七百二十八寸今欲作与圆球径相等之四面体问积几何
法用边线相等体积不同之定率比例
以定率之圆 【面】球积五二三五九八七七五为一率四面体积一一七八五一一二九为二率今所设之圆球积一尺七百二十八寸为三率求得四率三百八十八寸九百三十六分六百四十五
厘有余即四面体之积也葢 【体】圆球积为五二三五九八七七五四面体积为
一一七八五一一二九 【积】则圆球径与
四面体之每边相等故以 【三】子丑圆球积五二三五九八七七五与寅卯辰巳四面体积一一七八五一一二九之比即同于今所设之甲乙圆球积一尺七百二十八寸与今所得之丙丁戊己四百八十八寸九百三十六分六百四十
五厘有余之比而圆 【面】球径与四面体之毎边亦为相等
也设如八面体每边一尺二寸今欲作与八面体积相等之十二面体问每边几
何法用体积相等边线不同之定率比例以定率之八面体之每边一二八四八九八二九为一率十二面体之每边五○七二二二○七为二率今所设之八面体之每边一尺二寸为三率求得四率四寸七分三厘七豪零七忽有余即十二面体之每一边也葢八面体之每边为一二八四八九八二九十二面体之每边为五○七二二二○七则两体积相等故以子丑寅卯八面体之每边一二八四八九八二九与辰巳午未申十二面体之每边五○七二二二○七之比即同于今所设之甲乙丙丁八体之每边一尺二寸与今所得之戊己庚辛壬十二面体之毎边四寸七分三厘七豪零七忽有余之比而两体积亦为相等也
设如八面体积一尺七百二十八寸今欲作与八面体毎边相等之二十面体问积几何
法用边线相等体积不同之定率比例以定率之八面体积四七一四○四五二一为一率二十面体积二一八一六九四九六九为二率今所设之八面体积一尺七百二十八寸为三率求得四率七尺九百九十七寸三百一十一分七百三十二厘有余即二十面体之积也葢八面体积为四七一四○四五二一二十面体积为二一八一六九四九六九则八面体之毎边与二十面体之毎边相等故以子丑寅卯八面体积四七一四○四五二一与辰巳午未申酉二十面体积二一八一六九四九六九之比即同于今所设之甲乙丙丁八面体积一尺七百二十八寸与今所得之戊己庚辛壬癸二十面体积七尺九百九十七寸三百一十一分七百三十二厘有余之比而八面体之每边与二十面体之每边亦为相等也
御制数理精蕴下编卷二十九
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷三十
体部八
各体权度比例
堆垜
各体权度比例
数学至体而备以其综线面之全而尽度量衡之用也葢线面存乎度体则存乎量求轻重则存乎衡是以又有权度之比例其法防以诸物制爲正方其边一寸其积千分较量豪厘俾有定率然后凡物知其体积即知其重轻知其重轻即知其体积而权度无遁情也且体之爲质不一边积等者轻重不同轻重等者边积不同皆有互相比例之法而各体无混淆也
赤金十六两八钱
纹银九两
水银十二两二钱八分
红铜七两五钱
白铜六两九钱八分
黄铜六两八钱
纲六两七钱三分
生铁六两七钱
熟铁六两七钱三分
高锡六两三钱
六锡七两六钱
倭铅六两
黑铅九两九钱三分
白玉二两六钱
金珀八钱
白玛瑙二两三钱
红玛瑙二两二钱
砗磲一两五钱二分
青石二两八钱八分
白石二两五钱
红石二两五钱六分
象牙一两五钱四分
牛角一两九钱
沉香八钱二分
白檀八钱三分
紫檀一两零二分
花梨八钱七分
楠木四钱八分
黄杨七钱五分
乌木一两一钱
油八钱三分
水九钱三分
设如有金一方每边三寸问重几何
法以一寸爲一率金寸方重一十六两八钱爲二率今所设之金方每边三寸自乘再乘得二十七寸爲三率求得四率四百五十三两六钱即金之重数也此法葢因金方每边三寸则体积爲二十七寸以一寸与一十六两八钱之比同于二十七寸与四百五十三两六钱之比也
设如有银一方每边二寸问重几何
法以一寸爲一率银寸方重九两爲二率今所设之银方每边二寸自乘再乘得八寸爲三率求得四率七十二两即银之重数也此法葢因银方每边二寸则体积爲八寸以一寸与九两之比同于八寸与七十二两之比也
设如黄铜一条重三百七十四两问积几何
法以黄铜寸方重六两八钱为一率一寸爲二率今所设黄铜重三百七十四两爲三率求得四率五十五寸即黄铜之积也
设如熟铁一块重十六两欲镕爲正方体问毎边几何
法以熟铁寸方重六两七钱三分爲一率一寸爲二率今铁重十六两爲三率求得四率二寸三百七十七分四百一十四厘有余开立方得一寸三分三厘有余即每边之数也
设如水银一匣但知匣阔四寸长六寸高三寸五分问内水银重数几何
法以匣阔四寸与长六寸相乘得二十四寸又以高三寸五分再乘得八十四寸爲水银一匣之积数爰以一寸爲一率水银寸方重一十二两二钱八分爲二率今所得之水银一匣之积数八十四寸爲三率求得四率一千零三十一两五钱二分即水银之重数也
设如白玉一方重九十三两六钱但知阔比高多一寸长比阔多三寸问高阔长各几何
法以玉寸方重二两六钱爲一率一寸爲二率今所设玉重九十三两六钱爲三率求得四率三十六寸爲长方体积乃以阔比高多一寸长比阔多三寸爲带两纵之较用带两纵不同较数开立方法算之得高二寸加阔比高多一寸得三寸爲阔再加长比阔多三寸得六寸爲长也
设如金与银镕于一处共得正方体积二十七寸重二百七十四两二钱问金与银各几何
法以共积二十七寸以银寸方重九两乘之得二百四十三两与共重二百七十四两二钱相减余三十一两二钱乃以银寸方重九两与金寸方重十六两八钱相减余七两八钱爲一率金一寸爲二率今相减所余之三十一两二钱爲三率求得四率四寸即金之寸数于共积二十七寸内减去四寸余二十三寸即银之寸数也以金四寸与金寸方重十六两八钱相乘得六十七两二钱以银二十三寸与银寸方重九两相乘得二百零七两两数相并得二百七十四两二钱仍与原数相合也此即和较比例之法葢银二十七寸则其重数应得二百四十三两与共重二百七十四两二钱相减余三十一两二钱即金重于银之数而金每寸比银毎寸多七两八钱故多七两八钱则金有一寸今多三十一两二钱则知金有四寸也若欲先得银数则仍以七两八钱爲一率一寸爲二率将共积二十七寸以金寸方重十六两八钱乘之得四百五十三两六钱内减共重二百七十四两二钱余一百七十九两四钱爲三率求得四率二十三寸即银之寸数与共积二十七寸相减余四寸即金之寸数葢少七两八钱则银有一寸今少一百七十九两四钱则知银有二十三寸也
设如金镶玉炉一座共重四十六两七钱问金玉各几何
法用盛水器皿一件置炉其中实之以水取出炉看水浅几何设如盛水器皿系正方形每边五寸取出炉水浅五分即以毎边五寸自乘得二十五寸以水浅五分爲高再乘得一十二寸五百分爲炉之体积即金玉之共积爰以共积一十二寸五百分以玉寸方重二两六钱乘之得三十二两五钱与共重四十六两七钱相减余一十四两二钱乃以玉寸方重二两六钱与金重一十六两八钱相减余一十四两二钱爲一率金一寸爲二率今相减所余一十四两二钱爲三率求得四率一寸爲金之寸数于共积一十二寸五百分内减去一寸余十一寸五百分爲玉之寸数金一寸重得十六两八钱玉十一寸五百分与玉寸方重二两六钱相乘得二十九两九钱爲玉之重数两数相并共得四十六两七钱仍与原数相合也如欲先得玉数则仍以一十四两二钱爲一率一寸爲二率将所得共积一十二寸五百分以金寸方重十六两八钱乘之得二百一十两内减共重四十六两七钱余一百六十三两三钱爲三率求得四率一十一寸五百分爲玉之寸数与共积一十二寸五百分相减余一寸即金之寸数也
设如空心金 【率】球一个外径一尺二寸厚三分问重几
何法以 【球】金球外径一尺二寸自乘再
乘得一尺七百二十八寸乃用 【积】方边球径相等方积球积不同之定率比例
以方积一○○○○○○○○○ 【五】爲
一率球积五二三五九八七七五 【二】爲二率今球径自乘再乘之正方体积一尺七百二十八寸爲三率求得四率九百零四寸七百七十八分六百八十【三】三厘有余爲球之全体积又以厚三分倍之得六分与外径一尺二寸相减余一尺一寸四分爲空心径自乘再乘得一尺四百八十一寸五百四十四分仍以方积一○○○○○○○○○爲一五九八七七五爲二率今空心径自乘再乘之正方体积一尺四百八十一寸五百四十四分爲三率求得四率七百七十五寸七百三十四分六百二十三
厘有余爲 【边】球内空心虚积两积相减余一百二十九寸零四十四分零六十
厘有余爲空 【较】心球体积乃以一寸爲一率金寸方重十六两八钱爲二率空心球体积一百二十九寸零四十四分零六十厘有余爲三率求得四率二千一百六十七两九钱四分有余即空【二】心金球体之
重数也设如正方青石一块红石一块红石比青石毎边多二寸体积多五十六寸问二石之边数及重数
各几何法以红石比青石每边多二寸爲边较体积多五十六寸爲积较用大小二立方有边较积较求边法算之以寸自乘再乘得八寸与积较五十六寸相减余四十八寸三归之得一十六寸以边较二寸除之得八寸爲长方面积以边较二寸爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔二寸即青石之边数加红石比青石每边多二寸得四寸即红石之边数乃以一寸爲一率红石寸方重二两五钱六分爲二率红石毎边四寸自乘再乘得六十四寸爲三率求得四率一百六十三两八钱四分即红石之重数也又以一寸爲一率青石寸方重二两八钱八分爲二率青石每边二寸自乘再乘得八寸爲三率求得四率二十三两零四分即青石之重数也此法因二石皆爲正方体故用大小二立方有边较积较求边之法求得二石之边自乘再乘即得二石之体积用寸方重数定率以比例之即得二石之重数也
设如有正方水桶三个第一桶每边一尺第三桶比第二桶每边多二寸第三桶体积与第一桶第二桶两桶之共积相等问三桶水之重数各几何法以一寸爲一率水寸方重九钱三分为二率第一桶正方每边一尺自乘再乘得一千寸爲三率求得四率九百三十两爲第一桶水之重数又以第三桶比第二桶每边多二寸爲边较以第一桶体积一千寸爲第三桶比第二桶所多之积较用大小二立方有边较积较求边法算之以边较二寸自乘再乘得八寸与积较一千寸相减余九百九十二寸三归之得三百三十寸六百六十六分六百六十六厘有余以边较二寸除之得一尺六十五寸三十三分三十三厘有余爲长方面积以边较二寸爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔一尺一寸八分九厘有余爲第二桶之边数加较二寸得一尺三寸八分九厘有余爲第三桶之边数乃以一寸爲一率水寸方重九钱三分爲二率第二桶每边一尺一寸八分九厘有余自乘再乘得一尺六百八十寸九百二十四分有余爲三率求得四率一千五百七十两九钱九分三厘有余即第二桶水之重数又以一寸爲一率水寸方重九钱三分爲二率第三桶每边一尺三寸八分九厘有余自乘再乘得二尺六百七十九寸八百二十六分有余爲三率求得四率二千四百九十二两二钱三分八厘有余即第三桶水之重数也此法葢因第三桶之体积与第一第二两桶之共积相等则第一桶体积一千寸即第三桶体积比第二桶体积所多之较也而第三桶比第二桶每边多二寸故用大小二立方有边较积较求边法求得二桶之边数自乘再乘即得二桶之体积用寸方重数定率以比例之即得二桶水之重数也
设如金 【二】球一个径二寸二分六厘今欲作一 【寸】银
球其重 【七】与金球等问
径几何法以金方边一寸爲一率银方边一寸二分三厘爲二率今所设之金球径二寸二分六厘爲三率求得四率
二寸七分七厘有 【分】余即银球之径数也此法葢因各色俱爲正方体其重数俱设爲十六两八钱与金寸方等故金方边爲一寸银方边爲一寸二分三厘水银方边爲一寸一分一厘铅方边爲一寸一分九厘铜方边爲一寸三分一厘铁方边爲一寸三分六厘锡方边爲一寸三分九厘石方边爲一寸八分九厘水方边爲二寸六分四厘油方边爲
四厘皆系边与边之比例故 【数】球径【也】与球径之比同于方边与方边之比而爲相当比例四
率也设如青石一块正方一尺二寸重四千九百七十六两六钱四分今欲作与青石一样大熟铁一块问重
几何法以青石寸方重二两八钱八分爲一率熟铁寸方重六两七钱三分爲二率今所设之青石重四千九百七十六两六钱四分爲三率求得四率一万一千六百二十九两四钱四分即与青石一样大熟铁之重
堆垜
堆垜之法虽爲体属而一面平堆与方圆束形实与面同方者即平方法其余则用梯形法以其每层皆递加之数也束形亦与一面平堆同法葢圆者以六包一方者以八包一三角者以九包一有边求积有周求积其理皆相通也若夫以方面层累者则爲四角尖堆以三角面层累者则爲三角尖堆此二者每层之边皆同爲递加一数每层之面积则三角爲按位相加之数四角爲按位自乘相加之数其傍皆崚嶒不平故与体亦微异也至于以长方面层累者则爲长方堆以全堆而减去上截者则爲半堆总以尖堆之法御之分之以立其法合之以明其理一一按法解之于后
设如一面直角尖堆底十二求积几何
法以底十二加尖上一得十三与层数十二相乘得一百五十六折半得七十八即一面直角尖堆之积也如图甲乙丙一面直角尖堆乙丙爲底十二其甲乙高亦即爲十二层其每层皆加一爲挨次递加之数成直角三角形试另作一丁戊己直角三角形合于原形之侧则成甲乙丁戊长方形其高即层数其底即首数与末数相加之数其积即总数加一倍之数【见算法原本二卷第三十二节】故以底十二与上尖一相加与层数十二相乘得长方积析半即得一面直角尖堆之积也此法与勾股求积之法异者葢勾股之上尖爲一防无数可纪此上尖一即其上之阔成斜方形故用斜方求积之法以上阔与下阔相加以高数乘之折半而得积也
设如一面直角尖堆积二十八求底几何
法以一面直角尖堆积二十八倍之得五十六爲长方积以一爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔七即一面直角尖堆之底数也如图甲乙丙一面直角尖堆积倍之则成甲乙丁戊长方形积其乙丁长比甲乙阔多一故用带纵较数开平方法算之得甲乙与乙丙等爲一面直角尖堆之底阔也
设如一面三角尖堆底七求积几何
法以底七加上尖一得八与层数七相乘得五十六折半得二十八即一面三角尖堆之积也如图甲乙丙一面三角尖堆乙丙爲底七其甲乙高亦即爲七层其每层皆加一爲挨次递加之数成等边三角形试另作一丁戊巳等边三角形合于原形之侧则成甲乙丁戊斜方形其高即层数其底即首数与末数相加之数其积即总数加一倍之数故以底七与上尖一相加与层数七相乘得斜方积折半得一面三角尖堆之积也
设如一面三角尖堆积三十六求每边几何
法以一面三角尖堆积三十六倍之得七十二爲长方积以一爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔八即一面三角尖堆每一边之数也如图甲乙丙一面三角尖堆积倍之则成甲乙丁戊斜长方积若直排之即与直角长方积等故其求边之法亦与前直角尖堆求边之法同也
设如一面梯形堆上五下九求积几何
法以上五与下九相加得十四又视上五以上至一虚四位即以所虚之四与下九相减余五爲层数与上下相加之十四相乘得七十折半得三十五即一面梯形堆之积也如图甲乙丙丁一面梯形堆甲丁爲上五乙丙爲下九甲乙爲层数五【凡自一递加之数其末数即位数今首数爲五计自一己截去四位故于末数内减去所少之位即爲今之所有之位见算法原本二巻第三十二节】试另作一戊己庚辛梯形合于原形之侧则成甲乙己庚斜方形其底即上数与下数相加之数其高即层数其积即总数加一倍之数故以上数与下数相加与层数相乘折半即得一面梯形堆之积也
又法以底九用一面三角尖堆求积法求得总积四十五又以上五内减一余四爲上虚小一面三角尖堆之底亦用三角尖堆求积法求得上虚小一面三角尖堆积十两积相减余三十五即一面梯形堆之积也如图甲乙丙丁一面梯形堆先求得戊乙丙三角尖堆总积又求得戊己庚上虚小三角尖堆积相减即得甲乙丙丁梯形堆之积也如有上阔或下阔与层数求积者则于层数内减一余爲上下阔之较与上阔相加则得下阔与下阔相减则得上阔皆用有上下阔之法算之而得积也
设如一面梯形堆积三十五下九问上几何
法以下九用一面三角尖堆求积法求得总积四十五内减梯形积三十五余十爲上虚小一面三角尖堆积用一面三角尖堆有积求边法求得每边四加一得五即一面梯形堆之上阔也如图甲乙丙丁一面梯形堆先以乙丙下九求得戊乙丙三角尖堆总积内减甲乙丙丁梯形堆积余戊己庚上虚小一面三角尖堆积乃用有积求边法求得己庚四因每层埃次递加一故加一即得甲丁五爲上阔也如有上阔求下阔者则以上阔内减一爲上虚小三角尖堆之底求得上虚小三角尖堆积与梯形积相加爲三角尖堆总积亦用有积求边法算之即得下阔也
设如一面梯形堆积三十五上阔比下阔少四问上下阔各几何
法以梯形堆积三十五倍之得七十又以上下阔之较四加一得五爲层数以除倍积七十得十四爲上下阔之和加较四得十八折半得九爲下阔内减较四余五爲上阔也如图甲乙丙丁一面梯形堆积每层挨次加一今甲丁上阔比乙丙下阔少四即知甲乙爲五层矣故以甲乙丙丁梯形积倍之则成甲乙戊己斜方积以甲乙五层除之得乙戊爲上下阔之和加上下阔之较折半即得下阔于下阔内减上下阔之较即得上阔也如有积与上下阔之和求上下阔者则将积数加一倍以上下阔之和除之即得层数内减一即得上下阔之较或有积与层数求上下阔者则于层数内减一即得上下阔之较以层数除倍积即得上下阔之和既有较有和即得上下阔矣
设如一面六角堆每边六求积几何
法以一面六角堆分作六三角尖堆算之以每边六减一余五爲每一面三角尖堆之底与毎边六【即底加一也】相乘得三十折半得十五爲每一面三角尖堆积六因之得九十加中心一得九十一即一面六角堆之积也如图甲乙丙丁戊己一面六角堆六分之则成甲庚辛类六三角尖堆而余中心一其每一三角尖堆之甲庚一边比六角堆之甲己一边少一故以六角堆之每一边内减一即得三角尖堆之每一边而求得一面三角尖堆积六因之再加中心一即得一面六角堆之总积也
设如一面六角堆积九十一求每边几何
法以一面六角堆积九十一减中心一余九十六归之得十五爲一面三角尖堆积用一面三角尖堆有积求边法算之得每边五加一得六即六角堆之每一边也如图甲乙丙丁戊己一面六角堆积先减去中心一以六归之则得甲庚辛一三角尖堆积其三角尖堆之甲庚一边比六角堆之甲己一边少一故用一面三角尖堆有积求边法求得一边再加一爲一面六角堆之每一边也此即算书所谓圆束也本以六包一不能成圆凡云圆者皆六边也
周四十求积几何
法以外周四十加四得四十四四归之得十一爲方束每一边之数自乘得一百二十一即方束之积也如图甲乙丙丁方束其四隅之四各爲两边所同用故必以外周加四以四归之始得甲乙每一边之数以一边自乘即爲方束之积数也
又法以外周四十加八得四十八与外周四十相乘得一千九百二十十六除之得一百二十加中心一得一百二十一爲方束之积也葢方束以八包一其外周所包之数亦必以八递加爲超位平加之数如甲乙丙丁方束除却中心之一最内一层爲八第二层爲十六第三层爲二十四第四层爲三十二第五层爲四十毎层皆加八爲超位平加之数引而长之成戊己庚辛梯形外周四十即梯形之底内周八即梯形之上阔如以首数八与末数四十相加得四十八用层数五乘之折半即得总数【见算法原本二卷第三十二节】然其层数之五乃系外周四十用八归所得之数今以内周八与外周四十相加即与外周四十栒乘是未用八归故将相乘所得之数必以八归又以二归【即折半】始得总数夫先用八归后用二归即与用十六归除等【二与八相因得一十六合两次除爲一次除】故以十六归除得总数再加中心一即得方束之积也又按第一法以外周四十加四以四归之得方束之每一边是外周加四则得每边之四倍若以外周加四自乘必得方束积之十六倍而以十六归除亦即得方束之积今以外周加八与外周相乘成长方形则其长比毎边之四倍多四其阔比每边之四倍少四其积必爲方束积之十六倍而少十六以十六归除则得方束积而少一故加一而得方束积也此方束毎边十一系奇数故有中心之一若方束毎边系偶数者则无中心之一详见下法
设如方束外周三十六求积几何
法以外周三十六加四得四十四归之得一十爲方束毎一边之数自乘得一百即方束之积也
又法以外周三十六加八得四十四与外周三十六相乘得一千五百八十四十六除之得九十九加一得一百爲方束之积也此方束每边系偶数无中心一其最内一层爲四其外周三十六用八归之则得四层半然其立法亦与前法同乘除得数仍加一者葢以外周加四则得每边之四倍若以外周加四自乘必得方束积之十六倍而以十六归除亦即得方束之积今以外周加八与外周相乘成长方形则其长比每边之四倍多四其阔比每边之四倍少四其积必爲方束积之十六倍而少十六以十六归除则得方束积而少一故加一而得方束积也
设如方束积一百求外周几何
法以方束积一百开平方得一十四因之得四十内减四余三十六即方束外周之数也如图甲乙丙丁方束开方则得甲乙一边前法以外周加四四归之而得一边此法以一边四因之减四而即得外周也
又法以方束积一百内减一余九十九以十六乘之得一千五百八十四爲长方积以八爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔三十六即方束之外周数也此即方束有外周求积之法而转用之前法以外周加八与外周相乘十六除之再加一而得积此法则以积数减一余用十六乘之以八爲长阔之较用带纵开方得阔而爲外周也
设如三棱束外周二十七求积几何
法以外周二十七加三得三十三归之得一十爲三棱束每一边之数用一面三角尖堆有边求积法以每边一十加一得一十一与每边一十相乘得一百一十折半得五十五即三棱束之积也如图甲乙丙三棱束其三角之三各爲两边所同用故必以外周加三以三归之始得甲乙每一边之数即如一面三角尖堆之每一边故用一面三角尖堆有边求积法算之即得三棱束之积也又法以外周二十七加九得三十六与外周二十七相乘得九百七十二以十八归除得五十四加中心一得五十五爲三棱束之积也葢三棱束以九包一其外周所包之数亦必以九递加爲超位平加之数如甲乙丙三棱束除却中心之一最内一层爲九第二层爲十八第三层爲二十七每层皆加九爲超位平加之数引而长之成丁戊己庚梯形外周二十七即梯形之底内周九即梯形之上阔如以首数九与末数二十七相加得三十六用层数三乘之折半即得总数【见算法原本二卷第三十二节】然其层数之三乃系外周二十七用九归所得之数今以内周九与外周二十七相加即与外周二十七相乘是未用九归故将相乘所得之数必以九归又以二归【即折半】始得总数夫先用九归后用二归即与十八归除等【二与九相乘得一十八合两次除爲一次除】故以十八归除得总数再加中心一即得三棱束之积也又按第一法以外周二十七加三以三归之得一面三角尖堆之每一边是外周加三则得每边之三倍若以毎边之三倍再加三与每边之三倍相乘必得一面三角尖堆积之十八倍【葢以一面三角尖堆之毎一边加一与每边之数相乘则得一面三角尖堆积之二倍今以毎边之三倍加三与每边之三倍相乘是边加三倍则积加九倍彼旣爲一面三角尖堆积之二倍故此即爲十八倍也】而以十八归除亦即得三棱束之积今以外周加九与外周相乘成长方形则其长比每边之三倍加三者尚多三其阔比每边之三倍少三其积必爲一面三角尖堆积之十八倍而少十八以十八归除则得一面三角尖堆积而少一故加一而得三棱束之积也此三棱束亦有无中心之一者葢缘三棱束包中心一爲一层者周围九其底则四包中心一爲二层者周围十八其底则七凡如此类周递加九边递加三者皆有中心之一其余皆无中心之一详见下法
设如三棱束外周三十求积几何
法以外周三十加三得三十三三归之得十一爲三棱束每一边之数用一面三角尖堆有边求积法以每边十一加一得十二与每边十一相乘得一百三十二折半得六十六即三棱束之积也又法以外周三十加九得三十九与外周三十相乘得一千一百七十十八除之得六十五加一得六十六爲三棱束之积也此三棱束无中心其最内一层爲三其外周三十用九归之则得三层又三分之一然其立法亦与前法同乘除得数仍加一者葢以外周加三则得每边之三倍若以每边之三倍再加三与每边之三倍相乘必得一面三角尖堆积之十八倍而以十八归除亦即得三棱束之积今以外周加九与外周相乘成长方形则其长比每边之三倍加三者尚多三其阔比每边之三倍少三其积必爲一面三角尖堆积之十八倍而少十八以十八归除则得一面三角尖堆积而少一故加一而得三棱束之积也
设如三棱束积六十六求外周几何
法以三棱束积六十六倍之得一百三十二爲长方积以一爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔十一爲三棱束之每一边三因之得三十三内减三余三十即三棱束之外周数也如图甲乙丙三棱束用一面三角尖堆有积求边法求得甲乙一边前法以外周加三三归之而得一边此法以一边三因之减三而即得外周也
又法以三棱束积六十六内减一余六十五以十八乘之得一千一百七十爲长方积以九爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔三十即三棱束之外周数也此即三棱束有外周求积之法而转用之前法以外周加九与外周相乘十八除之再加一而得积此法则以积数减一余用十八乘之以九爲长阔之较用带纵开方得阔而爲外周也
设如圆束外周三十求积几何
法以外周三十六归之得五爲一面三角尖堆之每一边用一面三角尖堆有边求积法以每边五加一得六与每边五相乘得三十折半得十五爲每一三角尖堆积六因之得九十加中心一得九十一即圆束之积也如图甲乙丙丁戊己圆束六分之则成甲庚辛类六三角尖堆形而余中心一故以外周六分之而得甲庚每一边之数即如一面三角尖堆之每一边而求得一三角尖堆积六因之得六三角尖堆积加中心一即爲圆束之积数也
又法以外周三十加六得三十六与外周三十相乘得一千零八十十二除之得九十加中心一得九十一爲圆束之积也葢圆束以六包一其外周所包之数亦必以六递加爲超位平加之数如甲乙丙丁戊己圆束除却中心之一最内一层爲六第二层爲十二第三层爲十八第四层爲二十四第五层爲三十每层皆加六爲超位平加之数引而长之成庚辛壬癸梯形外周三十即梯形之底内周六即梯形之上阔如以首数六与末数三十相加得三十六用层数五乘之折半即得总数【见算法厚本二卷第三十二节】然其层数之五乃系外周三十用六归所得之数今以内周六与外周三十相加即与外周三十相乘是未用六归故将相乘所得之数必以六归又以二归【即析半】始得总数夫先用六归后用二归即与十二归除等【二与六相因得一十二合两次除爲一次除】故以十二归除得总数再加中心一即得圆束之积也又按第一法以外周三十六归之得一面三角尖堆之每一边是圆束之外周爲一面三角尖堆每边之六倍若以外周加六与外周相乘则必得一面三角尖堆积之七十二倍【葢以一面三角尖堆之毎一边加一与每一边之数相乘则得一面三角尖堆积之二倍今以每边之六倍加六与毎边之六倍相乘是边加六倍则积加三十六倍彼既爲一面三角尖堆积之二倍故此即爲七十二倍也】以一面三角尖堆积六倍之加中心一则得圆束积今将七十二倍积以十二除之亦得一面三角尖堆积之六倍故加中心一而得圆束之积也凡圆束皆有中心设此解与前法相通耳
设如圆束积九十一求外周几何
法以圆束积九十一减中心一余九十六归之得一十五倍之得三十【或即以九十三归之所得亦同葢六归二因与三归所得之数同也】爲长方积以一爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔五又以六因之得三十即圆束之外周数也如图甲乙丙丁戊己圆束减去中心一以六归之则得甲庚辛一面三角尖堆形故用一面三角尖堆有积求边法求得甲庚一边以六因之而得外周也
又法以圆束积九十一减一余九十以十二乘之得一千零八十爲长方积以六爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔三十即圆束之外周数也此即圆束有外周求积之法而转用之前法以外周加六与外周相乘十二除之再加一而得积此法则将积数减一余用十二乘之以六爲长阔之较用带纵开方得阔而爲外周也
设如堑堵堆底五求积几何
法以底五自乘得二十五爲底面积又以位数五加一得六与底面积二十五相乘得一百五十折半得七十五即堑堵堆之积也如图甲乙丙丁戊堑堵堆即一面直角尖堆累积之体也两直角面相合成长方面形比原位数多一行而两堑堵体相合成长方体形比原位数亦必多一面故以位数加一与底面积相乘所以增其一面之数成长方体形爲堑堵堆之二倍折半而得堑堵堆之积也
设如三角尖堆每边五求积几何
法以每边五加一得六与每边五相乘得三十折半得十五爲底面积再以每边五加二得七与底面积十五相乘得一百零五三归之得三十五即三角尖堆之积也如图甲乙丙丁三角尖堆每面皆一面三角尖堆累积成等边三角体形其每边之数即位数也试按位作防排之第一层爲一第二层爲三第三层爲六第四层爲十第五层爲十五爲每次按位相加之数如以位数加二与末数相乘取其三分之一即得总数【见算法原本二卷第三十四节】今以每边加一与每边之数相乘折半即得底面积再以位数加二爲高与底面积相乘成平行面之三棱体是爲三角尖体之三倍故以三除之而得也然必以位数加二爲高者葢以三三角尖体相凑乃成上下相等之平行面体其高必比原有之位数多二层【两相角面相合比原位数多一行今三三角体相合故必比原位数多二面也】又以一平行面三棱体分爲三三角尖体其二面爲两体所同用今以位数加二爲高与底数相乘所以增其二面之分也
又法以每边五加一得六与每边五相乘得三十爲倍底积再以位数加二得七与倍底积三十相乘得二百一十六归之亦得三十五爲三角尖堆之积也此法与前法同葢以每边加一与每边之数相乘则得底面积之二倍前法以位数加二与底数相乘既爲三角尖堆积之三倍此法以位数加二与倍底积相乘即爲三角尖堆积之六倍矣故以六归之得积也
又法以每边五自乘再乘得一百二十五爲第一数再以每边五自乘得二十五爲第二数又以每边五加一得六与每边五相乘得三十倍之得六十爲第三数三数相加共得二百一十六归之得三十五即三角尖堆之积也此法与第二法同葢以每边自乘再乘爲第一数是未以每边加一相乘亦未以位数加二再乘也因未以每边加一相乘则其所成之正方形必比前所得之长少一层之数故又以每边自乘爲第二数也因未以位数加二再乘则其高必比前所得之高少二层之数故又以每边加一与每边相乘【即如前之倍底积】又倍之爲第三数也三数相加始爲三角尖堆积之六倍故以六归之而得积也
设如三角尖堆积一百二十求每边几何
法以三角尖堆积一百二十六因之得七百二十爲长方体积以一爲长与阔之较以二爲高与阔之较用带两纵不同较数开立方法算之得阔八即三角尖堆之每一边也此法即三角尖堆有边求积之法而转用之葢有边求积则以每边加一与每边相乘又以每边加二再乘得长方体积爲三角尖堆积之六倍是长比阔多一高比阔多二今以三角尖堆积六因之得长方体积故用带两纵不同较数开立方法算之得阔爲每边之数也
设如四角尖堆每边五求积几何
法以每边五加半得五个半与每边五相乘得二十七个半又以每边五加一得六与二十七个半相乘得一百六十五三归之得五十五即四角尖堆之积数也如图甲乙丙丁四角尖堆底面爲正方傍四面皆一面三角尖堆累积成方底四角尖体形其每边之数即位数也试按位作防排之第一层爲一第二层爲四第三层爲九第四层爲十六第五层爲二十五爲每次按位自乘相加之数如以每边加半与每边相乘复以位数加一乘之取其三分之一即得总数【见算法原本二卷第三十五节】今以每边加半与每边相乘是得长方面积复以位数加一爲高乘之是得长方体积爲四角尖体之三倍故以三除之即得也然以边数加半爲长以位数加一爲高者葢以三四角尖体相凑乃成上下相等之长方体其底必比正方面多半行其高必比原有之位数多一层【三角体以边数加一与边数相乘四角体以边数加半与边数相乘三角体以位数加二爲高四角体以位数加一爲高总以四角体比三角体底式大一倍故三角体爲长方体六分之一四角体爲长方体三分之一三角体加数几何而此四角体皆用其半也】又以一长方体分爲三四角尖体其三面爲两体所同用而少一行之数试以甲乙丙丁四角尖体作爲戊己庚辛阳马尖体形爲长方体三分之一所余爲三分之二其戊己庚戊庚辛两面爲两体所同用而戊庚一行又爲两面所同用是此两面爲两体所同用而少一行之数也又以其所余三分之二平分之必有一面爲两体所同用是以长方体分爲三四角尖体有三面爲两体所同用而少一行之数也今以每边加半与每边之数相乘又以位数加一乘之所以增其三面少一行之分也【葢其高既比原位数多一则其傍面一层宜爲一面三角尖堆之倍数而其傍面只比毎边多半是傍面只爲一面三角尖堆之数也又其高旣比原位多一则其上面一层爲毎边自乘之数即爲一面三角尖堆之倍数而少一行共之爲三面少一行之数也】又法以每边五自乘再乘得一百二十五爲第一数再以每边五自乘得二十五爲第二数又以每边五加一得六与每边五相乘得三十折半得十五爲第三数三数相加共得一百六十五三归之得五十五即四角尖堆之积也此法与第一法同葢以每边自乘再乘爲第一数是未以每边加半与每边相乘亦未以位数加一再乘也因未以位数加一再乘则其上层即少一每边自乘之数故以每边自乘爲第二数也因未以每边加半相乘则其傍面即少一面三角尖堆之数故以每边加一与每边相乘折半爲第三数也三数相加始爲四角尖堆积之三倍故以三归之而得积也
又法以每边五加一得六与每边五相乘得三十又以每边五加二得七乘之得二百一十三归之得七十爲三角尖堆之倍积又以每边五求得一面三角尖堆积十五与倍三角尖堆积七十相减亦得五十五爲四角尖堆之积也如图甲乙丙丁四角尖堆爲戊己庚辛三角尖堆积之一倍而少一面之数葢四角尖堆底面积爲三角尖堆底面积之一倍而少一行故四角尖堆体积爲三角尖堆体积之一倍而少一面是以求得倍三角尖堆积内减一面三角尖堆积即得四角尖堆积也
又法以每边五用堑堵堆求积法求得堑堵堆积七十五又以每边五用三角尖堆求积法求得三角尖堆积三十五两数相加得一百一十折半得五十五即四角尖堆之积也如图甲乙丙丁四角尖堆先以乙丙一边求得戊己庚辛壬堑堵堆积四角尖体爲堑堵体三分之二三角尖体爲堑堵体三分之一故又求得癸子丑寅三角尖堆积与堑堵堆积相加即与二方底四角尖堆之积等故折半而得四角尖堆之积也
设如四角尖堆积二百零四求每边几何
法以四角尖堆积二百零四三因之得六百一十二爲长方体积以半爲长与阔之较以一爲高与阔之较用带两纵不同较数开立方法算之得阔八即四角尖堆之每一边也此法即四角尖堆有边求积之法而转用之葢四角尖堆有边求积则以每边加半与毎边相乘又以毎边加一再乘得长方体积爲四角尖堆积之三倍是长比阔多半高比阔多一今以四角尖堆积三因之得长方体积故用带两纵不同较数开立方法算之得阔爲每边之数也
设如长方堆底长九阔七上一行收顶求积几何法以底阔七爲方堆之底用四角尖堆有边求积法求得四角尖堆积一百四十又以底阔七与长九相减余二爲两一面三角尖堆即以底阔七用一面三角尖堆有边求积法求得一面三角尖堆积二十八二因之得五十六爲两一面三角尖堆积与前所得四角尖堆积一百四十相加得一百九十六即长方堆之积也如图甲乙丙丁戊长方堆丙丁长比乙丙阔多庚丁二试自己至庚截去二面则成甲乙丙庚一四角尖堆形己庚丁戊两一面三角尖堆形其乙丙阔与丙庚等即四角尖堆之毎一边亦即一面三角尖堆之毎一边故以一边求得四角尖堆积又求得两一面三角尖堆积相加即得长方堆之积也又法以阔七与长九相减余二折半得一又加半得一个半与长九相加得十个半与底阔七相乘得七十三个半又以底阔七【即层数】加一得八再乘得五百八十八三归之得一百九十六即长方堆之积也此法与前法之理同如甲乙丙丁戊长方堆既分爲一四角尖堆两一面三角尖堆其甲乙丙庚四角尖堆固当以丙庚加半与乙丙相乘以甲乙加一再乘得一长方体形爲一四角尖堆之三倍其己庚丁戊两一面三角尖堆当以庚丁与乙丙相乘以戊丁【同甲乙】加一再乘得二长方面形爲两一面三角尖堆之二倍因一爲三倍一爲二倍其倍数不同故又以庚丁折半与庚丁相加即增其一长方面之分得三长方面形亦爲两一面三角尖堆之三倍故以三归之得一四角尖堆两一面三角尖堆合之与甲乙丙丁戊一长方堆之积相等也
又法以底阔七与长九相减余二再加一得三爲顶上之长乃以底长九倍之得十八加顶长三得二十一与底阔七相乘得一百四十七再以高数七加一得八再乘【阔数即高数也】得一千一百七十六六归之得一百九十六即长方堆之积也此法与第二法同葢前法以长阔相减折半加半与长相加此法以长阔相减不折半加一与倍长相加则其长比前法多一倍阔与高皆与前数同而体积亦必比前数大一倍故前法用三归此法用六归也
设如长方堆积二百七十六长比阔多二求每边几何
法以长方堆积二百七十六三因之得八百二十八爲长方体积以长比阔多二折半又加半得一个半与二相加得三个半爲长与阔之较以一爲高与阔之较用带两纵不同较数开立方法算之得阔八爲底阔加长比阔多二得十爲长也此法即长方堆有边求积之法而转用之葢长方堆有边求积则以原长阔之较折半又加半与原长相加乃与阔相乘又以阔加一再乘得长方体积爲长方堆之三倍是长比阔多原长阔之较又多半较仍多半高比阔多一今以长方堆积三因之得长方体积故用带两纵不同较数开立方法算之得阔爲底边之阔加长阔之较得数爲长也
设如三角半堆底边八上边五求积几何
法以底边八用三角尖堆有边求积法求得三角尖堆全积一百二十又以上边五减一得四爲上虚三角尖堆之每边亦用三角尖堆有边求积法求得上虚三角尖堆积二十与先所得三角尖堆全积一百二十相减余一百即三角半堆之积也如图甲乙丙丁戊己三角半堆若于其上加一小三角尖堆则成一大三角尖堆形其上所加之小三角尖堆之每边比三角半堆之上边少一故先求得大三角尖堆全积又求得上虚小三角尖堆积相减即得三角半堆之积也
又法以底边八加一得九与底边八相乘得七十二爲第一数又以上边五与底边八相并得十三以上边五加一得六乘之得七十八爲第二数两数相并得一百五十又以上边五与下边八相减余三加一得四爲层数与两数相加之一百五十相乘得六百六归之得一百爲三角半堆之积也此法与等边三角尖堆求积之法同葢等边三角尖堆其上尖一即上边其每边之数即底边亦即层数其法以每边加一与每边相乘又以每边加二再乘得长方体积爲三角尖堆积之六倍分之则得长比高阔多一之一长方体形又得长比阔多一之二长方面形【即上多二层】若依此法以底边加一与底边相乘即长比阔多一之长方体之一面数也以上边一与下边相加又以上边一加一得二乘之则得长比阔多一之二长方面之两行数也此两数相并以层数乘之则亦得长比高阔多一之一长方体形又得长比阔多一之二长方面形共成一长方体形爲三角尖堆之六倍矣
设如三角半堆积一百上边五求底边几何
法以上边五减一余四爲上虚小三角尖堆之底用三角尖堆有边求积法求得上虚三角尖堆积二十与半堆积一百相加得一百二十爲等边三角尖堆全积用三角尖堆有积求边法求得每边八即三角半堆之底边也如有底边求上边者则以底边求得三角尖堆全积与半堆积相减余爲上虚三角尖堆积求得上虚小三角尖堆之毎边加一即上边也
设如四角半堆底边十二上边五求积几何
法以底边十二用四角尖堆有边求积法求得四角尖堆全积六百五十又以上边五减一得四爲上虚四角尖堆之每边亦用四角尖堆有边求积法求得上虚四角尖堆积三十与先所得四角尖堆全积六百五十相减余六百二十即四角半堆之积也如图甲乙丙丁戊己庚四角半堆若于其上加一小四角尖堆则成一大四角尖堆形其上所加之小四角尖堆之每边比四角半堆之上边少一故求得大四角尖堆全积又求得上虚小四角尖堆积相减即得四角半堆之积也
又法以上边五自乘得二十五爲第一数以底边十二自乘得一百四十四爲第二数以上边五与底边十二相乘得六十爲第三数又以上边五与底边十二相减余七折半得三个半爲第四数四数相并得二百三十二个半又以上下边相减所余之七加一得八爲层数与四数相并之二百三十二个半相乘得一千八百六十三归之得六百二十即四角半堆之积也此法与等边四角尖堆求积之法同葢等边四角尖堆其上尖一即上边其每边之数即底边亦即层数其法以每边加半与每边相乘又以每边加一再乘得长方体积爲四角尖堆积之三倍分之则得每边自乘再乘之一正方体形每边自乘之一正方面形又得长比阔多一之半层长方面形若以底边自乘即正方体之一面数也以上边一与底边相乘则得每边自乘正方面之一行数也以上边一自乘又以上边一与底边相减折半此两数相并即得长比阔多一之半层长方面之一行数也四数相并再以层数乘之则亦得一正方体形一正方面形又得长比阔多一之半层长方面形共成一长方体形爲四角尖堆之六倍矣又此法与上下不等正方体之法异者在多上下边相减折半之一数因堆垜之傍面有余分故也
设如四角半堆积六百二十上边五求底边几何法以上边五减一余四爲上虚小四角尖堆之底用四角尖堆有边求积法求得上虚四角尖堆积三十与半堆积六百二十相加得六百五十爲等边四角尖堆全积用四角尖堆有积求边法求得每边十二即四角半堆之底边也如有底边求上边者则以底边求得四角尖堆全积与半堆积相减余爲上虚四角尖堆积求得上虚小四角尖堆之每边加一即上边也
设如长方半堆底长十二阔十上长八阔六求积几何
法以底长十二阔十用长方堆求积法求得长方堆全积四百九十五又以上长八阔六各减一得长七阔五爲上虚长方堆之长阔亦用长方堆求积法求得上虚长方堆积八十五与先所得长方堆全积相减余四百一十即长方半堆之积也如图甲乙丙丁戊己庚长方半堆若于其上加一小长方堆则成上一行收顶之长方堆形其上所加之小长方堆之每边比长方半堆之上边少一故先求得长方堆全积又求得上虚小长方堆积相减即得长方半堆之积也
又法以上长八与上阔六相乘得四十八爲第一数以底长十二与底阔十相乘得一百二十爲第二数以上长八与底阔十相乘得八十以上阔六与底长十二相乘得七十二两数相并折半得七十六爲第三数又以上下长相减余四折半得二爲第四数以此四数相加得二百四十六又以上长与底长相减所余之四加一得五爲层数与四数相加之二百四十六相乘得一千二百三十三归之得四百一十即长方半堆之积也此法与四角半堆求积之法同葢四角半堆长阔皆相等此则有长阔之不同故四角半堆以上边自乘爲第一数者此则以上长阔相乘爲第一数四角半堆以下边自乘爲第二数者此则以下长阔相乘爲第二数四角半堆以上下相乘爲第三数者此则以上长与下阔相乘上阔与下长相乘相并折半爲第三数四角半堆以上下相减折半爲第四数者此则以上下长相减折半爲第四数【如以上下阔相减折半亦同】其理皆相通也
又法以上长八倍之得十六加下长十二得二十八以上阔六乘之得一百六十八又以下长十二倍之得二十四加上长八得三十二以下阔十乘之得三百二十又以下长十二与上长八相减余四三数相加得四百九十二又以上下长相减所余之四加一得五爲层数与三数相加之四百九十二相乘得二千四百六十六归之得四百一十即长方半堆之积也此法与第二法同葢此法用数比前法大一倍故前法用三归此法用六归也又此法与上下不等长方体之法异者在多上下长相减之一数因堆垜之傍面有余分故也
又法以底阔十与长十二相乘得一百二十又以长十二阔十各减一得长十一阔九相乘得九十九又以长十一阔九各减一得长十阔八相乘得八十又以长十阔八各减一得长九阔七相乘得六十三再以长九阔七各减一得长八阔六【即上长阔】相乘得四十八以此五数相加共得四百一十即长方半堆之积也此法将每层长阔相乘得每层之积故总加之即五层之共积也法虽层累相加实爲显而易见凡堆垜诸法皆可以此法御之若层数太多者用本法爲简易也
设如长方半堆积四百一十上长八阔六求底长阔各防何
法以上长八阔六各减一得长七阔五爲上虚小长方堆之长阔用长方堆有边求积法求得上虚小长方堆积八十五与半堆积四百一十相加得四百九十五爲长方堆全积用长方堆有积求边法求得阔十长十二即长方半堆之底边数也如有底边长阔求上边长阔者则以底边求得长方堆全积与半堆积相减余爲上虚小长方堆积求得上虚小长方堆之长阔两边各加一即长方半堆上边长阔之数也
御制数理精蕴下编卷三十
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷三十一
末部一
借根方比例【定位法 加法 减法乘法 除法】
借根方比例
借根方者假借根数方数以求实数之法也凡法必借根借方加减乘除令与未知之数比例齐等而本数以出大意与借衰叠借略同然借衰叠借之法止可以御本部而此法则线面体诸部皆可御之其中有借根借方之不同葢因根者方之边数即所谓线以根自乘得平方以根自乘再乘得立方以根累次乘即得累次多乘方故以线类爲问者则借根数以比之以面类爲问者则借平方长方以比之以体类爲问者则借立方或累次多乘方以比之至于借数又有一定之位与降位之法【定位降位法俱详后】要之此法设立虚数依所问之比例乘除加减务令根方之数与眞数相当适等而所求之数以出此亦借数之巧也
定位法
众数之经纬尽归乘除而乘除之条理又取准于定位况借数一法又用根方诸名一经乘除俱变爲几根几方之号而本数之比例由此而生其定位与常法稍异故变从简易设表如左
右表前行所列者借数之名后行所列者定数之位其借数者即比例也根与方数俱爲相连比例率如根爲二则平方爲四立方爲八以立方与平方之比同于平方与根数之比即爲八与四之比同于四与二之比也然必借方借根者何也葢以巳知未知之数权约爲几根几方以统御之加减后余几根几方即知眞数若干矣【如根爲二数其平方即爲四若余二平方即知其真数有八或余二根即知其真数有四也】其定位者即视根方所对之位也乘法定位以两数所对之位数相加其加数所对之方即乘出之方也除法定位以两数所对之位数相减其减余数所对之方即除出之方也【乘法以眞数乘根仍得根葢根对一而眞数对○无可加也如以根乘根即得平方葢根对一一与一相加得二二所对之表爲平方故定乘得之数爲平方也如以根乘平方即得立方葢根对一平方对二一二相加得三而三所对之表爲立方故定乘得之数爲立方也又如以平方乘平方则二与二相加爲四查所对之表得三乘方以平方乘立方则二与三相加爲五查所对之表得四乘方以立方乘立方则三与三相加爲六查所对之表得五乘方余皆仿此除法以真数除根仍得根葢根对一而真数对○无可减也如以根除根即得真数葢根对一一与一相减得○而○所对之表爲眞数故定除得之数爲真数也如以根除平方即得根葢根对一平方对二一二相减余一而一所对之表爲根故定除得之数爲根数也又如以平方除平方则二与二减尽爲○查所对之表得真数以平方除立方则二与三相减余一查所对之表得根数以立方除立方则三与三相减得○查所对之表亦得真数也余皆仿此】
定多少与相同号式
凡数有多者用此号一如一平方多二根则如此列之
凡数有少者用此号一如一立方少二平方则如此列之
凡数有相等者用此号一如二立方与十六相等则如此列之
至于数之多少不齐用号各异加减乘除之后有不变者有以多变少以少变多者俱详于本法
加法
凡多与多加得数仍爲多少与少加得数仍爲少多与少加少与多加则反相减爲所得数而多数大则得数亦爲多少数大则得数亦爲少其故何也葢因多数大少数小以其所多补其所少而其所多者尚有余也少数大多数小以其所多补其所少而其所少者仍不足也多少之号定而加法不淆矣
设如有三平方多四根与二平方多三根相加问得几何
法以三平方与二平方相加得五平方四根与三根相加得七根是爲五平方多七根即所求之数也此多与多加得数仍爲多也如以数明之以根爲二则一平方爲四上数三平方得十二多四根得多八是十二多八共二十下数二平方得八多三根得多六是八多六共十四上十二与下八相加得二十即五平方之数上多八与下多六相加得十四即多七根之数葢上数共二十下数共十四两数相加得三十四即二十多十四也
设如有四立方少一平方与三立方少二平方相加问得几何
法以四立方与三立方相加得七立方一平方与二平方相加得三平方是爲七立方少三平方即所求之数也此少与少加得数仍爲少也如以数明之以平方爲九则一立方爲二十七上数四立方得一百零八少一平方得少九是一百零八少九爲九十九下数三立方得八十一少二平方得少十八是八十一少十八爲六十三上一百零八与下八十一相加得一百八十九即七立方之数上少九与下少十八相加得二十七即少三平方之数葢上数九十九下数六十三两数相加得一百六十二即一百八十九少二十七也
设如有四平方多四根与二平方少三根相加问得几何
法以四平方与二平方相加得六平方四根与三根相加应得七根今多少两数不同故于多四根内反减去少三根余一根因多数大故得数爲多是爲六平方多一根即所求之数也此多少两数不同相加所多数大以其所多补足所少而所多仍有余葢以上数多四根补足下数少三根仍多一根也如以数明之以根爲二则一平方爲四上数四平方得十六多四根得多八是十六多八共二十四下数二平方得八少三根得少六是八少六爲二上十六与下八相加得二十四即六平方之数上多八补足下少六仍余二即多一根之数葢上数二十四下数二两数相加得二十六即二十四多二也
设如有二立方少三平方与一立方多二平方相加问得几何
法以二立方与一立方相加得三立方三平方与二平方相加应得五平方今多少两数不同故于少三平方内反减去多二平方余一平方因少数大故得数爲少是爲三立方少一平方即所求之数也此多少两数不同相加所少数大以其所多补其所少而所少仍不足葢于上数少三平方内增入下数多二平方仍少一平方也如以数明之以平方爲九则一立方爲二十七上数二立方得五十四少三平方得少二十七是五十四少二十七爲二十七下数一立方得二十七多二平方得多十八是二十七多十八共四十五上五十四与下二十七相加得八十一即三立方之数上少二十七内增入下多十八仍少九即少一平方之数葢上数二十七下数四十五两数相加得七十二即八十一少九也
设如有二立方多三平方少四根与一立方多二平方少三根相加问得几何
法以二立方与一立方相加得三立方三平方与二平方相加得五平方四根与三根相加得七根是爲三立方多五平方少七根即所求之数也此三位相加多少各自相同故多与多加仍爲多少与少加仍爲少也如以数明之以根爲二则一平方爲四一立方爲八上数二立方得十六多三平方得多十二少四根得少八是十六多十二又少八爲二十下数一立方得八多二平方得多八少三根得少六是八多八又少六爲十上十六与下八相加得二十四即三立方之数上多十二与下多八相加得二十即多五平方之数上少八与下少六相加得十四即少七根之数葢上数二十下数十两数相加得三十即二十四多二十又少十四也
设如有四立方多三平方少二根多五眞数与五立方少一平方多三根少二眞数相加问得几何法以四立方与五立方相加得九立方多三平方与少一平方相减余二平方多数大故爲多少二根与多三根相减余一根多数大故爲多多五眞数与少二眞数相减余三眞数多数大故爲多是爲九立方多二平方多一根多三眞数即所求之数也此四位相加而多少各自不同须各以所多补足所少故相减所余爲所得数也如以数明之以根爲二则一平方爲四一立方爲八上数四立方得三十二多三平方得多十二少二根得少四又多眞数五是三十二多十二少四又多五爲四十五下数五立方得四十少一平方得少四多三根得多六又少眞数二是四十少四多六又少二爲四十上三十二与下四十相加得七十二即九立方之数上多十二补足下少四仍余八即多二平方之数上少四增入下多六反多二即多一根之数上多五补足下少二仍余三即多三眞数葢上数四十五下数四十两数相加得八十五即七十二多八又多二又多三也
设如有一立方多三根与一平方少一根相加问得几何
法以一立方与一平方相加得一立方多一平方多三根与少一根相减余二根多数大故爲多是爲一立方多一平方多二根即所求之数也此相加两数位分不同须各按位列号补足位分始不相淆今上层无平方位而下层却有平方位故上层列一空平方位以补之凡法皆当如此也如以数明之以根爲三则一平方爲九一立方爲二十七上数一立方得二十七多三根得多九是二十七多九共三十六下数一平方得九少一根得少三是九少三爲六上二十七与下无可加仍得二十七即一立方之数下九与上空位亦无可加仍得九即一平方之数上多九补足下少三仍余六即多二根之数葢上数三十六下数六两数相加得四十二即二十七多九又多六也
减法
凡多与多减原数大于减数则减余仍爲多少与少减原数大于减数则减余仍爲少若多与多减减数大于原数则反减而减余即变爲少葢减数之所多既大于原数之所多则原数之所多内减尽与原数之所多相等之数仍须于原数之整分内多减去所大之几何则所余之整分内即少几何矣若少与少减减数大于原数则反减而减余即变爲多葢减数之所少既大于原数之所少则原数之所少内减尽与原数之所少相等之数仍须于原数之整分内少减所大之几何故所余之整分内即多几何矣至于多与少减少与多减则反相加爲减余数而原数多则减余仍爲多原数少则减余仍爲少其故何也葢因原数多减数少则原数已多在彼而减数又少于此是所余益多也原数少减数多则原数已少在彼而减数又多于此是所余益少也多少之号明而减法不淆矣
设如有四平方多五根内减二平方多二根问所余几何
法以四平方减二平方余二平方五根减二根余三根是爲二平方多三根即所求之数也此多与多减原数大于减数故减余仍爲多也如以数明之以根爲三则一平方爲九上数四平方得三十六多五根得多十五是三十六多十五共五十一下数二平方得十八多二根得多六是十八多六共二十四上三十六内减下十八余十八即二平方之数上十五内减下六余九即三根之数葢上数共五十一下数共二十四两数相减余二十七即十八多九也
设如有四立方少三平方内减三立方少二平方问所余几何
法以四立方减三立方余一立方三平方减二平方余一平方是爲一立方少一平方即所求之数也此少与少减原数大于减数故减余仍爲少也如以数明之以平方爲九则一立方爲二十七上数四立方得一百零八少三平方得少二十七是一百零八少二十七爲八十一下数三立方得八十一少二平方得少十八是八十一少十八爲六十三上一百零八内减下八十一余二十七即一立方之数上二十七内减下十八余九即少一平方之数葢上数八十一下数六十三两数相减余十八即二十七少九也
设如有七平方多三根内减四平方多五根问所余几何
法以七平方减四平方余三平方三根内不能减五根乃于下数多五根内反减上数多三根余二根即变爲少是爲三平方少二根即所求之数也此多与多减减数大于原数故反减而减余即变爲少葢原数多三根减数多五根是减数比原数大二根如于原数三根内减去减数三根则减数仍余二根此二根必须于原数平方内减之原数既多减二根则余数即少二根也如以数明之以根爲三则一平方爲九上数七平方得六十三多三根得多九是六十三多九共七十二下数四平方得三十六多五根得多十五是三十六多十五共五十一上六十三内减下三十六余二十七即三平方之数下十五内反减上九余六即少二根之数葢上数共七十二下数共五十一两数相减余二十一即二十七少六也
设如有六平方少三根内减二平方少四根问所余几何
法以六平方减二平方余四平方三根内不能减四根乃于下数少四根内反减上数少三根余一根即变爲多是爲四平方多一根即所求之数也此少与少减减数大于原数故反减而减余即变爲多葢原数少三根减数少四根是减数比原数大一根如于原数三根内减去减数三根则减数仍余一根此一根系原数平方内所少减之一根原数既少减一根则余数即多一根也如以数明之以根爲四则一平方爲十六上数六平方得九十六少三根得少十二是九十六少十二爲八十四下数二平方得三十二少四根得少十六是三十二少十六爲十六上九十六内减下三十二余六十四即四平方之数下十六反减上十二余四即多一根之数葢上数八十四下数十六两数相减余六十八即六十四多四也
设如有三平方多四根内减二平方少一根问所余几何
法以三平方减二平方余一平方四根减一根应余三根今多少两数不同故反相加得五根因原数多故得数仍爲多是爲一平方多五根即所求之数也此多少两数不同相减原数多减数少原数已多而减数又少则所余者愈多葢原数多四根减数少一根是原数比减数已多五根故减余即爲多五根也如以数明之以根爲四则一平方爲十六上数三平方得四十八多四根得多十六是四十八多十六共六十四下数二平方得三十二少一根得少四是三十二少四爲二十八上四十八内减下三十二余十六即一平方之数上多十六加下少四得二十即多五根之数葢上数六十四下数二十八两数相减余三十六即十六多二十也
设如有五平方少二根内减三平方多三根问所余几何
法以五平方减三平方余二平方二根不能减三根且多少两数不同故反相加得五根因原数少故得数仍爲少是爲二平方少五根即所求之数也此多少两数不同相减原数少减数多原数已少减数又多则所余者愈少葢原数少二根减数多三根是原数比减数已少五根故减余即爲少五根也如以数明之以根爲五则一平方爲二十五上数五平方得一百二十五少二根得少十是一百二十五少十爲一百一十五下数三平方得七十五多三根得多十五是七十五多十五共九十上一百二十五内减下七十五余五十即二平方之数上少十加下多十五得二十五即少五根之数葢上数一百一十五下数九十两数相减余二十五即五十少二十五也
设如有四立方多六平方内减二立方多三平方多三根问所余几何
法以四立方减二立方余二立方六平方减三平方再减三根余三平方少三根是爲二立方多三平方少三根即所求之数也此相减两数位分不同须各按位列号补足位分始不相淆今上层无根位而下层却有根位故上层作一空根位以补之是原根位无数而减数多三根故所余即少三根也如以数明之以根爲二则一平方爲四一立方爲八上数四立方得三十二多六平方得多二十四是三十二多二十四共五十六下数二立方得十六多三平方得多十二多三根得多六是十六多十二又多六爲三十四上三十二内减下十六余十六即二立方之数上二十四内减下十二余十二即三平方之数下六无可减仍爲六即少三根之数葢上数五十六下数三十四两数相减余二十二即十六多十二又少六也
设如有五立方多四平方多三根少八眞数内减四立方多二平方多二根少九眞数问所余几何法以五立方减四立方余一立方四平方减二平方余二平方多与多减原数大故爲多多三根减二根余一根多与多减原数大故爲多八眞数不能减九眞数乃于下数少九内反减上数少八余一即变爲多是爲一立方多二平方多一根多一眞数即所求之数也如以数明之以根爲三则一平方爲九一立方爲二十七上数五立方得一百三十五多四平方得多三十六多三根得多九又少眞数八是一百三十五多三十六又多九又少八爲一百七十二下数四立方得一百零八多二平方得多十八多二根得多六又少眞数九是一百零八多十八又多六又少九爲一百二十三上一百三十五内减下一百零八余二十七即一立方之数上三十六内减下十八余十八即多二平方之数上九内减下六余三即多一根之数下九反减上八余一即多一眞数葢上数一百七十二下数一百二十三两数相减余四十九即二十七多十八又多三又多一也
设如有二立方多三根内减一平方少一根问所余几何
法以二立方减一平方余二立方少一平方三根减一根应余二根今多少两数不同故反相加得四根因原数多故得数仍爲多是爲二立方少一平方多四根即所求之数也如以数明之以根爲三则一平方爲九一立方爲二十七上数二立方得五十四多三根得多九是五十四多九共六十三下数一平方得九少一根得少三是九少三爲六上五十四无可减仍爲五十四即二立方之数下九无可减仍爲九即少一平方之数上多九与下少三相加得十二即多四根之数葢上数六十三下数六两数相减余五十七即五十四少九又多十二也
乘法
凡乘法各按位分上下横列自末位起逐位遍乘与常法同其书乘出之数以类相从【如乘出之数爲根俱书于根之下乘出之数爲平方俱书于平方之下皆依定位表例】其定多少之号则临期互有转移葢法实俱止一位者其乘出之数爲多不必言矣法实不止一位俱系多者【如几平方多几根或几根多几眞数又或几平方多几根又多几眞数之类】其乘出之数亦俱爲多葢以多乘多则多者益多也法实两数俱系少者其爲首一位已系整数爲多【如几平方少几根或几根少几眞数或几平方少几根又少几眞数之类】故乘出之数则有多少之分如爲首一位相乘系多与多乘其乘出之数爲多而次位爲少者与首位乘是爲少与多乘或首位与次位爲少者乘是爲多与少乘则其乘出之数俱爲少葢少与多乘多与少乘则少者益少而得数固少也【如防平方少几根与几眞数相乘以眞数乘平方即爲多与多乘以眞数乘根即爲多与少乘也】至于少与少乘其乘出之数反变爲多【如几立方少几平方与几根少几眞数相乘以眞数乘平方即爲少与少乘也】其故何也葢法实首位爲多次位以后爲少则乘出之数首位内少次位之数必多末位之数须于乘出首位数中减去次位之数加入末位之数始与实数相合【除首位上下两整数相乘以后次位皆系少与少乘爲多而次位对首位乘必爲少与多乘或多与少乘则此两数俱爲少合之爲首位数内少次位之数而多末位之数葢因次位所少数内有两分末位之数首位数内减去次位之全数即如多减去一末位之数倘能于次位数中先减去末位数然后再于首位数中减之始与实数相合今次位数中既不能先减去末位数故转于首位数中减去次位数反加入一末位数也】所谓减者即少数所谓加者即多数多少之分既定则依加法相加即爲所得之数也
设如有三根多二眞数以三眞数乘之问得几何法以三眞数乘二眞数得多六眞数【以多与多乘故爲多也又几以眞数乘根方之数其位皆不变如以眞数乘眞数仍得眞数以眞数乘根仍得根葢定位表中眞数之位爲○于根方之位无所加也】以三眞数乘三根得多九根是爲九根多六眞数即所求之数也如以数明之以根爲四则上数三根得十二多二眞数共得十四以下眞数三乘之所得三十六即九根之数所得多六即多六眞数葢以下数三与上数十四相乘得四十二即三十六多六也
设如有四根多二眞数以二根多三眞数乘之问得几何
法以多三眞数乘多二眞数得多六眞数以多三眞数乘四根得多十二根又以二根乘多二眞数得多四根以二根乘四根得八平方【以根与根乘即得平方葢根所对之位爲一以一加一爲二即平方所对之位故得数定爲平方】相加得八平方多一十六根又多六眞数即所求之数也如图甲乙爲四根乙丙爲多二眞数甲丁爲二根丁戊爲多三眞数以甲丙四根多二眞数与甲戊二根多三眞数相乘成甲戊己丙长方形其甲丁庚乙长方形即八平方其乙庚辛丙与丁戊壬庚二长方形即所多十六根其庚壬己辛长方形即所多六眞数也如以数明之以根爲四则一平方爲十六上数四根得十六多二眞数共得十八下数二根得八多三真数共得十一相乘所得一百二十八即八平方之数所得多六十四即多十六根之数所得多六即多六眞数葢以下数十一与上数十八相乘得一百九十八即一百二十八多六十四又多六也
设如有二平方多三根以二根多四眞数乘之问得几何
法因上层无眞数位故列一空位以补之以多四眞数乘空眞数仍爲空以多四眞数乘多三根得多十二根以多四眞数乘二平方得多八平方以二根乘空眞数仍爲空以二根乘多三根得多六平方以二根乘二平方得四立方【以根乘平方即得立方葢根所对之位爲一平方所对之位爲二以一加二得三即立方所对之位也】相加得四立方多十四平方又多十二根即所求之数也此相乘两数位分不同须各按位列号补足位分始不相淆凡法皆当如此如图甲乙丙丁爲二平方丁丙戊己爲多三根庚辛爲二根戊庚爲多四眞数以甲乙戊己二平方多三根与戊辛二根多四眞数相乘成乙己辛癸扁方体其丙己庚子十二根即四真数乘三根之数其甲乙丙丁子丑八平方即四眞数乘二平方之数其子寅庚辛壬卯六平方即二根乘三根之数其丑子卯癸四立方即二根乘二平方之数也如以数明之以根爲五则一平方爲二十五一立方爲一百二十五上数二平方得五十多三根得多十五共得六十五下数二根得一十多四眞数共得十四相乘所得五百即四立方之数所得多三百五十即多十四平方之数所得多六十即多十二根之数葢以下数十四与上数六十五相乘得九百一十即五百多三百五十又多六十也
设如有二根少四眞数以一根多三眞数乘之问得几何
法以多三眞数乘少四眞数得少十二眞数【多与少乘故爲少】以多三眞数乘二根得多六根【凡爲首一位皆爲多而数前无号者亦即爲多今以多三眞数与多二根相乘故其得数仍爲多】又以一根乘少四眞数得少四根【以多与少乘故爲少】以一根乘二根得二平方相加得二平方多二根少十二眞数即所求之数也如图甲乙爲二根丙乙爲少四眞数甲丁爲一根丁戊爲多三真数以甲乙二根少四眞数与甲戊一根多三眞数相乘成甲戊己乙长方形其庚壬己辛长方形即多三眞数乘少四眞数之十二眞数丁戊己辛长方形即多三眞数乘二根之六根丙庚辛乙长方形即一根乘少四眞数之四根甲丁辛乙长方形即一根乘二根之二平方合之爲甲丁辛乙二平方而少丙庚辛乙之四根又多丁戊己辛之六根而少庚壬己辛之十二眞数今以丁戊己辛之多六根少十二眞数补丙庚辛乙之少四根仍多二根而少十二眞数也如以数明之以根爲六则一平方爲三十六上数二根得十二少四眞数则余八下数一根得六多三眞数共得九相乘所得七十二即二平方之数所得多十二即多二根之数所得少十二即少十二眞数之数葢以下数九与上数八相乘得七十二即七十二多十二又少十二也
设如有一根少一眞数以一根少二眞数乘之问得几何
法以少二眞数乘少一眞数得多二眞数【少与少乘故爲多】以少二眞数乘一根得少二根【一根爲首且无号故爲多今以少二眞数与多一根相乘故其得数亦爲少也】又以一根乘少一眞数得少一根【多与少乘故爲少】以一根乘一根得一平方相加得一平方少三根多二眞数即所求之数也如图甲乙爲一根丙乙爲少一眞数甲丁亦爲一根戊丁爲少二眞数以甲乙一根少一眞数与甲丁一根少二眞数相乘成甲乙己丁正方形其庚壬己辛小长方形即少二眞数乘少一眞数之二眞数其戊壬己丁即二眞数乘一根之二根其丙乙己辛即一根乘少一眞数之一根其甲乙己丁爲一根乘一根之一平方合之爲甲乙己丁一平方而少丙乙己辛之一根又少戊壬己丁之二根而多庚壬己辛之二眞数实得甲丙庚戊之一长方形葢甲乙己丁之一正方内减戊壬己丁之二根又减丙乙己辛之一根是重减去庚壬己辛之二眞数则甲丙庚戊长方内必缺二眞数故将少二眞数乘少一眞数所得之二眞数即预定爲多号以补重减之分然后得甲丙庚戊之一长方爲所得之实数也是则少与少乘之爲多者非于整数之外有盈分而爲多实因所少之数有过分而爲多也如以数明之以根爲六则一平方爲三十六上数一根爲六少一眞数则余五下数一根爲六少二眞数则余四相乘所得三十六即一平方之数所得少十八即少三根之数所得多二即多二眞数之数葢以下数四与上数五相乘得二十即三十六少十八多二也
设如有二立方少二平方少一根以二平方少二根乘之问得几何
法因上下两层皆无眞数位故各列一空位以补之以空眞数乘上层各位仍得各空位以少二根乘空眞数仍得空根以少二根乘少一根得多二平方以少二根乘少二平方得多四立方以少二根乘二立方得少四三乘方又以二平方乘空眞数仍得空平方以二平方乘少一根得少二立方以二平方乘少二平方得少四三乘方以二平方乘二立方得四四乘方相加共得四四乘方少八三乘方多二立方又多二平方即所求之数也如以数明之以根爲三则一平方爲九一立方爲二十七一三乘方爲八十一一四乘方爲二百四十三上数二立方得五十四少二平方得少十八少一根得少三是五十四少十八又少三爲三十三下数二平方得十八少二根得少六是十八少六爲十二相乘所得九百七十二即四四乘方之数所得少六百四十八即少八三乘方之数所得多五十四即多二立方之数所得多十八即多二平方之数葢以下数十二与上数三十三相乘得三百九十六即九百七十二内少六百四十八又多五十四复多十八也
设如有三平方少二根多二眞数与一平方多二根少三眞数相乘问得几何
法以少三眞数乘多二眞数得少六眞数以少三眞数乘少二根得多六根以少三眞数乘三平方得少九平方又以多二根乘多二眞数得多四根以多二根乘少二根得少四平方以多二根乘三平方得多六立方又以一平方乘多二眞数得多二平方以一平方乘少二根得少二立方以一平方乘三平方得三三乘方相加得三三乘方多四立方少十一平方多十根少六眞数即所求之数也如以数明之以根爲四则一平方爲十六一立方爲六十四一三乘方爲二百五十六上数三平方得四十八少二根得少八多二眞数共得四十二下数一平方得十六多二根得多八少三眞数共得二十一相乘所得七百六十八即三三乘方之数所得多二百五十六即多四立方之数所得少一百七十六即少十一平方之数所得多四十即多十根之数所得少六即少六眞数之数葢以下数二十一与上数四十二相乘得八百八十二即七百六十八多二百五十六又少一百七十六仍多四十复少六也
除法
凡除法按位列数必以眞数爲单位法尾未至眞数者须补○以存其位【如法尾爲根则补一○以存眞数位法尾爲平方则补二○以存眞数位法尾爲立方则补三○以存眞数位】将得数首位纪于眞数之上【如眞数之位爲○者则纪于○位之上】眞数所对实中之位即得数首位之数【如眞数对实中根位即定得数首位爲根如眞数对实中平方位即定得数首位爲平方如眞数对实中立方位即定得数首位爲立方余俱仿此】其归除递减皆与常法同至于定号亦与乘法同俱详设如于左
设如有十二立方多九平方多六根以三眞数除之问得几何
法以三眞数除十二立方得四立方以四立方乘三眞数得十二立方与实相减恰尽余多九平方多六根复以三眞数除多九平方得多三平方以多三平方乘三眞数得多九平方与实相减恰尽余多六根又以三眞数除多六根得多二根以多二根乘三眞数得多六根与实相减恰尽无余是爲四立方多三平方多二根即所求之数也此法葢因眞数除立方多平方与多根故得数之位仍从实数之位且眞数之位下对实中立方之位故定得数首位亦爲立方又因实数皆爲多故得数亦皆爲多也如以数明之以根爲三则一平方爲九一立方爲二十七实数十二立方得三百二十四多九平方得多八十一多六根得多十八是三百二十四多八十一又多十八共爲四百二十三以眞数三除之所得一百零八即四立方之数所得多二十七即多三平方之数所得多六即多二根之数葢以四百二十三以三除之得一百四十一即一百零八多二十七又多六也
设如有十二立方多八平方多六根以二根除之问得几何
法因法尾未至眞数位故设一空眞数位以补之以二根除十二立方得六平方以六平方乘二根得十二立方与实相减恰尽余多八平方多六根复以二根除多八平方得多四根以多四根乘二根得多八平方与实相减恰尽余多六根复以二根除多六根得多三眞数以多三眞数乘二根得多六根与实相减恰尽无余是爲六平方多四根多三眞数即所求之数也此法葢因根数除立方多平方与多根故根除立方得平方根除多平方得多根根除多根而得多眞数且眞数之位下对实中平方之位故定得数首位亦爲平方又因实数皆爲多故得数亦皆爲多也如以数明之以根爲二则一平方爲四一立方爲八实数十二立方得九十六多八平方得多三十二多六根得多十二是九十六多三十二又多十二共爲一百四十法数二根爲四除之所得二十四即六平方之数所得多八即多四根之数所得多三即多三眞数之数葢一百四十以四除之得三十五即二十四多八又多三也
设如有四三乘方多八立方又多八平方以四平方除之问得几何
法以四平方除四三乘方得一平方以一平方乘四平方得四三乘方与实相减恰尽余多八立方多八平方复以四平方除多八立方得多二根以多二根乘四平方得多八立方与实相减恰尽余多八平方又以四平方除多八平方得多二眞数以多二眞数乘四平方得多八平方与实相减恰尽无余是爲一平方多二根又多二眞数即所求之数也此法葢因平方除三乘方多立方与多平方故平方除三乘方得平方平方除多立方得多根平方除多平方得多眞数且眞数之位下对实中平方之位故定得数首位亦爲平方又因实数皆爲多故得数亦皆爲多也如以数明之以根爲三则一平方爲九
一立方爲二十七一三乘方爲八十一实数四三乘方得三百二十四多八立方得多二百一十六多八平方得多七十二是三百二十四多二百一十六又多七十二共爲六百一十二法数四平方爲三十六除之所得之九即一平方之数所得多六即多二根之数所得多二即多二眞数之数葢六百一十二以三十六除之得十七即九多六又多二
也设如有四立方多八平方多七根多二眞数以二平方多三根多二眞数除之问得几何法以二平方多三根多二眞数除四立方多八平方多七根得二根以二根乘多二眞数得多四根以二根乘多三根得多六平方以二根乘二平方得四立方与实相减余多二平方多三根多二眞数复以二平方多三根多二眞数除二平方多三根多二眞数得多一眞数以多一眞数乘多二眞数得多二眞数以多一眞数乘多三根得多三根以多一眞数乘二平方得多二平方与实相减恰尽无余是爲二根多一眞数即所求之数也此法葢因平方多根多眞数除立方多平方多根多眞数故以平方除立方得根以平方除多平方得多眞数且眞数之位下对实中根位故定得数首位爲根又因实数皆爲多故得数亦皆爲多也如以数明之以根爲三则一平方爲九一立方爲二十七实数四立方得一百零八多八平方得多七十二多七根得多二十一多二眞数即多二是爲一百零八多七十二又多二十一又多二共爲二百零三法数二平方得十八多三根得多九多二眞数即多二是爲十八多九又多二共爲二十九除之所得之六即二根之数所得多一即多一眞数葢二百零三以二十九除之得七即六多一也
设如有六平方少一根少十五眞数以三根少五眞数除之问得几何
法以三根少五眞数除六平方少一根得二根以二根乘少五眞数得少十根以二根乘三根得六平方与实相减平方恰尽根之减数大于原数转减之余多九根少十五眞数复以三根少五眞数除多九根少十五眞数得多三眞数【减余之九根爲多故除得之三眞数亦爲多也】以多三眞数与少五眞数相乘得少十五眞数以多三眞数与三根相乘得多九根与实相减恰尽无余是爲二根多三眞数即所求之数也此法葢因根少眞数除平方少根少眞数故以根除平方得根以根除多根【根原爲少而减余数变爲多】得多眞数且眞数之位下对实中根位故定得数首位爲根又因实数原爲少而次位余实之数变爲多故定得数次位爲多也如以数明之以根爲五则一平方爲二十五实数六平方得一百五十少一根得少五少十五真数即少十五是爲一百五十少五又少十五共爲一百三十法数三根得十五少五眞数即少五是爲十五少五共爲一十除之所得之一十即二根之数所得之多三即多三眞数之数葢一百三十以十除之得十三即十多三也
设如有九立方少十二平方少五根多六眞数以三平方少二根少三眞数除之问得几何
法以三平方少二根少三眞数除九立方少十二平方少五根得三根以三根乘少三眞数得少九根以三根乘少二根得少六平方以三根乘三平方得九立方与实相减立方恰尽原少十二平方减少六平方余少六平方原少五根不能减九根转减之余多四根又多六眞数复以三平方少二根少三眞数除少六平方多四根多六眞数得少二眞数以少二眞数乘少三眞数得多六眞数以少二眞数乘少二根得多四根以少二眞数乘三平方得少六平方与实相减恰尽无余是爲三根少二眞数即所求之数也此法葢因平方少根少眞数除立方少平方少根与多眞数故以平方除立方得根以平方除少平方得少眞数且眞数之位下对实中根位故定得数首位爲根又实数之号虽有少有多不同而次位余实之首数爲少故定得数次位爲少也如以数明之以根爲七则一平方爲四十九一立方爲三百四十三实数九立方得三千零八十七少十二平方得少五百八十八少五根得少三十五多六眞数即多六是爲三千零八十七少五百八十八又少三十五仍多六共爲二千四百七十法数三平方得一百四十七少二根得少十四少三眞数即少三是爲一百四十七少十四又少三共爲一百三十除之所得之二十一即三根之数所得之少二即少二眞数之数葢二千四百七十以一百三十除之得十九即二十一少二也
设如有八立方多八平方多二根少四眞数以二平方多三根多二眞数除之问得几何
法以二平方多三根多二眞数除八立方多八平方多二根得四根以四根乘多二眞数得多八根以四根乘多三根得多十二平方以四根乘二平方得八立方与实相减立方恰尽平方与根之减数俱大于原数故皆转减之余少四平方少六根又少四眞数复以二平方多三根多二眞数除少四平方少六根少四眞数得少二眞数以少二眞数乘多二眞数得少四眞数以少二眞数乘多三根得少六根以少二眞数乘二平方得少四平方与实相减恰尽无余是爲四根少二眞数即所求之数也此法葢因平方多根多眞数除立方多平方多根与少眞数故以平方除立方得根以平方除少平方【平方原爲多而减余数变爲少】得少眞数且眞数之位下对实中根位故定得数首位爲根又实数之号虽有多有少不同而次位余实皆变爲少故定得数次位爲少也如以数明之以根爲三则一平方爲九一立方爲二十七实数八立方得二百一十六多八平方得多七十二多二根得多六少四眞数即少四是二百一十六多七十二又多六仍少四共爲二百九十法数二平方得十八多三根得多九多二眞数即多二是十八多九又多二共爲二十九除之所得十二即四根之数所得少二即少二眞数之数葢二百九十以二十九除之得十即十二少二也
设如有四三乘方少二立方少四平方多五根少二眞数以二平方少二根多一眞数除之问得几何法以二平方少二根多一眞数除四三乘方少二立方少四平方得二平方以二平方乘多一眞数得多二平方以二平方乘少二根得少四立方以二平方乘二平方得四三乘方与实相减三乘方恰尽原少二立方不能减少四立方转减之余多二立方原少四平方减多二平方故相加爲少六平方仍多五根复以二平方少二根多一眞数除多二立方少六平方多五根得多一根以多一根乘多一眞数得多一根以多一根乘少二根得少二平方以多一根乘二平方得多二立方与实相减立方恰尽原少六平方减少二平方余少四平方原多五根减多一根余多四根仍少二眞数又以二平方少二根多一眞数除少四平方多四根少二眞数得少二眞数以少二眞数乘多一眞数得少二眞数以少二眞数乘少二根得多四根以少二眞数乘二平方得少四平方与实相减恰尽无余是爲二平方多一根少二眞数即所求之数也此法葢因平方少根多眞数除三乘方少立方又少平方仍多根与少眞数故以平方除三乘方得平方以平方除多立方【立方原爲少而减余数变爲多】得多根以平方除少平方得少眞数且眞数之位下对实中平方之位故定得数首位爲平方又实数之号虽有多有少不同而次位余实之首数变爲多三位余实之首数仍爲少故定得数之次位爲多三位爲少也如以数明之以根爲六则一平方爲三十六一立方爲二百一十六一三乘方爲一千二百九十六实数四三乘方得五千一百八十四少二立方得少四百三十二少四平方得少一百四十四多五根得多三十少二眞数即少二是五千一百八十四少四百三十二又少一百四十四仍多三十复少二共爲四千六百三十六法数二平方得七十二少二根得少十二多一眞数即多一是七十二少十二又多一共爲六十一除之所得七十二即二平方之数所得多六即多一根之数所得少二即少二眞数之数葢四千六百三十六以六十一除之得七十六即七十二多六少二也
御制数理精蕴下编卷三十一
钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷三十二
末部二
借根方比例【开诸乘方法 诸乘方表】
开诸乘方法
借根方比例法中开各乘方爲最要其算线部借根算面部借平方算体部借立方以及多乘方虽各按其类然有法属线类而仍须诸乘方算者故诸乘方之法宜审也葢诸乘方之形体不同开法之难易迥别总以廉法之多少而分平方之廉最少故最易立方之廉较多故较难自三乘以至多乘其廉愈多则其法愈难今自平方以至九乘方俱専立一法在平方立方所省不多而三乘方以后则甚爲简捷至于诸乘方中亦有可以用平方立方之法代开者如三乘方与平方自乘之数等故可以平方两次开之五乘方与平方自乘再乘之数等亦与立方自乘之数等故可以平方开之继以立方开之七乘方与平方两次自乘之数等故可以平方三次开之八乘方与立方自乘再乘之数等故可以立方两次开之九乘方与四乘方自乘之数等故可以平方开之继以四乘方开之惟四乘方及六乘方与平方立方之数皆不相合故不可以平方立方之法代开也又诸乘方次商之数最难定今自立方至九乘方俱爲立根数两位之表若根数两位者以积数捡表即得更爲便捷至于十乘方以后并可以此法御之但其数繁衍而无所用兹故不载焉
平方
设如有平方积一万五千一百二十九尺开平方问每一根之数几何
法列方积一万五千一百二十九尺自末位起算每方积二位定方根一位故隔一位作记乃于九尺上定单位一百尺上定十位一万尺上定百位其一万尺爲初商积与一百自乘之数相合即定初商爲一百尺书于方积一万尺之上而以初商一百尺自乘之一万尺书于初商积之下相减恰尽爰以方根第二位积五千一百尺续书于后爲次商廉隅之共积而以初商之一百尺倍之得二百尺爲次商廉法以除次商积足二十倍即定次商爲二十尺书于方积一百尺之上合初商共一百二十尺自乘得一万四千四百尺与原积相减余七百尺爰以方根第三位积二十九尺续书于后共七百二十九尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之一百二十尺倍之得二百四十尺爲三商廉法以除三商积足三倍即定三商爲三尺书于方积九尺之上合初商次商共一百二十三尺自乘得一万五千一百二十九尺与原积相减恰尽是开得一百二十三尺爲平方每一根之数也此法止用廉法除余积得次商即并初商数自乘得数复与原积相减与常法不同然自三乘方以至多乘方则廉法条例甚繁难于布算用此法甚爲省便在平方立方不觉其省【平方止省小隅一层立方止省长廉小隅二层】而在多乘方所省实多葢各设一例以备体也
立方
设如有立方积四千一百零六万三千六百二十五尺开立方问每一根之数几何
法列方积四千一百零六万三千六百二十五尺自末位起算每方积三位定方根一位故隔二位作记乃于五尺上定单位三千尺上定十位一百万尺上定百位其四千一百万尺爲初商积与三百自乘再乘之数相准即定初商爲三百尺书于方积一百万尺之上而以三百尺自乘再乘之二千七百万尺书于初商积之下相减余一千四百万尺爰以方根第二位余积六万三千尺续书于后共一千四百零六万三千尺爲次商廉隅之共积而以初商之三百尺自乘得九万尺三因之得二十七万尺爲次商廉法以除次商积足四十倍即定次商爲四十尺书于方积三千尺之上合初商共三百四十尺自乘再乘得三千九百三十万四千尺与原积相减余一百七十五万九千尺爰以方边第三位余积六百二十五尺续书于后共一百七十五万九千六百二十五尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之三百四十尺自乘得一十一万五千六百尺三因之得三十四万六千八百尺爲三商廉法以除三商积足五倍即定三商爲五尺书于方积五尺之上合初商次商共三百四十五尺自乘再乘得四千一百零六万三千六百二十五尺与原积相减恰尽是开得三百四十五尺爲立方每一根之数也
又用表开法列积四千一百零六万三千六百二十五尺自末位起算隔二位作记定位同前乃截方根第二位以前积四一○六三爲初商次商之积于表中取比此数相近略小之数爲三九三○四【即初商次商自乘再乘之数】其所对初商根爲三次商根爲四即将三四书于初商次商之位而以三九三○四书于初商次商积之下相减余一七五九乃以三九三○四格内三商廉法三四六除余积一七五九足五倍即定三商爲五书于三商之位合初商次商共三百四十五自乘再乘得四千一百零六万三千六百二十五尺与原积相减恰尽即定立方根爲三百四十五尺也
三乘方
设如有三乘方积一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺开三乘方问每一根之数几何
法列方积一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺自末位起算每方积四位定方根一位故隔三位作记乃于一尺上定单位七万尺上定十位三亿尺上定百位其一千零三十三亿尺爲初商积与五百乘三次之数相准即定初商爲五百尺书于方积三亿尺之上而以五百尺乘三次之六百二十五亿尺书于初商积之下相减余四百零八亿尺爰以方根第二位积五千五百一十七万尺续书于后共四百零八亿五千五百一十七万尺爲次商廉隅之共积而以初商之五百尺乘二次得一亿二千五百万尺四因之得五亿尺爲次商廉法以除次商积足八十倍因定次商爲八十尺合初商共五百八十尺乘三次得一千一百三十一亿六千四百九十六万尺大于原积是次商不可商八也乃改商七爲七十尺合初商共五百七十尺乘三次得一千零五十五亿六千零一万尺仍大于原积是次商不可商七也又改商六爲六十尺合初商共五百六十尺乘三次得九百八十三亿四千四百九十六万尺小于原积可减也乃定次商爲六十尺书于方积七万尺之上而以五百六十尺乘三次之九百八十三亿四千四百九十六尺与原积相减余五十亿一千零二十一万尺爰以方根第三位积七千一百二十一尺续书于后共五十亿一千零二十一万七千一百二十一尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之五百六十尺乘二次得一亿七千五百六十一万六千尺四因之得七亿零二百四十六万四千尺爲三商亷法以除三商积足七倍即定三商爲七尺书于方积一尺之上合初商次商共五百六十七尺乘三次得一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺与原积相减恰尽是开得五百六十七尺爲三乘方每一根之数也葢三乘方之本法有四自乘再乘廉六自乘廉四长廉一小隅既得初商乃以初商自乘再乘四因之得四自乘再乘廉爲法除余积得次商以初商自乘与次商相乘六因之爲六自乘廉以次商自乘与初商相乘四因之爲四长廉以次商自乘再乘爲一小隅合四自乘再乘廉六自乘廉四长廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘三次即得应减之积也
又法用开平方法两次开之初以原积一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺开平方得三十二万一千四百八十九尺次以三十二万一千四百八十九尺复开平方得五百六十七尺即三乘方每一根之数也又用表开法列积一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺自末位起算隔三位作记定位同前乃截方根第二位以前积一○三三五五一七爲初商次商之积于表中取比此数相近略小之数爲九八三四四九六【即初商次商乘三次之数】其所对初商根爲五次商根爲六即将五六书于初商次商之位而以九八三四四九六书于初商次商积之下相减余五○一○二一乃以九八三四四九六格内三商廉法七○二四六除余积五○一○二一足七倍即定三商爲七书于三商之位合初商次商共五百六十七乘三次得一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺与原积相减恰尽即定三乘方根爲五百六十七尺也
四乘方
设如有四乘方积二百六十二兆零三十五亿四千九百九十七万八千一百二十五尺开四乘方问每一根之数几何
法列方积二百六十二兆零三十五亿四千九百九十七万八千一百二十五尺自末位起算每方积五位定方根一位故隔四位作记乃于五尺上定单位九十万尺上定十位空百亿尺上定百位其二百六十二兆尺爲初商积与七百乘四次之数相准即定初商爲七百尺书于方积空百亿尺之上而以七百尺乘四次之一百六十八兆零七百亿尺书于初商积之下相减余九十三兆九千三百亿尺爰以方根第二位余积三十五亿四千九百九十万尺续书于后共九十三兆九千三百三十五亿四千九百九十万尺爲次商廉隅之共积而以初商之七百尺乘三次得二千四百零一亿尺五因之得一兆二千零五亿尺爲次商廉法以除次商积足七十倍因定次商爲七十尺合初商共七百七十尺乘四次得二百七十兆六千七百八十四亿一千五百七十万尺
大于原积是次商不可商七也乃改商六爲六十尺合初商共七百六十尺乘四次得二百五十三兆五千五百二十五亿三千七百六十万尺小于原积可减也乃定次商爲六十尺书于方积九十万尺之上而以七百六十尺乘四次之二百五十三兆五千五百二十五亿三千七百六十万尺与原积相减余八兆四千五百一十亿一千二百三十万尺爰以方根第三位余积七万八千一百二十五尺续书于后共八兆四千五百一十亿一千二百三十七万八千一百二十五尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之七百六十尺乘三次得三千三百三十六亿二千一百七十六万尺五因之得一兆六千六百八十一亿零八百八十万尺爲三商廉法以除三商积足五倍即定三商爲五尺书于方积五尺之上合初商次商共七百六十五尺乘四次得二百六十二兆零三十
五亿四千九百九十七万八千一百二十五尺与原积相减恰尽是开得七百六十五尺爲四乘方每一根之数也葢四乘方之本法有五三乘廉十自乘再乘廉十自乘廉五长廉一小隅既得初商乃以初商乘三次五因之得五三乘廉爲法除余积得次商以初商自乘再乘与次商相乘十因之爲十自乘再乘廉以初商自乘次商自乘两数相乘十因之爲十自乘廉以次商自乘再乘与初商相乘五因之爲五长廉以次商数乘三次爲一小隅合五三乘廉十自乘再乘廉十自乘廉五长廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘四次即得应减之积也又用表开法列积二百六十二兆零三十五亿四千九百九十七万八千一百二十五尺自末位起算隔四位作记定位同前乃截方根第二位以前积二六二○○三五四九九爲初商次商
之积于表中取比此数相近略小之数爲二五三五五二五三七六【即初商次商乘四次之数】其所对初商根爲七次商根爲六即将七六书于初商次商之位而以二五三五五二五三七六书于初商次商积之下相减余八四五一○一二三乃以二五三五五二五三七六格内三商廉法一六六八一○八八除余积八四五一○一二三足五倍即定三商爲五书于三商之位合初商次商共七百六十五乘四次得二百六十二兆零三十五亿四千九百九十七万八千一百二十五尺与原积相减恰尽即定四乘方根爲七百六十五尺也
五乘方
设如有五乘方积八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺开五乘方问每一根之数几何
法列方积八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺自末位起算每方积六位定方根一位故隔五位作记乃于五尺上定单位五百万尺上定十位八兆尺上定百位其八十五京九千零六十八兆尺爲初商积与九百乘五次之数相准即定初商爲九百尺书于方积八兆尺之上而以九百尺乘五次之五十三京一千四百四十一尺书于初商积之下相减余三十二京七千六百二十七兆尺爰以方根第二位积三千零一十亿二千五百万尺续书于后共三十二京七千六百二十七兆三千零一十亿二千五百万尺爲次商廉隅之共积而以初商之九百尺乘四次得五百九十兆四千九百亿尺六因之得三千五百四十二兆九千四百亿尺爲次商廉法以除次商积足八十倍因定次商爲八十尺按法相乘大于原积乃改商七十尺书于方积五百万尺之上合初商共九百七十尺乘五次得八十三京二千九百七十二兆零四十九亿二千九百万尺与原积相减余二京六千零九十六兆二千九百六十亿九千六百万尺爰以方根第三位积三十九万零六百二十五尺续书于后共二京六千零九十六兆二千九百六十亿九千六百三十九万零六百二十五尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之九百七十尺乘四次得八百五十八兆七千三百四十亿二千五百七十万尺六因之得五千一百五十二兆四千零四十一亿五千四百二十万尺爲三商廉法以除三商积足五倍即定三商爲五尺书于方积五尺之上合初商次商共九百七十五尺乘五次得八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺与原积相减恰尽是开得九百七十五尺爲五乘方每一根之数也葢五乘方之本法有六四乘廉十五三乘廉二十自乘再乘廉十五自乘廉六长廉一小隅既得初商乃以初商乘四次六因之得六四乘廉爲法除余积得次商以初商乘三次与次商相乘十五乘之爲十五三乘廉以初商自乘再乘次商自乘两数相乘二十乘之爲二十自乘再乘廉以初商自乘次商自乘再乘两数相乘十五乘之爲十五自乘廉以次商乘三次与初商相乘六因之爲六长廉以次商乘四次爲一小隅合六四乘廉十五三乘廉二十自乘再乘廉十五自乘廉六长廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘五次即得应减之积也
又法用开平方开立方法开之初以原积八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺开平方得九亿二千六百八十五万九千三百七十五尺又以九亿二千六百八十五万九千三百七十五尺开立方得九百七十五尺即五乘方每一根之数也
又用表开法列积八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺自末位起算隔五位作记定位同前乃截方根第二位以前积八五九○六八三○一○二五爲初商次商之积于表中取比此数相近略小之数爲八三二九七二○○四九二九【即初商次商乘五次之数】其所对初商根爲九次商根爲七即将九七书于初商次商之位而以八三二九七二○○四九二九书于初商次商积之下相减余二六○九六二九六○九六乃以八三二九七二○○四九二九格内三商廉法五一五二四○四一五四除余积二六○九六二九六○九六足五倍即定三商爲五书于三商之位合初商次商共九百七十五乘五次得八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺与原积相减恰尽即定五乘方根爲九百七十五尺也
六乘方
设如有六乘方积三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十万零九百二十八尺开六乘方问每一根之数几何
法列方积三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十万零九百二十八尺自末位起算每方积七位定方根一位故隔六位作记乃于八尺上定单位九千万尺上定十位五百兆尺上定百位其三垓二千五百八十九京四千五百兆尺爲初商积与八百乘六次之数相准即定初商爲八百尺书于方积五百兆尺之上而以八百尺乘六次之二垓零九百七十一京五千二百兆尺书于初商积之下相减余一垓一千六百一十七京九千三百兆尺爰以方根第二位积九十九兆二千五百二十三亿九千万尺续书于后共一垓一千六百一十七京九千三百九十九兆二千五百二十三亿九千万尺爲次商廉隅之共积而以初商之八百尺乘五次得二十六京二千一百四十四兆尺七因之得一百八十三京五千零八兆尺爲次商廉法以除次商积足六十倍因定次商爲六十尺按法相乘大于原积乃改商五十尺书于方积九千万尺之上合初商共八百五十尺乘六次得三垓二千零五十七京七千零八十八兆二千八百一十二亿五千万尺与原积相减余五百三十一京七千五百一十兆九千七百一十一亿四千万尺爰以方根第三位积五百九十万零九百二十八尺续书于后共五百三十一京七千五百一十兆九千七百一十一亿四千五百九十万零九百二十八尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之八百五十尺乘五次得三十七京七千一百四十九兆五千一百五十六亿二千五百万尺七因之得二百六十四京零四十六兆六千零九十三亿七千五百万尺爲三商廉法以除三商积足二倍即定三商爲二尺书于方积八尺之上合初商次商共八百五十二尺乘六次得三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十万零九百二十八尺与原积相减恰尽是开得八百五十二尺爲六乘方每一根之数也葢六乘方之本法有七五乘廉二十一四乘廉三十五三乘廉三十五自乘再乘廉二十一自乘廉七长廉一小隅既得初商即以初商乘五次七因之得七五乘廉爲法除余积得次商以初商乘四次与次商相乘二十一乘之爲二十一四乘廉以初商乘三次次商自乘两数相乘三十五乘之爲三十五三乘廉以初商自乘再乘次商自乘再乘两数相乘三十五乘之爲三十五自乘再乘廉以初商自乘次商乘三次两数相乘二十一乘之爲二十一自乘廉以次商乘四次与初商相乘七因之爲七长廉以次商乘五次爲一小隅合七五乘廉二十一四乘廉三十五三乘廉三十五自乘再乘廉二十一自乘廉七长廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共积今得次商之后合初商乘六次即得应减之积也
又用表开法列积三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十万零九百二十八尺自末位起算隔六位作记定位同前乃截方根第二位以前积三二五八九四五九九二五二三九爲初商次商之积于表中取比此数相近略小之数爲三二○五七七○八八二八一二五【即初商次商乘六次之数】其所对初商根爲八次商根爲五即将八五书于初商次商之位而以三二○五七七○八八二八一二五书于初商次商积之下相减余五三一七五一○九七一一四乃以三二○五七七○八八二八一二五格内三商廉法二六四○○四六六○九三七除余积五三一七五一○九七一一四足二倍即定三商爲二书于三商之位合初商次商共八百五十二尺乘六次得三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十万零九百二十八尺与原积相减恰尽即定六乘方根爲八百五十二尺也
七乘方
设如有七乘方积六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺开七乘方问每一根之数几何
法列方积六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺自末位起算每方积八位定方根一位故隔七位作记乃于一尺上定单位三亿尺上定十位二京尺上定百位其六百三十八垓五千一百三十二京尺爲初商积与七百乘七次之数相准即定初商爲七百尺书于方积二京尺之上而以七百尺乘七次之五百七十六垓四千八百零一京尺书于初商积之下相减余六十二垓零三百三十一京尺爰以方根第二位积二百三十三兆九千三百八十三亿尺续书于后共六十二垓零三百三十一京零二百三十三兆九千三百八十三亿尺爲次商廉隅之共积而以初商之七百尺乘六次得八千二百三十五京四千三百兆尺八因之得六垓五千八百八十三京四千四百兆尺爲次商廉法以除次商积足九倍止可商九尺是次商爲空位也乃书一空于方积三亿尺之上而以九尺书于方积一尺之上合初商次商共七百零九尺乘七次得六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺与原积相减恰尽是开得七百零九尺爲七乘方每一根之数也葢七乘方之本法有八六乘廉二十八五乘廉五十六四乘廉七十三乘廉五十六自乘再乘廉二十八自乘廉八长廉一小隅既得初商乃以初商乘六次八因之得八六乘廉爲法除余积得次商以初商乘五次与次商相乘二十八乘之爲二十八五乘廉以初商乘四次次商自乘两数相乘五十六乘之爲五十六四乘廉以初商乘三次次商自乘再乘两数相乘七十乘之爲七十三乘廉以初商自乘再乘次商乘三次两数相乘五十六乘之爲五十六自乘再乘廉以初商自乘次商乘四次两数相乘二十八乘之爲二十八自乘廉以次商乘五次与初商相乘八因之爲八长廉以次商乘六次爲一小隅合八六乘廉二十八五乘廉五十六四乘廉七十三乘廉五十六自乘再乘廉二十八自乘廉八长廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘七次即得应减之积也
又法用开平方法三次开之初以原积六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺开平方得二千五百二十六亿八千八百一十八万七千七百六十一尺次以二千五百二十六亿八千八百一十八万七千七百六十一尺复开平方得五十万二千六百八十一尺又以五十万二千六百八十一尺复开平方得七百零九尺即七乘方每一根之数也
又用表开法列积六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺自末位起算隔七位作记定位同前乃截方根第二位以前积六三八五一三二○二三三九三八三爲初商次商之积于表中取比此数相近略小之数爲五七六四八○一○○○○○○○○【即初商次商乘七次之数】其所对初商根爲七次商根爲○即将七○书于初商次商之位而以五七六四八○一○○○○○○○○书于初商次商积之下相减余六二○三三一○二三三九三八三乃以五七六四八○一○○○○○○○○格内三商廉法六五八八三四四○○○○○○除余积六二○三三一○二三三九三八三足九倍即定三商爲九书于三商之位合初商次商共七百零九尺乘七次得六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺与原积相减恰尽即定七乘方根爲七百零九尺也
八乘方
设如有八乘方积四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺开八乘方问每一根之数几何
法列方积四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺自末位起算每方积九位定方根一位故隔八位作记乃于二尺上定单位四十亿尺上定十位五百京尺上定百位其四千二百四十四垓三千五百京尺爲初商积与四百乘八次之数相准即定初商爲四百尺书于方积五百京尺之上而以四百尺乘八次之二千六百二十一垓四千四百京尺书于初商积之下相减余一千六百二十二垓九千一百京尺爰以方根第二位积八十四京九千一百八十五兆四千四百四十亿尺续书于后共一千六百二十二垓九千一百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十亿尺爲次商廉隅之共积而以初商之四百尺乘七次得六垓五千五百三十六京尺九因之得五十八垓九千八
百二十四京尺爲次商廉法以除次商积足二十倍即定次商爲二十尺书于方积四十亿尺之上合初商共四百二十尺乘八次得四千零六十六垓七千一百三十八京三千八百四十九兆四千七百二十亿尺与原积相减余一百七十七垓六千四百四十六京五千三百三十五兆九千七百二十亿尺爰以方根第三位积九亿五千二百八十二万七千二百九十二尺续书于后共一百七十七垓六千四百四十六京五千三百三十五兆九千七百二十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之四百二十尺乘七次得九垓六千八百二十六京五千一百九十九兆六千四百一十六亿尺九因之得八十七垓一千四百三十八京六千七百九十六兆七千七百四十四亿尺爲三商廉法以除三商积足二倍即定三商爲二尺书
于方积二尺之上合初商次商共四百二十二尺乘八次得四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺与原积相减恰尽是开得四百二十二尺爲八乘方每一根之数也葢八乘方之本法有九七乘廉三十六六乘廉八十四五乘廉一百二十六四乘廉一百二十六三乘廉八十四自乘再乘廉三十六自乘廉九长廉一小隅既得初商乃以初商乘七次九因之得九七乘廉爲法除余积得次商以初商乘六次与次商相乘三十六乘之爲三十六六乘廉以初商乘五次次商自乘两数相乘八十四乘之爲八十四五乘廉以初商乘四次次商自乘再乘两数相乘一百二十六乘之爲一百二十六四乘廉以初商乘三次次商乘三次两数相乘一百二十六乘之爲一百二十六三乘廉以初商自
乘再乘次商乘四次两数相乘八十四乘之爲八十四自乘再乘廉以初商自乘次商乘五次两数相乘三十六乘之爲三十六自乘廉以次商乘六次与初商相乘九因之爲九长廉以次商乘七次爲一小隅合九七乘廉三十六六乘廉八十四五乘廉一百二十六四乘廉一百二十六三乘廉八十四自乘再乘廉三十六自乘廉九长廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘八次即得应减之积也又法用开立方法两次开之初以原积四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺开立方得七千五百一十五万一千四百四十八尺次以七千五百一十五万一千四百四十八尺复开立方得四百二十二尺即八乘方每一根之数也
又用表开法列积四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺自末位起算隔八位作记定位同前乃截方根第二位以前积四二四四三五八四九一八五四四四爲初商次商之积于表中取比此数相近畧小之数爲四○六六七一三八三八四九四七二【即初商次商乘八次之数】其所对初商根爲四次商根爲二即将四二书于初商次商之位而以四○六六七一三八三八四九四七二书于初商次商积之下相减余一七七六四四六五三三五九七二乃以四○六六七一三八三八四九四七二格内三商廉法八七一四三八六七九六七七四除余积一七七六四四六五三三五九七二足二倍即定三商爲二书于三商之位合初商次商共四百二十二尺乘八次得四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺与原积相减恰尽即定八乘方根爲四百二十二尺也
九乘方
设如有九乘方积八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺开九乘方问每一根之数几何
法列方积八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺自末位起算每方积十位定方根一位故隔九位作记乃于四尺上定单位二百亿尺上定十位六垓尺上定百位其八穰七千四百零六垓尺爲初商积与三百乘九次之数相准即定初商爲三百尺书于方积六垓尺之上而以三百尺乘九次之五穰九千零四十九垓尺书于初商积之下相减余二穰八千三百五十七垓尺爰以方根第二位积九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百亿尺续书于后共二穰八千三百五十七垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百亿尺爲次商廉隅之共积而以初商之三百尺乘八次得一百九十六垓八千三百京尺又以十因之得一千九百六十八垓三千京尺爲次商廉法以除
次商积足十倍即定次商爲一十尺书于方积二百亿尺之上合初商共三百一十尺乘九次得八穰一千九百六十二垓八千二百八十六京九千八百零八兆零一百亿尺与原积相减余五千四百四十四垓一千一百六十京八千二百零六兆三千一百亿尺爰以方根第三位积九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺续书于后共五千四百四十四垓一千一百六十京八千二百零六兆三千一百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之三百一十尺乘八次得二百六十四垓三千九百六十二京二千一百六十兆六千七百一十亿尺十因之得二千六百四十三垓九千六百二十二京一千六百零六兆七千一百亿尺爲三商廉法以除三商积足二倍即定三商爲二尺书于方积四尺之上合初商次商共三百一十
二尺乘九次得八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺与原积相减恰尽是开得三百一十二尺爲九乘方每一根之数也葢九乘方之本法有十八乘廉四十五七乘廉一百二十六乘廉二百一十五乘廉二百五十二四乘廉二百一十三乘廉一百二十自乘再乘廉四十五自乘廉十长廉一小隅既得初商乃以初商乘八次十因之得十八乘廉爲法除余积得次商以初商乘七次与次商相乘四十五乘之爲四十五七乘廉以初商乘六次次商自乘两数相乘一百二十乘之爲一百二十六乘廉以初商乘五次次商自乘再乘两数相乘二百一十乘之爲二百一十五乘廉以初商乘四次次商乘三次两数相乘二百五十二乘之爲二百五十二四乘廉以初商乘三次次商乘四次两数相乘
二百一十乘之爲二百一十三乘廉以初商自乘再乘次商乗五次两数相乘一百二十乘之爲一百二十自乘再乘廉以初商自乘次商乘六次两数相乘四十五乘之爲四十五自乘廉以次商乘七次与初商相乘十因之爲十长廉以次商乘八次爲一小隅合十八乘廉四十五七乘廉一百二十六乘廉二百一十五乘廉二百五十二四乘廉二百一十三乘廉一百二十自乘再乘廉四十五自乘廉十长廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘九次即得应减之积也又法用开平方开四乘方法开之初以原积八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺开平方得二兆九千五百六十四亿六千六百五十五万二千八百三十二尺又以二兆九千五百六十四亿六千六百五十五万二千八百三十二尺开四乘方得三百一十二尺即九乘方每一根之数也
又用表开法列积八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺自末位起算隔九位作记定位同前乃截方根第二位以前积八七四○六九四四七八○一四三二爲初商次商之积于表中取比此数相近畧小之数爲八一九六二八二八六九八○八○一【即初商次商乘九次之数】其所对初商根爲三次商根爲一即将三一书于初商次商之位而以八一九六二八二八六九八○八○一书于初商次商积之下相减余五四四四一一六○八二○六三一乃以八一九六二八二八六九八○八○一格内三商廉法二六四三九六二二一六○六七一除余积五四四四一一六○八二○六三一足二倍即定三商爲二书于三商之位合初商次商共三百一十二尺乘九次得八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺与原积相减恰尽即定九乘方根爲三百一十二尺也
诸乘方表
凡表上横行所列自一至九之数为初商根右直行所列自○至九之数为次商根其中每格所列细数二层上层为初商次商积【如立方表第一行第三格上层一七二八即方根一二自乘再乘之数余仿此】下层为三商亷法【如立方表第一行第三格下层四三即三商亷法乃以初商次商两根一二自乘三因截去末一位之数葢方根既有三位则初商为百次商为十以一百二十自乘三因得四三二○○为亷法除实至三商本位止今防法止用次商余积求三商不加三商本位之积其初商仍作十用以十二自乘三因得四三二仍比次商余积多一位故截去末一位止用四三为亷法除实则法实尾位均齐定位始无误余仿此】用表之法具见设如立方表
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,下编卷三十二>
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,下编卷三十二>
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,下编卷三十二>
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,下编卷三十二>
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,下编卷三十二>
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,下编卷三十二>
御制数理精蕴下编卷三十二
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷三十三
末部三
借根方比例【带纵平方 带纵立方三乘方四乘方五乘方附】
带纵平方
借根方比例开带纵平方其以长方之积用长阔之较或和而求长阔之数皆与常法同但不立和纵较纵之名惟有多根少根之号而毎根之数或爲长方之阔或爲长方之长错综其名有十二种推究其实总不出和较之两端如云一平方多防根与几真数等或几根多一平方与几真数等或一平方与几真数少几根等或几根与几真数少一平方等此四者根皆较纵而其毎根之数皆长方之阔也如云一平方少几根与几真数等或一平方少几眞数与几根等或一平方与几真数多几根等或一平方与几根多几眞数等此四者根亦皆较纵而其每根之数则皆长方之长也如云一平方多几真数与几根等或几眞数多一平方与几根等或几真数与几根少一平方等或一平方与几根少几眞数等此四者根皆和纵而其毎根之数或爲长方之长或爲长方之阔也要之所谓一平方者即一正方而多几根少几根即变正方而爲长方其眞数比平方多根者其毎根爲阔眞数比平方少根者其每根爲长二者皆较纵惟眞数比根少平方者则爲和纵也至于开之之法皆以眞数爲长方积以根数爲纵【即以根数作眞数用如三根即作三眞数五根即作五真数之类解见设如】依面部带纵平方法开之有较纵者先求和有和纵者先求较其根爲长方之阔者以和较相减折半而得每根之数【用半和半较立法者则相减即得根数不用折半】其根爲长方之长者以和较相加折半而得每根之数也【用半和半较立法者则相加即得根数不用折半】俱详设如设如有一平方多二根与二十四尺相等问每一根之数几何
法以二十四尺爲长方积二根爲纵多二尺用带纵较数开平方法算之将积数四因加纵多自乘之数得一百尺开平方得十尺爲和减较二尺余八尺折半得四尺爲一根之数即长方之阔加较二尺得六尺即长方之长也如图甲乙丙丁长方形共积二十四尺甲乙四尺爲一根爲阔甲丁六尺爲长戊丁二尺爲纵多甲乙己戊爲一平方戊己丙丁爲二根是甲乙丙丁二十四尺内有甲乙己戊之一平方又有戊己丙丁之二根故云一平方多二根与二十四尺相等也若以积计之则积之多于平方者爲戊己丙丁之二根若以边计之则长多于阔者爲戊丁之二尺故以二根即作二尺爲纵多也此法错综其名则爲四种一平方多二根与二十四尺相等一也如二根多一平方亦必与二十四尺相等又一也若于一平方多二根与二十四尺各减去二根则爲一平方与二十四尺少二根相等此又其一也【甲乙丙丁二十四尺内减去戊己丙丁二根余甲乙己戊一平方故爲一平方与二十四尺少二根相等也】又如一平方多二根与二十四尺各减去一平方则爲二根与二十四尺少一平方相等此又其一也【甲乙丙丁二十四尺内减去甲乙己戊一平方余戊己丙丁二根故爲二根与二十四尺少一平方相等也】此四者名虽不同合而观之总爲眞数比一正方多根数故知其爲较纵而每根之数爲阔也
设如有一平方少四根与四十五尺相等问每一根之数几何
法以四十五尺爲长方积四根爲纵多四尺用带纵较数开平方法算之将积数四因加纵多自乘之数得一百九十六尺开平方得十四尺爲和加较四尺得十八尺折半得九尺爲一根之数即长方之长减较四尺得五尺即长方之阔也如图甲乙丙丁长方形共积四十五尺甲乙九尺爲一根爲长甲丁五尺爲阔甲戊与甲乙等丁戊四尺爲纵甲乙己戊爲一平方丁丙己戊爲四根于甲乙己戊平方内减去丁丙己戊之四根则余甲乙丙丁四十五尺故云一平方少四根与四十五尺相等也若以积计之则积之少于平方者爲丁丙己戊之四根若以边计之则阔少于长者爲丁戊之四尺故以四根作四尺爲纵多也此法错综其名亦爲四种一平方少四根与四十五尺相等一也如一平方少四十五尺亦必与四根相等又一也若于一平方少四根与四十五尺各加四根则爲一平方与四十五尺多四根相等此又其一也【甲乙丙丁四十五尺加丁丙己戊四根成甲乙己戊一平方故爲一平方与四十五尺多四根相等也】如一平方亦必与四根多四十五尺相等此又其一也此四者名虽不同合而观之总爲真数比一正方少根数故知其爲较纵而其每根之数爲长也
设如有一平方多三十六尺与十三根相等问每一根之数几何
法以三十六尺爲长方积十三根爲和十三尺用带纵和数开平方法算之将积数四因与和自乘数相减余二十五尺开平方得五尺爲较与和十三尺相减余八尺折半得四尺爲一根之数即长方之阔加较五尺得九尺即长方之长也如图甲乙丙丁长方形共积三十六尺甲乙四尺爲一根爲阔甲丁九尺爲长甲戊十三尺爲和甲乙己戊爲十三根丁丙己戊爲一平方是甲乙己戊十三根内有甲乙丙丁三十六尺又有丁丙己戊一平方故云一平方多三十六尺与十三根相等也若以积计之则积三十六尺与一平方相加共得甲乙己戊之十三根若以边计之则长九尺与阔四尺相加得甲戊之十三尺故将十三根作十三尺爲和也此法错综其名亦爲四种一平方多三十六尺与十三根相等一也如三十六尺多一平方亦必与十三根相等又一也若于一平方多三十六尺与十三根各减去三十六尺则爲一平方与十三根少三十六尺相等此又其一也【甲乙己戊十三根内减去甲乙丙丁三十六尺余丁丙己戊一平方故云一平方与十三根少三十六尺相等也】又如一平方多三十六尺与十三根各减去一平方则爲三十六尺与十三根少一平方相等此又其一也【甲乙己戊十三根内减去丁丙己戊一平方余甲乙丙丁三十六尺故爲三十六尺与十三根少一平方相等也】此四者名虽不同合而观之总爲眞数比根数少一正方故知其爲和而其毎根之数爲阔也
设如有一平方多三十二尺与十二根相等问每一根之数几何
法以三十二尺爲长方积十二根爲和十二尺用带纵和数开平方法算之将积数四因与和自乘数相减余十六尺开平方得四尺爲较加和十二尺得十六尺折半得八尺爲一根之数即长方之长减较四尺余四尺即长方之阔也如图甲乙丙丁长方形共积三十二尺甲乙八尺爲一根爲长甲丁四尺爲阔甲戊十二尺爲和甲乙己戊爲十二根丁丙己戊爲一平方是甲乙己戊十二根内有甲乙丙丁三十二尺又有丁丙己戊一平方故云一平方多三十二尺与十二根相等也若以积计之则积三十二尺与一平方相加共得甲乙己戊十二根若以边计之则长八尺与阔四尺相加得甲戊之十二尺故以十二根作十二尺爲和也此法亦眞数比根数少一正方故知其爲和而其每根之数爲长也
带纵立方 【三乘方 四乘方 五乘方附】
借根方比例开带纵立方与常法不同常法先知各边之和或较既开得一边之数以和较加减之即得各边之数此法止有根方多少之号而无和纵较纵之名惟求每根之数而不问余边其立法之本意葢欲借根方以求他数既得一根之数则所求之数已得而方之形体有所不计且其与根方相等之积数或爲长方体扁方体形或非长方体扁方体形【或于长方扁方之内少几数或于长方扁方之外多几数则不能成长方扁方体形也】皆不可知故不可以带纵之常法求也【其积数或原爲几根几方之总数而非一长方或一扁方之全数则止可以逐方逐根计之若作一长方或一扁方算则其各边必有奇零不尽而转与所设之根数不合矣】今类其法分爲九种如一立方多几根与几真数等一也一立方少几根与几眞数等二也一立方多几平方
与几真数等三也一立方少几平方与几眞数等四也一立方多几平方多几根与几眞数等五也一立方少几平方少几根与几真数等六也一立方多几平方少几根与几眞数等七也一立方少几平方多几根与几真数等八也又几平方少一立方与几眞数等九也其开之之法除第九种外余俱依立方法定初商复视所带根方爲多号者其商数须取略小于应得之数所带根方数爲少号者其商数须取略大于应得之数俱以初商数自乘再乘爲立方积以初商自乘数与几平方相乘爲所带平方之共积以初商数与几根相乘爲所带根数之共积多号者与立方积相加少号者与立方积相减然后与原积相减不尽者爲次商积次商之法以初商自乘数三因之爲立方廉以初商数倍之与几平方相乘爲所带平方之共廉多号者与立方廉相加少号者与立方
廉相减又加减所带之根数【多根者加少根者减】爲次商廉法以廉法除次商积得次商即合初商自乘再乘爲立方积仍如所带几根几平方加减之而后减原积并与初商同至于第九种之法则将立方与真数俱用平方数除之得一平方少几分立方之一与几眞数等依平方法定初商其商数须取略大于应得之数乃以初商数自乘爲平方积又以初商数再乘爲立方积以平方数除之得数爲少几分立方之一以减平方积而后与原积相减不尽者爲次商积次商之法以初商数倍之爲平方廉又以初商自乘数三因之爲立方廉以平方数除之得数以减平方廉余爲次商廉法以廉法除次商积得次商其减积之法与初商同以上九种如法开之即得每根之数也要之所谓一立方者即一正方体而多平方多根少平方少根即变正方体而爲长方体扁方
体或爲磬折长方体扁方体其积数中有立方则用再乘有平方则用自乘有根则用商数多则相加少则相减九种之中无异术也即推之多乘方莫不皆然总以其累乘之数爲主而以所带根方之积数加减之与立方无二理也爰将立方九种之法各设一例以明其理而三乘四乘五乘之法亦各设二例以附其后焉
设如有一立方多八根与一千八百二十四尺相等问毎一根之数几何
法列原积一千八百二十四尺按立方法作记于四尺上定单位一千尺上定十位其一千尺爲初商积与十尺自乘再乘之数相合即定初商爲十尺书于原积一千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方积又以初商十尺八因之得八十尺爲多八根之共积与一立方积相加得一千零八十尺书于原积之下相减余七百四十四尺爲次商积而以初商之十尺自乘之一百尺三因之得三百尺爲一立方廉加根数八共三百零八尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于原积四尺之上合初商共一十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺爲一立方积又以十二尺八因之得九十六尺爲八根之共积与立方积相加共得一千八百二十四尺书于原积之下相减恰尽是开得一十二尺爲每一根之数也此法以积计之爲一正方体及八根之共数以边计之则所得毎根之数即正方体之毎一边因正方体之外多八根故成一磬折体而非正方体亦非长方体也
设如有一立方少九根与一千六百二十尺相等问毎一根之数几何
法列原积一千六百二十尺按立方法作记于空尺上定单位一千尺上定十位其一千尺爲初商积与十尺自乘再乘之数相合即定初商爲十尺书于原积一千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方积又以初商十尺九因之得九十尺爲少九根之共积与立方积相减余九百一十尺书于原积之下相减余七百一十尺爲次商积而以初商之十尺自乘之一百尺三因之得三百尺爲一立方廉内减去根数九余二百九十一尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于原积空尺之上合初商共十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺爲一立方积又以十二尺九因之得一百零八尺爲少九根之共积与立方积相减余一千六百二十尺书于原积之下相减恰尽是开得一十二尺爲毎一根之数也此法以积计之爲一正方体少九根之数以边计之则所得每根之数即正方体之每一边因正方体内少九根之数故成磬折体而非正方体亦非扁方体也
设如有一立方多四平方与二千三百零四尺相等问每一根之数几何
法列原积二千三百零四尺按立方法作记于四尺上定单位二千尺上定十位其二千尺爲初商积与十尺自乘再乘之数相准即定初商爲十尺书于原积二千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方积又以初商十尺自乘之一百尺四因之得四百尺爲多四平方之共积与立方积相加得一千四百尺书于原积之下相减余九百零四尺爲次商积而以初商之十尺自乘三因之得三百尺爲一立方廉又以初商之十尺倍之得二十尺四因之得八十尺爲四平方廉与一立方廉相加得三百八十尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于原积四尺之上合初商共十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺爲一立方积又以十二尺自乘之一百四十四尺四因之得五百七十六尺爲多四平方之共积与立方积相加共得二千三百零四尺书于原积之下相减恰尽是开得一十二尺爲每一根之数也此法以积计之爲一正方体及四平方之共数以边计之则所得每根之数即正方体之每一边亦即平方之每一边因正方体之外多四平方故成长方体而非正方体也
设如有一立方少八平方与七千九百三十五尺相等问每一根之数几何
法列原积七千九百三十五尺按立方法作记于五尺上定单位七千尺上定十位其七千尺爲初商积与十尺自乘再乘之数相凖应商十尺而所带平方爲少号故取略大之数爲二十尺书于原积七千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方积又以初商二十尺自乘之四百尺八因之得三千二百尺爲少八平方之共积与立方积相减余四千八百尺书于原积之下相减余三千一百三十五尺爲次商积而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺八因之得三百二十尺爲八平方廉与一立方廉相减余八百八十尺爲次商廉法以除次商积足三倍即定次商爲三尺书于原积五尺之上合初商共二十三尺自乘再乘得一万二千一百六十七尺爲一立方积又以二十三尺自乘之五百二十九尺八因之得四千二百三十二尺爲少八平方之共积与一立方积相减余七千九百三十五尺书于原积之下相减恰尽是开得二十三尺爲每一根之数也此法以积计之爲一正方体少八平方之数以边计之则所得每根之数即正方体之每一边亦即平方之每一边因正方体之内少八平方故成扁方体而非正方体也
设如有一立方多十三平方多三十根与二万七千一百四十四尺相等问毎一根之数几何
法列原积二万七千一百四十四尺按立方法作记于四尺上定单位七千尺上定十位其二万七千尺爲初商积与三十自乘再乘之数相合应商三十尺而所带平方与根皆爲多号故取略小之数爲二十尺书于原积七千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方积又以初商二十尺自乘之四百尺十三乘之得五千二百尺爲多十三平方之共积又以初商之二十尺三十乘之得六百尺爲多三十根之共积三积【立方平方与根之三数】相加得一万三千八百尺书于原积之下相减余一万三千三百四十四尺爲次商积而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺以十三乘之得五百二十尺爲十三平方廉与立方廉相加得一千七百二十尺又加根数三十共一千七百五十尺爲次商廉法以除次商积足七倍因取略小之数爲六尺书于原积四尺之上合初商共二十六尺自乘再乘得一万七千五百七十六尺爲一立方积又以二十六尺自乘之六百七十六尺十三乘之得八千七百八十八尺爲多十三平方之共积又以二十六尺三十乘之得七百八十尺爲多三十根之共积三积相加共二万七千一百四十四尺书于原积之下相减恰尽是开得二十六尺爲毎一根之数也此法以积计之爲一正方体及十三平方与三十根之共数以边计之则所得每根之数即正方体之每一边亦即平方之每一边因正方体之外多十三平方又多三十根恰成长方体而非正方体亦非磬折体也【将所多之十三平方内十平方附于正方体之一面又以三平方加于正方体之又一面即成磬折体而缺三十根之数如以三十根补其缺即成长方体其寛即一根爲二十六尺其长即一根多十尺爲三十六尺其高即一根多三尺爲二十九尺也此因所多之平方及根数适足长方体形故爲长方体若平方与根数不能补足者仍爲磬折体也】
设如有一立方少七平方少八根与七千零八十四尺相等问每一根之数几何
法列原积七千零八十四尺按立方法作记于四尺上定单位七千尺上定十位其七千尺爲初商积与十尺自乘再乘之数相凖而所带平方与根皆爲少号故取略大之数爲二十尺书于原积七千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方积又以初商二十尺自乘之四百尺七因之得二千八百尺爲少七平方之共积又以初商之二十尺八因之得一百六十尺爲少八根之共积与少七平方共积相加得二千九百六十尺以减立方积余五千零四十尺书于原积之下相减余二千零四十四尺爲次商积而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺七因之得二百八十尺爲七平方廉与立方廉相减余九百二十尺又减去根数八余九百一十二尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于原积四尺之上合初商共二十二尺自乘再乘得一万零六百四十八尺爲一立方积又以二十二尺自乘之四百八十四尺七因之得三千三百八十八尺爲少七平方之共积又以二十二尺八因之得一百七十六尺爲少八根之共积与少七平方共积相加得三千五百六十四尺以减立方积余七千零八十四尺书于原积之下相减恰尽是开得二十二尺爲每一根之数也此法以积计之爲一正方体少七平方又少八根之数以边计之则所得每根之数即正方体之毎一边亦即平方之每一边因正方体之内少七平方又少八根故成磬折体而非正方体也
设如有一立方多一平方少二十根与三万三千一百五十二尺相等问每一根之数几何
法列原积三万三千一百五十二尺按立方法作记于二尺上定单位三千尺上定十位其三万三千尺爲初商积与三十自乘再乘之数相准即定初商爲三十尺书于原积三千尺之上而以初商三十尺自乘再乘之二万七千尺爲一立方积又以初商三十尺自乘之九百尺爲多一平方积又以初商之三十尺二十乘之得六百尺爲少二十根之共积于立方积内加多一平方积得二万七千九百尺又减去少二十根之共积余二万七千三百尺书于原积之下相减余五千八百五十二尺爲次商积而以初商之三十尺自乘三因之得二千七百尺爲一立方廉又以初商之三十尺倍之得六十尺爲一平方廉与立方廉相加得二千七百六十尺又减去根数二十余二千七百四十尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于原积二尺之上合初商共三十二尺自乘再乘得三万二千七百六十八尺爲一立方积又以三十二尺自乘之一千零二十四尺爲多一平方积又以三十二尺二十乘之得六百四十尺爲少二十根之共积于一立方积内加多一平方积得三万三千七百九十二尺又减去少二十根之共积得三万三千一百五十二尺书于原积之下相减恰尽是开得三十二尺爲每一根之数也此法以积计之爲一正方体多一平方复少二十根之数以边计之则所得每根之数即正方体之每一边亦即平方之每一边因正方体之外多一平方又少二十根故成磬折体而非正方体也
设如有一立方少三平方多二根与一万二千一百四十四尺相等问每一根之数几何
法列原积一万二千一百四十四尺按立方法作记于四尺上定单位二千尺上定十位其一万二千尺爲初商积与二十自乘再乘之数相凖即定初商爲二十尺书于原积二千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方积又以初商二十尺自乘之四百尺三因之得一千二百尺爲少三平方之共积又以初商之二十尺二因之得四十尺爲多二根之共积于立方积内减去少三平方之共积余六千八百尺又加入多二根之共积得六千八百四十尺书于原积之下相减余五千三百零四尺爲次商积而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺三因之得一百二十尺爲三平方廉与立方廉相减余一千零八十尺又加入根数二得一千零八十二尺爲次商廉法以除次商积足四倍即定次商爲四尺书于原积四尺之上合初商共二十四尺自乘再乘得一万三千八百二十四尺爲一立方积又以二十四尺自乘之五百七十六尺三因之得一千七百二十八尺爲少三平方之共积又以二十四尺二因之得四十八尺爲多二根之共积于立方积内减去三平方之共积余一万二千零九十六尺又加入多二根之共积得一万二千一百四十四尺书于原积之下相减恰尽是开得二十四尺爲毎一根之数也此法以积计之爲一正方体少三平方复多二根之数以边计之则所得每根之数即正方体之每一边亦即平方之每一边因正方体之内少三平方又多二根故成磬折体而非正方体也
设如有四十平方少一立方与五千六百二十五尺相等问每一根之数几何
法以四十平方少一立方与五千六百二十五尺俱以四十除之得一平方少四十分立方之一与一百四十尺六十二寸五十分相等乃列一百四十尺六十二寸五十分爲归除所得之积按平方法作记于空尺上定单位一百尺上定十位其一百尺爲初商积与十尺自乘之数相合即定初商爲十尺书于所得积一百尺之上而以初商十尺自乘之一百尺爲一平方积再乘得一千尺爲一立方积以四十除之得二十五尺爲少四十分立方之一之积与一平方积相减余七十五尺书于所得积之下相减余六十五尺六十二寸五十分爲次商积而以初商之一十尺倍之得二十尺爲一平方廉又以初商之十尺自乘三因之得三百尺爲一立方廉以四十除之得七尺五寸爲四十分立方之一之廉与平方廉相减余十二尺五寸爲次商廉法以除次商积足五倍即定次商爲五尺书于所得积空尺之上合初商共十五尺自乘得二百二十五尺爲一平方积再乘得三千三百七十五尺爲一立方积以四十除之得八十四尺三十七寸五十分爲四十分立方之一之积与一平方积相减余一百四十尺六十二寸五十分书于所得积之下相减恰尽乃以一平方积与四十相乘得九千尺爲四十平方积内减去一立方积余五千六百二十五尺与原积相合是开得一十五尺爲每一根之数也此法以积计之爲四十平方少一正方体之数以边计之则所得每根之数即平方之每一边亦即正方体之每一边因四十平方内少十五平方之一正方体【每边爲十五尺故十五平方爲一正方体也】余二十五平方爲长方体【其寛即一根爲十五尺其高亦十五尺其长爲二十五尺也】而非正方体也
设如有五百平方少一立方与二十七万四千一百七十六尺相等问每一根之数几何
法以五百平方少一立方与二十七万四千一百七十六尺俱以五百除之得一平方少五百分立方之一与五百四十八尺三十五寸二十分相等乃列五百四十八尺三十五寸二十分爲归除所得之积按平方法作记于八尺上定单位五百尺上定十位其五百尺爲初商积与二十自乘之数相准即定初商爲二十尺书于所得积五百尺之上而以初商二十尺自乘之四百尺爲一平方积再乘得八千尺爲一立方积以五百除之得十六尺爲少五百分立方之一之积与平方积相减余三百八十四尺书于所得积之下相减余一百六十四尺三十五寸二十分爲次商积而以初商之二十尺倍之得四十尺爲一平方廉又以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉以五百除之得二尺四寸爲五百分立方之一之廉与平方廉相减得三十七尺六寸爲次商廉法以除次商积足四倍即定次商爲四尺书于所得积八尺之上合初商共二十四尺自乘得五百七十六尺爲一平方积再乘得一万三千八百二十四尺爲一立方积以五百除之得二十七尺六十四寸八十分爲少五百分立方之一之积与平方积相减余五百四十八尺三十五寸二十分书于所得积之下相减恰尽乃以一平方积与五百相乘得二十八万八千尺爲五百平方积内减去一立方积余二十七万四千一百七十六尺与原积相合是开得二十四尺爲每一根之数也此法以积计之爲五百平方少一正方体以边计之则所得每根之数即平方之每一边亦即正方体之每一边因五百平方内少二十四平方之一正方体【每边爲二十四尺故二十四平方即一正方体也】余四百七十六平方爲长方体【其寛即一根爲二十四尺其高亦爲二十四尺其长爲四百七十六尺也】而非正方体也
设如有一三乘方多二平方与二万一千零二十四尺相等问每一根之数几何
法列原积二万一千零二十四尺按三乘方法作记于四尺上定单位二万尺上定十位其二万尺爲初商积与十尺乘三次之数相准即定初商爲十尺书于原积二万尺之上而以初商十尺乘三次之一万尺爲一三乘方积又以初商十尺自乘之一百尺二因之得二百尺爲多二平方之共积与三乘方积相加得一万零二百尺书于原积之下相减余一万零八百二十四尺爲次商积而以初商之十尺再乘四因之得四千尺爲三乘方廉又以初商之十尺倍之得二十尺二因之得四十尺爲多二平方之廉与三乘方廉相加得四千零四十尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于原积四尺之上合初商共十二尺乘三次得二万零七百三十六尺爲一三乘方积又以十二尺自乘之一百四十四尺二因之得二百八十八尺爲多二平方之共积与三乘方积相加得二万一千零二十四尺书于原积之下相减恰尽是开得一十二尺爲每一根之数也