御制数理精蕴卷一十
两几何分之为比例等则合之为比例亦等
解曰甲丁丁乙与丙己己戊两分几何其
甲丁与丁乙若丙己与己戊题言合之甲乙与丁乙若丙戊与己戊也
十九题【其糸为转理】
两几何各截取一分其所截取之比例与两全之比例等则分余之比例与两全之比例亦等
解曰甲乙丙丁两几何其甲乙全与丙丁
全之比例若截取之甲戊与丙己题言分余戊乙与己丁之比例亦若甲乙与丙丁
糸从此题可推界説十六之转理如上甲乙与戊乙若丙丁与己丁即转推甲乙与甲戊若丙丁与丙己
二十题
有三几何又有三几何相为连比例而第一几何大于第三则第四亦大于第六第一或等或小于第三则第四亦等亦小于第六
解曰甲乙丙三几何丁戊己三几何其甲与乙若丁与戊乙与丙若戊与己题言若甲大于丙丁亦大于己若甲等于
丙丁亦等于己若甲小于丙丁亦小于己
二十一题
有三几何又有三几何相为连比例而错以平理推之若第一大于第三则第四亦大于第六若第一或等或小于第三则第四亦等亦小于第六
解曰甲乙丙三几何丁戊己三几何相为连比例不序不序者甲与乙若戊与
己乙与丙若丁与戊以平理推之若甲大于丙题言丁亦大于己
论曰甲既大于丙即甲与乙大于丙与乙【本巻八】而甲与乙若戊与己即戊与己亦大于丙与乙也又乙与丙既若丁与戊反之即丙与乙亦若戊与丁也【本巻四】则戊与己大于戊与丁是丁大于己也次解曰若甲等于丙题言丁亦等于己论曰甲丙既等即甲与乙若丙与乙【本巻】
【七】而甲与乙若戊与己即丙与乙亦若戊与己也又乙与丙既若丁与戊反之即丙与乙亦若戊与丁也【本巻四】则戊与己若戊与丁是丁己等也后解曰若甲小于丙题言丁亦小于己论曰甲既小于丙即甲与乙小于丙与
乙【本巻八】而甲与乙若戊与己即戊与己亦小于丙与乙也又乙与丙既若丁与戊反之即丙与乙若戊与丁【本巻四】则戊与己小于戊与丁是丁小于己也
二十二题【平理之序】
有若干几何又有若干几何其数等相为连比例则以平理推之
解曰有若干几何甲乙丙又有若干几何丁戊己而甲与乙若丁与戊乙
与丙若戊与己题言以平理推之甲与丙若丁与己如更有庚辛二几何其丙与庚若己与辛依显甲与庚亦若丁与辛【四以上仿此】
二十三题【平理之错】
若干几何又若干几何其数等相为连比例而错亦以平理推
解曰甲乙丙若干几何丁戊己若干几何相为连比理而错者其甲与乙
若戊与己乙与丙若丁与戊题言以平理推之甲与丙亦若丁与己如更有庚辛两几何其戊与辛若甲与丙丙与庚若丁与戊即以甲丙庚作三几何丁戊辛作三几何相为连比例而错则甲与庚亦若丁与辛【四以上仿此】
耕曰以数明之甲设十八乙设九丙设六丁设四十八戊设三十二己设十六甲与丙若丁与己其故何也盖甲与乙若六与三
乙与丙若三与二则甲与丙若六与二矣又丁与戊若六与四戊与己若四与二则丁与己亦若六与二矣两前两后俱若六与二故比例等也庚辛两几何亦依此推显
二十四题
凡第一与二之比例若第三与四而第五与二之比例若第六与四则第一第五并与二之比例若第三第六并与四
解曰一甲乙与二丙若三丁戊与四己而五乙庚与二丙若六戊辛与四己题言一
甲乙五乙庚并与二丙若三丁戊六戊辛并与四己
増题此两几何与彼两几何比例等于此两几何毎截取一分其截取两几何与彼两几何比例等则分余两几何与彼两几何比例亦等【此増与六题大同但六题言几倍此不言倍其意稍广矣】
二十五题
四几何为断比例则最大与最小两几何并大于余两几何并
解曰甲乙与丙丁若戊与己甲乙最大己最小题言甲乙己并大于丙丁戊并
论曰试于甲乙截取甲庚与戊等于丙丁截取丙辛与己等甲庚丙辛既等于戊己其比例必若甲乙与丙丁也夫甲乙与丙丁既若甲庚与丙辛即亦若分余之庚乙与辛丁也【本巻十九】而甲乙最大必大于丙丁即庚乙亦大于辛丁矣若于戊加等己之丙辛于己加等戊之甲庚两率必等而又加不等之庚乙辛丁则甲乙己并岂不大于丙丁戊并二十六题
第一与二之比例大于第三与四反之则第二与一之比例小于第四与三
解曰一甲与二乙之比例大于三丙与四丁题言反之二乙与一甲之比例小于四
丁与三丙
二十七题
第一与二之比例大于第三与四更之则第一与三之比例亦大于第二与四
解曰一甲与二乙大于三丙与四丁题言之则一甲与三丙亦大于二乙与四丁
论曰试作戊与乙之比例若丙与丁即甲与乙大于戊与乙是甲大于戊则甲与丙必大于戊与丙矣夫戊与乙既若丙与丁更之则戊与丙亦若乙与丁则甲与丙大于乙与丁
二十八题
第一与二之比例大于第三与四合之则第一第二并与二之比例亦大于第三第四并与第四
解曰一甲乙与二乙丙大于三丁戊与四戊己题言合之则甲丙与乙丙亦大于丁
己与戊己
论曰试作庚乙与乙丙之比例若丁戊与戊己即甲乙与乙丙大于庚乙与乙丙是甲乙大于庚乙矣此两率毎加一乙丙即甲丙亦大于庚丙甲丙与乙丙大于庚丙与乙丙即大于丁己与戊己二十九题
第一合第二与二之比例大于第三合第四与四分之则第一与第二之比例亦大于第三与四
解曰甲丙与乙丙大于丁己与戊己题言
分之则甲乙与乙丙亦大于丁戊与戊己【论同前】三十题
第一合第二与二之比例大于第三合第四与四转之则第一合第二与一之比例小于第三合第四与三
解曰甲丙与乙丙大于丁己与戊己题言转之则甲丙与甲乙小于丁己与丁戊
耕曰甲丙与乙丙若四与一丁己与戊己若三与一则四与一大于三与一矣甲乙与乙丙若三与一丁戊与戊己若二与一则三与一大于二与一矣甲丙与甲乙若四与三丁己与丁戊若三与二则四与三小于三与二矣
三十一题
此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第一与二此第二与三之比例大于彼第二与三如是序者以平理推则此第一与三之比例亦大于彼第一与三
解曰甲乙丙此三几何丁戊己彼三几何而甲与乙大于丁与戊乙与丙大于戊与己如是序者题言以平理推则甲与丙亦大
于丁与己
三十二题
此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第二与三此第二与三之比例大于彼第一与二如是错者以平理推则此第一与三之比例亦大于彼第一与三
解曰甲乙内此三几何丁戊己彼三几何而甲与乙大于戊与己乙与丙大于丁与戊如是错者题言以平理推则甲与丙亦大于丁与己
论曰试作庚与丙之比例若丁与戊即乙与丙大于庚与丙而乙几何大于庚【本巻十】
是甲与小庚大于甲与大乙矣【本巻八】夫甲与乙既大于戊与己即甲与庚更大于戊与己也次作辛与庚之比例若戊与己即甲与庚亦大于辛与庚而甲几何大于辛【本巻十】是大甲与丙大于小辛与丙矣【本巻八】夫辛与丙以平理推之若丁与己也【本巻二三】则甲与丙大于丁与己
三十三题
此全与彼全之比例大于此全截分与彼全截分之比例则此全分余与彼全分余之比例大于此全与彼全之比例
解曰甲乙全与丙丁全大于两截分甲戊
与丙己题言两分余戊乙与己丁大于甲乙与丙丁
论曰甲乙与丙丁既大于甲戊与丙己更之即甲乙与甲戊亦大于丙丁与丙己也【本巻二七】又转之甲乙与戊乙小于丙丁与己丁也【本卷三十】又更之甲乙与丙丁小于戊乙与己丁也【本巻二七】若两全之比例小于截分则分余之比例必小于两全
三十四题
若干几何又有若干几何其数等而此第一与彼第一之比例大于此第二与彼第二此第二与彼第二之比例大于此第三与彼第三以后俱如是则此并与彼并之比例大于此末与彼末亦大于此并减第一与彼并减第一而小于此第一与彼第一
解曰甲乙丙三几何又丁戊己三几何其甲与丁大于乙与戊乙与戊大于丙与己题先言甲乙丙并与丁戊己并大
于丙与己次言亦大于乙丙并与戊己并后言小
于甲与丁
论曰甲与丁既大于乙与戊更之即甲与乙大于丁与戊也【本巻二七】又合之甲乙并与乙大于丁戊并与戊也【本巻二八】又更之甲乙并与丁戊并大于乙与戊也【本巻二七】是甲乙全与丁戊
全大于减并乙与减并戊也既尔即减余甲与减余丁大于甲乙全与丁戊全也【本巻三三】依显乙与戊亦大于乙丙全与戊己全即甲与丁更大于乙丙全与戊己全也又更之甲与乙丙并大于丁与戊己并也【本巻二七】又合之甲乙丙全与乙丙并大于丁戊己全与戊己并也【本巻二八】又更之甲乙丙全与丁戊己全大于乙丙并与戊己并也【本巻二七】则得次解也又甲乙丙全与丁戊己全既大于减并乙丙与减并戊己即减余甲与减余丁大于甲乙丙全与丁戊己全也【本巻三三】则得后解也又乙与戊既大于丙与己更之即乙与丙大于戊与己也【本巻二七】又合之乙丙全与丙大于戊己全与己也【本巻二八】又更之乙丙并与戊己并大于丙与己也【本巻二七】而甲乙丙并与丁戊己并既大于乙丙并与戊己并即更大于末丙与末己也则得先解也若两率各有四几何而丙与己亦大于庚与辛即与前论同理依上论乙与戊大于乙丙庚并与戊己辛并即甲与丁更大于乙丙庚并与戊己辛并也更之即甲与乙丙庚并大于丁与戊巴辛并也【本巻十八】又合之甲乙丙庚全与乙丙庚并大于丁戊己辛全与戊
己辛并也又更之甲乙丙庚全与丁戊己辛全大于乙丙庚并与戊己辛并也【本巻二七】则得次解也又甲乙丙庚全与丁戊己辛全既大于减并乙丙庚与减并戊己辛即减余甲与减余丁大于甲乙丙庚全与丁戊己辛全也【本巻三二】则得后解也又依前论显乙丙庚并与戊己辛并既大于庚与辛而甲乙丙庚全与丁戊己辛全大于乙丙庚并与戊己辛并即更大于末庚与末辛也则得先解也自五以上俱仿此
几何论约巻五
钦定四库全书
几何论约巻六之首
柘城杜知耕撰
界説六则
一界凡形相当之各角等而各等角旁两线之比例俱等为相似之形如两角形之甲乙丙三角与丁戊己三角俱等其甲角旁之
甲乙与甲丙若丁角旁之丁戊与丁己余两等角旁之各两线其比例俱等则两角形为相似之形依显平边角形皆相似之形
二界两形之各两邉线互为前后率相与为比例而等为互相视之形如两方形之甲乙与戊己若己庚与乙丙而彼此互为前后率则此两形为互相视之形依显两角形之壬子与丑寅若丑卯与壬癸则两
形亦为互相视之形
三界理分中末线一线两分之其全与大分之比例若大分与小分【此线为用甚广至量体尤所必需古人目为神分线也】
四界度各形之髙皆以垂线之亘为度如甲乙丙角形作甲丁垂线即甲丁为甲乙丙角形之髙度
五界比例以比例相结以各比例不同理而相聚为一比例则用相结之法借象之术合各比例之命数求首尾一比例之命数也曷为相结如甲乙丙三几何甲二倍于乙乙三倍于丙而求甲与丙之比例则以二倍乗三倍得甲六倍
于丙也若丙为第一甲为第三亦以二乗三得丙反六倍于甲也若四率则先以前三率之两比例结为一比例复与第三比例相结也若五率则以第一第二第三率之两比例相结以第三第四第五率之两比例相结又以此所结之两比例乗除相结而为一比例也自六以上仿此曷谓借象如前所説三几何二比例皆以中率为关纽畧如连比例之同用一中率也有不同理二比例而异中率者是不同理之断比例也无法可结当别立三几何二比例而同中率【以中率当第二又当第三】乗除相结依仿求之如所设几何十六为首十二为尾却云十六与十二之比例若八与三及二与四之比例八为前之前四为后之后三与二为前之后后之前所谓异中率也欲乗除相结无法可通矣用是别立三几何则三其八得二十四为前三其三得九为前之后即以九为后之前以求九与何数若二与四得十八为后其二十四与九若八与三也九与十八若二与四也则十六与十二若二十四与十八也三比例以上仿此逓结之
六界平行方形不满一线为形小于线若形有余线不足为形大于线如甲丁形不满甲乙线而丙乙半线上无形即作甲己满甲乙线上方
形则甲丁为依甲乙线之有阙方形而丙己为甲丁之阙形又甲丙线上作甲己形其甲乙邉大于元设甲丙线之较为丙乙而甲己形大于甲丙线上之甲丁形则甲己为依甲丙线之余方形而丙己形为甲己之余形
钦定四库全书
几何论约巻六
柘城杜知耕撰
一题
等髙之角形方形自相为比例与其底之比例等解曰甲乙丙丁戊己两角形乙辛戊庚两方形等髙其底乙丙戊己题言甲乙丙与丁戊己乙辛与戊庚皆若乙丙与戊己之比例
増题凡两角形两方形等底自相为比例与其髙之比例等
耕曰即前圗以髙为底以底为髙其理自明二题
三角形任依一邉作平行线即此线分两余邉为比例必等三角形内有一线分两邉为比例而等即此线与余邉为平行
解曰甲乙丙角形内作丁戊与乙丙平行题言丁戊分甲乙于丁分甲丙于戊其甲丁与
丁乙之比例若甲戊与戊丙也又言甲丁与丁乙甲戊与戊丙为比例而等则丁戊乙丙必平行论曰试作丁丙戊乙两线其丁戊乙丁戊丙两形同丁戊底又在平行线内即等【一巻三七】而甲戊丁与丁戊乙两形之比例若甲戊丁与丁戊丙矣【五巻七】夫甲戊丁与丁戊乙亦同在平行线内则甲戊丁与丁戊乙两形之比例必若甲丁丁乙两底也【本巻一】依显甲戊与戊丙两底之比例亦若甲戊丁与丁戊丙两形也是甲丁与丁乙亦若甲戊与戊丙矣【五巻十】
三题
三角形以一直线任分一角为两平分分对角边为两分则两分之比例若余两邉三角形分角线所分对角邉之比例若余两邉则所分角为两平分解曰甲乙丙角形以甲丁线平分乙甲丙角题言乙丁与丁丙若乙甲与甲丙又言乙丁与丁丙若乙甲与甲丙则甲丁线分乙甲丙角必
为两平分
论曰试作乙戊与甲丁平行次引长丙甲线至戊其甲乙戊与乙甲丁相对两角必等外角丁甲丙与内角戊亦等【一巻二九】今乙甲丁与丁甲丙又等即甲乙戊角与戊角亦等而甲戊与甲乙两腰亦等矣【一巻六】则戊甲与甲丙必若乙甲与甲丙夫戊甲与甲丙又若乙丁与丁丙【本巻二】是乙甲与甲丙若乙丁与丁丙矣
四题
凡等角三角形其在等角旁之各两腰相与为比例必等而对等角之邉为相似邉
解曰甲乙丙丁丙戊两形相当之各角俱等题言甲乙与乙丙之比例若丁丙与丙戊甲乙与甲丙若丁丙与丁戊甲丙与乙丙若丁
戊与丙戊而毎对等角之邉各相似相似者谓各前各后率各对本形之相当角
论曰试并置两形令两底成一直线次引长乙甲戊丁两线相遇于己成乙己戊形其甲丙与己戊平行则戊丙与丙乙若己甲与甲乙即若等己甲之丁丙与甲乙也更之甲乙与乙
丙若丁丙与丙戊也又丁丙与己乙平行则乙丙与丙戊若己丁与丁戊即若等己丁之甲丙与丁戊也更之即乙丙与甲丙若丙戊与丁戊也依显甲乙与甲丙亦若丁丙与丁戊也
糸凡角形内之直线与一邉平行而截一分为角形必与全形相似如甲乙丙角形作丁戊直线与乙丙平行而截一分为甲丁戊形必与
甲乙丙全形相似
増题凡角形之内任依乙丙邉作丁戊平行线于乙丙邉任取己防向甲角作甲己直线分丁戊于庚则乙己与己丙之比例必若丁庚与
庚戊
论曰甲巳乙甲庚丁两角形既相似即甲己与己乙若甲庚与庚丁也更之即甲己与甲庚若己乙与庚丁也【五巻十六】依显甲己与甲庚若己丙与庚戊则乙己与丁庚亦若己丙与庚戊也【五巻十一】更之即乙己与己丙若丁庚与庚戊也【五巻十六】
五题
两三角形其各两邉之比例等即两形为等角形而对各相似邉之角各等
解曰甲乙丙丁戊己两角形其甲乙与乙丙若丁戊与戊己乙丙与甲丙若戊
己与丁己甲丙与甲乙若丁己与丁戊题言此两形为等角形而对各相似邉之角甲与丁乙与戊丙与己各等【论同前题】
六题
两三角形之一角等而等角旁之各两邉比例等即两形为等角形而对各相似邉之角各等
解曰甲乙丙丁戊己两角形其乙与戊两角等而甲乙与乙丙若丁戊与戊己
题言余角丙与己甲与丁俱等【论同四题】
七题
两三角形第一角等第二相当角各两旁之邉比例等第三相当角或俱小于直角或俱不小于直角即两形为等角形而对各相似邉之角各等
解曰甲乙丙丁戊己两角形其第一甲角与丁角等第二丙角两旁之甲丙乙丙两邉偕相当己角两旁之丁己戊己两邉比例
等其第三相当角乙与戊或俱小于直角或俱不小于直角题言两形之丙与己乙与戊角俱等八题
直角三邉形从直角向对邉作一垂线分本形为两直角三邉形即两形皆与全形相似亦自相似解曰甲乙丙直角三邉形从直角作甲丁垂线题言所分甲丁丙甲丁乙两形皆与全形
相似亦自相似
论曰甲乙丙甲丁丙两形既各以乙甲丙甲丁丙为直角而丙角又同其余一角必等而两形为等角形等角旁之各两邉比例必等依显甲丁乙与甲乙丙全形亦相似夫两形既各与全形相似即两形亦自相似
糸从直角作垂线即此线为两分对邉线比例之中率而直角旁两邉各为对角全邉与同方分邉比例之中率何者丙丁与甲丁若甲丁与乙丁也故甲丁为丙丁乙丁之中率又乙丙与丙甲若丙甲与丙丁也故丙甲为乙丙丙丁之中率又乙丙与乙甲若乙甲与乙丁也故乙甲为乙丙乙丁之中率
九题
一直线求截所取之分
法曰甲乙直线或截取三分之一先从甲任作甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作所命分之平度如甲丁戊己为三分次
作己乙直线末作丁庚与己乙平行即甲庚为甲乙三分之一
论曰丁庚既与己乙平行即己丁与丁甲若乙庚与庚甲合之己甲与甲丁若乙甲与庚甲也甲丁既为己甲三之一则庚甲亦乙甲三之一矣十题
一直线求截各分如所设之截分
法曰甲乙线求截各分如所设甲丁戊丙之比例先以甲乙甲丙相聨成丙甲乙角次作丙乙线相聨末从丁从戊作丁己戊庚两线皆与丙乙平行即分甲乙线于己于庚若甲丙之甲丁丁戊戊丙也
从此题作一用法甲乙直线求平分若干分即从甲任作甲丙为若干平分余同前
又简法如甲乙线求五平分即从乙任作丙乙线为丙乙甲角次任作丁戊与甲乙平行次从丁向戊任作五平分为丁己庚辛壬癸令丁癸小于甲乙次从甲过癸作甲子线
遇乙丙于子末从子作子壬子辛子庚子己四线各引至甲乙线为丑寅卯辰五平分
又简法如甲乙线求五平分即从甲从乙作甲丁乙丙两平行线次从乙任作戊己庚辛四平分即用元度从甲作壬癸子丑四平分末作戊丑己子庚癸辛壬四线即分甲乙
于己辰卯寅为五平分
又用法先作一器如丙丁戊己任平分为若干格今欲分甲乙线为五平分即取甲乙之度一端抵
戊丙线一端抵庚辛线如甲乙大于戊庚即渐移之令合线若至壬即戊壬之分为甲乙之分
増题有直线求两分之而两分之比例若所设两线之比例【法同前】
又増题甲乙丙丁两线各三分于戊己于庚辛其甲戊与戊乙若丙庚与庚丁甲己与己乙若丙辛与辛丁也即中率戊己庚辛各与前后率为比例亦等谓甲戊与戊己若丙庚与庚辛己乙与戊己
若辛丁与庚辛也
论曰试聨甲于丙作乙甲丁角次作丁乙辛己庚戊三线相聨其甲戊与戊乙
既若丙庚与庚丁即庚戊与丁乙平行甲己与己乙既若丙辛与辛丁即辛己与丁乙平行而庚戊与辛己亦平行故甲戊与戊己若丙庚与庚辛也己乙与戊己亦若辛丁与庚辛也
十一题
两直线求别作一线相与为连比例
法曰甲乙甲丙两线求别作一线相与为连比例谓甲乙与甲丙若甲丙与所求线也先
合两线作丙甲乙角以丙乙线聨之次引长甲乙线至丁令乙丁与甲丙等次作丁戊线与丙乙平行末引长甲丙线遇丁戊于戊即丙戊为所求论曰丙乙既与戊丁平行即甲乙与乙丁若甲丙与丙戊也而乙丁甲丙元等即甲乙与甲丙若甲丙与丙戊也【五巻七】
注曰别有一法以甲乙乙丙两线列作甲乙丙直角以甲丙聨之次引长甲乙线末从丙作丙丁为甲丙之垂线遇引长线于丁即乙丁为
所求
论曰甲丙丁既是直角而丙乙垂线即为甲乙乙丁之中率则甲乙与乙丙若乙丙与乙丁也【本卷八之糸】
十二题
三直线求别作一线相与为断比例
解曰甲乙乙丙甲丁三线求别作一线相与为断比例谓甲丁与所求线若甲乙与乙丙也先以甲乙乙丙为一直线次以甲丁线合甲丙
任作甲角次作丁乙相聨次作丙戊与丁乙平行末引长甲丁遇丙戊于戊即丁戊为所求
论曰丁乙既与丙戊平行即甲丁与丁戊若甲乙与乙丙【本巻二】
十三题
两直线求别作一线为连比例之中率
法曰甲乙乙丙两线求别作一线为中率谓甲乙与所求线若所求线与乙丙也先并两线成一直线而平分于戊即以戊为心甲作界作
甲丁丙半圜末从乙至界作乙丁垂线即乙丁为所求
论曰试作甲丁丁丙两线成甲丁丙直角形【三巻三十】而丁乙垂线为对邉两分线之中率【本巻八之糸】注曰依此题可推凡半圜内之垂线皆为两分径线之中率何者半圜之内从垂线作角皆直角故也【三巻三】
増题有甲乙甲丙两线甲乙大于甲丙二倍以上求两分甲乙而以甲丙为中率先以甲乙甲丙聨为直角平分甲乙于丁即以丁为心甲
为界作甲戊乙半圜次自丙作丙戊与甲乙平行遇圜界于戊末从戊作戊己垂线而分甲乙于己即甲丙为甲己己乙之中率何者戊己既半圜内垂线即为两分径线之中率而甲丙与戊己等故为甲己己乙之中率
十四题
两平行方形等一角又等即等角旁之两邉为互相视之邉两平行方形之一角等而等角旁两邉为互相视之邉即两形等
解曰辛乙乙己两方形等【谓其容等】甲乙丙戊乙庚两角又等题言此两角旁之各两邉为互相视之邉谓甲乙与乙庚若戊乙与乙丙也又言等角旁之各两邉为互相视
则辛乙乙己两形必等
论曰试以两等角相聨于乙令甲乙乙庚成一直线而戊乙乙丙亦一直线【一巻十五増】次引长辛丙己庚遇于丁辛乙乙己两形既等即辛乙与乙丁若乙己与乙丁也而辛乙与乙丁两形等髙即两形之比例若其底甲乙与乙庚也【本巻一】依显乙己与乙丁等髙两形亦若其底戊乙与乙丙也则甲乙与乙庚亦若戊乙与乙丙也
十五题
相等两三角形之一角等即等角旁之各两邉互相视两三角形之一角等而等角旁之各两邉互相视即两三角形等
解曰甲乙丙丁乙戊两角形等两乙角又等题言等角旁之各两邉互相视谓甲乙与乙
戊若乙丁与乙丙也又言等角旁之各两邉为互相视则甲乙丙丁乙戊两角形必等
论曰试以两等角相聨于乙令甲乙乙戊成一直线而丁乙乙丙亦一直线【一巻十五増】次作丙戊相聨甲乙丙丁乙戊两形既等即甲乙丙与丙乙戊之比例若丁乙戊与丙乙戊矣夫甲乙丙与丙乙戊两等髙形之比例若其底甲乙与乙戊也而丁己戊与丙乙戊两等髙形之比例亦若其底丁乙与乙丙也是甲乙与乙戊若丁乙与乙丙
十六题
四直线为断比例即首尾两线矩内形与中两线矩内形等首尾两线矩内形与中两线矩内形等即四线为断比例
解曰甲乙己庚戊己乙丙四线为断比例谓甲乙与己庚若戊己与乙丙也题言甲乙乙丙矩内甲丙形与己庚戊己矩内戊庚形等又言两矩内形等则甲
乙与己庚必若戊己与乙丙也
论曰两形之乙与己两角既等而等角旁之两邉又互相视则两形必相等【本巻十四 若平行斜方形而等角亦同此论】十七题
三直线为连比例即首尾两线矩内形与中线上直角方形等首尾两线矩内形与中线上直角方形等即三线为连比例
解曰甲乙戊己乙丙三线为连比例谓甲乙与戊己若戊己与乙丙也题言甲乙乙丙矩内甲丙形与戊己上戊庚方形等又言甲乙乙丙矩内形与戊己上
方形等则甲乙与戊己必若戊己与乙丙也论曰试作己庚线与戊己等即戊己己庚两线矩内形与甲乙乙丙两线矩内形等【本巻十六 若平行斜方形而等角亦同此论】
糸凡直线上方形与他两线矩内形等即此线为他两线之中率
十八题
直线上求作直线形与所设直线形相似而体势等法曰甲乙线上求作直线形与所设丙丁戊己庚形相似而体势等先于
设形任从一角向对角作直线分本形为若干角形如上形即分为角形三次于元线上作甲壬乙角形与丙己丁角形等次作乙壬辛甲壬癸两角形与丁己戊丙己庚两角形等则甲乙辛壬癸与所设形相似而体势等凡设多角形俱仿此増简法如设甲乙丙丁戊直线形求于癸线上作一形与所设形相似而体势等先于甲角旁之甲乙甲戊引长之为甲己甲壬次从甲向各角作直线为甲庚甲辛次
于甲乙线上截取甲己与癸线等末从己作己庚与乙丙平行作庚辛辛壬与丙丁丁戊各平行即所求
十九题
相似三角形之比例为其相似邉再加之比例解曰甲乙丙丁戊己两角形其相当之角各等而甲乙与乙丙若丁戊与戊己题言两形之比例为乙丙与戊己再加之比
例
论曰若两形等则为相同之比例即再加仍相同之比例若乙丙大于戊己邉即于乙丙截乙庚令乙丙与戊己若戊己与乙庚也次作甲庚线其甲乙与乙丙若丁戊与戊己更之即甲乙与丁戊若乙丙与戊己也亦若戊己与乙庚也夫甲乙庚与丁戊己两形有乙戊两角等而各两邉又互相视即两形等【本巻十五】又甲乙丙与甲乙庚等髙两形之比例若其底乙丙与乙庚即甲乙丙与丁戊己两形之比例亦若乙丙与乙庚矣乙丙己戊乙庚三线既为连比例则乙丙与乙庚为乙丙与戊己再加之比例
糸依本题可显凡三线为连比例即第一甲线上角形与第二乙线上角形之比例若第一甲线与第三丙线也第二乙线上角形与第三丙线上角形之比例亦若第一甲线与
第三丙线也皆再加之比例故也
二十题
以三角形分相似多邉形则分数必等而相当各三角形各相似其各相似两三角形之比例若两元形其元形之比例为两相似邉再加之比例
先解曰此甲乙丙丁戊彼己庚辛壬癸两多邉形其相当各角俱等而等
角旁各两邉之比例各等题言各以角形分之其角形之分数必等而相当之各角各相似
次解曰各相当角形之比例若两元形
论曰此角形之比例既若彼角形则此各角形并必若彼各角形并是此全形若彼全形矣
后解曰两元形之比例为两相似邉再加之比例论曰两分形之比例既若两元形而两分形之比例为两相似邉再加之比例则两元形亦为相似邉再加之比例
増题甲直线倍大于乙直线则甲直线上方形与乙直线上方形为四倍大之比例若甲方形与乙方形为四倍大之比例则甲线必倍大于乙线何者相似两形之比例为
其邉再加之比例故也
糸依此题可显三直线为连比例则第一线上多邉形与第二线上相似多邉形若第一线与第三线之比例
二十一题
两直线形各与他直线形相似则两形自相似
二十二题
四直线为断比例则两比例线上各任作自相似之直线形亦为断比例两比例线上各任作自相似之直线形为断比例则四直线亦为断比例
解曰甲乙丙丁戊己庚辛四线为断比例谓甲乙与丙丁若戊己与庚辛也于甲乙丙丁线上任作两角形于戊己庚辛线上任作两方形题言四形亦为断比例谓甲
乙壬与丙丁癸若戊丑与庚卯又言若四形为断比例则甲乙丙丁戊己庚辛四线亦为断例何者角形与角形方形与方形皆为其相似邉再加之比例故也
二十三题
等角两平行方形之比例以两形之各两邉两比例相结
解曰甲丙丙己两平行方形两丙角等题言两形之比例以各等角旁各两邉之比例相结者谓两比例之前率在此形两比例之后率在彼形如甲丙与丙己之比例以乙丙与丙庚偕丁丙与丙戊相结也或以乙丙
与丙戊偕丁丙与丙庚相结也
论曰试以两等角相聨令乙丙丙庚丁丙丙戊各成直线次引长甲丁己庚遇于辛次任作一壬线次以乙丙丙庚壬三线求断比例之末率线为癸【本巻十二】末以丁丙丙戊癸三线求断比例之末率线为子其甲丙丙辛两形等髙既若乙丙丙庚两底即若壬与癸也依显丙辛丙己两形亦若癸与子也平之即丙甲与丙己若壬与子也【五巻二十】若以乙丙与丙戊偕丁丙
与丙庚相结以乙丙丙戊聨成一线依上推显注曰乙丙与丙庚丁丙与丙戊二比例既不同理又异中率故借壬与癸癸与子同中率而不同理之两比例以为象令相象之丙庚丁丙亦化两率为一率为乙丙丙戊首尾两率之枢纽因以两比例相结所以通比例之穷也自三以上仿此二十四题
平行方形之两角线形自相似亦与全形相似
解曰甲乙丙丁平行方形作甲丙对角线任作戊己庚辛两线与丁丙乙丙平行交角线于壬题言戊庚己辛两角线方形自
相似亦与全形相似
二十五题
两直线形求作他直线形与一形相似与一形相等法曰甲乙两直线形求作一形与甲相似与乙相等先于甲邉丙丁上作丙戊方形与甲等【一巻四四四五】次依丁戊邉作丁辛方形与乙等次作一壬癸线为丙丁丁庚之中率【本巻十二】末于壬癸作子形与甲
相似即与乙相等
论曰丙丁壬癸丁庚三线既为连比例则一丙丁与三丁庚若一丙丁上之甲与二壬癸之上之子相似两形
之比例又若丙戊与丁辛等髙两形之比例则丙戊与丁辛若甲与子矣夫丙戊丁辛元若甲与乙今又若甲与子是乙与子等也
二十六题
平行方形之内减去一平行方形其减形与元形相似而体势等又一角同则减形必依元形之对角线解曰乙丁平行方形内减戊己平行方形元形与减形相似而体势等又同甲角题
言戊己形必依乙丁形之对角线
二十七题
凡依直线之有阙平行方形不满线者其阙形与半线之上阙形相似而体势等则半线上似阙形之有阙依形必大于此有阙依形
解曰甲乙线平分于丙于甲丙半线上任作甲丁形为甲丙半线上有阙依形次作甲戊满元线形而丙戊为丙乙半线上阙形次作丁乙角线末任作己壬癸子两线与甲乙乙戊平行交角线于庚即得甲庚为甲乙
线上有阙依形而癸壬为阙形癸壬阙形既依乙丁角线则与丙戊阙形相似而体势等题言甲丁有阙依形必大于甲庚有阙依形
论曰己丁丁壬两形同髙等底即两形等【一巻三六】而庚戊为丁壬之分则丁壬大于庚戊较余一庚丁形其大于丙庚亦如之【丙庚庚戊两余方相等故】即等丁壬之己丁形大于丙庚亦较余一庚丁形也次毎加一丙己形则甲丁必大于甲庚矣
又解曰若庚防在丙戊形之外即引乙丁角线至庚作辛丑与癸戊平行次引甲癸乙癸聨之末作庚己与辛甲平行
得甲庚为甲乙线上有阙依形而己丑为阙形与丙戊阙形相似而体势等题言甲丁有阙依形亦大于甲庚有阙依形
论曰试引丙丁线至子即辛子子丑两线等而辛丁丁丑两形亦等其丁丑己丁两余方亦等即己丁与辛丁亦等夫辛丁大于辛壬既较余一庚丁形则己丁之大于辛壬亦较余一庚丁形也此两率毎加一甲壬形则甲丁大于甲庚者亦较余一庚丁形矣依显不论庚防在丙戊形内形外凡依角线作阙形而与丙戊相似者其有阙依形俱小于甲丁以必有庚丁之较故也
二十八题
一直线求作依线之有阙方形与所设直线形等而其阙形与所设方形相似其所设直线形不大于半线上所作方形与所设方形相似者
法曰甲乙线求作依线之有阙方形与丙等而其阙形与丁相似先平分甲乙于戊次于戊乙半线上作戊庚形与丁相似次作甲庚满线形若甲己形与丙等即得所求矣若甲己大于丙【若甲己小于丙即不
可作】即等甲己之戊庚亦大于丙也
则求戊庚大于丙之较为壬【一巻四五
増】即作癸丑形与壬等而与戊庚
相似次截取己巳己卯与癸子癸
寅等而作己卯方形必与癸丑相等相似而又与戊庚相似次引己辰抵元线又引卯辰两端作午未线即甲辰为甲乙线上有阙依形与丙等而乙辰阙形与丁相似
论曰辰庚与辰戊两余方既等毎加一乙辰角线形即乙己与戊午亦等而与等戊午之戊未亦等乙己与戊未既等又毎加一戊辰形即甲辰与申辰酉磬折形等矣夫磬折形为戊庚之分而戊庚与丙及癸丑并等戊庚既截去等癸丑之卯己则所余磬折形与丙等矣即甲辰亦与丙等
二十九题
一直线求作依线之余方形与所设形等而其余形与所设方形相似
法曰甲乙线求作依线余
方形与丙等而其余形与丁
相似先平分甲乙于戊于戊
乙上作戊庚方形与丁相似
次别作辛方形与丙及戊庚
并等又别作癸丑方形与辛等又与丁相似癸丑既与辛等即大于戊庚次引己戊至卯与壬丑等引己庚至寅与壬癸等而作寅卯方形即卯寅与癸丑等又与戊庚相似次引甲乙至己引庚乙至午引午卯至未末作甲未线与己卯平行即得甲辰余方形依甲乙线与丙等而己午为余形与戊庚相似即与丁相似
论曰甲卯戊午既等戊午与乙寅两余方又等是甲卯与乙寅亦等矣而毎加一卯己形则甲辰与申乙酉磬折形必亦等夫磬折形元与丙等【卯寅即癸丑元与丙及戊庚并等毎减一戊庚即磬折形与丙等】即甲辰亦与丙等三十题
一直线求理分中末线
法曰甲乙线求理分中末先于元线作甲丙方形次依丁甲邉作丁己余方形与甲丙形等而甲己为余形又与甲丙相似则戊己分甲乙于辛即所求【本卷界三】
论曰丁己与甲丙两形既等毎减一甲戊形即甲己辛丙两形亦等矣此两形之两辛角既等即等角旁之各两邉为互相视之线也【本巻十四】而等戊辛之甲乙线与等辛己之甲辛线其比例若甲辛与辛乙也是甲辛乙为理分中末也
三十一题
三邉直角形之对直角邉上一形与直角旁邉上两形若相似而体势等则一形与两形并等
解曰甲乙丙三边直角形甲为直角各邉上任作直线形相似而体势等题言乙丁形与乙庚丙辛两形并等
论曰甲丙上方形与乙丙上方形之比例若丙辛与乙丁甲乙上方形与乙丙上方形之比例若乙庚与乙丁夫甲丙甲乙上两方形并与乙丙上方形等【一巻四七】则丙辛乙庚两形并亦必与乙丁等増题角形之一邉上形与余邉上相似两形并等则对一邉角必直角
三十二题
两三角形此形之两邉与彼形之两边相似而平置两形成一外角若相似之各两邉各平行则其余各一邉相聨为一直线
解曰甲乙丙丁丙戊两角形其甲乙与甲丙若丁丙与丁戊也试平置两形令相切成一甲丙丁外角而甲乙与丁丙甲丙与丁戊各相似之两邉各平行题言乙丙丙戊为一直线
三十三题
等圜之乗圜分角或在心或在界其各相当两乗圜角之比例皆若所乗两圜分之比例而两分圜形之比例亦若所乗两圜分之比例
解曰甲乙丙戊己庚两圜等其心
为丁为辛两圜各任割一圜分为
乙丙为己庚其乗圜角之在心者为乙丁丙己辛庚在界者为乙甲丙己戊庚题先言乙丙与己庚两圜分之比例若乙丁丙与己辛庚两角次言乙甲丙与己戊庚两角之比例若乙丙与己庚两圜分后言乙丁丁丙两腰偕乙丙圜分乙丁丙分圜形与己辛辛庚两腰偕己庚圜分己辛庚分圜形之比例亦若乙丙与己庚两圜分一系在圜心两角之比例皆若两分圜形
二系在圜心角与四直角之比例若圜心角所乗之圜分与全圜界四直角与在圜心角之比例若全圜界与圜心角所乗之圜分
几何论约巻六
钦定四库全书
几何论约巻末
柘城杜知耕撰
増题【利氏曰丁先生言欧几里得六巻中多研察有比例之线竟不及有比例之面故因其义类増益数题补其未备窦复増一题窃弁于首仍以题防从先生旧题随类附演以广其用俱称今者以别于先生旧増也】
今増题圜与圜为其径与径再加之比例
解曰甲乙丙丁戊己两圜其径甲丙丁己题言两圜为甲丙丁己再加之
比例
一糸全圜与全圜半圜与半圜圜分与相当圜分相为比例皆等皆两径再加之比例故也
二糸三邉直角形对直角边为径所作圜与余两邉为径所作圜并等半圜与两半圜并等圜分与相似两圜分并等
三糸三线为连比例以为径所作三圜亦为连比例推此可求各圜之相与为比例者又可以圜求各圜之相与为比例者
一増题直线形求减所命分其所减所存各作形与所设形相似而体势等
法曰甲形求减三分之一所减所存各作形与乙相似先作丙丁形与甲等与乙相似次依丙戊邉作丙己戊半圜次截丙戊三分之一为戊庚次作己庚为丙戊之垂线次作己丙己戊两线末于己丙己戊
上作己辛己壬两形各与丙丁相似为所求耕曰丙丁己辛己壬三形既相似其比例必若其底与底再加之比例三底线负半圜为三邉直角形其己庚丙己庚戊两分形又与全形相似则丙戊与己丙必若己丙与丙庚是丙戊与丙庚为再加之比例而丙丁己辛两形必若丙戊丙庚两线矣夫丙庚既为丙戊三分之二则辛己亦必丙丁三分之二依显己壬为丙戊三分之一
若所存所减不论何形其法更易如甲形求减三分之一先作乙丙形与甲等
次截乙丁三分之一为丁戊末作己戊即戊丙形为甲三分之一
今附有大圜求减小圜则以圜径当形邉余同前又附依此法可作一方形与初月形等如甲乙丙丁圜有初月戊形附圜界四分之一先作甲乙丙丁内切方形而四平分之其一分即与初月形等何者甲乙丙半圜与甲乙乙丙上两半圜等即戊己半圜为半大圜之半而己庚分圜形亦为半大圜之半是己庚分圜形与戊己半圜等矣此两
率各减一同用之己形所存戊庚两形不亦等乎庚为甲乙丙丁方形四之一故甲乙丙丁方形四分之一之方形与初月形等
二増题两直线形求别作一直线形为连比例法曰甲与乙丙丁两形求别作一形为连比例先作戊己庚形与甲等与乙丙丁相似次以戊己为前率乙丙为中率而求连比例之末率为辛壬【本巻十一】末于辛壬上作辛壬癸形与两形相似为所求
论曰三线既为连比例即其上相似三形亦为连比例【本巻二二】
今附有两圜求别作一圜为连比例即以圜径当形邉法同前
三増题三直线形求别作一直线形为断比例
法曰一甲二乙丁三己庚辛求别
作一形为断比例先作壬子形与
甲等与乙丁相似次以壬癸乙丙
己庚为三率求断比例之末率为
寅卯【本巻十二】末于寅卯上作寅卯辰形与己庚辛相似为所求
论曰四线既为断比例其线上相似形亦为断比例【本巻二三】
今附有三圜求别作一圜为断比例法同前
四増题两直线形求别作一形为连比例之中率法曰甲与乙丙丁两形求别作一形为连比例之中率先作戊己庚形与甲等与乙丙丁相似次求戊己乙丙两线连
比例之中率为辛壬于辛壬上作辛壬癸形与乙丙丁相似为所求
又法曰甲乙两形求别作一形为连比例之中率先作丁巳形与甲等次作庚壬形与乙等与丁巳相似令两形戊角相聨而丁
壬巳庚各成直线末引各邉作子癸直角形其子戊戊癸两余方皆为甲乙之中率
论曰丁己与戊癸若子戊与庚壬何者两比例皆若丁戊与戊壬也故两余方皆为等甲乙两角线形之中率今附两圜求别作一圜为连比例之中率法同前
五増题一直线形求分作两直线形俱与所设形相似而体势等其比例若所设两几何之比例
法曰一甲形求分为两形俱与丁相似与乙丙比例等先作戊庚形与甲等与丁相似次分戊辛邉于壬令戊壬与壬辛若乙与丙次于戊辛上作
戊癸辛半圜次从壬作癸壬为戊辛之垂线次作戊癸癸辛两线末于戊癸癸辛上作戊子癸寅两形俱与戊庚形相似为所求
今附一圜求分作两圜与所设比例等法同前
六増题一直线形求分作两直线形俱与所设形相似而体势等其两分形两相似邉之比例若所设两几何之比例
法曰一甲形求分作两形俱与丁相
似其两分形两相似邉之比例若乙
与丙先以乙丙两线求连比例之末
率为戊次作己庚辛形与甲等与丁
相似次分己辛于壬令己壬与壬辛若乙与戊次于己辛线上作巳癸辛半圜次从壬作壬癸为巳辛之垂线次作巳癸癸辛两线末于己癸癸辛上作己子癸癸丑辛俱与丁相似为所求
今附一圜求分作两圜两径若所设之比例法同前
七増题两直线形求并作一直线形与所设形相似而体势等
法曰甲乙两形求并作一形与丙相似先作戊丁己形与甲等作己庚辛形与乙等次以两形相似邉聨为直角次以戊辛聨之末于戊辛线作戊辛壬形与丙相似为所求
又法曰先作一方形与甲乙两形并等次作角形与方形等与丙相似
今附两圜求并作一圜法同前
八增题圜丙两合线交而相分其分线彼此互相视解曰甲乙丙丁圜内有甲丙乙丁两线交而相分于戊题言甲戊与戊丁若乙戊与戊丙又甲戊与乙戊若戊丁与戊丙也
论曰甲戊偕戊丙与乙戊偕戊丁两矩内形等【三巻三五】即等角旁之两邉为互相视之邉【本巻十四】
九増题圜外任取一防从防出两直线皆割圜至规内其两全线与两规外线彼此互相视若从防作一切圜线则切圜线为各割圜全线与其规外线之各中率
解曰甲乙丙丁圜外任取戊防作戊丙戊丁两线割圜界于甲于乙题言戊丙与戊丁若戊甲与戊乙又戊丙与戊甲若戊丁与戊乙也又言己戊切线为各割圜全线与规外线之各中率谓丙戊与己戊若己戊与戊
乙又丁戊与己戊亦若己戊与甲戊也
论曰丙戊偕乙戊矩内形与己戊上方形等【三卷三六】又丁戊偕甲戊矩内形与己戊上方形亦等即两矩内形自相等而等角旁之两邉为互相视之邉【本巻十四】又两矩内形各与戊己上方形等即戊丙戊己戊乙三线戊丁戊己戊甲三线俱为连比例而己戊为各中率
十増题两直线相遇作角从两线之各一界互下垂线而毎方为两线一自界至相遇处一自界至垂线则各相对之两线皆彼此互相视
解曰甲乙丙乙两线相遇于乙作甲乙丙角从甲作丙乙之垂线从丙作甲乙之垂线若甲乙丙为钝角如上圗两垂线当
至甲乙丙乙之各引出线上为甲丁为丙戊其甲戊丙丁交而相分于乙也若甲乙丙为鋭角如下圗甲丁丙戊两垂线当在甲乙丙乙之内交而相分于己也题言甲乙与乙丙若丁乙与乙戊又甲乙与丁乙若乙丙与乙戊也
论曰甲乙丁形之甲乙丁甲丁乙两角与丙乙戊形之丙乙戊丙戊乙两角皆等【两为直角两于上圗为交角于下圗为同角故】即两形为等角形故各相对之两线为彼此互相视
十一増题平行线形内两直线与两邉平行分元形为四平行线形此四形任相与为比例皆等
解曰甲丙形内作戊己庚辛两线与甲丁丙丁平行而交于壬题言所分之戊庚庚己乙
壬壬丙四形任相与为比例皆等
论曰戊壬与壬己两线之比例既若戊庚与庚己两形又若乙壬与壬丙两形即戊庚与庚己亦若乙壬与壬丙也依显乙壬与戊庚亦若壬丙与庚己也
十二増题凡四邉形之对角两线交而相分其所分四三角形任相与为比例皆等
解曰甲乙丙丁四邉形有甲丙乙丁两对角线交而相分于戊题言所分甲戊丁乙戊丙
甲戊乙丁戊丙四三角形任相与为比例皆等论曰甲戊与戊丙两线之比例若甲戊丁与丁戊丙两形又若甲戊乙与乙戊丙两形即甲戊丁与丁戊丙两形亦若甲戊乙与乙戊丙也依显甲戊乙与甲戊丁亦若乙戊丙与丁戊丙也
十三増题三角形任于一邉任取一防从防求作一线分本形为两形其两形之比例若所设两几何
法曰甲乙丙角形任于乙丙
邉任取丁防求从丁作一线
分本形为两形其两形之比
例若戊与己先分乙丙于庚令乙庚与庚丙若戊与己如庚丁同防【一圗】即作丁甲线为所求如庚在丁丙之内【二圗】亦作丁甲线从庚作辛庚线与丁甲平行末作丁辛线即分乙丁辛甲无法四邉形与丁丙辛角形其比例若戊与己也如庚在乙丁之内【三圗】亦作丁甲线次从庚作庚辛线与丁甲平行末作辛丁线即分乙丁辛角形与丁丙辛甲无法四邉形其比例若戊与己也【详一巻三十八题第二増】
十四増题一直线形求别作一直线形相似而体势等其比例若所设两几何
法曰甲直线形求别作一形与甲相似令甲与所作形之比例若乙与丙先以乙丙及丁戊三线求断比例之末率为己次求
丁戊及己之中率为庚辛【本卷十二十三】末于庚辛上作壬形与甲相似为所求若先设大甲求作小壬若丙与乙仿此
论曰丁戊庚辛己三线为连比例即一丁戊与三己之比例若一丁戊上之甲与二庚辛上之壬有用法作各形之相加相减者如乙丁方形求别作五倍大方形先引长甲乙至戊令乙戊五倍于乙甲次平分甲戊于己即
以己为心甲为界作甲庚戊半圜次引长乙丙抵圜界于庚即依乙庚线作乙辛方形为所求耕曰甲乙偕戊乙矩内形与乙庚上方形等【三巻三五】矩内形既五倍于乙丁则乙辛方形亦必五倍于乙丁
又丁乙直线形求别作二倍大相似形先引长甲乙至戊令乙戊二倍于甲乙次平分甲戊于己即以己为心甲为界作甲庚戊半圜次引长丙乙抵圜界于庚次于甲戊线截取甲辛与乙庚等从辛作辛壬与乙丙平
行次作甲丙对角线引长之遇辛壬于壬次自壬作壬癸与丙丁平行末引甲丁线聨之成癸辛形即二倍于丁乙而相似
用此法不论何形但两形相似其在庚乙上形皆二倍于在甲乙上形
今附若用前法作圜则乙庚径上圜亦二倍大于甲乙径上圜相加相减仿此
十五増题诸三角形求作内切直角方形
法曰甲乙丙角形求作内切方形先从甲角作甲丁为乙丙之垂线次分甲丁于戊
令甲戊与戊丁若甲丁与乙丙【本巻十増】次从戊作己庚与乙丙平行末自庚自己作庚壬己辛两线各与甲丁平行即得己壬形为所求【若直角钝角则从直角钝角作垂线】
耕曰己庚既与底线平行则甲丁与乙丙若甲戊与己庚今又若甲戊与戊丁是戊丁与己庚等矣而庚壬己辛又各与戊丁等即庚辛为方形又甲乙丙直角三邉形求依乙角作内切方形先分甲乙于丁令甲丁与丁乙若甲
乙与乙丙末从丁作丁戊与乙丙平行从戊作戊己与甲乙平行即得丁己形为所求
耕曰丁戊既与底线平行则甲乙与乙丙若甲丁与丁戊今又若甲丁与丁乙是丁乙与丁戊等矣即乙戊为方形
今附如上三邉直角形依乙角作内切方形其方邉必为甲丁己丙两分余邉之中率何者甲丁与丁戊若戊己与己丙故也【本巻四之糸】
后附【耕自为圗论附之巻末其法似为本书所无其理实函各题之内非能于本书之外别生新义也称后附者以别于丁氏利氏之増题也计十条】
一附直角三邉形以直角旁两邉求对直角邉一巻四十七题第四増言直角三邉形先得两邉可求余一邉皆用筭数相求然亦可比量得之按直角三邉形即算家所谓
勾股也乙丙即甲乙即勾甲丙即股乙丙之大于甲丙为丁丙曰股较乙丙之大于甲乙为乙戊曰勾较甲丙之大于甲乙为丙己曰勾股较凡六线先得两线皆可求余线今先得甲乙甲丙两邉求乙丙先作庚辛壬直角令辛壬与甲乙等辛庚与甲丙等末作庚壬即得乙丙邉之度
二附以对直角邉及直角旁一邉求余邉
先得甲乙乙丙两邉求甲丙先作庚壬与乙丙等平分于癸即以癸为心庚为界作半圜次以壬为心甲乙为
度向圜作短界为辛末作庚辛线为所求【若先得甲丙乙丙两邉求甲乙法同上】
三附以对直角邉与一邉之较及一邉求全邉
先得甲乙邉及甲丙乙
丙之较丙丁求余邉先
作庚辛与丙丁等次作
辛壬垂线与甲乙等次作庚壬次引长庚辛至癸次作庚壬子直角而壬子截庚癸于子末平分庚子于丑即庚丑线与乙丙等辛丑线与甲丙等何也庚癸线既以庚壬子直角线截之则庚辛偕辛子矩内形必与辛壬上方形等【三巻三五】按勾股法依股较为濶作直形而与勾羃等其长必一一股之度故加辛庚折半得乙丙【若先得甲丙及甲乙乙丙之较乙戊求乙丙法同上】
四附以直角旁两邉之较及对直角邉求全邉
先得乙丙及甲乙甲丙之较
己丙先作庚辛与乙丙等次
平分于寅即以寅为心庚为
界向上作短界线次以庚为心己丙为度向上作短界线相交处为丑自丑作辛丑线次作庚辛壬直角令辛壬与辛丑等次作庚壬线末截庚壬于癸令壬癸与丙己等余庚癸平分于子即庚子与甲乙等子壬与甲丙等按勾股法一勾一股并作方形当上方形二而朒一勾股较上方形今庚辛上方形即羃等辛丑之辛壬上方形当一羃而朒一勾股较上方形又庚壬上方形与庚辛辛壬上两方形并等则庚壬一线必为一勾一股之度
五附以直角旁两邉与对直角邉之两较线求各邉先得甲丙乙丙之较丁丙及甲乙乙丙之较乙戊先倍乙戊加丁丙为庚辛壬癸线平分于子即以子为心庚为界作庚丑癸半圜次自壬作垂线抵圜界于丑
即壬丑线加壬癸即与甲乙等加辛壬即与甲丙等加辛癸即与乙丙等按勾股法丁丙偕乙戊矩内形二与戊丁上方形等夫庚壬偕壬癸矩内形即两较矩内形二也而又与壬丑上方形等则壬
丑垂线不与戊丁亦等乎故逓加之得勾股也【若倍丙丁加乙戊所求亦同】
六附又法以方邉角线之较求方邉
先得方邉角线之较甲乙三倍
之为甲乙丙丁线平分于戊即
以戊为心甲为界作甲己丁半
圜自丙作垂线抵圜界于己即己丙线加丙丁为方邉加甲丙为角线试作庚辛为角线上方形次作庚癸壬辛皆为元方形【详二巻十四之増】其子丑与丑壬两线之比例若丑壬与子丑寅卯两线并则丑壬为子丑及子丑寅卯两线并之中率今甲丙倍丙丁而己丙为中率其丙丁与己丙若己丙与甲丙也则己丙丑壬两线必等故加等子丑之丙丁得方邉加等子丑寅卯两线并之甲丙得角线
七附等角两平行方形【不同理】不必借象即以相结如甲丙丙己两平行方形两丙角等即以两角相聨令乙丙丙庚丁丙丙戊各成直线【六巻二三】次引丙庚至壬令丙庚与
丙壬若丁丙与丙戊旋依丁丙丙壬作丁壬形即甲丙与丙己两形之比例若乙丙与丙壬何者丙庚丙壬丁丙丙戊四线既为断比例前后两率矩内形与中两率矩内形必等【六巻十六】即丙己与丁壬等又丁壬与甲丙同丁丙邉即两形等髙两形之比例必若两底乙丙之与丙壬也故甲丙与丙己亦若乙丙与丙壬此以丁丙丙庚为前率之后复为后率之前化二为一作首尾两率之枢纽不必假借他象即以相结若以乙丙与丙戊偕丁丙与丙庚相结仿此
八附又法求理分中末线
设甲乙线求理分中末【详六巻三十】即以甲乙当股次作乙丙勾令勾半于股次以甲丙聨之次截甲丙于丁令丙丁与乙丙等末截甲乙于戊令甲戊
与甲丁等即甲戊乙为理分中末
也何者勾股上两方形并与上
方形等【一巻四七】于方内减去等勾
方之己形所余庚辛壬磬折形必与股方等又甲丁甲戊两线等即辛癸两形亦等再减辛癸两形所余庚壬两形与子丑寅磬折形必亦等又甲乙既倍于内乙即甲卯亦倍于甲辰甲丁甲戊又等则癸子两形并【当甲戊偕丙乙矩内形二】与庚壬两形并【即甲丁偕丙乙矩内形二】亦等矣即癸子两形并与子丑寅磬折形亦等此二率毎减一同用之子形则所余癸与丑寅并安得不等夫癸即甲戊上方形也丑寅即甲乙偕乙戊矩内形也故甲戊乙为理分中末也
九附求于三角形内作一线抵两腰与底线平行又与所设线等
甲乙丙三角形求作一线抵两腰与乙丙平行而与丁线等先作甲戊线次分
于己令甲戊与甲己若乙丙底与丁线末从己作庚辛线与乙丙平行为所求【若设线大于乙丙即不可作】
十附有多线求理分中末
设甲乙丙丁戊己庚辛多线各求理分中末先依前法【八附】分甲乙于壬次
任作甲癸乙角形次从壬作癸壬线次作丙丁戊己庚辛多线令两界各抵腰线而与底线平行【九附】末依癸壬线分丙丁于子分戊己于丑分庚辛于寅各为理分中末也
几何论约巻末
<子部,天文算法类,算书之属,数学钥>
钦定四库全书 子部六
数学钥 天文算法类二【算书之属】提要
【臣】等谨案数学钥六巻
国朝杜知耕撰其书列古方田粟布裒分少广商功均输盈朒方程勾股九章取今线面体三部之法之载其图解并摘其要语以为之注与方中通所撰数度衍用今法以合九章者体例相同而每章设例必标其凡于章首每问答有所旁通者必附其术于条下所引证之文必着其所出搜辑尤详梅文鼎勿庵歴算书记曰近代作者如李长茂算海详説亦有发明然不能具九章惟方位伯数度衍于九章之外搜罗甚富杜端伯数学钥图注九章颇中肯綮可为筭家程式其説固不诬矣世有二本其一为妄人窜乱殊失本真此本犹当日初刋今据以校正以复知耕之旧焉乾隆四十六年四月恭校上
总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
总 校 官【臣】陆费墀
钦定四库全书
数学钥卷一凡例
柘城杜知耕撰
凡例【计十四则】
一则
数非图不明图非手指不明图用甲乙等字作志者代指也作志必用甲乙等字者取其笔画省而不乱正文也甲乙等字尽则用子丑等字又尽则用乾坤等字如云甲乙丙丁方形则指第一图戊巳庚辛方形
则指第二图或错举二字谓
第一图为甲丁或乙丙形谓
第二图为戊辛或巳庚形又
指第一图左下角曰甲角右
下角曰乙角又或有两角相
连如第三图两形相同一角
如第四图举一字不能别为某形某角则连用三字曰寅癸丑角或壬癸子角以中一字为所指之角二则
四边皆等四角中矩者曰方形如第一图四角中矩四边两两相等者曰直形如第二图或四边等或两边等而四角俱不中矩者曰象目形如第三图四边俱
不等两角中矩两
角不中矩者曰斜
方形如第四图角
不中矩两边相等
者曰梯形如第五
图边及角俱不等
者曰无法形如第六图三边形有一方角者【甲为方角】曰勾股形如第七图无方角者曰三角形如第八图三则
形边之界曰线线之纵者曰长或曰高衡者曰濶或曰广在下者或曰底斜对两角者曰
四则
形之积步积尺曰积曰容方形之容或曰羃
五则
线之作志处曰防
六则
两线相并曰和
七则
以此线比彼线彼线之大于此线者以此形比彼形彼形之大于此形者或曰较或曰差如甲丙线之大于甲乙线为丙乙则丙乙为两线之较线或曰两线之
差丁己形之大于丁戊形为庚己形
则庚己为两形之较形或曰两形之
差
八则
甲乙线上作甲丙方形各边俱等于甲乙曰甲乙线上
方形其形之容即甲乙自乘
之数丁戊衡线戊己纵线内
作丁己直形己庚与丁戊等
庚丁与戊己等曰丁戊偕戊己两线矩内形其形之容即丁戊戊己相乘之数
九则
甲乙衡线上作丙丁纵线而丙丁乙与丙丁甲两角俱
方角则丙丁为甲乙线上之垂线
十则
两直线引至无穷不相离亦不相遇曰平行线平行线内任作几形皆等高如甲乙丙丁两线平行两线内
作戊己庚三角形与辛壬直形两形
之高必相等凡两形等高者则曰同
在平行线内
十一则
甲乙丙三形并为一形形曲如磬曰甲乙丙磬折形
十二则
方形并举四边曰方周
十三则
方形或圆形外实中虚曰环其中虚处曰虚形或曰缺形
十四则
甲乙形以丙丁线分之成甲丁丙乙两形或再以戊己
线分之成甲庚丙己戊丁庚乙四形
谓甲丁等二形或甲庚等四形曰分
形谓甲乙元形曰全形
数学钥巻一凡例
钦定四库全书
数学钥巻一目録
柘城杜知耕撰
方田上【直线类】
一则实积求亩
二则直形求积
三则方形求积
四则勾股求积【二法】
五则三角形求积
六则斜方形求积
七则梯形求积
【西法】八则象目形求积【二法】
九则诸直线形求积
十则积求方边【即开平方 二法】
十一则方边求斜
十二则斜求方边
十三则直积求长与濶【即带纵开平方】
十四则直形以长求濶
十五则直形以濶求长
十六则直形长濶求
十七则直形濶求长
十八则直形长求濶
十九则直形长及濶差求濶
二十则直形濶及长差求长
二十一则直形及长濶和求长濶差
二十二则直形长及濶和求濶
二十三则直形濶及长和求长
二十四则直形及长濶差求长与濶
二十五则直形长和及濶和求长与濶二十六则直形长差及濶差求长与濶二十七则直形积及长濶和求长濶差
二十八则直形积及长濶和求
二十九则两边等之三角形求对角之垂线【増】三十则有一方角之三角形求对角之垂线【増】三十一则不等边而无方角之三角形求对角之垂线
三十二则方周求积
三十三则方环以周求积
【増】三十四则方环以积及濶求边
三十五则直形依长截濶
三十六则直形依濶截长
三十七则直形截勾股
三十八则直形截三角
三十九则直形截斜方
四十则直形截梯形
四十一则三角形以截积截濶求截长【勾股截积同】
四十二则三角形以截积截长求截濶
四十三则三角形以截长求截濶
四十四则三角形以截濶求截长
四十五则三角形以截积求截长
四十六则三角形以截积求截濶
四十七则斜方形以截积截长求截濶【梯形截积同】
四十八则斜方形以截积截濶求截长
四十九则斜方形以截濶求截长
五十则斜方形以截长求截濶
五十一则斜方形依小边截积求截濶
五十二则斜方形依大边截积求截濶
五十三则梯形截勾股
五十四则梯形截斜方
五十五则梯形截无法五边形
【増】五十六则方环截外周
【増】五十七则方环截内周
数学钥巻一目録
钦定四库全书
数学钥巻一
柘城杜知耕撰
方田上【直线类】
一则
实积求亩
设田积二万九千五百二十步求亩法曰置积为实以亩法二四除之得一百二十三亩即所求
解曰五尺为步二百四十步为亩如自甲至乙濶一
步【即五尺】余三边各与甲乙等则甲丙
方形为积一步二百四十倍之则为
一亩故亩法用二四也本巻及二巻
皆言求积之法得积以此法求之即
得亩数
二则
直形求积
设直田长十步濶八步求积法曰置长为实以濶乘之得八十步即所求
解曰直田长濶不等求积之法任取
一边为此一边之倍数【或以濶乘长或以长乘濶】如甲戊形之戊乙己甲各二步则二
倍甲乙边八步之数而甲戊形得积
一十六步今丙乙丁甲各十步是十倍甲乙边八步之数故得积八十步也
三则
方形求积
设方田方八步求积法曰置八步自乘得六十四步
即所求
解曰方田四边皆等以此边为此边
之倍数与以他边为此边之倍数同
故法用自乘也
四则
勾股求积
设勾股田股长十二步勾濶八步求积法曰置股为实以勾乘之【得九十六步】折半得四十八步即所求解曰勾股形当等高等濶直形之半如甲乙丙勾股
形另作丁己直形
与之等高【谓丁庚与甲丙
等】等濶【谓丁戊与甲乙等】以庚戊线分之则
成丁戊庚庚己戊两勾股形皆与甲乙丙勾股形等夫丁己一直形当甲乙丙勾股形二而甲乙丙勾股形不当丁己直形之半乎法以勾乘股所得者丁己直形积也故半之得勾股积又法置股为实以半勾【四步】乘之所得同前【半股为实以勾乘之亦得】
解曰丁己直形再以壬辛线中分之成丁壬辛己两分形法以半勾乘股所得即分形积也勾股既为丁己直形之半而分形亦为丁己直形之半故分形积即勾股积也
五则
三角形求积
设三角田中长一十二步底濶八步求积法同勾股田
解曰甲乙丙三角形依底线作甲丁直形从角以丙
己线分之则三角
形内成甲己丙乙
己丙两勾股形直
形内成甲丙己丁
两分形从前解推
之甲己丙勾股形
当甲丙分形之半
乙己丙勾股形当
己丁直形之半两勾股形既当两分形之半而三角全形不为甲丁全形之半乎故求积之法与勾股同也 或两边等【如第一图】或三边等【如第二图】或三边俱不等【如第三图】法皆同
六则
斜方形求积
设斜方田长一十
五步上濶六步下
濶十步求积法曰
置长为实以两濶
相并【共一十六步】折半【得八步】为法乘之得一百二十步即所求
解曰甲乙丁庚斜方形减去辛丁直形所余必甲庚辛勾股形勾股形既为等高等濶直形之半【本巻四则】则己庚直形必与甲庚辛勾股形等又己庚直形与辛丁直形并亦必与甲庚辛勾股形与辛丁直形并等法并两濶折半者乙己之度也以乙己乘丁乙所得乃己丁直形也而己丁直形即己庚辛丁两形并也安得不与甲乙丁庚斜方形等乎
七则
梯形求积
设梯田长一十五步上濶六步下濶十步求积法同斜方田
解曰甲乙丙丁梯形减去戊丁直形余甲丙戊乙丁
己两勾股形必与
辛丙己庚两分形
等今戊丁直形与
两分形并则与全
梯形等矣故并两濶折半乘长得积也
八则
象目形求积
设象目田濶八步正长一十二步求积法曰置正长
为实以濶乘之得
九十六步即所求
解曰几何原本云
甲乙丙丁象目形
甲戊为正长自乙
作乙己线与甲戊平行次于丁丙线引长之至戊成甲乙己戊甲乙丁丙两形在平行线内【等高即在平行线内】而同底【等濶即同底】则两形必相等何也甲戊乙己两线既平行则戊己必与甲乙等而丙丁元等于甲乙则丙丁与戊己必亦等丙丁既与甲乙等则甲丙乙丁两线必平行而亦相等因显甲丙戊乙丁己两三角形亦等于两形内每减一己丙庚三角形所余甲庚己戊庚乙丙丁两无法四边形亦等次于两无法形每加一甲庚乙三角形则成甲乙丙丁甲乙戊己两形安得不等法以濶乘正长得甲己直形之积即甲乙丙丁象目形之积
又法甲乙丙丁象目田自甲量至丁得一十六步自丙量至戊得六步两数相乘亦得九十六步与前同
解曰象目田以甲丁线分之则成相
等之两三角形甲丁即底丙戊即中
长也故以底乘长得全积也【三角法以底乘
长折半得积今不折故得两形之共积】
九则
诸直线形求积
第一图
可作三
三角形
第二图
可作一
斜方形
一三角
形第三图可作一三角形而减一小三角形第四图可作一方形而减一勾股形第五图可作一直形一勾股形第六图可作两三角形其余千形万状凡属直线边者皆依方直三角勾股裁之
十则
积求方边【即开平方】
设方田积三万六千一百步求方边法曰置积于中为实初商一百步于实左亦置一百步于实右为方法左右对呼除实一万步【余二万六千一百步】倍方法【得二百步】为
亷法次商九十步于左初商
之次【共一百九十步】亦置九十步于
右亷法之次为隅法【共二百九十步】以左次商与亷法对呼除实
一万八千步【余八千一百步】又以左
次商与隅法对呼除实八千
一百步恰尽于左得一百九十步即所求方边之数解曰初商与方法对呼所除者己辛方形也【即大方积】次商与亷法对呼所除者甲壬壬丁两直形也【即两亷】必倍方法为亷法者以亷有二也次商与隅法对呼所除者庚戊方形也【即隅方】四形恰尽实积则初次两商
之数为方田边无疑矣
又设方田积七万一千八百
二十四步求方边法曰置积
于中为实初商二百步于左
亦置二百步于右为方法左
右对呼除实四万步【余三万一千八
百二十四步】倍方法【得四百步】为亷法
次商六十步于左初商之次亦置六十步于亷法之次为隅法先以次商与亷法对呼除实二万四千步再以次商与隅法对呼除实三千六百步【余实四千二百二十四步】又倍次商【得一百二十步】并右亷法【共五百二十步】复为亷法三商八步于左初商次商之次【共二百六十八步】亦置八步于右亷法之次复为隅法先以三商与亷法对呼除实四千一百六十步再以三商与隅法对呼除实六十四步恰尽于左初次三三商共得二百六十八步即所求方边之数
解曰此与前条无异但前二位此三位耳初商次商不能尽故三商之如三商又不尽则四商五商仿此十一则
方边求斜
设方田方五十步求法曰置方数自乘【得二千五百步】倍
之【得五千步】平方开之【本巻十则】得七十步零
七分有竒即所求
解曰甲乙丙丁方形作甲丁丙乙
线次作己庚辛壬方形令方边与甲
丁方形之线等则庚壬方形必倍大于甲丁方形何也甲丁形内丁戊丙丙戊甲甲戊乙乙戊丁三角形四是四三角形当一甲丁方形也形外丁丙己乙丁壬甲乙辛丙甲庚三角形亦四各与甲丁形内四三角形等是形外四三角形又当一甲丁方形矣因知斜自乘之方形【即庚壬方形】倍大于方边自乘之方形【即甲丁方形】法置方边自乘即甲丁方积也倍之即庚壬方积也平方开之得庚壬方形之边即得甲丁方形之也
十二则
斜求方边
设方田长七十步零七分有竒求方边法曰置自乘【得五千步】折半【得二千五百步】平方开之得五十步即所求解曰置自乘求庚壬方积也【图同上则】折半即甲丁方积也故平方开之得甲乙
十三则
直积求长与濶【即带纵开平方】
设直田积九百七十二步长濶差九步求长与濶法
曰置积四因之【得三千八百八十八步】又长濶
差自乘【得八十一步】两数并【共三千九百六十九步】平方开之得六十三步加长濶差【共七
十二步】折半得三十六步即长以长濶
差减长余二十七步即濶
解曰一线任两分之两分线矩内形四及两分线之较线上方形一并与元线上方形等如图甲乙线两分于丙丙子庚癸己壬辛丑四线各与乙丙等庚子己癸辛壬丙丑四线各与甲丙等则丙庚庚己己辛辛丙四形必两分线矩内形也辛丑既等于丙乙壬辛又等于甲丙则丑壬必两分线之较线壬癸癸子子丑又各等于丑壬则癸丑形必较线上方形矣甲乙元线上方形不与五形并等乎直田积即两分线矩内形也四因之者矩内形四也长濶差自乘即较线上方形也五形并等于元线上方形故平方开之得甲乙元线即长濶相和之度也【开方所得之六十三步】长濶和增一长濶差即两长两长折半非一长而何以长濶差减长非濶而何
十四则
直形以长求濶
设直田积九百七十二步长三十六
步求濶法曰置积为实以长除之得
二十七步即所求
解曰濶为长之倍数故以长除积得
濶【本巻二则】
十五则
直形以濶求长
设直田积九百七十二步濶二十七步求长法曰置积为实以濶除之得三十六步即所求
解曰长亦为濶之倍数故以濶除实得长【本巻二则】十六则
直形长濶求
设直田濶二十七步长三十六步求
法曰长濶各自乘【长得一千二百九十六步濶得
七百二十九步】两数并【共二千零二十五步】平方开之
得四十五步即所求
解曰此即勾股求【六巻一则】
十七则
直形濶求长
设直田濶二十七步四十五步求长法曰濶各自乘【得二千零二十五步濶得七百二十九步】两数相减【余一千二百九十六】平方开之得三十六步即所求
解曰此即勾求股【六巻二则】
十八则
直形长求濶
设直田长三十六步四十五步求濶法曰长各自乘【得二千零二十五步长得一千二百九十六步】两数相减【余七百二十九步】平方开之得二十七步即所求
解曰此即股求勾【六巻三则】
十九则
直形长及濶差求濶
设直田长三十六步濶差一十八步求濶法曰长与濶差各自乘【长得一千二百九十六步濶差得三百二十四步】两数相减【余九百七十二步】折半【得四百八十六步】以濶差为法除之得二十七步即所求
解曰此即股与勾较求勾【六巻十四则】
二十则
直形濶及长差求长
设直田濶二十七步长差九步求长法曰置濶自乘【得七百二十九步】以长差为法除之【得八十一步】减长差【余七十二步】折半得三十六步即所求
解曰此即勾与股较求股【六巻十五则】
二十一则
直形及长濶和求长濶差
设直田长濶和六十三步四十五步求长濶差法曰置自乘【得二千零二十五步】倍之【得四千零五十步】另置长濶和自乘【得三千九百六十九步】两数相减【余八十一步】平方开之得九步即长濶差以减长濶和【余五十四步】折半得二十七步即濶加长濶差得三十六步即长
解曰此即与勾股和求勾股较【六巻七则】
二十二则
直形长及濶和求濶
设直田濶和七十二步长三十六步求濶法曰置长自乘【得一千二百九十六步】以濶和为法除之得一十八步即濶差以减濶和【余五十四步】折半得二十七步即所求
解曰此即股与勾和求勾较【六巻十八则】
二十三则
直形濶及长和求长
设直田长和八十一步濶二十七步求长法曰置濶自乘【得七百二十九步】以长和为法除之得九步即长差以减长和【余七十二步】折半得三十六步即所求解曰此即勾与股和求股较【六巻十九则】
二十四则
直形及长濶差求长与濶
设直田长濶差九步四十五步求长与濶法曰置自乘【得二千零二十五步】倍之【得四千零五十步】另置长濶差自乘【得八十一步】两数相减【余三千九百六十九步】平方开之得六十三步即长濶和加长濶差【共七十二步】折半得三十六步即长减长濶差余二十七步即濶
解曰此即与勾股较求勾股和【六巻十则】
二十五则
直形长和及濶和求长与濶
设直田长和八十一步濶和七十二步求长与濶法曰置长和以濶和乘之【得五千八百三十二步】倍之【得一万一千六百六十四步】平方开之得一百零八步与长和相减余二十七步即濶与濶和相减余三十六步即长
解曰此即勾和股和求勾与股【六巻十三则】
二十六则
直形长差及濶差求长与濶
设直田长差九步濶差一十八步求长与濶法曰置长差以濶差乘之【得一百六十二步】倍之【得三百二十四步】平方开之得一十八步加濶差得三十六步即长加长差得二十七步即濶
解曰此勾较股较求勾与股【六巻二十则】
二十七则
直形积及长濶和求长濶差
设直田长濶和六十三步积九百七十二步求长濶差法曰置长濶和自乘【得三千九百六十九步】另置积四因之【得三千八百八十八步】两数相减【余八十一步】平方开之得九步即所求
解曰长濶和自乘之方积当直田积四长濶差自乘之方积一故以长濶和自乘减去四直田积余以平方开之得长濶差也【本巻十三则】
二十八则
直形积及长濶和求
设直田积九百七十二步长濶和六十三步求法曰置长濶和自乘【得三千九百六十九步】另置积倍之【得一千九百四十四步】两数相减【余二千零二十五步】平方开之得四十五步即所求
解曰甲戊形长濶和自乘之方也庚
辛形自乘之方也甲戊形内勾股
八及长濶差自乘之方一庚辛形内
勾股四及长濶差自乘之方一每二
勾股当一直形【如一丙乙丑辛直形内有乙丙辛丑辛丙】
【两勾股形】是长濶和上方形大于上方形之较为二直田积也故法以长濶和自乘减去二直田积平方开之即得度也
二十九则