御制数理精蕴卷一十一
两边等之三角形求对角之垂线
设三角田底濶六步两余边各五步
求中长法曰置底折半【得三自步】乘【得九
步】余边亦自乘【得二十五步】两数相减【余一
十六步】平方开之得四步即所求
解曰丙乙作乙丁作勾以所求之丙丁作股此即勾求股法也【六巻二则】甲乙边折半即得勾者以乙丙丙甲两边等也设两边不等此法不行矣则有下法在
三十则
有一方角之三角形求对角之垂线
设不等边三角田有一方角【丙为方角即勾股田】底濶十步乙丙边六步甲丙边八步求中长法曰置乙丙边自乘【得三十六步】以底除之【得三步六分○此即丁乙之度以下仍勾求股法】又自乘
【得一十二步九分六厘】与丙乙边自乘之数相
减【余二十三步零四厘】平方开之得四步八分
即所求
解曰此勾股求对角垂线法也【六巻二十
五则】因有方角故用之若无方角此法
又穷矣更有一法不问等边方角与否皆可求如下则
三十一则
不等边而无方角之三角形求对角之垂线
设三角田底濶一十五步乙丙边八
步甲丙边十步求中长法曰置乙丙
甲丙两边各自乘【乙丙得六十四步甲丙得一百步】两数相减【余三十六步】为实以底除之【得二
步四分】以减底【余一十二步六分】折半【得六步三分】
【即乙丁之度以下勾求股法】又自乘【得三十九步六分九厘】另置乙丙自乘【得六十四步】两数相减【余二十四步三分一厘】平方开之得四步九分三厘有竒即所求
解曰甲乙丙三角形丁为对角防另作庚辛为乙丙
边上方壬癸为甲
丙边上方壬癸大
于庚辛之较为夘
子丑磬折形若移
丑于寅则成夘子
寅直形又作辰巳
为丁乙上方午未
为甲丁上方午未
大于辰巳之较为申酉戌磬折形若移戌于亥则成申酉亥直形申酉亥与夘子寅两直形必相等何也甲乙丙三角形以丙丁线分之则成丁乙丙丁甲丙两勾股形既皆勾股形则丙乙上方形必与丙丁股乙丁勾上两方形并等甲丙上方形必与丙丁股甲丁勾上两方形并等【六巻一则】从此推之则甲丙上方形大于丙乙上方形之容必与丙丁甲丁上两方形大于丙丁乙丁上两方形之容等试减去同用之丙丁上方形则甲丙上方形大于乙丙上方形之夘子寅直形与甲丁上方形大于乙丁上方形之申酉亥直形必相等矣法以乙丙甲丙上两方形相减余即夘子寅直形之容亦即申酉亥直形之容也夫申酉亥直形以甲乙底为长【以甲丁乙丁两线并为长即以甲乙全线为长】以甲丁乙丁之较线甲己为濶者也故以甲乙底除之得甲己甲己既为甲丁乙丁之较线于甲乙线减去甲己则己丁乙丁两线等矣故折半得乙丁余仍勾求股法【六巻二则】同前则
三十二则
方周求积
设方田周二百步求积法曰置周自乘【得四万步】以方法十六除之得二千五百步即所求
解曰假如一步以
四面计之则周四
步四步自乘得一
十六步是周自乘
之十六步止得实积一步故以十六为方法也然此法止可施于方田至于直田则不可用如下图直田长六十步濶四十步周亦得二百步实积止得二千四百步如以前法求之则多积百步矣
三十三则
方环以周求积
设方环田外周二百八十步内周一百二十步求积法曰二周各自乘【外周得七万八千四百步内周得一万四千四百步】两数相
减【余六万四千步】以方法十六除之得四千
步即所求
解曰此方内减方法也○如知环濶
则用梯田法置两周相并折半以濶
乘之即得环积
三十四则
方环以积及濶求边
设方环田积四千步濶二十步求内外边法曰置濶自乘【得四百步】以四因之【得一千六百步】以减环积【余二千四百步】余积
以四归之【得六百步】以濶除之得三十步
即内边倍濶【得四十步】加之得七十步即
外边
解曰法以环濶自乘者求环之隅方
也【即甲等】以四因之者环之隅有四也【即甲乙丙丁四方形】以减环积所余必四直形也【即戊己庚辛四直形】四归之者取四直形之一也以濶除之即得内边者其直形以环之濶为濶以内边之度为长也加两濶即得外边者外边大于内边之较为两濶也○或四因环濶除积得五十步【即直方两形并之共长】加濶得外边减濶得内边
三十五则
直形依长截濶
设直田长八十五步依元长截积二千七百二十步
求截濶法曰置积为实以元长除之
得三十二步即所求
解曰即以长求濶法【本巻十四则】
三十六则
直形依濶截长
设直田濶六十四步依元濶截积二千七百二十步求截长法曰置积为实以元濶除之得四十二步五分即所求
解曰即以濶求长法【本巻十五则】
三十七则
直形截勾股
设直田长八十五步依元长截积一千三百六十步成勾股形法曰置积倍之【得二千七百二十步】以元长除之得三十二步即所求
解曰勾股形当等高等濶直形之半
法倍勾股积即乙丙直形积也乙丙
直形既倍勾股积则必与勾股等高
等濶矣故求乙丙直形之濶即勾股
之濶也
三十八则
直形截三角
设直田濶六十四步依元濶截积一千三百六十步成三角形求长法曰置积倍之【得二千七百二十步】以元濶除
之得四十二步五分即所求
解曰三角形亦当等高等濶直形之
半法倍三角积即甲乙直形积也甲
乙直形既倍三角积则必与三角形
等高等濶矣故求甲乙直形之长即三角形之长也三十九则
直形截斜方
设直田长八十五步依元长截积二千七百二十步成斜方形两濶相差五步求两濶法曰置积为实以
元长除之【得三十二步】另置相差五步折
半【得二步五分】并三十二步得三十四步
五分即大边减三十二步得二十九
步五分即小边
解曰以元长除积者求甲乙直形之濶也甲乙直形之濶为斜方两濶之中度【谓小于大边二步五分大于小边亦二步五分】故置差折半增减之即得两濶
四十则
直形截梯形
设直田濶六十步依元濶截积三千七百八十步成梯形两濶相差一十二步求长法曰置积为实倍元濶【得一百二十步】减相差一十二步【余一百零八步】折半【得五十四步】为
法除之得七十步即所求
解曰倍濶减差折半者求甲乙直形
之濶也甲乙直形濶为梯形两边之
中度【谓小于大边六步大于小边亦六步】则直形之容
必与梯形等故求直形之长即得梯形之长
四十一则
三角形以截积截濶求截长【勾股截积同】
设三角田依角截积一千三百六十
步截濶六十四步求截长法曰置积
倍之【得二千七百二十步】以濶除之得四十二
步五分即所求
解曰此与直田截三角同【本巻三十八则】
四十二则
三角形以截积截长求截濶
设三角田依角截积一千三百六十步截长四十二步五分求截濶法曰置积倍之【得二千七百二十步】以长除之得六十四步即所求
解曰此与直田截勾股同【本巻三十七则】
四十三则
三角形以截长求截濶
设三角田元长二百步濶一百五十步自角截长一百五十步求截濶法曰置截长为实以元濶乘之【得二万二千五百步】以元长除之得一百一十二步五分即所求解曰凡三角形任以一线分之分线若与底线平行则分形之比例必各与全形等谓丙丁与丁戊若丙甲与甲乙丁戊与丙庚若甲乙与丙己又丁戊与甲乙若丙丁与甲丙丙庚与丙己也【泰西几何原本】甲乙丙即元形丁戊丙即截形也则截长与截濶之比例必若元长与元濶矣截濶与元濶之比例亦必若截长与
元长矣【谓截长大于截濶几
分之几则元长亦大于元濶几分之
几截濶小于元濶几分之几则截长
亦小于元长几分之几】法以
元濶乘截长以元长除之者借元长及元濶之比例因截长以求截濶也【求比例用异乘同除法详三巻五则】
四十四则
三角形以截濶求截长
设三角田元长二百步濶一百五十步截濶一百一十二步五分求截长法曰置截濶为实以元长乘之【得二万二千五百步】以元濶除之得一百五十步即所求解曰此借元濶元长之比例因截濶以求截长也四十五则
三角形以截积求截长
设三角田元长二百步濶一百五十步自角截积八千四百三十七步五分求截长法曰置积倍之【得一万六千八百七十五步】为实以元长乘之【得三百三十七万五千步】以元濶除之【得二万二千五百步】平方开之得一百五十步即所求
解曰甲乙丙即元
形丁戊丙即截形
丁壬为截形等高
等濶之直形辛壬
为截长丙庚线上方形丁壬辛壬两形之高必相等两形既等高则其比例必若丁戊与辛戊【几何原本云凡两形等高形与形之比例若线与线】辛戊与截长丙庚等而丁戊即截濶是丁壬与辛壬之比例若截濶与截长也分形之比例元与全形等【本巻四十三则】则丁壬与辛壬之比例又若元濶与元长矣法倍截积者求丁壬直形也以元长乘元濶除之者借元长元濶之比例因丁壬直形以求辛壬方形也辛壬为截长丙庚上方形故平方开之得截长也
四十六则
三角形以截积求截濶
设三角田元长二百步濶一百五十步自角截积八千四百三十七步五分求截濶法曰置截积倍之【得一万六千八百七十五步】为实以元濶乘之【得二百五十三万一千二百五十步】以
元长除之【得一万二千六
百五十六步二分五厘】平方
开之得一百一十
二步五分即所求
解曰甲乙丙即元形丁戊丙即截形丁壬为截形等高等濶之直形丁辛为截濶丁戊上方形丁壬丁辛两形之濶必相等两形既等濶则其比例必若戊壬与戊辛戊辛与截濶等戊壬与截长等是丁壬与丁辛之比例若截长与截濶亦若元长与元濶矣法倍截积者求丁壬直形也以元濶乘元长除之者借元长元濶之比例因丁壬直形以求丁辛方形也丁辛为截濶丁戊上方形故平方开之得截濶也○以上皆自角截积法若自底截积则以截积减元积余积亦以上法求之得濶即截濶得长减元长余为截长四十七则
斜方形以截积截长求截濶【梯形截积同】
设斜方田元长九十步大边
濶三十八步小边濶二十步
依小边截积八百二十二步
五分截长三十五步求截濶
法曰置积为实以截长除之
【得二十三步五分】倍之【得四十七步】减小
边元濶余二十七步即所求
解曰以截长除积者求甲丙直形之濶甲乙也甲乙为小边及截濶之中度倍之则与小边及截濶并等矣故减小边即得截濶也
四十八则
斜方形以截积截濶求截长
设斜方田元长九十步大边濶三十八步小边濶二十步依小边截积八百二十二步五分截濶二十七步求截长法曰置积为实以截濶与小边元濶并【得四十七步】折半【得二十三步五分】为法除之得三十五步即所求解曰以截濶与小边相并折半者求两濶之中度甲乙也【同前图】故以除积得截长
四十九则
斜方形以截濶求截长
设斜方田元长九十步大边
濶三十八步小边濶二十步
截濶二十七步求截长法曰
置小边元濶与截濶相减【余七】
【步】为实以元长乘之【得六百三十步】另以两元濶相减【余一十八步】除之得三十五步即所求
解曰小边与截濶相减所余必庚己两元濶相减所余必甲戊庚己与截长之比例若甲戊与元长也与三角形同【本巻四十三则】
五十则
斜方形以截长求截濶
设斜方田元长九十步大边濶三十八步小边濶二十步自小边截长三十五步求截濶法曰置截长为实以两元濶相减【余一十八步】乘之【得六百三十步】以元长除之【得七步】并小边元濶得二十七步即所求
解曰七步即己庚之度也【图同前】故加小边元濶得截濶余同前解
五十一则
斜方形依小边截积求截濶
设斜方田元长九十步大边濶三十八步小边濶二十步自小边截积八百二十二步五分求截濶法曰置积为实以两元濶相减【余一十八步】乘之【得一万四千八百零五步】以元长除之【得一百六十四步五分】倍之【得三百二十九步】另以小边元濶自乘【得四百步】两数并【共七百二十九步】平方开之得二十七步即所求
解曰甲乙丙丁全形己辛丙丁截形丙丁与甲乙为两元濶辛己为截濶丙戊为元长丙庚为截长庚己
为小边与截濶之较线甲戊
为两元濶之较线癸辛为截
濶上方形子辛为小边上方
形【庚辛与丙丁等】癸辛之大于子辛
者为丑寅两亷与夘一隅夘隅即较线庚己上方形也截形以丙庚线分之必成庚丁一直形己丙庚一勾股形若以截长丙庚除直形必得辛庚线再以较线己庚乘之必成一亷【两亷俱以小边为长以较线为濶】若以截长丙庚除勾股必得庚壬线庚壬者庚己之半也再以庚己乘之必成半隅然直形与勾股两形实一截形之分也若以己庚乘截积以丙庚除之亦必得一亷半隅也又全形之比例与截形等【本巻四十九则】丙戊之与甲戊必若丙庚之与己庚故置截积以元长丙戊除之以两边较线甲戊乘之亦得一亷半隅与前同倍之则成两亷一隅夫小边上方形之小于截濶上方形者此两亷一隅也并之则成截濶上方形矣故平方开之得截濶
五十二则
斜方形依大边截积求截濶
设斜方田元长九十步大边濶三十八步小边濶二十步自大边截积一千七百八十七步五分求截濶法曰置积为实以两元濶相减【余一十八步】乘之【得三万二千一百七十五步】以元长除之【得三百五十七步五分】倍之【得七百一十五步】另以大边元濶自乘【得一千四百四十四步】两数相减【余七百二十九步】平方开之得二十七步即所求
解曰既自大边截积则
元形之大边亦即截形
之大边而截濶为小边
小边上方形之小于大
边上方形者两亷一隅也故于大边上方形内减去两亷一隅平方开之即得截濶○若并求长得濶用本巻四十八则法求之
五十三则
梯形截勾股
设梯田元长一百二十步大边濶八十步小边濶二十步自一角截勾股积三百四十八步四分八厘求
截濶法曰置积倍之【得六百九十六
步九分六厘】以两元濶相减【余六十步】折半【得三十步】乘之【得二万零九百零八步八
分】以元长除之【得一百七十四步二分四】
【厘】平方开之得一十三步二分即所求
解曰甲乙丙丁梯形减去甲戊丙丁斜方所余必戊丁乙勾股形截积亦勾股形则是勾股截勾股也故法同勾股【本巻四十六则】○若求长则倍截积以截濶除之即得【本巻三十八则】
五十四则
梯形截斜方
设梯田元长一百二十步大边濶八十步小边濶二十步截斜方积三千六百步求截濶法曰置积为实
以元长除之【得三十步】另以两元
濶相减【余六十步】四归之【得一十五步】两数并得四十五步即所求
解曰元长除截积得己戊甲
庚为大边大于小边之半甲己又为甲庚之半则甲己为大边大于小边四分之一矣故四归两濶之较并己戊得截濶
五十五则
梯形截无法五边形
设梯田元长一百二十步大边濶八十步小边濶二十步截五边形【即甲戊己丁丙】积五千六百五十一步五分二厘求截濶法曰先求梯田全积【本巻七则】减去截积【余三
百四十八步四分八厘】以梯田截勾股
法求之【本巻五十三则】得濶【一十三步二分】以减大边元濶余六十六步
八分即所求
解曰一十三步二分者乙己戊余形之濶乙戊也大边元濶甲乙减去乙戊余甲戊即截濶
五十六则
方环截外周
设方环田外方七十步自外截积二千四百步求截
环内方法曰置元方自乘【得四千九百步】减
去截积【余二千五百步】平方开之得五十步
即所求
解曰余环外方即截环内方
五十七则
方环截内周
设方环田内方三十步自内截积一千六百步求截环外方法曰置内方自乘【得九百步】与截积并【得二千五百步】平方开之得五十步即所求
解曰内方自乘者补环内虚形以便开方也
数学钥巻一
<子部,天文算法类,算书之属,数学钥>
钦定四库全书
数学钥巻二凡例
柘城杜知耕撰
凡例
一则
圆必中规不中规者不得为圆形形界曲线曰周【如甲乙丙
丁线】过心直线曰径【如丁丙线】
二则
一率自乘之数等于两率相乘之数则此率为两率之中率如甲与乙之比例犹乙与丙则乙为甲丙之中率
三则
设内外两形内形或以角或以边抵外形之界而不交
曰相切如丙为甲乙之内切形甲乙
为丙之外切形
四则
曲线直线相杂曰杂线形
五则
割甲乙丙丁圆之一分为甲乙丙弧矢形甲乙丙曲线
曰背甲乙衡线曰丙丁纵线曰矢
丙己曰全径丁己曰余径丁戊曰离
径丙戊曰半径
六则
设甲乙直线以线为径作甲乙丙丁圆形曰甲乙线上
圆形
数学钥巻二凡例
钦定四库全书
数学钥卷二目録
柘城杜知耕撰
方田下【曲线类】
一则圆径求周
二则圆周求径
三则圆周径求积
四则圆径求积
五则圆周求积
六则圆积求径
七则圆积求周
八则圆环求积
【增】九则圆环以积及内周求外周
【增】十则圆环以积及外周求内周
十一则圆环以积及内外周求环濶
【增】十二则圆环以两周求环濶
【增】十三则圆环以积及濶求两周
【增】十四则圆环以积及濶求径
十五则圆环以全径及虚径求积
【西法】十六则撱圆求积
【西法】十七则弧矢求积
【增】十八则弧矢形以积矢及离径求背
【西法】十九则弧矢形以矢求余径【求全径离径半径附】
【西法】二十则弧矢形以矢径求
二十一则弧矢形以离径半径求
【西法】二十二则弧矢形以及余径求矢
【增】二十三则弧矢形以及全径求矢
二十四则弧矢形以半半径求矢
二十五则弧矢形以半及离径求矢
【增】二十六则弧矢形以半径半较及半离径较求矢与
二十七则旧弧矢法以矢求积
二十八则旧弧矢法以积矢求
二十九则旧弧矢法以积求矢
【增】三十则增弧矢法以矢求积
【增】三十一则圆截圆
三十二则圆截弧矢
【西法】三十三则弧矢形截杂线三角形
三十四则方内减圆以余积求圆积
三十五则方内减圆以余积求方积【求方边圆径附】
三十六则圆内减方以余积求方积【求方边圆径附】
三十七则圆内减方以余积求圆积
三十八则方内减不相切之圆以余积求方边及圆径
【增】三十九则圆内减不相切之方以余积求圆径及方
四十则诸杂线形求积
数学钥巻二目録
钦定四库全书
数学钥巻二
柘城杜知耕撰
方田下【曲线类】
一则
圆径求周
设圆田径二十八步求周法曰置径为实以周法二十二乘之【得六百一十六步】以径法七除之得八十八步即所求
解曰径法七周法二十二者径与周
之比例若七与二十二也何也西洋
亚竒黙德云圆径与圆周三倍又七
十之十则朒【谓周不及此数也】三倍又七十
一之十则盈【谓周过于此数也】先论三倍又七十之十曰丁甲乙半圜戊为心从甲作午子切线从乙从丁作乙己壬丁线各与乙戊半径等设乙戊己角六十度己戊甲角必三十度为六边形之半角也末从心过己过壬作戊午戊子线成戊午子等角形己戊壬既六十度则午子为等角形之边设甲午股一百五十三
步则戊午必三百零六步【戊午元与午子
等午子既倍大于甲午则戊午亦必倍大于甲午】各自乘甲
午股得二万三千四百零九步戊午
得九万三千六百三十六步两数
相减余七万零二百二十七步平方
开之得二百六十五步有竒为戊甲
勾【即半径】则戊甲与甲午之比例为二
百六十五步有竒与一百五十三步
次平分午戊甲角作戊庚线任分甲午于庚【庚戊线割圜界于酉己酉甲酉两弧等两弧既等则酉戊己酉戊甲两角必等故曰平分甲庚庚午两线不等故曰任分】则午戊与戊甲若午庚与甲庚合之戊午偕戊甲而与戊甲若午庚偕甲庚而与甲庚更之戊午并戊甲而与甲午【甲午即午庚偕甲庚】若戊甲与甲庚先定戊午戊甲并为五百七十一步有竒午甲为一百五十三步则戊午并戊甲与甲午之比例若五百七十一步有竒与一百五十三步则戊甲与甲庚之比例亦若五百七十一步有竒与一百五十三步矣即以两数各自乘并而开方得五百九十一步又八之一不尽为庚戊线【戊甲为勾甲庚为股庚戊为】则庚戊与甲庚之比例若五百九十一步又八之一不尽与一百五十三步次平分庚戊甲角作戊辛线则戊庚并戊甲一千一百六十二步又八之一与庚甲一百五十三步若戊甲与甲辛若设甲辛为一百五十三步则戊甲为一千一百六十二步又八之一有竒两数各自乘并而开方得一千一百七十二步又八之一为辛戊线【甲戊为勾甲辛为股辛戊为】则辛戊与辛甲之比例若一千一百七十二步又八之一与一百五十三步次平分辛戊甲角作戊寅线则辛戊并戊甲二千三百三十四步又四之一与辛甲一百五十三步若戊甲与甲寅设甲寅为一百五十三步则戊甲为二千三百三十四步又四之一两数各自乘并而开方得二千三百三十九步又四之一有竒为寅戊线【戊甲为勾甲寅为股寅戊为】则寅戊与寅甲之比例若二千三百三十九步又四之一有竒与一百五十三步次平分寅戊甲角作未戊线则寅戊并戊甲四千六百七十三步五分有竒与寅甲一百五十三步若戊甲与甲未若设甲未为一百五十三步则戊甲为四千六百七十三步五分有竒子戊午为半圜三分之一即为全圜六分之一甲戊午为十二分之一甲戊庚为二十四分之一甲戊辛为四十八分之一甲戊寅为九十六分之一甲戊未为一百九十二分之一复作甲戊申角与甲戊未角等成未戊申三角形未甲申其切线也为九十六边形之一边此边与全径之比例若一百五十三步与四千六百七十三步五分【未申倍大于未甲乙丁全径亦倍大于甲戊半径】以一百五十三步乘九十六边得一万四千六百八十八步则全边与全径之比例为一万四千六百八十八步与四千六百七十三步五分约之为三又七之一不足夫形外切线尚不及三又七之一况圜周乎 次论三倍又七十一之十曰乙甲丙半圜乙丙径戊心从丙作丙甲与半径戊丙等【甲丙即六边形之一边】从乙作乙甲线成乙甲丙勾股形而甲为方角设甲丙勾为七百八十步乙丙为一千五百六十步两数各自乘相减开方得一千三百五十一步不足为乙甲股则乙甲与甲丙之比例为一千三百五十一步与七百
八十步次平分甲乙丙角作乙丁线
以丁丙聨之成丁乙丙丙丁己两勾
股形自相似葢同用丁方角在半圜
内甲丁丁丙两线所乘之弧等则丁
丙己丁乙丙两弧之角必等凡两形
有两角等者各腰俱相似则乙丁【大股】与丙丁【大勾】若丁丙【小股】与丁己【小勾】又乙
丙【大】与丁丙【大勾】若己丙【小】与丁己【小勾】
更之乙丙与己丙【两】若丁丙与丁己【两勾】是乙丁与丁丙【两股】丁丙与丁己【两勾】乙丙与己丙【两】三比例皆等又乙丙与己丙【两】若乙丙并甲乙【两腰】与甲丙底之两分则乙丁与丁丙亦若乙丙并乙甲与甲丙先定乙甲一千三百五十一步弱乙丙一千五百六十步是乙甲乙丙并为二千九百一十一步弱甲丙先设七百八十步则乙丁与丁丙亦为二千九百一十一步弱与七百八十步各自乘并而开方得三千零一十三步又四之一弱为乙丙线【乙丁丙形之】则乙丙与丁丙之比例为三千零一十三步又四之一弱与七百八十步次平分丁乙丙角作辛乙线依前论丁乙并乙丙与丙丁若乙辛与辛丙先定乙丙三千零一十三步又四之一弱乙丁二千九百一十一步弱并为五千九百二十四步又四之一弱今丙丁为七百八十步则乙辛与辛丙为五千九百二十四步又四之一弱与七百八十步欲省数改设辛丙二百四十步改设乙辛一千八百二十三步弱两数各自乘并而开方得一千八百三十八步又十一之九弱为乙丙线【乙辛丙形之】则二百四十步与一千八百三十八步又十一之九弱为丙辛乙辛之比例次平分辛乙丙角作乙壬线以壬丙线聨之辛乙乙丙两数并三千六百六十一步又十一之九弱与辛丙二百四十步为乙壬与壬丙之比例又改设壬丙六十六步改设乙壬一千零七步弱两数各自乘并而开方得一千零九步弱则六十六步与一千零九步弱为壬丙与乙丙之比例末平分壬乙丙角作乙庚线以庚丙线聨之乙庚与庚丙若壬乙并乙丙二千零一十六步又六之一与丙壬六十六步两数各自乘并而开方得二千零一十七步又四之一弱为乙丙线【乙庚丙形之】则庚丙与乙丙之比例为六十六步与二千零一十七步又四之一弱丙甲弧为全圜六分之一丙丁十二分之一丙辛二十四分之一丙壬四十八分之一丙庚九十六分之一是丙庚为九十六边内切圜形之一边也以六十六步乘九十六边得六千三百三十六步为九十六边内切形之周乙丙径为二千零一十七步又四之一弱约之径一周三又七十一之十强夫圜内切线为三又七十一之十尚强况圜周乎○按三又七十一之十设径一则周三一四零八四五零七零四二二有竒设周一则径三一八三八五六五零二二再约之径七十一步周二百二十三步三又七十之十设径一则周三一四二八五七一四二八五七有竒设周一则径三一八一八一八一八一八有竒再约之径七步周二十二步两数皆不能与周径脗合但径七周二十二其数少整姑从之
二则
圆周求径
设圆田周八十八步求径法曰置周为实以径法七因之【得六百一十六步】以周法二十二除之得二十八步即所求
解曰即前法反用之
三则
圆周径求积
设圆田周八十八步径二十八步求积法曰置周折半【得四十四步】为实以径折半【得一十四步】为法乘之得六百
一十六步即所求
解曰圆形与半径为高全周为底之
三角形等何也测量全义云甲乙丙
丁圜自戊心百分之必皆成三角形
而己戊甲其百分之一也次依甲戊半径作庚戊辛三角形令庚辛底与圜之全周等自戊角百分之亦必皆成三角形而甲戊壬其百分之一也己戊甲甲戊壬两分形己甲甲壬两底既等又戊甲同高因推其容必等夫百倍己戊甲为甲乙丙丁全圜百倍甲
戊壬为庚戊辛三角形两分形既等
两全形有不等乎故法以半径乘半
周得庚戊辛三角形之积即得甲乙
丙丁圜之积也○或云己戊甲虽全
圜百分之一其底终属曲线不可与
直线三角形为比不知甲戊壬角大
于己戊甲角而己戊甲中垂线大于
甲戊壬中垂线两相折准即谓之无
差亦可
四则
圆径求积
设圆田径二十八步求积法曰置径自乘【得七百八十四步】再以十一乘之【得八千六百二十四步】以十四除之得六百一十六步即所求
解曰测量全义云甲乙丙丁圜庚戊辛三角形以半径为高以圜周为底己壬为圜径上方形己丁直形以全径为濶以半径为高而为己壬方形之半己戊癸三角形亦以全径为濶半径为高而为己丁直形
之半己戊癸形既为己丁直形之半
必为倍大于己丁之己壬方形四之
一又己戊癸与庚戊辛两形同以半
径为高凡两形等高者形与形之比
例若线与线【两线即两底○一巻四十五则】今庚辛
底与圜周等己癸底与圜径等是己
戊癸庚戊辛两形之比例若圜径七
与圜周二十二若以四倍大于己戊
癸之己壬方形与庚戊辛三角形较
其比例必若二十八与二十二矣各以二约之为十四与十一夫庚戊辛三角形与圆形等【本巻三则】故方圆之比例亦若十四与十一法以圆径自乘求己壬方形之积也以十一乘十四除取方积十四分之十一以为圆积也
五则
圆周求积
设圆田周八十八步求积法曰置周自乘【得七千七百四十四步】以七因之【得五万四千二百零八步】以八十八除之得六百一
十六步即所求
解曰戊己庚辛圜
戊己径与甲乙丙
丁圜周等则两圜
之比例为其径与
径再加之比例再
加云者以两径各
自乘之数以为比
例也设甲乙径七
戊己径二十二甲乙自乘得四十九戊己自乘得四百八十四是两圜之比例若四十九与四百八十四又壬癸方形与戊己庚辛圜元若十四与十一【本巻四则】今戊己庚辛圜既为四百八十四壬癸方形必六百一十六是壬癸方形与甲乙丙丁圜必若六百一十六与四十九矣各以七约之为八十八与七法以圜周自乘即壬癸方形之积也以七乘八十八除取方积八十八分之七以为甲乙丙丁圜积也
六则
圆积求径
设圆田积六百一十六步求径法曰置积为实以十四乘之【得八千六百二十四步】以十一除之【得七百八十四步】平方开
之得二十八步即所求
解曰以十四乘十一除者因圜积以
求戊己方积也平方开之得方边即
得圜径者方边与圜径等也
七则
圆积求周
设圆田积六百一十六步求周法曰置积为实以八十八乘之【得五万四千二百零八步】以七除之【得七千七百四十四步】平方开之得八十八步即所求
解曰以八十八乘七除者因圜积以求圜周上方积也【本巻五则】故平方开之得圜周
八则
圆环求积
设环田外周六十六步内周一十一步求积法曰置内外两周各自乘【外周得四千三百五十六步内周得一百二十一步】两数相减【余四千二百三十五步】以七乘之【得二万九千六百四十五步】以八十八
除之得三百三十六步八分七厘五
毫即所求
解曰与方环求积同【一巻三十三则及本巻五则】
九则
圆环以积及内周求外周
设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫内周一十一步求外周法曰置积为实以八十八乘之【得二万九千六百四十五步】以七除之【得四千二百三十五步】另置内周自乘【得一百二十一步】两数并【共四千三百五十六步】平方开之得六十六步即所求
解曰两数并共成周上方积故平方开之得外周十则
圆环以积及外周求内周
设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫外周六十六步求内周法曰置外周自乘【得四千三百五十六步】另置环积以八十八乘之【得二万九千六百四十五步】以七除之【得四千二百三十五步】两数相减【余百二十一步】平方开之得一十一步即所求
解曰外周上方积减去八十八乘七除之环积所余即内周上方积也故平方开之得内周
十一则
圆环以积及内外周求环濶
设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫外周六十六步内周一十一步求环濶法曰置积为实以两周相并【共七十七步】折半【得三十八步五分】为法除之得八步七分五厘即所求
解曰全圆既同三角形则圆环必同梯形圆环之两周犹梯形之两濶也圆环之濶犹梯形之中长也故用梯形求长法【一巻四十八则】即得环濶
十二则
圆环以两周求环濶
设圆环田外周六十六步内周一十一步求环濶法曰置两周各以七乘之【外周得四百六十二步内周得七十七步】各以二十二除之【外周得二十一步内周得三步五分】两数相减【余一十七步五分】折半得八步七分五厘即所求
解曰外周所得者圆之全径也内周所得者环内虚径也全径减虚径所余即环之两濶故折半得一濶也
十三则
圆环以积及濶求两周
设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫濶八步七分五厘求两周法曰置积为实以濶除之得三十八步五分另置濶以二十二乘之【得一百九十二步五分】以七除之【得二十七步五分】与三十八步五分相并得六十六步即外周与三十八步五分相减得一十一步即内周解曰此亦梯形求濶法也法以环濶除积所得之三十八步五分即两环周之中度也环濶为全径与虚径相差之半以二十二乘七除则为内外两周相差之半矣故以之增减两周之中度得两周也
十四则
圆环以积及濶求径
设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫濶八步七分五厘求全径及虚径法曰置积以十四乘之【得四千七百一十六步二分五厘】十一除之【得四百二十八步七分五厘】另置濶自乘【得七十六步五分六厘二毫五丝】以四因之【得三百零六步二分五厘】两数相减【余一百二十二步五分】为实以四因濶【得三十五步】为法除之得三步五分即虚径倍濶【得一十七步五分】加之得二十一步即全径
解曰置积以十四乘十一除者令圆环积化为方环积也余即方环求内方法【一巻五十六则】
十五则
圆环以全径及虚径求积
设圆环田全径二十一步虚径三步五分求积法曰置两径各自乘【全径得四百四十一步虚径得一十二步二分五厘】两数相减【余四百二十八步七分五厘】以十一乘之【得四千七百一十六步二分五厘】十四除之得三百三十六步八分七厘五毫即所求解曰两径各自乘相减者求方环积也十一乘十四除者因方环积以求圆环积也
十六则
撱圆求积
设撱圆田大径九十步小径四十步求积法曰置两径相乘【得三千六百步】以十一乘之【得三万九千六百步】以十四除之得二千八百二十八步五分七厘有竒即所求
解曰西洋亚竒黙德云取撱
圆两径之中率为径作圆其
容与撱圆等【四九之中率为六谓四之与六
犹六之与九也】夫求中率之法以两
径相乘平方开之即得然中率自乘之数实即两径相乘之数故法以两径相乘十一乘十四除为撱圆积也【撱圆形状不同恐不能无小差】
十七则
弧矢求积
设弧矢田矢濶五步长一十七步三分二厘有竒背二十步零九分五厘二毫有竒离径五步求积法
曰置背以离径并矢【共十步】乘
之【得二百零九步五分二厘三毫有竒】另置
以离径乘之【得八十六步六分有竒】两
数相减【余一百二十二步九分二厘三毫有竒】
折半得六十一步四分六厘一毫有竒即所求解曰甲乙丙弧矢形戊为圜心自甲自乙作甲戊乙戊两线成甲戊乙丙杂线形其丙丁矢与丁戊离径并即全圆之半径甲丙乙背又为圆周之分线求积之法当与圆同夫圆以半径乘周折半得积【本巻三则】则杂线形亦必以半径乘背折半得积矣又杂线形内以甲乙线分之必成一甲乙丙弧矢形一甲戊乙三角形其三角形以甲乙为濶以丁戊离径为高若以高乘濶折半必得三角形之积【一巻五则】于杂线形内减去三角积所余非弧矢积而何故法以半径乘背离径乘相减折半得积也【相减而后折半与各折半而后相减得数同】十八则
弧矢形以积矢及离径求背
设弧矢田积六十一步四分六厘一毫有竒矢五步
一十七步三分二厘有竒离径五
步求背法曰置积倍之【得一百二十二步九分二
厘三毫有竒】另置以离径乘之【得八十六步六
分有竒】两数并【得二百零九步五分二厘三毫有竒】以矢
并离径【共十步】除之得二十步零九分五厘二毫有竒即所求
解曰即前则求积法反用之
十九则
弧矢形以矢求余径【求全径离径半径附】
设弧矢田矢五步一十七步三分二厘有竒求余径法曰置折半【得八步六分六厘有竒】自乘【得七十五步】以矢除之得一十五步即所求
解曰甲乙丙弧矢形丙丁为矢丁戊为离径丁己为
余径自圆心戊作
戊乙线成丁戊乙
勾股形丁乙半
为股丁戊离径为
勾戊乙半径为
另作辛夘形为丁
戊勾上方形庚壬形为戊乙上方形夫庚壬之大于辛夘者为癸丑子磬折形癸丑子磬折形必等于乙丁股上方形何也上方形与勾股上两方形并等故也【六巻一则】若移子于寅则成癸丑寅直形必以勾较为濶勾和为长今戊乙等于戊丙戊丙之大于丁戊勾者为丙丁是丙丁矢即勾较也故以矢除丁乙半【弧矢形之】自乘之积即得勾和又乙戊【勾股形之】既半径必与戊己等戊己合丁戊非丁己余径而何○求得余径加矢即全径减矢折半即离径加矢折半即半径
二十则
弧矢形以矢径求
设弧矢田矢五步径二十步求法曰以矢减径【余一十五步】以矢乘之【得七十五步】平方开之【得八步六分六厘有竒】倍之得一十七步三分二厘有竒即所求
解曰依前解矢与余径相乘之数即半自乘之数故平方开之得半倍之得全也
二十一则
弧矢形以离径半径求
设弧矢田半径十步离径五步求法曰置半径离径各自乘【半径得一百步离径得二十五步】两数相减【余七十五步】平方
开之【得八步六分六厘有竒】倍之得一十七步
三分二厘有竒即所求
解曰半径乙戊为【勾股形之】离径丁
戊为勾求得乙丁股即半也【弧矢形之】
【】故倍之得全
二十二则
弧矢形以及余径求矢
设弧矢田一十七步三分二厘有竒余径一十五步求矢法曰置折半【得八步六分六厘有竒】自乘【得七十五步】以余径除之得五步即所求
解曰依十九则解半自乘之数即矢偕余径相乘之数故以余径除之得矢
二十三则
弧矢形以及全径求矢
设弧矢田一十七步三分二厘有竒全径二十步求矢法曰置径各自乘【得三百步径得四百步】两数相减【余一百步】平方开之【得十步】以减全径【余十步】折半得五步即所求
解曰全径上方形当矢偕余径矩内形四及矢与余径之较线上方形一【一巻十三则】全上方形当半上方形四又半上方形与矢偕余径矩内形等【本巻十九则】于全径上方积内减去全上方积即减去矢偕余径矩内积四也则所余必矢与余径之较线上方积平方开之即得矢与余径之较线故以之减径折半得矢也
二十四则
弧矢形以半半径求矢
设弧矢田半八步六分六厘有竒半径十步求矢法曰置半半径各自乘【半得七十五步半径得一百步】两数相
减【余二十五步】平方开之【得五步】以减半径
得五步即所求
解曰半丁乙为股戊乙半径为
求得丁戊勾即离径也故以之减半
径得矢
二十五则
弧矢形以半及离径求矢
设弧矢田半八步六分六厘有竒离径五步求矢法曰置半离径各自乘【半得七十五步离径得二十五步】两数并【得一百步】平方开之【得十步】减去离径得五步即所求解曰半丁乙【图同前则】为股离径丁戊为勾求得乙戊即径也故减去离径得矢
二十六则
弧矢形以半径半较及半离径较求矢与设弧矢田半径多半一步三分四厘弱半多离径三步六分六厘强求矢及法曰并两数【共五步】以半径多半之数乘之【得六步七分】倍之【得一十三步四分】平方开之【得三步六分六厘】以加半径多半之数得五步即离径再加半多离径之数得八步六分六厘即半再加半径多半之数得十步即半径半径减去离径余五步即矢
解曰戊乙半径【图同二十四则】多于丁乙半之数即股较丁乙半多于丁戊离径之数即勾股较勾股较并股较即勾较此即勾较股较求勾股法也【六巻二十则】
二十七则
旧弧矢法以矢求积
设弧矢田矢十步二十步求积法曰置矢相并【共三十步】折半【得一十五步】以矢乘之得一百五十步即所求解曰旧説圆径一周三甲乙丙丁圆径二十步周六
十步甲乙丙弧矢形为全圆之半其
背为全周之半必三十步法以矢
相并即与弧背等折半以矢乘之犹
圆法以半径乘周折半得积之义也
【本巻三则】以旧法论全圆得积三百步而半圆之弧得积一百五十步与围三径一之数脗合无差过此以往其矢渐短弧形渐细其差渐多甚至百步之积有差至二十余步者即如十七则弧矢田一十七步三分二厘有竒矢五步依旧法求之止得积五十五步八分较前法所求之积则少五步六分六厘有竒前法虽密于旧法然必背矢皆具方可起算旧法有矢有即可得积故并存之
二十八则
旧弧矢法以积矢求
设弧矢田积五十五步八分矢五步求法曰置积倍之【得一百 十一步六分】以矢除之【得二十二步三分二厘】减去矢余
一十七步三分二厘即所求
解曰旧法以矢乘半半矢得弧矢
积若以矢除弧矢积必仍得半半
矢以矢除弧矢积既得半半矢以
矢除弧矢之倍积不得一一矢乎一一矢内减去一矢所余非而何
二十九则
旧弧矢法以积求矢
设弧矢田积五十五步八分一十七步三分二厘求矢法曰置积八因之【得四百四十六步四分】另置自乘【得二
百九十九步九分八厘二毫四丝】两数并【共七百四十六步三
分八厘二毫四丝】平方开之【得二十七步三分二厘】减
去【余十步】折半得五步即所求
解曰甲丁方形边与一二矢等甲
戊乙己丁庚丙辛各与矢等其戊己
等四直形即矢偕一一矢矩内形壬子即上方形也又弧矢形以矢乘半半矢得积【本巻二十七则】而当一直形之半则四直形必当八弧矢积矣是一二矢上方形与上方积一及弧矢积八并等反之则上方积一及弧矢积八并为一方其边必一二矢也法并两数以平方开之所得即一二矢之度故减折半得矢也○旧弧矢法背积及径辗转相求共三百二十六法实亦不出十七则以下十法之外其不能该者止以上三法耳故存之
三十则
增弧矢法以矢求积
设甲乙丙弧矢田丙丁矢五步甲乙一十七步三分二厘有竒求积法曰有矢与可得丁壬余径余径加矢可得丙壬全径【本卷十九则】甲己与丙壬等即以
甲己为甲乙为股求乙巳勾得十
步【六卷三则】为乙巳庚余弧之又将乙
己折半得巳辛复为勾戊巳半径为
求戊辛股以减半径【戊庚与戊巳等】余庚
辛一步三分四厘为乙己庚余弧之矢另求甲己径上半圆积【得一百五十七步一分四厘二毫八丝○本巻三则】次求甲乙己勾股积【得八十六步六分○一巻四则】与半圆积相减【余七十步零五分四厘二毫八丝】为甲乙丙与乙己庚两弧之共积置为实两弧各以三一矢相并以矢乘之【甲乙丙弧得二百八十四步八分乙己庚弧得四十一步九分九厘五毫六丝】以甲乙丙弧数乘实【得二万零九十步零五分八厘九毫四丝四忽】并两弧数【共三百二十六步七分九厘五毫六丝】除之得六十一步四分七厘七毫五丝有竒即所求
解曰此借两弧三一矢以矢乘之之数为比例以分共积也此法较旧法为密然大弧既盈则小弧必朒较十七则未免有千一之差如必欲得弧积眞数密量弧背从十七则可也
三十一则
圆截圆
设圆田径二十一步依外周截积三
百三十六步八分七厘五毫求余圆
径法曰置径自乘【得四百四十一步】另置截
积以十四乘之【得四千七百一十六步二分五厘】十
一除之【得四百二十八步七分五厘】两数相减【余一十二步二分五厘】平方开之得三步五分即所求
解曰此与方环截积同【一巻五十六则】
三十二则
圆截弧矢【旧法】
设圆田径一十三步截弧矢积三十
二步求矢法曰置截积自乘【得一千零二十
四步】为实用商法商矢四步即以所商
之矢乘截积【得一百二十八步】为上亷另以
矢每步加负隅二分五厘【得五步】与径相减余八步为余径又以所商之矢自乘【得一十六步】以乘余径【得一百二十八步】为下亷并两亷【共二百五十六步】为法除实得四步即所求
解曰弧矢之积元以矢乘半半矢而得【本巻二十七则】若以半半矢相并除积必得矢法置截积自乘是倍截积为三十二若以三十二半与三十二半矢并除倍积必亦得矢法以矢乘截积得三十二全矢是多三十二半矢少三十二半若以半大于半矢
之数三十二倍之与三十二全矢并
即与三十二半三十二半矢相并
之数同今无半数须以矢乘余径
以为半自乘之方【本巻十九则】如甲乙
方形甲己为半甲丁为半矢丁己为半矢较【即半大于半矢之度】则丁己乙戊直形必半矢较以半为倍数者也庚辛等于丁己庚丙等于甲丁则庚丙戊辛直形必半矢较以半矢为倍数者也两直形并再以矢乘之必半矢较以截积三十二为倍数者也何也弧矢之积元以矢乘半半矢而得故也甲乙大方形减去丁己乙戊与庚丙戊辛两直形余甲丙小方形为甲丁半矢之幂法所谓负隅也负隅既为半矢之幂必为全矢幂四分之一故法以二分五厘为负隅也法用矢自乘以乘余径与用矢乘余径再以矢乘之得数同也○按元注云所得之矢过于所商之矢为约矢太短不及所商之矢为约矢太长宜更商之商约之法既无一定惟以意斟酌之若整齐之矢或一二商可得苟遇畸零之矢必至千百商不能得者古人于此条实无善法姑以此考验所商之合否耳若止欲考验所商之合否又何如以所商之矢求半【本巻二十则】再加半矢以矢乘之【本巻二十七则】合积为准过积为约矢太长不及积为约矢太短不较捷乎
三十三则
弧矢截杂线三角形
设半圆弧矢田二十步自心截杂线三角形背长一十步零四分七厘六毫一丝六忽求截积法曰置
截背以折半【得十步】乘之【得一百零四步七分
六厘一毫六丝】折半得五十二步三分八厘
零八丝即所求
解曰杂线三角形为圆之分形故求
积之法同圆【本巻三则】
三十四则
方内减圆以余积求圆积
设方田减去内切圆田四隅余积一百六十八步求圆积法曰置积为实以圆法十一乘之【得一千八百四十八步】
以圆法十一与方法十四相减余三
为法除之得六百一十六步即所求
解曰圆既为方十四分之十一则方
内减圆之余积必为方十四分之三
圆十一分之三矣故十一乘三归得圆积也
三十五则
方内减圆以余积求方积【求方边圆径附】
设方田减去内切圆田四隅余积一百六十八步求方积法曰置积为实以十四乘之【得二千三百五十二步】以圆法十一与方法十四相减余三为法归之得七百八十四步即所求
解同前○置方积平方开之即方边亦即圆径三十六则
圆内减方以余积求方积【求方边圆径附】
设圆田减去内切方田余积二百二
十四步求方积法曰置积为实以七
乘之【得一千五百六十八步】以七与圆法十一
相减余四为法归之得三百九十二
步即所求
解曰内切方形之与外切方形之边等则内切方形必倍小于外切方形而若七之与十四夫圆既为外方十四分之十一而内方不为圆十一分之七乎圆内减方之余积为圆十一分之四即为内方七分之四故七乘四除得内切方积也○置方积平方开之即得方边倍方积平方开之即得圆径
三十七则
圆内减方以余积求圆积
设圆田减去内切方田余积二百二十四步求圆积法曰置积为实以圆法十一乘之【得二千四百六十四步】以圆法十一与七相减余四为法归之得六百一十六步即所求
解同前
三十八则
方内减不相切之圆以余积求方边及圆径
设方田内减圆田方边至圆周五步余积一千七百二十五步求方边及圆径法曰置五步自乘【得二十五步】以三因之【得七十五步】与余积并【共一千八百步】另置五步以六因之【得三十步】为纵方以平方带纵开之【得九十步 一巻十三则】减
去纵方余六十步即方边再
减两边各五步【共十步】余五十
步即圆径
解曰依图分之成甲乙等方
形四子丑等直形八干坎等
杂线三角形四其甲乙等四形即方边至圆周五步自乘之方形也子丑等八形亦各以五步为濶其长
则圆之半径也干坎等四形
为方减内切圆形之余积以
方四圆三推之【旧法谓方内容圆圆居方
四分之三】四形并必当方四分之
一干坎艮三形并必足以补
癸形之阙而与一小方二直
形一杂形并共凑成一坤震
方形矣次移甲于丁移乙于
戊移丙于己移子于午移丑于未移寅于申移夘于酉移辰于戌移巳于亥尚阙庚辛壬三形故法取方边至圆周之五步自乘以三因之加入积内也自壬至丁凡六形每形濶五步共计三十步故法取方边至圆周之五步以六因之为纵方也带纵开方法置积四因之纵方自乘两数并平方开之得长濶相和之度【即兑巽与巽震并】减去纵方【即兑坤】余两濶【即坤巽与巽震并】即方边方边之大于圆径者为两边之各五步故减之得圆径【本则及下则皆用周三径一法】
三十九则
圆内减不相切之方以余积求圆径及方
设圆田内减方田圆周至方角一步余积四十三步
求圆径及方法曰置一步
自乘【仍得一步】以二因之【得二步】与
余积并【并四十五步】另置一步以
四因之【得四步】为纵方以平方
带纵开之【得一十四步】减去纵方
即圆径再减圆周至方角各一步【共二步】余八步即方
解曰依内方角作一圆线此圆线偕外圆周必成一圆环形次依环濶改作方环圆环当方环四分之三
故止作方环之三隅即与圆
环等依图分之成甲乙丙三
方形丁戊己庚辛壬六直形
尚余癸子丑寅四弧矢形为
圆减内切方形之余积以圆
三方二推之【旧法谓圆内容方方居圆三分
之二】四弧矢形并当圆三分之
一必当内方二分之一而夘癸辰方形亦当内方二分之一则四弧矢形必能补夘癸辰方形之阙而与辛壬丙三形并共辏成一震坎方形矣次移甲于巳移乙于午移丁于酉移戊于戌移己于亥移庚于干尚阙未申二形故法取圆周至方角一步自乘二因之补入积内也自巳至申凡四形每形濶一步共四步故取圆周至方角之一步四因之为纵方也以平方带纵开之得巽艮艮坎长濶相和之度减去纵方巽震余震艮艮坎两濶即圆径圆径之大于方者为两边之各一步故减之得方
四十则
诸杂线形求积
第一图可作一弧矢形而减一弧矢形第二图可作半弧矢形而减半弧矢形第三图可作两弧矢形第四图移甲丙实形补乙丁虚形成戊三角形又移己实形补庚虚形成辛三角形壬癸子各成三角形丑自成弧矢形此一大形内成三角形五弧矢形一第五图甲乙各自成弧矢形丙丁辛各自成三角形移
戊实形补
己虚形庚
亦成三角
形癸借壬
虚形亦成
三角形【得积
减去壬圆形】此
一大形内
成弧矢形二三角形五而减一圆形凡属杂线形者【裁之数学钥巻二】
皆依五形例
<子部,天文算法类,算书之属,数学钥>
钦定四库全书
数学钥卷三凡例
柘城杜知耕撰
凡例
一则
设一数与甲乙两率为同名与丙丁两率为异名置所设之数为实以甲乘丙除曰同乘异除以丙乘甲除曰异乗同除以丙乘甲得数乘实曰异乘同乘【与以丙乘复以甲乘同】以丙乘甲得数除实曰异除同除【与以丙除复以甲除同】以丙乘丁除曰异乘异除以甲乘乙除曰同乘同除
二则
设一数以一率除二率乘又以三率除四率乘又以五率除六率乘方得所求变为以四率乘二率复以六率乘之得数乘实以三率乘一率复以五率乗之得数除实即得所求亦曰同乘同除
三则
凡用一率除二率乘者则变为先以二率乘后以一率除凡用一率除复用二率除者则变为以一率乘二率得数除实恐归除多有畸零不尽之数也
四则
设甲乙丙三率以甲乘乙以乙乘丙曰逓乘以甲乘乙以乙乘丙以丙复乘甲曰维乘以甲乘乙复以乙乘甲曰互乘以甲乘乙复乘丙曰遍
五则
命分数曰母得分数曰子母数者子之本数子数者母之分数
六则
设两数一为法一为实以法除实得若干将法实任各若干倍之以倍法除倍实必仍得若干与原得数同若以倍法除元实则得数小于元得数之倍数即同元法小于倍法之倍数若以元法除倍实则得数大于元得数之倍数即倍实大于元实之倍数如元实为六十元法为五十以五十除六十得十二任三倍元实为一百八十亦三倍元法为一百五十以一百五十除一百八十亦得十二与元得数同以倍法一百五十除元实六十得四则四与元得数十二之比例若元法五十与倍法一百五十也以元法五十除倍实一百八十得三十六则三十六与元得数十二之比例若倍实一百八十与元实六十也
数学钥巻三凡例
钦定四库全书
数学钥巻三上目録
柘城杜知耕撰
粟布
一则籴粜一法
二则籴粜二法
三则籴粜三法
四则籴粜四法
五则籴粜五法
六则籴粜六法
七则籴粜七法
八则籴粜八法
九则撞换一法
十则撞换二法
十一则撞换三法
十二则盘量仓窖
十三则布帛
十四则银色一法
十五则银色二法
十六则银色三法
十七则银色四法
十八则银色五法
十九则银色六法
二十则斤两一法
二十一则斤两二法
二十二则斤两三法
二十三则斤两四法
二十四则斤两五法
二十五则斤两六法
二十六则权重一法
二十七则权重二法
【増】二十八则权重三法
巻三下目録
衰分
一则合率差分
二则折半差分
三则四六差分
四则三七差分
五则二八差分
六则逓减差分一法
七则逓减差分二法
八则逓减差分三法
九则带分子母差分一法
十则带分子母差分二法
十一则互和逓减差分一法
十二则互和逓减差分二法
十三则匿价差分一法
十四则匿价差分二法
十五则二色差分
十六则三色差分【四色五色六色附】
十七则贵贱和率差分
十八则首尾和率差分
附分法
一则命分
二则约分
三则乗分
四则课分
五则通分
数学钥巻三目録
钦定四库全书
数学钥巻三上
柘城杜知耕撰
粟布
一则
籴粜一法
设粟三十五石每石价银二钱五分求共银法曰置粟为实以价乘之得八两七钱五分即所求
二则
籴粜二法
设粟三十五石卖银八两七钱五分求每石价法曰置银为实以粟除之得二钱五分即所求
三则
籴粜三法
设粟每石价银二钱五分今有银八两七钱五分求值粟法曰置银为实以价除之得三十五石即所求四则
籴粜四法
设银八两七钱五分共买粟三十五石求每银一两值粟若干法曰置粟为实以银除之得四石即所求解曰凡以物交易或论个论斛论斤论尺之类莫不有数有价以价乘共物则得共银以价除共银则得共物以共物除共银则得每一物所值之价以共银除共物则得每银一两或一钱或一分所值之物交易常用之法尽于此矣
五则
籴粜五法
设原有粟二石六斗卖银六钱五分今有粟三十五石求值银法曰置今粟为实以原价乘之【得二十二两七钱五分】以原粟除之得八两七钱五分即所求
解曰此异乘同除也银与粟异名以原银乘今粟故谓异乘粟与粟同名以原粟除今粟故谓同除若以原粟除原价得每石价以乘今粟或先以原粟除今粟再以原价乘之俱未尝不合但先用归除恐遇竒零不尽之数难用乘法故变为先乘后除也
六则
籴粜六法
设原有银三十两零七钱五分买粟一百二十三石今有银八两七钱五分求值粟法曰置今银为实以原粟乘之【得一千零七十六两二钱五分】以原银除之得三十五石即所求
解同前
七则
籴粜七法
设原银五钱买米一石每米八斗五升换粟一石七斗今有银八两七钱五分求值粟法曰以今银八两七钱五分乘粟一石七斗【得一十四两八钱七分五厘】为实以米价五钱乘米八斗五升【得四钱二分五厘】为法除之得三十五石即所求
解曰米八斗五升粟一石七斗其价等法以米价乘米所得之四钱二分五厘既为八斗五升之米价亦一石七斗之粟价也以粟乘银以价除之亦异乘同除法也
八则
籴粜八法
设粟一石七斗换米八斗五升每米一石价银五钱今有粟三十五石求值银法曰置米八斗五升以米价五钱乘之【得四钱二分五厘】再以今粟三十五石乘之【得一十四两八钱七分五厘】为实以粟一石七斗除之得银八两七钱五分即所求
解同前
九则
撞换一法
设稻每石价六钱二分五厘粟每石价二钱五分今有稻一十四石换粟求粟数法曰置稻一十四石为实以稻价乘之【得八两七钱五分】以粟价除之得三十五石即所求
十则
撞换二法
设每菽三斗换黍二斗每黍四斗换稷三斗每稷五斗换稻四斗每稻六斗换麦五斗今有麦七斗换菽求菽数法曰以今麦七斗乘每稻六斗【得四石二斗】再以每稷五斗乗之【得二十一石】再以每黍四斗黍之【得八十四石】再以每菽三斗乘之【得二百五十二石】为实以换黍二斗乘换稷三斗【得六斗】再以换稻四斗乘之【得二石四斗】再以换麦五斗乘之【得一十二石】为法除之得二石一斗即所求解曰若置麦七斗为实以换麦五斗除之以每稻六斗乘之得八斗四升为麦七斗应换之稻再以八斗四升为实以换稻四斗除之以每稷五斗乘之得一石零五升为麦七斗应换之稷再以一石零五升为实以换稷三斗除之以每黍四斗乘之得一石四斗为麦七斗应换之黍再以一石四斗为实以换黍二斗除之以每菽三斗乘之得二石一斗为麦七斗应换之菽凡四除四乘方得菽数今逓乘为实逓乘为法一次归除即得所求非徒省力亦免遇畸零之数难于布算耳
十一则
撞换三法
设黍一石换菽三石每黍三石换麦一石今黍三十三石共换菽麦一十九石求菽麦各若干法曰列黍
三石黍一石共黍
三十三石于左列
麦一石菽三石共
菽麦一十九石于
右先以右上互乘
左中【仍得一石】以左上互乘右中【得九石】两数相减【余八石】为长法次以左中互乘右下【仍得一十九石】以右中互乘左下【得九十九石】两数相减【余八十石】以长法除之【得一十石】为短法以麦一石乘短法仍得十石为麦数以黍三石乘短法得三十石为换麦黍数以麦数减共菽数余九石为菽数以换麦黍数减共黍余三石为换菽黍数【解见三巻下十七则】
十二则
盘量仓窖
设直仓底长七尺濶五尺髙八尺求容粟数法曰以底濶乘长【得三十五尺】再以髙乘之【得二百八十尺】为实取木板四块如图错综合之令纵广及髙各一尺纳粟于内令平以升量之假如一斗二升即以之为法乘实得
三十三石六
斗即所求
解曰仓窖形
状不一求积
法俱详四巻