御制数理精蕴卷一十三
待言矣
三则
两盈
设有银七人分之盈二两五人分之盈八两求共银及分银数法曰列七人盈二两于右列五人盈八两于左先以右上乗左下【得五十六两】次以左上乗右下【得十两】两数对减【余四十六两】为共银实又以左下右下对减【余六两】为分银实另以左上右上对减【余二】为法以法除
共银实得二十三两为共
银数以法除分银实得三
两为每人分银数
解曰七人分之盈二两是
七倍三两朒于共银之数
以五人乗之则是三十五倍三两朒于五倍共银之数也又五人分之盈八两是五倍三两朒于共银之数以七人乗之则是三十五倍三两朒于七倍共银之数也今以三十五倍三两朒于五倍共银之数【即一十两】减三十五倍三两朒于七倍共银之数【即五十六两】所余必二倍共银之数矣故以五七对减之二为法除之即得共银也以法除分银实得分银数与前二则除人实物实得人数物数同
四则
两朒
设有银每人分七两朒八两每人分五两朒二两求人及银数法曰列分七两朒八两于右列分五两朒二两于左先以右上乗左下【得十四两】次以左上乗右下
【得四十两】两数相减【余二十六两】为
银实又以左下右下对减
【余六两】为人实另以左上右
上对减【余二两】为法以法除
银实得一十三两为银数
以法除人实得三为人数
解曰以五两乗朒八两得四十两为三十五倍三两盈于五倍共银之数以七两乘朒二两得一十四两为三十五倍三两盈于七倍共银之数相减之余必为二倍共银之数故以法除之得银数余同前解五则
一盈一朒
设木不知髙以索五折比之木朒二尺七折比之木盈三尺求木髙及索长法曰以五折因朒二尺得十
尺以七折因盈三尺得二
十一尺列五折朒十尺于
右列七折盈二十一尺于
左先以右上乘左下【得一百零
五尺】次以左上乗右下【得七十尺】
两数并【共一百七十五尺】为索实又并左下右下【共三十尺】为木实另以左上右上对减【余二折】为法以法除索实得八十七尺五寸为索长以法除木实得一十五尺五寸为木髙
觧曰同此一索或为七折或为五折必五折长而七折短也虽不知每折之度而每五长折之盈于五短折者必二短折每七短折之朒于七长折者必二长折今长折盈于木髙二尺【木朒于索是索盈于木也】五长折盈于五倍木髙必十尺以七乗十尺则为三十五长折盈于三十五倍木髙之度短折朒于木髙三尺【木盈于索是索朒于木也】七短折朒于七倍木髙必二十一尺以五乘二十一尺则为三十五短折朒于三十五倍木髙之度两数并【即一百七十五尺为索实者】则三十五长折盈于三十五短折之度矣然三十五长折盈于三十五短折者即七倍五长折盈于七倍五短折之度亦即五倍七短折朒于五倍七长折之度也五倍七短折之朒于五倍七长折者十长折之度也七倍五长折之盈于七倍五短折者十四短折之度也十四短折为索之倍长十长折亦索之倍长也故以五七对减之二除之得索长余同前解
六则
带分子母盈适足【朒适足同】
设物以银三分之二买之盈五两以银二分之一买之适足求物价银数法曰列母三子二盈五两于右列母二子一于左先以右上乘左中得三两即以三两乘右下【得一十五两】为物实又以两母相乗得六两即
以六两乗右下【得三
十两】为银实又以左
上乗右中【得四两】与
左中得数相减【余一
两】为法以法除物
实仍得一十五两为物价以法除银实仍得三十两为银数
解曰以两母相乗得六两取两母之齐数也【六两为二倍三两亦三倍二两也】右母乗左子得三两即六两二分之一也左母乗右子得四两即六两三分之二也以六两三分之二之四两与六两二分之一之三两较相差止一两今三分之二盈五两二分之一适足是元银三分之二与元银二分之一较则相差五两矣以相差之五两与相差之一两较为五倍之比例因知元银之与六两物价之与三两必皆为五倍之比例法以六两乗五两以一两除之者是借一两与五两之比例因六两以求元银也以三两乗五两以一两除之者亦借一两与五两之比例因三两以求物价也七则
带分子母两盈【两朒同】
设物以银四分之三买之盈七两五钱以银六分之四买之盈五两求物价银数法曰列母四子三盈七两五钱于右列母六子四盈五两于左先以右上乘
左中得一十六两
即以一十六两乗
右下【得一百二十两】次以
左上乗右中得一
十八两即以一十
八两乗左下【得九十两】两数相减【余三十两】为物实又以两母相乗得二十四两以二十四两乗右下【得一百八十两】以二十四两乗左下【得一百二十两】两数相减【余六十两】为银实另以左中右中两得数相减【余二两】为法以法除物实得一十五两为物价以法除银实得三十两为银数解曰二十四两为两母之齐数左中得十六两为二十四两六分之四右中得十八两为二十四两四分之三两数相差二两今盈五两与盈七两五钱较则差二两五钱是二十四两与元银之比例必若二两与二两五钱矣以二十四两乗两下对减为银实以法除之亦借比例法也【先乗后相减与先减后乗得数同】又求物实本当以元银六分之四乗右下四分之三乗左下然尚未得两率之数不得不借与两率比例等者用之与两率之比例等者乃二十四两六分之四之十六与四分之三之十八也故以之互乗两下左得九十两为一十八倍元银六分之四盈于一十八倍物价之数右得一百二十两为一十六倍元银四分之三盈于一十六倍物价之数而一十六倍四分之三与一十八倍六分之四两数实等是以对减之余即为二倍物价也故以十六十八对减之二除之得物价八则
带分子母一盈一朒
设物以银十二分之七买之盈二两五钱以银六分之二买之朒五两求物价银数法曰列母十二子七盈二两五钱于右列母六子二朒五两于左先以右上乗左中得二十四两即以二十四两乗右下【得六十两】
次以左上乗右中
得四十二两即以
四十二两乗左下
【得二百一十两】两数并【共二
百七十两】为物实又以
两母相乗得七十二两以七十二两乗左下【得三百六十两】以七十二两乗右下【得一百八十两】两数并【共五百四十两】为银实另以左中右中两得数相减【余一十八两】为法以法除物实得一十五两为物价以法除银实得三十两为银数
解曰七十二两为两母之齐数二十四两为七十二两六分之二四十二两为七十二两十二分之七两数相差十八两并盈朒两数共七两五钱【一盈一朒相并犹两盈两朒相减也】为元银十二分之七与六分之二相差之数是七十二两与元银之比例必若十八两之与七两五钱矣以七十二两乗两下相并为银实以十八除之亦借比例法也【解同前】又求物实以四十二两乗左下得二百一十两为四十二倍六分之二朒于四十二倍物价之数以二十四两乗右下得六十两为二十四倍十二分之七盈于二十四倍物价之数然四十二倍六分之二实与二十四倍十二分之七等今并六十两与二百一十两共二百七十两必四十二倍物价盈于二十四倍物价之数也四十二倍物价之盈于二十四倍物价者即十八倍物价故以十八为法除之得物价○又法以左中得数二十四两乗左下得数二百一十两得五千零四十两以右中得数四十二两乗右下得数六十两得二千五百二十两并两数共七千五百六十两另以两子二七相乗得一十四两除之得五百四十两为银实以前法十八除之得数同○左下先以四十二乗之又以二十四乗之右下先以二十四乗之又以四十二乗之犹以二十四与四十二相乗得一千零八以乗之也以一千零八乗之又以两中相乗得一十四除之犹以一十四除一千零八得七十二以乗之也前法元以两母相乗得七十二以乗两下得数相并为银实与后法无异故得数同也
数学钥巻五下之上
钦定四库全书
数学钥卷五下之下
柘城杜知耕撰
方程
一则
二色方程
设稻三石菽二石共价银八两二钱四分又稻四石菽五石共价银一十二两二钱求二色价法曰列稻三石菽二石价八两二钱四分于右列稻四石菽五
石价一十二两二
钱于左先以右稻
遍乗左行【菽得一十五石
价得三十六两六钱】次以左
稻遍乗右行【菽得八石】
【价得三十二两九钱六分】以两价得数对减【余三两六钱四分】为实以两菽得数相减【余七石】为法除之得五钱二分为菽每石价以右行菽二石因之【或用左行菽五石亦可】得一两零四分为菽二石价以减右共价余七两二钱为稻三石价以稻三石归之得二两四钱为稻每石价
解曰欲得稻菽二色价须先求菽一色价欲求菽一色价须先减去稻数及稻价欲减去稻数及稻价必先齐两行稻数稻价而使之等今左价一十二两二钱为稻四石菽五石之共价以右稻三石遍乗之价得三十六两六钱是三倍元价矣既三倍元价则必为三倍稻数十二石三倍菽数十五石之共价右价八两二钱四分为稻三石菽二石之共价以左稻四石遍乗之价得三十二两九钱六分是四倍元价矣既四倍元价则必为四倍稻数十二石四倍菽数八石之共价两行稻数既各十二石是稻数齐矣稻数齐而稻价因之亦齐矣于稻十二石菽十五石价内减去稻十二石菽八石之价所余非菽七石之价而何故以两菽对减之七石除之得菽价菽价既得求稻价不须解矣○如欲先得稻价则列两菽数于两稻数之上以右菽二石遍乗左行以左菽五石遍乗右行两价得数相减余十六两八钱为实两稻得数对减余七石为法除之得稻价此与前法同
前齐稻数故先得
菽价此齐菽数故
先得稻价也○前
稻数齐以十二石
后菽数齐以十石
法中不曽明言十二石十石乃暗用数也后仿此二则
三色方程一法
设稻五石麦七石菽四石共价银二十六两六钱八分又稻四石麦二石菽三石共价银一十四两七钱六分又稻七石麦五石菽七石共价银二十九两四
钱四分求
三色价前
法曰列稻
五石麦七
石菽四石
价二十六
两六钱八
分于左列稻四石麦二石菽三石价一十四两七钱六分于中列稻七石麦五石菽七石价二十九两四钱四分于左先以中稻四石遍乗右行【麦得二十八石菽得一十六石价得一百零六两七钱二分】以右稻五石遍乗中行【麦得一十石菽得一十五石价得七十三两八钱】两行对减麦余一十八石菽余一石价余三十二两九钱二分次以中稻四石遍乗左行【麦得二十石菽得二十八石价得一百一十七两七钱六分】以左稻七石遍乗中行【麦得一十四石菽得二十一石价得一百零三两三钱二分】两行对减麦余六石菽余七石价余一十四两四钱四分
解曰二色方程减去一色即得余一色之价三色方程必减去二色方得一色之价然无一算并减二色之法故前法互乗对减先减去一色也
后法曰列余麦一十八石余菽一石余价三十二两九钱二分于右列余麦六石余菽七石余价一十四两四钱四分于左先以右麦一十八石遍乗左行【菽得一百二十六石价得二百五十九两九钱二分】次以左麦六石遍乗右行【菽得六石价得一百九十七两五钱二分】以两价得数对减【余六十二两四钱】为实以两菽得数对减【余一百二十石】为法除之得五钱二分为
菽价以左菽七石
因之【得三两六钱四分】以
减左价【余十两零八钱】以
左麦六石除之得
一两八钱为麦价
取前图中行麦二石因麦价【得三两六钱】菽三石因菽价【得一两五钱六分】并两数【共五两一钱六分】减中价【余九两六钱】以中稻四石除之得二两四钱为稻价
解曰减去稻数稻价余麦菽二色故用二色方程法得菽价
三则
三色方程二法
设稻五石麦七石菽四石共价银二十六两六钱八
分又稻四
石麦二石
菽三石共
价银一十
四两七钱
六分又麦五石菽七石共价银一十二两六钱四分求三色价前法曰列稻五石麦七石菽四石价二十六两六钱八分于右列稻四石麦二石菽三石价一十四两七钱六分于左先以右稻五石遍乗左行【麦得十石菽得一十五石价得七十三两八钱】次以左稻四石遍乗右行【麦得二十八石菽得一十六石价得一百零六两七钱二分】两行对减麦余一十八石菽余一石价余三十二两九钱二分
解曰麦五石菽七石价十二两六钱四分不与两行并列何也葢前法元为减去稻价稻数取麦菽二色今此率本无稻数稻价故直与余麦余菽余价并列为后法也
后法曰列麦五石菽七石价一十二两六钱四分于右列余麦一十八石余菽一石余价三十二两九钱
二分于左先以右
麦五石遍乗左行
【菽得五石价得一百六十四两六钱】次以左麦一十八
石遍乗右行【菽得一百】
【二十六石价得二百二十七两五钱二分】以两价得数相减【余六十二两九钱二分】为实以两菽得数对减【余一百二十一石】为法除之得五钱二分为菽价【求麦价稻价同前】
四则
正负同异加减一法
设麦七石稷五石共价银一十六两二钱五分今以麦二石増银二两二钱四分换稷八石求二色价法曰列正麦七石正稷五石正价一十六两二钱五分于右列负麦二石正稷八石正价二两二钱四分于
左先以右正麦七
石遍乗左行【稷得五十
六石价得一十五两六钱八分】次
以左负麦二石遍
乗右行【稷得十石价得三十】
【二两五钱】两价得数同名相加【共四十八两一钱八分】为实两稷得数同名相加【共六十六石】为法除之得七钱三分为稷价【求麦价同一则】
解曰左行价二两二钱四分増二石麦价方与稷八石之价等麦二石乃倒欠之数故谓之负余皆谓之正者所以别于负也左右两麦相乘各得一十四石为正负之齐数以负麦遍乗右行价得三十二两五钱为麦一十四石稷十石之共价以正麦遍乗左行价得一十五两六钱八分尚欠一十四石麦价不足稷五十六石之价若将右行麦一十四石之价移于左行则右银必为稷十石之价左银必为稷五十六石之价故并之为稷六十六石之价○以正加正以负加负谓之同名相加以正减正以负减负谓之同名相减以正加负以负加正谓之异名相加以正减负以负减正谓之异名相减
五则
正负同异加减二法
设稻四石黍七石共价银一十五两五钱五分今以黍三石増银九两四钱五分换稻五石求二色价法曰列正稻四石正黍七石正价一十五两五钱五分于右列正稻五石负黍三石正价九两四钱五分于左先以右正稻四石遍乗左行【黍得一十二石价得三十七两八钱】次
以左正稻五石遍
乗右行【黍得三十五石价得
七十七两七钱五分】两价得
数同名相减【余三十九
两九钱五分】为实两黍
得数异名相加【共四十七石】为法除之得八钱五分为黍价【求稻价同一则】
解曰以右稻遍乗左行价得三十七两八钱尚欠一十二石黍价不足稻二十石之价以左稻遍乗右行价得七十七两七钱五分为稻二十石黍三十五石之共价若以稻二十石全价减之必余黍三十五石之价今以左行尚欠一十二石黍价不足稻二十石之价减之故余四十七石黍价也
六则
正负同异加减三法
设麦五石稷八石共价银一十四两八钱四分又麦四石黍二石共价银八两九钱又黍五石稷三石共价银六两四钱四分求三色价前法曰列麦五石黍
空稷八石
价一十四
两八钱四
分于右列
麦四石黍
二石稷空价八两九钱于左先以右麦五石遍乗左行【黍得十石价得四十四两五钱】次以左麦四石遍乗右行【稷得三十二石价得五十九两三钱六分】两行对减右行黍空取左黍十石为本位负数左行稷空右稷无减仍得三十二石价余一十四两八钱六分
解曰以右麦遍乗左行价得四十四两五钱为麦二十石黍十石之共价以左麦遍乗右行价得五十九两三钱六分为麦二十石稷三十二石之共价两价对减必余右稷三十二石与左黍十石两价相差之数于右立负黍十石者谓余价一十四两八钱六分再増黍十石之价方足稷三十二石之价犹以黍十石増银一十四两八钱六分换稷三十二石也或问右行黍空左行稷空不立负于左而必立负于右者何也葢前法原于多内减少以取二色之价今右稷三十二石价多于左黍十石价若于左立负稷亦须立负价矣是以立负于右而不立于左也
后法曰列正黍五石正稷三石正价六两四钱四分
于右列余负黍十
石余正稷三十二
石余正价一十四
两八钱六分于左
先以右正黍五石
遍乗左行【稷得一百六十石价得七十四两三钱】次以左负黍十石遍乗右行【稷得三十石价得六十四两四钱】两价得数同名相加【共一百三十八两七钱】为实两稷得数同名相加【共一百九十石】为法除之得七两三钱为稷价【求麦价黍价同二则】
解曰后法同四则
七则
正负同异加减四法
设麦四石黍五石价银一十一两四钱五分又麦五石稷二石价银一十两零四钱六分又黍四石稷七
石价银八
两五钱一
分求三色
价前法曰
列麦四石
黍五石稷空价一十一两四钱五分于右列麦五石黍空稷二石价一十两零四钱六分于左先以右麦四石遍乗左行【稷得八石价得四十一两八钱四分】次以左麦五石遍乗右行【黍得二十五石价得五十七两二钱五分】两行对减左行黍空右黍无减仍得二十五石右行稷空取左稷八石为本位负数价余一十五两四钱一分
解曰右价得五十七两二钱五分为麦二十石黍二十五石之共价左价得四十一两八钱四分为麦二十石稷八石之共价两价对减余一十五两四钱一分即二十五石黍价多于八石稷价之数是以余银并八石稷价方足黍二十五石之价故立负稷八石也余同前则
后法曰列正黍四石正稷七石正价八两五钱一分
于右列余正黍二
十五石余负稷八
石余正价一十五
两四钱一分于左
先以右正黍四石
遍乗左行【稷得三十二石价得六十一两六钱四分】次以左正黍二十五石遍乗右行【稷得一百七十五石价得二百一十二两七钱五分】两价得数同名相减【余一百五十一两一钱一分】为实两稷得数异名相加【共二百零七石】为法除之得七钱三分为稷价【求黍价麦价同二则】解曰后法同五则
八则
正负同异加减五法
设以稷七石増银四两零七分换麦二石粟九石又以麦三石换稷四石粟四石适平又以麦一石稷一石増银四两九钱一分换粟一十二石求三色价前法曰列正麦二石负稷七石正粟九石正价四两零七分于右列负麦三石正稷四石正粟四石价空于中列负麦一石负稷一石正粟一十二石正价四两
九钱一分
于左先以
右正麦二
石遍乗中
行【稷得八石粟得
八石价空】以中
负麦三石
遍乗右行【稷得二十一石粟得二十七石价得一十二两二钱一分】两稷得数异名相减余一十三石两粟得数同名相加共三十五石中价空无加仍得一十二两二钱一分
解曰右价得一十二两二钱一分是尚欠稷二十一石价不足麦六石粟二十七石之价中价空是稷八石粟八石适等于麦六石之价若减右麦六石即以稷粟各八石补之其价不须増减必相均平矣然右稷乃倒欠之数不可相加故减之减倒欠犹之加正数也
次以左负麦一石遍乗中行【稷仍得四石粟仍得四石价空】以中负麦三石遍乗左行【稷得三石粟得三十六石价得一十四两七钱三分】两稷得数异名相加共七石两粟得数同名相减余三十二石中价空无减仍得一十四两七钱三分
解曰左价得一十四两七钱三分是尚欠麦稷各三石价不足粟三十六石之价中价空是麦三石适等于稷粟各四石之价若减左负麦三石复减正稷正粟各四石其价不须増减必相均平然左非正稷乃倒欠之数不可相减故加之加倒欠犹之减正数也后法曰列余负稷一十三石余正粟三十五石余正价一十二两二钱一分于右列余负稷七石余正粟
三十二石余正价
一十四两七钱三
分于左先以右负
稷一十三石遍乗
左行【粟得四百一十六石价得】
【一百九十一两四钱九分】次以左负稷七石遍乗右行【粟得二百四十五石价得八十五两四钱七分】两价得数同名相减【余一百零六而零二分】为实两粟得数同名相减【余一百七十一石】为法除之得六钱二分为粟价【求麦价稷价同二则】
解曰两稷皆负两粟两价皆正左右相等故法同二色方程
九则
四色方程
设稻一石麦五石黍三石稷七石共价银一十九两零六分又稻八石麦四石黍七石稷六石共价银三十六两七钱三分又稻三石麦二石黍五石稷七石共价银二十两零一钱六分又稻四石麦二石黍六石稷四石共价银二十一两二钱二分求四色价前
法曰列稻一石麦五石黍三石稷七石价一十九两零六分于右列稻八石麦四石黍七石稷六石价三十六两七钱三分于次右列稻三石麦二石黍五石稷七石价二十两零一钱六分于次左列稻四石麦二石黍六石稷四石价二十一两二钱二分于左先以右稻一石遍乗次右行【仍得元数】以次右稻八石遍乗右行【麦得四十石黍得二十四石稷得五十六石价得一百五十二两四钱八分】两行对减麦余三十六石黍余一十七石稷余五十石价余一百一十五两七钱五分次以次右稻八石遍乗次左行【麦得十六石黍得四十石稷得五十六石价得一百六十一两二钱八分】以次左稻三石遍乗次右行【麦得十二石黍得二十一石稷得十八石价得一百一十两零一钱九分】两行对减麦余四石黍余一十九石稷余三十八石价余五十一两零九分末以次左稻三石遍乗左行【麦得六石黍得一十八石稷得一十二石价得六十三两六钱六分】以左稻四石遍乗次左行【麦得八石黍得二十石稷得二十八石价得八十两零六钱四分】两行对减麦余二石黍余二石稷余一十六石价余一十六两九钱八分
解曰前法减稻一色余麦黍稷三色
次法曰列余麦三十六石余黍一十七石余稷五十石余价一百一十五两七钱五分于右列余麦四石余黍一十九石余稷三十八石余价五十一两零九分于中列余麦二石余黍二石余稷一十六石余价一十六两九钱八分于左先以右麦三十六石遍乗中行【黍得六百八十四石稷得一千三百六十八石价得一千八百三十九两二钱四分】以中麦四石遍乗右行【黍得六十八石稷得二百石价得四百六十三两】两行对减黍余六百一十六石稷余一千一百六十八石价余一千三百七十六两二钱四分次以中麦四石遍
乗左行【黍得
八石稷得六十四石
价得六十七两九钱
二分】以左麦
二石遍乗
中行【黍得三十
八石稷得七十六石】
【价得一百零二两一钱八分】两行对减黍余三十石稷余一十二石价余三十四两二钱六分
觧曰次法减麦一色余黍稷二色
后法曰列余黍六百一十六石余稷一千一百六十八石余价一千三百七十六两二钱四分于右列余黍三十石余稷一十二石余价三十四两二
钱六分于左以右
黍六百一十六石
遍乗左行【稷得七千三百
九十二石价得二万一千一百零四
两一钱六分】以左黍三
十石遍乗右行【稷得三万五千零四十石价得四万一千二百八十七两二钱】两价得数对减【余二万零一百八十三两零四分】为实两稷得数对减【余二万七千六百四十八石】为法除之得七钱三分为稷价【求黍麦稻价同二则】
解曰后法同二色方程五色六色以上仿此○按方程之要在加减加减之闗键在首位【谓第一横行】首位同名则异名相加同名相减首位异名则同名相加异名相减然大略如是亦有不尽然者有应减者无可减而反加之有应加者无可加而反减之变化无穷【数学钥卷五下之下】
亦存乎人之自悟耳
<子部,天文算法类,算书之属,数学钥>
钦定四库全书
数学钥卷六凡例
柘城杜知耕撰
凡例
一则
纵曰股衡曰勾斜曰
二则
股大于勾者曰勾股较大于勾者曰勾较大于股者曰股较勾股并大于者曰和较
三则
勾股并曰勾股和勾并曰勾和股并曰股和勾股并曰勾股和亦曰和和
四则
勾股较加股较即勾较勾较减股较即勾股较和较加勾较即股和较加股较即勾和较加勾较股较即勾股较减股和即勾和勾股和加股较即勾和股和减勾和即勾股较股和减勾股和即勾较勾股较加勾股和半之为股勾股和减勾股较半之为勾股较加股和半之为股和减股较半之为股勾较加勾和半之为勾和减勾较半之为勾【用乗除开方相求者不在此例】
五则
或方形或直形有对角斜线者曰角线形
数学钥卷六凡例
钦定四库全书
数学钥卷六目録
柘城杜知耕撰
勾股
一则勾股求
二则勾求股
三则股求勾
四则勾股积及勾股较求
五则及勾股较求勾股积
六则及勾股积求勾股较
七则及勾股和求勾股较
八则勾股和及勾股积求
九则勾股和及勾股积求勾股较
十则及勾股较求勾股和
十一则勾股积及勾股较求勾股和
十二则及勾股积求勾股和
十三则勾和股和求勾股
十四则股及勾较求勾与
十五则勾及股较求股与
十六则股羃及勾较求勾和
十七则勾羃及股较求股和
十八则股羃及勾和求勾较
十九则勾羃及股和求股较
二十则勾较股较求勾股
二十一则相连之勾股求
二十二则相连之股求勾
二十三则相连之勾求股
【増】二十四则勾股形求对角之垂线
二十五则勾股形于上求自两角至垂线之度二十六则勾股形求容方一法
【西法】二十七则勾股形求容方二法
二十八则勾股形求容圆
【西法】二十九则勾股形求外切圆
三十则容方之勾股形以余勾余股求方边及全勾全股
三十一则容方之勾股形以余股及方边求余勾三十二则容方之勾股形以余勾及方边求余股三十三则日晷测髙
三十四则一表测髙
三十五则一表测逺
三十六则一表测广
三十七则一表测深
三十八则重表测髙逺
三十九则重表测广深
四十则测逺之逺
数学钥巻六目録
钦定四库全书
数学钥卷六
柘城杜知耕撰
勾股
一则
勾股求
设勾六尺股八尺求法曰置勾股各自乗【勾得三十六尺股得六十四尺】两数并【共一百尺】平方开之得十尺即所求解曰不论勾股相等与否勾上方形及股上方形并
必与上方形等如甲乙丙
勾股形甲乙勾与丙乙股等
试作乙丁等髙同底方形其
边与甲乙等必为勾上方又
与丙乙等亦必为股上方再
作戊巳外切方形其边与甲丙等即为上方若于形内减去乙丁方形余甲乙戊等四三角形并之复等一乙丁方形【一卷十一则】以乙丁为勾方以等乙丁之四三角形为股方并之不等于戊巳方乎又如庚
辛壬勾股形庚辛短辛壬长
勾与股不相等者于庚辛勾
辛壬股庚壬上各作方形
为庚癸辛子辛丑次作辛寅
辛癸辛辰壬丑庚子五线几
何原本云庚辛壬与庚辛午既皆方角即午辛辛壬是一直线依显庚辛辛巳亦一直线又壬庚辰与辛庚丑既皆方角而每加一辛庚壬角即辛庚辰与壬庚丑两角亦等依显辛壬癸庚壬子两角亦等又庚
辛辰三角形之辛庚庚
辰两边与庚壬丑三角
形之丑庚庚壬两边等
辛庚辰与壬庚丑两角
复等则对等角之辛辰
与壬丑两边亦等而此
两三角形亦等矣夫辛
丑方形倍大于同庚丑底同在平行线内之庚壬丑三角形【一卷八则既谓直形等于平行线内同底之象目形则必能倍大于平行线内同底之三角形】而辰卯直形亦倍大于同庚辰底同在平行线内之庚辛辰三角形则辛丑方形不与辰卯直形等乎依显辛子方形与癸卯直形等则癸庚一形与辛子辛丑两形并等矣法以勾股各自乗求勾股上两方形也两形并则为上之方积故平方开之得也二则
勾求股
设勾六尺十尺求股法曰置勾各自乗【勾得三十六尺得一百尺】两数相减【余六十四尺】平方开之得八尺即所求解曰上方积当一勾一股上方积于积内减去勾积所余非股积而何故平方开之得股
三则
股求勾
设股八尺十尺求勾法曰置股各自乗【股得六十四尺得一百尺】两数相减【余三十六尺】平方开之得六尺即所求解曰积内减去股积所余必勾积故平方开之得勾
四则
勾股积及勾股较求
设勾股积二十四尺勾股较二尺求法曰置勾股积四因之【得九十六尺】另置勾股较自乗【得四尺】两数并【共一百尺】平方开之得十尺即所求
解曰甲乙丙
勾股形与戊
巳甲丁庚戊
乙辛丁三勾
股形等甲丙
为甲乙丙形之股甲巳为戊巳甲形之勾于甲丙截甲巳余己丙则勾股较也丙辛辛庚庚巳各与己丙等是己辛为勾股较上方形又甲乙为甲乙丙形之而丁乙戊丁甲戊各与甲乙等是甲丁为上方形今并五形成一甲丁方形则是一上方形与四
勾股积一勾股较上方积并等矣
故四因勾股积并入勾股较自乗
之积平方开之得也又如壬子
癸勾股形壬子勾与子癸股等四
形并即成一壬丑上方形而无余凡遇勾股相等之勾股形四因积平方开之即得度
五则
及勾股较求勾股积
设十尺勾股较二尺求勾股积法曰置与勾股较各自乗【得一百尺勾股较得四尺】两数相减【余九十六尺】以四归之得二十四尺即所求
解曰上方积减去勾股较上方积必余四勾股积故四归之得一勾股积
六则
及勾股积求勾股较
设十尺勾股积二十四尺求勾股较法曰置自乗【得一百尺】另置勾股积四因之【得九十六尺】两数相减【余四尺】平方开之得二尺即所求
解曰上方积减去四勾股积所余必勾股较上方积故平方开之得勾股较
七则
及勾股和求勾股较
设十尺勾股和一十四尺求勾股较法曰置自乗
【得一百尺】倍之【得二百尺】另置勾股和
自乗【得一百九十六尺】两数相减【余四尺】平方开之得二尺即所求
解曰甲巳方形内凡八勾股
形而皆等乙戊为戊丁乙形
之股甲乙为乙丙甲形之勾甲乙乙戊并得甲戊乃勾股和也余三边皆等于甲戊是甲己为勾股和上方形又丙丁为上方形辛壬为勾股较上方形【本卷
四则】夫上方形内得勾股形
四及勾股较上方形一勾股
和上方形内得勾股形八及
勾股较上方形一是一勾股
和上方形当上方形二而
少一勾股较上方形也故倍
羃减勾股和自乗之积平方开之得勾股较八则
勾股和及勾股积求
设勾股和一十四尺勾股积二十四尺求法曰置勾股和自乗【得一百九十六尺】另置勾股积四因之【得九十六尺】两数相减【余一百尺】平方开之得十尺即所求
解曰勾股和上方大于上方者四勾股积也故相减开方得
九则
勾股和及勾股积求勾股较
设勾股和一十四尺勾股积二十四尺求勾股较法曰置勾股和自乗【得一百九十六尺】另置勾股积八因之【得一百九十二尺】两数相减【余四尺】平方开之得二尺即所求解曰勾股和上方大于勾股较上方者八勾股积也故相减开方得勾股较
十则
及勾股较求勾股和
设十尺勾股较二尺求勾股和法曰置自乗【得一百尺】倍之【得二百尺】另置勾股较自乗【得四尺】两数相减【余一百九十六尺】平方开之得一十四尺即所求
解曰倍上方积大于勾股和上方积者勾股较上方积也故相减开方得勾股和
十一则
勾股积及勾股较求勾股和
设勾股积二十四尺勾股较二尺求勾股和法曰置勾股积八因之【得一百九十二尺】另置勾股较自乗【得四尺】两数并【共一百九十六尺】平方开之得一十四尺即所求解曰即九则法反用之
十二则
及勾股积求勾股和
设十尺勾股积二十四尺求勾股和法曰置自乗【得一百尺】另置勾股积四因之【得九十六尺】两数并【共一百九十六尺】平方开之得一十四尺即所求
解曰即八则法反用之
十三则
勾和股和求勾股
设勾和一十六尺股和一十八尺求勾股法曰置勾和股和相乗【得二百八十八尺】倍之【得五百七十六尺】平方开之得二十四尺为勾股和与勾和相减
余八尺即股与股和相减
余六尺即勾与二勾一股相
减余十尺即
解曰甲乙直形为勾和股
和矩内形乙丁乙丙皆与
等丁戊与勾等丙庚与股等则己乙必为方巳戊必勾矩内形己庚必股矩内形甲巳必勾股矩内形辛壬方形为勾股和上方形壬癸壬子皆与等癸丑子寅皆与股等丑卯寅辰皆与勾等则
巳壬必为
方午巳必为
股方辛午必
为勾方未癸
申子必皆股
矩内形酉
丑戌寅必皆勾矩内形午酉午戌必皆勾股矩内形今以辛壬方形与甲乙直形较则未癸申子并倍于己庚酉丑戌寅并倍于巳戊午酉午戌并倍于甲巳又午巳股方与辛午勾方并与己壬方等是己壬午巳辛午三形并复倍于己乙分形既倍大于分形全形亦必倍大于全形是勾股和上方形一与勾和股和矩内形二并等矣故以勾和乗股和倍而开方得勾股和也于勾股和内减去一一股所余必勾减去一一勾所余必股减去一勾一股所余必也
十四则
股及勾较求勾与
设股八尺勾较四尺求勾法曰置股自乗【得六十四
尺】另置勾
较自乗【得一十六
尺】两数相减
【余四十八尺】折半
【得二十四尺】以勾
较除之得
六尺即勾加勾较得十尺即
解曰甲乙为上方形丙丁为勾上方形戊巳为勾较上方形于甲乙方内减去丙丁勾方所余必股上方积成一辛壬癸磬折形再减去勾较上方形所余必甲庚庚乙二直形而以甲丙乙丁为濶丙庚庚丁为长甲丙乙丁即勾较也丙庚庚丁为勾上方形之边即勾也法以两数相减所余者即二直形也折半者取二直形之一也以勾较除之得勾者即以濶除积得长也○或以两数相减之四十八尺为实倍勾较除之亦得勾○或以股自乗为实以勾较除之得数减勾较折半亦得勾
十五则
勾及股较求股与
设勾六尺股较二尺求股法曰置勾自乗【得三十六
尺】另置股较自乗【得四尺】两
数相减【余三十二尺】折半【得一十六尺】以股较除之得八尺即股
加股较共十尺即
解曰甲乙方内减去丙丁
股方戊巳股较方所余必甲
庚庚乙两直形折半则得一直形故以股较除之得股十六则
股羃及勾较求勾和
设股羃六十四尺勾较四尺求勾和法曰置股
羃为实以勾较除之
得一十六尺即所求
解曰十四则辛壬癸磬
折形其甲乙元与等
丙丁元与勾等若移癸
于戊则成辛壬戊直形以勾较为濶勾和为长矣故以勾较除股羃得勾和
十七则
勾羃及股较求股和
设勾羃三十六尺股
较二尺求股和法曰
置勾羃为实以股较
除之得一十八尺即所
求
解曰十五则辛壬癸磬折形其甲乙元与等丁丙元与股等若移癸于戊亦成辛壬戊直形以股较为濶股和为长矣故以股较除勾羃得股和十八则
股羃及勾和求勾较
设股羃六十四尺勾和一十六尺求勾较法曰置股羃为实以勾和除之得四尺即所求
解曰即十六则法反用之
十九则
勾羃及股和求股较
设勾羃三十六尺股和一十八尺求股较法曰置勾羃为实以股和除之得二尺即所求
解曰即十七则法反用之
二十则
勾较股较求勾股
设勾较四尺股较二尺求勾股法曰置勾较股较相乗【得八尺】倍之【得一十六尺】平方开之【得四尺】加股较得六尺即勾加勾较得八尺即股加勾
较股较得十尺即
解曰甲乙为方丁乙为勾
方甲丙为股方以丁乙勾方
甲丙股方错综加于甲乙
方之上必缺戊巳庚辛二直
形而重一丁丙方形然丁丙
方形必能补二直形之缺而与之等何也丁乙勾方甲丙股方并等于甲乙方若丁丙方形或大或小于二直形则是勾方股方并不与方等矣夫勾方股方并既与方等则二直形并亦必与丁丙方形等法以两较相乗而倍之者求二直形也【二直形以戊壬癸辛勾较为长以壬巳癸庚股较为濶】平方开之者求丁丙方形之一边也以一边加股较之癸庚得癸丁即勾加勾较之戊壬得丙壬即股加一勾较之戊壬一股较之癸庚得癸丁及戊壬即
二十一则
相连之勾股求
设圆柱髙二十尺周三尺以索绕柱七周与柱适齐
求索长法曰置柱周
三尺以索绕七周因
之【得二十一尺】自乗【得四百四
十一尺】另置柱髙自乗
【得四百尺】两数并【共八百四十一
尺】平方开之得二十
九尺即所求
解曰索绕柱七周即
七叚勾股也柱髙二十尺为七股七周二十一尺为七勾索长为七也此条元当七归柱髙取七股之一用勾股求法得数七因之为长然七归二十尺乃畸零不尽之数不得不七因勾以就股也以柱髙为股即并丁戊等七小股成一丙乙大股以七周为勾即并甲戊等七小勾成一甲乙大勾夫七小勾小股并既同于大勾大股而总求一甲丙大有不同于甲丁等七小并乎故求甲丙大为索长也二十二则
相连之股求勾
设圆柱髙二十尺索长二十九尺绕柱七周索与柱齐求柱周法曰置柱索各自乗【柱得四百尺索得八百四十一尺】两数相减【余四百四十一尺】平方开之【得二十一尺】以索绕七周归之得三尺即所求
解同前
二十三则
相连之勾求股
设圆柱周三尺索长二十九尺绕柱七周索与柱齐求柱髙法曰置柱周七因之【得二十一尺】自乗【得四百四十一尺】另置索自乗【得八百四十一尺】两数相减【余四百尺】平方开之得二十尺即所求
解同二十一则
二十四则
勾股形求对角之垂线
设勾六尺股八尺十尺求对角垂线法曰置勾股相乗【得四十八尺】以除之得四尺八寸即所求解曰勾股相乗必得丁丙直形与甲戊直形等何也丁丙直形倍大于甲乙丙勾股形甲戊直形
亦倍大于甲
乙丙勾股形
故等也以
除积得垂线
即以长除积
得濶也
二十五则
勾股形于上求自角至垂线之度
设勾三尺股四尺五尺求自角至垂线之度法曰
置勾自
乗【得九尺】以除
之得一
尺八寸
即乙角
至垂线之度与相减得三尺二寸即甲角至垂线之度
解曰甲乙上方形以对角戊丁线分之必成二直形而丁乙其一也丁乙直形与勾上方形等【本卷一则】以乙巳除之必得戊乙之度法以除者葢甲乙与乙巳等也○若欲先得甲戊则以除股羃
又法曰置为实以勾羃九尺乗之【得四十五尺】并勾股羃二十五尺除之亦得一尺八寸
解曰凡两形等髙形与形之比例若线与线【一卷四十五则】甲丁戊巳两形既等髙【图同前】则其比例必若甲戊与戊乙又甲丁与股羃等戊巳与勾羃等则股羃与勾羃之比例亦若甲戊与戊乙矣此借两羃之比例因全以求戊乙也○若欲先得甲戊则以股羃乗并两羃除之
又法曰并勾股【共七尺】以勾股较乗之【仍得七尺】以除之【得一尺四寸】与相减【余三尺六寸】折半亦得一尺八寸解曰此三角形求对角垂线法也【一卷三十一则】○若欲先得甲戊以一尺四寸与相并折半即得
二十六则
勾股求容方一法
设勾六尺股一十二尺求容以角切之方形法曰置勾股相乗【得七十二尺】以勾股相并【共一十八尺】除之得四
尺即容方之边
解曰甲乙丙勾股形
分甲丙于丁令丁
甲与丁丙之比例若
勾与股自丁作丁乙
线必分勾股形为甲丁乙乙丁丙两三角形一以勾为底一以股为底又两分形之比例亦若勾与股【防何原本云凡两形等髙者形与形之比例若底与底反之凡形与形之比例若底与底者两形之高必相等】令两分形各倍积求对角之垂线【本卷二十四则】一得丁戊一得丁巳两线必相等何也两垂线即两形之正髙两形之髙既等故两垂线必等也两线既等而又为为勾及股之垂线复切于丁则己戊形必为勾股所容之方而丁戊丁巳即容方之边也然分求之如是合求之亦必如是若并两形之倍积为实并两底除之亦得容方之边与丁戊【或丁已】等夫两形之倍积即勾与股相乗之积也两分形之底即勾与股也故置勾股相乗并勾股除之即得容方之度也
二十七则
勾股求容方二法
设一十五尺对角垂线五尺求容以角切勾与股之方形法曰置垂线为实以乗之【得七十五尺】以垂线
并除之得三尺七
寸五分即容方之边
解曰甲乙丙勾股形
丙丁为对角垂线分
垂线于戊令丙戊与
戊丁之比例若丙丁与甲乙则戊丁即所求之方边防何原本云作庚戊己线与甲乙平行次作庚壬己辛两线各与丙丁平行己庚既与甲乙平行即甲丁与丁乙若己戊与戊庚也合之即甲乙与丁乙若己庚与戊庚也又丁乙与丙丁若戊庚与丙戊平之即甲乙与丙丁若己庚与丙戊也又丙丁与甲乙若丙戊与戊丁平之即甲乙与甲乙若己庚与戊丁也甲乙与甲乙同线必等即己庚与戊丁必等而己庚与辛壬又等戊丁与己辛庚壬亦等则辛庚形必勾股所容之方形而戊丁即方边之度法以乗垂线而并与垂线除之者借甲乙与丙丁之比例因丙丁以求戊丁也
二十八则
勾股求容圆
设勾二十七尺股三十六尺四十五尺求容圆法曰置勾股相乗【得九百七十二尺】为实并勾股【共一百零八尺】除之得九尺即容圆之半径倍之得一十八尺即全径解曰甲乙丙勾股形自三角各出一线平分各角相
遇于丁即分勾股形为甲丁
乙乙丁丙丙丁甲三三角形
一以全形之勾为底一以股
为底一以为底各角既平
分而复有一边同线则三形
必等髙令三形各倍积求对角之垂线【本卷二十四则】一得丁戊一得丁已一得丁庚三垂线必等何也三垂线即三形之正髙三形既等髙故垂线必等也三线既等其相遇处必容圆之心【几何原本云凡圆内出三线至界而皆等者其防必是圆心】而三线皆半径也然分求之如是合求之亦必如是若并三形之倍积为实并三底除之亦得容圆之半径与丁戊【或丁已或丁庚】等夫三分形之倍积即勾与股相乗之积也三分形之底即勾股也故置勾股相乗并勾股除之得容圆之半径也
二十九则
勾股求外切圆
设勾股长二十八尺求外切圆周法曰置二十二乗七除得八十八尺即所求
解曰此圆径求周法也【二卷一则】今以之求勾股外切圆
形何也凡圆内以径为底任
作三角形皆成勾股如甲乙
丙形丙为方角甲乙丁形丁
为方角甲乙戊形戊为方角
反之以为径作圆必外切
勾股形之方角
三十则
容方之勾股以余勾余股求方边及全勾全股
设容方之余勾二尺余股八尺求方边及全勾股法曰置余勾余股相乗【得一十六尺】平方开之得四尺即方
边以四尺加余勾得六
尺即全勾以四尺加余
股得一十二尺即全股
解曰甲乙丙勾股形容
壬巳方形自甲作甲丁
线以丙丁线联之成乙
丁直形复于己庚壬庚
两线引之至戊至辛必分乙丁直形为四形其甲庚庚丙同依甲丙对角线为两角线形其乙庚庚丁为两余形两余形之容必相等防何原本云甲丙对角线必分乙丁全形为丁甲丙乙丙甲相等两勾股形亦分庚丙角线形为辛庚丙巳丙庚相等两勾股形亦分甲庚角线形为戊甲庚壬庚甲相等两勾股形试于乙丙甲形内减去己丙庚形于丁甲丙形内减去辛庚丙形乙丙甲丁甲丙两形既等减去之己丙庚辛庚丙两形复等则所余之甲乙庚巳甲丁庚辛两斜方形必相等再于甲乙庚己形内减去甲庚壬形于甲丁庚辛形内减去戊甲庚形两斜方既等减去之甲庚壬戊甲庚两形复等所余戊辛直形与壬巳方形安得不等夫甲乙丙勾股形之甲乙勾减去壬巳方形之壬乙边余甲壬即余勾丙乙股减去己乙边余丙巳即余股辛庚与余股等戊庚与余勾等则戊辛直形之容必即余勾余股相乗之积而戊辛直形又与壬巳方形等则壬巳方形之容亦必余勾余股相乗之积也故置余勾股相乗平方开之得容方边也
三十一则
容方之勾股以余股及方边求余勾
设容方之余股八尺方边四尺求余勾法曰置方边自乗【得 十六尺】以余股除之得二尺即所求
解曰壬己方形既等于戊辛直形【图同前】而直形以余股为长以余勾为濶故以余股除积得余勾
三十二则
容方之勾股以余勾及方边求余股
设容方之余勾二尺方边四尺求余股法曰置方边自乗【得一十六尺】以余勾除之得八尺即所求
解同前
三十三则
日晷测高
设物不知髙止得物景一十二尺立表八尺表景二尺四寸求物髙法曰置物景为实以表髙乗之【得九十六尺】以表景除之得四十尺即所求
解曰物髙与物景表高与表景各以日光联之必皆
成勾股形而
体势等凡两
形体势等者
其比例必等
物髙与物景
之比例必若表髙之与表影也又表影与物景之比例必若表髙之与物髙也今物景既五倍于表景因知物高亦必五倍于表髙矣法以表髙乗物景而以表景除之者借表景与物景之比例因表髙以求物髙也
三十四则
一表测髙
设物不知髙距物二十五尺立表十尺又退行五尺立窥表四尺自窥表望之物末与表末相齐成一直线求物髙法曰置表距髙物二十五尺为实以窥表减表【余六尺】乗之【得一百五十尺】以退行五尺除之得三十尺为表外之髙加表髙共四十尺即物髙
解曰癸丁为物髙壬子为表髙乙丑为窥表乙丁对
角线为视线戊壬为表距髙
物之二十五尺壬辛为窥表
减表所余之六尺乙辛为退
行之五尺也甲丙一形分为
四形其辛巳戊庚为两角线
形其甲壬壬丙为两余形两
余形之容必相等【本卷三十则】法
以窥表减表以乗距髙物之
度必得甲壬余形之积甲壬
既等于壬丙则甲壬余形之积亦即壬丙余形之积矣故以退行五尺除之得庚壬庚壬与丁戊等丁戊则物髙于表之度也是以加表得物之全髙
三十五则
一表测逺
设物不知逺立表四尺退二尺五寸立窥表四尺五寸自窥表望之物脚与表末相齐成一直线求物逺法曰置表髙为实以退二尺五寸乗之【得十尺】以表减
窥表【余五寸】除之得二十尺
即表距逺物之度
觧曰以退二尺五寸乗表
髙必得辛巳余形之积然
辛己与戊庚等则辛己余
形之积亦即戊庚余形之
积矣故以表减窥表所余
之五寸除之得壬戊壬戊与辛甲等辛甲则表距逺物之度也
三十六则
一表测广
设邑不知广立窥表于甲甲距邑丁角五百尺立表于壬自甲视邑之丙角与表相齐成一直线次移前表于戊令戊壬与邑平行自甲视邑之丁角亦与表相齐成一直线自甲至戊二尺戊至壬六尺求邑广法曰置窥表距丁角五百尺为实以戊至壬六尺乗之【得三千尺】以甲至戊二尺除之得一千五百尺即邑广解曰戊庚辛己两余形既等每加一辛戊角线形成
甲庚甲己两直形两
形之容必亦等何也
两余形既等所加者
复等故也法以戊壬
乗甲丁必得甲庚直
形之积甲庚直形之
积即甲己直形之积
也故以甲戊除之得
戊巳戊巳与丁丙等丁丙则邑广也
三十七则
一表测深
设井不知深
井面濶八尺
自井边退二
尺立表六尺
自表末视水
面甲角与壬
边相齐成一
直线求井边至水面之深法曰置面濶八尺为实以表髙乗之【得四十八尺】以表至井边二尺除之得二十四尺即所求
解曰以表髙乗井濶即以丙己乗戊壬所得必戊庚余形之积戊庚余形之积即辛己余形之积故以表距井边之壬己除之得壬辛壬辛即井深也
三十八则
重表测髙远
设物不知髙及逺立表十尺退行五尺立窥表四尺自窥表望之物末与表末相齐成一直线自表退行一十五尺复立表十尺又退行八尺复立窥表四尺自窥表望之物末亦与表末相齐成一直线求髙及逺法曰置窥表减表余六尺为实以两表相距一十五尺乗之【得九十尺】以前窥表距前表五尺减后窥表距后表八尺余三尺除之得三十尺即表外之髙加表高共四十尺即物髙又置前窥表距前表五尺为实以两表相距一十五尺乗之【得七十五尺】亦以两窥表距两表之度相减余三尺除之得二十五尺即物逺解曰自窥表末及表末作丙丁甲乙两平行线以戊
乙戊己两视线联之必
成六勾股形其丙庚戊
形为甲己戊之截形两
形之比例必等辛己庚
形亦甲己戊之截形两
形之比例必亦等丙庚
戊与辛巳庚两形之比
例既皆等于甲巳戊是
辛己庚丙庚戊两形之
比例亦等矣壬乙丁形
与丙丁戊形亦同此论
夫辛己庚形之比例既
同于丙庚戊壬乙丁形
之比例既同于丙丁戊
则丙庚与辛己必若丙
丁与壬乙又丙丁与丙
庚必若壬乙与辛己也今丙丁与丙庚之较为庚丁壬乙与辛己之较为癸乙癸乙与庚丁两较之比例必俱等于相当各线之比例若是则丙庚与辛己戊丙与辛庚皆若庚丁与癸乙矣法置余表六尺为实以十五尺乗之三尺除之是借癸乙与庚丁之比例因辛庚以求丙戊也置窥表距表之五尺为实以十五尺乗之三尺除之是借癸乙与庚丁之比例因辛己以求丙庚也丙戊为表外之髙丙庚则物逺也三十九则
重表测广深
设谷不知深及广自谷
边退行六尺立窥表五
尺从窥表望之底角与
边角相齐成一直线复
于谷边立表一十五尺
将前窥表接髙一十八
尺共二十三尺从窥表
望之底角与表末相齐
成一直线求深及广法
曰置前窥表五尺为实以表髙一十五尺乗之【得七十五尺】以表【一十五尺】并前窥表【五尺○共二十尺】减后窥表【二十三尺】余三尺除之得二十五尺即谷深又置退行六尺为实以表髙一十五尺乗之【得九十尺】亦以三尺除之得三十尺即谷广
解曰与测髙逺同但有纵衡之殊耳
四十则
测逺之逺
设甲至乙八百步甲至丙七百步今自甲向乙行七
十二步立表于丁从
甲望之乙与表齐自
甲向丙行六十三步
立表于戊从甲望之
丙与表齐俱成直线
丁至戊五十四步求
乙至丙之逺法曰置
甲至丙七百步为实以丁至戊五十四步乗之【得三万七千八百步】以甲至戊六十三步除之得六百步即所求解曰六十三步之与七百步七十二步之与八百步其比例等因知丁戊与乙丙两线必平行凡三角形以与底平行线分之其分形之比例必等于全形甲丁戊既为甲乙丙之分形而丁戊乙丙又平行则甲戊与戊丁必若甲丙与丙乙也又乙丙与戊丁必若甲丙与甲戊也法置七百步为实以五十四步乗之六十三步除之者借甲戊与丁戊之比例因甲丙以求丙乙也○又截法如甲丙七百步则取七步为庚甲乙八百步则取八步为己巳庚六步乙丙必六百【步与乙步之比例也数学钥卷六】
步何也皆百
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>
钦定四库全书 子部六
数度衍 天文算法类二【算书之属】提要
【臣】等谨案数度衍二十四卷
国朝方中通撰中通字位伯桐城人明检讨以智之子也以智博极羣书兼通算数中通承其家学着为是书有数原律衍几何约珠算笔算筹算尺算诸法复条列古九章名目引
御制数理精蕴法推阐其义其几何约篇本前明徐光启译本其珠算仿程大位算法统宗笔算筹算尺算采同文算指及新法算书惟数原律衍未明所自大抵裒缉诸家之长而增减润色勒为一编者也其尺算之术梅文鼎谓其三尺交加取数故只能用平分一线其比例规解之本法惜仅见其弟中履但称中通得旧法于豫章而不知其法何如并未获与中通深论又称见嘉兴陈荩谟尺算用法一卷亦只平分一线岂中通所据之法与荩谟同出一源欤盖不可考矣乾隆四十六年十月恭校上
总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
总 校 官【臣】陆费墀
钦定四库全书
数度衍卷首上
桐城方中通 撰
数原
勾股原图説
一 股较即勾股较
二 勾较
三 勾
四 股
五
六 股较与和
七 勾较与和即勾股和
八 勾和
九 股和
通曰九数出于勾股勾股出于河图故河图为数之原周髀曰勾广三股修四径隅五天数二十有五之开
方也河图之数五十有五中五不用用其五十合勾自之股自之自之之数也勾三阳数也居左和而为八故八与三同位股四隂数也居右和而为九故九与四同位五勾股所求之数也居中勾较得二居上股较得一居下勾较与和为七故七与二同位股较与和为六故六与一同位居中倍为十而倍之之数不可用故洛书不用十也勾股左右両较上下四和四围岂偶然哉勾不尽于三而始于三股不尽于四而始于四不尽于五而始于五较不尽于一二而始于一二和不尽于六七八九而始于六七八九此勾股之原也
加减乘除原图
加减乘除原説
通曰不用十而用九河图变为洛书加减乘除之数皆从洛生而九数之用备焉加者并也一隂一阳相并而生阳为用故一并六为七七并二为九九并四为十三去十不用所生为三三并八为十一去十不用所生为一数始于阳阳故统隂此加之原也减者去也隂中去阳则六去一为五八去三为五阳中去隂则九去四为五七去二为五边去中存此减之原也乘者积也除者分也一无积分相对而为乘除者仍为九焉二与八对
二其八八其二所积皆十六截东南三四九之数合矣二分十六得八八分十六得二此二与八之互见也三与七对三其七七其三所积皆二十一不用三下之八七下之六而一二四五九之数合矣三分二十一得七七分二十一得三此三与七之互见也四与六对四其六六其四所积皆二十四三八亦积二十四不用三八而一二五七九之数合矣四分二十四得六六分二十四得四此四与六之互见也五宜与十对而洛书无十故以中五乘四隅所积之数必止于十而无余五乘二为一十是为两方之数【四正四隅两方相对皆十】五乘四为二十是为四方之数【四正合为二十四隅亦合为二十两正两隅亦合为二十】五乘八为四十是为八方之数【四正四隅合为四十】五除十得二五除二十得四五除三十得六五除四十得八二除十四除二十六除三十八除四十皆五此即五与十之互见也洛书无十而十藏于中矣足后反无余不足然后足此乘除之原也
九章皆勾股説
通曰九数曰方田御田畴界域曰粟布御交质变易曰差分御贵贱禀税曰少广御积幂方圆曰商功御功程积寔曰均输御逺近劳费曰盈朒御隐襍互见曰方程御错糅正负曰勾股御髙深广逺周礼保氏注也周髀周之算经也陈子曰髀者股也正晷者勾也以勾为首以髀为股又曰髀者表也然周髀独明勾股不及九章何哉偃矩以望髙覆矩以测深卧矩以知逺勾股之自为用也环矩以为圆合矩以为方方数为典以方出圆勾股之所生也数有可见者有而不得见者有互见者有旁见者其变无穷藏于圎方少广圎方所出也方田商功皆少广所出一方一圎其间不齐始出差分而均输对差分之数盈朒者借差求均又差分均输所出而以方程济其穷度也量也衡也原于黄钟粟布出焉黄钟出于方圎者也三分益一圎周变为方周四分用三圎积变自方积故勾股之容圎方不同方田少广生焉折半以平粟布均输生焉盈朒方程生于诸和商功差分生于诸较勾股岂非九数之原乎设为九章者便用耳田畴界域或见于勾股少广方田统之矣交质变易或见于差分均输粟布统之矣故九章以用而分不以数而分也秦西立十八法盈朒曰叠借互征方程曰杂和较乘分少广为九而开方诸法有其七其二曰逓加倍加勾股有其畧差分仍为差分粟布商功见于三率均输见于重准测名异理同究无同异也加减乘除出于洛亦成于勾股和者勾股之相并也较者勾股之相较也并以成加较以成减勾股自之而为积则乘成积开方而为则除成有河即有洛有勾股即有加减乘除何往非图书引触哉
四算说
通曰古法用竹径一分长六寸二百七十一而成六觚为一握即少广圎以六包也后世有珠算而古法亡矣泰西之笔算筹算皆出九九尺算即比例规出三角筹尺虽不备加减其用甚便葢乘莫善于筹除莫善于笔加减莫善于珠比例莫善于尺用加为减用加减为乘除借此知彼无往而非比例也好学深思可以通而几矣
九九图説
此九九全图即相乘
相除图也【相乗者一一得一一
二得二之类相除者九除八十一得九八
除六十四得八之类】
此自乘图也【一一得一
二二得四三三得九之类】
此各并图也
【三与六并九四与八并十
二之类】
此隔一位并图也【四与十二并十六五与十五并二十之类】隔二位并【五与二十并二十五六与二十四并三十之类其隔中又
并者五之左十二十之右十五亦并二十五也余仿此】隔三位并隔四位并 隔五位并
隔六位并【无不合隔中挨次而并亦无不合】
此相减生阳图也【四去
一而生三六十四去一而生六十三九去
四而生五四十九去四而生四十五之类
右而左者自少而多即据见数减之左而
右者自多而少当除十而减其余也除皆
阴数始除八十次除六十次除四十次除
二十】
此相减生隂图也【六去
二而生四五十六去二而生五十四十二
去六而生六四十二去六而生三十六之
类自左而右者亦除十余皆阳数始除七
十次除五十次除三十】
【并首尾之一九为十并一与十六为十七并一与二十五为二以九乘之得九十折以十六乘之得二百十六以二十五乘之半得四十五为实以七十二折半得一百得六百五十折半得三为法除之得十五三十六为实以四为三百二十五为实以
故纵横皆十五也 法除之得纵横皆三五为法除之得纵横此用少广章顺加求十四 皆六十五积法得实】