御制数理精蕴卷一十八
如椒砂互丁魏互是也若桂则无对须借砂作对而互又列其桂较之一于砂左砂傍凡两数矣凡相对互位者务取一大于立数一小于立数如砂数大对椒数小也以较积为首率一斤为次率各傍列较数为各三率砂傍之椒三桂一并四为砂之三率也
又术取一大一小杂互更位如椒砂互椒魏又互丁砂
互桂砂又互
丁魏互桂魏
又互凡六互
得较积二十八以为首率一斤为次率各傍列较为各三率椒傍【一三】并四丁傍【一三】并四桂傍【一三】并四魏傍【三四一】并八砂傍【三四一】并八求出四率即各数
又术随意易位亦以大数互小数砂傍丁四桂一并五
四率【十三分 十三分 十三分 十三分 十三分斤之三 斤之一 斤之一 斤之三 斤之五】通曰后二术求出之数与前不同不可为凖姑存其法耳式六緑縀每丈价四两青缎每丈价六两红缎每丈价十两今有银四百八十两买缎八十丈问各若干曰緑三十二丈青三十二丈红一十六丈术先以八十丈除四百八十两得每丈六两为立价依法列之緑与红互
青又与红互以较积为
首率总丈为次率各傍
列较为各三率红傍之緑二青○止作二
通曰青价六与立六等故青较作○而红傍之较数无并仍作二也凡价与立等者皆作○若价皆大于立皆小于立皆等于立则不可较矣
式七酒四等甲酒每瓶二钱一分乙酒每瓶二钱七分丙酒三钱丁酒四钱今有酒共三百瓶每瓶立价三钱三分问各若干曰甲酒五十瓶乙酒五十瓶丙酒五十瓶丁酒一百五十瓶术以三钱三分作三十三为立数
其四
色惟
丁四
十【四钱】大于立其甲二十一【二钱一分】乙二十七【二钱七分】丙三十【三钱】皆小于立则此三小数皆与丁相互矣依法列之丁傍之甲十二乙六丙三并为二十一以较积为首率总瓶为次率各较为各三率
式八银四百两买药四百斤内丁香每斤价六钱椒每斤价七钱桂九钱苏合一两一钱辰砂一两二钱阿魏一两六钱问各若干曰丁八十七斤又二之一椒一百斤桂二十五斤合五十斤砂五十斤魏八十七斤又二
之一术
先以四
百斤除四百两每斤得一两作一十为立数列之丁魏互丁合互椒砂互椒魏互桂砂互首率较积次率总药三率 七【丁】 八【椒】 二【桂】 四【合】 四【砂】 七【魏】又术以丁互合又互砂又互魏以椒互合又互砂又互魏以桂互合又互砂又互魏以上三位徧互下三位也
又术以丁互合椒互砂桂互魏
又术以丁互魏椒互砂桂互合
又术以丁互砂椒互合桂互魏
式九金铸一器重三百两俱九六成色今有九九成色及九一成色二等金约每用若干曰九九成色金用一百八十七两五钱九一成色金用一百一十二两五钱
术立九六为中价
依法互之并较为
首率共重为次率各较为各三率
式十米麦共五百石共价四百○五两七钱米每石价八钱六分麦每石价七钱二分五厘问各若干曰米三百二十石共价二百七十五两二钱麦一百八十石共价一百三十两○五钱术立共价以米麦每石各价各
乗五百石
米得四百
三十两麦得三百六十二两五钱依法互之以并较为首率总石为次率各较为各三率求得米麦各数各以每石价乗之得各共价
式十一银二十八两二钱买铜锡铁共重三百斤其价铜一斤银一钱五分锡一斤银九分铁一斤银四分问各若干曰铜九十六斤又七之三锡九十六斤又七之
斤又七之一术以共重除总银得九分四厘作九十四为立数互之以并较为首率共重为次率各较为各三率
式十二银九十三两买绫罗纱绢共一百六十疋每疋价绫九银罗七钱纱五钱绢三钱问各若干曰三十六疋又四之一为绫与罗同数四十三疋又四之三为纱与绢同数术先以总疋除总银得五钱八分一厘二毫五丝作五万八千一百二十五为立数他皆以钱作万列之罗绢互罗纱又互绫纱互绫绢又互并较为首率总疋为次率各较为各三率
通曰右二式以贵贱差分法推之亦可
通曰中率者两差之中较也三四五六及多差之中较也得乎中率而以多较少以少较多故又须互用而数始出非互则无所用较矣
借裒互徴【差分之七 按同文算指裒作衰】
借裒互徴差分法
数有隠伏非裒分可得者则别借虚数以类徴之或合率增减或母子射覆借彼徴此借虚徴实亦三率法而触类长之也
式三人共买一宅用价二千七百两其出数乙视甲加倍丙视甲乙共数又加倍问各若干曰甲三百乙六百丙一千八百术随意立一数为甲裒但用小数而以乙丙照裒加之如甲裒作一则乙必二丙必六也如甲裒作六则乙必十二丙必三十六也今以甲裒作六乙裒十二丙裒三十六并得五十四为首率各裒为各次率总价为三率如用甲次裒求得甲数倍之得乙数并甲乙数又倍之得丙数
通曰此即加倍法也三率法中二三两率本可相换故此以各较为次率总价为三率也
式二贮绢不知数但云其三之一其四之一其五之一并得四千七百疋其实若干曰六千疋术防一通数而测之如用六十以通各分三之一为二十四之一为十五五之一为十二并三数得四十七为首率以通数六十为次率四千七百为三率
式三廐马不知数但云加一倍又加二之一又加三之一又加四之一又加一共得一百一十二匹其实若干曰三十六匹术先于共匹内减末加之一只以一百一十一匹算之用通数十二加一倍得二十四又加二之一得六加三之一得四加四之一得三共加得三十七为首率以通数为次率以一百一十一为三率求出四率三十六外加前裒合一百一十二
式四牧羊不知数但云加一倍又加二之一又加四之一外加一共得一百其实若干曰三十六术于一百内去一只作九十九用通数十二依裒加得三十三为首率通数为次率九十九为三率求出三十六如前裒加之合一百 此与右式同
式五银五千两买甲乙丙三宅乙比甲多三倍丙又比乙多四倍问各价若干曰甲宅二百乙宅八百丙宅四千术随意立一通数如立甲裒三十乙裒为一百二十丙裒为六百并得七百五十为首率以甲裒三十为次率以五千为三率求出二百如前加得八百又加得四千 此与一式同
式六入园摘瓜摘过三分之二又五分之一尚剰三十六问此园原瓜若干曰二百七十术先立通数如借三百为通数内减三之二去二百又减五之一去六十存四十为首率以通数为次率以尚剰三十六为三率须察借立通数内减去两次尚剰之数或等或多于三十六方可若少于三十六则不可用也又须知三之二五之一并之未满原数方可推测若三之一五之三则浮于原数便为虚设不必算矣
式七二分之一三分之一四分之一五分之一六分之一共并得五百二十二其原数若干曰三百六十术借六十为通数依裒剖之二之一为三十三之一为二十四之一为十五五之一为十二六之一为一十并得八十七为首率以六十为次率以五百二十二为三率求出三百六十为原数二之一乃一百八十三之一乃一百二十四之一乃九十五之一乃七十二六之一乃六十并之合五百二十二之数
式八仓粟不知数但云外加二之一又三之一又四之一又加一百石便成三百石问原粟若干曰九十六石术先于三百内减去一百存二百石乃借二十四为通数外加二之一得十二又加三之一得八又加四之一得六并得五十为首率以通数为次率以二百为三率求出四率九十六外加前裒合三百
通曰此与三式相同但彼四率在一百一十二之外故不并通数而止并加数为首率此四率在三百之内故连并通数及加数为首率也
式九大小水碓五副共舂米五十石每舂一时甲七斗乙五斗丙四斗丁三斗戊一斗今五碓齐舂须几时可完各舂若干曰二十五时甲十七石五斗乙十二石五斗丙十石丁七石五斗戊二石五斗术随意立一时数如借四时以计各碓所舂甲七乗四得二石八斗乙五乗四得二石丙四乗四得一石六斗丁三乗四得一石二斗戊一乗四得四斗并得八石为首率四时为次率五十石为三乗求出二十五时各以每时斗数乗之得各舂数
式十为商三次俱获倍息每次归还三百两三次母子尽问原贷若干曰二百六十二两五钱术借一数为母加三次倍息初一次二次四共七并母一得八为首率内减母一余七为次率三百两为三率又术以三百两折半得一百五十两又加三百得四百五十两又折半得二百二十五两又加三百得五百二十五两又折半即得
通曰子母差和求法有此式然用借裒为正法也式十一商贩四次俱获倍息每次费九十六两四次子母俱尽问原母若干曰九十两术借一数为母加四次倍息曰一曰二曰四曰八并得十五再并母一得十六为首率十五为次率九十六为三率
式十二为商初次所获比母银多三之二以并入母银再徃获五之四三次徃又获四之三计所获并母银共四百两问原母若干曰六两又三分两之二术亦借数递乗各母以推之如借一十为通数乗三得三十以三十乗五得一百五十以一百五十乗四得六百为首率以通数为次率以四百为三率求出六两又三分两之二以三乗之得二十又以五乗二十得一百又以四乗一百得四百两合数
式十三防酒郊游三次俱饮酒一斗九升每饮添酒辄倍余酒至三次酒尽问原防若干曰一斗六升六合二勺五抄术借一数为原酒加三次倍率曰一曰二曰四并得八为首率减原借一存七为次率以一斗九升为三率又术并三次倍率一二四为七以乗一斗九升得一石三斗三升减半三次即得
式十四载米赈济每次散米一千五百石亦每次籴增俱倍余米五赈恰尽问原载米若干曰一千四百五十三石一斗二升五合术借一数为原米加五次倍率曰一曰二曰四曰八曰十六并得三十二为首率止并五次率得三十一为次率以一千五百为三率
通曰以次率乗三率得四万六千五百石减半五次亦合
式十五立一虚数以乗四得数又乗三得数又乗六得数外加一十共八百前所立虚数若干曰一十又三十六之三十五术于八百内除去所加一十余七百九十借一十为通数以乗各裒以一十乗四得四十又以四十乗三得一百二十又以一百二十乗六得七百二十为首乗以通数为次率以七百九十为三率求出一十又三十六之三十五以乗四得四十三又九之八以乗三得一百三十一又三之二以乗六得七百九十加一十合数
式十六老人不知年但云加二之一又减四之一得九十九嵗问实年若干曰八十八术借八十为通数依裒加减加二之一为四十并八十得一百二十又减四之一为三十于一百二十内减之余九十为首率以通数为次率以九十九为三率
式十七逺望一塔上露出二丈四尺下遮不见云尚有三分之一又五分之二其共高若干曰九十尺术借立三十为通数于三十内减去三之一余二十又于三十内减去五之二为一十二乃于余二十内减一十二余八为首率通数为次率二十四尺为三率求出九十尺为塔高内减三之一为三十尺又减五之二为三十六尺余二十四尺合上露之数
式十八旗竿一根其三之一是白色五之一是黑色九之二是青色外尚余十二尺红色其竿长若干曰四十九尺又十一分尺之一术借四十五为通数减三之一为十五减五之一为九减九之二为一十俱于通数内减去余十一为首率通数为次率红十二尺为三率求出四十九尺又十一分尺之一其白三之一乃十六尺又十一之四也黑五之一乃九尺又十一之九也青九之二乃十尺十一之十也
式十九白布三十疋青布四十疋共价六百六十两其青布每疋比白布价多一倍问各疋价若干曰白价六两青价十二两术借四两为白价倍得八两为青价以四乗白布三十得一百二十以八乗青布四十得三百二十并得四百四十为首率通数四两为次率共价为三率求出六两为白疋价倍得十二两为青疋价通曰以八两为次率求出青疋价盖二位之借裒皆通数也
数度衍巻十八
钦定四库全书
数度衍卷十九
桐城 方中通 撰
均输
均赋法
式五县输谷二万石每车载二十五石行一里僦值一钱甲县二万○五百二十户谷石价二两乙县一万二千三百一十二户谷石价一两逺输二百里丙县七千一百八十二户谷石价一两二钱逺输一百五十里丁县一万三千三百三十八户谷石价一两七钱逺输二百五十里戊县五千一百三十户谷石价一两三钱逺输一百五十里问各若干曰甲七千一百四十二石三斗五升九合九勺僦价无乙四千七百六十一石五斗七升三合二勺僦价二十两丙二千七百七十七石五斗八升四合四勺僦价十五两丁三千四百三十八石九斗一升四合零僦价二十五两戊一千八百七十九石五斗六升八合三勺僦价十五两术先求各裒惟甲自输本县无僦里以谷价二两作二十除甲户得一千○二十六为甲裒乙丙丁戊俱有僦价各以僦一钱乗各里而以每车载二十五石除之得各运价以除各戸而求各裒也乙二百里乗除之得八钱并谷价一两得一两八钱除乙户得六百八十四为乙裒丙一百五十里乗除之得六钱并谷价一两二钱得一两八钱除丙户得三百九十九为丙裒丁二百五十里乗除之得一两并谷价一两七钱得二两七钱除丁户得四百九十四为丁裒戊一百五十里乗除之得六钱并谷价一两三钱得一两九钱除戊户得二百七十为戊裒并五裒得二千八百七十三为首率以总谷为次率以各裒为各三率用异乗同除法【见九章外法】
通曰合谷价僦价而计之每户所出皆均也
式二派粮八百四十石四县照田亩多寡纳之甲田三千六百三十五亩乙田二千四百六十六亩丙田三千五百七十七亩丁田四千三百二十二亩问各若干曰甲二百一十八石一斗乙一百四十七石九斗六升丙二百一十四石六斗二升丁二百五十九石三斗二升术并四县亩得一万四千为首率总粮为次率各亩为各三率
式三派粮二百七十四石三限催徴初限五分中限三分半末限一分半问各限若干曰初限一百三十七石中限九十五石九斗末限四十一石一斗术以五分乗总粮得初限数以三分半乗总粮得中限数以一分半乗总粮得末限数
通曰此非乗而积之乃乗而折之也
式四甲乙丙三人以田多寡均应一年差役甲田三百五十亩乙田二百八十亩丙田一百七十亩问各役几时曰甲一百五十七日半乙一百二十六日丙七十六日半术并三田共八百亩为首率以一年通作三百六十日为次率以各田为各三率
式五粮三千六百石三处仓上纳其每石则例东仓三斗三升四合西仓三斗三升五合南仓三斗三升一合问各仓若干曰东仓一千二百○二石四斗西仓一千二百○六石南仓一千一百九十一石六斗术此与三式同以总粮为实以各仓则例乗之得各数
式六众人输钞首出八文以下各加一文至出六十文止问人钞各若干曰五十三文共钱一千八百○二文术以八文并六十文得六十八为实以六十文减八文余五十二再加首次所加一文得五十三为法以法乗实得三千六百○四折半得共钱数法即人数
式七人一百名自第一人输银一百两以下挨减五钱问共银若干曰七千五百二十五两术以百名内减去第一人余九十九名以五钱乗得四十九两五钱于一百两内减之余五十两○五钱并第一名一百两得一百五十两○五钱以乗一百名得一万五千○五十两折半即得
式八自第一日输钱一文日増一倍至三十日问该若干曰十亿○七千三百七十四万一千八百二十四术置钱一文以十度八因即得一度八因乃三日倍数十度八因乃三十日倍数也又术以五度六十四乗之亦得一度六十四乃六日倍数五度六十四乃三十日倍数也又术以三度三十二乗之得数又自乗亦得三度三十二乃十五日倍数又自乗乃三十日倍数也通曰递加倍加少广详之矣本章亦应有此故及之而此式少广之术不同
均价法
式银二十二两八钱买甲乙二物均平其甲物每三斤价四钱乙物每一斤价五钱问各若干曰各三十六斤甲共价四两八钱乙共价十八两术用差分母子互乗法【三斤 四钱一斤 五钱】以三斤乗五钱得一十五以一斤乗四钱得四并得一十九为首率两母相乗得三为次率以总银为三率求出四率三十六以乙每斤价乗之得乙共价以甲三斤价四钱乗四率又以三除之得甲共价式二银三十七两八钱买米麦荳均平每石米价八钱麦价六钱荳价四钱问各若干曰各二十一石米共价十六两八钱麦共价十二两六钱岂共价八两四钱术以总银为实并三色每石价共一两八钱为法除得二十一为各石数各以每石价乗之得各共价
式三麦每石价九钱米每石价八钱荳每石价七钱今以价均扣算问各若干曰各该价五钱○四厘麦五斗六升米六斗三升荳七斗二升衍以麦荳价相乗七九乗得六斗三升为米数以米荳价相乗七八乗得五斗六升为麦数以麦米价相乗八九乗得七斗二升为荳数各以每石价乗之皆得五钱○四厘
均募法
式雇车载重一千二百斤行道一千里给银七两五钱今重一千五百斤道一千三百里问该银若干曰十二两一钱八分七厘五毫术置今重以今道乗之得一百九十五万又以七两五钱乗之得一千四百六十二万五千为实以原重乗原道得一百二十万为法除实得今银
通曰用异乗同乗之重测法【见九章外法】亦可
式二载重一千二百斤价七两五钱行道一千里今重一千六百斤付银六两问该行道若干曰行六百里术以今银乗原行得六千又乗原重得七百二十万为实以今重乗原价得一万二千为法除实得今行
式三行道一千里价七两五钱载重一千二百斤今行一千七百里去价七两六钱五分问该载重若干曰重七百二十斤术以原行乗原重得一百二十万又乗今银得九百一十八万为实以今行乗原价得一万二千七百五十为法除实得今重
式四负米一石一斗二升行三十步日五十次今负米一石二斗行四十步问日可几次曰三十五次术以负米一石一斗二升乗三十步得三百三十六又乗五十次得一万六千八百为实以负米一石二斗乗四十步得四百八十为法除实得次数又术以原负乗原行为三率以五十次为次率以今负乗今行为首率
式五兵二万三千四百人各相去五步今欲缩除十六里九十步而止各相去几何曰四步七分五厘术以五步乗兵数得十一万七千步另以十六里用里法三百六十步通之得五千七百六十步加入九十步共五千八百五十步与十一万七千步相减余十一万一千一百五十步为实以兵数为法除实得步数
式六人与车俱不知数凡三人共车二车空二人共车九人步行问人车各若干曰十五车三十九人术以三人乗二人得六加九人得一十五为车数以二人乗十五得三十加九人得三十九为人数
通曰此章本以人之多寡里之逺近物之轻重而立与【分不专以算法分也数度衍卷十九】
商功章皆以事
钦定四库全书
数度衍卷二十
桐城 方中通 撰
借推盈朒【盈朒之一】
借虚征实差分备矣更有子母杂互隐奥难知者则两借虚数以征之盈者有余也朒者不足也
两不足法
式设一数以其半为用内除三之一又除四之一尚余三百其原总若干曰一千四百四十术先借二十四为通数列左上半为十二于内去三之一为四去四之一为三余五以比三百不足二百九十五列左下又借九
十六为通数
列右上半为
四十八于内
去三之一为十六去四之一为十二余二十以比三百不足二百八十列右下乃以左上乗右下得数注右右上乗左下得数注左两不足相减余为法两乗得数相减余为实以法除实得原总一千四百四十半为七百二十于内去三之一为二百四十去四之一为一百八十余三百合问
式二设一数乗三外加一十又乗四外加二十又乗五外加三十又乘六外加四十共得六千七百其原数若
干曰十三术
先借二列左
上乗三得六
外加十得十
六又乗四得六十四外加二十得八十四又乗五得四百二十外加三十得四百五十又乗六得二千七百外加四十得二千七百四十以比六千七百不足三千九百六十列左下又借三列右上乗三得九加十得十九又乗四得七十六加二十得九十六又乗五得四百八十加三十得五百一十又乗六得三千○六十加四十得三千一百以比六千七百不足三千六百列右下左右上下互乗两不足减余为法两乗数减余为实以法除得一十三如例乗加合六千七百之数
式三二人分银一百两若均分则每人五十然须甲还所得三之一乙还所得五之一方得均分其不均之分各若干曰甲六十四两又七分两之二乙三十五两又七分两之五术先借三十两为甲裒列左上借乙裒七
十附列于甲裒内
减三之一为一十
存二十于乙裒内
减五之一为十四而以乙减归甲十四并二十为三十四以比五十不足十六列左下又借六十两为甲裒列右上借乙裒四十附列于甲裒内减三之一为二十存四十于乙裒内减五之一为八而以乙减归甲八并四十为四十八以比五十不足二列右下两不足减余为法两乗数减余为实以法除得甲数于一百内减甲数余乙数
通曰乙减归甲故与甲裒乗也若甲减归乙则与乙裒乗而先求得乙数矣
式四设一数以其二之一加三之一又加四之一再加二十二共得一百其数若干曰七十二术借十二列左上而以二之一曰六三之一曰四四之一曰三并得十
三加二十
二得三十
五以比一
百不足六十五列左下又借六十列右上而以二之一曰三十三之一曰二十四之一曰十五并得六十五加二十二得八十七以比一百不足十三列右下两不足减余为法两乗数减余为实以法除得七十二以其二之一曰三十六加三之一曰二十四四之一曰十八再加二十二合一百
式五二商母银不知数云取乙十二两与甲则乙有甲六之一取甲十五两与乙则甲有乙十之一其母各若干曰乙母十七两又五十九之二甲母十八两又五十九之十二术从乙起算先借二十为乙裒列左上内减十二余八以当甲六之一用六因求甲得四十八内减还乙十二存三十六为甲裒又于甲裒内捐十五与乙甲剩二十一乙裒二十并十五得三十五以甲剩数较乙加数是十之一否甲二十一则乙当二百一十今乙只三十五是不足一百七十五也列左下另借一百为
乙裒列右上
内减十二余
八十八以当
甲六之一用
六因求甲得五百二十八内减还乙十二存五百一十六为甲裒又于甲裒内捐十五与乙甲剩五百○一乙裒一百并十五得一百一十五以乙较甲是十之一否甲五百○一则乙当五千○一十今乙只一百一十五是不足四千八百九十五也列右下两不足减余为法两乗数减余为实以法除得乙母内捐十二与甲余五两又五十九之二六乘得三十两又五十九之十二内减还十二存甲母内捐十五与乙加乙母得三十二两又五十九之二甲剩三两又五十九之十二乃乙十之一也
式六甲乙丙三人共博甲赢乙二之一乙赢丙三之一丙又赢甲四之一各剰银七百两其各母若干曰甲母四百乙母八百丙母九百术先借一百为甲裒列左上内捐与丙四之一曰二十五存七十五而总有七百是
所赢乙二之一
为六百二十五
【七百内去七十五】而乙
裒当为一千二
百五十矣【两其六百】
【二十五】附列内捐二之一剰六百二十五又赢丙三之一共得七百是所赢丙为七十五【七百内去六百二十五】而丙裒当为二百二十五矣【三其七十五】又附列内捐与乙三之一剩一百五十加入得甲四之一曰二十五共一百七十五以比七百不足五百二十五列左下另借二百为甲裒列右上内捐与丙四之一曰五十存一百五十而总有七百是所赢乙二之一为五百五十【七百内去一百五十】而乙裒当为一千一百矣【两其五百五十】附列内捐二之一剩五百五十又赢丙三之一共得七百是所赢丙为一百五十【七百内去五百五十】而丙裒当为四百五十矣【三其一百五十】又附列内捐与乙三之一存三百加入得甲四之一曰五十共三百五十以比七百不足三百五十列右下两不足减余为法两乗数减余为实以法除得四百为甲母内减四之一存三百加乙二之一为七百是所加四百因知乙母八百也以乙母减二之一存四百加丙三之一为七百是所加三百因知丙母九百也以丙母减三之一存六百加甲四之一为七百
通曰不足数与乙裒乗求得乙母与丙裒乗求得丙母式七甲乙丙三商共贩得子银四百两其分数乙比甲多十二两丙比乙多十六两问各若干曰甲一百二十乙一百三十二丙一百四十八术先借一两为甲裒列左上乙该十三丙该二十九共四十三比四百不足三
百五十七列左下又
借二两为甲裒列右
上乙该十四丙该三
十共四十六比四百不足三百五十四列右下依法求得甲数加多得乙丙数
式八绫七尺罗九尺两共价等其每尺价罗少三十六文其各尺价若干曰绫每尺一百六十二文共一千一百三十四文罗每尺一百二十六文共与绫等术先借七十二为绫价列左上罗价当为三十六列次各以尺
数乗之绫得五百○四罗得三百二十四以罗视绫不足一百八十列左下又借一百为绫价列右上罗当为六十四列次各以尺数乗之绫得七百罗得五百七十六以罗视绫不足一百二十四列右下两不足减余为法以不足数乗绫裒得绫实以法除得绫每尺价乗罗裒得罗实以法除得罗每尺价各以尺数乗得各共价式九鸡同笼不知数云九十六头三百○八足问各若
干曰鸡三十八兔五十八术以九十六头爲主先借鸡四十八列右上该四十八【九十六内去四十八存四十八】列次鸡二足乗得九十六足免四足乗得一百九十二足并得二百八十八足比三百○八不足二十列右下又借鸡六十列左上该三十六【九十六内去六十存三十六】列次鸡为一百二十足为一百四十四足并得二百六十四比三百○八不足四十四列左下两不足减余为法以下互乗上裒减余为鸡实以法除得鸡数以下互乗次裒减余为免实以法除得数又各乗得足数合三百○八又术倍九十六头为一百九十二以减总足余一百一十六以二除得五十八为数用四足乘得二百三十二足以减总足余七十六以二除得三十八为鸡数【琇曰鸡足半共足减共头余足分共足减共头倍余为鸡】
两盈法
式设一数以其半为用内除三之一又除四之一尚余
三百其原总几何曰
一千四百四十术先
借四千八百为通数
列左上半为二千四百三之一为八百四之一为六百皆于通数内减之余一千以比三百盈七百列左下又借二千四百为通数列右上半为一千二百三之一为四百四之一为三百皆于右通数内减之余五百以比三百盈二百列右下两盈相减余为法左右上下互乗得数相减余为实以法除实得原总
通曰与前一式同但彼于半通数内减各分此于通数内并半数而减之两法皆可用也
式二三人共分银四十四两乙多甲一倍外又多四两丙兼甲乙之数外又多六两问各若干曰甲五两乙十四两丙二十五两术先借甲一十列左上乙倍得二十
加四共二十四丙兼
甲乙又加六共四十
并三数得七十四比
四十四盈三十列左下又借甲六列右上乙倍得十二加四共十六丙兼甲乙又加六共二十八并三数得五十比四十四盈六列右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得甲五两倍为十加四共十四两为乙数兼甲乙得十九又加六共二十五两为丙数如左图用各裒乗便求得各数也
又术通曰乙多四丙兼甲乙而多六则必兼多乙之四矣并三多为十四于总银内减之余三十为实乙多甲一倍是甲一停乙二停也丙兼甲乙是甲乙共三停丙亦三停也三人共六停为法除实得五两为甲一停之数亦合
式三以一千剖为二甲多于乙四十九两问各几何曰甲五百二十四两五钱乙四百七十五两五钱术先借
六百为甲裒
列左上乙四
百附列较差
二百比四十
九盈一百五十一列左下另借五百五十为甲裒列右上乙四百五十附列较差一百比四十九盈五十一列
右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得甲数减总得乙数又术通曰以一千剖为二得五百以四十九剖为二得二十四两五钱五百外加二十四两五钱为甲数五百内减二十四两五钱为乙数又术通曰于一千内减去四十九余九百五十一剖为二得四百七十五两五钱为乙数减总得甲
式四罏二座葢重一百五十斤以葢加甲鑪则多乙二倍以葢加乙罏则与甲等问各几何曰甲三百斤乙一百五十斤术先借三十为甲裒列左上葢附列共一百
八十又附列以
三之一为乙裒
得六十加葢共
二百一十比甲
裒盈一百八十列左下又借九十为甲裒列右上葢附列共二百四十又附列以三之一为乙裒得八十加葢共二百三十比甲裒盈一百四十列右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得甲鑪加葢得四百五十斤其三之一得一百五十斤为乙鑪
式五二人银不知数减乙六两与甲则甲多乙一倍减甲三两与乙则正等问各几何曰甲三十两乙二十四
两术从乙起算先借十
五为乙裒列左上内减
六存九以当甲之半则
甲该十八内减所加六得十二为甲裒内取三与乙则甲剰九以较乙裒十五加三之十八而乙盈九列左下另借二十为乙裒列右上内减六存十四倍得二十八为甲内减所加六得二十二为甲裒内取三与乙则甲剰十九以较乙裒二十加三之二十三而乙盈四列右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得乙二十四减六存十八倍得三十六减六得甲三十内减三与乙则与乙二十四加三正等
式六漏壶注水有三孔甲孔流水二时而尽乙孔流水三时而尽丙孔流水六时方尽若三孔俱开则几时水
尽曰一时术借四时列左
上以四时推甲当尽二壶
乙当尽一壶又三分壶之
一丙当尽三分壶之二并之四时共尽四壶比原问一壶盈三列左下另借十时列右上推甲当尽五壶乙当尽三壶又三分壶之一丙当尽一壶又三分壶之二并之十时共尽十壶比原问一壶盈九列右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得一时甲尽半壶乙尽三分壶之一丙尽六分壶之一正合一壶之数
通曰左裒推得四时尽四壶亦已明矣用合率差分法亦可
式七黄金百斤制鑪不用销毁欲知匠和银若干曰和银十六斤又三分斤之二术以三器贮水等重一投金鑪溢水六十五斤一投纯金百斤溢水六十斤一投纯
银百斤溢水九十斤如
法求之先借四十为和
银数列左上存金六十
附列以溢水裒推之存金六十斤该溢水三十六斤和银四十斤该溢水三十六斤共溢水七十二斤以比六十五斤盈七列左下另借三十为和银数存金七十附列以溢水裒推之存金七十斤该溢水四十二斤和银三十斤该溢水二十七斤共溢水六十九斤以比六十五斤盈四列右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得十六斤又三分斤之二为和银数推得溢水十五斤金只八十三斤又三分斤之一推得溢水五十斤共合投鑪溢水六十五斤之数
式八调南北西三处兵南兵四万北兵为南及西二分之一西兵为南及北三分之一问北西各几何曰北三万二千西二万四千术先借三万为北裒列左上推得南西共六万去南四万西仅二万附列西为南北三之
一则南北当为六
万今得七万是盈
一万也列左下又
借二万四千为北
裒列右上推得南
西共四万八千去
南四万西仅八千附列西为南北三之一则南北当为二万四千今得六万四千是盈四万也列右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得北兵推知西兵二万四千
式九金九锭银十一锭等重互换一锭则金轻十三两问各若干曰金一锭重三十五两七钱五分银一锭重二十
九两二钱五分金九锭共重三百二十一两七钱五分银十一锭共重正等术金轻十三两则金银较为六两五钱先借十三两为金裒列右上银该六两五钱【去较数】列次金九锭乗十三得一百一十七两银十一锭乗六五得七十一两五钱以金比银盈四十五两五钱列右下又借二十四两为金裒列左上银该十七两五钱【去较数】列次金九锭乗二十四得二百一十六两银十一锭乗十七五得一百九十二两五钱以金比银盈二十三两五钱列左下两盈减余为法上与下互乗减余为金实以法除得金一锭数次与下互乗减余为银实以法除得银
一锭数各以锭数乗得共重正等又术以较六两五钱乗金九锭得五十八两五钱为实以金九锭银十一锭相减余二为法除得银一锭数又以较乗银十一锭得七十一两五钱为实以法二除得金一锭数
通曰又术即合率差分法也
一盈一不足法
式物价九十六两三人共买甲出不知数乙于甲内少二两丙于甲乙二人外多四两问各若干曰甲二十四两乙二十二两丙五十两术先借二十为甲数列左上
乙当十八丙当四十二
并得八十较原价不足
十六列左下又借三十
为甲数列右上乙当二十八丙当六十二并得一百二十较原价盈二十四列右下盈不足并得四十为法左右上下互乗并得九百六十为实以法除得甲数推知乙丙
式二物价二千七百两三人共买甲出不知数乙倍甲丙倍甲乙问各若干曰甲三百两乙六百两丙一千八
百两术先借二百为甲
数列左上乙四百丙一
千二百并得一千八百
较原价不足九百列左下又借四百为甲数列右上乙八百丙二千四百并得三千六百较原价盈九百列右下盈不足并为法互乗并为实以法除得甲数推知乙丙又术通曰只拟甲出十两为率甲十乙二十丙六十并得九十为法以甲十两乗原价得二万七千为实以法除得甲数
式三设一数以其半为用内除三之一又除四之一尚余三百其原数几何曰一千四百四十术先借二千四
百列左上半为一千二
百内三之一去四百四
之一去三百余五百比
三百盈二百列左下又
借九十六列右上半为四十八内三之一去十六四之一去十二余二十比三百不足二百八十列右下盈不足并为法互乗并为实以法除得原数
式四甲乙不知数取乙九与甲则甲倍乙取甲九与乙则甲乙等问各若干曰甲六十三乙四十五术先借一
百为等
数乙得
甲九则
甲原是
一百○
九列左上乙为九十一列次甲若取乙九则甲得一百一十八而乙余八十二比甲之半五十九【甲系倍乙】盈二十三列左下又借五十为等数乙得甲九则甲原是五十九列右上乙为四十一列次甲若取乙九则甲得六十八而乙余三十二比甲之半三十四不足二列右下盈不足并为法上乗并为甲实次乗并为乙实以法各除得各数
式五携酒游山四处每沽増一倍俱饮六升恰尽问原携若干曰五升六合二勺五抄术先借五升四合列右上倍得一斗○八合减六升余四升八合又倍得九升六合减六升余三升六合又倍得七升二合减六升余
一升二合又倍得
二升四合减六升
不足三升六合列
右下又借六升二合列左上倍得一斗二升四合减六升余六升四合又倍得一斗二升八合减六升余六升八合又倍得一斗三升六合减六升余七升六合又倍得一斗五升二合减六升盈九升二合列左下盈不足并为法互乗并为实以法除得原携酒数四次倍减适尽
式六贷糓不知数每年加息一倍又还糓五十石至三年本息俱完问原贷若干曰四十三石七斗五升术先
借四十三列左上倍
得八十六减五十余
三十六又倍得七十
二减五十余二十二又倍得四十四比五十不足六列左下另借四十四列右上倍得八十八减五十余三十八又倍得七十六减五十余二十六又倍得五十二比五十盈二列右下盈不足并为法互乗并为实以法除得原糓
式七逐百只每三人得四只该几人曰七十五人术先借七十二列左上四乗三除得九十六不足四列左下又借九十列右上四乗三除得一百二十盈二十列
右下盈不足并为法
互乗并为实以法除
得人数又术通曰用
三累法【见九章外法】以四只为一率三人为二率百只为三率求之亦可
式八三人共数六十乙倍甲外加四丙兼甲乙外加六问各几何曰甲七又三之二乙十九又三之一丙三十
三术先借六为
甲倍之加四乙
得十六兼甲乙
加六丙得二十八并得五十俱列左比六十不足一十列左下又借八为甲乙得二十丙得三十四并得六十二俱列右比六十盈二列右下盈不足并为法甲互乗并为实以法除得甲数推得乙丙
式九以三十数剖为二甲加六十乙加二十而甲为乙三倍其剖分各几何曰甲二十二又二之一乙七又二
之一术先借二十为甲
列左上乙一十附列甲
加六十得八十乙加二
十得三十以甲比乙乙三十甲当九十今止八十是不足一十也列左下又借二十四为甲列右上乙六附列甲加得八十四乙加得二十六以甲比乙乙二十六甲当七十八今却八十四是盈六也列右下盈不足并为法互乗并为实以法除得甲数三之一得乙又术通曰以三十剖为四分每分得七五甲得三分共二十二五乙得一分即七五
式十二人分银百两须甲捐三之一乙捐四之一平分捐数方各得五十两其未均数各几何曰甲五十二两又十七分两之十六乙四十七两又十七分两之一术
先借六十为甲列左
上乙四十附列减甲
三之一为二十存四
十减乙四之一为一十存三十和两减之三十均得十五以甲得十五合减存四十得五十五比五十盈五列左下又借二十四为甲列右上乙七十六附列减甲三之一为八存十六减乙四之一为十九存五十七和两减之二十七均得十三五以甲得十三五合减存十六得二十九五比五十不足二十○五列右下并盈不足为法并互乗为实以法除得甲数减总得乙
式十一二鑪一葢重百两葢加甲鑪则三倍于乙葢加乙鑪则二倍于甲问各若干曰甲鑪八十两乙鑪六十
两术先借五十为甲列左
上加葢共一百五十附列
以三之一为乙五十加葢
得一百五十甲是五十乙
加葢只该一百今盈五十列左下又借一百一十为甲列右上加葢共二百一十附列以三之一为乙七十加葢得一百七十甲是一百一十乙加葢当二百二十今不足五十列右下并盈不足为法并互乗为实以法除得甲数推得乙
式十二甲匠做工三十日完加乙匠则十八日完若独用乙匠须几日曰四十五日术须知甲之十八日乃三
十日内五分之三
则知乙十八日为
五分之二先借四
十为乙列左上以十八日完五之二推之四十日当完九之八不足九之一列左下又借六十为乙列右上以十八日完五之二推之六十日当全完又盈九之三列右下并盈不足为法并互乗为实以法除得乙日【用奇零法见前】又术通曰既知十八日为乙五分之二则以十八折半得九用五乗之亦得乙日
式十三牛羊共百牵总价一百六十八两每牛三头银十二两羊四羫银一两五钱问各若干曰牛三十六价
一百四十
四两羊六
十四价二
十四两术
先以三归
十二得牛一头价四两以四归一两五钱得羊一羫价三钱七分五厘而皆化为厘算之乃借六十为牛列左上羊四十列次以乗各价牛乘四千厘得二十四万羊乘三百七十五厘得一万五千并得二十五万五千厘比总价盈八千七百厘列左下又借三十为牛列右上羊七十列次以乗各价牛得十二万羊得二万六千二百五十并得十四万六千二百五十厘比总价不足二千一百七十五厘列右下并盈不足为法并上互乗为牛实次互乗为羊实以法除得各数
通曰盈本八万七千不足本二万一千七百五十今降一位列下也再降亦可葢升则法实俱升降则法实俱降也
叠求法
式甲乙丙三数甲加七十三则为乙丙数者二乙加七十三则为甲丙数者三丙加七十三则为甲乙数者四问各几何曰甲七乙十七丙二十三术此因有三之二及四之三当借奇数求甲而又因乙丙之加牵连难析则叠用前法以征之且如借一【奇数】为甲裒加七十三得七十四当为兼乙丙而倍之之数因折半三十七为乙丙数而乙数另须借推第一图先借二为乙列左上乙
丙数三
十七内
减二余
丙三十
五列次乃以二加七十三得七十五以较甲丙合数三十六【甲一丙三十五】三其合数该一百○八今只七十五是不足三十三也列左下又借五为乙列右上乙丙数三十七内减五余丙三十二列次乃以五加七十三得七十八以较甲丙合数三十三【甲一丙三十二】三其合数该九十九今只七十八是不足二十一也列右下两不足减余为法两互乗减余为实以法除得一十又四之一为乙裒另列初借甲裒一列后第三图左上乙裒列次乙丙共三十七内减乙得丙二十六又四之三列次再借三【奇数】为甲裒加七十三得七十六当为兼乙丙而倍之之数因折半三十八为乙丙数而乙数另须借推第二图先借二为乙列左上乙丙数三十八内减二余丙三十六七十四为兼乙丙而倍之之数【乙丙共三十七】乙裒一十又四之一加七十三得八十三又四之一当为兼甲丙共数者三今甲丙共二十七又四之三三其甲丙共数合八十三又四之一无差丙裒二十六又四之三加七十三得九十九又四之三当为兼甲乙共数者四今甲乙共一十一又四之一四其甲乙共数只该四十五今却九十九又四之三是盈五十四又四之三也列左下右上甲裒三加七十三得七十六为兼乙丙而倍之之数【乙丙共三十八】乙裒一十二又二之一加七十三得八十五又二之一当为兼甲丙共数者三今甲丙共二十八又二之一三其甲丙共数合八十五又二之一无差丙裒二十五又二之一加七十三得九十八又二之一当为兼甲乙共数者四今甲乙共一十五又二之一四其甲乙共数只该六十二今却九十八又二之一是盈三十六又二之一也列右下两盈减余为法甲乗减余为甲实乙乗减余为乙实丙乗减余为丙实以法除得各数甲七加七十三得八十为兼乙丙共数四十者二乙十七加七十三得九十为兼甲丙共数三十者三丙二十三加七十三得九十六为兼甲乙共数二十四者四合问通曰本章诸式多与差分同两法皆可求者则同也原带盈朒【盈朒之二】
一盈一不足法
式买物每人出五两盈六两每人出三两不足四两人数物价各若干曰五人物价十九两术左列五之六【即五
两盈六两】右列三之
四【即三两不足四两】两
子并为人实母
子互乗并为物实两母减余为法以法除人实得人数以法除物实得物价再以五人乗五减六或以五人乗三加四皆同物价若用借裒先借四人列左上乗五得
二十减六存十四又以四
乗三得十二加四得十六
两数相较不足二列左下
另借七人列右上乗五得三十五减六存二十九又以七乗三得二十一加四得二十五两数相较盈四列右下并盈不足为法并互乗为实以法除得五人
式二分糓每人五石盈三十石每人六石不足四十石人糓各若干曰七十人糓三百八十石术五之三十列左六之四十列右两子并为人实母子互乗并为糓实两母减余为法除人实得人数除糓实得糓数再以人
数乘五石加
盈三十或以
人数乗六石
减不足四十皆同糓数前式系出率故减盈増不足此式系入率故増盈减不足也若用借裒先借三十人列左上乗五得一百五十加三十共一百八十又以三十
乗六得一百八十减四
十存一百四十两数相
较盈四十列左下另借
一百人列右上乗五得五百加三十共五百三十又以一百乗六得六百减四十存五百六十两数相较不足三十列右下盈不足并为法互乗并为实以法除得人数
式三新绢作帐折六幅长旧六寸折七幅短旧四寸新绢旧帐幅各几何曰绢长四丈二尺旧帐幅长六尺四寸术先以幅数乗盈不足以六列左上乗盈六寸得三
尺六寸列下以
七列右上乗不
足四寸得二尺
八寸列下两子并为旧实母子互乗并为新实两母减余为法得旧帐幅长除新实得绢长
式四田一坵截半另佃截长六步不足七步截长八步盈九步所截步及原濶步各若干曰截积之步五十五原濶步八术左列六之七右列八之九并子为濶实并
母子互乗为截
实两母减余为
法各以法除得
数
两盈法
式买物每人出三两五钱盈六两每人出三两三钱盈二两八钱人数物价各若干曰十六人物价五十两术两出率左右列两盈各列其下两子减余为人实母子
互乗减余为物
实两母减余为
法各以法除得
数
式二井不知深将绳折作三股入井汲水余绳四尺折
作四股入井汲
水余绳一尺井
深绳长各几何
曰井深八尺绳长三丈六尺术左三股右四股列上以三乗四尺得十二为左子以四乗一尺得四为右子俱列下两子减余为井实母子互乗减余为绳实两母减余为法各以法除得数
两不足法
式买物每人出银五两不足四两每人出银五两四钱不足二两人数物价各若干曰五人物价二十九两术
左列五十之
四十【升两为十】右
列五十四之
二十两子减余为人实母子互乗减余为物实两母减余为法各以法除得数
一适足一盈法
式买物每人出二两五钱盈六两每人出二两三钱适足人数物价各若干曰三十人物价六十九两术以二
十五列左上盈六十列
下以二十三列右上无
下数即以盈数为人实
左子乗右母为物实两母减余为法各以法除得数或不乗物实以人数乗适足之母亦得物价
式二以米换布换九疋适足换七疋米多四斗米数布
价各若干曰共米一石八斗每疋
值米二斗术左列九适足右列七
盈四以盈数为米实两母减余为
法除得二斗为每疋换米数乃以适足之母九乗之得共米
一适足一不足法
式买物每人出七两不足十四两每人出九两适足人数物价各若干曰七人物价六十三两术左列七不足
十四右列九适足
以不足为人实左
子乗右母为物实
两母减余为法各以法除得数或以人数乗适足之母亦得物价
叠数盈朒法
式买物每八人共出七两盈四两五钱每九人共出六两不足三两人数物价各若干曰三十六人物价二十七两术分三层以八人列左上九人列右上两上相乗
得七十二为通数共出七两列左中共出六两列右中上中互乗减余为法盈四两五钱列左下不足三两列右下以下与两乗数再互乗并为物实两下并得七十五又乗通数为人实各以法除得数
通曰下层并之数皆以千降百也
式二买物每六人出九两盈三两每四人出七两盈六两人数物价各若干曰十二人物价十五两术六人列左上四人列右上相乗得二十四为通数九两列左中
七两列右中上中互乗减余为法盈三两列左下盈六两列右下以下与两乗数再互乗减余为物实两下相减余三又乗通数为人实各以法除得数 其叠数两不足者仿此
式三买物每三人出五两不足十两五人出九两适足人数物价各若干曰七十五人物价一百三十五两术三
人列左上五人列右上乗得通数五两列左中九两列右中上中互乗减余为法不足十两列左下以左下乗右乗数为物实以左下乗通数为人实各以法除得数 其叠数之盈适足者仿此
母子盈朒法
式银不知数买物用三分之二盈三两用五分之三不足一两银数物价各若干曰总银六十两物价三十七
两术上层左列五之三右列三之二母子互乗右得一十再乗不足一两得一十左得九再乗盈三两得二十七乃以右乗之一十列左中左乗之九列右中以右再乗之一十列左下左再乗之二十七列右下上层两子乗得通数中层左右相减余为法下层左右相并为物实中下互乗并数又以通数除之为银实各以法除得数
式二银不知数买物取六分之四盈二两取四分之三盈三两五钱银数物价各若干曰总银十八两物价十两术上层左列四之三右列六之四母子互乗右得十六再乗盈三两五钱得五十六左得十八再乗盈二两得三
十六乃以右乗之十六列左中左乗之十八列右中以右再乗之五十六列左下左再乗之三十六列右下上层两子乗得通数中层左右减余为法下层左右减余为物实中下互乗减余又以通数除之为银实各以法除得数
式三派银不言数但知甲乙二等户乙户所办当甲戸十之八令甲八户乙五戸纳之不足五两令甲六戸乙八戸纳之不足三两其派银数及各戸则例若干曰甲一戸办五两乙一戸办四两派银六十五两术以甲裒一十【乙当甲十之八故以一十为甲裒】乗八户得八十乙裒八乗五户
得四十并得
一百二十列
左上又以甲
裒一十乗六户得六十乙裒八乗八户得六十四并得一百二十四列右上其不足五两列左三两列右两母
减余为法两互乗减余为银实两子减余为则例实以法除银实得派银以法除则例实得五钱甲裒一十乗五钱得甲一户数乙裒八乗五钱得乙一戸数
式四钱不知数买物取二分之一盈四文取七分之三适足钱数物价各若干曰钱五十六文物价二十四文
术七之
三列左
二之一
列右母子互乗左子乗得六另列右右子乗得七另列左而以六乗盈四得二十四列右下为物实又以二十四乗适足之母七得一百六十八为钱实两另列之母减余一为法除物实得物价原子相乗得三为法除钱实得钱数
式五粜麦不知数但云取三分之一粜银八两适足若取八分之三粜银十两不足二石总麦及每银一两粜麦若干曰总麦四十八石银一两粜二石术左列三之一右列八之三互乗之左得八再乗十两得八十另列右右得九再乗八两得七十二另列左乃以适足之银
八乗不足之麦二得十六石列右下为银实又以右下乗左上得一千一百五十二以原子相乗得三除之得三百八十四为麦实另列两母减余得八为法除麦实得总麦除银实得麦二石乃价银一两之所粜也
数度衍卷二十
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>
钦定四库全书
数度衍卷二十一
桐城 方中通 撰
方程
杂和较乘法
通曰数之不齐者以乗齐之数之不齐者以较齐之徧用者方程也
二色方程
式鼎三彞二共重一百四十五两又鼎四彞五共重二百七十五两问二色各重若干曰鼎二十五两彞三十五两术分三段徧乗之鼎四列左上彛五列左中共重
二百七十五列左下鼎三列右上彛二列右中共重一百四十五列右下以右上鼎三乗左上得十二乗左中得十五乗左下得八百二十五注左以左上鼎四乗右上得十二乗右中得八乗右下得五百八十注右又以乗数各相对减两鼎减尽不用两彛减余七两共重减余二百四十五乃以少除多当以二百四十五为实以七为法除得三十五两为一彛之重以右中彛二乗得七十以减右下共重一百四十五余七十五以右上鼎三除得二十五两为一鼎之重若以彞徧乗以七为法亦同所得减余之实乃一百七十五以法除得毎鼎二十五两以左上鼎四乗得一百以减左下共重余一百七十五两为五彛重数葢鼎乗反得彛彛乗反得鼎也通曰既得毎彛或每鼎之后左右皆可求也
式二纱三疋绢四疋共价四两八钱又纱七疋绢二疋共价六两八钱问二色各价若干曰纱每疋价八钱绢每疋价六钱术与右同
式三七钏九钗共重九两四钱钏重钗轻于中互换其一轻重适等问各重若干曰每钏重七钱每钗重五钱
术此依互换
者列位一系
六钏一钗一
系一钏八钗而中分其共重之数左右列下以右钏六徧乗左行钗得四十八重得二十八两二钱以左钏一徧乗右行钗得一重得四两七钱对减中段减余四十七为法下段减余二十三两五钱为实【作二百三十五】以法除得五钱为一钗数以减右重余四两二钱为六钏共数以六除得每钏七钱若以钗徧乗者得减余之实三十二两九钱以法四十七除得七钱为一钏数
通曰上段互乗相减必尽可以不乗矣
式四钱一万文买二马一牛则不足半马之价买一马二牛则余半牛之价牛马价各若干曰牛价一千八百
一十八
文又十
一之二
马价五千四百五十四文又十一之六术此当以不足半马者损为一马又二分马之一及一牛也以余半牛者益为一马及二牛又二分牛之一也依法列段用整带零乗除之【见奇零】以右马徧乗左行左中得三头四之三左下得一万五千以左马徧乗右行右中得一头右下得一万对减中段减余二头又四之三为法下段减余五千文为实以法除得牛价以减右总价余八千一百八十一文又十一之九以右上马一匹又二之一除之得马价
式五甲乙二窖积粟云取乙三之一与甲及取甲二之一与乙各满二千石其各原窖几何曰甲一千六百石
乙一千二百石术
此零法列位互乗
甲得六千乙得四千减余二千为实两母并五为法除得四百以乙母三乗得乙以减二千余八百以甲母二乘得甲其各以母乗者葢前所除为子数必归母见整故也
式六每工种麦三畦菽四畦共种三百○一畦其菽麦畦及工各若干曰麦一百二十九畦菽一百七十二畦工四十三术此为双头单脚互乗取三四左右列之并七为法下列总畦若求麦数者左三乗总畦得九百○
三以法除得麦
畦又以四乗得
五百一十六以左三除得菽畦若求菽数者右四乗总畦得一千二百○四以法除得菽畦又以三乗得五百一十六以右四除得麦畦又术通曰以三四并七为法除总畦得四十三为工数以麦三乘工数得麦畦以菽四乗工数得菽畦
式七银二百六十四两买牛羊共百牵每牛三头价二十两每羊四羫价一两五钱牛羊及价各若干曰牛三十六头价二百四十两羊六十四羫价二十四两术左
右列定牛乗羊价羊乗牛价得数减余七十五两五钱为法总牵总价列下如求牛数者以羊四乗总价得一千○五十六以羊价一两五钱乗总牵得一百五十相减余九百○六为实以法除得十二为牛裒以牛三乗得三十六头以二十两乗牛裒得牛共价总内减牛余羊如求羊数者以牛三乗总价得七百九十二以牛价二十两乗总牵得二千相减余一千二百○八为实以法除得十六为羊裒以羊四乗得六十四羫以一两五钱乗羊裒得羊共价总内减羊余牛
式八用匠五千名包砖板二隄共四千九百九十五方限每日匠九名包板隄十一方匠七名包砖隄四方问隄匠各若干曰板隄四千○一十五方匠三千二百八十五名砖隄九百八十方匠一千七百一十五名术通
曰与右同总匠即总价共方即总牵砖板即牛羊也式九百饼饭大小百僧一大僧食三饼三小僧食一饼其大小僧各若干曰大僧二十五食饼七十五小僧七十五食饼二十五术通曰此两总同数其裒必同也左右列定互乗相减余八为法总僧总饼列下如求大僧
者以小三
乗总饼得
三百小食一乗总僧得一百相减余二百为实以法除得二十五为裒大一乗裒得大僧数以食三乗裒得饼如求小僧者以小三乗裒得小僧数以食一乗裒得饼又术通曰两总相同即以一百为实大小僧并大小食并又同即以四为法除得大僧数推知各数
三色方程
式四雀六燕七鹪共重八钱九分又三雀五燕九鹪共重八钱一分又五雀七燕八鹪共重一两○六分三色各重若干曰每雀重八分每燕重六分每鹪重三分术
置左右中三行作四段列之以右五雀徧乗中行雀得十五燕得二十五鹪得四十五重得四两○五分注中以中三雀徧乗右行雀得十五燕得二十一鹪得二十四重得三两一钱八分注右中右对减雀无余燕余四鹪余二十一重余八钱七分另列后图之右以右五雀徧乗左行雀得二十燕得三十鹪得三十五重得四两四钱五分注左以左四雀徧乗右行雀得二十燕得二十八鹪得三十二重得四两二钱四分注右左右对减雀无余燕余二鹪余三重余二钱一分另列后图之左除雀无余不用后图止三段以右行燕四徧乗左行燕得八鹪得十二重得八钱四分注左以左行燕二徧乗
右行燕得八鹪得四十二重得一两七钱四分注右对减燕无余鹪余三十为法重余九钱为实以法除得二分为一鹪之重乗左三鹪得九分以减左重余一钱二分为左二燕之重每燕六分乃于前图左重八钱九分内去原鹪七重二钱一分原燕六重三钱六分尚存三钱二分为原四雀之重每雀八分或于前图右行中行原数内推之皆得
式二犒夫二人共饭一分三人共酒一分四人共肉一分总用饭酒肉六十五分计夫若干曰夫六十饭三十分酒二十分肉十五分术以二人乗三人得六三人乗四人得十二四人乗二人得八并得二十六为法以二乗三得六乗四得二十四乗总分六十五得一千五百六十为实以法除得夫数推知各数
附式七人醵金甲乙共二十三两七钱戊己庚共二十六两一钱丙丁不知问各若干曰甲十二两二钱乙十一两五钱丙十两○八钱丁十两○一钱戊九两四钱己八两七钱庚八两术先求隔母左列甲乙二右列戊己庚三取右三増一为四又乗三得十二减半得六又减三余三为右中率取左二乗七人得十四减右三余十一为左中率下列各共银乃以左二徧乗右行中得
六下得五十二
两二钱以右三
徧乗左行中得三十三下得七十一两一钱对减中余二十七为法下余十八两九钱为实以法除得隔母七钱再取甲乙共数并入七钱减半得甲十二两二钱减七钱得各数
通曰隔母即递减数也用带分子母差分法亦可附式竹筩九节下三节共乗粟三升九合上四节共盛粟三升中二节不知问各节盛若干曰一节六合二节七合三节八合四节九合五节一升六节一升一合七节一升二合八节一升三合九节一升四合术左列下
三右列上四用右
法求得右中率六
左中率二十一下列各共盛乃以左三徧乗右行中得十八下得九分以右四徧乗左行中得八十四下得十五分六厘对减中余六十六为法下余六分六厘为隔母率却以法乗左三升九合得二百五十七分四厘以左三除得八十五分八厘为第八节数加母率得九节九十二分四厘若递减母率七节得七十九分二厘六节得七十二分六厘五节得六十六分四节得五十九分四厘三节得五十二分八厘二节得四十六分二厘一节得三十九分六厘各以法六十六除得各粟数又术以中余六十六为法下余六十六为实以法除得一合为隔母率以左三除左三升九合得一升三合为八节
通曰前式甲乙二人共数故加隔母折半而得甲此式下三节共数故所求即第八节乃下三节之中节也
立正负法
立正负以别同异初以同名减其下同减而异并初以异名减其下异减而同并
二色方程
式笔三管换砚七方贴砚价四百八十文又砚三方换笔九管贴笔价一百八十文问各价几何曰一笔价五十文一砚价九十文术砚为正笔为负左右三段列之
以右砚
七乗左
行中得六十三下得一千二百六十注左以左砚三乗右行中得九下得一千四百四十注右两笔负同名减余五十四为法两价正负异名并得二千七百为实以法除得五十文为一笔之价取右笔三乗得一百五十加入价正四百八十共六百三十即右七砚之价以七除得每砚九十文若取左笔九乗五十得四百五十内减价负一百八十余二百七十即左三砚之价如以笔徧乗者得异并之实四千八百六十以法除得砚价通曰旧法上段亦乗今不用其下段分正负者砚为正故贴砚价亦正笔为负故贴笔价亦负
三色方程
式硃二斤黄三斤价二千○四十文又黄五斤碌六斤价六百四十文又碌七斤硃三斤价二千九百八十文问各价若干曰硃每斤九百文黄毎斤八十文碌每斤四十文术分三色及价作四段于右中左列之以右硃
二乗左行碌得十四价得五千九百六十以左硃三乗右行黄得九价得六千一百二十左右黄碌两段俱无减并止两价作同减余一百六十除硃一段乃于左○位照黄乗得之数为立负九另以中行黄五碌六价六百四十列右左行○负九碌乗十四价余一百六十列左于后以右黄五乗左行碌得七十价得八百以左负
九乗右
行碌得
五十四价得五千七百六十碌系正负异名并得一百二十四为法两价作同减余四千九百六十为实以法除得四十文为碌一斤价乃于前图中行原价减中碌六斤价二百四十余四百为中黄五斤价每斤八十文又于右行原价减右黄三斤价二百四十余一千八百为右硃二斤价每斤九百文
式二牛一头马二匹驴三匹皆载物七百斤不能行一牛借马一匹二马借驴一匹三驴借牛一头方行三等力各若干曰一牛力四百一马力三百一驴力一百术
列定以
右正牛
一乗左行各如故以左借牛一乗右行各如故左右不用减并左马空仿右马乗得数立负一乃除却牛段以中正马乗左行负得二驴得六下得一千四百以左负一乗中行马得二驴得一下得七百中左马同名减尽正借驴异名并得七为法下物作同减余七百为实以法除得驴力一百斤于中行七百内减中一驴力余六百为中二马力每马力三百斤又于右行七百内减右
一马力余四百即右一牛力或用后图求马力以右借驴一乗左行牛得一下得七百以左正驴三乗右行马得六下得二千一百左右马牛无减并下减余一千四百除却驴段又左马空仿右马乗数立负六以中借马一乗左行牛得一下得七百以左负六乗中行牛得六下得四千二百中左正借牛异名并得七为法下物作同减余三千五百又以右下余一千四百减之余二千一百为实以法除得三百斤为一马力
通曰此以正借分同异不分正负也
式三鴈二雉三换谷五斗七升雉三二换五斗三升四鴈五换一石问各若干曰每鴈一斗二升毎雉一斗一升每一斗术列定以右鴈二乗左行八二石以左鴈五乗右行雉十五糓二石八斗五升左
右雉无减并糓作同减余八斗五升除却鴈段于雉左○照右乗立负十五以中雉三乗左行二十四糓二石五斗五升以左负十五乗中行三十糓七石九斗五升中左正负异名并得五十四为法糓作同减
余五石四斗为实以法除得一斗为一价于中行糓内减二价余三斗三升为中三雉价每雉一斗一升又于右行糓内减三雉价余二斗四升为右二鴈价每鴈一斗二升
通曰左右互乗既不乗鴈一段则左中互乗亦可不乗雉一段不然则雉系正负异名安得减尽乎故皆省之式四卖二牛五羊买十三豕余五两卖一牛一豕买三羊适足卖六羊八豕买五牛不足三两问各价若干曰牛六两羊二两五钱豕一两五钱术此以卖为正买为负余为正不足为负也正为主则同减异并负为主则同并异减列定以右牛二乗中行羊六豕二以中牛一
乗右行羊五豕十三价五中右以正为主羊异名并十一豕异名并十五价无减并以右牛二乗左行羊十二豕十六价六以左牛五乗右行羊二十五豕六十五价二十五左右以负为主羊同名并三十七豕异名减余四十九价异名减余十九除牛一段再列减并数于后以羊十一乗左行豕五百三十九价二十两○九钱以
羊三十七乘右行豕五百五十五价十八两五钱左右豕异名减余十六为法价异名减余二两四钱作二十四为实以法除得一五即一豕价一两五钱以右豕十五乗得二十二两五钱加右价五两共二十七两五钱俱羊价以右羊十一除得每羊二两五钱再以前图右豕十三乗一豕价得十九两五钱加入右价五两共二十四两五钱为牛羊总价内减右五羊价十二两五钱余十二两为右二牛价每牛六两
四色方程
式柰二梨四共钱四十文梨二桃七共钱四十文桃四
榴七共钱三十文榴八柰一共钱二十四文问各价若干曰每柰八文每梨六文每桃四文每榴二文术分甲乙丙丁四行作五段列之先甲丁互乗以甲柰二乗丁行梨空桃空榴得十六价得四十八以丁柰一乗甲行梨仍四无对桃榴俱空钱仍四十与四十八相减余八丁梨空照甲立负四次乙丁互乗乙无柰取梨二乗丁行桃空榴巳乗出十六得三十二钱余八得十六以丁负梨四乗乙行桃得二十八无对榴空钱得一百六十并十六得一百七十六丁桃空照乙立负二十八次丙丁互乗丙无柰梨取桃四乗丁行榴巳乗出三十二得一百二十八钱巳乗并一百七十六得七百○四以丁桃负二十八乗丙行榴得一百九十六与一百二十八相减余六十八为法钱得八百四十减去七百○四余一百三十六为实其甲丁乙丁互乗惟求应立负数以为乗母既得法实其诸数皆不用也以法除实得二文为一榴之价于丙价三十减丙七榴价十四余十六为丙四桃价每桃四文又于乙价四十减乙七桃价二十八余十二为乙二梨价每梨六文又于甲价四十减甲四梨价二十四余十六为甲二柰价每柰八文
五色方程
式井不知深用甲绳二不及泉借乙绳一补之及泉用乙绳三则借丙一用丙绳四则借丁一用丁绳五则借戊一用戊绳六则借甲一始俱及泉其各绳及井深若干曰甲绳二丈六尺五寸乙绳一丈九尺一寸丙绳一丈四尺八寸丁绳一丈二尺九寸戊绳七尺六寸井深七丈二尺一寸术列作五行以五绳之率为母借绳一为子先取甲二乗乙三得六又乗丙四得二十四又乗丁五得一百二十又乗戊六得七百二十并入子一得七百二十一为井深七丈二尺一寸也乃取甲乙丙丁戊及井深列作六段而以第五行为主一二三四行俱
与五行互乗也先以一行甲二乗五行戊六得十二下
得一千四百四十二以五行甲一乗一行乙仍得一五行即立负一下仍得七百二十一与前所乗之一千四百四十二相减余七百二十一次以二行乙三乗五行戊十二得三十六下之减余七百二十一乗得二千一百六十三以五行乙负一乗二行丙仍得一五行即立负一下仍得七百二十一并前所乗之二千一百六十三得二千八百八十四再以三行丙四乗五行戊三十六得一百四十四下之所并二千八百八十四乗得一万一千五百三十六以五行丙负一乗三行丁仍得一五行即立负一下仍得七百二十一与前所乗之一万一千五百三十六相减余一万○八百一十五末以四行丁五乗五行戊一百四十四得七百二十下之减余一万○八百一十五乗得五万四千○七十五以五行丁负一乗四行戊仍得一并五行所乗之七百二十得七百二十一为法下仍得七百二十一并前所乘之五万四千○七十五得五万四千七百九十六为实以法除实得戊绳七尺六寸以减四行之七百二十一余六百四十五以丁五除得丁绳一丈二尺九寸【丈为百尺为十】以减三行之七百二十一余五百九十二以丙四除得丙绳一丈四尺八寸以减二行之七百二十一余五百七十三以乙三除得乙绳一丈九尺一寸以减一行之七百二十一余五百三十以甲二除得甲绳二丈六尺五寸
通曰自四色以上凡下段互乗相对皆系一减一并而积之不分正负同异矣其四色之丙丁两行互乘榴段皆正同名则用减五色之四五两行互乗戊段正借异名则用并也
止推下二段法
通曰如右式推出井深列定之后先以五行甲一乗各行乗乙一立负一乗丙一立负一乗丁一立负一乃止求下法实二段如求实段以一行甲二乗五行下得一十四百四十二以五行甲一乗一行下仍得七百二十一相减余七百二十一又以二行乙三乗之得二千一百六十三以五行乙负一乗二行下仍得七百二十一并得二千八百八十四又以三行丙四乗之得一万一千五百三十六以五行丙负一乗三行下仍得七百二十一相减余一万○八百一十五又以四行丁五乗之得五万四千○七十五以五行丁负一乗四行下仍得七百二十一并得五万四千七百九十六为实也如求法段以一行甲二乗五行戊六得十二又以二行乙三乗之得三十六又以三行丙四乗之得一百四十四又以四行丁五乗之得七百二十乃以五行丁负一乗四行戊一仍得一并得七百二十一为法也
数度衍巻二十一
钦定四库全书
数度衍卷二十二
桐城 方中通 撰
度【粟布之一】
度长短法
式九寸五分小尺量得三丈五尺十寸正尺该若干曰三丈三尺二寸五分术以三丈五尺为实以九寸五分为法乗之即得
式二十寸正尺量得三丈三尺二寸五分九寸五分小尺该若干曰三丈五尺术以三丈三尺二寸五分为实以九寸五分为法除之即得
式三九寸尺量得四丈八寸尺该若干曰四丈五尺术以四丈为实以九寸乗之得三丈六尺再用八寸除之即得
通曰乗非加也折而小之也除非减也折而大之也
求价法
式银二十六两五钱买纱二百二十二丈六尺毎疋长四丈二尺问纱疋及疋价若干曰五十三疋毎疋价五钱术以二百二十二丈六尺为实以四丈二尺为法除之得五十三疋又以二十六两五钱为实以五十三疋为法除之得五钱
量【粟布之二】
量多寡法
式一斗五升大斗量得七石十升正斗该若干曰十石○五斗术以一斗五升乗七石即得
式二十升正斗量得十石○五斗一斗五升大斗该若干曰七石术以一斗五升除十石○五斗即得
式三二斗五升斛量得四十二斛若以一斗五升大斗量之该若干曰七石术以二斗五升乗四十二斛得十石○五斗为实以一斗五升为法除之即得
官粮带耗法
式正一石耗七升今共粮二千七百六十五石九斗五升内正耗各若干曰正二千五百八十五石耗一百八十石○九斗五升术以共粮为实以正耗共一石○七升为法除之得正数以减共粮余为耗数或以耗七升乗正数亦可
衡【粟布之三】
权轻重法
较秤式用秤称物不及其锤重一斤十两外加一锤重一斤四两八钱称得六十七斤依本秤算该斤几何曰一百二十斤○九两六钱术以原锤通作二十六两【法见后】加锤通作二十两○八钱并得四十六两八钱为三率以六十七斤为次率以原锤二十六两为首率次三相乗首除得一二○六一二者一百二十斤也六乃斤下虚数用加六法得九两六钱
较锤式原秤称物重八斤二两失去原锤欲另配锤不知轻重借锤重二斤五两称原物只得六斤原锤该重若干曰一斤十一两三钱零术以六斤通作九十六两为三率以借锤通作三十七两为次率以原重通作一百三十两为首率次三相乗首除得二十七两三钱零乃一斤十一两三钱零也
两求斤法
通曰斤法十六不以十进故须通斤为两归两为斤也式物重三百二十两该斤几何曰二十斤术以物重为实以十六为法除之即得又术先用八除实后用五乗亦得又术以实两次折半又加实数再折半亦得又术以实四次折半亦得此即偶数可折至一止也又术先用二除实后用八除亦得以实两次四除亦得
通曰二八为十六四四亦为十六故皆可用也五乗即二除也
斤求两法
式物重二十斤该两几何曰三百二十两术以物重为实以十六为法乗之即得又术以八乗实以五除之亦得又术倍实又乗八亦得又术以四乗实又乗四亦得
珠算两求斤法
诀曰一退六二五 二一二五 三一八七五 四二五 五三一二五 六三七五 七四三七五 八五九五六二五 十六二五 十一六八七五 十二
七五 十三八一二五 十四八七五 十五九三七五 十六进一
退者挨身下位也无退则自本位起也进则左位矣式物重三百二十一两该斤几何曰二十斤○一两术置三百二十一两在位从右起曰一退六二五抹去寅一卯上六辰上二巳上五曰二一二五丑二变一寅上二卯六变一而寅二又变三曰三一八七五子三变一丑一变九寅抹三又抹丑九而子一又变二卯一变六算毕子位二即二十斤也卯六
辰二巳五再用定身加六法得一两
又诀曰进一除一六 进二除三二 进三除四八进四除六四 进五除八十 进六除九六 七除一一二 八除一二八 九除一四四
式物重二千九百四十四两该斤几何曰一百八十四斤术置二千九百四十四两在位从左起曰进一除一六子上一丑二变一寅九变三曰八除一二八丑一变八寅抹三夘四变六曰进四除六四寅上四卯抹六辰抹四除毕即得
通曰二式得数后须推斤止何处始得余两
减六法
定身减六式物重四万○七百三十六两该斤几何曰二千五百四十六斤术置实从左起曰减二六一十二子之四存二减一二丑上八曰减五六方三十丑之八存五减三曰减四六二十四寅之七存四减二四卯三变九曰减六六三十六卯之九存六减三辰减六实尽即得
通曰凡存数皆勿动即斤数也
珠算斤求两法
通曰作几段起算后并为一不论左首但取右尾挨次退一位加之诀曰一作一六二作三二三作四八四作六四五作八六作九六七作一一二八作一二八九作一四四
式物重三百七十四斤该两几何曰五千九百八十四
两术通曰分三段三百为一
段曰三作四八七十为一段
曰七作一一二四斤为一段
曰四作六四乃以每段右退
一位加得两数
加六法
定身加六式物重四十六斤该两几何曰七百三十六两术置实从实尾起曰六六加三十六曰四六加二十四于四十六上共加二十七六也合成七三六即两数通曰减六者于数内照存数减几回六也加六者于数外照本数加几回六也
式二物重三百二十一两用两求斤前诀巳推二十斤尚余六二五为斤法几两曰一两术用定身加六即得曰五六方三十曰二六一十二曰六六三十六如六百二十五上加三百七十五成一千也
化法
百两为六斤四两千两为六十二斤八两万两为六百二十五斤故知六二五为一之所化也葢百两曰六二五六即六斤二五为化数存身加六归得四两也千两曰六二五六二即六十二斤五为化数存身加六归得八两也若以一两为六百二十五一斤为一万数矣式原买物一斤价七钱六分五厘今欲买六两该银若干曰二钱八分六厘八毫七丝五忽术以六两化之六其六二五得三十七五降作三七五为实以七钱六分五厘降作七分六厘五毫为法乗之即得
式二原买物一斤价五两今买三百四十五两该银若干曰一百○七两八钱一分二厘五毫术通曰以三百四十五两乗六百二十五化作二十一万五千六百二十五又以五两乗之得一百○七万八千一百二十五为实以一斤化作一万为法除之即得
互求【粟布之四】
通曰周尺小沿今渐大今之周通尺犹小古石即石如其石重量亦衡也斤法三百八十四铢汉志十六两故每两二十四铢至其不齐度量有大至加五衡有十七八两以至二十余两为斤者闽中更有牙桶管不以升斗十进粤又以五斗为石五升为斗与豫章之硕同书曰同律度量衡同律而后可互求也
度求量法
斛法二尺五寸乃长濶皆一尺髙二尺五寸容积一石也
方仓求积式方仓长四丈七尺濶三丈一尺髙九尺问积米若干曰五千二百四十五石二斗术以长与濶相乗得一百四十五丈七尺再以髙乗之得一千三百一十一丈三尺为实以斛法二尺五寸除之即得
式二方仓方一丈五尺髙一丈五尺问积米若干曰一千三百五十石术以方一丈五尺自乗得二百二十五尺再以髙乗之得三千三百七十五尺为实以斛法除之即得
圆仓求积式圆仓周二丈四尺髙一丈二尺三寸问积若干曰二百三十六石一斗六升术以周自乗得五百七十六尺以髙乗之得七万○八百四十八以圆率十二除之得五千九百○四为实以斛法除之即得又术以七万○八百四十八为实以斛法乗圆率得三十为法除实亦得又术以七万○八百四十八为实以三除之亦得
方窖求积式方窖上方六尺下方八尺深一丈二尺问积若干曰二百三十六石八斗术以上方自乗得三十六下自乗得六十四上下方相乗得四十八并三乗数共一百四十八以深乗之得一千七百七十六用方窖率三除之得五百九十二为实以斛法除之即得又术以五百九十二为实以四乗之亦得
通曰四乗即二十五除故可代斛法也
圆窖求积式圆窖上周二丈八尺下周一丈五尺深七尺五寸问积若干曰一百一十九石○八升有零术以上周自乗得七十八丈四尺下周自乗得二十二丈五尺上下周相乗得四十二丈并三乗数共一百四十二丈九尺以深乗之得一○七一七五用圆窖率三十六除之得二九七七零为实以斛法除之即得又术以一○七一七五用六除二次亦得二九七七零以四乗之亦得
通曰六六为三十六故可代圆窖率也
平地尖堆求积式周二丈七尺髙六尺问积若干曰四十八石六斗术以周自乗得七二九又以髙乗之得四三七四用圆窖率三十六除之得一二一五为实以斛法除之即得又术以四三七四为实以九除之亦得通曰以斛法乗圆窖率得九十故可用九除也
倚壁求积式下周一丈九尺髙一丈二尺六寸问积若干曰一百○一石○八升术以下周自乗得三六一以髙乗之得四五四八六用倚壁率十八除之得二五二七为实以斛法除之即得又术以四五四八六为实以四十五除之亦得又术以四五四八六用五除之得九○九七二以九除之亦得
通曰以斛法乗倚壁率得四十五五九亦四十五故皆可用
内角求积式周一丈五尺髙一丈四尺四寸问积若干曰一百四十四石术以周自乗得二二五以髙乗之得三二四用内角率九除之得三六为实以斛法除之即得又术以三二四为实以二十二尺五寸为法除之亦得
通曰以斛法乗内角率得二十二尺五寸也故用之外角求积式周五丈七尺髙八尺五寸问积若干曰四百○九石一斗三升二合零术以周自乗得三二四九以髙乗之得二七六一六五用外角率二十七除之得一○二二八三零为实以斛法除之即得又术以二七六一六五为实以六十七尺五寸为法除之亦得又术以二七六一六五用三除之得九二○五五以九除之得一○二二八三零以四乗之亦得
通曰以斛法乗外角率得六十七尺五寸也三九亦二十七故皆可用
船求积式船两头俱面广六尺五寸中腰广七尺五寸底广六尺长一丈八尺深二尺五寸问积若干曰一百二十三石七斗五升术倍腰广为十五尺并入面广底广共二十七尺五寸以四除之得六八七五以深乗之得一七一八七五又以长乗之得三○九三七五为实以斛法除之即得
式二南头面广六尺腰广六尺五寸底广五尺北头面广七尺腰广七尺五寸底广六尺深二尺四寸长九尺问积若干曰五十六石一斗六升术倍南腰为十三尺加南面底共二十四尺倍北腰为十五尺加北面底共二十八尺南四除得六北四除得七并得十三折半得六五以乗深得十五尺六寸再乗长得一百四十尺○四寸为实以斛法除之即得
通曰圆仓圆窖非浑圆也仓乗得积十二倍窖乗得积三十六倍方窖乃三不等立方也乗得积三倍尖堆与圆窖同率倚壁止半尖故其率减尖堆之半内角乗得积九倍外角周大而积少故其率三倍于内角此用率除得实之故也
度求衡法
立方一寸为金率十六两银率十二两玉率十两不等铅率九两五钱铜率七两五钱铁率六两青石率三两不等
式金立方一丈二尺该重几何曰二千七百六十四万八千两术以一丈二尺通作一百二十寸自乗得一万四千四百寸再乗得一百七十二万八千寸为实以金率十六两乗之即得
式二盐立方一尺重四十斤今有盐一堆长一丈五尺濶一丈二尺髙六尺五寸共重几何曰四万六千八百斤术以长乗濶得一百八十尺又乗髙得一千一百七十尺为实以四十斤为法乗之即得
量求度法
此即度求量之还原也
式有米二千四百一十九石二斗欲作方仓盛之濶十八尺髙十二尺长该几何曰二十八尺术以斛法二尺五寸乗米数得六千○四十八尺为实以髙乗濶得二百一十六尺为法除之得长 长髙求濶以长乗髙为法长濶求髙以长乗濶为法
式二有米七百○五石六斗欲作圆仓盛之髙十二尺周该几何曰四十二尺术以斛法乗米数得一千七百六十四以圆率十二乗之得二万一千六百六十八以髙除之得一千七百六十四为实用少广章平方法开之得周 周求髙则以二万一千一百六十八为实以周自乗为法除之得髙
式三有米五百七十七石二斗欲作方窖盛之上方九尺深十三尺下方该若干曰十二尺术以斛法乗米数得一千四百四十三尺以方窖率三乗之得四千三百二十九尺以深除之得三百三十三尺内减上方自乗得八十一尺余二百五十二尺为实以上方为纵用少广章带纵开平方除之得下方 下方求上方于三百三十三内减下方自乘余为实以下方为纵用带纵开平方除之得上方
式四有米七十七石二斗欲作圆窖盛之上周十四尺深九尺下周该若干曰十八尺术以斛法乗米数得一百九十三尺以圆窖率三十六乘之得六千九百四十八以深除之得七百七十二尺内减上周自乗得一百九十六余五百七十六尺为实以上周为纵用带纵开平方除之得下周 下周求上周于七百七十二内减下周自乗余为实以下周为纵用带纵开平方除之得上周
量求衡法
百二十斤为石法然物亦不等率亦不等
式米二百五十三石该斤几何曰三万○三百六十斤术以米数为实以石法乗之即得
衡求度法
此即度求衡之还原也
式金重二千七百六十四万八千两该立方几何曰方一丈二尺术以金数为实以金率十六除之得一百七十二万八千寸为立实用少广章开立方除之即得
衡求量法
此即量求衡之还原也
式米三万○三百六十斤该石几何曰二百五十三石术以米数为实以石法除之即得
就物抽分法
式糓三千五百石即以糓扣作脚价每石脚银五分糓每石价二钱问主脚糓各若干曰主糓二千八百石脚糓七百石术以二钱为法除五分得每石脚糓二斗五升并一石为一石二斗五升以除总糓得主糓以主糓减总糓余为脚糓又术以五分乗总糓得一百七十五为实以谷价脚银并二钱五分为法除实得脚糓减总得主
式二丝四十三斤十二两织绢每疋用丝一斤即与织工丝四两问各若干曰织绢三十五疋织工丝八斤十二两术以斤下两化作七五【十二其六二五也】并四十三斤得四三七五以工四两化作二五【四其六二五也】相乗得十斤○九三七五为实乃并织丝工丝共一斤四两化作一二五为法除实得八斤七五将七五用加六法归得八斤十二两为织工丝以减总丝余为织绢丝三十五斤一斤即一疋得三十五疋又术以总丝通为七百两以工四两乗之得二千八百两为实以每疋用十六两并入工四两得二十两为法除实得织工丝一百四十两归得八斤十二两
数度衍巻二十二
钦定四库全书
数度衍卷二十三
桐城 方中通 撰
九章外法
约分法
式四十二数在九十八数内得防分之防曰七分之三术约以分子也数多为母数少为子今以四十二为子九十八为母视母数内满几囘子数尽减去今减两回四十二余母十四又于子数内减余母今减两回十四余子十四此谓之子母同余如不同余则不可约矣以同余之十四为法除母得七除子得三乃知四十二在九十八内为七分中之三分也
通分法
式物四十五件每件价三分两之二该银若干曰三十两术通以分母也以三之二命三为母二为子乃以子二乗四十五得九十两为实以母三为法除之得三十两
通曰此零算则无尽而总算则无零也
异乗同除法
式钱四贯得货十二斤今钱二十贯该货若干曰六十斤术此即三率准测法也又名三累先定三率之位以四贯为一率以十二斤为二率以二十贯为三率乃以二率三率相乗得二百四十以一率除之得六十为第四率又术先防纽数如用四为纽数一率四有一回四二率十二有三回四则以一代四为一率三代十二为二率仍用二十为三率所求四率亦同更以五代二十为三率亦用一为一率二率仍用十二亦可又术以一率除二率乗三率亦合又术以一率除三率乗二率亦合
通曰后二术皆先除后乗恐有零不尽不如先乗后除也
若以二率三率相乗以四率除之即得第一率之数若移三率作一率移四率作二率移一率作三率即得第二率之数
定位诸式
通曰二率三率可以相换一率则不可易矣
式买绢五十二疋银四十四两今买二百六十疋该银几何曰二百二十两术此所问在二百六十疋则以二百六十为第三率以原绢五十二为第一率相当而以四十四为第二率以当所测之第四率也
式二每石价一两七钱五分米每石价二两五钱今有谷三百九十六石照价折米该若干曰二百七十七石二斗术以谷价为二率米价为一率今有糓为三率若问米照价准糓则以米价为二率糓价为一率米数为三率
式三八成金五十两价二百两今有九成金四十两该价若干曰一百八十两术此有成色当折足色之后用本法推之以八成金折足四十两为一率二百两为二率九成金折足三十六两为三率
式四蜡十斤零五分斤之二又七两零二分两之一共银二两六钱今有银九钱买蜡若干曰三斤十二两一钱九分又六十五之四术此为三不同类之率取原银二两六钱化为二十六钱为一率取原蜡二起共化为一千七百三十九钱为二率以今银九钱为三率求得六百钱零一钱九分零归得斤两数
式五炼矿求银初火每三两得二两再火每七两得五两三火毎五两得四两凡三次共得足银十六两问原矿若干曰四十二两术此当并子并母求之以三子相乗炼得二两乗五两得十两又乗四两得四十两为首率以三母相乗每三两乗七两得二十一两又乗五两得一百○五两为次率以足银为三率
式六驿使先发三十七里别一骑追一百四十五里尚不及二十三里再追几何里可及曰二百三十八里又十四分里之三术先推知一百四十五里只追上十四里即以十四里为首率一百四十五里为次率不及二十三里为三率
式七二人同步甲疾乙迟甲百步乙才六十步假使乙先行百步甲该几何步可及曰二百五十步术以甲百步与乙六十步相减得较四十步为首率以甲百步为次率以乙先行百步为三率
式八籴米三千五百石毎石价六钱五分外用脚价五分就籴处以米准折问脚米存米各若干曰脚米二百六十九石二斗三升○七勺又六十五分勺之四十五【约为十三之九】存米三千二百三十石○七斗六升九合二勺又六十五分勺之二十【约为十三之四】术以每石籴价为首率总米为次率脚价为三率求得脚米以减总米得存米若已运至仓则并籴价脚价共七钱为首率依法求之只该脚米二百五十石
通曰数以四分用三故三率为数之枢也乗除亦三率而人不知者因其首率为除之法一次率为乗之法一法数遇一则不用三率耳前后诸式有各章己见者此则专以三率名也
同乗异除法
式借布长四丈濶二尺今还布止濶一尺八寸该长若干曰四丈四尺四寸零术此变测法也如一率多于三率而二率反少于四率或一率少于三率而二率反多于四率者当审其不相准之数而变法测之则以第一率乗第二率以第三率除之也今以原濶二尺为一率以原长四丈为二率以今濶一尺八寸为三率若用异乗同除法则移三率为一率移一率为二率移二率为三率亦可
定位诸式
式借九成金五十四两今以八成金抵还该若干曰六十两七钱五分术以九成为首率五十四两为次率八成为三率
式二原母四千两生息三年今母七千四百八十两须几年可当其三年之息曰一年七月十日六时四刻又三百七十四分刻之八十六术以原母为首率三年为次率今母为三率
式三原麦半石价六百文作饼每饼重十两值十文今麦价每石八百文而每饼仍是十文该重若干曰十五两术以原价为首率十两为次率今价折半为三率式四二百四十步为一亩系濶八步长三十步今濶六步该长几何曰四十步术八步为首率三十步为次率六步为三率
式五原仓贮米三百八十四石髙八尺濶一丈二尺深一丈今仓照前米数亦髙八尺深八尺该濶几何曰一丈五尺术深一丈为首率濶一丈二尺为次率深八尺为三率
式六筑台每日用夫三十四年而成今每日用夫五十该几时成曰八百六十四日术以三十为首率以四年化作一千四百四十日为次率以五十为三率
式七守兵八千五百其粮仅能支十一月若待运粮至尚须二十五月计当撤兵几何留兵几何而后足食二十五月曰留三千七百四十撤四千七百六十术以十一月为首率八千五百为次率二十五月为三率求出四率为留数减总得撤数
式八每日空车行七十里若重载只行五十里今载粮到仓五日三返路逺若干曰四十八里又三十六之二十二术以五日为首率以七十乗五十得三千五百里为次率并七十五十得一百二十里以乗三返得三百六十为三率
异乗同乗法
通曰定率之后仍用异乗同除法求之
式毎人每月织绢六疋若八人四年该织几何曰二千三百○四疋术以四年化作四十八月乗八人得三百八十四又以六疋乗之即得又术用并法以一人乗一月得一为首率以六疋为次率以八人乗四十八月得三百八十四为三率
通曰首率是一故前术为捷耳若非一者必用此术及后术也又术用重准测法又名夹三累先以人数测绢数以一人为首率六疋为次率八人为三率求得四率四十八疋又以月数测绢数以一月为首率以前四率为次率四十八月为三率
用并诸式
式原买大布一疋长二丈五尺濶一尺六寸价二钱今买小布一疋长一丈八尺濶一尺三寸用价一钱二分其贵贱若何曰只该一钱一分七厘今贵三厘术以大长乗大濶得四丈为首率以二钱为次率以小长乗小濶得二丈三尺四寸为三率
式二三人用米五石值银三两计食五旬每人每日银米各几何曰银二分米三升三合又三之一术以三人乗五十日得一百五十为首率以三两化作三百分为求银之次率五石化作五百升为求米之次率皆以一人乗一日得一为三率
式三母银三百两四年得子银一百两今母银一千五百八十两七年该子银若干曰九百二十一两又三之二术以三百乗四年得一千二百为首率以一百为次率以一千五百八十乗七年得一万一千○六十为三率
式四兵每名每月给银四两今兵一万三千名九月该给若干曰四十六万八千两术以一名乗一月得一为首率以四两为次率以九月乗一万三千得十一万七千为三率
重测诸式
式母银十两三月得子银四两母银百两欲得子银二千两须几时曰一百五十月术此须先知百两三月所得以十两为首率四两为次率一百两为三率求出四十两为四率后以四十两为首率三月为次率二千两为三率
式二夏布四十五疋换绵布夏布三疋共价二钱绵布七疋共价七钱五分该换若干曰二十八疋术先求夏布四十五疋之共价以三疋为首率二钱为次率四十五疋为三率求出三两为四率后以七钱五分为首率七疋为次率以先四率为三率
式三银二十三两买布七十五疋毎疋长四丈濶二尺今另买布濶一尺六寸长与前等该减前价若干曰四两六钱术先求每尺之价以四丈乗七十五疋得三百丈又乗二尺得六千尺为首率以二十三两为次率另立一尺为三率求出三厘八毫三丝又三之一为四率再求应减之价以先三率为后一率先四率为后二率以两濶相减余四寸乗三千尺【即四丈乗七十五所得之数】得一千二百尺为三率
式四重舟日行八十里轻舟日行百里重舟先去十五日轻舟几日追及曰六十日术先求重舟十五日所行以一日为首率八十里为次率十五日为三率求出一千二百里为四率后以轻舟每日多行二十里为首率以先首率为后二率先四率为后三率
式五车轮半径一尺九寸五分一日转二万周为里几何曰一百三十里术倍半径得三尺九寸为全径推得周一百一十七寸以一周为首率一百一十七寸为次率二万周为三率求得二十三万四千尺为四率再以里法三百六十步化作一千八百尺为首率一里为次率前四率为后三率
式六十二人九日刈麦二十亩今三十人刈麦四十五亩该几日曰八日又十之一术先以人较日以十二人为首率九日为次率三十人为三率此系一率小于三率而四率少于二率者当用变准测一二相乗以三率除求出三日又五之三为四率后以日较亩以二十亩为首率前四率为后次率四十五亩为三率仍用本法式七炼铜每次十斤得八斤三次得七十五斤十三两四钱四分原生铜若干曰一百四十八斤二两术化八斤作一万二千八百分为首率化十斤作一万六千分为次率化总铜作十二万一千三百四十四分为三率求出十五万一千六百分为二火铜数以此数为三率一率二率如故求出十八万九千六百分为一火铜数又以此数为三率一率二率如故又求出二十三万七千分用斤法十六除之即得又术以八斤自乗再乗得五百一十二为法除三火铜化分得二三七因有再乗当升二位作二千三百七十两以斤法除之亦得通曰此用三回三率故又名大夹三累
式八雇匠采石每六十丈价七两七钱船价三钱总用鍜铁炭火银二百两是六十分之二问总银石数石价船价各若干曰总银六千两石四万三千五百丈石价五千五百八十二两五钱船价二百一十七两五钱术二百两为六十分之二即知总银是六千两矣内减二百两只以五千八百起算为三率以六十丈为二率以两价并得八两为首率求出石四万三千五百丈为四率又以四率为三率以六十丈为首率七两七钱为次率求出石价减五千八百余船价加二百两合总银式九母银百两货每斤卖二钱已得息三十两今若每斤卖至二钱四分其息几何曰五十六两术先求每斤二钱内母银若干以母并原息得一百三十两为首率以一百两为次率以二钱作二十分为三率求出十五分又十三之五为四率后以四率为首率以二钱四分内减十五分又十三之五余八分又十三之八为次率一百两为三率
式十布每疋长四十尺内抽税二尺客布三百疋税司抽布十五疋半反贴客钱六百文其布价毎疋几何曰一千二百文术此已知税为二十取一也先求三百疋应抽之数以二十疋为首率一疋为次率三百为三率求出十五疋为四率以减十五疋半余半疋系二十尺为首率六百文为次率四十尺为三率
通曰二尺乗三百疋得六百尺以四十尺除之亦得应抽之数
式十一贩参每六斤价七两七钱脚价三钱又用牙银二百是原母三十之一其母银参数两价各若干曰原母六千两参四千三百五十斤价五千五百八十二两五钱脚价二百一十七两五钱术与八式同
式十二饭僧初日每五十人米八斗次日每九十人米七斗共用米三十二石一斗米僧各若干曰僧一千三百五十初日用米二十一石六斗次日用米十石○五斗术先将两子母互乗【五十九十】□【八七】左得三百五十右得七百二十并得一千○七十为首率两母相乗得四千五百为次率以共米为三率求出一千三百五十为僧数又以五十人为首率八斗为次率僧数为三率求出初日米数再以九十人为首率七斗为次率僧数为三率求出次日米数
式十三银六钱五分换大小钱钱数相等每银一钱换大钱七十五文银一钱换小钱一百二十文问各若干曰大钱三百文小钱三百文术以七十五文为首率换大银一钱为次率一百二十文为三率求出一钱六分为大一百二十之银再以一钱六分并换小银一钱共二钱六分为首率并大一百二十小一百二十共二百四十文为次率以六钱五分为三率求得六百文平分大小各三百
式十四一百二十里物重八十斤工银六分今一百八十里物重一百二十斤该工银若干日一钱三分五厘术先以八十斤为首率六分为次率一百二十斤为三率求出银九分后以一百二十里为首率九分为次率一百八十里为三率又术通曰视一百二十斤多八十斤二之一则将六分多二之一为九分又视一百八十里多一百二十里二之一则又将九分多二之一为一钱三分五厘亦合【以先里重乗为首率工为次率以后里重乗为三率亦可】
附式夫百名筑城二百丈八月完工今夫百名筑城二万丈几月完工曰八百月术此因前后皆是一百名不必重测以二百丈为首率八月为次率二万丈为三率式二货百斤卖银六十四两母每百两得子六两又三之二问各若干曰母六十两子四两术并母子共一百○六两又三之二为首率母一百两为次率卖银为三率此除货不用也
式三货卖银二百两云每百两折银十两其原买母银若干曰二百二十二两又九之二术此因百两内折十两当以九十两为首率一百两为次率二百两为三率
异除同除法
式十五客十二日用米三石六斗一客一日用米若干日二升术以用米为实以十二日为法除之得每日米三斗又以十五客为法除三斗得每人二升
同乗同除法
式鹅八换鸡二十鸡三十换鸭九十鸭六十换羊二今有五羊换鹅若干日二十术以鹅八乗鸡三十得二百四十又乗鸭六十得一万四千四百又乗羊五得七万二千为实以换鸡二十乗换鸭九十得一千八百又乗换羊二得三千六百为法以法除实得换鹅数【已上诸法式中凡遇奇零者法详三卷】
杂収
式一银八百八十二两分甲乙丙三等人共一百四十四名云甲每人七两则乙每人五两丙每人三两问人银各若干通曰以总人暂作三分每等四十八人以七两乗甲四十八人得三百三十六以五两乗乙四十八人得二百四十以三两乗丙四十八人得一百四十四并得七百二十两较总银尚少一百六十二两须益一甲损一丙则多四两乃以四两除一百六十二得四十人计多一百六十两尚少二两又须益一甲损一乙则多银二两也甲初四十八人加丙移四十人乙移一人共八十九人分银六百二十三两乙初四十八人减移甲一人止四十七人分银二百三十五两丙初四十八人减移甲四十人止八人分银二十四两又甲八十二人乙六十一人丙一人亦可
式二甲乙丙三物共百枚钱百文云甲一枚钱二文乙三枚钱一文丙五枚钱一文问各若干通曰暂以甲作三十二钱六十四乙作三十三钱十一丙作三十五钱七文并得钱八十二文较之百文尚少十八文须益十甲损十丙则多十八文也甲四十二钱八十四乙三十三钱十一丙二十五钱五文又甲四十四乙六丙五十亦可
通日右二式无准不可立通数差分不可盈朒亦不可姑存此
式三有积于此以三数之余二以五数之余三以七数之余二为积几何其法三数每余一作七十今当作一百四十五数每余一作二十一今当作六十三七数每余一作十五今当作三十并得二百三十三满百则减去并带去五今于并数内减二百又带去一十余二十三为积也
通曰五用二十一者三七相乗数也七用十五者三五相乗数也三用七十者五七相乗而倍之之数也减百零五者并七十与二十一及十五得一百零六减百零五而余一也
式四四正四隅各置三枚截南三方共成九枚截西三方亦成九枚四面皆然今四正各加一枚四隅各移一枚入正截南三方仍是九枚四面皆然何也通曰四隅一枚当二枚用四正一枚止是一枚也
式五环二十子内有二黑子相连以九数之止处即除一子除毕二黑不动宜从何起通曰五为九之中左右各四离黑子四位起可也大凡以九数者不拘多寡中必有相连二子不动七亦如之惟起处当临时测耳式六十位九子隔三而投务从空起可越而不可曲其投若何
通曰甲丙戊庚壬五阳位也乙丁己辛癸五隂位也阳起隂止隂起阳止一隂一阳而九子毕投矣
式七酒十斤贮甲器外有乙器可容七斤丙器可容三斤而无秤欲两平分其术若何通曰有二术就甲器贮酒用丙盛三斤入乙又盛三斤入乙又盛三斤内以一斤足乙七斤丙余二斤乃将乙七斤复入甲以丙余二斤入乙又盛三斤入乙则甲乙各得五斤矣若将乙丙二器贮酒以丙三斤入甲又盛三斤入甲又盛三斤入甲甲受九斤乙余一斤乃以丙盛此一斤以甲九斤内七斤入乙甲余二斤以乙七斤内二斤足丙三斤入甲则甲乙亦平分也
附録
式一借银二百六十两每年加三息至十个月二十四日共息若干通曰先用通日为月率之法以所零二十四日用三为法除得八于十月下空一位列之又用通月为年率之法以实零八为实用十二为法除得九乃以九乗借银得二百三十四两为实用加三息乗之得七十两零二钱葢三十日为一月故用三为法十二月为一年故用十二为法也
式二四商共贩赵于甲子年正月初九日出本三十两钱于乙丑年四月十五日出本五十两孙于丙寅年八月十八日出本七十两李于丁夘年十月二十七日出本九十两至戊辰年终共得利银一百二十两各该利若干通曰先用月率年率之法赵计四年十一个月二十一日以三除二十一日得七并月为十一七以十二除之得九七五并年为四九七五以原本三十乗之得一百四十九两二钱五分为赵通本钱计三年八个月十五日以三除十五日得五并月为八五以十二除之得七零八三三三并年为三七零八三三三以原本五十乗之得一百八十五两四钱一分六厘六毫【不尽数去之】为钱通本孙计二年四个月十二日如法得一百六十五两六钱六分六厘六毫为孙通本李计一年二个月零三日如法得一百零五两七钱五分为李通本并四通本得六百零六两零八分三厘二毫为法以除共利一百二十两得一钱九分八厘【收零】此乃是每年每两之利也然后以此为通法乗赵通本得利二十九两五钱五分一厘【去五毫】以通法乗钱通本得利三十六两七钱一分一厘【去一厘四毫零】以通法乗孙通本得利三十二两八钱【去零数】以通法乗李通本得利二十两零九钱三分八厘【去五毫】
式三借银每年每两加利二钱七分今有一年三个月二十日收还本利和银三百六十二两四钱七分其本利各若干通曰先用月率年率之法用三除二十日得六六六六并月为三六六六六以十二除之得三零五五五并年为一三零五五五又以利二钱七分乗之得三钱五分二厘五毫【收零为五毫】此乃是毎两之利也加毎本一两得一两三钱五分二厘五毫为法以除本利和得二百六十八两为本再以每两利三钱五分二厘五毫乗本得利九十四两四钱七分
通曰右第二第三式应属差分但前差分章内之式有整月而无零日此三式俱有零日用通日为月率通月为年率之法又有零尾或去或收故附于此
数度衍卷二十三
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>
钦定四库全书
数度衍附录
桐城方中通 撰
几何约
名目一