新法算书巻六十七

新法算书巻六十七

　　新法算书巻六十七

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>

　　钦定四库全书

　　新法算书卷六十八　　　明　徐光启等　撰交食厯指巻五

　　视差以人目为主第一　四章

　　前言实防中防视时食限等皆日月食之公法也是皆凖于地心今再论月食生于地景景生于日故天上之实食即人所见之视食无二食也日食不然有天上之实食有人所见之视食其食分之有无多寡加时之早晚先后各各不同推步日食难于太隂者以此其推算视食则依人目与地面为凖

　　视防

　　凡交防者必参相直不参直不相掩也日之有实食也地心与月与日参居一线之上也其有视食也人目与月与日参居一线之上也人目居地面之上与地心相距之差为大地之半径则所见日食与实食恒偏左偏右分为两直线各至于宗动天其所指不得同度分是生视差而人目所参对之线不得为实防而特为视防如图甲为地心乙为地面丙为天顶若丁为日戊为月即在甲丙一直线上则实防即为视防因地心与人目无分线故也若日在辛必月在壬方与地面乙作一线

　　为视防矣若月至己与地心甲作一线

　　则实防也今言交食惟以目见为慿故

　　日食全论视防若所居地面不同即食

　　分多寡加时早晏亦随之异也又视防

　　实防在日月本天皆无度分可指而全依宗动天之黄道圏度分则此实防线所指谓之实度视防线所指谓之视度如图甲辛线所指为黄道之庚则庚为太阳之实度若乙目视辛日至黄道癸视己月至黄道午则癸为太阳之视度午为太隂之视度也

　　日月目见之度非实度

　　譬之画图者作平圆形则一举手一运规即得矣若欲为螺旋线先须依法作识又依法作线乃成形焉测天之法亦犹是耳今欲知日月纒离东西南北亦转仪闚表一览可知若欲定其本行所在则非聊一寓目遽能得之必先后累测度分展转较勘乃可定也假令目居地之中心【地之心即宗动天之心】极目所见则有恒星以当彼界两界中间有日月五星是名七曜七曜相视有逺有近无有同者即论一曜亦各时逺时近无时同者是则目所能见也然因目所见得其视度于彼界因以视度测其与某恒星相距若干度分因以是度推其实与地相距若干逺近则可谓即目所见遂得其实行能分别其去地逺近则不可何者七政诸本天虽居恒星天之内乃不见火木土等内天之星以本体能掩最外之恒星则何从辩其内外逺近乎又目所见者太隂太阳二体相若何从知其内外之相距絶远二体之小大絶不相等乎内天之两星参对于外天之两经星目见之能知外者之两相距甚逺内者之两相距不甚逺乎是三者皆目力难慿之效也或曰是则然矣测量之法皆慿目所见也则可废乎曰何可废也惟测内天之星得彼界所指之防以为即在恒星之天聊可得之矣何者凡用在界之弧以测其辏心之角无弗真者目测恒星之天其在地面与其在地心也无以异【地居恒星天中止当一防】若测内天诸曜目虽不在地心相距亦不甚逺故测日月五星于彼界上得防即与实度相近【曰聊可得之曰距不甚逺曰近其实度皆因有地半径视差故】但恒星有时不见或与内天诸曜不相值故厯家以地平代恒星更用逺视之噐以助目力得日月五星之视度分依法推步乃正得其实度分矣

　　人目差

　　两目赅存不惟相助以为明相代以备患亦能彼此互用以察物之逺近葢各以其心【目睛最中之一防为心】受外物之象其过心之两直线至物体则相遇为两腰两睛心自相距为底成三角形因以其比例之大小别物距目之逺近是谓目差縁此可推天上之视差以小喻大其理一也若物大逺于人目则底线极小两腰极长是过睛心之两径线与平行无异正如地球比恒星天之高特以一防为底视差无所繇生矣

　　如图两目之心为甲为乙目所视之物为丙若甲乙线

　　可比于甲丙线【可比者不甚逺则有比例】则两戊己径线渐相就如己

　　而相遇于丙若物更相近为

　　丁则两径速相就为辛庚【甲乙丙及甲乙丁两三角形皆等边又同一底线则丁角大于丙角而丁甲乙角必小于丙甲乙角】而两目之光线皆从己敛向于庚自觉所视之物变逺为近矣若物与目相去甚逺则无比例者因两径絶难相就絶难相遇故也今借此理明视差之公理如本图设丁物之前有横堵为壬癸令甲目独视丁物则所见若在壬令乙目独视丁则所见反在癸而丁前丁后两交角形必相似即丁物亦不逺于壬不逺于癸葢视之目分两线为交角即能分本物之逺近也若不能分两线即不能分逺近

　　地半径差

　　目视星欲辨六曜【月五星也】在恒星之内势不能也则当借地体之大补目力之不及法用地半径为底以推测量所指之界即可得七政逺近上下各居本天之实处如图甲乙两目相距为底则二寸耳今以两地相距数千里或数里当之以为底如甲为顺天府乙为广州府丁为太隂两人同测之一在甲一在乙因此大底之逺近比于各距太隂之两腰得大小之比例则甲丁及乙丁两

　　直线必觉彼此相就以趋于丁

　　矣再使壬癸为列宿天之两恒

　　星【或壬癸为太阳之全体壬当其南周癸当其北周】测

　　者一从甲见太隂丁若在壬以夲体合于一星之体【或太隂之南周齐太阳之南周】一从乙测太隂反在癸转就北以合于他星【或太阳之北周】若甲乙两测之距愈相逺即所见丁月两指之极高亦愈相逺【一偏南一偏北东西亦同】而人在甲能见太隂掩日为日食人在乙即不可得见矣以此壬癸当宗动天上之弧正所谓视差与前言目见之小视差其理一也第两人相距千里万里同时并测太隂其势甚难故立别法代之【详见本书第六卷下文畧言之】假令人正居地心推其所得太隂距天顶应若干度分又同时居地面者实测太隂距天顶得若干度分两度之差即所谓视差也如图甲乙丙为地球丁为天顶甲戊丁直线所至也若太隂在

　　此线左右为己从甲地心测月见之

　　当在庚自地面乙测之乃在辛则先

　　推定丁甲庚角或所当之丁庚弧后

　　推丁乙辛角或所当之丁辛弧【乙距甲与乙距丁无比例甲乙至小故】以两角或两弧相减得视差之弧庚辛

　　问一星距天顶测其宗动天上所指度分在地心测之则距近在地面测之则距逺若论角则地面之乙角大于地心之甲角何以证之其故何也曰因其一逺一近如图太隂在本天其距顶之弧为己戊己戊之距地心甲与其距地面乙逺近之差则目所能识也所能分也

　　【因地之半径与月本天之半径有比例故】则目之在甲与

　　在乙所受己戊弧之象实不能无大

　　小为己戊弧等而两角之大小不等

　　【目受物象皆以角形见交食第一卷】相近者必大逺者必小也角既有大有小所相当之弧不得不有大小则辛之距天顶视庚之距天顶不得不逺矣又论辛庚视差实为辛甲庚角所定何用辛己庚或甲己乙角乎曰甲乙线与甲庚线无比例【小大絶逺故】而甲乙与甲己则有比例即甲己与甲庚亦无比例也既甲乙与甲己同为微末不以入算则

　　用辛己庚角代辛甲庚角无以异矣若

　　论角则丁乙辛角与丁辛弧相当【因甲乙与

　　乙丁无大小之比例】又丁乙己角与乙甲己及甲

　　己乙两角并等【见几何第一卷十六题】则两角并亦与丁辛弧相当矣今丁庚弧既与丁甲庚角相当则余弧庚辛必与余角甲己乙或辛己庚相当也

　　视差以天顶为限第二　六章

　　人目在地面或在地心仰视天所得日月道相参直者止有一不同者无数过两目之垂线止一至顶之线此外分离处处各异

　　三视差

　　视防与实防无异者惟有正当天顶之一防过此以地半径以日月距地之逺测太阳及太隂实有三等视差其法以地半径为一边以太阳太隂各距地之逺为一边以二曜高度为一边成三角形用以得高庳差一也又偏南而变纬度得南北差二也以黄道九十度限偏左偏右而变纬度得东西差三也因东西视差故太阳与太隂防有先后迟速之变二曜之防在黄平象限度东即未得实防而先得视防若在黄平象限西则先得实防而后得视防所谓中前宜减中后宜加者也因南北视差故太隂距度有广狭食分有大小之变如人在夏至之北测太隂得南北视差即以加于太隂实距南度以减于实距北度又东西南北两视差皆以黄平象限为主葢正当九十度限絶无东西差而反得最大南北差距九十度渐逺南北差渐小东西差渐大至最逺乃全与高庳差为一也【三差恒合为句股形高庳其南北其股东西其句至极南则与股合至极东极西则与句合也】

　　论日月视高差

　　太阳出地平上渐升至天顶得九十度在夏至则离赤道北二十三度半为丁辛如北极出地四十度即赤道离地平五十度加丁辛二十三度半得七十三度半此日在午正之高也今太阳未至子午圏别作一高弧从甲过

　　太阳垂至地平上为甲乙丙弧其乙丙既太阳未及午正之圏即其高不至七十三度也两曜去天顶有高庳与恒星有逺近时时处处不同故其视差大小亦各不同惟曜在天顶则无差若下几度则少差愈庳愈差庳至于地平则得其极大差矣今先论太隂如图甲为地

　　心乙为地面丙为天顶丁己为太隂

　　本天丙戊为恒星天若人在地心甲

　　视太隂正在地平己直至戊在参宿

　　第三星下人在地面乙视太隂己直

　　至壬在参宿第一星下是壬戊不同度至一度○六分为太隂之极大视高差若太隂高至庚至辛视差渐减如在丁直视至丙人在甲与在乙悉无交角无差分矣太隂距地心最近者为乙地面至其本体得为地半径者五十六个【后言一个者皆一地半径省文也】若太阳甚逺于地自地

　　面至日轮得一千余个其差更小日

　　出地平之最大差止三分渐高渐小

　　矣凡推日食恒以太阳之视差减太

　　隂之视差得两曜之视差假如甲乙

　　为地球丙丁为日月本天皆如前于最上之天【或指宗动或指恒星其理同也】得戊庚为太隂视差得己庚为太阳视差相减得戊己为两曜之高庳视差

　　求太阳高庳差

　　凡地半径与星距地心之逺此两直线若能为大小之比例者即人在地面所测与星所在之实度分不一是为视差若星距地甚逺其距逺之线极大地半径极小两线絶不能为比例即人所测与地心所出两直线所指之度不能分即不能为视差故求星之距地逺近恒以视差为证以视差之多寡不等推其距地逺近亦不等如测恒星无视差可证其距地最逺测填星防有之仅得数秒而测太隂所得过一度因知七政之最逺者为填星最近者为太隂而太阳得视差三分当在其中央矣太阳太隂之距地逺近如前以月食求之其法更易今以其逺近及地半径反推其视差定为高庳差表如图甲乙为地半径甲戊为太阳距地心之逺任在本天最高或最庳或高庳之间皆有小异今设在高庳之间者如日初出在丙则甲乙丙三角形内乙甲丙为直角

　　甲角直线为甲乙者一千一百四十

　　二个【此中数也】推得甲丙乙角三分为太

　　阳之最大高庳差若太阳在丁其丙

　　丁高弧三十度则以余弧之乙甲丁

　　角推得高庳差二分三十六秒为甲丁乙角若丙丁高弧六十度则甲丁乙为一分三十秒依高度推高差皆凖此至天顶戊即无差

　　求太隂高庳差

　　太隂之距地既近视差既大即其在本轮之最高最庳次轮之最逺最近视差大小亦皆变易其在本轮最高次轮最逺【一限】则距地依歌白泥算六十八个二十一分以六十度高弧推之得视差二十五分二十八秒若在本轮最高次轮最近【二限】距地六十五个三十○分以同前高度推视差二十六分三十八秒若在本轮最庳次轮最近【三限】其距地五十五个○八分以同高弧推得视差三十一分四十二秒若本轮最庳次轮最逺【四限】距地五十二个一十七分以同高度推得三十三分二十八秒是为同六十度弧之最大视差若他高度其法同此所推视差各异矣又太隂在小轮高庳逺近时时变易视差随之无能不变欲考其几何如图甲为太隂本轮之心从地心壬出直线过甲至辛指最高于乙最庳于丙

　　是为次轮心一在最高

　　一在最庳而己丁及庚

　　戊两弧皆设六十度引

　　乙丁及丙戊直线得甲乙丁及甲丙戊两三角形今先求次轮在本轮最高逺近之间各度生何视差借太隂厯指所定以地半径量诸轮之半径得甲己为五个一十一分甲壬为六十个一十八分而己辛止得二个五十一分则甲乙丁三角形内得乙丁为一个二十五分【地半径为个个六十分】甲乙为六个三十六分丁乙甲角六十度推得甲丁线六个○七分以并壬甲总得六十六个二十五分大于壬己线五十五径分有竒是名剰分今更设比例分论之如壬己为六十比分即己辛得二比分三十七秒而剰径分五十五当化为四十六比秒又己辛当六十比分依法推得一十八分正【六十与一十八若二分三十七秒与四十六秒】为次轮上六十度己丁所求高差应减于最近己高差也次论甲丙戊三角形其两线甲丙戊角及剰分同前但壬庚线得五十五个○八分亦以当六十比分即庚癸得三比分○七秒而剰径为五十五比秒又庚癸当六十比分亦推得一十八分【六十与一十八若三分○七秒与五十五秒】是为次轮上六十度庚戊所求高差应加于最近庚高差也葢依前所定四限丁六十度在一辛二己逺近之间高于己得视差少于己故剰分推视差以减于己得太隂在己正高庳差戊六十度在三庚四癸逺近之间庳于庚得视差多于庚故剰分所推视差以加于庚得太隂在戊正高庳差也其余次轮之逺近度求视差皆凖此

　　太隂在朔高庳视差

　　本书二卷论太隂交防时恒居次轮之最近所谓第二第三限在前图为己为庚也因太隂食日加时恒不在本轮之最高最庳而月行次轮周恒倍于本轮周故朔望时太隂恒在次轮之最近最近所行之周名本轮之内圏是大于次轮小于本轮以己庚相距之线为径今欲求内圏之上下左右各度得何高庳视差如图己丙庚内圏己为高最逺庚为庳最近乙距地心甲为地半径

　　六十个一十八分【设歌白泥之数以为

　　法】己丙弧六十度乙丙得五

　　个一十一分与甲乙六十个

　　十八分同类之径分也以甲乙丙三角形推太隂在丙距二限已六十度得甲丙线六十三个○四分因得甲己六十五个三十○分剰得二个二十八分今设己庚为六十○比分即推得一十四比分【六十与一十四若己庚十个二十二分与剰径二个二十八分】为剰分以推太隂在丙之视差加于在己之视差得太隂之真视差

　　假如太隂距天顶四十二度在本轮七十二度在次轮六十○度总论其变视差以距顶倍之度查本表得太隂在逺近之第二限有高庳差三十五分三十一秒以较第一限赢一分二十九秒今距第二限六十○度依前法推得一十八分而六十分与一分二十九秒若一十八分与二十七秒则于二限高庳差减二十七秒余三十五分○四秒是一二限间次轮行六十度之高庳差也又第三限较第四限之视差不及者二分一十九秒而六十与二分一十九秒若一十八分与四十二秒

　　以四十二秒加于第三

　　限之四十二分一十九

　　秒为四十三分○一秒

　　是三四限间六十度之高庳视差今太隂行本轮七十二度又在二三限之间法以丁戊上两视差相减余七分五十七秒于时太隂自行得二十比例分则六十与七分五十七秒若二十与二分三十九秒以二分三十九秒加于前推一二限间次轮六十度之视差三十五分○四秒得太隂居高庳逺近之间本轮七十二度距天顶四十二度次轮六十○度之真视差三十七分四十三秒凡以距天顶余度求四限间之视差法皆凖此其在二三限日食所用有立成视差表依诸高度及距地逺近简之

　　测日月求高庳视差

　　借月食推太阳太隂距地心逺近而求视差以三角形推算为常法欲从天行求之则测日月高度以比其实纬度两度之较为高庳差也隆庆六年壬申有客星见王良北西史第谷以视差求其距地之逺立数法试之其一其至子午圏同恒星在极高度测其相距逺俟行半周在极庳度复测之得逺近之差以推定其高庳差其一用北极出地度考之从极上极下测一恒星得其高庳差度半之以加于下测之度或减于上测之度若未得北极出地之高度即有视差其一南北相距两地同测一星以较于北极或于恒星彼此得度有差则有视差其一测星之高度依法以加以减不正得其赤道上之本纬度则视差所移易也今测日月其距极甚逺又有出有入非如北极恒星常见不隠二曜亦不能同时并测即诸法不可尽用备述此者明测之理且以需他用耳

　　假如万厯十一年秋八月太隂黄经度从冬至起得一十五度四十○分黄道纬距北二度四十二分第谷测其子午高得上周一十三度三十八分其半径一十五分蒙气八分皆以减于高度余实高度一十三度一十五分因太隂在赤道南以减本地赤道高度得太隂赤道纬度二十○度五十○分第以前黄道经纬推本方之实赤道纬仅一十九度五十七分则以相减得五十四分为太隂一十三度一十五分之高庳视差也又万厯十五年六月太隂黄经度从冬至起得七度五十○分黄纬五度有竒推其赤道实纬度一十八度○五分测其上周高一十五度二十○分下周一十四度四十六分得径三十四分太隂心高一十五度○三分内减蒙气六分余与赤道高相减得一十九度○八分为太隂赤道距度较实推赢一度○三分是为本方之高庳视差也从两视径观之可见径大者近于最庳小者近于最高故所测高度畧同所推视差大相逺矣又万厯十四年九月测太隂高四十五度其视径三十四分于时离鹑火宫十一度一十○分而本度距地平正当黄道九十度限不必用赤道纬度以求视差祗以黄道实纬度四度四十五分减视纬度距南五度三十○分得四十五分为太隂高四十五度之高庳视差也

　　以四方分视差第三　五章

　　视高差无定方惟日躔月离所在从天顶下垂线过曜至地平为直角其过曜处分视实之高庳而已至黄道经纬度亦依视高而有变易则因日月视度从黄道偏南北或偏东西或正或斜随所在得其横直视差为南北东西差

　　三视差总图

　　前论视高差为过天顶大圏之弧止向地平随方取之今论南北差是过黄极大圏之弧为黄道两平行圏所限也其一过实度其一过视度东西差则黄道之弧为过黄极两大圏所限也亦一过实度一过视度三视差弧

　　独黄道正南北或正东西则合为

　　一弧外此必成三角形以法推每

　　边之度分也如图甲乙为地半径

　　丙为太隂丙丁为月本天戊己庚

　　为黄道壬己癸为过天顶象限从

　　地心出直线过太隂为甲丙至宗

　　动天指其实度为辛若从地面出乙丙线指其视度为午则辛午弧为太隂高庳视差午申弧与黄道平行过太隂视度于午未辛酉弧亦与黄道平行过太隂实度于辛则两平行弧间午未或辛亥为太隂南北视差又亥辛及午未为过黄道极大圏之弧则亥午在其中为太隂东西视差合三视差得午未辛或亥辛午三角形今依本图设日食在黄平象限西太隂以实行在子正对太阳在己人在乙尚未见食必太隂过东至丙乙丙己参相直则见食是为视防是实防在先视防在后也若食在黄平象限东即反是如次图更易见设乙甲丁

　　为地平戊为天顶甲辛己为黄道丙为

　　其极太阳或太隂在己为实度但人不

　　在地心在地面如庚视太隂在壬则己

　　壬为高差从丙至己至壬作丙己丙壬

　　两弧线即得甲己线交黄道于辛而辛

　　己为东西差辛壬为南北差

　　高弧正交黄道南北东西差

　　以高弧与黄道相交之角分南北东西差可得其防何葢两弧相交以直角则高弧正为距度弧不偏东西即絶无东西差而高庳差径为南北差若黄道自为高弧而太隂在交处无距度则高差径为东西差而絶无南北差若太隂有距度则黄道不同于高弧太隂不免有东

　　西差亦并有南北差如图甲戊为黄

　　道即为高弧与地平为直角甲为天

　　顶太隂在丁则其高差丁戊即为东

　　西差若太隂距南或北作大圏过黄道之两极为乙丙其距度为丁乙丁丙得甲乙甲丙弧与甲丁弧必不等又不交于乙丙弧之极故甲乙丁甲丙丁不能为直角而并得南北东西差且太隂愈近天顶乙丙两角愈鋭南北差愈多太隂愈逺于天顶两角渐大殆如直角而南北差渐少

　　高弧斜交黄道南北东西差

　　太隂有距度求视差甚难其理甚繁其在交无距度者稍易稍简故先之设黄道为甲乙丙其斜交之高弧为丁乙戊太隂无距度在乙其视高差为乙戊得南北差为丙戊东西差为乙丙成乙丙戊三角形其形有丙戊为过黄道两极之弧则乙丙戊为直角有丙乙戊角其相

　　当弧甲丁过高下圏及黄道极之弧也

　　有乙戊视高差法以曲线三角形之理

　　推乙丙丙戊两视差之弧但此三角形

　　小其三边皆为大圏之弧可用直线法推之再设太隂不正在交有距度或南或北如图丁乙为过地平两极之高弧甲乙丙为黄道太隂距南在戊距北在己其黄

　　经度在乙从天顶得丁戊为太隂距

　　南高弧丁己为太隂距北髙弧因实

　　度在戊在己视度在庚在壬得戊庚

　　及己壬为太隂视高差又得庚癸壬辛弧其至癸至辛指太隂视经度与黄道为直角今以实经纬及北极出地度算南北东西差

　　假如以北极高得乙丁过顶弧又有乙戊为太隂距度弧有甲乙丁为高弧交黄道之角加甲乙戊直角得丁乙戊角可推丁戊弧及丁戊乙角若太隂距北有丁乙己为高弧交黄道角之余角亦可推丁己弧及丁己乙角又查丁戊丁己视高差表得戊庚及己壬而太隂距南乙子戊三角形内有子乙戊直角有乙子戊高弧交黄道之角有戊乙距度弧可推子乙及子戊弧则子癸庚三角形内有子庚弧有庚子癸角有子癸庚为直角可推庚癸视距度去减乙戊实距度得南北差亦可推子癸黄道弧减子乙得乙癸东西差其太隂距北则乙

　　癸己三角形内有距度乙己有乙己

　　癸角有乙直角可推乙癸及己癸弧

　　及乙癸己角去减己壬视高差得壬

　　癸弧又壬辛癸为直角可推辛癸及壬辛于乙己距度去减壬辛视距度余为南北差乙癸减辛癸余乙辛为东西差

　　如上説细论视差于理为尽若恒时推步别有防法力省大半盖丁乙己角可当丁戊乙角甲乙丁角可当乙癸己角丁乙弧亦可当丁戊及丁己弧故也若本地距黄道逺依此算即不得有差惟黄道在天顶太隂之大距五度又在本天最庳则差至六分不得用此若太阳将食即太隂居食限之内距度不过一度半依省法算所差者不过一分四十五秒欲并无差仍用原法太隂无距度以视高差求南北东西差

　　依图乙壬戊为子午圏乙甲丙为地平壬为天顶丁甲戊为黄道壬己为高弧太隂在辛则辛己为视高差自黄

　　极癸出癸辛癸己两大圏弧限辛庚

　　为东西差庚己为南北差此三角形

　　有己庚辛为直角辛己为高差更得

　　高弧交黄道之角庚辛己则视高差

　　辛己之正与南北差庚己之正

　　若全数与庚辛己角之正

　　假如高弧交黄道之角庚辛己得六十四度三十五分

　　一十五秒其正九○三二四视高

　　差辛己得五十八分三十六秒正

　　一七○四算得正一五三九查

　　其弧得五十二分五十四秒为太隂

　　南北差庚己此用正法也或用加减算求南北差则以辛己高差减庚辛己角余六十三度三十六分三十九秒得余四四四四六又相加得六十五度三十三分五十一秒其余四一三六八两余相减余三○七八半之得一五三九为南北差之正也或用线求东西差则全数与庚己南北差之割线若辛己高差之余与庚辛东西差之余或用角求东西差则庚辛己曲线三角形甚小可用直线三角形法其高差之正与东西差之正若全数与高弧交黄道角之余假如用线推南北差五十二分五十四秒得割线一○○○一一八五视高差五十八分三十六秒其余九九九八五四七推得九九九九七三一为余得二十五分一十秒为庚辛东西差再以角求东西差则庚辛己角之余四二九一三高差之正一七○四算得七三一为正弧亦查得二十五分○八秒为东西差或用加减算则高弧交黄道角之余二十五度二十四分四十五秒减高差余二十四度二十六分○九秒其余九二○四二加高差得二十六度二十三分二十一秒其余八九五八○两余相减余二四六二半之得正七三一查得二十五分○八秒为庚辛东西差太隂有距度以高差求南北东西差

　　前题算有距视差法简矣又有简于此者但依太隂时距南时距北分两图解之如图甲己丙为子午圏甲乙丙

　　为地平乙丁为黄道天顶在己太隂

　　在子则己癸为高弧子癸为高差又

　　辛当北极北极圏为戊庚负黄道极

　　戊自戊出大圏之弧戊壬过丑指太

　　隂实经度而丑子为实距度又出一

　　大圏弧戊癸至太隂视度癸从癸作垂线至壬得壬子癸三角形而子壬为南北差壬癸为东西差【丑壬寅癸两弧小故壬癸可当丑寅】欲求其几何先依第一法从天顶己连赤道极黄道极为己戊辛三角形形有两极相距之弧辛戊有

　　北极出地之余弧己辛有极至交圏

　　交于子午圏之己辛戊角可推黄极

　　距天顶之线己戊次己戊子三角形

　　有黄极距天顶之弧己戊有太隂出

　　地高之余弧己子又有戊子在第一

　　图为象限戊丑加太隂实距度丑子之总弧在第二图为太隂实距度丑子之余弧可推己子戊角次子癸壬三角形有高差弧子癸有壬子癸角有子壬癸直角可推子壬弧是为太隂南北视差又本三角形以子癸高差子壬南此差推壬癸东西差

　　假如第谷测太隂在枵宫初度五十六分距南四度三十八分日在申正五十○分得太隂高弧九度二十○分得高差五十四分二十○秒其夲方北极出地五十五度五十四分三十○秒即升度为三百一十二度四十三分去减鹑首初之升度余为极至圏交于子午圏之己辛戊角而己辛及辛戊两弧皆不及九十度则己辛戊为鋭角法全数与第一弧之正若第二弧之正与他数【名先得之数】又全数与先得之数若两弧所包角之正矢与他数【名后得之数】而后得之数恒加于两弧较

　　差之正矢得第三弧之正矢如前图

　　依第谷测己辛戊三角形求己戊弧

　　则两道大距弧辛戊【第一弧】之正三

　　九九一五其夲方极高余己辛弧【第二

　　弧】之正五六○五二求先得之数

　　为二二三七三又己辛戊角【两弧所包角】四十二度四十三分得正矢二六五二八求后得之数为五九三五以加两弧较差之正矢一六九六得七六三一为己戊弧【第三弧】之正矢查得二十二度三十一分四十一秒以求己子戊角则己戊子三角形内全数与第一旁线之余割线若夲角旁次线之余割线与他数【名先得之数】又两旁线较差之正矢与对夲角线之正矢相减余为他数【名后得之数】而全数与先得之数若后得之数与本角之正矢如前图己子【角旁次线】为太隂距天顶弧八十○度四十○分余割线一○一三四二戊子【第一旁线】为太隂距南加象限共九十四度三十八分余割线一○○三二八算得一○一六七四为先得之数其较弧较差一十三度五十八分得正矢二九五六减己戊弧之正矢七六三一得四六七四为后得之数依法算得四七五四为己子戊角之正矢查得一十七度四十四分一十五秒以求子壬弧则全数与子癸高差弧之切线若壬子癸角之余【壬子癸与己子戊两交角等】与子壬弧之切线而子癸弧之切线一五九四壬子癸角之余九五二四八算得壬子弧之切线一五一八查得五十二分一十○秒为太隂南北差之子壬弧以求东西差则全数与子癸弧之余九九九八七五一若子壬弧之正割线一○○○一一五一与壬癸弧之正割线算得九九九九九○二为壬癸弧之正切线查得一十五分一十○秒为太隂东西视差壬癸或寅丑

　　又次法甲乙地平甲丙黄道戊癸高弧丁黄道极皆同

　　前此图加戊辛为太隂实经度出地

　　平高之余弧而戊辛己三角形内又

　　有太隂实高度之余弧戊己有太隂

　　实距度己辛以此三边径推戊己辛

　　角为高弧交太隂纬弧之角其余角

　　【前图】或交角【后图】为壬己庚角

　　假如依前算戊己八十○度四十○分得余割线一○

　　一三四二太隂距南辛己四度三十八

　　分余割线一二三七九四七算得一二

　　五四五六○为先得之数以本两弧之

　　较差七十六度○二分得正矢七五八

　　六四戊辛弧七十六度一十五分三十○秒得正矢七六二四五以相减得二八一为后得之数又算得四七六○为戊己辛角之正矢查得一十七度四十五分日食掩地面几何

　　太阳有全食或周边无光而昼晦星见者有全食而周显金环者又有食不全而此地见食之分多彼地见食之分寡者今欲求见全食之地几何广见金环几何逺自见全食之地至尽不见食之地几何更求相距几何地即见食渐差一分此四者大概依视差推算种种具有法焉

　　全食不见光之地面

　　依第谷测定气之高距地面上约有九里欲求全食时得人所共见里数若干即以气高与太隂视径及太阳光气内曲之角定之葢交防时太隂当日目之中掩太阳光其视径必大于太阳视径而人目所周之地平自无光矣但日光从最通明处射地而来一遇次通明之蒙气即曲而斜照【见本厯指第一卷】必依气之高低渐渐聚合广狭不等如气太高则光不至地面而聚合可无满景气太低则光一曲即至地月景反觉开展不止恒测之界今设气高九里以絶日光必月景近地占千余里必太隂视径大于太阳视径四分有余乃可论食在天顶也若食在下度则月径可小景或反大图中气高

　　为甲丁求甲乙丙以定甲丙不受光气

　　之拓界乙丁乙丙皆地半径约一万二

　　千里则乙丁与全数若甲乙与甲乙丙

　　角之割线算得一○○○六○查本表得一度五十九分为甲乙丙角又全数与本角之切线若丙乙线与甲丙线得里数为五百一十九即太隂在顶满景之半径也而全径则一千○三十八里葢食距地平高三十度即太隂视径大于太阳视径止一分必满景径得千余里视径加大里数亦多然防气差表未译故止以地半径差别求之

　　法日月两半径相减以差数加太阳视差即于表中本高度前后查太隂高下视差与得数等即以高度差前后各得满景半径若视差与得数不等即以中比例法求相应之高弧加于高度差如太阳行最高得视半径一十五分太隂行最庳得视半径一十七分二十○秒差数为二分二十○秒试以食在天顶【广东广西等处夏至时是】下二度为八十八以本度查太阳视差表得六秒加两半径差数得二分二十六秒于太隂视差表中以八十八度查二分一十四秒所不及者为一十二秒依比例算得一十一分宜加于二度即更下去顶愈逺也故天顶正下为满景之心前下二度一十一分景缺即初见光其界限约五百四十六里后下高弧等得里数亦等共得一千○九十二即同食甚时同见食掩地面之广也欲论先后时刻自初见满景至复见生光则日月并随宗动天行之度化为里数所得见满景必不止数千里矣若太阳行最高太隂在高庳之正中其差数加太阳视差共一分二十○秒算食甚时得满景二度二十八分为里数六百一十七又太阳及太隂皆在最庳得总差数一分五十三秒算食甚时得八百四十二里为满景至于两径相等或太隂不甚大于太阳即无满景因气曲光内射故也

　　试食甚在下度距地平七十○度太隂在最庳得视差二十一分四十六秒更下二度得视差二十三分四十九秒差二分○三秒至两半径差数余一十七秒加太阳在最高从七十至下二度强所变视差度○七秒总得二十四秒即以比例算应高弧二十四分总得二度二十四分化为里得六百即地平上自中往后见满景之地也若往前设地平高七十二太隂视差一十九分四十○秒较于太隂高七十度之视差差二分○六秒至两半径差余一十四秒加太阳变视差七秒【上下加求太隂从太阳视差故】总得二十一秒因以比例算得二十分加于七十二度化为里得五百八十三即往前之满景前后相加总得一千一百八十三里乃食甚同见满景之地也依本法推算食甚距天顶愈逺得满景愈大而自其中心论前后两半径必随高下度不等如食甚距地平高四十○度在前得三度二十三分为八百四十六里【景之前应高度多查表求后景之后应高度少查表求前】在后得三度三十八分为九百○八里总七度○一分为一千七百五十四里若食高二十○度必前行一千四百八十三里即五度五十六分后行二千二百○八里即八度五十○分总三千六百九十一里为满景因视差近地平变少必度多即得变数与两径差数等径差少【或太阳在最庳或太隂距最庳畧逺】即高度进退亦少里数亦减矣

　　见金环之地面

　　太阳在最高其视径较太隂在最高之视径畧小较在中或最庳愈小无比故全食之食甚不显余光而周无金环明矣其在中距与太隂在最高之视径等虽因气可显金环然以大小之故不能毕露且气所生大小随时随处不一则亦无从可定耳自中距以下太阳视径渐大较太隂在最高至最庳即大三十○秒矣设食甚在天顶因周大一十五秒得四围去中心逺四分度之一而可见金环者约有六十二里乃全径则一百二十五里为此时所同见至先后可见之地者又不止此若食甚距天顶愈逺得金环愈大假如距四十度【高弧五十度】依前一十五秒应得二十分全径则四十余分以三十度高弧应得全径一度二十度高弧应得一度半一十○度应得四度化为里约一千里何也因视差近地平变少得度多故也若论气愈加得金环愈大因此第谷居北方设月朔半径大于望半径亦此意也总见食之地面

　　求满景及金环俱以日月视径为主如太隂大于太阳则生满景太阳反大即为金环此一定之理也今欲得满与缺之景防何或从见满景地面【食既是】至渐不见景地面【复圎是】即以两曜最高最庳之行求之葢日月皆在最高见食地面少皆在最庳见食地面反多【因正在高庳故倘相距渐逺其食景大小亦渐变易】一在高一在庳则见食多寡均矣论天顶全食法加日月两半径以总数查表所得数或等或小加此两数之差更加太阳视差复得总数复查表其旁所得高度即自景中心至不见食之界也【总数不正合髙度用中比例法求之】假如日月皆在最高加其半径总得三十○分一十五秒查表太隂距地最逺之方所对六十高度得三十○分○六秒较两半径总数差九秒太阳视差○一分二十七秒三数并加共得三十一分四十二秒在高度五十九及五十八间【自顶往下故】以中比例推得四十六分乃自天顶至周界得三十一度四十六分为总见食地面之半径而全径则六十三度三十二分化为里共得一万五千八百八十三使日月皆在最库两半径数并得三十二分五十○秒查表本方内得相对高度五十九依前法推得不止五十八度即见食之界距顶三十二度五十○分共六十五度四十分为里一万六千四百一十七若太阳在最高太隂在最庳总得六十四度一十八分即一万六千零七十五里使太隂在最高太阳在最庳算得六十四度五十二分为里一万六千二百一十七

　　若论全食在下度食愈低其景愈大但地面不全受景则人目在地面同见食之广不全依高低度何云食愈低其景愈大视日月两轮大小约等以中心与目正对皆居一直线上虽相距实逺目视之若同为一轮同在一度今欲见其两心相离不正在一线则自此地至彼地势若横行然葢高度全食前后左右皆于日月为横行愈高愈横得景亦少若全食在下度或前或后【以髙弧及同见为主前后非东西南北可定必随日月所居方并过目圏为是】多为对行而非横行愈下愈对必行之多始得其体之离惟多行故迟出景外所以食在下度愈低得景愈广矣何云不全受景见日食即因日月目并居一直线上【此论以体相对虽心不正在一直线防合亦无妨】今全食在高度或前或后行凡日月目直线可对者自正以心相对惟去离渐逺至以边相对则以见食至复圆为止若全食在下度目少进即见食渐高至两曜以边居直线上亦能尽见其复圆使目退行少许见食渐低两曜先至地平不及以边居线上因而体虽尚对而所余食分为目所不见矣纵使更退亦不得见复圆故地面所受之景乃地景【日巳没故】非日食之景耳推下度全食之景法日月两半径并与食甚高度太隂之视差顺表相减余数加太阳视差总数复查表得数等其旁所遇高度即为前行见食之界若不等以中比例求相应之高度与表两半径并加太隂视差更加太阳自食甚高度至夲总数相应高度所变视差而末所得总数必应高度即后行见食之界如日月皆在最高两半径并得三十○分一十五秒设食甚高八十○度太隂视差在此为一十○分二十九秒两分数相减余一十九分四十六秒约应高度七十一得太阳视差五十六秒以加总得二十○分四十二秒乃又应高弧六十九度五十五分即前行至日月过顶二十○度○五分而见食地面共为三十○度○五分若后行两分数宜加得四十○分四十四秒约应高弧四十七度太阳视差自八十至此变一分二十九秒以加总得四十二分一十三秒应四十五度一十六分即日月高相离之界共为三十四度四十四分乃后行见食地面之径也设食甚高为六十○度依本法算得前行见界距三十○度○九分过天顶较前径畧长后行则景长无比必行六十度始见下地平其未见复圎者八十余秒而前后地面见景为九十余度设食甚高四十度必前行三十四度一十四分后行四十度乃下地平尚见食五分八十余秒总见景者七十四度设高二十度往前得四十三度二十分往后行二十度止得见复光约一分总度六十三度有余愈下愈见少即此可知同见食之广不全依高低度因地面不全受景故也

　　若日月皆在最庳得半径并最大数为三十二分五十○秒设高八十度必前行三十一度后行三十六度共六十七度所同见食较前畧广设高六十○度即前行三十一度后行六十度未可见复圆葢所少为一分二十秒耳大概依余日月半径及余高度求同见食之地面皆仿此算而以度数更求里数论先后见食则以总食之时及时气两视差细求之可也

　　见食进退一分应地面几何

　　太阳任在本轮高庳距天顶逺近及在四方偏正俱分一十平分而见食地面则依高弧取前后以定其径葢径之大小依高度前后不能为同即前所云较食在下度与食在高度自得更大乃论满景之公公论也今又设为全食如前行即太阳从下生光渐至上复圆若后行即从上生光至下复圆总进退间止在一十分内欲算法于度数之分所应任取之径分加太阳视差及日月各半径不等之分秒总数查表其旁所对高度即本径分之景界化为里得见本食之地面矣假如日月皆在最高食甚在天顶设生光为一径分【食退是】求所应之度即十径分与三十○分【太阳全径度数之分】若一径分与三度数之分以本三分入表查太阳视差九秒更有日月两半径不等之一十五秒总得三分二十四秒应三度一十三分即去顶生光之界共八百零四里若生光得太阳半径即五径分当一十五度数之分加太阳视差四十五秒及两半径不等之一十五秒共得一十六分应一十五度二十四分距顶之界试以复圆即三十○分查太阳视差一分二十七秒加半径不等之秒总得三十一分四十二秒应三十一度四十六分乃与前求总景之数正合若食若在下度如高六十○度求一径分相应之高弧即以三度数之分如本六十高度太隂视差得三十三分○六秒约对五十七高度因至此太阳变视差八秒宜加且更加两半径不等之秒总得三十三分二十九秒应五十六度一十○分即自食甚至一径分生光得三度五十分较前算自顶退一径分多得三十七分为一百五十余里若求五径分应几何即于六十度太隂视差加一十五分得四十五分○六秒对四十一度查太阳变视差四十四秒加两半径不等之秒总得四十六分○五秒应四十○度四十五秒自食甚至半径生光得一十九度一十五分较前多三度五十一分若日月在本圏别度得视径大小较最高不同必先求径分所应度数之分几何然后依本法算而进食之分与生光之分亦同一理也

　　日食掩地面总图

　　甲为太阳乙为太隂丙为目三者于食甚时皆居一直线上以心相正对也设太阳视径小于太隂视径为丁戊即地面得满景为壬辛必自中心丙至壬至辛乃可见丁戊日轮之边耳设太阳视径大于太隂视径为庚癸而目在中心丙以丙巳丙子直线见太阳庚癸边必周得金环倘退至壬或进至辛即不见之矣论满景总为丑卯自中心丙进前至卯即以卯丁直线见日轮复圆退后至丑即以丑戊直线亦见复圆径之大小在高度低度其理一也

　　新法算书卷六十八

　　钦定四库全书

　　新法算书卷六十九　　　明　徐光启等　撰交食厯指卷六

　　外三差

　　前论交食法有东西南北髙庳三差皆生于地径盖以地为太圜之心为此界以宗动天为彼界日月在两界之间因地径之小于日大于月生彼界之视三差也今言外三差者于三差之外复有三差不生于日月地之三径而生于气气有轻重有厚薄各因地因时而三光之视度为之变易三者一曰清髙差是近于地平为地面所出清之气变易髙下也二曰清径差亦因地上清之气而人目所见太阳本径之大小为所变易也三曰本气径差本气者四行之一即内经素问所谓大气地面以上月天以下充塞太空者是也此比于地上清更为精微无形质而亦能变易太阳之光照使目所见之视度随地随时小大不一也外三差之义振古不闻西史第谷于万厯年间殚精推测钩深索隐厯家推重以为冠絶古今而此秘未睹至其暮年方行万里乃始洞彻原委尚未及著书其门人述遵遗指撰集论次然后交食之法于理为尽则近今十余年事耳盖厯学之难言如此

　　清髙差

　　厯家测騐日月及经纬诸星积累所得其光入人目徃徃不依直线而至夫太隂太阳有地径视差无怪其然也恒星无地径差人测之在地面与在地心不异宜所见者必依直线若之何不然且两星相距近于地平与其相距近于天顶絶不同其各体之大小亦不同又太阳太隂固有地径差其视体偏下视髙度宜少而所得者忽复多定望时二曜正居天地径之两端以理论见一不得见二或并见则半体而已今有时全见之何也古度数家见直物入水中折成曲象空水之交则有钝角以此钝角喻诸星射目之折线于理为允则近地面之气可比于水天体至清可比水晶光在有气无气之交必成折角而能令诸曜之象升卑为髙也若星距顶愈远所射光之折线角愈减其钝而视髙之去实髙也愈多盖近地则湿气愈厚故受为甚而又实非云雾等有质之物且在地浊之上【厯言入浊言浊中近浊入则不见视此为异也】谓之清也因此凡测两星若距度线与地平平行者其气所升视之巳在赤道上迨太阳近午出气之外复测之始以实行交于赤道为真春分秋分反是先以近午之实行在赤道上为真秋分迨昬测之日巳入过赤道而北矣视度乃复在赤道上自朝至中不能有两春分自中至夕不能有两秋分则朝夕所见皆视度非实度也则皆清之高差也

　　问清之气能变易太阳太隂之实度是已其言随地随时又各不同者何谓也曰第谷测定清诸差太阳与太隂大约相等而与诸星则不等其五星所得之差又与恒星不等因此推知致差之因不在距地远近其差大小皆气之所为也气厚薄时之所为也距地远近地之所为也凡考七曜之差皆其高弧至于无之处得其实度而以较于有之处得其视差几何如第谷所居北极髙五十五度冬至日夏至夜皆甚短其测候太阳之差必于夏月太阳出气之上乃可得之测恒星之差又于冬月若夏测星冬测日则尽日尽夜皆在气中无法可得而气之厚薄冬与夏必有分矣故所定气差随之异也若论地则山阜之上气为在髙之距与在庳之距必小有异若不与地平平行而两高弧各异者不论或正【与地平为直角】或斜【与地平

为斜角】其在髙之距与在庳之距亦小有异总之星愈近于地两距之实度愈少远则愈多矣第谷之本地北极高五十五度有竒测定太阳太隂之气差大约相等自地平以上至四十余度髙差渐少更高则无有而近地之最大差得三十四分故太阳极近地平以地径视差之偏庳三分气差之视髙三十四分相减得太阳高弧之视差三十一分则目视太阳将入以下周至地平见谓在上而其实体已全入于地太隂以最大之地径视差六十三分气差之视高三十三分相减余三十○分目视之见谓全没而其实体犹全在地平上也多禄某以浑天仪测太阳行春秋分积年所得皆以本日两交于赤道遂为千古不决之疑不知者意其差在仪器仪器果差安得百无一合又安得悉在地平之上竟无差而在下者乎至近世而后知为清之差也第谷用器甚

多甚精诸器毕合不可谓有器差而其所得亦复如是所以然者太阳临春分论实度尚在赤道南晨测之为蒙少平地乃多泽国尤多海滨更多葢此气周生于大地之靣外规之界距地心悉等而地靣有高庳其距气界各各不等此为浅深厚薄之缘正如海底有坳突之势因有浅深若海水之靣恒平而已然论其恒势浅气所生之视差少深气为多论其变浅气或忽然増加少易而多深气乃鲜有变时也万厯十八年庚寅夏六月西厯记月食太阳以半体出地其太隂正相对尚高二度入景中已多分及太隂半没而太阳已高二度出地平之上若以恒理论之则太阳心方出地平景心宜同时而入太隂之西周实入于地又当在景心入地之前今太阳心出矣而景心尚高二度非蒙气所为安得此乎然此视高差可谓甚大则以本地近于大山之下大河之滨其气

为厚遇夜清气上腾凌晨更甚故也若他地他时未必尽同此数故治厯者当先定本地之诸曜蒙差叅以时令乃能立表推歩其法须累测交食之多寡早晏斟酌定之勿谓精于本法便可随地随时必无舛戾也若立差旣定而临食时气候忽更此则难可豫料然所失无几矣此髙差惟月食累遇之若日食则二曜之气差大畧相等髙弧旣同鲜有变易径可勿论也

　　清径差

　　太阳全食昼晦星见恒事耳中史及西史皆数记之若太隂全在日与人目之间而不能尽掩日体四周皆有余光厯家谓之金环或有阙如钩或云依日月周径本法则不应有此何者凡此一视径或大或等于彼一视径则以此体寘之人目与彼体之间无不全受掩蔽者今止论太阳在其最庳全视径为大得三十一分太隂在其最高全视径为小得三十○分三十○秒其较三十○秒为全径六十分之一耳卽定朔果在此时日月以两心正防何因四周能见太阳之边乎【或有时可见详下文】此説是也然而古今所记实见实测乃复多有之如隆庆元年丁夘三月朔日太阳近于最高得全径三十分太隂在高庳之正中得全径三十二分三十四秒则全掩太阳之外尚余二分三十四秒乃西土实侯至食甚时二曜以心正防见有金环又万厯二十六年戊戌二月朔日太隂在最庳掩太阳复如是论地则此测在西国之内地前测在海滨论北极则此测髙五十度前测正髙四十二度论临食时此测有云前测无云也【云气虽不掩日月亦能变易光曜损益分秒】而第谷专精騐多在北海之滨北极高五十六度累年宻测终不见太隂尽掩太阳昼晦星见是则日光恒赢月魄恒缩又将疑掩之不尽为恒事矣迨万厯二十八年庚子六月朔于内地北极高五十度测得日食五分有半依本地原推正应四分较多一分有半则又日光缩月魄赢也又万厯二十九年辛丑十一月朔日全食第谷门人于本地北极高六十余度测得食甚时见金环四周皆广一分有半【太阳径十二分】万厯三十六年戊申七月朔日食西土内地北极高五十一度测食甚时得二分正同时向北更四度论高视差宜减一分犹宜见食一分而第谷门人宻测乃不见食此两

　　测者皆日先居赢且赢甚也而皆无云综其大都极出地甚髙近海或大泽食时多云气则日光赢测数少于推数极出地迤庳居地平髙去水泽远食时无云气则月魄赢推数少于测数展转推求即清之气随地随时有无厚薄不等能浅深受光于日而变易其照耀之势使人目所见或增或减迄无定限也再騐之海中有小岛其视体甚小于太阳之视径日初出时正当其中平分太阳之体则石之两旁皆显大光若不当其中而石居太阳之左右则不能映蔽日光如两相退让而露太阳之全体此为何故石之蔽日隐显之间虽以一线为界乃海中气极厚日之施光气受之故人目所见日光能侵轶于本界之外也喻月魄于石体其理正同故气盛者全食时如石当日之正中少食时如石当日之左右即髙弧至于午正人目见日无横斜之线不能升卑为高乃地以上之气犹能承受日光使溢界外而展小为大月不蔽日职是故矣如图地心为甲

　　日心为丙太隂正当日目

　　之中为乙月景之最中人

　　目所在为己设太阳之边

　　实为丁为戊其光下照所限月景之界宜为丁甲戊甲两线此限外之气皆得最光也然因乙太隂隔太阳原光于已目目所能正见者非丁戊乃是庚辛而作己辛直线则目宜全不见日周之微光矣苐太阳正照之最光下及于月景四周之外而外气之近地者为次彻之体则太阳之光借此体以侵入于月景本界之内别作一界线曲而向内即人目所正见为癸而癸既切景较远景之处加有光焉【光愈正照愈明切景之光甚似垂线若正照然故比距远之处加明焉】故景之四周从癸至壬目所见皆成日光是为癸壬金环癸壬所在实于空中非太阳之光果外溢至辛也从下视之若在月之四周与太阳同天而太阳之原光若丁戊以外更余辛庚一环矣但癸壬之广狭依气厚薄随地随时一一不同耳曽有人试以铜薄规为小圆形依直角线寘长竿之末退后一丈又寘一规正对前规与为平行后规之心开细孔以目切孔正觑前规之心其前规之全径较两规相距之远得一千分之十以掩天上之弧得三十四分二十○秒与本时太隂光满近最庳之全径等则目视两规与目视二曜大小远近之比例亦等次从后规视前规理宜全掩太隂之体乃所见者四周皆显大光更移后规向前二尺有竒以远近之比例论则前规可掩弧度四十一分然而尚有微光也可见日月近地平固因蒙气有视度之高庳差即去地平远犹有视径之大小差矣

　　本气径差

　　金环又有二种一为虚环人目所见其内规【如上图之癸】为最光向外渐微至外规【如上图之壬】则似次光此为地上清蒙之气所生上文所说是也一为实环若内若外悉是最光此所见者必为太阳原光矣所以然者太隂在最高太阳在最卑则太隂之视径畧小于太阳之视径上文所云六十分之一者是也但实环旣为原光在太阳之周非复向之虚环从蒙气中隐映而得者则人居月景之中何自得见之即在景之偏际亦宜见左失右何自得全见之曰此亦因太阳出光折照至于人目虽正在景中犹得见之折照之繇即非地上清蒙之气而在空中之本气前交食第一卷论月体当食显赤色是气景所生此论地靣当食而见光色是空中本气所射其理一也设甲为太阳其实边乙丙太隂在癸其实边丁戊人居地靣在己辛之间不能以直线见太阳所以得见者太阳全轮旣受掩于月体为壬庚所余庚乙实环皆为原光而以庚壬内规之光正照丁戊月边过丁戊则

　　折而内向以至于地面

　　己辛其所繇内折者欲

　　就于甲癸垂线也【详本篇一】

　　【卷第五】己辛以内皆为月景得界丁辛及戊己成三角形【戊丁为底图未尽景末】又太阳乙丙外规之光正照太隂近处为子丑过子丑又折入景中而相遇于寅【此折甚于前折者愈远于垂线愈欲急就之也】得寅己辛角形形以内为折入景中之重光人目在重光之中从卯辰两交得见光环意疑在丁丑旋绕月轮其实则太阳之原光庚己也

　　问本篇首卷言凡象射次澈之体则成折线故本章言日光过地靣则折入于景为蒙气故也空中本气则甚澈之体何能受光而折入于人目乎曰空中本气为甚澈之体此恒理也然亦有时而变如彗孛搀抢乃及客星等皆在列宿天中非理所宜有难究其所生之縁而实则恒有之今言日食有金环者大抵皆虚环也其实环甚为希有万一有之不得不究所从来故作此论盖虚环旣气所为无可疑者则实环之缘不得不在气之上旣在其上不得不归之空中本气舍是别无可推之理耳兹有气以上变易之征聊足解此万厯三十三年乙己八月西国北极高四十度测太隂在最庳日全食亦全掩原光而其四方尚余赤光如火广数度依此地论必言气所生不足疑亦无待辩矣从此向西北一国北极高五十余度同时测日不全食未尽一分三十余秒日周以外太隂余分甚多而此地尚见是大光岂两地相远如此尚当言蒙气相同之故乎纵使相同而蒙气距地靣极髙无过二百里此不全食之地其交景之顶尚在二百里以上全出气本界之外则安

　　得有本地靣

　　之蒙气受照

　　为光且四周

　　皆见乎彼所见满景四周之光旣不为气所生必为空气所生矣假如甲为太阳乙为太隂丙为地丁戊为气界若全食则所生金环在丁戊之四周也今不全食之地在己其交景之顶为子亦见光【此光非金环因在日周故其理不二】而光中甚黒则非丁戊气所能生矣盖目从己视太隂之下周庚必以己子庚线视其上周必从己壬至太阳辛则太阳之辛癸原光正照己目及蒙气之界面丁壬丁壬之中絶无月景而丁壬等高之景全在己子庚直线之下安所得生光之原乎可见日四周之光必生于气以上必为空气所生或近于月轮在庚子两线之中或在月轮之下不远矣

　　日食昼晦星见

　　凡前史记日食昼晦必因全食若星则不全食而见者有之如晨昏分中日己出己入矣明昧之交正似太阳未全食之光也而大星已见也又或不全食而见者有之故厯家下推将来虽得全食其见星与否未可豫定盖见星不见星之縁不尽在于食分多因气与隂晴耳若食时遇气甚清人目先见最光而习之忽尔失光虽日不全食亦似向晦星乃可见如从大光中暂焉入室见为甚闇也若食时遇气甚厚或多云雾则目先习是次光后见失光不以为异又醲厚之气受返照之光光亦不能甚失日虽全食未及甚晦正如浮云在天虽太阳已没曚昽宜尽而尚有余明星不可见矣自此之外更有太阳正照斜照之缘如太阳当晨昬时斜照于地上气得其正照之光则能返照地面若此时以日食絶正照于气中则地无返照之光又本无正照之光安得不为甚晦乎故午前日食初亏至食甚时加晦生光至复圆时稍明午后食则反是盖太阳愈庳愈能正照气中而地得其返照之光太阳愈高愈正照于地靣而以有食絶其正光惟四外反有从旁斜入之次光耳又或太隂近最高其视径不甚大于日之视径则太阳四周光曜散溢虽则全食地面之次光乃大于少食者亦多有之又使日食切近地平太隂防高于日则地靣所见日下周之原光虽不尽如钩而上气乃与日月叅相对絶其正照即地面絶无返照之光此时亦变为甚晦也推视防

　　交食第三卷求定望改实时为视时所以然者为有升度差也今日食以地心之实防改为地面之视防所以然者为有地半径差也以地半径差论实防视防不同上章已详之矣此求视防则依视差推算法先求日月高弧以得高差又求高弧与黄道之交角因以得南北东西差次求视防与实防之时差以加以减于实防之时刻而得日月正视防之时刻其加减则以黄道九十度为限【即黄平象限】

　　日月距地平高弧

　　视差有多有寡必依太阳出地平所得高度多寡【日月防合若同高度或差一度以下其视差甚防故得太阳高度不必复求太隂高度必求细率则以太阳高度查太隂高差先加于太阳高弧得太隂高真度也】欲求高度几何则用定防【即定朔也】之实时及本时之太阳躔度先以躔度推太阳距赤道之纬度次以定防实时推其距子午圏若干【详见下文用法中】得二角形形有北极出地之余弧有太阳距赤道之余弧有两弧间角为太阳距子午圏弧之相当角算得本形之第三弧为太阳出地高弧之余弧也如图甲乙丙为子午圏甲丁丙为地平丁戊为黄道太阳在庚则乙庚己为高弧壬庚为太阳距赤道之余弧因得乙壬【本地极高之余弧】及壬庚【太阳距赤】

　　【道之余弧】两弧及乙壬庚角【太阳距子午之相当角】以推第三乙庚弧得其余弧庚己太阳出地平上之弧也次推高弧交黄道之角先以升度求庚丁弧次以庚己髙弧以庚丁黄道弧以庚己丁直角推得庚丁己交角因以对角求南北东西差法如次图设庚癸为高差辛为黄道极则辛癸大圏之弧以直角交黄道于壬为庚壬癸三角形先己得壬庚癸角而庚癸壬为余角则全数与高差若壬庚癸角与壬癸南北差又全数与高差若壬癸庚角与壬庚东西差或

　　用简平仪求高弧可免算第其图愈大所取太阳高度分愈眞乃足推算视差如图己戊辛为子午圏甲乙为赤道北极在丙太阳距赤道北依丁戊线行与行壬戊弧其理一也至戊为正午至丁如复至壬午前与午后同所以然者戊丁直线不可得度分数必用戊壬弧量度

　　为凖【戊壬与戊丁皆距等小圏两弧皆小圏之弧即等试想戊壬圏置戊丁线上与戊丙圏纵横为直角则得其理】如彼面之丁为己时至戊为午行至此面之丁为未与壬为己至戊为午复转至壬为未其理一也次作丁庚直线与地平甲己线平行则得己庚弧为太阳在己时或在未时出地平上之高弧也别有表以日食之实时及太阳距赤道纬度查其出地平度而推两曜高差又有髙弧交黄道角表以此三角形【前图之己庚丁】推算法用太阳髙度于太阳距黄道九十度限表中查角【即庚角】详本表又有南北东西差表以太隂高差及髙弧交黄道角依直线三角形推算【因三差线小虽在天实为大圏之弧亦可以直线句股法求之与三角形圎线法所求不异】

　　黄道九十度为东西差之中限

　　地半径三差恒垂向下但高庳差线以天顶为宗下至地平为直角南北差者变太隂距黄道之度以黄道极为宗下至黄道为直角东西差则黄道上弧也故论天顶则髙庳差为正下南北差为斜下而东西差独中限之一线为正下一线以外或左或右皆斜下论黄道则南

　　北差恒为股东西差恒为句高庳差恒为至中限则股为一线无句矣所谓中限者黄道出地平东西各九十度之限也【黄平象限省曰度限】法以子午圏为中限新厯以黄道出地之最髙度为中限【东西各九十度则是最高】两法皆于中前减时差使视食先于实食皆于中后加时差使视食后于实食第所主中限不同则有宜多而少宜少而多或宜加反减宜减反加凡加时不得合天多縁于此此限在正球之地距午不远若北极渐高即有时去午渐远时在午东时在午西大都北极高二十三度三十一分以上者【若高二十三度三十一分以下者则日月有时在天顶南有时在北三视差随之今未及论此】独冬夏二至度限与子午圏相合为一从冬至迄夏至半周恒在东居午前从夏至迄冬至半周恒在西居午后

　　问日月诸星东出渐高至午为极髙乃西下渐卑而没则午前午后之视差岂不分左分右渐次高庳以正午为中限乎曰南北差东西差皆以视度与实度相较得之而日月之实度皆依黄道视度因焉安得不并在黄道从黄道论其初末以求中限乎推太隂之食分以其实距黄道度为主推太阳之食分则以太隂之实距度先改为视距度所改者亦黄道之距度也论实望实防欲求其实时以黄道经度为主今求视防其所差度必不离黄道经度而因度差多寡求其相当之时差以得正视防理甚明矣若子午圏者赤道之中限也度限为东西差有无多寡之限犹冬夏至为昼夜永短之限午正时为日轨高庳之限也惟嵗惟时自宗赤极不借黄道之度中为限东西视差自宗黄极何乃借赤道之午中为限耶昔之治厯者未能悉究三差之所从生徒见午前食恒失于后天午后食恒失于先天故后者欲移而前前者欲移而后又见所移者渐向日中渐以加少遂疑极高至午中则无差不知黄道两象限之自有其髙也亦自有其中也必如彼説以午正为东西差之中限设太阳实食午正遂以为无时差遂以为定朔为食甚倘此时之度限尚在西愈西则愈有西向之差法曰中以东则宜减安得不见食于午前乎傥此时之度限尚在东愈东则愈有东向之差法曰中以西则宜加安得不见食于午后乎如万厯二十四年丙申八月朔日食依大綂法推得初亏己正三刻食甚与定朔无异皆在午正初刻至期测得初亏己正一刻后天二刻此所谓中东宜减见食于前者也今试依新法减时则推定朔在午正初刻内四分四十九秒于时日月躔度在鹑尾宫二十九度八分四十七秒黄道中限在本宫一十三度○一分距正午西一十八度五十九分距太阳躔度一十六度○八分太阳定朔之高尚有五十○度查得太隂髙差三十八分先求髙弧交黄道角为日距度限弧之切线与本角若全数与髙弧之切线得视差小三角形内正对东西差边之角二十○度一十一分再推本角之正与东西差若全数与髙庳差得一十三分○四秒为此时之东西差因此求时差得太隂行一十三分应为时二十四分二十六秒于法宜减故得食甚在午初二刻一十○分三十七秒在定朔之前也更求初亏约用前四刻依法复求视差其时黄道度限在鹑尾宫初度二十○分即午后一十四度四十○分距太阳二十八度四十六分太阳高四十八度得太隂高差四十○分东西差二十四分求其视行度得四刻行二十一分又以开方法得太阳自初亏至食甚行三十一分今视行二十一分得四刻则三十一分应得五刻一十三分五十四秒以减食甚时得初亏在己正一刻内一十一分四十三秒与实测时刻宻合

　　凡九十度限去子午圏不远新两厯所推之定朔不远则两所得之时差亦不远若相距远而度限在东则食在午前或在午后新厯所得时刻皆多于厯度限在西食在午前午后新厯所得时刻皆少于厯如万厯三十八年庚戌十一月朔大綂厯推食甚在申初一刻至期实测得申初四刻先天三刻于时度限距子午圏二十一度○四分在东距太阳五十九度四十七分日月并高一十六度得太隂高差五十四分一十五秒从是算得东西差二十八分三十一秒应时差四刻○一分三十五秒依法与实时相加而实时与大统厯算小异在未正三刻○四分得视时乃大异是繇度限在东加数宜多而午正为限者加数则少安得不先天也又万厯三十一年癸卯四月朔日食九分二十○秒大綂厯推食甚在辰正初刻新厯推得在辰正三刻内此时度限亦在东距午正一十五度四十二分较太阳距正午为更近所得东西差止一十九分二十四秒应时差四十七分四十六秒依法宜减则实时己初一刻○六分改视时为辰正二刻○三分此两食者皆所谓度限在东则食在午前午后新厯所得时刻皆多于厯者也又其甚者若日食在正午及度限之间则宜加者反减之宜减者反加之所失更多如崇祯四年辛未十月朔日食大綂推初亏未初一刻较新厯迟三刻有竒食甚未正初刻新厯推未初一刻内至期实测果在本刻内所以然者新厯以黄道九十度限为中所得时差与实时相减则食甚后退故合大綂以午正为中所得时差反加而前进去之逾远矣盖本日食甚实时日月并已过午正一十七度二十九分○一秒未至黄平象限六度二十二分三十九秒则度限在午西二十三度五十一分○四秒算得东西差三分三十四秒应时差○五分为减而先推实防在未初八分四十○秒因时差退减为未初一刻内三分四十○秒如是止矣若以子午圏为中限则本时日月过午己十七度有竒在西东西差既宜少而多时差又反减为加即多得时刻若此者就用西法算两曜髙三十五度四十八分及其距午正之度能生东西差一十一分一十三秒应得差二十二分定朔在未初二刻○五分相加亦不得不为未正可见中限异同实为加时离合之根也

　　算视防必求黄道九十度限

　　交食以黄道出地之最高度为中限固矣但限内所应加减者则有时差【日食在九十度西时差宜加在东宜减】此实食视食之所繇以先后【详见上篇】故算视防者必先求九十度限所向何方乃可然求之之方不一或依常法定其宫度分或依简法止推两曜当食之时居九十度东西何方而不必问其宫度先以常法论设甲乙丁斜三角形甲为天顶

　　乙为黄道交子午圏日月俱在丁以

　　升度得乙丁弧以太阳距度得甲乙

　　弧查本表得其两弧间之角以甲乙

　　丙三角形内因九十度限在丙必求甲丙为垂线指九十度距甲顶若干更求乙丙为九十度限与子午相距若干则丁丙乃日月距九十度○所自有者而以先得甲乙弧与乙丁弧及两弧间之角因求得时差此本九十度限表所繇起乃常法也第以此求之必先算日月高弧及高弧交黄道角等未免太烦乃简法则惟算黄道何度分当九十度即此斜角三角形内径求甲丁弧为日月高弧之余弧又求甲丁乙角即高弧交黄道之角则视差小三角形内【见前五卷三题】以高弧得高差以本角得交角及余角而推所对之弧为南北东西差固已防若指掌矣再欲察日食在九十度限东若西亦得两法一以黄道在正午度推九十度距午左右何若则以定朔所得太阳躔度较先所得在正午黄道度即得太阳在九十度限东西何方如依甲乙丁斜三角形以升度求乙丁弧必得何度在乙【子午圏交黄道之处】使星纪宫初度或

　　鹑首初度在乙乃为正九十度此外

　　则以食时按极出地度求之盖北极

　　髙过二十三度三十一分凡自星纪

　　初度至鹑首初度黄道度在午者必九十度偏东自鹑首至星纪黄道度在午者反为九十度偏西而距午最远者则在大火宫或枵宫随极髙低不一亦随宫度各处不一也试以极髙二十四度则九十度限距午最远特一十五度耳极髙四十度则九十度限能距午二十四度余宫度在九十度限亦距午渐近因而推日食在九十度之或东或西较较不爽也又一法以黄道交髙弧角求之更凖盖本角向子午圏者在午前为鋭角午后为钝角则食必在九十度之东若本角午前为钝角午后为锐角则食必在九十度之西如此可免再求矣

　　求视防复算视差之故第三

　　日食与九十度相近则太隂之偏东西不多所得时差于本食之实时不甚相远可免复求东西差倘所食远距九十度之限则太隂偏左偏右【左右即东西】者必多而能变其实行以为视行使不再三考求何从而知故必先算太隂之视差化之为时差次求其视行与太阳实相距若干则用以推东西差可得食甚至若初亏复圆总不外太隂之视行而得之此推歩日食者所以复算视差求太隂视行

　　定太隂东西差须得其与太阳相防之实度应先【如在九十度东】应后【在九十度西】乃使太隂实行即从自行可得则或二十八分一小时或三十○分或三十三分有竒【因最髙最庳中距不等故】以三率法推其度差则相应几何时刻因与定朔加减之其所得时亦可于真视防不远但先后防之度差必以太隂实行为主然因视差故每每移其本实行故以实行求时差多谬而以视行求之乃凖矣法曰日食在九十度东则较定朔前一小时食在九十度西则较定朔后一小时复求东西差以两差不等之分秒或加或减于太隂一小时因以实行得其视行若次得之东西差大于先得之东西差其两差不等之数为减若次得之差数小于先得数则两差不等之数为加乃得太隂一小时视行也或不用一小时先于定朔算东西差而以实行化为时差或加或减于本时得视防又以视防与定朔相去不拘若干惟于此时再求东西差两差不等之数依前法加减之必得太隂视行时差因以复算真时差

　　假如崇祯四年辛未十月定朔在辛丑日未初八分四十○秒此时顺天府得东西差三分五十○秒太隂一小时实行为三十三分二十○秒以此算得六分五十四秒为时差因食在九十度东故减得未初○一分四十六秒即相近视防时也次升度先在正午自春分起为二百二十六度二十五分四十○秒因时差宜减一度四十三分则以余升度查本表得躔度在正午者为大火宫一十七度一十二分算得九十度在午西离二十三度三十五分比日月距午更远七度四十四分三十八秒又以太阳髙三十六度一十四分算得髙弧交黄道角八十四度一十七分则以余角复得东西差四分五十○秒两差不等之数为○一分因后得之差大故先得差内减一分实得○二分五十○秒为太隂过太阳之视行也前时差○六分五十四秒今以三率法依本视行得前东西差○三分五十○秒应九分一十九秒为真时差因减故算得视防在午正三刻一十四分二十一秒【一十五分为一刻】

　　考真时差

　　眞时差者为太隂视行反覆推求再三加减脗与视防相合者也欲更考其实须算太隂实距太阳几何若所得分数与太隂所当视防之东西差等则所得视防亦凖若防有不等则以不等之分数化为时依两曜实相距之分数较之视差或大或小依法加减于前视防如距度大日食在九十度东则时差为加食在九十度西则时差为减如距度小则九十度东宜减九十度西宜加分秒内可得其凖也因此再求东西差而以本视防时复求九十度限与其距天顶及距太阳度因以本高弧及高弧交黄道角复算视差如前假如得真时差九分一十九秒何以知其然也因减时九十度略在前即夀星宫二十三度○六分距天顶五十三度四十○分距午二十三度三十一分较太阳复西去○八度二十一分算得高弧三十六度三十四分交角八十三度四十五分推东西差○五分一十三秒故以三率法用太隂实行三十三分二十○秒一小时以真时差得五分一十○秒为太隂实距太阳分数见其与才得之东西差相等则前时之时差亦凖若未等则求所差分数如前东西差三分五十○秒得九分一十九秒为时差此不等之三秒亦得七秒依前法视防内应减实得午正三刻一十四分一十四秒乃真视防也

　　求初亏复圆俱依视差算

　　凡算月食推初亏复圆先以开方求其自初亏至食甚所行之度分若干又自食甚至复圆所行之度分亦若干故所推食甚前后时刻大约相等算日食则不然虽太隂在食甚前后所行度数相等而所应之时刻鲜有不参差者盖视差能变实行为视行有前得之时较后得为多亦有后得之时较前得为多此中种种不一如图甲为太阳乙丙丁皆为太隂甲乙或甲丙为两曜视半

　　径甲丁为太隂食甚视距度则甲乙

　　线之方数减甲丁线之方数其余数

　　开方得乙丁线为太隂自初亏至食

　　甚所行之度与丁丙至复圆数畧相

　　等但太隂行过乙丙线时【除食甚正在九十度】

　　前后未尝相等故求之之法必于前时以东西差求其视行则得初亏距食甚之时又于后时复以东西差求其视行乃得复圆与食甚相距之时然初亏与食甚或皆在九十度东则因初时之东西差大于后时之东西差其两差不等之数减于太隂实行则得视行若初时之东西差反小于后时之东西差其两差不等之数则加于太隂实行而得其视行或初亏与食甚皆在九十度西而初时之东西差大后时之东西差小其两差不等之数用加如初时之东西差小后时之东西差大其两差不等之数用减与前法相反此较初亏与食甚若较食甚与复圆皆为一理第其两相比量俱以先东西差与次东西为主故求初亏则食甚为后时而求复圆则食甚又为前时也或前后两时不同在九十度之一边如初亏在东食甚在西则求东西差必不止食甚前后之两次因九十度而中分之则一视行求其时之多半又一视行求其时之余乃合之为初时至后时太隂视防所行度分矣

　　假如视防在鹑首宫初度午后正二刻距九十度西得东西差○五分设得视行二十二分则太隂自九十度至本视防之度两刻间视东行一十一分如前图乙丁线为二十八分减一十一分所余一十七分为太隂在九十度东自初亏至食甚时所行即因九十度前一小时以东西差得太隂视行二十一分故其行一十七分必须时三刻○四分乃自初食至正午【此正午与九十度同故】为太隂所行之时并午前后时总得五刻○四分为太隂自初亏至食甚过乙丁线所行时也

　　算日食复求太隂视距度之故第四

　　前以实防而不得其视防则所求者在东西差乃今视防真矣然何以知其所食大小之分数及以月掩日所向之方位乎曰此皆由于太隂视距度也故推歩者必先于食甚求视距度则得日应食几何分又于初亏复圆求视距度则得月掩日之光在何方

　　日食分数

　　凡推月食以太隂实距度较其半径及地景半径即得月食之分今算日食法虽同然因视度为主则必以太隂视距度与日月两轮之半径相较乃得日食分矣依法于视径本表查日月半径并之减视距度为太隂掩日之分【天度数之分】次以三率法求食之分【日径分十分之分】因先于食甚求太隂实距度则太隂视防及实防间之本行或加或减于其交周度依时差加减得视防时太隂交周度用算或查表即得距度

　　假如时差为三十五分二十一秒宜加此间太隂过太阳行一十七分五十六秒太阳本行○一分二十七秒相加共得一十九分二十三秒为太隂本行今设交周实度为五宫二十九度因时差应加则交周多得一十九分二十三秒终得太隂食甚时实距北○一分四十一秒次以南北视差本实距度改为视距度故凡于三差小三角形内考时差并求南北差乃所得为正视防若太隂距黄道北人居夏至北则实距度恒减视差为视距度若太阳距黄道南则视差反加于实距度为视距度

　　假如万厯二十四年丙申岁八月朔日食厯官报应食九分八十六秒实测得八分强弱之间依新法算当食甚时太阳高五十○度○五分得太隂高差三十八分因九十度距太阳西一十六度○八分算得高弧交黄道角六十八度四十八分为南北差线其对角为南北差得三十五分因当时太隂近交中在黄道北二十八分五十○秒与南北差相减得○六分一十○秒乃太隂视距在黄道南矣又日月两轮半径并得三十二分○五秒减视距度得二十五分五十五秒以此求食分数得○八分二十九秒乃与所测适合也

　　日食图说

　　新法以图显本食所向之方故上下书南北左右书东西其绘图则以太隂距度为主但食时先后太隂距度常有变易或初亏距度多而复圆距度少或初亏距度少而复圆距度多此其故盖因食在交处前后之不一也若前后离交相等则虽距度同而所向南北未免有不同矣故日食前后求太隂视距度必以交周所应食甚视距度减其自初亏至食甚所行径度则得太隂初亏视距度又以加于自食甚至复圆所行径度则得其复圆视距度也复求交周所应太隂食甚视距度惟查距度表内上下左右则得交周度及其在交前后分数○

　　假如前万厯二十四年食甚得视距度○六分一十○秒即交中后查本表右得○一度一十二分其本表上则得六宫乃所应视距度交周也又当时自初亏至食甚太隂所行径度三十一分○七秒与交周相减得六宫○度四十一分五十一秒相加得六宫○一度四十三分○五秒即初亏及复圆交周也依此交周复查表得初亏视距度○三分三十三秒而复圆得八分五十三秒因此畵本食图如乙丁及丙戊两直线以直角在甲相交指南北东西方乙丁为黄道甲心为太阳居其中依前食论其太阳半径得一十五分一十五秒较太隂

　　半径畧小甲戊线则并两轮半径为

　　三十二分○五秒因太隂食甚在辛

　　甲辛乃当时视距度○六分一十○

　　秒初亏在壬即乙壬与甲己相等只

　　三分三十三秒复圆在庚得丁庚与

　　甲癸相等共八分五十三秒而壬辛

　　庚皆视距南也

　　新法算书卷六十九

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>

　　钦定四库全书

　　新法算书卷七十　　　　明　徐光启等　撰交食歴指卷七

　　测食分

　　算食而不测食将何以攷其法非强天即自欺故必随测随算了了于目了了于手则视差视径时分俱凖而法乃得矣

　　测太隂食分

　　常法全頼目力因分太阳径为一十分太隂径亦如之食甚时则以所见不食之径约略不能见之余分设并见失光之体庶防所食有半者依此以测犹可此外则多有谬焉何也太隂未食以前欲用器测全径食甚时又测光所存之余径此际甚难【其光微又无从定中线故】且不正合于法今补此阙用太隂地景两径之比例及太隂见缺之边如图地景心在丙得乙戊辛弧为边太隂心在甲以

　　其乙丁辛边弧入景中为所缺自乙

　　至辛作直线更一直线联其两心及

　　两边交切之界于乙或辛为甲乙乙

　　丙及甲丙而甲丙及乙辛以直角相交于己使太隂入景之边乙丁辛为六十度因半之于丁得乙丁对乙甲己角为三十度必余角甲乙己为六十度【甲己乙直角故】甲乙割线二万乙己止一万则以甲乙与乙丙之比例【一与三是】乙丙得六万为丙乙己角之割线查八十度二十四分本角之切线五九一二三六为丙己而甲己为甲乙己角之切线一七三二○五两切线为甲丁及丙戊所减【甲丁与甲乙丙戊与丙乙自相等】余丁己二六七九五戊己八七六四并之得三五五五九为甲乙二万分比例之分因以推太隂之食分盖设太隂半径得一十六分与之相乘用二万除得食二分五十一秒【度数之分】即径分止有五十三秒以此测虽微有差所推径分终近矣

　　测太阳食分

　　宻室中对太阳开小圆孔以受其光因孔小出光之体大则所正照之光必为角形其底在太阳其角在孔之中夫光一入内又复展开为角形以致底所对之墙转其原形以上为下以左为右使墙与光直角相遇则底为圆形不则为圆长形使孔不圆且小则光底在墙或彷佛孔形而所像太阳之形大都不眞何也太阳孔墙三者皆有逺近大小之比例盖孔距墙得其本径数与太阳所距本径数等则光底在墙必像太阳圆形及孔之多边形各等为杂形若两径数不等而太阳距墙得径数多则光底失去原形转随孔形得径数少则光底必因之愈少故测食者恒设孔小而圆乃可逺近无差因以墙上所缺之形征太阳所食之分法以规器于纸上先画大小不等数圆圏各以径分之其径以十或更宻平分之临测室中以圏受光不拘逺近任用大小圏全以脗合于光为凖既合便转纸使其圏径横过余光形中平分两角则光缺之界即所食分数方光与圏合时遂以笔于光景间微识三四小防求心因之作圏略得太隂掩太阳大小之比例如图甲乙丙丁为太阳食外

　　之余光正与甲乙丙圏界相合其心在

　　戊其径与丁以直角交景而平分甲及

　　丙两光角则得太阳食七分有竒更取

　　三防为甲丁丙以己为心【防何三卷二十四题】以甲丁丙辛为太隂乃以己丁较戊乙亦得日月两径大小之比例日食射光之容

　　测日食以最微之孔对照之西土用绿色玻瓈仅见日周俱掩去余耀反照则用水盘欲细则以平面镜所接之光反射墙上可略得分明苐对照水中反照皆非实测之法惟射光于墙略近然因尚容次光乱其景犹未足故前以宻室测食之分为本法今再全觧之欲光从外入室内以其形正彷原形尽乎大小之比例倘孔非最小【防何称无分防之小】而圆则太阳食照必畧变其余光之角形为不彷原之一又太隂掩太阳其径略小即失天上视径之比例为不彷原之二因径小所食之分较天上之眞分亦少为不彷原之三三者皆归一缘盖接光之孔稍广则从中心摄太阳之形全显于墙或纸亦并周孔边之每防全进焉乃每防所进射之形虽圆其出外与

　　孔之圆不平行而每防射形之公界

　　复与之平行且内抱中心所射之形

　　亦与之平行如图乙丙丁界内为光

　　即太阳总形也其内圏壬庚癸为孔

　　之广因圆故其受光至平面亦圆苐

　　太阳大不可比其光一入复寛为戊己辛形与内圏平行以其中心甲与太阳正对故以逺近之比例可推本形甲戊半径与太阳视半径大小之比例然庚内圏之防射太阳形为丙己辛较于中圏更以戊丙径线出外【戊丙与甲庚孔之半径等】而壬癸及余防皆射圆形则外得乙丙丁总圏其甲丙与太阳半径无大小之比例以逺近可推也又因原形入室内必借孔形以两形合别为杂形今测太阳设圆孔原形无从可变【除上为下左为右】而食之时其自变形露角射于宻室内又与孔之圆形不合因而损其角似圆矣如图太阳食之余光实为甲乙丙丁乃从甲孔之心射入以丙丁乙弧不异于孔形而丁甲乙角

　　形则异矣故本界四周以孔半径展

　　开【甲戊丙己乙辛丁壬皆半径】外得戊辛己壬为

　　总界与前图所觧同则以辛己壬弧

　　元合于孔形而壬戊辛亦必彷之其

　　彷之之规必依孔半径故丁乙各为心得壬癸及辛庚弧皆变为圆角耳

　　室中测食日月两径有定差

　　依本食图丁甲乙弧为太隂掩太阳之边其心在癸从癸心出直线至丁至甲至乙又乙丙丁中原形使之过庚为圏而从其甲心引直线至壬至辛至己因甲乙丙丁为日食余光之真形实合于原则癸甲与甲丙或癸乙与甲乙癸丁与甲丁【甲丙甲乙甲丁皆太阳半径癸甲癸乙癸丁皆太隂半径】得真大小之比例亦与原视半径全合今宻室之中辛己壬戊光形实以甲戊孔之半径周展其界则太阳

　　亦展半径自甲致之于壬于辛于己而甲辛与甲癸太阳半径之比例必过甲乙与本甲癸之比例太隂半径亦然移癸甲为癸戊其癸丁癸乙皆曲而小故甲乙与癸戊之比例又大于甲乙与癸甲之比例而甲辛愈大【因甲辛大于甲乙故】可徴两径在光形宻室之中比于两径实在食时必依孔之广狭变其大小未尝正合焉室内测食食之分有定差

　　依前图总光界辛己壬弧以加壬丁辛弧作全圏则甲乙

　　元为食分与丙乙太阳全径实得比例

　　今总光形之径己丁较之丙乙长两孔

　　之半径【即己丙及乙丁】故本径与食分变比例

　　因而甲乙比于己丁线不如比于丙乙

　　线得大小之理若丁戊【光形食之分】则既乙丁与甲戊等亦自与甲乙相等可徴其大小之比例在光形有失矣

　　或问测食与算食分数不合而每每所测分数恒不及必因食形假耳今欲改为真形从何法得曰以太隂半径加孔半径于太阳余光之内反减之各依本心光形内作弧得甲庚丙癸原正形即从甲太阳形心及丁太隂形心推定也

　　定食分及两径比例必系真光形

　　推算食分以定多寡法以两曜视径较于距度求之今欲于所测对騐亦以日月两径以其两心相距防何即可得矣但测时因太阳行速依前法于形中防号以求径并距孔时逺时近就景于先所画圏亦不易故纸距孔须定度【用窥管前开小孔后置白牌彼此以平行相照】可免多圏多量之烦受景之底大小依逺近如图外有己壬辛大圏为定周分

　　度数共作四象限【用以取食方向见下文】中有乙

　　戊丙丁小圈以甲为轴能转动此乃受

　　光形之圈故以丁戊指太阳全径以甲

　　心及孔之中心与太阳中心正对本圏

　　上安量尺即戊丁中空以两旁与圏径平行其尖鋭直至大圏以能指度为用量尺上仍有方尺为乙丙中开一小陷道以合于下前后可任进退将用浑器对太阳时便转中圏令其径平分余光之角随以方尺就之其交径之防必用号以识之有光无光之边交径防亦然

　　即以此定乙甲丙弧分食与不食之

　　形不须别防如二图设乙丙丁戊为

　　太阳食形得心在甲丙戊为径以方

　　尺【乙己丁】切光之钝角【乙丁】交径于己景

　　边交于戊今依孔半径得己庚作壬庚辛直线与方尺平行而更作辛癸壬子即日食之真形何也使壬丁辛乙各于方尺为垂线必自为平行线因而庚己亦于方尺为垂线【因作法盖庚己为丙己径之分】则庚己壬丁辛乙三线皆等既等而庚己为孔之半径则余两线亦各半径可知壬辛两防当孔中心为真形之鋭角则日月两边实于此防相交而壬癸辛为太阳壬子辛即太隂两弧中必食分外则为所存光之真形也

　　或问真原形既定何以依之推两径之比例及太阳食之分数曰孔与形相距之度与甲癸真形之半径若全数与原视半径之切线查表得太阳视半径试以全形为一百分孔径一十分相距万分一百减一十余癸丑为

　　九十半之得甲癸四十五以算终得一

　　十五分二十八秒【度数之分】论太隂半径此

　　以庚辛中比例线求之盖先以庚癸太

　　阳径分求庚辛【见防何三卷三十五题】次以庚子

　　与庚辛若庚辛复与庚寅得全子寅论食分则癸丑与一十平分若子丑与食之分或若癸子与未食之分于十分相减余则为所食之

　　测日食细法

　　用方尺量食之形或景淡而景符无处可用欲以所测推太隂视径未免微差今更用一器愈凖愈易前所云受

　　光形之表中有轴能令小

　　轮转动轮上定量尺随以

　　同转则因以载方尺而外

　　指度数矣此则两尺俱不

　　用本小轮改为方形如图甲为表中之轴亦为太阳景心【先依太阳在本圏某宫度取视径作圏】乙丙丁戊则大方形也转以甲轴以辛为表鋭用鋭以指外圏之度左右【大方形】开两小陷道能受小方形为己庚癸壬此中亦有小圏即掩太阳之太隂也周圏先去孔半径形【得圏大小不等预以引数取定或备数面以待临期更换亦可】其四围【小方形】开空止存六小条与方相连以支圏将测用大方置衡上【长方尺为衡其图在下前所言窥管亦可】与孔以定度相距小方贯入其前令中圏以边合于景食甚时见本圏上方余光先至而左右尚未及必圏小宜换大若左右先与光齐而上方未及则圏大宜换小总以正合为凖万厯二十九年辛丑冬至后两日苐谷门人在西土测日食用本器大方中圏设一百一十分小方圏七十五分两数总而半之得九十二分三十秒即初亏时太隂与太阳以中心相距之分【任取无度数之分】故至食甚时所见食之分【略得八分】此中必减去余分乃两心相距之分苐先定太隂视径因小方圏正食于景而设径有七十五分二十八秒以加孔径一十六分三十○秒总得九十二分以此求度数之分得太隂在最髙本径三十分三十秒若求食之分因当时形中得食八分【径平一二分之十分】以比例法算得七十四分【任取分之分】与两心初亏相距之分相减余一十八分三十秒化为度数之分得六分○八秒【光形一百一十分减孔全径一十六分三十秒余分为法数太阳在最痹径三十一分为实数

　　算得六分○八秒】如图甲丙太隂半径减甲

　　乙两心之距余乙丙为九分○七秒

　　加乙丁太阳半径【一十五分三十秒】得丙丁

　　为二十四分三十七秒【度数之分】即月体

　　掩日之分故以三十一【全径】为法以十二平分为实算得九分三十二秒即太阳实食之分较于形中所见食多一分三十二秒矣

　　或问测食常法因难分食与未食之径不待言矣今室中测食虽能明分之而所见食分非真食分所测径非真径则古测又奚足用曰因分得日月两径大小之比例及明暗之界即推真食分及真径之根盖古之定日月两径多依此测不能无差今从而改之此外尚有测其径之多法【见月离厯指】

　　以真视径比例推食之实分

　　测食者于室中任用器之长短孔之大小不必拘逺近之比例而惟以先列视径表定食分为止法以所测之光形作圏以光景之界弧求心【防何三卷二十五题】即太隂心亦作圏必量两圏径【用比例尺或预分定数百平分之线】得各分数若干总而半之即于两曜视半径并分数等何为分数等也日食形内光与景各失其本然止以边论则犹是若两心相距则非矣盖两心相距与原形恒有比例因彼所张此反损各半径与原半径不合而两并与原并数则有合焉故以此总【两半径量之分】与彼总【两半径度数之分】之比例各本分【或日或月】推相应之半径【形中非真半径】与真半径比较得差数因以复推食分加于测食分即得所食之实分矣

　　假如万厯十八年庚寅七月朔苐谷门人在西土测日食见食六分正【依十二径分大统亦能见推食五分有竒依十径分】光景各半径并得四十七分太阳近最髙得半径一十五分○二秒太隂距最髙四十余度得半径一十五分二十五秒两半径并为三十○分二十七秒即与前四十七分等故一为法一为实求二十三分【太隂或景任取之分】相应度数之分若干算得一十四分五十四秒比太隂视半径差三十一秒而差数或加或减于太阳半径则以真半径为法【当差数加也】推得六分一十三秒【孔小故受景正而测之分比推算之分略近】为真食之分

　　又一法用逺镜或于宻室或在室外但在外者必以纸殻围窥筩以掩余耀若絶无次光者然而形始显矣葢玻瓈原体厚能聚光使明分于周次光又以本形能易光以小为大可用以细测【以小为大非前所云光形周散也因镜后玻瓈得缺形光以斜透其元形无不易之使大见逺镜本论】然距镜逺近无论止以平面与镜面平行开阖长短俱取乎正【光中现昏白若云气则长边有蓝色则短进管时须开阖得正】余法与前同崇祯四年辛未十月朔在于厯局测日食用镜二具一在室中一在露台两处所测食分俱得一分半【径分十分】先依顺天府算以太阳引数三宫二十七度取视半径一十五分四十二秒以太隂引数五宫一十九度取半径一十七分五十八秒半径俱悮用大故并而减太隂当时视距度二十七分二十二秒余六分一十八秒因算得食二分试依新列表改之则太阳得一十五分二十一秒太隂得一十七分一十七秒并而复减视距度余五分一十六秒算得一分四十三秒为真食分必如镜所测也夫镜所测形为丁乙丙戊即太阳食边之下映者与实在天所食之形相反【大光过小孔之

　　故】依丁乙丙弧求己心即太隂

　　心设其半径己乙为五十分甲

　　戊四十八分两半径并得九十

　　八分【皆比例之分】为法数两半径又

　　并作三十二分三十八秒【度数之分】为实数则以太隂五十分推得一十六分三十九秒为己乙度数之分必较于己壬真视半径得差三十八秒为乙壬今论径分【以十分分之】以三十八秒算得一十二秒宜加所测之辛乙一分三十秒总得辛壬为一分四十二秒正合于所算食分矣

　　或问逺镜前后有玻瓈在前者聚光渐小至一防乃在后者受其光而复散于外则后玻瓈可当一防之孔何所射之光形不真乎曰后玻瓈不正居聚光之防必略进焉以接未全聚之光乃复开展可耳【见逺镜本论】故谓此当甚微之孔则可谓当无分防之孔则不可所以用镜测者纵或不真然较之不用镜者不但能使所测之形大而显亦庶防于真形不逺矣

　　测食方位

　　古多禄某以交食占验欲定何州郡则以本食方位求法近世以本方位立法因推太隂距太阳视经纬而以所测定其视行也

　　测日食方位

　　太阳本食或正向南北东西则目力所及一见能决惟不尽出于正而偏有所距则因以分别所偏若干定分数多寡此必实见之测乃可得耳前论食分设两轮盘并在一平面上与太阳正对亦与外耳进光者平行其下大盘不动分以过圈径从径左右边分全度数用以测食方向上小盘则能运转载量尺与下轮边以对度数为主将测全器对太阳下盘之径线对髙弧以光形之角较本线或正或偏因推所向方位设两轮底方以直角安表衡上为甲乙与外耳戊正对太阳毫不偏于左右则乙戊衡正居过天顶及太阳圈之平面【前所云髙弧也】而甲乙直线自上至下亦当天上本圏径之分外

　　有木矩架为丙丁己【全形见月离三卷】以丁己柱正立取地平柱端作运轴使衡能上下转以入架腰定丙乙太阳出地平髙度而全架则又周转如辘轳也用法日食时表衡对太阳以甲乙方之面正受其景则上下轮环转而方尺与余光两角或积或平行其量尺所指轮边度分即太阳本食所偏向髙弧度分也又本衡末于架腰自指太阳髙度则得时分因得太阳及髙弧距正东西以加或减于日食之角偏去髙弧度分终得食景偏去正东西度分设衡下无架可分太阳髙度则以别法求时刻而于衡之末以直角加横平方其甲乙直线及浑衡亦合于髙弧圏之面若不用量方两尺依前第二法用两方形有圏者以上方进入下方之中圏直至形前掩景周围与光齐而左右小条当方尺与两余光之角或相积或平行其外鋭亦指本景所向之方与前同如太阳初亏测方向得偏髙弧距三十度太阳出东地平髙四十一度三十四分躔降娄宫初度因得己时髙弧距正东四十八度○四分【或查表或以三角形算】减食方向距髙弧度余一十八度○四分即初亏向西北度若太阳复圆其方向髙度时分皆如前则一十八度○四分为复圆向东南度又设方向距髙弧过象限三十度【角上左旋】髙度时刻俱同前则与髙弧距正东相加得七十八度○四分即初亏向东南复圆向西北度【初亏向东南复圆必不在西北此盖指前后两食论也】

　　或问所测方向距髙弧线之度何以知其宜加与减于本髙弧距正东以得其自距正东之度曰日食时设有大圏径过日月两曜中心左右至地平此即太阳失光及未失光之面所向度分今本圏以直角交髙弧则向位距正东或正西之度与髙弧距子午圏之度等【地平圏上算】本圏合于髙弧通为一圏则髙弧至地平所指度亦为本食所向度若夲圏斜交髙弧则以下轮盘外圏因知两距度宜加与否【两距度者过心圏距髙弧髙弧距子午圏者】盖午前过日月两心之线测得在右上象限或左下象限宜加余象限冝减午后则反是【不拘初亏复圆】或见日食余光之上角在髙弧及子午圏线中则过心线之距加于髙弧子午两线之距此在午前后共法设甲乙丙丁为下轮盘之外圏分四象限各象限分九十度甲为天顶甲丙线当髙弧甲己甲戊皆子午线中小圏即太隂掩太阳者或食

　　甚或初亏复圆时在其东西南北及中

　　央皆一类【天上向位在西图中反在东诸方皆如此】设庚为

　　太阳过两心之线为庚乙因以直角交

　　甲丙线其至地平必两相距正九十度

　　故丙距己【地平上算】乙距正东之度皆等又设辛为太阳则过两心线与甲丙同为一线故甲丙所至地平度亦为太阳辛食所向之度也又设壬为太阳则以壬癸过两心线者得壬癸乙角加于丙甲己角减于丙甲戊角【因太阳壬之上角在丙甲己内即午前在丙甲戊外即午后故】得总或余角以定日食向盖过两心之圏恒指向位又恒随髙弧设髙弧与子午圏全合为一必过心圏以直角交者所指向位在正东【食复圆时】或正西【食初亏时】若斜交则因角大小不等食形所向度距东西逺近亦不等其髙弧不正与子午圏合而相距在其左右则过两心圏虽以直角交犹随髙弧距正东西左右若斜交则本圏更距东西不等盖以此两故求其距度直至与髙弧合则惟髙弧定距度也以长圆形求日食方位

　　前论宻室测日食分法以平靣之方受景盖孔小而方又正对太阳其景必圆今以斜对之平面亦在宻室中受景孔仍如前小则所得形必长圆【凡地平距黄道内者对太阳宜斜】其

　　长径线可当髙弧法用白纸置地平

　　上【任置何处宜与地平等】令受日景必自为长

　　圆形次于本形两端各识数防又于

　　两光缺角亦各识一防以便用规器

　　取食偏距髙弧度设乙丙为长圆形

　　之大径当髙弧线求丁戊景缺偏距乙丙线若干则平分径于甲以甲为心丙为界作圏次与甲丙作垂线过丁戊两角至己至壬此己壬弧半之于辛作甲辛直线则得丙甲辛角即日食偏距甲丙髙弧之角设丙辛乙半圏分一百八十度以规取丙辛弧定度分若干试依先测之横径【若未测以太阳髙度求之】以甲为心作中小圏从两光缺角引直线与长径平行至本圏之边得庚癸弧其出中心至外大圏甲辛直线者交于小圏之弧为两平分则知先所取丙辛食方向距髙弧之度无谬也

　　因长圆形之心不正居光角形之枢线而横径较光角形之正底亦微过焉故欲求其正设角形中线至子以太阳髙度之余推子乙子丙则于本髙余度加一十五分【太阳半径依引数取】又减一十五分得三不等度查各度切线以相较得乙丙长径之正度也如甲乙丙为光角形至地平乙戊因斜遇为长圆形其长径为乙丙太阳在甲当髙三十七度余五十三度角形枢线甲子则戊子为五十三度之切线减一十五分余五十二度四十五分其切

　　线戊丙反加一十五分得五十三度一十五分切线为戊乙今戊乙减戊丙余二四○九为丙乙即形中长径也求横小径则全数与太阳距天顶之割线若太阳半径之切线与横小径算得一四八六【两径自较得一十与一十七之比例欲各较于全数设全数为十万】因此依前图算设乙丙为大圏之径则以本比例得小圏作长圆形引丁己及戊壬垂线如法半之终得辛甲丙角为二十二度三十分宜加或减于髙弧距子午圏以求其自距子午圏与前法同测月食方位

　　治铜为一匾圏约寛二三寸许周分三百六十度其圏内俱开空止留四线如十字交罗中心交罗处安量尺方尺其尺径较圏径略长皆能旋动与前测食分器同将测时从初度取上下正对太隂以垂线取凖地平转其方尺令对两余光角则量尺抵边所指度分即本食向方距髙弧度也盖宻室月景不显必室外测乃可若用地平经纬仪上置前圏以象限载之转中线对髙弧须凖与地平合可免算髙弧距正午度

　　又简法以界尺对两角令其或取恒星或五星同居一直线上加太隂髙差【以髙度于本表取】得其向恒星若干免以髙弧复求别距度何也因切两角之线其过景边交月边处必俱以直角交过月景两心之线故得角与星居一直线则从此相距九十度逺者必为本食所向之方矣太阳初亏能向东复圆能向西否太隂初亏能向西复圆亦能向东否

　　从来论日食者俱以初亏向正西或西南或西北复圆即向正东或东南或东北月食初亏向东复圆即向西或偏东偏西此定法也今细考之殊多不然盖初亏复圆两向相反者此非一食可有之事必两食而日月体不全食或有之先以月食论如图以甲为心即地景之中心以其半径为界作圏从上至下引乙丙直线可当髙弧横作丁戊当黄道斜入西地平下得乙甲丁为其两

　　圏之交角又作己辛直线与黄道线

　　以直角交于甲心设太隂本心在己

　　或在辛此为定望故甲己甲辛各为

　　月景各半径并与距度等又己为隂

　　厯渐小必己庚【白道】距黄道渐近辛为

　　阳厯渐大必辛壬【白道】距黄道渐逺此太隂未及辛先与甲近彼太隂过己后渐与甲近两者未免微有食【距度比甲己甲辛两半径并较少故】其所食大则从甲心出直线至白道以直角所交之防下为癸上为子是也试以甲癸或甲子当五十八分较甲辛甲己略少【两半径并共六十分】则五度【最大距度】之割线与全数若五十八分与两心之距【月心地景心】得五十七分四十七秒余二分一十三秒变为食分即四十四秒故依图一食之初亏在己他食之复圆在辛而复圆向东初亏向西者此耳可遂守为一定不易之成説哉

　　若东地平黄道斜升其上亦与前同设癸子为黄道乙甲子为黄道交髙弧之角则丁戊线以直角交黄道者上有丁为隂厯渐小而壬丁白道与黄道渐近下有戊为

　　阳厯渐大而戊庚白道距黄道渐逺必

　　辛一食之初亏向西丙他食之复圆向

　　东万厯四十一年癸卯十月十六夜大

　　统厯官报月食四分四十八秒初亏子

　　正三刻复圆丑正三刻西土第谷门人

　　测三分强总时得八刻弱与大统略合但先后两处不能不异盖此【中土】太隂初亏略过子午圈彼【西土】出东地平髙未及二十度因行阳厯而距正东去北其初亏向正西复圆偏西南

　　论日食其方向之变不但以黄道斜升故即视差亦有之盖降娄东出必黄道交地平角渐大至鹑首出则愈大故太隂在地平上不论何宫度其随宗动徃北甚多以本行去南反少气差亦少而太阳夲食距赤道南午后其初亏可向东距赤道北午前复圆可向西又寿星出则至降娄为半周本角渐小太隂去南较其本行回北己多必气差更大而太阳距赤道北午前初亏可向东距赤道南复圆反可向西今试以黄道斜升之故设太阳在降娄一十五度出东地平髙一十○度北极髙四

　　十度当此有食则太隂在阳厯距南二

　　十○分【视距度分】虽不全食约有三分之一

　　如图丁壬为地平丁庚为黄道两圏斜

　　交于丁则戊为正东壬为正午庚癸过

　　九十度限之弧髙有三十度太阳在甲

　　髙一十○度太隂在乙初亏距黄道二十分得甲乙丙直角三角形甲乙两心之距当三十一分【日月各半径并】求甲角以定甲乙过两心之线至地平何度即本食之向位盖甲乙线与乙丙线若全数与甲角之正得甲角为四十一度四十八分余对角乙甲丁一百三十八度一十一分今甲戊丁三角形内戊为直角庚丁癸角三十度必余丁甲戊角六十度而戊甲乙七十八度一十二分故甲戊己三角形内求戊己地平限定本食向何度则全数与甲戊髙弧之正若甲角之切线与戊己弧之切线【图中设为直线天上实为弧】得戊己为三十九度四十四分因髙弧于此至正东则戊壬为九十度减戊己弧余五十度一十六分即所向偏东南过子午圏东之度若设隂厯太阳复圆皆同度则太隂在辛而己辛弧又北过子午圏向西北亦距北之西五十余度

　　若气差变向之故则如万厯二十七年己亥七月朔苐谷测太阳东北出地平【日躔鹑火初度故】其本体之顶有缺则必西南为所食向方又太隂虽行中交因黄道交地平角甚大本行已近北必得气差少则复圆尚居太阳西而本食方位已不可转而东矣又万厯十六年戊子正月朔太阳躔娵訾七度有食初亏在午后六刻第谷测其过日月两心之圏距髙弧偏西七十二度有竒复圆在未正三刻半又测得本交角尚有一十二度【两弧相距】可征尚未向东而初亏食甚复圆皆以西为方向矣如图甲乙当髙弧丙丁为黄道太阳在己太隂在戊过两心之

　　弧己戊求其距甲己若干以太阳食

　　时躔度及北极髙度【五十五度五十五分】先定

　　甲己丙髙弧交黄道角为五十四度

　　二十四分则余对角一百二十五度

　　因太阳半径一十五分二十秒太隂半径一十五分五十八秒并得三十一分一十八秒为己戊线太隂距北一度○八分减气差四十三分○五秒余二十四分五十五秒为丁戊线因而丁为直角故丁己戊三角形内求己角得五十二度四十五分与甲己丁角相减余七十二度五十一分为初亏距髙弧向西北度论复圆则

　　甲己丙交角有四十四度四十四分

　　太隂距度一度○五分减气差三十

　　八分四十四秒余二十六分一十六

　　秒为丁戊线其己戊同前推得丁己

　　戊角五十七度○三分减甲己丁角余一十二度一十九分为戊己距甲己髙弧即复圆向西之度当时太阳初亏鹑火宫二度复圆本宫一十五度出东地平故黄道髙太阳近北气差渐少令太隂距太阳不能复过东矣假使北极更低必得黄道愈髙太隂徃北减气差愈多因知复圆距东更逺万厯二十三年乙未八月朔第谷门人在东西两处测验或得食二分半或得食三分盖在西者测太阳初亏微过正午故髙弧与子午圏略同而向位距本圏偏东尚有九度在东者测太阳后一刻有竒得其初亏正向天顶则地平北子午圏之东是其向位也从是知初亏向西即复圆向东非定论也且初亏不尽向西复圆不尽向东又已彰明较着有如是也成法悮人可胜浩叹

　　以方位算太隂视经纬

　　万厯二十六年戊戌二月朔西土己正二十七分初亏后测食约有一分【十五分一刻十二分一径】太阳径线三十○分三十五秒太隂三十二分四十四秒各依本引数所定其本食所向过两心线交髙弧者测得九十度正为直角如图甲乙丙为子午圏丁为赤极髙依本地四十七度○二分丙为天顶太阳在己以丙己为髙弧丁己定距度弧太隂在壬因日月各半径并得三十一分四十○秒减二分三十三秒【即所食一分化为度数分】余二十九分○七秒为己

　　壬日月两心相距之分又丙己壬角测九十度因推壬辛即太隂距甲辛黄道视纬度辛己即太隂距太阳视经度先求九十度限距天顶即甲丙庚三角形内丙庚边也盖太阳躔娵訾一十六度四十三分得升度三百四十七度四十七分减测时距午所应升二十三度一十五分余升度三百二十四度三十二分应黄道居天之中枵宫二十二度一十○分乃距赤道一十四度

　　一十一分为甲乙弧加乙丙赤道距天

　　顶与北极依本地出地平髙等得甲丙

　　为六十一度一十三分此时出地平黄

　　道度为实沈宫二十二度三十一分则

　　娵訾宫二十二度三十一分当九十度限为庚而甲庚弧三十○度二十一分因而甲庚丙角恒为直角则本三角形内以甲庚及甲丙两边求庚丙第三边【于甲丙弧割线加五空位以甲庚弧割线除之】得五十六度○四分即九十度限距天顶之弧欲免算则以太阳躔度及测时刻依法查本表即得九十度距天顶也以己庚丙直角三角形因得庚丙边【五十六度○四分】庚己边【太阳在己即娵訾宫一十六度四十三分九十度限在庚即本宫二十二度三十

　　一分相减余五度四十八分为庚己也】于庚丙弧切线加

　　五空位以庚己正除之余庚己丙交

　　角为八十六度○七分对甲己丙角必

　　为九十三度五十三分【此太隂初亏在太阳之西比子】

　　【午圏略近所居】第测壬己丙角正为九十度余壬己辛角止三度五十三分因求太隂视经纬度则于壬己辛小三角形内【因小可当直线三角形】以壬己边【日月两心之距】及先所得诸角【辛为直角因算己角得三度五十三分壬即余角】算得壬辛视纬度距北一分五十七秒己辛视经度距太阳前二十九分○二秒即此可见测食方位之用有如此

　　测交食变形之时

　　交食形者乃日月食起复之间光为景所损而变迁其态以相示者也但受损之光初少渐多多而复少今欲逐时逐刻以宻求之其形无数且可不必大都初亏食甚复圆为太阳太隂所共而食既生光则太隂所独此五限测法须先求时对食分及食所向方位与距恒星度分乃可一一得矣

　　测太隂食之时

　　常法测恒星髙度若未见星先测太隂自髙度乃以升度求时【见髙弧用法】苐谷用自鸣钟或刻漏将浑天纪限等仪屡测太隂余光边距恒星若干或太隂恒星至正午俱以刻漏识之若太隂正在黄道九十度限则从恒星之近者起算为易得其本心及地景心升度可知恒星距太阳度因以取凖时刻有用界尺测太隂两角或对地平圏平行或对恒星居一直线上或尺线过两角之中对月景两心皆以求太隂视处定其经纬以推时刻万厯三十一年癸卯四月西土月食苐谷门人测之预备刻漏取其能细指时至分秒者试以数日令迟速脗与天合于太隂未食之前测大角星在正午考时得亥初三刻八分三十秒刻漏指亥初一十二分三十秒亥正一十○分【即亥正三刻四分】木星居正午髙二十四度三十二分【极髙五十度】亥正一十八分【亥正三刻一十四分】初亏向位在东南距髙弧自径线下起算四十五度三十分亥正二十三分【子初○四分】向位距四十二度前此太隂未食约四刻时与心宿大星同髙弧此已离去距西盖因视差故亥正二十九分半【子初一十○分】向位距三十九度三十分从土星对月景两心得一直线过亥正四十二分【子初一刻九分】周星【天市垣者】至正午向位三十三度三十分食四分一十○秒先所过土星今反距其下矣亥正五十一分【子初二刻二分】向位距二十八度稍迟得食五分子初二分半【子初二刻○七分】土星在正午髙二十一度四十七分子初九分【子初三刻○四分】缺太隂圏之半周子初一十九分【子正○一分】太隂心至正午其余光边髙一十九度○七分子初二十四分【子正○六分】向位距一十五度子初四十三分【子正一刻一十分】余光两角正垂下距地平等食六分三十秒子正二分【子正二刻一十四分】两角与木星皆居一直线其一角略髙向西因知食甚已过子正二十三分【丑初○五分】向位偏西距髙弧下一十八度三十分子正四十七分【丑初二刻】向位距三十度丑初三分【丑初三刻】距西三十二度丑初一十四分【丑初三刻一十一分】尚距三十二度将复圆其边有次景因用土星测向位然必定土星之经纬乃无遗漏当测时其本星距氐宿北星一十七度二十二分距天江北第六星一十三度二十○分因是知其过子午髙得躔柝木宫初度四十五分三十秒距北二度一十○分三十秒

　　万厯四十四年丙辰八月去顺天西一百○度四十五分【西逻玛京都】亲测月食以星髙度及自鸣钟推得时刻初亏河鼓中星过西髙二十一度得一十三时四十四分三十秒【时为小时从午正起算即丑初三刻十五分作一刻后仿此】左肩在东髙一十一度得一十三时四十四分二十秒毕宿大星髙三十一度得一十三时四十一分一十二秒当时钟有一时○九分【从子正起算后同此】盖钟所指时分每后太阳三十四分先后两日试验俱如一即一十三时四十三分食既织女大星距子午圏西髙一十五度得时一十五时○三分一十二秒右肩二十六度推得一十五时○五分乃钟指二时三十七分即一十五时一十一分生光织女髙一十一度得一十五时三十一分四十五秒右肩髙三十一度推得一十五时三十三分四十五秒钟得三时三十五分复圆测天津第四星西髙一十九度得一十七时○四分一十二秒乃钟有四时二十二分即一十六时五十六分又同都一人另居一地测有四十六次所得时刻初亏复圆与前测同惟食既少得五分生光少二分耳今以新法推算复圆全与此合其余限虽微有参差然亦不逺三四分矣

　　测太阳食之时

　　太阳出东地平左旋渐髙至午正则最髙过午复渐低至西则没此太阳自行一昼之时刻也故得其髙度即可求时其初亏食甚复圆等限惟以此为常测法苐非宻室中不可故又仍用前器架上之衡及矩架俱如前而方架之式之用见月离三卷各细分度数下方为地平从正东正西至子午圏诸弧之切线衡为太阳距天顶之割线矩架之股又为太阳距顶之切线此三度所以全本器之用也测时将方架置几上以中线对南北一手转矩架随太阳行并动其衡使之上下以受光一手对轮盘上之尺才一对景即于衡矩架下方架各识以号【号宜同如一二等数是】而以号所对各器之度加轮盘所测之景因推太阳食时及向位食分诸用万厯庚子嵗六月朔刻白尔距顺天府西九十九度一十五分用本器在宻室中测本食共测一十五次作号一二等如左

　　号　　一二　三四五六　七八九【一一一一　一一○一二三　四五】

　　其下方架东西边所分各当二千分自后至中左右各当一千二百分先安置与子午圏对【以太阳距正午左右相等之髙度或先一日或测后攷对得架偏必差度或加或减于推测之度得地平正弧】然后测得地平弧以推时刻今依一十五号列所测分及相应之地平弧

　　号一二三四五六七八九十【一一一一一一二三四五】如左

　　测　【一一一一一一　　　　　　　　七一八六三○○八八七六六五四四】首一及二号所分【五七三一七七○七二四七三二七三一一○三四五三四八五八七四四一】对测分在方架度【二三三三四四五五五五六六六六七○○三六一八○三五八○二六八○】北自中起数至分【三二一三○○○五二一三○二二一五一五九八九七六四○二二五七五】东余转东北角徃南其度分则架上平分所推即目正午渐去西太阳所对地平弧也以测分推度分法二千与测分若全数与地平弧之切线假如甲乙丙丁为下方甲丁乙丙每边分二千戊丁戊丙各一千二百分戊壬正对子午圏

　　亦二千当测得戊己即七五一

　　平分求戊辛弧则壬戊与戊己

　　线若壬辛全数与戊辛弧之切

　　线算得三七五五○查表得二

　　十○度三十五分若景过丁角在甲丁边上遇庚则甲庚为戊庚弧之余切线故壬甲与甲庚线若全数与戊庚弧之余切线【壬甲与戊丁等】刻白尔转矩架时下架悮随之动使地平弧略有差故以矩架求髙弧以髙弧攷正地号一二三四五六七八九十【一一一一一一二三四五】平弧因推时【五五五五五五六六六六六六六六六六六七七八九○一一二三四六八九】刻如左

　　【○七○四一五一一六六六四九五六四九六○三七二六○六九四二○四】矩架之立柱【二二二二二三三三三三三四四四四四六六七八一二四五七八○三六七】当句其数宜

　　股【五一七五九七六六三二九一九三九○五七○六三五八七三三四三五七】作五○四○句【五五五五五五五五五五五五五五五○○○○○○○○○○○○○○○】今则少异欲

　　依之算亦无

　　谬而矩架之

　　底为股上衡

　　为其长短

　　随太阳髙低

　　时时不等故

　　数亦不等此

　　求太阳距天

　　顶或以股或以皆同法而句与与股若全数与太阳距天顶之切线次以髙度【日距天顶之余】求地平弧则全数与极出地髙之割线若太阳髙度之割线与先得之数【为待用之数】次北极太阳两髙差度之余与太阳距赤道度之正相减余次得数则两数【先得与次得】为实全数又为法算得地平余弧之矢依测本食之地极髙四十七度○二分其割线一四六七一九太阳距天顶之余六七四度○四分其割线二二八六六三算得三三五四九一为先得数两髙度差一十七度○二分查余九五六一三为减太阳当时距度【二十二度一十六分】之正三七八九二余五七七二一即次得数算得一九三六四八为矢故减首位以所余查八线表得六十九度二十八分即从正西起地平弧余二十度三十二分即对太阳过正午地平之弧以此求时则乙丙丁斜角三角形内得乙丁为极髙之余得乙丙为太阳距赤道之余得乙丁丙角为对地平【此二十度一十八分】至半周余弧之角求丁乙丙即对赤道弧之角以定相应之时欲依直角三角形必丙丁引至

　　甲得甲直角则先求甲乙丁角【可用十设算见测量全义七卷本角得七十四度五十一分一十八秒】次求甲乙线甲乙丙三角形内因得甲乙乙丙两线以甲直角推甲乙丙角【此八十四度一十九分一十八秒】则乙总角减甲乙丁角余丁乙丙角为所求【此余九度二十七分四十六秒化为时得三十七分五十○秒过正午】测本食之复圆上衡微有阻碍不及受太阳全景故以髙弧推时较地平所推差四分宜半之借此补彼则得二时五十七分三十○秒为正时