新法算书卷九十
新法算书卷九十
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>
钦定四库全书
新法筭书卷九十一 明 徐光启等 撰测量全义卷五
圆靣求积
凡圆面积与其半经线偕半周线作矩内直角形之积等依此法则量圆形者以半径乘半周而已古髙士亚竒黙徳作圜书内三题洞烛圎形之理今表而出之为元本焉第一题
圆形之半径偕其周作句股形其容与圆形之积等解曰丙丁戊己圆形其心乙其半径乙丙即以为股形之周为句成午申酉句股形题言两形之容等
论曰设有言不等必云或大或小云圆形为大句股形小者索其较为亥形即于圏内作丙丁己戊正方形又作丙庚丁辛戊壬己癸八角直线形从心至八角形之各边作甲乙等中垂线试于圆形内减其大半所余又减其大半末所余以比较形亥必能为小矣【十卷首题】如先减丁丙己戊方形次减丙癸己等三角形八末余丙庚丙癸等二角杂形八必小于亥形也次作午未戌三边形与丙庚丁八角
形等必小于午申酉三边形何者
未午乙甲也小于圏半径乙庚先
设午申酉三边形及亥较形始与
圏等今午未戌三边形及八两角
杂形适与圏等夫午申酉三角形
大于午未戌三角形亥形又大于
八两角杂形是合两大形【即午申酉及亥
较形】与圏等者复谓合两小形【即午未戌
及八两角杂形】与圏等有是理乎
次论曰若言圏形为小句股形大
者索其较为亥形即于圏外作子
寅丑己正方形又作卯辰八角形
夫寅己方形大于午申酉三角形
者方形之周线大于圎形之周线
也内减其大半【即元圈】又减其大半
【即卯辰子等四三角形也】末余丙卯庚庚辰丁
等三角杂形八必小于较形亥又
作午申亢三角形与丙卯辰八角
形等兹形为圏之外切必大于元圏而午亢为外形之周必大于午酉内圏之周先设圏及亥形与午申酉三角形等今并圏及三角襍形八【即丙卯庚等八杂形也】反大于午申酉三角形是圜偕八杂小形而为大者又偕亥大形而为小可乎
第二题
凡圏周三倍圏径有竒【二支】
此有二法其一云三倍又七十之十则朒其二云三倍又七十一之十则盈先解其一曰甲乙戊丁圏戊为心甲戊乙戊为两径辏心作直角从甲作午子切线从乙从丁作乙己丁壬线与乙戊等乙戊己角六十度己戊甲角必三十度为六边形之半角也末从心过己过壬作戊午戊子线成戊午子等角形己戊壬既六十度则午子为等形之边设甲午股一百五十三【任设此数以便推算】午子或午戊必三百○六各自之股方得二万三千四百○九方得九万三千六百三十六相减余七万○二百二十七为句方开得二百六十五有竒为戊甲句半径也则戊甲与甲午之比例为二六五有竒与一五
三次平分午戊甲角作戊庚
线任分午甲于庚则午戊与
戊甲若午庚与甲庚【六卷三题】合
之戊午偕戊甲而与戊甲若
午庚偕甲庚而与甲庚更之戊午并戊甲而与午甲【即午庚偕甲庚】若戊甲与甲庚先定戊午戊甲并得五七一有竒午甲为一五三则戊午并戊甲与甲午之比例若五七一与一五三若设甲庚一五三则戊甲与甲庚之比例为五七一与一五三矣即以两数自之并而开方得五
九一又八之一不尽为庚戊
线【戊甲甲庚之】则庚戊与甲庚之
比例若五九一又八之一不
尽与一五三次平分庚戊甲
角作戊辛线则戊庚并戊甲一一六二又八之一与庚甲一五三若戊甲与甲辛若设甲辛一五三则戊甲为一 一六二又八之一有竒两数各自之并而开方得二七二又八之一为辛戊线【甲戊甲辛之】则辛戊与辛甲之比例若二七二又八之一与一五三次平分辛戊甲角作戊寅线则辛戊并戊甲二三三四又四之一与辛甲一五三若戊甲与甲寅若设甲寅为一五三则戊甲为二三三四又四之一有竒两数各自之并而开方得二三三九又四之一有竒为寅戊线【戊甲甲寅之】则寅戊与寅甲之比例若二三三九又四之一有竒与一五三次平分寅戊甲角作未戊线则寅戊并戊甲四六七三半有竒与寅甲一五三若戊甲与甲未若设甲未为一五三则戊甲为四六七三半有竒
论曰午戊子元角为三等角形之一即一直角三之二
午戊甲其半则三之一庚戊
甲其半则六之一辛戊甲其
半则十二之一寅戊甲其半
则二十四之一未戊甲其半
则四十八之一复作甲戊申角与甲戊未角等成未戊申角形其戊角为直角二十四之一而未申为象限二十四之一于全周为九十六之一未甲申其切线也为九十六边形之一边此边与圈全径之比例若戊甲四六七三半与甲未一五三末置九十六边形之一边为一五三因周为一四六八八径为四六七三半有竒则九十六边圈外形之周与圏径之比例为一四六八八与四六七三半约之为三又七之一不足则径为一九十六边圏外周为三又七之一不足夫形在周之外尚不及三又七之一况圏周乎
二解三倍又七十一之十而盈者曰圏内作乙丙径从丙作六边形之一边丙甲与半径戊丙等【四卷十五】从乙作乙甲成乙甲丙形在半圏之内则甲为直角【三卷三十一题】设甲丙句七百八十○乙丙一千五百六十○两数自
之相减开方得一千三百五十
一不足为乙甲股则乙甲与甲
丙之比例为一三五一与七八
○次平分甲乙丙角作乙丁线
又作丁丙线成乙丁丙丙丁己
两直角形相似盖同用丁直角
在半圏内甲丁丁丙两所乘之
等则丁丙己丁乙丙两之
角必等【三卷二十一】夫两形有两角
等者各腰俱相似则乙丁【大形之股】与丁丙【大形之句】若丁丙【小形之股】与丁己【小形之句】又乙丙【大形之】与丁丙【大形之句】若己丙【小形之】与丁己【小形之句】更之乙丙与己丙【两】若丁丙与丁己【两句】是乙丁与丁丙【两股】丁丙与丁己【两句】乙丙与己丙【两】三比例皆等又乙丙与己丙【两】若乙丙并乙甲【两腰】与甲丙底之两分【见前解】则乙丁与丁丙亦若乙丙并乙甲与甲丙先定乙甲一三五一弱乙丙一五六○是乙甲乙丙并为二九一一弱甲丙先设七八○则乙丁与丁丙亦为二九一一弱与七八○各自之并而开方得三○一二又
四之一弱为乙丙【乙丁丁丙之】则乙
丙与丁丙之比例为三○一三
又四之一弱与七八○次平分
丁乙丙角作辛乙线因前比例
论得乙辛与辛丙比例之数盖
丁乙并乙丙与丙丁若乙辛与
辛丙先定乙丙三○一三又四
之一乙丁二九一一弱并为五
九二四又四之一弱今丙丁为
七八○则乙辛与辛丙为五九二四又四之一弱与七八○欲省数改设辛丙二四○依三率法辛丙七八○乙辛为五九二四有竒今辛丙二四○即乙辛为一八二三弱两数自之并而开方得一八三八又十一之九弱为乙丙线【乙辛辛丙之】则二四○与一八三八又十一之九为丙辛乙辛之比例次平分辛乙丙角作乙壬壬丙两线辛乙乙丙两数并为三六六一又十一之九弱与辛丙二四○为乙壬与壬丙之比例又改设壬丙六六依三率法乙壬为一○○七弱两数自之并而开方得
一○○九弱则六六与一○○
九为壬丙与乙丙两线之比例
末平分壬乙丙角作乙庚庚丙
两线乙庚与庚丙若壬乙并乙
丙二○一六又六之一与丙壬
六六两数自之开方得二○一
七又四之一弱为乙丙【乙庚庚丙之】则庚丙与乙丙两线之比例为
六六与二○一七又四之一弱
论曰丙甲为全圏六之一丙丁十二之一丙辛二十四之一丙壬四十八之一丙庚九十六之一是丙庚为九十六边内切圏形之一边也以九六乗六六得六三三六为九六边内切形之周乙丙径为二○一七又四之一弱两数约之一得三又七一之十强形之周也一得一圏之径也夫圜周在多边形之外即大则谓三倍径又七十一之十不又盈乎
第三题
圜容积与径上方形之比例
解曰一为十一与十四而朒一为二
百二十三与二百八十四而盈先解
朒者乙戊辛圈甲丙戊方引长甲丙
边为甲丁其大于甲丙为三倍又七
之一则与周等为句甲乙边圈之半
径也为股成甲乙丁角形其积与圈
积畧等【不甚差故】又乙甲丙直角形因丙
甲与甲丁若七与二十二则甲乙丙
与甲乙丁两形之积亦若七与二十
二【六卷一题】甲乙丁与圏等则甲乙丙形与圈积亦若七与二十二夫甲乙丙为方形四之一四之得二十八即两形积之比例为二十八与二十二约之为十四与十一也次解盈者甲丙设七十一甲丁二百二十三与圏周等则甲乙丙与甲乙丁两形之积为七一与二二三四倍七一得二八四全方之积与甲乙丙形之比例为二二三与二八四
一题之系 半径全周成三边形与圏积等依句股法半径偕半周矩内方形与圏积等若全径偕全周矩内方形则四倍圏积几何【六卷二题】曰相似形之比例为两相似边再加之比例故边倍则实四之二题之一系 设圏径求周求容 凡设径求周用盈法七为一率二十二为二率所设径为三率得四率为所求周 用朒法为七十一与二二三若径与周古士论圏大小大都准此二论反之以周求径亦然
二系 圈之径与径若周与周子之径与径亦若母之周与周假如一圏之径为七周为二十二他圏大于元圏四倍其径二十八则其周八十八亦四倍大于元圏之周
三系 周线上方形与圏之积若八九二与七十一则盈若八八与七则朒周与他周若径与他径 周线上方与他周上方若径上方与他径上方【十二卷二题】径方与他径方若圏与圏则周方与他周方亦若圏与圏更之周之方与本圏之积若他周之方与其圏之积如设周一用一系之法则八九二一率也七十一二率也所设一三率也所得之径为二二三之七十一其容积为八九二之七十一周之方一全数也通之为八九二圏之积零数也为七十一是谓周方与圏为八九二与七十一而盈或二十二与七其径二十二之七其积为八八之七周之方一全数也通之为八八圏积为零数则周方与圏为八八与七也三题之系 设径求圏积则比例之母十四为一率子十一为二率径之方数为三率所得为圏之积而盈或三八三为一率二二三为二率径之方数为三率所得为圏之积而朒假如设径十用盈法得七八又七之四圏之容也用朒法得七八又二八三之二五七圏之容也反之设圈容求径则十一与十四若圜容与某数其方根为径
又设周求圏之容因一系之法八九二与七十一若周之方数与圏之容而盈或一八八与七若周之方数与圏之容而朒反之设圏求周则七与八八若圏容与某数其方根为周
径与周之比例古士之法如此今士别立一法其差甚微然子母之数积至二十一字为万亿亿难可施用○径一○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○
【大周】三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四七
【小周】三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四六
约之首取三字为一百之三百一十四则三倍又百之十四
再约得七之一又朒如前
论曰总之不论若干位但加一即赢减一即缩赢即外切线缩即内也皆非周也
古设周问积法曰周自之十二而一此犹是径一围三较之径七围二十二者尤疎也故不合
古设径问积法以径自乗三之四而一如设径一自之得一三之得三四而一则四之三为圏之积全数【即母数】为径上之方形则知径上之方与圏之积为四与三然前论为一四与一一而合今之四与三则所谓虚隅二五也如图甲乙设十自之为一百平分之为乙丙丁五十又平分之为丁戊乙丙三角杂形丁戊乙二角杂形各二十五二角杂形必小于三角杂形安得合乎
量撱圆法 撱圆形者斜截圆柱所成两面形也形有长短二径古士黙徳本论曰两径之中比例线为径作圏
与撱圆等则两
径为第一第三
率相乗所得方
数为第二率又同线上之正方与圏容为一四与一一今两率相乗者即中率正方之数【此比例法见几何六卷三十三题之第十增】故以两径相乗得数以一一乗之以一四除之得撱圆之积也
量圈之一分
第一图【名两半径形】
设半径及用全与全若分与分之比例 法曰以半径乗得积半之为本形积盖全周与全圈积若周之分与圈积之分如半径六十二相乗得七十
二半之三十六为本形积
第二图【名两内形】
设两两丙戊为径从心作甲乙甲丁线成甲乙丙甲丁戊各两半径形依前法各求积又甲乙丁直线形两腰
等有丁乙求其积三形积并为乙丙戊丁设形之积第三图
即第二图之半同理
第四图【名形】
有本圈径设求其积法先求半圈积次求两形之积两数相减余为设形之积如丙乙巳戊圈其径丙戊设乙丁求乙已丁之积置乙巳丁一一又七之六
圈径十二先求本全圈之周得三十七又七之五半之为十八又七之六内减设形之一一又七之六余七为丁戊乙丙两之数半之为三半丁戊也作丁甲乙甲两线因前法求丁戊乙丙两形之积得二十八又九之八又求半圈之积得五七又七之四内减两形之积二十八又九之八得二十七又六十三之四十二为设形之积若不知因丁甲乙形有丁甲乙甲两边有丁甲乙
角得丁乙边为设形之
若形大于半圈者以两之积加于半圈之积
若不知本圈之径则先求径其法丁乙半之作巳辛垂线量其度得数为法之半数自之为实而一得本圏之径【防何三卷五十五】如量己辛得一又九之五法也丁辛为四自之十六实也除之得十又九之二加己辛得十二全径也若辛己不可得量是属无法之形
第五图
设小半形如甲乙丙则以甲丙句甲
乙股各自之并而开方得乙丙成乙
丙小形有乙丙依前法求积次求
甲乙丙句股形之积并之即得【一图】若止设一直线为径之一分【甲丙也】而知
本圏之径法先求丁戊丙象限积次求
丁乙甲戊两形之积相减余为甲乙
丙形之积【二图】
若所设乙甲丙非直角而知本圏之径
法先求戊丁丙象限积次求甲乙辛句
股积盖形有甲辛两角甲乙边可得余
边即得其积末用前法求乙辛丙半
形之积内减甲乙辛句股积余为设形
之积【三图】
若乙甲丙为锐角乙辛股线在设形之内则以甲乙辛形之积加于半形积【四图】
或设本圏之径作戊乙线法以半径乗得数半之得戊乙丙形次求甲乙戊直线形之积则乙戊半径也乙甲设形之边也戊甲为丙甲与半径之较依法得积以减戊乙丙两半径形之积余为设形积【五图】
或依三角形法作乙丙线成甲乙丙三角形有甲乙甲丙两边有甲角以求乙丙余如前【六图】
若半形之边如甲乙甲丙大于半径即作乙戊线先求乙戊丙两半径形之积次求甲戊乙三边形之积并之如前若不知本圏之径则属无法形之法【七图】或依三角形法以甲乙甲丙两线及甲
角求乙丙边求积次求乙丙形之积如前法【八图】第六图【名两之形】
若知各之径者法与一形等
若设两亦设中长线则分元形为两
形 若不知本圏之径亦不知中长
线属无法之形
第七图
以分之成直线形者一成形
者三四以上各以前法量之
若为球体撱圆体圆角体之外面法见量体法中【第六卷】古法设长濶问积见长方又设长阔总数长濶较等问见句股义
量面用法
以木造矩锥平
者为盘直者为
干盘径五六寸
厚二寸面画两径辏心成直角刻成渠深五分广一分下作凿以受干也干径一寸以上长四五尺令平立者目切其盘之面干之末施鐡锸焉别具望竿数事略与干等器成先试之法于平地卓锥从一径之渠向左向右各距若干丈尺卓两竿与径为直线又从他径之渠向前向后各距若干丈尺卓两竿与径为直线次转器易径以望先立诸竿仍作直线则为如法之器第一题
直线内一防上求作垂线【防何一卷十一】
法曰设防上卓锥转器令一径合于设线次从他径卓数竿题言诸竿所作直线与元线为直角与盘上直角
等
第二题
直线外一防上求作垂线
法曰设防上卓一竿持器循设线上防移迁就令一径合于元线一径与望竿为直线次从防至锥下作线则元线之垂线也
凡设田形量其歩畆前法足矣然未知直线形之是否直角曲线形之是否中且高下之数非目营可得欲求其度立公法如下文总之以句股为本凡图中断线所作线也聨线元形线也边上有○卓锥之处也
三边田法从大边用器防移迁就向对
角立垂线分元形为两句股形【一图】
四边田先用器试各角是否直角直者用正方量之不
直依图
分句股
形令分
余者各
两对边为平行线用正方长方法量之【二三四图】
多边形田从大边如甲上作
甲乙垂线从大边两界如丙
如丁作丙戊丁己两垂线丁
己线上立乙辛垂线又立庚
寅己午两垂线丙戊线上立酉乙垂线是元形内有二方形七句股形量时依元设丈尺步数化大为小作图亦用元度作新立诸线各如数之并之得元形之积【五图】
若田形以曲线为边宜先
求直线形法取一线为径
径上宻宻卓锥作诸平行
线末各直角上加器成诸
长方形亦成诸三边形曲
线为边者大圏之也即依直线法量之所差甚微【六七图】
或田中为房舍林木等物所隔难作
中长线法于田外依一边作大方形
形边上向田之各角作线是元形之
外方形之内有若干句股形并诸句
股积以减方形积余为元形之积【八图】
增题 多无法形量法从田心如癸加象限邉向乙角窥丙角定乙癸丙角之度次向丁向戊向己向庚向
辛各定其癸角之度次以公量法量癸
乙癸丙等线元形内有三边形七每形
有一角两邉因法求余邉求毎形之积
并而得元形之积
中空田法先求大形之积次求空形
之积如方田一叚各边十丈中为圆
池径七丈则方形之积一百丈池之
积三十八丈半减余六十一丈半为
设形之积
求环田积用两圏之径或周以次求
大小圆积相减余为环田之积如设
环之外周为四十四内周为二十二
则大圆积一百五十四小圆积三十
八半减余一百一十五半环田之积也
变形法
其一设三角形求变为等底等积方形
凡设形求变者皆截元形之实补求形之虚也如上一图甲乙丙元形求变为丙丁戊方形其元形之大边为底法平分两腰作中线与底平行次以中线为底作对角垂线成甲乙两形从元底两端向中线各作垂线成戊丁两形则截甲实形移补交角之丁截乙实形移补交角之戊成
丁丙戊方形与元形等底等积
如二图小边为底亦平分两腰作平行中线次从上角从钝角各向中线作垂线成甲乙两句股形及丙斜角形次截甲实形移为交角之乙并丙乙实形移为交角之丁成丁戊方形如所求
如三图钝角上垂线截中线出元形之外甲戊丁己两线为等作己垂线成甲小形则截交角之乙实形移为甲并甲两实形移为交
角之丁并丁己成四边实形移为相似之戊【形并戊庚如所求】
如四图两腰甚长亦如前作中线于中线上截取庚丁壬己各形之边皆与底等而成各直角四边形又从两交截取癸形与夘等即甲与乙夘癸与夘各交角之两形各等先截取癸实形移补交角之虚夘次并夘乙作三边实形移补交角之虚甲次并甲丙作四边实形移补相似之虚壬次并壬丑作四边实形移补相似之虚丁次并丁戊作四边实形移补相似之虚己次并己寅作四边实形移补相似之虚庚次并庚辛即所求其二设一方形一线求变为他方形其边与设线等如上一图设丁戊方形求变他形其边与甲等法从乙丁边取乙丙与甲等从戊角作戊丙迤线【丙非角故不名对角】引长之与己丁之引长线遇于辛成丁辛丙三角虚形次于己戊边取
己庚与甲等次从庚作垂线成壬庚戊三角实形以此实形移补丁丙辛虚形又以戊丙迤线上形移置壬辛迤线上即成庚辛方形如所求如二图设形为斜角与上同法
若所设线甚小几倍之得为元形边则平分
元形为几形如前法变得各小形并之为一大形如所
求
如三图所设线大于元形边则引长己戊边为己庚与甲等作庚丁对角线成戊庚壬三
角虚形次取丁丙与壬庚等成丁辛丙实形移补壬戊庚虚形又乙壬丁实形之壬角移为庚角成庚辛角形即所求
其三设矩内形变为正方形
如图以设形之两边连为一直线求心作半圏次从两线之界防作垂线为两率之中比例线即用为设线依前法变设形为他形其边为设线
其四设多边形变为正方形
先以直线分元形为若干三边形
次依第一法变各三边形为矩内形
三任取一线为设线依上法变各矩形皆为等边形
四并各等边形成一大矩形
五依第三法求大矩形两边之中比例线成正方形
以上四法若反求之则亦反作之如一矩形求作三角形一正方形求作有比例之
矩内形是也
其五两正方形变为一正方【防何原本一卷四十七题备论其理此则用法】置两正方形以角相切令其边为直线角之外为直角即成甲句股虚形其聨两元形之各一角即以为底作正方形其积与两元形并积等其变法作丙戊庚己丁
矩形及乙寅线又截壬形与子形庚形
等次截取癸实形移补丙丁虚形次取
丙子实形移补甲虚形次取壬实形移
补庚虚形次取庚丑实形移补戊【己庚】虚
形次取戊实形移补辛虚形
成夘辰午未正方形
其六设矩形求变为他矩形
其边各有比例如设一形欲
作他形等积而两边之比例
若五与四法分大边为五小边为四作平行分线如甲乙形次依丙丁罄折线截讫移就成戊己形
第四题
截形法
借题云设多边形截为多三角形求作多线以当各形
之比例如图甲乙丙丁戊多边形从甲
角作甲戊甲丁甲丙各对角线分元形
为四三角形求其比例法曰从各角向
各对线为垂线如己向庚戊向辛丁向
壬又向子丙向癸乙向丑丁壬丙癸因对角线短故垂线在形之外盖三角形论底论高不论垂线内外因几何六卷第一题增同底之形其比例若其高之比例今甲戊己甲戊丁两形同用甲戊为底即己庚壬丁两垂
线为两形之比例又甲戊丁甲丁丙
两形同用甲丁为底即戊辛丙癸两
垂线为两形之比例甲丁丙甲乙丙
两形同用甲丙线为底即丁子乙丑
两垂线为两形之比例也今欲作四线之比例与此四形之比例等依几何原本六卷第十九题三直线为连比例则一线上形与二线上形若一线与三线今以一垂线当一形以第二第三率通为一比例而求末率【即第三线】则一形与二形若一线与三线也如上图壬丁之形与戊辛之形同底而壬丁为一率戊辛为二率己庚之形与某线之形同底而己庚为三率某线为四率则以戊辛之数通为己庚之数而求其线即壬丁与戊辛若己庚【元数】与某线而某线之数为己庚之次数又丁子与丙癸若乙丑【元数】与某线而某线之数为乙丑之次数今一设三角形从一角命截几分之几法于角之对边平分如命数从角作线截取一分为得数如甲乙丙形从甲命分四之三即四平分丙乙线为丁戊己次从甲作甲丁分元形为二其比例如丙丁与丁乙
又命分四之一而其截线求与命角之对边【如丙乙】平行法四平分甲乙腰四乗三【命分数内减得分以其余乗命分】得十二开方得三又百之四十八即得甲向乙取四分之三有半至
丁作丁戊线与乙丙平行截元形为二其积如三与一而丁丙为四之一甲乙戊为四之三
二设多边形从一角命截几分之几法依前借题分本
形为若干三边形又如前次第求各形
之比例线【因形求线】合之成一直线如图为
乙丙丁戊己若命分为四之一即四平
分之若第一分在乙丙线内则分甲乙
丙形之乙丙边如乙丙比例线其一分
所至为乙壬作甲壬线截甲乙壬形为元形四之一若欲截分在甲己之旁则分甲己戊形之己戊边如戊己比例线其一分所至为己辛作甲辛线截甲己辛形为
元形四之一若命分之界不在元形之
角如甲乙边内取庚防为界法从庚向
各角作线求各形之比例线如前
上二法俱从甲或庚为截分之总界其他形若能为对角线在形之内者任用各边各角皆可为截分之界若作对角线而切本形边或出形之外则不能为截界如图
甲戊丁乙四角己庚三角其截分或出形外甲庚甲乙戊己戊丁诸线各切本边但可从丙截之
三设方形命截几分之几法任分一边
如命分数取得数作平行线或正方或
斜方或矩形皆同理若以角为截界则
与上文多边形同法
四设梯田命截几分之几如四分
之一法上下两【边各四平分而取其一作直线聨之】
或用角为截界则与前多边形同法
若命截线与底平行则用三率法依设形成三角形得其腰求两形之比例得全三角之积若干小三角形之积若干以小减大得梯形积若干因算梯形之防分得全形之几分随用前第
一设截三角形之法得所求
假如大底为十上边为六斜边得四上下边之较四半之得二为第一率大底半数五为二率斜边四为三率算得全形之腰为十此全形有两腰有底求其积得四十三又三之一其小形有两腰各六有底六求其积得十五又五之三以减全积得二十七又三之二弱为元梯形之积今欲截取四之一以四而一得六又五之四弱以除全积得六有五之二弱为元形四之一亦为全形六分五之二分用平行截三角形之法六有竒为母五有竒【减一得子】为子相乗开方得五○○即从全形上角分全腰为六分有五之二弱内取五又五之四强作平行线分元形如所求【或取三十二而取二十九】
若近小底命作截线其理同上但母子数不同上得元形四之一分为六又六十之四十六畧约五之四今所求者四之三则三倍之得二十又三十之九以倍数与全数相乗得数开方得二十九半即从上角如法取作平行线分元形如所求【或分全腰为四十三又三之一从上角取二十九半作线】凡梯田在平行线内但底等即其积等
不论角大小
若两梯田截法先求各形之积次算此
形所截之分为彼形之防分其用法如
前
【有本法本论于法算诸书中详之此不及备着】
【新法算书】
【卷九十一】
此外别形尚多各
钦定四库全书
新法算书卷九十二 明 徐光启等 撰测量全义卷六
论体
厯家所重全在测量所当测者略有三事一曰线测其长短二曰面测其长短广狭三曰体测其长短广狭厚薄所以测体者何也即如交食一法日与月各有不同心本天各有最髙度最髙冲度其去人逺近也恒不等其自相去之逺近恒不等人目所见二曜之体大小恒不等若此者必于地体推之故有日与月与地三大之比例【别有本书】不用此比例何繇知交食之歳月日时地影【即闇虚】比于月体小大之数几何乎不因地月之比例何从推日轮之视体几何大去人几何逺乎则何繇知日食旣之有无金环乎何繇知月食过分之闇虚几何大乎何繇定食限之几何时刻乎不知地球之大何繇定东西相去几何里即交食前后相去几何时刻南北相去几何里即日食应有应无有则几何分秒乎则安得不讲于量体之法乎然则测线测面者何也曰体者诸面之积也未能测面安能测体面者又诸线之积也未能测线安能测面又测候七政行度皆以句股弧诸法诸法则皆线也诸线之积为面不知面理则亦不能晰线之体势故三测为并重也虽然测天皆曲线曲面也直线与平面何为乎曰曲线法从直线出也曲面法从平面出也犹圆体法从方体出也故繇线而面而体繇直线而曲线平面而曲面方体而圆体譬之跬步前步未行后步不可得进也是测量之全义也
体者面之积或实如金木土石等或空如盘池陶穹等俱同理同法
其界为面面居体之周【面截面生棱如线遇线生角也又棱为两面之共界】一面之体如球如卵
二面之体如半球半卵圆角圆堆
三面之体如剖球卵之一分
四面之体如三面角体而四面等
即三面角体第因各面俱等故属四面
五面之体如四面角体【因角体之面无定数故左方不列其名】六面之体如立方正立方斜立方
八面之体八面俱等
十二面之体十二面俱等
二十面之体二十面俱等【自四六八十二二十面之外不能为等面胥无法之体也】公量如斗如升皆足为体之量总之以立方为本如用尺寸分为度而一尺之体其长其广其袤各一尺八俱直棱八俱直角乘法一千实寸为一实尺一千实分为一实寸则以立方之体再自之耳此为物数均齐推算简易者也
几何原本一十一卷详解其理今略引一二如左有法之体二其上者各面俱等盖设一边即知其面其容也其次则对面为平行面或同类之体有公法如角体者是也球亦有法之体盖其径其周其外面其容之比例恒相等第以比例无尽分之数亦属次焉
第一体名立面体如正立方斜立方多边立体正立圆体扁圆体【因其上下为平行面亦属等面】公法以高乘底之积得其容【高深两名互用】其高之度则垂线也
几何原本十二卷七增题曰两平行面内之体或同高两体其比例为体与体若底与底但取同类相求以正高为据不论体势直与不直
又本卷三十二题曰同类之体与体【凡比体者皆以其容积相比】为
其边与边三加之比例 解曰三加之比例者四几何为同理之连比例则一与二为一加与三为再加与四为三加也【五卷十界】此云三加者谓体之一与二若其边之一与四也如二 四 八 十六为四几何同理之连比例其首二尾十六为三加之比例则小体之边二大体之边四其小体之容与大体之容若小边之二与大边之十六也
系凡同类数体测定一体之容即其容与他体之容为其边与边三加之比例设有立方体其边八其容五一二又设次体其边十二即八与十二再加之得十八三加之得二七【其超法为一身有半】则初体与次体若八与二十七或用三率法八与二十七若五一二与一七二六或以四率连比例之第二率再自之得数同
第二体名角体底广上锐如堆垜锥亭峰之类其法同也几何十二卷七题之系曰同底同高之角体与平行面体【即同高体】之比例若一与三法曰如方锥之底边设九则底积八十一设髙十八以乘底积得一四五八以三为法而一得四八六方锥之容也又如圆堆之底周设十二尺设高五尺则先求周之径得三又十一之九相乗得四五又十一之九以四为法而一得十一又十一之五底积也以高乗之得五七实尺又十一之三以三为法而一得十九又十一之一为圆堆之容【系凡委粟及垣等角体皆求立体之容三除之为角体之容】
若不知其正高但知其底及棱则先求其正高
法曰若棱为偶数如上图得四甲乙
丙丁为底之四边各八又半甲丙对
角线十二弱戊为角顶戊甲戊乙戊
丁戊丙为四棱各十而求次图之中
长线戊己【次图何物如上图戊甲丁丙乙为全体若从戊顶向
甲丙对角线平分之为二即所截之两面各成戊甲丙三角形甲丙底十】
【二弱戊甲戊丙各十以此三边求中长线戊已即角体之高】
法以半底甲已自之得三十六【句方】以减腰方一百【方】余六十四【股方】开方得甲已八为角体之正高余如前若棱为竒数如五底之各边为十二棱之度为二十则先求一面之中长线【各体有底有面有棱底之边随体无定数面则恒各为三边形形之底线即底之一边两腰即棱也】依句股法半底边得六【为句】自之得三十六【句方】棱度自之得四百【方】相减得三百六十四
【股方】开方得一十九又一十三之一【即股即面形之中长线】次求底形之中长线用正法以五【底之边数】为法三百六十【全圈之周】为实【几何论凡有法之形形外可作圈切形之各角形内可作圈切形之各边】而一得七十二度为一边之弧半弧之正【即底之半边】为五八七七九第一率也【内】半边之数六为二率【外】半弧之余八○九○二为三率【内】算得八又四之一不尽【外】为五边底形从心所出之中垂线又正【内】与半边【外】若全数【内】与半径【外】得一十又五之一强【形外圈之半径】两数并得一十八又二十之九强为五边形之中长线次以面形之中长线底形之中长线及一棱之度三线相遇成一三角形【平分全体所分之两面】有三边之数求中长线得一十六又半不尽为所求元体之正高
底之周六十半之得三十以中垂线乗之得五七二又十三之四为底积以正高乗之得九四三八三而一为元体之容得三一四六也
若棱之度长短不等则用最长之棱及其对面之中长线求体之正高
论曰角体为立面体三之一者何也如正立方体自上而下对角平分之为两堑堵毎一堑堵得正立方二之一又于堑堵之两方面自上而下对角平分之成大小二分大者为阳马得堑堵三之二小者为鼈臑得堑堵三之一则一正立方分之为堑堵得二阳马则三鼈臑则六角体者阳马也故得立面体三之一也【说见九章算】
又外切圈之半径为句棱数为用句股法求股即元体之正高【此法甚简易但须各棱俱等乃可非公法也】
截圆角体法有五从其轴平分直截之所截两平面为三角形一也横截之与底平行截面为平圆形二也斜截之与边平行截面为圭窦形【顶不锐近底之两腰稍平行】三也直
截之与轴平行截面为陶邱形【顶曲渐下渐直底两旁为锐角】四也无平行任斜截之截面为撱圆形五也内第一第二第五
【有本】论第三第四其面皆为一直线一曲
线两界之面所截体之一分皆为两平
面一曲面三界之体亚竒黙徳备论其
量法然非测量所必须又各截面皆有
底有轴【即中长线】有曲线若转轴环行即径
线为平底界曲线为曲面界生二界之
体其边名曰平曲之边平曲者从曲顶
而下渐趋平也若以此体为空体则皆造作燧鉴之法以其浅深为光心之逺近亦非测天所用未及详焉
第三名斗体古名方窖圆窖等其上下两面不等而相似盖角体之截分也引长其棱即相遇而成全角之体【凡置斗体大面居下本角体之截分角体欲自立底必在下也其置截分亦然】
法曰若知本角体之高即先求本
角体之容后求所阙截分之容相
减余为元体之容假如斗体之底
长方一边得八一边得九则其积
七十二以全高二十四乗之得一七二八以三为法而一得五七六全角体之容也次置斗体上面之一边四一边四又半其积十八【即阙分之底】以阙分之高十二乗之得二一六以三为法而一得七二阙分之容也以减全角体其较五○四斗体之容也
若不知全角体之高则截体分求之
法曰如甲乙丙丁斗体之大面也边
各二十四戊已庚辛小面也边各一
十八用垂线截斗体从戊已边向下
至午未底分元体为二从辛庚边向下至申酉底从庚已至戍亥从辛戊至子丑皆如之分元体为九一居中成立面体四边四体为堑堵【正二面一立一斜侧二面为句股】四隅四体为阳马【即角体亦名方锥】各以本法求其容并为斗体之容【堑堵以高乗底积二而一阳马以高乗底积三而一】
立面体上下两面等各边十八其积为三二四以高十五乗之得四八六○堑堵【一名句股体】其底长方辛子三【两面之较六折半得】
【三】辛庚为十八乗得五十四为底积以正高乗之得八
一二为法而一得四○五四倍之得一
六二○【四边四体故】阳马其底各三其积九
以正高乗之得一三五以三为法而一
得五四四倍之得一八○
若斗面为多边形而无法或其棱不等亦用次法从上
边向下截成众体如图甲皆为堑堵
乙皆为阳马其中间无法之形则以
形为底分之中作一立面体余为四
三边形各形有棱有高可知其容又
公法【上二法遇圆体而穷】设上下面之边与正高与两面之积法曰上下两面积各开方两根相乗得数并入两面积以正高乗之得数三而一为斗体之容如斗体各率同前下面各边二四其积为五七六上面之各边一八其积为三二四两根相乗得四三二与前两积并以高一五
乗之得一九九八○以三除之得六六六○斗体之容也
又便法【小差而不逺】并两面之边半之自乗得数以高乗之得斗之容如前数上面边一八下面边二四并得四二半之得二一自之得四四一以高一五乗之得六六一五比前少四五其差为一四七之一耳
凡有法之体五其面其棱皆等其大小相容相抱与球相似【几何十一十二十二十四卷极论此理今稍引用为比例之法】
一曰四面体各面为三边等形用坚楮依图裁而合之
成一全体有六棱四隅
设各边一百因前法求
其容为一一七四七二
半 此下五则皆名法体求容凡同类之体皆依此为例以显推隐故下文称例体例边
二曰六面体立方也各面各棱等有十二棱八隅其面
为正方形设各边一百
因前法求其容为十万
三曰八面等之体各面为三边等形有十二棱六隅各
边设一百因几何求其
容为四七一四二五有
竒
四曰十二面等之体各面为五边等形有三十棱二十
隅边设一百其容为七
六八六三八九
五曰二十面等之体各面为三边等形有三十棱十二
隅边设一百其
容为五二三八
○九
依几何之説得一体之容可推同类【同类者同若干面数也】万体之容盖同类两体之容之比例与两体边上立方之比例等
假如置四面两体大者边设一百小者边设五十两数各再自之得一百万与一二五○○○此两数为两体之容之比例而以大不等为一百万之一二五○○○约为八之一用三率法则命分数为一率得分数为三率前所立例体之容为二率得四率为所求他体之容
如前数欲知五十边上小体之容以例体大边上立方一百万为一率以所求小体边上立方为二率以大体之容为三率用法得一四六八四又四之一为小体之容【第三率大体之容于前法体求容五例内简其同类者即用之】
一率 一百万
二率 一二五○○
三率 一七七四七二半为前例所立大体之容四率得一四六八四又四之一为所求小体之容
又欲知十二面体之容各边二五法以同类之例体边再自之得一百万所设体之边亦再自之得一五六二五如前推之
一率 一百万
二率 一五六二五
三率 七六八六三八九为前例所立十二面体之容四率 得一二○○九九为所求十二面体之容
又设一体之容欲知其边若干因此容与他容若此边上立方与他边上立方其法以例体之容为一率设体之容为二率例体边上之立方数为三率得设体边上之立方为四率开方得根即所求边也如有一四六八四又四之一为今设四面等之容求其边若干查前例其同类之体边一百其容一一七四七二又半依三率法得立方根为五十即所求设体边数
一率 一一七四七二半【例容】
二率 一四六八四又四之一【设容】
三率 一百万【例边】
四率得一二五○○○为所求边上立方开得五十为所求设体之边
量圆球之容
圆球之全体见亚竒黙徳圆球圆柱书并见几何一十四卷兹借数题明之
第一题
球上大平圜之积为本球圜面积四之一【此亚竒黙徳之一卷三十一题也大平圜者从大圏过心剖球体为二所分两平面是也圜面积者全球大曲面之平积也】系 凡周乗径生球圆面之积亦生大平圜积之四倍大圜周线上方形与球圆面之比例若大圜之周线与其径 解曰如图甲乙丙丁球上之大平圜也甲丙其径【与球径等】己辛与圜之周线等上成己壬方形形之庚辛与甲丙径等而己壬方形外复成庚戊方形题言己庚
矩形为大平圜之四倍壬戊矩形与
庚己矩形等盖壬辛己辛同为矩方
形之一边戊辛辛庚亦同为矩方形
之一边则两矩方形必等夫己壬周
线上之方形也壬戊为大平圜之四倍而与球之圆面等则其比例如己辛与辛戊矣【五卷二周与径比例之数为二二三之七一或二十二之七】又大圜径上方形与球之圆面若圜之径与其周盖己庚矩方形与球之圆面等庚戊为径上之方形则两形之比例必若己辛周与辛戊径矣
二系 球径上方形与球之圆面为一与三又七一之十或一与三又七之一
第二题
径三之二乗大平圜之积生球容之数【亚竒黙徳之一卷三十二题】解曰设大平圜之周一【凡大测当以全数为母则易推故设周为一自之再自之恒为一】其大径为二二三之七一其半为四四六之七一以半周二之一乗之得八九二之七一此大平圜之盈积也又以六六九之一四二【此大径三分之二】乗之约之为二九八三七四之五○四一得球容之数
又大平圜之周再自之恒为一知大圜周上立方与球容之比例何者全数为母【即一几何谓之命分数】是周上之立方也子数【几何之得分数】为球容则球容与大圜周上立方之比例若五○四一与二九八三七四而盈用小径之数得四九与二九○四
又球径上立方与球容之比例若二十一与一十一而盈若四二六与二二三而朒法置球径一大平圜之大积为十四分径上方之十一以径三之二乗之得四十二之二十二约之得二十一之十一为球之容又球径上立方为一则其与球容之比例为二十一与十一而盈或用朒法则大平圜之小积得四二六与二二三亦径上立方与球容之比例也【右径上立方与球容之比例】因前论置球之径 一求球之圜面以二十二乗径数以七除之以所得之径乗之得圆面之积【用二十二与七而盈用二二三与七十一则朒】 一求球之容以二十二乗径以七除之得数以径三之二乘之得球之容【右以径求圜面积及球之容】又径上立方与球之容若二一与一一而盈若四二六与二二三则朒 置大圜之周大圜周上之立方与球容若二九八三七四与五○四一而盈若二九四与四九则朒 置径置球之圆面相乗六而一
置径【四之一乗圆面三之二三之一乘圆面二之一】 乗大圜之积三而二或径乗积三分之二 或径三分之二乗积俱得球之容
或半径乗大圜积三分之二所得为球容之半 或大圜半积乘径三分之二所得亦半
量球一分之曲面
凡截球面过心其一分为全球之若干量法与全球无
异【或半球或四之一或五之一俱同法】 若截球面不
过心为直面而曲面界为球上之圏
则借天球之界以明之
解曰甲丁己辛为子午圏甲比己南
丁辛为夏至之圏从夏至圏截之甲至丁作直线用此线为半径作甲丁别圏亚竒黙徳之一卷四十题曰甲丁别圏之积与丁甲辛球分之曲面等又从巳至丁作直线为他圏之半径其圏之积亦与丁己辛球分之曲面等若曲面非全球之若干
分则为无法之形
量球一分之容
取球之一分截面过心其曲面之界为圏亚竒黙德曰想圆角体其底之圏几何与所截凸面之一分等其高为球之半径此体之容与今所解之球分等
如甲丁己辛球丁甲辛庚为截分丁甲辛为凸面丁庚辛庚截面过心则先求丁甲半径倍之以二二乗之以七除之所得之
半以半径乗之为凸面之积次以甲庚半径乗之三而一为丁甲辛庚球分之容
若截为直面不过心如甲丁辛之一分而求其容则先求甲丁辛凸面之积以径乗之六而一为丁甲辛庚体之容次丁辛截面至心则想丁辛庚圆角体求其容以减丁甲辛庚体之容余为丁甲辛球分之容
量撱圆体之容
撱圆亦有法之体也又次于圆球其为体则长圆形之长径为轴旋转所生如一防直行生线一线横行生面一面上行生体平圆面以径为轴转轴环行是生圆球长圆面则有二径一长一短以长径为轴转轴环行是生撱圆之体以短径为轴转轴环行是生扁圆之体撱圆之体或名为卵体非也凡乌卵一端大一端小是为无法之体撱圆体则两端等亚竒黙徳之第一卷备解此体及分角体之理今略述之
凡截圆球生两圆面成两圏若平分之即过心过心之截分恒相等若撱圆体从小径横截之生两平圆面因小径过心故若从其长径直截之生两长圆面即元体之长圆也若横截与小径平行亦成平圆面若斜截之则其面皆不等皆成长圆形
凡圆角体其底之径为撱圆体之小径其高半长径则其体之容为撱圆体四之一
如甲乙为长径丙丁为小径
即丙戊丁甲半撱圆体倍大
于甲丙丁角体
解曰小径以二十二乗之七而一小径之周也得数以乗小径四而一小径之平圆面积也得数以乗半长径圆柱之容也三而一角体之容也得数四之撱圆半体
之容也
若截面与小径平行如庚己
壬求撱圆分体如庚甲壬之
容黙徳法曰先求庚壬甲角体之容次用三率法己乙【大分之轴线】与戊乙【半长径线】甲己【小分之轴线】并若角体甲庚壬之容与撱圆小分庚己壬甲之容
若求大分之容先求角体庚
壬乙之容次用三率法甲己
【小分之轴线】与甲乙【长径】戊乙【半长径】
并若角体庚壬乙之容与撱圆大分庚己壬乙之容
量无法之体
解曰以锡为正方椟各边一尺或五寸若用木则以三
和灰涂其罅令不漏实之以水投所
量物其中则水溢取出物量水减几
何得物之容如减一寸而椟边设一
尺则得一百寸为物之容盖各边一
尺上面积为一百寸水减一寸则为
一百寸若水减不及寸或过焉则量若干分以面积乘之得物之容