新法算书卷九十二

新法算书卷九十二

　　新法算书卷九十二

　　钦定四库全书

　　新法算书卷九十三　　明　徐光启等　撰测量全义卷七　　球面曲线形

　　圏内线相当之理

　　每弧毎角有八种线曰正曰正切线曰正割线曰正矢曰余曰余切线曰余割线曰余矢幷全数为九种诸线内各有相当之理皆依三边形等角比例法【防何六卷四题】

　　如上图丙丁为正弧甲丁为正

　　丙辛为正切线乙辛为正割线甲

　　丙为正矢戊丁为余己壬为余

　　切线乙壬为余割线戊己为余矢乙己乙丁乙丙皆全数也即辛丙乙壬己乙两形相似何者己丙两直角己乙辛丙为平行线辛乙直线割两平行即其相对两内角必等既丙辛乙壬乙己两角等即其对边相似

　　一全数为正余割线两率之中率

　　如丙丁弧之正为甲丁全数为

　　丁乙余割线为乙壬则甲丁与丁

　　乙若乙己与乙壬矣丁乙乙己皆

　　全数必等则甲丁与丁乙若丁乙与乙壬也

　　又全数为余正割线之中率如戊丁与丁乙若丁乙【与乙丙等故】与乙辛

　　一系凡四率全数为中率【或二或三】若第一率

　　为正即弃正而变余割线为中率全

　　数为第一省而一　若第一率为余则

　　变正割线为中率　若第一率为正割线则变余若第一率为余割线则变正　凡所变者皆以易全数而使为第一率

　　论曰凡有连比例之三率一率与二【如二与六】若二率与三【如六与十八】别有二数其比例若连理之一率与二【如八与二十四】即可代用或连理之一率与二【如二与六】若他数与别数【八与二十四】可也或连理之二率与三【六与十八】若他数与别数【八与二十四】亦可也为其比例等故也【皆三之一】今连理之一率为甲【正】二率为乙【全数】三率为丙【余割线】次有断理之第三率丁第四率戊即可代用谓一甲【正】与二乙【全数】若三丁与四戊可也谓二乙【全数】与三丙【余割线】若三丁与四戊亦可也是于连理之三率二比中弃前比而用后比初以全数为第二余割为三今以全数为一余割为二也如三十八度一十七分之正六一九五五与全数若三十度之正与某数常法二三率相乘以一率为法而一得第四今法用三十八度一十七分之余割线一六一四○七为二率以易全数而为第一以二三率相乘即得第四何者正全数余割线为连比例故也二系凡四率中无全数若第一率为正则变余割线为第一率若第一率为余则变正割线为第一率法用一二率相乘得数以全为法去后五位所存若干位与全数等而一又以乘第三率得数如前而一得四率【名为而一者再皆以全数为法止减末位不难也常法一乘一除此用两乗犹是防法】

　　假如一十八度四十○分之正三二○○六与二十五度三十七分之正四三二三一若六十三度三十二分之切线二○○八六二与某数其常法二三率相乘第一率而一今用防法取一十八度四十分之余割线三一二四三九乘第二率四三二三一得一三五○七○○○○○○为实以全数为法而一得一三五○七○又以第三率一二四三二二乘之得一六七九二二○○○○○以全为法而一得一六七九二二为四率

　　二三○七三五　六十四度十九分之正割线

　　又假设三率如一二二三四一

　　二三四三二

　　第一率变取六十四度十九分之余四三三四○以乗第二率得数减后五位以所存乘第三率得数又减

　　后五位所存即第四率

　　二全数为正余两切线之中率

　　如上圗辛丙与丙乙若乙己与己壬

　　何者丙乙乙己皆全数则辛丙丙乙【或乙己】己壬为三率连比例

　　系凡四率断比例全数为中率若第一为正切线变余切线为中率以易全为第一若第一为余切线变正切线为中率以易全为第一

　　三正与余若全数与余切线余与正若全数与正切线

　　如前圗甲丁与丁戊【即甲乙故】若乙己与己壬戊丁【即甲乙故】与甲丁若乙丙与丙辛

　　系四率断比例若一二率为正与余变为全数与余切线若为余与正变为全数与正切线

　　四凡两弧之正割线与其余为互相视之线两弧之余割线与其正为互相视之线

　　如上圗丙癸丙丁两弧丙癸弧之正

　　割线为乙寅丙丁弧之正割线为乙

　　辛丙癸弧之余为庚癸丙丁弧之

　　余为戊丁则乙寅与乙辛若戊丁

　　与癸庚

　　论曰全数在正弧【丙癸】为其正割线【乙寅】及其余【癸庚】之中率在他弧【丙丁】亦为其正割线【乙辛】及其余【丁戊】之中率两理之各前后矩内形各与全数上方形等【各为其中率故】即两矩内形自相等其边互相视【防何六卷十四】

　　五凡两弧之正切线与其余切线为互相视之线同上论卷中诸圏皆以曲线当圎球之大圏相交相截人目视球曲面或近或逺或上或下或左或右所见不同有时视曲线而为直线即同是曲线而形象不一葢平面图球不能尽球之理宜从论説中领其意义乃得耳

　　圆球原本内借论题　　古徳阿多西阿撰

　　一大圏皆与球同心　系大圏皆相等若从大圏分球过心必为两平分【一卷六】

　　二两大圏于球上相交各为两平分

　　三反之两圏于球上相分为两平分必两皆大圏【一卷十一十二如赤道黄道等】

　　四大圏过他圏之两极必相交为直角【一卷十五题如子午圏过赤道极则两圏交处皆为直角】

　　五大圏与本极距一象限九十度

　　六大圏交两大圏若作直角则元圏之极在两圏之交如赤道与极至交圏极分交圏为直角则两圏之交在赤道极

　　七大圏三百六十平分之小圏亦然但小圏去离大圏一分其小圏之各分必小于大圏之各分

　　八两大圏相交其交角必等或上或下两角幷必等两直角与直线相交同理

　　九球上大圏不能相偕为平行弧一心止一圏故也若同心而能为多圏则是距等小圏非大圏矣

　　分球上三角形之各类

　　球上圏相交成三角形若三皆大圏之弧此形为大测之本【若有小圏之一弧即未能定圏大小之数安能定其弧数明大测不用小圏之弧也】

　　球上角形或三边等其角必等边之度若四之一【九十度】则角为直角过四之一则钝角不及则鋭角【如正球之赤道地平子午圏皆相交为直角则各边俱九十度】

　　或二边等其对角亦等若边过象限为钝角不及为鋭角或各边不等各角亦不等

　　球上角形或三直角其边皆四之一或两为直角其两对边皆四之一此二类自明勿论所论者一为直角余或钝或鋭各有本法如左

　　一圗外大圏内两大圏分皆相交为直角则各圏之极在他两圏之交【用号作十者指直角作○者指钝角作丨者指鋭角边云多者谓过四之一云少者谓不及四之一】

　　二圗两直角形第三角或鋭或钝【己上二圗俱不论】

　　三圗甲乙丙形甲为直角余皆鋭其边少甲丙戊形甲直角丙钝戊鋭钝角之对边大即甲已戊弧鋭角之对边小即甲丙弧或一直角两钝角如乙丙丁形乙丙两钝角其对边过四之一即乙壬丁弧

　　凡两角或鋭或钝若同其间所容弧不及四之一直线三角形与球上曲线三角形异理

　　一直线形之三角幷与两直角等曲线形之三角幷其数不定但不能及四直角【四直角者三百六十度也】

　　二直线形得两角即得其三曲线形否

　　三直线直角形有两边以句股开方法求其三曲线形否四直线形有三角不能求三边若干但得其比例耳曲形设三角可推三边若干

　　五直线形各边能当全数曲线之各边否

　　六两直线形等角即两形之边有比例曲线等角形之边必等

　　七直线形但有一易法以垂线分元形是也曲形有六易法

　　八直线形不过二种一直角二或钝或鋭角其边虽有长短不变其曲形边有大小其法不同

　　球上斜三角形因各角各边不等分为九种【或恒用或否俱见下文】第一三角皆鋭其边皆小于四之一【如第一图甲形】

　　第二三角皆钝其一边适足四之一其二边大于四之一【后凡四之一皆言足小于四之一者皆言少大于四之一者皆言多如第二圗乙形】

　　第三三角皆钝其两边多一边少【如三图丙形】第四三角皆钝其三边皆多【如四图丁形】第五一角钝两鋭其三边皆少【如三圗戊形】第六一角钝两鋭其两鋭间之一边多钝角之两旁少【如四图己形】

　　第七一角钝两鋭一鋭角之对边少余皆

　　多【如三图庚形】

　　第八一角钝两鋭钝角之对边足余皆少【如二图壬形】第九一角钝两鋭其边皆不等一多一少一足【如二图辛形】

　　球上三角形相易其法有五

　　第一甲乙丙直角形甲为直角于乙甲乙丙各引长之满象限为乙丁乙戊又甲丙边引长之作甲丙己象限次聨丁戊引至己亦作象限【乙丁乙戊俱象限则丁戊己弧心为乙又丙甲乙为直角乙丁戊亦直角则甲己丁己遇于己而己为乙丁弧之心】得丙戊己直角形若甲乙丙形设甲乙乙丙两边若干

　　即有甲丁丙戊两余弧次丙戊己形有戊直角有丙戊边即有己角【其弧甲丁】

　　若元形有直角之对边及直角旁一边即次形有直角旁一边及其对角【一图】若元形有二角即次形有一角一边【二图】

　　若元形有一角及直角之对边即次形有直角旁两边

　　【三图】

　　第二甲乙丙直角形于甲乙引长作乙丁象限弧乙丙引至戊甲丙引至己皆满象限次作丁戊己象弧得丙戊己形次丙戊引至庚丙己至辛戊己至癸皆象弧次作

　　庚辛癸弧成辛己癸形此形与元形甲乙丙相当何者元形有乙丙两角即次形有两边【有乙角之弧戊丁即有其余弧戊己有戊己弧卽有己癸边与乙角之数等有丙角即辛庚丙形之丙角弧为庚辛其余弧为辛癸】

　　元形之乙丙易为癸角【乙丙边余为丙戊丙戊之余为戊庚是癸角之度】元形之甲乙边易为辛己癸角【甲乙弧之余为甲丁其对角为丁己甲或辛己癸皆甲乙之余弧角】

　　元形之丙甲边易为辛己边【甲丙弧之余为己丙己丙弧之余为辛己则辛己与甲丙等】

　　第三斜角形【两腰等角或鋭或钝】两腰引长至半周必相遇成他形与元形相当如图甲乙甲丙两腰引至丁成丁乙丙他形从乙丙作乙丙己成全圏引乙甲至己丙甲至戊又成甲戊己他形此两他形者皆与元形相当何者有甲乙边自有其半周内之余乙丁亦有其半

　　周内之余甲已即乙丙与戊己等【丙乙戊乙戊己皆半周故】又丁角与甲角等【凡两大圏相交为两角必等如黄赤二道相交于春秋分是也】丁乙丙为甲乙丙之余角乙丙丁为甲丙乙之余角甲戊己为乙丙甲之余角甲己戊为丙乙甲之余角则元形变易而生两形各相似相当　问本用曰元形边大【多于象限】角钝易为次形边小角鋭三角形六问中所用也【六问详见后篇】第四甲乙丙三不等形从乙甲弧作甲辰戊全圏次甲

　　角为心作丁壬辰大圏分乙角为

　　心作戊癸寅大圏分丙角为心作

　　己丑夘大圏分三圏分必相交成

　　癸寅丑形此形与元形相当而元

　　形之边易为角角易为边何者甲

　　壬弧满一象限丙午同之减同用之丙壬即午壬与丙

　　甲等壬午弧限壬丑午角之度其

　　余角为癸丑寅又甲丁乙戊皆象

　　弧减同用之乙丁即甲乙与丁戊

　　等丁戊为寅癸丑交角之度又乙

　　辛丙子皆象弧减同用之丙辛即

　　辛子与乙丙等辛子弧即辛寅子角之度则元形甲乙边易为次形之癸角甲丙边易为癸丑寅余角乙丙边易为寅角元形之三边易为次形之三角【边易为角】又元形乙角之余易为癸寅边甲角易为癸丑边丙角易为寅丑边【角易为边】

　　第五凡斜角形设一角二边法从他角作垂弧至其对弧为直角如一图【若不能则引长其对弧令受垂弧如二图】若设二角一边法从他边之对角作垂弧如图乙丁丙形有丙角丙乙丙丁两边即作乙甲垂弧分为两直角形其甲丙乙形有一角一边可求其余甲丁乙直角形先得甲乙甲丁两边可求其余

　　凡底边两旁角为同类垂弧在形内若异类垂弧在形

　　外

　　凡曲线三角形如得实球即指画易明直角形直角之对边名底斜角形大角之

　　对边名底

　　凡言直角其边小于象限则用之大于象限则依前法变为小而用之

　　球上直角形各边角正等线之比例

　　第一题

　　直角形人数数【即直角之本数】与某角之正若底弧之正与某角对边之正

　　欲明此论宜以浑体解之今权设浑象以坚厚楮作一圆形中心折作直角半平者其弧如赤道之半周也半立者其弧如极分交圏之半周也又作一半周形合于全形之直角两径相切共为半圏面三一平一立一中居中者其弧如黄道之半周也中圏面上下防移任作若干度角如黄赤道之相距又作九十度之两弧上合下分一置三半周之中如极至交圏为定弧一以下端防移平弧上恒与平弧为直角上割中弧而遇定弧于极防之上谓之防弧防弧之上容中平二弧之距度而此一定一防两弧者皆如过极之经圏也恒偕平弧为三弧两边等直角形

　　今于平面作图拟彼圆象用意推测聊足可明其诸名义亦借浑天以便识别也如上图乙丁寅圏为赤道乙丙癸为黄道乙寅为春秋分癸为夏至午辰为南北极午癸丁辰为极至交圏午丙甲为过极经圏以限黄道

　　之经度容赤黄二道之距度

　　平置乙丁寅赤道圏从黄癸

　　下垂线为极至圏上癸丁相

　　距弧之正从赤丁上立垂

　　线遇夘癸半径之引长线于

　　戊得戊丁与癸己平行为癸

　　丁弧之切线夘戊其割线也己夘则癸丁弧之余也又从黄道若干度之防如丙作两线一丙辛垂线为过极经圏上丙甲斜弧之正辛壬【乙寅径之垂线】其余一丙壬为寅乙极线之垂线即丙乙黄弧之正次从赤道过极两圏之交甲立甲子直线又于寅乙【黄赤交之对截线】上作甲丑垂线次于乙丙癸圏黄平面上从丑作丑子为乙寅之垂线过甲子于子子甲者过极圏上丙甲弧之切线也而甲丑为甲乙赤弧之正丑夘其余则图中有直线直角形四一癸己夘二戊丁夘三丙辛壬四子甲丑因夘壬丑三角等故三形俱相似

　　题言癸夘【全数】与癸己【癸乙丁角之正】若丙壬【丙乙底弧之正】与丙辛【丙甲为乙角之对边丙辛其正】

　　如上图甲乙丙形【凡称甲者恒为直角】全数【一率】与乙角之正【二率】若丙乙边之正【三率】与丙甲边之正【四率】此比例用防何五卷之六理

　　云更之则一与三若二与四又反之二与一若四与三又反而更之三与一若四与二

　　系若以大圏割本形作戊丁直角弧则丁戊与甲丙若乙戊与乙丙【俱用正】

　　第二题

　　全数与某边【如甲丙】之余【即丙戊弧之正】若他边【甲乙】之余【即戊角之正】与底【直角之对弧如丙乙】之余【即丁丙弧之正】

　　若直角形内有一钝角或二钝角其理同本题

　　第三题

　　直角形全数与某角【丙】之正【即丁丙戊角之正】若设角【丙】旁边【甲丙】之余【即戊丙底之正】与其边对角【乙】之余【即丁戊边之正】此题之丁丙戊形与一题之甲乙丙皆有底有一角其

　　理同也

　　一系依相当第四法及此第一题显全数与乙角【乙丙角互用】之正若角对边【甲丙】之余

　　割线与底弧【乙丙】之余割线【三四率各有正可用其余割线当之】二系依相当第四法及第一题显全数与底【乙丙】之正若某边【甲丙】之余割线与对角【乙】之余割线【三四率有正互易为余割线】

　　三系依相当第一法及此第一题显全数与某角【乙】之余割线若对边【甲丙】之正与

　　底【乙丙】之正【第一题之比例为角之正与全若角对边之正与底之正相当法则以正当余割线也】

　　四系依相当第一法及此第一题显全数与底【乙丙】之余割线若边【甲丙】之正与对角【乙】之正【一题内底之正与全若边之正与角之正今易底之正为余割而居第二以全为第一】

　　五系依相当法第四及第二题显全数与某边【甲丙】之余若底【乙丙】之割线与他边之割线【二题云全与边之余若他边之余与底之余此云底之割线与边之割线葢以割线当余而为三四率也】

　　六系依相当第一法及第二题显全与某边【甲乙】之割线若底【乙丙】之余与他边【甲丙】之余【第二题之四率反用之为二与一若四与三则第一率为余第二率为全数也今依相当一法易之为全与割线】

　　七系依第四相当法及三题显全数与角【乙】之正若他角【丙】之割线与他角对边【甲乙】之割线【三题言全与角之正若设角旁边之余与他角之余今用相当第四法反四率为三三率为四易余为割线葢两弧之余与其正割线为互相视之线】

　　八系依三题第四相当法显全与边【甲丙】之余若边对角【乙】之割线与他角【丙】之余割线【三题三四率边旁角之正与他角之余今互变边对角之割线与他角之余割线】

　　九系依相当第一法及第三题之四率前后易之显全数与角之余割线若他角之余与其对边之余十系三题之四率前后相易用第一相当法显全与边之割线若边对角之余与他角之正

　　十一系因一系反理及相当一法显全与角之割线若底之余割线与角对边之余割线

　　十二系因上五系反用其率及相当一法显全与边【甲丙】之割线若他边之割线与底之割线

　　十三系因九系反用其率及相当一法显全与角之余

　　割线若边之割线与其对角之割线

　　第四题

　　曲线直角形其全数与角【乙】之切线若角旁边【甲乙】之正与角对边【甲丙】之切线【如前圗】

　　解用一题平面全图之甲乙丙

　　形甲为直角戊丁为甲乙丙角

　　之切线甲丑为甲乙边之正

　　子甲为丙甲边之切线可见夘

　　丁与乙角之切线丁戊若乙角旁边甲乙之正甲丑与乙角对边甲丙之切线甲子【三角形皆相似故见一题】

　　系用相易第一法则全与边【甲乙】之余切线【或丁甲弧之正切线或戊己丙角之正切线】若边旁角乙之余【即戊己弧之正】与底之余切线【即丙戊之正切线】　按本题第二率为乙角之切线系易为丁戊之余弧或己戊边三率为角旁边【甲乙】之正系易为边【戊己】旁角【己】

　　或丁甲弧之余【即甲乙正】四率为角对边【甲丙】之切线系易为底之余切线或甲丙弧之正切线

　　二系全与底之余【或甲丙边之正】若角【丙】之切线【两形为交角】与他角【已】之余切线【即甲乙边之正切线】

　　三系依相当五法余切线能当正切线【二三率可互易】为全数与边之正若他边之余切线与其对角之余切线四系若一二三四率反用为二与一若四与三即变第一率切线为余切线则为全数与角之余切线若角对边之切线与他边之正

　　向下诸系皆用相当法及反理省文不解

　　五全数与边之余切线若他边之切线与其对角之切线

　　六全与角之余若底之切线与角旁边之切线七全与边之切线若底之余切线与角旁边之余八全与角之割线若底之余切线与角旁边之余切线九全与底之割线若角之余割线与他角之切线十全与角之余切线若他角之余切线与底之正十一全与边之余割线若边旁角之余切线与他边之余切线

　　十二全与边之余切线若边对角之切线与他边之余割线

　　十三全与角之割线若角旁边之切线与底之切线十四全与底之切线若边之余切线与边旁角之割线十五全与角之切线若他角之切线与底之割线因上四题即每一设形有十二算法　今设甲乙丙一形有乙丙底【三十度】及甲丙边【十一度三十一分】求乙角一为乙丙边之正【五○○○○】与全【十万分】若甲丙之正【一九九六五】与乙角之正【三九九一】

　　【三】查得二十三度三十一分三十○抄

　　二为全【十万】与丙乙之正【五○○○○】若甲丙之余割线【五○○八六九】与乙角之余割线【二二○六一七】

　　三为甲丙之余割线【五○○八六九】与全【十万】若丙乙之余割线【二○○○○○】与乙角之正【三九九一三】

　　四为全【十万】与甲丙之正【一九九六五】若乙丙之余割线【二○○○○○】与乙角之正【三九九一三】

　　五为乙丙之余割线【二○○○○○】与全【十万】若甲丙之余割线【五○○八六九】与乙角之余割线【三二○六一七】

　　六为甲丙之正【一九九六五】与全【十万】若乙丙之正【五○○○】与乙角之余割线【二二○六一七】

　　七为乙丙之余【八六六○三】与乙丙之余切线【一七三二○五】若甲丙之正【一九九六五】与乙角

　　之正【三九九一三】

　　八为乙丙之余切线【一七三二○五】与乙丙之余【八六六○三】若甲丙之余割线【五○○八六九】与乙角之余割线【二二○六一七】九为乙丙之正【五○○○○】与甲丙之切线【二○三七六】若甲丙之余【九七九八七】与乙角之正【三九九一三】

　　十为甲丙之切线【二○三七六】与乙丙之正【五○○○○】若甲丙之正割线【一○二○五五】与乙角之余割线【二二○六一七】十一为甲丙之割线【一○二○五五】与乙丙之余割线【二○○○○○】若甲丙之切线【二○三七六】与乙角之正【三九九一三】十二为甲丙之正【一九九六五】与乙丙之切线【五七七三五】若乙丙之余【八六六○三】与乙角之余割线【二五○六一七】以上十二法俱可得乙角因除法为繁故约用乘法如下方

　　球上直角形相求约法

　　球上直角三边形有三角三边此六者有三可推其余交互为三十求各以乘法得之

　　第一设乙丙两角【凡甲皆直角乙丙或鋭或钝】一求甲乙边为全数与乙角之正若丙角之割线与甲乙边之割线或全与乙角之余割线若丙角之

　　余与甲乙边之余　丙角定数

　　解曰同类者或皆过九十度或皆不及若丙角过九十度则所求之边亦过九十若丙角不及九十度所求之弧亦不及下仿此

　　二求甲丙【甲丙甲乙两边互用乙丙两角亦互用】为全数与丙角之正若乙角之割线与甲丙边之割线　或全与丙角之余割线若乙角之余与甲丙边之余　乙角定类三求丙乙【对直角之底】为全与乙角之切线若丙角之切线与乙丙边之割线　或全与

　　乙角之余切线若丙角之余切线与乙丙边之余或乙或丙两角定类

　　凡定类有二号者若二号为同类所得为不足九十度若两号为异类所得为过九十度

　　第二设乙角及乙甲边　四求丙角为全与乙角之余割线若乙甲边之割线与丙角之割线　或全与乙甲边之余若乙角之正与丙角之余【直线直角形设一得二取其较也此与异者曲直两线为异类故也】　甲乙弧定类

　　五求甲丙边为全与甲乙之正若乙角之切线与甲丙边之切线　或全与乙甲边之余割线若乙角之余切线与甲丙边之余切线

　　乙角定类

　　六求乙丙边为全数与乙角之割线若甲乙边之切线与乙丙边之切线　或全数与乙角之余若甲乙边之余切线与乙丙边之余切线　乙角或甲乙边定类第三设乙角及甲丙边　七求丙角为全数与甲丙边之割线若乙角之余弦与丙角之正或全数与甲丙边之余若乙角之割线

　　与丙角之余割线　乙角或甲乙边定类

　　八求甲乙为全数与甲丙边之切线若乙角之余切线与甲乙边之正　或全数与甲丙边之余切线若乙角之切线与甲乙边之余割线　乙角或甲丙边定类九求丙乙为全数与乙角之余割线若丙甲边之正与丙乙边之正　或全数与乙角之正若丙甲边之余割线与丙乙边之余割线　乙角定类

　　第四设乙角及乙丙边　十求丙角为全数与乙丙之割线若乙角之余切线与丙角之切线　或全数与乙丙边之余若乙角之切线与丙角之余切线　乙角及乙丙定类

　　十一求甲乙为全数与乙角之余若丙乙边之切线与甲乙边之切线　或全数与乙角之割线若乙丙边之余切线与甲乙边之余切线　乙角及乙丙定类十二求甲丙为全数与丙乙边之正若乙角之正与甲丙边之正　或全数与丙乙边之余割线若乙角之余割线与甲丙边之余割线　乙角定类第五设丙角及甲乙边　十三求乙角为全数与甲乙边之割线若丙角之余与乙角之正　或全数与甲乙边之余若丙角之割线与乙角之余割线　丙角定类

　　十四求甲丙边为全数与甲乙边之切线若丙角之余切线与甲丙边之正　或全数与甲乙边之余切线若丙角之切线与甲丙边之余割线　甲乙边定类十五求乙丙为全数与丙角之余割线若甲乙之正与乙丙边之正　或全数与丙角之正若甲乙边之余割线与乙丙边之余割线　丙角定类

　　第六设丙角及甲丙边　十六求乙角为全数与丙角之余割线若甲丙边之割线与乙角之割线　或全数与甲丙边之余若丙角之正与乙角之余　甲

　　丙边定类

　　十七求甲乙边为全数与甲丙边之正

　　若丙角之切线与甲乙边之切线　或全数与甲丙边之余割线若丙角之余切线与甲乙边之余切线　丙角定类

　　十八求乙丙边为全数与丙角之割线若甲丙边之切线与乙丙边之切线　或全数与丙角之余若甲丙边之余切线与乙丙边之余切线　丙角及甲丙边定类

　　第七设丙角及丙乙边　十九求乙角为全数与丙乙边之割线若丙角之余切线与乙角之切线　或全数与丙乙边之余若丙角之切线与乙角之余切线　丙角及丙乙边定类

　　二十求甲乙边为全数与丙乙边之正若丙角之正与甲乙边之正　或全数与乙丙边之余割线若丙角之余割线与甲乙边之余割线　丙角定类二十一求甲丙边为全数与丙角之余若丙乙边之切线与甲丙边之切线　或全数与丙角之割线若丙乙边之余切线与甲丙边之余切线　丙角及丙乙边定类

　　第八设甲乙甲丙两边　二十二求乙角为全数与甲乙边之余割线若甲丙边之切线与乙角之切线　或全数与甲乙边之正若甲

　　丙边之余切线与乙角之余切线　甲丙边定类二十三求丙角为全数与甲丙边之余割线若甲乙边之切线与丙角之切线　或全数与甲丙边之正若甲乙边之余切线与丙角之余切线　甲乙边定类二十四求乙丙边为全数与甲乙边之割线若甲丙边之割线与乙丙边之割线　或全数与甲乙之余若甲丙之余与乙丙之余　甲乙甲丙定类第九设甲乙乙丙两边　二十五求乙角为全数与丙乙边之切线若甲乙边之余切线与乙角之割线　或全数与乙丙边之余切线若

　　甲乙边之切线与乙角之余　甲乙及乙丙定类二十六求丙角为全数与乙丙边之余割线若甲乙边之正与丙角之正　或全数与丙乙边之正若甲乙边之余割线与丙角之余割线　乙角定类二十七求甲丙边为全数与甲乙边之余若乙丙边之割线与甲丙边之割线　或全数与甲乙之割线若乙丙之余与甲丙之余　甲乙及乙丙定类第十设甲丙乙丙两边　二十八求乙角为全数与丙乙边之余割线若甲丙边之正与乙角之正　或全数与乙丙边之正若甲丙边之余割线与乙角之余割线　甲丙边定类

　　二十九求丙角为全数与乙丙边之切线若甲丙边之余切线与丙角之割线　或全数与乙丙边之余切线若甲丙边之切线与丙角之

　　余　甲丙及丙乙定类

　　三十求甲乙边为全数与甲丙边之余若乙丙边之割线与甲乙边之割线　或全数与甲丙边之割线若丙乙边之余与甲乙边之余　甲丙及丙乙定类

　　球上斜角形各边角正等线之比例

　　第一题

　　各角之正与其对边之正皆为同比例

　　若形是直角则借彼第一题为全数【甲】与某角【乙】之正若底弧【乙丙】之正与某角

　　【乙】对边【甲丙】之正则用更理为甲角全数与其对边乙丙若乙角与甲丙或若丙角与甲乙用反理亦然【凡不言某线者皆正也下仿此】

　　若斜角形借相易第五法如丙丁乙形从乙从丁从丙作乙甲丁戊丙壬各垂弧至其对边为直角因前论甲乙丙角与甲丙边甲乙丁角

　　与甲丁边为同比例合之丙乙丁角之正与丙丁边之正若乙丁丙角之正与乙丙边之正【若戊为直角则戊丁丙角与戊丙边若戊乙丁角与戊乙边合之乙丁丙角与丙乙边若某角与某边或用壬直角其理不异】若甲直角在形外其理亦同　如乙丙甲乙甲丁两角对乙甲乙丁两边乙丁甲乙甲丙两角对甲乙乙丙两边各减共用之甲直角即丙

　　对甲乙乙丁两边丁对甲乙乙丙两边又各减共用之甲乙则丁角之正与乙丙边之正若丙角之正与乙丁边之正乙角与丁丙边同理

　　第二题

　　四率断比例若第一率为全数则全数上方与二三率之矩内形若第一率与第四率

　　解曰甲乙全数线上方【数与线两类相当互解】丙丁丙戊为二三率之矩内方己方形之容与丁戊矩方等又甲乙丁丙丙戊壬四线为断比例题言甲乙上方与丁戊矩方若甲

　　乙线【一率】与壬线【四率】

　　论曰因防何【六卷十】甲乙壬两率矩内形与丁戊两中率矩内形等或与已方形等即甲乙己壬三线为连比例第一率上方与第二率上方若第一率与三率等【六卷十七】则全数【甲乙】上方与二三率之矩内方【丁丙丙戊矩丙形或已形】若甲乙线【一率】与壬线【四率】

　　系若二三率为切线或割线或正即相乘以全数除之得第四率

　　第三题

　　球上斜角形全数上方形与两腰之正矩内形若两腰间角之矢与两矢之较两矢者其一为底弧【即角对边】之之矢其一为两腰较弧之矢

　　圗説乙丙丁斜角形于乙丙乙丁引长之各满半周遇于戊其极线为戊己乙己为心戊丙乙己为平面上半

　　圈戊丁乙为斜面半

　　圈两半圈各平分于

　　辛于寅作己辛己寅

　　已丙皆半径又作寅

　　辛弧即乙角之弧也其正为寅庚其矢为庚辛又取乙壬弧与乙丁腰等作丁壬小圏之弧次从丁作丁甲从壬作壬甲各为戊乙之垂线则小圏之半径亦为乙丁腰之正【即丁戊弧之正】次从丁作丁酉即丁壬小圏弧之正其矢为酉壬又取丙癸弧与底弧丁丙等又从乙从壬从癸向丙己半径作乙辰壬夘癸午各垂线末从酉向壬夘作酉子垂线

　　解曰乙辰为乙丙小腰之正其矢辰丙寅庚为乙角【亦寅辛弧】之正其矢庚辛午夘为两腰较弧【壬丙】之正其

　　矢夘丙癸午为底【丁丙亦丙

　　癸】之正其矢午丙午

　　夘【酉子同】为两腰较弧【壬丙】之矢【夘丙】与底弧【丁丙或丙癸】

　　之矢【午丙】之较矢丁甲【壬甲同】为乙丁大腰之正题合全数【乙己丙己之类】上方形与乙辰偕壬甲两正矩内形若辛庚【乙角之矢】与两矢之较午夘

　　论曰丁甲酉寅己庚两形相似【酉与庚皆直角甲己两角之腰平行又同在两靣内即等】则寅己全数【辛己同】与庚己若乙丁弧之正丁甲【壬甲同】与酉甲或辛己【寅己同】与庚己若壬甲【丁甲同】与酉甲依防何【五卷十九】之论辛己与辛庚若壬甲与壬酉【全与全两所截取之分比例等则两截取之余分必等】或辛己【全数】与壬甲【乙丁大腰之正】若辛庚【乙角之矢亦寅辛弧之矢】与壬酉【丁壬弧之矢】

　　又乙己辰壬子酉两直角形相似【壬夘乙辰两线平行即壬甲乙三角幷为一形之角而甲壬夘为辰乙己角之余又辰己乙角为乙角之余则与夘壬甲角必等】则乙己【全数】与乙辰【乙丙小腰之正】若壬酉【丁壬弧之矢】与子酉【两矢之较也午夘同】同乘理之法两理【前两比例】之第一率【一辛巳一乙己】相乘得全数上方形两理之第二率【一乙丁大腰之正壬甲一乙丙小腰之正乙辰】相乘得两弧之正矩内形依合理【防何五卷】为若乙角之矢辛庚【一理之第三率】与两矢之较子酉【二理之第四率】

　　系斜角形全数与所得之第四率【第四率者如上题全数为一率两腰之正为二三率用三率法乗除所得则第四率也】若两腰间角之矢与某矢【某矢者两矢之较两矢者一为底弧之矢一为两腰较弧之矢】

　　二系斜角形全数上方形与两角之两正矩内形【或全数与第四率】若两角内边之矢与某矢【某矢者两矢之较两矢者一为边对角之矢一为两角较角之矢】

　　解用第四相易法设角易为边即两弧之

　　正矩内形与两角之正矩内形必等或两腰内角之矢与两角内边之矢必等

　　第四题

　　全数上方形为两腰【或两角】两正矩内形及两腰两余割线矩内形之中率

　　解曰乙【正】与丙【全数】若丙与丁【余割线】如有两正两全数两余割线各以类相乗其形依合理为比例等反之或用余矩内形

　　及正割线矩内形亦同

　　系若两正两余割线各以类相乘【或用余及正割线】以全数除之所得两数亦全数为中率

　　假如乙丙丁形【乙丁边五十四度五十分丁丙边五十八度】求其正其余割线相乘以全数除之从尾截去若干位所存如全数之位则【五十四度五十分之正八一七四八五】

　　【十八度之正八四八○五】相乘得六九三二六三九一四○【五十四度五十分之余割线一二二三二七五十八度之余割线一一七九一八】相乘得一四四二四五五五一八六全数为两数之中率试之一全数上方积为实所得第一率为法除之或用减九数法亦可二系两弧之正余割线互乘所得两数亦全数上方形为中率【或用余正割线理同】

　　如前系一弧之正全数与其余割线作三率连比例为第一理一弧之余割线全数与其正作三率连比例为第二理用合理以两理之第一率相乘得数二三亦如之所得三数之比例与前同理则一弧之正他弧之余割线矩内形全数上方形一弧之余割线他弧之正矩内形为三率连比例形【如前法试之】若三率形皆以全数除之比例如前则一弧之正他弧之余割线相乘以全除之所得为一率全数为二率一弧之余割线他弧之正相乘以全除之所得为三率

　　三系两弧之正切线矩内形两弧之两余切线矩内形亦全数上方形为中率【如图戊正切与己全若丙全与丁余切用合理如前】若三率形皆以全数除之所得三数之比例如前系

　　四系若一弧之正切线乘他弧之余切线或一弧之余切线乘他弧之正切线亦全数上方形为中率若三率形皆以全数除之比例亦然

　　五系一弧之正切线他弧之正矩内形又一弧之余切线他弧之余割线矩内形亦全数上方形为中率【如上系戊正切全数丁余切为连比例反之则丁与丙丙与戊用合理如前】若三率形以全数除之比例亦然

　　六系一弧之余切线他弧之正矩内形一弧之正切线他弧之余割线矩内形亦全数上方为中率七系一弧之正切线他弧之余矩内形一弧之余切线他弧之正割线矩内形亦全数上方为中率八系一弧之余切线他弧之余矩内形一弧之正切线他弧之正割线矩内形亦全数上方为中率若各三率形各以全数除之比例皆同

　　第五题

　　无直角形从一角向其对边为垂弧分元形为二直角形各直角对边之余若底弧【受垂弧者为底】两分之余解乙丙丁形从丙作丙甲垂弧甲为直角则丙丁弧之余与丙乙弧之余若丁甲之余与甲乙弧之余又两边之割

　　线若两分之割线

　　论曰依前直角形第二题为全【一】与某边之余【二】若他边之余【三】与底之余今用更理二率与一若四率与三以论甲丙丁形则甲丁边之余【一】与全【二】若丙丁【直角形之底即直角之对边】之余【三】与丙甲之余【四】以论甲丙乙形则甲乙【一】与全【二】若丙乙【三】与甲丙【四】此二理平之则甲丁与甲乙【两理之两一率】若丙丁与丙乙【两理之第三率】各弧之余成

　　割线其理皆同【为丙丁边之割线与全若甲丁边之割线与甲丙边之余又丙乙割线与全若甲乙割线与甲丙边之余今用两理平之则一丙丁与一丙乙若三甲丁与三甲乙各弧之割线】第六题

　　垂弧旁两角之正若他两角之余

　　解甲丙丁甲丙乙两角之正若丁乙两角之余又丙上两分角之余割线若丁乙两角之正割线

　　解依直角第三题甲丙丁角之正【一】与全【二】若丁角之余【三】与丙甲边【四】又曰全【一】与甲丙乙角之正【二】若丙甲边之余与乙角之余今以第二理更之为二与一若四与三又以二理平之一与一若三与三则甲丙丁角【一】与甲丙乙角【一】若丁角【三】与乙角【三】又用三题十三系可算割线之比例

　　第七题

　　垂弧旁两弧之余切线若垂弧旁两角之余

　　解丙甲垂弧遇丙丁丙乙两边于丙即丁丙甲角之余切线与甲丙乙角之余切线若丙丁边之余与丙乙边之余

　　用直角第四题依前论试之

　　又两弧之正切线若两角之正割线　亦用四题之系及十三系试之

　　第八题

　　垂弧旁两弧之余割线若垂弧相对两角之正又两弧之正若两角之余割线

　　解丙甲垂弧旁两弧为丙丁丙乙又丙甲垂弧之对角为丁为乙　用直角三题试之

　　第九题

　　垂弧分底为二两分之正若垂弧相对两角之切线又两分之余割线若两角之正切线又两分之正割线若两对边之正切线又两分之余切线若两对角之余切线

　　右各题之理皆从直角形之理出前解已明今不赘

　　斜角形相求约法

　　凡所设为异类【或边与角或角与边】用第五易分两直角形法见前凡形之弧或角过九十度用三四易得相似形其弧不及一象限

　　设三边若二边等即用垂弧分为两直角等形各形有元形之一边有元底之半求其角

　　解丙乙丙丁两弧等丙甲垂弧分乙丁底及乙丙丁角各两平分依圆球原本第一卷二十一题知两形必等

　　若三边各不等求某角有三法

　　其一以本角旁两腰之正相乘以全除之得数名初得数又以两腰之正矢相乘以全除之得数名次得数以次得数与角对边之或相加或相减【解见下文】得数以全乘之以初得数除之得某角之余

　　解凡角之对边大以象限而角之两腰同类【同类者或皆大于象限或皆小】则两数相加【所求之角为钝】角若异类则两数相减其次得数为实【大而受减者为实】则角鋭次得数为法【小而以减者为法】则角钝　凡角之

　　对边小于象限而两腰同类则两数相减其次得数为实即角钝次得数为法即角鋭若异类则两数相加角为鋭角

　　其二角两腰之【余割】线相乗以全除之得初数又两腰之【余】相乗以全除之得次数以次数与角对边之【余】或加或减如前法以所得数乗第一得数以全除之【得角之余】三法用前斜角三题全圗解为全数与一腰之正若他腰之正与初得数又初得数与两矢之较【两矢者两腰较弧之矢及底弧之矢此名次得数】若全数与角之矢

　　球上三角形比类法见宗动天诸问向上诸篇皆先言其理【诸问见本篇八卷】

　　上法之外尚多别法或用实球从球面界画诸圏测之或用平立环浑仪测之或用平浑仪测之或用比例规或用宗动天之象限或用规于平面画圗以缀术算之或先算成各度分之数而列为立成表俱有本书本论本防法然方之前法则踈而不宻故近来厯家舍置不用也

　　古法用数以推步七政必湏句股开平立三乘方等术至繁而易紊用力多而见功少今悉置不用独用乘除简矣此卷中幷除法不用而独用乘法更简也又有加减术幷乘除俱不用然其理必繇乘除而出故先用本卷之法此法既明用之既熟然后用加减取径防焉三角形有三边求角三法假如丙丁边十九度三十分丙戊边十五度五十八分戊丁边十二度九分求戊角　第一法两腰【戊丙戊丁】正【丙戊为二七五○八戊丁】

　　【为二一○四七】相乘以全除之初得五七八九又余相乘以全除之【丙戊为九六一四二丙丁为九七七六○】次得九三九八八丙丁边余为九四二六四比次得数为大【因两腰同类其三为小】即戊角为鋭其较为二七六加五○以初得数除之得四七六七为角之余查表得八十七度十六分　二法两腰余割线【丙戊三六三五三三丙丁四七五一二三】相乗以全除之初得一七一七二二九其余如上法次得九三九八八与第三边余相减得较以较乗初得数以全除之得如前此法更便可免除法　三法两腰正如上两矢较如前解求两腰之较度得三度四十八分其矢为二二一又对边之矢为五七三六两数相减得五五一五为实

　　【得角之矢为九五二三一其度如上新法算书卷九】

　　【十】

　　【三】

　　加五○以初数除之

　　钦定四库全书

　　新法算书卷九十四　　　明　徐光启等　撰测量全义卷八　解正球上大圏相交之度分

　　正球之大圏有三种一为赤道二为斜截赤道之圏【如黄道等】三为直截赤道之圏【直截赤道者截赤道为直角其极如正球之地平圏各处午圏时圏等】三者相交相距是生多种三角形

　　如己甲庚为赤道丁丙寅为黄道相交于丙为斜角戊为己庚赤道圏之一极【极者球面上大圏之心凡分球宜用球体之心体之心不可得而以大圏之心当之故不名心】

　　【名极亦即轴之两端也】从戊极作戊甲乙辛圏辛为赤道之又一极戊甲辛弧截赤道于甲为直角亦截黄道于乙成甲乙丙直角曲线形也此形之乙至丙为黄道之经度丙至甲为赤道之经度乙

　　甲为乙防距赤道之度【即赤道之纬度】丙为赤黄二道之交角乙为过两极圏与黄道之交角甲为过极圏与赤道之交角【即直角】一形有三角三边凡六种先有三可求其余

　　一题凡有两道极相距之度分【交角之度分同】及一道之经度分求其余

　　如丙角为二十三度三十一分三十○秒丙乙为黄道经三十度【如大梁等一宫】求其纬度

　　乙甲【过极圏之一弧】此为直角形有丙角及直角之对边丙乙求其余三

　　一求黄道若干度之赤道纬度【即乙甲边】法【见本篇七卷直角形防法第七设】为全数与丙角之正【三九九一六】若乙丙弧之正【五○○○○】与乙甲弧之正【一九九五七】查得一十一度三十○分四十秒即黄道经三十度之赤道纬度

　　二求正球同升之度甲丙【若甲乙边为正球之地平弧即丙甲丙乙两弧必同出入名正球同升之弧也又若甲乙为子午圏即丙甲丙乙为同过子午圏之两防名虽不同其理无二详见左方】法为全数与丙角之余【九一】

　　【六九○○】若乙丙之正切线【五七七三五】与甲丙边之正切线【五二九三○】查得二十七度五十三分四十三秒

　　三求乙角【即黄道与子午等过极圏之交角】法为全数与乙丙之割线若丙角之余切线与乙角之切线【若知黄白二道交角之度及太隂之本行经度可知其去离南北之度而定食限之度见月离厯及】

　　【本表】

　　用上三法可作两道各度分相距之纬度表又可作每度之同直升表又可作每度与过极圏之交角表三者其用甚大为推歩日食根本又因第一求可定月及五星距黄道之度

　　附同升解

　　黄赤二道交于春秋二分必相截爲两平分若别大圏截两道其交角从本圏之体势直斜不一

　　其一大圏过两道之两极必与两道相交为直角则从两道之交至大圏之交其两道之必等此大圏为极至交圏也因过赤黄两道之极与两道为直角则从春分迄夏至两道之必等为九十度也

　　其二大圏独过一道之两极【如过北极则赤道极也】此大圏与所过极之本圏必相交为直角若与所不过之道则否从春分至过极圏之交所截黄赤两道之必不等【盖两道与过极圏交而作角必有钝有锐为异类故也】而此两道之两【从春分起数】名正球同升或同降之度【正球内升降之度必等盖地平为过极之一圏也欹球则否】亦名同过子午圏之度【盖子午圏亦过赤道之极】

　　如过极圏截黄道大梁初度【去离春分三十经度】截赤道二十八度弱或正球黄道大梁初度与赤道二十八度弱同升同降或同过子午圏反之亦谓正球赤道二十八度弱与黄道三十度同升同降同过子午圏其理皆同若春分迄夏至于黄道第一象限顺数之秋分遡夏至则否用所得赤道升度以减象限所存数又加一象限九十度得黄道某防之正升度

　　如鹑尾初度距秋分三十度从秋分算得赤道同升之度二十八以减夏秋九十度得六十二以加春夏一象限得一百五十二为鹑尾初从春分起与赤道同升之度

　　若秋分迄冬至用所得赤道升度与春秋二象限一百八十度并得黄道从春分至某防之正升度

　　如大火初距秋分三十度从秋分算得升度二十八以加春秋一百八十度得二百○八度爲大火初从春分起与赤道同升之度

　　若从春分遡冬至则用所得赤道升度以减象限得数与春分迄春分三象限二百七十度并得黄道从春分至某防之正升度

　　如娵訾初距春分三十度从春分算得升度二十八以减春夏九十度得六十二以加春分迄春分二百七十二度得三百三十二度为娵訾初从春分起与赤道同升之度

　　其三大圏不过两道之极如欹球地平大圏截黄赤二道皆爲斜角因赤道髙下作角必不等其三角形之腰亦不等则从春分计某地两道同升之两数名欹球同升之度

　　如顺天府赤道约高五十度设大梁初度从地平上升因本法推赤道上之同升度一十八【从春分起数】则大梁初度及赤道一十八度爲某欹球同升之两防

　　若欲定其斜入则倒球取之用彼球之卯当此球之酉用彼球之升爲此球之降则某防为彼球之斜同升即此球之斜同入

　　如顺天府北极出地约四十度有夏至同升之度欲求其同降则用南极出地五十度之彼球以彼球之冬至为此球之夏至则彼球冬至之同升度即此方夏至之同降度

　　巳上言正球有正升度欹球有斜升度此两数相减之较名两升之差

　　如大梁初度之正同升二十八度顺天府大梁初度之斜同升一十八度其较十度即顺天府大梁初度之升差

　　已上所説用浑球解之则易明

　　二题有黄道经纬度求两道交角之度

　　如上有直角之对边乙丙及其旁边甲乙而求丙角求乙角求赤道之甲丙俱用

　　本书七卷十设因设数难定不须详别

　　三题设两道交角之度及黄道某防之纬度而求其防之黄道经度

　　如丙为交角丁甲其对边之纬求丙甲赤道之【见七卷三设】爲全与丙角之余切线

　　若甲丁之切线与甲丙边之正【此即赤道经度凡经纬二数恒相连】求丙丁黄道之为全与丙角之余割线若甲丁边之正与丙丁边之正【丙丁为黄道经即两圏上之两防丁甲恒相对同升于地平同过于子午等圏】求丁交角为全与甲丁边之割线若丙角之正与丁角之正【三角形各形有十设】

　　【各设三求今约取其必用者解之】

　　四题有丙交角【丙恒为交角】及甲丙赤道之求丁角【黄道与过极圏之交角】求丁丙【黄道同升之】求甲丁【黄道上某防之纬度法见七卷第二设】

　　解欹球上大圏相交之度分

　　正球上大圏有三种欹球则有四种地平圏一也天顶圏二也地平左右之次舍侣圏三也日出入之时圏四也与正球之三而七矣七圏者相交相距其理甚繁其用甚大

　　一题有赤道与地平交角之度【子午圏过天顶亦过赤道极则交角之度与极出地平上之余度必等】又有黄道某防之纬若某防或升或降在地平求黄道与地平交角之度

　　如图癸丙甲为地平壬寅戊为赤道丁

　　丙庚为黄道己为二道之交丙爲黄道

　　地平之交从赤道极乙防过丙至赤道

　　上寅防作乙丙寅即丙寅定黄道

　　丙防之纬度丙乙其余也即甲丙乙直角形之丙角为过极圏与地平之交角又丁丙乙爲黄道与过极圏之交角两角并得丁丙甲角　用前正球一题第三求得乙丙丁角【彼云乙角】次甲丙乙形甲乙爲极出地之髙若干度乙丙爲寅丙纬之余度用第九设第二求得之【此问日食算中所必用故详解之仍须作立成表】

　　如有大梁初度【即黄道经三十度为乙丙边】又有两道之交角【丙角二十三度三十一分半】而求过极圏【甲乙】与

　　黄道之交角【乙】法爲全数与乙丙之割线【一一五四三○】若丙角之余切线【二二九七○○】与乙角之切线【二六五一四二】查得六十九度二十分有竒

　　次求甲丙乙角【即前本图上形】爲全数与乙丙边之余割线【大梁初度之纬十一度三十一分其数五○○八六九】若甲乙边之正【如顺天府北极出地三十九度五十分其正六四○五六】与乙角

　　之正【五四三六七】查得三十二度五十六分

　　先得六十九度二十分有竒次得三十二度五十六分并得一百○二度一十六分有竒即本图甲丙丁角之度

　　若巳交角【即黄赤交】与丙【即黄道地平之交】同防即黄道极必在子午圏内或巳爲春交在东则以黄赤距度减赤道高即黄道地平交角之度或巳爲秋交亦在东即以距度加赤道髙或巳为春交在西亦加爲秋交在西亦减【用浑球明之】

　　二题有黄道某防之纬度及北极出地之度求本防出入地平之濶度【濶度者地平之经度各防出入于卯正酉正其濶度或南或北惟春秋二分出入于正卯正酉若在黄道北六宫出入皆在正卯酉之北若在黄道南六宫出入皆在正卯酉之南】如图丁庚戊爲子午圏丁丙戊为地平庚乙己为赤道交地平于乙辛丙壬为赤道南距等圏交地平于丙从天顶子【地平圏之极】

　　作子甲乙为地平第一经圏乙防即正卯酉此圏分则出入南北之中界也次从赤道极癸作癸丙过极经圏而成甲乙丙直角形形之甲丙边为某防距等圏之纬度甲乙丙角【庚戊也】为赤道出地之度【北极出地之余】甲为直角【从赤道极癸出线而截赤道于甲故也】乙丙爲黄道某防之濶度求法用三设之第三求为全数与乙角之余割线若甲丙边之

　　正与丙乙边之正

　　假如顺天府赤道高五十度五分乙角也

　　其余割线【一三○二二三】甲丙边冬至之纬度也为二十三度三十一分半其正【三九九○二】算得乙丙边之正【五一九六一】查得三十一度一十九分　因乙防为正卯酉癸爲北极则丙在正卯酉之南若夏至理亦同此但丙在正卯酉之北甲乙丙形在地平下而乙角【丁己也】爲赤道入地之度如上图

　　三题有北极出地度及黄道之某防求昼夜长短【即各欹球黄赤道同升之防】

　　解曰凡测时以赤道为主何者日十二时九十六刻终古常然不以冬夏为永短赤道亦半出地上半入地下卯正至午正午正至酉正恒各满一象限不与黄道偕盈缩二相配合则赤道过一宫而爲一时过三度四分度之三而爲一刻故赤道为各种日晷之宗法测时候之公本原也其在欹球独春秋分日赤道一象限恒在午圏地平圏之内两道过子午圏及出入地平常是同防则从午至酉赤道过子午圏而西者为九十度得二十四刻也过此以徃日躔积渐南北昼夜亦积渐永短赤道在午正左

　　右之第九十度亦积渐出地上或入地下则定昼夜分者当求赤道与日躔过极圈交防之度其法从北极过日体作过极圏之一为癸丙甲或癸甲丙定甲赤道之防其赤黄两道之两防庚辛同过子午等圏转浑令辛防到地平如丙即庚防必至甲若太阳在北六宫庚防必过地平如癸丙甲在南六宫庚防必不到地平如癸甲丙此或过或不及之差名两升之差【一是正球过子午圏一是欹球过子午圏】亦谓之昼夜长短之根今欲测辛防从午至入地平之刻分必先定庚甲【庚甲大圏之度与辛丙小圏之度同在癸甲癸庚两过极圏内必等若得庚甲自得辛丙辛丙小圏无法必用庚甲测之】而庚乙必九十度须知甲乙然后或加或减可得甲庚即半昼分倍之得昼夜以加减四十八刻得半夜分

　　如上图甲乙丙形有乙角为赤道与地平之交角有甲丙为某防之距度求甲乙则

　　全数与甲丙边之切线若乙角之余切线与甲乙边之正

　　如甲丙爲冬至之距纬二十三度有竒其切线四三五三○乙角赤道之高五十度有竒其余切线八三四一五算得三六五一一为甲乙边之正查得二十一度二十五分以减九十度得六十八度三十五分算时刻得一十八刻四分【每刻十五分】二十抄【每分六十秒】为顺天府之冬至半昼分倍之得三十六刻○　八分四十○秒为昼长以减九十六刻得五十九刻○六分二十○秒爲夜长　因上法可作诸方半昼分立成表【见别卷】

　　四题有赤道之高及太阳出入之濶度可得黄道本防之纬度亦自有其经度

　　即用上图有乙角爲赤道之高丙乙爲大阳出入之濶求黄道之纬度甲丙亦求欹

　　球同升之差甲乙【见七卷第四设】

　　若有赤道之高及丙角亦可求其余【见七卷第一设】

　　若置半昼分及赤道之高可得黄道本防之纬度及太阳出入之濶度【若半昼分为时刻则以本法易为度分以加减九十度所得数为甲乙边】

　　五题有黄道某防及北极出地之度求欹球同升之度如上图求得黄道某防之正升甲及两升之差甲乙以此两数或相加【在北六宫内】或相减得某地面黄赤两道同升【从春分起算】之两

　　如顺天府析木初度正升为二百三十七度四十八分○七秒其斜升之差为一十八度两数相加得二百五十五度四十八分○七秒则黄道爲二百四十度【从春分起算】赤道弧为二百二十五度四十八分○七秒为本地面两弧同斜升之度

　　若求其同降之度则用黄道上对防求其斜升加一百八十度　如析木之对为实沈求实沈之斜升得三十九度四十九分加一百八十得二百一十九度四十九分即析木偕赤道同降之度

　　升降三类【正球同升一斜球同升二正斜升之差三】其用甚大如定昼夜长短及太阳与某星相距之度及夜以星定时刻之属皆所必须故须详讲之熟习之【另卷有本表及其用免算】

　　六题有极出地之度及赤道之升度【从所近交起算】求黄道同升之经度

　　如图己癸为地平午丙辛为赤道戊丁庚为黄道交地平于乙两道之交成丁丙乙斜角形丁为两道之交角丁丙边为赤道上升度【从所近交起算】丁丙乙为赤道高丁丙癸之余角求黄

　　道弧丁乙其法从丙角作丙甲垂弧分元形为二其甲丙丁形有丁角有丁丙边用直角第四设求丁丙甲角丙甲边丁甲边次于丁丙乙角内减丁丙甲角余甲丙乙角即甲丙乙

　　形有丙角及丙甲边用直角第二设求甲乙以并丁甲得丁乙弧

　　上法为是丁乙黄道在北六宫若在南六宫即丁乙丙

　　斜角形有丁丙边有丁丙两角

　　从乙角作乙甲垂弧分元形为

　　二先于甲乙丁形求甲乙甲丁

　　次甲乙丙形有丙角甲乙边求甲丙以并甲丁得丁丙边

　　七题有极出地之度分多于两道相距之余度分求此地周歳中太阳恒见恒隐之日数

　　解曰正球之赤道及其距等圏皆与地平为直角故昼夜恒等其在欹球极高六十六度半弱【两道距二十三度半强之余度】以下者太阳日日有出入周嵗中日日有昼夜依上第三题求其昼夜分若极高六十六度半弱以上即周嵗中太阳有时恒见不隐每日周遭地平之上有时恒隐不见每日周遭地平之下以法求得其见之日数然此所得者实隠见也又因清蒙之气入恒迟出恒早此为视隠见説见厯指一卷

　　其法以赤道之髙【极出地之余度】当太阳之纬度因纬度求其经度【从春分或秋分起数】取经度之余度【即太阳去离夏至或冬至】倍之约一度为一日得本地太阳恒见恒隠之日数

　　如上图癸己为地平午辛为赤道乙丙为夏至壬庚为冬至乙庚为黄道子丑为两极若太阳在夏至乙从乙转丙丙复转乙

　　不割癸己地平即常见若太阳至丁己距圏从丁转己已复转丁虽切地平于已而不割亦常见假如极出地七十六度赤道髙十四度即以当太阳之十四纬度求经得三十七度二十分其经余五十二度四十分倍之得一百○五度二十分约一度为一日得一百○五十有竒太阳日日周行地平之上并为一昼若太阳躔南六宫则日日周行地平之下并为一夜第因清防之气即视见恒在真见之前视隐恒在真隐之后各有日数因本地之气厚薄以为多寡

　　八题有黄道交子午圏之防及极之髙求黄道之九十度限

　　从地平以上数至黄道之九十度名为黄平象限此推算日食所必需也黄道大圏半恒在地平上半恒在下而黄道极多不在子午圏中故上半周任交于子午圏其九十度限亦多不在子午圏也若极在东则从地平西右数至子午圏黄道之度恒过九十从地平东左数至子午圏黄道之度恒不及九十若极在西则反是故春分前后六宫从冬至迄夏至交于子午则黄平限在东秋分前后六宫从夏至迄冬至交于子午则黄平限在西今所求者此九十度限之一防去离天顶若干度分也其用法详日食本论

　　法有黄道交午圏之防求九十度限即先求正球上在午防之同升赤道防加赤道从午至地平九十度得总数定仪求本地欹球上之黄道同升防于黄道在午至地平数内减九十度得黄道去离地平之九十度限也如大梁初度在午其正同升为赤道二十八度强加九十度得一百一十八度次求本地欹球【顺天府极出地四十度弱】上之黄道同升得鹑火出地平一十一度弱于黄道从午至地平数内减九十度得大梁十一度弱为黄道九十度限在东

　　又如黄道枵初度在午其正同升为赤道三百○二度强加九十得三百九十二【凡度数满全周用其余此三百九十二减三百六十即总数为三十二】次求本地欹球上之斜同升得大梁出地平一十二度于黄道从午至地平数内减九十度得枵一十二度为黄平象限亦在东

　　系有在午之防及九十度限其较为午防至九十度限之黄道一如上第二设九十度限为枵一十二度午上之防为枵初度则其相距为一十二度反之有黄道之出地度求在午之防及九十度限法曰有地平上黄道防求其本地欹球上之赤道同升防减九十度得数求正同升之黄道上度为在午之防又于本防去离地平数内减九十度得黄平象限如大梁初度在地平本欹球之斜同升为一十八度减九十【凡实数小法数大借全周三百六十并而减之】得二百八十八度求其正同升之黄道上度得枵一十七度强为九十度限距午之度

　　又黄道大梁初度在地平于地平距午数内减九十度得枵初度为九十度限

　　九题有黄道交子午圏之防及极之髙求九十度限而不用同升度

　　如图丁丙戊爲子午圏乙甲丁为黄道乙防为某宫某度分丙为天顶甲为九十度限从丙过甲作丙甲己地平经圏成甲乙

　　丙形甲为直角乙爲黄道交于子午圏之角【见正球説有本表】丙乙为黄道某防距天顶之度【若某防系南六宫求其纬以减赤道髙若系北六宫求其纬以加赤道髙各得丙乙】而求甲乙边法为全与乙角之余若丙乙之切线与甲乙之切线【另卷有表又见交食厯】

　　假如乙防是大梁初度则乙角为六十九度二十一分【法见正球四题】其余爲三五二六六其纬一十一度三十分以加赤道髙得六十一度四十分其余为二十八度一十分丙乙也其

　　切线为五三五四五算得一十度四十八分为甲乙弧【上题用同升表一十一度弱今亦用表数云一十度四十八分因上题弃去零数故也】

　　十题有黄道交于子午圏之防及极之髙而求九十度限距天顶之度

　　如前图求丙甲弧法为全与丙乙之正【四七四六○】若乙角之正【九三五七五】与甲丙边之正【四三四一九】算得二十五度四十四分为甲丙弧　因甲庚庚己各九十度则甲己爲庚角之弧其角为黄道截地平之角即上第五题图之丁乙丙角

　　十一题有在地平防之濶度及在午防之距天顶度而求黄平象限距天顶度

　　如前图从天顶丙作地平经初度丙壬黄道截地平于庚成庚甲己形甲己为两直角【丙己经圏过地平之极故己为直角甲分地平上黄道为两平分即过地平之极亦过黄道之极故甲为直角】则相对之两腰必等庚甲九十度庚己亦九十度而壬戊亦自为九十若减同用之壬己即所余庚壬与己戊等己戊弧定甲丙乙角之度故甲丙乙形有丙乙及丙角【或己戊或壬庚濶升度】可得甲丙法为全与濶

　　升度之余若丙乙边之切线与丙甲边之切线

　　十二题有午上之防求在地平防之阔升度

　　即庚壬或己戊或甲丙乙角法为全与丙乙边之余割线若甲乙边之正与丙角之正【或庚壬濶之正】

　　十三题有午正前后时刻之度分【时刻之度分者以时刻易为度分也每四刻为一十五度一刻为三度四十五分刻之一　分为度之四分之一刻之一秒为度之四秒】及太阳之经度求在午之度因求黄平象限度

　　法如时在午前即以太阳经度求其正同升之度减时刻之度得赤道数以求黄道正同升之度即在午之度如太阳躔大梁初度于己正初刻求在午之度即查大梁三十度之正同升为赤道二十八度减去三十度【己正初刻之度】余三百五十八【实少于法借全周】查其正同升之黄道度得娵訾二十八为在午之防次于赤道数加九十得八十八【满全周去之】求本地欹球同升之度得鹑首一十七【零数省文去之】为黄道本球本时出地平之度减去九十度得降娄一十七为黄道九十度限

　　若时在午后则用加法如未正初刻则于二十八度【大梁之正同升】加三十【时度】得赤道五十八查其正同升得实沈初度为在午之防次于赤道五十八加九十得一百四十八度求本欹球之同升得鹑尾五度半为黄道本时本球之出地度减去九十度得实沈五度半为黄道九十度限

　　十四题有太阳躔度及时刻度求太阳地平上之髙度其法有四或太阳在赤道上【春秋分第一圏】或时度过九十【二图】或在北六宫【三图】或在南六宫【四图】

　　第一图己戊丁壬为子午圏戊丙庚为赤道太阳在乙从天顶丁作丁乙甲弧过太阳至地平为直角成甲乙丙直角形此形

　　有乙内边【戊乙时度之余】有丙角【赤道之高度】求甲乙为全与乙丙边之正【己正初至午正既三十度乙丙必六十度其正八六六○三】若丙角之正【顺天府赤道髙五十度则丙角五十度其正七六六○四】与乙甲边之正【六六三四一】算得四十一度四十七分为太阳本时之髙第二图时度过九十即从北极辛作辛乙午交地平于癸成癸午丙三角形午为直角有午丙为时度过九十之较有癸丙午为赤道与地平之交角求午癸边及午癸丙角【午癸丙角】

　　【为过极圏或时圏与地平之交角求法见第七卷直角形之用法】次以午癸与午乙或加或减得癸乙【用二图时度过九十即相减若不过九十者如三图太阳在北六宫即相加如四图太阳在南六宫即相减所并所余皆为癸乙】次乙甲癸形甲为直角有先加减所得之癸乙边有乙【癸甲】角可得太阳之髙乙甲

　　如三图日躔大梁初度其纬得一十一度三十分半乙午也巳正时戊午得三十度即午丙必六十度本地赤道髙戊己五十度○五分【或午丙癸角】次以午丙癸形之午丙六十度丙角五十度○五分求午癸边法为全与午丙之正【八六六○三】若丙角之切

　　线【一一九八八二】与午癸之切线【一○三八五五】算得四十六度○五分【因大梁在北六宫故】次加太阳之纬度一十一度三十一分三十秒得五十七度三十六分三十秒癸乙弧也又于此形求癸角法为全与丙角之余割线【一三○二二三】若午丙弧之正割线【二○○○○○】与癸角之正割线【二六○四一七】算得六十七度二十四分癸角也次癸

　　乙甲形甲为直角有癸角及癸乙边求甲乙法为全与乙癸弧之正【八四四五三】若癸角之正【九二三二一】与甲乙边之正【七七九五二】算得五十一度一十三分甲乙也是为本地本时黄道某度地平上之日轨髙

　　若太阳躔南六宫如双鱼初度其纬亦一十一度三十○分三十秒则如第四图之癸午边减乙午得三十四度三十四分为乙癸边其正【五六七三六】乗癸角之正【九二三四三】得三十一度三十六分

　　十五题有太阳之纬度有日轨髙有极出地度求时刻如上题第一图【太阳乙在赤道】甲乙丙形有日轨髙甲乙有乙丙甲角为赤道高求乙丙边【戊乙之余】法为全与丙角之余割线【丙角五十度○五分】

　　【其余割线一三○一九二】若甲乙弧之正【甲乙日轨髙三十度其正五○○○○】与乙丙之正【六五三二○】算得四十度三十七分乙丙也戊乙其余为四十九度二十三分易为时得午前或午后一十三刻○二分三十二秒

　　又如上题第二三四图用辛丁乙形【太阳在乙】有乙辛为太阳距极度【若乙在北六宫则乙辛为纬度之余若在南六宫则于纬度加九十得乙辛】有丁乙为日轨髙之余

　　度有丁辛为北极距天顶之度【北极髙之余】求辛角【辛为赤道极丁辛乙角之为戊午戊是午正则以戊午定午前后时刻之数】法见第七卷斜角形用法今解之如辛丁为五十度一十分丁乙【日轨髙之余】六十度辛乙八十度【太阳纬午乙十度其余得八十度】法以辛角旁两腰之正相乗【五十度一十分之正七六七九一八十度之正九八四八一】以全除之得【七五六二○】名初得数又以两腰之余相乗【五十度一十分之余六四二七九八十度之余一七三六五】以全除之得【一一○六九】名次得数以次得数与角对边之余【六十度之余为五○○○○】相减【丁乙边小又两腰同类故也】所存

　　【三八九三九】以全乗之以初得数【七五六二○】除之得辛角之余【五一六九○】算得五十八度五十三分易为时得一十五刻一十三分四十二秒

　　又如辛丁丁乙如前而辛乙为一百度【日在南六宫距度十】则以丁辛之正【七六七九一】辛乙之正【九八四九一百度而用八十度之正者大过象限则用其余弧之】相乗得【七五八三一】以全除之为初得数又以两弧之余【丁辛之余为六四○五六辛乙之余为一七三六五】相乗以全除之得【一一一二三】

　　爲次得数以加角对边丁乙之余【丁乙边小又两腰为异类故】得数【六一一二三】加五位为实以初得数为法除之得【八○六○四】为辛角之余查得三十六度一十七分易为时得九刻一十分○八秒

　　如上法或用月之髙求月时则用月之纬度或用星之高求星时则用星之纬度

　　十六题有极出地之高有日轨高及其纬度求地平经度【地平经度者或从卯酉正或从子午正起算皆得】

　　如前图辛丁戊为子午圏丁为天顶丁乙甲为本时日躔【天顶经圏】今求壬甲弧【或壬丁甲角】或甲己弧【或甲丁己角】宜用辛丁乙角形求角

　　列数如上题【丁辛五十度一十分辛乙八十度丁乙六十度】法以辛丁丁乙两弧之正相乗以全除之先得【六六六八六】又两弧之余相乗以全除之次得【三二○二八】加乙辛之余【一七三六五】于次得数共【四九三九三】加五位【以全乗之故】为实以先得数除之得【七四○六即丁角之余】查正表得四十七度四十七分为乙丁戊角【即甲己弧】辛丁乙之余角也辛丁乙系钝角【因对角边乙辛小于九十度两腰为同类故相】

　　【加次得数大于乙辛底之余故所得为钝角】故乙丁戊角之余为四十二度一十三分更加九十度得一百三十二度一十三分为太阳之本顶圏距北向南之度壬甲也【此系太阳在北六宫】亦名地平之经度【造日晷法内用之】

　　又如辛乙为一百一十三度三十一分半【太阳在南六宫躔星纪】丁乙为七十度求丁角法两腰之正相乗【丁辛之正为七六七九一丁乙之正为九三九】

　　【六九】以全除之先得【七二一五八】以两弧之余相乗【丁辛为六四○五六丁乙为三四二○二】以全除之次得【二一九○九】以乙辛之余【三九九○二】加次得数共【六一八一一】加五位为实以先得为法除之得【八五六六六】即丁角之余查得五十八度五十六分为乙丁戊角因丁为钝角【角之对边辛乙大于九十度两腰为同类故相加又次得数小于乙辛底之余故丁为钝角】故加九十得一百四十八度五十六分为辛丁乙角之度【即壬甲弧】是太阳本顶圏距北向南之度

　　若用余角则从南起算巳至甲得三十一度○四分戊丁乙角也【余者一百四十八度五十六分之余】

　　十七题有时度有日轨髙及极出地之度求太阳之纬度又求地平之经度

　　如前图辛乙丁斜角形辛乙边为太阳本日距等圏距北极之度此形有辛角【即戊午弧】时度也有丁辛弧极髙之余也有丁乙弧日轨髙之余也而求太阳距北极之纬度辛乙即如次图从丁角作丁甲垂弧其甲丁辛直角形有丁辛腰辛角求丁甲及甲辛【用七卷直角形第四设二三求】次甲乙丁形先有丁乙今得丁甲求甲乙【用七卷第八设】

　　【之三求】乙甲甲辛并得所求乙辛次求地平经度【乙丁辛角也】则丁辛甲形求甲丁及甲丁辛角又甲乙丁形求甲丁乙角并之得所求乙丁辛角【若辛为钝角即乙丁辛为鋭角若辛为鋭角即乙丁辛为钝角】