历算全书歴算全书卷三十九
歴算全书卷三十九
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
方程论自叙
方程于数九之一也何独于方程乎论曰方程犹句股也数学之极致故二以殿乎九今之为数学往往覃思勾股而略方程不宁惟略抑多沿误佹于阙矣数九而阙其一可以无论乎议者谓勾股测量用以知道里之修城邑之广山之髙水之深天地日月之行度若方程筭术多取近用米盐凌杂非其精且大是不然精觕小大人则分之而自一至九之数无分也且数何兆欤当其未始有物之初混沌鸿蒙杳防恍惚无始无终无声无形无理可名无数可纪乃数之根也是谓真一真一者无一也一且非一而况其分及其自无之有无一而忽然有一有一则有万万者一之万也万各其一一各其万即万即一环应无端又孰从而精麄之小大之乎故果蓏之有理而星度齐观理实同源数亦防防苟未达此而侈言髙逺遗乎目睫将日用之酬酢有外乎理数以自立者哉而二之也古者数学大司徒以备乡之三物教万民而賔兴之其属保氏掌之以教国子具曰九数未尝右勾股于方程也虽然古之人以其进乎数者治数故用之简易而言之约今欲于古学既湮之日出独是以信众疑使方程之沿误皆正而九数阙而复全则意取共明固不敢谬托简古以自文其疎愚之论乃不觉其复矣凡六卷论成于壬子之冬写而成帙则甲寅之夏勿庵梅文鼎自识
余论
数学有九要之则二支一者筭术一者量法量法者长短逺近以求其距西法谓之测线方圆弧矢幂积周径以相求西法谓之测面立方浑圆堆垜之形以求容积西法之测体在古九章则为方田为少广为商功为句股筭术者消息盈虚乘除进退以差多寡騐往以测来西法谓之比例通分子母整齐画一不尽者以法命之西法谓之畸零若夫隠杂重复参错难稽即显騐幽探赜穷深无例可比故西法别立借衰互徴以为用亦比例也在古九章则为粟布为衰分为均输为盈朒为方程此二者相需不可偏废虽然筭术可以济量法之穷而量法不可以尽筭术之变何也可量者其可见也天下之不可见者多矣非筭术何以御之故量法有穷而筭术不穷也夫既量之而得其率矣所量者一欲知者百西法之用比例亦以筭术佐量法也然以例相比非量法而有量法之理吾友桐城方位伯谓九章出于句股葢以此也然吾观方程正负同异减并之用非句股所能御而能生比例愚故以筭术必不可废也
言数学者亦有二家一古法一泰西泰西之説详明晓畅古人之法径捷简易可互明也然古书仅存筭术而略于测量泰西详于测量而或遗在筭术吾观泰西家言矩度三角八线割圆几何原本备矣谓其善用句股能有新意出于古率之外未为过也若所译同文筭指者大约用三率以变古法至于盈朒方程则其术不复可行于是取古人之法以传之非利氏之所传也算术之妙莫盈朒方程若而泰西皆无之是九章阙其二也尚谓之贤于古法乎且泰西家欲以其説易天下故必宛转笺疏以达其意以取信于学者若盈朒方程立法之意殊不能言也不能言盈朒故别立借衰之法以代之自谓超妙可废古法矣而终不能废盈朒若方程一章不但不能言之亦不能用之不过取古人之仅存者具数而已不能别立术以代之也诸书之谬误皆沿之而不能察其必非知之而不用能言之而不悉亦可见矣夫古人之略于量法者非不能言也言之略耳言之详者别有専书而人不能习不传于世耳学士大夫既苦其难竟又无与进取弋获之利遂一切弃置不道浅猎焉者率得少以自多无所发明遂使古人之精意若存若亡不复可见今诸书所载方程法残缺错乱视盈朒尤甚其所仅存又多为后之不得其説者参以臆解而其防益晦非古人旧也使古之方程仅仅如此何必别立一章列于盈朒之后乎然以好变古率如泰西而不能变方程勤于言筭如泰西而不能言方程不能尽其用不能正其沿误可见古人立法之深逺而决不可易向使习古法者尽见古人之书又能如泰西家羣萃州处穷年累月研精覃思以为之引伸而推广又岂止如斯而已乎言之三叹
方程论发凡
一方程立法之始
按周礼九数一曰方田以御田畴界域一曰粟米【一作粟布】以御交质变易一曰差分【一名衰分】以御贵贱廪税一曰少广以御积方程一曰商功以御功程积实一曰均输以御逺近劳费一曰盈朒【一云赢不足】以御隠襍互见一曰方程以御错糅正负一曰句股【一云旁要】以御髙深广逺是则方程者九数之一乃九章中之第八章也通雅以九数为周公之法盖自隶首作筭数以来有九章即有方程渊源逺矣
一方程命名之义
方者比方也程者法程也程课也数有难知者据现在之数以比方而程课者则不可知而可知即互乗减并之用
一方程残缺之故
按七十子身通六艺则九数在其中自汉以后史称卓茂刘歆马融郑何休张衡皆明筭术唐宋取士有明筭科六典筭学十经博士弟子五年而学成宋大儒若邵康节司马文正朱文公蔡西山元则许文正王文肃莫不精筭然则筭学之疎乃近代耳夫数学一也分之则有度有数度者量法数者筭术是两者皆由浅入深是故量法最浅者方田稍进为少广为商功而极于句股筭术最浅者粟布稍进为衰分为均输为盈朒而极于方程【详见末卷方程能御襍法】方程于筭术犹句股之于量法皆其最精之事不易明也而筭学无闗进取皆视为贾人胥史之事而不屑从事又其用近小但于方田粟布取之亦无不足故近代诸刻多不具九章其列九章者不过寥寥备数学者虽欲推明古法孰从而求之此方程残缺之由也
一方程谬误之故
方程句股皆不为近用所需然句股测望自昔恒有専书近者西学骤兴其言句股尤备故九章所载虽简而不至大谬至若方程别无専书可证所存诸例又为俗本所乱妄増歌诀立为胶固之法印定后贤耳目而方程不复可用竟如赘疣周官九数几缺其一愚不自揆辄以管闚之见反覆推论以明之务求其理众晓而不疑于用庶不致谬种流传以乱古法云尔【详第四卷刋误】
一方程条件与旧不同之故
旧传方程分二色为一法三色为一法四色五色以上为一法头绪纷然而和较之分疑未清法无画一所立假如仅可施之本例不可移之他处然如此则为无用之法而方程一章为徒设矣窃以古人立法决不如此今按方程有和有较有兼用和较有和较交变约法四端巳尽方程之用不论二色三色四色五色乃至多色其法尽同正不必每色立法反滋纷扰也然惟如此则有定法而方程为有用且其用甚多窃以古人立法必当如此夫古人往矣愚生千载之下蓬户山居耳目局隘不能尽见古人之书亦何以防其然哉夫亦惟是反之心而无疑措之事而可用则此心此理之同庶可共信非敢好为新奇以自也天下大矣邺架藏书岂无足攷尚冀博雅好古君子恵示古本庶有以证明其説而广其所未知则所深望巳【详见第一卷及第四卷刋误】
一方程以论名篇之故
算学书有例无论则不知作法根原一再传而多误盖由于此本书欲明筭理故论多于例每卷之首皆有总论以为之提网然后举例以实其説【即假如也】而例中或有疑似之端仍各有説以反覆申明之令覧者彻底澄清无纎毫之凝滞凡为论者十之七而例居其三以论名篇着其实也
一方程例有详略可以互明
既欲推明其理则无取夸多故首卷和较襍变四端不过数例意在假此例以发吾论但求大义晓畅更不繁引多例以乱人思其后数卷举例稍繁然每设一例即明一义务求委曲尽变庶令用者不疑前详者后必略前略者后乃详更无重复细观自见
一方程著论校刻縁起
鼎性耽苦思书之难读者恒废寝食以求之必得其解乃巳有未能通则耿耿胸中虽厯嵗时未敢忘也算数诸书尤性所嗜虽只字片言亦不敢忽必一一求其所以然了然于心而后快窃以方程算术古人既特立一章于诸章之后必有精理而中西各书所载皆未能慊然于懐疑之殆将二纪嵗壬子拙荆见背閍户养疴子以燕偶有所问忽触胸中之意连类旁通若干门之乍啓亟取楮墨次第录之得书六卷于是二十年之疑涣然冰释然后知古人立法之精深必非后世所能易书虽残缺全理具存苟能精思必将我吿管敬仲之言不余欺也
论成后冀得古书为征而不可得不敢出以示人惟亡友温陵黄俞邰太史桐城方位伯广文豫章王若先明府金陵蔡玑先上舍曾钞副墨而昆山徐扬贡明府檇李曹秋岳侍郎姚江黄黎洲征君颇加鍳赏厥后吴江潘稼堂太史尤深击节嵗丁夘薄逰钱塘同里阮于岳鸿胪付赀授梓属以理装北上未遂杀青续遇无锡顾景范北直刘继庄二隠君嘉禾徐敬可先軰朱竹垞供奉淮南阎百诗宁波万季野两征士于京师并印可又得中州孔林宗学博杜端甫孝亷钱塘袁恵子文学共相质正乃重加缮录以为定本谬辱安溪李大中丞厚庵先生下询厯算命之论撰以质同人获与介弟安卿孝亷晨夕酬对承其谬赏兹编录副以归手挍欹劂视余稿本倍觉清明向使湖上匆剧雕版反不能如是之精良矣感书成之非偶惊嵗月之易流而良朋好我之殷受益宏多更仆难数爰兹略纪以志不忘
数学存古序【附录】
六艺古圣人用也所以开物成务垂泽将来虽然器久则毁声传而失彼其初非不穷神尽变而后稍湮没古圣人无如何也今不尽亡者数学耳数之为物不借器而存稽实待虚其道如易故礼乐代更而方圆不易书契形名世殊方别而竒偶自如数之不亡不能亡也顾不能亡者数仅存者数之学尝稽汉艺文志许商算术二十六卷杜忠算术十六卷唐博士肄习具有十经今略不一覩又古人制浑仪往往有书説详徴其故又凡作厯皆有测验诸书与厯术并垂如史所载晋姜岌刘宋祖冲之隋刘焯唐李淳风一行宋沈括元郭守敬着撰皆富今其存逸皆不可得攷自汉赵氏周髀一经外无可广证他纬书占候傅防难信然则今九章者果周官旧邪周官之旧既以不可知近世儒者又略之弗讲九数之学益以荒芜于是泰西氏者乃始孤行其测圜三角诸术以矜奇创学其学者至以大衍填写九执未尽授时阴用回回法子云康节之书皆为臆説而隶首之术必有所穷嘻其果然邪夫谓西厯能兼古法之长是也而反谓古人阴用乎西法此其説非也不观之书御乎御用于骑书用于楷楷与骑日以习而古书御亡或者未考舆轮而辄以古御不如今骑未窥籕篆而谓古书不及今楷遂欲驾王武子于造父尊钟元常于苍颉过矣愚生晚不及见古人僻处山陬闻见固陋闲尝于世传九章者稍稍论列补葺遗缺而昰正其纰缪使读者晓然知九数之学果不尽于今所传而其仅存者犹能与泰西氏并行而不得以相废虽不知于古人万一有当然天下之大不乏其人尚其共出枕秘以昭明而光大之使古人之绪晦而复显或由是以发其端欤是愚之所望矣
钦定四库全书
厯算全书卷四十
宣城梅文鼎撰
方程论卷一
正名
名不正则言不顺诸本方程皆以二色三色四色等分欵立法而不分和较宜其端绪纷纠而説之滋谬也故先正其名
正名有四一和数二较数三和较杂四和较交变和者无正负如只云某物如干某物如干共价如干以问每物各价者是也较者有正负如云以某物如干与某物如干相较多价如干或少价如干或相当适足者是也杂者半有正负半无正负如一行云某物某物各如干共价如干而其一行则又云以某物如干较某物如干差价如干或价相当适足者是也变者或先无正负而变为有正负或先有正负变而无正负三色以往重列减余兼用两行者是也
总论曰万筭皆生于和较和较可以御万分合之义也万物之未形一而已矣一且未有况万乎及其有也有一则有二有二则有三自此以至于无穷而数生焉矣和者诸数之合也较者诸数之分也分则有差故谓之较较与和相求而法立焉矣故一与一和则二也一与二和则三也一与二之较一也一与三之较二也万算虽多凖此矣故和较者万算之纲也算之用至于句股方程至矣尽矣窥髙致逺探赜穷幽无所不备然其用不出于和较且以方程言之凡方程列位皆以下位为之端如所列下一位为上中两位之总价则和也若下一位为上中两位相差之价则较也较故分正负和故不分正负虽不立正负然必以两和互乘对减以得其差然后其数可得而知矣故三色以往先无正负者有时而正负立焉故方程之法以和求较而已矣较者易知和者难知和之中有较较之中又有较此万数之所由生万法之所由起
和数方程例
方程用互乘对减与差分章贵贱相和法同但贵贱相和有总物总价又有每物每价不过以带分之故难用匿价分身而变为换影之术耳方程则有总物总价而无每数又有三色四色以至多色头绪纷然自非逓减何取之此古人别立一章之意也
用法曰二色者任以一色列于上以一色列于中以总价列于下于是以列上者为乘法左右互乘又互遍乘中下得数左右对减其上一色必两相若而减尽其中一色对减必有相差之数下价对减亦必有相差之数数相差则减不能尽于是取其余数以为用一为法一为实以法除实而得中一色每价乃以中价乘原列中物得中物总价以中物总价减原列两色之总价得上物总价以原列上物除之得上一色每价【若更以中一色列于上依法求之亦先得上一色价矣故上中之位可以互更也详见后】
假如有山田三亩塲地六亩共折输粮实田五亩七分又有山田五亩塲地三亩共折实田五亩五分问田地每亩折实科则各如干
畣曰每山田一亩折实田九分每地一亩折实田三分亩之一
法各列位
上 中 下
先以右上田三亩为法遍乗左行得数
次以左上田五亩为法遍乗右行得数 上位各得田十五亩对减尽 中位左得地九亩去减右行三十亩余地二十一亩为法下位左折田得十六亩五分去减右行二十三亩五分余折田七亩为实 以法除实不满法约为三之一为地每亩折实田之数【地一亩折田三分三厘三毫不尽即地三亩折田一亩也】 就以右行折实田共四亩七分内除原地六亩折实田二亩余二亩七分以右上田三亩除之得九分为田每亩折实之数【或以左行折田内减左原地三亩该折实田一亩余四亩五分以左上田五亩除之亦得九分为田每亩折实之数】
论曰以右上田三亩遍乘左行得数是各三之也为五亩田者三亩三亩地者三则为田地共折实五亩五分者亦三也
以左上田五亩遍乘右行得数是各五之也为三亩田者五为六亩地者五则为田地折实共四亩七分者亦五也
于以对减而上位田各十五亩减而尽则其数同也惟中位地余二十一亩在右行则是右行之地多于左行之地二十一亩也
而下位折实数亦余七亩在右行则是右行折实之数亦多于左行折实之数七亩也
合而观之此所余折实七亩者正是余地二十一亩之所折也
此以田地问折数故以地二十一亩为法折七亩为实也若以折数问原田地则以折七亩为法地二十一亩为实法除实得每折一亩原地三亩于是以右地六亩折二亩减折四亩七分余二亩七分为法除右田三亩得每折一亩原田一亩又九分亩之一即一分一厘一毫一一不尽也
若更置以地列于上则先得田折数如后图
上 中 下
先以左上地三亩遍乗右行得数
次以右上地六亩遍乗左行得数 上位各得地十八亩对减尽 中位左得田三十亩内减去右得九亩余二十一亩为法 下位折田左得三十三亩内减去右得十四亩一分余十八亩九分为实 以法除实得九分为田每亩折实数
就以右田三亩折二亩七分减右折实共四亩七分余二亩以右上地六亩除之不满法命为三分亩之一为地每亩折实数【或于左行折实五亩五分内减去左田五亩该折四亩五分余一亩以左地三亩除之亦得地折实每亩三之一】
论曰以右上地六亩遍乗左行是各六之也为三亩地者六为五亩田者六为地三亩田五亩之折实田共五亩五分者亦六也以左上地三亩遍乗右行是各三之也为地六亩者三为田三亩者三为地六亩田三亩之折实共四亩七分者亦三也以之对减而地在上位者各十八亩既对减而尽则其各十八亩之折实在折实共数中者亦必对减而尽也田在中位者既对减去九亩而仅余左行之二十一亩则其各九亩之折实在共数中者亦必对减而尽也由是以观则其所余之左下折田十八亩九分正是左中余田二十一亩之所折也故以余田二十一亩为法而以余折田十八亩九分为实即田之折数可知知田数知地亩矣
若以折问田亩则一十八亩九分折为法二十一亩田为实实如法而一得每折一亩原田一亩又九分之一于是以分母九通右行田三亩得二十七分而以一亩又九分之一共一十分为法除之得二亩七分以减共折四亩七分余折二亩以除右地六亩得每折一亩原地三亩【以上二色例也三色四色以至多色凡和数者皆同但须重例减余以求之今不悉具于后诸条中详之】
较数方程例
凡较数方程分正负之价与盈朒畧同但盈朒章有盈朒又有出率方程则但有总物与盈朒而无每出之率又兼数色所以不同又盈朒者是有每率而不知总所言盈朒适足是总计所出以与原立总价相较之数也方程正负则是两总物自相较之数若不立正负则下价之与上物不知其孰为同异矣此正负之法异于盈朒也【负与正对所以分别同异盖对数之所余即正数之所欠故谓之负与负责之负畧相似老子言万物负阴而抱阳盖正即正面负即反面也开方法有负隅言隅之空隙也郭太史厯经三差法有负减言反减也本于平差内减去立差今立差反多于平差故于立差内反减平差是为负减兼此数端而正负之义可见矣】
法曰任以一色为正则以相当之一色为负【此据二色者言之三色以上或以一色与多色相当或以多色与多色相当其法皆同二色】正物之价多为正价负物之价多为负价正与负为异名异名相并正与正负与负为同名同名相减
首位同名者仍其正负不变【首位同数同名即可减去此正法也】首位异名变其一一以相从【首位亦同数但不同名故变而同之则亦同数同名而可减尽矣首位既变则其行内皆从而变此通法也盖必如是则同减异加始归画一而于和较交变之用尤便也】
其法皆于互乗时以得数变之盖减并只用得数也只变一行其相对之行不必再变二色三色以至多色并同何也三色以上行数虽多而乘并之用皆以各相对之一行论同异即同二色之理
论曰和数方程有减无并皆同名故也较数方程有减有并或同名或异名也减并者方程之纲要正负淆则同异之名混而并减皆失矣今诸本所言正负同异誃离舛错虽加减得数皆偶合耳西人论句股三角八线割圜几何原本可谓详矣矣至方程增立诸率亦复草草未穷其故也
用法曰以一色列于上以相当之一色列于中任以一色为主而分正负【此亦以二色为例三色以上皆以两相当者主其一以分正负皆与二色法同】
以两色相较之价列于下以正物为主而分同异或正物所多之价命之为正或正物所少之价命之为负【正物之所少即负物之所多】或正物负物之价两相若命之适足则空位列之亦以列上位者为乘法左右互乘遍乘中下以首位为主而变正负得数对减其上一色必数相若且又同名而减尽中一色与下价或同名或异名异名者并之同名者对减取其减并之数以为用一为法一为实以法除实得中一色每价以原列中物乗之得中物总价以与原列下价同名相减异名相并得数以原列上物除之得上一色每价【其上中亦可互求】
假如以研七枚换笔三矢研多价四百八十文若以笔九矢换研三枚笔多价一百八十文问笔研价各如干
畣曰笔每矢价五十文 研每枚价九十文
法各列位
上 中 下
先以左行研负三遍乗右行得数【首位异名须变一行以相从故研正变为负笔负变为正价正变为负皆于得数变之】
次以右行研正七遍乗左行得数【右行既变则左行不必再变故研负笔正价正皆仍旧】
于是以上研各负二十一同名相减尽 次以中笔两正同名相减余五十四为法 再以下价左正右负异名相并得二千七百为实 以法除实得五十文为笔价 以左行笔正九乘笔价得四百五十内减同名价一百八十余二百七十以左研负三除之得九十为研价或以右笔负三共价一百五十加异名价正四百八十共六百三十以右研七除之亦得研价九十
论曰左行原是九笔多于三研一百八十文乘后得数则是六十三笔多于二十一研共一千二百六十文也右行原是七研多于三笔四百八十文乘后得数则是九笔少于二十一研一千四百四十文也于是以两行得数较之上位研负二十一两行尽同研之数同则其价亦同惟中位笔数左行多五十四枝则是左行笔多价一千二百六十文者以多此五十四笔而右行笔少价一千四百四十文者以少此五十四笔也夫右行笔价原少于二十一研者一千四百四十文以左行多五十四笔而反多于二十一研者一千二百六十文是此五十四笔既补却右行之所少而仍多此数也故并右行之所多共此二千七百以为五十四笔之价知笔价知研价矣
若先求研价者以研列中为除法以笔列上为乗法如后图
问者或云笔三矢换研七枚少价四百八十文又有研三枚以换笔九矢少价一百八十文则其下价为两负【四百八十是笔少于研之价一百八十是研少于笔之价】
先以左行笔负九徧乗右行得数【首位异名宜变一行故其正负皆更之】
次以右行笔正三徧乗左得数【右变则左不变故正负皆仍之】于是以得数较其同异而为之减并 笔各负二十七同名减尽研正同名相减余五十四为法 价正负异名并得四千八百六十为实 实如法而一得九十为研价 以研价乗左正研三得二百七十异加价负一百八十共四百五十以左负笔九除之得五十为笔价或以右研七价六百三十与价四百八十同减余一百五十以笔三除之亦得笔价五十
论曰左行原是研三少于笔九者一百八十文乗后得数则是九研少于二十七笔者五百四十文也 右行原是三笔少于七研者四百八十文乗后得数则是六十三研多于二十七笔者四千三百二十文也夫两行笔皆二十七则其价同也而右行研价多于笔四千三百二十文左行研价反少于笔五百四十文是两行研价相差者共四千八百六十文也推求其説则只是两行中相差五十四研之故也故减去相同之笔用此相差之研以除此相差之研价而每研之价可知矣
若如难题所列以研为正笔为负问者当云以七研换三笔研多价四百八十以三研换九笔研少价一百八十文则价右正左负【难题系书名】
左右研正徧乗得数【首位本同名故其正负皆不变】研减尽笔余五十四为法价异并二千七百为实法除实得笔价以次得研价如前若以笔为正研为负则其价右负左正
依法先得研价如第一图
以前四图或以笔为正或以笔为负或以研为正或以研为负或以价为两正或以价为两负或以价为一正一负其所呼正负之名无一同者要其为同异加减之用则一也
试以一行中同异言之其左行之价必与笔同名何也左行之价乃笔多于研之数也故与笔同名而与研异名也 其右行之价必与研同名何也右行之价乃研多于笔之数也故与研同名而与笔异名也试以两行中同异言之其上位皆减尽其中位皆相减为法其下价皆相并为实其减也皆以同名其研也皆以异名 此下价异并例也
假如有大小余句不知数但云倍小余句以当三大余句则不及一丈五尺三寸若倍大余句则如七小余句
畣曰大余句六尺三寸 小余句一尺八寸
法以正负列位
先以左小余句负七徧乗右得数【首位异名宜变以相从故小句变负大句下负数皆变正】
次以右小余句正二徧乗左得数【右行既变则此行不变下适足无乗亦无正负】 乗讫乃较之 小余句各十四同减尽 大余句同减余一十七为法 下正数十丈零七尺一分无对不减就为实 以法除实得六尺三寸为大余句 乃置左行二大句该一丈二尺六寸以左行相当适足之七小句除之得一尺八寸为小余句【或用右行三大句该一丈八尺九寸以同名负一丈五尺三寸减之余三尺六寸以右行二小句除之亦得一尺八寸】合问
论曰以左小句徧乗右是各七之也为小句二大句三者七其相较之数亦七也 以右小句徧乗左是各二之也为小句七大句二者二其相当适足者亦二也但以首位必同名然后可减故以右小句正变而为负以从左名也小句变为负则所与相较之大句不得不变而正矣 于是小句同减尽大句同名减去四余右行正十七下较数无减仍余十丈○七尺一寸然则此所余者正是减余大句之数矣何也小句十四左右皆同若只如左行四大句则与小句相当适足矣而今右行独余此较数者非以右多十七大句之故乎
试以大句列于上则先得小句如后图
如法左乗右更其正负 右乗左仍其正负 大句同减尽 小句同减余正一十七在左行为法 下较数负三丈○六寸在右行无对不减就用为实以法除实得一尺八寸为小句 就以左行小句七该一丈二尺六寸以左相当适足之大句二除之得六尺三寸为大句【或于右行正一丈五尺三寸加异名小句负二该三尺六寸共一丈八尺九寸以右大句三除之亦得六尺三寸】
论曰左行原是小句七以当大句二适足今以右大句乗而各三之则是小句二十一以当大句六而亦适足也 右行原是大句三以当小句二而大句多一丈五尺三寸今以左大句乗而各二之则是大句六以当小句四而多三丈○六寸也 以两行之得数较之大句既减尽惟左行之小句余一十七则是左行得数所以相当适足者以多此十七小句之故而右行小句得数小于大句三丈○六寸者以少此十七小句之故也然则此三丈○六寸者正是十七小句之数也【依此论可见左行之所多即右行之所少故左行名正者用于右行即为负而隔行之异名即为同名】
此下较无减例也
假如有大小方积不知数但云一大方积以当二小方积多数八十九若以三大方积当七小方积仍多二百五十一
畣曰大方积一百二十一 小方积一十六
法以正负列位
上 中 下
先以右大积一徧乗左行皆如原数 次以左大积三徧乗右行得数【首位同名故两行正负皆不变】 大积同减尽小积同减余一为法较数同减余一十六为实 法除实仍得一十六为小积 以右行小积负二该三十二加异名正八十九共一百二十一为大积【或以左行小积负七该一百一十二加异名正二百五十一共三百六十三以左大积三除之亦得一百二十一为大积】
论曰左行原是大积三多于七小积者二百五十一乗后得数亦同 右行原是大积一多于二小积者八十九乗后得数则是大积三多于六小积者二百六十七也 于是以两行对勘其大积既减尽惟小积左行余负一其下较数则右行余正十六夫此十六数者与大积同名是右行大积之数也右行少一小积而大积之盈数多十六左行多一小积而大积之盈数少十六然则此十六数者正是此一小积之数矣若以小方积为正则其下较数为两负【皆小积所少之数也故皆为负】
上 中 下
依法徧乗对减余大积一为法 余负一百二十一为实 法除实不动就以一百二十一为大积 右大积一该一百二十一同名减负八十九余三十二以小积二除之得一十六为小积
此是右行多一大方积故多一同名之数一百二十一同在一行易知不须重论
以上二图正负所呼迥异然所同者两行之较数皆与大方积同名何也皆大方积多于小方积之数故与大方积同名而与小方积异名也
此下较同减例也
总论曰凡较数方程原列较数是本行中正与负之较也其乗后得数同减异加而得者则是两行中正与正之较或负与负之较也故本行中以异名相较而两行对减或加是以两行之同名相较
假如原列较数与正物同名是正多于负之较也若列较与负同名是负多于正之较也故曰本行中异名相较也
假如乗后得数而两行之较数皆与正物同名则两较亦自同名乃以之对减而余在一行则知此一行正物必多于对行之正物而其所多之数即如此所余之较数矣
假如两行较数皆与负物同名则两较亦自同名以之对减而余在一行则知此一行负物必多于对行之负物而其所多之数正是此所余之较数矣此同名相减之理也
假如右行较数与正同名而左行较数却与负同名则一是正多于负之数而一是负多于正之数也夫正与负原相待负多于正之数即正少于负之数也于是用异名相加法以左行负多于正之数变为正少于负之数以相并则知右行之正数必多于左行之正物而其所多几何正是此两较之并数矣此异名相加之理也
合同减异并而观之总是两行中同名相较也
又论曰较数方程以两相较而为用虽有三色四色乃至多色其相较也必两此正负所由立也立正负以别同异犹彼我也夫彼我者岂有一定之称哉以此为正则以彼为负若以彼为正则此反为负矣正负之相呼犹彼我之相视也故曰无定虽然无定者正负有定者同异其无定者在未立正负之先其有定者在既立正负之后既以一为主则同乎此者皆同名异乎此者皆异名矣是故无定而实有定也
今试以所列方程最下位观之其言正负者必上物之较数也不言正负者必上物之和数也较数有盈有朒有适足和则否
假如下价盈则为正正与正同名试于正物价之中减去下同名正价之盈则所余之价必与负物之价相当矣 正与负异名试又取上负物之价以加下异名正价则又必与正物之价相当矣
假如下价朒则为负【正物之朒负物之盈也】负与负同名试于负物价之中减去下同名负价则所余之价必与正物之价相当矣 负与正异名试又取上正物之何以加下异名负价又必与负物之价相当矣
假如下价适足空位无盈朒则其上正负物价必自相当
又论曰正负之术分别同异全在有交变之法以通其穷要其为用惟在使两行之首位同名而已何也方程以互乗递减立法每乗一次即减去一色然惟和数则一乗之后即可对减若较数则有同数而不同名之时若不减首位即不成方程若径以异名而减势必以同名而并法不画一而于后条和较交变之时益混淆而难用故以法变之使首位之同数者无不同名而仍为同名利减焉首位既以同名减则凡减者皆同名凡并者皆异名而其法画一矣故首位既变则行内之正负皆变何也从首位也行内之正负既皆从首位而变由是而原与首位同名者皆与隔行之首位同名也原与首位异名者即与隔行之首位异名也如此则隔行之同减异并亦清矣正负犹阴阳也牝牡也各行中各有正负犹两仪之生四象也乗而交变犹刚柔相推而生变化也隔行之正本行以为负隔行之负本行以为正真阴真阳互居其宅也同名相减者阴阳之偏不得其配也异名相并者阴阳得类雌雄相食也是皆有自然之理焉可以思古人立法之原矣
【以上亦以二色者举例三色以上乃至多色正负之用尤显详具诸卷中兹不赘列然其理着矣】和较相襍方程例
方程之用以御隠襍妙在襍与变知其襍则襍而不用矣知其变则变而不失其常矣诸书所论胥未及此故求之甚详去之愈逺也
用法曰凡方程和较襍者和较从和法列之不立正负较数从较法列之明立正负 其偏乗得数后在
较数行中者仍其正负之名在和较行中者皆变从乗法之名【和数原无正负则无可变但乗后得数取其与较数之首位同名而已首位既同名下不得不同名矣】
凡两较者下价或有减有并而中物只同减若一和一较者下价亦有减有并而中物皆异并此以两色言之三色以上随数通变皆以同异名御之
假如有大小句不知数但云三其大句倍其小句共三丈三尺若倍大句则如六小句问若干
畣曰大句九尺 小句三尺
法以一和一变列位【适足者以相较而得名即同较义】
右行和数也不立正负 左行较数也明立正负右乗左而三之和乗较也故其正负皆如故
左乗右而二之较乗和也故得数皆为正从乗法之名也 如法遍乗讫以两行对勘 大句同名相减尽 小句异名相并得二十二为法 正数六丈六尺无减就为实 法除实得三尺为小句 以左行小句六共一丈八尺为实以大句二为法除之得九尺为大句【或于右行共三丈三尺内同减小句二共六尺余二丈七尺以大句三除之亦得九尺】
论曰右行大句三小句二共三丈三尺乗后得数则是六大句四小句共六丈六尺也 左行大句二小句六其数相当乗后得数则是六大句十八小句亦相当适足也 于以对减而两大句同减尽则其数同也而右行正数犹有六丈六尺左则无有其故何也右行正数中有小句四而左则无且不惟无之而已其相对之负数反有十八小句焉是左行正数又自除却十八小句之数也右行正数多四小句左行正数又自除却十八小句则是右行正数之多于左行正数者二十二小句也故并此二十二小句为右行所多之正物其六丈六尺则右行之正数也以正物除正数而小句可知知小句知大句矣
又细攷之六大句合四小句共六丈六尺则以与六大句相当之十八小句合四小句亦必六丈六尺也此亦西儒比例之理而以同异名尽之可见古人用法之简快试更列之以小句居上则先得大句亦同
上 中 下
先以右小句二徧乗左行得数【和乗较也故仍其正负】
次以左小句六徧乗右行得数【较乗和也故皆命为负与乗法同名】两小句同减尽 两大句异并二十二为法 负数十九丈八尺无减就为实法除实得大句九尺 以右行大句三该二丈七尺减共三丈三尺余六尺以小二句除之得小句三尺
论曰小句互乗之后则其数同也小句数同则负数亦同而右行之负数独有十九丈八尺左则无有者以右之负数中有大句十八而左则无不惟无也其所对之正数中反有大句四是左行负数中又原少四大句也右负数多十八大句左负数少四大句是右之负数多于左之负数者共二十二大句也然则右之负数独有此十九丈八尺者正是此二十二大句之数也
此和数与适足偕也
假如有江湖两色船载物不知数但云江船五以较湖船一则江多二千八百石江船三湖船五则共载二千八百石问船力若干 畣曰江船六百石 湖船二百石
法以一和一较列位
如法左右徧乗得数
江船同减尽 湖船异并二十八为法 载物同减余五千六百石为实 法除实得二百石为湖船数以湖船数加右行异名正二千八百共三千石以
右江船五除之得江船数六百石【或以湖船五共一千石同减左行二千八百石余一千八百石以左江船三除之亦得六百石】
论曰徧乗后江船数同则其载数亦同今以两正数相减而左多五千六百者以左正数中有湖船二十五而右则无不惟无也其所对之负数中反有湖船三是右行正数中又自少三湖船也左多二十五右少三是左正数多于右数者共二十八湖船也然则左之正数独多五千六百者正此二十八湖船之数也此和数偕一正也负亦同
和变交变方程例
凡方程三色以上以减余重列则有和变较较变和者不可不察也 若非和较之襍则二色方程之中物有减无并矣若非和较之变则三色四色方程和数者有减无倂矣夫和数较数非自我命之名也其下价之为和为较不可诬也
用法曰和变较者但和数减余有分在两行者兼而用之即变较数也 和既变较即以较数法列之其法以一行之余数命为正以一行之余数命为负 其下余价以与中位余物同在一行者即为同名从其正负而命之 若下价减尽无余者命为适足若减余只在一行者无变也只用和数法
较变和者但视较数减余或有一行内皆正或皆负者即变和数也即如和数法列之不立正负【其较数异并者以一行为主而以隔行之之异名从本行为同名】
若减余行内有正负者无变也只用较数法
若有两异并而一位左正右负一位右正左负亦仍为较数不变虽减余分在两行而一行余正物一行余负物亦和数也何也隔行之异名乃同名也若减余同名而分余于两行即仍为较数不变何也隔行之同名乃异名也
若两异并皆左正右负或皆左负右正亦和数也和较重列有俱变为较者有只变一行为较而余行如故者较数重列有俱变为和者有只变一行为和而其余如故者皆如上法以和较襍列之
若四色以上有和变较较复变和者有较变和和复变较者皆以前法御之
假如以衡校弓弩之力但云大神臂弓二弩九小弓二共重七百一十斤又有神臂弓三弩二小弓八共五百二十五斤又有神臂弓五弩三小弓二共五百一十五斤问各力
畣曰大神臂弓力五十五斤 弩力六十斤 小弓力三十斤
法先以和较列位【凡三色者可任以一行为主与余二行数相乗而减并之故前后之行可互更也详见第三卷】
先以中行神臂弓二为法徧乗左右得数【此以中行为主与左右互乗取其行间易为减并之用也】
次以右行神臂三徧乗中行得数与中行对减 神臂弓中右各六对减尽 中弩二十七内减去右弩四余二十三【中行余也】 中小弓六去减右小弓十六余十【右行余也】 中力二千一百三十内减去右一千○五十余一千○八十斤【中行余也】
以上减余分在两行已变较数矣即用较数之法分正负列之而以弩与力命为同名【弩与力同在中行故也】次以左行神臂五徧乗中行得数而以中左两行对减 神臂弓各十减而尽 中弩得四十五内减去左行弩六余三十九
中行小弓得十内减去左小弓四余六 中力得三千五百五十内减去左一千○三十余二千五百二十斤
以上减余俱在中行仍为和数也不分正负
论曰此和数方程变为一和一较也何也中右得数两大弓减尽则其力相若也弩数相减而余在中行是中行之弩力多于右行也小弓相减而余在右行是右行小弓之力多于中行也弩力中多于右小弓力右多于中而今共力相减惟中多一千○八十斤则是此一千○八十斤者非余弩余弓之共数而余弩所多于余弓之较数也虽欲不分正负不可得也如中左对减而余弩余小弓俱在中行则中行之余力二千五百二十斤者仍为余弩余小弓共数无正负之可分也故以此两减余者依和较杂法重列而求之
如前对减既于共力中清出首一色大神臂弓不与弩小弓杂矣然所余之力尚为弩小弓共数与其较数而未能分别此二色之每数也故必重测
依和较杂法以左右余弩互徧乗得数【左乗右和乗较也故仍其正负右乗左较乗和也故变从乗法之名皆曰正】
弩同减尽 小弓异并五百二十八为法 力同减余一万五千八百四十为实 法除实得三十斤为小弓力 以小弓力乗右行余小弓十得三百斤异如力正一千○八十斤共一千三百八十斤以余弩二十三除之得六十斤为弩力【或于左行共力二千五百二十斤内同减小弓六该一百八十斤余二千三百四十斤以余弩三千九除之得六十斤亦同即此可见两减余之为一和一较】乃于原列任取右行八小弓力二百四十斤二弩力一百二十斤以减共力五百二十五斤余一百六十五斤以大神臂弓三除之得五十五斤为大神臂弓力
论曰两弩正数同而其力不同者小弓之故也左行和数也是弩偕小弓之力也右行较数也是弩力中减去小弓之力而余者也合而观之则是左行之弩力有小弓一百三十八以为之益而右行之弩力反减去小弓三百九十然则左行正数之多于右行者凡共差小弓五百二十八而左行正数所以多于右行一万五千八百四十斤者正是此小弓五百二十八之力也
凡此减余之数亦可互求若更置之以小弓列上则先得弩力如后图
上 中 下
依法右左徧乗得数【左乗右和乗较也故仍其正负右乗左较乗和也故变从乗法之名皆名之曰负】
小弓同减尽 弩异并得五百二十八为法 力异并得三万一千六百八十为实 法除实得六十斤为弩力 以弩力乗右行弩二十三得一千三百八十斤同减正一千○八十斤余三百斤以小弓十除之得小弓力
论曰两小弓同名负其数既同而左行负数之力有若干右则无之而且反小于正数之力若干者何也以左行负数中有弩三百九十右则无之而其所对之正数反有弩一百三十八以为之除算则是左负数之多于右者共五百二十八弩也右负数少此五百二十八弩而正数力遂多六千四百八十斤左负数多此五百二十八弩则不但补却右行之所少而又自有力二万五千二百斤然则左行共多于右三万一千六百八十斤者正是此五百二十八弩之力也此三色和变较例也【四色以上襍见诸卷中】
问有甲乙丙三数甲加七十三得为乙丙数者倍乙加七十三得为甲丙数者三丙加七十三得为甲乙数者四其本数各几何 畣曰甲七 乙十七 丙廿三
法先以较数列位
先以中行甲正一遍乗右左得数皆如故【只变中行故两行之正负俱不变又是一数为乗法故数亦不变】
次以右行甲负三徧乗中行次以左行甲负四徧乗中行各得数【左右既省不变故变中行以从之首位变负下三位俱变正】
次以中右得数相减并 甲同减尽 中乙得正六同减左得正一余正五 中丙得正六异并右得负三共得正九中较数得正二百一十九异并右负七十三共得正二百九十二
次以中左得数相减并 甲同减尽 中乙得正八异并左得负四共得正十二 中丙得正八同减左得正一余七正 中较数得正二百九十二异并左负七十三共得正三百六十五以上减并之数皆同名又皆在一行知已变为和数重列之不分正负【依此显虽同名而或乙正在中丙正在左即不得变和数也何也左行之正中行之负也】
论曰此较数变为和数也以中右之得数言之中行六个乙六个丙共多于三个甲者二百一十九右行一个乙少于三个甲三个丙者七十三于是两相对较则两行之甲皆三个其数本同而中行之乙丙多于甲二百一十九者因中行之乙多于右行之乙者五个又有同名之丙六个以益之而中行之甲又非若右行之甲与三个丙同名是又少三个丙也夫甲股内少则乙丙股内多合而观之则是中行之乙丙股内共多五个乙九个丙而右行之乙股内共少此五个乙九个丙也夫中行之乙丙股内多五个乙九个丙便多于三个甲者二百一十九右行之乙股内少五个乙九个丙则不惟不多而反少于三个甲者七十三然则并此多二百一十九少七十三共二百九十二者正是此五个乙九个丙之共数而非其较数也故不分正负
又以中左之得数言之中行正数是八个乙八个丙负数是四个甲而正数多者二百九十二左行正数是一个丙负数是四个甲四个乙而正数少者七十三于是两相对勘则两行负数之甲皆四个其数本同惟中行之正数内比左正数多七个丙又加八个乙而中行之负数又比左负数少四个乙合而观之是中行之正数比左行共多十二个乙与七个丙而左行之正数比中行共少十二个乙七个丙也然则中行正数之多于负数二百九十二者以多此十二个乙七个丙而左行正数之反少于负数七十三者以少此十二个乙七个丙也则是并此多二百九十二少七十三之数共三百六十五者正是此十二个乙七个丙之共数而非其较数也故亦不分正负
如法以乙数左右互徧乗得数相减【无正负故有减无并】乙减尽 丙减余七十三为法 下位余一千六百七十九为实 法除实得二十三为丙数以丙数乗左行 丙七得一百六十一以减共三百六十五余二百○四以左乙十二除之得一十七为乙数又以乙数异加原列右行负七十三共九十内减原右行丙三该六十九余二十一以原右行甲三除之得七为甲数
论曰此同文算指所立叠借互征设问之一也原法繁重今改用方程简易如此
此所设问三色方程耳以西术求之已不胜其难况四色以往乃至多色乎此亦足见方程之不可废而古人别立一章之诚有实用也
此三色较变和例也 四色以往至于多色则其变益多要不出于和较例具后诸卷中兹不详列
厯算全书卷四十
钦定四库全书
厯算全书卷四十一
宣城梅文鼎撰
方程论卷二
极数
吾论方程至和较之杂之变尽矣虽然不知带分叠脚重审之法无以穷其致故极数次之
极数有三一带分二叠脚三重审皆不离乎和较之四术带分方程例
法曰视原问中有云防分之防者则以分母通其全数而列之或云有物防数又防分之防者以分母通其全数而纳其子如法列位遍乗减并以求一法一实既得法以除实而得者即所求物之一分也以所得一分之数分母乗之则为物之全数矣
或云防分之防又防分之防者以两分母相乗为全数而列之又以两分母互乗其子为所用之分而列之所用之分同在一行者并而列之分用于两行者不并也并之而所用之分反大于全数者以全数除之命为几全数又几分之几其入算乗除仍用所并之分得数后则只以全数之分乗之为全数【以上两法皆化整为零乗除竟用零分故先得一分之数】
又法
凡较数有以此之全数当彼之防分之防者则通其一行之内皆以分母乗之而后列焉则其所得即为全数而非其一分也【如云乙得甲三分之二则以分母三乗乙全数得全乙者三乗甲之二分得六分是为全甲者二则以三乙当二甲而列之骤视之如倒列其子母其实皆全数耳】若有正负之数亦以分母乗而列之【亦全数非零分也是为以零变整与化整为零之法不同故径得其全数所用乗除皆整数非分故也】得即为整【其所用分母只在本一行中如一物有两分母又分用于各行则各以其行中分母为用】凡和数中有一位带分而余只全数者亦可以分母通乗而列之其所得亦为全数而非分【如甲三乙二又三之一共十六则以分母三乗甲得九乗一二得六乗乙之一得三亦整一也并得整七乗共十六得四十八是为甲九乙七共四十八变零为整径以整数乗除所得即为整数】
又法
凡带分之法或化整为零或变零为整取其画一也此外又有杂用零整之法亦所当知【如行中有几位或原带有零分者以化整为零法列之其原未带分者只以整数列之但乗除得数后整列者所得即为整数零分列者所得只为零分之数仍须以分母乗之为全数】
又法
视所带之分有可以分母除之而尽者则以所除分秒附于整数而列之则其乗除后得数亦为所求之全数【若分母除其子不能尽者则不用此法】
今有甲字库贮金丁字库贮银各不知总但云取甲四之三加丁五之二则一百一十万若以甲加丁之倍数则四百四十万问各若干
畣曰甲库金四十万 丁库银二百万
法以分子甲之三分丁之二分列右
以分母四通甲整一得四分以分母五通丁整二得十分列左
依和数法互乗对减余丁之分二十二为法余八百八十万为实
法除实得四十万为丁之一分以丁之分母五乗丁之一分得二百万为丁库银数 乃以丁库数倍之得四百万减四百四十万余四十万为甲库金数此化整从零法也【原列零分故得亦零分之数】
又法以丁分母五互甲之三得十五以甲分母四互丁之二得八列右乂以两分母【五四】相乗得二十为甲丁共母以乗一甲得二十乗倍丁得四十列左 乃以甲丁共母乗一百一十万得二千二百万列右乗四百四十万得八千八百万列左【分母相乗为母母互乗子只是通分之法妙在以分共母乗其和数而零数皆为整用矣此用法之妙】
上 中 下
依法乗减余丁四百四十为法 八亿八千万为实以法除实得二百万为丁数以丁四十计八千万减八千八百万余八百万以甲二十除之得四十万为甲数此变零为整法也【原列整数故所得即为整数】
又法以甲分母四除之三得七分五秒以丁分母五除之二得四分列之则其余数皆不变
左甲一乗右行皆如原数 右甲○七分五秒乗左行各得四分之三甲各○七分五秒尽减 丁余一一【上一整数下一一分乃十分之一】为法共数减余二百二十万为实 法除实得二百万为丁数 以丁数倍之减共数余四十万即为甲数
此除零附整法也【零分既除为分秒则乗除之际皆以整数为主故所得亦即为整数】
今有甲乙二数不知总但云取乙五之三又取乙四之一以益甲则甲之数倍取甲三之二又取甲七之二以与乙较则乙多数二百四十问甲乙本数各防何畣曰甲本数一千○七十一 乙本数一千二百六十
法以较数带分取之 本二色也却有三位以分母通之仍二位也 先以乙分母【五四】相乗得二十以当乙之全数 又以分母五互乗分子一得五以分母四互乗分子三得十二并之得十七以当乙所益甲之分 是为乙二十分之十七以益甲也
次以甲分母【三七】相乗得二十一以当甲之全数 又以分母三互乗分子二得六以分母七互乗分子二得十四并之共二十以当甲所与乙较之分 是为甲二十一分之二十以与乙较也
于是分正负列位
依较数法乗减 乙余八十分为法 负数无减就以五千○四十为实 法除实得六十三为乙之一分 以乙全分二十乗之得一千二百六十为乙本数 乙本数同减负二百四十余一千○二十即甲与乙较之分也以左行甲之二十分除之得五十一为甲之一分以甲全分二十一乗之得一千○七十一为甲本数
乃细攷之 置乙本数【三】因【五】除之得七百五十六为五之三 又置一本数【四】除之得三百一十五为四之一 并两数共一千○七十一则与甲数同故以此益甲而甲倍也 置甲本数【二】因【三】除之得七百一十四为三之二 又置甲本数【二】因【七】除之得三百○六为七之二 并两数共一千○二十以此较乙则不及二百四十
此只是以乙之分与甲较又以甲之分与乙较也末卷所列诸率则是以乙之分益甲而转与乙所存之分相较又以甲之分益乙而转与甲所存之数相较故自不同合而观之则见
今有寳泉寳源二局铸钱不知总但云取寳源五之四又四之三以益寳泉则寳泉之数倍 若取寳泉三之二以与寳源较则多于寳源四十二贯
畣曰寳泉原数一千九百五十三贯 寳源原数一千二百六十贯
法先以寳源分母【五四】相乗得二十分为全数 又以分母五互乗分子【三】得十五分母【四】互乗分子【四】得十六并之共三十一分为寳源所以益寳泉之分 全数二十分所用以益寳泉者反有三十一分是为以寳源全数又二十分之十一以益寳泉也 其寳泉只一分母故不用乗并
乃列位
如法乗减 中位余二分为法 下位余一百二十六贯为实
法除实得六十三贯为寳源局二十分之一分 以分母二十乗之得一千二百六十贯为寳源数 以寳源数异加正四十二贯共一千三百○二贯即寳泉局三分之二也于是以分子之二除以分母三乗得一千九百五十三贯为宝泉数【置寳源数四因五除之得一千○八为五分之四又置宝源数三因四除之得九百四十五为四之三并两数亦恰得一千九百五十三贯如寳泉数以加寳泉是为宝泉者倍也】
论曰乗得数后宝泉分数同惟右行之寳源多于左行者二分而遂能与寳泉等若左行之寳源少此二分而其少于寳泉者遂一百二十六贯然则此一百二十六贯者正是寳源之二分矣【知分数即知全数知寳源即知寳泉】此二则皆化整为零而分母不同也
今有货泉刀贝四种之币各不知数但云泉八之一兼刀布七之二则如货数也 若刀布七之三兼贝六之四则其数如泉也若贝六之五又外加数八千九百七十则如刀布也 若货数自加九之一则其数如贝也问本数各防何
畣曰货五千一百三十 泉九千六百八十
刀布一万三千七百二十 贝五千七百
法以各分母通其原数然后以正负列之 货分母九泉分母八 刀布分母七 贝分母六 【丁行货合数一】
【又九分之一共十是为九分之十凡全数帯分者准此】
先以甲行货正九分为法徧乗丁行得数 又以丁行货负十分为法徧乗甲行得数【因首位异名故变一行以相从而以丁从甲】乃以甲丁两行得数相减 货同减尽 甲行泉负十分刀布负二十分皆无对不减 丁行贝负五十四分亦无对不减 下适足无乗无减仍为适足
乃以泉刀同名在甲行者为一类 贝同名在丁行者为一类分正负重列而求之【丁行之负甲行之正也】
因余行已无货位当以泉为乗法寻乙行中有泉径用与减余相对
如法徧乗得数乃相减并 泉同减尽 刀布异并得【正】一百九十分 贝同减余负三百九十二分以减余为主命其正负而重列之
因余行又已无泉当以刀布为乗法寻丙行有刀布径用与减余相对
上 中 下
如法徧乗得数 刀布同减尽贝同减余一千七百九十四分为法正一百七十万四千三百无减就为实 法除实得九百五十为负之一分 以丙行贝之五分该四千七百五十异加正八千九百七十共一万三千七百二十为刀布原数 以刀布分母七除原数得一千九百六十为刀布之一分 以刀布之三分该五千八百八十贝之四分该三千八百并之得九千六百八十为泉数【用乙行也】以泉分母八除泉数得一千二百一十为泉之一分 以泉之一分加刀布之二分三千九百二十共五千一百三十为货数【用甲行也】以货分母九除货数得五百七十为货之一分以货数加一分共五千七百为贝数【用丁行也】
甲丁两行乗减论曰既互乗则甲丁之货等而甲行之泉若刀布及丁行之贝又各与其首位之货等则甲之泉若刀布必与丁之贝等也故对减去货而径以甲之泉若刀布与丁之贝分正负而命之适足也此即西学中比例之理然方程中自有之且简快如此
乙行减并论曰左右两行之正负皆适足若于右正数内减左正右负数内减左负其所余者亦必适足也今右正内既减去同名之泉右负内又减去同名之贝而左负内有刀布不与右同名不能相减故反用以加加则正数多正数多则负数少而其数亦必适足矣
又论曰隔行之异名乃同名也今两行之正与负既皆适足若以左之正【泉】益右之负【贝】而共为负以左之负【刀布贝】益右之正【泉刀布】而共为正则亦适足也于是以两者【右泉刀布左刀布贝为一类左泉右贝为一类】对减其相同之物【泉各减八十分贝各减四十分】则其所余之物必亦适足也【左右刀布为正右贝减余为负】
又论曰右行刀布正数也正多于负之数也左行刀布负数也正少于负之数也合此二数则是右正之多于左正者此两行之刀布也然刀布之数右正虽多于左正而贝之数右负亦多于左负故两行皆适足也然则右正之所多与右负之所多亦必相当适足矣
丙行乗减论曰刀布本同惟右之贝多于左右之贝多则左之贝少左之贝少则刀布多矣然则左之刀布布独有盈数者正是此相差之贝也
此亦化整为零而又有整帯零【四色有空之例也】
问品官月俸六品为五品八之五七品为六品四之三八品为七品十五之十三九品为七品十五之十一倍九品加八品六品七品各一则如五品之倍数而多三石各若干
法以分母各通其原数而正负列之 五品通为八六品通为四 七品通为十五 八品九品以全数原无分母故也【五品倍则为十六】
先以甲行五品十六分遍乗乙行五品六品得数【余空位无乗】 次以乙行五品五分遍乗甲行得数 乃对减 五品各八十分同名对减尽 六品同名对减余四十四分乙行之负物也为乙类
七品八品九品并禄米较数皆无对不减皆甲行之负物负数也为一类 分正负列之与丙行相对
如法以减余六品分遍乗丙行六品七品分得数【余空无乗】
又以丙行六品分遍乗减余得数 乃以对减 六品得数各一百三十二分同名减尽 七品同名减余四百三十五分丙行之负物也自为一类 其余三位无减皆减余之负物负数也共为一类 分正负列之与丁行相对
又因丁戊两行皆有七品是多一算也乃更置之以八品列首位
上 中 下
如法以丁行八品负一遍乗减余皆如故【首行同名故两行之正负亦皆不变】又以减余八品负十五分遍乗丁行八品七品得数 乃对减 八品同减尽 七品同减余二百四十分右行之正物也为一类 九品三十无减禄米四十五石亦无减皆右行之负物负数也同
名共为一类 乃分正负重列之与戊行相对
如法以左右七品分互遍乗得数【首行同名故两行之正负皆不变】七品同减尽 九品同减余九十为法 禄米四
百九十五石无减就为实 法除实得五石五斗为九品月俸 置九品俸以相当之七品之十一分除之得五斗为七品月俸十五分之一而以与八品相当之十三乗之得六石五斗为八品月俸 又以七品之分母十五乗其一分得七石五斗为七品月俸又置七品俸以相当之六品之三分除之得二石
五斗为六品四之一而以其分母四乗之得十石为六品月俸 置六品俸以相当之五品之五分除之得二石为五品八之一而以其分母八乗之得十六石为五品月俸
计开 五品毎月十六石 六品毎月十石 七品毎月七石五斗 八品毎月六石五斗 九品毎月五石五斗
论曰此所列有二种 六品通为四分者问原云四之三是可以四分者也七品通为十五分者原云十五之十三之十一是可以十五分者也五品通为十六分者原云八之五是可以八分者也又倍之而十六则为八分者二矣此皆以分立算化整从零之法也八品则只是原数九品亦是原数而又有倍数然
只是原数之倍非如五品倍其分也此两者皆不用分只用整 合而言之乃零整杂用之法也 零与整杂似不伦矣然乗除得数则同 但用分者所得数亦为一分之数故必以分母乗之乃合原数而其原不用分者得即原数更不湏乗能知此理则用分无误矣
甲乙两行论曰两行正数内五品本同而甲有负多于正之较乙则无有是此较数乃甲负多于乙负之较也于是以两负相减以去其同之分而观其所不同之处则甲有诸品而乙惟六品之减余然则甲负之独多此较者乃甲诸品多于乙六品减余之较矣
丙行乗减论曰两得数对减而六品减尽是其数同也其与六品为正负者又减去相同之七品分而左仍余七品之余分右仍余诸品之全分则是两行诸数皆同而惟此二者有差也然则右之独有盈于六品之较者正此二者之差数也
丁行论曰两行对减而于负数内减去相同之八品惟余九品于正数内减去相同之七品分惟余七品之余分然则右行负数独有盈于正数者正是右行九品与其七品余分之较也何也与之对减者乃左行适足之数故于较数无闗也【重列三次皆然】
戊行论曰右行内减去左行适足数惟余九品数则其下盈数必所余九品之数也 此条逓减归一其理较明学者翫之
此零整杂列也亦五色方程有空例也有减无并可悟偶加竒减之非
问有物一百七十四以三人分之乙所分如甲七之三仍不足单六丙所分如乙七之三而多二数各几何畣曰甲数一百一十二 乙数四十二 丙数二十【甲数三因七除得四十八多于乙数六乙数三因七除之得十八少于丙数二】
法列位 以甲乙分母七化整为零 丙无分仍用整
【○】 乙之三分【正】 丙一【负】负二【此行无甲数存与减余重列】
此三色有空先以和较杂法用两行甲互遍乗之和数甲全分七乗较行得数【依其正负】以较数甲正三分乗和行得数【从乗法皆命为正】 甲各二十一分同减尽乙异并七十分【正】丙三无减【正】下数同减余四百八十【正】皆同名不分正负以和数重列与第三行较数求之
上 中 下
如法互乗减并 乙同减尽 丙异并七十九为法下数异并一千五百八十为实 法除实得二十
为丙数 丙数同减负二得一十八为乙七之三乃以三分除之得六为乙七之一以分母七乗之得四十二为乙数 乙数异加正六共四十八当甲七之三乃以三分除之得十六为甲七之一以甲分母七乗之得一百一十二为甲数 此亦零整杂用之法也
若依变零从整法则以分子母倒位列之其正负以分母乗之乃与和数列而求之
论曰倒位何也非倒位也分母遍乗则然也以分母七乗子三而皆七之则为三分者七为三分七是为全全数者三矣而其所当者全数也七之则为全数者七矣是乙以全数当甲七之三者七乗之则七乙当三甲也故如倒位然皆全数也非分也故非倒位正负亦分母乗何也乙一当甲七之三而少六则七乙当三甲而共少七个六为四十二也丙一当乙七之三而多二则七丙当三乙而共多七个二为十四也
如法以前两行遍乗减并又重列之与第三行遍乗减并 乙减尽丙异并七十九为法 下数异并一千五百八十为实 法除实得二十为丙数
七因丙数得一百四十同减负十四余一百二十六以乙三除之得四十二为乙数
七因乙数得二百九十四异加正四十二共三百三十六以甲三除之得一百一十二为甲数
此变零从整而分母同者也亦有分母不同但取其本一行中所用之分母遍乗本行以为用不必齐同如后条
问有数不知总以三人分之亦不知各所分之数但云甲如乙丙共数二之一乙如甲丙三之二丙如甲乙四之三而不足四又四分之一总数分数各几何畣曰总数十五 甲五 乙六 丙四 乙丙共十其二之一则五如甲 甲丙共九其三之二则六如乙 甲乙共十一其四之三则八义四之一以丙相较不足四又四之一也
法曰此各行分母不同【如甲有三之二又有四之三乙有二之一又有四之三丙有二之一又有三之二皆有两分母】宜用变零从整之法以不同同之【用分则不同变而用整则不同而同矣】以分母各遍乗其本行而列之右行分母二 中行三左行四
如法互乗减并以三色较数变为二色而重列之【虽减并不同皆仍为较数不变宜翫】
如法互乗 乙同减尽 丙同减余负三十四为法正一百三十六无减就为实 法除实得四为丙
数 六乗丙数得二十四以相当适足之四乙除之得六为乙数 以原列右行乙丙各一共十以相当适足之甲二除之得五为甲数
论曰甲为乙丙二之一则是二甲当一乙一丙也皆二因之也 乙为甲丙三之二则是三乙当二甲二丙也皆三因之也 丙为甲乙四之三而不足四又四之一则是四丙以当三甲三乙而不足十七也皆四因之也【甲乙丙各有两分母若化整为零当以分母相乗为原数母互乗子为所用之分殊多事矣】二因甲得二二因乙丙二之一得乙丙各一
三因乙得三三因甲丙三之二得甲丙各二
四因丙得四四因甲乙四之三得甲乙各三四因正四又四之一得正十七【以一丙与甲乙四之三较不足四又四之一若以四丙与四个甲乙四之三较亦不足四个四又四个四之一是为十七】
问有数九百六十以四人差等分之乙与甲如二与八丙与乙如三与七丁与丙如四与六各几何
畣曰甲六百七十二 乙一百六十八 丙七十二丁四十八
法以共数命为和相当数命为较依和较襍法列之乙二而甲八是乙得甲八之二故八乙可当二甲也丙三而乙七是丙得乙七之三故七丙可当三乙也丁四而丙六是丁得丙六之四故六丁可当四丙也【推此知二八三七四六各种差分皆可以方程御之】
首次两行如法互乗减并讫重列之取出第三行与之为耦
如法减并讫又重列之【两次减余皆和数可见立负之非】
又取末行与之为耦而列之
如法乗 丙减尽 丁并得四百八十为法 正二万三千○四十无减就为实 法除实得四十八为丁数 六因丁数得二百八十八以相当之四丙除之得七十二为丙数 七因丙数得五百○四以相当之三乙除之得一百六十八为乙数 八因乙数得一千三百四十四以相当之二甲除之得六百七十二为甲数
试以甲并乙共八百四十以八因之得甲数若二因亦得乙数是乙数甲二八差分也 试以丙并乙共二百四十以七因之得乙数若三因亦得丙数是丙与乙三七差分也 并丙丁共一百二十以六因之得丙数若四因亦得丁数是丁与丙四六差分也
又试以八除甲数得八十四以二除乙数亦得八十四若以八十四除甲数必得八以八十四除乙数必得二也 又试以七除乙数以三除丙数皆得二十四若以二十四除乙数必得七除丙数必得三也 以六除丙数以四除丁数皆得十二若以十二除丙数必得六除丁数必得四也
问有数七百四十一以四人分之乙于甲为三之二丙于乙为五之三丁于丙为七之五各防何
畣曰甲三百一十五 乙二百一十 丙一百二十六 丁九十
法曰乙得甲三之二是三乙当二甲也丙得乙五之三是五丙当三乙也丁得丙七之五是七丁当五丙也故皆命以适足而列之
先以孟仲两行如法互乗减并讫列其余数取出叔行相对
如法减并又列其余与季行相较
如法减并 丁二百四十七为法 正二万二千二百三十为实 法除实得九十为丁数
七因丁数五除之得一百二十六为丙数 五因丙数三除之得二百一十为乙数 三因乙数二除之得三百一十五为甲数
问有数七百四十一以四人分之乙如甲三之二丙如甲五之二丁如甲七之二各几何
因前问中有疉数故作此问以互明之
乙三当甲二而丙五又当乙三是丙五亦当甲二也丙五当甲二而丁七又当丙五是丁七亦当甲二也【又丁七亦当乙三今云两者以甲为主也】
在西法谓之连比例
上 中 下
首行互乗次行如故 次行乗首行皆二之甲减尽乙异并得五【正】丙二【正】丁二【正】正一千四百八十
二皆无减【皆仍为和同名在一行故也】
次行乗三行因两首位同不用乗竟以对减 甲减尽乙三【次行负也】丙五【三行负也】皆无减命为正负适足【同名在两行故为较数】三行末行首位亦同亦径减 甲减尽 乙空 丙五【三行负也】丁七【末行负也】皆亦无减命为正负适足【亦同名在两行】乃以减余重列之如三色有空之法
如法减并得二百四十七为法二万二千二百三十为实 法除实得丁数以次求得甲乙丙数皆如前问之数
问有米三百八十五石五斗二升令二等人户以四六差分出之甲上等二十六户乙下等四十户下户出率则如上户六之四
畣曰上户各七百三斗二升 二十六户共一百九十石○三斗二升 下户各四石八斗八升 四十户共一百九十五石二斗
法以和较列位
如法互乗得四 甲同减尽 乙异并三百一十六户为法 米一千五百四十二石○八升无减就为实 法除实得四石八斗八升为下等戸则例 以下等六户乗其则例得二十九石二斗八升以相当之上等四户除之得七石三斗二升为上等户则例
问有米三百一十七石给与四色人户甲二十户乙三十户丙四十户丁五十户丁每户如丙户七之三丙每户如乙户六之四乙毎户如甲户八之二各几何畣曰甲每户八石四斗 二十户共一百六十八石乙每户二石一斗 三十户共六十三石丙每户一石四斗 四十户共五十六石丁每户六斗 五十户共三十石
法列位
首行甲二十户十倍于次行甲正二但以首行甲退一位作二则齐同矣甲退十为单其下各位皆退十为单即如互遍乗而可以对减矣
乃以减并之余重与第三行列之
又以减并之余重与第四行列之
依法求得六百三十四为法 三百八十石○四斗为实 法除实得六斗为丁户则例 七因丁则得四石二斗丙三除之得一石四斗为丙则 六因丙则四除之得二石一斗为乙则 四因乙则得八石四斗为甲则
【此条有省算法说见后卷】
此上数条皆变零从整法也
有两数相较而为十之八十之七者即非二八三七差分也有二例见末卷
璎珞方程例
璎珞者言其聨缀而垂象璎珞也谓之疉脚
凡算方程皆以多色逓减至一法一实以先知一色之数然此所先求之一色却原带有不同之数则法一而实非一故以一总法而除多实非疉脚之法不可也【亦有以下为法上为实者则实一而法有多名在合问者之所求而定之详刋误条】
今有大江南北两处粮艘载米不同因氷程逺近给耗米亦不等但云南船三只北船两只共运米一千九百七十石外给耗米共六百六十八石又南船一只北船四只共运米一千九百九十石外给耗米五百五十六石问各船正耗米数以便稽核
畣曰北船每只正运米四百石 给耗米一百石共正耗米五百石 每正米一石耗米二斗五升南船每只正运米三百九十石 给耗米一百五十六石 共正耗米五百四十六石
每正米一石给耗米四斗
法各列位
先以左行南船一遍乗右行各得原数
次以右行南船三遍乗左行得数 南船三与右减尽 北船十二减去右二余十只为总法
正运米五千九百七十石减去右一千九百七十石余四千石为运米实
耗米一千六百六十八石减去六百六十八石余一千石为耗米实
以总法除正运米实得四百石为北船每只运数以总法除耗米实得一百石为北船每只耗米数【总计正耗得北船毎只米五百石】
任于左行总运米一千九百九十石内减北船四只该运米一千六百石余三百九十石为南船一只运数【一故不除 或于右行运一千九百七十石内减北船二只运八百石余一千一百七十石以南船三只除之亦得三百九十石】
于左行总耗米五百五十六名内减北船四只该耗四百石余一百五十六石为南船一只运数【或于右行耗六百六十八石内减北船二只耗二百石余四百六十八石以南船三只除之亦得一百五十六石】总计正耗得南船每只米五百四十六石
以北船四百石除其耗米一百石得每石给耗米二斗五升以南船三百九十石除其耗米一百五十六石得每石给耗四斗
此问每船米数故以船为法米为实
若问每米一万石该用几船则以减余船十只用异乗同除以一万乗得十万为总船实 以运米减余四千石为法 法除实得二十五为每运米一万石用北船之数 于是任以右行北船二只亦用异乗同除以一万石乗之二十五船除之得八百石以减共米一千九百七十石余一千一百七十石又用为法以右行原列南船三乗一万石得三万石为实法除实得二十五只又三十九分之二十五为每米一万石用南船之数
若问耗米给过五千石该得几船者则亦用异乘同除以五千石乘减余十只为北船实 以减余耗米一千石为法除实得五十只为每耗米五千石给北船之数 任以右行北船二只五千石乘之五十只除之得二百石以减共耗六百六十八石余四百六十八石又用为法以原列南船三乘五千石为实法除实得三十二只又三十九分之二为每耗米五千石给南船之数
假如有南运艘二只以比北三只则南船运米不及北四百二十石其南船带耗米反多于北一十二石若以南船三当北船五则南船运米不及北八百三十石其耗米亦不及北三十二石问各几何
法以正负列位
上 中 下
如法乗减余北船一只为总法
运米同减余四百石为运米实即为北船每只运数【总法一故不除下同】耗米异并得一百石为耗米实即为北船每只耗数
任以右行北船三乗其运数得一千二百石同减负四百二十石余七百八十石以南船二除之得三百九十石为南船运数
以右行北船三乗其耗数得三百石异加正十二石共三百一十二石以南船二除之得一百五十六石为南船耗数
若问毎米一万石须几船运者则以减余北船一以一万石乘之为船实 以减余四百石为运米法法除实得二十五只为北船每运一万石之数 又以一万石任乗右行北船三以二十五只除之得一千二百石同减负四百二十石余七百八十石又为法以一万石乘南船二为实法除实得二十五只又三十九分船之二十五为南船毎运一万石之数
若问耗米五千石该给几船者则亦以五千石乘减余北船一只为船实 以减余一百石为耗米法法除实得五十只为北船耗米五千石之船数 又以五千石乗右行北船三以五十只除之得三百石异加正十二石共三百一十二石又为法以五千石乗南船二为实实如法而一得三十二只又三十九分船之二为南船耗米五千石之船数
此因耗米与正运不同故也若耗米亦以一万石为问则北船之实皆同
今有墨一百二十七锭研六十六枚给与修史局六十人校书局六十三人又有墨五十八锭研三十二枚给与修史局二十四人校书局四十二人问各防何畣曰史局每人墨一锭又六分之四【六人十锭也】研四分之三【四人共三研】校书局毎人墨七分之三【七人共三锭】研三分之一【三人共一研】
法各列位
如法乗减余校书一千○○八人为总法
墨余四百三十二为墨实
研余三百三十六为研实
以总法除墨实得七分之三为校书局给墨数【七人得墨三锭】 就以七人除右行校书六十三人以墨三锭乘之得二十七锭以减总给一百二十七锭余一百锭以史局六十人除之得一锭又六分之四【六人得四锭并整数为六人十锭】为史局给墨数
又以总法除研实得三分之一为校书局给研数【三人共一】 就以三除校书六十三人得二十一研以减总给研六十六余四十五研以史局六十人除之得四分之三【四人三研】为史局给研数
问修艌船只内有旧船二只新船一只共用桐油二百六十斤麻一百三十斤钉十七斤石灰二百一十斤计工两月有半又旧船一只新船三只共用桐油二百八十斤麻一百四十斤钉十六斤灰二百三十斤工两月有半其新旧船各防何
畣曰每新船一只 用桐油六十斤 麻三十斤钉三斤 灰五十斤 每工一月修两只
每旧船一只 用桐油一百斤 麻五十斤 钉七斤 灰八十斤 每工一月修一只
法各列位
先以左旧船一遍乗右行如故
次以右旧船二遍乗左行得数 乃相减 上位旧船对减尽中位新船减余五为总法
下位油相减余三百斤为新船油实【以总法除之得六十斤为新船油数】麻相减余一百五十斤为新船麻实【以总法除之得三十斤为新船麻数】钉相减余一十五斤为新船钉实【以总法除之得三斤为新船钉数】灰相减余二百五十斤为新船灰实【以总法除之得五十斤为新船灰数】
任以左行新船三只乗其油数得一百八十斤以减总油二百八十斤余一百斤为旧船一只油数
以新船三只乗其麻数得九十斤以减总麻一百四十斤余五十斤为旧船一只麻数
以新船三只乘其钉数得九斤以减总钉一十六斤余七斤为旧船一只钉数
以新船三只乘灰数得一百五十斤以减总灰二百三十斤余八十斤为旧船一只灰数
此为以船求油麻等故以船为法以麻油等为实
乃以减余新船五只为总实
以减余工两月半为法 法除实得二只为每工一月修新船之数就以二只除左行新船三只得一月有半以减总工两月半余一月以除旧船一只如故得每工一月修旧船一只
此以工求船故以工为法船为实与前相反
重审方程例
凡算方程皆以有总数无各数故逓减以求之然有并其总数亦隠者此当用两次求之故曰重审
假如品官禄米不知数但云甲支三品俸四个月又带支四品俸五个月乙支三品俸六个月又带支四品俸五个月亦不知甲乙各得数但云以甲十三分之一益乙则三百五十石若以乙十一分之三益甲亦三百五十石问两品禄米各几何
荅曰三品毎月俸三十五石
四品每月俸二十四石
法曰此当先求出甲乙两家支过禄米再求各品月俸谓之重审先以带分法列位
上 中 下
左甲之一分遍乗右行如故
右甲之十三分遍乗左行得数
甲减尽 乙减余一百四十分为法 余俸四千二百石为实 法除实得三十石为乙之一分 以乙分母十一乗其一分得三百三十石为乙支过米数以乙支过米数减总三百五十石余二十石为甲之一分 以甲分母十三乗其一分得二百六十石为甲支过米数
既得两家支过米数乃重列之以求品俸
如法左右乗减 余四品十月为法 余俸米二百四十石为实 法除实得二十四石为四品每月俸以四品五月计一百二十石减甲支二百六十石
余一百四十石以甲支三品四月除之得三十五石为三品每月俸
假如品官支俸本折兼支不知数但云甲支一品俸四个月又带支二品俸五个月乙支一品俸六个月又带支二品俸十个月亦不知甲乙支过数但云取乙本色三分之一以益甲共五百六十六石若取甲本色三分之二以益乙则八百六十五石 取乙折色五分之二以益甲共四百九十八石若取甲四分之一以益乙则五百七十九石问各几何
畣曰一品月俸八十七石
内实支本色一半四十三石五斗 折色钞一半数同二品月俸六十一石
内实支本色六分三十六石六斗 折钞四分二十四石四斗
法当重审 先求本色依带分法列位
上 中 下
如法乗减 余乙之七分为法 余本色一千四百六十三石为实实如法而一得二百○九石为乙本色之一分以减右行共本色五百六十六石余三百五十七石为甲支过本色数 又以乙分母三乗其一分得六百二十七石为乙支过本色数
计开
甲支过本色三百五十七石【内一品俸四个月二品俸五个月】乙支过本色六百二十七石【内一品俸六个月二品俸十个月】
次求折色 亦依带分列位
如法左右乗减 乙余十八分为法 余折色一千八百一十八石为实 法除实得一百○一石为乙折色之一分以乙分母五乗之得五百○五石为乙支过折色数 以乙之二分乗其一分得二百○二石以减共折色四百九十八石余二百九十六石为甲支过折色数
计开 甲支过折色二百九十六石【内亦一品俸四个月二品
俸五个月】
乙支过折色五百○五石【内亦一品俸六个月二品俸十个月】
既得甲乙两家支过本折然后乃求各品月俸
依叠脚法列其所得本折而重测之
如法遍乗得数 上位一品减尽 中位二品余十个月为总法 下位本色余三百六十六石为本色实
折色余二百四十四石为折色实
乃以总法除本色实得三十六石六斗为二品毎月俸本色数 以乙二品十个月计三百六十六石减乙共本色六百二十七石余二百六十一石以乙一品六个月除之得四十三石五斗为一品月俸本色
又以总法除折色实得二十四石四斗为二品月俸折色 以乙二品十个月计二百四十四石减乙共折色五百○五石余二百六十一石以乙一品六个月除之亦得四十三石五斗为一品月俸折色【其右行亦可互求则先得甲数也】
于是以一品本色折色并之得每月俸八十七石【本折各半支】
以二品本折并之得毎月俸六十一石【四六支本色六分折色四分】