历算全书厯算全书卷四十一
厯算全书卷四十一
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
钦定四库全书
厯算全书卷四十二
宣城梅文鼎撰
方程论卷三
致用
笇之用惟防其説惟详详説之斯能捷用省笇列位诸法由是以生也故致用次之
致用有二一者省笇一者列位【例襍见诸卷中故不具列而备论其理】省算法亦有二一者行有空则省算一者数偶同则省乗
凡方程之法去繁就简同者去之异者存之归于一法一实而已矣故三色以上有空位则可径求
若三色方程无空位者必湏乗减得数变为二色以求之此常法也若内有一行中空一位则以所空之位列于首而先以其余两行不空者如法乗减得数即重列之与原有空位者相对如二色方程也【以两行无空者相乗对减则减去一色惟余二色其有空者原只二色故可相对如二色也】则省一笇【原法乗减三次今只两次故曰省一笇】
凡三色方程不论一行有空或两行各有空或三行各有空皆只省一算何也其各行中虽有空位而不相对故也何以知其不相对若两行有空而又相对则径可以二色算之矣即不成三色方程 三色有空例襍见前卷
凡四色五色以至多色有几行空位者如上省算径求最为简防若中行无空则必如法乗减以五色变四色四色变三色三色又变二色渐次求之不可径求而省算也今诸书所载皆其各位之有空者耳非通法也而欲以此尽方程可乎
凡四色方程有乗减六次者常也 若有一位空则省一算 一行中空两位或两行各空一位而相对则省二算 若一行空两位又一行空一位则省三算止矣 或有四行中各空一位而不相对亦只省一算而已何也惟首位空乃能省算若首位不空而空在下数位则乗减之后自然补实不能省矣 亦有两行各空两位而只省二算者亦以空位相左乗后补实耳故虽四行中各空两位亦只省三算也
假如四色中有一行空两位则将此无空之三行如法乗减变为两行又将此两行如法乗并变为一行此减余一行却有二位恰兴空两位之行相对矣便以重列如二色方程取之此最方程中要法而诸书未及也故详论之
若四色方程有两行各空一位而又相对则将其无空之两行如法互乗而减去此不空之位变为一行与空位之两行同列如三色法而之尤为易见
其四色各行空两位而省三算即今诸书中所载是也可无更赘然但欲知其为省算方程而非常法耳
其四色无空乗减六次者竟无其式故误以省算为常然既明其理亦不必一一为式矣
凡五色方程无空则有乗减十次者常法也【五色变四色则有四算四色又变三色则有三算三色又变二色则有二算二色又一算乃得法实合之为十算】故五色而为四图者亦常法也【原列一图以减余重列为四色而三色而二色又各一图合之为四图】
若有空一位则省一算 或空两位而省二算【湏两位空在一行或两行俱空首位乃可】 空三位而省三算【湏空在一行或三行同空首位或一行首位空一行首次两空则可】 空四位而省四算【湏一行空三位而一行又空一位恰与空三位者同或二行俱空首位而一行又空首次两位乃可或两行俱空首次亦可】 空五位而省五算【湏两行空首位而一行空首次三位或两行空首次而一行空首位或一行空首次而一行空首次三之位乃可】 空六位而省六算【湏一行空首位一行空首次一行空首次三行位乃可】
省至六算止矣六算以上虽多空位无闗省算也
今诸书有载五色方程者皆其各行空三位者耳总计之有空十五位而其为法亦必用四算然后得数则所省者亦只六算而竟不知其为省算之法则习而不察也
假如五色方程内只有行空三位法当以有空之三色列于上而先以其无空之四行如法乗减变为四色者三行又以乗减变为三色者二行又以乗减变为二色者一行则恰与空位之行相对矣再乗减一次得所求矣故曰省三算也【变四色时省一算变三色时省一算变二色时省一算共省三算】
假如五色方程内有两行各空二位而相对法当以有空之二色列于首次而先以其无空之三行如法乗减变为四色者二行又以乗减变为三色者一行则恰与空位之两行相对矣于是以三色法取之得所求矣故曰省四算也【变四色时省二算变三色时亦省二算】
假如五色方程内有两行空首位又一行空首次三之三位法当以无空之两行如法乗减变为四色者一行则恰与空首位之两行相对矣 乃以原数两行减余一行相并列之用相乗减变为三色者两行又相乗减变为二色者一行则又恰与空三位者相对矣 乃以原空三位者与减余列而求之即得之矣故曰省五算也【变四色时省三算变三色与二色又各省一算】
若五色方程内有两行各空三位者即如一行空两位一行空三位也法以无空之三行先用乗减变为四色者两行又以乗减变为三色者一行则恰与空首位次位者对矣取出原空两位者与减余列而求之变为二色者一行又恰与空三位者相对矣又取出与减余列而求之即得所问故亦省五算也【变四色三色时各省二算变二色时又省一算共五】其两行虽各空三位而不相对故也【若各空三位而相对即成二色方程矣】
若五色方程各行俱有空位不等要之省六算止矣省六算者必一行空首位而省一算一行空首次而省二算一行空首次三之位而省三算其余空位必不相对不能省算与无空同也
其法先以不空之两行乗减得数变为四色与空首位者相对又乗减变为三色与空首次者相对又乗减变为二色与空三位者相对再乗减即得所求诸列不能悉具智者反隅可也
论曰常与变相待而成告方方程省算而特详其不省之算者欲穷其变先得其常也
以上所论虽止五色引而伸之若六色七色八色九色乃至多色其理一也
以常言之 二色者一算 三色者三算 四色者六算 五色者十算 六色者十五算 七色者二十一算 八色者二十八算 九色者三十六算十色者四十五算 十一色五十五算 十二色者六十六算
以空位言之 三色者有省一算 四色者有省一算至三算 五色者有省至六算 六色者有省至十算 七色者省十五算 八色有省二十一算九色有省二十八算 十色有省三十六算 十一色有省四十五算 十二色有省五十五算
以省算所用而言之 三色者有只用二算 四色者有只用三算 五色有只用四算 六色有只五算 七色有只六算 八色有只七算 九色有只八算 十色有只用九算 十一色有只十算 十二色有只十一算
总而言之 二色则只一算 三色则有二算或三算 四色则有三算以至六算 五色则有四算以至于十算 六色则有五算至十五算 七色则自六算至二十一算 八算则自七算至二十八算九色则自八算至三十六算 十色则自九算至四十五算 十一色自十算至五十五算 十二色则自十一算至六十六算
扩而充之犹举一隅耳然其法不外于和较与和较之襍与变愚故不欲以四色五色等分为之目也 必如此则方程之法乃为通法若诸书所列四色者必各行空二位五色必各空三位非通法也方程者所以御襍糅正负也而必逓空相等乃可用算是法有所不及而穷于问也岂古人立法之意哉
此以上论空位省算省算者乗减并俱省之也非若省乗者但省互乗而不省减乗
凡方程互遍乘者取其首位齐同耳故乘减一次则少一色以首位之齐同必减而尽也然亦有其首位之数偶尔相同者法当径以对减而省其互乗此虽省其乗而不省其减并故与前论省算同而微异也
假如和数方程首位同则径减矣 若较数者又湏论其正负之名 同数矣而又同名径对减矣 同数而不同名则更其一行之正负以相较而后减并焉此要诀也不则首位虽减去而其下之同异淆则加减皆误矣
若和较襍者首位之数同亦必以较数首位之名名其和数之一行而后减并之但省其互乗可也
以上论同数省乗
亦有首位数虽不同而可以分数相命者则以其分数改其一行之数以从一行则首位齐同而可以对减省其互乗焉可矣
若较数或和较襍皆如前法齐同其首位之名斯减并无误耳【较数首位同名则仍之异名者改一行以相从和较襍者以较首位之名名其和数之一行】
假如两首位为五与十是倍数也则半之盖五与十互乗各得五十而其下诸数从之而溢矣今但以首位十半之为五而其下诸数皆半之以相减并则五之之行可无乗而数亦简明殊散人怀也
若两首位为二十与二是十之一也则以退位之法乗之使二十之一行皆为十之一 若为八为四亦倍数也 若为八与二是四之一也四除其八之行则得矣 若九与三则三之一也以三除九则亦三而其一行皆三除之则可减倂矣然三除多有不尽不如只以三因其三之行也 若为五与三则六因其五之行而退位 五与二则四因退位 五与四则八因退位皆同 若六十四与八则八之一也八除其六十四之行犹互乗也 若此类者不可枚举得其意者酌而用之可也尤要在首位之必同名亦有不可强齐者如七与二九与四之类只用互乗为无弊也省乗者为省事而设也强齐之反多事矣此以上论分数省乗
此外又有不拘首位者但数同则径以对减施之二色为宜盖二色方程只湏减去一色其所余即一法一实矣然亦湏同名方可减去若异名者改而齐之可也
假如较数方程其中一色同名而又同数径减去矣若但同数而不同名则更其一行之正负乃减去之
假如和较杂其中一色同数则以之为主使和数一行皆与此一色同名乃减去之
若和较则不湏尔但同数者即减去之此二色捷法
合此三者省算之理备矣
问田粮七则起科甲有上田一亩上次田一亩输粮七斗乙有上田一亩上次四亩上中一亩粮一石八斗丙有上次上中田各一亩粮五斗丁有上中田中田各二亩粮五斗戊有中田三亩中次五亩中下五亩已有中下八亩下田十三亩庚有中下田下田各十亩皆粮五斗问各则若何
法曰此方程防续法也以甲乙丙借作三色己庚借作二色各如法求得田则则其中两色自知
先以甲乙两行徧互乗减去上田 余上次田三亩上中田一亩 粮一石一斗 用与丙行乗减 上次田减尽 余上中田二亩为法 粮四斗为实法除实得二斗为上中田则例
就以上中田则减丙粮五斗余三斗为上次田则例以上次田则减甲粮七斗余四斗为上田则例【以上三色法也】
又以上中田则例乗丁田二亩得四斗以减丁粮五斗余一斗以二亩除之得五升为中田则例
又以戊中田三亩乗其则例得一斗五升以减戊粮五斗余三斗五升为戊田中次中下各五亩之共数因此处防而不属故又先求末两行
再以二色法用己庚两行如法遍乗减去中下田余下田五亩为法粮一斗为实法除实得二升为下田则例【以八因庚行而退位省乗法也】
以庚下田十亩乗其则例得二斗以减庚粮五斗余三斗以中下田十亩除之得三升为中下田则例【以上二色法也】
乃以戊中下田五亩乗其则例得一斗五升以减戊中下中次共三斗五升余二斗以戊中次五亩除之得四升为中次田则例
计开 上田每亩粮四斗 上次田每亩粮三斗上中田每亩粮二斗 中田每亩粮五升中次田每亩粮四升 中下田每亩粮三升下田每亩粮二升
论曰此虽七色因行中防续即非七色借三色二色之法知其首尾而中行亦见焉所省良多然非省乗其势则然也以其疑于省算也故附之其末
又有数偶相同不论三色四色但一减之后即得一法一实者非省算也然亦省算之类故亦附録一条以见其例
假如縀纱绢不知价但云以縀一匹纱五匹易绢九匹余价二两六钱又以縀二匹绢八匹易纱四匹余价六两八钱又以縀三匹易纱六匹绢七匹少价一两二钱
畣曰縀每匹价银三两纱每匹一两 绢每匹六钱
法列位
因中左纱减尽只余一色即以绢十九为法 除十一两四钱得绢价每匹六钱 以绢余二十六匹乗价得十五两六钱同减负一两六钱余十四两纱价也以纱余十四匹除之得纱价每匹一两【用中右减余得之】以原左行纱六匹【价六两】绢七匹【价四两二钱】共价十两
二钱同减负一两二钱余九两縀三匹价也三除之得縀价每匹三两
论曰此方程之变例也一减之后即得其数 若多色方程除首位外有减尽者先虽无空而减余重列即成有空方程矣【例见本卷齐军列陈条】
若三色俱减尽则不能成算 或三色方程中左三色俱减尽中右只减一色则所余者二色而无相较乗减无因不能别其二色亦不能成算也
假有问水银三斤硃砂二斤共价四两四钱又水银九斤硃砂六斤共价十三两二钱问各价若干
畣曰此不可以方程算何也彼虽两宗而其后一宗之物价皆三倍于先一宗互乗之后必湏减尽故也
凡左行之物俱倍于右行或俱半俱四之一等互乗之后得数齐同不能分核具如前论方程立法正以诸物襍糅多寡错居同异参伍而得其端倪也
又或三色方程而问只二宗则减余仍有二色不能分别故问三色必有三宗问四色必有四宗五色六色以上悉同何也方乗立法乗减一次始能分去一色若少一行则少一次乗减而不能得其一法一实矣故行中可有空位而不可有空行
行中有空者分一行言之也若总列为图则位皆无空凡此皆治方程者所当知
知其有不可算斯无疑于算知其有必不可省斯善为省矣
列位之法亦有二
一者更其上下之位以互求也 或为省算之计
凡方程立法务湏首位齐同以便减去故每遍乗一次则减去一色逓减之则一法一实矣今行中有空则是不待遍乗而其一色已先减去也故取而列之于上位则能省算不则上位不空而下反空则对位无减补成不空而不能省算矣
其法于列位时覆视之有横列中空位多者取作首位首位空一行则省一算矣
若首位原有空位而欲更定次位者不必改列但于重列减余时检防更定之可也
又横列中有数偶相同或可以分相命者取作首位亦省遍乗或横列中有单一数多者取作首位省乗【单一数则不湏乗故也】
以上论上下之位
一者更其前后之行也
凡首位多空而其不空者隔逺则更而聨之便乗减也其各行空位不等者不必更列但以与减余相对
者取出对列而乗减之【例见前诸卷】
若各行首位有可以分相命或数偶相同而为他行所隔亦可更置使之相接
又多色方程有各行中对位总空者取出另列而先乗其他行之不空者乃于重列之时渐次添入可免细书局蹐【例见后卷】
以上论前后之行
法曰凡多色方程先任意列位竟乃覆视之若首位有空而下则无之此不必更置也或首位多空而下则少亦不必更置也
惟首位不空而下反有或首位空少而下反多则更而置之故上下可以互居前后亦可易位或云以末行为主者非也
问古今厯术屡更其所用日法无一同者如以汉太初厯日法十有一外加四十九则如殷厯日法也若以太初日法二殷厯日法三再加五十八则如唐大衍厯日法也若太初日法十有四大衍日法二相并以比宋纪元厯日法仍少七十六若太初日法九十倍之即纪元日法其各数若干
法以正负列位
甲太初十一【正】殷七一【负】○ ○ 负四十九乙太初二【正】殷六三【正】大衍一【负】○ 负五十八丙太初十四【正】 ○ 大衍二【正】 纪元一【负】 负七十六丁太初九十【正】 ○ ○ 纪元一【负】 适足如右图太初厯横列皆满须用遍乗对减者三而后能减去太初之一色其余虽多空位自然有无减之对位相补不能省算
如法改列
以最多不空之太初列下爲第四位则殷厯居上而成有空位之方程矣
先如法以甲乙两行互乗减并殷厯各正十五对减尽大衍负一无减太初异并负三十五下数异并正二百○五【因异并故并从甲行之名而大衍在乙行与下数同名亦改负为正】
乃重列之【取出丙行与减余相对】
如法互乗减倂 大衍各正二对减尽 纪元负一无减 太初异倂得正八十四下数异并得负四百八十六
又重列之【以减余与丁行相对】
首位同名同数省互乗 纪元各负一对减尽 太初同减余六为法 负四百八十六无减为实法除实得八十一分为太初日法 以丁行太初九十乗其日法【八十一分】得七千二百九十分为纪元日法 以甲行太初十一乗其日法【八十一分】得八百九十一异加负四十九得九百四十分为殷厯日法 以乙行殷厯三乗日法【九百四十】得二千八百二十又太初二乗日法得【一百六十二】又异加负【五十八】共得三千○四十分为大衍日法
计开
殷厯日法 九百四十分
汉太初厯日法 八十一分
唐大衍厯日法 三千○四十分
宋纪元厯日法 七千二百九十分
又按列位之法原与省乗省算之法相生故共为一卷合观之可也今以六色无空者为例如后
问齐军千乗其陈有先驱申驱为前军有启与胠为两翼有戎车贰广为中军有大殿为后军各不知数但以前军居余陈七之三合两翼二广与殿多余陈四十乗合前军两翼与中后较则多二十乗前军合殿与翼中军较则少二十乗先驱大殿居与陈二之一而少五乗各若干
畣曰前军共三乗
内先驱一百四十乗
申驱一百六十乗
两翼共二百一十乗
内启与胠各一百○五乗
中军共三百乗
内戎车一百八十乗【帅】
贰广一百二十乗【副】
后军一百九十乗是为大殿
法以和较襍列位
有七之三二之一依变零为整以分母各乗而后列之
如法互乗减倂变为五色有空而重列之
空者偶也若不空亦俨然变为五色矣
前三行减余首位申驱皆空故不湏乗减但以末二行乗而减之减去申驱即变四色矣又以申驱数本同故不湏乗而竟以对减乃以四色法重列之四色无空法也虽有空而非首位不能省算与无空同
因首末两行之翼数皆倍于中两行故省互乗但以首末两行皆半之使其翼数齐同乃原数对减而变为三色又重列之
因次行末行戎车同但首行多于次行二之一故省互乗但以次行二分加一与首行对减其次行与末行竟以原数对减变为二色而重列之
贰广同故省互乗竟以对减尽 大殿异名并得五为法 车同名减余九百五十乗为实 法除实得一百九十乗为大殿车数 以大殿车数异加正五十乗共二百四十乗以贰广二除之得一百二十乗为二广车数【用末次右行数】 二乗大殿车数同减负二十乗戎车二除之得一百八十乗为戎车公卒数【用第四次三色中行数也】 二乗戎车异加正六十乗两翼二除之得二百一十乗为两翼共数【用第三次所列四色之次行】又半之即启与胠数 合计两翼【二百一十】戎车【一百八十】贰广【一百二十】共数【五百一十】同减负三十乗余【四百八十】以申驱三除之得一百六十乗为申驱数【用第二次所列五色之第四行】 合计申驱【一百六十】两翼【二百一十】戎车【一百八十】贰广【一百二十】共【六百七十】同减负十乗余【六百六十】又减去大殿二计【三百八十】余【二百八十】以先驱二除之得一百四十乗为先驱之数【用原列六色之第五行数】
试细攷之合计两翼【二百一十】戎路【一百八十】贰广【一百二十】大殿【一百九十】共七百乗合计先驱【一百四十】申驱【一百六十】共三百乗三七差分也故曰前军为余阵七之三
合计两翼【二百一十】贰广【一百二十】大殿【一百九十】共五百二十乗其余前军【共三百】戎路【一百八十】共四百八十乗故曰翼广殿多余阵四十乗
合计前军【共三百】两翼【二百一十】共五百一十乗以较中军【共三百】后殿【一百九十】共四百九十乗则多二十乗故正二十乗与前军翼同名
合计前军【三百】大殿【一百九十】共四百九十乗以较两翼【二百一十】中军【三百】共五百一十乗则少二十乗故负二十乗与前军殿异名合计先驱【一百四十】后殿【一百九十】共三百三十乗又合计申驱【一百六十】中军【三百】两翼【二百一十】共六百七十乗其二之一为三百三十五乗故曰先驱大殿居余阵二之一而少五乗【以全当其半而少五乗则以倍当其全而少十乗矣此与第一行皆变零为整详见带分条】总计之则千乗矣故以和数参焉
论曰此一例中能兼数法皆省算之捷诀也
其第二图五色变四色当有互乗减并者四次今以申驱空位省其三次此空位径求省算之法也其申驱偶尔数同径以对减与第五图二色之贰广数同径以对减皆省乗定法也但皆和较之襍故虽不乗必以较行首位之正负补于和数之行不然则减并误矣此要诀也
其第三图四色之首位偶有倍数故半其倍者以相从此亦省乗法也
其第四图三色之首位为三与二故加二为三是二加一也故其下皆二分加一则如遍乗矣然亦首位正负偶同也若不同者湏更其一行以同之首位虽同数又必同名然后可减而去之尤省乗之要诀
又论曰方程无空者常法也如第一图六色是也若不减并五次何以求之亦偶而多有首位相同者故亦能省乗然虽省乗不能省减并矣其有空位者偶然也如第二图五色有空是也空位多若更置列之所省尤多虽不更置而减倂之余自然能补其空亦可见方程之有常法矣
若更置之则自五色起如后图
因五色始有空也如此图则省六算 戎翼不空故更之下位后行不空者更之前行以先乗
正负列位
甲乙行如法减去申驱以其余四位重列之与丙行相对【一和一较也】
重列
如法减去贰广又重列之与丁行相对【皆较数也如后】
如法半减余数以从丁行乃对减而重列之与戊行相对【又以翼同故更置之】
上 中 下
如法径以对减余戎路五为法
倂得正负九百乗为实
法除实得戎路数
既得戎路数以次得余重之数
合问
又术以一图而为减并如后所列
依法先得戎路亦同但其间和较交变错然襍陈非深知猝不能了不如前术之为安穏明白也
歴算全书卷四十二
钦定四库全书
厯算全书卷四十三
宣城梅文鼎撰
方程论卷四
刋误
古之为学也精故其立法也简而语焉不详阙所疑而敬存其旧无臆参焉斯善学也已不得其理而强为之解以乱其真古人之意乃不可见矣意不可见而讹谬相仍如金在沙淘之汰之沙尽而金以出故刋误次之方程之误厥有数端
一曰立负之误【立负误也四色五色期于立负以为法误之误也自骡马逓借一问诸书沿讹而加减之误因之矣】
一曰加减之误
同加异减一误也【误沿于牛羊豕相易之一问由不知正负之有更也】
竒减偶加二误也【误沿于桃梨问价以不知和较之交变也】
一曰法实之误【以上为法下为实拘也以法必少实必多亦谬也】
一曰倂分母之误
一曰设问之误【如井不知深而以除法为井深问中先已大误】
立负辨
立负非古人法也何以知之有负则有正今立负而不言正非正负之本防也或曰有正则有负则言负可不言正矣是又不然凡和之变而较也有减其和数而尽者亦有减其和数而余者其减而尽者命为适足而无较数则但言此之为负以见彼之为正可矣若减而余者是有较数也而但言负不言正何以知其较数必与正物同名乎即使同名而竟不明言其为正何以分别同异而为加减乎至于以有空位而立之负则又不可何也和之或变而较也固不必以空位也但减余分在两行而兼用之即变较数矣今必以有空位者而立之负则无空位者即不立负乎然则和数之无空位者终于同减而无异并乎将进退失据矣故曰非古人法也
凡言正负者分其物以相较也不言正负者合其物以言数也皆自然而有之名非立之也而立负乎哉夫不知正负之出于自然而强立之负则同异之防淆而加减之用失种种谬误縁之以生故谨为之辨今以诸书所载立负例攷定如左
假如米四石二斗以马一骡二驴三载之皆不能上坡若马借骡一骡借驴一驴借马一则各能上坡问马骡驴力各几何
畣曰马力二石四斗 骡力一石八斗 驴力六斗
法各以和数列位【马借骡一则一马一驴也骡借驴一则二骡一驴也驴借马一则三驴一马也各以其本数加借数而列之干方程法则和数而已】
此三色有空法也中行无马原只二色故不湏乗减但先以左右两行首位不空者对乗 又因两行马数皆一乗皆如故故径以对减马减尽 右骡一左驴三皆无对不减 米各四石二斗亦对减而尽乃视减余骡一在右行驴三在左行分在两行是有正负也 米亦减尽是正负适足也重列之
论曰此和数变为较数也何以言之两行之马相若而其载物又相若则其所偕以共载之骡一与驴三其力亦自相若矣故命之适足适足者以两相较而成故曰变为较数也然谓之适足可也谓一行俱减尽则不可也减尽者同类之物而其数又同故物与数俱减尽也适足者物非同类而其物之积数则同故其物不能减尽而数则减尽也物不同而数同故曰适足也适足者存之为用也物数俱减尽者清出其一色而不复用也如此三色中虽不能遽知各力然已知驴三骡一之适相当矣则已清出马之一色而变为二色矣此逓减立法之意也
又论曰减余适足则有正负矣其原列只是和数无正负也诸书以逓借一匹之故而列之曰借又别其本数曰正不知正与负对非与借对也虽逓借一匹其实是本有之头匹与所借之头匹共载此米故曰和数逮减余乃变为较耳故减余适足宜言正负也而诸书但立负原列和数无正负也而忽分正借又不立负于减之后而立于其先正也借也立负也三者相乱而靡有指实古人之法固如是乎哉
次以中行原数与减余对列 因中行马空故径求也
此和较杂也 减余分正负 中行原无正负
以减余骡负一遍乗中行如故【较乗和也数虽如故但皆以乗法之名名之为负】又以中行骡二遍乗减余得数【和乗较也故仍其正负之名】骡同减尽 驴异并得七为法 四石二斗无减就为实 法除实得六斗为一驴之力 三因驴力得一石八斗为一骡之力【适足故也】以骡力一石八斗减四石二斗余二石四斗为一马之力【原右行数】
论曰减余原是骡一与驴三力等乗后得数则骡二与驴六亦等也然则于中行共力中减去二骡而以相等之六驴益之其共之四石二斗亦必与原载等也故并此六驴与原列一驴共七为法以除此四石二斗而驴力可知也 驴三与骡一既等则三驴之所载即骡力也 骡与马各一共四石二斗则减骡力即马力也
又论曰此因中行有空故径求也使其不空自当与左行或右行遍乗而减去其马与其数乃列两减余如二色求之此常法也今中行马空原只二色恰与减余之二色相对故径相乗减是省一算也诸书皆言因左行骡空故立负骡一与中行对乗不知左行骡空而右之骡一无减犹右之驴空而左之驴三无减也其与中行相对乃用此两色之减余非独用左行也盖左行有马中行无马原无对乗之理亦犹之右与中不可对乗惟减余是二色可以对乗虽云径求实自然之理势也而强立之负以用左行乎
有正斯有负立负骡于左行为与何物相对耶以马一为正耶驴三为正耶其马一驴三皆正耶既无所指则负为徒立矣
凡言正负者其下数必为正与负之较今所用左行之四石二斗者为是骡一与驴三相较之数耶骡一与马一相较之数耶将合马一驴三与骡一相较之数耶则皆无一合矣
凡物有正负者其较数亦有正负此四石二斗者正耶负耶若无正负即是和数不应立负骡矣
若以四石二斗为和数则更非理夫以马一驴三之共数加一骡力而其数如故理所无也若去一马用一骡而与驴三共此米抑又不能马与骡之力原不同乃去一马加一骡而其数如故理所无也然则此四石二斗安属耶彼惟不知四石二斗之减尽即为适足故误至此也
又谓右行俱减尽不知减尽必两行数同如马一与米四石二斗也若骡一驴三固未尝有减也况尽乎方程立法原以对减有尽不尽而得其朕兆若三色俱减而尽其算不立矣惟不知有空位者可以径求而误以所用之减余为是左行之原数故也
凡减尽者两俱减尽不应右减尽而左行独存若谓复用左行之原数何以不用原列之马一而加一负骡以为马一减去故不用则四石二斗何既减而复存耶故以立负骡减马一为用减余之法则四石二斗不宜存四石二斗为用原列之法则马一不宜减负骡不宜立破两法而叅用之一不成矣承譌者迁就多岐抑奚足怪
今试以减余更置则先得骡力如后图
如前法以一和一较遍乗得数 驴同名减尽 骡异并得七为法 正十二石六斗无减就为实 实如法而一得一石八斗为骡力以驴三除相当一骡之力得六斗为驴力【任于原列左行或右行如法减驴力或骡力得马力】
论曰凡减余重列之数皆可更置互求何则皆实数也三色减去一色即二色法矣若干减余之适足加以四石二斗则不可以互求故知其误
又试以原列更置之先减去骡如后图
如法先以右中遍乗 骡减尽 中行驴一 右行马二皆无减分正负列之 载米余四石二斗在右行与马同名 左行骡空故径与减余相对 依和较杂法乗之 驴同减尽马异并七为法 载米异倂十六石八斗为实 法除实得二石四斗为马力以马力减四石二斗余一石八斗得骡力 以马
力倍之同减四石二斗余六斗得驴力
试又更之如后图
如前法先以右中两行遍乗减去驴余马一骡六皆无减分正负载米余八石四斗在右与骡同名乃重列之如前法径与左行相对遍乗 马同减尽骡异并七为法 载米异并十二石六斗为实实
如法而一得骡力以次得驴马力皆如前
论曰凡诸色方程其上下皆可互更如上二图以空位径求之法求之无所不合也
又试以原列无空而减余适足者为例如后
假如有三车三槖驼七牛各欲载物六十四石而皆不能胜若车借驼牛各一驼借车牛各一牛借车驼各一则皆能载问三者力若干
畣曰车二十四石 槖驼十二石 牛四石
法以和数列位
如法乗 车皆减尽 甲乙两行减余皆在乙行和数也 乙丙相减余乙驼二丙牛六是有正负也载物减尽适足也【乙丙载物减尽则不但对减去之物适相当而其减余之驼二牛六其力亦适相当也虽欲不命之适足不可得矣】
乃以和较杂重列之
依一和一较法求得牛三十二为法 载物一百二十八石为实 法除实得四石为牛力 牛六共力二十四石以相当之驼二除之得十二石为驼力以牛力驼力减六十四石余四十八石车二除之得二十四石为车力【用右行原数】
论曰此亦以和变较而有适足之数也岂以有空位而立之负乎可以悟其非矣
试更以较数求之
假如运粮以象马牛车三种但云接运时以三象所载与四牛车二十四马载之则余三十六石以八牛车所载与二象十二马载之亦余三十六石以七十八马所载与二象二牛车载之亦余三十六石问各若干畣曰象七十二石 牛车二十七石 马三石
法以较数列位
如法互乗减并重列其余【中行每加二分一则首位象与右齐同可对减矣其中左象本同径以对减皆省算法也】
依省算法求得马三十载九十石以马除载得三石为马力 马九十载二百七十石牛车十除之得二十七石为牛车力 合计牛车四马二十四共载一百八十石异加正三十六石象三除之得七十二石为象力【用右行原数】
论曰此原列较数也而其较数亦有减而适足者然则先无适足减之而成适足者往往有之矣
惟适足故分正负非以空位而立负也故知减余之亦有适足而复用左行者非矣知用减余而非用左行则立负之非不攻而破矣
同加异减辨
同名相减则异名相加矣诸书所载忽而同减者忽而异减忽而异加者忽而同加岂不谬哉又为之説曰以正为主则同减而异加以负为主则异减而同加又为之説曰同名相乗则其下同减而异并异名相乗则其下异减而同并言之缕然用之纷然而要之非是也夫同名相减即如盈朒章两盈两朒相减也异名相并即如盈不足相并也岂有同加异减之理乎所以误者不知正负交变之法也正负宜变而不变则首位之异名者何以能对减而尽乎不得不迁就其法同加异减矣苟知其变则首位必同名首位既同名则凡减皆同名凡加皆异名较若画一何必纷纷强为之説乎
凡减余重列有仍其负正如故者亦有更其正负絶非其故者且有先无正负及其重列而有正负者有先分正负及其重列之而反不分者若但以初名为定则加减皆舛矣
假如同减之余分在两行而为同名【或左余正右亦余正或左余负右亦余负】则重列必为异名矣必变其一行之名而列之而其下所余数必是此二异名物之较数也若无余数必是此二异名物相当适足也【此以三色言之若四色以上减余位数多者皆仿此论之】
若同减之余分在两行而为异名【或左余正而右余负或左余负而右余正】则重列必为同名矣而其下所余数必是此二同名物之和数也【此亦以三色言之其减余只二色故也】则其原列正负之名皆不用矣
若异倂者尤为易见何也凡异并者正与负并也正与负并则如一物矣故重列之际必以一行为主而定其名【或为正或为负或变和数则无正负】若但守初名而不知所变将一物而名之正又名之负乎必不然矣兼此数端知正负之交变出于自然非强名也【不知正负之变亦不知和较之变矣故又有竒减偶加之误也】
今以诸书所载同加异减例考定如左
假如以牛二羊五作价易猪十三剰价五两以牛一猪一易羊三适足以羊六猪八易牛五不足三两问价各若干
畣曰牛价六两 羊价二两五钱 猪价一两五钱
列所问数
先以右行牛正二遍乗中左两行得数【中右首位同名故正负不变右左首位异名故变左行之正负以从右亦为以少从多】
次以中行牛正一遍乗右行皆得原数 乃以中右两得数对减 牛各正二同名减尽 羊异名【右正五中负六】并得十一猪异名【右负十三中正二】并得十五 价无减【右正五两中适足】仍得五两 于是分正负以价与羊为同名而重列之【羊右正中负猪右负中正故仍为较数价与羊同为正于右行故仍为同名】次以左行牛负五遍乗右行得数【左行既变以从右则右行不变仍其正负】乃以左右两得数对减 牛各正十同名减尽羊异名【右正廿五左负十二】并得三十七 猪同名【右负六十五左负一十六】减余四十九【在右】 价同名减【右正二十五两左正六两】余十九两【亦在右】 于是亦分正负亦以价与羊同名而重列之 羊与余猪原分正负于右故仍为较数价与羊同为正于右故同名
列两减余
如法以两正羊遍乗得数 乃对减 羊同减尽猪同减余十六为法 价同减余二十四两为实法除实得一两五钱为猪价 以猪十五价二十二两五钱异加正价五两【共二十七两五钱】羊十一除之得二两五钱为羊价 任于原列中行羊三价七两五钱内减猪价一两五钱余六两为牛价
论曰凡列正负可以任意呼之要在知下价之于正负孰为同名耳若乗后得数则其首列一位必以同名而相减故正负有时变而其价之正负从之变矣故同异加减必以乗后得数而定也如此所列左右行先为一正一负异名之价而乗后得数必为同名之价何也两价皆与牛同名而牛在首列得数必同名故也若以羊更置首列则两价得数必异名何也价与羊于右同名而于左异名也
试更列之于后
上 中上 中下 下
如法以中行羊与左右两行互遍乗得数相减 羊同减皆尽 右中牛异并三十七 猪异并一百十八 价异并四十五两【价与牛同名】中左牛同减余九猪异并三十 价九两无减【与牛同名】
乃以两减余各分正负而重列之
如法以牛互遍乗而变左行之正负以相从 牛同减尽 猪同减余四十八为法 价同减余七十二两为实 法除实得猪价以次得牛羊价合问 试又更之
如法以中行猪与左右两行互遍乗得数相减 猪同减皆尽右中羊异并一百十八【右负中正】 牛同减余四十九【余负在中】 价同减余一两【余负在右】 分正负【以价与羊同名】 左中羊异并三十【中正而左负】 牛异并十三【中负左正】 价三两无减【中之负数】亦分正负【以价与牛同名】 皆重列之
如法互乗羊同减尽牛同减余六十四两为法价异并三百八十四两为实法除实得牛价六两以次得羊价猪价
论曰反覆求之皆同减异加别无他术可见古人立法之简快竒减偶加辨
方程立法只同名相减异名相加尽之【和数有减无并皆同名也较数有减有倂或同名或异名也和较交变故减并相生】不论二色三色四色乃至多色皆一法也今诸书不察偶见瓜梨一例有竒减偶加之形不得其觧遂执为四色之定法而不知通变使方程一章之法为徒法而莫可施用深可惜也故覼缕辨之今将梨一问考定如后
假如有二梨四共价四十文又梨二榴七共价四十文榴四桃七共价三十文一桃八共二十四文问各价几何畣曰八文 梨六文 榴四文 桃二文
法以和数列位 依四色有空以省算法求之
惟甲丁两行有如四色故先以相乗 减尽甲梨四丁桃十六皆无减 价余八文 分正负【梨甲桃丁故也】以价与桃同名【同在丁行故也】 减尽矣而余行皆无则只三色故径以减余之数与乙行相对
如法互乗 梨同减尽 榴二十八【左正】桃三十二【右负】皆无减价异并一百七十六文【右负左正】
隔行之异名乃同名也以和数列之不分正负又以余行无梨则只二色径以减余与丙行列之【于后】
如法乗减榴减尽余桃六十八为法价一百三十六文为实法除实得桃价二文 以丙行桃七价十四文减共三十文余十六文悉榴价也榴四除之得榴价四文 以乙行榴七价二十八文减共四十二文悉梨价也梨二除之得梨价六文 以甲行梨四共二十四文减共四十文除十六文悉价也二除之得价八文
论曰此和数变为较数而较数复变和数也何以言之初次减余价八文乃桃多于梨之价故曰变为较数也【桃十六价三十二文梨四价二十四文差八文】何以知之余数分在两行也【桃十六在丁行梨四在甲行】何以知桃多于梨桃与价同在丁行故同名也然所用分正负者是甲丁两行之减余非但以丁行空位而立负也又因乙丙位皆空故用此减余径与乙行相对是省二算也乃径求也非专用丁行为主也减余较也乙行和也一和一较故有异名相并而非以偶行故加也
若第二次减余则复是和数何也其相并一百七十六文乃桃榴之共价【桃三十二价六十四文榴二十八价一百十二文共此数】而非其较数故曰复变和数也何以知之桃与榴虽分余于两行而异名然隔行之异名乃同名也【乙行榴正价亦正减余桃负价亦负兼而用之变为同名矣】至于立负之非此尤易见盖既变和数无正负矣虽两遇空而无减岂得谓之立负乎又因丙行梨亦空故径用减余与之对减是又省一算非以丁行对丙行也而顾曰立负榴于丁行误之误矣减余变和丙行相对是两和也故有减而无并也而岂以竒行之故而减也乎哉 今试以甲丁之行易之则加减全非矣
如法以甲丁行对乗减尽 桃十六【甲】梨四【丁】皆无减 价相减余八文【甲】 乃分正负以价与桃同名而重列之与乙行相对
如法乗 桃同减尽 榴六十四【左正】梨二十八【右负】皆无减 价同减余四百二十四文 依前论隔行之异名即同名也不分正负而重列之与丙行相对
如法减榴 余梨六十八为法 四百○八文为实法除实得梨价六文以次得诸物价皆如前
论曰此但更其前后之行耳而价皆同减无异并可见竒减偶加之非通法矣 又试以上下之位而更之
如法以甲丁先乗减去梨尽 余榴二十八【甲】四【丁】皆无减 价相减余八十文【甲】依前论分正负以价与榴同名而重列之与乙行相对
如法乗减榴尽 余桃一百九十六【左正】一十六【右负】皆无减 价相减余五百二十文【左正】依前论复变和数不分正负而径与丙行重列之
如法减桃 余六十八为法 价五百四十四文为实 法除实得价八文以次得诸物价皆如前
论曰此亦有同减无异加固不以竒偶之行而有别也若以甲丁减余更置之则亦有异并之用如后图
论曰此下价何以倂异名故也何以异名凡一和一较方程在和数行者其得必与较首位同名故其较数之价与首位同名者则亦与和价同名也其与首位异名者与和价亦异名也
先用丙行何也以有故可与余相减亦可见行次之非定也 理之不定乃其一定凡事尽然泥一端以定之转不定矣
又论曰此亦复变为和数也何以知之正榴正价皆右负桃负价皆左以之并为一行则无正负矣盖隔行
如法减桃 余榴六十八为法 价二百七十二文为实 法除实得榴价四文以次得诸物价皆如前
论曰兼此数端知加减非闗行数矣
统宗歌曰四色方程实可夸湏存末位作根芽若遇竒行湏减价偶行之价要相加诸书仍讹又推而至于五色六色皆云以末位为主而自首行以往皆与之加减至其所以加减者又皆以行之竒偶如一行三行五行竒数也则价与末行减二行四行偶数也则价与末行加而不言同异名将竒行者皆同名乎偶行者皆异名乎未可必也不知彼所设问各行逓空两位势必挨列虽云四色乃四色之有空者耳非四色之本法也【省算卷辨之极详可以互发】既挨列矣余行之首一色皆空不湏乗减惟末行首行相对可以互乗非用末行乃用上一色相对之行耳使上一色不空者在中二行而末行反空又当以中行先用矣虽欲以末行为主得乎
至于第二次重列而乗减者乃用首行末行相减之余也非専用末行也葢两行相减乃生余数若谓之用末行亦可云用首行矣
又因各行多空故径以减余与次行乗减得数又径以减余与三行乗减乃省算之法于末行毫不相渉也
且方程之行次非有定也其前后可以互居左右中可以相易亦何从而定之为末行乎末行无定矣又安有竒偶之可言乎而以是为加减之定法乎
然则恶乎定曰详和较以列减余别同异以定加减苟其和数也虽空无减不立正负也苟其较数也虽无空位分正负也此列减余之法也但同名者不论何行皆减但异名者不论何位皆加此定加减之法也如是而已
法实辨
算家法实皆生于问者之所求如有总物若干总价若干而问每物若干价则是以物为法价为实也或问每银一两得若干物则是以价为法以物为实也诸算尽然则方程可知矣算海説详曰中余为法除下实盖本统宗然其説非也同文算指曰以少除多其説亦非也何以明之曰方程法实犹诸算之法实也故必于问者之所求详之中下多少非可执也
假如和数方程有物若干又物若干共价若干是物之位在上中而价之位在下也若问每物之价而以物为法银为实是中除下也固也或问每银一两之物而以银为法物为实又当以下除中矣不知问者之所求以物求价乎以价求物乎愚故曰中下难执也
又物之价值莫可等计有贱于银之物以一两而得数千百斤有贵于银之物以数十百金而得一物假如有贵物若干又若干共价若干是物之数少而银之数多也而问每物之价谓之以少除多似也若问每银之物不又当以多除少乎又如有贱物若干又若干共价若干是物之数多而银之数少也而问每银物若干谓以少除多可也若问每物价若干不且以多除少乎惟以多除少故有不满法之实实不满法故有以法命之如云每银一两于物得几分之几者是也其物多除银少者则有退除为钱若分厘故曰多少难拘也
多少中下既不足以定法实则法实安定曰亦惟于问意详之而已 今具例如后
论曰方程法实只是以下一位与上中数位相湏为用耳故有实一而法二其三色者则有实一而法三若以下除中者则有法一而实二或法一而实三故用互乗之法以减之及其用也则只是一法一实而已二色者互乗而对减其一则一法一实也三色者对减其一又对减其一亦一法一实也四色五色其法悉同此方程立法之原也
问河工方九百尺以当筑城八百尺城多一工以河工七百二十尺当城工七百尺城多二工问每工一日若干尺
畣曰河工每日六十尺 城工每日五十尺
如法乗减 余城工五万四千尺为实 工一千○八十为法法除实得每工五十尺为城工每日之数以城工五十尺除右行八百尺得十六工同减负一工余十五工以除河工九百尺得每工六十尺为河工每日之数
论曰此以下除中也縁所问每工一日土若干尺以工求土也故以工为法土为实若拘中法下实则法实反矣
若问每土千尺该用几工则当以五万四千尺为法一千○八十工为实法除实得百分工之二是为每城工一尺之数以所问每千尺乗之得二十工是为城工每千尺用工二十日也 若用异同除则以土千尺乗一千○八十工得一百○八万工为实以法五万四千尺除之得二十工为城工每千尺之数亦同
于是以二十工乗八百尺【用右行原列】千尺除之得十六工减负一工余十五工河工九百尺数也以九百尺除十五工得百分工之一又三分之二河工每尺数也以问千尺乗之得十六工又三分工之二为河工千尺之数 用异乗同除以千尺乗十五工得一万五千工九百尺除之得十六工又九之六约为三之二亦同
问开渠十七工筑堡二十工共以立方计者一千六百八十尺又渠三十工堡四十工共三千二百尺今欲计土续工则每百尺得几工
畣曰开渠每土一百尺【二工半】筑堡每土一百尺二工
如法乗减 余堡工八十为实 土四千尺为法法除实得每尺百分工之二以百尺乗之得二工为筑堡每百尺之工【或异乗同除以百尺乗八十工得八千为实以法四千尺除之亦得每百工二工】 以左行堡工四十乗百尺二工除之得二千尺以减共三千二百尺余一千二百尺渠土数也用除渠工三十得百分工之二半以百尺乗之得二工半为开渠每百尺之工【或异乗同除以百尺乗三十工得三千以一千二百尺除之亦得每百尺二工半】
论曰此亦以下法除中实也縁所问以土求工故也又为以多除少盖土之数原多于工也故退除而得其分秒而所问者每百故又有异乗同除之用也并分母辨
自方程笇失传有可以方程立算亦可以差分诸法立算者则皆收入诸法而不知用方程如愚末卷所载方程御襍法是也有实非方程法而列于方程如同文算指所収菽麦畦工诸互乗之法是也有可以方程算而不用方程漫以他法强合而漫谓之方程如并分母之法是也诸互乗法非方程易知不必辨故専辨分母
问甲乙二窖不知数但云取乙三之一益甲取甲二之一益乙则各足二千石
畣曰甲窖一千六百石 乙窖一千二百石
原法曰列位互乗甲得六千石乙得四千石相减余二千石为实并两分母共五为法除之得四百石以乙分母三乗之得一千二百石为乙窖以乙窖减二千石余八百石以甲分母二乗之得一千六百石为甲窖
论曰此法不然乃偶合耳若分母为三与四即不可用或分子为之二之三亦不可用况方程法原无平列两色物之理而此独平列既平列矣又何以先得乙窖皆不合也今以方程本法御之则无所不合
依带分化整为零法列位
如法乗减 甲减尽 余乙五分为法 余二千石为实 法除实得四百石为乙之一分以乙分母三乗其一分得一千二百石为乙窖 以乙之一分减二千石余一千六百石为甲窖
论曰此亦用五分为法也然为得数相减之余非并分母也所用之实亦二千石然为甲分互乗之数相减非甲乙两分母互乗相减也
亦先得四百石为乙三分之一然以乙列于中甲列于上故先减去甲而余乙为法以先得乙之分若列乙于上则亦先得甲分矣试更列之以先求甲窖
如法乗减 乙减尽 甲余五分为法 余四千石为实 法除实得八百石为甲之一分以甲分母二乗之得一千六百石为甲窖
以甲之一分减二千石余一千二百石为乙窖
论曰凡方程有各色皆可更列其上下以互求而任先得其一色何也其互乗而对减者皆实数也若并分母为法则无实数可言故不可以互求
愚于带分言之备矣或化整为零【如上所列二例是也】或变零从整或除零附整共有三法凡带分者皆可施用若并分母为法则多所不通矣 凡此皆诸书沿误而同文算指亦皆收入未尝驳正也
试以分母非三与二者求之
假如有句股不知数但云以股四之一益句以句三之一益股则皆二丈二尺问句股各若干
畣曰句一丈八尺 股一丈六尺
依化整法列位
上 中 下
如法乗减 余股十一分为法 四丈四尺为实法除实得四尺为股之一分以股分母四乗其一分得一丈六尺为股
以股之一分减共二丈二尺余一丈八尺为句
论曰此十一为法也若以股列于上则亦十一分为法也如并分母将以七为法其能合乎
又试以分子非之一者求之
假如有股与不知数但云若取六分之二以益股则五丈五尺若取股三分之二以当则少五丈五尺问若干
畣曰股三丈 七丈五尺
法以一和一较依化整法列位
如法互乗 股同名减尽 异名并得二十二分为法 数异名并得二十七丈五尺为实 法除实得一丈二尺五寸为之一分以分母六乗其一分得七丈五尺为 以之二分二丈五尺减共五丈五尺余三丈为股
论曰此以二十二为法也若以列于上则亦二十二为法也而并分母是将以九为法矣岂不毫厘千里乎
以上数则皆不可并分母为法
问者或云甲乙仓粟不知数但知共二千石其甲二之一与乙三之一等各若干
畣曰甲八百石 乙一千二百石
法以和较襍列位亦用化整为零
徧乗甲同减尽 乙异并五分为法 二千石无减为实 法除实为乙之一分 以乙分母三乗其一分得一千二百石为乙仓 因适足故乙之一分犹甲之一分也以甲分母二乗之得八百石为甲仓
论曰惟此有似于并母然实非并分母乃并得数之异名者也又按并母法与方程不同
假如有仓粟取三之一又二之一共计二千石问原数若干
畣曰原数二千四百石
法以两母互乗其子而并之得五为法 以两母相乗得六以乗二千石得一万二千石为实 法除实得二千四百石为原仓之粟
论曰此即并母法也因两分子皆一故并母用之实并两分母互乗其子之数也盖既曰三分二分其原数必可以三分之又二分之者也故以两分母相乗得六借为原数之衰原数六则三之一即二也二之一即三也并而用之借为所取之分如云取原数六分之五而二千石也六分之五为二千石则其全数必二千四百石矣此通分法非方程
设问之误辨
算家设问以为规式意虽引而不发数则实而可稽苟其稽之而无有真实可言之数则其意不能自明而何以为式乎至其立法之多违于古皆以不深知算理而臆见横生又相因而必至也故以设问为之目
今将同文算指所载井不知深例考定如后余如此者尚多不能一一为辨也【钱塘吴信民九章比类亦载是例非同文创立也盖方程之沿误久矣】
问井不知深以五等绳度之用甲绳二不及泉借乙绳一补之及泉用乙绳三则借丙一用丙绳四则借丁一用丁绳五则借戊一用戊绳六借甲一乃俱及泉其井深若干五等绳各若干
原法曰列五行以五绳之数为母借绳一为子先取甲二乗乙三得六以乗丙得二十四以乗丁得一百二十以乗戊得七百二十并入子一共七百二十一为井深积列位
一甲二 乙一 ○ ○ ○ 七百二十一二○ 乙三 丙一 ○ ○ 七百二十一三○ ○ 丙四 丁一 ○ 七百二十一四○ ○ ○ 丁五 戊一 七百二十一五甲一 ○负一 ○负一 ○负一 戊六 七百二十一乃取五行为主而以一二三四俱与相乗
先以一行甲二遍乗五甲【甲一得二戊六得十二积七百二十一得一千四百四十二】
五行甲一亦遍乗一行对减【甲得二减尽乙得一因五行乙空立负一积七七百二十一本数以减五行仍余七百二十一】
次以二行乙三乗五行【乙负一得负三戊正十二得三十六积七百二十一得二千一百六十三】
五行乙负一亦乗二行【乙三得三对减尽丙一得一因五行丙空立负一积七百二十一得本数并入五行积共二千八百八十四】
再以三行丙四乗五行【丙负一得四戊正三十六得一百四十四积二千八百八十四得一万一千五百三十六】
五行丙负一亦乗三行【丙四得四减尽丁一得一因五行丁空立负一积得本数与五行对减余一万○八百一十五】
又以四行丁五乗五行【丁负一得五戊正一百四十四得七百二十积一万○八百一十五得五万四千○七十五】
五行丁负一亦乗四行【丁五得五减尽戊一得一并入五行戊正七百二十共七百二十一积得本数并入五行积五万四千○七十五共五万四千七百九十六】
乃以最后所得求之以积五万四千七百九十六为实戊七百二十一为法除之得戊绳七尺六寸以减四行总积【七百二十一】余六百四十五以丁五除之得丁绳一丈二尺九寸以减三行积【七百二十一后同】余五百九十二以丙四除之得丙绳一丈四尺八寸以减二行积余五百七十三以乙三除之得乙绳一丈九尺一寸以减一行积余五百三十以甲二除之得甲绳二丈六尺五寸
论曰此一例中有数误 一者以末行为主而以一二三四与之相乗此由不知和较交变而沿竒减偶加之失误一 一者谓末行有空故立负由不知有空径求而沿立负之非误二 一者以除法命为井深而设问不明言丈尺误三 又辄立母逓相乗加借子一之法误四 一例中误至数端将令学者何所措意乎
前之两误【谓以未行为主而竒减偶加反立负之法】业于梨诸例辨之綦详可以互见今特明后两误之非具如后论
凡言百十者皆虚位也其实数以单位为端故单位为寸则十者尺百者丈若单位为尺则十者丈百者十丈若单位为丈则十者十丈百者百丈七百二十一以为井深不知其所谓一者尺乎寸乎丈乎若七百二十一尺七百二十一寸七百二十一丈相去甚悬然其为七百二十一者不殊也先不明言尺寸虽得数何以命之
详观问意乃借井深以知各绳故井深者和数也在各行中皆所列诸绳之共数必先知此共数然后以乗减之法求之而各数乃见矣而不先言井深转借各绳以求之方程中无此法也故其所得但为七百二十一之虚率而不能防其为丈尺何等亦固然耳
七百二十一亦非井深定率何也倍七百二十一则一千四百四十二若三其七百二十一则二千一百六十三推之以至于无穷凡可以七百二十一除之而尽者皆可以五等绳相借而及泉也故使其井为一丈四尺四寸二分之深则戊绳必一尺五寸二分丁绳必二尺五寸八分丙绳必二尺九寸六分乙绳必三尺八寸二分甲绳必五尺三寸矣使其井为二十一丈六尺三寸之深则戊绳二丈二尺八寸丁绳三丈八尺七寸丙绳四丈四尺四寸乙绳五丈七尺三寸甲绳七丈九尺五寸矣皆甲二偕乙一若乙三则偕丙一若丙四则偕丁一若丁五则偕戊一若戊六则偕甲一而及泉故曰七百二十一非井深之定率也
七百二十一者除法也以此为法除井深乗并之数而得一绳因以知各绳即不得以此命为井深
除法法也井深实也而以法为实乎
以七百二十一为除法乃绳也如所求先得戊绳之数则此七百二十一者即是戊绳也其五万四千七百九十六者乃七百二十一戊绳之共数也以戊绳七百二十一为法除其共数而得七十六则是一戊绳之数也故七百二十一者绳也五万四千七百九十六者井深也【假如一井深七丈二尺一寸则七十六井共深五百四十七丈九尺六寸井无此深乗并而有也数犹戊绳之七百二十一亦以乗并而得也】而顾以绳之积为井深之积乎
假如井深一丈四尺四寸二分依法求之其为戊绳之共数必一百○九丈五尺九寸二分而其戊绳亦必七百二十一以七百二十一为法除一百○九丈五尺九寸二分得一尺五寸二分则一戊绳之数矣故曰七百二十一者非井深也乃除法也绳也绳之为除法者有定而其所除之井深无定也
又辄立母子乗并之法夫以各绳为母而借绳为子未大失也盖于三绳中取一即是三之一于四绳取一亦即四之一也乃谓七百二十一为母相乗而加借子则非也盖位既迭空除首位减去外皆母与相乗乗子与相乗而不相遇至第四次乃相遇而又适当其变为一和一较之时异名相并故得此数以为除法耳固不得立此以为通法也
假如问五色方程而各行不空则和较之变多端岂预知其减并即使各行有空如所列而或为较数则有减而无并亦将以借子加之乎
又所加之一乃子相乗之数若遇借子为之二之三则皆不能径用其原借之子数也故曰非通法也今试以井深一丈四尺四寸二分者举例如后
假如有井深一丈四尺四寸二分以甲乙丙丁戊五等绳汲之皆不及泉若甲借乙三之一乙借丙四之一丙借丁五之一丁借戊六之一戊借甲二之一皆及泉问绳各长若干
法以带分和数列位
上上 上下 中上 中下 下上 下下
依空位省算先以一行与五行对乗 甲减尽 乙一戊十二皆无对不减 和数余一丈四尺四寸二分 乙在首行 戊与一丈四尺四寸二分在五行分正负列之 和变较也 余行无甲绳不湏减
径以减余与次行相对
依和较相襍法互乗 乙绳同减尽 丙一【左正】戊三十六【右负】皆无减 和较数异并五丈七尺六寸八分【右负左正】 复变和数不分正负【隔行异名并故也】
依和数乗 丙绳减尽 丁绳一【左】戊绳一百四十四【右】皆无减 和数减余二十一丈六尺三寸【右】又复变和数也分正负列之
余行又无丙绳径以减余与第四行相对
上 中 下
依和较相襍乗 丁同减尽 戊异并七百二十一为法 和较数异并一百○九丈五尺九寸二分为实 法除实得一尺五寸二分为戊绳六之一 以减共一丈四尺四寸二分得一丈二尺九寸为丁绳五除丁绳得二尺五寸八分为丁绳五之一 以
减共一丈四尺四寸二分余一丈一尺八寸四分为丙绳 四除丙绳得二尺九寸六分为丙绳四之一以减共一丈四尺四寸二分余一丈一尺四寸六
分为乙绳 三除之得三尺八寸二分为乙绳三之一 以减共一丈四尺四寸二分得一丈○六寸为甲绳 二除之得五尺三寸爲甲绳二之一 以减共一丈四尺四寸二分得九尺一寸二分爲戊绳
计开
论曰此亦七百二十一为除法也减并之用与前无异而井深既别绳数迥殊不先言丈尺何以定之试又以较数明之
今有数不知总其五人所分亦不知各数但云取乙三之一以当甲取丙四之一以当乙取丁五之一以当丙取戊六之一以当丁取甲二之一以当戊皆不足七百一十九问若干
畣曰甲一千○三十四 乙九百四十五 丙九百○四 丁九百二十五 戊一千二百三十六
法以较数列位
依带分法化整爲零
如法乗 甲同减尽 乙一【左负】戊十二【右负】皆无减同名在隔行仍分正负 较数异并与戊同名 余行无甲径以减余对第三行
如法乗 乙同减尽 丙一【左负】戊三十六【右负】皆无减以隔行同名分正负 较数异并与戊同名 余
行无乙径以减余对第四行
如法乗 丙同减尽 丁一【左负】戊一百四十四【右负】皆无减 以隔行同名分正负 较数异并仍与戊同名 余行无丙径以减余对末行
如法乗 丁同减尽 戊同减余七百一十九为法较数异并一十四万八千一百一十四为实 法
除实得二百○五为戊之一分加正七百一十九共九百二十五为丁数 五除丁数得一百八十五为丁之一分加正七百一十九共九百○四为丙数四除丙数得二百二十六为丙之一分加正七百一十九共九百四十五为乙数 三除乙数得三百一十五为乙之一分加正七百一十九共一千○三十四为甲数 二除甲数得五百一十七加负七百一十九共一千二百三十六为戊数 六除戊数仍得二百○六为戊之一分
计开
论曰此其母与母相乗子与子相乗与前略同但末后相遇为同减故不以七百二十一为法而以七百一十九为法无他较数也若依母相乗而并子岂不误哉
且四次乗减其下较皆异倂亦足见竒减偶并之非又以法同而得数迥异者明之
今有数五宗不知其总但云以乙三之一当甲以丙四之一当乙以丁五之一当丙以戊六之一当丁皆适足若以甲二之一偕戊则共数七百二十一问各若干
法以和较带分列位 化整为零
甲同减尽 乙一【左负】戊一十二【右正】皆无减 一千四百四十一亦无减 隔行异名即同名也变为和数重列之与次行对
乙同减尽 丙一【左负】戊三十六【右正】四千三百二十六【右正】皆无减 皆隔行异名亦变和数重列与第三行对
丙同减尽 丁一【左负】戊三十六【右正】一万七千三百○四【右正】皆无减隔行异名仍变和数重列与第四行对
丁同减尽 戊异并七百二十一为法 八万六千五百二十无减就为实 法除实得一百二十为戊六之一即丁数 五除之得二十四为丁五之一即丙数 四除之得六为丙四之一即乙数 三除之得二为乙三之一即甲数 半之得一为甲二之一以减共七百二十一余七百二十为戊数
计开
甲二 乙六 丙二十四 丁一百二十 戊七百二十论曰此亦以七百二十一为法而其各数迥不相类则以下数之为和为较迥不相同也然则井深者即和数也而不先言其丈尺顾以除法命之可乎
又试以分子逓借而非之一者明之
今有甲乙丙丁船各十只以载盐九千七百七十六引俱不足若甲借乙一乙借丙二丙借丁三丁借甲四则各能载问各船若干
法以和数列位
列后
甲减尽 乙四【右】丁一百【左】皆无减 以两行故分正负 载盐余五万九千八百五十六【左】与丁同名甲空与减余对次行
乙同减尽 丙八【左正】丁一千【右负】俱无减 引异并六十三万八千四百六十四【右负左正】异名在隔行复变和数无正负 乙空以减余对三行
丙减尽 丁余九千九百七十六为法 引余六百三十万○四千八百三十二为实 法除实得六百三十二引为丁船数 以丙借丁船三乗丁数得一千八百九十六以减共九千九百七十六引余八千○八十丙所载也以丙十除之得八百○八引为丙船数 以乙借丙船二乗丙数得一千六百一十六以减共九千九百七十六引余八千三百六十乙所载也以乙十除之得八百三十六引为乙船数以乙船数减共九千九百七十六余九千一百四十甲所载也以甲十除之得九百一十四引为甲船数计开各船每只载数
甲船九百一十四引
乙船八百三十六引
丙船八百○八引
丁船六百三十二引
论曰此四色方程逓借法与诸书所载马骡载米同亦与同文算指井不知深同但彼误以除法为井深又误立各母逓乗加借子法故设此问以显其理
此所用除法丁船九千九百七十六犹彼所用除法戊绳七百二十一也乃除法也非井深也除法有定而井深无定即如此问九千九百七十六之除法有定而盐之数无定也何言乎无定假如以九千九百七十六引而倍之则各船之所载亦倍矣以引数半之船所载亦半矣然其除法之九千九百七十六如故也若不先言引数何知之
共载九千九百七十六引者盐数也以九千九百七十六为法而除者船数也船为法者算家虚立之率盐列位者问者现据之实数数虽偶同为用逈别
以各原数为母借数为子是也如甲借乙船一而乙船原有十即十分之一也谓母相乗而加借子一则非法也如此所用除法九千九百七十六何以处之又如后条马歩舟师各借二分者又何以处之数虽似不可施之他数非通法矣
又试以三色例亦用异加得除法者观之
假如有马歩舟师不知数但云取骑兵五分之二益歩取歩卒三分之二益舟取舟师七分之二益骑则皆得六千七百八十名
畣曰歩卒四千五百名 骑兵五千七百名
舟师三千七百八十名
法以和数带分列位
依省笇以左行加二分之一 步卒减尽 骑二分【右】舟师十分○半【左】皆无减 共数减余三千三百九十【左】分余两行变较数也 以较数与舟师同名中行步卒原空径以减余作二色列之
依省算四因左行而退位 骑同减尽 舟师异并十一分三厘为法 和较数异并六千一百○二为实 法除实得五百四十为舟师之一分 以分母七乗之得三千七百八十名为舟师数
以舟师数减共数六千七百八十余三千所借步卒之二分也 二除之分母三乗之得四千五百为歩卒数
以歩卒数减共数六千七百八十余二千二百八十所借骑兵之二分也 二除之分母五乗之得五千七百名为骑兵数
论曰此虽以异加而得除法然不得竟以子之二加也故以分子一加者非通法也