历算全书几何补编卷三
几何补编卷三
十二等面体分图 用理分中末线
辛戌亥五等边形为十二等面之一
寅卯防为边折半处中为体心
卯中为外切立方半径【设五十】
卯亢为外切立方全径【设一百】
寅卯线与卯中半径若理分中末之大分与其全数也在圆内为三十六度之分圆 辛癸辛戌等俱七十二度之分圆
乙巳为半径【己丑同】乙癸为三十六度之通
乙已半径与乙癸亦若理分中末一之全数与其大分也故乙已癸三角形与卯中寅相似
若取乙丙切线如乙癸之度则丙巳必同亥癸边【即七十二度通】折半于甲则甲乙为十八度正再于寅卯线取子壬如乙甲取壬癸如乙己半径引已子至癸中末乃自卯作线至中与壬癸平行因得寅中与卯中等则寅中卯即为横切之半面
一率 全数 一○○○○○
二率 三十六度割线 一二三六○七
三率 子寅 一十五【四五○八四九五】
四率 丑寅半边 一十九【○九八三】
倍丑寅得丑戌三十八【一九六六】与简法合
论曰凡十二等面从其半边之防【如寅如卯】聮为线以剖至体之心【中防】则所剖成寅中卯三角形平面必为全圆十之一即寅中卯角必三十六度而中寅或中卯两与寅卯底若理分中末之全分与其大分矣
又十二等面在立方形内必以卯中【或寅中】自心至边之线当立方之半径是立方半径与十二等面之寅卯线亦若理分中末之全与其大分也 若设立方半径一百则寅卯必六十一【八○三三九八】如理分中末之大分也今设立方全径一百其半径五十则寅卯亦必三十○【九○一六九九】如大分之半矣 寅卯二防既在【丑戌丑亥】两边之折半则戌亥大横线必倍大于寅卯而与理分中末大分之全相应为六十一【八○三三九八】 此皆设立方半径五十之数也而半径五十其全径必一百故知设径一百则十二等面之大横线必六十一【八○三三九八】而竟同理分中末大分之数也既得此大横线则诸线可以互知
试先求边 法为酉戌【半大横线】与丑戌等边若全数与三十
六度之余割线也
一率 全数 一○○○○○
二率 三十六度割线 一二三六○七
三率 酉戌半大横线 三十○【九○一六九九】
四率 丑戌全边 三十八【一九六六】
论曰五等边各自其角作线至心分形为五则各得七十二度角【如丑巳戌等其巳角皆七十二度】其半必三十六度【如寅已丑之巳角得戊已丑之半正三十六度】而丑戌酉与丑巳寅皆句股又同用丑角则戌角与巳角等为三十六度
十二等面求积
平面中垂线【卯己】二十六【二八六五】
边【即丑亥丑戌等】三十八一九【六六】 半边【即丑卯丑寅】一十九【○九八三】一面之平幂二千五百一十○【一三七○】
内容浑圆半径四十二【四三二五】 即分体五面立锥之中髙【已中】 中髙三之一一十四【一四四一】
分积三万五千四百九十五【八四七三】 其形为五面立锥其体积为十二之一
全积四十二万五千九百五十○【一六七六】
外切立方根一百 其积一百万
外切浑圆径一百○七【○四六六】
内容立方根六十一【八○三三九八】
外切立方与体内容立方径之比例若理分中末之全分与其大分
又若外切立方之外又切十二等面体体外又切大立方则大立方之径与今所算外切立方径亦若理分中末之全分与其大分而外切之十二等面与其内十二等面径亦必若理分中末之全分与其大分也
孔林宗云外立方与内立方之径为理分中末线全分与大分之比例是矣若内立方之内又容立圆则小立圆之径与小立方之径同而外浑圆与外立方之径不似未可以前比例齐之
若十二等面外切大立方大立方之外又切大立圆大立圆外又切十二等面则大立圆与内容小立圆亦必若理分中末之全分与其大分而外切十二等面与十二等面亦必若理分中末之全分与其大分何则皆外切立方与内容立方之比例也
十二等面容二十等面图
第一图
割十二等面之三平面一尖
成此形癸丑丙丑戊丑俱五
等边平面皆十二等面之一
【已庚辛各为其中心一防】
丑为三平面棱所聚之尖 亥丑戌丑乙丑俱平面边各为两平面所同用之棱 中为体心 巳中辛中庚中皆内切浑圆半径亦内容二十等面自尖至体心半径 巳卯庚卯巳寅辛寅辛壬俱平面中垂线 寅卯壬皆平面边折半之防
第二图
内容二十等面体各自其边
剖至心成此分体为内容体
二十分之一 辛庚巳三角
尖即十二等面之中心原防
此防以外俱剖而得甲防与卯防同在卯中线而甲在卯之下丁在寅下辰在壬下俱同
第三图
自卯防起依卯己卯庚二线
剖至体心中成此平面形卯
即原边折半处卯中即原体
外切立方之半径中即体心
已庚即原两平面之中心防今联为【已庚】线即内容二十等面之一边
已中庚即内切二十等面分体之立面乃三角锥体之一面 甲中为内切二十等面分体之斜垂线 观第二图可明【第二图角防居剖内三角之中心正对原体之丑尖而在其下故角中为内容分体之正髙而甲中为斜垂线也】
今求已庚线【即内容二十等面之边】
法于卯中【外切立方半径】内求甲中以相减得卯甲为股用与卯已【原体之面上中垂线】两幂相减开方得句为已甲倍之得巳庚
卯已中三角形
卯中即外切立方半径设五十为底
卯已即原体之平面中垂线二十六【二八六五】
巳中即内容浑圆半径亦即
内容二十等面分体之斜棱四
十二【五三二五】
以卯巳巳中两相减为较
相并为总以总乘较为实卯中底五十为法除之得亢中二十二【三六○六】以减卯中余二十七【六三九四】为亢卯折半得一十三【八一九七】为卯甲
计开
立方根设一百其半五十【即卯中】亦为十二等面自体心至边
十二等面之平面中垂线【即卯巳】二十六【二八六五】
十二等面内容浑圆半径【即已中】四十二【五三二五】亦为内容二十等面自尖角至体心分体以为锥体之棱
卯巳已中之较一十六【二四六○】 总六十八【八一九○】
较总相乘一千一百一十八【○三三四】为实 卯中五十为法除之得中亢二十二【三六○六】 以中亢减卯中五十余二十七【六三九四】为亢卯折半得一十三【八一九七】为卯甲以卯甲减卯中余三十六【一八○三】为甲中即内容二十等面分体之斜垂线
卯巳自乘得六百九十○【九八○○】为幂
卯甲自乘得一百九十○【九八
四一】为股幂 相减余四百九
十九【九九五九】为勾幂 开方得
巳甲二十二【三六○五】 倍之得
巳庚四十四【七二一一】即为内容二十等面边
此法甚确亦且甚防无可疑者偶于枕上又思得一法借灯体分形之三角锥以求十二等面内容二十等面分体之三角锥是以锥体相截而知其所截之
边即为内容二十等面之边
第一图
丑为三平面所聚之尖 丑
戌丑亥丑乙皆两平面同用
之棱 巳庚辛皆五等边平
面之心 己寅己卯等皆平面心至边垂线 已牛丑为平面心对角线 寅卯壬皆平面边折半之防 寅中卯中壬中为体心至边线即外切立方半径 中为心
第二图
聮寅卯卯壬壬寅三线为平
三角面横剖之又各依寅中
卯中壬中线剖至体心中则
成三角锥体二其一为丑寅
卯壬体是三角锥而稍扁者也其一为寅卯壬中体是三角锥而稍长者也其寅卯壬三角平面为扁形之底又为长形之面其寅卯等线与寅中卯中之比例皆若理分中末之大分与其全分也其扁形锥既剖而去则成圆灯所存长锥即灯形分体之一平面心之防为斗在丑尖下与牛防平故丑牛为则斗牛如勾而丑牛之距如股也
第三图
又于圆灯分体剖去辰甲丁
之一截则成甲丁辰中三角
锥乃十二等面内容二十等
面分体中之分体其辰甲丁面与巳庚辛脗合为一葢巳庚辛者内容二十等面之一面各于边折半为甲丁辰而聮之为线则成小三角于中故辰丁等线皆居巳庚线之半而甲中原为二十等面分体之斜垂线者今则为三角锥之楞
第四图
己牛丑即原平面从心至角
尖之线丑斗角中即原体自
尖至中心之线又为外切浑圆半径
依第二图截丑巳于牛而横剖之亦截丑中于斗成丑斗牛勾股形 又依第三图截斗中于角成丑角巳勾股形此两勾股相似而比例等
法为丑牛与丑斗若丑巳与丑角也
第五图
寅中卯三角形为圆灯分体
之立面截为甲丁中三角形
此两形相似而比例等 法为卯中与卯寅若甲中与甲丁也
又斗中为圆灯分体之中髙其平面为寅卯壬角中为截体之中髙其平面为丁甲辰此两体相似而线之比例等 法为斗中髙与寅卯濶若角中髙与甲丁濶先求丑斗髙
用截去扁三角锥以牛卯【即寅卯之半】自乗幂三分加一以减丑卯幂为丑斗幂开方得丑斗高
次求丑角髙
用巳丑对角线乗丑斗以丑牛除之得丑角髙 其丑牛线以牛卯幂减丑卯幂开方得丑牛 巳寅丑寅两幂并开方为己丑
末求巳庚线
用丑角减丑中得角中 又用丑斗减丑中得斗中以角中乘寅卯以斗中除之得甲丁倍甲丁得己庚为内容二十等面之边
理分中末线 以量代算
先以巳为心作图而匀分其
边为五作甲庚乙丙丁五等
边平面【即十二等面之一面】
乙丁为大横线设一百甲庚
等边必六十一【八○三三九八】为大横线理分中末之大分若乙丁大横线设六十一【八○三三九八】则甲庚等边必三十八【一九六六】亦为大横线理分中末之大分
设立方一百 内容十二等面边三十八【一九六六】为理分中末之小分亦即大分之大分
十二等面内又容小立方其边与十二等面之大横线等六十一【八○三三九八】为大立方边一百与十二等面边三十八【一九六六】之中率何也大立方一百乘十二等面边三十八【一九六六】开方得根即小立方及大横线六十一【八○三三九八】
若大横线自乗之幂以十二等面边除之即仍得外立方根而以外立方根除大横线幂必仍得十二等面之边矣
求理分中末线防法 用前图
作五等边平面 求其大横线【乙丁】 聮两角为线即得之
次以大横线之一端【如乙】为心其又一端【如丁】为界作丁戊圆分乃引五等边与圆分相遇【如引乙丙至戊与圆分遇于戊】则相遇处【如戊】至圆心【如乙】为全分【即乙戊亦即乙丁大横线】原边为大分【即乙丙】引出余边为小分【即丙戊】
又法
作平三角使两角【如戊如丁】俱倍大于一角【如乙】末乃破一倍
角平分之作线至一边【如平分丁
角为两作丁丙线至乙戊边】则其斜线即
为理分中末之大分【即丁丙也】
解曰倍破角则与小角等【如破丁角为两皆与乙角等】而乙丙丁形之乙丁两角同大则【乙丙丁丙】两亦同大而乙丙既为大分丁丙亦为大分矣准此又破丙角可以递求于无穷诸体比例
凡诸体之比例有三
一曰同边之比例可以求积
一曰同积之比例可以求边
一曰相容之比例可以互知
内相容之比例亦有三
一曰立圆内容诸体之比例 所容体又容立圆一曰立方内容诸体之比例 所容体又容立方一曰诸体自相容之比例【即同径同髙之比例】或或两体互相容或数体递相容
等积之比例 比例规解所用今攷定
立方积 一○○○○○○ 其边一百
四等面积 一○○○○○○ 其边二百○四八等面积 一○○○○○○ 其边一百二十八十二等面积 一○○○○○○ 其边五十
二十等面积 一○○○○○○ 其边七十七方灯
圆灯
凡方灯依楞剖之纵横斜侧皆六等边平面凡圆灯依楞剖之纵横斜侧皆十等边平面故皆有法形体
等边之比例 测量全义所用今攷定
立方边 一○○ 积一○○○○○○方灯体边 ○七○七一○六积○八三三三三三
边 一○○ 积二三五七○二一
八等面边 ○七○七一○六 积○一六六六六六
边 一○○ 积○四七一四○四
四等面边 一○○ 积○一一七八五一
十二等面边一○○ 积七六八二二一五
二十等面边一○○ 积二一八一八二二圆灯体边 ○三○九○一七 积○二九○九二九
边 一○○ 积○九八五九一六
等径之比例 皆立方所容
立方径 一○○积一○○○○○○ 边【一○○】内容方灯径 一○○积○八三三三三三 边【○七○七一○六】内容四等面径 一○○积○三三三三三三 边【一四一四二一三】内容八等面径 一○○积○一六六六六六 边【○七○七一○六】内容立圆径 一○○积○五二三八○九
内容二十等面径一○○积○五一五二二六 边【○六一八○三四】内容十二等面径一○○积○四二五九五○ 边【○三八一九六六】内容圆灯径 一○○积○二九○九二九 边【○三○九○一七】右以立方为主而求诸体
内立方及灯体之径为自面至面
四等面十二等面二十等面之径皆自边至边【以边折半处作垂线至对边折半处形如工字四等面则上下边遥相午错如十字】
八等面之径为自尖至尖 然皆以其径之两端正切于立方方面之中心一立方面其相切亦必六求积约法
凡立方内容诸体皆与立方之六面同髙同濶 则灯形积为立方积六之五 四等面积为立方积三之一八等面积为立方积六之一 以上三者皆方斜比
例
灯形及八等面皆以方求斜法以边自乘倍之开方得外切立方径以径再自乘得立方积取六之五为灯六之一为八等面积
四等面则以方求其半斜法以边自乘半之开方得外切立方径以径再自乘为立方积取三之一为四等面积
立圆在立方内则其积为立方积二十一之十一谨按方圆比例祖率圆径一百一十三圆周三百五十五见郑世子律学新説较径七周二十二之率为宻又今推平圆居平方四百五十二分之三百五十五较十四分之十一为宻又推得立圆居立方六百七十八分之三百五十五较二十一分之十一为宻
准立方比例以求各体自相比 皆以同髙同阔同为立方所容者较其积
灯内容同髙之八等面 为八等面得灯积五之一又立圆内容同髙之八等面 为八等面得圆积六十六之二十一【即二十二之七】 二者皆同髙而又能相容用课分法母互乘子得之
准此而知立圆内容八等面其积之比例若围与径也
又立方内容十二等面其内又容八等面 又立方内容二十等面其内又容八等面 二者亦同髙而能相容
同髙之四等面积为灯积五之二【即十之四 以灯面四因退位得四等面积】同髙之八等面积为四等面积二之一
同髙之四等面积为立圆积十一之七
此三者但以同髙同为立方所容而不能自相容若相容则不同髙
凡立方之灯形内又容立方则内小立方边与径得外立方三之二体积为二十七之八面幂为九之四凡灯容立方以其边为方而求其斜为外切之立方边取方斜三之二为内立方边
立方边一○○ 面幂一○○○○ 体积【一○○○○○○】
灯边 ○七○七一○六 面幂○五○○ 体积【○八三三三三三】小立方边○六六六六六六 面幂○四四四四四四 体积【○二九六二九六】凡方内容圆圆内又容方则内小方之幂得大方三之一防法以小方根倍之为等边三角形之边而求其中垂线即外切立圆之径亦即为外大方之边
如图三边既等则乙丙得甲丙之半若乙丙一其幂亦一而甲丙二其幂则四以乙丙句幂一减甲丙幂四所余
为甲乙股幂三
内方之幂一而外切浑圆之
幂三故其根亦如乙丙与甲
乙也 或以小立方之根为句倍根为求其股为外切浑圆径亦同【浑圆径即外方边】
若以量代算则三角形便
如以大方求小方者则以大方为中垂线而作等边三角形其半边即小方根也
或用大方为股而作句股形使其句为之半即得之防法句股形使甲角半于丙角则倍于句而句与股如小立方根与大方根
或以甲角作三十度而自乙作垂线引之与甲丙线遇于丙则乙丙即圆所容方之根
又按先有大方求小方者取大方根倍之为等边三角形之边而求其中垂线以三归之即得
凡立方内容方灯灯内又容立圆圆内又容圆灯灯内又容八等面凡四重在内其外切于立方也皆同防【切立方有六处所同者皆在其方面之最中一防若从此一防刺一针则五层悉透内惟方灯以面切面不可言防若言防则有十二皆切在立方边折半处】
凡立方内容方灯灯内又容十二等面体体内又容圆灯灯内又容八等面凡四重在内其切于立方也皆同处【凡六处皆在立方面内方灯体以面切面十二等面以边切余皆以尖切尖切者皆每面之最中防】凡立方内容方灯灯内又容二十等面体体内又容圆灯灯内又容八等面同上
凡立方方灯立圆十二等面二十等面圆灯内所容之八等面皆同大
凡立方内容四等面体体内又容八等面其切立方皆同处【四等面以边切为立方六面之斜八等面以尖切居立方各面中心即四等面边折半处】准此而知立方内所容之八等面与四等面所容之八等面亦同大且同髙各体中所容八等面皆同大因此可知
凡立圆内容十二等面体 又容立方其立方之角同十二等面之尖而切于立圆故立圆内所容之立方与十二等面内所容之立方同大
凡二十等面体内容立圆 内又容立方立方之角切立圆以切二十等面之面故立圆所容之立方与二十等面内所容之立方必同大
凡二十等面体内容立圆 内又容十二等面体体内又容立方此立方之角切十二等面之角以切立圆而切于二十等面之面皆同处
凡诸体能相容者其相容之中间皆可容立圆此立圆为外体之内切圆亦为内体之外切圆
惟八等面外切二十等面十二等面四等面及圆灯其中间难着立圆何也八等面之切圆灯以尖切尖而其切四等面十二等面二十等面则以尖切边故其中间不能容立圆
其他相切之中间能容立圆者皆以内之尖切外之面凡诸体在立方内即不能外切他体惟四等面在立方内能以其角同立方之角切他体故诸体所容四等面之边皆与其所容立方之面为斜线
凡诸体相容其在内之体为所容其在外之体为能容能容与所容两体之相切必皆有一定之处
凡相容两体之相切或以尖或以边【即体之棱】或以面浑圆在立方内为以面切面其相切处只一防皆在立方每面之中央【立方六面相切凡六防】
立方在浑圆内为以尖切面【立方之角有八故相切有八防】有一防不相切者即非正相容也
浑圆在诸种体内皆与在立方内同谓其皆以面切诸体之面而切处亦皆一防也然其数不同如四等面则切防有四方灯则切防有六八等面则切防有八十二等面及圆灯则切防有十二二十等面则切防有二十其切防之数皆如其面之数而皆在其面之中央也方灯则以其方面为数圆灯则以其五等边之面为数而不论三角之面者何也三角之面距体心逺故不能内切立圆也
诸体在浑圆内皆与立方在浑圆内同谓其皆以各体之尖切浑圆之面也其数亦各不同如四等面则切防亦四方灯则切防十二八等面则切防六十二等面则切防二十二十等面则切防十二圆灯则切防三十皆如其尖之数也
四等面在立方内以边棱切立方之面四等面有六棱以切立方之六面皆徧其四尖又皆切于立方之角十二等面二十等面在立方内皆以其边棱切立方之面两种各有三十棱其切立方只有其六以立方只有六面也
此三者为以楞切面
八等面在立方内以尖切面凡六防 圆灯在立方内亦以尖切面有六防皆在立方面中尖与八等面同方灯在立方内则以面切面皆方面也方灯之方面六亦与立方等也其十二尖又皆切于立方之十二边楞皆在其折半处为防
十二等面与二十等面逓相容皆以内体之尖切外体之面
十二等面在八等面内以其尖切八等面之面体有二十尖只用其八也
方灯在八等面内亦以面切面而皆三角面方灯之三角面有八数相等也又其尖皆切于八等面各棱之中央折半处棱有十二与灯之尖正等也
圆灯在十二等面内以面切面皆五等边平面也圆灯体之五等边平面原有十二故也又皆以其尖切十二等面之边楞而皆在其中半
圆灯在二十等面内亦以面切面皆三角平面也圆灯体之三角平面原有二十故也又皆以其尖切二十等面之边楞而皆在其中半
问十二等面与二十等面体势不同而圆灯之尖皆能切其楞边何也曰圆灯有三十尖而两等面体皆有三十楞故也
凡能容之体皆可改为所容之体递相容者亦可递改如立方容圆即可刓方为圆浑圆容方即可削圆为方递相容者如立方内容浑圆圆内又容十二等面体体内又容二十等面即可递改
凡所容之体皆可补为能容之体皆以数求之
如立方外切立圆以其尖角则求立方心至角之线为立圆半径
凡以面切面者其情相通
如方灯以其方面切立方面又能以其三角切八等边面则此三者皆方斜之比例也
又如圆灯以其五等边面切十二等面又能以其三角面切二十等面则此三者皆理分中末之比例也若反用之而令立方在方灯之内则立方之尖所切者必三角面若八等面在方灯之内则其尖所切又必方面也若令十二等面在圆灯内则所切者必三角面而二十等面居圆灯内所切者又必五等边面也故曰其情相通
诸体相容
凡立圆立方皆可以容诸体
凡立圆内容立方立方内又可容立圆两者不杂他体可以相生而不穷
凡立圆内容立方此立方内又可容四等面四等面又可容立圆三者以序进亦可以不穷
凡立圆内容立方又容四等面四等面在立方内以其尖切立圆与立方尖所切必同防
凡立圆容四等面在立圆所容立方内必以其楞为立方面之斜依此斜线衡转成圆柱形必为立圆之所容而此柱形又能含立方
外圆者柱之底若面内方者
立方之底若面直而斜者四
等面之边
凡四等面体在立圆内任以一尖为顶以所对之面为防旋而作圆锥此锥体必为立圆之所容而不能为立方之容
此两体虽非正相容体然皆有法之体
凡立方内可容八等面八等面又可容立方而相与为不穷
凡立方有六等面八尖八等面有八等面六尖故二者相容则所容体之尖皆切于为所容大体之面之中央而等
凡立方内容立圆此立圆内仍容八等面其八等面尖切立圆之防即可为切立方之防
八等面内容立圆此立圆内仍容立方则立方尖切立圆之防亦即可为其切八等面之防
凡立圆可为诸等面体所容其在诸体内必以圆面一防切诸体之各面此一防皆在其各等面之中心而等而徧
凡八等面内容立圆仍容立方 立方内仍容四等面而四等面以其角切立方角即可同立方角切立圆以切八等面叠串四体皆一防相切必在八等面各面之中心
立方设一百内容二十等面边六十一【八○三三九八】内又容立圆也十三【四一七二】
简法取内容立圆径幂三之一开方得内容小立方再以小立方为理分中末之全分而求其大分得内容十二等面边
凡十二等面二十等面皆能为立圆之所容皆以其尖切浑圆凡十二等面二十等面皆能容立圆皆以各面之中心一防正与浑圆相切
凡十二等面与二十等面可以互相容皆以内体之尖切外体之各面中心一防
凡十二等面内容浑圆浑圆内又容二十等面与无浑圆者同径二十等面内容浑圆浑圆内又容十二等面亦与无浑圆同径何也浑圆在各体内皆以其体切于外体各面之中心防而此防即各内体切浑圆之防故也以上皆可以迭串相生而不穷
凡十二等面内容浑圆浑圆内又容十二等面亦可以相生不穷
二十等面与浑圆递相容亦同
凡立方内容十二等面皆以十二等面之边正切于立方各面之正中凡六皆遥相对如十字
假如上下两面所切十二等
面之边横则前后两面所切
之边必纵而左右两面所切
之边又横若引其边为周线
则六处相交皆成十字
立方内容二十等面边亦同
凡各体相容皆以内之尖切
外之面惟立方内容四等面
则以角而切角立方内容十
二等面二十等面则以边而
切面
厯算全书卷五十七
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
钦定四库全书
厯算全书卷五十八
宣城梅文鼎撰