御制数理精蕴卷一十五

御制数理精蕴卷一十五

　　加式有四钱五分又三钱四分又三两五钱问共若干曰四两二钱九分术每图用棋子一枚先呼四钱五分将钱图棋子置四上分图棋子置五上又呼三钱四分将钱图四上棋子移置七上【四加三】分图五上棋子移置九上【五加四】又呼三两五钱将两图棋子置三上却以钱图七上棋子加五成一十二移置本图二上而两图三上棋子加一成四移置四上乃视各图棋子所在为总数也

　　减式先将总数棋子照图安置逐呼逐减即得

　　通曰又有一笔锦之法似笔算而叠改不同又有一掌金之法五指每指九位分三行自下而上曰一二三又自上而下曰四五六又自下而上曰七八九临算暗记殊觉可笑即铺地锦乘尚似筹而除则不可用矣惟洛书算为便并列图数而求之虽乘除亦可得也

　　数度衍巻三

　　钦定四库全书

　　数度衍卷四

　　桐城　方中通　撰

　　筹算

　　九筹

　　通曰珠算笔算皆有数而后乘筹算无数而先乘也故乘以筹为防数尽九九除亦因乘故随时施用所遇数更而先乘之数亦变多寡前后相合自成至若零筹无又无用之用也

　　开方筹

　　通曰筹有二曰平方自乘之还原也故用自乘之数曰

　　立方自乘再乘之还原也故用自乘再乘之数

　　乘法

　　术曰有实有法先将实数查筹从左向右齐列其两筹每格平行线斜方形合成一位并为一数矣次以筹之格为法数如法数是五即查第五格也若法有二位先查法尾所得数横列之次查法首所得数进一位横列之再用笔算加法得所求数

　　一位法式有五十九人每人八两问共若干曰四百七

　　十二两　以五十九人为实八

　　两为法先依实数查第五筹第

　　九筹五左九右并列次依法八查第八格内横数曰二曰七○曰四去○不用自左向右横视之得四百七十二两也得数尾与法尾数同故知为两

　　二位法式有五十四人每人六十四两问共若干曰三千四百五十六两　以五十四人为实六十四两为法

　　依实查五四两筹齐列先依法

　　尾四查第四格曰六曰一○曰

　　二自右向左横列之次依法首六查第六格曰四曰二○曰三进一位横列之用笔算加法得三千四百五十六两也多位法者视此每查格一回进一位列数

　　通曰九格内凡遇右尾有○者必湏列之以存位其○在数中者説详后式

　　筹内斜方有○无数式有五十四人每人二十八两问

　　共若干曰一千五

　　百一十二两　以

　　五十四人为实查筹并列二十八两为法先查八格曰二曰三○曰四横列之次查二格

　　曰八曰○曰一进一位列之加得合问

　　通曰斜方之中有数有○则去○不用若无数有○则湏存之以定位如八格去○列三二格列○存位是也筹内斜方倂数进十式有八十七人每人六两问共若

　　干曰五百二十二两

　　以八十七人为实查筹

　　并列六两为法查六格曰二曰四八曰四其曰四

　　八者并为十二本位存二以十进位作一其曰四者并所进之一为五当自右向左列曰二二五矣

　　用零筹式有六百零八人每人三十四两问共若干曰

　　二万零六百七十

　　二两　以六百零

　　八人为实查六筹

　　零筹八筹并列三十四两为法先查四格曰二曰三○曰四曰二横列之次查三格曰四

　　曰二○曰八曰一进一位列之加得合问

　　通曰实数整几十者列一零筹于右整几百者列二零筹于右以定位也

　　除法

　　术曰有实有法有商别列实数以法数依号查筹从左向右齐列于诸筹九格内查横行数之等于实数或畧少于实数者在第几格即是初商数如在第一格即一为初商也次以查得之数减其实数已尽则止一商如未尽则有再商即再查横行内数之等于存实或畧少于存实者在第几格即是再商数又以查得之数减其存实如前又未尽则更有三商倘初商已除实虽未尽而次位无实则商有○位即作○以当次商再以存实于格内查之若至余实数少于法数是为不尽法当命分之

　　一位商式有三百二十五两六十五人分之问各若干曰五两术别列三百二十五两为实以六十五人为法

　　查六五两筹左右齐列

　　查九格内何格数与实

　　相等一格至四格皆少五格内自左向右曰三二

　　五适等即五为商数矣

　　二位商式有三千三百二十五两九十五人分之问各

　　若干曰三十五两术

　　列三千三百二十五

　　两为实九十五人为法列筹二筹横数止三位湏截实左三位曰三三二作三

　　百三十二于格内查之至三格自左向右曰二八五【中位一七并八】作二百八十五畧少于实数四格则多矣用三爲初商相减余四十七再以余实四七及截外之五作四百七十五查至五格四七【二五并七】五适等用五爲次商

　　商当有○式有三十二万三千八百七十六两五百三十八人分之问各若干曰六百零二两术列实查筹三筹横数止四位截实左四位曰三二三八作三千一一百三十八查一至六格自左向右曰三二二八作

　　三千二百二十八畧

　　少于实数七格则多

　　矣用六爲初商相减

　　余一十以余实一○及截七六作

　　一千零七十六此乃次位无实也

　　次商当作○竟不除实余实仍是一千零

　　七十六查至二格一○七六等用二爲三商

　　通曰次位三位俱无实者卽一连两商皆当作○也实不尽式有三千三百三十六两九十五人分之问各

　　若干曰三十五两

　　余实一十一两

　　列实查筹二筹横数止三位截实左

　　三位曰三三三查至三格自左向右

　　曰二八五畧少于实数用三为初商相减余四八以余实四八及截外六作四八六查至五格四七五畧少于余实用五为次商相减尚余一十一为不尽数也

　　开平方法

　　术曰有积数【即实数】有商数商有方法有亷法隅法置积数从末位下作防向左隔一位作一防有一防知有一商也视平方筹内自乘之数与实相等或畧少者取以除实但自左一防为始防前无位则自乘止于零数防前有位则自乘应有十数而此乘数在筹内第几格即用其格数为初商也有二防者以初商倍之乃以倍数查筹列于平方筹之左再视诸筹横行内数与存实相等者用以除实而此数在几格即用为次商也实不尽者以法命之或实右加○再开之详少广章

　　通曰开方有实无法故用方廉隅以代之初商积与次商隅积皆自乘数也次商亷积之数处初商与隅积之问也

　　第一求初商之根为方法乙为

　　方积也不尽求二防之商倍初商

　　根为廉法甲丙两长邉也隅法丁

　　方一角也此甲乙丙丁为平方二

　　商之形如三商则加戊巳亷及庚

　　隅也

　　式有积三万二千○四十一平方开之问邉得若干曰

　　一百七十九

　　别列积为实从

　　末位一下作防

　　向左隔一位○

　　下作三下作

　　防共得三防知商有三位

　　也防左无实三作零数视

　　方筹内自乘无三近少为

　　一平行取一为方法为初

　　商乃于实三内减去一格

　　自乘之一存二以共次防

　　实曰二二○为余实次倍初商根得二为亷法【倍一为二】取二号筹列方筹之左于两筹横行内求二二○无则用近少者一八九在第七格即七为次商为隅法乃以一

　　八九减余实二二○余三

　　一以共三防之实曰三一

　　四一为次余实再倍初次

　　两商之一七得三四【初商一作】

　　【一十次商七共为十七倍为三十四】为次廉法乃去次商所列之第二筹又取三号四号两筹自左向右俱列方筹之左于横行内求三一四一在第九格即九为三商为次隅法减实无余即三次所商为平方邉一百七十九也

　　开立方法

　　术曰有积数有商数商有方法有平廉法长亷法隅法置积为实从末位作防向左隔二位作防每一防有一商视立方筹内再乘之数有与实相等或近少者用以除实也但自左一防为始防前无位则再乘止于零数防前有一位则再乘应有十数防前有二位则再乘应有百数而此乘数在第几格即用作初商也有二防者以初商自乘而三倍之为平亷法以初商三倍之为长亷法却以平亷法数查筹列立方筹左以长亷法数查筹列立方筹右乃视左筹与方筹之横行内数查其或等或少于余实者取格数为约数即以此为次商以次商自乘之数与长亷法数相乘进一位书于约数之下以此二数并之除其余实即得立方邉也不尽者依法命之详少广章

　　其一作六面方体诸面线角皆相等

　　此名方法体成甲乙丙丁形

　　通曰此初商形也凡边皆初商之

　　数

　　其二作六面扁方体其上下面各与

　　方法等旁四面之髙少于方法之髙

　　而四棱线皆等此名平亷法体成戊

　　己庚辛形

　　其三作六面长方体其上下左右四

　　面与平廉之旁面等两端之四界线

　　皆与平廉之髙等此名长廉法体成

　　壬癸形

　　其四作六面小立方体六面之广袤皆与长廉之两端等此名隅法体成子丑形

　　通曰右三形皆次商形也三四商者亦如此三形増之通曰初商方根次商上加一平廉左加一平廉后加一平廉故三倍初商之自乘为平廉法也上与后之边齐右加一长廉上与左之边齐前加一长廉左与后之边

　　齐下加一长廉故三倍初商为长廉法也上与左与后三角加隅法而立方形成矣

　　式有积九百一十二万九千三百二十九立方开之问边得若干曰二百零九术别列积数为实从末位九下

　　作防向左隔二位

　　作凡三防知商

　　有三位也防前无

　　实则实首九为零

　　数视立方筹内再

　　乘之数无九三格

　　二七过实用二格

　　八实之近少数也

　　即取二为方法为

　　初商九内减八存一以

　　共次之实曰一一二

　　九为余实将初商二自

　　乘得四又三倍得十二

　　为平廉法取一号二号

　　两筹列方筹左又将初

　　商二三倍得六为长廉

　　法取六号筹列方筹右

　　乃于立方与平廉共三筹

　　内之横行数取其少于余实者为约数视筹内无近少数即第一格之一二○一亦多于余实之一一二九遇此则知商有○位矣竟于初商下作○以当次商而实数不动复开第三防之实一一二九三二九将初次两商之二○【此作二十】自乘之得四○○【此作四百】又三倍之得一二○○【此作一千二百】为次平廉法乃取一号二号○号○号之四筹列方筹左而去次商所列之平廉两筹又将初次两商之二○【此作二十】三倍之得六○【此作六十】为次长廉法取六号○号两筹列方筹右而去次商所列之长廉筹

　　乃于立方与次平廉共

　　五筹内之横行数取其

　　少于余实者为约数至

　　第九格曰一○八○七

　　二九另列之向立方筹

　　右平行取九格之自乗

　　数八十一以乗次长廉

　　六○【此作六十】得四八六○

　　【此八十一回六十也】进一位列约

　　余实之一　一二九三二九恰尽乃以约数之格数九爲二商也三次所商曰二曰○曰九是爲立方根二百零九也

　　通曰长亷筹止用其号数格内诸数皆无用卽不列筹而止列数亦可开方宜入少广章因有此二筹故立式于此

　　数度衍巻四

　　钦定四库全书

　　数度衍卷五

　　桐城　方中通　撰

　　尺算

　　法尺

　　通曰法尺之式上连下分下则可开可合上则相对不

　　移如此乃可为法

　　实尺

　　两尺分寸湏等不可稍

　　异作一法尺二实尺

　　通曰两端变为三角因参知两勾股矩度直景倒景盖同一源加实尺于法尺之上谓之三角可也谓之勾股可也

　　乘法

　　术曰先定实数法数与他算不同既定乃以法数作法尺何数实数作实尺何数或寸或分又湏预定然后将实尺比照实数横安于法尺之一分或一寸上令法尺开而就之随量法尺之法数空处得何数即为所求数也

　　通曰变通升降其用始广如实尺数大不便安放者湏降实数寸降为分分降为厘或将实数折半法实俱大必湏俱折先降后升先半后倍得数原无异也或用升法以代降实

　　式有五人每人四两问共若干曰二十两术以四两为

　　四分作实数以五

　　人为五寸作法数

　　将实尺比定四分

　　横安于法尺一寸

　　空处乃量法尺五寸空处得何数今得二寸因以分为两则寸即为十故知所得二寸为二十两也

　　降数式有五十九人每人八两问共若干曰四百七十二两术以八两为八分作实数以五十九人作五寸九分为法数用实尺比定八分安于法尺一分上八大一

　　小不可安放乃降

　　十倍安于法尺一

　　寸空处量法尺五

　　寸九分空处得四

　　寸七分二厘先降后升应升为四尺七寸二分原以分为两故知所得为四百七十二两也【此系升法以代降实】

　　实数折半式有八人每人一十二两问共若干曰九十六两术以八人作八寸为法以一十二两折半得六两作六分为实用实尺比定六分安于法尺一寸空处量

　　法尺八寸空处得

　　四寸八分原以分

　　为两是为四十八

　　两先半后倍倍得

　　九十六两也

　　法实俱折半式有一十六人每人一十二两问共若干曰一百九十二两术以一十六人折半得八人作八寸为法以一十二两折半得六两作六分为实用实尺比定六分安于法尺一寸空处量法尺八寸空处得四寸

　　八分以分为两是

　　为四十八两倍之

　　得九十六两再倍

　　之得一百九十二

　　两合问

　　通曰因法实俱折半故加倍以还实再加一倍以还法也

　　实数再折式有八人每人二十四两问共若干曰一百九十二两术以八人作八寸为法以二十四两折半得

　　一十二两又折半

　　为六两作六分为

　　实用实尺比定六

　　分安于法尺一寸

　　空处量法尺八寸空处得四寸八分以分为两是为四十八两倍之得九十六两再倍之得一百九十二两合问

　　通曰再折故再倍或将实三分之得数三乘之亦合法实俱再折式有三十二人每人二十四两问共若干曰七百六十八两术以三十二人折半得一十六人又

　　折半得八人作八

　　寸为法以二十四

　　两折半得一十二

　　两又折半得六两

　　作六分为实用实尺比定六分安于法尺一寸空处量法尺八寸空处得四寸八分以分为两是为四十八两倍之得九十六两再倍之得一百九十二两再倍之得三百八十四两再倍之得七百六十八两合问

　　通曰四其折半故四其加倍如以四自乘得十六又乗四十八亦合

　　整零截量式有二十四人每人五钱三分问共若干曰一十二两七钱二分术以二十四人作法尺二寸四分以五钱三分作实尺五分三厘先截整数二十人求之

　　将实尺比定五分

　　三厘安于法尺一

　　分空处实大不便

　　安顿降之安于法

　　尺一寸空处将五分三厘升作五寸三分此为十人所得数倍之得十寸六分便是二十人所得数也后截零数四人求之量法尺四分空处得二分一厘二毫亦升作二寸一分二厘便是四人所得数并两得数得十二寸七分二厘为二十四人所得总数也因以尺之厘为

　　银之分故知爲十

　　二两七钱二分又术

　　以二十四人作法尺

　　二尺四寸以五钱三

　　分作实尺五分三厘将实尺比定五分三厘安于法尺一寸空处量法尺十寸空处得五寸三分倍之得一尺○六分爲二十人所得数又于法尺四寸空处量得二寸一分二厘并得一尺二寸七分二厘亦合

　　通曰所截爲二十人故加倍若三十人则用三乗四十人则用四乗也

　　除法

　　术曰法实数定之后将实尺比定实数定于法尺之法数空处乃量法尺之一分或一寸空处得几何卽爲所求除出数也亦用降数折数二法或有实无法任意作几分者不论实数多寡将实尺比数安于法尺之百分空处用随分法量之

　　式有银二十二两四十四人分之问各若干曰五钱术以二十二两作二寸二分为实以四十四人作四寸四

　　分为法将实尺比

　　定二寸二分安于

　　法尺四寸四分空

　　处乃量法尺之一

　　分空处得几何今得五厘因以尺之分为银之两则厘当为钱又因以分为人则五钱为一人所得数也通曰量一寸空处得五分降为五厘亦合一分为一人一寸则为十人量四寸空处得四十人银数四分空处得四人银数此用乘以知除也

　　降数式有银四十四两二十二人分之问各若干曰二两术以四十四两作四寸四分为实以二十二人作二寸二分为法将实尺比定四寸四分安于法尺二寸二分上实大不可安顿降为四分四厘安于法尺二寸二

　　分空处乃量法尺

　　一分空处得二厘

　　因先降数此当升

　　为二分分为银之

　　两则知所得为二两也

　　折实式有一十八两六人分之问各若干曰三两术以一十八两折半得九两作九寸为实以六人作六寸为法将实尺比定九寸安于法尺六寸上实大降作九分安于法尺六寸空处乃量法尺一寸空处得一分五厘

　　因降实此当升为

　　一寸五分又因折

　　实此当倍为三寸

　　以寸为两故知一

　　人所得为三两也

　　法实俱折式有一十八两一十二人分之问各若干曰一两五钱术以一十八两折半得九两作九寸为实以一十二人折半得六人作六寸为法将实尺比定九寸安于法尺六寸上实大降作九分安于法尺六寸空处

　　乃量法尺一寸空

　　处得一分五厘因

　　降实当升为一寸

　　五分寸为两故知

　　一人所得为一两五钱也

　　通曰法实俱折者除与乘不同乘折则所得止半数故湏倍之除折则所得即所求数不必又倍矣葢折亦除故也

　　随分式有银八十两或四平分或五平分问各若干曰四分之一得二十两五分之一得一十六两术以八十

　　两作八十分为实

　　将实尺比定八十

　　分安于法尺百分

　　空处如欲作四平

　　分者则量法尺二寸五分空处得二十分每人即得二十两也如欲作五平分者则量法尺二寸空处得一十六分每人即得一十六两也

　　通曰四平分者先将四除十寸得二寸五分五平分者先将五除十寸得二寸

　　整零截量式有三十二两五人分之问各若干曰六两

　　四钱术以三十二

　　两作三尺二寸为

　　实以五人作五寸

　　为法先截实末二

　　寸求之将实尺比定二寸安于法尺五寸空处量法尺一寸空处得四分后截实首三尺求之将实尺比定三尺降作三寸安于法尺五寸空处量法尺一寸空处得六分应升为六寸并前四分得六寸四分以两为寸故知每人得六两四钱也

　　通曰后量法尺之十寸空处得六寸亦合此不升数而升度也

　　比例法

　　术曰有实数于此以某法数分之得某数今又有实于此照前分例求法几何将实尺比前实数安法尺之前法数上又将实尺比后实数于法尺空处上下推移求至脗合处视法尺之分寸几何即所求数也

　　通曰比例无穷不可尽举引而推之存乎其人

　　式有银四百四十两二百二十人分之人得二两今又有银八百八十两照前二两分数该人几何曰四百四十人术将二百二十人作二寸二分为法将四百四十

　　两作四寸四分为

　　实以实尺比定四

　　寸四分安于法尺

　　二寸二分上实大

　　降作四分四厘安于法尺二寸二分空处又将八百八十两作八寸八分亦降作八分八厘以实尺比定八分八厘于法尺空处上下推移至四寸四分空处适合以寸为百数即知为四百四十人矣

　　通曰前后俱降实故不升且前以人为法银为实后亦以银为实求出法数人降实则不升法也

　　又式有银三两给六人今又有银七两照前例应给几人曰一十四人术以三两作三寸爲法以六人作六分爲实将实尺比定六分安于法尺三寸空处乃量法尺七寸空处视得几何今得一寸四分以分爲人卽知所

　　得爲一十四人也

　　又术以三两作三

　　分爲实以六人作

　　六分爲法将实尺

　　比定三分安于法尺六分空处又将实尺比定七分在于法尺空处上下推移至法尺一寸四分空处适得脗合一寸四分卽一十四人也

　　通曰法实可互更乗除可互用此尺算之异于他算也凡求得数皆以比例卽乗除亦无非比例故比例以尺爲便

　　数度衍巻五

　　钦定四库全书

　　数度衍卷六

　　桐城方中通撰

　　勾股【勾股之一】

　　周髀勾股圆方图

　　赵君乡注曰勾股各自乗并之为实开方除之即也【鸾曰勾三自乗得九股四自乗得十六并得二十五开方得五】按图又可以勾股相乗为朱实二倍之为朱实四以勾股之差自相乗为中黄实【倍勾差二为四自乗得一十六为左图中黄实也淳风曰干率不通】加差实亦成实【加差实一并外矩青八得九又并中黄十六得二十五亦成实也淳风曰于率不通唐寅曰加差实之一于前文所言朱实四之上朱实之四为二十四加一得二十五也】以差实减实半其余以差为从法开方除之复得勾矣【以差实九减实二十五余十六半之为八加差一得九开得勾三淳风曰以差实一减实二十五余二十四半为十二以差一从开得勾三鸾言于率不通】加差于勾即股【加差一于勾三得四】凡并勾股之实

　　即成实【勾实九股实十六并得二十五实】或矩于内或方于外形诡而量均体殊而数齐勾实之矩以股差为广股并为袤【以差一为广股四并五得九为袤左图外青】而股实方其里【左图中黄十六】减矩勾之实于实开其余即股【减九于二十五余十六】倍股在两边为从法开矩勾之角即股差【倍股四为八为从开九得一也】加股为【加差一于股四得五】以差除勾实得股并【以一除九得九即股四五并数】以并除勾实亦得股差【以九除九得一】令并自乗与勾实为实【九自乗得八十一又加九得九十】倍并为法【倍九为十八】所得亦【以十八除九十得五】勾实减并自乗加法为股【以九减八十一余七十二以十八除之得四】股实之矩以勾差为广勾并为袤【以差二为广勾

三并五得八为袤】而勾实方其里【右图中青九】减矩股之实于实开其余即勾【减十六于二十五余九】倍勾在两边为从法开矩股之角即勾差【倍勾三为六为从开十六得二也】加勾为【加差二于勾三得五】以差除股实得勾并【以二除十六得八即勾三五并数】以并除股实亦得勾差【以八除十六得二】令并自乗与股实为实【八自乗得六十四又加十六得八十】倍并为法【倍八得十六】所得亦【以十六除八十得五】股实减并自乗如法为勾【以十六减六十四余四十八以十六除之得三】两差相乗倍而开之所得以股差増之为勾【一与二乘得二倍为四开得二増一为三】以勾差増之为股【以二増二得四】两差増之为【二之上又增一与二得五】倍实列勾股差实见实者以图

考之倍实满外大方而多黄实黄实之多即勾股差实【倍二十五为五十满外大方之七七四十九而多一数即勾股差实也】以差实减之开其余得外大方大方之面即勾股并【以差实一减五十余四十九开得七即勾三股四并数】令并自乗倍实乃减之开其余得中黄方黄方之面即勾股差【七自乗得四十九倍实二十五为五十相减余一开之得勾股差】以差减并而半之为勾【以差一减七余六半得三】加差于并而半之为股【以差一加七得八半得四也】其倍为广袤合【倍二十五得五十为广袤合淳风曰倍五得一十为广袤合鸾言错也唐寅曰勾广一袤九股广二袤八】而令勾股见者自乗为其实四实以减之开其余所得为差【以七七自乗得四十九四实大方勾股之中有四方一方之中有方十二四实有四十八减

上四十九余一也开之得一即勾股差一淳风曰十自乗得一百四实者大方广袤之中有四方若据勾实而言一方之中有实九四实有三十六减上一百余六十四开之得八即广袤差此是股差减股并余数若据股实而言一方之中有实十六四实有六十四减上一百余三十六开之得六即广袤差此是勾股差减勾并余数鸾言错也】以差减合半其余为广【以差一减合七余六半之得三广也淳风曰以差八六各减合十余二四半之得一与二也一即股差二即勾差以差减即各袤广也鸾言错也】减广于即所求也【以广三减五即所求差二也淳风曰以广一与二各减五即所求股四勾三也鸾言错也】观其迭相规矩共为反覆互与通分各有所得然则统叙羣伦纪众理贯幽入微钩深致逺故曰其裁制万物唯所为之者也通

曰君卿所注乃其互见甄鸾重述李淳风言其于率不通者有三错者有四鸾盖取其偶合耳大衍之数五十其用四十有九即此积矩之数也中黄太极一藏四用蓍之挂防也四十有八四象具焉蓍之用策也故七者勾股和也四十九者勾股和之自乗也四十有八者四其勾股之互乗也互乗十二勾股亦十二以勾三除之得股以股四除之得勾以五除之得勾股之羃六此即半其互乗也四其二六是为八羃八羃有八卦之义焉羃六有六爻之义焉八其六爻是为四十八耳矩股之角四分股之一四角而成股羃矩勾之角四分勾之一四角而成勾羃羃去中黄羃内外四角等是矩勾之四角三分损一而为羃之一角羃之一角三分损一而为矩股之一角也

　　容股股容勾图説

　　通曰方内之容递差于二九九之内容八八余为十七八八之内容七七余为十五七七之内容六六余为十三六六之内容五五余为十一五五之内容四四余为九四四之内容三三余为七三三之内容二二余为五二二之内容一一余为三是余之相降莫不差于二也则实之容股实股实之容勾实七九之余所固然矣自而推之与勾股差并六实三十六其容实之余较容股实之余必増二矣与勾差并七实四十九其容与勾股差并实之余较其并实容之余必増二矣与勾并八实六十四其容与勾差并实之余较其并实容与勾股差之余必増二矣与股并九实八十一其容与勾并实之余较其并实容

　　与勾差之余必増二矣自勾而降之勾差二实四容于勾实之中其余较股之容勾必损二矣勾股差一实一容于勾差实之中其余较勾之容勾差必损二矣容有大小余无异同受容者变而容之者亦变故耳

　　勾股名义

　　勾【横也】股【直也】【斜也】勾股较【勾股相减也】勾较【勾相减也】股较【股相减也】勾股和【勾与股并也】勾和【勾与和也】股和【股与并也】较和【与勾股较并也】和和【与勾股和并也】和较【与勾股和相减也】较较【与勾股较相减也】

　　勾股求法

　　式甲乙股四乙丙勾三问甲丙几何曰甲丙五术股四自乘得十六勾三自乗得九两自乗数并之得二十五为实积用少广章

　　开平方法除之得边五即也

　　又式木长二丈围之三尺葛生其下纒木七周上与木齐问葛长几何曰二丈九尺术以木长为勾围七周共二十一尺为股求葛长为也

　　通曰勾股可互换然必以长者为股短者为勾也

　　勾求股法

　　式乙丙勾三甲丙五问甲乙股几何曰甲乙股四术勾三自乗得九五自乗得二十五相减余十六平方开之得边四即股也

　　又式圆木径二尺五寸为板欲厚七寸问阔得几何曰二尺四寸术以圆径为板厚为勾求阔为股也

　　通曰圜内切中径成两勾股也

　　股求勾法

　　式甲乙股四甲丙五问乙丙勾几何曰乙丙勾三术服四自乗得十六五自乗得二十五相减余九平方开之得边三即勾也

　　又式台上方四丈高四丈八尺四隅袤叙五丈四尺四寸问下方几何曰九丈一尺二寸术以台髙为股袤斜为求勾以益上方斯得下方也【一隅袤斜者用此求之若四隅袤斜须于求勾倍之且隅与边尚有不同也】

　　又式圆池八分鱼吞钩钩沉在正中水底钩丝斜至岸长五十尺问水深几何曰三十尺术以半池径为股丝斜至岸为先以亩法通池八分为一百九十二步四乗三除得二百五十六步平方开之得圆径十六步折半得八步通作四十尺为股次以股求勾得水深也

　　勾与股较求股法

　　式乙丙勾二十七甲乙股甲丙之较为丙丁九问甲乙股几何甲丙几何曰甲乙股三十六甲丙四十五术勾自乗得七百二十九较九除之得八十一为股和和内减较余七十

　　二半之得三十六为股和外加较得九十半之得四十五为二术勾自乗得七百二十九较自乗得八十一相减余六百四十八为实倍较得十八为法除实得三十六为股三术勾自乗较自乗并得八百一十为实倍较为法除之得四十五为

　　第一术论曰勾羃为丙戊直角方形以较而一【即除也】为

　　丙巳直角形即得丙庚边与甲

　　乙甲丙股和等何者甲丙

　　羃之甲辛直角方形内当函一

　　股羃一勾幂试于甲辛形内依丙丁较截作丁辛丁癸癸壬三直角形即癸壬形与败羃等而丁辛丁癸两形并当与勾羃等亦与丙巳直角形等夫壬辛甲癸巳庚皆较也而甲丁与股等丙辛与等即丙庚与股和等

　　第二术论曰勾羃为乙巳直角方形较羃为丙丑直角方形与丙庚等相减存乙庚巳磬折形为实次倍丙丁较线为乙辛线以为法除实即得辛壬直角形与乙庚巳磬折形等而乙壬边与甲乙股等何者甲丙羃之

　　甲癸直角方形内当函一勾羃一股

　　羃试于甲癸形内截取丙丑较羃之

　　外分作甲五丑癸丑子三直角形即

　　丑子与股羃等而丙丑甲丑丑癸三形并当与勾羃等次各减一相等之丙丑丙庚即甲丑丑癸并与乙庚巳磬折形等亦与辛壬直角形等辛乙与寅丑丑丁并等即乙壬与甲丁或寅癸等亦与甲乙等

　　通曰第三术勾羃为乙巳直角方形较羃为丙壬直角方形与丙庚等并为巳辛庚

　　磬折形为实次倍丙丁较线为辛巳线以为辛巳线以为法除实即得甲丙线也

　　又式池方一丈正中生葭出水一尺引葭至岸适与水面齐问水深几何曰一丈二尺术半池为勾出水一尺为股较引葭至岸为水深为股

　　又式开门去阃一尺两门不合二寸问门每扇广几何曰五尺零五分术去阃一尺为勾不合二寸半之为股较门阃之半为股门广为【门广并不合之半为】

　　又式垣髙一丈倚木齐垣木脚去本以画记之卧而过画一尺问画去墙几何曰四丈九尺五寸加过画一尺为木长术垣高为勾过画一尺为股较木长为画去墙为股

　　又式圆木锯深一寸道长一尺问木径几何曰二尺六寸术木径为锯道为勾锯深为半股较半勾自乗得二尺五寸半较除之又加半较

　　得径为

　　通曰圆内截弧矢求圆径也甲丙与甲巳甲丁皆等丁居丙巳之中己乙为全较故丁戊为半较也【按此条图説有误处】

　　股与勾较求勾法

　　式甲乙股三十六乙丙勾甲丙之较为甲丁十八问乙丙勾几何甲丙几何曰乙丙勾二十七甲丙四十五术股自乗得一千

　　二百九十六较除之得七十二为勾和和内减较余五十四折半二十七为勾和外加较得九十折半四十五为

　　通曰勾与股较求股之第二术第三术此亦可用第一术论曰股羃为甲巳直角方形以较而一为甲辛

　　直角形即得甲壬边与乙丙丙甲勾

　　和等何者甲丙羃之甲丑直角方形

　　内当函一股羃一勾羃试于甲丑形内

　　截取子卯丑辰边各与甲丁较线等

　　即卯丑辰丙俱与等乙丙勾之丁丙线等而作甲卯夘辰辰丁三直角形其辰丁形之四边皆与勾等勾羃也即甲夘夘辰两形当与股羃等亦当与甲辛形之甲壬边与勾和等

　　第二术论曰股羃为甲戊直角方形较羃为丁庚直角

　　方形与辛癸等相减存甲壬戊磬折

　　形为实次倍甲丁较线为乙寅线以

　　为法除实即得乙子直角形与甲壬

　　戊磬折形等何者乙子直角形加一

　　等较羃之乙丑直角方形成子夘癸磬折形即与股羃之甲戊直角方形等也又何者甲丙羃之甲辰直角方形内当函一勾羃一股羃试于甲辰形内截取丁庚较羃之外分作庚未未午午丁三直角形其甲庚申未酉戌三线各与甲丁较线等庚申未戌未辰午酉四线各与等乙丙勾之丁丙线等夫未酉酉戌并与勾等即申未未酉并亦与勾等而庚申未辰各与勾等即庚未未午两形并为勾羃而丁庚午丁两形并为股羃矣丁戌戍酉两较也乙夘夘寅亦两较也而丁丙与乙丙原等即丁午乙子两形等丁庚与乙丑两形又等即丁庚午丁并与子卯癸磬折形等而子夘癸磬折形与股羃之甲戊形等此两率者各减一等较羃之辛癸乙丑形即乙子直角形与甲壬戊磬折形等

　　通曰甲乙股羃之甲戊直角方形与甲丁较羃之丁庚直角方形并为巳癸卯磬折形也此第三术也

　　与勾股较求勾股法

　　式甲丙四十五甲乙股乙丙勾之较为甲丁九问乙丙勾几何甲乙股几何曰乙丙勾二十七甲乙股三十六术自乗得二千零

　　二十五倍之得四千零五十较自乗得八十一相减余三千九百六十九为实平方开之边得六十三为勾股和和外加较得七十二半之得三十六为股和内减较余五十四半之得二十七为勾二术较自乗得八十一折半得四十零五与自乗二千零二十五相减余一千九百八十四五折半得九百九十二二五开平方边得三十一五减半较四五余二十七为勾三十一五加半较四五得三十六为股

　　第一术论曰羃为甲戊直角方

　　形倍之为己丙直角形较羃为甲

　　庚直角方形与甲辛等相减即得

　　减甲辛形之己辛丙磬折形也今欲显己辛丙磬折形开方而得勾股和者试察甲丙上直角方形与甲乙乙丙上两直角方形并等即甲戊羃内有一甲乙股羃一乙丙勾羃也己丙两羃内有两甲乙羃两乙丙羃也故以己丙为实开方即得丑辰直角方形其丑寅与夘辰两形两股羃也丙壬与癸子两形两勾羃也而丑寅夘辰之间则重一等甲辛之夘寅形减之即丑辰直角方形与己辛丙磬折形等矣乙丙为勾丙丑与甲乙等故乙丑边即勾股和也若于乙丙勾加甲丁较即与甲乙股等故甲乙乙丙甲丁并半之为甲乙股以甲丁较减甲乙股为乙丙勾

　　通曰第二术较羃为甲辛直角方形

　　半之为甲戊直角形与甲庚直角形

　　等羃为甲壬直角方形减较羃半

　　甲庚形得癸庚丙磬折形半之得癸

　　午未磬折形与辰子丙磬折形等而子未直角方形与甲午直角方形等也癸午未磬折形开方得丑寅直角方形与辰子丙磬折形开方得卯乙直角方形等也即得丑乙线与巳乙线等而丑丙线与甲巳线等即半较线也乙丑线内减等半较之丑丙线得乙丙勾己乙线外加半较甲巳线得甲乙股何者甲壬直角方形内函一丑寅直角方形一夘乙直角方形又一甲戊直角形故于甲壬直角方形内减等甲戊之甲庚直角形即得夘乙丑寅两直角方形也

　　勾与股和求股法

　　式乙丙勾二十七丙甲甲乙股和八十一问甲乙股几何甲丙几何曰甲乙股三十六甲丙四十五术勾自乗得七百二十九

　　股和八十一除之得九为股较较加和八十一得九十半之得四十五为较减和八十一余七十二半之得三十六为股二术勾自乗与和自乗六千五百六十一相减余五千八百三十二为实倍和得一百六十二为法除之得三十六为股三术勾和各自乗相并得七千二百九十为实倍和为法除之得四十五为通曰第二术减余第三术并后若俱折半为实即以和为法可也不必倍和矣又勾自乗倍得一千四百五十八与和自乗相减余五千一百零三为实以和八十一除之得六十三为勾股和减勾余股以股减八十一余

　　第一术形论同勾与股较求股第一术

　　通曰第二术以股和作庚乙一直线自之为乙丁直角方形次用股度相减取辛甲两点从辛从甲作辛壬甲癸两平行线依此法作戊子丑巳两平行线即丁乙一形内截成丑壬甲子庚寅辰卯股羃四戊午未巳甲寅辰壬较股矩内直角形四寅辰较羃一也

　　今欲于丁乙全形中减一乙丙勾之羃则于庚辰羃内存庚寅股羃而减丑寅甲磬折形即勾羃矣何者庚辰羃内当函一股羃一勾羃也又戊午与午癸等即辛癸形亦勾羃也以辛癸形代丑寅甲磬折形于丁乙全形内减之余庚壬甲夘两形并又半得甲夘形为实【倍法不如折实】以等股和之乙夘线为法除之得甲乙股通曰第三术勾羃和羃并者即丁乙形外加一甲壬形也

　　又式竹髙一丈折梢柱地去根三尺问折处髙几何曰四尺又二十分尺之十一术竹高为股和去根三尺为勾折处为股

　　股与勾和求勾法

　　式甲乙股三十六乙丙丙甲勾和七十二问乙丙勾几何甲丙几何曰乙丙勾二十七甲丙四十五术股自乗得一千二百九

　　十六和七十二除之得十八为勾较较减和余五十四半之得二十七为勾较加和得九十半之得四十五为

　　通曰勾与股和求股之第二术第三术此亦可用第一术形论同股与勾较求勾第一术第二术形论同勾与股和求股第二术

　　与勾股和求勾股法

　　式甲丙四十五甲乙乙丙勾股和六十三问甲乙股几何乙丙勾几何曰甲乙股三十六乙丙勾二十七术自乗得二千零二十五倍

　　之得四千零五十与和自乗得三千九百六十九相减余八十一为实平方开得九为勾股较较减和余五十四半之得二十七为勾较加和得七十二半之得三十六为股

　　通曰和各自乗相减又减自乗余开方得较亦合论曰以勾股和作甲丁一直线自之为甲巳直角方形此形内函甲辛癸巳两股羃乙寅庚壬两勾羃而甲辛癸巳之间重一癸辛直

　　角方形夫甲丙之羃既与勾股两羃并等以减甲巳形内之甲辛乙寅两形即所存戊辛寅磬折形少于羃者为癸辛形矣乙辛股也乙丑勾也则丑辛较也

　　勾较与股较求勾股法

　　式甲乙勾较十八戊丙股较九问乙丙勾甲乙股甲丙各几何曰乙丙勾二十七甲乙股三十六甲丙四十五术勾较十

　　八与股较九相乗得一百六十二倍之得三百二十四为实开平方得十八为和较加勾较十八得三十六为股和较加股较九得二十七为勾用勾股求法得四十五为或以勾较十八并勾得或以股较九并股得

　　论曰股较甲丁九自之得八十一为己庚直角方形勾较乙戊十八自之得三百二十四为辛壬直角方

　　形两羃并得四百零五以九减十

　　八余九即勾股较自之得八十一

　　为干兑直角方形元设两较互乗

　　为癸戊子丑两直角形并得三百

　　二十四以减四百零五亦得八十

　　一何以知之癸戊子丑三百二十

　　四为实开方得十八之寅夘直角方形边则和较也凡直角三边形之羃必与勾股两羃并等甲乙丙既直角形则甲乙乙丙两羃并必与甲丙羃等今于甲乙股加甲辰丙乙勾加乙午甲丙加丙未勾未申股各作一直线以此三和线作一三边形即甲申上之

　　甲酉直角方形必不等于丙午上

　　之丙戌直角方形乙辰上之乙亥

　　直角方形并而此不相等之较必

　　勾股较羃之八十一也何者若于

　　甲酉丙戌乙亥三直角方形各以

　　元设勾股勾股分之即甲酉形

　　内有羃一股羃一勾羃一股矩内形二勾矩内形二勾股矩内形二而乙亥形内有羃一股羃一股矩内形二丙戌形内有羃一勾羃一勾矩内形二次以甲酉内诸形与乙亥丙戍内诸形相当相抵则甲酉内存勾股矩内形二丙戍或乙亥内存羃一次以此两存形相当相抵则一羃之大于两勾股矩内形必勾股较羃之

　　八十一也何者一羃内函一勾羃一股羃今试如上图任作一甲乙羃其乙丙为勾羃则丁丙戊磬折形必与股羃等乙巳为股羃则丁巳戊磬折形必与勾羃等次以乙庚辛壬两勾股矩内形辏一角依角旁两边纵横交加于羃之上即得勾股之较羃丙巳而乙丙上重一勾羃次以所重之勾羃补其等勾羃之丁己戊磬折形则甲乙羃之大于乙庚辛壬两勾股矩内形必丙巳勾股较羃矣故知第二图乙亥或丙戌内与甲酉内两存形之较必勾股较羃之八十一也则乙亥丙戍两形并其大于甲酉形亦勾股较羃之八十一也今于第一图辛壬较羃内减勾股较羃八十一之干兊直角方形其所存干离震兑两余方形及离震己庚两直角方形并必与癸戊子丑两形并等次以癸戊子丑两形开方为寅夘形则减寅夘之甲酉形与减辛壬之丙戌形减巳庚之乙亥形并必等而减寅夘之甲酉形内元有羃如甲寅者四有偕寅卯形边矩内形如寅未者四减辛壬之丙戍形内元有勾羃如丙辛者四有勾偕勾较矩内形如辛坎者四减巳庚之乙亥形内元有股羃如己辰者四有股偕股较矩内形如甲己者四今以四羃当四勾羃四股羃则甲己辛坎两形并必与寅未形等甲丙与未申等也丙申勾股和也则两间等寅卯形边之丙未不得不为和较矣既得丙未十八为和较即以元设丙较相加可得勾股各数也何者未申也未艮勾较也艮申勾也丙申勾股和也于丙申勾股和减艮申勾则丙未加未艮之丙艮股也丙甲也丙坤股较也坤甲股也未甲勾股和也于未甲勾股和减坤甲股则未丙加丙坤之未坤勾也次以未艮加艮申或丙坤加坤甲则也又式户不知髙广竿不知长短横之不出四尺纵之不出二尺斜之适岀问髙广斜各几何曰髙八尺广六尺斜一丈术横不出四尺为勾较纵不出二尺为股较

　　股和与勾和求勾股法

　　式乙甲甲丙股和八十一乙丙丙甲勾和七十二问乙丙勾甲乙股甲丙各几何曰乙丙勾二十七甲乙股三十六甲丙四十五术股和八十一与勾和七十二相乗得五千

　　八百三十二倍之得一万一千六百六十四为实开平方边得一百零八为和和减勾和余三十六为股和和减股和余二十七为勾用勾股求法得四十五为

　　论曰两和相乗为乙巳

　　直角形倍之为丁戊直

　　角形以为实平方开之

　　得己庚直角方形与丁

　　戊等即其边为和和

　　者何也丁戊全形内有羃二股矩内形勾矩内形勾股矩内形各二与己庚全形内诸形比各等独丁戊形内余一羃己庚形内余一勾羃一股羃并二较一亦等即己庚方形之各边皆和和

　　勾与较和求股法【较和者与勾股较和也】

　　式勾二十七与勾股较和五十四问股各几何曰股三十六四十五术勾自乗得七百二十九为实勾和并得八十一为股和除实得九为股较加股和得九十半之得四十五为股较减股和得七十二半之得三十六为股

　　勾与股较和求股法【股较和者股与勾较和也】

　　式勾二十七股与勾较和五十四问股各几何曰股三十六四十五术通曰同勾与较和法葢与勾股较和为五十四股与勾较和亦五十四也

　　股与较和求勾法【较和者与勾股较和也】

　　式股三十六与勾股较和五十四问勾各几何曰勾二十七四十五术股自乗得一千二百九十六为实股减和余十八为勾较除实得七十二为勾和加勾较得九十半之得勾和减勾较余五十四半之得勾

　　股与勾较和求勾法【勾较和者勾与股较和也】

　　式股三十六勾与股较和三十六问勾各几何曰勾二十七四十五术通曰股自乗得一千二百九十六为实股与和并得七十二为勾和除实得十八为勾较加勾和得九十半之得勾较减勾和余五十四半之得勾

　　与勾较和求勾股法【勾较和者勾与股较和也】

　　式四十五勾与股较和三十六问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰自乗得二千零二十五倍之得四千零五十为实与和并得八十一与实相减余三千九百六十九开平方得六十三为勾股和又以和并八十一开平方得九为勾股较加勾股和得七十二半之得股勾股较减勾股和余五十四半之得勾【按此法当取勾股较今用和并盖数偶合非法也】

　　与股较和求勾股法【股较和者股与勾较和也】

　　式四十五股与勾较和五十四问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰自乗倍之得四千零五十为实与和相减余九又自乗得八十一与实相减余三千九百六十九下同与勾较和求勾股法勾与和和求股法【和和者与勾股和和也】

　　式勾二十七与勾股和和一百零八问股各几何曰股三十六四十五术勾自乗得七百二十九为实勾减和余八十一为股和除实得九为股较减股和余七十二半之得股股较加股和得九十半之得

　　勾与股和和求股法【股和和者股与勾和和也】

　　式勾二十七股与勾和和一百零八问股各几何曰股三十六四十五术通曰同勾与和和法葢和皆一百零八也

　　股与和和求勾法【和和者与勾股和和也】

　　式股三十六与勾股和和一百零八问勾各几何曰勾二十七四十五术股自乗得一千二百九十六为实股减和得七十二为勾和除实得十八为勾较减勾和余五十四半之得勾勾较加勾和得九十半之得

　　股与勾和和求勾法【勾和和者勾股和和也】与

　　式股三十六勾与股和和一百零八问勾各几何曰勾二十七四十五术通曰同股与和和法葢和数相同也

　　与勾和和求勾股法【勾和和者勾与股和和也】

　　式四十五勾与股和和一百零八问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰自乗得二千零二十五倍之得四千零五十为实减和余六十三为勾股和又自乗得三千九百六十九与实相减余八十一开平方得九为勾股较减勾股和余五十四半之得勾勾股较加勾股和得七十二半之得股

　　与股和和求勾股法【股和和者股与勾和和也】

　　式四十五股与勾和和一百零八问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰同与勾和和法盖和数相同也

　　勾与和较求股法【和较者与勾股和较也】

　　式勾二十七与勾股和较十八问股各几何曰股三十六四十五术勾自乗得七百二十九为实勾减较余九为股较除实得八十一为股和加股较得九十半之得股和减股较余七十二半之得股又式勾股田一段内容圆池一口径六步只云勾八步问股各几何曰股十五步十七步术容圆径即和较勾与股和较求股法【股和较者股与勾和较也】

　　式勾二十七股与勾和较三十六问股各几何曰股三十六四十五术通曰同勾与和较法葢以勾减与勾股和较十八余九以勾减股与勾和较三十六余亦九也股与和较求勾法【和较者与勾股和较也】

　　式股三十六与勾股和较十八问勾各几何曰勾二十七四十五术股自乗得一千二百九十六为实股减较余十八为勾较除实得七十二为勾和加勾较得九十半之得勾和减勾较余五十四半之得勾股与勾和较求勾法【勾和较者勾与股和较也】

　　式股三十六勾与股和较五十四问勾各几何曰勾二十七四十五术通曰同股与和较法葢以股减与勾股和较十八余十八以股减勾与股和较五十四余亦十八也与勾和较求勾股法【勾和较者勾与股和较也】

　　式四十五勾与股和较五十四问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰自乗得二千零二十五倍之得四千零五十为实减较余九为勾股较又自乗得八十一与实相减余三千九百六十九开平方得六十三为勾股和加勾股较得七十二半之得股勾股和减勾股较余五十四半之得勾与股和较求勾股法【股和较者股与勾和较也】

　　式四十五股与勾和较三十六问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰同与勾和较法葢以减勾与股和较五十四余九以减股与勾较三十六余亦九也勾与较较求股法【较较者与勾股较较也】

　　式勾二十七与勾股较较三十六问股各几何曰股三十六四十五术勾自乗得七百二十九为实勾减较较余九为股较除实得八十一为股和减股较余七十二半之得股股和加股较得九十半之得

　　勾与股较较求股法【股较较者股与勾较较也】

　　式勾二十七股与勾较较十八问股各几何曰股三十六四十五术通曰同勾与较较法葢以勾减较较三十六余九以勾减股较较十八余亦九也

　　股与较较求勾法【较较者与勾股较较也】

　　式股三十六与勾股较较三十六问勾各几何曰勾二十七四十五术股自乗得一千二百九十六为实股并较较得七十二为勾和除实得十八为勾较加勾和得九十半之得勾较减勾和余五十四半之得勾股与勾较较求勾法【勾较较者勾与股较较也】

　　式股三十六勾与股较较十八问勾各几何曰勾二十七四十五术通曰股自乗得一千二百九十六为实股减勾较较余十八为勾较除实得七十二为勾和下同股与较较法

　　与勾较较求勾股法【勾较较者勾与股较较也】

　　式四十五勾与股较较十八问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰自乗得二千零二十五倍之得四千零五十为实并勾较较得六十三为勾股和又自乗得三千九百六十九与实相减余八十一开平方得九为勾股较加勾股和得七十二半之得股勾股较减勾股和余五十四半之得勾与股较较求勾股法【股较较者股与勾较较也】

　　式四十五股与勾较较十八问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰同与勾较较法葢较数相同也通曰和较变穷而勾股之用无穷形同法异形异法同非精义不能入神也

　　有积【勾股之二】

　　有积勾股较求勾股法

　　式有积九百七十二勾股较为甲戊九问勾股各几何曰勾二十七股三十六四十五术较自乗得八十一积四因得三千八百八十八相并得三千九百六十九开平方得六十三为

　　勾股和加较九得七十二半之得股勾股和减较九余五十四半之得勾求得二术积较为从方开之得勾较为减从方开之得股【俱详少广】又以积二因得一千九百四十四加较自乘八十一得二千零二十五开方得

　　通曰子较羃也丑　　　　通曰子较羃也

　　寅卯辰四因积也　　　　丑寅并与卯等

　　各边皆勾股和　　　　　二因积也合之

　　为羃

　　通曰较为从方者九回二十七得二

　　百四十三为较勾矩以减积九百七

　　十二余七百二十九为勾羃较为减

　　从方者九回三十六得三百二十四为较股矩以并积九百七十二得一千二百九十六为股羃

　　有积勾股和求勾股法

　　式有积九百七十二勾股和为丙乙乙甲六十三问勾股各几何曰勾二十七股三十六四十五术积四因得三千八百八十八

　　和自乗得三千九百六十九相减余八十一开平方得九为勾股较加和得七十二半之得股勾股较减和余五十四半之得勾勾股求得二术积二因得一千九百四十四和自乗得三千九百六十九相减余二千零二十五开平方得

　　有积求勾股法

　　式有积四百八十六为甲丙四十五问勾股各几何曰勾二十七股三十六术积四因得一千九百四十四自乗得二千零二十

　　五相减余八十一开平方得九为勾股较又以积倍之得九百七十二以较九为从方开之得勾勾求得股通曰以较为减从方开之亦得股

　　有率【勾股之三】

　　勾与股率勾和率求股法

　　式勾十股率三勾和率七问股各几何曰股一十零五一十四五术以勾和率自乗得四十九为勾和准以股率自乗得九并勾和准得五十八折半得二十九为准二率相乗得二十一为股准以准二十九减勾和准四十九余二十为勾准以准二十九乗勾一十得二百九十以勾准二十除之得一十四五为以股准二十一乗勾一十得二百一十以勾准二十除之得一十零五为股

　　通曰此迟速相较也速巳七迟止三为率速者于乙至丙又于丙至申迟者于

　　乙至甲同在乙起同至甲防也【按此图应在又式后】

　　又式甲善走乙次之甲行七乙行三今乙东行甲南行十步斜向东行防乙问各行几何曰甲南行斜行共二十四步半乙东行十步半术甲南行勾也斜行也又东行股也甲行七勾和率也乙行三股率也

　　容方与勾股率求勾股法

　　式容方径一千五百股率三勾和率五问勾股各几何曰勾二千三百股四千三百一十二五四千八百八十七五术以勾和率自乗得二十五为勾和准股率自乗得九并勾和准得三十四半之得十七为准二率相乗得十五为股准以准十七减勾和准二十五余八为勾准以勾准乗容方径得一万二千以股准十五除之得余勾八百加容方径得二千三百为勾以准十七乗勾二千三百得三万九千一百以勾准八除之得四千八百八十七五为以股准十五乗勾二千三百得三万四千五百以勾准八除之得四千三百一十二五为股

　　通曰此亦迟速相较也速五迟三速

　　于乙过丙至甲迟于乙至甲同在乙

　　起同至甲防乙戊乙巳皆容方径方

　　也乙过戊至丙勾也戊丙余勾也乙过丙至甲勾和也乙过巳至甲股也己甲余股也丁乙直角方形容方也丁庚直角方形即又式邑也【按此图应在又式后】

　　又式邑方十里每里三百步甲乙二人同立邑中乙东行率三甲南行率五乃斜磨邑东南角与乙防问各行几何曰甲南行二千三百步【邑中一千五百步南门外八百步】斜行四千八百八十七步半乙东行四千三百十二步半【邑中一千五百步东门外二千八百十二步半】术南行勾也南门外余勾也斜行也东行股也东门外余股也邑中至门皆容方径也甲行五勾和率也乙行三股率也

　　容方【勾股之四】

　　勾股容方法

　　式勾二十七股三十六问丁戊容方径几何曰丁戊容方径一十五四二八术勾股相乗得九百七十二为实勾股相并得六十三为

　　法除实得一十五四二八为容方径即丁至戊也戊乙乙己己丁皆等

　　论曰甲乙股乙丙勾相乗为实即成甲乙丙丁直角形次以甲乙乙丙相并为法即成甲戊线除实得戊巳边

　　十五四二八即成甲戊己庚直角

　　形等甲乙丙丁形而己庚边截乙

　　丙勾于癸截甲丙于壬成乙辛

　　壬癸满勾股之直角方形何者甲乙丙丁与甲戊己庚两形互相视即甲乙与甲戊若乙癸与乙丙分之即甲乙与乙戊若乙癸与癸丙是甲乙与乙丙亦若乙癸与癸丙也又甲辛与辛壬若壬癸与癸丙更之即甲辛与壬癸若辛壬与癸丙也而辛乙与壬癸等乙癸与辛壬等则甲辛与辛乙若乙癸与癸丙矣夫甲乙与乙丙既若乙癸与癸丙而甲辛与辛乙又若乙癸与癸丙则甲乙与乙丙亦若甲辛与辛乙而乙辛壬癸为满勾股之直角方形

　　通曰勾股稍近者容方大勾股悬逺者容方小

　　又简论曰如前图以甲乙戊为法而除甲丙实既得甲庚戊己各与方形边等今以等甲乙戊之丙乙戊为法而除甲丙实得庚丙戊己亦各与方形边等则辛乙癸壬

　　为直角方形

　　容圆【勾股之五】

　　勾股容圆法

　　式甲乙股六百乙丙勾三百二十问丁乙容圆径几何曰丁乙容圆径二百四十术勾股相乗得一万九千二百倍之得三万八千四

　　百为实别以勾股求得六百八十以并勾股和九百二十得一千六百为法除实得二百四十为容圆径即乙至丁也子丑寅夘皆与乙丁等

　　通曰容圆径即和较也勾股和求减和余亦容圆径也

　　论曰甲乙

　　股乙丙勾

　　相乗即甲

　　乙丙丁直

　　角形倍之

　　为实即丙

　　丁戊巳直角形求得甲丙并勾股得一千六百于甲乙线引长之截乙庚与勾等庚辛与等得甲辛为和和线以为法除实得辛壬边二百四十即成甲辛壬癸直角形与丙丁戊己形等而壬癸边截乙丙勾于子次从子作子丑寅乙直角方形即此形之各边皆为容圆径何者谓于甲乙丙三边直角形内作一圜其甲丙截子丑寅乙直角方形之卯辰线与乙子子丑丑寅寅乙诸边皆为切圜线也又何以显此五边之切圜线试于甲乙丙形上复作一丙午未直角三边形交加其上其午丙与乙丙等未午与甲乙等未丙与甲丙等即两形必等次依丙午未直角作午申酉戌直角方形与乙子丑寅直角方形等次于戍酉线引之至亥又成甲戌亥直角三边形以甲为同角交加于甲乙丙形之上亦以午申酉戍为容圆径次于亥戍寅丑两线引之遇于干又成

干寅亥直角三边形以亥为同角交加于甲乙丙形之上亦以乙子丑寅为容圆径次作丙兑线遇诸形之交加线于离于兑次作甲震线遇诸形之交加线于防于震次作亥辰线遇诸形之交加线于坎于辰次作未干线遇诸形之交加线于艮于卯而四线俱相遇于坤夫午丙与乙丙两线等而减相等之午戌乙子即戌丙与子丙必等丙离同线丙戍离丙子离又等为直角戍离丙子离丙又俱小于直角即丙离戌丙离子两三角形必等而两形之各边各角俱等则丙兑线必分甲丙未角为两平分矣又子离与戍离两边既等子离震戌离卯两交角又等夘戌离震子离又等为直角即卯离戍离震子之各边各角俱等而两形亦等又子离与离戍两边既等离卯与离震两边又等即子卯与戍震两边亦等子丑与戌酉各为相等之直角方形边必等而各减相等之子卯

戍震其所存卯丑震酉必等丑卯辰坎震酉两角又各为离夘戌离震子相等角之交角必等辰丑卯震酉坎又等为直角即卯丑辰震酉坎之各边各角俱等而两形亦等依显午防辰与坎艮乙之各边各角俱等而两形亦等防寅兑与兑艮申之各边各角俱等而两形亦等又子丙戌丙之数各八十乙子戌午各二百四十以诸率分数论之则丑卯酉震各九十丑辰坎酉各四十八卯辰坎震各一百零二则减丑卯之夘子必一百五十也卯子股一百五十丙子勾八十以求卯丙则一百七十也次减丙戌八十即卯戌亦九十也丑辰卯卯戌离两三角形之辰丑卯离戍卯既等为直角丑卯辰戍夘离两交角又等丑卯与戌夘复等即两形必等而其各边各角俱等依显子离震与震酉坎两形亦等依显诸形之交角者皆相等其连角如酉亥坎乙亥坎两形亦等而子离

离戌皆四十八也则酉坎坎乙亦皆四十八也亥酉亥乙皆八十也子乙与戌酉等子丙与酉亥复等则乙丙与戌亥必等而甲为同角甲乙丙甲戌亥又等为直角则甲乙丙甲戌亥之各边各角俱等而两形亦等甲亥与甲丙既等各减相等之丙戌乙亥又减相等之乙寅戌午即甲寅与甲午必等夫甲防午甲防寅两形之甲寅甲午既等甲防同线甲午防甲寅防又等为直角即两形必等而各边各角俱等是甲震线必分丙甲亥角为两平分也甲乙丙一形内既以丙兑线分甲丙乙角为两平分又以甲震线分丙甲乙角为两平分而相遇于坤则以坤为心甲乙为界作圜必切乙子子丑丑寅寅乙卯辰五边而为甲乙丙直角三边形之内切圜即乙丑直角方形之各边为容圆径展转论之则各大直角三边形内之分角线皆分本角为两平分皆遇于坤而坤心圜为各形之内切圜即两直角方形边为各勾股形内之容圆径通曰容方容圆勾股测算之枢机也先衍其防于此详后二卷

　　数度衍卷六

　　钦定四库全书

　　数度衍卷七

　　桐城　方中通　撰

　　测量【勾股之六】

　　容方与余勾求余股法

　　式容方径为丁乙一百五十余勾为丁丙三十问甲戊余股防何曰七百五十术以容方径自乗得二万二千五百为实以余勾为法除实

　　得七百五十为余股

　　容方与余股求余勾法

　　式容方径一百五十余股七百五十问余勾防何曰三十术容方径自乗得二万二千五百为实以余股为法除实得三十为余勾

　　又式邑方二百步四面居中开门东门外十五步有木问出南门防步见木曰六百六十六步六分步之一术半邑方为容方东门外为余勾南门外为余股

　　测髙式欲测甲乙之髙去乙二十五尺立表于丙为丁丙髙一丈却后五尺立戊戊己髙四尺使目在己视表末丁与甲为一直线问甲乙髙防何曰四十尺术以丁丙表髙十尺减戊巳目髙四尺余丁辛六尺以乗庚辛二十五尺【与乙丙等】

　　得一百五十尺为实以丙戊五尺为法除实得甲壬三十尺加表髙十尺得四十尺为甲乙之髙

　　通曰丁辛容长方径也丁壬庚辛容长方形也辛巳【与丙戊等】余勾也甲壬余股也容方则径自乗容长方则横径直径相乗也

　　测深式甲乙丙丁井欲测其深井径甲乙五尺立戊甲表于井口髙五尺従戊视丙截甲乙径于己甲已四寸

　　问井深防何曰五丈七尺五寸术以

　　井径五尺减甲巳四寸余己乙四尺

　　六寸以乗戊甲五尺得二千三百寸为实以甲已四寸为法除实得甲丁深五丈七尺五寸

　　通曰己乙容长方径也戊辛余勾也乙丙余股也测逺式欲测甲乙之逺立乙丙巳丁四表成直角方形

　　丁乙与甲为直线每表相去一丈

　　乃于己表之右戊上视丙表与甲

　　为直线戊巳三寸问逺几何曰三十三丈三分丈之一术乙丙自乗得一万寸为实以戊巳三寸为法除实得甲乙逺三十三丈三分丈之一

　　通曰乙丙容方径也戊已余勾也甲乙余股也

　　又式欲测甲乙之逺立丙乙表髙十尺目従戊过丙视甲作直线目去表末为戊巳三寸人离表为己丙十尺问逺几何曰三十三丈三分丈之一术以人离表一百寸乗表髙一百寸得一万寸为实以目去表三寸为法除实得逺此与右法同但彼用四

　　表此用一表为防耳丙乙容方径也戊巳余勾也甲乙余股也

　　余勾余股求容方法

　　式丙丁余勾三十甲戊余股七百五十问丁乙容方径几何曰一百五十术余勾余股相乗得二万二千五百为容方积开平方得一百五

　　十为丁乙径

　　又式邑不知大小四中开门北门外三十步有木出西门七百五十步见木问邑方防何曰三百步术通曰北门外为余勾西门外为余股半邑方为容方径也

　　两余勾与股求容方法

　　式丙丁余勾二十戊乙余勾十四甲乙股一千七百七十五问丁戊容方径几何曰二百五十术以丙丁余勾乗股得三万五千五百倍之得七万一千为实并二余勾得三十四为从方开之横

　　得二百八十四为乙丙勾直得二百五十为丁戊容方径

　　又式邑方不知大小边东开门北门外二十步有木出南门十四步折而西行一千七百七十五步斜见木问邑方几何曰二百五十步术通曰北门外二十步一余勾也南门外十四步一余勾也西行股也邑方容方径也

　　小勾股与大勾求大股法

　　式丙丁小股一百丁戊小勾二十五乙丙大勾三百一十二五问甲乙大股防何曰一千二百五十术以大勾为实以小勾为法除实得大

　　股

　　通曰小股一百此法极便如二百三百者先以小股乗大勾为实用异乗同除法也【见九章外法】

　　测高式塔不知髙量其影従塔心至影末长三丈一尺二寸五分别立一表髙一丈影长二尺五寸问塔髙防何曰十二丈五尺术通曰塔影大勾也表小股也表影小勾也塔大股

　　又式八尺之表以测日影表去日下六万里表影长六尺问日髙几何曰八万里术通曰六万里大勾也以里法三百六十步步法五尺通之得一亿八百万尺表八尺小股也表影六尺小勾也日髙八万里大股也用异乗同除法【即三累法】以小股乗大勾为实以小勾为法除之或以大勾为实以小股除小勾得每尺影七寸五分为法除实皆得日髙也

　　又式欲测甲乙之髙以平镜依地平线置丙人依地平线立丁目在戊见甲在镜中心丙处丙至乙十尺丙至丁二尺目髙四尺问甲乙髙几何曰二丈术通曰乙丙大勾也丙丁小

　　勾也戊丁小股也

　　测广式日逺人十万里不知日径以径寸长八尺竹筒对日于竹筒视之空正掩日问曰径几何曰一千二百五十里术通曰日逺人大勾也径寸小勾也筒长八尺小股也

　　测逺式欲测甲乙之逺立一丙两表从丙斜退至丁目望丁丙甲成一直线乃作丙丁戊直角以此测之术通

　　曰丁角与乙角等直角也

　　乙丙线与丁戊线相遇于

　　戊故以丙丁小勾比乙丙

　　大勾戊丁小股比甲乙大股也

　　两余勾两破股小股求大勾大股法

　　式戊已丁丙两余勾各十二【相等】丙庚小破股六十己辛

　　火破股一百己丙小股八十问甲乙

　　勾几何乙丙股几何曰大勾三十六

　　大股一百二十术通曰以小股八十

　　乗余勾十二得九百六十为勾实以

　　小股八十乗小破股六十得四千八百为股实小破股六十与大破股一百相减余四十为法以法除勾实得二十四加余勾十二得三十六为大勾以法除股实得一百二十为大股

　　测髙逺式欲测甲乙之髙乙丙之逺用重表法先立丁丙表髙十尺却后立于戊去丙五尺目在己已戊髙四尺视表末丁与甲为直线次从前表丙却后十五尺立癸壬表亦髙十

　　尺【两表等】又却后立于子去壬八尺目在丑丑子亦髙四尺【两目等】从目视癸甲亦直线问甲乙髙几何乙丙逺几何曰髙四十尺逺二十五丈术以表髙十尺减目髙四尺余六尺即丁寅【癸辛等】与两表相去之壬丙十五尺相乗得九十尺为髙实以两次人去表之己寅丑辛相减余卯辛三尺为法除髙实得甲辰三十尺加表髙十尺得甲乙高四十尺以丙戊五尺与两表相去之壬丙十五尺相乗得七十五尺为逺实以法三尺除之得乙丙逺二十五尺

　　通曰丁丙癸壬两余勾也丙戊小破股也壬子大破股也壬丙小股也髙大勾也逺大股也

　　测深广式有甲乙丙丁壁立深谷欲测甲乙之广乙丙之深用重矩法先立辛甲表与甲丁参直又立癸己表两表甲巳相去六尺从辛甲表视己丙作直线截表于庚庚甲髙五尺又従辛甲表视辛癸丙作直线两表相较得辛壬髙八尺壬甲髙一丈五尺问深广各几何曰乙丙深二

　　十五尺甲乙广三十尺术以小表一丈五尺乗两表相去甲己六尺得九十尺为广实庚甲与辛壬相减余辛子三尺为法除广实得甲乙广三十尺以小表一丈五尺乗庚甲五尺得七十五尺为深实以法三尺除之得乙丙深二十五尺

　　通曰甲巳癸壬两余勾也庚甲小破股也辛壬大破股也壬甲小股也广大勾也深大股也

　　测髙逺式树二表各髙八尺南北相去二千里以测日影夏至之日南表影长六尺北表影差二寸问曰髙逺各几何曰髙八万里日下去南表六万里南表之端斜至日十万里术

　　二表两余勾也北表影南表影两破股也南北相去小股也日下去南表大股也日髙大勾也斜至曰也

　　测勾破勾两测股求大勾大股法

　　式丙丁测勾四十三二丙巳破勾十丙戊小测股十四

　　八丙壬大测股六十四八问大勾大

　　股各几何曰甲乙大勾二千五百乙

　　丙大股三千六百八十五二术通曰以测勾四十三二减破勾十余三十三二乗小测股十四八得四千九百一十三六为勾实以大测股六十四八乗破勾十得六千四百八十以测勾四十三二除之得十五为景差又以大测股六十四八减景差十五余四十九八以小测股十四八乗之得七千三百七十○四为股实以小测股减景差余二为法以法除勾实得二千四百五十六八加测勾四十三二得二千五百为大勾以法除股实得三千六百八十五二为大股

　　测广逺式方城不知大小立两表东西相去四十三步

　　二分齐人目处以索连之令东表与

　　城东南隅东北隅参直従东表退北

　　行去表十四步八分遥望城西北隅入索东端十步若从东表退北行去表六十四步八分遥望城西北隅适与西表相参合问城方防何城去表几何曰城方二千五百步城去表三千六百八十五步二分术以两表相去减入索余三十三步二分以乗东表退行十四步八分得四千九百一十三步六分为广实以东表大退行六十四步八分乗入索十步得六千四百八十步以两表相去四十三步二分除之得一十五步为景差又以大退行六十四步八分减景差十五步余四十九步八分以退行十四步八分乗得七千三百七十步零四分为逺实以退行十四步八分减景差十五步余二分为法以法除广实得二千四百五十六步八分加两表相去四十三步二分得二千五百步为城方【西至束】以法除逺实得三千六百八十五步二分为城去表也

　　通曰城方大勾也城去表大股也两表相去测勾也入索破勾也小退行小测股也大退行大测股也

　　四余勾两破股小股破勾求上勾下勾大股法

　　式戊丁壬癸两大余勾皆一百五十庚辛子丑两小余勾皆四十癸丁小股四千戊已破勾五十六丁辛小破股一千五百癸丑大破股二千五百问上勾下勾大股

　　各防何曰甲乙上勾二百八十乙丙

　　下勾三百一十丙丁大股六千术通

　　曰以小股四千乗破勾五十六得二

　　十二万四千为上勾实以大余勾一

　　百五十减小余勾四十及破勾五十六余五十四乗小股四千得二十一万六千为下勾实以小破股一千五百与大破股二千五百相减余一千为法以法除上勾实得二百二十四加破勾五十六得二百八十为甲乙上勾以法除下勾实得二百一十六加大余勾一百五十得三百六十六减破勾五十六得三百一十为乙丙下勾又以大余勾减小余勾余一百一十乗小股得四万四千为大勾实以法除之得四百四十加大余勾得五百九十为甲丙大勾以小股乗小破股得六百万为大股实以法除之得六千为丙丁大股

　　通曰此测两髙与逺也与前两余勾两破股小股求大勾大股法相同但多上勾下勾耳两大余勾两表也两小余勾两人目至足也勾髙也股逺也

　　两测股两破勾测勾求大勾法

　　式丙丁测勾九百丙戊小测股六百丙庚大测股一千

　　三百五十己丙大破勾四百零二

　　辛丙小破勾一百二十问大勾防

　　何曰甲乙大勾三万术通曰以大

　　测股一千三百五十乗大破勾四百零二得五十四万二千七百以测勾九百除之得六百零三为景差以与小测股六百相减余三为法以小测股与大测股相减余七百五十又乗小破勾一百二十得九万为实以法除实得三万为甲乙大勾

　　通曰此测广也与前测勾破勾两测股求大勾大股法相同但多乙戊直线耳丙丁两表也戊庚两目望也勾广也

　　勾股互求髙深广逺图説

　　通曰直为髙深横为广逺勾可以为股股可以为勾以小知大以此知彼惟善测者善用之耳甲乙为股则乙丙为勾酉丙为股则甲酉为勾午丙为股则午庚为勾庚丑为股则丙丑为勾如求甲乙之髙金水作表丙作目求丑丙之逺木土作表甲作目求未丙之深木火作表甲作目求甲酉之广日月作两表丙丁为目斜望用异乗同除三率之法髙深广逺虽分而合矣

　　附法

　　用矩尺测两广法

　　式登山临邑邑在山南不知广縦偃矩山上勾髙三尺

　　五寸与邑东南隅东北隅

　　参合从勾端望东北隅入

　　下股一丈二尺随于入股

　　处横设一矩从勾端望西

　　北隅入横股五尺若望东

　　南隅入下股一丈八尺又重设矩于上相去四丈从勾端望东南隅入上股一丈七尺五寸问邑广纵几何曰东西广二万寸南北广二万四千寸术以勾髙戊子三十五寸乗东南隅入下股庚子一百八十寸得六千三百寸以入上股癸丑一百七十五寸除之得三十六寸与勾髙戊子三十五寸相减余一寸为法以东南隅入下股庚子一百八十寸与东北隅入下股己子一百二十寸相减余六十寸以乗两矩相去丑子四百寸得二万四千寸为南北实以法除之得南北广以西北隅入横股辛已五十寸乗两矩相去丑子四百寸得二万寸为东西实以法除之得东西广

　　用矩尺测逺法

　　式欲测甲乙之逺先于甲立丁甲表以矩尺置表末丁矩戊对乙成丁戊乙直线问甲乙逺几何曰八尺术须视矩丙对何处今对巳为丁丙己直线乃量己甲二尺为法表髙四尺自乗得十六尺为

　　实以除之得八尺为逺

　　用交表测逺法

　　式欲测乙戊之逺先立甲乙表后于庚斜加小表为丙丁以丁对戊为度成庚丁戊直线问乙戊逺几何曰八尺术须丙丁小表族转又于丁对

　　处已成庚丁已直线自乙至巳得八尺必与乙戊等

　　用表测斜髙法

　　式欲测甲至丙从丁视甲丙作直线丁乙八尺丁甲十尺乙戊十二尺问甲丙斜髙几何曰十五尺术以丁乙八尺为法以丁甲十尺与乙戊十二尺相乗得一百二十为实以法除之得十五尺为甲

　　至丙也

　　器测【勾股之八】

　　矩度

　　甲丁与甲乙等甲丙斜分乙

　　丙为直景丁丙为倒景以甲

　　乙相对测际眼穿戊己两耳

　　与其际作直线视权线垂何

　　景何度也今止分十二度若

　　细分更精其两景别有论解

　　测髙法

　　权线垂丙式髙如己庚景在地平上为庚辛以矩度测之甲对己两耳与辛巳作直线权线垂丙为髙防何术凡权线垂丙者景与髙必等也今辛庚四十五尺则己庚亦四十五尺

　　权线垂直景边式髙如己庚景如庚辛权线垂乙丙边之戊乙戊八度庚辛景三十为髙防何术以表度十二与庚辛三十相乗得三百六

　　十为实以乙戊八度为法除之得四十五为己庚之髙权线垂倒景邉式髙如己庚庚辛景六十七五权线垂丁丙边之壬丁壬八度为髙防何术以庚辛与丁壬相乗得五百四十为实以表度

　　十二为法除之得四十五为己庚之髙

　　通曰髙大于景权线必垂直景边髙小于景权线必垂倒景边

　　测逺法

　　权线垂丙式髙如己庚景如庚辛权线垂丙为景防何

　　术己庚四十五则辛庚亦四十五

　　通曰景测髙以甲对髙髙测景以乙对景景逺也

　　权线垂直景邉式己庚髙四十五权线垂戊八度为庚辛景几何术以己庚与乙戊相乗得三百六十为实以表度十二为法除之得三十为庚

　　辛景

　　权线垂倒景邉式己庚髙四十五权线垂壬八度为庚辛景防何术以表度十二与己庚相乗得五百四十为实以丁壬八度为法除之得六十七五为庚辛景

　　以目测髙法

　　于矩度外又用一有度分之表人目切表端矩度亦切表端穿两耳向测处作直线为度也

　　权线垂丙式髙如己庚表如乙辛髙四尺表端人目从矩度乙甲视巳为直线权线垂丙为髙几何术乙壬四十五卽巳壬加表髙四尺得四

　　十九为己庚之髙

　　权线垂直景边式庚辛三十权线垂戊八度为己庚髙几何术以表度十二乗庚辛得三百六十为实以乙戊八度为法除之得己壬四十

　　五加表髙四得四十九为己庚之髙

　　权线垂倒景边式庚辛六十七五权线垂壬八度为己庚髙防何术以庚辛乗丁壬八度得五百四十为实以表度十二为法除之得己癸四十五加表髙四得四十九为己庚之髙

　　通曰地平线上任意前后至权线直丙而止较便

　　以目测逺法

　　权线垂丙式逺如己庚表如甲巳目在甲权线垂丙为逺几何术表髙甲巳四尺则己庚亦逺四尺也

　　权线垂直景边式甲已表髙四尺权线垂戊九度为己庚逺防何术以乙戊九度乗表髙四得三十六为实以表度十二为法除之得三尺

　　即己庚之逺

　　权线垂倒景边式甲巳表髙四尺权线垂壬八度为己庚逺防何术以表度十二乗表髙四得四十八为实以丁壬八度为法除之得六尺即己庚之逺

　　通曰测髙目在矩之乙测逺目在矩之甲

　　以目测深法

　　权线垂丙式深如己壬目在甲视甲乙己辛为直线己庚口四尺权线垂丙为深几何术己壬与己庚等亦四尺也

　　通曰此不另用表而量己庚口者即口濶为表长是前用直表而此用横表也

　　权线垂直景边式己庚四尺权线垂戊六度为己壬深几何术以表度十二乗己庚四得四十八为实以乙戊六度为法除之得八尺即己

　　壬之深

　　权线垂倒景边式己庚四尺权线垂癸九度为己壬深几何术以丁癸九度乗己庚四得三十六为实以表度十二为法除之得三尺即己壬之深

　　倒景变直景图说

　　通曰十二其十二得一百四十四以矩度为准也故一度变为一百四十四度以此一百四十四度为实以所值度为法除实即得变度也

　　度线皆起甲端渐移至丁

　　至乙各分十二也

　　通曰倒景过丙丁边抵丙

　　戊线则变为直景犹之直

　　景过乙丙边抵丙巳线则

　　变为倒景也倒景十一度

　　直景则为十三度一分倒

　　景十度直景则为十四度四分倒景九度直景则为十六度倒景八度直景则为十八度倒景七度直景则为二十度五分七厘倒景六度直景则为二十四度倒景五度直景则为二十八度八分倒景四度直景则为三十六度倒景三度直景则为四十八度倒景二度直景则为七十二度倒景一度直景则为一百四十四度也以直景推之亦然

　　重矩测髙法

　　通曰测髙而不知逺此求无股之勾也法皆用直景即权线在倒景边亦变为直景用之

　　皆直景式欲测己庚之髙先立乙辛表目在辛上乙权

　　线垂戊五度又立乙癸表目在癸上

　　乙权线垂子十度两表相去十尺表

　　髙四尺为髙防何术以两度相减余

　　五度为法以表度十二乗两表相去

　　十尺得一百二十为实以法除实得二十四尺即己至壬加表髙四尺得二十八尺为己庚之髙

　　通曰辛表为直景癸表或有倒景之时癸表为直景辛表无不直景矣

　　有倒景式欲测己庚之髙先立乙辛表权线垂戊十一度又立乙癸表权线垂子九度乃倒景也今变作直景为十六度两表相去二十尺表髙四尺为髙防何术以十六度减十一度余五度为法以表度十二乗两表相去

　　二十得二百四十为实以法除实得四十八尺即己至壬加表髙四尺得五十二尺为己庚之髙

　　数度衍卷七

<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>

　　钦定四库全书

　　数度衍卷八

　　桐城　方中通　撰

　　测圆【勾股之八】

　　李栾城测圆图

　　通曰圆于三隅之中

　　方于一圆之外规矩

　　井然而变化莫测故

　　规矩有定之方圆也

　　方圆无定之规矩也

　　名率

　　天地通六百八十　天干通股六百　干地通勾三百二十勾股和九百二十　勾股较二百八十　勾和一千　勾较三百六十　股和一千二百八十　股较八十　较和九百六十　较较四百　和和一千六百　和较二百四十

　　天川边五百四十四　天西边股四百八十　西川边勾二百五十六　勾股和七百三十六　勾股较二百二十四　勾和八百　勾较二百八十八股和一千○二十四　股较六百四十　

　　较和七百六十八　较较三百二十　和和一千二百八十　和较一百九十二

　　天山黄广五百一十　天金黄广股四百五十　金山黄广勾二百四十　勾股和六百九十　勾股较二百一十　勾和七百五十　勾较二百七十股和九百六十　股较六十　较和七百

　　二十　较较三百　和和一千二百　和较一　百八十

　　天月大差四百○八　天坤大差股三百六十　坤月大差勾一百九十二　勾股和五百五十二　勾股较一百六十八　勾和六百　勾较二百一十六　股和七百六十八　股较四十八　较和五百七十六　较较二百四十　和和九百六十　和较一百四十四

　　天日上髙二百五十五　天旦上髙股二百二十五旦日上髙勾一百二十　勾股和三百四十五

　　勾股较一百○五　勾和三百七十五　勾较一百三十五　股和四百八十　股较三十较和三百六十　较较一百五十　和和六百　和较九十

　　日地底四百二十五　日北底股三百七十五　北地底勾二百　勾股和五百七十五　勾股较一百七十五　勾和六百二十五　勾较二百二十五　股和八百　股较五十　较和六百较较二百五十　和和一千　和较一百五十

　　日川皇极二百八十九　日心皇极股二百五十五心川皇极勾一百三十六　勾股和三百九十一勾股较一百一十九　勾和四百二十五　勾

　　较一百五十三　股和五百四十四　股较三十四　较和四百○八　较较一百七十和和六百八十　和较一百○二

　　日山下髙　日朱下髙股　朱山下髙勾

　　通曰与上髙率同

　　日月明一百五十三　日南明股一百三十五　南月明勾七十二　勾股和二百○七　勾股较六十三　勾和二百二十五　勾较八十一　股和二百八十八　股较一十八　较和二百一十六　较较九十　和和三百六十　和较五十四

　　月地黄长二百七十二　月泉黄长股二百四十泉地黄长勾一百二十八　勾股和三百六十八勾股较一百一十二　勾和四百　勾较一百四十四　股和五百一十二　股较三十二较和三百八十四　较较一百六十　和和六百四十　和较九十六

　　月川上平一百三十六　月青上平股一百二十青川上平勾六十四　勾股和一百八十四　勾股较五十六　勾和二百　勾较七十二　股和二百五十六　股较一十六　较和一百九十二　较较八十　和和三百二十　和较四十八

　　月山太虚一百○二　月泛太虚股九十　泛山太虚勾四十八　勾股和一百三十八　勾股较四十二　勾和一百五十　勾较五十四　股和一百九十二　股较一十二　较和一百四十四　较较六十　和和二百四十　和较三十六

　　山地小差一百七十　山艮小差股一百五十　艮地小差勾八十　勾股和二百三十　勾股较七十勾和二百五十　勾较九十　股和三百

　　二十　股较二十　较和二百四十　较较一百　和和四百　和较六十

　　山川軎三十四　山东軎股三十　东川軎勾一十六　勾股和四十六　勾股较一十四　勾和五十　勾较一十八　股和六十四　股较四较和四十八　弦较较二十　和和八十

　　和较一十二

　　川地下平　川夕下平股　夕地下平勾

　　通曰与上平率同

　　诸式

　　勾上容圆式【勾当圆径之中】西川边勾二百五十六天西边股四百八十求圆径术勾股相乘得十二万二千八百八十倍之得二十四万五千七百六十为实勾股求得五百四十四以并股得一千○二十四为法除实得二百四十为圆径　勾求圆

　　股求圆可以例推

　　股上容圆式【股当圆径之中】北地底勾二百日北底股三百七十五求圆径术勾股相乗得七万五千倍之得十五万为实勾股求得四百二十五以并勾得六百二十五为法除实得径　勾求圆

　　股求圆可以例推

　　上容圆式【当圆径之中】坤干等黄长股二百四十干艮等黄广勾二百四十求圆径术勾股相乗得五千七百六十倍之得一万一千五百二十为实勾股和得四百八十为法除实得径　坤艮

　　大图无

　　勾外容圆式【圆在勾外】坤月大差勾一百九十二天坤大差股三百六十求圆径术勾股相乗得六万九千一百二十倍之得十三万八千二百

　　四十为实勾股求得四百○八以并勾股较一百六十八得较和五百七十六为法除实得径即较较二百四十也

　　股外容圆式【圆在股外】艮地小差勾八十山艮小差股一百五十求圆径术勾股相乗倍之得二万四千为实勾股求减勾股较得较较一百为法除实得径即较和二百四十也以加勾股

　　较亦得较和

　　外容圆式【圆在外】巽月等太虚勾四十八巽山等太虚股九十求圆径术勾股相乗倍之得八千六百四十为实勾股求减勾股和余

　　和较三十六为法除实得径即和和也以加勾股和亦得和和

　　勾股上容圆式【勾股角在圆心】心川皇极勾一百三十六日心皇极股二百五十五求圆径术勾股相乗倍之得六万九千三百六十为实勾股求

　　得二百八十九为法除实得径

　　勾外容半圆式南月明勾七十二日南明股一百三十五求圆径术勾股相乗倍之得一万九千四百四十为实勾股求与勾相减余勾

　　较八十一为法除实得径若不倍为实即除得一百二十为半径

　　股外容半圆式东川軎勾十六山东軎股三十求圆径术勾股相乗得四百八十为实勾股求与股相减余股较四为法除实得半径

　　倍得全径

　　两勾中夹容圆式干地通勾三百二十坤月大差勾一百九十二求圆径术二勾乗得六万一千四百四十为实二勾相并折半得二百五

　　十六为法除实得径

　　两股夹容圆式天干通股六百山艮小差股一百五十求圆径术二股乗得九万为实二股相并折半得三百七十五为法除实得径

　　大勾小勾容圆式干地通勾三百二十南月明勾七十二求圆径术二勾乗得二万三千○四十为实以明勾七十二为従方开之【详少广】得

　　半径倍得全径

　　大股小股容圆式天干通股六百山东軎股三十求圆径术二股乗得一万八千为实以軎股三十为从方开之得半径

　　大勾小余勾容圆式干地通勾三百二十东川軎勾十六求圆径术倍軎勾减通勾余二百八十八以乗通勾得九万二千一百六十为实

　　四因通勾得一千二百八十与两軎勾三十二相减余一千二百四十八为从方四为隅法用负隅减从开平方法除之【详少广】得半径

　　大股小余股容圆式天干通股六百日南明股一百三十五求圆径术倍明股减通股余三百三十以乗通股得十九万八千为实三因通股得一千八百与两明股二百七十相减余一千五百

　　三十为从方作带从开平方法除之【详少广】得半径大勾中勾容圆式干地通勾三百二十西川边勾二百五十六求圆径术倍边勾减通勾余一百九十二乗通勾得六万一千四百四十为

　　实以边勾为法除得径

　　大股中股容圆式天干通股六百白北底股三百七十五求圆径术倍底股减通股余一百五十乗通股得九万为实以底股为法除得径

　　两半勾容圆式南月明勾七十二北地底勾二百求圆径术二勾乗得一万四千四百为实即半径幂平方开之得半径

　　两半股容圆式山东軎股三十天西边股四百八十求圆径术二股乗得一万四千四百为实平方开之得半径