御制数理精蕴卷一十六
【小】勾半勾容圆式坤月大差勾一百九十二北地底勾二百求圆径术二勾乗得三万八千四百为实以底勾二百为从方作带从开平方
法除之得半径
小股半股容圆式天西边股四百八十山艮小差股一百五十求圆径术二股乗得七万二千为实以边股四
百八十为从方开之得半径
半勾余勾容圆式东川軎勾十六北地底勾二百求圆径术軎勾自乗得二百五十六为軎勾幂二勾相减余一百八十四为二勾较又自
乗得三万三千八百五十六为较幂与軎勾幂相减余三万三千六百为实倍底勾得四百为从方作减从开平方法除之【详少广】得半径
半股余股容圆式天西边股四百八十日南明股一百三十五求圆径术二股相减余三百四十五自乗得十一万九千○二十五为较幂
明股自乗得一万八千二百二十五为明股幂二幂相减余一十万○八百为实倍边股得九百六十为益从作减从开平方法除之【益从者长濶和也详少广】得半径
又半勾余勾容圆式东川軎勾十六南月明勾七十二求圆径术二勾相减余自之得三千一百三十六軎勾自之得二百五十六相减余
二千八百八十为实倍明勾得一百四十四为益从作减从翻法开平方法除得半径
又半股余股容圆式山东軎股三十日南明股一百三十五求圆径术二股相减余自之得一万一千○二十五明股自之得一万八千二
百二十五相减余七千二百为平实倍軎股得六十为从方作以从减隅开平方法除得半径或作添积従开平方法亦可【详少广】
错互求容圆式天川边五百四十四日地底四百二十五求圆径术二相减余一百一十九自之得一万四千一百六十一底自之得十八万○六百二十五相减余十六万六千四
百六十四为平实倍边得一千○八十八为从方作带従开平方法除得平一百三十六即皇极勾以减底余二百八十九即皇极以皇极勾求出皇极股二百五十五与皇极勾相乗得三万四千六百八十以皇极为法除之得半径
又式天山黄广五百一十月地黄长二百七十二求圆径术并二半之自乗得十五万二千八百八十一半黄广自之半黄长自之相并得八万三千五百二十一与十五万二千八
百八十一相减余六万九千三百六十为平实并二得七百八十二为益従作减従开平方法除得一百○二即太虚以减黄广余为皇极较和以太虚减黄长余为皇极较较又以黄长减皇极较和余一百三十六为皇极勾半黄广为黄极股以皇极勾股求通圆径【即前勾股上容圆式】
两容圆式日月明一百五十三山川軎三十四求圆径术二相乗倍之得一万○四百○四为实平方开之得一百○二即太虚
加軎为皇极勾加明为皇极股以皇极勾股求通圆径
全勾半股容圆式干地通勾三百二十天西边股四百八十求圆径术勾股相乗倍之得三十万○七千二百为实倍边股并通勾得一千
二百八十为法除得径
全股半勾容圆式天干通股六百北地底勾二百求圆径术勾股相乗倍之得二十四万为实倍底勾并通股得一千为法除得径
大勾余股容圆式干地通勾三百二十天坤大差股三百六十求圆径术勾股乗得十一万五千二百为实倍大差股得七百二十为从作
减从开平方法除得径又术勾股相乗倍之为实倍大差股为从作带从开平方法除得径
大股余勾容圆式天干通股六百艮地小差勾八十求圆径术勾股相乗倍之得九万六千为实倍小差勾得一百六十为从又带从开平方法除得径
又大勾余股容圆式干地通勾三百二十日南明股一百三十五求圆径术通勾自之乗明股得一千三百八十二万四千为立实倍明股
乗通勾得八万六千四百为从方二为隅法作带从负隅开立方法【详少广】除得半径
又式干地通勾三百二十山东軎股三十求圆径术勾股乗得九千六百为实以通勾为从方二为隅算作减
从负隅翻法开平方法除得半径
又大股余勾容圆式天干通股六百东川軎勾十六求圆径术通股自之乗軎勾得五百七十六万为立实倍軎勾乗通股得一万九千二
百为从方二为隅法作带从负隅开立方法除得半径又式天干通股六百南月明勾七十二求圆径术勾股乗得三千二百为实以通股为从方二为隅法作带从负隅开平方法除得半径
半勾半股容圆式天西边股四百八十北地底勾二百求圆径术勾股乗得九万六千为实勾股并得六百八十为从方二为隅算作负隅
减从开平方法除得半径
截勾截股容圆式坤西等上平股一百二十北艮等下髙勾一百二十求圆径术勾股乗得一万四千四百为实平方开之得半径
通曰此与前上容圆式坤艮之必穿圆心乃可测算
半勾外股容圆式天坤大差股三百六十北地底勾二百求圆径术勾股相乗倍之得十四万四千为实以大差股为从方作带从开平方
法除得径
半股外勾容圆式艮地小差勾八十天西边股四百八十求圆径术勾股相乗倍之得七万六千八百为实以小差勾为从方作带从开平
方法除得径
余勾半股余股半勾容圆式西外八步外行四百九十五步北外十五步外行二百○八步求圆径术以西外八并北外行二百○八得二百一十六为两勾和西外行四百
九十五并北外十五得五百一十为两股和以西外行乗两勾和得十万○六千九百二十为股乗勾幂以西外乗两股和得四千○八十为勾乗股幂两幂相减余十万○二千八百四十为勾股维乗差自之得一百○五亿七千六百○六万五千六百为三乗方实西外行四百九十五内减去两回西外共十六余四百七十九与北外行二百○八相减余二百七十一为股减勾差北外行二百○八内减去两回北外共三十余一百七十八与西外行四百九十五相减余三百一十七为勾减股差二差相减余四十六以乗勾股维乗差得四百七十三万○六百四十为従方二差相乗得八万五千九百○七为二差幂两勾和与两股和相乗得十一万○一百六十为二和幂倍二和幂得二十二万○三百二十倍勾股维乗差得二十万○五千六百八十以并二差幂得五十一万一千九百○七为従一亷四回两勾和共八百六十四两回股减勾差共五百四十二相并得一千四百○六为从二亷作带从方亷开三乗方法【详少广】即得半径
半勾余股容圆式日南明股一百三十五北地底勾二百求圆径术底勾自乗又乗明股得五百四十万又四因得二千一百六十万为立
方实以明股为従亷作带从亷立方开之得径【详少广】半股余勾容圆式东川軎勾十六天西边股四百八十求圆径术边股自乗又乗軎勾得三百六十八万六千四百又四因得一千四百七十四万五千六百为立实以軎勾为从亷作带从亷立
方开之得径
半勾小股容圆式北地底勾二百山艮小差股一百五十求圆径术勾股相乗又乗小差股得四百五十万为实勾股相减余五十又乗小
差股得七千五百加勾股相乗得三万七千五百为法除实得半径又术勾股相乗为实倍底勾减小差股余为法除实得半径
又式北地底勾二百山东軎股三十求圆径术勾股乗得六千为平实勾股减余一百七十为従方作减従翻法开平方法得半径
半股小勾容圆式天西边股四百八十坤月大差勾一百九十二求圆径术勾股相乗又乗大差勾得一千七百六十九万四千七百二十
为实勾股减余二百八十八又乗大差勾得五万五千二百九十六加勾股相乗得十四万七千四百五十六为法除得半径 前式又术亦可用
又式天西边股四百八十南月明勾七十二求圆径术勾股乗得三万四千五百六十为实勾股减余四百○八为从方作减従开平方法
得半径
小勾小股容圆式坤月大差勾一百九十二山艮小差股一百五十求圆径术勾股相乗倍之得五万七千六百平方开之得径
又式南月明勾七十二山东軎股三十求圆径术勾股乗得二千一百六十为实勾股并得一百○二为从作
以従减法翻法开平方法得半径
外勾外股容圆式艮地小差勾八十天坤大差股三百六十求圆径术勾股相乗倍之得五万七千六百平方开之得径
又式东川軎勾十六日南明股一百三十五求圆径术勾股相乗又自乗得四百六十六万五千六百为三乗方实勾股相乗倍之得四千
三百二十又乗勾股相并得六十五万二千三百二十为从方勾股相并自之得二万二千八百○一勾股相减余自之得一万四千一百六十一两自之之数相减余八千六百四十为益亷作带従亷添积开三乗方法除之【详少广】得半径
大勾半容圆式干地通勾三百二十日地底四百二十五求圆径术勾相减余一百○五为勾差以乗通勾得三万三千六百又
乗半通勾一百六十得五百三十七万六千为立实半通勾乗通勾得五万一千二百与差乗通勾三万三千六百相减余一万七千六百为従方倍通勾得六百四十为益亷作带従减益亷开立方法除之【详少广】得半径又式干地通勾三百二十月地黄长二百七十二求圆径术勾相减余四十八为勾差倍差倍通勾相乗得六万一千四百四十为
平实倍差倍通勾相并得七百三十六为益従二为隅法作减从负隅翻法开平方法除之得径又术倍差乗通勾为实差并通勾为从作减从开平方除之得径大股半容圆式天干通股六百天川边五百四十四求圆径术股相减余五十六为差以乗通股得三万三千六百又乗半通股得
一千○八万为立实半通股乗通股得十八万与差乗通股三万三千六百相并得二十一万三千六百为从方倍通股得一千二百为从亷作以从亷减从方翻法开立方法除之得半径 以従亷添积开立方亦可【详少广】
又式天干通股六百天山黄广五百一十求圆径术股相减余九十为差倍差倍通股相乗得二十一万六千为平实倍差倍通股相并得一千三百八十为从二为隅法作减从负隅翻法
开平方法除之得径又术同前
大勾外容圆式干地通勾三百二十山地小差一百七十求圆径术勾乗得五万四千四百通勾自之得十万○二千四百以相减余倍之得九万六千为实倍通勾得六百四十为从方
作减从开平方法除之得径
大股外容圆式天干通股六百天月大差四百○八求圆径术股乗得二十四万四千八百通股自之得三十六万以相减余倍之
得二十三万○四百为实倍通股得一千二百为従方作减从开平方法除得径义术股相乗通股自乗相减不必倍即以所余十一万五千二百为平实二为隅法作负隅开平方法亦可
大勾截容圆式干地通勾三百二十川地下平一百三十六求圆径术勾相减余一百八十四为差倍差减通勾余乗通勾得一万五
千三百六十为平实又倍差得三百六十八为从方二为隅法作减从负隅翻法开平方法除之得半径大股截容圆式天干通股六百天日上髙二百五十五求圆径术股相减余三百四十五为差倍差减通股余九十以乗通股得五
万四千为平实倍差为从方二为隅算作负隅减从开平方法除之得半径
大勾中容圆式干地通勾三百二十日川皇极二百八十九求圆径术勾乗得九万二千四百八十为勾乗幂又自之得八十五亿五千二百五十五万○四百为三乗方实皇极自
之得八万三千五百二十一以乗通勾得二千六百七十二万六千七百二十倍之得五千三百四十五万三千四百四十为从方倍勾乗幂得十八万四千九百六十为从一亷倍皇极得五百七十八为从二亷二为隅算作以亷隅减従开三乗方法除之【详少广】得皇极勾一百三十六以皇极勾求股得皇极股二百五十五勾股相乗倍之得六万九千三百六十为实以皇极为法除得径
又式干地通勾三百二十日山下髙二百五十五求圆径术勾相乗又乗半通勾得一千三百○五万六千为立方实勾相乗得八
万一千六百与半通勾乗通勾得五万一千二百相并得十三万二千八百为从方通勾三百二十为従亷作以亷减从开立方法【详少广】除得半径
大股中容圆式天干通股六百日川皇极二百八十九求圆径术股相乗又自之得三百亿○六千七百五十六万为三乗方实皇极自之为幂以乗通股又倍之得一亿○二十二万
五千二百为从方股相乗倍之得三十四万六千八百为从一亷倍得五百七十八为从二亷二为隅算作带从负隅以二亷隅添积开三乗方除之得皇极股二百五十五勾股相乗倍为实以皇极为法除得径又式天干通股六百月川上平一百三十六求圆径术股相乗又乗半通股得二千四百四十八万为立实半通股乗通股并通股与
平相乗八万一千六百得二十六万一千六百为従方通股六百为従亷以亷减从开立方除之得半径大勾小容圆式干地通勾三百二十月山太虚一百○二求圆径术通勾自之为幂倍太虚乗之得二千○八十八万九千六百为
立实倍太虚乗通勾又加倍通勾幂得二十七万○八十为従方四通勾得一千二百八十为従亷四为隅算作带从半翻法减从负隅开立方法除之【详少广】得半径又术通勾自之与太虚相乗半之为立实勾相乗加通勾自乗半之为从方通勾为从亷作以亷减従开立方法除之得半径
大股小容圆式天干通股六百月山太虚一百○二求圆径术通股自之乗太虚又倍之得七千三百四十四万为立实倍通股乗太虚得十二万二千四百通股自之又倍得七十二
万相并得八十四万二千四百为从方四通股得二千四百为从亷四为隅算作带从负隅以亷减从开立方法除之得半径 用添积亦可
又大勾小容圆式干地通勾三百二十山川軎三十四求圆径术通勾自之为幂又乗通勾得三千二百七十六万八千与倍軎乗
通勾幂得六百九十六万三千二百相减余二千五百八十万○四千八百为立实軎乗通勾得一万○八百八十倍通勾幂得二十万○四千八百相减余十九万三千九百二十为従方通勾加半通勾得四百八十为从亷半数为隅算作带従以亷添积开立方法除之得径 以亷减従亦可
又大股小容圆式天干通股六百日月明一百五十三求圆径术通股自之为幂又乗通股得二亿一千六百万与倍明乗通股幂
得一亿一千○一十六万相减余一亿○五百八十四万为立实倍通股幂得七十二万倍明乗通股得十八万三千六百相减余五十三万六千四百为从方六通股得三千六百为从亷六为隅算作负隅减从以亷益从开立方法除之得半径 以隅添积亦可
又大勾小容圆式干地通勾三百二十日月明一百五十三求圆径术通勾自之为幂勾相乗为勾乗幂二幂相乗得五十亿○
一千三百五十万○四千为三乗方实明乗通勾幂又三之得四千七百万○一千六百为从方倍勾乗幂与通勾幂相减余四千四百八十为从一亷倍通勾得六百四十为从二亷二为隅法作带从负隅以二亷减从开三乗方法除之【详少广】得半径
又大股小容圆式天干通股六百山川軎三十四求圆径术股相乗又乗通股幂得七十三亿四千四百万为三乗方实軎乗通股幂又三之得三千六百七十二万为从方倍股相
乗减通股幂余三十一万九千二百为从一亷倍通股为从二亷二为隅算作带従方亷负隅以二亷减从开三乗方法除之得半径
大半勾容圆式天地通六百八十北地底勾二百求圆径术勾减余四百八十为差勾并得八百八十为和差和相乗得四十二
万二千四百与差自乗二十三万○四百相减余十九万二千为实差和并得一千三百六十为从二为隅算作带従负隅开平方法除之得半径
大半股容圆式天地通六百八十天西边股四百八十求圆径术股减余二百为差股并得一千一百六十为和差和相乗得二
十三万二千与差自乗四万相减余十九万二千为实差和相并得一千三百六十为从方二为隅算作带従负隅开平方法除之得半径
半半勾容圆式月地黄长二百七十二北地底勾二百求圆径术勾减余七十二为差乗底勾得一万四千四百为半径幂四之为
全径幂平方开得径
半半股容圆式天山黄广五百一十天西边股四百八十求圆径术股减余三十为差乗边股得一万四千四百平方开之得半径
外半勾容圆式山地小差一百七十北地底勾二百求圆径术勾减余三十为差乗底勾得六千为实小差为従作减从翻法开平
方法除得半径
外半股容圆式天月大差四百○八天西边股四百八十求圆径术股减余乗边股得三万四千五百六十为实大差为従作减
从开平方法除得半径
截半勾容圆式川地下平一百三十六北地底勾二百求圆径术倍勾相减余一百二十八减底勾余七十二又乗底勾得一万四
千四百平方开之得半径又术倍平减底勾余七十二乗底勾亦同
截半股容圆式天日上髙二百五十五天西边股四百八十求圆径术倍髙减边股余三十乗边股得半径幂平方开得半径又术
股减余自之得上髙股幂髙自之得幂二幂相减开其余为上髙勾即半径
小半勾容圆式山川軎三十四北地底勾二百求圆径术底勾内减二軎余一百三十二乗底勾得二万六千四百又以軎幂二
千一百五十六乗得三千○五十一万八千四百为三乗方实倍底勾乗軎幂得四十六万二千四百为从方勾相减差自之得二万七千五百五十六为従一亷勾相减差倍之得三百三十二为从二亷作带从方亷以二亷减从开三乗方法除之得軎股三十以軎股求勾以軎勾股求径【即前股外容半圆也】
小半股容圆式日月明一百五十三天西边股四百八十求圆径术边股内减二明余一百七十四乗边股得八万三千五百二十
又以明幂二万三千四百○九乗得一十九亿五千五百一十一万九千六百八十为三乗方实明幂乗边股又倍之得二千二百四十七万二千六百四十为従方股减余自之得十万○六千九百二十九为从一亷股减余倍之得六百五十四为从二亷作带方亷以二亷减从开三乗方法除之得明勾七十二以明勾求股以明勾股求径【即前勾外容半圆也】
又小半勾容圆式日山下髙二百五十五北地底勾二百求圆径术底勾自之为幂乗髙得一千○二十万为立实底勾幂为从方髙为従亷作带从方亷
开立方法除得半径
又小半股容圆式月川上平一百三十六天西边股四百八十求圆径术边股自之为幂乗平得三千一百三十三万四千四百为
立实边股幂为从方平为从亷作带従方亷开立方法除得半径
通曰右式与上髙同此式与下平同
又小半勾容圆式日月明一百五十三北地底勾二百求圆径术半底勾乗明得一万五千三百为平实勾相并半之得一百七十六为从方半为隅算作带従负隅开平方法除之得
明勾七十二以明勾求股以明勾股求径【即前勾外容半圆也】又小半股容圆式山川軎三十四天西边股四百八十求圆径术半軎乗边股得八千一百六十为实股并半之得二百五十七
为从方半为隅法作带従负隅开平方法除之得軎股乗边股得半径幂
半小勾容圆式月地黄长二百七十二坤月大差勾一百九十二求圆径术倍大差勾与黄长相减余一百一十二为差自之得一万二千五百四十四与黄长幂相减余六万一千四
百四十为实四差得四百四十八为从八为益隅作以带从减隅开平方法除得半径
半小股容圆式天山黄广五百一十山艮小差股一百五十求圆径术倍小差股与黄广相减得差二百一十自之得四万四千一百与黄广幂相减余二十一万六千为实四差得八
百四十为从八为隅作以隅减从开平方法除得半径小截勾容圆式月川上平一百三十六南月明勾七十二求圆径术勾相减差自之得四千○九十六与上平幂相减余一万四
千四百即半径幂半径即平股也
小截股容圆式日山下髙二百五十五山东軎股三十求圆径术股减余自之得五万○六百二十五为髙股幂又与髙幂相减余一万四千四百即半径幂半径即髙勾也
又小截勾容圆式月山太虚一百○二南月明勾七十二求圆径术勾减余倍之乗明勾得四千三百二十为实又倍实得八千六百四十与太虚幂相减余一千七百六十四平方开
之得四十二为太虚勾股较以较为从开其实得四十八为太虚勾加较为股并为和和即径
又小截股容圆式月山太虚一百○二山东軎股三十求圆径术股相减余乗軎股又四之得八千六百四十与太虚幂相并得
一万九千○四十四为实平方开之得一百三十八为太虚勾股和加太虚即径二百四十
数度衍卷八
钦定四库全书
数度衍卷九
桐城 方中通 撰
方圆【少】广【之一】
诸率
通曰求积者用径一围三度天者用径七周二十二然径一则围三有余径七则周二十二不足今测以径十七周五十二其率较细大约四形之率惟方率
无差他皆无凖方斜七而强角面七而弱圆率从难推求惟举成数而已
通曰方形剖周为四面面与中径等四面即四径也圆以三为率径求周以径乘率周求径以率除周方以四为率径求周以径乘率周求径以率除周通曰此勾股也勾股皆五各自乘并之为五十开方则七有零七自之惟四十九较五十之开方则少一数矣今
方斜以五七为率方求斜以斜七乘方面以方五除之斜求方以方五乘内斜以斜七除之
通曰此亦勾股也中径为股半
面为勾各自乘并为四十八二五
开方则七不足矣今三角以六七
为率面求径以径六乘面以面七
除之径求面以面七乘径以径六
除之
方内容圆圆内容方率説
通曰数始于一圆径一则周三方径一则周四两周相乘得十二故方圆相容之率皆十二也丁乙矢七己丁矢必五卯丑隅七午卯隅必五子丑方周七寅卯方周必五甲乙圆周七丙丁圆周必五甲乙方圆径七丙丁方圆径必五七五并为十二故曰皆十二也推而求之万
重皆然此方圆之分率也径同则圆周圆积皆不及方周同则方径方积皆不及圆积同则圆周不及方周方径不及圆径何也径同以一言之圆径一周三方径一周四圆周不及方周四分之一矣又以三言之圆径三积七方径三积九圆积不及方积九分之二矣周同以十二言之方周十二积九圆周十二积十二方积不及圆积十二分之三矣又方周十二径三圆周十二径四方径不及圆径四分之一矣积同以一百六十九言之圆积一百六十九则周四十五方积一百六十九则周五十二圆周不及方周五十二分之七矣又方积一百六十九则径十三圆积一百六十九则径十五方径不及圆径十五分之二矣此方圆之合率也至其容之大小悉较容兹不具论
通曰石斋先生之天方图九方九圆外方积一万六千三百八十四如率推之庇羃尽得余别録焉
方内容圆法
方面求圆积庇积式方面十四问圆积庇积各几何曰圆积一百四十七庇积四十九术以方面十四自乘得方积一百九十六以七五乘之得一万四千七百降二位为圆积一百四十七以二五乘方积得四千九百降二位为庇积四
十九【法有二位故降二位】又术以方面折半为七又折半为三五自乘得十二二五为一庇积以四乘之得四十九以减方积得圆积【七五乘二五乘説见后】
圆内容方法
圆径求方积羃积式圆径十四问方积羃积各几何曰方积一百羃积四十七术以圆径十四乘方斜面率五得七十以方斜率七除之得一十为内方面自乘得方积一百用圆径求圆积【详后】得一百四十七以减方积余四十七为羃积
立方内容立圆法
立方面求立圆积立庇积式立方面十六问立圆积立庇积各几何曰立圆积二千三百○四立庇积一千七百九十二术通曰以立方面十六
自乘得二百五十六再乘十六得四千○九十六为立方积以十六除之得二百五十六以九乘之得二千三百○四为立圆积二积相减余一千七百九十二为立庇积【九乘十六除説见后】
立圆内容立方法
立圆径求立方积立羃积式立圆径十七问立方积立
羃积各几何曰立方积一千七百
七十一五六一立羃积九百九十
一九九九术通曰以立圆径十七
用径求积法【详后】得二千七百六十三五六零为立圆积以圆径为立方斜乘方斜面率五得八十五以方斜率七除之得一十二一零自乘得一百四十六四一再乘一十二一得一千七百七十一五六一为立方积二积相减余九百九十一九九九为立羃积
通曰凡方内容圆圆内容方必彼此相切方可立算
平方求积法【即开平方之还原也】
径求积式径三十二为积几何曰积一千○二十四术以径三十二自乘得一千○二十四为积
周求积式周一百二十八为积几何曰积一千○二十四术以周一百二十八用四除之得三十二为径自乘得积
平圆求积法【即开平圆之还原也】
径求积式径六为积几何曰积二十七术径六自乘得三十六以三乘之得一百○八以四除之得二十七为积又术径六自乘得三十六以七五乘之得二千七百降二位得二十七亦合【三乘四除説见后】
周求积式周十八为积几何曰积二十七术周十八自乘得三百二十四以十二除之得二十七为积【十二除説见后】周径求积式径六周十八为积几何曰积二十七术径六与周十八相乘得一百○八以四除之得二十七为积
通曰此与三乘四除同径一周三故也
半周求积式半周九为积几何曰积二十七术九自乘得八十一以三除之得二十七【三除説见后】
半径求积式半径三为积几何曰积二十七术三自乘得九以三乘之得二十七【三乘説见后】
半周半径求积式半周九半径三为积几何曰积二十七术九与三相乘得二十七
通曰方径自乘得方形以此方形积均分作四股圆形内得三股四庇共得一股故用七五乘
者四分十之三也用二五乘者四分十之一也
通曰径用三乘得长方形即周径相乘也此内容圆形者三而三圆形之庇积
又成一圆形之积以此一圆并三圆而为四故三乘者用四除也
通曰周自乘得大方形此内有方形九而容圆形者亦九三圆形之庇积成一圆形之积则九圆形之庇积必成三圆形之积矣以此三圆并九圆而为十二故用十二除也
通曰半周自乘得全周自乘四分之一故用三除盖三除者十二除四分之一
也半径自乘与庇积等三其庇积而成圆积故用三乘也
立方求积法【即开立方之还原也】
径求积式径三十二为积几何曰积三万二千七百六十八术径三十二自乘得一千○二十四又乘三十二得三万二千七百六十八为积
立圆求积法【即开立圆之还原也】
径求积式径四十八为积几何曰积六万二千二百○八术径四十八自乘得二千三百○四再乘四十八得十一万○五百九十二以九乘之得九十九万五千三百二十八以十六除之得六万二千二百○八为积周求积式周一百四十四为积几何曰积六万二千二百○八术周一百四十四自乘得二万○七百三十六再乘一百四十四得二百九十八万五千九百八十四以四十八除之得六万二千二百○八为积
通曰立圆径自乘再乘乃立圆外之立方积也九回立方积即十六回立圆积故以九乘十六除也立圆周自乘再乘乃二十七回立方积也即四十八回立圆积故以四十八除也葢二十七者三回九也四十八者三回十六也而周求积之不用二十七乘者周巳大于径三回故不用三回九之二十七乘也
方环求积法
外方内方求环积式外方甲乙二十内方丙丁一十为环积几何曰积三百术以甲乙二十自乘得四百为庚辛乙甲全积以丙丁一十自乘得
一百为壬癸丁丙内积二积相减余三百为庚壬丙甲环积又术以甲乙二十并丙丁一十为三十倍之得六十为通环之长以丙丁减甲乙余一十折半得五即丁至巳为环濶以濶乘长得三百为环积
通曰并外方四面得八十并内方四面得四十又相并为一百二十折半得六十亦合环长
圆环求积法
外周内周求环积式外周甲戊乙巳四十八内周丙庚丁辛二十四为环积几何曰积一百四十四术以甲戊乙巳四十八自乘得三千三百○四以十二除之得一百九十二为甲
乙戊己全积以丙庚丁辛二十四自乘得五百七十六以十二除之得四十八为丙庚丁辛内积二积相减余一百四十四为甲丙戊庚环积又术以外周三折得全径十六以内周三折得内径八两径相减余八折半得四即甲至丙为环濶以三乘濶得十二减外周余三十六为通环之长以濶乘长得一百四十四为环积内周外周求环径式【即环濶也】术以外周四十八减内周二十四余二十四以六除之得四为环径即甲至丙内周环径求外周式术以六乘环径四得二十四并内周二十四得四十八为外周
外周环径求内周式术以六乘环径四得二十四减外周四十八余二十四为内周
通曰圆以六包一故用六乘六除也【详外包】
四破合环法
四破之一求去内外角成环式欲于丑寅大直角方形
内成圆环外周切方边内周
六问于甲丙小直角方形内
去内角外角各几何曰内角
去乙巳一外角去庚丁二术
通曰先于甲丙形用方斜率
法求得乙至丁为七乙至丙
为五乃以三除内周六得二为内径半之得一为半径即甲丙形之内角乙巳一也去之乙丙五内减等乙巳之乙戊一尚存戊丙四为环濶又于乙丁斜七减内角乙己一又减等戊丙之己庚四尚余庚丁二是为外角应去者也甲丙形为一破加丑乙子乙寅乙三破而环成矣故曰四破合环
二破至九破率説
通曰以前式四破之一为率二破得率二分之四益率
二分之二而成二破之一也三
破得率三分之四益率三分之
一而成三破之一也五破得率
五分之四损率五分
之一而成五破之一
也六破得率六分之
四损率六分之二而
成六破之一也七破
得率七分之四损率
七分之三而成七破
之一也八破得率八
分之四损率八分之
四而成八破之一也九破得率九分之四损率九分之五而成九破之一也万亿皆然葢四破得方圆四分之一故以四破为率二破者倍之八破者半之破愈多而分愈细也至彼此互变皆以率通或五变六或八变七以所变之六七为法分其应变之五八一破多益少损无不适合
合破成立圆法
式欲成子丑立圆形为破几何术通曰以圆周剖之周大则剖多周小则剖少以剖后之一破腰无圆形而止
也如以子丑圆周剖为三十二破一
破如丙丁甲乙形甲乙平而不圆矣
又以丙丁甲乙剖为二如丙甲乙甲
乙丁两形而两形必等则三十二其
丙丁甲乙形而成立圆六十四其丙甲乙形亦成立圆也葢丙至丁半周也十六其甲乙亦半周也
方内容弧矢六角八角法
直方内容弧矢形式方长十四方阔七问弧内积二角余积各几何曰弧内积七十三五二角余积二十四五术方长十四即方阔七即矢相并得二十一折半得十○五以矢七乘之得
七十三五为弧内积方长十四方阔七相乘得九十八为全积以减弧内积余二十四五为二角积折半得十二二五为一角积
通曰以十四折半得七又折半得三五乘矢七得二十四五亦合二角积
直方内容六角形式方长二十方阔十八六角面十问六角内积四角余积各几何曰六角内积二百七十四角余积九十术以方长二十减六角半面五余十五以方阔十八乘之得二百
七十为六角内积以角外余长五折半得二五乘角外余阔九得二十二五为一角积以四乘之得九十为四角积
通曰以余长五余阔九相乘得四十五倍之得九十亦合四角积
方内容八角形式八角面七问八角内积四角余积各几何曰八角内积二百三十九四角余积五十术以五乘八角面七得三十五以七除之得五为角外余方倍之得十为上下两余方加八角面七得十七为大方面自乘得二百八
十九为全积以角外余方五自乘得二十五倍之得五十为四角积以减全积余二百三十九为八角内积通曰以余方五自乘得二十五折半得十二五为一角积此式乃斜求方也四隅角面即方斜余方即方斜面故用五乘七除
方内容小圆法
式余积二千四百圆边离方边十问方面圆径各几何曰方面六十圆径四十术以离边十自乘得一百以三乘得三百加余积二千四百得二千七百为实以六乘离边十
得六十为从方用带从开平方法除之得三十【详十二卷】倍之得六十为方面以方面减两离边二十余四十为圆径
圆内容小方法
式余积七十二离边三问圆径方面各几何曰圆径十二方面六术以离边三自乘得九以四乘之得三十六倍余积得一百四十四相并得一百八十为实以离边三乘八
得二十四为纵方用带纵开平方法除之得六【详十二卷】为半径倍之得十二为圆径以圆径自乘得一百四十四以三乘得四百三十二以四除得一百○八以减余积七十二余三十六平方开之得六为方面
又式圆径九歩七分五厘离边三歩问内方积上下大弧积左右两直方积左右两小弧积各几何曰内方积十四歩○六厘二毫五丝大弧积各十八歩直方积各九歩八分四厘三毫七丝五忽小弧积各七分七厘三毫四丝
三忽七微五纎术以圆径折半得四歩八分七厘五毫自乘得二十三歩七分六厘五毫以半径减离边余一歩八分七厘五毫自乘得三歩五分一厘五毫两自乘相减余二十歩○二分五厘平方开之得四歩五分倍之得九歩为大弧用弧矢法【详后】得弧积十八歩以圆径减两离边余内方面三歩七分五厘自乘得十四歩○六厘二毫五丝为内方积以大弧九歩减内方面三歩七分五厘余五歩二分五厘折半得二歩六分二厘五毫为直方濶与内方面【即直长方】相乘将九歩八分四厘三毫七丝五忽为直方积内方面即小弧以圆径减大弧九歩余七分五厘折半得三分七厘五毫为小弧矢用弧矢法得小弧积七分七厘三毫四丝三忽七微五纎以大弧积倍之得三十六歩以直方积倍之得十九歩六分八厘七毫五丝以小弧积倍之得一歩五分四厘六毫八丝七忽五微以诸倍数与内方积十四歩○六厘二毫五丝相并得七十一歩二分九厘六毫八丝七忽五微为全圆之积
圆内容锭形法
式圆径十四问锭内积两榄余积各几何曰锭内积一
百两榄余积四十八术以五乘圆
径十四得七十以七除之得十卽
圆内容方边自乘得一百即容方
积即锭内积也以圆径十四减容
方边十余四即榄腰濶折半得二
加容方边十得十二乘腰濶四得四十八即两榄积又术以锭长十四【即圆径】自乘得一百九十六折半得九十八加二得一百为锭积
通曰圆内容锭与圆内容方等者何也葢截方两腰之半补上下而成锭截锭上下之等半腰者补两腰而成方也故圆径即锭长锭斜即圆径戊己丙丁甲乙皆等也丙丁甲乙皆方斜也丙乙甲丁皆容方边也故用五乘七除此斜求方耳以圆径求积得一百四十七今两积合为一百四十八而多一者葢榄长即容方边自乘百内多一也锭长自乘而加二者葢百内少二斜求积之差也
大平方内容小平圆求积圆法
式大方面四十二小圆径十四问积圆积空成圆共积圆各几何曰积圆九积空成圆三共积圆十二术通曰以小圆径十四除大方面四十二得三自乘得九即为积圆九也用前方内容圆法毎一小圆得内积一百四十七为圆实得庇积四十九为庇实以积圆九乘庇实得四百四十一
为隅空以圆实除隅空得三即为积空成圆三也加积圆九得十二即为共积圆十二也
大立方内容小立圆求积圆法
式大方面四十二小圆径十四问积圆积空成圆共积圆各几何曰积圆二十七积空成圆二十一共积圆四十八术通曰以小圆径十四除大方面四十二得三自乘得九再乘三
得二十七即为积圆二十七也用前立圆求积法毎一小立圆得内积一千五百四十三五为圆实以大方面自乘得一千七百六十四再乘得七万四千○八十八为全方实以积圆二十七乘圆实得四万一千六百七十四五为全圆实以全圆实减全方实余三万二千四百一十三五为隅空以圆实除隅空得二十一即为积空成圆二十一也加积圆二十七得四十八即为共积圆四十八也
通曰前式三分益一也圆居方四分之三庇居方四分之一则庇必居圆三分之一矣遇三加一九故加三也此式九分益七也立圆居立方十六分之九立庇居立方十六分之七则立庇必居立圆九分之七矣遇九加七二十七故加二十一也
大平圆内容小平圆求积法
式大圆径十二容积圆七小圆径四问积空成圆共积圆各几何曰积空成圆二共积圆九术通曰以大圆径十二用前平圆求积法得全积一百○八为全圆实以小圆径四亦如
法得内积十二以乘积圆七得八十四为小圆实二实相减余二十四为隅空以内积十二除隅空得二即为积空成圆二也加积圆七得九即为共积圆九也
大立圆内容小立圆求积圆法
式大立圆径十二容积立圆十五小立圆径四问积空成立圆共积立圆各几何曰积空成立圆十二共积立圆二十七术通曰以大立圆径十二用前立圆求积法得全积九百七
十二为全立圆实以小立圆径四亦如法得内积三十六以乘积圆十五得五百四十为小立圆实二实相减余四百三十二为隅空以内积三十六除隅空得十二即为积空成立圆十二加积立圆十五得二十七即为共积立圆二十七也【按大立圆径十二小立圆径四必不能容十五设题未合】通曰此二式不可为率隅空不等故耳近边则空多近中则空寡若不论小形而论大小形之积实则凡大形内容小形者先求大形之全积为实次求小形之内积为法以法除实皆得其积若干小形之数也
弧矢【少广之二】
弧矢解
弧矢状类勾股勾股得直方之半故倍其积以股除之即得勾弧背曲倍积则长一与一矢以矢乘积倍之适得一一矢之数因未知矢故以积自乘为实约一度乘积以为上廉两度乘径以为下廉并之为法而后可以得矢也用三乘者何也积本平方以倍积自乘是两度平方矣故用三乘方法开之上廉下廉俱用四乘者何也倍积则乘出之数为积者四故也如不倍积廉不用四乘以一二五为隅法亦通减径者何也径乃圆之全径矢乃截处之勾矢本减径而得故亦减径以求矢也或不减径作添积三乘方法亦通五为负隅者何也凡平圆之积得平方四分之三在内者七五在外者二五不拘圆之大小毎方一尺虚隅二寸五分其矢得四其虚隅得一合而为五亦升实就法之意也
圆径截积求矢法
式圆径十三截积三十二问矢各几何曰矢四十二术倍截积三十二得六十四自乘得四千零九十六为实以四乘截积三十二得一百二十八为上廉以四乘圆径十三得
五十二为下廉以五为负隅用开三乘方法除之【详十四卷】得四为矢倍截积得六十四以矢除之得十六减矢余十二为
弧积离径求矢弧背圆径半径法
式弧积一百二十八离径五问矢背圆径半径各几何曰矢八二十四弧背二十九零圆径二十六半径十三术以弧积一百二十八为实倍弧积得二百五十六平方开之得十六为法以法除实得八为矢以矢加法十六得二十四为以矢自
乘得六十四以二十四除之得二六零为半与背之差倍之得五零加二十四得二十九零为弧背以折半得十二自乘得一百四十四为实以矢八为法除得十八加矢得二十六为圆径折半得十三为半径即离径五与矢八相并也
矢求弧积式术矢相并得三十二折半得十六以矢乘之得一百二十八为弧积又术矢相乘得一百九十二矢自乘得六十四相并得二百五十六半之为弧积
矢弧积求式术倍弧积得二百五十六以矢八除之得三十二减矢余二十四为
弧积求矢式术倍弧积得二百五十六以二十四为纵方用带纵开平方法除之【详十二卷】得八为矢圆径求离径矢式 术以圆径折半得十三自乘得一百六十九以折半得十二自乘得一百四十四两自乘相减余二十五平方开之得五为离径以半径十三减离径五余八为矢
矢圆径求式 术以圆径二十六减矢八余十八以矢乘之得一百四十四平方开之得十二倍之得二十四为
离径求圆径式 术以折半得十二自乘得一百四十四以离径五自乘得二十五相并得一百六十九平方开之得十三倍之得二十六为圆径
圆径离径求式术以圆径折半得十三自乘得一百六十九以离径五自乘得二十五相减余一百四十四平方开之得十二倍之得二十四为
弧矢内股求勾法
式圆径十矢一为勾几何弧几何曰勾三弧六以圆径十折半为五自乘得二十五为羃以半径五减矢一余四为股自乘得十六为股羃二羃相减余九平方开之得三为勾倍勾得六为弧又术以
圆径自乘得一百为大羃以圆径减倍矢二余八自乘得六十四为大股羃二羃相减余三十六为大勾羃平方开之得六为弧半之得三为勾
通曰弧矢与勾股相通不惟此也如勾与股较求股是矣半径也股离径也勾半弧也
弧矢内勾求股法
式圆径十弧六为股几何弧矢几何曰股四弧矢一术以圆径十折半得五为以弧六折半得三为勾自乘得二十五勾自乘得九相减余十六平方开之得四为股以股减半径五余一为矢
圆径直方濶求两弧矢积法
式圆径七十四直方濶二十四为两弧积各几何直方积几何曰弧积各一千一百八十七五直方积一千七百三十二术以圆径七十四自乘得五千四百七十六以三乘
之以四除之得四千一百○七为全积以圆径减方濶二十四余五十折半得二十五为矢用前径矢求弧法得七十又用矢求弧积法得弧积一千一百八十七五倍之得二千三百七十五为两弧积以减全积余一千七百三十二为直方积
通曰矢得径十之一者必六倍于矢矢得径十之二者必四倍于矢矢得径十之三者必三倍于矢矢得径十之四者必倍于矢而又八分矢之三也矢得径十之五者必倍于矢也弧矢者半圆所生也
数度衍巻九
钦定四库全书
数度衍卷十
桐城 方中通 撰
较容【少广之三】
同周异容
通曰周不可以论容故方田不以周歩为率同周者形必异形异容故异耳
式一同周多边形容积大于少边形容积何也少边如甲乙丙三角形甲乙甲丙两腰各五乙丙底六共周十六多边如己庚戊辛四角形己戊庚辛与三角之腰等
皆五己庚戊辛与三角之半底
等各三共周亦十六以三角用
甲丁线折半得甲丁乙甲丁
丙两小三角形以四角形己戊庚辛与甲丁较去己壬庚癸存壬戊癸半皆与甲丁等是壬癸戊辛小四角形内可容甲乙丙三角形也癸辛戊癸壬戊与甲丁乙甲丁丙皆等耳四角形是多一己壬癸小四角形矣式二同周四直角形等边容积大于不等边容积何也等边如甲乙丙丁四直角形毎边六共周二十四不等边如戊己庚辛四直角形两边五两边七共周亦二十四以等边之六自乘得积三十六以不等边之五七相
乘得积三十五是不等边之积
少一矣又如两边四两边八共
周亦二十四而积三十二又少
矣两边三两边九共周亦二十四而积二十七又少矣两边二两边十共周亦二十四而积二十又少矣边愈不等积愈少也
通曰又如四边皆三周得十二积九两边二两边四周亦十二积八是九之中一藏而无周八无中可藏故少一也右式等边形中有离边积十六不等边形中止有离边积十五可见少一积者非少近边之积乃少离边之中积也
式三同周等边四角形直角容积大于斜角容积何也直角如甲乙丙丁四角形毎边五共周二十斜角如戊己丙丁四角形毎边五共周二十以斜角截戊庚丁三角形补己辛
丙三角形适足是庚辛丙丁形与戊己丙丁形之容等矣以直角截庚辛丙丁外尚余甲乙庚辛形乃多于斜角者也
式四同周有法形多边容积大于少边容积何也多边如甲乙丙有法形【边边相等角角相等曰有法也】不拘边数今为六边
毎边四共周二十四少
边如丁戊己有法形今
为四边毎边六共周亦
二十四试于两形外各
作一圜而从圜心望一边作庚壬作辛癸两垂线平分乙丙于壬戊己于癸其甲乙丙形多边者与丁戊己形少边者外周既等而以乙丙求周六其乙丙而徧以戊己求周四其戊己而徧则乙丙边固小于戊己边而乙壬半线亦小于戊癸半线矣兹截癸子与壬乙等而作辛子线又作辛戊辛己及庚丙庚乙诸线次第论之其己丁戊圜内各切线等即匀分各边俱等而全形边所倍于戊己一边数与全圜切分所倍于戊己切分地亦等则甲乙丙内形全边所倍于乙丙一边与其全圜切分所倍于乙丙切分不俱等乎其戊己圜切分与戊丁己全圜之切分若戊辛己角之与全形四直角则以平理推之移戊己边于甲乙丙全边亦若戊辛己角之于四直角也而甲乙丙内形周与乙丙一边犹甲乙丙诸切圜与乙丙界之一切圜亦犹四直角之与庚乙丙角也则又以平理推戊己与乙丙即戊癸与乙壬而乙壬即是癸子又以平理推戊辛己角与乙庚丙角亦若戊辛癸之与乙庚壬也夫戊癸与癸子之比例原大于戊辛癸角与子辛癸角之比例则戊辛癸与乙庚壬之比例大于癸辛戊与癸辛子之比例而癸辛子角大于壬庚乙角其辛癸子与庚壬乙皆系直角而辛子癸角明小于庚乙壬角令移壬乙庚角于癸子上而作癸子丑角则其线必透癸辛到丑其庚壬乙三角形之壬与乙两角等于丑癸子三角形之癸子两角而乙壬边亦等于子癸边则丑癸线亦等于庚壬线而庚壬实赢于辛癸令取庚壬线及甲乙丙半周线作矩内直角形必大于辛癸线及丁戊己半周线所作矩内直角形也然则多边直线形之所容岂不大于等周少边直线形之所容乎
式五同周等底三角形等边容积大于不等边容积何
也等边如甲丁丙三角形丁甲甲丙
丙丁各六共周十八不等边如乙甲
丙等甲丙底三角形甲丙六乙甲七
乙丙五共周亦十八试引甲丁至戊
令丁戊与丁甲等亦与丁丙等又作丁乙乙戊两线夫甲乙乙戊合线既大于甲戊即大于甲丁丁丙合线亦大于甲乙乙丙合线此两率者令减一甲乙则乙戊大于乙丙而丁戊乙三角形之丁戊丁乙两边与丁丙乙三角形之丁丙丁乙两边等其乙戊底大于乙丙底则戊丁乙角大于丙丁乙角而戊丁乙角逾戊丁丙角之半令别作戊丁己角与丁甲丙角等则丁己线在丁乙之上而与甲丙平行又令引长丁己与甲乙相遇而作己丙线连之其甲丁丙甲己丙既在两平行之内又同底是三角形相等也因显甲己丙大于甲乙丙而甲丁丙等边三角形必大于乙甲丙不等边三角形矣通曰以丁庚甲三角形与乙庚丙三角形相较知乙庚丙之小于丁庚甲即知乙甲丙之小于甲丁丙也式六同周多边形等边容积大于不等边容积何也等边如甲庚丙丁戊巳多边形毎边六共周三十六不等边如甲乙丙丁戊巳多边形甲乙边四乙丙边八他边皆六共周亦三十六作甲丙线视甲庚丙大于甲乙丙则知甲庚丙丁戊巳大于甲乙丙丁戊巳也
通曰甲乙辛与辛庚丙两形较知甲乙辛小于辛庚丙即知甲乙丙丁戊巳小于甲庚丙丁戊巳也
式七同周多边等边形等角容积大于不等角容积何
也通曰等角如子丑寅
卯辰午多边等边形毎
边十共周六十不等角
如甲乙丙丁戊巳多边等边形毎边亦十共周亦六十作丑午线得十八作丑卯线亦得十八丑午既与丑卯等则子申必与寅未等是午子丑与丑寅卯之子角寅角等也又作乙巳线少于十八作乙丁线多于十八乙丁既大于乙巳则甲庚必大于丙辛是巳甲乙与乙丙丁之甲角丙角不等也今以两形叠而较之今巳戊与午辰同线又令子遇甲乙线于子卯遇丙丁线于卯乃视并甲子巳与卯丁戊两小三角形不及子丑寅卯丙乙一曲
角形则知甲乙丙丁戊巳形小于子丑寅卯辰午形矣式八同周圆形容积大于有法形容积何也圆形如甲乙丙形周五十四有法如丁戊巳形毎边九共周亦五十四庚为甲乙丙之心辛为丁戊巳之心甲乙丙外另作壬乙丙癸多边形与丁戊巳相似【同为有法之六角形】而从壬
癸切圆于甲者作半径线于
庚则庚甲为壬癸线而分
壬癸之半又从辛作子丑
线则辛丁亦分子丑之半两
形相似其壬全角与子全角等则半之而甲壬庚角与丁子辛角亦等壬甲庚直角与子丁辛直角亦等然乙壬癸丙之周大于圆周而圆周与丁戊巳形同则是乙壬癸丙周原大于丁戊巳周矣夫两形相似而壬癸边大于子丑边则半之而壬甲亦大于子丁又壬甲与甲庚若子丁与丁辛之比例而壬甲大于子丁则甲庚亦大于丁辛是故取甲庚线与半圆周线以作矩内直角形其与圆地等也大于取丁辛线与丁戊己半周线以作矩内直角形其与形地等也推此则是圆形大于等
周之多边形也
通曰圆周五十四圆外六角周六十是多六矣虽与丁戊己六角相似而周不同也
今以同周之甲乙丙丁戊己两形相较圆形外有六小三角形圆内有六小弧矢形知小三角之不及小弧矢即知丁戊己之小于甲乙丙也
式九同周浑圆形容积大于长圆形容积何也通曰浑圆如甲乙丙丁戊己形周三十六长圆如庚丙癸戊辛己壬乙形周亦三十六今以两形相较长圆加浑圆之上必透
乙庚丙己辛戊两半圆形必虚丙丁戊癸乙甲己壬两半圆形以乙庚丙半圆形与丙丁戊癸半圆形相较则乙庚丙形必小以乙甲己壬半圆形与己辛戊半圆形相较则乙甲己壬形必大即知甲乙丙丁戊己形大于庚丙癸戊辛巳壬乙形矣
通曰边莫少于三角莫多于浑圆浑圆似乎无角而其角之多不可指説也同周之容其角渐多其容渐大故以浑圆为最大以三角为最小葢大者因角而大也角向外生内必益地虽中距之径少不敌角増之地多也方者不以角论长方与正方同为四角直方与斜方同亦四角一增于中藏之无边一减于斜周之无积故以长方斜方为小以正方直方为大也其不成形者不可防举矣
同容异周
通曰有积于此可方可圆可斜可直周之不一其积实同周既不可以论容容亦不可以论周也
式同容少边形周大于多边形周何也少边如甲乙丙形多边如甲巳丙丁形以甲乙丙形分为二得甲丁丙甲丁乙两形以甲巳丙丁形
分为二得甲巳丙甲丁丙两形相较皆等容而甲丙长于已丙甲乙长于甲丁是以少边者为大也
通曰此与同周异容相反同周以少边为小言容之小也同容以少边为大言周之大也举一可以类推
倍大
通曰其所容多一倍也
同底倍大容积式乙丙底甲乙丙形得戊乙巳丙形之半作甲丁线甲丁乙形与甲戊乙形等甲丁丙形与甲巳丙形等故也
通曰下同乙丙底上切甲防作与乙丙
平行线得长方形始可
不同底倍大容积式通曰以丙乙同底而言则戊巳丙乙形倍于甲乙丙形以丙乙与丙丁不同底而言则甲巳丙丁形两倍于甲乙丙形葢甲戊丙乙形与戊巳丙乙形等则甲丙线分甲戊丙乙为甲乙丙甲丙戊两形是甲乙
丙形为戊巳丙乙形之半即为甲巳丙丁形四之一也
变形同容
通曰此形容积亦可以他形容之葢不变容而变形也六角变四角式六角如甲乙丙丁戊巳有法形欲变为四角形视六角之心于庚自庚至甲乙作直角线为庚
辛另作壬癸线与庚辛等作癸
子与甲乙丙丁线等则壬癸子
丑四角形与甲乙丙丁戊巳六
角形之所容等也
论曰自庚到各角皆作直线皆分作三角形皆相等其甲乙庚三角形与甲辛辛庚二线所作矩内直角形等若以甲乙丙丁半形之周线为癸子线以与壬癸线共作矩内直角形即与有法全形等葢此半边三其三角形照甲乙庚形作分中线其矩线内直角形俱倍本三角形故也
通曰半径线作横线半周线作直线两形之容相等则以六角形之全径全周作四角形其容四倍矣然六角之径必须两角中分之辛寅相对为径非角对角之甲丁为径也
六角变三角式六角如甲乙丙有法形欲变为三角形视六角之心于丁从丁望甲乙作线为丁戊线另作丁戊线相等作戊己线与甲乙丙全周线等则丁戊庚己四角形倍于甲乙丙六角形今以丁戊庚己分为二得丁己戊三角形与甲乙丙六角形之所容等也
论曰以丁戊己庚直角形两平分于壬辛作直线与丁戊平行则丁戊辛壬直角形与甲乙丙形相等何者戊辛线得甲乙丙
之半周而又在丁戊矩内即与有法形全体等故也其丁戊己三角形与丁戊壬辛直角形等则丁戊己三角形与甲乙丙全形自等矣
圆形变四角三角式圆形如甲乙丙形先变为四角形视圆心于丁得半径丁乙线另作丁乙线相等作乙戊线与甲乙丙半周线等则丁乙戊己四角形与甲乙丙圆形之所容等也次变为三角形倍乙戊线为乙庚线与
甲乙丙全周等又作丁庚线则丁乙庚三角与甲乙丙圆形之所容等也
通曰截丁己辛形为辛戊庚形则丁乙戊己形内虚丁己辛地与丁乙戊己形外盈辛戊庚地相等则等圆形之四角变为三角等四角之三角自等于圆形也鋭觚形变直角立方形式觚形不拘几面如甲乙丙丁
戊底其顶巳今变为寅庚
直角立方形其底庚辛壬
癸得甲乙丙丁戊底三之
一其高庚子与觚等则寅
庚直角立方形与甲乙丙丁戊己鋭觚形之所容等也论曰从立形底诸用与相对一角如子角者皆作线以成庚辛壬癸子觚形此形与庚寅形同底同髙又同己甲鋭觚之髙己甲形既兼庚辛壬癸子觚之三【两觚形同高者其所容之比例如其底底等亦等底倍亦倍】则寅庚全形亦兼庚辛壬癸子觚之三是寅庚全方与己甲觚自等也
斜角能含圆形变直角立方形式平面不拘几边其全体可容浑圆切形如甲乙丙丁形内含戊己庚辛圜其心壬而外线甲乙切圜于戊试从戊壬割圜之半作戊
己庚辛圜从壬心望各切圜之
防作壬戊为甲乙线壬己为
乙丙线壬庚为丙丁线壬
辛为甲丁线今变为直角立
方午子形其底子辰卯癸得甲乙丙丁体三之一而其髙丑子与圆半径等则午子直角立方形与甲乙丙丁全形之所容等也
论曰从壬心与甲乙丙丁各角作直线即分其体为数觚形其面即为觚底而皆以壬心为觚鋭顶此各觚皆以其三分底之一及至鋭高之数为直角立方形皆与觚所容等又并为一形即与甲乙丙丁体等亦与午子等以午子底正得甲乙全形三之一而其高合圆之半径也
浑圆变直角六方形式浑圆如甲乙丙形其心为丁作
甲丁半径线今变为直角立方戊形
在甲丁径及甲乙丙浑圆三之一矩
内则戊形与甲乙丙全形之所容等
也
论曰若言不等谓戊大于浑圆形其较有巳者合以丁为心外作庚辛壬浑圆大于甲乙丙而勿令大于戊第令或等或小以验之而于庚辛壬内试作有法形勿令切甲乙丙圜自丁心至形边各作线则线必长于
甲丁又自丁心至形各角作
直线以分此形为几觚其庚
辛壬法形诸直线为觚底而
线至丁心为觚鋭顶试取
各觚底三之一及丁线之高以作直角立形与觚等则并为大直角立形亦与庚辛壬内之法形等如云以甲丁为髙而以各觚底三之一为直角立形并为大形则必小于前形因显庚辛壬三之一大于甲乙丙三之一而戊形甲丁径及甲乙丙圜三之一内小于庚辛壬体若谓庚辛壬不大于戊形则向庚辛壬内之法形亦大于戊形也而况庚辛壬形乎则戊体不大于甲乙丙可知矣
又论曰戊形小于甲乙丙浑圆体者其较为己试从丁
心再作癸子丑圜小于甲乙
丙而勿令小于戊或大或等
者以騐之于甲乙丙圜内作
有法形不令切癸子丑而从丁至甲乙丙各面为线此线大于丁癸之半径又从丁向法形诸角作直线以分此形为数觚以形之各面为觚底丁心为觚鋭顶而取觚底三之一及底至丁之线以作直角立形与觚等若使以甲丁为高而以各觚三之一为底以作直角立形则其形必高于前形既甲乙丙圜之面大于其内形之面则圜面三之一大于内形面三之一而直角立方形在甲丁高及甲乙丁面三之一因即戊大于甲乙丙之内形矣而云癸子丑圜或等或大于戊岂癸子丑圜大于甲乙丙圜而分大于全乎则戊体不小于甲乙丙又可知矣
相似
通曰形相似而大小不同也相似者可比例也不相似者非比例也
并线并形求与并线形同容式有甲乙丙及丁戊己三
角形二两形相似因并甲丙
丁巳为丁辛一直线于上作
直角方形又并甲乙丁戊为
丁庚乙丙戊巳为庚辛乃并此二线上所作两方形与丁辛线上方形之所容等也
论曰引长丁戊至庚令戊庚与甲乙同度从庚作线与戊己平行又引丁巳长之令相遇于辛从己作己壬线与戊庚平行则巳壬辛之角形与丁戊巳相似而丁戊巳与甲乙丙相似矣何者巳壬辛角与庚角等庚角与丁戊巳角等巳角又与乙角等而辛角与丁巳戊角及两角俱等壬巳辛角与甲角亦等又巳壬边与戊庚相等则亦与甲乙相等而壬辛与乙丙巳辛与甲丙俱相等故丁辛线兼丁巳甲丙之度丁庚线兼丁戊甲乙之度庚辛线兼戊巳乙丙之度庚壬即戊巳也然则丁辛上直角方形与丁庚及庚辛上两直方形并自相等矣通曰此与勾股求相通也丁庚上方形股羃也庚辛上方形勾羃也丁辛上方形羃也羃之内应有勾股二羃也
两形互并求同周式甲乙丙丁两底不等上有甲戊乙丙巳丁三角形二其戊甲戊乙腰与巳丙巳丁腰俱相等若甲乙大于丙丁者则戊角大于巳角而两三角形不相似求于两底上各作三角形相似而两腰各相等其周亦等也其法作庚辛线与甲戊戊乙丙巳巳丁四线并等而分之于壬令庚壬与壬辛之比例若甲乙与丙丁甲乙既大于丙丁则庚壬亦大于壬辛而平分庚壬于癸
平分壬辛于子庚壬与壬辛既若甲乙与丙丁则合之而庚辛之视壬辛若甲乙丙丁并之视丙丁矣夫庚辛并既大于甲乙丙丁并则壬辛大于丙丁而庚壬大于甲乙可知也甲乙庚癸癸壬三线毎二线必大于一线而丙丁壬子子辛亦然令于甲
乙上用庚癸癸壬线作甲丑乙三角形为两腰等而其周在甲戊乙形之外于丙丁上用壬子子辛线作丙寅丁三角形亦两腰等而其周在丙己丁之内则甲丑乙丙寅丁两形自与甲戊乙丙己丁两形同周也
通曰甲丑乙大丙寅丁小甲
戊乙小丙己丁大以大并小
以小并大互并而大小隠矣
两形互并较容式甲丙丙戊大小两底上设有甲乙丙丙丁戊两三角形而甲乙乙丙丙丁丁戊四线俱等令
于两底上依右法别作甲己丙丙
庚戊两形相似而前两三角形并
与之等周则甲己丙丙庚戊相似
之形并其所容大于甲乙丙丙丁
戊不相似之形并也
论曰将甲丙丙戊作一直线而甲丙底大于丙戊底乃从己过乙作己壬线两分甲丙于壬又从丁过庚作丁辛线两分丙戊于辛其甲己乙三角形之甲己己乙两边与乙己丙三角形之己丙己乙两边等而甲乙乙丙两底又等则甲己乙角与丙己乙角亦等又甲己壬三角形之甲己己壬两边与丙己壬三角形之丙己己壬两边等则甲己壬角与丙己壬角等而甲壬壬丙之两底亦等壬之左右皆直角因显丙辛辛戊亦等而辛之左右角亦直角矣次引丁辛至癸令辛癸与丁辛同度而从癸过丙作癸丑直线则丁丙辛三角形之丁辛辛丙两边与辛癸丙三角形之辛癸辛丙两边等而辛之上下角亦等为直角丁丙丙癸两底等而丁丙辛角与癸丙辛角俱等丁丙辛角既大于庚丙辛角而庚丙辛角相似与己丙壬角即相等而丁丙辛即癸丙辛总大于己丙壬其癸丙辛角等于对角之丑丙壬是丑丙壬亦大于己丙壬而引癸丑线当在丙己之外也若夫癸丙丙乙二线涵癸丙乙角向壬试作癸乙线以分壬丙于子而并乙丙丙癸二线必大于癸乙线则己丙丙庚并亦大于乙癸线何也此四形者两两相并为等周则甲乙乙丙丙丁丁戊四线并与甲己己丙丙庚庚戊四线并原相等而减半之乙丙丙丁即乙丙丙癸与己丙丙庚亦相等故也并己丙丙庚二线为一直线就其上作直角方形必大于乙癸线上之直角方形夫己丙丙庚并之直角方形与己壬庚辛并之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形并相等而癸乙上之直角方形与乙壬并辛丁【即辛癸】上直角方形及壬子子辛上直角方形并又自相等【若移置辛癸于乙壬之下移置壬辛为癸线则乙壬辛癸为股壬辛为勾乙癸为矣】此己壬庚辛线并之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形并明大于乙壬丁辛并之直角方形及壬子子辛上之直角方形并也此两率者毎减一壬辛上直角方形则己壬庚辛共线上之直角方形大于乙壬丁辛共线上直角方形矣而己壬庚辛两线并大于乙壬丁辛两线并矣此两率者令一减乙壬一减庚辛则己乙岂不大于丁庚乎壬丙原大于丙辛则己乙与壬丙矩内直角形大于丁庚与辛丙矩内直角形而乙己丙三角形为己乙壬丙矩内直角形之半何者令从壬丙作线与乙己平行而以乙己为底就作直角形此谓己乙壬丙矩内直角形其中积倍于己乙丙三角形反之则己乙丙角形为己乙壬丙矩形之半其丁庚丙三角形亦然乃丁庚及辛丙矩内直角形之半也则己乙丙三角形大于丁庚丙三角形而甲己丙乙甲形为丙乙己三角之倍者亦大于丙丁戊庚丙形为丁庚丙三角之倍者矣此两率者又毎加甲乙丙与丙庚戊之三角形则甲己丙及丙庚戊之两三角形并岂不大于甲乙丙及丙丁戊两三角形并哉其底同其周同四腰俱同则不相似之形并必小于相似之形并也
数度衍卷十
钦定四库全书
数度衍卷十一
桐城 方中通 撰
递加【少广之四】
循次顺加
一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一
超二位加
一 三 五 七 九 十一 十三 此竒数超加也
二 四 六 八 十 十二 十四 此偶数超加也
超三位四位五位加
一 四 七 十 十三 十六 十九 此超三位加也
一 五 九 十三 十七 二十一 此超四位加也
一 六 十一 十六 二十一 二十六 此超五位加也
凡超位加各审其母如超二超三四五以至多位者各以所超之数为母其间少者易知多者难定大率以退位减之余数即母也
截三位较
不论超与不超凡截位较之其前后二位数必倍于中
位数如截一二三并
一三为四即倍二也
截一三五并一五为
六即倍三也截二四六并二六为八即倍四也截二五八并二八为十即倍五也截四八十二并四与十二为十六即倍八也不拘前后随意截较无不合
截四位较
凡截四位较之则前后二位数与中二位数等如截一
二三四并一
四为五并二
三亦五也截
一三五七并
一七为八并三五亦八也截二四六八并二八为十并四六亦十也截二五八十一并二与十一为十三并五八亦十三也截四八十二十六并四与十六为二十并八与十二亦二十也
通曰截竒位者前后并必倍中位数截偶位者前后并必与中二位等葢所截之位自中向外一损一益中一位者无可并而倍矣中二位者无可倍而并矣
截四位逓加逓减较
通曰凡截四位数以中二位相加减后一位数余与前一位数等如截一二三四以二三相并得五减后之一余必前之四也截一三五七以三五相并得八减后之一余必前之七也截二四六八以四六相并得十减后之二余必前之八也截二五八十一以五八相并得十三减后之二余必前之十一也截四八十二十六以八与十二相并得二十减后之四余必前之十六也若减前数余必后数可以互较
超加求积法
凡加数不论超二超三但系逓加者用此
式自一起至十三位得三十七问总积几何曰二百四
十七术除首位一不用以次位
四与末位三十七并得四十一
自四至三十七系十二位即以
十二乘四十一得四百九十二半之得二百四十六即十二位总积再加首位一得二百四十七为十三位总积也
顺加求积法
式下行濶十五问总积几何曰一百二十术取最下二位十四十五相乘得二百一十半之得一百○五即十
四以至首位一之积也再并
末位十五得一百二十为总
积又术以末位十五与下位
十六相乘得二百四十半之得一百二十亦合
通曰相乘得其倍数者
变三角为四角也半之
则仍还三角矣如末位
系七以六七相乘则末
位七在外成甲乙丙方形折半止得六位之积以末位七与下位八相乘则末位七在内成丁戊己方形折半故得七位之积也
顺加异首求积法
首位不系一数或二或三四为首者用此
式首行四下行十四问总积几何曰九十九术以首位
四并末位十四得十八为
实以首位四减末位十四
余一十加一得十一此即位数也以位数十一乘实十八得一百九十八半之得九十九为总积
四面顺加求积法
式四面顺加毎面底濶皆十二问总积几何曰六百五十术置底濶十二另以十二加一为十三乘之得一百五十六又以十二加半为十二五乘之得一千九百五十为实以三除之得六百五十为总积
长濶顺加求积法
式长濶顺加底濶八长十三问总积几何曰三百八十四术以底长十三减底濶八余五折半得二五又加半得三并长十三为十六以濶八乘之得一百二十八另以濶八加一为九乘之得一千一百五十二为实以三除之得三百八十四为总积
通曰四面顺加自一面视之则为顺加以四面合视之则非顺加也其加有二一曰竒数之加一曰自乘之加如顶一加三得四为第二层之积四加五得九为第三层之积九加七得十六为第四层之积总以竒数逐渐加于毎层积上故至十一层应加二十三得一百四十四为第十二层之积此竒数之加也又如一至十二层毎层以自乘数推之首层一自乘仍是一二层二自乘得四三层三自乘得九四层四自乘得十六至十二层十二自乘得一百四十四亦合各层之积此自乘之加也长濶顺加自濶面视之则为顺加自长面视之则为顺加异首而四面合视之其加亦有二一曰逓四加周一曰竒偶加积如异首之首层为五此层加法稍不同先倍五为十又加二得十二为第二层之周此后毎层加四以十二加四得十六为第三层之周十六加四得二十为第四层之周二十加四得二十四为第五层之周如法加至第八层濶八长十二得周三十六此逓四加周也又如首层五加七得十二为第二层之积十二加九得二十一为第三层之积二十一加十一得三十二为第四层之积总以竒数渐加于毎层积上加至第八层得积九十六此竒数加积也若前式濶八长十三首层系六者则偶数加积矣
竒偶超加求积法
竒数超加求积式末位十九问总积几何曰一百术取末位十九外加一得二十半之得十即一至十九之位
数也以位数十自乘得一百
为总积
偶数超加求积式末位二十四问总积几何曰一百五
十六术取末位二十四
减半得十二即位数也
以位数加一为十三以乘位数十二得一百五十六为总积
通曰用前超加求积法亦可
超加求首尾数法
若多中起数超位逓加但知位数及所超母数或知首而不知尾或知尾而不知首者用此
超加求尾数式超八逓加至十二位首位三问尾位数
几何曰尾位数九十一
术于位数十二内减一
存十一与超母八相乘得八十八加首位三得九十一即尾位数
超加求首数式超八逓加至十二位尾位九十一问首位数几何曰首位数三术于位数十二内减一存十一与超母八相乘得八十八以减尾位九十一余三即首位数
积和求位数及首尾二位数法
若但举总数及超数及首尾和数而不知系几位不知首尾二位数者用此
式超六逓加总积三百二十首尾和一百六十问位数
及首尾各几何曰四位首位七十
一尾位八十九术以总积三百二
十为实以首尾和一百六十减半得八十除实得四为位数又以位数减一余三乘超母六得十八为位母率以位母率并首尾和一百六十得一百七十八半之得八十九为尾位数以位母率减首尾和余一百四十二半之得七十一为首位数
积较求首尾二位数法
若但举总数及位数及首尾较数而不知首尾二位数者用此
式超六逓加计六位总积四百九十八首尾之较三十问首尾各几何曰首位六十八尾位九十八术倍总积得九百九十六为实以位数六除之得一百六十六以较三十减之余一百三
十六折半得六十八为首位数以首位数加较三十得九十八为尾位数
超加求逐位细数法
若但知位数总数及超母数而不知毎位细数者用此式超三逓加计六位总积八十七问逐位细数几何曰首位七二位十三位十三四位十六五位十九末位二十一术取位数六除去第六数自一二三四至五并得十五以乘超母三得四十五以减总积八十七余四十二为实以位数六除之
得七为首位数加超母三得十为二位数逓加超母得逐位数
通曰以位数减一位如六位者止用五位以超母三逓加之一位应三二位应六三位应九四位应十二五位应十五乃并此五位应得之数为四十五以减总积余为实亦可
又式兄弟九人逓差三嵗共二百○七嵗问毎人嵗几何曰最小一人十一嵗逐位加三得毎人嵗数术将九人除去一位止作八人自一至八并得三十六乘逓差三得一百○八以减共二百○七余九十九为实以九人除之得一十一为最小一人之嵗数又术通曰以共二百○七嵗为实以九人除之得二十三为居中第五人之嵗数凡竒数如九人者可以用此若系偶数如前式六位者则以总积八十七为实以六位除之得十四五为居中二位率又以超母三折半得一五为母率以母率减中率余十三为第三位之数以母率并中率得十六为第四位之数也
又式银九百九十六两给八人毎人逓差十七两问毎人几何曰最少一人六十五两术将八人除去一人止作七人自一至七并得二十八乘逓差十七得四百七十六以减银九百九十六余五百二十为实以八人除之得六十五为最少一人之银数
通曰九人八人皆位数也差三差十七皆超母也二百○七嵗九百九十六两皆总积也
超加求超母及逐位细数法
若超位逓加但知系几位及前几位共数后几位共数而不知超母及逐位细数者用此
式甲乙丙丁戊己庚辛八位超加甲乙二位共数七十
七己庚辛三位共数六
十六问超母几何逐位
细数几何曰超母三甲位四十辛位十九术以甲乙二位二乘己庚辛共数六十六得一百三十二以己庚辛三位三乘甲乙共数七十七得二百三十一相减余九十九为实又并甲乙位二己庚辛位三为五减半得二五以减总位八余五五以甲乙位二己庚辛位三相乘得六乘之得三十三为法以法除实得三为超母并入甲乙共数七十七得八十减半得四十为甲位数若求己庚辛则三分其己庚辛共数六十六得二十二为居中庚位数减超母三余十九为辛位数自甲向乙推之则逓减超母自辛向庚推之则逓加超母八位细数尽得也 如戊己庚辛四位共数九十四以二分之得四十七即己庚共数并入超母三得五十减半得二十五为己位数也
外包【少广之五】
通曰方者以八包一每层加八即超八逓加也圆者以六包一毎层加六即超六逓加也三角以九包一毎层加九即超九逓加也然其形不同而法又异故専衍之
包方法
外周求积式外周三十二问总积几何曰八十一术除中心一在外以二层八与外周三十二相并得四十又以四十与外周三十二相乘得一千二百八十为实以三层十六为法除之得八十加中心一得八十一为总
积
通曰方径一周四今八包一径三
周八者何也葢四隅之甲乙丙丁
各以两面为一数也若以两面俱作二数则仍是径三周十二矣
积求外周式总积八十一问外周几何曰三十二术去中心一在外余八十以三层十六乘之得一千二百八十为实以二层八【即超母】为纵用带纵开平方除之【详十二卷】得三十二为外周
外周求层式外周三十二问层几何曰除心四层连心五层术以超母八除外周三十二得四即除心之层数也加心一层共五层
外周及层数求积式外周三十二除心四层问总积几何曰八十一术除中心一在外以二层八并外周三十二得四十以四层乘之得一百六十减半得八十加中心一得八十一为总积
包圆法
外周求积式外周三十六问总积几何曰一百二十七术除中心一在外以二层六与外周三十六相并得四十二又以四十二与外周三十六相乘得一千五百一十二为实以三
层十二为法除之得一百二十六加中心一得一百二十七为总积
通曰圆径一周三今六包一径三周六者何也葢其数隐而不见须从径三之外作一大圜切各小圜之边而于大圜之上作
甲乙丙丁戊己六段毎段截大圜周与小圜径等是己得周六矣又测子丑寅卯辰午六空处每一空处得小圜半径应折为三段合甲乙丙丁戊己六段而为九则仍是径三周九也但六包一六角而非圆以此为率亦得其成数也
积求外周式总积一百二十七问外周几何曰三十六术去中心一在外余一百二十六以三层十二乘之得一千五百一十三为实以超母六【即二层】为纵用带纵开平方法除之得三十六为外周
外周求层式外周三十六问层几何曰除心六层连心七层术以超母六除外周三十六得六即除心之层数也加心一层共七层
外周及层数求积式外周三十六除心六层问总积几何曰一百二十七术除中心一在外以二层六并外周三十六得四十二以六层乘之得二百五十二减半得一百二十六加中心一得一百二十七为总积
包三角法
外周求积式外周三十六问总积几何曰九十一术除中心一在外以二层九与外周三十六相并得四十五又以四十五与外周三十六相乘得一千六百二十为实以三层十八为法除之得九十加中心一得九十一为总积
积求外周式总积九十一问外周几何曰三十六术除中心一在外余九十以三层十八乘之得一千六百二十为实以超母九为纵用带纵开平方法除之得三十六为外周
外周求层式外周三十六问层几何曰除心四层连心五层术以超母九除外周三十六得四即除心之层数也加心一层共五层
外周及层数求积式外周三十六除心四层问总积几何曰九十一术除中心一在外以二层九并外周三十六得四十五以四层乘之得一百八十减半得九十加中心一得九十一为总积
通曰方圆三角皆一法也但超母不同耳用前超加求积法亦可
包立方立圆立三角法
通曰立方圆三角之外包非逓加也立方以二十六包一三层则九十八四层则二百一十八立圆以十四包一三层则五十四层则一百一十立三角以三十四包一三层则一百三十四层则三百八十一数不相等故不可以超加论也
立方面求层式立方面九问层几何曰除心四层连心五层术通曰以面九去中心一存八折半得四即除心之层数也加心一为五层毎层一面加二故二数为一层也
立方层求面式立方除心四层问面几何曰九术通曰以四层倍之为八如中心一得九即方面
立方面求外包式立方面九问外包几何曰三百八十
六术通曰用六方算之先推前后以
面九自乘得八十一倍之得一百六
十二为前后包数次推左右以面九
减二【近前之边去一近后之边去一】余七与面九相
乘得六十三倍之得一百二十六为左右包数再推上下以面九减二余七自乘得四十九【左右止去前后之边一故七九相乘上下则左右前后之边各去一故七自乘】倍之得九十八为上下包数并三包数得三百八十六为外包数又术通曰以面九自乘得八十一再乘得七百二十九为全积以面九减二余七自乘得四十九再乘得三百四十三以减全积余三百八十六为外包又术通曰以面九减一余八与面九相乘得七十二四倍之得二百八十八又以面九减二余七自乘得四十九倍之得九十八相并得三百八十六亦合
立圆径层相求式通曰与立方同术毎层一面亦加二故也中心亦作一层
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍,卷十一>
三余六为第三重之周包数减三余三为第二重之周包数顶重止一数并诸包数得三百六十一为总腰包数再并底包数得五百一十四为外包数若用前超加求积法以第十六重之四十五为末位求得积三百六十一即总腰包数也又术通曰立三角凡四面一面为底其三面皆腰今分为左腰右腰后腰以推之如前术既得底包数一百五十三之后即以底十七减一余十六用顺加求积法得积一百三十六为左腰包数又以底十七减二余十五用顺加求积法得积一百二十为右腰包数又以底十七减三余十四用顺加求积法得积一百○五为后腰包数并三腰包数得三百六十一合总腰包数再并底包数得五百一十四亦合外包数也
倍加【少广之六】
二因加
一 二 四 八 十六 三十二 六十四 一百二十八
三因加
一 三 九 二十七 八十一 二百四十三
求倍
倍即母也欲求其母者则取挨身小数于本数中减之以二减尽者倍一也以三减尽者倍二也如三十二挨身小数为十六以十六于三十二中减之两回十六减尽矣知是加一倍数又如八十一挨身小数为二十七以二十七于八十一中减之三回二十七减尽矣知是加二倍数
截三位较
凡截取三位以首尾二位相乘其所得数与中一位之
自乘数等如截二四八以二与
八相乘得十六四自乘亦十六
也如截三九二十七以三与二十七相乘得八十一九自乘亦八十一也
截四位较
以首尾二位相乘其所得数与中二位相乘之数等如截二四八十六以二与十六相乘得三十二四与八相乘亦三十二也如截三九二十七八十一以三与八十
一相乘得二百四十三九
与二十七相乘亦二百四
十三也
位数多者凡偶位歩歩首尾相乘与挨身之中二位相乘等凡竒位歩歩首尾相乘与中一位自乘等
一倍加求积法【一倍者二因也】
式自一起加一倍至末位得六十四问总积几何曰一
百二十七术取尾
六十四倍之得一
百二十八于内减首一余一百二十七即七位总积也用后式之术亦可
二倍加求积法【二倍者三因】也
式自一起加二倍至末位得八十一问总积几何曰一
百二十一术取尾八十一于
内减首一余八十以倍母二
【二倍以二为倍母三倍以三为倍母】除之得四十再并尾八十一得一百二十一为总积
通曰倍母必减其因一数故三因以二为倍母也三倍四倍以至多倍皆同此法惟各用其倍母耳
半倍加求积法
加一倍又二之一者即半倍加即四六衰分也如首位四次位加首位四之半为六也
式自四起半倍加至末位得四十五零十六之九问总积几何曰一百二十八又十六分之十一术取尾四十
五又十六之九内
减首四余四十一
又十六之九以倍
母半数除之【用竒零除法详笔算】得八十三又八之三再并尾数得一百二十八又十六之十一【用竒零加法】为总积
倍加隔位合数法
抽中一位前与后合式凡倍加数不论共有几位但就
中抽取
一位之
数自乘视所抽之位至首几位则自乘之数必与此后几位相同也如抽第五位以十六自乘得二百五十六自首至十六得五位除第五本位则前有四位也其后四位之数必二百五十六矣
通曰以前得四位倍之得八加所抽一位得九则所抽之位数自乘与第九位数同矣
抽中二位前与后合式于多位之中前抽一位后抽一
位相乘则视前抽之位去首
几位后抽之位再去几位其
数必与此相乘之数合也如前抽第二位其数二后抽第四位其数八相乘得十六前抽之位去首一位则后抽之位再去一位其数亦必十六也
倍抽减一前合后式不必算其前后之位但视所抽为
第几位倍其位数减一得后
应合之位则所抽位数自乘
必与后位数合也如抽第三位倍为六减一得五则第三位之四自乗得十六必与第五位之数合也
减位倍抽前合后式先排倍数于右次排位数于左须
除首位不算自次位作一
位排之抽第几位倍之不
必减一即得应合之位则所抽位之自乘必与后位数合也如抽第二位倍为四则第二位之四自乘得十六必与第四位之数合也
减位并抽前合后式抽两位之互乘则并所抽之两位
共为几位即知互乘之数
必与其位数合也如抽第
一位第三位二与八互乘得十六以一位与三位并为四位则第四位之数必十六也【互乘即相乘】以上皆首位起一者
异首减位倍抽及并抽式若首位不自一起或二或三四起者则抽一位抽二位其自乘互乘之数皆先取首位之数除之而后倍位并位以求合数之位也如抽第
二位其数二十自乘得四
百为实以首数五为法除
之得八十再倍第二位为四则第四位之数必八十也
又如抽第一位第三位其
数十与四十互乘得四百
为实以首数五为法除之得八十再并第一位第三位为四则第四位之数必八十也
截位合前积式凡倍一加者【即二因】就中随意截取一位
以其所截位之数
减一即合所截位
以前各位之总积凡自一起者用之如截第七位其数六十四减一得六十三即首位至六位之总积也截位合前后积式如右式六十三为首至六位之总积
若以此六位为主加一得六十四自乘得四千○九十六减一得四千○九十五即首至十二位之总积矣葢以六位为主以前管六位以后亦管六位也即以六加一倍亦得十二位
通曰凡倍一加者随抽一位于其数内减一余必为以前诸位之总积也如抽第三位四减一余三必为以前一位二位之积三也又如抽第四位八减一余七必为以前一位二位三位之积七也故抽第十三位四千○九十六减一余四千○九十五必为以前首至十二位之总积也
又式借银一两毎日加息一倍至第六十四日问共银几何曰一千八百四十四兆六千七百四十四万○七百三十七亿○九百五十五万一千六百一十五两术试截四位曰一曰二曰四曰八共积十五加一为十六自乘得二百五十六内减一余二百五十五即系第八位之积再加一自乘得六万五千五百三十六内减一余六万五千五百三十五即系第十六位之积再加一自乘得四十二亿九千四百九十六万七千二百九十六减一余四十二亿九千四百九十六万七千二百九十五即系第三十二位之积再加一自乘得一千八百四十四兆六千七百四十四万○七百三十七亿○九百五十五万一千六百一十六减一即系第六十四位之积也六十四位即六十四日也
通曰不必加减以第五日之数自乘得第九日之数又自乘得第十七日之数又自乘得第三十三日之数又自乘得第六十五日之数减半为第六十四日之积也葢五日加四而为九日倍四为八故九日加八日而为十七日倍八为十六故十七日加十六日而为三十三日倍十六为三十二故三十三日加三十二日而为六十五日也仿此推之可至无穷均输章有三术更觉简易
数度衍卷十一
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>
钦定四库全书
数度衍卷十二
桐城 方中通 撰
开平方【少广之七】
珠算开平方法
通曰四算中惟尺算不便于开方而珠笔筹法亦不同故分衍之
式横叄百贰十肆问平方一靣几何曰十八术列实于卯辰己下约初商一十置子位亦置未位为方法左右相呼曰一一如一除实一百卯位叄变二余实二百二十四以方法一十倍为二十为亷法变未位一为二约次商八置丑位亦置申位为隅法先左右二八相呼曰二八一十六除实一百六十卯位实尽辰位贰变六余实六十四次左右八八相呼曰八八六十四
除实六十四辰己二位实尽则所商之一十八即方靣也
通曰次商与初商不同须视实内除亷外尚有隅之自乘否如次商八除二八一百六十之外余实尚有六十四可除隅八之自乘故用八若止余六十三则不用八而用七矣
归除开平方式积五万四千七百五十六问平方一靣几何曰二百三十四术置实盘中初商二百置实首左位另置二百于右左右相呼曰二二如四除实四万余实一万四千七百五十六以右二百倍作四百为法归除之呼曰四一二余二逢四进一十得三十为次商置右四百之下呼曰三三如九除实九百余实一千八百五十六又以右下三十倍作六十共四百六十为法归除之呼曰四一二余二逢八进二十得四为三商置右六十之下呼曰四六二十四除实二百四十呼曰四四一十六除实十六实尽变为二百三十四即方面也
笔算开平方法
式积贰千壹百壹十防万捌千肆百○肆问平方一靣几何曰四千六百○二术列实八位从末位肆下作防隔位一防共四知有四回商数也实首防在次位以贰壹相连作二十一者然也应用自乘有几十几数者为商今初商用四注初防下亦纪格右相呼四四一十
六于实贰千壹百内除一千六百
抹去贰壹变伍完首叚矣余实伍
百壹十防万捌千肆百○肆第二
叚实至次止曰伍壹防先立亷
法倍初商四为八注实壹下空次
防一位以待隅法乃商伍十壹内
【作五十一】有六囬八即用六为次商纪初商四右亦注六于次防下为隅法如八十六者然也乃与次商相呼先呼六八除实四百八十抹去伍壹变叄又呼六六除实三十六万抹去叄防变壹完第二叚矣余实壹万捌千肆百○肆第三叚实至三防止曰壹捌肆其格右四六倍作九十二为亷法注九于实壹下二于实捌下空三防一位以待隅法壹内不可除九遇此则知商有○位竟作○于商数四六之右以作第三商完第三叚矣余实如故第四叚实至四防止曰壹捌肆○肆其格右四六○作四百六十倍作九百二十为亷法注九于实捌下二于实肆下○于实○下空四一位以待隅法乃商壹十捌内【作一十八】有二囬九即用二为四商纪商数四六○之右亦注二于四防下为隅法如九千二百○二者然也乃与四商相呼先呼二九除实一万八千抹去壹捌又呼二二除实四百抹去肆又呼二二除实四数抹去肆实尽完四叚矣则格右之四六○二即方面四千六百○二也
通曰初商防在实首者三以前用一八以前用二九则当用三防在实首次位者十五以前用三二十四以前用四三十五以前用五四十八以前用六六十三以前用七八十以前用八九十九以前用九满百则防又在实首矣
用命分式 术倍前商数加一为母余实为子依法命之如设积六十开方初商七除实四十九余实十一今倍前商七作十四加一得十五为母以余实十一为子命曰七又一十五之一十一而缩试并初商及分数自之用竒零整带零与整带零乗法【详笔算下】得二二五之一三四五六以一三四五六为实以二二五为法除去四十九囬二二五余二四三一得四十九又二二五之二四三一也其二四三一之内尚有十囬二二五如亦归整并四十九为五十九又二二五之一八一则不及原积六十矣故曰缩若倍初商不加一为母命为十四之十一试自之得六十又一九六之一四一则又过原积而盈矣举成数可也又术如开方不尽实又欲得其小分则通为小数须于余积之右加两○化一为百也如法开之得根数当命为一十分之几分也或加四○化一为万开得根数命为一千分之几分也如设积六十巳商七不尽实十一欲得其细分于右加六○是十一化为一千一百万也如法开之又得商七四当命为一千分之七十四也
竒零开平方式 术凡开方不尽实用命分第一术又不尽者用盈不足对稽可也如实二十者初商四除实十六余实四依命分法立子母化初商用整带零与整带零乘法得八十一之一千六百以小除大当以八十一除一千六百也除得一十九零八十一之六十一【一千六百内有十九囬八十一余六十一】又不尽者八十一之二十必须另立一法【满八十一则归整一数止得六十一尚余二十】用盈不足对稽如前用四自乘盈四用五自乘又不足五也以不足五对前四又九九之四【前四者初商也九之四者倍初商加一为母九余实为子曰九之四】而以少减多【以五为原数以四又九之四为减数】用竒零整内减整及零法余九乏五乃以前四零九之四倍之为八零九之八并入减余九之五除去整八在外
以九之五与九之八相并用竒零同母加法归整得一
零九之四乃以在外之整八并
入一为九得九零九之四也又
以此九零九之四为除数以前余未尽八十一之二十【余实也】为原数用竒零整带零除零法除得六千八百八十五之一百八十也又
以此除得数与前九之四十相并【九之四十者倍初商四加一共九为母余
实四为子曰九之四又用化法以初商四乘母九得三十六再
并子四得四十是以四零九之四化为九之四十也】用竒
零异母加法子母互乗并母并
子得六万一千九百六十五之二十七万七千○二十也归整以少除多母数少为法除二十七万七干○二十得四尚余二万九千一百六十是为四零六一九六五之二九一六○也约之得十七分之八乃知实二十者开方得四零十七分一之八也
通曰以开方得四化之每一数作十七共化为六十八
又并入八得七十六为平方一面
之数也自乗得五千七百七十六
为方积实二十亦化之每一数作
十七之自乗共化为五千七百八十较之方积则多四也即以初商四后之余实四化为一千一百五十六以二亷及隅较之先并八与十七相乗之数八得一千○八十八又并八自乗共得一千一百五十二又少四也则余实有终不能尽者矣
又术以四开二十不尽今用四零二之一以求之倍初商四得八为母以不尽实四为子曰四零八之四约之
得四零二之一化之得二之九
【以四乗母二得八加子一共九故化为二之九】母子各
自乗得四之八十一归整以母四除子八十一得二十零四之一则实不足矣另置
四之一为实将前四零二之一倍数得九为法除之以九立一为母曰一之九倒位曰九之一与四之一相乗母乗母子乗子得三十
六之一又将三十六之一与前二之九相并两母相乗得共母七十二母子互乗得各子一曰七十二之二一曰七十二之三百二十四又相减于三百二十四内减二余三百二十二是七十二之三百二十二也再以七十二为法除三百二十二归整得四零七十二之三十四约为四零三十六之一十七
筹算开平方法【见前筹算】
平方积较和开法
平方长濶不等者以长濶相乗为实积以长濶相减为较以长濶相并为和
积和求较式积八百六十四长濶和六十问长多濶几何曰十二术以和六十自乗得三千六百四因积得三千四百五十六相减余一百四十四平方开之得一十二为长多于濶之较
通曰积者勾股相乗之直积也此乃积与勾股和求勾股较之法
积较求和式积八百六十四濶不及长十二问长濶和共几何曰六十术四因积得三千四百五十六不及十二自乗得一百四十四相并得三千六百平方开之得六十为长濶和
通曰此乃积与勾股较求勾股和之法衍此二式以起后法
平方积较求濶
积与较求濶者其长之积多于濶若非加法以带除其长当于实积内抽减其长之积故其法有二一以较为纵方并纵入方曰带纵开平方一以较为减积以方乗减曰减积开平方
一带纵开平方法
式直积捌百陆十肆濶不及长壹十贰问濶几何曰二
十四术列实定防以带纵壹十贰随
实首列之初商二纪格右亦列首防
下并纵首壹为三抹二壹而注三相
呼二三除实六首位实捌变二又呼
二贰除实四次位实陆变二完首余实二百二十肆倍初商二为四作亷法列次位实下此退位列也亦退位列带纵以亷四并纵壹为五抹四壹而注五次商四纪格右亦注末防下为隅法以隅四并纵贰为六抹四贰而注六相呼五四除实二十抹首位余实二又呼四六除实二十四次位余实二三位实肆皆抹去实尽所商二四即濶二十四也
又式 术如实贰十叄万○肆百纵防百贰十初商可用四但纵首防并四为十一实首贰叄无四十四可除
遇此须减商作二【三亦多故用二】纪格右亦注
首防下并纵防为九抹二七而注九
相呼二九除实一十八抹贰叄变五
又呼二贰除实四五变四○变六完
首叚余实四万六千肆百倍初商二作四为亷法列实○下又列纵于亷下次商四纪格右亦注次防下为隅法以亷四并纵防为十一抹四防而注一左位又注一【此十也】以隅四并纵贰为六抹四贰而注六乃以次商四呼首一曰一四除实四抹四又呼次一曰一四除实四六变二又呼四六除实二十四二肆皆抹去实尽尚有末防未开当于格右纪○以作三商则知直方濶二百四十长九百六十也
通曰以濶并纵得长也
又式 术若实数首位寡而带纵数多不能开者虽防在首位亦退一位列商纵而减一商也如实壹万陆千壹百贰十捌带纵防十贰数多即减一商【三防止两商也】退列纵于次防下起初商九纪格右亦注次防下并纵防为十六抹九防而注六左位注一相呼一九除实九抹
首壹陆变七又呼六九除实五十
四七变一壹变七又呼贰九除实
一十八七变五贰变四完首倍
九得一十八为亷法列之退列纵
次商六纪格右亦注末防下为隅法以亷八并纵防为十五抹八防而注五左位进一并亷一为二以隅六并纵贰为八如法呼除实尽得濶九十六长一百六十八又式 术其实首数多带纵数少可以开除者仍照所防叚位开之如实叄万捌千肆百带纵贰百首位叄自为一叚初商一纪格右注首位下并纵贰为三呼一三除实叄完首倍一作二为亷注次位并纵贰为四次商二纪右注次防下为隅呼除实尽尚剩一防未开商后加一○得濶
一百二十长三百二十
又式 术若防开位少而带纵位反多【加三防该百而带纵至千之类】以初商置首防下以带纵大数进左列之【必首叚系二位者方有此例】如实壹十玖万捌千带纵壹千伍百叄十遇此则列纵亦须以百随百而进千矣初商一纪右注首防下
次纵伍当随一下列之【初商一百也次纵伍亦百
也】首纵壹进列首位下以初商一并
纵伍为六先与纵壹呼一壹除实壹
再呼一六除实六再呼一三除实三
完首倍初商一作二为亷注三位实下带纵壹退从次位起列伍于亷二下并为七次商二纪右注次防下并纵叁为五依法与次商呼除又加一○得濶一百二十长一千六百五十
又式 术带纵并商数有共一十者进位再并可也如
实防万贰千纵肆百捌十防在
首位初商一纪右注首防下纵
首随列以一并纵肆为五呼除
毕余实一万四千倍初商作二为亷注次位纵亦次列并二肆为六次商二纪右注次防下先呼二六除十二首位余实一抹去次位余四变二然后以商二为隅者并纵八为一十进位注一本位注○乃呼一二除二实尽又加一○得濶一百二十长六百
通曰旣列次商带纵先以亷二并纵肆为六又以隅二并纵捌为一十进一于所并六下以一六并为七然后以次商二与七相呼二七除一十四抺首位余实一次位余实四亦便
又式 术若实数纵数商数俱多者襍糅易淆务须先将带并之数逐一归并各注本位之下乃以呼除始不
紊乱如实壹十陆万
陆千肆百陆十肆纵
壹千○捌十捌初商
一纪右注初防下三
防知初商系百位以纵百位○随列初商下列纵壹千于进位初商一与纵○无并仍是一先以右一与纵壹呼一壹除一又以右一与商一呼一一除一又以右一与纵捌呼一捌除八又以右一与纵尾捌呼一捌除八完首余实四万七千六百陆十肆倍初商得二为亷注三位实下退列纵数以相并亷二与纵○无并仍是二次商三纪右注次防下并纵捌为一十一改三捌为一进位○下注一又改二○一为三并毕须以最下横列之壹三一捌为主皆与右三相呼除实也除毕完次叚余实八千一百二十肆倍前商一三作二十六为亷空末防位以待隅注而以六注第五位实下二注第四位实下退列纵数以相并先以亷六并纵捌得一十四注四于捌下进位注一又以亷首二并所进一得三改二○一为三三商六纪右注末防下并纵末捌得一十四改六捌为四进位四加一改作五并毕以最下横列之壹三五四为主皆与右六相呼除实也除毕实尽得濶一百三十六长一千二百二十四
通曰凡图最上为余实最下为并纵并纵者并亷隅纵为开方之法数也右七式用前积较求和之法得和减纵半之即濶然其变不可不知耳求长亦然
二减积开平方法
减积者于实内减股之积以就其方也【股即长也】式直积捌百陆十肆濶不及长壹十贰问濶几何曰二
十四术列实防位另将不及壹
十贰为减积以商数乗之而列
乗数初商二纪右注首防下乗
减积得贰十肆随位列之相对减原积首位实捌减贰余六次位实陆减肆余二余实六百二十肆然后以初商呼除二二除四首位余实六变二完首叚余实二百二十肆倍初商二得四为亷注次位实下次商四纪右注末防下为隅以隅乗减积得肆十捌亦随位列之相对减余实首次两位余实二十二减肆首位二变一次位二变八次三両位余实八十肆减捌次位八变七三位肆变六共余实一百七十六然后以次商与亷隅呼除四四除一十六抺首位余实一次位七变一又呼四四除一十六抺次位一三位六实尽得濶二十四通曰凡定商数须减积后余实视有商数之自乗否勿以原实定商也初商列初防下初乗首数亦随初防下列之二叚亷退初商一位则次乗亦退一位也
平方积较求长
积与较求长者其濶之积少于长若非益积以补濶则当损其法之长也求法有二以较为负纵乗上商以添积曰负纵益积开平方以较为减纵而以负纵减方法曰带减纵开平方
一负纵益积开平方法
式直积捌百陆十肆濶不及长壹十贰问长几何曰三
十六术列实防位另列不及壹
十二为负纵而初商则约所増
负纵之乗商之如首位捌开法
宜用二因有负纵之乗乃商三
纪右注首位下为方法而以乗负纵得叄十陆注叄于首位陆于次位以并原积捌陆【作八十六】得一二二【作一百二十二】次位陆变二首位捌变二进位置一【实首左位】益积得一千二百二十肆乃以方法呼除三三除九完首叚余实三百二十肆倍三作六为亷注次位次商六纪右以乗负纵得防十贰退位列之【退初乗位】以并余积三二肆【作三百二十四】得三百九十六末位肆变六次位二变九另置一算为负隅以次商六乗之仍得六为隅法乃以次商呼除六六除三十六又呼六六除三十六实尽得长三十六
通曰甲戊己丁形原积八
百六十四也戊乙丙己形
益积四百三十二也甲戊
濶二十四甲乙长三十六
戊乙乃长濶之较十二合成甲乙丙丁形乃股羃也股
即长也初商三十自乗得九百
二亷濶六长三十又各相乗得
一百八十隅六自乗得三十六
又式 术直积贰十叄万○肆
百长濶较防百贰十列实防位
列较为负纵初商九【九百】纪右注
首防下为方法以乗负纵得陆
肆捌【六万四千八百】以益积随首列之共加得实为八七八肆○○以方法呼九九除八十一完首叚余实六八肆○○倍九得一十八为亷注八于次防之进位注一于首防下次商六【六十】亦乗负纵得肆叄贰【四千三百二十】以益余积退位列之共加得余实为一一一六○○又以次商六乗负隅一仍得六注本叚防下为隅法乃呼一六除六六八除四十八六六除三十六实尽尚余一防作○得长九百六十
二带减纵开平方法
式直积捌百陆十肆濶不及长壹十贰问长几何曰三十六术列实另列不及壹十贰为负纵初商三【三十】纪右以负纵减之余一十八挨注首防下为方法先呼三八除二十四八上陆变二进位捌变六后呼一三
除三一上六变三【先呼一三亦可】余实三百二十肆乃于另列初商三右加○【作三十】以并方法得四十八为亷注次位次商六纪右注末防下为隅而并入亷内得五十四六八并改四进位四改五乃呼次商五六除三十四六除二十四实尽得长三十六 若商数减后首位多于实首亦照例退位
通曰初商三十减纵得十八相乗除积五百四十次商六并方法为亷四十八【二亷共长四十八也】相乗除积二百八十八隅六自乗除
积三十六
又式有两方共积若干第云以小方之一靣乗大方之一面共若干问两方面各几何者如大小二方共积六千五百二十九以小方大方各一边相乗得叄千壹百贰十先倍两方乗积得六千二百四十以减共积余二百八十九平方开之得较壹十防乃列二方乗数为实以较为负纵初商六【六十】纪右以负纵减之余四十三注初防下为方法呼初商四六除二十四三六除
一十八余实五百四十又于初商六右加○【作六十】以并方法得一百○三为亷注下【以末三齐次防止】次商五纪右注尾防为隅并入亷内共一百○八乃呼次商一五除五五八除四十实尽得大方面六十五以较一十七减之得小方面四十八
通曰甲乙丙丁大方形也丁壬戊癸小方形也以丙丁边乗丁癸边得丙丁癸己形倍之得庚辛己癸形以减共积乙壬戊癸甲磬折形则以丙壬戊己形补甲子丑庚形而
后减之余乙子丑辛形为较羃也甲乙六十五减甲子四十八余乙子一十七