新法算书卷二十七

新法算书卷二十七

　　新法算书卷二十七

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>

　　钦定四库全书

　　新法算书卷二十八　　　明　徐光启等　撰月离厯指卷一

　　步七政次月离者何也曰其故有六月与日视体相若虽偕恒星五纬同借日光而独能继照古今以之配日称为二曜则尊于诸星一也太阳以定春夏秋冬而成嵗太阴以定晦朔望而成月嵗与月错综损益厯法兴焉以知天时以授民事二也日食于定朔月食于定望恒用日躔月离诸行以求食分加时日食之繁倍于月食其三视差皆从月生三也太阳五纬恒星渐次髙逺差数渐微大小髙下难可遽得惟月去人最近差数为大易见易测故测候诸曜皆用月差较量繇显入微悉能推见四也日与星不并见欲测太阳躔度距某星几何无法可得古法于昼时测日月之距至夜测月星之距并之得日星之距五也大圜之中百昌庶物生长之縁有二日以暄之月以润之诸风云雨露霜雪等皆系于月其在物也各有盈虚消息亦系月之亏复进退其与太阳经纬诸星或防或冲或三合四合六合各有顺逆承制之理测候推算之法医家借此以工治疗农家借此以爰稼穑商贾借此以行舟泛海六也【上五则有关厯学者书中略已论述后一则各有本学兹不备着】有此诸端故推步之法宜求宻合而欲求宻合政复未易如日躔之行止有三种月离则有七种参错之中欲求齐一非明理无以立法非立法无以致用其曲折繁细十倍日躔矣乃胜国至今此学湮废星官家徒旧法若求其立法之原与乖违之故即无片言只字可资考证好学者偶一测验偶一致思便欲轻言改作不复究本来之条贯求目前之徴实计后世之变迁譬如勺水于河曷甞遡源于星海穷委于归墟者哉今据西法译该厯指四卷阐理着数似觉井然厯表四卷条画分明以步月离经纬度比于旧法可省工力三分之二以步交食可省四分之三其为宻近似复胜之且令数百年后据兹义指得以改宪求合焉谨论列如左

　　月离各种行度第一

　　月离行度与日躔异日躔恒依黄道其行度三而已随宗动天西行一也自行二也最髙行三也若月离则有七种行度如左

　　一曰随行随行者自东而西依宗动天一日一周七政恒星共繇之其起算之界为子正初防或午正初防与太阳同

　　二曰平行【一名本行】平行者月之本天自西而东日平行一十三度有竒二十七日有竒而行天一周其界有二一以太阳为界从合朔起算每日去离太阳若干度分以命太隂之本行度分累积之一以宫次节气为界【宫次如降娄大梁等节气如春分秋分等】从各初防起算每日去离若干以命太隂之本行度分累积之此行谓之交周满一周为交终其初交曰正交其次交曰中交其行各及半曰正半交曰中半交　其两界命两种行度分异名同理详下方

　　三曰自行【一名本轮旧名小轮也因小轮非一故改名之】自行者太隂之行不平不顺有时疾有时迟既尔纷纭无凭布度古厯因想近月四周有一本轮太隂既随本天循交道【即白道】东行【右旋】又依此轮自东而西【左旋】一日行十三度有竒二十七日有竒而行轮一周此亦平行也而与交道平行参错不一所以下土视之时疾时迟矣因其疾迟以别于交道之行故彼名平行此名自行也既曰周行本轮则疾时与交行相合迟时与交行相背亦宜如五纬之法有逆行度分此独言迟不言逆者月行甚疾但见其迟不见其逆也此周谓之转周满一周为转终分四象限首限曰正转二限曰正半转亦曰本轮之最髙三限曰中转四限曰中半转亦曰本轮之最庳曰最髙冲【或省日髙冲】行最髙极迟行最庳极疾也【最髙最庳之一周又名不同心圏其与本轮异名同理详见下方】

　　四曰次轮次轮者太隂之最髙既依白道行则月离最髙时其距地心之逺近宜等迨测之则时时不等古厯又想本轮之周复有一次轮循本轮左旋月在次轮之上循周右旋也此法古厯所未有以意命之其行次轮一周名为次转终也四分之则为小四象第一名正初象第二名正半象第三名中初象第四名中半象也

　　五曰交行交行者从测见太隂行白道【古法月有九行殊谬元授时厯废不用独言白道交周是也一名月道】出入黄道约五度有竒不行黄道中线【何名黄道中线七政恒星皆循黄道行而六曜皆有出入如太白最逺出入约六度故黄道左右广十二度名为黄道带而太阳独行其最中故名中线也黄道一名躔道】而两交于中线两交之防一名正交【亦曰罗防】一名中交【亦曰计都】两交之行自东而西与他行异亦名罗计行度也

　　六曰又次轮古来无有也万厯间西史第谷测极宻得太隂行两小轮【其一本轮其一次轮】其各两半时【两小轮各有正半中半】之两均数与实测之度分往往未合故知次轮而外当有又次一轮此之为数微眇难分其于厯法未关损益故无暇及也

　　七曰面轮面轮者太隂既依本轮又依次轮各周行即月面宜恒向次轮心下土所见时时旋转须当不一若之何终古恒如是故当复有本行使面恒下向也此亦未关疎密不复备着

　　测月平行度第二

　　测月之法于七政为最难其故有六

　　其一月天最小距地甚近即地球与其本天有小大之比例乃测器之心不居地心而居地面则所得月轨髙乃地面之视髙非地心之实髙也【此在日躔厯指谓之地半径差】

　　其二有地球与月天之比例乃可推地半径差既得地半径差乃以加所测之髙定其实髙不先得此无縁得彼

　　其三凡得各曜之髙必减清之髙以定实髙各曜之差髙下不等测月者未知距地若干即无差数可减所测髙则非实髙

　　其四月体恒亏缺不全若用太阳法令其光过窥表即虚淡难见光体不圆亦无从得其中心之光若目察窥表见月体不全无从测其心

　　其五若测以地平经纬仪或黄赤道经纬仪纵得其经纬度分又以三视差故测得之数无一合者【三视差见交食厯指】

　　其六依测日星法以恒星测验推算而得其经纬度似可用亦因三视差故无一合者

　　然则何如按西厯古今法则月离度分必于月食时简知之晋史姜岌亦以月食冲简知太阳所在不知考太阳之躔度易考太隂之离度难而姜倒用之两率皆疎矣今法于月食时推太阳之经度其对冲即太隂之经度【考大阳经度法见日躔表一卷】若日食则不可用何故日食时因于视差是生中食实食视食【中食者两平行所得平朔也实食者加减平朔而得地月日三心防直定朔也视食者加减定朔而得其加时先后此地此时人目所见也】随地随时都无定率故

　　右法任用一月食皆足简知行度若求月平行率则用前后两防食取中积平分之其法与日平行相似而难易迥别何者月或全食或不全食或食于南或食于北或于迟限食或于疾限食各各不等顾须求其相等一不等即所得非真率也然两食犹为未足宜精择所宜用之四防食防互稽求以定月厯今详论其法如左

　　夫月不平行古今治厯者之公言也欲求平行之率必用择食之法欲明择食之理先解不平行之理其征有二

　　其一初日测太隂过子午圏注定时刻【定时法测星第一水漏自鸣钟等器次之】次日测过子午定时刻如之第三第四日复测皆如之次取各日所注时刻较之必一一不等知其非平行若平行者宜一一等也如一周三百六十平度初日行一百刻次日亦行一周而得一百刻有竒或九十九刻有竒多寡不等其厯时多者必行迟也厯时寡者必行疾也

　　其二取月食三事各以其中积时相减必有多寡知其非平行　如西测食略所记天啓三年癸亥九月望月食食甚在戌初初刻○五分【日九十六刻刻十五分下仿此】日躔夀星宫一十四度四十一分月离降娄宫度分同　又记天啓四年甲子二月望月食食甚在丑初三刻○三分日躔降娄宫一十四度二十九分月离夀星同　又记本年八月望月食食甚在寅初二刻○四分三十九秒日躔夀星宫三度五十五分五十三秒月离降娄同　推得先两食中积时为一百七十八日二十六刻十三分太阳行一百八十度一十二分一十一秒太隂行满六交防置中积【一百七十八日二十七刻○一分】六为法而一得二十九日六十八刻○七分四十三秒五十○微为一防望策后两食中积时为一百七十六日○七刻一十二分三十九秒太阳行一百六十九度二十七分○四秒太隂行满六交防置中积六而一得二十九日三十一刻○二分一十三秒三十○微为一防望防　右前后两防望策不等差三十七刻余前六防积分多必行迟后六防积分少必行疾又前两食间太阳行经度与后两食间不等其较一十度四十六分○七秒而积分之较仅二百二十○刻八十七分八十○秒经度积时多寡不等足征非平行也

　　右二则皆不平行之征也所以然者其縁又有三三縁者其二在月其一不在月不在月者日躔经度是也前论以月食简知月离经度谓食甚时二曜经度正相对也然日躔自有赢缩自非恒平何能定月离之平何者日躔有最髙最庳其去地也时近时逺是生地景【一名闇虚】时大时小时长时短若日躔最髙其景则长则大月之过景加时则多日躔最庳其景则短则小月之过景加时则少此第一差之縁也二在月者一为月转迟疾也月行迟限则过景时多月行疾限则过景时少此第二差之縁也一为月转最髙最庳也在最髙月体小又入于小景则过时少在最庳月体大又入于大景则过时多此第三差之縁也

　　是故厯家设择食之法择者导择也去其不齐之緑以求其齐也不齐之縁第一在日躔经度或在赢或在缩则择食之第一法宜择两食之日躔经度所在等既免此縁则余二縁在月之本行本轮日无与也

　　如图甲为地球乙日体在最庳从乙发光地景则短丙日体在最髙从丙发光地景则长月循戊丁本轮行如在丁近地过丁小景又在戊逺地过戊小景而此二小景等则何从知月在其最髙戊乎或者其最庳丁乎惟先知日躔所在在其最庳景宜短或不至戊或至戊宜更小所见小景者丁也而月离在其最庳也日在其最髙景宜长过月之最庳宜作己庚大景而所见小景者戊也则月离在其最髙也故两食之太阳髙庳等则景大小等可免第一差之縁也夫景之末地之心太阳之心三者恒相对也地景之行度分即太阳之行度分太阳之髙庳两食不等即行度之迟疾不等而景之行度迟疾亦不等若髙庳等则两行之迟疾皆等

　　是故前后两防望皆全食又两食之黄道同度【差自分秒以上至一二度无害】即两景之大小等两过景之加时等又得其月

　　离之距地心等即其本轮之转分所至亦等【转分之所至等者距地之逺近等也然月在本轮之最髙庳则其逺其近一而已若在正转中转则距地之逺近虽等而在左在右未定也法见下文　本论或用不同心圏其理则一】

　　其择食之第二法即两食之月距地心等也若同在本轮之最髙或最庳不论左右若欲定其左右则以恒星经度测之若两食之经度等加时等即其或在左或在右亦等　既得月转分之所在等即可测食前月体之径若径等即其距地必等【测月体有本法本论见后篇】可免第二三差之縁也

　　如上言欲求月平行率必用各率均齐之前后两食欲得此前后食必考于古之记今考二十一史各天文志大都有年月日而无时刻分秒经纬度数将于何取之不得已借西厯防通用之又考古至百千年以上若用朝代年号纷纶不齐若用甲子细碎无纪故近古有虚立积年略如章蔀纪元法以十九年为一章二十八章为一袠十五袠为一总一总者四百二十○章七千九百八十○年也每年为三百六十五日四分日之一每四年加一日为三百六十六日【说见厯指一卷】今用此推算通以厯代纪年则为法超简仍不妨符合矣崇祯元年为总期六千三百四十一年

　　总期之四千二百八十六年为周考王十四年癸丑西史黙冬推定十九年而太隂满自行本轮之周复与太阳同度【每年三百六十五日四分日之一为月二百三十五】是为章嵗汉史所谓月行之终复防于端也西厯谓之金数用以求月之日【求月之日者于太阳月之某日求太隂之日数法以十九数及通闰数测之别有本论】崇祯元年为章嵗之第十四通闰得二十四日也【西数】虽然尚未能确见分齐如汉人以章月平分推太隂各日平行为十三度十九分度之七后世讥其疎漏因而代代改率然不于千数百年间详考天行得其决定均齐之数未免揣摩影响西史依巴谷用实法考验定为三百四十五平年又八十二日四刻【平年者古法三百六十五日无余分】或一十二万六千○○七日四刻实两交食各率齐同之距也于时交防转终皆复其始【交防者太隂距太阳之行或太隂距节气之行满一周为定望也转终者太隂之本轮自行度亦满周而复其故处也】计其中积凡为交防者四千二百六十七为转终者四千五百七十三

　　以中积分【一十二万六千○○七日四刻】为实交防数【四千二百六十七】为法而一得防望防二十九日三十一分五十○秒○八微二十○纎【古西法以六十分为一日】或二十九日五十○刻一十四分○三秒【今西法】通率为二十九日六时【日十二时】三刻【毎时八刻】○五分九十○秒二十七微

　　求日平行分以天周【三百六十度】为实防望防为法而一得一十二度一十一分二十六秒四十一微二十○纎一十八芒为太隂一日平行距太阳之度也【日有平日有用日见日躔厯指】倍之得二日三倍之得三日可列表【如别卷　距太阳平行分以合太阳日平行分当加以合罗计日行分当减】

　　求通闰以平年日为实日行平分为法而一得四千四百四十九度三十七分二十一秒二十八微二十九纎除满十二交防【一年十二月】外余一百二十九度三十七分有竒为一平年【三百六十五日】之通闰约得为十日有竒也中通闰是嵗实与十二朔之较西通闰是平年与十二朔之较【年无小余】以平年通闰加小余得中通闰

　　求刻平行分以日平行为实九十六刻为法而一得一刻平行分秒【见本表】

　　求交分【即太隂黄道上之日行度满一周】置太隂日平行分加太阳日平行五十九分○八秒一十七微一十三纎一十三芒三十一末【古测之数】得一十三度一十○分三十四秒五十八微三十三纎三十○芒三十一末用乘法得十日百日乃至一年得四千八百○九度二十三分○三秒一十九微用除法得一刻一分秒之平行率以满天周得二十七日三十○刻一十二分○五秒是为交中分

　　求转分【即太隂本圏之最髙行满一周】置前中积【一十二万六千○○七日四刻】为实以转数【四千五百七十三】为法而一得二十七日五十二刻一十一分五十○秒为转终分又以天周【三百六十度】为实转终分为法而一得一日之转分一十三度○三分五十三秒五十六微一十七纎五十一芒五十九末用乘法得十日百日乃至一年得四千七百六十八度或约十三转外余八十八度四十三分○七秒四十五微用除法得一刻一分秒之转率可立表

　　测月平行次论第三

　　法用太隂四防食其择法欲前两防之中积平行度中积日其比例与后两防之比例等又第一与第二月行本轮同势【势者迟疾最髙庳等同者俱在小轮一象限内】第三与第四亦然又第一与第二之中积实行度等第三与第四亦然若是则前两防后两防两中积间月在本轮必各满自行之周【如是均齐乃得实平行度分】

　　解曰如图已为地心丙丁乙戊为小轮乙为最髙丙为最髙冲【即最庳】己丁己戊为两切线【凡月在戊在丁其变行之势亦借名为留

　　段葢月行甚速留时絶少仅一瞬耳

　　然迟疾之间度分难测故借名为留

　　段也】

　　从乙丙分小轮为四象限各象有变形之势【如在最髙乙为极迟最庳丙为极疾丁戊为留详见下方】假令简得第一防时月在辛第二防在同象限【同在乙丁象限内如同类之行】如庚第三防在他象限如壬第四在同象限【同在乙戊象限内为同类之行】如癸即不可用何者上法言所求同行同类同时者必庚所至亦在辛癸所至亦在壬若如图庚与辛癸与壬各去离若干虽以同时故同行辛庚弧【前两防之差】与壬癸弧【后两防之差】必等然一弧之均数用加一弧之均数用减其时【平行】与行【视行】不得相等【两弧等者其自行虽等而视行不等】故法言庚防必仍在辛癸防必仍在壬而后为月满自行之全周

　　系凡简防食不当在戊与丁两切线之上葢目在己巳丁巳戊两视线切圏其所切之处难辨其髙下之准分也【视法曰凡斜望圆圏圏作一直线又曰视线切圆圏之两旁人目谬见曲线为直线其谬直线中间有上行下行者虽动而目视之若不动】

　　此古法依巴谷等所共用其书不全所用四防食之行度时日等各率皆无故略举其正法如右方测正中交行度第四

　　正中交者黄白二道之两交也正交亦曰罗防亦曰天首亦曰隂厯初阳厯末西厯谓之龙头中交亦曰计都亦曰天尾亦曰阳厯初隂厯末西厯谓之龙尾月行及于黄道曰交月本圏之自行度曰转而转终分多于交终分故转满一周交终未及恒居其后交不及转之度即两交退行之度故谓两交为逆行也【自东而西】测法亦用交食而考古无不能得其真率西史依巴谷如前法用两月食择其前后各率均齐如太隂或同在隂厯同在阳厯太阳之自行同度去两交之两防或前或后同限食分等加时等即太隂之转分所至等因以定两交行天若干周而复于故处其原测之中积为交会五千四百五十八两交行天周为五千九百二十三

　　置中积防数【五千四百五十八】以防望防【二十九日五十○刻一十四分○三秒】乘之得一十六万一千一百七十七日五十八分【西古六十分为一日】五十八秒○三微二十五纎为中积日次以中积防数乘天周【三百六十度】得二百一十三万二千二百八十○度为实以中积日为法而一得一十三度一十三分四十五秒三十九微四十八纎五十六芒三十七末是太隂距交一日行度

　　次于两交日行度去减太隂黄道上行度【即平行分日十三度一十分三十四秒五十九微】得两交逆行日三分一十一秒毎年行一十九度○一十九秒四十三微用乘法得积年度用除法得时刻度列表【如别卷】

　　以上诸率皆依巴谷古测所定后多禄某歌白尼及第谷各加宻测仍用试法数端推得合防之数每年不足为一十四分一十八秒一十○微一十九纎应加转终分毎年盈为五十四微一十二纎应减交行每年盈为一秒二微四十二纎应减

　　今新厯表所用率

　　朔实二十九日五十○刻一十四分○三秒○九微通得二十九日五十三刻○六分九十二秒

　　转终二十七日五十三刻○五分二十五秒一十四微通得二十七日五十五刻五十八分四十七秒四十九微

　　交终二十七日二十○刻○五分三十三秒四十八微通得二十七日二十一刻二十一分九十六秒七十四微

　　依上三数本法可得大统所用别率及其异同之数通论七政本轮异名同理第五

　　日躔厯指论太阳赢缩疾迟之理设太阳所行之道与地为不同心圏今论月行亦用不同心圏亦用小轮此二者异名同理葢借以分布度数指记运行随人所立期于不爽而止若大象森罗其孰然孰不然或皆不然则非智计所能测也今略解如左

　　不同心者一圏之内别函一

　　圏两各异心也若圏周之上

　　任用一防为心别作小圏则

　　为小轮如图甲乙圏内别有丙丁圏戊巳不同心又庚辛壬圏周以辛为心作癸子圏是谓小轮

　　解曰日躔厯既言不同心【赢缩今古共知言不同心近而易明】月离厯又

　　言小轮【回回厯已着小轮之目因仍用之】且诸厯中或

　　复错出故宜诠释同异以絶疑端此法

　　七政所同今借太阳为解他可类推也

　　按日行夏迟冬疾春分过夏至迄秋分厯时日多秋分过冬至迄春分厯时日少何故若以不同心圏解之作甲乙丙丁外圏戊为心分黄道十二宫为天元宫次又以已为心作庚壬辛癸圏次从降娄夀星各初度相对作直线必过地心戊而任分庚辛壬癸圏为二必上为大半下为小半己心在戊心之上故也日平行一嵗尽庚壬辛癸圏即夏半周【夏至左右春分迄秋分】庚壬辛为大分冬半周【冬至左右秋分迄春分】辛癸庚为小分大分厯时多小分厯时少日自恒平行人从地心戊视之则为赢缩迟疾矣若用小轮则如左图戊为地心甲乙丙丁大圏名负小轮圏【或日带小轮】其周上乙防为心作小轮如丁为心己庚为周也小轮从丁向甲乙丙行一年而复日体亦行小

　　轮周一年而复【复者复于故处】置日体

　　在最庳巳小轮心丁循大圏行

　　四十五度至壬日从己行小轮

　　四十五度至庚次丁心行大圏

　　九十度至甲日行小周亦九十

　　度至寅丁心至癸日至子心至乙日至丑心至午日至夘心至丙日至辰心至申日至未心回丁日回己日在小轮周上行成己庚寅子丑夘辰未圏即是不同心之圏其心为酉而酉戊两心相距之度即小圏之半径

　　又如上一图用不同心圏午为日从地

　　心戊本圏心酉各作线至午成戊酉午

　　三角形如二图用小轮子为日子癸为

　　小轮半径从地心戊作戊子线成戊子

　　癸三角形其戊酉午形与戊癸子等戊

　　酉与子癸等子丑弧与午乙等【圈大小不等而

　　度分等】即子癸丑角与乙酉午角等其余

　　角午酉戊与子癸戊亦等戊午戊子两边等【日距地心之度等故】则戊酉午与子癸戊两形等形等则所求之日距地心若干太阳平行自行之差日体大小之类或用不同心圏或用小轮其得数同也

　　测定本轮之大小逺近及其加减差第六

　　【借西古史多禄某及近世歌白泥之论】

　　法用三防食测算【此多禄某所用】

　　第一食总期之四千八百四十六年为汉顺帝阳嘉二年癸酉五月【西厯之月今三月】初六日子正后【顺天府时刻】一十八刻○十分月全食日躔大梁宫一十三分一十四分其平行一十二度二十一分

　　第二食四千八百四十七年为阳嘉三年甲戌十月【建戌之月】二十四日子正后【顺天府】一十七刻○十分月食十二分之十在黄道南日躔夀星宫二十五度○十分其平行二十六度四十三分

　　第三食四千八百四十九年为永和元年丙子三月【建寅之月或建夘】初六日子正后三十七刻○五分【顺天府为在昼不见】月食十二分之六在黄道南日躔娵訾宫一十四度一十二分其平行为一十一度一十四分

　　前二防中积

　　太阳太隂两视行皆为一百六十一度五十五分【各减全周】是为黄道上两防相距之度

　　积日为五百三十一日九十三刻若平日为九十三刻○七分

　　于时月平行距日为一百六十九度三十七分

　　月自行为一百一十○度二十一分【本轮行度】

　　视平两行之较得七度四十二分以为加减率【平行大视行小用减法为月自行过小轮或不同心圏之最髙　在最髙逆行故】

　　后二防中积

　　太阳太隂两视行皆为一百三十八度五十五分是为黄道上两防相距之度

　　积日为五百○二日二十○刻若平日为二十二刻于时月平行距日为一百三十七度三十三分

　　月自行为八十一度三十六分

　　视平两行之较得一度二十一分以为加减率【平行小视行大用加法为月未至最髙】

　　大图说　外大圏白道也小圈为太隂之本轮第一防月之视行在子平行【小轮心在丁庚丑线】在丑【视行大必在前】第二防月之

　　【视行　　　　　　　　在午平行在丑第三防月视行在未平行大必在前小

　　轮上　　　　　　　　防一防月　在甲第二防在乙第】

　　【三在　丙甲乙丙三防以后】

　　小图说【即前大图中之小轮分图】此借古史成法用二小轮【一为本轮一为次轮】以齐月行似为足矣别有诸家异同之说更仆难罄未能悉举

　　如图以地心

　　丁为心作午

　　未丑子黄道

　　弧【大图言白道者度分相若互言之】庚为小轮心依黄道自西而东【右旋】二十七日有竒而一周天此为交周日行十三度一十分有竒太隂日平行度也月体在小轮【即本轮】之上从甲向乙【左旋】二十七日有竒而一周本轮此转周也日行十三度三分有竒太隂日转自行度也【小轮亦分三百六十度与周天等说见本篇第五　所谓月体在小轮之上者乃朔望之时也其外非在此见下文】

　　依上法列平行立成表取小轮心行度推某日太隂在某宫某度分即丁庚丑线所指黄道度分也又用测法或防食时推算求太隂所躔宫度得丁乙午丁戊甲子等线定丑丁午丑丁子等角即两行之差也以为加减之率如大图三防食第一食月在甲去甲一百一十度【两防自行相距之度】而至乙乙者第二防食之月离度也【甲乙之间平行多视行少则乙在小轮之右又乙行迟段故月在小轮之上弧】推得两防中积视行平行

　　之差为七度

　　四十二分即

　　黄道上子午

　　也又去乙八十一度二十一分而至丙【乙丙之间视行与平行差少故丙亦在小轮之右又丙行疾段则在小轮之下】推得两防两行之差为一度二十一分即黄道上午未也次得丙甲弧一百六十八度○三分【丙甲之间自行大平行小丙行疾段在小轮下】月行丙甲弧两行之差为六度二十一分【以前午子午未二差相减得未子较为此两行之较】

　　又如上图乙丙丙甲两弧并即平行少视行多必在最庳之两旁【行疾段故】甲乙反之即平行多视行少必在最髙之两旁【行迟段故】次定己为最髙从甲从乙从丙作甲丁乙丁丙丁各线甲丁割小轮圏于戊次作乙丙丙戊戊乙三线成乙戊丙形乙戊丁等形

　　乙戊丁形有乙戊丁角【甲戊乙角之余甲戊乙者甲乙弧之在界乘圏角也半甲乙弧得五十五度一十分半为甲戊乙角后凡言乘圏角即所乘弧折半推算全圏分一百八十度】一百二十四度四十九分半又有戊丁乙角【其对弧为黄道弧之子午七度四十二分】即戊乙丁角【以满一百八十度】必四十七度二十八分半依

　　三角形用法

　　以角求边之

　　比例【三角形外作切】

　　【圏即乙角对戊丁弧其为戊丁线丁角对乙戊弧其为乙戊线戊角对乙丁弧其为乙丁线】十万为全数【全周之半径】查表【八线表中有法】得乙戊为二六七九八戊丁为一四七三

　　九六【半弧度查表求正倍正得通】

　　戊丙丁形有戊角【甲戊丙角之余也甲乙乙丙二弧并为一百九十一度五十七分因乘圏半之为甲戊丙角度其余为丙戊丁角度】八十四度一分半有戊丁丙角【戊丁丙角之弧为两行之差未子】六度二十一分自得戊丙丁角依三角求边之比例得戊丁一九九九九六戊丙二二一二○

　　先得乙戊戊丁之比例次得戊丁戊丙之比例用变率法通之【变率者变两戊丁为同数他率从之也用三率法次戊丁为第一率次戊丙为二率先戊丁为三率求四率得先戊丙即两比例之数俱同类】得两戊丁俱一四七三九六戊丙

　　一六三○二戊乙二六七九八

　　又乙戊丙形有乙戊戊丙两边有乙戊丙角【乙丙弧之半】求乙丙得一七九六○乙丙线

　　者乙丙弧之

　　也乙丙弧

　　为八十一度

　　三十六分若设小轮全径为二十万分即乙丙为一二○六八四用变率法【见前】乙丙之先数得丙戊丙丁为某数【云某数者先乙丙为一率先戊丙为二率相偕为比例也】乙丙之次数得某数算得戊丙一一八六三七戊丁一○七二六八四既得戊丙求其弧得七十二度四十六分一十秒为戊壬丙有戊壬丙弧并入丙乙乙甲以减全周余九十五度一十六分五十○秒为甲戊弧其一四七七八六为甲戊线甲戊弧于全周为小分则圏之心必在甲戊外置庚心作己庚壬丁线定己为最髙壬为最庳

　　次依几何原本【三卷三十六题】甲丁戊丁两线内矩形与己丁壬丁两线内矩形等又己丁壬丁矩形及庚壬上方形并与庚丁上方形等则甲丁丁戊相乘加全数庚壬上方积以开方得庚丁为一一四八五五六次设庚丁全数为十万用变率法得庚己八七○六是为月天半径与小轮半径之比例

　　次从庚心作甲戊之垂线平分甲戊线于辛截甲戊弧于癸成庚辛丁直角形此形有辛丁【先得丁戊戊甲今庚辛线平分甲戊以辛

　　戊加戊丁得】一一四六五七七又有庚丁一

　　四八五五六求辛庚丁角得八十六度

　　三十八分半是在心之庚角所乘癸戊壬弧也以减半周余九十三度二十一分半为癸己弧先得甲戊弧为九十五度一十六分五十○秒甲癸半之为四十七度三十八分三十○秒以减癸己余四十五度四十三分为甲己是第一防食太隂未至最髙之度也以减甲乙余六十四度三十八分为己乙是第二防食太隂过最髙之度以己乙并乙丙得一百四十六度一十四分是第三防食太隂距最髙之度

　　依上算得辛丁庚角三度二十六分黄道子丑弧也为第一食两行之差【小轮心指黄道上之丑防本行从丑向子则月在子居前平行在丑居后】应于平行加丑子度分为视行又甲丁乙角七度四十二

　　分减去甲丁

　　丑角余己丁

　　乙角四度二

　　十一分于黄道弧为午丑是第二食两行之差【乙在最髙之后月视行未至丑】应于平行减午丑度分为视行又丙丁乙角先为一度二十一分以减午丁丑角余丙丁丑角二度四十九分于黄道弧为未丑是第三食两行之差【丙未至最髙冲】应于平行减未丑度分为视行

　　末第一食月视行离大火宫一十三度一十五分于黄道弧为子【太阳躔其冲大梁宫度分同】今得两行之差丑子三度二十二分减视行率得平行小轮心度丑为在大火宫九度五十三分第二食视行离降娄宫二十五度○六分于黄道为午两行差四度二十一分以加视行率得丑为在降娄宫二十九度三十分第三食视行离鹑尾宫一十四度一十二分于黄道为未两行差三度二十二分以加视行率得丑为在鹑尾宫一十七度○四分一系因上论可得小轮半径【庚壬】与月天半径【庚丁】之比例二系可得两行之极大差法从地心丁作丁夘线切小

　　轮于夘因几

　　何【三卷三十六题】丁

　　夘切线上方

　　形与己丁壬丁两线矩内形等今先有己丁壬丁两数以相乘开方得夘丁既夘丁庚形有三边以求夘丁庚角是为两行之极大差【此差古今测法同得数小异别有图表见后卷】五度一分上法用不同心圏得数无异

　　测本轮大小逺近及加减差后法第七

　　法同上用三防食【此近世歌白尼法今时通用】

　　第一食总期之六千二百二十四年为正徳六年辛未十月【西厯之月今九月】初七日子正后二十八刻【顺天府时刻下同】月全食太阳躔夀星宫二十二度二十五分平行为二十四度一十三分

　　第二食六千二百三十五年为嘉靖元年壬午九月初六日子正后三十一刻月全食太阳躔鹑尾宫二十二度一十二分平行为二十三度四十九分【今作八月】

　　第三食六千二百三十六年为嘉靖二年癸未八月二十六日子正后四十二刻一十分月食太阳躔鹑尾一十一度二十一分平行一十三度○二分【今作八月】

　　前两防食黄道上相距之中积视行度【减全周】为三百二十九度四十七分中积日为三千九百八十七日平时三刻一十分于时交周上中积平行度【减全周】为三百三十四度四十七分本轮自行【减全周】为二百五十○度三十六分因自行度是生平行视行之差五度以为加减率【中积之视行大平行小故月在小轮之右】

　　后两防食黄道上相距之中积视行度为三百四十九度○九分中积日为三百五十四日平时十二刻○九分于时交周上中积平行度为三百四十六度一十分本轮自行为三百一十六度四十三分因自行度是生两行之差二度五十九分以为加减率【中积之平行大视行小因差少月仍在小轮之右】

　　第一食月在甲从甲数前二防之自行中积二百五十度三十六分至乙即乙为小轮周上第二食月离所在而乙甲余弧必一百○九度二十四分甲丁乙角之弧为午子五度是人目所见黄道上两行之差

　　又从乙【第二防月离所在】过戊申数三百一十六度四十三分至丙即第三防月离所在而丙乙弧必五十三度三十七分丙丁乙角之弧为午未二度五十九分是黄道上两行之差

　　又乙丁甲角去减丙丁乙角余甲丁丙角为子未二度○一分为黄道上两行之差

　　次并甲乙乙丙弧得一百六十二度四十一分以减全周余一百九十七度一十九分为丙己甲弧是周之大半即周之心在其内次作丁庚丑线定己为最髙从甲从乙从丙作甲丁乙丁丙丁各线丙丁线割小轮圏于戊次作乙甲甲戊戊乙三线成甲乙戊形

　　乙戊丁形有戊丁乙角【二度五十九分】又有乙戊丁角【丙戊乙角乘丙乙弧二十六度三十八分半其余以满一百八十度为乙戊丁角一百五十三度二十一分半】即戊乙丁

　　角【第三为二】十三

　　度三十九分

　　三十○秒以

　　求各腰【倍角之数求其即对边之数】得乙戊边为一○四二戊丁为八○二四

　　次甲戊丁形有甲丁戊角【未子二度一分】有甲戊丁角【甲戊丙角乗甲己丙弧一百九十七度一十九分半之得八十八度三十九分半甲戊丙角也其余为甲戊丁角九十一度二十○分半】即有戊甲丁角有三角求其边若戊丁为八○二四则甲戊为七○二

　　次甲戊乙形有戊乙【一○四二】戊甲【七○二】两边有乙戊甲角【乗甲己乙弧二百五十○度三十六分半之为一百二十五度一十八分】求甲乙得一二二七

　　若小轮之半径庚壬为全数即因甲己乙弧之度推得甲乙又用变率法推乙戊戊甲戊丁各线与庚壬全数为同比例之数算得甲乙为一六三二三戊丁为一○六七五一戊乙为一三八五三有戊乙即得戊乙弧为八十七度四十一分以并乙丙弧得一百四十○度五十八分求其得一八八五○为丙戊以并戊丁得一二五六○二

　　次依几何原

　　本【三卷三十六题】丙

　　丁丁戊两线

　　内矩形与己丁丁壬两线内矩形等又己丁丁壬矩形及庚壬方并与庚丁方等则以丙丁丁戊矩形一三四○八一三九一○二庚壬方【庚壬全数为一万】一万万并为积开方得庚丁方之边为一一六二二六次设庚丁全数为十万变庚壬为八六○四是为月天半径与小轮半径之比例与前古法所得小异

　　次从庚心作丙戊之垂线平分丙戊线于辛截丙戊弧于癸成庚辛丁直角形此形有庚丁【一一六二二六】有辛丁【先得戊丁一○六七五一又有丙戊一八八五二半之为辛戊九四二六以并戊丁为一一六一七七】求庚丁辛角得一度三十九分为未丑又求辛庚丁角得八十八度二十一分为癸壬弧并丙癸【先得戊乙丙弧一百四十度五十八分其半为丙癸七十度二十九分】得一百五十八度五十○分其余【以满半周】为丙己二十一度一十分是第三食月距小轮最髙之自行度第二食月在乙乙己弧七十四度二十七分为其距最髙之自行第一食月在甲甲乙己一百八十三

　　度五十一分

　　为其距最髙

　　之自行

　　又己丁丙角为未丑一度三十九分月在平行之后则第三食平行内应减未丑丙丁乙角为午未二度五十九分月在平行之后则第二食平行内应减午未两角并得午丑四度三十八分为第一食应减之数而甲丁乙角先得五度因月在小轮下弧则为应减之数一加一减相准余壬丁甲角为丑子弧○度二十二分则第一食平行内应加丑子

　　末第一食月视行经度离降娄宫二十二度二十五分减丑子弧二十五分【视行内应减平行内应加】得平行为在降娄宫二十二度○三分第二食月视行离娵訾宫二十二度一十二分加午丑弧四度三十八分得平行为在娵訾二十六度五十○分第三食日视行离娵訾宫一十一度二十一分加己丁丙角一度三十九分得平行为在娵訾宫一十三度皆食时之经度也

　　因上二论以推加减立成表如后卷

　　试旧推平行率各术疎宻第八

　　依前法用太隂加减差表定前后两防食之中积时可得太隂之平行率又用上论求两食之本轮自行度若此两率之距本轮最髙或最庳等则所定平行率为确合

　　如前本篇第六所用第二防食为总积之四千八百四十七年系汉顺帝阳嘉二年【多禄某所用】其各率见本章　又第七所用第二防食为总积之六千二百三十五年系正徳六年【歌白尼所用】其各率见本章其中积率为平年【三百六十五日】一千三百八十八年三百○二日一十四刻○四分其间交防满一万七千一百六十六周其自行本轮亦满全周则为确合今依上古法推【依巴谷在周显王时】减全周外余三百五十九度四十八分○七秒【转周不及交防一十一分五十三秒】依中古法推【多禄某在阳嘉年】减周外余三百五十九度三十七分四十九秒【转不及防二十二分一十一秒】依近世法推【歌白尼在正徳年】减周外余四分则知近世之法视古为宻葢测验推步一二千年积功力积智巧所定诸法渐次加精故也定太隂平行自行之厯元第九

　　厯元者于某地之某年月日时刻定某曜躔本天之某度分为推步之根本上遡既往下迄将来靡不准此或加或减以得随时所躔各度分也

　　今拟定崇祯元年戊辰天正冬至后子正初刻为厯元其地则

　　京师顺天府定为厯元之本所厯元则上下推步略同古法论地则自唐至元有测验北极出地之法是为地之纬度若其东西经度从古未有也今立法以本府为根其南北北极出地三十九度五十五分有竒九服皆随地测验东西则以本府为初度初分九服依此为准或加或减推算各地本时本曜之各所求度分别有本法本论【如后卷】

　　右北极出地度通为四十○度四十九分有竒中西二率悉与古法不合葢前人未悟地半径差气差于两至所测之髙应加应减故也说见日躔厯指

　　用厯元前一月食之嵗月日时及厯元之嵗月日时取其中积日求太隂之平行若干度分减朔防【一交防之全周】余度分为厯元之平行度分则朔应也又考月食时得自行若干度分亦算中积时之自行若干度分两数并得为【转应也新法算书卷二十八】

　　厯元之自行度分则

　　钦定四库全书

　　新法算书卷二十九　　明　徐光启等　撰月离厯指卷二

　　解第二均数第十

　　如上论因月有本轮自行度以致不平不顺定朔定望多寡不一今用其自行度分加减其平行视行以定均数则于定朔定望及交食之法始无遗漏乃厯家详测宻推以为未足尽月行之理故又立次轮一法以定均数与本轮第一均数并用之今解其义如左

　　古今测月行审有自行度与平行不合立为本轮法【或不同心】与自行加减以定朔望以正交食然其朔望之极大差不过五度此本轮之半径也是知定朔定望时太隂恒在本轮之周矣其在上下之差则不然古厯于上下日推太隂自行本轮之二限四限【左右两傍之尽处所谓留际也如此则为去最髙之极大差】又在黄道之九十度限【一名黄平象限如此则无东西视差】以定本日之经度若如本轮法则此差止应得为五度及用圆浑仪测候或以距太阳求月之视行经度或以恒星求其黄道上之视经度得数乃与先推殊不合论推算宜得五度论测度则得七度四十分从古至今累测皆如之又测前后若干日亦与推算不合每日逺近所差不等知月行止定朔定望日在小轮周余日去离逺近多寡各有本行度分因从其差数以立差法仍定本轮周上复有次小一轮循本轮右旋【与七政行同与自行异】半月一周因其行度作加减差以定第二均数列表【如后卷】

　　求次轮之比例第十一

　　既论有次小轮今论其大小以定加减率

　　如图丁为地心

　　庚为本轮心甲

　　乙丙为本轮周

　　作庚丁过心线作本轮之丁甲切线即庚丁甲为五度角【视行平行之极大差】朔望时次作庚甲戊线作丁戊线成庚丁戊角为七度四十○分视平两行上下之大差次庚为心戊为界作戊巳圈太隂在定朔定望时必循甲乙丙本轮周左行在两时必循戊巳周左行両前后半月间则自甲向戊戊向甲右旋为次轮之自行

　　若庚丁线为一万全数即庚甲为八百七十二【五度之正】庚戊为一千三百三十四【七度四十分之正】相减得甲戊四百六十三甲戊线平分于辛庚为心辛为界作辛壬为负次轮圏【一曰带次轮】即甲辛为二百三十一以并庚甲得庚辛一千一百○三为负次轮辛癸圏之半径则本轮次轮两半径为一一○三与二三一也

　　系有二小轮之比例可解前一推一测异同之极大差又可推朔望前后之视行疑于无法而实有法【朔望前后三十八度其视行絶异故云疑于无法详后论】

　　如图两圏为本次二轮丁为地心甲为本轮之最髙丙为

　　其心乙为次轮心

　　作丙乙线为一一

　　○三从乙心作次

　　轮圏其半径二三一【如上两轮之比例】次从丙作丙戊丙子线切次轮于戊于子成戊子两直角设月体在戊今论之

　　凡月行本轮周左旋【依宗动天自东而西】如图庚为本轮心甲乙为白道丁为最髙己为最庳其平行则自甲向丙庚至乙其自行则自丁而丙而己而戊而复于丁从丁【即正半转即最髙】入转行极迟

　　向丙【即中转亦留际】其迟日损至丙而及平行度谓之迟初限从丙向己【即中半转即最庳】迟损疾益至己而极疾谓之迟末限从己向戊【即正转亦留际】其疾日损至戊而及平行度谓之疾初限从戊而复向丁疾损迟益至丁而极迟谓之疾末限最髙左右二限谓之迟厯逆经度行【逆七政经度也后省曰逆行】最庳左右二限谓之疾厯顺经度行【后省曰顺行】二十七日有竒而周【即转周】若次轮则如图乙为其心甲巳为本轮周壬戊癸子为次轮周壬为最近癸为其最逺【本轮可言髙庳次轮不得言髙庳故言逺近谓逺近于本轮心】其顺本轮左旋则自甲向巳其自行右旋【如七】

　　【政自西而东】则自壬而戊而癸而子而复于壬从壬入转至戊为迟初限从戊至癸为迟末限从癸至子为疾初限从子至壬为疾末限最近左右二限为迟厯逆行最逺左右二限为疾厯顺行十五日弱而周谓之次转周

　　夫甲巳弧者约太隂距太阳之半周也【朔与望相距之一百八十度】次

　　轮心行甲巳半周则月循次轮行满一

　　周是月体循本轮周行一度即循次轮

　　周行二度次轮心从甲至乙月从壬至

　　戊比本轮上之两行皆在迟厯皆逆行一至戊切防则为逆行之末顺行之始顺行则始疾故戊切防为月行次轮顺逆两行之大差今以数明之

　　作乙戊线为切线之垂线成乙戊丙形戊为直角此形有乙戊二三一有乙丙一一○二求丙角得一十二度二

　　十八分为次轮上月行之最大

　　差是本轮心行度【甲乙】外应加应

　　减之数乙丙戊角既一十二度

　　二十八分戊乙丙角必七十七

　　度三十二分壬戊弧也半之得

　　二十八度四十六分为甲乙弧【甲乙为壬戊之半】

　　系凡次轮心距本轮最髙三十八度为大差之限朔望前后各等

　　论太隂次轮异名同理第十二

　　前卷推月不平行之縁为有本轮次轮因立两均数以定其实行【此歌白泥术】而首卷又有异名同理一章【第五】言用不同心圏立法得数不异是则止论本轮未及次轮也今并论两小轮与两不同心圏亦复异名同理得数无二【比马日诺术】如左

　　如图是月本天之大圏平面也本天中函有诸球体有厚薄行有顺逆迟速此图平面亦函有诸圏譬犹剖球为面其中所有一一具见矣内外凡六圏甲为地心亦为月本天之心外第一圏为黄道平分十二宫次圏为

　　交道【黄白经度畧等】己见前解第二

　　第六总名为负太隂中距之

　　天其第二之外规面第六之

　　内规面则与地同心【甲也】其第

　　二之内规面第六之外规面

　　则与地不同心而以中距之

　　心为心两天各有厚薄不等其厚薄处恒相反相对【此二天同一色绘之】

　　此天平面之外圏斜交于黄道内函月行诸圏为一体顺经度行【右旋】每日六分四十○秒五十五防○六纤八平年三百一十二日有竒而行天一周周行无首尾其起算之界用外规之最薄即本天之最髙

　　第三第五总名为太隂中距天又名为正不同心天【上有二面同心此四面不同心】其心为乙距地心甲以最外规【丁也】之半径【丁甲也】为度十分之约得一有半为乙甲求其厚得丁甲十五分之四为丁戊此天内函月行之轨道为一体顺经度行【右旋】其外虽为负距天所挈一体顺行又自有其行度毎日二十四度二十二分五十三秒有竒凡一十

　　四日七十三刻○七分有竒

　　而行天一周【在歌白泥法为次轮上月行之

　　周】其起算之界为最近地心

　　之处【已也如上次轮法】本表目其本

　　行度为日月相距之倍度是

　　为次引数凡月朔望间必行

　　一周故朔望时月恒在于最近即无此圈行度亦不用次均数皆与前法所论次轮同理此圏又名为引数之圏以其函负月轨圏为定均数之根

　　第四名为月轨圏葢太隂自行之轨道也与第三第五正不同心之天又不同心其心丙故又名次不同心之天乙丙两心相距以中距天【即第三第五】之全径【外规过心相距】为度六十平分之得其一分半弱

　　次不同心之心丙旋绕正不同心之心乙作一小圏月体循第四天行虽最外为负距天所挈一体顺行又为中距天所挈一体顺行其自行则又逆经度左旋譬之负距天如流水中距天如舟月体如人水自顺地势东行有水之行度舟亦顺水势东行又自有舟之行度人却从船首向船尾西行又自有人之行度也其起算以自天之最髙为界日逆行一十一度一十八分五十九秒有竒三十一日七十八刻有竒而行天一周其在前解则自行本轮也

　　前解定次轮上【或正不同心圏理同】太隂一日顺行二十四度有竒今减本轮上【或次不同心圏理同】逆行一十一度一十八分有竒余一十三度○三分有竒因两行相背故相减所得较数为前引数

　　两不同心圏各有最髙最庳【前解在次轮者为最逺最近此解亦名最髙最庳】则太隂所至有逺近四限与前解同其数以中距天之半径丁乙为度半径六十则极逺距地心为六十八次

　　逺为六十五分○九秒次近

　　为五十四分五十一秒极近

　　为五十二分【皆歌白泥所测也】第二图次不同心之心在丙

　　其最髙在丁正不同心之最

　　髙在戊【中名月孛西名平最髙】甲乙戊

　　线定黄道上月孛之经度甲丙巳线定已为正最髙之经度【甲丙巳线过甲丙两心则己为月轨距地之极逺】乙丙丁线定月轨道最髙之经度从巳至月前解名为月自行古史各有本表今用前两轮解已作表不复备着

　　右二法外第谷及其门人又有别解更细更宻特为竒玅以步月离倍胜前法特防眇难见以步交食精粗判然今并论如左

　　第谷宻测月离觉月自行在朔望时遇初宫或六宫及左右平距【最髙庳之左右其距地等】即自行四限【髙庳左右】但依古法用一均数一本轮自行足以齐太隂之不平行矣自非然者即用古法多见参差因依古步五星法于月离法中亦加一均轮均轮者古推步五星自行用两不用心圏一为负本轮心之圏一为均行之圏【均行圈者与本轮心圏又不同心而出入其内外古推五星但依本轮心圏未能悉合别依此圏推步然后度分不谬故名均行之圈或用均轮也歌白泥谓月离法中可省此第谷觉有未合复用之乃合】其解于五星厯中详之今月离亦用之是为新法依此作五轮月行全图如左方如图甲为地心取甲乙线为半径【前法为次轮之半径】乙为心甲为界作甲丁丙圏【前法为次轮】从圏周任取丁为心作戊己癸圏其半径丁戊是为月与地之平距【平距者最髙庳之间】即五

　　十六地半径

　　也【前法为月本天半径

　　或负本轮圈之半径】若

　　丁戊为全数

　　十万即甲乙

　　为二千一百

　　七十分右为

　　二三一又于戊巳癸周任取癸防为心取癸辛线五千八百分为半径作午辛辰本轮又取辛庚线二千九百分为半径作庚壬子均轮得癸庚线【两小轮之两半径并】八千七百此八千七百者于前法为本轮之半径但前用一本轮以齐太隂朔望之行此析为二析为二者以前法之本轮半径三平分之二为新本轮之半径一为均轮之半径新本轮之半径者月朔望时近逺之实半较也凡月之定朔定望时丁心与地心甲合为一防丁心右旋【顺经度行】循甲丙丁圈【从甲向丙而丁而复于甲】半月而周【此圏以当前法之次轮故如前月体循次轮周半月而复】则甲丙丁周上之弧为月距太阳之倍数本轮之癸心循戊癸未圏【从戊向癸而未而复于戊】右旋【顺经度行】二十七日有竒而周均轮庚子之心辛循本轮周左旋【违经度行从辰向辛而壬而午而复于辰】亦二十七日有竒而周即辰辛戊癸两弧之行恒为等度分而此两圏皆当前法之一本轮其行周皆转终分也月体则循均轮周右旋【顺经度行从子向壬向庚而复于子】十三日有竒而周【是转终之倍数】

　　凡朔望时丁心必在甲若自行为初宫初度则如一图癸心在戊辛心在辰月体在子无均数自行为六宫则如后图癸心在未辛心在午月体亦在子亦无均数朔望图见交食厯朔望之外依图用三角形法推算则

　　得月离之宫度分可无用

　　表

　　依新法则戊为月孛葢最

　　髙也甲丁巳所指为平最

　　髙今以二法较论同异则

　　月与地之中距【五十六地半径】两

　　家防异【前后为本轮心距地新法亦然皆丁戊也】若自行初宫初度则月距地比于中距前法盈十万之八千五百分新法盈二千九百分是损三分之二也【此第谷所定也以视差及宻测月髙庳法得之】若自行三宫则两家所定最大差为小异其以次小轮【前为次轮今为均轮】为自行之倍数新旧一也今用合图明之合图説【实线为前论歌白泥法半虚线为第谷新法】不论次轮前法次轮在上新法次轮在下其理不二故也【五纬厯中见其论】

　　前法丁地心亦为戊寅庚夘圏心戊丁其半径戊本轮心以平行右旋厯丑寅庚夘等防月从丙自行左旋向乙设戊平行三十度至丑月左旋从丙至乙自行二十九度一十三分【每平行一度自行五十九分四十六秒故】平行六十度至寅即自行五十八度二十六分亦从丙至乙【丙乙恒为自行弧】又

　　至庚至夘等皆同此推若依丁戊线从丁向戊取丁申

　　线与戊丙等申为心丙为界作圏必遇各乙是名过乙圏亦为髙庳圏【不同心圏】

　　新法丁戊半径戊寅庚夘圏同前别取戊午线为戊丙三分之二戊为心午为界作本轮【较旧本轮之径减三分之一】次平分戊午于己午为心巳为界作均轮【得旧本轮径三分之一】月体在己设戊心平行至丑即戊乙戊丙两线开展【午心循子午本轮左旋为各子午弧】如张箑之势【丁戊丙直线戊午乙过两小轮心线若自行初宫初度即两线合为一线后渐展开至三宫九十度成直角至六宫复合为一】己月从最近酉【最近本轮心也】

　　右旋【顺经度行】至己为自行之倍数如戊行至丑两心线为丑酉午乙月在己则酉巳弧倍于丙乙弧或午子弧【丙乙午子与戊丑等而乙丑乙寅等线恒与戊丁平行】余悉同此【酉巳弧行倍于丙乙】次依丁戊线从丁取十万分之二千九百为未未为心已为界作圏过各己防是为均行之圏两法至即相近依前法推加减表则用丁丑乙一三角形求丁角新法用午己丑及丑己丁两形求丑丁巳角两得数之差自行十五度为四分三十三秒自行三十度为八分○九秒自行四十五度为九分五十六秒自行六十度为九分三十二秒自行七十五度为七分○三秒自行九十度为三分○六秒前法以自行九十五度为大差之限则四度五十六分一十九秒新法以自行九十一度为大差之限则四度五十八分二十七秒两得数之差随在皆乙丁巳角而最髙左右均数新法比前法为大最髙冲左右新法比旧法为小

　　凡月离诸表今皆依新法推算

　　推太隂之实经度第十三

　　前论因本轮之自行度加减立第一均数以得定朔定望朔周转周又因两之自行差与朔望异用次轮之自行加减立第二均数于理为尽从是可得太隂之视行实经度今论次如左

　　查平行表简得太隂太阳之相距度分及月距本轮最髙度分用平面三角形法可得其实经度【用古法解之】

　　第一法西古史依巴谷在罗徳岛【地中海岛北极出地三十六度】于总积之四千五百八十七年为汉武帝元朔二年甲寅三月【建寅之月】初七日子正后八十四刻一十四分【顺天府时刻】用浑仪测得月距太阳为四十八度○六分于时日视行躔鹑首一十○度四十○分即月视行度必在鹑火二十八度三十七分此时此地为午正后一十二刻依正升斜升表算得月凖在黄平象限无东西差

　　今用月离表试之依表是时太阳之平行为鹑首一十二度○三分均数为一度二十三分当时太阳最髙在实沈宫初以减四十八度○六分得四十六度四十三分为太隂距太阳之平行度【此于实距内减均数而得平行葢太阳在最髙后平大视小用减法若在最髙冲平小视大用加法】查表于时太隂自行为三百三十三度又平行距太阳为四十五度○五分视平两行之较为一度三十八分更用两小轮图试之

　　从自行之最

　　髙甲左旋过

　　己至乙得三

　　百三十三度

　　乙为心作次轮圏作乙丙聨两心线割次轮于壬从壬至戊为日月相距之倍数九十○度一十分次作乙戊戊丁戊丙三线成戊乙丙三角形形有丙乙一一○三有乙戊二三一有乙角【壬戊弧九十○度一十分】求丙戊边及戊丙乙角【乙为钝角宜引长丙乙边作戊子垂线成戊乙子直角形有乙戊边二三一有戊乙子角一十分戊乙子角者戊乙丙过九十之余也先求戊子得二五七弱

　　次求乙子得○○一以并

　　丙乙得一一○四戊子子

　　丙各自之并而开方得一】

　　【一二五不尽为戊丙又子丙与全数若戊子与丙角之切线得一十二度一十○分为乙辛弧】次以甲巳乙弧并乙辛得三百四十五度一十一分其余弧一十四度四十九分为甲辛或甲丙辛角

　　次戊丙丁形有戊丙一一二五有戊丙丁角【戊丙甲角之余】一百六十五度一十一分丙丁为全数求戊丁丙角【引长丁丙边从

　　戊作戊子垂线戊子丙直角形有角有边求戊子为二八七子丙为一○八五

　　子戊丁直角形有两边求第三丁戊得一○一八五为月距地心次求丁角为】

　　【子丁边数与全若戊子边数与丁角之切线二八四查表】得一度三十八分如上所测数为确合

　　第二法太阳经二百六十九度○四分太隂经二百五十七度四十三分太隂自行为一百二十二度四十九分日月相距为一十一度二十一分倍之为二十四度四十二分如图甲乙为太隂自行度壬戊为倍数丙乙戊

　　形有丙乙乙

　　戊两边有乙

　　角壬戊弧之

　　角求丙角得五度五十二分为辛乙弧求丙戊边得五十六分以乙辛减乙甲【自行不过半周故应减】余一百一十六度五十三分为甲辛弧其余六十三度○七分即辛丙丁角次丙戊丁形有丙戊丙丁两边有丙角求丁角得四度四十二分为白道上之庚癸弧因在自行前半周以减平行得二百五十三度五十七分是太隂本时之实经度【从春分起算】

　　篇中屡言黄平象限者是黄道在地平以上之九十度限也两道在地平上下皆半周赤道恒定不易其半周上之九十度限恒在午正线黄道斜迤时时不一其九十度限时东时西又随地多寡若极出地四十度则差多者至距午二十五度惟南北二至乃与午线同度分耳其法其表详载交食厯今略举如左　法欲求本地本时之黄平象限于本月日时简本地本宫之黄平限表其第一直行本日之月离宫度也第二第三四行为其时分秒第五第六为其月离象限度分先约得月离经度若干极四十度表有时之秒他极减之而少一行查表取其横相对时分【子正起算】得某时月在黄平象限更以本时简月表求月离经度得某宫某度分又对取其时分为月在象限之正时　假如崇祯四年八月十四日求本日何时月在黄平象限先约月在娵訾宫六度本表求时得二十一时○一分五十三秒以此时查月表求月经度得本宫七度一十分查时得二十一时三分五十三秒为月在黄平限之时可测其髙欲宻合更以此时求经度更求时

　　系凡月生明或生魄作直线聨两角此线若过天顶为地平上之垂线即太隂必在黄平限上而此直线亦与白道为直角引长之必过黄道之极【黄白二道在太隂厯中每作一道论其差甚防故】

　　此线直过天顶及黄道极必分地平上之黄道弧为两平分【此两圏相交有细解其本论见球圏原本】

　　月望时无从得角从月驳定月体之南北两极如前直线用之知其过黄道极及在黄平象限之上

　　二十八宿距度第十四

　　中西古今厯法理同数异大同小异理大同者共戴一天

　　同资七政也数小异者如周天有平度日度度法有用六用十之类会而通之罔或弗合亦无害其大同也独恒星宫次中厯依赤道为二十八宿北为三垣南方无垣则附见于诸宿西厯依黄道为十二象通计南北为五十二象此即大不相侔矣以故回回厯翻译并存今恒星厯各注黄赤经纬度分星名位次皆按中厯更定免致凌杂而间考西古太隂厯则亦有二十八舍译谓月所宿留之处即又与宿次同义且二十八距星亦皆脗合其不合者独觜宿距星不用觜用天闗耳竟不知其何繇而同若疑上古相通则此法之外又何以毕无一合亦一竒也其诸法义图表俱见恒星厯指今欲推太隂宫宿度仍用本表先定黄道所离经度依表求得本时刻太隂所离某宿某度法曰表中求月所离之宫度数内减去近小宿数所余者为本宿之度分假如月离鹑火二十八度三十七分本宫近小数为星宿二十二度○九分相减之得六度二十八分乃月在星宿六度有竒

　　宿距星在宫次　度　分　　宿　宫次　度　分

　　择月食以定交周第十五如上论定朔望转周实经度讫次当定交周度分其法亦用两月食两食者须太阳之距最髙等须太隂自行度等须食分等须食在阳厯或在隂厯亦等乃可推月行交道满若干周而复还于故处第旧史不载食分亦不载隂阳厯无凭推步即西古多禄某【汉顺帝时】亦未觉太阳之最髙随天运行【顺七政右旋每百年约行一度】故所择两月食见黄道上之经度等即谓太阳之距最髙亦等而实则不等兵法亦不可用至近世歌白泥【正徳间】择用两食于法为合但所用两食一在阳厯一在隂厯虽内外不等而度分之对待相等如日月之在朔望皆名交会不害为可用也

　　第一食总积之四千五百四十年为汉文帝六年日躔大梁宫六度四分五月【酉月也实建申之月】初二日子正后三十一刻【顺天府时刻不见食甚】月食十二分之七在阳厯中交即月在

　　南初亏东北于时月自行为一百六十

　　三度三十三分【多禄某歌白泥两算同】均数为一

　　度二十三分【未满半周一百八十度故用减法】

　　第二食【歌白泥所记】六千二百二十二年为正徳四年己巳日躔实沈宫二十一度六月【实建酉之月】初二日子正后二十四刻一分【顺天府时刻不见食甚】月食十二分之八在隂厯正交即月在北初亏东南于时月自行为一百五十九度五十五分

　　两食时月自行差止三度半可勿论其日躔前后相距不等然多禄某所测太阳最髙为实沈六度所用食时日躔在最髙前三十度弱歌白泥时最髙在鹑首五度所用食时日躔在最髙前十四度两距之较虽十六度以最髙旁近度距地心之数为差防即地景大小无二亦可勿论

　　今论两食时之月自行畧等太隂距地心之度分畧等则所差者在食分也为十二分之一

　　计两食之中积为平年【三百六十五日】一千六百八十三年八十八日九十刻○五分或六十一万四千三百八十三日九十刻○五分得交会【即朔望】二万○八百○五会交终则二万二千五百七十二周外余一百七十九度二十四分【后食大于前食为十二分之一月体之径于天度畧为三十分则食差为二分三十秒交前后之纬距二分三十秒其经度为三十分次食既大于前食即近交其较半度则未满丰周之较为三十分查表求两食之两均数一加一减其较二十一分以减三十分得九分为不及半周之数实余一百七十九度五十一分】

　　上文推定【依巴谷及多禄某先后推定见本篇第四】月交会五千四百五十八则交终五千九百二十三依此用三率法以交会率【二十九日有竒】为法中积日为实而一得二万○八百○五会再用三率法以交终为法而一得二万二千五百七十七交半

　　置交数【二二五七七半】以三百六十乘之以会数【二○八○五】而一得一会时【二十九日有竒】交行之度分

　　又以会数【五四五八】为一率交数【五丸二三】为二率一日之太隂平行【一十二度一十一分二十七秒】为三率求得一十三度一十三分四十六秒为一日交行之度以日求月求年凖此法论交行第十六

　　交行有二一顺经度行一逆经度行顺行者月平行一日一十三度一十三分四十六秒是为月行距交之度则以交为界又如前定月平行一日一十三度一十分三十五秒○五防是为月行距宫次或节气之度则以宫次或节气为界两数之较得三分一十一秒是则两交一日逆行之数所谓罗计行度也顺行者如七政右旋自西而东逆行者如宗动左旋自东而西右旋者先降娄次大梁左旋者先枵次星纪故月行两界一为定界一为不定界定者宫次如娵訾等节气如冬至等不定者谓正中二交也两界则两数其较则为不定界之行分不定界之数大于定界之数故累积其较则与月行相背矣

　　交有平行又有自行与日月相似自行有迟有疾黄白二道之相距亦时多时少古来未觉有此第谷累年宻测得交行惟朔望时无加减【与日在最髙最髙冲同理】恒得五度弱过此渐加至两而极而此自行恒半月满一周【与太隂次轮行度同理】

　　如图甲为月天球上之黄道

　　一极人目在他极外斜看黄

　　道面戊庚己为黄道圏去甲

　　五度○八分得乙乙为心作

　　戊癸己球上大圏为平白道

　　两圏相遇各平分于己于戊为两交庚癸相距之限五度○八分是为两交相距之中数【两相距之小数为四度五十八分三十秒大数为五度一十七分三十秒相减得较半之以并小数得五度○八分相距之中数也】而己戊为两交平行之处

　　次乙为心作丁丙小圏其径为大小两数之较一十九分小圏之周恒负正白道之心【如黄极绕赤极作一圏名极圏又白极绕黄极作一圏名白极圏此小圏与之同理正白道之心如丙丑丁寅皆是也】半月【十四日有竒半朔策也】行一周

　　若正白道之心在丑【最近黄道极惟朔望则然】以丑为心作球上大圏如辰辛子辛为正白道【若球上作大圏过白黄两极宜为乙丑庚弧今依视法作直线】其距黄道为辛庚【本大圏之一弧】辛癸为中白道正白道之差而正白道两交黄道于辰于子则辰子为两道【朔望时】之正交是交食所用之两交也

　　若正白道之心在寅【两时】以寅为心作夘壬未大圏定

　　癸壬为中白道正白道之差

　　而庚壬得五度一十七分三

　　十○秒是为黄白二道相距

　　之极逺【寅心距甲心为极逺故】则夘未

　　为两逺交距戊巳两平交为

　　戊夘未巳距夘未两近交为夘辰未子【逺近者两之交近交者朔望之交平交者半策之交】

　　凡正白道心在寅之上【两前后】丑之下【朔望前后】若干度分则中正两白道之大距【相距之最逺】在壬之上辛之下亦若干度分而两交在夘未之上辰子之下亦若干度分若正白道心或在丙或在丁则正中两道之大距相合于癸弧之上而丁甲癸或丙甲癸为两象限两交则在辰夘子未之间戊巳之左右

　　本厯表中有正交之加减有正白道与黄道相距之度分其原葢出于此如图正白道为辰辛子即有辛辰庚角可推正白道之各度分距黄道若干【与黄赤二道距度同法】若在癸在壬俱仿此

　　若正白道在辛癸壬之外【在辛壬限内而不在三防之上】则先求丁之上下距甲若干以得癸之上下距若干葢丁甲癸为一象限甲癸庚亦一象限甲丁大癸庚亦大若小亦小其加减率及用法见本厯表

　　定交行之厯元第十七

　　上文言择两月食以定交周因其经时若干而满周以知交终及歳月日时交行之数然止用两食相对较勘多寡不知其距交几何度分今欲审某时距交若干以定交应亦须两月食其距太阳之逺近等两食分等两食之在隂厯阳厯正交中交等既诸率各等则距交必等因而析取中数则得本时正交所躔度分【此歌白泥法】

　　第一食【多禄某所记即前第六章定本轮所用第二食】总积之四千八百四十七年为汉顺帝阳嘉三年甲戌十月【建戌之月】二十四日子正后一十七刻【顺天府时刻】一十分月食十二分之十在黄道南初亏东北于时太阳躔夀星宫二十五度一十分月自行为六十四度三十○分用减法得均数为四度二十○分

　　第二食【歌白泥所测】总期之六千二百一十三年为治十三年庚申十一月某日子正后三十一刻正【顺天府时刻】月食十二分之十在黄道南初亏东北日躔大火宫二十三度一十一分【两食之中积时为一千三百六十六年其间太阳行最髙一十六度有竒以减日躔两度差二十八度得一十二度为前后日距最髙之差日在最髙旁近其距地之差甚防地景无二与无差同】月自行为二百九十一度三十五分用加法得均数为四度二十八分

　　两食时月本轮最髙前后等距【前过最髙六十四度后未至最髙六十九度其较五度距地之差甚防与无差同】食分大小等初亏方位等则两食之月距交等度【中积为一千三百六十六平年三百五十八日一十七刻九分】此时自行满交周外其距交为一百五十九度五十五分

　　如图甲乙丙丁为白道乙丁为正中二交甲为北为内为上为隂厯丙为南为外为下为阳厯乙戊己丁为距交等之两弧是

　　两食时月体一过交一不及交之度戊在乙交之前已在丁交之后前食用减法得均数四度二十○分【减者月在自行之前半周依表平交行为甲乙庚减庚戊得甲乙戊戊为月所至之实处】取戊庚后食用加法得均数四度二十八分【加者月在自行之后半周依表平交行为甲丙辛加辛巳得甲丙己巳为月所至之实处】取己辛庚辛为两食中积月距交之平行一百五十九度并戊庚辛巳得戊丙巳两距之实行一百六十八

　　度四十三分其余一十一度一十七分为乙戊丁巳两弧并半之得五度三十九分为两食时月距交之度乙庚得九度五十九分若半交甲为界则甲乙庚得九十九度五十九分是第一食时之交行根所谓交应也若他时他处求交应依此加减之

　　今拟崇祯元年戊辰天正冬至为厯元顺天府为厯元本所如日躔表推算本曜恒年表【如后卷】

　　交行两界任用但月体行度多端差数繁曲既成加减均齐则或用定界从宫次节气起算或用不定界从罗计起算所得正等

　　测黄道白道相距度分第十八

　　西史多禄某【汉光武时】其地为北极髙三十○度五十八分用三直仪【测髙仪皆可用】测得月轨极北距天顶二度○七分以减北极出地度得二十八度五十一分为月距赤道度分于时黄赤距度为二十三度五十一分【黄赤距古逺今近説见日躔厯指】以减太隂距赤度余五度正为黄白相距之度此测因月近天顶地半径差极防可以勿论又轨度最髙在清蒙限外亦无差分若在近浊测月轨髙不先定地半径差清差以为加减即所得者非实度分

　　西古史多言黄白距五度正上古则云四度五十八分回囘厯则五度○二分皆不逺近世第谷【万厯间】宻测详推功倍古人其言曰朔望时古测仅少一分半若上下两则五度一十七分本书有测法有算数今略举如左

　　总积四千八百○○年为汉章帝章和元年丁亥八月【建未之月】十八日【本地】午正后二十九刻一十分月在正午时为上依本表算得距交八十六度一十七分于时测得月距黄道【地半径蒙气二差俱加减讫外】为五度一十三分　【右二则所言度分通为日度则五度一分半者当为五度九分八十二秒五度一十七分者当为五度三十六分五度一十三分者当为五度二十九分】

　　大统以前诸厯黄白相距俱六度正通为平度则是五度五十五分距度恒大于西术以推算月食往往小于天验殆縁于此

　　西术定黄白距度求月轨极髙得距赤度分去减黄赤距度余为黄白距度此古今通法但多禄某当汉光武时去今一千四百余年于时黄赤距为二十三度五十一分所减大所余必小今时则二十三度三十一分半所减小所余必大故今之黄白距较古为大【是黄赤渐近而黄白不移其所以然难可窥度】

　　又恒星厯言近至之恒星古今纬度不一在冬至则南纬度小北纬度大在夏至反是亦黄赤渐近之徴也

　　今推黄白距度列表略同黄赤距度法【见日躔厯指及测量八卷】其用法见月离表

　　论月视差第十九

　　日躔厯指论地球半径与月天半径为比例若本天视地为逺为髙则比例为小若为近为庳则比例为大【两数相近其比例名谓大相逺名为小】

　　凡视差有三【清蒙不与】一曰地平纬差二曰黄道经差三曰去极纬差其根则一地球之半径是也葢推算之地平纬恒与地心为对人目所见之地平纬恒与地面为对故因地之半径而生视差若日月星在天顶即实行与视行为一线即测騐与推算为一率自此而外七政皆有视差但以去地逺近出地髙庳分别大小耳今所论者地平纬差也【余二差详见交食厯指】前史谓之南北差因曜实在北所见在南故立此名今通称之

　　求月视差法依表算得月在极南【即冬至但此论经度非时也故称南至以别之】近冬至十度以内又在两交之中【正半交中半交黄白相距极逺之际】又在黄平象限之上测其地平以上之髙是为视髙次用赤道出地度南至距赤纬度太隂距黄纬度推得月在地平以上之髙是为实髙次以视髙减实髙其较为地半径之视差　若不用南至任以恒日依表推月过子午线或黄平象限上求其黄道上经度及其距交经度距黄纬度得地平以上之实髙亦测其视髙两数之较为地半径之视差此法古今累测所得数无异略举如左

　　总积四千八百四十八年为汉顺帝阳嘉四年乙亥十月【建酉之月】初三日西史多禄某在本地极髙三十○度五十八分太阳躔夀星宫五度二十八分月在子午线亦为黄平象限【凡两至在黄平象限与子午线同度】推其经度为星纪宫三度○九分月距交为七十四度四十○分其距黄纬度为四度五十九分计本地赤道髙五十九度○二分星纪三度九分之距赤纬于时为二十三度四十八分以减

　　赤道髙得纬度髙为三十五度一

　　十四分【黄道某度地平上髙】加月距黄纬度

　　【在黄道北故加】得四十○度一十三分为

　　太隂之实髙次测得三十九度○

　　五分为视髙一推一测其较一度八分为地半径视差

　　又总积六千二百三十五年为嘉靖元年壬午九月【建申之月】二十七日午正后二十二刻一十分西史歌白泥测得月轨视髙七度一十分于时日躔夀星一十三度二十九分月自行得三百五十八度为本轮之最髙推黄道经为在星纪一十二度三十二分距交七十二度五十二分距黄纬为四度四十七分因推得月距赤道二十七度四十一分本地赤道髙三十五度三十八分减去月距赤道度余七度五十七分为月在地平上之实髙一测一推之较为四十四分即月在最髙地半径视差

　　右两术所推太隂之地半径差各依本法论定太隂出入地平时若在本轮之最髙则多禄某为○度五十三分歌白泥为五十分若在最髙冲则多禄某为一度一十九分歌白泥为六十六分异同若此将何适从所以然者縁两史测月时未悟月近地平有清蒙一差故也【説见日躔厯指】清蒙映物能升卑为髙凡测月之地平髙所得数乃所见之视髙【与人目平行】非月行之实髙【与地心平行】以地半径差减实髙则为视髙又以清蒙差加视髙则为真视髙近世第谷依此法推得太隂出入地平时在最髙为五十六分二十一秒在最庳为六十六分○六秒其各逺近之差在多禄某为二十六分歌白泥为一十六分第谷为一十分三家皆有地半径差表今以第谷【新术为正】以地半径大差求月距地心第二十

　　如图甲为地心乙丙为视地平乙甲为地半径丙角为视差【用第谷之大数】六十六分○六秒乙为直角乙甲半径为度【为度者恒呼为一以上累加之】求月距地心之甲丙法为全数【内】与乙甲【外】若丙角之余割线【内】与甲丙得五十二又十万之二万一千○二十五是月极近地为五十二

　　地半径有竒若用小数五十六分二十一秒推得六十一又十万之二千七百八十二

　　系既定甲乙乙丙之比例若有月距天顶之戊丁弧或称戊乙丁角或称丁乙甲之余角任髙任下皆用甲乙丁形有乙甲甲丁有丁乙甲角求乙丁甲角恒为地半径之角

　　如前论月本天本轮次轮各半径之比例为十万为一一○二为二二一并之得地心至太隂极逺【最髙】之线一一三三三次用变率法一一三三三得六十一地半径又十万之二千七百八十二则本轮之半径一一○二得若干次轮之半径二三一得若干依此推之

　　系如图得丁

　　戊【月距地心十万分之

　　几】若干数亦

　　可得月距地

　　心若干地半径数有表【图説见前】

　　二系地半径差月距地心恒互推

　　三系若定地半径若干里亦可得月近逺若干里【有本解】论太隂清蒙气第二十一

　　日躔厯指有论有法以测清蒙差度分因之列表凡测太隂得其视髙则求地半径差加之得数又以清蒙气差减之为其实髙凡推太隂得其实髙则以地半径差减之得数又以清气差加之为其视髙但清蒙之差因地因时所在各异今表其折通用之率也必求本地本时之确数宜随处所积歳月累测以定之

　　测月径地景径第二十二

　　测日月径度西古史有本用仪器今以月食立法则厯家之正术也

　　总积四千○九十三年为周襄王三十一年子月日子正后【顺天府时刻下同】四十一刻○五分月食十二分之三约为四之一于时日躔降娄宫二十七度○五分月离夀星二十七度○五分月自行为三百四十○度○五分月距交九度二十分距黄道北四十八分半【依表算】

　　又总积四千一百九十一年为周景王二十二年戊寅月日子正后一十四刻○五分月食十二分之六约为半径于时日躔星纪一十八度一十二分月离鹑首一十八度一十二分月自行二十八度五十四分【前食月距本轮最髙二十度弱两食之较八度有竒俱在本轮上弧不能变逺近之数】月距交七度四十八分距黄道南四十分四十秒

　　如图日光照地面即地背生景形如角体渐小以趋尽月

　　过交入地景【一名

　　闇虚】有髙庳食分

　　为之大小今两

　　食时同在最髙之左右其距地等食分一为半径一为四之一其较为四之一距黄道一为四十分四十秒一为四十八分三十秒其较七分五十秒依法算月径四之一得七分五十秒依法四之得三十一分二十秒是月距最髙二十度之似径也

　　测月径度法详见三圜比例説

　　系凡食分为月之半径即月距黄道为景之半径因上数当食时地影半径为四十分四十秒

　　二系若食时能测定食分又推算得躔离自行距交距黄等诸率可得月径及景径不必用古两食法

　　日月距地率日月实径率地景长率总论第二十三

　　如图乙甲丙为日已丁戊为地日光照地以两光线从乙过己从丙过戊而遇于丑是生已戊丑角体之景次从

　　乙从丙至地心作乙丁丙丁二线又作甲丁丑线过日地两心次从地心丁上下取月距地心之数【地半径为度如上文所定】为丁庚为丁寅两距等作庚辛壬巳戊寅子线皆平行其太阳似径之度为三十一分二十○秒【欲解其义先定太阳之似径此在三圜説有各种法今用者古多禄某所定也又太阳行最髙最庳不等似径亦不等本章所用者日在最髙之似径也论月亦在小轮之最髙如下文】

　　庚辛丁直角形有庚丁【月距地】六十四又六之一有丁角【甲丙庚】一十五分四十○秒求庚辛法为全【内】与丁庚六十四又六之一【外】若丁角之切线四五五【内】与某数【外】得地半径十万分之二万九千一百九十六次求寅子【壬丑三角形内有庚壬丁戊寅子三线相距等用递加法三率之第一第三井为第二率之倍数】庚辛为月最髙半径度依多禄某説约与日半径度等又寅子为地景之半径四十分四十秒即两数之比例【庚辛十五分四十秒寅子四十分四十秒】为若五与十三先得庚辛二九一九六用三率法得寅子为地半径十万分之七万五千九百○九以并辛得一十○万五千一百○五以满丁戊之倍数二十万为不足地半径十万分之九万四千八百九十五为辛壬【丁戊倍之为二十万与壬寅子并等于倍数内减辛寅子井所余为辛壬】

　　次丙戊戊丁两线所作戊角拟为直角【实非直角其差极防非算所及】丙戊甲丁两线亦拟为平行【实非平行以差防故】用几何法【第六卷第二题】为戊丙与壬丙若丁丙与辛丙又丁甲与庚甲若戊丁【地半径十万】与壬辛【九四八九五】既丁甲与庚甲若戊丁与壬辛则甲丁为十万【若戊丁】庚甲为九四八九五【若壬辛】所余之庚丁必为○○五千一百○五先定丁为六十四地半径又六之一依变率法求甲丁得一二一○是日距地心如地之半径者一千二百一十也

　　以上系古法后世累代宻推有亚巴徳于总积五千六百○四年为唐昭宗大顺二年辛亥推得一千一百四十六倍歌白泥于正徳间推得一千一百七十九倍第谷于万厯间推得一千一百八十二倍此差列数至微推算极难或日径月径加减以分计则其差以数百倍计故名厯家于此殚思竭虑焉今时所用大都歌白泥之率也

　　一系依上论丁戊地半径为一万分庚辛月半径为一万分之二千九百二十六是为地月之两实径用此比例可推两体之比例

　　二系甲丙丁庚辛丁两形相似则庚丁与庚辛若丁甲与甲丙推得日实径与月实径之比例

　　三系可得甲丙与丁戊日地两实径之比例　以上三系详见三圜説

　　四系置日距地度及日与地之比例又距月行本轮距地度【于上图为丁寅】可得月所过地景之径列表其引数为月本轮自行之数然图説所设者日在最髙若去最髙即复异此故表有本行名地景差其引数为太阳之引数以所得之分与引数相减即得【无加法】葢日在髙景大在庳景小故也

　　月距地视差视径三家异率第二十四

　　汉章帝时西史多禄某术

　　月距诸率为地半径　　　地半径视差　月视径十单又十分【六十为半径】度十分【天度】　十分十秒

　　正徳间西史歌白泥术

　　万厯间西史第谷术

　　【刻尔白改之法今所用又测太阳视径】

　　【为冬至三十一分半夏至】

　　【三十分新法算书卷二十】

　　第谷及其门人

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>

　　钦定四库全书

　　新法算书卷三十　　　明　徐光启等　撰月离厯指卷三

　　三圜比例说第二十五

　　三圜者日一月二地三皆为圜体厯家先求其比例大小逺近之数为测騐推算之基本此诸数者骤言之似出恒闻习见之外故是信情所不能及如太阳之体目视之不过数寸耳曰大于地球之体一百五十倍谁即信之月与日人目不能别其大小曰月之体小于日防千倍谁即信之然从古至今诸厯名家测騐推以理以数反覆论定咸宗斯指迨用以求七政行度交食合防一切诸法非此不合即又无能不信也先臣邓玉函定着一书甄明此术引入月厯疑于过繁今择其要切者着于萹凡为题十借题一共十一题

　　借题【借题者不属本论借外论以为义据下文所必须也】

　　一地体为圆球【见表度説及地球图説】

　　二地球在大圜之中心【见测天约说及表度】

　　三目见物仅能定其似大小　目接于物物之诸分皆发本象来至于目目则全收其象云收象者非在目之外郛也睛本圎球有同鸟卵重重抱裹收象之处在其最中谓之瞳心若目视物之两端则四和线发来至瞳心合而成角为角体之形若视物之两端则两腰线发来至瞳心合成三角面之形凡角之末鋭必在瞳心名为视角角之大小称物之大小若视角极防目不见物乃不能定其大小若视角过大则目眶所限不能尽角之广必移目两视乃得全见

　　四同是一物在近见大在逺见小　以三角形之理明

　　之如图甲乙同底若腰长则底

　　之对角必小【甲乙线以近逺生目中视角大小】

　　五未定物之近逺目不能定其实大小　近逺大小视法皆有比例

　　六近逺两物大小不等若小者在近大者在逺而视角等则目定其大小亦等【如日月之视径等不知者疑其大小亦等不能辨其逺近不能分似大实大故也】

　　七有光之体体之各分能发光

　　八光景之限难分凡有光之体体之四周皆有切气借光于体亦可当有光之体而发浮光故表景之末渐至虚淡其浓实者是正光之景其虚淡者则浮光之景

　　第一题测太阳太隂之视径　凡八法

　　月去人近日去人逺先得月之视径及其视差乃可求日之大小逺近故先求月之视径　视大小之度在瞳心之视角角之度分即对弧之度分　人目在大圜之心【或在地心或在地面今此无分不烦别论】则天上度分为目所定视大小之度分故论日月视径皆用周天度如曰半度曰三十分则周天七百二十之一也

　　第一法　古用壶漏法【西土厄日多国人所剏】从午正初启霤至明日午正止权其废水得重若干次候月初升启霤【用原壶原水】升竟则止权其废水得重若干次用三率法先水若干得九十六刻后水若干得几何刻分为月径全升之时再用三率法得为全周之几何古亚利谷以此定为七百二十一分之一约为二十九分五十九秒　古依巴谷定为三十三分一十四秒　加白蜡定为三十六分　以上三术未定太隂最高庳自行近逺数多不合又水漏法参差之縁甚多难于切准或用沙漏自鸣钟其定太隂升降与此同法　以下诸法测日多通用第二法　后此厯家谓太隂出入升降舒亟无恒或经时不行【太白升降有时迟至一刻不见运动】或俄然陨坠凡此皆清之气所为也则气之中未可以行定时以时定径更立法植物为表或版或墙在目之南表之西际以当午线目在表北依不动之处候月之西周至于午线便须啓霤【或水或沙或自鸣钟】体全过午止霤考之得时得度与前法同

　　第三法

　　上法测用月午可免清之差然月行自有

　　迟疾以时定径亦未能得其实经度也

　　第谷别立一法两人用两象限仪月

　　正午同时并测一测其上弧距地平若

　　干一测其下弧距地平若干两数之较为月半径如总积六千三百○○年为万厯十五年丁亥在其本地测得上弧距地一十五度二十分下弧距地一十四度四十分其较三十四分为目之似径度分

　　第四法

　　或用横直二表及景符直表

　　平圭定上弧之高横表立圭

　　定下弧之高相减得径【用表求高

　　法见测量十卷】

　　第五法

　　两人同时同测一以表景求

　　高一以象限求高两高之较

　　日月之半径也表景得上弧

　　之高象限得心之高

　　第六法　第谷及其门人刻

　　白尔借古依巴谷多禄某法

　　爲木候仪先作木架立柱高

　　与人等柱端爲两运之轴【一周

　　转一上下】木爲长衡三分之一在

　　前二在后而入之轴上下左

　　右无所不可至也衡之两端

　　各立一表上表中心爲圆孔

　　径二三分下表与上表同心

　　从心作圏与上孔等圏之外更作数平行圏两表之间为景箫【法见测量全义十卷新仪觧】以束上景而致之下表也箫之下端剡寸许缺之令旁见下表之景圏或不用景箫则设之幽室独直上表其外以受日光达于下表室须黝黒絶无次光【日月火所照皆为正光所照之外而能见物皆其次光也】乃得实景用时以上表承日光在下表则成圆形必合一圏【不合更作合者】如甲为下表之心甲乙圏与上孔等光

　　之半径为甲丁取丙丁与甲乙等作丙

　　圏即甲丙与乙丁亦等乙为日周其光

　　至丁甲为日心其光至丙是两表相距若干因生大甲丙之光若干用三角形法求甲丙于两表之距度得几分即见日视角之度分法表相距之几丈尺与全若甲丙与视角之切线【查八线表取数】刻白尔用此得冬至日径为三十一分半夏至减一分有竒为是三十分则半度也第谷之表间一丈四尺冬至得三十一分【较刻白尔为少半分】系日视径有大小则为日之近逺既有近逺安得无最高最庳大不恒在冬至小不恒在夏至而有运移安得谓最高最庳不有运移假令不信日有自行则视径大小无义可説　若无本仪则于宻室中穴墙壁以版如上表法承日别用平表凖下表以受光诸法同前作孔或方或撱无所不可

　　若测月径光淡难分则上表之孔特宜加大刻白尔所测为月平【两留际也】距地少至二十九分半强多至三十一分一十二秒弱【光淡难定故】极近距地少至三十二分强多至三十四分一十八秒弱

　　第七法　以逺镜求冬夏二至两径之差法木为架以逺镜一具入于定管量取两镜间之度后镜之后有景圭欹置之管与圭皆因冬夏以为頫仰其管圭之相距则等至时从景圭取两视径以其较较全径为二至日径之差

　　第八法　测月求附近两恒星一左一右与月叅直以月之两弧当两星用纪限仪或弧矢仪测其两相距度分得径分

　　系月高庳有四限一在本轮次轮之两最高为极逺二在两轮之两最庳为极近三在本轮之高次轮之庳为中逺四在本轮之庳次轮之高为中近各限之径诸家所测多不等极近或曰三十三分或曰三十四乃至三十五分三十秒中逺中近或曰三十一分或曰三十二分三十五秒极逺曰二十九分三十杪

　　问古今一月也古今一仪也诸名家所测乃尔参差何以故曰其故多矣或人目有利钝不等或夜有幽明不等或太空氤氲之气有清浊厚薄不等是皆能变易视径为大小

　　其正法以月食为本【见本篇第】

　　本卷求日月径多从歌白泥所测葢取诸天騐月厯中大都宗本其说

　　第二题日月视径大小

　　古史记日食既者或言昼晦恒星皆见鸟栖兽宿或言月不尽掩日有金环

　　系如图中月全掩日即其似径与日

　　似径等此则食既于东生光于西既

　　与甚同时不移晷也如右图月体不

　　足掩日则有金环月之似径为小如

　　三图则食既以后更有食甚久而生光月之似径为大所以然者日在最高月在本轮最庳日高故视径小月庳故视径大则掩日有余也日在最庳月在最高日之视径大月小则掩日不足也俱在最高俱在最庳故两视径等则掩日适足也

　　第三题日食时月视径之小大随地不等

　　旧法于日全食时测定月之视径随时不等曰日在最庳月在最高则两视径约皆三十一分是以月掩日为适足若日高月庳是日小月大以月掩日则赢矣而或谓全食时有金环是有时月小而日大或曰无之此两说者古来通士疑弗能明也至近今二十年间名厯蔚兴世济其美辨义既晰测加精因而南北订然后乃知两视径随地各异究极根缘又知日食时絶难定视径之大小遂使千年疑障豁尔蠲除繇是观之理弥析而愈有智日出而靡涯数甚而难穷岂可见限自封谓循古为己足哉

　　按总积之六千三百一十四年为万厯二十九年辛丑十二月【建丑之月】朔西士某者第谷之高第弟子也于诺物亚国北极高六十四度有竒本日未初刻测得日全食月掩日不足四周都有金环广寸许约两视径为日大与月小若六与五于时推得日躔星纪宫二度二十二分是近最高冲其视径当为三十一分月自行四度三十八分是近最高其视径亦当为三十一分依恒法即两曜之视径宜畧等以相揜宜适足今实测为大小不等若六与五

　　同日其同门刻白耳于玻厄米亚国北极出地五十○度有竒则得月之视径为三十分半其相揜乃至尽又总积之六千三百二十一年为万厯三十六年戊申八月【建酉之月】朔于某地北极高约五十一度依法推得日食六分之一至期实测适合是为两视径相等同日于某地北极高五十七度推得日食十二分之一有竒至期实悉不见食是为日大月小两视径不等从上两食两名士功力悉敌秒分不爽人所共信宻推宻测无从得言作用有差而易地相方乖违乃尔盖逾近北日体逾大月逾小逾向南日体逾小月逾大以此见两视径不止随时大小亦随地大小又见日食时未能得两视径之真率又见日食分数未合不必尽因推步然其故何也

　　因之推本其故有二一曰气差一曰光体差一者清之性能令有光之体展小为大如日月星出入地时本体皆见为大其相距间亦见大又如平面玻璃镜以鉴物则景较形为大如轻云薄雾笼罩日体亦见为大皆是也今二史者一在诺物亚于时日轨高仅三度又冬月地寒在海中皆积气厚之縁也故日体得展小为大月无光则小于日一在玻厄米亚极出地减前一十四度又居平原不迩江河湖海于时日轨高一十六度气已消日体无繇得大则两视径等也是一差也二者月在日下人目视之叅直是生角体之形其底月体其末锐入于人之瞳心其周面则有光无光之界也两界间气愈厚生光愈多其照耀之势侵入于角体则月之魄体能为小如图目与月与日相直依推步

　　法两视径等然自目至月其间有气气映日生光必越本界而侵入于角体之限人目遂不能全见月故本非小视之若小

　　系日食时因气清浊为人见大小

　　二系日食之视分多寡因去极逺近若本地去北极近则日轨庳则气多则分数少去极逺则日轨高则气少则分数多【推步得数等窥视即不等】何者气多日轨庳熯湿之力未获全成即光大小故也日高者反是

　　因上论日之光体人视之有时能为大月之体人视之有时能为小近嵗名厯家既明其义【第谷之遗书多所未竣门人刻白耳辈增修其业日就精防】因用视法【依日轨高庳论气厚薄】用测量法【推步定法】立为均数列表以定日食时太隂太阳之视径从极出地二十度至七十四度或于太阳用加差或于太隂用减差其理一也表入交食厯中

　　第四题日月之视径与食径大小絶异

　　是其征有七凡视径【与似径同】时见大时见小必非其实也视也一征也即有时等而日在上去人逺月在下去人近则日之实径必大月必小二征也月掩日下土所见九服各异如此方此时日全食南北相去四五度【二百五十里而一度】即不见全食东西同时亦不见全食是则月入地球为小地视日亦小月视日更小三征也地景短不能

　　食荧惑何况岁星以上则地

　　小于日月过地景则食食时

　　见月小于地景则更小于日

　　四征也七政各有性情能力施暨下土其势畧等乃其视行有疾有迟行迟者其天周大人见为迟本行自疾所以然者逺故也近者行疾其天周小如舟行大水逺见行迟近见行疾因是能方所施近而疾者其见功亟逺而迟者其见功缓五征也月距日九十度其光过半圏则发光之体大受光之体小六征也因上推月距地为地全径者三十日距地为地全径者六百○五则日天比月天其大【算周】约二十倍日本天半度月本天半度则其比例为一与二十七征也

　　第五题月视地为小

　　义见全题三征四征

　　第六题月天视七政天为小去人最近

　　曷知之以交食知之凡言食者物在于彼有他物隔焉或亏或蔽则谓之食所食者必逺能食者必近也所食者必在外能食者必在内也以球论则内近心者必小外逺心者必大也试观月掩日日为之食日外月内不待言矣月掩恒星星为之食星外月内不待言矣独月与五星厯家言有时星食月有时月食星亦未然也夫星固未始有在月下者也厯稽古史多言月食五星而不言五星食月斯着明已今録略如左

　　月食辰星

　　一总积五千四百六十八年为唐宗天寳十四年乙未十二月

　　月食太白

　　一总积五千五百五十○年为唐文宗开成二年丁巳二月己亥日

　　二本年七月丁亥日

　　三五千五百五十五年为唐武宗防昌二年壬戌正月四本年三月

　　五六千○五十五年为元顺帝至正二年壬午七月乙未日

　　月食荧惑

　　一五千五百二十五年为唐宪宗元和七年壬辰正月辛未日

　　二五千五百四十四年为唐文宗防和五年辛亥二月甲申日

　　三六千○百二十七年为元仁宗延祐元年甲寅三月壬申日

　　月食嵗星

　　一五千四百七十五年为唐肃宗寳应元年壬寅正月癸未日

　　二五千五百一十九年为唐宪宗元和元年丙戌二月壬申日

　　三五千五百四十八年为唐文宗防和九年乙夘六月庚寅日

　　四本年十月庚申日

　　五五千五百五十二年为唐文宗开成四年己未二月丁夘日

　　月食塡星

　　一五千五百四十一年为唐文宗泰和二年戊申正月庚午日

　　二五千五百四十五年为唐文宗泰和六年壬子四月辛未日

　　三六千○○七年为元世祖至元二十一年甲午九月丙寅日

　　第七题求月之实径

　　测月之实径用地径古法也今依歌白泥术月平【两留际】距地度为三十地全径又四之一其视径三十二分二

　　十八秒推算如左

　　如图丁为地心乙甲

　　丙为月径三十二分

　　丁甲为月距地三十地全径成甲丁丙三角形有角有邉求乙丙得千分地全径之二百七十六弱为月全径约之得月一地三倍有半强若以周径法求之则七【径也】与二十一【周也】若六十○半地径【月天之半径】与月天之周依法算得一百九十地径又七之一以三百六十【天周平度】而一得一度为三十六分地径之一十九次以六十分而一率【六十分一度也】三十六之一十九为二率三十二分为三率求得二千一百六十分地径之六百三十六约得二十四之七或三有半之一同上率【若用月五限数所得大数同上零数小异不足算】

　　若用古多禄某数平距为四十九地半径视径为三十六分算得月实径为千分地径之二百七十或二百六十七不合天騐今不用

　　若用第谷数得千分之二百七十九比歌白泥嬴千分之三不足算

　　第八题求日之实径

　　如图日距地为地全径者五百八十九有半日视径三十一分四十秒【歌白泥术】即甲乙丁三角形有乙直角有甲

　　丁乙视角有丁乙句求甲

　　乙股法为全与五八九半

　　若一十五分五十秒之切

　　线与股【日半径也】算得二又千万之七百一十五万一千一百九十一半径也倍之得五又千万之四百三十○万二千三百八十二约得日全径为地全径者五又百分之四十三或五又半　或又周径法求之所得数同

　　第九题定日月实径各里数

　　天度里差古今不一今约定南北二百五十里而差一度以天周三百六十乗之得九万里求径得二万八千六百四十八里以日径数【地一日五又百之四十三】乗地径之里数得日之实径为一十五万五千五百六十五里月之实径为地径千分之二百七十六以乗地径之里数得七千九百○七里

　　第十题求日体之容

　　用测量全义第六卷法有径求周【法以二十二乘径七而一】得日体周为四十八万八千九百一十九里求周之圜面积【法以径乗周】得七百五十六亿【数万至万曰亿】五千八百六十八万四千一百三十五里求正面积【大平圏之积也法以周之圜面积四而一】得一百八十九亿一千四百六十七万一千○三十四里求其容【法以径三之二乗大平圜之积生球容之数】得一千九百五十○万一千二百六十五亿三千三百四十六万九千五百三十里为日体之容积也【测体之里度者乃实也六面之体各面一里见测量六卷】若以日体较地球之容用上比例数【地径一日径五又百之四十三】其法置五有竒再自之得一百五十一为日体容地球之数

　　若用第谷术【日距地为一千一百五十地半径日视径为三十一分】地球径与日体径为一与五又六之一置五又六之一再自之得一百三十九有竒为日体容地球之数较前术差一十二若用古多禄某术得七十六不合天今不用

　　第十一题求月体之容

　　月之实径与地求径若二与七【或六十分之一十七分九秒或千分之二百八十六】置两数各再自之得三百四十三与八置三四三八而一得四十三为月一地四十三以求里数同上法依第谷术为四十二

　　日地月三容积之比例　月一地四十二地一日一百五十一以四十二乗一百五十一得六千三百四十二为日体容月体之数

　　因上法能推日本天月本天可容地球之数

　　测月距地之高第二十六

　　用此法可测日月五星去人逺近度分及自相距各度分第一法两地并测

　　一人在北如顺天府北极出地三十九度五十五分【平度】测时月在午正得其距天顶设四十三度一十三分又一人在南与顺天府之地经度等数【地球有南北度如云北极出地若干度南行二百五十里而减一度北行加一度是也名曰地纬度若两地同时刻而见月食是两地同在一子午圏下是东西经度也赤道下两地亦相去二百五十里而差一度是名地经度】如广州府【顺天府经度约在广州之东为五分刻之三或赤道三度高数甚大不因此差以为乖爽】北极出地二十二度一十二分测时月在午正得其距天顶二十五度一十九分

　　如图丙为地心卯丑甲为地面辛巳丁为子午圏戊丙

　　为赤道线【截球如简平仪法】距赤道戊二十二度一十二分为已是广州之天顶作己丙线截地面于乙乙即广州也又距赤道戊三十九度五十五分为丁是顺天之天顶作丁丙线截地面于甲甲即顺天也次从甲从乙作甲丑乙夘切地球之两线为两府之各地平线两人在甲在乙各测月作视线为甲辛为乙辛作辛丙为月距地心线又作甲乙底线今所求者辛丙也

　　法甲乙丙角形有甲丙乙丙两等腰【俱地球之半径俱为全数】又有乙丙甲角【两地相距之度】一十七度三十八分求甲乙线【法有二一用三角形法一用通甲乙线者甲午乙弧之通也】算得乙丙为十万即甲乙为三○六五四

　　次辛乙甲角形有甲乙邉又有甲乙两角何者甲丙乙形丙角为一十七度三十八分以减两直角一百八十度余甲乙两角并为一百六十二度二十四分平分之得八十一度一十二分为乙甲丙角又先测定己甲庚角四十三度一十三分即两角并得一百二十四度二十五分以减两直角余五十五度三十五分为乙甲庚角也　次以甲乙丙角八十一度一十二分减两直角余九十二度四十八分为甲乙壬角又先测定壬乙癸角二十五度一十九分即两角并为一百一十八度○七分为癸乙甲角也　以求辛乙边法引长辛乙边作

　　甲酉垂线成甲酉乙直角形形有

　　乙角为辛乙甲【即癸乙甲】角之余有甲

　　乙求得甲酉边又求得乙甲酉角

　　以并辛甲乙【即庚甲乙】角得辛甲酉角

　　又求得乙酉边　次甲辛酉直角

　　形有甲酉边有甲角求得辛酉边

　　去减乙酉余为所求辛乙边得五四三四五○约为五十四地半径

　　次辛乙丙角形有乙丙地半径【即全数】有辛乙边又有辛乙丙角何者先得甲乙丙角八十一度一十二分又得甲乙辛角一百二十四度○八分并得二百○五度二十分以减全周得一百五十四度四十分以求丙辛边

　　法引长辛乙边从丙角作丙子垂

　　线成乙子丙直角形形有丙乙边

　　又有丙乙子角【即丙乙辛角之余】二十五

　　度一十九分先求丙子及子乙次辛丙子直角形有丙子句辛乙子股求辛丙法丙子辛子各自之并而开方得五五四一约五十五地半径又十分之四强为月距地心之度也

　　第二法本地自测

　　用月全食于食甚时测月轨高又推太阳经度以定太隂经度查高弧表或用测量【全义八卷】法求月在本时本经度之地平实高与所测视高相减为视差角则成三角形其一边为地半径一角为月视高角之加角【本角外加一象限】一为视差角法求视余角之对边得月距地若干如西士玉山玉干【厯学名家】于总积六千一百七十四年为天顺五年辛巳六月【建巳之月】某日亥正初刻【本地时刻】月食太阳躔鹑首宫九度三十四分三十四秒月离星纪同食甚测月轨视高十七度半又因本法推日下度月实高度俱一十八度三十一分视实两高之较六十一分为视角之度分

　　如图已为日甲

　　为地壬为月叅

　　直乙丙为实地

　　平癸寅为视地

　　平测日在癸视

　　线为癸辰夘视

　　差角为癸壬甲

　　癸壬甲形有癸

　　甲【地半径全数】有壬

　　癸甲角【午癸辰为视高角更加一象限为壬癸甲角】一百○七度三十○分有癸壬甲【视差】角六十一分又有癸甲壬角【实高角丙甲戊之余角】七十一度二十九分求甲壬边法曰对角之正与对角之正若角与角置甲癸全数为一算得五十四有半是本时月距地为五十四地半径又半弱

　　第三法本地自测

　　用日食西儒丁氏于总积六千二百八十○年为隆庆元年丁夘四月【建夘之月】初九日午正【本他罗玛府时刻】时日食测候得日轨高五十九度一十分食既有金环于时日躔降娄宫二十八度三十八分赤道北距一十一度○一分四十一秒本地极高四十一度五十○分二十○秒因食既必地月日相叅直为一视线随用月厯表及三视差法推得月实距太阳二十九分以加测高度【五十九度一十分】得五十九度四十二分四十四秒为月之实高度分

　　如图甲为地心乙为地面为测目所在己为月丙为日甲辛为实地平庚为天顶从地心过日心作甲丙壬线过月心作甲巳戊线定日月两实高度【或称辛壬弧辛戊弧或称其余

　　庚甲壬角庚甲戊角】又从目

　　过日月心作乙巳

　　丙丁线定日月并

　　距天顶度为庚丁

　　弧或庚乙丁角因

　　成甲乙巳三角形

　　形有甲乙边为地

　　半径有己甲乙角

　　为月实高之余度

　　【实高五十九度四十二分四十四秒其余三十○度一十三分一十六秒】又有甲乙巳加角【所测之月视高度加一象限共为一百四十九度一十分】求甲巳边【有二角自有第三角其法两角之正与两角各对边比例等】筭得五十六地半径弱为月距地心之度

　　第四法本地自测

　　用月食恒星时如上以日食时推月之实高测月之视高立法今以恒星立法如总积六千一百九十九年为成化二十二年丙午太阳躔大火宫六度三十分西史玉山玉干晨见月周下切轩辕大星随时测得本星高

　　四十五度本地极出地四十九度

　　二十六分于时为夘正初刻月离

　　鹑火二十二度四十○分在黄道

　　北距二十六分　有时有极高度

　　有日躔有星高有月下周之视高

　　【恒星之实高与视高为差极防】有月之经度纬度可得月之实高【若以月心为实高减月半径一十六分得用下周为实高】两高之差以求月距地心如上法

　　第五法推月在黄平象限时或推在南至时或候午线时测其高随时推其实纬度两高加减得视差之角见前卷

　　测日距地之高【附】

　　第一法用测月第一

　　第二法午正时测得日轨之视高随推其本时经度纬度得其实高两高相减得数为视差【名地半径差】或用日躔厯指图有地心人目在地面日在视地平成三边直角形有目心边【地半径】

　　有目心日角【目见日出入时其半在地平上半在地平下疑为初度分非初度分也为所见者视地平非实地平也其在中距为差三分最高二五四最庳三○七见日躔表】求心日线法全数【内】与目心边【外】若日角之余割线【内】与日心线【外】算得一千一百四十五地半径为日距地心之度　若日在地平上亦如在午法一测一推求视差

　　第三法用月食正法也【见上章】

　　总论月天象数及表原第二十七

　　依上论分别太隂象数凡为球体者四第一与第二为表里皆与地同心第一球之太圏【一名中圏一名腰圏】为白道白道与黄道两交而分为斜角两交之处一曰正交一曰中交第二球者复球也复球以外大球以内函两小轮焉小轮之大者为第三球名曰本轮亦曰自行轮轮之径为两大球之距小轮之小者为第四球名曰次轮

　　如图外大圏白道也又名月

　　天大圏【他轮其中】又名斜圏【斜交

　　于黄道】亦名交周亦名龙头龙

　　尾之圏【正交为龙头中交为龙尾本圏两交黄道

　　其两交防时时迁运】亦名九道【一白道也在黄

　　道之四方皆有内外并黄道为九焉元以来不用此术】

　　表里二天中容小轮一体左旋【如宗动天行与七政违行】小轮从之一日行三分一十秒四十七防一平年【三百六十五日】行一十九度一十九分四十三秒凡六千八百九十三日有竒而一周

　　四球合体总名曰月本天其南北二极距黄道二极各五

　　度有竒【上论黄白道相距或内或外最逺者五度有竒】夫黄道行天不以黄道极为枢而以

　　赤道极为枢故黄道极去赤道极二

　　十三度有竒而环行名曰黄道极圏

　　月道行天不以白道极为枢而以黄

　　道极为枢故白道极去黄道极五度有竒而环行名曰白道极圏【如上图　图有两黄其外则外天黄道或日天或宗动任意之】

　　月本天中自有三行一曰交行二曰本轮自行三曰次轮自行三行各有轨辙其辙迹安在在其大圜平面也何谓大圜平面如本天白道为大圏【球之腰圏最大】从白道判本球为二即所判之处为两大平面交行在其周本轮次轮行皆在其面也

　　两交一名正交一名中交月在正交向黄道内行九十度谓之正半交此半周谓之隂厯过半周为中交向黄道外行九十度谓之中半交此半周谓之阳厯过半周而复于正交为交终西厯谓之龙头龙尾盖两道间成蟠曲之形腹粗末细有若虫蛇非谓有龙食月如俚俗之说也又谓之登降之交月行黄道内自南之北渐高于地平则言升行黄道外自北之南渐向地平则言降或称外内或称上下其义一也若罗防计都之名非古厯所有疑出于九执唐人再用九执厯僧一行写之而未尽陈景争之而不得独两交犹仍其译言耳

　　本厯恒年表横分四节其第三节为正交行度【即罗计行度】因其左旋【与七政违行】故岁减岁行之率【太阳恒年表纪年有平年闰年序减忽加者闰年也忽缺一宿者闰年也太隂纪年与之同法】每平年减一十九度一十九分四十三秒【三百六十五日行度】每闰年减一十九度二十二分三十三秒【三百六十六日行度】若用加法则平年每加一十一宫一十度四十○分一十七秒闰年加一十一宫一十度三十七分○七秒其得数同也

　　恒年表以冬至为界每年从天正冬至子正后起算是为实根若每日每时刻之细行交分不以冬至为界则为虚根但随日随时计其度分累积之【日行三分一十一秒】凡累积皆用减法

　　平行圏者太隂全天表里二球之中圏也与地同心为本轮心平行之轨道故名负小轮圏其行顺七政右旋【自星纪至枵也】其界有三　第一以节气为界如冬至春分等【或以宫次】一日行一十三度一十分三十五秒○一微为月之距节平行分【止右旋一行】满一周得二十七日三十○刻一十三分○五秒为交终　第二以太阳经度为界太阳平行经度日五十九分○八秒二十○微月之日行多太阳之日行少以少减多得一日之相距一十二度一十一分二十三秒四十九微满一周又逐及于日为朔策【或防望策　太隂距太阳行二十七日有竒而一周其间太阳亦行二十七度有竒则太隂行一周外又二十七度有竒而逐及于日与之防共为二十九日有竒也】其日率西厯前后四家大同小异　一多禄某为二十九日五十○刻○九分○三秒二十○微正　豊所王【大余同上】小余二微五十八纎五十一二十二末　歌白泥一十微三十八纎○九二十○末　今世第谷八微三十九纎四十六四十八末第谷之测筭极密今新厯用之　第三以正交为界正交逆行【左旋】太隂顺行【右旋】一向左一向右两

　　相违背故距交一行谓之杂行两

　　行相并【正交行三分一十一秒太隂行一十三度十分三十

　　五秒】得一十三度一十三分四十六

　　秒　此第三行度即太隂恒年表