新法算书卷八十一
新法算书卷八十一
钦定四库全书
新法算书卷八十二 明 徐光启等 撰八线表卷下
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
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<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
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<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
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<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
增 凡所设之弧过象限而求其正等线者即以半周
内减之用其较查表即得所求如设一百
三十度之弧求其正即以一百八十度
减之余五十度查五十度之正切割等
线图説见前
论乙丁为一百三十度之弧其正为丁
己其余丁庚则丁己线为乙丙丁弧及丁
戊两弧之正他线类如此则查表用五十度之弧亦得一百三十度之等线数
八线表代句股开方法
一设股求句 用正余代 【直角傍两腰各能当句股两名互用之同理】
法以【外数】为一率 全数【十万】为二率股【外数】为三率 如法求得第四率【即正内数】查八线表正相近而略少者取【其余以设】
乗之得数右减五位即所求勾数
如为五十八股为二十五以全乗股得二五○○○○○以五十八除之得正四三一○三查表正弦与此数相近而略少之余九○二三三以设五十八乗之得五二又三三五一四为所求句外数
一 五十八【外数设数】 一 十万【内数 即全】
二 十万【全数】 二 五十八【外数】三 二五○○○○○【股外数】 三 九○二三三【勾内数即余】四 四三一○三【正内数】 四 五二又三三五一四【勾外数】
二设勾求股【亦用正余代】
法以外数为一率 全数十万为二率勾外数为三率 如法求得第四率【即勾内数正】查八线表正相近而略少者取其余以
设乗之得数即所求股数
如为一万二千九百四十五勾为七千七百六十七以全乗勾得七七六七○○○○○以一万二千九百五十四除之得正六○○○○查表正与此数相近而略少之余八○○○三【去三作○】以设一万二千九百四十五乗之得一○三五六为所求股外数
一 一二九四五【外数】 一 十万【全数外数】
二 十万【全数】 二 一二九四五【外数】三 七七六七○○○○○ 三 八○○○○
四 六○○○○ 四 一○三五六
三设勾股求用割切线代
法以勾外数为一率全数为二率股外数为三率如法求得第四率【即切线内数】查八线表切线与此数相近者取其割线以句外数乗之
得数右减五位即所求数
如句设一百五十六股设四十七以全乗股得四七○○○○○以句一百五十六而一得三○一二八【即切线内数】查表切线与此数相近者之割线得一○四四四○以句一百五十六乗之得一六二九二六四【即所求○】一 一百五十六【句外数】 一 十万【全数】
二 十万【全数】 二 一百五十六【设句】
三 四七○○○○○ 三 一○四四四○【割线内数】
四 三○一二八 四 一六二九二六四○
新法算书卷八十二
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>
钦定四库全书
新法算书卷八十三 明 徐光启等 撰防何要法
防何总论
防何家者脱物体而空穷度数数其截者度其完者度有三曰线曰面曰体线以度长短面以度广狭体以度厚薄线自始引为线线展为面面运为体者无长线者无广面者无厚为线之界线为面之界面为体之界体不可为界线面体防何之论起焉
界说章第一【十六则】
界者一物之始终解篇中所用名目作界说
第一界
防何者度与数之府也
第二界
者无分无长短广狭厚薄故无分如上图甲真圆□一真平相遇处止一防毕世积防不能结线【凡图十干为识干尽用十二支等字】
第三界
线止有长无广厚如一平面光照之有光无光之间不容一物是线也如上甲乙图毕世积线不能结面
第四界
面者有长有广无厚一体所见为面凡体之影极似于面无厚之极也如上甲乙丙丁图毕世积面不能结体
第五界
体有长有广有厚如上甲乙丙丁戊己庚图
第六界
分者防何之防何也小能度大而尽之无赢不足者以小为大之分若小不能尽度大当称防分防何之防如上甲乙四与丙丁八戊己十二等数皆能尽分者则甲乙四为丙丁八戊己十二之分
若庚辛四与壬癸六一即赢二即不足不能尽度者不得正名为分则称之为三分六之二【他数仿此】
第七界
者非防何故不能为线及诸防何之分
第八界
线非广狭之防何故不能为面之分
第九界
面非厚薄之防何故不能为体之分
第十界
线有曲直线之一能遮两界是直线如上图甲乙不遮则不直如下图丙丁
第十一界
面之中间线能遮两界不碍不空是平面如上图甲乙
丙丁不遮则不平如下图戊己庚
第十二界
直线垂于横线之上为横线之垂线如上图丁乙为甲
丙之垂线
第十三界
两直线于同面行至无穷不相离亦不相逺终不得相
遇者为平行线如上甲乙丙丁两线
第十四界
两防何以防何相比之理为比例两防何者或两数或两线或两面或两体各以同类大小相比谓之比例若线与面或数与线此异类不为比例若同类相比而不以防何亦不为比例也如白线与黑线或有穷之线与无穷之线虽则同类实无比例有穷之线毕世倍之不能及无穷之线故也
凡比例有三种有数之比例有量法之比例有乐律之比例本卷论量法之比例
第十五界
比例相续不断为连比例其中率与前后两率递相为比例而中率既为前率之后又为后率之前如上图甲二与乙四比乙四又与丙八比是也第十六界
中率一取不再用为断比例如上图甲四自与乙八比丙六自与丁十二比是也
备噐章第二
防何在厯家则多用图画图必先备噐噐有三曰尺曰规曰矩尺以画线而贵直规以画圜而贵调矩以画方而贵凖噐凖矣不识用法则茫无措手今以用法着于篇
审尺章第三
画图首画线线贵直线界于尺故先求尺直
如甲乙为尺面丙丁为尺侧一棱先以丙丁画一戊己线丙合戊丁合己次转丙丁棱画一己
戊线丙合己丁合戊不出不入则尺直矣不直再当琢削画线章第四
尺既直矣线可无曲然画时又有法须以鐡或铜铸笔上长其柄令可把手下截濶出复渐窄而下其正面削
极平背令稍圆去末寸许作一小
窝窝下渐细至末用时以墨汁入
小窝以平面倚尺作线则墨汁自就下或恐墨污其地将尺削去丙丁侧一棱则墨线莹细如丝即作于规末亦得
审平面章第五
平面者诸方皆作直线
法曰如甲乙丙丁为面欲审其平即用直尺施于甲角绕面运转不碍不空全合直尺是平面也
引线章第六
有一短直线求平引长之
法曰如有甲乙线欲平引长之先以甲为心以乙为界画小半圜以乙为心任取一度于小半圜上下各作规界线为丙为丁次以丙丁为心任取一度向前作短界线相交为戊末引甲乙线至戊则得所求若欲
更引长仍依此法
平分直线章第七【法有二】
有有界之线求两平分之
第一法
如有甲乙线求两平分先以甲为心任用一度但须长于甲乙线之半愈长愈凖向上向下各作一短界线次用元度以乙为心亦如之两界线交处即丙丁末用尺作丙丁直线即甲乙有
界之线两平分于戊矣
第二法
若所分之线下面无地可作短界线即于甲乙线上先画两短界线于丙次或开或收规度仍前从甲从乙向上又作两短界线于丁规度愈相逺画线愈凖末以丙丁二交用尺
如前画线则得所求
作垂线章第八【法有四】
有一直线任于一上求作垂线
第一法
甲乙直线任指一防于丙求丙上作垂线先于丙左右任用一度愈逺愈凖各截一界为丁为戊次以丁为心任用一度但须长于
丙丁线向丙上方作短界线次用元度以戊为心亦如之两界线交处为己从己至丙以尺画线则得所求
第二法
于丙左右如上法截取丁与戊即任用一度以丁为心于丙上下方各作短界线次用元度以戊为心亦如之则上交为己下交为庚末作己庚直线视直线交于丙防即得所求若丙防在
甲乙端上则当暗引长甲乙线后如前作亦得
第三法
若直线甲端上求立垂线又甲防外无地可暗引线则先以甲乙原线上方任取一防为
丙以丙为心甲为界作大半圜圜界与甲乙线相遇为丁次自丁至丙依前法作直线引长之至戊为戊丁线戊丁与圜界相遇为己末自己至甲作直线即所求
第四法
若甲乙线所欲立垂线之防乃在线末甲界上甲外无余线可截则于甲乙线上任取一防为丙如前一二法于丙上立丁丙垂线次
以甲丙丁角两平分之【分法在后三卷第四章】为己丙线次以甲丙为度于丁丙垂线上截戊丙线又用元度以戊为心向己作短界线为庚末自庚至甲作直线得所求立垂线章第九【法有四】
有无界直线线外有一求自彼作垂线至直线上
第一法
如有甲乙无界直线直线外有丙防求自丙防作垂线至甲乙线先以丙为心向直线两处各作小半圜或两短界线为甲为乙次仍用一度以甲为心向丙防相望处作短界线
又以乙为心亦如之两线相交处为丁末自丙至丁作直线截甲乙线于戊则丙戊为垂线
第二法
于甲乙线上近甲或乙任取一防为心以丙为界作一圜界于丙防及相望处各稍引长之次于甲乙线上视前心或相望如前图或进或退如后图任移一为心以丙为界作一圜界与前圜交处得丁末自丙至丁作直线得丙戊垂线
第三法
若丙防垂于甲乙线之界不能于丙左右画圜如前二图又或不能暗引长甲乙线则当以甲为心于丙及相望处各作短界线于丙于丁又进以乙为心以丙为界仍相望作两短界线末从丙丁二交处作直线则得
所求
第四法
若甲乙线在面之邉且下无地可措规如前四图则当用前章第三法或以丙为心任指甲乙线上两为丁为戊次任取一度以丁为心向丙上作短界线次用元度以戊为心仍向丙上作短界线交于己末自己至丙作直线引长之至庚得所求又有便法在后平行线中
作平行线章第十【法有三】
一求作直线与原设直线平行
第一法
于甲求作直线与乙丙线平行先任作甲丁线与乙丙斜交次以丁为心任作戊己圜界次用元度以甲为心作庚辛圜界稍长于戊己次取戊己圜线为度于庚辛圜界截取庚辛末自甲至辛作直线即所求
第二法
先以甲为心于乙丙线近乙处任指一作短界线为丁次任用一度以丁为心向丙截取一分作短界线为戊又用丁戊元度以甲为心对甲平行作短界线为己次用甲丁
元度以戊为心对甲平行作短界线于己末自甲至己作直线即所求
注曰凡有不等度须一度用一规始元度不爽如一规而数易其度则元度永不复矣此丁先生秘法
注曰以上二法以甲防定逺近若无甲防任指所欲逺近为界可当甲防
第三法
此法比前法更简易即西本防何亦未载乃敝师伯先生所授如有甲乙线任逺近求作平行线近甲取心向上以所求逺近为度作小半圜次用元度近乙取心向上复作小半圜末以尺依半圜为界作直线即所求
注曰以上平行数法可推用作沿邉直线之垂线如有甲乙线求乙线界上作一垂线先以乙为心向甲任取一防为丙又用元度以丙为心向甲指一防为丁又以乙为心任取一度向上方作一短界线愈逺愈凖又以丁为心用元
度仍向上方作一短界线与前界线相交于戊次自戊至丙作垂线末以前作平行线法随用一法以丙乙为度作平行线正垂在乙防上即得所求
求分一直线任为若干平分章第十一【法有四】
凡造厯象数欲分直线为不等分不谙其法大费手力抑且不凖宜熟后法以便用
第一法
如甲乙线求五平分先从甲任作甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作五平度为甲丁丁戊戊己己庚庚辛次作辛乙直线末用平行线法作丁壬戊癸己子庚丑四线皆与辛乙平行即壬癸子丑与甲乙为五平分
第二法
如甲乙线求五平分即从乙任作乙丙线为丙乙甲角次于乙丙任取一防为丁作丁戊线与甲乙平行次从丁向戊任作五平分为丁己己庚庚辛辛壬壬癸而丁癸线令小于
甲乙次从甲过癸作甲子线遇乙丙于子末从子作子壬子辛子庚子己四线各引长之而分甲乙于丑于寅于卯于辰为五平分
第三法
如甲乙线求五平分即从甲从乙作甲丁乙丙两平行线次从乙任作戊己庚辛四平分次用元度从甲作壬癸子丑四平分末作戊丑己子庚癸辛壬四线相聨即分甲乙于己于辰于卯于寅为五平分
第四法
此法极简极神可分百千不等之线与百千不等之分
先作一噐如丙丁戊己为平
行线任平分为若干格噐愈
大格愈宻其用愈广格毎分
作平行线相聨今欲分甲乙
为五平分即规取甲乙之度以一规髀任抵戊丙线上一规髀抵第五庚辛线上如不在庚辛者即渐移之至线界而止既至壬即戊壬之分为甲乙之分
又如有甲乙线求十七平分先以规取甲乙之度以一
规髀抵戊丙
线一处以一
规髀抵此噐
庚辛第十七
格为壬次从
戊至壬画一直线次取所过两格相距之度以此为凖分甲乙直线则得十七分矣或图小而所分者大欲广其用则逓倍之如图一尺欲分一丈为十九分须取一丈十分之一为一尺用前法为十九分后以尺逓十倍之则一丈己分为一百九十分矣毎十分作识如所求余以此推之
一直线求截所取之分章第十二【法有二】
第一法
如有甲乙直线求截取三分之一先从甲任作一甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作所命三分之平度如甲丁丁戊戊己为三分也次作乙己直线末作丁庚线与己乙平行即
甲庚为甲乙三分之一也
第二法
如甲乙直线求截取七分之三先以前章法分甲乙线为七分后取其三于庚则得所求如欲截取十分之七十四分之九等不均之数亦如之
有一直线求截各分如所设之分章第十三【一法】
法曰甲乙线求截各分如所设甲丙任分之丁戊者谓甲乙所分各分之比例若甲丁丁戊戊丙也先以甲乙甲丙两线相聨于甲任作丙甲乙角次作丙乙线相聨末从丁从戊作丁己戊庚两线皆与丙乙平行即分甲乙线于己于庚若甲丙分于丁戊焉
有直线求两分之而两分之比例若所设两线之比例章第十四【一法】
法曰如甲乙线求两分之而两分之比例若所设丙与丁先从甲任作甲庚线为庚甲乙角次截取甲己与丙等己庚与丁等次作庚
乙线聨之末作己辛线与庚乙平行即分甲乙于辛而甲辛与辛乙之比例若丙与丁
有两直线求别作一线相与为连比例章第十五【法有二】
第一法
有甲乙甲丙两线求别作一线相与为连比例者任合两甲乙甲丙为甲角而甲乙与甲丙之比例若甲丙与所求他线也先于甲乙引长之为乙丁与甲丙等次作乙丙线相聨次从丁作
丁戊线与丙乙平行末于甲丙引长之遇于戊即丙戊为所求线【若以甲丙为前率仿此】
第二法
以甲乙乙丙两线聨作甲乙丙直角次以甲丙线聨之而甲乙引长之末从丙作丙丁为甲丙之垂线遇引长线于丁即乙丁为所求
线
三直线求别作一线相与为断比例章第十六
法曰甲乙乙丙甲丁三直线求别作一线相与为断比例者谓甲丁与他线之比例若甲乙与乙丙也先以甲乙乙丙作直线为甲丙次以甲丁线合甲丙任作甲角次作丁乙线相聨次从丙作丙戊线与丁乙平行末自甲丁引长之遇丙戊于戊即丁戊为所求线
两直线求别作一线为连比例之中率章第十七法曰甲乙乙丙两直线求别作一线为中率者谓甲乙与他线之比例若他线与乙丙也先以两线作一直线为甲丙次以甲丙两平
分于戊次以戊为心甲丙为界作甲丁丙半圜末从乙至圜界作乙丁垂线即乙丁为甲乙乙丙之中率
新法筭书卷八十三
钦定四库全书
新法筭书卷八十四 明 徐光启等 撰防何要法
总説
圜成于线线有二种为曲为直直线或单或众前卷已详之众线或三而成三角形或四而成方形或多而成诸不等形曲线或半或全半线有不等之用全线或成圜形或成卯形等角形及方形卯形详见后卷今先论圜形
界说章第一【十二则】
第一界
圆形于平地居一界之间为圜
第二界
外圆线为圜之界
第三界
圜之中处为圜心
第四界
自圜之界作一直线过中心至他界为圜径如上图甲
丁乙戊为圜界丙为心甲乙为径
第五界
凡直线切圜界过之而不与界交者为切线如上图甲乙丙线是也若先切圜界而引之入圜内则谓之交线如丁戊是也
第六界
凡两圜相切而不相交者为切圜相切而相入者为交圜加上图
第七界
凡直线形居他直线形内而此形之各角切他形之各邉为形内切形如上图丁戊己为甲乙丙形内切形
第八界
凡直线形居他直线形外而此形之各邉切他形之各角为形外切形如前图甲乙丙为丁戊己形外切形其余各形仿此二例
第九界
直线形之各角切圜之界为圜内切形如上图甲乙丙形之三角各切圜界于甲于乙于丙是也圜之界切直线形之各角为形外切
圜同上图
第十界
直线形之各邉切圜之界为圜外切形如上甲乙丙形之三邉切圜于丁于己于戊是也
第十一界
一圜之界切直线形之各邉为形内切圜如前图
第十二界
一直线之两界各抵圜界为合圜线如上图之甲乙线
造规章第二【法有四】
圜形以至圆为凖至圆必出于规规必欲极凖极顺其用甚活乃堪造厯凡造规之法有四详列于后
第一法
先以铜或鐡范成二股上濶下窄至末而鋭近头小半截作凹凸状令可相合次以钉钉其圆头贵寛得宜任意可开收规下半截为规髀一规髀作墨池如首卷第三章法以适用凡欲造厯象必须备规其造式见后规图
第二法
凡规有三用一画虚线则须铅条当先以铜叶为管虚其中横开小路上套小铜圜可上下松以出入铅条末畧奓出以留小圜如下甲图一画墨线则当作墨路如前章法如下乙图一画铜板线须以纯钢为末如下丙图右三髀俱另作不相连本规其本规如前法造但截去一髀临截处长半寸许作一小箱状虚其中亦令方可受规髀柄如下图丁处箱面作旋螺用时任入一规髀以铜消息如旋螺者贯定之如下戊图则任意可画线而一规可具三用矣此为第二法如下图
第三法
造厯恒用规依比例法分线分圜或以大形移变小形或以小度移变大度其分法稍难今作一四髀规或铜或鐡畧如剪形上下作四规髀上短下长令上凖下度或半或三之一或十之一及种种不等则作线圜时或欲以大变小先以下髀取度次以上髀移度或欲以小变大先以上髀取度次以下髀移度则得所求其或半或三之一或十之一俱从髀之长短而分下愈长则度愈大上愈短则度愈促
第四法
前三种规长不逾尺止堪小用如欲造玑衡大噐则当
更变其式如下图其规以铜范为极方条上下如一任作防尺于条左末作锥垂下二三寸以纯钢为之更造一锥与前锥等上方寸许仍凿方孔令透可受方条任逺近可推移方孔旁更凿圆孔仍前法作旋螺贯定方条使两锥坚定不爽分毫可画大圜如下图
有圜求两平分之章第三【一法】
如有甲乙丙圜求两平分用尺任以圜一处为界正过心画一直线则圜体两平分矣
有圜之分求两平分之章第四【一法】
如有甲乙丙圜分求两平分之先于圜分两界作甲乙线次两平分之于丁从丁作丙丁为甲乙之垂线【一卷第八章】即丙丁分甲乙圜分
为两平分若有圜不露其心又求两平分之亦如此法有圜求四平分之章第五【一法】
凡立天象多用四分圜为周天四象限故造法不可不凖如有甲乙丙圜求四平分先以前法作甲乙线过戊心两平分之次依作垂线法于戊心上自丙至丁作垂线得所求
有圜求六平分之章第六【一法】
凡厯家分周天度多用六数或十二或二十四今详其法如有一圜求作六分不用他法惟以画圜之元规周圜界六歩则自然分为
甲乙丙丁戊己六平分矣
有圜求十二平分之章第七【一法】
先以本卷五章法四平分于甲乙丙丁次以画圜元规从甲从乙上下各指一防又从丙从丁左右各指一则得所求若欲二十四分毎分为两则得所求矣
有圜求三百六十平分之章第八【一法】
凡厯家所用细分周天度以三百六十为率今详其法
如有甲乙丙圜先依前法四平分之为四象限次以规
元度依前法十二平分为十二宫
就以所分十二宫各三分之各包
十度次毎十两平分之各包五次
毎宫又五平分之各包六今用六
度之规至终不改从子宫初一度歩
起完一周又次从初五度初十度
十五度二十度二十五度各歩完一周则平分三百六十分矣
有圜之分任截防度章第九【一法】
如有甲乙圜之一分欲取三十五度如用常法必须先求圜分之心依后十一章法成圜后均分三百六十乃取三百六十之三十五分其法颇繁今有简妙法先备一铜板分一子丑寅象限为九十分合极凖设有甲乙圜之界自甲起欲取三十五度之分先从甲至圜心作甲丙半径线如与子丑寅象限半径合
则移彼度子卯至甲乙线上至庚即得所求如大小不合则以规取子丑寅半径以丙为心或甲乙内或外作一圜分若丁戊圜在外则当引长甲丙线至丁取子丑寅限三十五度以丁为始移于丁戊圜上至己从丙心过己作一直线截甲乙于庚则甲庚为甲乙圜上三百六十分之三十五也若所范铜板欲其用广当从寅心重重作圜与子丑平行又自子丑外圜逐度引直线至寅心后所欲取圜分之度若其半径与子寅不等或同于他子丑内圜之半径则可径移其度于所分圜上不尔仍用前法
有圜求防其心章第十【一法】
如有甲乙丙丁圜欲求其心先于圜之两界任作一戊己直线次以平分线法作丙丁垂线两平分之于庚则庚为圜心
有圜之分求成圜章第十一【一法】
如有甲乙丙圜分求成圜先于圜分任取三于甲于乙于丙从甲至丙丙至乙各作一直线各两平分于丁于戊次于丁戊上各作垂线相交处为己末以己为心以圜为界旋转即得所
求
任设三防不在一直线求作一过三之圜章第十二【法有二】
第一法
如有甲乙丙三防求作一圜贯之先以甲为心任取一度向乙上下各作小圜分又以乙为心向甲仍用元度上下各作小圜分相交处为丁为戊次又以甲为心向丙上下作小圜分如前
次以丙为心亦如之相交处为己为庚次从丁至戊从己至庚各作直线相交处为辛末以辛为心任取一防为界旋规成圜即得所求
第二法
先以三防作三直线相聨成甲乙丙三角形次平分两线于丁于戊次于丁戊上各作垂线合相遇于己末以己为心甲为界作圜即得所求
有圜求作合圜线与所设线等此设线不大于圜之径线章第十三【一法】
如有甲乙丙圜求作合线与所设丁线等其丁线不大于圜之径线径为圜内之最大线更大不可合先作甲乙圜径为乙丙若乙丙与丁等者即是合线若丁小于径者即于乙丙上截取
乙戊与丁等次以乙为心戊为界作甲戊圜交甲乙丙圜于甲末作甲乙合线即与丁等何者甲乙与乙戊等则与丁等
三角形求作形外切圜章第十四【一法】
甲乙丙角形求作形外切圜先平分两邉于丁于戊次于丁戊上各作垂线为己丁己戊而相遇于己末以己为心甲为界作圜必切甲乙丙而为三角形之形外切圜
三角形求作形内切圜章第十五【一法】
甲乙丙角形求作形内切圜先以甲乙丙角甲丙乙角各两平分之作乙丁丙丁两直线相遇于丁次自丁至角形之三邉各作垂线为丁己丁庚丁戊末以丁为心戊为界作圜即过庚己
为戊庚己圜而切角形之甲乙乙丙丙甲三邉于戊于己于庚此为形内切圜
有圜求作圜内三角切形与所设三角形等角章第十六
甲乙丙圜求作圜内三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先作庚辛线切圜于甲次作庚甲乙角与设形之己角等次作辛甲丙角与设形之戊角等末作乙丙线即圜内三角切形与所设丁戊己形等角
有圜求作圜外三角切形与所设三角形等角章第十七
甲乙丙圜求作圜外三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先于戊己邉各引长之为庚辛次于圜界抵心作甲壬线次作甲壬乙角与丁戊庚等次作乙壬丙角与丁己辛等末于甲乙丙上作癸子子丑丑癸三垂线此三线各切圜于甲于乙于丙而相遇于子于丑于癸【若作甲丙线即癸甲丙癸丙甲两角小于两直角而子癸丑癸两线必相遇余仿此】此癸子
丑三角与所设丁戊己三角各等
有圜求作内切圜直角方形章第十八
有甲乙丙丁圜求作内切圜直角方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于戊次作甲乙乙丙丙丁丁甲四线即甲乙丙丁为内切圜直角方形
有圜求作外切圜直角方形章第十九【法有二】第一法
甲乙丙丁圜其心戊求外切圜直角方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于戊次于甲乙丙丁作庚己己辛辛壬壬庚四线为两径末界之垂线而相遇于己于辛于壬于庚即己庚壬
辛为外形
第二法
以戊甲为度依平行线法作己庚辛壬上下两线与乙丁平行次用元度作己辛庚壬左右两线与甲丙平行即得所求同前图
有直角方形求作形内切圜章第二十
甲乙丙丁直角方形求作形内切圜先以四邉各两平分于戊于己于庚于辛而作辛己戊庚两线相交于壬末以壬为心戊为界作圜必过戊己庚辛而切甲丁丁丙丙乙乙甲四邉是为
形内切圜
有直角方形求作形外切圜章第二十一
甲乙丙丁直角方形求作外切圜先作对角两线为甲丙乙丁而交于戊末以戊为心甲为界作圜必过乙丙丁甲而为形外切圜
有圜求作圜内五邉切形其形等邉等角章第二十二
如有甲乙丙丁戊圜求作五邉内切圜形等邉等角先作己庚辛两邉等角形而庚辛两角各倍大于己角次于圜内作甲丙丁角形与己庚辛角形各等角次以甲丙丁甲丁丙两角各两平分作丙戊丁乙两线末作甲乙
乙丙丙丁丁戊戊甲五线相聨即甲乙丙丁戊为五邉内切圜形而五邉五角俱自相等
有一圜求作内切圜五邉及十邉形章二十三
如有甲乙丙圜心为丁先作甲丙过心线次作乙丁垂线次平分丁丙线于戊作乙戊线次取戊乙度移于径线为戊己次作乙己直线盖乙己为甲乙丙圜五分之一以此为度可作内切
圜五邉形丁己度可作内切圜十邉形
有圜求作圜外五邉切形其形等邉等角章第二十四
甲乙丙丁戊圜求作五邉外切圜形等邉等角先依前章法作圜内甲乙丙丁戊五邉等邉等角切形次乃从己心作己甲己乙己丙己丁己戊五线次从此五线作庚辛辛壬壬癸癸子子
庚五垂线相遇于庚于辛于壬于癸于子五垂线既切圜即成外切圜五邉形而等邉等角
五邉等邉等角形求作形内切圜章第二十五甲乙丙丁戊五邉等邉等角形求作内切圜先分乙甲戊甲乙丙两角各两平分其线为己甲己乙而相遇于己自己作己丙己丁己
戊三线次从己向各邉作己庚己辛己壬己癸己子五垂线末作圜以己为心庚为界必过辛壬癸子庚而为甲乙丙丁戊五邉形之内切圜
五邉等邉等角形求作形外切圜章第二十六
甲乙丙丁戊五邉等邉等角形求作外切圜先分乙甲戊甲乙丙两角各两平分其线为己甲己乙而相遇于己次从己作己丙己丁己戊三线与己甲己乙俱等末以己为心甲为界作圜
必过乙丙丁戊甲即得所求
求作圜内六邉切形其形等邉等角章二十七
如有甲乙丙丁戊己圜其心庚求作六邉内切圜形等邉等角先作甲丁径线次以丁为心庚为界作圜两圜相交于丙于戊次从庚心作丙庚戊庚两线各引长之为丙己戊乙末作甲乙
乙丙丙丁丁戊戊己己甲六线相联即得所求
求作圜内十五邉切形其形等邉等角章第二十八
如有甲乙丙圜求作十五邉内切圜形等邉等角先作甲乙丙内切圜平邉三角形即各邉当圜十五分之五次从甲作甲戊己庚辛内切圜五邉形等角各邉当圜十五分之三而戊乙得
十五分之二次以戊乙圜分取乙己度两平分于壬则壬乙得十五分之一次作壬乙线依壬乙共作十五合圜线即得所求【以此为例推用逓分可作无量数形】
圜内有同心圜求作一多邉形切大圜不至小圜其多邉为偶数而等章第二十九
如有甲乙丙丁戊两圜同以己为心求于甲乙丙大圜内作多边切形不至戊丁小圜其多邉为偶数而等先从己心作甲丙径线截丁戊圜于戊也次从戊作庚辛为甲戊之垂线即庚辛线切丁戊圜于戊也次以甲丙两平分于乙
乙丙两平分于壬以壬丙两平分于癸则丙癸圜分必小于丙庚而作丙癸合圜线即丙癸为所求切圜形之一邉也次以癸丙为度递分一圜各作合圜线得所求形