律吕阐微卷二
律吕阐微卷二
江永
律吕阐微卷二
婺源 江永撰
律率
从来言律者，皆云黄钟九寸。既得九寸，用三分损一益一，以生十一律。其法似巧妙，一若天地生成有此法与数者。洎生至仲吕，不能复得黄钟。说者曰：律吕之数，往而不返。夫律吕，效法天地者也。天地之气，今岁节气既终，来岁节气即续，无丝毫之间断。独律吕往而不返，天地岂留其有憾乎？有谓仲吕极不生者，淮南子刘安之说也。有谓仲吕后犹生六十律，强立之名，自执始至南事者，京房之说也。有谓仲吕所生为变律，且有变律子声者，杜佑之说也。三家之说皆非是。独朱载堉因㮚氏为量，有内方尺而圆其外之文，悟出天地以方圆相函，而自然之数出其中，皆以句股乘除开方之法求之。由倍律而正律，由正律而半律，皆有真率、真数。疏宻以渐而差。每一律与三分损益所得者微强而不甚相逺。其相生也，可隔八，可相连，可左旋而顺，亦可右旋而逆。仲吕与黄钟，如母子之相随；应钟与黄钟，黄钟与大吕，如兄弟之相比，夫妇之相偶，皆一气相聨，无丝毫之间断。因律管长短，推出管体厚薄与空围大小，外周、内周、外径、内径、平幂积，实皆方圆相函，自然之真数。此数千年未泄之秘，载堉始发之。虽起伶伦、州鸠、师旷之徒见之，亦当叹其妙绝。今载其说，更推本于图、书，发明理数之所以然，使此理昭晰无疑，千万世言律学者，更无可凿智翻案之理。惟其算周径幂积所用之宻率，犹有未真确者，俟律体篇详之。
载堉之推律，亦因其舅祖何氏辨刘歆、班固九寸外加一寸为尺之谬，又以十分之法解史记生钟分，始知律原从十起，先有体而后有用，遂因方内圆外之文，悟方圆相函之理。倍律二尺，正律一尺，半律五寸，皆以十为率也。倘一矢口即曰黄钟九寸，虽有微妙理数隠于方圆相函之中，亦无由生其悟矣。
律数精微。载堉深通算学，故能启悟。乘除开方，不惮烦劳，推至二十余位，皆从艰苦得之。宋儒言格物穷理，此一项工夫欠缺者多矣。
推十二倍律正律之真率
朱载堉曰：律家三分损其二，三分益其一，厯家四分度之一，四分日之一，与夫方则直五斜七，圆则周三径一等率，皆举大略而言之耳，非精义也。新法算律与方圆皆用句股术，其法本诸周礼㮚氏为量，内方尺而圆其外。夫内方尺而圆其外，则圆径与方斜同，知方之斜，即知圆之径矣。度本起于黄钟之长，则黄钟之长即度法一尺，命平方一尺为黄钟之率。按㮚氏之方尺，自是周家之尺耳，非即黄钟之尺也。因一尺之𢿙同，故命之以为黄钟之率。东西十寸为句，自乘得百寸，为句幂。按：幂，方眼也。昔觅俗或作幂，音莫。南北十寸为股，自乘得百寸，为股幂。相并共得二百寸，为弦幂。按：句股求弦术，句股各自乘，并之为弦幂。开方得斜弦。乃置弦幂为实，开平方法除之。按：开平方法，初商为大平方，次商以后，迭加两廉一隅，以实得弦一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五微六纎二三七三○九五○四八八○一六八九为方之斜，即圆之径，亦即蕤賔倍律之率。按：圆内方尺，其幂百寸。圆外方二尺，其幂四百寸。方斜圆径之幂二百，得内方之倍，外方之半。蕤賔为午律，犹一岁夏至在前后冬至之间，所以应蕤賔者，其幂得黄钟倍律之半故也。既得蕤賔，遂可求南吕。得南吕，遂可求应钟。以应钟为法，遂可求诸律。其机阕要妙，在先得蕤賔自然之理数，千古其谁知之。以句十寸乘之，按内方十寸，当为根数也。得平方积一百四十一寸四十二分一十三厘五十六毫二十三丝七十三忽○九五○四八八○一六八九为实。开平方法除之，得一尺一寸八分九厘二毫○七忽一微一纎五○○二七二一○六六七一七五，即南吕倍律之率。仍以句十寸乘之，一尺进为百寸。又以股十寸乘之，百寸进为千寸。得立方积一千一百八十九寸二百○七分一百一十五厘○○二毫，七百二十一丝○六十六忽七一七五为实。开立方法除之。按立法，初商自乘，再乘为大立方。次商以后，与前商朱为平廉，又乘为长廉，洪加三平廉三长廉一遇以除实，得一尺○五分九厘四毫六丝三忽○九纎四三五九二九五二六四五六一八二五，立方之方根也，即应钟倍律之率。按：南吕至应钟，隔无射 聿立方积，求立方根，得之，理数甚竒。盖十二律黄钟为始，应钟为终，终而复始，循环无端，此自然真理，犹贞后元生，坤尽复来也。是故各律皆以黄钟正数十寸乘之为实，皆以应钟倍数十寸○五分九厘四毫六丝三忽○九纎四三五九二九五二六四五六一八二五为法，除之即得其次律也。安有往而不返之理哉？旧法往而不返者，盖由三分损益算术不精之所致也。是故新法不用三分损益，别造宻率，其详如左。
按：载堉谓旧法往而不返，由三分损益算术不精之所致。愚谓古人亦非算术不精也。九九八十一之数始于三。管子有起五音凡首，先主一而三之，四开以合九九之说。伶州鸠有纪之以三，平之以六，成于十二之说。老子有道生一，一生二，二生三，三生万物之说。汉人有太极元气函三为一之说。始动于子，参之于丑，以至参之于亥，为应钟，得十七万七千一百四十七之数一若以此为万物终始自然之数矣。下生者倍其实，三其法；上生者四其实，三其法。黄钟九寸，林钟六寸，太蔟八寸，三律得寸之全，无零分。汉人遂有黄钟为天统，林钟为地统，太蔟为人统之说矣。其推说愈近理，则其信三分损益也愈固，恶知此外仍有算律之法哉？又以旧法较今法，林钟得黄钟三分之二，以倍律言之，当为一三三，三三不尽，而新率为一三三四八有竒。太蔟得黄钟九分之八，倍律当为一七七，七七不尽，而新率为一七八一七有竒。其数与三分损益所得者切近而稍赢，安得不以三分损益为自然之数哉？至仲吕不能反生黄钟，则无如之何矣。独淮南子所载诸律之数，何承天、刘焯算之，似欲破三分损益之说，载之晋书、宋书。然而竒零小数，半分以下弃之，半分已上收之，终无确数。其黄钟生林钟之法，置黄钟八十一分为实，以五百乘之，得四万○五百分。以七百四十九为法除之，得五十四分，为林钟。除实未尽，则弃之矣。七百四十九者，与仲吕正律之长相近。以此为法似矣。然九之下仍有小数。新法黄钟生林钟，置黄钟之率，十亿为实，五亿乘之，七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之，得林钟。则以七四九为法除实。求林钟者尚未确。是以仲吕终不能反生黄钟，皆由方圆相函，勾股乘除，开方一窍未启。故载堉云：新法盖二千余年所未有，自我朝始，诚然也。
又曰：“造率始于黄钟，必先求蕤賔者，犹冬夏二至也。次求夹钟及南吕者，犹春秋二分也。太极生两仪，两仪生四𧰼，此之谓也。始于黄钟者，履端于始也。中于蕤賔者，举正于中也。终于应钟者，归余于终也。律与厯一道也。黄钟为宫，蕤賔为中，应钟为和。此三律者，律吕之纲纪也。
按载堉言次求夹钟及南吕，本书未言求夹钟之法，今补之。
法曰：“求得蕤賔倍律之率，以句十寸折半为五寸，乘之，得平方积七十寸○七十一分○六厘七十八毫一十一丝八十六忽五四七五二四四○○八四四五为实，开平方法除之，得八寸四分○八毫九丝六忽四一五二五三七一四五四三○三一一二五，即夹钟正律之率。倍之，一六八，一七九二八三○五○七四二九○八六○六二二五一为夹钟倍律之率。又或以南吕之平方积倍之，二八二八四二七二二四七四六一九○ ○九七六○三三七八，开平方法除之，即夹钟倍律之率。原阙
积算旁通图有竒零者，无时尽算多位，见开方之妙。
二本是二尺，进作二百寸为实，以上文所载应钟倍律之数十寸五分有竒为法，除之。余律放此。右乃黄钟倍律积算。置黄钟倍律积算，进一位为实，以应钟倍律积算为法除之，得大吕
一八、八七七四八六二五三六三三八六九九、三二八三六二六。
右乃大吕倍律积算。置大吕倍律积算，进一位为实，以应钟倍律积算为法除之，得太簇
一七八、一七九七四三六二八○六七八六○九四八、○四五二。
右乃太蔟倍律积算。“置太蔟倍律积算，进一位为实，以应钟倍律积算为法除之，得夹钟
一六八、一七九二八三○五○七四二九○八六 ○六二、二五一。
右乃夹钟倍律积算。“置夹钟倍律积算，进一位为实，以应钟倍律积算为法除之，得姑洗
一五、八七、四○一○五。一九六八一九九四七四七五、
一七六。
右乃姑洗倍律积算。“置㚲洗律积算，进一位为实，以应倍律积算为法除之，得仲吕
一四、九八三○七○七六八七六六八一四九八七九九二八一。
右乃仲吕倍律积算。“置仲吕倍律积算进一位为实，以应钟倍律积算为法除之，得蕤賔
一四、一四二一三五六二三七三○九五○四八八 ○一六八九。
右乃蕤賔倍律积算。“置蕤賔倍律积算进一位为实，以应钟倍律积算为法除之，得林钟
一三、三四八三九八五四 一七○○三四三六四八三○八三二。
右乃林钟倍律积算。“置林钟倍律积算进一位为实，以应钟倍律积算为法除之，得夷则
一二五九九二一○四九八九四八七三一六四七六七二一。
右乃夷则倍律积算。置夷则倍律积算进一位为实，以应钟倍律积算为法除之，得南弓
一一八九、二○七、一一五、○二七二、一○六六七、 一七五。
右乃南吕倍律积算。置南吕倍律积算进一位为实，以应钟倍律积算为法除之，得无射
一、一二、二四六、二○四八三○九三七、二九八一四三三五三三。
右乃无射倍律积算。置无射倍律积算，进一位为实，以应钟倍律积算为法，除之，得应
一○五九四六三○九四三五九二九五二六四五六一八二五。
右乃应钟倍律积算。置应钟倍律积算，进一位为实，以应钟倍律积算为法，除之，得黄重
新造密率二种：倍律命寸为兆，正律命寸为亿，欲初学者知命法之变通云尔。
黄钟之率：二十兆。本是二十寸，命作二十兆。
大吕之率：十八兆八千七百七十四万八千六百二十五亿三千六百三十三万八千六百九十九。
太蔟之率：十七兆八千一百七十九万七千四百三十六亿二千八百○六万七千八百六十。
夹钟之率：十六兆八千一百七十九万二千八百三十亿○五千○七十四万二千九百○八。
姑洗之率：十五兆八千七百四十万○一千○五十一亿九千六百八十一万九千九百四十七。
仲吕之率，十四兆九千八百三十万○七千○七十六亿八千七百七十六万八千一百四十九。
蕤賔之率，十四兆一千四百二十一万三千五百六十二亿三千七百三十万○九千五百○四。
林钟之率，十三兆三千四百八十三万九千八百五十四亿一千七百万○○三千四百三十六。
夷则之率，十二兆五千九百九十二万一千○四十九亿八千九百四十八万七千三百一十六。
南吕之率，十一兆八千九百二十万○七千一百一十五亿○○二十七万二千一百○六。
无射之率，十一兆二千二百四十六万二千。 乚四十八亿三千○九十三万七千二百九十八。
应钟之率，十兆○五千九百四十六万三千○九十四亿三千五百九十二万九千五百二十六。
黄钟之率，十亿。本是十寸，命作十亿。
大吕之率，九亿四千三百八十七万四千三百一十二。太蔟之率，八亿九千○八十九万八千七百一十八。夹钟之率，八亿四千○八十九万六千四百一十五。姑洗之率，七亿九千三百七十万○○五百二十五。仲吕之率，七亿四千九百一十五万三千五百三十八。蕤賔之率，七亿○七百一十万○六千七百八十一。林钟之率，六亿六千七百四十一万九千九百二十七。夷则之率，六亿二千九百九十六万○五百二十四。南吕之率，五亿九千四百六十万○三千五百五十七。无射之率，五亿六千一百二十三万一千○二十四。应钟之率，五亿二千九百七十三万一千五百四十七。补半律之率，本书未推，今推之。
黄钟之率，五亿本是五寸，命作五亿。
大吕之率，四亿七千一百九十三万七千一百五十六。太蔟之率，四亿四千五百四十四万九千三百五十九。夹钟之率，四亿二千○四十四万八千二百○七。姑洗之率，三亿九千六百八十五万○二百六十二。仲吕之率，三亿七千四百五十七万六千七百六十九。蕤賔之率，三亿五千三百五十五万三千三百九十。林钟之率，三亿三千三百七十万○九千九百六十三。夷则之率，三亿一千四百九十八万○二百六十二。南吕之率，二亿九千七百三十万○一千七百七十八。无射之率，二亿八千○六十一万五千五百一十二。应钟之率，二亿六千四百八十六万五千七百七十三。按：诸律之率，固皆以应钟之率为法求得之。而各律自乘有平幂，其倍半有自然相应者，开列于后。此律自乘之积，非空围之面幂。
黄钟倍律之幂，折半为蕤賔倍律之幂。蕤賔倍律之幂，折半为黄钟正律之幂。黄钟正律之幂，折半为蕤賔正律之幂。蕤賔正律之幂，折半为黄钟半律之幂。黄钟半律之幂，折半为蕤宾半律之幂。
右子午对冲之例也。
大吕倍律之幂，折半为林钟倍律之幂，林钟倍律之幂，折半为大吕正律之幂，大吕正律之幂，折半为林钟正律之幂，林钟正律之幂，折半为大吕半律之幂，大吕半律之幂，折半为林钟半律之幂。
右丑未对冲之例也。
太蔟倍律之幂，折半，为夷则倍律之幂，夷则倍律之幂，折半，为太蔟正律之幂，太蔟正律之幂，折半，为夷则正律之幂，夷则正律之幂，折半，为太蔟半律之幂，太蔟半律之幂，折半为夷则半律之幂。
右寅申对冲之例也。
夹钟倍律之幂，折半为南吕倍律之幂，南吕倍律之幂，折半，为夹钟正律之幂，夹钟正律之幂，折半，为南吕正律之幂，南吕正律之幂，折半为夹钟半律之幂，夹钟半律之幂，折半为南吕半律之幂。
右卯酉对冲之例也。
姑洗倍律之幂，折半为无射倍律之幂，无射倍律之幂折半、为姑洗正律之幂。姑洗正律之幂折半、为无射正律之幂。无射正律之幂折半、为姑洗半律之幂。姑洗半律之幂折半、为无射半律之幂。
右辰戌对冲之例也。
仲吕倍律之幂折半、为应钟倍律之幂。应钟倍律之幂折半、为仲吕正律之幂。仲吕正律之幂折半、为应钟正律之幂。应钟正律之幂折半为仲吕半律之幂。仲吕半律之幂折半为应钟半律之幂。
右己亥对衡之例也。
已上六例，载堉书所未言，今推得之。此方圆相函内。
按载堉之说，非图不显，作此图以明之。方函圆，圆又函方，皆自然之理。即有一定之数。列线为律，外十二线为倍律，中十二线为正律，其半律亦有十二在内。线愈密，不能图，只图其一。律之疏密，自有差次，无忽密忽疏之病。律之长短，皆两斜线界定，非由三分损益。观此，则新旧二法真伪判然矣。
方圆相函外内周径幂积图
李文贞公光地曰：“律之以损益相生，何也？曰：凡象数皆起于阴阳。象者，阴阳相变者也；数者，竒偶相生者也。故方之内圆，必得外圆之半，其外圆必得内圆之倍。圆之内方，亦必得外方之半，其外方亦必得内方之倍。律之上生为下生之倍，下生为上生之半，其理一也。盖方圆函盖，竒偶乘负，阴阳变化，天地生生之道也。茍其象之所生同，数之所起同，则上下无不应也，外内无不合也，倍半无不和也。故司马迁律书谓之同数，今西人算学谓之比例。易曰：同声相应，同气相求，此之谓也。夫金石之铿訇，与丝竹之繁细，物性迥然殊矣，而各以其性为声律，则无不相应者，岂非同类比例之谓乎？
按文贞公深明象数之学，以方圆倍半之理，推原声律相生，倍半相应，直抉造化之微。此朱载堉所以因㮚氏之文，能别推出密率新法者也。然文贞公设问，犹言损益相生，不云律生于方圆相容之形，岂未见载堉之书暗与之相符与？今作此图明之。方六层，圆五层，方圆有方圆之倍半，平幂有平幂之倍半，律之长短，围径之大小，幂积之多寡，其理皆具此图之中。要其所以然者，河图已以象数示人矣，俟象数篇详之。
律数相较图
正律数 一较 再较， 三较
黄钟十
大吕九四，三八，七四三一二五六一二五六八，八三一五○○九四。
太簇八九，○八九，八七，一八五二九七五五九四二九七三，二九一一，七六八三。
夹钟八四，○八九，六四，一五五○○○二三○三二八○六四一二一六六八七。
姑洗七九，三七○○五二，五四七一九五八九○二六四，八九○三一五七五一。
仲吕七四，九一五三，五五八四四五四六九八七二五○○二三○一四八六七。
蕤宾七○七，一○六七八一四，二○四六七，五七二三，五九九○三，一，四○三二。
林钟六、六，七四，一九，九二七二，九六八六八，五四二二，二，七，四五一一三，二四五。
夷则六、二，九，九，六○五，二四三七四，五，九四○三二一○二，四，二六一，二五○二。
南吕五、九，四，六○三，五，五七三五，三五六，九六七，一，九八四，四，三四一，一，七八九。
无射五，六一，二，三，一○二四，三，三，三七二五三，二，一八七三，○五六一，一，一三七。
应钟五、二，九，七三，一，五四七三一，四九九，四，七七一七六七九三，○○五一二。
半黄钟五，二，九，七三，一，五四七。
凡数前后相较，必以渐而差。如八线表度分匀，而诸线各有差率，是为真数。律之渐而短也亦然。其以应钟之率为法，而除实也则同。以其前后相差之数，一较、再较、三较皆以渐。可见新法为真数。旧法三分损益，得之者忽多忽失，不以其渐矣。自黄钟至仲吕，律分多，吕分少。自蕤賔至应钟，律分少，吕分多。
诸律相生
朱载堉曰：新法不拘隔八相生，而相生有四法，或左旋，或右旋，皆循环无端也。以证三分损益往而不返之误。其一，黄钟生林钟，林钟生太蔟，太蔟生南吕，南吕生姑洗，姑洗生应钟，应钟生蕤賔，蕤賔生大吕，大吕生夷则，夷则生夹钟，夹钟生无射，无射生仲吕，仲吕生黄钟。长生短，五亿乘之；短生长，十亿乘之，皆以七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之。
按此隔八左旋相生也。七亿四千九百一十五万三千五百三十八者，仲吕之率也。仲吕复生黄钟者也。用其率以除，实自然循𤨔矣。旧法三分损一益一，亦是以五以十乘本律，而以七十五为法除之。七十五者，七亿五千万也。实少法强，是以不能复生黄钟。又如晋、宋书算淮南子之法，以七百四十九为除法。七百四十九者，七亿四千九百万也。法又稍弱，是以亦不能循环。此新法之所以妙也。仲吕之率，亦不必以应钟迭求而后得也。应钟之率自乘而倍之，平方开之，即仲吕之率矣。
用横黍百分律者，黄钟长十寸，如法乘除，所得亿约为寸。
用斜黍九十分律者，黄钟长九寸，长生短者，本律之率，折半为实，九亿乘之；短生长者，本律之率，为实，九亿乘之，如法除之，所得亿约为寸。
用纵黍八十一分律者，黄钟长八寸一分，长生短者，八十一亿乘本律之率，折半退位为实，短生长者，不折半，但退位为实，如法除之，所得亿约为寸。
其二：黄钟生仲吕，仲吕生无射，无射生夹钟，夹钟生夷则，夷则生大吕，大吕生蕤賔，蕤賔生应钟，应钟生姑洗，姑洗生南吕，南吕生太蔟，太蔟生林钟，林钟生黄钟。长生短五亿乘之，短生长，十亿乘之，皆以六亿六千七百四十一万九千九百二十七除之。
按此隔八右旋相生也。六亿六千七百四十一万九千九百二十七者，林钟之率也。末位林钟生黄钟，故用林钟之率。
其三：黄钟生大吕，大吕生太蔟，太蔟生夹钟，夹钟生姑洗，姑洗生仲吕，仲吕生蕤賔，蕤賔生林钟，林钟生夷则，夷则生南吕，南吕生无射，无射生应钟，应钟生黄钟半律，此系长生短。皆以五亿乘之，皆以五亿二千九百七十三万一千五百四十七除之。
按此相连左旋相生也。五亿二千九百七十三万一千五百四十七者，应钟之率也。末位应钟生黄钟半律，故用应钟之率。
其四：黄钟半律生应钟，应钟生无射，无射生南吕，南吕生夷则，夷则生林钟，林钟生蕤賔，蕤賔生仲吕，仲吕生姑洗，姑洗生夹钟，夹钟生太蔟，太蔟生大吕，大吕生黄钟，此系短生长。皆以十亿乘之，皆以九亿四千三百八十七万四千三百一十二除之。
按此相连右旋相生也。九亿四千三百八十七万四千三百一十二者，大吕之率也。末位大吕生黄钟，故用其率。
上四法反复循𤨔相生，可见十二律有 一气连贯之妙。四法以第一法为要，此五声宫、徴、商、羽、角之相通，旋宫之法所由出也。诸律比例相生，其理已其洛书第六卷详之。
又按“隔八相生”，诸家之说不同。有以阳律下生阴吕，上生大吕、夹钟、仲吕，用倍数者，前汉志之法也，蔡氏从之。有以黄钟至仲吕为阳，皆下生；蕤賔至应钟为阴，皆上生者，淮南子郑康成之法也，朱子从之。吕不韦之法，则黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑洗、仲吕、蕤賔七律，皆用半而上生；林钟、夷则、南吕、无射、应钟五律，皆用全而下生。其说与诸家大异。盖诸家谓黄钟下生林钟者，用全律；吕氏谓黄钟上生林钟者，用半律。吕氏之说，即管子宫主生徴百有八之理也。论声律之体，固如诸家之说，声律之用，当主管吕之说。祇论长短，不论阴阳。载堉亦尝称引管子之言矣，亦谓长律用半，短律用全矣。载堉又引朱子语有大阴阳、小阴阳之说，谓此论精妙，非蔡氏所及。究之上下相生，别有妙理，徒以阴阳言者，尚未尽其妙也。今不录。
律吕阐微卷二