律吕阐微卷三
律吕阐微卷三
江永
律吕阐微卷三
婺源 江永 撰
律度
既得各律之率，即可得各律之长。律有倍、有正、有半，凡三十六律，用横黍尺百分者，纪其尺、寸、分、厘、毫、丝、忽、微、纎，以为后算周径幂积张本。纎以下略之。
倍律通长：
黄钟，二尺。
大吕，一尺八寸八分七厘七毫四丝八忽六微二纎。太蔟，一尺七寸八分一厘七毫九丝七忽四微三纎。夹钟，一尺六寸八分一𨤲七毫九丝二忽八微三纎。姑洗，一尺五寸八分七厘四毫○一忽○五纎。
仲吕，一尺四寸九分八𨤲三毫○七忽○七纎。
蕤賔，一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五微六纎。林钟，一尺三寸三分四厘八毫三丝九忽八微五纎。夷则，一尺二寸五分九𨤲九毫二丝一忽○四纎。南吕，一尺一寸八分九𨤲二毫○七忽一微一纎。无射，一尺一寸二分二厘四毫六丝二忽○四纎。应钟，一尺○五分九厘四毫六丝三忽○九纎。
已上诸倍律，如欲以次求之，则以本律通长为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得次律。
正律通长：
黄钟，一尺。
大吕，九寸四分三厘八毫七丝四忽三微一纎。
太蔟，八寸九分○八毫九丝八忽七微一纎。
夹钟，八寸四分○八毫九丝六忽四微一纎。
姑洗，七寸九分三厘七毫○○五微二纎。
仲吕，七寸四分九厘一毫五丝三忽五微三纎。
蕤賔，七寸○七厘一毫○六忽七微八纎。
林钟，六寸六分七厘四毫一丝九忽九微二纎。
夷则，六寸二分九𨤲九毫六丝○五微二纎。
南吕，五寸九分四厘六毫○三忽五微五纎。
无射，五寸六分一𨤲二毫三丝一忽○二纎。
应钟，五寸二分九𨤲七毫三丝一忽五微四纎。己
上诸正律，如欲以次求之，则以本律通长为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得次律。
半律通长：
黄钟，五寸。
大吕，四寸七分一厘九毫三丝七忽一微五纎。
太蔟，四寸四分五厘四毫四丝九忽三微五纎。
夹钟，四寸二分○四毫四丝八忽二微。○
姑洗，三寸九分六厘八毫五丝二微六纎。
仲吕，三寸七分四厘五毫七丝六忽七微六纎。
蕤賔，三寸五分三厘五毫五丝三忽三微九纎。
林钟，三寸三分三厘七毫○九忽九微六纎。
夷则，三寸一分四厘九毫八丝○二微六纎。
南吕，二寸九分七厘三毫○一忽七微七纎。
无射：二寸八分○六毫一丝五忽五微一纎。
应钟：二寸六分四厘八毫六丝五忽七微七纎。
已上诸半律，如欲以次求之，则以本律通长为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得次律应钟半律。以后再如法乘除，得二寸五分，为黄钟半律之半。
斜黍尺九寸，每寸十分，纪其尺、寸、分、𨤲、毫、丝、忽、微、纎，共二十四律。载堉书止载十二正律，今详倍律蕤賔以后，半律仲吕以前，旋宫皆用之，故共二十四律。
倍律长：
蕤賔：一尺二寸七分二厘七毫九丝二忽二微。
林钟：一尺二寸○一厘三毫五丝五忽八微六纎。夷则：一尺一寸三分三𨤲九毫二丝八忽九微四纎。南吕：一尺○七分○二毫八丝六忽四微。
无射：一尺○一分○二毫一丝五忽八微四纎。
应钟：九寸五分三𨤲五毫一丝六忽七微八纎。
已上诸倍律，如欲以次求之，则以本律为实，以五亿乘之，以五亿二千九百七十三万一千五百四十七除之，得次律。
正律长附旧律备考：
黄钟九寸，同旧。
大吕，八寸四分九厘四毫八丝六忽八微八纎，旧“八寸四分二厘八毫弱。
太蔟八寸○一𨤲八毫○八忽八微四纎，旧“八寸”。
夹钟七寸五分六厘八毫○六忽七微七纎，旧“七寸四分九厘二毫弱。
姑洗七寸一分四厘三毫三丝○四微七纎，旧“七寸 一分一厘 一毫强。
仲吕六寸七分四厘二毫三丝八忽一微八纎，旧“六寸六分五𨤲九毫强。
蕤賔六寸三分六厘三毫九丝六忽一微。○旧“六寸三分二厘○毫有止。
林钟六寸○○六毫七丝七忽九微三纎。旧“六寸”。
夷则五寸六分六𨤲九毫六丝四忽四微七纎。旧“五寸六分一厘八毫强。
南吕五寸三分五𨤲一毫四丝三忽二微。○旧“五寸三分三厘三毫强。
无射：五寸○五厘一毫○七忽九微二纎。旧“四寸九分九厘四毫强。应钟：四寸七分六厘七毫五丝八忽三微九纎。旧乊寸七分四厘○亀强。
已上诸正律，如欲以次求之，则以本律为实，以五亿乘之，以五亿二千九百七十三万一千五百四十七除之，得次律。
半律长附旧律备考：
黄钟：四寸五分。旧同。
大吕：四寸二分四厘七毫四丝三忽四微四纎。旧“四寸二分 一厘四毫强。
太蔟：四寸○○九毫○四忽四微二纎。旧“四寸”。
夹钟：三寸七分八𨤲四毫○三忽三微八纎。旧三寸七分四厘六毫弱。
姑洗，三寸五分七𨤲一毫六丝五忽二微三纎。旧三寸五分五厘五亳强。
仲吕：三寸三分七𨤲一毫一丝九忽○九纎。旧三寸三分二厘九毫强。
已上诸半律，如欲以次求之，则以本律为实，以五亿乘之，以五亿二千九百七十三万一千五百四十七除之，得次律。诸倍律约十为九，正律折半，半律又折半，得之甚易。本不须乘除，仍载乘除法者，欲见句股乘除、开方求出应钟之率，实为真率。诸律相求，皆以此为根，用全用半，无往不通也。
纵黍八十一分律，依新法算，惟算正律。
黄钟，八寸一分。
大吕，七寸六分四厘五毫三丝八忽一微九纎。
太蔟，七寸二分一厘六毫二丝七忽九微六纎。
夹钟，六寸八分一厘一毫二丝六忽○九纎。
姑洗，六寸四分二厘八毫九丝七忽四微二纎。
仲吕，六寸○六𨤲八毫一丝四忽三微六纎。
蕤賔，五寸七分二厘七毫五丝六忽四微九纎。
林钟，五寸四分○六毫一丝○一微四纎。
夷则五寸一分○二毫六丝八忽○二纎。
南吕，四寸八分一𨤲六毫二丝八忽八微八纎。
无射四寸五分四厘五毫九丝七忽一微二纎。
应钟，四寸二分九厘○八丝二忽五微五纎。
诸律如欲以次求之，置本律之率，以八十一亿乘之，折半退位为实，以五亿二千九百七十三万一千五百四十七除之，得次律
纵黍八十一分，作九寸律。依新法算
例曰：此法每寸九分，每分九，每𨤲九毫，每毫九丝，每丝九忽，每忽九微，每微九纎，皆以九为法，故奥十不同。
黄钟九寸。
大吕八寸四分四𨤲○六丝七忽四微五纎。
太蔟八寸○一厘四毫一丝六忽○八纎。
夹钟七寸。五分一厘○一丝○七微四纎。
姑洗七寸一分二𨤲五毫四丝二忽。
仲吕六寸。六分六厘一毫一丝六忽八微一纎。
蕤賔六寸。三分二𨤲四毫二丝八忽四微七纎。
林钟六寸。○○四毫八丝四忽二微七纎。
夷则五寸。六分○二毫一丝四忽七微五纎。
南吕五寸。三分一厘四毫一丝六忽六微三纎。
无射五寸。○四厘一毫二丝一忽一微五纎。
应钟四寸。六分八厘一毫五丝一忽○五纎。
黄钟半律，四寸。四分四𨤲四毫四丝四忽四微四纎。朱载堉曰：约十为九，主意盖为三分损益而设，使归除无不尽数耳。夫律吕之理，循环无端，而杪忽之数归除不尽，此自然之理也。因其天生自然，不须人力穿凿，以此算律，何善如之？历代算律，祇欲杪忽除之有尽，遂致律吕往而不返，此乃颠倒之见，非自然之理也。是以新法不用三分损益，不拘隔八相生，然而相生有序，循环无端，十二律吕一以贯之，此盖二千余年之所未有，自我圣朝始也，非学者所宜尽心焉者乎？
按古人算律，亦非因杪忽欲除尽，遂致律吕往而不返也。其根源自宫声八十一，徴声五十四、商声七十二、羽声四十八、角声六十四，俱是三分损益之数。意其数为天生自然，遂以此定律吕之长短，不知其数仍有毫厘之差也。天地之真数潜隠既乆，有时而泄，故载堉能思得之耳。
律体
上
蔡氏律吕新书曰：十二律围径，自先汉以前传记并无明文，惟班志云黄钟八百一十分，繇此之义，起十二律之周径。然其说乃是以律之长自乘而因之以十，盖配合为说耳，未可以为据也。惟审度章云：一黍之广，度之九十分，黄钟之长，一为一分。嘉量章则以千二百黍实其龠，谨衡权章则以千二百黍为十二铢，则是累九十黍以为长，积千二百黍以为广，可见也。夫长九十黍，容千二百黍，则空围当有九方分，乃是围十分三厘八毫，径三分四𨤲六毫也。每一分容十三黍又三分黍之一，以九十因之，则一千二百也。盖十其广之分以为长，十一其长之分以为广，自然之数也。又曰：夫律以空围之同，故其长短之异可以定声之高下。孟康不察，乃谓凡律围径不同，各以围乘长而得此数者，盖未之考也。孟康曰：林钟长六寸，围六分，以围乘长，得积三百六十分。太蔟长八寸，围八分，为积六百四十分。
朱载堉曰：“旧律围径皆同，而新律各不同。”礼记注䟽曰：凡律空围九分。月令章句曰：围数无増减。及隋志安丰王等说，皆不足取也，故著此论。论曰：琴瑟不独徽柱之有逺近，而弦亦有巨细焉。笙竽不独管孔之有高低，而簧亦有厚薄焉。弦之巨细若一，但以微柱逺近别之，不可也。簧之厚薄若一，但以管孔高低别之，不可也。譬诸律管，虽有修短之不齐，亦有广狭之不等。先儒以为长短虽异，围径皆同，此未达之论也。今若不信，以竹或笔管制黄钟之律，一様二枚，截其一枚，分作两段，全律、半律各令一人吹之，声必不同合矣。此昭然可验也。又制大吕之律，一様二枚，周径与黄钟同。截其一枚，分作两段，全律、半律各令一人吹之，则亦不相合。而大吕半律乃与黄钟全律相合，略差不逺。是知所谓半律者，皆下全律一律矣。大抵管长则气隘，隘则虽长而反清；管短则气寛，寛则虽短而反浊。此自然之理，先儒未达也。要之，长短广狭，皆有一定之理、一定之数在焉。置黄钟倍律，九而一，以为外周，用弦求句股术得其内周。又置倍律，四十而一，以为内径，用句股求弦术得其外径。盖律管两端，形如𤨔田，有内外周径焉。外周内容之方，即内径也。内周外射之斜，即外径也。方圆相容，天地之象，理数之妙者也。黄钟通长八十一分者，内周九分，是为八十一中之九，即约分法九分中之一也。若约黄钟八十一分作为九寸，则其内周当云一寸。旧以九十分为黄钟，而云空围九分者，误也。况又穿凿指为面幂九方分，则误益甚矣。按载堉此论，亦二千年来所未有者也。汉志之说，孟康之释，推其误有数端：黄钟约十为九，内周当云一寸，而云围九分，其误一。围九分则径不及三分，径三分则围不啻九分，而云径三分、围九分，乃径一围三之谬法，其误二。诸律以长乘者，乃是乘黄钟之面幂，退位以为本律之面幂，非乘其围分也；而云以围乘长，其误三。既乘得本律之面幂，再以本律之长乘之，乃得本律之积；而云以围乘长即得积，其误四。牵于九六八之数，附会天地人，其误五。刘歆、班固、孟康虽有此数误，然犹曰繇此之义，起十二律之周径，则十二律各有周径，其说犹近是也。迨汉末诸儒郑氏、蔡氏之说出，乃断以为凡律围九分无増减，此说遂牢不可破矣。夫使围径皆同，但以长短别高下，则弹琴者惟按徽取声，而七弦之粗细同，散声同，可乎？不可乎？凡圆中容积与方中容积同理，试使有方田百亩，其方折半，则中容必是二十五亩，断非五十亩。故黄钟半律必杀小其围径，截为两段，则与蕤賔同其容积，非半黄钟矣。此理若不抉破，后之造律制乐者，虽使制得黄钟真律，大吕以下皆非其律，况未必真得黄钟乎？人知黄钟中声之难求，不知大吕以下诸
律正未易制。黄钟、大吕惟人所命，若旧说不破，何以得真黄钟、真大吕哉？惟我
圣祖仁皇帝诲谕臣工之学律者，特发线与线、体与体之比例不同一条，正所以破前人围径皆同之谬说也。其言加减八倍而复应者，借立方体积相去八倍言之，若律管容积加减四倍即应也。载堉云长短广狭皆有一定之理，一定之数，此语诚然。先儒算学不精，格物未至，是以前志之犹近是者不能发明，后人之立谬说者，遂为蔽惑耳。
载堉言置黄钟倍律九而一，以为外周，用弦求句股术，得其内周。此算术仍未精宻，后详考订正之。算律须求真数，不可有毫𨤲之差也。
新书言空围当有九方分，非也。昔人明言周言围，不得以周围为方幂。如言方幂，则黄钟不得有九方分。新法算黄钟面幂九分八𨤲一毫七丝有竒者，横黍尺之分厘毫丝也。以斜黍九十分者约之，只得八分八厘三毫五丝有竒耳。其云围十分三𨤲八毫，径三分四𨤲六毫者，围三径一之谬法也。如围十分三𨤲八毫，则径只有三分三厘二毫；如径三分四厘六毫，则围有十一分零七毫有竒矣。又以径自乘为方积，四分取三为圆积，以求合于九方分，此又圆田求积之粗率，不可用之以算律管也。夫径三分四厘六毫者，安定胡瑗之律也。因律太短，不能容千二百黍，故扩其围径以就之。当时用上党羊头山黍，以三等筛筛之，而取其中，则黍亦可迁就矣。要之，黍非真黍，律非真律，而算亦非真算。蔡氏犹仍其误，岂古人有宻率载在史志者，竟未尝深究耶？
周径幂积宻率
按平圆周径幂积，可互相求。旧云周三径一，又以方积四分之三为圆积，皆疏舛之率，不可承用者也。欲算各律之外周、内周、外径、内径及空围内之面幂实积，须求最宻之率方凖。古之算家，祖冲之为最。其割圆之法，用缀术渐次求之，得其周径之率。考之隋书律志，祖氏原有三率：一云径七，周二十二者，约率也。一云径一百一十三，周三百五十五者，密率也。然约率则强，宻率犹稍弱。仍有最宻之率，则径一、周三一四一五九二六五是也。葢三一四一五九二七为赢限，三一四一五九二六为朒限。正数在赢朒二限之间，末位约之为五三一四一五九二六五，共得九位，亦可以为算周径之用矣。周径相乘得七八五三九八一六二五为平幂。或以半径乘半周，亦得平幂，此最宻之率也。试借西人八线表验之，
西人分周天为三百六十度，一度又析为六十分，是分大圆为二万一千六百边也。八线各有相当正弦，与余割相乘，与半径全数自乘等积。查表一分之余割线三四三七七四六八二，因此求得一分之正弦二九○八八八二○四五○一，以二万一千六百折半为一万○八百，乘之得三一四一五九二六○八六一八。正弦是直线，圆周是曲线，几与之等，而曲者必稍赢，是以比圆周稍朒焉。故径一则周三一四一五九二六五，为最宻之率，宜用之。
朱载堉宻率法云：“圆周四十，容方九，句股求弦数可知。遂以此为求径率，求周求积亦如之。谓圆周四十寸者，内容方九寸，九寸各自乘，并得一百六十二寸，开方得斜弦，为圆径也。今按，此法犹未宻。正法圆周三一四一五九二六五，内容方七○七一○六七八一。葢圆周四十，则容方不啻九。若容方九，则圆周不及四十。载堉以此率求诸律周径幂积，惟径无差。若周幂积四位以后，稍有赢余，不得为真数矣。数不真确，不可载之于书。故今依祖氏法推算，
先求三十六律通长真数。
载堉云：“黄钟倍律，通长二尺，容黍二合，称重二两。”律度量衡，无非倍者，此自然全数也。故算法皆从倍律起。若夫正律，于度虽足，于量于衡则皆不足。祇容半合，祇重半两，比诸倍律，似非自然全数。故算法不从正律起，亦不从半律起。倍律、正律、半律，各有十二，共为三十六律。
按诸律通长已见前篇。其以次迭求之法，已见第二卷，兹不再述。
次求三十六律外径、内径。
按载堉之法，先求周，今易之，先求径。六阳律之外内径，有与他律通长相应，退一位即得者，不必求退一位者，十分之一也。开列如左：
蕤賔正律通长退一位，即黄钟倍律外径。
林钟正律通长退一位，即太蔟倍律外径。
夷则正律通长退一位，即姑洗倍律外径。
南吕正律通长退一位，即蕤賔倍律外径。
无射正律通长退一位，即夷则倍律外径。
应钟正律通长退一位，即无射倍律外径。
黄钟半律通长退一位，即黄钟倍律内径，正律外径。大吕半律通长退一位，即太蔟倍律内径，正律外径。太蔟半律通长退一位，即姑洗倍律内挳，正律外径。夹钟半律通长退一位，即蕤賔倍律内径，正律外径。姑洗半律通长退一位，即夷则倍律内径，正律外径。仲吕半律通长退一位，即无射倍律内径，正律外径。蕤賔半律通长退一位，即黄钟正律内径，半律外径。林钟半律通长退一位，即太蔟正律内径、半律外径。夷则半律通长退一位，即姑洗正律内径、半律外径。南吕半律通长退一位，即蕤賔正律内径、半律外径。无射半律通长退一位，即夷则正律内径、半律外径。应钟半律通长退一位，即无射正律内径、半律外径，凡。倍律内径折半，即半律内径，
凡。六阴吕以阳律之径分为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，即得本吕之径。阴吕求阳律亦仿此。十亿○二千九百三十万有竒之数者，应钟倍律外径五一四六五一一一八三二一七四六，○进位倍数也。
次求三十六律外周、内周，
以本律之径乘三一四一五九二六五，以十除之，得周。
如迭求之，以本律之周为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得次律之周。
倍律外周折半，即正律内周，半律外周。
倍律内周，正律外周折半，即半律内周。
次求三十六律面幂，
以本律之周、径相乘为实，以四归之，或以半周、半径相乘，皆得面幂。
如迭求之，以本律之面幂为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得次律之面幂。
倍律面幂折半，即正律之面幂。正律面幂折半，即半律之面幂。
置七八五三九八一六二五，以四除之，得倍律黄钟面幂。各以正律通长乘之，得各倍律之面幂。
置七八五三九八一六二五，以八除之，得正律黄钟面幂。各以倍律面幂折半，得各正律之面幂。
置七八五三九八一六二五，以一十六除之，得半律黄钟面幂。各以正律面幂折半，得各半律之面幂。
次求三十六律实积，
各律以通长乘本律面幂，再以通长乘，所得即本律实积。
如欲以次求之，置本律实积为实，以十兆乘之，以十一兆二千二百四十六万二千○四十八亿三千○九十三万七千二百九十八除之，得次律实积。
倍律实积四归之，得正律实积。正律实积四𡚖之，得半律实积。
黄钟倍律面幂进一位，即蕤賔倍律之实积，倍之，即黄钟倍律之实积。大
蔟倍律面幂进一位，即林钟倍律之实积，倍之，即大吕倍律之实积。
姑洗倍律面幂进一位，即夷则倍律之实积，倍之，即太蔟倍律之实积。
蕤賔倍律面幂进一位，即南吕倍律之实积，倍之，即夹钟倍律之实积。
夷则倍律面幂进一位，即无射倍律之实积，倍之，即姑洗倍律之实积。
无射倍律面幂进一位，即应钟倍律之实积，倍之，即仲吕倍律之实积。
黄钟正律面幂进一位，即黄钟正律之实积，半之，即蕤賔正律之实积。
太蔟正律面幂进一位，即大吕正律之实积，半之，即林钟正律之实积。
姑洗正律面幂进一位，即太蔟正律之实积，半之即夷则正律之实积。
蕤賔正律面幂进一位，即夹钟正律之实积，半之即南吕正律之实积。
夷则正律面幂进一位，即姑洗正律之实积，半之即无射正律之实积。
无射正律面幂进一位，即仲吕正律之实积，半之即应钟正律之实积。巳
上诸律有相应处，可见一气贯通之妙。载堉未言，今推之如此，学者宜深玩之。
律管长短广狭，自然之理数，河图显其象，象数篇详之。
律吕阐微卷三