历算全书厯算全书卷三十四
厯算全书卷三十四
宣城梅文鼎撰
笔算卷一
列位法
数始于一究于九毕于十十则又复为一矣等而上之为百为千为万乃至兆亿皆得名之为一即皆得名之为二三四五六七八九故必先稽其位而列之并减乘除以此为基非是则算无可施矣法具如后【以一位言之有自一至九之名此如同軰之有长防合上下之位言之有单十百千万之等此如己身而上有高曽祖父己身而下又有子孙云仍故单以下复有畸零之位也】
列位式
万 千 百 十 零
【此姑以五位为式位有多寡皆以零数为根零亦曰单】
假如有数二万四千七百五十九依法列之
二 四 七 五 九
【凡列数以最下小数为单单上有一位共二位即是十数有三位是百有四位是千有五位是万不必更书十百千万等字但稽其有若干位即得之矣】
又如有数四千○九十六依法列之
四 ○ 九 六
【凡数大小相乘中有空者必作○以存其位如此式有千有十有单而无百故于百作○以存其位】
又如有数一万○八百
一 ○ 八 ○ ○
【凡数以单位为根今此数无千无十而并无单故必补作三○以成五位则知首位是一万矣】
又如有数一十二万九千六百
一 二 九 六 ○ ○
【原数四位无空然无十无单故必补作两空以成六位则知首位为十万】
畸零列位式
凡整数自单而陞若畸零数则自单而析故单位者数之根也然整数之陞以十为等自单而十而百而千而万皆一法也【万以上有以十万为亿十亿为兆十兆为京自此而垓而秭壤沟涧正载皆以十而变谓之小数有以万万为亿亿亿为兆兆兆为京以上尽然皆以自乘而变谓之大数今所用者以万万为亿万亿为兆万兆为京以上尽然皆以万而变谓之中数三者不同然其列位皆以十为等故曰一法也】若畸零之式其故多端约而言之亦只二法其一以十为等其一不以十为等而各以其所立之率为等是二法者又各分二类列之各有其法【详后】
其一以十为等分二类
假如钱粮料则毎田一亩该五分九厘八毫六七忽九微三纎四沙八尘九埃二渺一漠
依法列之
○○五九八六七九三四八九二一
两钱分厘毫丝忽微纎沙尘埃渺漠
【右式今所通用自两而下以十之一为钱又以钱十之一为分分十之一为厘如是递析为毫为忽以至渺漠皆以十为等】【原科则自分起以至渺漠计十二位今加两○为十四位者乃列位之法也何也分之上有钱钱之上有两两为单数凡列畸零之数必以单数为根始便合总故两数虽空必存其位也】
凡度法以丈为单数则其十之一为尺又十析之为寸为分为厘毫丝忽之属【亦有以尺为单以寸为单者皆如所设】
凡量法以石为单数则其十之一为斗又十析之为升为合为勺之属【亦有以斗为单数者皆如所设命之】法并同上
右法以十为等即以一位为一名如上位是两下一位即是钱此为一类
假如授时厯法毎一平朔二十九日五十三刻零五分九十三秒依法列之
【右式日为单数而以日百析之为刻又百析之为分又百析之为秒故列位时必作防以志之使知日下二位始为单刻由是而分而秒皆隔两位而变其名然仍是以十为等 凡作防必单位如日为单位下又有单刻单分单秒之属】
凡开平方尺有百寸寸有百分其法同上
凡开立方尺有千寸寸有千分则三位而变即隔三位作防以志之法亦同上
右法虽亦皆以十为等而不以一位为一名或隔两位或隔三位前法只寻单位即知其余此法单位之下仍须各寻单位盖前法之分秒只有单而此法分秒各有十有百故必以作防之处知其为单分单秒是与前法微别又为一类也其一不以十为等而各以其所设之率为等亦分二类
假如回囘厯法以六十分为一度六十秒为一分太阳三十日平行二十九度三十四分一十秒作何排列
【右以度为单数下两位为分又下两位为秒故作防志之畧同授时然皆以六十而进非以百也其自秒以下为微纎等数凡在授时以百为数者回回之法皆以六十为之是虽不以十为等而所设六十之率钜细同法西洋法亦然】
又如古量有以四升为豆四豆为区四区为釜皆以四为率又如杨子云太以三方统九州二十七部八十一家其递析也皆以三
又如测量家以矩度分十二度每一度又分十二分是又以十二为率也右诸率皆不用十而所用之率屡析不易是为一类
假如物重十六两为一斤二十四铢为一两今有物二斤四两半作何排列
【此以斤为单数斤下二位为两又下二位为铢铢与两皆斤之分秒也故作防志之亦同前法但铢以二十四为率两以十六为率二率不同】
又如厯家以甲子六十为旬周每日十二时又分初正【西厯谓之二十四小时】每各四刻每刻有十五分今依新法筭得辛未年冬至为旬周之第五十日二十二时二刻七分依法列之
【此以日为单数下二位析日为时又下一位析时为刻又下两位析刻为分皆日下之畸零也然时之率二十时刻之率四分之率十五各率不同所当细玩】
右法既不以十为等而所用之率又不齐同是又一类也【此二类不以十分为率而各有其率即通分子母之法也但通分以子母并列又是一法别卷详之】并法
凡数合总法当用并有诸数于此并而合之为一总数又名垜积即珠盘之上法也【数相并则相益而多故亦名加法在钱谷之用则所以稽总撒】
法曰置所有防数几宗各依列位法自上而下对位列之万千百十单各以类从
列讫仍并之自上而下如画卦之法
数满十者进位作号而本位纪其零
纪号式
丨□□□□丅□□□【此古算位也用以别原数便稽核也】
假如有丝八百九十二斤又一千○八十八斤又【三百五十斤 合之若干】
如上式防数三宗依法列位并之
得总数二千三百三十斤
假如有绢四丈五尺六寸又五丈○三寸又八丈五尺合之若干
九减试法
【凡九减之法不论单十百千之位亦不计○位只摢现有之数而合计之先减减数首行八九二合得十九减去二九余一以合次行一八八共得十八减去二九恰尽只余三行三五合成八数纪于右次减总数二三三合得八纪于左 左右相同知其不误】
【第二图先减防数首行四五成九减去余六合次行三成九减去余五合三行八五共十八成二九减尽纪○于右 次以总数一八九成二九减尽纪○于左 左右相同知其无误 或问九减不计上下之位何也曰此防法也凡九减者数不变假如以九减一十则仍余一减二十则仍余二推之百千万亦然故不论位】七减试法
【凡七减与九减不同须论位减实数 第一图先减防数自上而下头一排只有一作一十算合第二排八三得十一共二十一以七减之尽第三排九八五合得二十二以七减之余一作一十合第四排八二得十共得二十以七减之余六纪于右 次减总数亦自上起首位无七有二合第二位作二十三以七减之余二又合第三位作二十三以七减之余二合末位○作二十减二七余六纪于左 左右相同不误】
【第二图先减防数头一排四五八合十七以七减之余三作三十合第一排两个五成十共四十以七减之余五作五十合下六三成九共五十九以七减之余三纪右次减总数首两位十八以七减之余四合第三位○作四十以七减之余五作五十合下位九共五十九以七减之余三纪左左右相同不误】
畸零并法
假如有物十斤四两十二铢又九斤十一两十二铢共若干
答曰二十斤
【铢数并得卄四成一两进位并原数共十六两成斤进位并原数十九斤
共卄斤铢率卄四两率十六不同故以防隔
之凡率不同难用九减七减只以减法
还原其法于总数内减原防数一宗其余一宗必合减余是为无误减法
见后详通分】
假如品官计俸原厯任过三年○九个月今又歴任一年十一个月共若干
答曰共歴任五年○八个月
【先并月得二十再以十二个月成一年进位纪号余八个月次并一年三年加所进一年共五年并得五年○八个月此因月法十二非以满十而进故以防隔之此亦非满十而进不用九减七减只以减法还原】
递加法
假如授时厯歳实【三百六十五日二十四刻二十五分】两次加气策【一十五日二十一刻八十四分三十七秒五十微】共若干
答曰【三百九十五日六十七刻九十三分七十五秒】
此递并法借前总数当防数用之如此则可以层累而加
【前条三百八十○日四十六刻竒是从嵗前冬至算至本年小寒此条三百九十五日六十八刻弱是又算至本年大寒】
截小总法【凡并法头项太多者截分小总则易清乃垜积之防法】
假如河工一十二宗一工【五千○十四工】又【三千三百工】又【八百九十一工】又【二千○九十工】又【九百○九工】又【一千○八十工】又【二千○二十工】又【九十一工】又【六百六十七工】又【四千七百工】又【七百三十工】又【八十二工】问共数
答曰二万一千五百七十四工
法曰【先以河工十二宗任分为三段依法并之各成小总再合各小总依法并之为一大总合问】
【或有极多至百十宗者宜多分小总小总又并为小总末乃并为一大总变繁为简最便覆核】减法
凡数相较法当用减有两数于此以相减则得其大小之较也有全数于此减其所去则得其留余之数也【在钱糓之用则减为开除减余为实在若收受则所减为已完减余为未完其法与并法正相对其用亦相需也】
法曰置原数于右置减数于左依列位法自上而下对位列之【若两数相较则以大数列右以当原数小数列左为减数】乃以两数相较以少减多【原数必多减数必少若原数反少则有转减】减讫列减余之数于左行
凡减自下小数起本位无可减借上位一数化十而减之则于上位作防以为志【还原时即用此防为进位之志或不用防用短直亦同】
假如有库银十万两支放过五万九千五百○三两问存库若干 答曰四万○四百九十七两
【此因数万以下俱空故皆用借十作防之法自最下两位起两位空作防于上位借十两减三存七 支数原无十两因借减之防宜减十两而十两亦空复作防于上位借一百内减一十存九十 支数五百加借防共六百亦作防借一千减六百存四百 支数九千凑借防成一万作防于万位凑原支五万共六万又作防于首位借十万减六万存四万】
还原用并法【即借用本图】从两位起以支放三两并存留七两得十两作防于十两位凑存留九十两成一百两又作防于百位凑支放五百存留四百并得一千作防于千位凑支放九千成一万作防于万位凑支放五万存留四万共成十万作防于首位至此存留支放俱无可辏浄十万两作一十万字于原银位合总无差
递减法
假如有应进贡【貂皮一千五百张收过九百○五张次年补收四百九十五张仍欠若干】答曰【一百张】
【以头一次九百○五张依法减原额一千五百张得减余五百
九十五张为欠数次以补收四百九十五张减欠
数五百九十五张得减余一百张为仍欠数】
因两次递减亦减两次试之
【九 六 七 二 先以原额减余数列右减 □ 减 □ 合收欠减余数列左】
【试 一 试 ○ 次以欠数取减余列右法 □ 法 □ 合续收仍欠减余列左】
还原【倒用前图】以仍欠一百并续收四百九十五得五百九十五合前欠数 又以欠五百九十五并先收九百○五得一千五百合原额 凡递减者亦以递并还原
透支转减法
假如有钱一万五千○三十文陆续支用过一万六千○五十文该有透支若干答曰净多支一千○二十文
此因支数多于原数故以原数转减支数而得透支之数【凡两数相较多寡皆仿此】
还原以多支一千○二十并原钱一万五千○三十
得一万六千○五十合支用数
畸零减法
假如有地丁银三千五百零三两徴完三千二百一十两零三钱五分仍未完若干 答曰二百九十二两六钱五分
还原以已完未完相并得数合额编之数【此原数至两而止因减而有钱与分之数盖以两为单数其钱为两十之一分又为钱十之一皆畸零也】
假如授时厯毎月二节气共三十○日四十三刻六十八分七十五秒经朔二十九日五十三刻○五分九十三秒两数不同是生月闰该若干
答曰月闰九十○刻六十二分八十二秒
太阳节气 此经朔减节气也
太阴经朔 经朔小节气大相减
月闰 之较是为月闰还原以月闰并经朔得总即仍合节气之数
假如品官计俸以三年为满今厯任过一年零七个月该补若干 答曰该补一年零五个月
【此以十二个月为一年故减法不同
先减七个月月位无可减作防于年位借一年为十二月减七存五
次减一年并所借一防共二年以减三年余一年】
还原以己厯一年○七个月补俸一年○五个月相并得三年合总
假如有海濵田一百三十一顷四十亩被潮坍损二顷八十五亩一百五十九步仍余若干
答曰仍存田一百二十八顷五十四亩八十一步解曰【此以百亩成顷二百四十步为亩故列位时须作防别之而减法亦同
先减一百五十九步原数无步作防于亩位借一亩
为二百四十步纪号于原位乃如法减之】
仍存一二□五□○八□
还原以坍损田及仍存田相并得原田数合总右二式畸零之率不同难用九减七减只以并法还原【余详通分】
钱粮四柱法
四柱者旧管新收开除实在也各衙门造册必归四柱则收放可稽在笔算为减并合用盖旧管新收用并法开除用减法其实在则减余也亦有减尽无余者则无实在即于实在项下直注曰无其事件创立前无所承者则无旧管亦有存留不动之项则有旧管而无新收其法并同【如无旧管则注曰旧管无或无新收则亦曰新收无】若所出浮于所入则为透支当用转减之法也【开除本用以减今反将并旧管新收以减开除故曰转减】凡转减者亦当于实在项下注明【如云实在无外多支若干是也】式如后
假如藩库原存地丁银一十二万○三百○三两今于康熙三十年征收一百四十一万○五十五两六钱节次支放过一百二十二万二千○五两六钱问该存留若干答曰三十万○八千三百五十三两
【先用并法得旧管新收共一百五十三万○三百五十八
两六钱再用减法于共数内减去开除一百卄二万二千
○五两六钱得实在存留三十万○八千三百五十三两
以旧管新收共数与开四 除实在并数各依试法】
【四 左右列减余相同知其不误 九减七减并余
四可省一图】
假如仓内原存米四千四百石新收某处解到米五百○三石麦三千六百石奉文支放兵米五千石问实在若干答曰【米支放讫仍缺额九十七石麦实在三千六百石存仓】
麦
【法以旧管新收共米】 旧管 无
【四千九百○三石转】 新收 三六○○
【减开除五千石得缺】 开除 无
【项九十七石】 实在 三六○○
【试法合旧管新收加入缺项而九减七减之纪余于右 又单
用开除一项九减七减纪余于左以左右相同知其无误
凡转减者仿此试之】
假如某镇军饷原存二千一百○三两支放过正月分口粮折银一千八百○九两续于二月有某处解到协济银三千五百两于四月内发过草料银八百九十二两又制造盔甲银用过九百九十九两五钱续准某军门公文发到饷银一千○九十两问今库内现存若干 答曰仍存二千九百九十二两五钱
以上先用并法变六宗为两宗然后相减
若依四柱法则当以协济三千五百两院发一千○九十两另并为新收四千五百九十两
【九 六 七 三】
【试 □ 试 □右试法并以旧管新收并为
一宗而九减之纪余于右以开除实在并为一宗而九减
之纪余于左七减亦然所不同者除实
在减至钱数则旧管新收亦必减至○钱位止然后左右
相较可以无误此七减之要诀所当熟翫】
淮仓销算【邸抄附録为式】
户部题为差委司属官员事查得淮仓监督将任内自康熙廿九年九月初六日起至三十年八月初七日止收放钱粮数目造册具题前来查册开旧管银三万八千一百一两五钱三分零米麦四万五千一百六十九石九斗三升零新收银一万二千一百四十八两九钱九分零米麦一万七千三百六十九石二斗六升零又收过商税等银三万一千六十四两八钱六分零内相符准销银一万八千三百一十五两一钱五分零米麦一千一百一十九石八斗四升零行查催解银三万五百五十四两八钱零米麦一万三千二百五十石八斗二升零存剩银三万二千四百四十五两四钱三分零米麦四万八千一百六十八石五斗三升零将解支欵项开后一解部银一万七千六百二两三钱五分零米一百三石毎石九钱折银九十二两七钱麦一千一十六石八斗四升零每石五钱折银五百八两四钱二分零等语查前项银两已经解到收讫无庸议一给门军口粮银七百一十二两八钱等语查系应给之项无庸议一解河工银五千八百一十三两二钱六分零查未开解交年月日期应令开明报部之日查核一给淮安等卫廿九年分行粮银五千三百两三钱二分零米麦一万三千二百五十石八斗二升零月粮银一万四千七百三十二两九钱查总漕未奏销应俟奏销到日查核一解淮安府银四千七百八两三钱二分零查卄八九两年解府银两尚未动支今何得又行起解应令作速解部一存剩银三万二千四百四十五两四钱三分零米麦四万八千一百六十八石五斗三升零应将此解部米麦存仓备用又收过房田税契银四百二两六分六厘零查前项银两已经解到收讫无庸议者奉
防依议 今以四柱法核之如后
【桉此即原题四柱册也旧管者即四柱之旧管也新收及商税皆新收也准销即除存剩即实在其行查催解银则四柱中原作开作而部不准销改入实在之数也】法【以准销查催共数与旧管新收共数相减即得存剩】
细账
【仍原数不动】
以上并依法合总无讹
外有房田税契银另项附销不在四柱之内
厯算全书巻三十四
钦定四库全书
厯算全书巻三十五
宣城梅文鼎撰
笔算巻二
乘法
以数生数是之谓乗数不能自生相得乃生故乗亦曰因【生则不穷故乘有陻义生则日积故乘有载义】有一位乗有多位乗【或分一位曰因多位曰乘然古皆谓之乘今从古】皆有法有实有得数
【凡实数纵列于右凡法数横列于下纵横相遇而得
数生焉直行所对者法数也斜行
所对者实数也而纪得数则以横行定之
或问实何以对斜行曰法有进行故得数斜陞是故
右第一行是法单位乘出之数也其次行则法十位
乘出之数也又次而百而千视此矣故其乗得数不
出斜格 此虚位也单十百千周流迭居皆于临时
定之】
凡乘出数皆有本位有进位如有十数又有零数【三四一十二四四一十六之类】则纪零于本位【本格之右方】纪十于进位【上一格之左方】有十数无零数则纪十于进位而本位作○【五四成二十五六成三十之类】有零数无十数则纪零于本位而进位作○【一一如一二二如四之类】凡法实有空位则本位进位俱纪○
凡乘皆从法尾位起【即右第一行】对定实数相乗自下而上如画卦之法右行乘毕挨乗左行毎移一行必进上一位其各行中斜对实数自下而上皆如右行法
凡法与实有空位则无可乘然必于本位进位各作○以存其位【若实尾有空位则于合摠时补之】
凡各行乗讫必覆核之乃以并法合总而纪于左方以为得数实尾有几○皆作于总数之下
凡乗讫定位皆于原实内寻原问毎数为根以横行对定得数命为法尾数则上下之位皆定
凡数单乗单成单【甲为本位戊为进位】十乘十成百【乙为本位已为进位】百乘百成万【丙为本位庚为进位】千乗千成百万【丁为本位辛为进位】前图可明
定位又法【法曰有本数有大数有小数如原问是毎亩之价而原实恰止于亩数是本数也凡本数即用得数尾位命为法尾数 若原问是毎亩之价而原实只有十亩或只有百亩是大数也凡大数当于得数尾位下增○然后于所增○位命为法尾数若大几位亦增几○皆增至毎位止即命末○为法尾数也若原问是每亩之价而原实不止于亩亩下有分厘是小数也凡小数当于得数之尾截去之原畸零几位亦截去几位然后命之即所截之上一位为法尾数是也】
凡乗毕恐其有误宜用除法还原【置得数为实以法数为法除之即得原实或置得数为实以实数为法除之亦得法数】不则以九减七减试之尤防
【先以法数如法九减之而纪其余于右如甲次以实数亦九减之而纪
其余于左如乙再以左右两减余相乘得数仍九减之而纪其余于上方
如丙 末以得数亦九减之而纪其余于下方如丁 丁丙相同即知无
误七减亦然】
【先以法数实数各如法九减之而并纪其余如甲与乙 次以两减余相
乗得数仍九减之而纪其余如丙以上并居左方 末以得数亦九减之
而纪其余于右方如丁 视丙丁相同卽知无误 如甲乙二者内有一
○卽丙亦○又或甲爲一数卽丙数同乙皆不用乗 七减亦然】
一位乗式
假如有熟田三千五百一十九亩每亩编银六分问该若干答曰二百一十一两一钱四分
【法从下起先以法数六乘实数九呼六九五十四纪四于
于本位纪五于进位进乘实数一呼一六得六纪六于本
位纪○于进位进乗实数五呼五六成三十纪○于本位
纪三于进位进乘实数三呼三六一十八纪八于木位纪
一于进位 乘毕以倂法合总】
定位法 因原问是毎亩科则就于右行原实内寻每亩数为定位之根横对左行得数命法尾分则其余皆定【根是九亩横对是四分则上位是钱又上是两又上十两又上是百两定所得为二百一十一两一钱四分】
两位以上乗式
假如有金九钱八分五厘每两价银八两八钱问该若干 答曰八两六钱六分八厘
【先以法八钱乗实数五呼五八成四十纪○于本位纪四于进位进
乗实数八呼八八六十四纪四于本位纪六于进位进乗实数九呼
八九七十二纪二于本位纪七于进位
次进一位以法八两乗实五呼五八成四十纪○于本位进乗实八
呼八八六十四纪四本位纪六进位进乘实九呼八九七十二纪二
本位纪七进位乗毕以并法合总】
定位法【原问毎两之价而实无两当于实九钱上补作○两位为根以横对得数定为法尾钱即上下之位俱定】
定位又法【此小数也原问以毎两价为法而实有钱分厘共小三位即于得数截去尾三位定第四位为六钱】
【法实减余平列左上相乘而减之列左下
得数减余列右下以相同为定】
假如有钱三十万零五百八十文每千卖银九钱零五厘该若干
答曰二百七十二两零二分四厘九毫
【先以法数五乗实数八纪四○次乘实数五纪二五
次乗实数○○本位进 位俱纪○次乗实数三纪一五
进一位以法数○乘实○无可乘于本位进位各纪
○以存其位又进一位以法数九乘实
数八纪七二进乗实数五纪四五进乘两○纪○进
乗实数三纪二七乘毕以并法合总】
定位【原问是毎千之价当于原实内寻干位为根以对得数命为法尾厘则其余皆定】定位又法【此亦小数也实有十丈于原问毎干为小两位当于得数截去末两位定为法尾厘】
【此即前问也因法有空位省不乘但于法首九
钱起进二位乘之即得数无讹与前法同
本宜进一位乘九钱今进两位以合空位之数
若法有两空即进三位以上仿论】
假如星命家以年月日时配成八字【以七百二十乗七百二十】问共该若干
答曰五十一万八千四百
【如法乗讫并之得五一八四】
定一【原问七百二十年月下毎一数中各配七百二十日
时宜于原实下补作○单位为根以对得数定法尾十】或用又法【实数止于十大于毎数一位乃大数也宜
径于得数増一○位定法尾一】
解曰【六十年各十二月则前四字七百二十六十日各十二时下四字亦七百二十故以相乘即能尽八字之变】
假如西厯天度毎周三百六十今有星行天三百周该若干答曰一十万零八千度
【依法乘讫用并法合总得一○八】
定位【原问是毎周之度今实数是三百周当于原实下补作两○至毎周位止
以此为根横对得数定法尾十度而得数空补作一○上一位为百度位得数亦空
又补作○是得数无百无十也再上为千为万为十万定所得为一十万○八千】或用又法【星行三百周大于毎周两位乃大数也法径于得数下增两○
定末○为法尾十度即得数皆定】
【此先置三百六十为实而以三百周为法乘之也得
数一○八与前法同但变两位乘为一位乘其用更
简】
定位【用大数法以实止十度无毎位径于得数
下补作一○定为法尾百即得数定为十万○八千】
假如有珠子三分五厘毎两值银二十四两该
若干
答曰八钱四分
依法乘而并之得八四○
定位【原问珠毎两价今实数只有分乃进位作
○于钱位又上作○于两位两为根横对得数为法尾数
两而两位空补作 定所得为八钱四分】
定位又法【此小数法也实有分厘在原问毎两下三位宜截去得数末三位定法尾数两而得数只三位无可截乃补作○于得数之上然后截之定为○两】
此与前条金价并畸零乘法也【余详通分】
省乘法【古谓之加法】
假如有漕粮三百六十石毎石耗米四斗问正耗共若干答曰共五百○四石
此就身加法也【原数即当得数不动只挨身加四
先于六十石加四六二十四石又于三百石加三四一百二十石末
用并法连原数并之合总凡加法定位依原数不湏更求下同】
【加法九试七试略同并法并合原数加数减余列右共数减余列左此及下
条并九减七减俱无余】
假如银五十四两毎两月息二分五厘今两个月共本息若干
答曰共五十六两七钱
【此因所加是分在两下二位故隔位加 又因毎月二分半今两个
月该五分故以五分为法先于四两加二○进于五十加二五末以
并法连原数合总】
省乘又法【古谓之求一乘法】
凡法数之首为一数者即原数不动而挨身加之与前两条同也若法首非一数者以法变为一数则亦可挨加此为本非一数求而得之故名求一乗法也 其法遇法首为二为三则折半用之而倍其实 法首遇五六七八九则加倍用之而半其实 法首遇四则取四之一用之而四其实【如此则法首成一数可用省乘】
【凡求一乘法定位亦于原实内寻毎数为根以横行对得数定之但此所对得数恒为法首位数 若乘法则为法尾位数与此不同乃理势之自然不可不知】
假如前条珠三分五厘价毎两值银二十四两用乘法得价银八钱四分今以法数折半作一十二两实数加倍作七分挨身加之所得正同而用加防矣
【原数不动即用为法首一数所乘也挨身以法次位二与原数相乘呼二七加
一十四本位纪一下位纪四加讫以并法合总亦连原数作数并之】定位【亦从原数七分上加两○寻毎两位为定位之根横对左行总数得法首
位是十两下一位是两俱空位补作两○再下一位即钱定所得为八钱四分】
又如前条钱三十万○○五百八十文毎千价九钱○五厘以钱折半【十五万○二百九十】为实价加倍【作一两八钱一分】为法
【原数借为得数不动 以法去首位一只用八一挨身加
之自下起于九加七二九于二加一六二其○位无加于
五加四○五于实首一加八 一加讫合 原数并总】定位【寻原数千位为根横对左行得数得法首两位】
并乘法【凡有数次乗者并为一次乗亦算家简法旧谓之异乗同乘】
假如原本银三千二百两毎两一年获息一钱五分六厘二毫五丝已经四年该息若干 答曰二千两
【法先以三千二百两乘四年得一万二千八百两再
以息银乘之是并两次乘为一次乘也】
截乘法【凡乗法位多者截作数次乘之以便初学其法与并乗相反而其理相通】
假如有三十二人各给布六丈四尺共若干
答曰二百○四丈八尺
【先置六丈四尺以十六人为法用省乘就身加六得一百○二丈四尺又
二乘加倍合总解曰十六乘又二乘即三十二乘也】定位【凡就身加者原数即可定位如前条漕粮毎石加四斗是也此
条是十六加首行六四虽以原数当得数而六丈四尺已陞为六十四丈
矣 若加倍自是本位此在用算者临时消息之也】
或置三十二人以八丈乘两次亦同
解曰八乘二次即六十四乗也
或置六丈四尺以四乗之得数又以八乗之所得亦同
解曰四乗一次又八乗一次即三十二乗也
除法
以数剖数是之谓除除其原数以归各数故除亦曰归【除与乘对理精用博近或谓之分义则浅矣】
有一位除有多位除【或分一位曰归多位曰除或曰归除曰混归然古皆曰除】皆有法有实有得数【得数一名商数】
实其物也法其则也法实在乘法或可互用而除法必须审定乘法以法与实相遇而生一数如阴阳相交而生物也故虽互用而其交之理不易其生之用亦不易也除法以实满法而成一数如镕金以就型也故曰实如法而一若倒用之则非矣【实如法而一或变文曰如某数而一如用三除者省文曰以三而一言以三数成一数也而字皆连上为文或者不察遂竟以而一当除之字义失其防矣】定法实诀
凡审法实有二诀一曰先有定则即以定则为法其所除者必同名之物也【如有定则之银为法而除总银以定则之米为法而除总米是也】一曰先无定则而求定则须详问意以所用求之者为法其所除者必异名之物也【如以总米除总银以总银除总米是也】何以为先有定则也以事明之如银籴米而先知每米一石之银若干是先有定则之银也即以此定则之银为法而以总银为实以法除实则得总银所籴之总米矣【此为有总银数又有米毎石之银数故以银除银而得总米】
若先知毎银一两之米若干是先有定则之米也即以此定则之米为法而以总米为实以法除实则得总米所粜之总银矣【此为有总米数又有银毎两之米数故以米除米而得总银】
是皆所除者同名而所得者异名也又谓之以毎数求总数【凡以毎数求总数者以每数为法毎数即定则也以比例求之更明图具左方】
何以为先无定则而求定则也如有总米又有总银而无毎数则当于问意详之问者若欲知每米一石之银是以米分银也则以总米为法总银为实问者若欲知每银一两之米是以银分米也则以总银为法总米为实是所除者异名而所得者亦异名也又谓之以总数求每数【凡以总数求毎数先无定则故必于问者之所求酌之亦有比例之理】
又防法
凡不动者为法动者为实何以明之如有总米总银而欲知毎米一石之银则将变总银为每米之银是银动而米不动也故以米为法若欲知每银一两之米则将变总米为毎银之米是米动而银不动也故以银为法其以毎数求总数者先有定则不动即用为法尤为易见
凡布算乗易而除难除法之难尤在法实法实无误则思过半矣此乃珠算笔算所同也故首辨之如右若笔算除法更有宜知者数端具如后方
一列位【法实既辨即当列位】
其法先作两直线自上而下平行相望约其间可容字两行为率其长短则视位数多寡定之先以实数列于右直线之右自上而下依列位法书之次以法数列于右直线之左亦自上而下其千百十单皆与实相对或法数有千而实只有百者即对书于上一位余皆仿此亦有实数无分秒而法数有之者亦对书于实尾之下次约实以求得数【得数亦名商数】
以法约实纪其得数于左线之右视法首位是言如之数【如三三如九之】则书于实之上一位而于实首添作○以遥对之或法首位是言十之数【如二六一十二之类】则书于实首之对位其次商三商以上皆依此书之若书之而不相接辏是商数有空位也补作○此定位之根慎不可错次乘商数求应减之数以减原实
以商得数与法数相呼乗之而纪数于左线之左皆以乘数之进位对商数纪之【如二六一十二则以一十对商数书之如三三如九是为○九则以九上之○对商数书之他皆仿此】乃遂以乗出数与右行原实对减【周减法】足减者于原实抹改之不足减者改商数其乗出数亦抹去便续商也
次定得数之位
先于法数之上一位作□为识以对得数命为单位等而上之则十百千万等而下之则分秒忽微皆从此定
次命分
除有不尽者以法命之用法数为母不尽之数为子命为几分之几
次还原
凡除法恐其有误当以乘法还原用法数与得数相乗除有不尽者并入之即得原实
又法仍以除法还原用得数为法转除原实即复得法数除有不尽者以减原实为实然后除之
又法以九减七减试之以法数九减七减皆用其所减之余纪右再以得数如法减之纪其余于左左右两余数相乗仍如法减之纪其余于上方末以原实亦如法减之纪其余于下方上下相同则无误矣
又简法作直线于左方以应减之数依并法并之必合原实有不尽数亦并入之【此法更简更确】
按笔除原法以法实上下相叠不论数之何等【谓十单分秒之等】而但齐其尾殊欠条理又以得数横续于法实之尾定位易淆今法与实皆用真数相对而宜减之数先列左方对减无误即古人实如法而一之故了了分明据法首定位尤为简快
一位除式
假如有额编地丁银二百一十一两一钱四分其科则毎亩六分问原地若干
答曰三千五百一十九亩
审法实诀【此为以毎数求总数也其毎数六分为先有之定则不动故以为法】
【右并法还原即用原列应减之数并之必合原实是为简法】列位法【如法作两直线先以实数二一一一四列于右直线之右自上而下顺布之次以法数六列于右直线之左因法系六分故与实分位相对】
商除法【次以法数约实法是六实是二以六除二当合下位作廿一除之商作三以乘法六呼三六一十八是言十之数将商得三以法首二书于左直线之右以乘得一八书于左直线之左因是言十之数以乗得进位一字对商数三字书之遂以此乘得一八用减法与原实二一对减先于实次位减八实系一不足减作防借上一数为十一减八余三改书三于实一之右次于实首位减一实系二因借去一防只作一减尽作○乃作线抹去二一存○三亦于左作线抹去减数一八】
【次商以六除三亦当合下位作三一除之商作五以乘法六呼五六成三十是言十之数将次商五对实三字书于初商之下亦以乗得三○依法以三字为进位对次商五字书于左直线之左依法对减实三】
【作○仍作线抹去实三亦于左减数抹去三○三商以六除一合下位作十一商作一呼一六如六是言如之数将三商一对实上位一字书于次商五之下依法以乘得○六对所商一字书于左线之左以对减实一一以六减一不足减作防借上成十一减六余五改书 五于右抹去一一亦于左减数抹去○六末商以六除五亦合下位作五十四商作九呼六九五十四是言十之数将商得九对实五字书于三商一之下依法以乘得五四对所商九字书左线之左以对减实五四恰尽俱改书○而抹去五四左减数亦抹去 共商得三五一九】
定位诀【于右线法数六字上一位作□为单位之识以横对左得数九字定为单九亩进位是十亩又进百亩又进千亩命所得为三千五百一十九亩】
乗法还原【以法六分乘得数三千五百一十九亩仍得原实见乗法】除法还原【以得数为法除原实仍得法数六分 见后条】试法
【九减得数无余纪○于左法数余六纪于右左右相乗仍纪○于上
九减原实无余纪○于下凡○位与他数相乗所得皆○】
【七减得数余五纪左法数余六纪右左右相乗仍以七减余二纪于
上七减原实余二纪于下两试皆上下相同知其不悮】
【论曰除法以乘法还原犹之乘法以除法还原此旧法珠算所必需若除法以除法还原则旧所无也同文算指用九减七减试法可免还原颇称巧防今以并法代之则试法亦省故称简法焉兹各具一则用相参互以明筭理握算者择而用之可也今定笔除只用简法还原若笔乘仍用试法】
多位除式
假如有熟地三千五百一十九亩共征银二百一十一两一钱四分问每亩科则若干 答曰毎亩六分审法实【此以总数求毎数也问者欲知毎亩科则是将以总银变为毎银银数动地亩不动故以地为法银为实】
列位法【先以实数自上而下顺布于右线之右次以法数对书于右线之左实首位是二百法首是三千法大于实一位故进一位列之凡进位列者皆不满法】
商除法【以法数约实法首是三实是二合两位二一除之宜商七因法有次位须留余地改商六以乗法三呼三六一十八是言十之数以商数六对实首二书于左直线之右以乘得一八书于左线之左遂以商数六徧乗法次位五呼五六成三十乗得三○挨书于一八之下一位又以商数徧乗法第三位一呼一六如六乘得○六挨书下一位又以商数六徧乗法末位九呼六九五十四乘得五四又挨书下一位如此徧乗法四位讫乃以乘出数为减数对减原实恰尽】
定位【寻法首上一位为单位横对左线得数上二位定为两顺下一位是钱此二位俱空补作○○再下是分定所得为六分】
此一次除尽例也又为法大实小故所得不能成整数【两为整数今所得是分在两下二位】
【若用乘法还原同前条还原法若用除法还原即前条除法】
此所定单位在得数之外乃借虚位以定实数【下条同】其故何也曰法是三千有零能满此数始能成一两故曰实如法而一今法大实小是实不满法不能成一数所得者乃剖一整数而得其若干如此条所得乃百分两之六也【详命分】
假如有银八两六钱六分八厘换金毎金一两该银八两八钱问换金若干
答曰九钱八分五厘
定法实诀【此为以银除银金价八两八钱是先有之定则不动就以为法】
【如前法对列法实于右线之左右初商法八实八宜商一因无次商改退商九以乗法八得七二又乗法次位八亦得七二依法挨书遂以对减实三位八六六余○七四 次商八以乘法八得六四乗法次八亦得六四依法书之遂以对减余实七四八余○四四 三商五以乗法八八得四四○依法书之遂以对减余实恰尽】
定位【法数上一位为单位横对得数上一位是两定为○两九钱八分五厘法实首位同而法次位八大于实次位六故亦借虚位以定实数説在前条】
【甪乗法还原见乗法第二条 用除法还原以金九钱八分五厘为法除实得毎两价八两八钱即畸零法也详通分】
假如有银四万八千两六十四人分之该若干
答曰各七百五十两
假如有银二百七十二两○二分四厘九毫毎钱一千银九钱○五厘问钱若干 答曰三十万零五百八十文定法实【此先有定则九钱○五厘故以为法】
【此法有○位例也亦是得数有○之例
初商三以乗法九得二七法次位空无乘挨作○○以存其位
再乗法末位五得一五各如式书之以对减原实二七二○余
○○○五 实空位无可商次商从实五字起商作五以乘法
九得四五法次位空亦作○存位 乗法末位五得二五如式
书之以对减实五二四九余○七二四】
【初商三乗九得二十七是言十之数宜对实首位二字书得数三次商五乗九得四十五亦是言十之数宜对余实首位五字书得数五如此审定而书则乘出减实之数与实相对了了分明便知不误然初商次商不相接续所差二位是得数有二空位也补作○○于初商次商之间以存得数之空位如是则次商之事毕 末商八以乗法九得七二法次位无乘亦作○存之法末位乗得四○以对减余七二四恰尽】定位【此因所问是毎千之价故千即单数也从法上一位横对定为千文之位上为万又上十万定所得为三十万○○五百八十文】
若以数三十万○○五百八十文为法除原实二百七十二两○二分四厘九毫亦复得九钱○五厘为毎千之价如后图
审法实【此问钱价是以钱分银故以总钱为法总银为实】
列位之理【所欲知者毎千之价故以千为
单以万为十以十万当百与原银对列
其书商数如式不错则得数之空位自明定位亦自无
舛説见前此两条互相还原 若以
乗法还原并用乘法第三条】
命分法
凡除法至单而止故曰实如法而一所谓一者即单一数也其有除至单数而仍有不尽之余实或法之数本大于实皆不能成一整数则以法命之其法有二其一除之至尽如计轻重者不满一两则除之为若干钱若干分及厘毫丝忽前条法大实小及得数单下仍有数位者是也【若授时厯万分为度百秒为分及钱钞论贯贯之下有百冇十有零文尤为易见】其一以法数为分母不尽之数为分子命为几分之几【如以三除五内除三数满法成一整数余实二不能成整则以此二数各剖为三分共成六分而以三除之各得二分是为三分之二也】假如十九人分银二百五十四两问各若干
答曰各十三两零十九分之七
【以十九人为法除二百五十四两各得一十三两不尽七两以法命
之 其法以法十九命为分母不尽七数为分子命为十九分两之
七 解曰一整两各剖为十九分则不尽之七两共剖为一百三十
三分以十九人分之各得七分并整数分数为毎人分得一十三两
零十九分两之七】
【若用乘法还原法以十九人乗得数十三两得共二百四十七两加
八不尽七两共二百五十四两合原实】
【若用除法还原 法置原实内减不尽之数七两余二百四十七两为实毎人十三两为法法除实得十九人】
论曰古人只用命分后世乃有除之至尽之法然终不能尽【如以十九人除七两各得三钱六分八厘四毫二丝一忽终余一忽】故不如命分之简妙【如钱粮尾数一忽之下仍冇微纎等七位不等徒滋繁文无禆实用然亦终不能尽若命分之法只一语喝尽更无渗漏然后知古法为无】
省除法【旧名定身除亦名减法凡法首位是一数者用之】
假如漕粮正耗共五百○四石每正米一石除耗四斗问正米若干
答曰三百六十石
【先以原数五定正数为三书直线左以应减耗数四乗所定正三得
耗一十二并正三共得四二以减原数五○余○八次以余数八定
正数为六书正数三之下以减耗四乗六得二十四并正六共得八
四减余数恰尽合得数减数并之即还原数或用
加四亦同】
定位【凡省除皆以原数定位】
省除又法【古谓之求一除法】
凡定身除惟法首是一数者可用今以倍半之法求之则法首皆变为一数
其法遇法首位是二是三法实皆折半遇四则折半两次遇五六七八九法实皆加倍【如此则法首位皆成一数】假如前条六十四人分银四万八千两用除法各得七百五十两今以法实各折半两次用定身除所得亦同
【先以法六十四折半作三十二又折半一十六为法实四万八千折
半作二万四千又折半一万二千为实用定身除法先以实首两位
一二定七为得数法去首位一不用只用六以乘得数七得四十二
书左并得数七共一一二以减原实一二余○○八次以余实八定
五为得数亦以法六乗得三○挨书于左以减余实八恰尽】
定位【得数七对原实千因法是有十之数退一等作七百定所得为七百五十石 假如十人七千即毎人七百故法有十者退一位也凖此推之法有百退二位有千退三位万以上仿此论之凡省除依原实定位当知此诀】
并除法【旧名异除同除】
凡有当除数次者则以法相乗为法作一次除之亦简法也【如以四除之又以五除之又以七除之则以四乘五得二十又以七乘得一百四十共为法以除之是并数次除为一次除也】
假如经商获利二千两原本三千二百两已经四年问毎年毎两之息
答曰毎两息一钱五分六厘二毫半
法曰先以四年乗原本【三千
二百】得【一万二千八百】为总法【本法宜以
二千二百除二千得毎两之息再以四年除之得毎
年毎两之息今并两次除为一次除足简法也】
截除法【与并除相反所以便初学】
凡除有法数位繁者或可以截为两次除以从简易假如五十六人分银【一千五百一十二两】各若干
答曰各二十七两
【此因法五十六是七八相乘之数故先以八除得一百八十九两仍用为实再以七除之得二十七两合问】
【或先用七除得数二百一十六两复以八除之亦得二十七两为毎人数】
【右省除式也只作一直线书原实于右纪得数于左而以九九数呼而减之不必另书减数凡法只一位者用此为便】
假如铜一百二十八斤价二十两问毎斤若干
答曰毎斤一钱五分六厘二毫半【原法三位今用截除三次俱一位为法可用省除】
假如银一千○八十两置田二百一十六亩问田价每亩若干
答曰五两 【原法三位今用六除三次亦同】
约分法
凡命分有可约者以法约之古法曰可半者半之不可半者以少减多更相减损求其有等以等约之【以等数除母子数则皆除尽西人谓之纽数】
假如八十一人分银二十七两问各数 答曰各得三分两之一
法曰【以八十一除二十七不能各得一两依命分法八十一为分母二十七为分子命为八十一分两之二十七又以法约之为三之一】解曰【八十一是三个二十七若剖毎两为八十一分即各得其二十七分是三之一也】
分母八一 【约分法曰置分母八十一用递减法以分子二十七减之余五十四复以二十七减】分子二七 【之仍余二十七如是则两数齐同是有等也即用此等数二十七为法转除分母八】减余五四 【十一得三除分子得一如此则不用细分但以毎两均剖为三而各得其一分即三又减分子】二七 【人共一两也若分子是五十四则用转减法以子五四】仍余二七 【转减母八一余廿七又以母余二十七转减子五四亦余卄七是相等也就以此等数卄七为法除母八一得三除子五四得二是为约得三之二】
假如米八十五石分结一百○二人问各若干
答曰各得六分石之五
法曰【人多米少不能各一石依命分法以一○二为分母八五为分子命为一百○二之八十五以法约之为六分之五】【约分法曰置分母一百○二以分子八十五减之得余十七用转减法以余十七减分子八十五余六十八又递减之余五十一又减之余三十四又减之余亦十七是相等也就此等数十七为法转除母数一百○二得六除子数八十五得五约为六分之五解曰一百○二是六个十七八十五是五个十七故曰六之五即六人共米五石也若以米毎石均分六分八十五石共得五百一十分为实以一百○二人为法除之得五是毎 所得为一石米中六分之五也】
厯算全书巻三十五
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
钦定四库全书