历算全书歴算全书卷三十六
歴算全书卷三十六
宣城梅文鼎撰
笔算卷三
异乘同除法
以先有之数知今有之数两两相得是生比例莫善于异乘同除乃古九章之枢要也先有者二今有者一是已知者三而未知者一用三求一故西法谓之三率今先明同异名之説以着古法次详三率之用以显通理
异者何也言异名也同者何也言同名也假如以粟易布则粟与粟为同名布与粟为异名也
何以为异乗同除也主乎今有之物以为言也假如先有粟若干易布若干今复有粟若干将以易布则当以先所易之数例之是先易之布与今有之粟异名也则用以乗是谓异乗若先有之粟与今有之粟同名也则用以除是谓同除皆用以乘除今粟故曰主乎今有以为言也【置今有粟以异名之布乘之为实再以同名之粟为法除之是皆以今粟为主而以先有之二件乘除之也】
问何以不先除后乗曰以原总物除原物总价则得每物之价以乗今有总物亦可得今有之总价然除有不尽则不可以乗故变为先乗后除其理一也
假如原有豆一百○八石价银三十六两今有豆一百三十五石问价若干
答曰四十五两
法曰置今豆一百三十五石以原豆价三十六两乗之得四千八百六十两为实以原豆一百○八石为法除之得四十五两为今豆应有之价【见以物求价也若还原则以价求物】
假如原有银四十五两买豆一百三十五石今有银三十六两问豆若干
答曰一百○八石
法以豆一百三十五石乘价三十六两得四千八百六十石为实以价四十五两为法除之得一百○八石合问西人三率法
其法以先有之二件为一率二率今有之二件为三率四率则前两率之比例与后两率之比例等故其数可以互求
【今冇之二率先只有其一合前有之二率共为三率以求之而得今有之余一率是以三求一故曰三率法实四率也】
假如一率是三二率是四三率是九则四率必为十二何也三与四之比例若九与十二也故以四【二率】九【三率】相乘【卅六】为实以三【一率】为法除之必得十二【四率】
若互用之以四率为一率则十二与九之比例若四与三故曰可以互求【此即还原之理】
【解曰以三比四以九比十二并三分加一之比例以十二比九以四比三并四分减一之比例凡言比例等者皆如是
此以上图之四率为
一率也故其序皆倒
而所得四率即上图
之一】
又更而互之
凡二三相乘与一四相乘等积此立法之根观右图可明【四九相乘三十六而十二与三相乘亦三十六故以三除三十六得十二以十二除三十六亦复得三此前两图互求之理若更一四为二三其实同为三十六故以四除之得九以九除之亦复得四此后两图互求之理】
又错综之
此又以前图之二与三更之则前两率之第二变为后两率之第一而其比例亦等【凡一率二率为前两率乃先有之二件也三率四率为后两率乃今有之两件也今以二率三率相易则是先有之次率变为今有之首率也然以比例言之在前图为三与四若九与十二者在此图则三与九亦若四与十二也】
若以一率除二率得数以乗三率亦得四率【如以一率三除二率九得三以乘三率四亦必得四率十二以一率四除二率十二得三以乗三率三亦得四率九但先除后乗多有不尽之分故异乗同除为算家大法乃中西两术所同也】
试仍以古图明之
原有小麦十二石 换食盐九石 【俱四分之三比例若以上□左】今有小麦 四石 换食盐三石 【右更置即成三率之前四图】
更之【以纵为横】
原有粱米 三石 换棉布九疋 【俱三倍之比例若以上下左右】今有粱米 四石 换棉布【十二】疋 【更置即成三率之错综四图】辨法实
凡三率之用皆以二率乘三率为实首率为法除之以得所求为四率
然何以定其孰为一率孰为二率三率也曰此则古人同异名之法不可易也诀曰凡今有之已知者常定为三率【其未知者待算而知则常为四率】视先有之物与三率之今有同名者定为首率其与今有异名必为二率矣
又诀曰凡三率之法以三件求一件其所求之一件未知而三件则巳知也此已知之三件中必有两件同名【如价与价物与物之类】就以此同名之两件审其孰为先有定为首率【其今有者则为三率而其余异名之一件亦必先有也恒为二率】
假如有句股形田长一百三十五步阔四十五步今截相似形长一百○八步问阔若干
答曰截阔三十六步
定法实诀
以今截长一百○八步定为三率长与长同名以原长一百三十五步定为首率濶与长异名以原濶四十五步定为二率
又诀【此巳知之三件是原长原阔截长内长与长同名以原长是先有之数定为首率截长是今有之数为三率原濶与长异名为次率】
按原长与原濶即大句大股截长截濶即小句小股也四者皆可以递互相求三率中更互错综之理尤为易见
以比例言之大股与大句若小股与小句也更之则小股与小句亦若大股与大句也此为以股求句反之而以句求股则大句与大股亦若小句与小股也又更之则小句与小股亦若大句与大股也
又错综之则大股与小股若大句与小句也而大句与小句亦必若大股与小股矣又小句与大句若小股与大股也而小股与大股亦必若小句与大句矣是为三率之八变
异乘同除定位法
三率定位与乗法除法无异【乗法以实单位为根定所对得数为法尾数除法以法首上一位作识定所对得数为所求单数并详前巻】但所用之实以二率三率相乗而得握算者或疑其数之骤陞而不能守其定法则定位必讹而其理益晦矣故复论之【诸家算术往往有定位不确者皆由见乘后数多未免惊怖而輙为酌改故也】
假如六个时辰马行二百一十里今行五个时辰当有若干里
答曰一百七十五里
论曰试以六时除马行【二百一十里】得每时行【三十五里】以乘【五】时亦得【一百七十五里】原无可疑今先乗后除故以【一千○五十里】为实骤观之似乎太多究竟除后得其本数而已
假如银【三十二两】换钱【三万六千文】今有银【二十八两】问钱若干答曰三万一千五百文
若以【三十二两】除【三万六千】得毎两钱【一千一百二十五文】以乗【二十八两】亦得三万一千五百文【知得数之同则知一百万零八千之非误】
异乗同除约分法
三率内有两率相凖可用约分者即改用所约之数易繁为简如法乘除所得无误而用加防矣【两率者其一首率其一次率或三率也凡以法约之必两率相准次率三率祗用其一皆取其与首率相凖也 或两率并为偶数则俱折半或两率并可均剖为四则折半两次或两率并可均分为三则各取三之一或两数互减而得等数则以等数约之并如约分法】
【论其比例 半之则 以三约之 以九约之 再约之为十八比 九与八 则六与十 则二与十 则为一十六若九 之比例 六之比例 六之比例 与八若十九与八 亦若九 若三十三 若十一与 十一与十八也 十九与 与八十八 八十八 八十八八十八】
假如赁房九个月银七十八两问住二年该若干答曰二百零八两【法以二年成二十四个月依式列之】
四 二百零八【八乗廿六即得此数】假如八色金六十两换银二百八十八两今有九色金五十两该若干
答曰二百七十两【此以金折成足色六十两作四十八两五十两作四十五两算之】
四 二百七十【十八乘十五得此数右皆约得一数为首率故不须除但以二率乗三率即得所求为四率】
重测法【三率有叠用两次者谓之重测即两个异乘同除】
假如有夏布四十五丈欲换棉布但云毎夏布三丈价二钱棉布七丈价七钱五分问换棉布若干 答曰二十八丈一 夏布 三丈 先用为法
四 价 三两 法除实得此数
重列
一 价【七钱五分】 又用为法
四 棉布 【二十八丈】 法除实得此数
此因两布各有其价故先用法求得第四率以夏布变为银就以此定为重列之第三率【即今价也】而以棉布价【七钱五分】为首率【以与今价同名也】棉布【七丈】为次率【以与今价异名也】如法乘除得所换棉布为四率
并乗除法
以两次乘除并而为一是合两三率为一三率也即古法之同乘同除【古以并乘为异乗同乗以并除为异除同除今乘除俱用并法故谓之同乘同除也】假如今有芝麻五十四石欲换黄米但云芝麻三石换緑豆五石换黄米三石问该换黄米若干
答曰六十七石五斗
本法 重列
一 麻 三石 豆 四石
二 豆 五石 米 三石
三 今麻 【五十四石】 今豆九十石【此重列之第三即先得之第四乃本法也】四该豆 【九十石】 米【六十七石五斗】
简法【即并法】
【今以两首率相乘为首率
亦以两次率相乘为次率
以两九十石对去不用故三率
省乗是为并法实简法也】
论曰本用两次乘除今以豆【四石】乘麻【三石】得【十二石】以除是并两次除为一次除也以米【三石】乘豆【五石】得【十五石】以乗是并两次乘为一次乗也依法求之即得所换米【六十七石五斗】与两次求者数同【又因一率二率可用约分约之为四与五而法益简】
然则第三率何以独异【第三率径用今麻不以豆九十石乗之是与并两首率为首率并两次率为次率者逈别】曰重列之第三即先得之第四故可以对去不用不惟不用亦可不求【重列之第三率既无乗并之用则原列之第四率不必更求其数】而乗除之用已偹【今麻原系第三率今仍用为第三是三率之用本无所缺】即所求之得数已清矣【若第三率用豆九十石乗过之则所得第四率亦必为豆九十石乘过之米得数后必以九十石除之始能清出米数反多曲折今对去豆九十石不用则所得四率即米数直截了当】故为简法
又式
假如有战兵七百名毎年额饷一万二千六百两内有新着伍兵三百名已经应役七个月问该饷银若干答曰三千一百五十两
依重测并乘除法当以【十二月】乘【七百名】得【八四○○】为法以【七个月】乗【一万二千六百】得【八八二○○】又以【三百名】乘之得【二六四六○○○○】为实法除实得三千一百五十两为兵三百名七个月之饷今用约分以【七百】与【三百】约为七与三【皆百约之】则首率次率各有【七】对去不用可省并乘
重列之时径以【十二】为首率饷银【一二六○○】为次率【三】为三率依法乘除而得四率 又以首率【十二】三率【三】约为四与一则径以饷【一二六○○】为实以四为法除之得【三千一百五十】合问变测法【古谓之同乗异除在三率谓之变测即几何原本之互视法也】
凡异乘同除皆以先有之一率为法【即首率】以先有之又一率乘今有之一率为实【即二率三率相乗】
若同乘异除则反以今有之一率为法【同文算指列于第三今依法实之序定为首率】以先有之两率自相乘为实【同文算指列于第一第二今定为第二第三】虽亦以法除实得今所求之又一率【即四率】与诸三率同而法实相反故曰变测
假如用秤称物物重秤不能称外加一锤称得【八十四斤】本锤【一斤五两】加锤【一斤三两】问其物实重若干
答曰一百六十斤
一 锤重二十一两 为法
四 实重一百六十斤 法除实得数
法以锤【一斤五两作二十一两】加锤【一斤三两作十九两】共重【四十两】为先有之一率称重【八十四斤】为先有之又一率相乘【三三六○】为实以本锤重【二十一两】为今有之一率为法法除实得实重【一百六十斤】为所求今有之又一率合问
假如秤失去锤有所称物【重一百六十斤】今以他物代锤【重四十两】称得重【八十四斤】问锤重若干 答曰一斤五两
一 物重一百六十斤
二 称得重八十四斤
三 【他物代锤】重四十两
四 锤重二十一两
假如布幔一具用布十六丈五尺布濶二尺今有布濶一尺五寸如式作幔该用若干
答曰二十二丈
一 今濶一尺五寸
二 原濶二尺
三 原长十六丈五尺
四 今长二十二丈
假如储粟方窖长【一丈二尺】濶【九尺】深【一丈】今欲别穿一窖藏粟与之等长亦【一丈二尺】但深加【二尺五寸】该濶若干
答曰濶七尺二寸
一 今深十二尺五寸
二 原深十尺
三 原濶九尺
四 今濶七尺二寸
【此原长不动而加深减濶也 今深今濶相乘得九十尺与原深乘原濶等以乘长一十二尺得一千零八十尺亦等则其藏粟等】
又问若依原窖之濶【九尺】但加长【三尺】该深若干
答曰深八尺
一 今长十五尺
二 原长十二尺
三 原深十尺
四 今深八尺
【此原濶不动而加长减深也今长乘今深得一百二十尺与原长乘原深等以乘濶九尺并得一千零八十尺】
假如有方仓高【一丈八尺】濶【二丈】深【二丈一尺】今更造一仓亦深【二丈一尺】但高减三尺问阔若干
答曰濶加四尺【共濶二十四尺所储米石即同原仓之容】
一 今高十五尺
二 原高十八尺
三 原濶二十尺
四 今濶二十四尺
【此原深不动而减高増濶也当与右二条叅防仓之高即窖之深仓之深即窖之长】
【今高乘今濶得三百六十尺与原高乗原濶等再以深二丈一尺乘之得七千五百六十尺与原仓之容积等】
假如原借八五色银四十八两今还九六色银问该若干答曰四十二两五钱
一 今银色九六 为法
四 今还四十二两【五钱】法除实得数
【解曰原银八五色是毎两实折八钱五分故以乘原银得四十两零八钱乃折实纹银之数也还银九六色是毎九钱六分成一两故以除折实纹银得四十二两五钱为应还之数凡零乘数反损零除数反增详别巻】
假如有田一区用三十二人耕治五日而毕今用四十人问该几日 答曰四日
一 今用四十人
二 原用三十二人
三 原耕五日
四 今耕四日
假如决水修池水窦濶三尺十二日涸出今开濶八尺问水涸几日
答曰四日有半
一 今濶八尺
二 原濶三尺
三 原十二日
四 今四日半
假如额兵五千六百设有一年之饷今祗留兵三千三百六十名问其饷可支几时
答曰一年零八个月
一 今兵三千三百六十
二 原兵五千六百
三 原设饷十二个月
四 今可支二十个月
歴算全书巻三十六
钦定四库全书
厯算全书巻三十七
宣城梅文鼎撰
笔算巻四
通分法【并减乘除并有子母通分之用故别自为巻其畸零以十百千万为等者不用此法】
凡整数下有零分而不以十分成整当用通分其法以一整数剖为若干分是为母数其所零分在母数中得几分之几是为子数
通分子母列位法
通分列位其法有三曰化整为零曰以整零曰收零为整
假如有物一斤四两则以一斤通为十六两加入所四两共二十两而列之
二○【斤以十六两为母其所四两是子今化斤为两则可乘除谓之以母从子也】
若欲通为铢则以毎两二十四铢为母通二十两为四百八十铢
四八○【此以斤通为两两又通为铢是两次用通分也】
若畸零累析有用通分三次四次以上者准此论之如皇极经世一元有十二防一防有三十运两次通之则一元有三百六十运 一运有十二世一世有三十年两次通之则一运有三百六十年
若以元通为年则用四次【元通为防防又通为运运又通为世世又通为年是四次用通分也】通得十二万九千六百为一元年数
假如古歴十九年七闰谓之一章其月谓之章月二三五【此以毎年十二月通十九得二百二十八月加入闰七月共得二百三十五月为一章之月】右化整为零 古通分法曰通以分母纳以分子盖言以分母通其整数而以所零分加入也然亦有不纳子而但通其整之时既以分母通之则整数不用全化为分故西学谓之化法
别有变零为整之法与此化整为零之法似同而实不同所以为零乘之用盖化整则全化为零而不用整变零则全变为整而不用零其数则同【谓自一至九之数】
其等则异【谓如零陞为单单陞为十之类】详见零除条
凡通分化整为零以便乘除不必更书其母若列位本法以整零当以母数子数并而书之曰几分之几【若分下有小分则曰几分之几又几分分之几】
假如有整数二十五有零分为整数十二分之七又仍零秒为分数三十分之十四
【此如歴法一周十二宫一宫三十度今得星行二十五周又七宫十四度也】
假如有整数十六又零数为整数七分之五
【此以一整数剖为七分而所零分适得其五也七为分母五为分子】
假如有零数为整数三十分之十四又有小分为分数六之五
【此原无整数但有分又有小分其分以三十为母十四为子是一整数剖为三十而得其
十四也小分以六为母五为子是一大分又剖为六而得其五也小分母古谓之秒母】
右以整零
凡母数必大于子数其常也乗除之后有子数反多者法当以母数收之为整而其零
假如有零分十六其分母九【此以子数反大当以母数收为整】
【九之十六】 收得一【九之 十六分内除九分收为整余七七 分是为整一又九分之七也】
假如方田之法以方五尺为步其积二十五尺今有积七十尺
【步法二十五尺而积有七十尺子数反多法当收整】
【七十尺内除五十尺收为二步剩二十尺不能成步是为整二步又二十五分步之二十】
假如古厯法以十九年为一章四章为一蔀今距元中积一百年问在第几蔀第几章
畣曰第二蔀第二章之第六年
【法先以章法十九收九十五年成五章剰五年 次以蔀法四收四章成一蔀剩一章
通列之成一蔀一章零五年是为已过之数今正在交第二蔀第二章之第六年也】
右收零为整【凡欲乗除必化整为零既乘除矣仍必收零为整此二者相须为用也】此外仍有除零附整之法其法以分母为法分子为实实如法而一得零数为整数十分之几或百分千分万分之几所谓退除为分秒也见除法命分
通分并子法
通分并子其类有三曰母同者曰母不同者曰大分又小分者而所以并之之法有七曰径并法曰变分母法曰互乗法曰连乘法曰维乘法曰截并法曰通母纳子法
径并法
凡分母数同者径并其子并满母数收为整【数在三宗以上而母同者皆可径并其子或大分之下有小分而分母同者并用此法】
假如有丝五分斤之四又五分斤之三并之若干畣曰整一斤【又五分斤之二】
【此因两母同为五故径并其子子数七母数五是子满母数而且
有余也当以母数收之得整一零五之二】
以上分母同者径并其子为通分并法之一类
变分母法
凡分母不同而有比例可求者变而同之可省互乘假如有数【六之三】又加【四之一】共若干
畣曰共四之三
【法以六之三母子各损三之一变为四之二则两母同为四而其子可并矣
所以然者四与六是倍半比例故去三分之一即相同也】
假如有金【八分两之五】又【四分两之三】并之若干
答曰一两又八分两之三
【八与四为折半比例然不以八折半者其子奇数不可半也故以四之三
加倍即母数齐同可相并矣】
互乘法
凡分母不同而无比例可求者先互乘以同其母再以母互乘其子而并之【数在三宗以上而母不同者皆可用此法】
假如有物【四分石之三】又【七分石之四】共若干 答曰整一石又【卄八分石之九
先以右母四互乘左母七得卄八又互乘子四得十六变七之四为
卄八之十六 次以左母七互乘右母四及子三变四之二为卄八
之卄一 两母既同遂并其子为二十八之三十七
以满共母二十八収为整一仍余九】
凡三母内有两母相乘与余一母同者只用一互乘即可相并假如有甲乙丙丁四数乙得甲【七之六】丙得甲【五之四】丁得甲【卅五之二十三】若合乙丙丁三数得甲数若干 答曰得甲数二【又三十五之十一
法以乙丙两母相乘三十五与丁母同数即用乙母七互乘丙五之
四得三十五之卄八丙母五互乘乙七之六得三十五之三十以并
丁三十五之二十三共得卅五之八十一以满母卅五成整数合问
归整】得甲数二【又卅五之十一】
连乘法
凡数三宗以上者用母连乘为共母又以各母除之得数以乘其子为子而并之并满共母收为整
假如有数六【之四】又加三【之一】又加五【之四】并之若干
答曰整一【又九十之 法以六乘三得一十八又以五七十二 乘之得九十为连乘之共母
即六除共母得数以乘之四之数
即三乘共母得数以乘之一之数
即五除共母得数以乘之四之数】
归整得一又【九十之七十二】
觧曰【此即互乘也试以五互乘六之四得三十之二十 又以三互乗之即成九十之六十 以六互乗三之一得十八之六又以五互乘之即成九十之三十 以六互乗五之四得三十之二十四又以三互乗之即成九十之七十二】维乘法【此古维乘法也与母除共母以乘子之法所得同】
假如钱粮一次完过【九分之一】又完【四分之一】又完【六分之一】又完【六分之一】又完【七分之一】问共完若干 答曰五百○四之四百零一【约为十分之八稍弱】法【以八乘六得四十八再以七乘之得三百卅六又以九乘之得三千○卄四又以四乘之即得一万二千○九十六】
约为五百○四之四百○一【卄四约之】
解曰【此即连乘法也但因分子皆为之一故即以母除共母之数为子相并而省一乗】
试用维乘所得亦同
截并法
凡数件中有分母同者先取出并之然后与各件并列则五件可作四件用【六件以上仿论】而共母亦简
如前图有八之一四之一为加倍比例可先取并之【用变分母法】
乃重列之【原数五宗今作四宗入余并同前】
【解曰共母原系一万二千
○九十六今只三千○二
十四简四之三故所得之
子皆于前式为四之一】
凡宗数繁多而分母又各不同者可分作几次并之假如有物四宗甲数【五分斤之三】乙数【六分斤之一】丙数【三分斤之二】丁数【七分斤之四】并之若干
答曰整二斤又六百三十分斤之三
如上图依法互乘以四宗并作两宗乃重列之
以上分母不同者为通分并子之又一类
大分小分并法
凡大分之下有小分而母相同者如法并之自小分起满小分之母进为大分满大分之母进为整
若大分之母同而小分母不同者用互乘法使其同【余如上法】若大分母不同者即通大分为小分再用互乘以同之假如西厯以一日分二十四小时一时又析为六十分今得中防二十九日十七时三十六分实防该加七时四十分依法并之得三十日零一时一十六分
原二九 【卄四之 六十之 时为大分大分之母二十四一七 三六 时下为小分小分之母六十】加 【卄四之 六十之 先并小分得七十六以满六丨丨○□ 四十 十进为一时仍余十六分】
并得三○日○一时十六分 【次并大分得二十五时以满二十四进为一日仍余一时】假如修筑河堤新修七里○六十六歩一尺旧堤原存一十二里二百九十三步四尺问堤长若干答曰长二十里新修○七 ○六六 一 【里法三百六十步法五先并尺一四共五进一步次并步】原存□□ □□□ 四 【共三百六十进一里次并里二七及所进之一共十里并】共长二○里○○○步○尺 【原十里是为堤长二十里合问】
假如有硃砂八斤十两○九铢又有三斤五两十八铢共若干答曰十二斤○三铢
八 一○ ○九 【铢满二十四进一两余三两满十六进一】□ ○□ □八 【斤斤共十二是为一十二斤○三铢合问】
共一二斤○○两○三铢
右大小分母俱同故径以子并
假如甲数九【之四】又小分【五之四】乙数九【之八】又小分【八之三】并之若干答曰整一又九之四又小分四十之七
先同其小分之母
【先以小分母相乘得四十为共母 又互乘其子变
五之四为四十之三十二变八之三为四十之十五】
小分母既同乃重列而并之【余同上】
【并之】得九之十二又四十之四十七
归整一又【九之四】又小分四十之七 【小分满四卜收为大分一大分满九收为整一】右系大分母同而小分之母不同故互乘之使其同
假如有田二坵甲坵二亩【又四分亩之三】又小分【五之一】丙坵一亩【又三分亩之二】又小分【四之三】并之若干
答曰整四亩【又六十分亩之四十三】
先以甲小分母五通大分四之三为小分二十之十五加入原小分一共二十之一十六为甲数
又以丙小分四通大分三之二为小分十二之八加入原小分三共十二之十一为丙数
解曰【此即古通分纳子之法也以大分尽通为小分而纳小分焉实则以小分陞为大分也】
【并得】三又 二百四十之四百一十二归整四又【二百四十之一百七十二】约为六十之四十三
右系大分母不同故尽通为小分而并之
以上大分小分法为通分并子之又一类
凡通分并法以通分减法还原【互见后除】
通分子母减法
通分减法亦有三类曰母同者曰母不同者曰大分小分者而其减之之法有五曰径减法曰变分母法曰互乘法曰子乘母除法曰通母纳子法【并之与减犹乘之与除可以互相还原相反而适相成也故所用之法皆同】径减法【数在三宗以上而母同者并用此法】
凡分母同者径以相减不足减者以分母通整数减之假如有纻丝一疋零【五分疋之三】用过五分疋之三问仍存若干答曰五分疋之四
原一 五之二 【此以之三减之二则减数反大于原数不足减以借法作】减 五之三 【防于疋位借原数一疋通作五分并之二共成五之七内】存○ 五之四 【减去五之三仍存五之四合问】以上分母同者径以对减为通分减法之一类
变分母法
凡分母有可以比例言者以比例同之可省互乘假如有数六之三又有数四之三其较若干
答曰四之一
较 四 之一
假如有整数一零八之三减去四之三该存若干答曰八之五
整数一 八 【之 通三 为】八 之【十一】
减数 四 【之三】 变八 之六
存数 八 之五
互乘法
凡分母不同者先互乘以同其母以母互乗其子而减之假如有两数甲五之三乙七之四不知谁多
【法以两分母五七相乘得三十五为共母又互乘其
子变甲数为三十五之二十一变乙数为三十五之
二十以相减则乙不及甲者其较为三十五分之一】
甲多 三十五之 一
凡分母同者视其子为大小【子数大者即大小者即小】若子同而母不同者反是【母数大者子数反小】亦以互乘见之如后图
【甲六之四乙五之四】互得三十【之二十 丙四之三之卄四 丁五之三】互得二十之【十五十二】
乙多 三十分之四 丙多 二十分之三右二则以分相较而辨其多寡即古课分之法也
凡三母内有两母相乘与余一母同者只用一互乘即可相减假如有甲数二又【三十五之十一】乙得甲【七之六】丙得甲【五之四】余为丁数该若干
答曰丁得甲三十五之二十三
【先以分母通整数为分而纳入分子
次以减数分母相乘为共母又互乘
其子而并之是为三十五之五十八】
丁存 三十五之卄三 【以减甲数仍余三十五之卄三合问】子乘母除法
凡分母有可以相除者以分母除其分母得数转以乘子而减之其余数仍以分母除之即得约分之数若原系两分母互乘而并者用此法可知原母【数在三宗以上而母不同者并用此法可代维乘】
假如有沉香一石零【二十八分石之九】用去七分石之四该余若干
存 卄八 之 二十一 约为四之三【法以分母通共数一为二十八并子之九共三十七变共数为二十八之三十七 又以减分母七除共数之分母二十八得存数原母四以乘减分子四得十六变减数为二十八之十六两相减得所存数为二十一于是仍以减分母七除之得存数原子三变存数为四之三】
【论曰此亦变分母法也其数与互乘所得无异但用互乘则数益烦故用子乘母除之法变七之四为二十八之十六母既相同即可以相减矣若互用异乘同除则成三率之比例如后图】
一率【分母七】 法以子之四乘所变分母二十八得一百二率【分子四】 十二为实分母七为法除之得所变分子三率【分母卄八】 为十六其比例为七与四若二十八与十四率【分子十六】 六也
又论曰存数不用约分法而竟以分母七除何也曰约分之法以对减而得纽数今分母七既可以除其母二十八又可以除其子二十一即纽数也又何事于对减之烦乎况用之互乘还原尤为亲切盖互乘之共母既以原母相乘而得即无不可以原母除之而尽也
假如有整数一又【九十之七十二】甲得六【之四】乙得三【之一】余为丙数该若干
答曰丙得五之四
丙存 五 之四 九十 之七十二法曰【先以分母通整一为九十并分子七十二是为九十之一百六十二 次以甲分母六除原母九十得十五以甲分子四乘之得六十为甲数 又以乙分母三除原母九十得三十以乙分子一乘之仍三十为乙数合甲乙两数得九十以减原数一百六十二仍余七十二为丙数以法约之为五之四 约分法详后条】约分防法 置丙存数【九十之七十二】为实以甲乙分母【六三】相乘得
数【十八】为法除之得五之四为丙存数【以十八除九十得五十八除七十二得四约分本法用子数七十二减母数九十得十八以转减子数得五十四再递减之亦余十八是为纽数乃用为法以除子母数得约分五之四今改用甲乙两母相乘亦得十八为法何也以原数九十可以六除亦可以三除知其为三数维乘而得者也故于还原最切】
论曰此有分母三宜用维乘然其数益繁故改用子乘母除之法则三母齐同可用相减而法与数俱简矣
试先减乙丙数则所存者即甲数【法同上】
甲存 【约为】六 之四 即九十 之六十
若先减甲丙数则所存者必乙数其法并同兹不悉具按如此互求即知无误可无假他法还原矣
假如有数五百○四之四百○一甲得【八之一】乙得【六之一】丙得【七之一】丁得【九之一】余者为戊数该若干 答曰戊得四之一
原数 五百○四 之四百○ 一
甲减 八 之一 六十三
乙减 六 之一 以各减母除原母得 八十四
丙减 七 之一 七十二
丁减 九 之一 五十六
共减 二百七十五
戊存 五百○四 之一百二十六约为 四 之一【以所存之数除原母即得】
解曰此因分子俱系之一故即以除数为得数也以上分母不同者为通分减法之又一类
大分小分减法
凡大小分母并同者【谓原数之大小分母与减数之大小分母也下仿此】竟以对减不足减者借整数以分母通为分【小分不足减亦以小分之母通大分为小分 其借上位皆作防志之】若大分母本同而小分母不同者用互乘以同之余如上法若大小分母俱不同者用通分法尽通大分为小分而纳小分焉余如上法
假如西厯得某月平朔三十日○一时一十六分其实距时七时四十分为减号问实朔在某甲子某时刻
答曰壬辰日酉初二刻○六分【以二十九日命为壬辰日以十七时命为酉初其小余三十六分以三十分收为二刻尚余六分命为壬辰日酉初二刻○六分】
日 时 分【时为大分大分以二十四为母时下为小分小分之母六十】
平朔三□○□一□【先减小分四十原数只十六不足减作直号于大分位借一分通为小分实距时】 七四□ 【六十并原小分共七十六减四十余三十六 次减大分七原数一已借】实朔二□一□三□【去亦借整一通为二十四减七余十七 原数三十因借减一余二十九】凡大小分母不同者【谓大分之母与小分之母不同也】须作防以别之故借整化零之防改为直号
右系大小分母并同故竟以对减
假如有整数一又【九之四】又小分【四十之七】甲得九【之四】又小分五【之四】余为乙数该若干
答曰乙得九之八又八之三
乃重列之【小分既同即可相减】
乙存 九 之八 二百之七十五 约为八之三法曰【先减小分减数大原数小不足减乃作直号于大分位借一分通为小分纳原数共二百三十五减一百六十余七十五 次减大分原数四因借减一变三亦借整数一通为九共十二减四余八整数借减尽】
试先减乙【用变分母法以代互乘余并同上】
原数一 九 之□又 四十 之七减乙 九 之八又八 之三变四十 之一十五存甲 九 之四又五 之四即四十 之三十二解曰【四十与八是五倍比例故以乙小分八之三母子各五倍之即变为四十之一十五则两母齐同可以对减矣】右系大分母同而小分母不同故用互乘以同之
假如甲丙两坵田共四亩又六十分亩之四十三甲坵二亩又四分亩之三又小分五之一余为丙坵该若干
答曰一亩又十二分亩之十一【即六十之五十五母子各五约之为十二之十一】法先以甲小分母五通大分四之三为二十之十五加入原小分一共二十之十六乃列而减之【如此则大分小分合而为一与原数无小分者类矣】
存丙一又 六十 之五十五用变分母法以甲子母各加三倍变二十之十六为六十之四十八以减原数四十三不及减乃作直号于整数位借一数通为六十分纳原数共一百○三减甲数四十八余五十五次减整数整数四因借减一成三减甲二仍余一是为整数一又六十之五十五即丙存数也
右系大分母不同故通为小分而减之
以上大分小分法为通分减法之又一类通分子母乘法
假如有田三十六亩六分毎亩征银三分钱之二问该银若干答曰二两四钱四分
法以分子之二乘田三十六亩六分得
七十三分二以分母三收之得二两四
钱四分合问
何以知其为七十三分也曰原问毎亩
徴银三分钱之二分故于右行实数内
寻毎亩之位为定位之根以横对左行
得数即命为分则上下俱定矣
假如有银六十四两毎两买铜八斤十二两该铜若干答曰五百六十斤
先以斤法【十六】收十二两为斤下之七分
五厘加八斤共八七五为法以乘银六
十四两得五六○○○即于右行实数
内寻毎两位以横对左行得数命法尾
厘推而上之定为五百六十斤
假如有米五石【又三分石之二】毎石价银九分两之八该银若干答曰五两又二十七分两之一
法以分母三通五石为十五分纳子二
共十七分以价之八乘之得一百三十
六又以两分母【三九】相乘得二十七收之
合问
通分子母除法
假如毎田一亩徴银三分钱之二今完编银二两四钱四分该田若干
答曰三十六亩六分
法以分母【三】通二两四钱四分为七十
三分二为实以分子之二为法除之即
得三十六亩六分合问【原所设三分之二以钱为主故
四分所通为小分】
假如有米五石又三分石之二共价银五两又二十七分两之一问毎石该价若干
答曰九分两之八
法先以米分母【三】通五石为十五分纳子二共十七分为法又以价分母【卄七】通五两为一百三十五纳子一共一百三十六分为实法除实得八为毎石三分一之价以分母三乘之得二十四分为毎石价命为二十七分两之二十四约为九之八
又防法【以米分母三除银分母二十七得九为毎石价之母即以除出之数为子即九之八】
假如有丝一斤又六分斤之四共价一两又四十二分两之二十问毎斤价若干 答曰七分两之六又十之二法先通丝一斤为六分纳子四共一十为法又通银一两为四十二分纳子二十共六十二退一位【即一十除也】命为单六又小分二即毎斤六分一之丝价也于是以分母六乘之得三十六又小分十二为毎斤价是为四十二分两之三十六又小分十二也子母并六约之为七分两之六又小分十之二防法【以丝分母六除价分母四十二得七为毎斤丝价之母即命为七分两之六又十之七】通分子母三率法【即异乘同除】
假如西厯太阳毎日平行【五十九分零八秒二十微】今有二刻半该行若干分答曰一分三十二秒卄四微【又九十六分微之卄六】
法【先通五十九分为三千五百四十秒加原帯八秒共三千五百四十八秒又通为二十一万二千八百八十微加原二十微共二十一万二千九百微在位以二刻半乘之得五十三万二千二百五十微为实以一日化九十六刻为法除之得五千五百四十四微不尽除满三千六百微收为一分又一千九百二十微收为三十二秒仍余二十四微 不尽者以法命之是为一分三十二秒二十四微又九十六分微之二十六】
论曰此小数法也何则二十一万二千九百者是每日九十六刻之数今以二刻半乘之于刻下多一位故截去得数尾一位命为百
假如以粟易布毎粟六分石之二易布五分疋之三今有粟一石又三分石之二该布若干 答曰三疋
一 粟六分石之二【母子各减一倍】变为三之一
四 布五分疋之【十五】 收为整三疋【两粟母同为三省不用只以布分母收之】用变分母法变一率六之二为三之一则两粟母相同可省互乘而子变为之一又可省除只以三率一石用分母通为三纳子二共五以乘二率布分子之三得十五再以布分母五收之即得三疋合问
假如以银换金毎银二两又三分两之二换金九分两之二今有银六分两之四该金若干
答曰十八分两之一
四 金【十八】分两之一
法以一率分母【三】互乘三率六之四为十八之十二与二率之二相乘得二十四为实又用一率分母三通二两为六分纳子二共八是为三之八复以三率分母【六】互乘之为十八之四十八以乘金母【九】得四百三十二为法法大实小以法命之为四百三十二之二十四母子各二十四约之即十八分两之一合问
若用变分母法则如后式
一 银二两【又三之二】 通为三之八乘得【七十二】为法【以金母九乘之八也】
四 金【七十二分】两之四 约为【十八】之一【子母各四约之】
解曰十八分两之一即五分五牦五五不尽畸零分子母乘法
假如以八之五乗四之三该若干
答曰三十二之十五
法以母乘母得三十二子乘子得十五即三
十二之十五为乗得数也
又法以除代乗则倒位互除之
法以五除四得八为母数以八除三得三七
五为子数是为八之三七五与乗得之数同
解曰四除三十二得八四除十五得三七五若四因八得三十二四因三七五亦得十五
用法
假如谷一石价二十七分两之十六今有谷四分石之三价若干
答曰九分两之四
一 谷一石
四 价九分两之四【因首率是一故省除即以九之四为得数】
解曰二十七分两之十六即五钱九分二牦六毫弱也谷四分石之三即七斗五升也价九分两之四即四钱四分四四不尽也
若用倒位除以代乘则径得九之四
法用母四除十六得四为子用子三除二
十七得九为母是为九之四也
畸零分子母除法
假如以五之四除四之三该若干
答曰八之七五
法以母除母得八子除子得七五是为八之
七半即除得数也
又法以乘代除则倒位互乗之
法以母五乘子三得【十五】为子以子四乗母四
得【十六】为母是十六之十五与除得之数同
解曰十六即八之倍数十五即七五之倍数故其数同用法
假如以绢易縀绢五分丈之四换縀七分丈之四问绢毎丈该縀若干
答曰该换縀七分丈之五
一 绢五分丈之四 法以母除母得一四子除子得一○是二 縀七分丈之四 为一十四之一十子母各半之为七分
三 绢一丈 之五【三率是一省乘即用縀七之四为实】
四 縀七分丈之五
解曰五分丈之四者八尺也七分丈之四者五尺七寸一分强也七分丈之五者七尺一寸四分强也
若用倒位乘以代除所得亦同
法用子四乘母七得卄八为母用母互乘子
四得卄为子子母各取四之一即七之五也
论曰同文筭指有畸零乘除之法甚为简妙然莫适所用今以三率列之则实数可稽而用法亦明矣
畸零乘除定位
凡乘法得数必大于原问之数若畸零乗则其数反降凡除法得数必降若畸零除则其数反陞盖即异乘同除之理诸家术皆未经说破故定位多讹兹以三率明之如左假如换珠每珠一两值银二十四两今有珠三分五厘该若干答曰八钱四分
此首率是单两
而三率有分厘
是单下有三位
零也故截去得
数尾三位命法
尾两两位空定所得为八钱四分
论曰此即以乘出之数为四率者以首率是单一两故省除耳试即以三率实尾位厘为单而定所得为八百四十两为实亦陞首率单两为千厘为法除实【即以实数降三位】亦仍得八钱四分合问【此条已详二巻乘法中兹以三率列之于定位之理益明】
又论曰乘除之难在于定位而畸零为尤难所以者何凡定位以单数为根而畸零无单位可言故也前于乘法中立本数大数小数三法以寻每位可以御畸零矣于除法犹未有以处也今皆归之三率惟视三率中所有之数即命为单数【如金银之类本以两为单今视三率中有分即以分为单而两则为其百数又如米谷之类本以石为单今三率中有斗即以斗为单而石则为其十数他仿此】则虽畸零皆可作整数筭无论乗除一以贯之矣【是为以零变整而乗除之后得数无异此所以别于通分化整为零之法也】
假如有珠三分五厘价银八钱四分问每两珠价若干答曰二十四两
【此一率首位是分即以分为单数以二率
陞两位作八十四两为实以法三分五厘
对实分位列之除毕于法上一位命
为单分推而上之定得数为二十四两合
问】
解曰二率陞二位为实者即百分乘也分原在单两下二位今既陞为单则单两亦陞二位成百分也
假如银二钱四分买稻九十六斤毎两该若干
答曰四百斤
【此以钱为单数则三率单两成十钱而二率亦陞一
位成九百六十○斤为实于是以法二钱对实○位
列之以单钱对单斤也除毕于法上一位命为单
斤即得数为四百斤合问】
假如以豆换油豆四斗八升换油十二斤今豆十石该油若干答曰二百五十斤
【此以斗为单数则三
率十石成百斗故二率亦陞两位作一千
二百斤为实以法四斗对实○斤位列之
亦以单斗对单斤也余亦同】
假如芝麻六斗四升四合换豆一石今芝麻四石八斗三升该豆若干
答曰七石五斗
若以斗为单则命实为四十八石三斗【以二率十斗乘之也】而以法首六斗对实三斗列之除毕于法上位定为斗亦得七石五斗或以升为单以合为单得数亦无不同也【以升为单法上即命为升以合为单法上即命为合】
假如钱六百五十文价四钱八分七厘半每千该价若干
【此问毎千钱价是以千为单也今法首只有百
即以百为单而陞单千为十百则二率亦陞一
位作四两八钱七分五厘为实四两列之以单
百对单两也除毕于法上位命为单两两位空
定得数为七钱五分】