御制数理精蕴卷二

御制数理精蕴卷二

　　算法原本一

　　第一

　　一者数之原也众一相合而数繁焉不能无大小多寡之不齐而欲知其所以分合之故必有一定之法始可以得其准若夫累积小数与大数等者此小数即度尽大数之准也【如大数有八小数有二四倍其二与八必等则二即为度尽八之准】苟累积小数不能与大数等者此小数即非度尽大数之准也【如大数有八小数有三二倍其三为六小于八矣二倍其三为九又大于八矣若此者即为非度尽大数之准】要之小数为大数之平分者即能度尽大数而小数非大数之平分者即不能度尽大数是故以小度大以寡御多求其恰符而毫无舛者惟在得其平分之法而已

　　第二

　　数之目虽广总不出奇偶二端何谓偶两整平分数是也何谓奇不能两整平分数是也如二四六八十之类平分之俱为整数斯谓之偶数矣若三五七九十一之类平分之俱不能为整数斯谓之奇数矣又如小偶数分大偶数得偶分则谓之偶分之偶数【如小偶数四分大偶数三十二得八平分是为偶分其三十二即为偶分之偶数】小偶数分大偶数得奇分则谓之奇分之偶数【如小偶数六分大偶数三十得五平分是为奇分其三十即为奇分之偶数】又如小奇数分大奇数得奇分则谓之奇分之奇数矣【如小奇数五分大奇数十五得三平分是为奇分其十五即为奇分之奇数】

　　第三

　　乘者两数相因而成也葢有两数视此一数有几何彼一数有几何将此一数照彼一数加几倍则两数积而复成一数故谓之相因而成然不用加而用乘者何也葢加湏层累而得乘则一因即得此立法之精而理则实相通也如有六与十两数以十为主而加六次得六十以六为主而加十次亦得六十今以十为主而以六乘之或以六为主而以十乘之皆得六十其数无异而比加捷矣

　　第四

　　凡两数相乘为平方数如四与六相乘得二十四是也试将四六两数作防排之纵立四防为甲乙横列六防为甲丁将此六防累四次即成甲乙丙丁平方数矣又若相等两数相乘得数则为正方数如五与五乘得二十五是也苟将五数纵横各列五防或依纵数或依横数累五次即成戊已庚辛正方数矣第五

　　凡数之相乘可用线以表之然线虽无广分如依一线之长分广为小方面看此线所有方面若干将彼线所有方面加作几倍或看彼线所有方面若干将此线所有方面加作几倍则二线相积而成面矣设如有甲乙二线甲线之分为三乙线之分为四将此二线相乘则依甲线三分之一分作广分为甲丙依乙线四分之一分作广分为乙丁其甲丙有三小方形乙丁有四小方形若依甲丙所有之数将乙丁加为三倍或依乙丁所有之数将甲丙加为四倍俱成函十二小方形之乙丙甲丁之二直角形矣葢面为线之积以一线为横一线为纵纵横相因而成故测面者必于线知线即可以知面也

　　第六

　　凡二线彼此各分不均而有零分者其相乘所成方面亦有零分也设有甲乙二线甲线为三分今将甲线依三分之一分作广分为三小方形并无余积而乙线照甲线分则为四分有零亦将乙线依甲线一分作广分则为四小方形而余戊一小形以所作甲丙为横乙丁为纵则成一丁甲四方形而此形之内必有十二小方形仍有三小戊形附于十二方形乃为二线相乘之总积也又如此类一线有零分者其余分在一边若二线俱有零分者则其余分亦在二边矣

　　第七

　　凡三数递乘为立方数如二与三相乘得六又以四乘之得二十四是也试将二三四之三数作防排之纵列二防为甲丁横列三防为甲乙将此三防累二次成丁乙平方数又直立四防为丙丁依丙丁数将丁乙平方数累四次即成丙乙立方数矣又若相等三数递乘得数则为正立方数如三与三乘得九再以三乘得二十七是也试将三数纵横各排三防平列三次成庚已平方数又直立三防将庚己平方数累三次即成戊已正立方数矣

　　第八

　　凡数之递乘为体可用面以表之葢面虽无厚分如依一面之积分广爲小方体看面所有积分得线之长分若干将面所有小方体加作几倍则线面因之而成体矣设如有甲乙面之分为四丙丁线之分为三将此面线相乘则依甲乙面四分之一作厚分为四小方体乃依丙丁线分数将甲乙加为三倍即成函十二小方体之丙乙直角立方体矣葢体为面之积而面为线之积故线可以测面并可以测体也

　　第九

　　除者两数相较而分也葢视大数内有小数之几倍将大数照小数减几次则大数分而复为一小数故谓之相较而分然不用减而用除者何也葢减必递消其分除则一归而即得除之与减即犹乘之与加正相对待者也如有大数十二小数四若用十二以四减之三次而尽即知十二为四之三倍若用除法则三倍其四与十二较其数适等即知十二为四之三倍矣此除之与减理相通而用较捷也

　　第十

　　凡两数相乗之平方数以一数除之必得其又一数也设如甲乙五乙丙六两数相乘之甲乙丙丁平方数三十若以甲乙五除之即得乙丙六或以乙丙六除之即得甲乙五葢此三十中有五之六倍六之五倍如作防排之五防为横则纵排六次六防为横则纵排五次皆成方数故两数不等平方面知其一数或知两数相差之较始能得其两边线也又若正方数则其纵横皆同如戊己庚辛之正方数二十五其纵横皆五是巳故凡正方面有积数即可得其每边者葢因其纵横两边皆等故也

　　第十一

　　凡以线乘线即成面而以线除面亦复得线故数之乘者可用线以表之而除者亦可用线以表之也设如有甲乙丙丁一方面积一十二以甲乙线四分除之得乙丙线之三分或以乙丙线三分除之亦得甲乙线之四分试将甲乙乙丙二线作广分则甲乙线成四小方形乙丙线成三小方形若依甲乙线所有数以分甲乙丙丁面即每分得三小方形如乙丙线依乙丙线所有数以分甲乙丙丁面即每分得四小方形如甲乙线葢除之与乘犹分合之相对以线合者仍以线而分返本还原之义有不爽矣

　　第十二

　　凡有零分不均二线相乘之方面以整分线除之必得零分线以零分线除之必得整分线也设如甲线三分乙线四分有零相乘成丁甲面若以甲线三分除之即得乙线四分有零或以乙线四分有零除之亦得甲线三分试将甲线作广分成三小方形为甲丙乙线作广分则成四小方形为乙丁余戊一小形若依甲丙线所有数以分丁甲面即每分得四小方形一戊小形如乙丁线或依乙丁线所有数以分丁甲面即每分得三小方形如甲丙线矣此为二线一整一零相乘之总积故以整线除之得零以零线除之得整若二线俱有零分者彼此除之必俱得零分也

　　第十三

　　凡三数递乘之立方数以两数递除之始得其又一数也设如甲乙四乙丙二丙丁三递乘得甲丁立方数二十四若以甲乙四除之得乙丁平方数六再以乙丙二除之始得丙丁三葢乙丁平方中有三之二倍而甲丁立方中有六之四倍如作防排之二防为纵横排三次直累四次即成方体故三数不等立方体知其两数或知其三数相差之较始能得各边也又若正立方体其纵横厚度皆为一数即以一数递除二次则其原数自得如戊己正立方数二十七其纵横厚皆三是巳故凡正立方体有积数即可得其每边者正为其纵横厚度皆等故也

　　第十四

　　凡以线除体即得面而以面除体亦复得线故线可以除面而面亦可以除体也设如有丙乙体积一十二以丙丁线三分除之得甲乙面之四分或以甲乙面四分除之亦得丙丁线之三分试将甲乙面作厚分则成四小方体若依丙丁线所有数以分丙乙体即每分得四小方体如甲乙面依甲乙面所有数以分丙乙体即每分得三分如丙丁线葢体本以线面相乗而得故可以线面相除也

　　第十五

　　凡大数用小数可以度尽者此大数必为此小数之所积也然所谓小数可以度尽大数者复有几种有大数惟一数可以度尽者如四九二十五四十九之类惟用二可以度四三可以度九五可以度二十五七可以度四十九是也有大数用两数三数俱可以度尽者如八与十二之两数用二用四俱可以度尽八用二用三用四俱可以度尽十二是也有两大数或三大数用一小数俱可以度尽者如十二十六之两数或一十十五二十之三数用四可以度尽十二十六之两数用五可以度尽一十十五二十之三数是也又有一小数可以度尽几大数将此几大数相加为一总数此小数亦可以度尽此总数如四可以度尽十二十六两数若将十二十六相加为二十八则此四亦可以度尽此二十八也又或一小数可以度尽几大数将此大数不拘几分分之此小数可以度尽一分亦必可以度尽其余几分也如三可以度尽十五将十五分为六九两数此三可以度尽六亦必可以度尽九也又如六与九两数用三俱可以度尽若将六与九相乘得五十四此小数三仍可以度尽此五十四也凡此类者皆为彼此有度尽之数也

　　第十六

　　凡大数用小数不可以度尽者此大数必非此小数之所积也然用一以度之无不可以度尽者葢一为数之根诸数皆自一而积之故也所谓度不尽者亦复有几种有大数无小数可以度尽者如五七十一十三之类任用二用三用四俱不能度尽也有两大数或三大数用小数彼此不可以度尽者如十五与八之两数用二用四可以度尽八而不能度尽十五用三用五可以度尽十五而不能度尽八又如四六九之三数用二可以度尽四六而不能度尽九用三可以度尽六九而不能度尽四也又有彼此不能度尽之数或将一数自乘或将两数俱自乘彼此仍俱不可以度尽也如五与六之两数彼此不能度尽亦无一小数可以度尽此两数即将五自乘为二十五或将六自乘为三十六则六仍不能度尽二十五而五仍不能度尽三十六即二十五亦不能度尽三十六也又如三七两数与二五两数俱为彼此不能度尽之数或将三与七相乘得二十一将二与五相乘得一十此一十与二十一之两数仍为彼此不能度尽之数也凡此类者皆为彼此无度尽之数也

　　第十七

　　凡两数互转相减未至于一而即可以减尽者此减尽之最小数即可以度尽此两数也设如有甲乙十六丙丁六之两数将丙丁六与甲乙十六减二次余戊乙四将此戊乙四转与丙丁六相减余己丁二又将此已丁二转与戊乙四相减二次即无余则此已丁二即可以度尽甲乙十六及丙丁六矣葢八倍其二与十六等三倍其二与六等也又如十六与十二与八此三数亦为彼此有度尽之数何也葢十六与十二相减余四以四转与十二相减三次而尽则四可以度尽十六与十二矣又二倍其四即与八等则四又可以度尽八然则十六十二与八之三数为彼此有度尽之数可知矣

　　第十八

　　凡两数互转相减至于一始可以减尽者一之外别无他小数可以度尽此两数也设如有甲乙十二丙丁七之两数将丙丁七与甲乙十二相减余戊乙五将此戊乙五转与丙丁七相减余已丁二将此已丁二又转与戊乙五相减余庚乙三又将庚乙三转与己丁二相减余辛乙一既至于一始可以度尽甲乙丙丁两数而一之外如二三四虽可以度尽十二而不能度尽七也又如九与十三及二十之三数亦为彼此无度尽之数何也葢将九与十三互转相减必至于一即用十三与二十转减或用九与二十转减亦皆至于一则除此一之外皆无可以彼此度尽此三数之小数矣

　　第十九

　　凡有大数约为相当比例之最小数以从简易则为约分法也然数有可约不可约之分可约者度尽之数不可约者度不尽之数也设如有九与十二之两数欲约为相当比例之最小数乃用求小数度尽大数法以九与十二互转相减得减尽之数为三则三为度尽九与十二之数矣以三除九得三以三除十二得四此三四两数即为九与十二相当比例之最小数也又如有六四八之三数欲约为相当比例之最小数乃以六与四互转相减得减尽之数为二又以二与八相减四次而尽则二为度尽六四八之小数矣以二除六得三以二除四得二以二除八得四此三二四三数即六四八相当比例之最小数也此皆数之可约者也若夫数之不可约者互转相减必至于一而不可以度尽也如有五七两数以五减七余二复以二减五二次余一既余一则自一之外必无可以度尽之数而不可约矣

　　第二十

　　凡有大分以分母乘之通为小分则为通分法也然不曰乘而曰通者何也葢乘则积少成多其得数溢于原数之外通则变大为小其得数仍函于原数之中也如有大分十二其分母为四欲得其小分则以分母四乘大分十二得小分四十八是已试作甲乙方形以明之其中所函方形十二即大分也若将中函之方形每分俱分为四小方则十二方形共分为四十八小方形矣其数虽比原大数加四倍然其每分之分只得原数之四分之一故仍函于甲乙方形之内而未尝溢出原数之外也又如有大分九其分母为九欲得其小分则以分母九乘大分九得小分八十一是已试作丙丁方形以明之其中所函方形九即大分也若将其中函之方形每分俱分为九小方则九方形共分为八十一小方形矣其数虽比原大数加九倍而仍函于丙丁方形之内者以其每分之分只得原数之九分之一也由此推之其每分之母或为八或为十二或为数十亦皆仿此通之其所通之数虽至千万而要皆未有溢于所通原分之外者矣

　　第二十一

　　凡有几小数欲求俱可以度尽之大数则以此几小数连乘之得数始为此几小数度尽之一大数也设如有四五两小数欲求用四用五俱可以度尽之一数则以四与五相乘得二十即为四五两数俱可度尽之一大数矣又如有三四五之三小数欲求用三用四用五俱可以度尽之一数则以三与四相乘得十二又以五乘十二得六十即为三四五俱可度尽之一大数矣葢小数为大数之根始能度尽大数如四五可以度尽二十者二十乃四之五倍亦即五之四倍也三四五可以度尽六十者六十乃十二之五倍而十二乃三之四倍也第二十二

　　凡有两数彼此互乘所得之数与原数比例必同也葢数有多寡而分又有大小则纷纭难御故必依此数之分将彼数加为几倍又依彼数之分将此数加为几倍则两分数既同而比例亦同矣如甲乙二数甲为三分之二乙为四分之三欲辨其孰大则依甲数将乙数加三倍为十二分之九依乙数将甲数加四倍为十二分之八如是则所加之两大分同为十二而所生之两小分相比即同于原甲数与乙数之相比矣何也甲数本三分之二而为十二分之八者乃加四倍之比例【十二为三之四倍八为二之四倍】而十二分之八之比例仍同于三分之二之比例也乙数本四分之三而为十二分之九者乃加三倍之比例【十二为四之三倍九为三之三倍】而十二分之九之比例仍同于四分之三之比例也【此即互乘同母之法如甲为三分之二者三即母数二即子数也乙为四分之三者四即母数三即子数也因两母数不同故用互乘以同之】

　　第二十三

　　凡子母分有几数而子数同为一者先以各母求俱能度尽之一数次以各母除之则爲各子数也如甲乙丙三数甲为二分之一乙为三分之一丙为四分之一则先以三母数连乘得二十四为甲乙丙之共母数又以二除共母数得十二为甲之子数以三除共母数得八为乙之子数以四除共母数得六为丙之子数葢甲本二分之一子母各加十二倍即为二十四分之十二而二十四与十二之比例仍同于二与一之比例也乙本三分之一子母各加八倍即为二十四分之八而二十四与八之比例仍同于三与一之比例也丙本四分之一子母各加六倍即为二十四分之六而二十四与六之比例仍同于四与一之比例也

　　第二十四

　　凡子母分有几数而子母数俱不等者亦先以各母求俱能度尽之一数次以各母除之得数复以各子数乘之即为各子数也如有甲乙丙三数甲为三分之二乙为四分之三丙为五分之四则先以三母数连乘得六十为甲乙丙之共母数次以三除共母数得二十以乘子数二得四十为甲之子数又以四除共母数得十五以乘子数三得四十五为乙之子数又以五除共母数得十二以乘子数四得四十八为丙之子数葢甲本三分之二子母各加二十倍即为六十分之四十而六十与四十之比例仍同于三与二之比例也乙本四分之三子母各加十五倍即为六十分之四十五而六十与四十五之比例仍同于四与三之比例也丙本五分之四子母各加十二倍即为六十分之四十八而六十与四十八之比例仍同于五与四之比例也

　　算法原本二

　　第一

　　凡有几小数与几大数相比其比例若同则小数相加所得之总数与大数相加所得之总数相比仍同于原数之比例也设如有一小数六一小数四一大数十八一大数十二其小数六为大数十八之三分之一而小数四亦为大数十二之三分之一将两小数六四相加得一十将两大数十八十二相加得三十此一十与三十之比即如六与十八四与十二之比皆为三分之一之比例也又如三小数二三四与三大数六九十二相比皆为三分之一将二三四相加得九将六九十二相加得二十七其比例亦为三分之一也又或四小数四大数相加其总数之比例亦皆同如三与十二四与十六五与二十六与二十四俱为四分之一将三四五六四小数相加得十八将十二十六二十二十四四大数相加得七十二其比例仍为四分之一矣

　　第二

　　凡有几小数与几大数之比例若同则小数相减所得之余数与大数相减所得之余数相比仍同于原数之比例也设如有一小数十一小数六一大数三十一大数十八其小数十为大数三十之三分之一而小数六亦为大数十八之三分之一将两小数十与六相减余四将两大数三十与十八相减余十二此四与十二之比即如十与三十六与十八之比皆为三分之一之比例也又如三小数八四三与三大数二十四十二九相比皆为三分之一将四三与八递相减余一将十二九与二十四递相减余三其比例亦为三分之一也又或四小数四大数相减其余数之比例亦皆同如十八与七十二为四分之一而三与十二四与十六五与二十俱为四分之一将小数三四五与十八递相减余六将大数十二十六二十与七十二递相减余二十四其比例仍为四分之一矣

　　第三

　　凡有一数乘两数其所得两数相比仍同于原两数之相比也设如一数六与八与一十两数相乘以六乘八得四十八以六乘一十得六十此四十八与六十相比即同于原数八与一十之相比矣夫八与四十八一十与六十皆为六分之一故一与六之比同于八与四十八之比而一与六之比亦同于十与六十之比也然则八与四十八之比例必同于十与六十之比例而四十八与六十之比例亦必同于八与一十之比例可知矣

　　第四

　　凡有一数除两数其所得两数相比仍同于原两数之相比也设如一数三除十二与十五之两数以三除十二得四以三除十五得五则此四与五相比即同于原数十二与十五之相比矣夫十二与四十五与五皆为三分之一故一与三之比同于四与十二之比而一与三之比亦同于五与十五之比也然则四与十二之比例必同于五与十五之比例而四与五之比例亦必同于十二与十五之比例可知矣

　　第五

　　凡相当比例四数其第一数与第四数相乘第二数与第三数相乘所得之数等者何也葢两方面以其纵横界互相为比之比例若等则两方积必等【见几何原本七卷第三节】今以第一数与第四数相乘即如以第一数为纵第四数为横成一方数而第二数与第二数相乘即如以第二数为纵第三数为横成一方数其积必相等也设如有二与六三与九相当比例四数将第一数二为纵第四数九为横相乘得十八为甲丙一方数将第二数六为纵第三数三为横相乘亦得十八为戊庚一方数夫甲丙方之甲丁横界比戊庚方之戊辛横界大三分之二而戊庚方之戊己纵界比甲丙方之甲乙纵界亦大三分之二其比例相等故两方数亦等此两方数既等则相当比例四数其第一数与第四数相乘第二数与第三数相乘所得之数相等无疑矣

　　第六

　　凡相连比例三数其首数与末数相乘与中一数自乘所得之数等者何也葢两方面相等者其纵横界之互相比例必等【见几何原本七卷第三节】今将首数与末数相乘即如以首数为纵末数为横成一方数而中数自乘即是以中数为纵复以中数为横成一方数其积必相等也设如有四六九相连比例三数将首数四为纵末数九为横相乘得三十六为甲丙一方数将中数六为纵仍复为横相乘即是自乘亦得三十六为戊庚一方数夫甲丙方之甲丁横界比戊庚方之戊辛横界大三分之一而戊庚方之戊己纵界比甲丙方之甲乙纵界亦大三分之一其比例相等故两方数亦等此两方数既等则相连比例三数其首末两数相乘与中数自乘所得之数相等无疑矣

　　第七

　　凡有两数除一数其所得两数之比例即同于原两数之转相比例也设如有一数十八以二三两数除之二除十八得九三除十八得六以此九与六两数相比即同于原两数三与二之相比也葢二与三六与九为相当比例之四数以第一数二与第四数九相乘第二数三与第三数六相乘皆得十八故二除十八得九即如以第一数除第二数与第三数相乘之数而得第四数也以三除十八得六即如以第二数除第一数与第四数相乘之数而得第三数也夫相当比例数其第二数与第四数之比原同于第一数与第三数之比故第一数二除十八所得之九与第二数三除十八所得之六相比即同于第二数三与第一数二之相比也

　　第八

　　凡有两数除一数其所得之两数内有一数与原两数内一数相等者则所得之两数与原两数互转相比即成相连比例之数也设如有一数三十六以四六两数除之四除三十六得九六除三十六仍得六与原数六相等则此九与六两数之比即同于原数六与四之比也葢四与六六与九为相连比例之四数以四为首数九为末数相乗以六为中数自乘皆得三十六今以四除三十六得九即如以首数除中数自乘之数而得末数也以六除三十六复得六即如以中数除首末两数相乘之数而仍得中数也夫相连比例数其末数与中数之比原同于中数与首数之比则首数四除三十六所得九与中数六除三十六所得六相比即同于中数六与首数四之相比也

　　第九

　　凡相当比例四数其第一数度尽第二数则第三数亦必度尽第四数也如有二六三九相当比例四数其第一数二可以度尽第二数六则第三数三亦可以度尽第四数九矣夫相当比例四数第一与第二之比必同于第三与第四之比今第一为二第二为六乃加三倍之比例则第四与第三亦必为加三倍之比例故三倍其二可以度尽六者三倍其三即可以度尽九也

　　第十

　　凡相连比例三数其第一数度尽第二数亦必度尽第三数也如有二四八相连比例三数其第一数二可以度尽第二数四亦必可以度尽第三数八矣夫相连比例三数第一与第二之比同于第二与第三之比今第一数为二第二数为四乃加倍之比例则第二与第三亦必为加倍之比例而第一与第三则为再加一倍之比例故一倍其二可以度尽四者再倍其二即可以度尽八也第十一

　　凡依次递加取四数其第一第四两数相加与第二第三两数相加之数等也如一二三四递加之四数将第一数一与第四数四相加得五以第二数二与第三数三相加亦得五又如一三五七递加之四数【一三五七为隔一数以递加者也】将第一数一与第四数七相加得八以第二数三与第三数五相加亦得八也又如二五八十一递加之四数【二五八十一为隔二数以递加者也】将第一数一与第四数十一相加得十三以第二数五与第三数八相加亦得十三由此推之或隔三数或隔四数或隔五六数以至极多数但依次递加取四数无有不如此也

　　第十二

　　凡依次递加取三数其首末两数相加与中数加倍之数等也如二三四递加之三数将首末二四相加得六以中数三倍之亦得六又如二四六递加之三数【二四六隔一数以递加者也】将首末二六相加得八以中数四倍之亦得八也又如三六九递加之三数【三六九隔二数以递加者也】将首末三九相加得十二以中数六倍之亦得十二由此推之或隔三数或隔四数或隔五六数以至极多数但依次递加取三数无有不合者也

　　第十三

　　凡依次递加三数以第二第三两数相加减去第一数即得挨次之第四数也如二三四之三数以第二数三第三数四相加得七内减去第一数二得五即是第四数又如二四六隔一数递加之三数以第二数四第三数六相加得一十内减去第一数二得八即是第四数亦为隔一数又如三六九隔二数递加之三数以第二数六第三数九相加得十五内减去第一数三得十二即是第四数亦为隔二数矣葢此即四率相当比例之理四率中两率相乘与首末两率相乘之数等故中两率相乘以首率除之即得末率而此则中两数相加与首末两数相加之数等故以首一数减之即得末一数其义一也

　　第十四

　　凡依次递加两数以第二数倍之减去第一数即得挨次之第三数也如二三两数将第二数三倍之得六内减去第一数二余四即是第三数又如二四隔一数之两数将第二数四倍之得八内减去第一数二余六即是第三数四与六亦为隔一数也又如三六隔二数之两数将第二数六倍之得十二内减去第一数三余九即是第三数九与六亦为隔二数也葢此即三率相连比例之理三率以中率自乘与首末两率相乘之数等故中率自乘以首率除之即得末率而此则中数倍之与首末两数相加之数等故以首数减之即得末数于此见加减乘除之相对待而加减可以代乘除之理亦可从此推矣

　　第十五

　　凡有彼此可以度尽两数欲求相连比例之数则以一数自乘以一数除之即得相连比例之第三数也如有四八两数欲求第三数如四与八之相连比例乃以八自乘得六十四以四除之得十六此十六即为四与八相连比例之第三数葢八者四之二倍而十六又为八之二倍则八与十六之比例必同于四与八之比例矣如有三数求第四数仍如四与八之比例则以第三数十六自乗得二百五十六以第二数八除之得三十二即为四八十六相连比例之第四数葢十六者四之四倍而三十二者八之四倍则十六与三十二之比例必同于四与八八与十六之比例矣如欲求连比例之第五数或第六数即以相近两数依前法算之由此递生可至于无穷焉然此皆四与八之比例或四与十六或三与六五与十之类凡有彼此度尽之数欲求相连比例几数者亦皆如此求之无不可得矣

　　第十六

　　凡有彼此不可以度尽之两数欲依此两数比例求相连比例之数则以一数自乘为第一率而以又一数自乘为第三率以两数互乘为第二率即为相连比例之三数也如有三五两数欲求相连比例三数皆如三与五之比例乃以三自乘得九以五自乘得二十五以三与五相乘得十五此九与十五十五与二十五之三数即如三与五之相连比例三数葢九为三之三倍而十五为五之三倍则九与十五为三与五之比例矣而十五为三之五倍二十五为五之五倍则十五与二十五亦为三与五之比例矣又或已有三数欲求第四数皆如三与五之连比例则以三乘九得二十七以三乘十五得四十五以三乘二十五得七十五复以五乘九得四十五五乘十五得七十五五乘二十五得一百二十五此所得六数内四十五七十五各得二今止用其一故二十七四十五七十五一百二十五之四数即如三与五之相连比例数也葢二十七者三之九倍而四十五者五之九倍则二十七与四十五之比例同于三与五之比例矣又四十五者三之十五倍而七十五者五之十五倍则四十五与七十五之比例同于三与五之比例矣又七十五者三之二十五倍而一百二十五者五之二十五倍则七十五与一百二十五之比例亦同于三与五之比例矣如欲求连比例之第五数或第六数以原一数递乘先得之几数复以又一数递乘先得之几数去其相同者所余即成相连比例之数由此求之亦可至于无穷也然此皆三与五之比例或三与七四与九五与八之类凡彼此不可以度尽之数欲求相连比例几数者亦皆仿此求之而即得矣

　　第十七

　　凡相当比例四数其前两数之间有相连比例二数其后两数之间亦必有相连比例二数也设如有甲二十四乙八十一丙三十二丁一百零八相当比例之四数甲数二十四与乙数八十一之间有戊三十六己五十四之相连比例两数则丙数三十二与丁数一百零八之间亦必有庚四十八辛七十二之相连比例两数也试将甲戊己乙四数求其相当比例之至小数则得壬八癸十二子十八丑二十七之四数其甲与乙之比即同于壬与丑之比而丙与丁之比原同于甲与乙之比则丙与丁之比亦必同于壬与丑之比矣其比例既同则壬可以度尽丙丑亦可以度尽丁而癸与子亦必可以度尽庚与辛【壬癸子丑各四倍之即与丙庚辛丁等是四次可以度尽也】是丙庚辛丁四数之比皆与壬癸子丑四数之比相同也夫壬癸子丑原为甲戊己乙连比例相当之小数今丙庚辛丁之比既与之相同则丙庚辛丁亦为相连比例之四数矣既俱为相连比例数则戊己为甲乙两数间之连比例数庚辛为丙丁两数间之连比例数无疑矣

　　第十八

　　凡相连比例三数其第一数与第二数之间有相连比例一数则第二数与第三数之间亦必有相连比例一数也设如有甲二乙十八丙一百六十二相连比例之三数其甲数二与乙数十八之间有相连比例之丁数六则乙数十八与丙数一百六十二之间亦必有相连比例之戊数五十四也葢甲与乙之比同于乙与丙之比今丁六为甲二之三倍戊五十四亦为乙十八之三倍则甲与丁之比同于乙与戊之比而丁六为乙十八之三分之一戊五十四亦为丙一百六十二之三分之一则丁与乙之比亦同于戊与丙之比因其比例皆同故甲丁乙戊丙为相连比例之五数而丁戊两数为甲与乙乙与丙三数间之相连比例数可知矣

　　第十九

　　凡相连比例三数其首数与末数有用一数可以度尽者有用一数不可以度尽者如四八十六相连比例之三数其首数四与末数十六为彼此有一数可以度尽之数也如四六九相连比例之三数其首数四与末数九为彼此无一数可以度尽之数也然此两种相连比例虽有度尽度不尽之分因其首数与中数之比同于中数与末数之比故总谓之相连比例之数焉葢末数可用首数平分即为有度尽之连比例数末数不可用首数平分即为无度尽之连比例数也且首末两数彼此有一数可以度尽者此三数非相当比例之至小数若首末两数彼此无一数可以度尽者此三数即为相当比例之至小数也如四八十六之三数其首末两数为彼此有一数可以度尽之数而中数亦必为此一数可以度尽之数试用二以度之则得二四八之连比例三数或用四以度之则得一二四之连比例三数皆与四八十六之比例相同而比四八十六之数为小故四八十六非相当比例之至小数也如四六九之三数其首末两数为彼此无一数可以度尽之数故中数亦为无一数可以度尽之数既无一数可以彼此度尽则为相当比例数内之至小数也明矣

　　第二十

　　凡同式两平方数其间必有相连比例一数也如有甲乙丙丁六戊己庚辛二十四同式两平方数此两数之间必有壬十二为相连比例之一数焉葢甲乙丙丁戊己庚辛既为同式平方数则其每边皆可为比例如甲乙二与甲丁三之比同于戊己四与戊辛六之比而甲乙二与戊己四之比亦同于甲丁三与戊辛六之比也今以甲丁三与甲乙二相因得六甲丁三与戊己四相因得十二则六与十二之比同于甲乙二与戊己四之比矣又戊己四与甲丁三相因得十二戊辛六与戊己四相因得二十四则十二与二十四之比同于甲丁三与戊辛六之比矣夫甲丁三与戊辛六之比原同于甲乙二与戊己四之比则六与十二之比亦必同于十二与二十四之比矣又若两正方数之间亦必有相连比例之一数也如有甲四丙九两正方数此四与九两数之间必有乙六为相连比例之一数焉葢两正方数其式既同故必有相连比例一数且两正方数之比例同于其两边所作连比例隔一位之比例【见几何原本七卷第五节】今甲方边为二丙方边为三求其与二三相当连比例之第三数则以二自乘得四以三自乘得九以二乘三得六此四与六六与九之三数即为与二三相当之连比例数而其首数四与末数九既与甲丙两方数等则中数六亦必为甲丙两方数间之连比例数矣

　　第二十一

　　凡同式两平方数相乘得数为正方数也如有甲乙丙丁六戊己庚辛二十四为同式两平方数相乘得一百四十四即为正方数矣葢同式两平方数之间原有相连比例一数今此六与二十四之间必有十二之一数且连比例三率以首末两率相乘与中率自乘之数等则此六与二十四两平方数相乘所得之一百四十四即为中率十二自乘之数矣又若两正方数相乘得数亦仍为正方数其方根即原两方根相乘之数也如有甲四丙九两正方数此两数相乘得三十六仍为正方数其方根为六亦即甲方根二与丙方根三相乘之数也葢此两方数俱为正方即为同式两平方数矣因其式同故相乘亦仍得正方数也凡数有先各自乘而后相乘者有先相乘而后自乘者其理无异故其得数皆等今以二自乘得四以三自乘得九复以四九相乘得三十六此先各自乘而后相乘也以二与三相乘得六复以六自乘得三十六此先相乘而后自乘也且四与九积也积与积乘仍得积二与三根也根与根乘仍得根此亦理之必然者也

　　第二十二

　　凡两正立方数之间必有相连比例之两数也如有甲八丁二十七两正立方数此八与二十七之间必有乙十二丙十八为相连比例之两数焉葢两正立方之比例同于其两边所作连比例隔二位之比例【见几何原本十卷第四节】今甲方边为二丁方边为三求其与二三相当连比例之第三第四数则以二自乘得四以三自乘得九以二与三相乘得六此四六九为连比例三数又以二递乘此四六九三数得八十二十八之三连比例数复以三递乘四六九三数得十二十八二十七之三连比例数除相同者不计其二十七即连比例之第四数则八与十二十二与十八十八与二十七皆为与二三相当之连比例数而其首数八与末数二十七既与甲丁两立方数等则其中数之十二十八为甲丁两立方数间连比例之两数可知矣

　　第二十三

　　凡两正立方数相乘得数仍为正方数而其方根即原两立方根相乘之数也如有甲八丁二十七两正立方数此两数相乘得二百一十六仍为正立方数而其方根为六亦即甲立方根二与丁立方根三相乘之数也葢此两立方数俱为正方即为同式两立方数矣因其式同故相乘亦仍得正立方也凡数有先自乘再乘而后以所得之数相乘者有先以两数相乘而后以所得之数自乘再乘者其得数皆等故二自乘再乘得八三自乘再乘得二十七复以八与二十七相乘得二百一十六此先各自乘再乘而后以所得之数相乘也以二与三相乘得六复以六自乘再乘亦得二百一十六此先以两数相乘而后以所得之数自乘再乘也且八与二十七积也以积乘积仍得积二与三根也以根乘根仍得根此又理之自然者也第二十四

　　凡两平方数若一边相等则此两平方之比例同于其不等边之比例也如有甲丙戊庚两平方数其甲丙平方之甲乙边为四而戊庚平方之戊已边亦为四甲丙平方之乙丙边为六而戊庚平方之己庚边为八则此两平方数二十四与三十二之比即同于其不等边六与八之比也葢甲乙平方数二十四者四之六倍而戊庚平方数三十二者四之八倍也然则二十四与三十二之比即同于六与八之比矣二十四与三十二之比既同于六与八之比则两平方数之比例同于其不等边之比例可知矣

　　第二十五

　　凡两立方数其底积相等则此两立方之比例同于其髙之比例也如有甲乙丙丁两立方数其甲乙立方之戊乙底为六而丙丁立方之己丁底亦为六甲乙立方之甲戊髙为四而丙丁立方之丙己髙为五则此两立方数二十四与三十之比即同于其两立方之高四与五之比也葢甲乙立方数二十四者六之四倍而丙丁立方数三十者六之五倍也然则二十四与三十之比即同于四与五之比矣二十四与三十之比既同于四与五之比则两立方数之比例同于其髙之比例可知矣

　　第二十六

　　凡两线两面两体用一度【如尺寸之属】可以度尽者此类之线面体皆为有整分可以度尽者也设如有甲乙两线甲线分为五分乙线如甲线度分之得七分无余则此二线即为一度彼此可以度尽者矣若将此二线各为正方面各为正方体则其两面两体亦皆为整分彼此可以度尽者也至如两线两面两体不可以一度度尽者此类之线面体皆为无整分可以度尽者也如丙丁戊己方面其丙丁边线为五分而丙戊对角线则为七分有余乃为彼此无度尽之数矣葢以丙丁边之五分为度则丙戊线得七分有余或将丙戊线为七分整而以其分为度则丙丁线得五分不足凡此类之线面体皆为无整分彼此可以度尽之数也

　　第二十七

　　凡正方一边线与对角线无一度可以彼此度尽者葢以本方积与对角线所成方积比之必有一数非正方数也夫对角线自乘所作之方数为本方积之二倍如本方积一则对角线所作之方为二本方积四则对角线所作之方为八此一与二四与八之间无相连比例之整数故一为正方数则二非正方数四为正方数而八亦非正方数二与八既非正方数则边必有零余而不能尽矣或对角线所作方积为四则本方积为二对角线所作方积为十六则本方积为八此四与二十六与八之间亦无相连比例之整数故四为正方数而二非正方数十六为正方数而八又非正方数然则对角线所作方积固为正方数而本方积复不能成正方数其边必有零余而不能尽矣故凡正方边线与对角线断无一度可以彼此度尽之理也

　　第二十八

　　凡正方面与平圆面同径者其积之比例同于其周围边线之比例也如甲乙丙丁正方面戊己庚辛平圆面其戊壬庚之径相等则此方积与圆积之比例同于方周于圆周之比例也何以见之以正方面之壬庚半径为髙甲乙乙丙丙丁丁甲之全周为底作一子甲直角长形方则此长方形之积比正方形之积必大一倍又以壬庚半径为髙庚己己戊戊辛辛庚全周为底作一壬庚直角长方形则此长方形之积比平圆形之积亦必大一倍凡直角三角形之小边与圆形之半径等而三角形之大边与圆形之全周等者三角形之积与圆形之积等也今此长方形与三角形同底同髙其积比三角形必大一倍然则壬庚长方形比圆形大一倍可知也夫壬庚子甲两长方形既同以壬庚为髙则一边数等一边相等则其积之比例必同于其不等边之比例而全与全之比例原同于半与半之比例故两长方形之比例必同于庚庚与甲甲之比例而方与圆之比例亦必同于庚庚与甲甲之比例矣甲甲即方周而庚庚即圆周然则方周与圆周之比例岂非方积与圆积之比例乎

　　第二十九

　　凡有不知之一大数用两小数度之不尽而一有余一不足者其一多一少之数相并以两小数之较度之即得其度几次之分与大数之几何也如有一大数用小数五度之多一数用小数六度之又少四数则以多一与少四相加得五以六与五两小数相减余一为较数除之仍得五即知两小数各度五次也试排防以明之其甲乙五即小数五丙丁六即小数六以甲乙五累五次则为甲乙己丙正方二十五多一为丁以丙丁六累五次则为甲戊丁丙长方三十少四为戊庚于甲戊丁丙长方三十内减去少数戊庚四为二十六于甲乙己丙正方二十五加入多数丁一亦为二十六是知大数有二十六用此五六两小数各度五次之分也以丁一与戊庚四相加为丁戊五以小数甲乙五与丙丁六相减余一以一除丁戊五仍得五与甲丙相等故甲丙为庚大数二十六之五次数也若以比例言之其小数五与六相减所余一者乃度一次之较而一多一少相并之戊丁五者又为度五次之较故以所余一与度一次之比即同于戊丁五与度五次之比其比例既同故其数亦相等也

　　第三十

　　凡有不知之一大数用两小数度之不尽而俱有余或俱不足者其两有余或两不足之数俱相减以两小数之较度之即得其度几次之分与大数之几何也如有一大数用小数六度之多五数用小数七度之仍多一数则以两多数相减余四以六与七两小数相减余一为较数除之仍得四即知两小数各度四次也试排防以明之其甲乙六即小数六丙丁七即小数七以甲乙六累四次则为甲乙庚丙方二十四多五为戊丁己以丙丁七累四次则为甲戊丁丙方二十八多一为己于甲乙庚丙方二十四加入多数戊丁己五得二十九于甲戊丁丙方二十八加入多数己一亦得二十九是知大数有二十九用此六七两小数各度四次之分也以己一与戊丁己五相减余戊丁四以小数甲乙六与丙丁七相减余一以一除戊丁四仍得四与甲丙相等故甲丙为度大数二十九之四次数也若以比例言之其两小数相减所余之一乃度一次之较两多数相减所余之戊丁四乃度四次之较故以一与度一次之比即同于戊丁四与度四次之比也又如有不知之一大数用小数八度之少二数用小数九度之少六数则以两少数相减余四以八与九两小数相减余一为较数除之仍得四即知两小数各度四次也今作防排之其甲乙八即小数八丙丁九即小数九以甲乙八累四次则为甲乙己丙方三十二内少二数为乙庚以丙丁九累四次为甲戊丁丙方三十六丙少六数为乙庚丁戊于甲乙己丙方三十二内减去少数乙庚二为三十于甲戊丁丙方三十六内减去少数乙庚丁戊六亦为三十是知大数有三十用此八九两小数各度四次之分也以乙庚二与乙庚丁戊六相减余戊丁四以小数甲乙八与丙丁九相减余一以一除戊丁四仍得四与甲丙为相等故甲丙为度大数三十之四次数也其比例亦以两小数相减所余之较比度一次之分即同于两少数相减所余之较比度几次之分也复有不知之一大数用两小数度之一小数度之而尽一小数度之而不尽【或有余或不足】即以不尽之数【或有余之数或不足之数】用两小数之较度之即得其度几次之分与大数之几何其理皆相同也

　　第三十一

　　凡数自少至多递加之而各有定率者谓之平加比例数也夫平加之数有毎次递加一者为挨次递加之数如一二三四之类是也有每次递加二者为超位平加之数如一三五七之类是也【或递加三或递加四或递加五六皆是一理】有每次増一加者为按位相加之数如一三六十之类其第二次加二第三次加三第四次加四是也有每次増二加者为按位自乘之数如一四九十六之类其第二次加三第三次加五第四次加七是也复有一种倍加者为挨次倍加之数如一二四八之类每次皆加二倍又如一三九二十七之类每次皆加三倍是也递加之数虽多按其条理求之大抵不出此数端今各列数分析于后

　　第三十二

　　凡挨次递加之数将首数与末数相加以位数乘之所得之数折半即为总数也如一二三四五六七八九之九数其毎次所加之数为一将首数一与末数九相加得十以位数九乘之得九十折半得四十五即是此九数之总数也何也夫挨次递加之数为等边三角平面形而两数相乘即成四方形今以位数九为髙末数九为底相乘所得之正方形其数八十一较之总数则多较之总数加倍之数又少此所少即一行之数爰知位数与底数相乘所得之数比总数加倍之数少一行之数矣既知挨次递加之数为三角形而位数与底数相乘之数为正方形又知位数与底数相乘之数几等于总积加一倍之数则合两三角形之数适当总积加一倍之方数矣两三角形所合其底数必比高数大一数故末数九为底数者加首数一与髙相乘始成两三角形所合之一方形焉试将此九数作防排之自上而下上一下九作为直角三角形复将此九数另作一直角三角形合于原三角形之侧则成一长方形其高即位数其底即末数与首数相加之数其积即为总数加一倍之数也然则首数末数相加与位数相乘为总数之倍数可知矣又如四五六七八九之六数欲知其总数亦以首数四与末数九相加得十三为底以位数六乘之得七十八为长方形折半得三十九为总数其理与前同若但知首数为四末数为九不知位数则视首数四以上至一虚几位今虚三位故以三与末数九相减余六即位数也何也凡自一递加之数其末数即位数今首数为四计自一是少三位矣故用三即为所少之位数于末数内减去所少之位即为今之所有之位数也第三十三

　　凡超位平加之数亦将首数与末数相加以位数乘之得数折半为总数也如一三五七九十一之六数【每次皆加二数】将首数一与末数十一相加得十二以位数六乘之得七十二折半得三十六为此六位之总数也葢此超位平加之数与挨次平加之理无异其以首末两数相加与位数相乘者总欲得此总数之倍数以便折半取之也试将此六位之数作六层排之上一下十一以首末数相加得十二而以位数乘之则六层皆为十二矣上层本首数一加末数十一而成十二下层本末数十一加首数一而成十二是首数末数俱加倍矣二层本第二数三加第五数九而成十二五层本第五数九加第二数三而成十二是第二数第五数俱加倍矣三层本第三数五加第四数七而成十二四层本第四数七加第三数五而成十二是第三数第四数亦俱加倍矣其每位之数皆倍则相乘所得之数岂非此总数之倍数乎由此推之毎次加三加四或加五加六以至加七加八加九之类凡系超位平加之数其理无不相同也

　　第三十四

　　凡毎次按位相加之数将位数加二与末数相乘取其三分之一即为总数也如一三六一十十五之五数其每次皆按位加之【如第二位于第一位一上加二为三第三位于第二位三上加三为六是也】将位数五加二与末数十五相乘得一百零五以三除之得三十五即是此五数之总数也如或止有位数或止有每一边数求总数则以位数加一与位数相乘得数复以位数加二乘之取其六分之一即得总数也【若止有每一边数即以每一边数加一与每边数相乘得数复以边数加二乘之取其六分之一得数亦同】葢毎次按位相加之数层叠排之其式成等边三角体其末一数即三角体底面数而位数即毎一边之数今以位数加二为髙末数为底相乘即成平行面之三棱体凡同底同髙之平行面体为尖体之三倍则此平行面三棱体内必有等边三角体之三倍故以三除之即得也然必以位数加二为髙者何也以三三角体相凑乃成上下相等之平行面体其髙必比原有之位数多二层【两三角面相合比原位数多一层今三三角体相合故必比原位数多二层也】如止以位数为高即少二层之数而不足三三角体之分故必以位数加二乘之也其止有位数或每一边数求总数以位数加一与位数相乘复以位数加二乘之而用六除者何也葢位数即底面之每边数而底面又为等边之三角面今以边数加一与边数相乘成长方面为三角体底面之倍数即如前挨次递加数之两三角面相合所成之长方形也凡等髙之体底数倍者积数亦倍彼以位数加二乘三角体之底所成之平行面三棱体既为等边三角体之三倍矣今以位数加二乘三角体之倍底所成之平行面长方体又必为等边三角体之六倍矣【以两三棱体相合即成长方体一三棱体为三角体之三倍则两三棱体必为三角体之六倍矣】故以六除平行面长方体之数而得等边三角体之数也又或但知首数末数而不知位数则以末数倍之用一为较数开纵平方即得位数焉葢末数倍之者即两三角面所合之长方也其阔即三角每边数其长比阔多一数故用一为较开带纵平方则得三角毎边之数既得每边数即得位数矣

　　第三十五

　　凡每次按位自乘相加之数将位数折半与末数相加复以位数加一乘之取其三分之一即为总数也如一四九十六二十五之五数其每位之数皆按位自乘之数【如第二位之四即二自乘数第三位之九即三自乘数也】将位数五折半为两个半与末数二十五相加得二十七个半复以位数五加一为六乘之得一百六十五以三除之得五十五即为此五数之总数也如止有位数或止有每一边数求总数则以位数加半个与位数相乘得数复以位数加一乘之取其三分之一即得总数也【若只有每一边数即以每一边数加半个与每一边数相乘得数复以每边数加一乘之取其三分之一得数亦同】葢按位自乘相加之数层叠排之其式成方底四角尖体其末一数即四角尖体底面数而位数即毎一边之数今以位数折半与末数相加则成长方面为底再以位数加一为髙乘之即成平行面之长方体凡同底同髙之平行靣体为尖体之三倍则此平行面长方体内必有四角尖体之三倍故以三除之即得也然必以位数折半与末数相加为底复以位数加一为髙者何也葢三四角尖体相凑乃成上下相等之长方体其底比正方面必多半行其髙必比原有之位数多一层【三等边三角体相合比三角体原位数多二层今三方底四角尖体相合比原位数止多一层葢因方底比三角底式大一倍故四角体髙比三角体髙所加之数减一半也】如止以末数为底则底必少半行之数止以位数为髙则髙复少一层之数必不足三四角尖体之分故以末数加位数之半而以位数加一乘之适足三四角尖体之分也其止有位数或每一边求总数以位数加半个与位数相乘复以位数加一乘之而用三除之者何也葢位数即底靣之毎边数而底面又为正方面今以边数加半个与边数相乘成长方面比正方止多半行之分其理即如求三角体总数以边数加一与边数相乘为三角体底之倍数也以位数加一与底面相乘成长方体比方底四角尖体大三倍即如求三角体总数以位数加二与倍底相乘为三角体之六倍也彼三角体底倍之为长方此四角体底数加半行即为长方彼三角体总数六倍爲同边长方体此四角体总数三倍为同边长方体故三角体以边数加一与边数相乘者今四角体以边数加半与边数相乘而三角体以位数加二为髙与倍底相乘者今四角体以位数加一与本底加半行相乘总之四角体底式比三角体底式大一倍故立法时三角体加数几何而此四角体皆用其半也又或但知首数末数而不知位数则以末数开平方即得位数焉葢末数本为正方数故开方即得毎边数既得毎边数则得位数矣

　　第三十六

　　凡每次倍加之数将末数与加倍之数相乘减去首数复以所加之分数除之即得总数也如二四八十六四数为毎次以二倍之之数欲求其总数则以末数十六用二乘之【因以二倍之故用二乘】得三十二减去首数二为三十复以其所加分数一除之仍得三十即此四数之总数也葢以二加倍之数其末一数比前几位之总数止多一首数故二乘末数则比末数多一分仍多一首数故减去首数二而以一除之即得总数也又如三九二十七八十一四数为毎次以三倍之之数欲求其总数则以末数八十一用三乘之【以三倍之故用三】得二百四十二减去首数三为二百四十复以其所加分数二除之得一百二十即为此四数之总数也葢以三加倍之数其末一数为前几数之倍数而仍多一首数今三乘末数则比末数多二分仍多一首数【三乘末数八十一则为八十一者有三除本数八十一仍为多二分也】故必减去首数三而以二除之即得总数也又如四十六六十四二百五十六四数为毎次以四倍之之数欲求总数则以末数二百五十六用四乘之【以四倍之故用四】得一千零二十四减去首数四为一千零二十复以其所加分数三除之得三百四十为此四数之总数也葢以四加倍之数其末一数为前几数之三倍而仍多一首数今四乘末数则比末数多三分仍多一首数【四乘末数二百五十六则为二百五十六者有四除本数二百五十六仍为多三分也】故必减去首数四而以三除之即得总数也凡此倍加之数不论加倍几何皆为相连比例之数故其比例皆同如递加二倍之数其四与八之比同于二与四之比即八与十六之比亦皆同于二与四之比也又如递加三倍之数其九与二十七之比同于三与九之比即二十七与八十一之比亦皆同于三与九之比也即递加四倍之数其十六与六十四之比同于四与十六之比即六十四与二百五十六之比亦皆同于一与四之比也总之以二倍加者皆一与二之连比例以三倍加者皆一与三之连比例以四倍加

　　者皆一与四之连比例即推之以五倍

　　加六倍加者其理亦无不相同也

　　御制数理精蕴上编卷五

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

　　钦定四库全书

　　御制数理精蕴下编卷一

　　首部一

　　度量权衡

　　命位

　　加法

　　减法

　　因乘

　　归除

　　度量权衡

　　虞书同律度量衡葢度量衡皆本于律而律为万事之本也汉志曰度者分寸尺丈引所以度长短也本起于黄钟之长以子谷秬黍中者一黍之广度之九十分黄钟之长一为一分十分为寸十寸为尺十尺为丈十丈为引而五度审矣量者龠合升斗斛所以量多少也本起于黄钟之龠以子谷秬黍中者千二百实其龠合龠为合十合为升十升为斗十斗为斛而五量嘉矣权者铢两斤钧石所以权轻重也本起于黄钟之重一龠容千二百黍重十二铢两之为两十六两为斤三十斤为钧四钧为石而五权谨矣通考曰律度量衡并因秬黍散为诸法其率可通外此则代不一名度之异名者如左传注方丈曰堵三堵曰雉【长三丈高一丈】易纬通卦验十马尾为一分孙子算术曰蚕所吐丝为忽十忽为丝十丝为豪十豪为厘十厘为分十分为寸十寸为尺十尺为丈小尔雅曰跬一举足也倍跬谓之步四尺谓之仞倍仞谓之防倍防谓之常五尺谓之墨倍墨谓之丈倍丈谓之端倍端谓之两倍两谓之疋疋百谓之束孔安国又以八尺为仞説文曰人手却十分动脉为寸口十寸为尺周制寸咫尺防常仞皆以人体为法又曰妇人手八寸谓之咫周尺也又曰丈丈夫也周制以八寸为尺十尺为丈人长八尺故曰丈夫量之异名者如左传齐旧四量豆区鬴钟四升曰豆各自其四以登于鬴【六斗四升】鬴十则钟【六十四斗】论语注十六斗曰庾十六斛曰秉孙子算术曰六粟为圭十圭为抄十抄为撮十撮为勺十勺为合汉应劭又以四圭为撮孟康以六十四黍为圭小尔雅一手之盛谓之溢两手谓之掬掬四谓之豆豆四谓之区区四谓之釡釜二有半谓之薮薮二有半谓之缶缶二谓之钟钟二谓之秉秉十六斛衡之异名者如汉志注应劭曰十黍为累十累为铢小尔雅二十四铢曰两两有半曰防倍防曰举倍举曰锊锊谓之锾二锾四两谓之斤斤十谓之衡衡有半谓之秤秤二谓之钧钧四谓之石石四谓之鼔通考唐刘承珪以忽万为分丝则千豪则百厘则十转以十倍倍之则为一钱黍以二千四百枚为一两累以二百四十铢以二十四是则度量衡之名不一故其为制不同而纷杂难用然时易世殊古今沿革有必不可比而同者故入算之际不过取其大同者以审不齐之物耳要之度定扵丈量定扵石衡定于两大之而递进扵无穷小之而递析于不可测爰悉其名目扵左以为数学之所资焉

　　度法丈以下曰尺【十寸】寸【十分】分【十厘】厘【十豪】豪【十丝】丝【十忽】忽【十微】微【十纤】纤【十沙】沙【十尘】尘【十埃】埃【十渺】【十漠】漠【以下皆以十析】糢糊逡巡须臾瞬息弹指刹那六徳虚空清浄

　　量法石以下曰斗【十升】升【十合】合【十勺】勺【十撮】撮【十抄】抄【十圭】圭【六粟】粟

　　衡法两以下曰钱【十分】分【十厘】厘【十豪】豪【十丝】丝【十忽】忽以下并与度法同

　　凡度量衡自单位以上则曰十百千万亿兆京垓秭穰沟涧正载极恒河沙阿僧秪那由他不可思议无量数

　　自亿以上有以十进者如十万曰亿十亿曰兆之类有以万进者如万万曰亿万亿曰兆之类有以自乘之数进者如万万曰亿亿亿曰兆之类今立法从中数

　　厯法则曰宫【三十度】度【六十分】分【六十秒】秒【六十微】微【六十纤】纤【六十忽】忽【六十芒】芒【六十尘】尘

　　又有日【十二时又为二十四小时】时【八刻又以小时为四刻】刻【十五分】分以下与前同

　　田法则曰顷【百亩】亩【积二百四十步】分【积二十四步】

　　里法则三百六十步计一百八十丈为一里古称在天一度在地二百五十里今尺验之在天一度在地二百里葢古尺得今尺之十分之八实縁纵黍横黍之分也

　　石法二千五百寸【按汉志曰斛重二钧又曰四钧为石是二斛为一石也古尺斛积一千六百二十寸为今尺之八百六十寸有竒倍之得古尺石积三千二百四十寸为今尺之一千七百二十寸有竒以权法凖之石重一百二十斤求其积古尺应得三千一百一十寸为今尺之一千六百五十寸有竒今之权法又加古一倍则今尺石积应得三千三百寸有竒今现行斛积为一千五百八十寸石积为三千一百六十寸旧算书所载数各不同而多以二千五百寸为率摠之古今尺度不同古今量法亦不一须先求其斗斛之积数然后用其积数以比例之方得密合今设例从旧数】

　　命位

　　凡数视所命单位为本如度法命丈为单位则尺寸分厘皆为竒零命尺为单位则寸以下为竒零而丈则进而为十若命寸为单位则分以下为竒零而尺则进而为十丈则进而为百量法命石为单位则斗升合勺皆为竒零命斗为单位则升以下为竒零而石则进而为十若命升为单位则合以下为竒零而斗则进而为十石则进而为百衡法命两为单位则钱分厘豪皆为竒零命钱为单位则分以下为竒零而两则进而为十若命分为单位则厘以下为竒零而钱则进而为十两则进而为百故凡列数单为一位十为二位百为三位千为四位万为五位如有数一万二千三百四十五则以单位为末向前列之共有五位即知此数首位是万矣至扵厯法宫度分秒日时刻分之定位则每项命两位如宫曰几十几宫度曰几十几度分曰几十几分之类葢因秒以六十而进分分以六十而进度度以三十而进宫故常例一位即命一等者宫度时刻则两位命为一等而每一等有十单之别焉此又命位之最要者也

　　凡数未至单位者必须作○以存其位如有数一万二千三百四十丈则补作○以存单位如上式　又如有数一万二千丈则补作○○○以存百十单之位如下式

　　凡数单位后有竒零者必作防于单位上以志之如有金三百四十五两六钱七分命两为单位则于五上作防志之如上式　又如有米六石五斗四升三合命石为单位则于六上作防志之如下式

　　凡列众数几多位中有空者必作○以存其位如有数二万零四百五十六此中千位无数故必作○于万后百前以存其位如上式　又如有数一万零三十四此中千位百位俱无数故补作两○于万后十前以存其位如下式凡宫度分秒皆两位列之如有一十一宫二十度三十二分四十五秒列位如上式　又如日时刻分列位日时分则两位刻止一位列之如二十一日一十八时三刻零二分列位如下式

　　加减乘除

　　算法以加减乘除为入门然究其终虽至扵千变万化总不出乎此但用法不同耳或应取其相和之数则用加或应取其相较之数则用减或应聚而总其积则用乘或应散而取其分则用除又有先加而后减者或先减而后加者有先乘而后除者或先除而后乘者又有加减与乘除先后互用者古称九章命算自方田以至勾股数有繁简理有显晦法有浅深算有难易然何一不从加减乘除而得故浅言之则算法之入门究言之实算法之全体也

　　加法

　　加者合众数而成总也葢数始扵一终于九至十又复为一等而上之十百千万以至亿兆京垓皆得名之为一即皆自一而加者也今自一位言之有自一至九之数合前后之位言之有单十百千万之等先自单数加起成十则进前一位仍为一以单数纪本位下挨次并之即得总数若夫宫度时刻斤两之类则不以十进必足其所命之分始进一位【十于前位为一志之如宫度足六十分进一度足三十度进一宫如时刻足十五分进一刻足四刻进一时足二十四时进一日如斤两足】至于定位则以原数列扵上加数列扵下或大数列于上小数列于下按法依次对位列之加毕所得之数依原列之位定之

　　设如有数一万二千三百四十五与六千七百八十九相加

　　法以原数横列于上加数横列于下按位相对加之【十六两进一斤之类如九与五相对单从单八与四相对十从十百】单位之五【千万数俱各从其类】九相加得十四进【作一防于前位为志如进二十则作二防如进三十则作三防】本位纪四【书于横格下】次十位之四八相加得十二并所进之一为十三复进十于前位为一志之本位纪三次百位之三七相加得十并所进之一为十一复进十于前位为一志之本位纪一次千位之二六相加得八并所进之一为九于是本位纪九至于万位独有原数无可加则仍纪一所加之数共得一万九千一百三十四即总数也

　　设如有数一万四千五百四十五与一万七千三百五十相加

　　法以原数横列于上加数横列于下加数内单位无数故作○以存其位仍按位相对加之单位之五对○无可加仍纪五次十位之四五相加得九本位纪九次百位之五三相加得八本位纪八次千位之四七相加得十一进十于前位为一志之本位纪一次万位之一与一相加得二并所进之一为三于是本位纪三所加之数共得三万一千八百九十五即总数也

　　设如有二十三丈零五寸六分与二丈八尺六寸二分相加

　　法以原数横列于上加数横列于下原数内尺位无数故作○以存其位仍按位相对加之分位之六二相加得八本位纪八次寸位之五六相加得十一进十于前位为一志之本位纪一次尺位之八对○无可加乃并所进之一为九本位纪九次丈位之三二相加得五本位纪五至扵十位独有原数无可加则仍纪二所加之数共得二十五丈九尺一寸八分即总数也

　　设如有粮四万五千零三十一石与三千零九十石相加

　　法以原数横列于上加数横列于下原数内百位无数加数内百位单位俱无数故各作○以存其位仍按位相对加之石位之一对○无可加仍纪一次十位之三九相加得十二进十于前位为一志之本位纪二次百位○与○无可加则以所进之一为本位数故下纪一次千位之五三相加得八本位纪八至于万位独有原数无可加则仍纪四所加之数共得四万八千一百二十一石即总数也

　　设如有银八两六钱五分四厘与四两零六分二厘相加

　　法以原数横列扵上加数横列扵下加数内钱位无数故作○以存其位仍按位相对加之厘位之四二相加得六本位纪六次分位之五六相加得十一进十于前位为一志之本位纪一次钱位之六对○无可加乃并所进之一为七本位纪七次两位之八四相加得十二进十于前位为一志之本位纪二至扵十位无数则纪所进之一为一所加之数共得十二两七钱一分六厘即总数也

　　设如有田三区一区五百九十二亩三分一区八百五十五亩九分一区七百八十二亩五分相加法以田三区按位横列相对加之分位之三九五相加得十七进十于前位为一志之本位纪七次亩位之二五二相加得九并所进之一为十进十于前位为一志之本位纪○次十位之九五八相加得二十二并所进之一为二十三进二十于前位为二志之本位纪三次百位之五八七相加得二十并所进之二为二十二进二十于前位为二志之本位纪二至扵千位无数则纪所进之二为二所加之数共得二千二百三十亩零七分即总数也

　　设如有银九宗一宗八千八百五十二两一宗三千二百一十一两一宗五百二十两一宗九百三十八两一宗二千五百九十两一宗一千二百一十五两一宗二千五百一十八两一宗五千三百六十六两一宗四千三百七十二两相加

　　法因九宗数繁难加故分为三次三次复并为一次则得共数其八千八百五十二两三千二百一十一两五百二十两相并则得一万二千五百八十三两其九百三十八两二千五百九十两一千二百一十五两相并则得四千七百四十三两其二千五百一十八两五千三百六十六两四千三百七十二两相并则得一万二千二百五十六两既得三总数又将三数并之得二万九千五百八十二两即九宗共数也

　　设如九宫二十度三十分二十六秒与六宫一十八度二十分五十秒相加

　　法以原数横列于上加数横列于下其每项各命两位仍按各位相对加之秒之单位六对○无可加仍纪六秒之十位二五相加得七十乃以六十秒进一分志于分之本位秒之十位纪一次分之单位○与○无可加则以所进之一为本位数故下纪一次分之十位三二相加得五故下纪五次度之单位八对○无可加仍纪八次度之十位二一相加得三十乃以三十度进一宫志于宫之本位度之十位纪○次宫之本位九六相加得十五并所进之一为十六因十二宫满一周天故逢十二去之余四故下纪四所加之数共得四宫八度五十一分一十六秒即总数也

　　设如一日一十五时二刻八分与一日一十二时三刻九分相加

　　法以原数横列于上加数横列于下日时分则合两位共加刻则仍命以单位葢以四刻进一小时故也分位之八与九相加得十七十五分进一刻故于刻之本位下志一余二故单位下纪二十位下纪○次刻位之二与三相加得五并所进之一为六四刻进一时故于时之本位下志一余二故本位纪二次时之单位五二相加得七并所进之一得八时之十位一与一相加得二共为二十八二十四时进一日故于日之本位下志一余四故时之单位下纪四十位下纪○次日之单位一与一相加得二并所进之一为三故下纪三所加之数共得三日四时二刻二分即总数也

　　设如有物重三十四斤十五两五钱与二十一斤十四两三钱相加

　　法以原数横列于上加数横列于下其钱位斤位与斤之十位仍皆按位相对加之两位与两之十位则合其数共加之【两以十六方进一斤故合而加之如列数有两数无十数者仍作○以存十两之位】钱位之五三相加得八本位纪八两位之原数十五加数十四相加共得二十九则进十六两于前斤位为一志之其所余十三两则于两位纪三十位纪一次斤位之四一相加得五并所进之一为六本位纪六次十位之三二相加得五本位纪五所加之数共得五十六斤十三两八钱即总数也

　　减法

　　减者较众数而得余也凡以少减多以小减大原有之数书于上应减之数书于下横列必对其位相减必从其类【如千减千百减百之类】如或下数大于上数不足减则借前位之一以减本位【加法由后而进前减法则借前而退后其理一也详见设如中】前位作一防以志之既得本位则前位所借之一并于前数而为减数然两数相减必先辨其多寡首位必大于减数始可其定位亦照原列之次为减余位

　　设如有数五万六千七百八十九内减四万三千六百四十二

　　法自单位减起单位之九减二余七故下纪七十位之八减四余四故下纪四百位之七减六余一故下纪一千位之六减三余三故下纪三万位之五减四余一故下纪一所减之数得一万三千一百四十七即余数也

　　设如有数二万三千六百七十二内减一万六千四百八十一

　　法自单位减起单位之二减一余一故下纪一十位之七减八为下大于上则借前位之一【前位下作一防为志】作本位之十共十七减八余九故下纪九百位之六减四并十位所借之一则为六减五余一故下纪一千位之三减六为下大于上则借前位之一【前位亦作一防为志】作本位之十共十三减六余七故下纪七万位之二减一并千位所借之一则为二减二恰尽故下纪○所减之数得七千一百九十一即余数也

　　设如有六丈七尺八寸九分一厘内减三丈四尺五寸九分九厘

　　法自厘位减起厘位之一减九为下大于上则借前位之一【前位下作一防为志】作本位之十共十一减九余二故下纪二分位之九减九并厘位所借之一则为九减十亦为下大于上故复借前位之一【之一前位下作一防】作本位之十共十九减十余九故下纪九寸位之八减五并所借之一则为八减六余二故下纪二尺位之七减四余三故下纪三丈位之六减三余三故下纪三所减之数得三丈三尺二寸九分二厘即余数也

　　设如有米六十五石四斗三升二合内减四十六石二斗七升三合

　　法自合位减起合位之二减三为下大于上则借前位之一【为志前位下作一防】作本位之十共十二减三余九故下纪九升位之三减七并合位所借之一则为三减八为下大于上则借前位之一【为志前位下作一防】作本位之十共十三减八余五故下纪五斗位之四减二并升位所借之一则为四减三余一故下纪一石位【为志】之五减六为下大于上则借前位【前位下作之一作本】作本位之十共十五减六余九故下纪九十位之六减四并所借之一则为六减五余一故下纪一所减之数得十九石一斗五升九合即余数也

　　设如有银十五两三钱六分七厘内减九两二钱三分四厘

　　法自厘位减起厘位之七减四余三故下纪三分位之六减三余三故下纪三钱位之三减二余一故下纪一两位之五减九为下大于上则借前位之一【一防为志前位下作】作本位之十共十五减九余六故下纪六十位之一减两位所借之一恰尽故下纪○所减之数得六两一钱三分三厘即余数也

　　设如七宫一十八度二十七分五十二秒内减九宫二十一度三十五分四十三秒

　　法自秒位减起秒之单　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【一防为志】位二减三为下大于上则借【前位下作一防为志】前位位之十共十二减三余九故下纪九秒之十位五减四并所借之一则为五减五恰尽故下纪○分之单位七减五余二故下纪二分之十位二减三为下大于上则借度位之一为六十分【度位下作一防为志】六十分与原二十分共为八十分内减三十分余五十分故下纪五度之单位八减一并所借之一则为八减二余六故下纪六度之十位一减二为下大于上则借宫位之一为三十度【宫位下作一防为志】三十度与原十度共为四十度内减二十度余二十度故下纪二宫之单位七减九并所借之一则为七减十为下大于上则外借一周天为十二宫十二宫与原七宫共为十九宫内减十宫余九宫故下纪九所减之数得九宫二十六度五十二分九秒即余数也

　　设如一十二日二十二时三刻零九分内减一十一日二十三时三刻十分

　　法自分位减起日位刻位俱各按单位相减其分位时位则合两位减之分位之九减十为下大扵上则借刻位之一为十五分【刻之本位下作一为志】十五分与原九分共为二十四分内减十分余十四分故分之单位纪四分之十位纪一刻之本位三减三并所借之一则为三减四为下大扵上则借时位之一为四刻【时之单位下作一为志】四刻与原三刻共为七刻内减四刻余三刻故本位下纪三时位之二十二减二十三并所借之一则为二十二减二十四为下大扵上则借日位之一为二十四时【日之本位下作一为志】二十四时与原二十二时共为四十六时内减二十四时余二十二时故时之单位下纪二时之十位下亦纪二日位之二减一并所借之一则为二减二恰尽故下纪○日之十位之一减一恰尽故亦纪○所减之数得二十二时三刻一十四分即余数也

　　设如有物十五斤零四两八钱内减十二斤十二两三钱

　　法自钱位减起钱位之八减三余五故下纪五两位之四减二似非下大扵上然原数两之十位为○【十六两为一斤故作○于斤后两前以存十两之位】而减数两之十位为一则为四两减十二两亦为下大扵上故借斤位之一为十六两【斤位下作一为志】十六两与原四两共为二十两内减十二两余八两故两之单位纪八十位纪○斤位之五减二并所借之一则为五减三余二故下纪二十位之一减一恰尽故下纪○所减之数得二斤零八两五钱即余数也

　　因乘

　　因乘者生数也以数生数有生生不已之义焉凡有几数彼此按次加之为得总数然所加之次数多则必至于烦而无统此因乘之所以立也因者一位相因而得如二因三而成六四因二而成八也乘者多位相乘而得如两位以上则各以每位所因之数而又层累以积之也其法以原数为实乘数为法实列于上法列扵下必使法实相当【如千对千百对百十对十单对单之类】按法乘实合而加之为所得数定位之法视其法实所命之单位后有竒零与否如无竒零则实中所命之单位相对即法尾之数若有竒零则法实相乘者法实之一位统得数之二位【如单位后竒零有一位则截得数之二位竒零有二位则截得数之四位向前为单位计之】法实相乘再以法乘者【即自乘再乘也】法实之一位统得数之三位【如单位后竒零有一位则截得数之三位竒零有二位则截得数之六位向前为单位计之】是故得数以一位论者则为单十百千之类以两位论者则为自乘之类以三位论者则为自乘再乘之类错综交互用法不一必须临题详审求其无误始为得之具见设如于左设如有三人每人赏縀二疋问共得几疋

　　法以三人为实列于上二疋为法列扵下以二因三得六即书于本位下定位以实之三人即是单位而法又止一位为疋今得数之六与实之单位相对故知六是疋位得共数为六疋也

　　设如有八人每人赏米六石问共得几石

　　法以八人为实列扵上六石为法列扵下以六因八得四十八将四书于前位下【前位为十位故十数纪前位下】八书于本位下【本位为单位故单数纪本位下】定位以实之八人即是单位而法亦止一位为石今得数之八与实之单位相对即知八是石位而四在石之前一位故知四是十位得共数为四十八石也

　　设如有一十二人每人赏银五两问共得几两法以一十二人为实列于上五两为法列扵下命两位与人之单位相齐先以五乘二得一十将十进前一位作一防志之纪○于本位下【此数无单故下纪○】次以五乘一仍得五并所进之一为六故书六于本位下【一虽为十位而以五乘一则一下为本位矣】共得六○定位因实之单位对法之两位而得数之○与实之单位相对故知○为两位而六为十位得共数为六十两也

　　设如有二十四人每人赏银三两六钱问共得几两法以二十四人为实列于上三两六钱为法列于下命钱位与人之单位相齐乃以法之六遍乘实之二四其所得之单位数即对本法位下书之六乘四得二十四将二十进前一位作二防志之四书于本位下次以六乘二得一十二将十进前一位为一书之二并所进之二为四故书四于本位下【二虽为十位而以六乘二则二下即为本位矣】法之六既与实乘毕次以法之三遍乘实之二四其所得之单位数即对本法位下书之三乘四得一十二将十进前一位作一防志之二书于本位下次以三乘二得六并所进之一为七故书七于本位下法之三又与实乘毕乃用加法并之共得八六四总书扵下定位以实尾之四系四人为单位而法尾为钱今得数末位之四与实之单位相对即知四是钱位二位为两三位为十两得共数为八十六两四钱也

　　设如有田三百六十亩每亩纳粮三升五合问共得若干

　　法以三百六十亩为实列扵上三升五合为法列于下实之单位无数则补○以存其位命合位与亩之单位相齐乃以法之五遍乘实之三六○其所得之单位数即对本法位下书之五乘○仍为○故下纪○五乘六得三十将三十进前一位作三防志之本位纪○五乘三得一十五将十进前一位为一书之五并所进之三为八故书八于本位下又以法之三遍乘实之三六○其所得之单位数即对本法位下书之三乘○仍为○故下纪○三乘六得一十八将十进前一位作一防志之八书于本位下三乘三得九并所进之一为十故进前一位为一书之本位纪○乘毕用加法并之共得一二六○○总书于下定位以实尾之○系单位法尾是合今得数末位之○与实之单位相对即知末位之○是合前一位是升向前数至首位得十石因知共数为一十二石六斗也

　　设如有田三顷五十亩每顷纳粮一石二斗三升问共得若干

　　【于下命】法以三顷五十亩为实【因亩位无数故作○以存其位】列于上一石二斗三升为法列石位与顷之单位相齐【题中言每顷纳一石故石与顷对为单位】乃以法之三遍乘实之三五○其所得之单位数即对本法位下书之三乘○仍得○故下纪○次以三乘五得一十五将十进前一位作一防志之五书于本位下次以三乘三得九并所进之一为十故进前一位为一书之本位纪○又以法之二遍乘实之三五○其所得之单位数即对本法位下书之二乘○仍得○故下纪○二乘五得一十将十进前一位作一防志之本位纪○二乘三得六并所进之一为七故书七于本位下又以法之一遍乘实之三五○其所得之单位数即对本法位下书之一乘○仍得○一乘五仍得五一乘三仍得三俱各书于本位下乘毕用加法并之共得四三○五○总书于下定位因每顷纳粮一石二斗三升即命顷为单位而石亦为单位其后二位则为竒零凡法实之竒零有一位则统得数之两位今竒零既有二位则统得数之四位故从后截去四位而第五位定为石因知共数为四石三斗零五合也

　　设如有金三十六两每两价银九两九钱八分问共价几何

　　法以三十六两为实列于上九两九钱八分为法列于下实中钱位分位俱无数则补作○○以存其位命分位与分位相齐乃以法之八遍乘实之三六○○先以八乘○○仍得○○故下纪○○次以八乘六得四十八将四十进前一位作四防志之八书于本位下次以八乘三得二十四将二十进前一位为二书之四并所进之四为八故书八于本位下又以法之九遍乘实之三六○○先以九乘○○仍得○○故下纪○○次以九乘六得五十四将五十进前一位作五防志之四书于本位下次以九乘三得二十七将二十进前一位作二防志之七并所进之五为十二十又进前一位为一并所志之二为三故前位书三本位书二又以法之九遍乘实之三六○○先以九乘○○仍得○○故下纪○○次以九乘六得五十四将五十进前一位作五防志之四书于本位下次以九乘三得二十七将二十进前一位作二防志之七并所进之五为十二十又进前一位为一并所志之二为三故前位书三本位书二乘毕用加法并之共得三五九二八○○定位因题言每两价银九两九钱八分爰以两为单位其后二位则为竒零竒零既有二位则统得数之四位故从后截去四位而第五位定为两第六位为十第七位为百因知共数为三百五十九两二钱八分也

　　设如有物二十六斤求两数

　　法以二十六斤为实列于上以每斤十六两为法列于下乃以法之六遍乘实之二六其所得之单位数即对本法位下书之六乘六得三十六将三十进前一位作三防志之六书扵本位下次以六乘二得一十二将十进前一位为一书之二并所进之三为五故书五于本位下又以法之一遍乘实之二六其所得之单位数即对本法位下书之一乘六仍得六故下书六次以一乘二仍得二故下书二乘毕用加法并之得四一六定位因实尾是单位而法尾又是两位故得数末位之六即为单位为两而前一位为十又前一位为百因知得数为四百一十六两也

　　又法斤求两身加六名为定身加法葢以十六两之十为一乘之仍得原数故以本身加六即得如二十六斤则从首位加起二六加一十二将一对实之十位二对实之单位下书之又六六加三十六则三对实之单位而六对实之单位后一位书之用加法相并得四一六定位以原斤数之后一位为两今得数末位之六在原斤数之后一位即知是两因知得数为四百一十六两也

　　设如周天三百六十度每度六十分问共得若干分法以三百六十度为实列扵上以六十分为法列扵下【因单位俱无数故各作○以存其位】乃以法之○遍乘实之三六○仍皆得○故各纪○于各位下又以法之六遍乘实之三六○其所得之单位数即对本法位下书之六乘○仍得○故本位下纪○次以六乘六得三十六将三十进前一位作三防志之六书于本位下次以六乘三得一十八将十进前一位作一防志之八并所进之三为十一十又进前一位为一并所志之一为二故前位书二本位书一乘毕用加法并之共得二一六○○定位以实之末位是单位法之末位是分今求分数故得数末位之○即是分之单位向前数至首位得万因知共数为二万一千六百分也

　　设如有验时仪坠子来一秒往一秒今十五分问共得来往几秒

　　法以十五分为实列于上以每分六十秒为法列于下乃以法之○遍乘实之一五仍皆得○故各纪○于本位下又以法之六遍乘实之一五其所得之单位数即对本法位下书之六乘五得三十将三十进前一位作三防志之本位纪○次以六乘一仍得六并所进之三为九故书九于本位下定位以实之末位是单位法之末位是秒今求秒数故得数末位之○即是秒之单位其前一位为十又前一位为百因知共数为九百秒也

　　设如一尺二寸自乘求积【以本数乘本数故为自乘】

　　法以一尺二寸互为法实列扵上下乃以法之二遍乘实之一二其所得之单位数即对本法位下书之二乘二得四故下书四次以二乘一仍得二故下书二又以法之一遍乘实之一二其所得之单位数即对本法位下书之一乘二仍得二故下书二次以一乘一仍得一故下书一乘毕用加法并之共得一四四定位因自乘数成平方面其每一尺正方面容积一百寸故百寸为尺百尺为丈俱以两位命之今实之末位为寸即命为单位法之末位是寸得数末位之四与实之单位相对即知为寸位向前第二位为十寸第三位为百寸既以百寸为尺即知得数为一尺四十四寸也若命尺为单位则扵尺上命位其后一位为竒零故扵得数内从末截去二位以第三位为尺【葢自乘乃两数相乘两数既各有一位零数故截去两位算也】今得数有三位即知首位为一尺首位既为尺末位又既为寸则中一位为十寸可知矣

　　设如一尺二寸自乘再乘求积【以本数乘本数所得之数又以本数乘之故谓之自乘再乘】

　　法先以一尺二寸互为法实按法自乘得一尺四十四寸又以一尺四十四寸为实复以一尺二寸为法按法乘之共得一七二八定位因自乘再乘数成立方体其每一尺正方体容积一千寸故以千寸为尺千尺为丈俱以三位命之今实之末位为寸即命为单位法之末位是寸得数末位之八与实之单位相对即知为寸位向前第二位为十寸第三位为百寸第四位为千寸既以千寸为一尺即知得数为一尺七百二十八寸也若命尺为单位则于尺上命位其后一位为竒零故扵得数内从末截去三位以第四位为尺【葢自乘再乘乃以三数相乘三数既各有一位零数故截去三位算也】今得数有四位即知首位为一尺首位既为尺末位又既为寸则中二位为十寸百寸可知矣

　　归除

　　归除者分数也以数分数有各得均齐之义焉凡有两数以此数减彼数减得几次即为所得然所减之次数多则益至于纷而难纪此归除之所以立也归者一位归之而得如归作几分而均分之也除者多位除之而得葢以所得之数与法相因而于实内除去也其法以原数为实横列于下除数为法横列于上法之小于实者法之首位与实之首位列齐法之大于实者则法比实退一位看实足法几倍即为得数自法之末位上纪所得之数既得数乃以所得与法相因书于实下与实相减余者即为次商实依次按法归除以恰尽为度【减余者乃所得与法相因之数在实中所减者其数每与法位相对即初商之余实也至于实位所余之数则每次取下一位续于减余之末以为每商之实若实无余位而归除仍未尽者则按位添○以纪之】如实不足法之一倍者则得数为○定位之法以法中所命单位与原实相对之数为所得之首位数若实之位数少于法者则作几○位以补足法然后位数一览即明至于一位归除防法则竟以原数书于上就身用几分分之得数书于下其定位仍照原列之位定之具见设如于左设如有缎六疋令三人分之问每人得几疋

　　法以六疋为实列于下三人为法列于上今法与实俱为单位而法比实小故列法与实相齐爰看实足法几倍今足二倍故书二于法上乃以得数之二与法之三相因得六书于实下与实相减恰尽即得数为二疋也定位因法之三人即为单位而实亦止一位为疋是法之单位与实之疋位相对故得数为二疋也

　　设如有米六十四石令八人分之问每人得几石法以六十四石为实列于下八人为法列扵上因法之八大于实之首位之六故将法退一位书之爰看实足法几倍今足八倍故书八于法上乃以得数之

　　【下与实相减恰尽即】八与法之八相因【其所得单位数即对得数之本位下书之】得六十四书于实得数为八石也定位因法之八人即为单位而与实之石位相对故得数为八石也

　　设如有银三百四十三两令七人分之问每人得几两

　　法以三百四十三两为实列于下七人为法列于上因法之七大于实之首位之三故将法退一位书之爰看实足法几倍今实前两位为三四足法之四倍【何以知其足法之四倍葢实之三十四内足法之七之四倍为二十八如法之七之五倍则为三十五比实则大矣】故书四于法上乃以得数之四与法之七相因得二十八书于实下【其所得单位数即对得数之本位下书之后仿此】与实相减余六次取实数所余之三书于减余之后共六三为次商实爰看实之六三足法几倍今足九倍故书九于得数之次乃以得数之九与法之七相因得六十三书于次商实之下与实相减恰尽即得数为四十九两也定位因法之七人即为单位而与实中之两之十位相对故得数首位即为十而次位为两是知每人得四十九两也

　　设如有丝四十五斤共织得缎九十二丈二尺五寸问每斤织得若干

　　法以九十二丈二尺五寸为实列于下四十五斤为法列于上因法之首位四小于实之首位九故列法与实相齐爰看实之九二足法之二倍故书二于法上乃以得数之二与法之四五相因得九○书于实下与实相减余二次取实数所余之二书于减余之后共二二为次商实今实之二二不足法之四五之一分故得数为○乃纪○于上复取实数所余之五书于二二之后共二二五

　　【二二五足次商实之二二不足法之四五故再取实之一位续书于下谓之三商实者○位为次商故也】为三商实爰看实之法之五倍故书五于上乃以得数之五与法之四五相因得二二五书于实下与实相减恰尽即得数为二丈零五寸也定位因法之五斤为单位而与实之丈位相对故得数首位即为丈等而下之为尺为寸是知每斤织得二丈零五寸也

　　设如有田四十五亩六分共纳谷五十七石问每亩纳谷若干

　　法以五十七石为实列于下四十五亩六分为法列于上因法之首位四小于实之首位五故列法与实相齐又因实之位数少于法故补作○以足其位爰看实之五七○足法之一倍故书一于法上乃以得数之一与法之四五六相因仍得四五六书于实下与实相减余一一四此后实无余位故添书一○于减余之末为次商实爰看一一四○足法之二倍故书二于上乃以得数之二与法之四五六相因得九一二书于实下与实相减余二二八又添书一○于减余之末为三商实爰看二二八○足法之五倍故书五于上乃以得数之五与法之四五六相因得二二八○书于实下与实相减恰尽即得数为一石二斗五升也定位因法之五亩为单位而与实之石位相对故得数首位为石是知每亩纳谷一石二斗五升也

　　设如有丹砂一两价值钱二万五千文问每钱一文该得丹砂几何

　　法以丹砂一两为实列于下钱二万五千为法列于上因法之首位二大于实之首位一故将法退一位列之又因法之百位十位单位俱无数故各作○以存其位而实亦作五○位以补足法爰看实足法之四倍故书四于法上乃以得数之四与法之二五○○○相因得一○○○○○书于实下与实相减恰尽即得数为四丝也定位因法之末位○系单位故从实之首位一两数至法之单位相对之位为丝是知每钱一文得丹砂四丝也

　　设如有银一千二百五十两买果赏人每果一枚价二厘五豪问买果若干

　　法以一千二百五十两补五○位为实列于下【因法之末位是豪故补五○位与法相对葢命实为一千二百五十万豪也】二厘五豪为法列于上爰看实之一二五足法之五倍故书五于法上乃以得数之五与法之二五相因得一二五书于实下与实相减恰尽然实后尚有五○位故得数后亦添五○位为五十万也定位因法实俱至豪位止即命豪为单位爰从实之末位数至法之单位相对之位为十万是知得果为五十万枚也

　　设如有物重三百八十四两问得斤数若干

　　法以三百八十四两为实列于下每斤一十六两为法列于上爰看实之三八足法之二倍故书二于法上乃以得数之二与法之一六相因得三十二书于实下与实相减余六次取实数之四书于减余之后共为六四因足法之四倍故书四于上乃以得数之四与法之一六相因得六十四书于实下与实相减恰尽即得数为二十四斤也定位因法之两数为单位而与实之十位相对故知得数为二十四斤也

　　又法名为斤称流法其法曰一退六二五【如一万两则为六百二十五斤一千两则为六十二斤半一百两则为六斤二分半皆以十递析退者退一位命之也】二一二五【如二万两则为一千二百五十斤二千两则为一百二十五斤二百两则为十二斤半不言退者对位命之也余仿此】三一八七五四二五五三一二五六三七五七四三七五八五九五六二五如三百八十四两则列于上先以三之一八七五通之爰将一对三之本位以下依次向后书之次以八之五通之将五对八之本位书之次以四之二五通之将二对四之本位书之五则列于次位三数书毕乃以加法并之得数为二十四斤定位因两之前一位为斤今得数之四在两之前一位故四即为斤位而又前一位则为十位是知得数为二十四斤也

　　设如周天三百六十度分十二宫问每宫得若干度法以三百六十度为实列于下一十二宫为法列于上爰看实之三六足法之三倍故书三于法上乃以得数之三与法之一二相因得三六书于实下与实相减恰尽然实后尚有○位故得数后亦添一○位即得数为三十度也定位因法之二为单位而与实之十位相对故得数首位为十而每宫为三十度也

　　设如一日之中得一千四百四十分以九十六刻分之问每刻得若干分

　　法以一千四百四十分为实列于下以九十六刻为法列于上爰看实之一四四仅足法之一倍故书一于法上乃以得数之一与法之九六相因仍得九六书于实下与实相减余四八次取实之○位书于减余之后共为四八○因足法之五倍故书五于上乃以得数之五与法之九六相因得四八○书于实下与实相减恰尽即得数为一十五分也定位因法之六为单位而与实之十位相对故得数首位为十而每刻为一十五分也

　　一位归除防法

　　设如有银三十四万五千六百七十八两作二分分之问每分若干

　　法以三十四万五千六百七十八两为实列于上视首位之三足二分之几何今足一倍故下书一一二除二余一乃移于下位为十【下位作防为志】并下位之四共为十四足二分之七倍故下书七二七除一十四恰尽次五足二分之二倍故下书二二二除四余一移于下位为十并下位之六共为十六足二分之八倍故下书八二八除一十六恰尽次七足二分之三倍故下书三二三除六余一移于下位为十并下位之八共为十八足二分之九倍故下书九二九除一十八恰尽定位因得数仍原数之位故知每分得一十七万二千八百三十九两也

　　设如有银一十二万三千四百五十三两作九分分之问每分若干

　　法以一十二万三千四百五十三两为实列于上因首位之一小于九分故移于下位为十并下位之二共为十二足九分之一倍故下书一一九除九余三移于下位为三十并下位之三共为三十三足九分之三倍故下书三三九除二十七余六移于下位为六十并下位之四共为六十四足九分之七倍故下书七七九除六十三余一移于下位为十并下位之五共为十五足九分之一倍故下书一一九除九余六移于下位为六十并下位之三共为六十三足九分之七倍故下书七七九除六十三恰尽定位因得数比原数退一位故知每分得一万三千七百一十七两也

　　御制数理精蕴下编卷一

　　钦定四库全书

　　御制数理精蕴下编卷二

　　首部二

　　命分

　　约分

　　通分

　　命分

　　凡归除分至最细而可以恰尽无余者谓之无竒零数若分至最细而屡除不尽者谓之有竒零数其竒零若畧去之则不能复还原数此命分之所以立也其法命为分母分子分母者即除数也分子者即除不尽之数也凡不尽之数得分母中之几分者即命为几分之几是以命分之一法正所以济归除之所不逮也

　　设如有银十一两命三人分之问每人得若干法以三人分银十一两每人得银三两仍余二两所余二两再以三人分之每人得六钱六分六厘六豪如是每得六而仍余二数不尽故立命分法以三人为分母所余二两为分子命为每人得三两又三分两之二葢将每两剖作三分其所余二两则共剖作六分三人分之每人得二分故命为三分两之二也如因三分两之二求知原银数则以三人与分子二分相乘得六分葢每人得二分则三人共得六分也以六分用分母三分归之得二两葢初分一两为三分故终收三分为一两也再加入三人所得整数共九两【一人三两三人共得九两】则得十一两以合原数也

　　设如有银一百八十七两命十八人分之问每人得若干

　　法以十八人分银一百八十七两每人得银十两仍余七两分之不尽则以十八人为分母所余七两为分子命为每人得一十两又十八分两之七葢将每两剖作十八分其所余七两则共剖作一百二十六分十八人分之每人得七分故命为十八分两之七也如因十八分两之七求知原银数则以十八人与分子七分相乘得一百二十六分葢每人得七分则十八人共得一百二十六分也以一百二十六分用分母十八分归之得七两葢初分一两为十八分故终收十八分为一两也再加入十八人所得整数共一百八十两【一人十两十八人共得一百八十两】则得一百八十七两以合原数也

　　约分

　　约分者以所命之分约之以就整分也葢命分是随其数之多寡全而纪之而约分则即其多寡之数从而约之以求简易焉其法以分子分母两数辗转相减务期减余两数相同是为度尽两数之一数乃以此数为一分以除分母得几分者即约分母为几分又除分子得几分者即约为分母几分中之几凡诸法中有带分者皆由约法而得故设例于此所以明带分之根也

　　设如古厯歳实命为三百六十五日又一百分日之二十五今以法约之求相当最小数

　　法置日分一百以余分二十五减之余七十五分再以二十五减之余五十分再以二十五减之亦余二十五分两数齐等即以相等之数二十五转除日分一百得四即为四分又以二十五除余分二十五得一即为一分乃百分日之二十五约为

　　四分之　　　　　　　　【凡约】　　　　　　　　　　　　　　【分法以分母分】一是歳实共得三百六十五【葢将一日剖作四分而得其四分之一也】日又四分日之一也子相减必得相等之数然后用之葢因此数可以度尽分母又可以度尽分子故也今以相等之数二十五为一分则日分一百有四倍二十五故为四分而余分二十五又恰足一分之数故为一分一百与二十五之比即同于四与一之比是四与一即一百与二十五之相当最小数也凡分母分子辗转相减不得相等之数终减至于一是分母分子俱无一数可以度尽之数即不用约分用命分志之可也

　　设如有银二百一十两命一百四十七人分之每人得银一两仍余六十三两不尽以法约之求相当最小数

　　法置一百四十七人以余银六十三减之余八十四再以六十三减之余二十一又置六十三转以二十一减之【因减数大于原数又不得两数齐等故以二十一转减之】余四十二再以二十一减之亦余二十一则两数齐等即以相等之数二十一转除一百四十七人得七即为七分又以二十一除银六十三两得三即为三

　　分乃一百四十七人分余银六十三两约为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【也】七分之三是每人得银一两又七分两之三【葢将每两剖作七分而得其七分之三也】也此法以一百四十七人与六十三两辗转相减得相等之数二十一是二十一可以度尽一百四十七人又可以度尽六十三两故也既以二十一为一分则一百四十七有七倍二十一故为七分六十三有三倍二十一故为三分一百四十七与六十三之比即同于七与三之比是七与三即一百四十七与六十三之相当最小数

　　通分

　　凡竒零数目不以十递析者难以立算则用通分如斤通为两宫通为度度通为分之类是也又有整数而带零分者则必通之以从其类如化整为零收零作整之类是也或有零分而分母不同者则必通之以同其母如互乘之类是也通分之法立然后竒零数目得以归有余齐不足而带分之法皆根于此故为另设加减乘除之法以明其义焉

　　加法

　　凡竒零数相加两分母同者即并两分子为得数若相加之数大于母数则于所得数内减去母数为一整数纪其余为零数

　　设如有九分丈之七【一丈分为九分而得其七分也】与九分丈之五【一丈分为九分而得其五分也】相加求总数

　　法以九分之七与九分之五左右列之将两分子七与五相加得一十二因子数大于母数乃于一十二内减去母数九为一整数余三为零数即得整数一丈零九分丈之三为相加之数也此法因两分母同为九分而两分子亦同为九分中之零分故径并两零分之七与五得一十二又以母数九分收为一丈【葢初以一丈分为九分今满九分即收为一丈也】其所余三亦仍为九分中之三分故得一丈零九分丈之三为两零分之共数此分母相同之加法也【如以真数明之九分丈之七是将一丈分为九分得其九分中之七分一丈分为九分则每一分得一尺一寸一分一厘有余九分中之七分则为七尺七寸七分七厘有余也九分中之五分则为五尺五寸五分五厘有余也两数相加共得一丈三尺三寸三分三厘有余即一丈零九分丈之三也葢一尺一寸一分一厘有余既为九分中之一分则三尺三寸三分三厘有余即九分中之三分也如以九分除三分即得三尺三寸三分三厘不尽之数是九分与一丈之比即同于三分与三尺三寸三分有余之比也】

　　凡竒零数相加两分母不同者则用互乘法以两分母相乘为共母数再以前分母乘后分子又以后分母乘前分子以所得两子数相加为共子数纪于共母数之下为共零数

　　设如有三分丈之二【例亦等一丈分为三分而得其】与五分丈之三【二分也一丈分为五分而得其】相加求总数

　　法以两分母三五相乘得一十五为共母数再以前分母三乘后分子三得九又以后分母五乘前分子二得十将两得数相加得十九为共子数因子数大于母数乃于十九内减去共母数十五为一整数余四为零数即得整数一丈零十五分丈之四为相加之数也此法用互乘者本为齐其分母也夫以两分母相乘得十五者乃以两分母俱变为十五分也【三分也因分母不同难以相加故变】以前分母三乘后分子三得九者乃以后分子变为十五分中之九也又以后分母五乘前分子二得十者是又以前分子亦变为十五分中之十也葢十五分之十与三分之二其比例等【为同等俱为五】而【倍比例】十五分之九与五分之三其比【俱为三倍比例】两分母既变为同等则两分子亦俱为同分母之子矣故相加如第一法此分母不同之加法也【如以真数明之三分丈之二既变为十五分丈之十则每一分为六寸六分六厘有余今得十分即六尺六寸六分六厘有余也又五分丈之三既变为十五分丈之九则每一分亦为六寸六分六厘有余今得九分即六尺也两数相加共得一丈二尺六寸六分六厘有余即一丈零十五分丈之四也葢六寸六分六厘有余即为十五分中之一分今二尺六寸六分六厘有余为四倍六寸六分六厘有余即十五分中之四分也如以十五分除四分即得二尺六寸六分不尽之数是十五分与一丈之比即同于四分与二尺六寸六分有余之比也】

　　又或分母不同而可以加减之使同者则变而同之可省互乘

　　设如有八分两之一与十二分两之三相加求总数法以十二分之三变为八分之二则与八分之一两分母相同故径并两分子二与一得三即八分两之三为相加之数也此法将十二分之三变为八分之二者乃分母分子各减三分之一也母数十二减三分之一余八子数三减三分之一余二葢十二分之三与八分之二其比例相等故变从简易如数有参

　　【分】差者则当用下节之【如以真数明之八分两之一是将一两分为八分其一分即一钱二分五厘也又十二分两之三是将一两分为十二分其三分为二钱五分今变为八分两之二是将一两分为八分其二分亦为二钱五分也两数相加共得三钱七分五厘即八分两之三也葢一钱二分五厘为八分中之一分今三钱七分五厘即八分中之三分也如以八分除三分即得三钱七分五厘是八分与一两之比即同于三分与三钱七分五厘之比也】

　　法设如有六分石之五与三分石之二相加求总数如依前法将六分之五折半为三分之二分半则两分母虽同而分子却有竒零若将三分之二加一倍作六分之四变少从多则与六分之五两分母相同乃径并两分子五与四得九因子数大于母数乃于九内减去母数六为一整数余三为零数即得整数一石零六石之三为相加之数也此法三分之二变为六分之四者乃分母分子各加一倍之比例也凡变分母分子或加或减务期所变之分数与原分数比例相同使其两分母同而两分子可并也此条与上条用加减虽各异而齐其分母以加之则同也【如以真数明之六分石之五是将一石分为六分则每一分得一斗六升六合六勺六撮六抄有余今得五分即八斗三升三合三勺三撮三抄有余也又三分石之二是将一石分为三分其二分为六斗六升六合六勺六撮六抄有余今变为六分石之四是将一石分为六分其四分亦为六斗六升六合六勺六撮六抄有余也两数相加共得一石四斗九升九合九勺九撮九抄有余收为五斗即一石零六分石之三也葢六分为一石则三分即五斗也】

　　凡子母数有三四种相加者其分母分子俱不同则用互乘以齐其分母按前法加之【三种者以第一数与第二数依前互乘法相加得数又与第三数依前互乘法相加四程者以第一数第二数互乘相加得数与第三数互乘相加得数复与第四数互乘相加】如两分母相同者即并其两分子而与所余之分母不同者用互乘以加之又或有两分母相乘后所得之数与所余之分母相同者则直以所得之分子与所余之分子相加为得数即不用互乘矣

　　设如有三分斤之一又四分斤之二又五分斤之三相加求总数

　　法以前两分子分母按互乘法相加得十二分斤之十【五种相加者俱仿此以两分母三与四相乘得十二为共母数以前分母三乘后分子二得六又以后分母四乘前分子一得四相加得一十为共子数】乃以十二分斤之十与第三子母分用互乘法相加得六十分斤之八十六【是为十二分斤之十以第三分母五与前两分母互乘所得之十二相乘得六十为共母数以前两分母所得十二乘第三分子三得三十六又以第三分母五乘前两分子所得十得五十相加得八十六为共子数是为】因子数大于母数乃于共子数八十六内减去共母数六十为一整数余二十六为零数即得一斤零六十分斤之二十六为总数也【六十分斤之八十六】凡子母分有四种【如以真数明之三分斤之一是将一斤分二十分丈之一为总数也为三分其一分即五两三钱三分三厘有余也四分斤之二是将一斤分为四分则每一分为四两今得二分即八两也五分斤之三是将一斤分为五分则每一分为三两二钱今得三分即九两六钱也三数相加共得二十二两九钱三分三厘有余内收十六两为一斤余六两九钱三分三厘有余即六十分斤之二十六也葢以十六两分为六十分每分得二钱六分六厘有余今六两九钱三分三厘有余有二十六倍二钱六分六】

　　设如有五分丈之三又四分丈之一又五分丈之一相加求总数

　　法因五分丈之三与五分丈之一两分母相同故直并其两分子三与一为五分丈之四再以五分丈之四与四分丈之一依互乘法相加得二十分丈之二十一【厘有余即为二十六分也以前分母五与后分母四相乘得二十为共母数以前分母五乘后分子一得五又以后分母四乘前分子四得十六相加得二十一】因子数大于母数乃于共子数二十一内减去共母数二十为一整数余一为零数【是为二十分丈之二十一】即得一丈零【如以真数明之其五分丈之三即六尺也其四分丈之一即二尺五寸也其五分丈之一即二尺也三数相加得一丈零五寸即一丈零二十分丈之一葢一丈分为二十分每分得五寸也】

　　设如有三分两之二又四分两之三又十二分两之四相加求总数

　　法以三分之二与四分之三用互乘法相加得十二分两之十七【以前分母三与后分母四相乘得十二为共母数以前分母三乘后分子三得九又以后分母四乘前分子二得八相加得十七是为十二分两之十七】此所得之十二分两之十七与第三分母相同即以前两分所得共子十七与后一分子四相加得二十一是为十二分两之二十一因子数大于母数乃于共子数二十一内减去共母数十二为一整数余九为零数即得一两零十二分两之九为总数也【如以真数明之其三分两之二即六钱六分六厘有余也其四分两之三即七钱五分也其十二分两之四即三钱三分三厘有余也三数相加得一两七钱四分九厘有余收作七钱五分即一两零十二分两之九葢十二分两之九即七钱五分也】

　　减法

　　凡竒零数相减两分母同者即将两分子相减为余数

　　设如有十一分丈之七减十一分丈之五求余数法以十一分丈之七与十一分丈之五左右列之将两分子五与七相减余二即得十一分丈之二为余数也葢因两分母同为十一分则两分子亦同为十一分中之零分故径将两分子相减余二亦仍为十一分中之二分是以定为

　　十一分丈之二此分母相同之减　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【也】法【如以真数明之十一分丈之七是将一丈分为十一分则每一分得九寸零九厘零九丝有余其中之七分即六尺三寸六分三厘六豪三丝有余也其中之五分即四尺五寸四分五厘四豪五丝有余也相减余一尺八寸一分八厘一豪八丝有余即十一分中之二分也葢九寸零九厘零九丝有余为一分则一尺八寸一分八厘一豪八丝有余即为二分也如以十一分除二分亦得一尺八寸一分八厘一豪八丝不尽之数是十一分与一丈之比即同于二分与一尺八寸一分八厘一豪八丝有余之比也】

　　凡竒零数相减两分母不同者则用互乘法以两分母相乘为共母数再以前分母乘后分子又以后分母乘前分子以所得两子数相减为余数

　　设如有三分丈之二减五分丈之三求余数

　　法以两分母三五相乘得一十五为共母数再以前分母三乘后分子三得九又以后分母五乘前分子二得一十将所得两分子相减余一即得十五分丈之一为余数也此法用互乘齐其分母将三分丈之二变为十五分丈之十将五分丈之三变为十五分丈之九两分母既同为十五分故两分子十与九相减余一为十五分丈之一也此分母不同之减法也如两分母不同可以加减之使其相同者减之亦如加法中例故不重设【如以真数明之其三分丈之二即六尺六寸六分六厘有余也其五分丈之三即六尺也相减余六寸六分六厘有余即十五分丈之一也葢一丈分为十五分每一分得六寸六分六厘不尽也】

　　凡零数与整数相减者即以分子与分母相减为余数

　　设如有米一石内减七分石之五求余数

　　法以整数一石变为七分为分母与分子五相减余二即得七分石之二为余数也葢将一石分为七分而于此七分内减去五分则所余即七分石之二【五】此整数中减零数法【如以真数明之将一石分为七分则每一分得一斗四升二合八勺五撮七抄有余其五分即七斗一升四合二勺八撮五抄有余也与一石相减余二斗八升五合七勺一撮四抄有余即七分石之二也葢一斗四升二合八勺五撮七抄有余为一分则二斗八升五合七勺一撮四抄有余自为二分也】

　　也凡整数带零分相减者将两零分用互乘法变为同母然后减

　　之设如有银八两零五分两之四内减五两零七分两之三求余

　　数法以八两之零数五分之四与五两之零数七分之三用互乘法两分母七相乘得三十五为共母数再以五两之分母七乘八两之分子四得二十八为八两所变之子数又以八两之分母五乘五两之分子三得十五为五两所变之子数乃以八两五两二整数相减余三两以两子数二十八与十五相减余十三即得三两又三十五分两之十三为余数也葢既将两子数变为同母则八两者为八两零三十五分两之二十八五两者为五两零三十五分两之十五分母既同故以子数相减而得余数此整数带零分相减之法也【如以真数明之其八两零五分两之四即八两八钱也其五两零七分两之三即五两四钱二分八厘五豪七丝有余也相减余三两三钱七分一厘四豪二丝有余其三两为整数其三钱七分一厘四豪二丝有余即三十五分中之十三分也葢将一两分为三十五分则每一分得二分八厘五豪七丝有余其十三分即三钱七分一厘四豪二丝有余也】

　　凡子母数三四种相减者其分母分子俱不同则用互乘以齐其分母按前法减之如两分母相同者即将其两分子相减而与所余之分母不同者用互乘以减之又或有两分母相乘后所得之数与所余之分母相同者则直以所得之分子与所余之分子相减即得余数其理与加法同

　　设如有铜九斤零八分斤之七内减二斤零四分斤之一又减八分斤之三求余数

　　法以九斤内减去二斤余七斤为整数乃以八分斤之七与四分斤之一用互乘法将八分斤之七变为三十二分斤之二十八将四分斤之一变为三十二分斤之八两数相减余三十二分斤之二十又以三十二分斤之二十与第三零数八分斤之三用互乘法将三十二分斤之二十变为二百五十六分斤之一百六十将八分斤之三变为二百五十六分斤之九十六两数相减余二百五十六分斤之六十四合前整数共得七斤又二百五十六分斤之六十四为余数也如用约法则为七斤零四分斤之一葢二百五十六为四倍六十四今以六十四为一分则二百五十六自得四分也其余几种零分内有两分母相同或两分母乘出之数与余一分母相同俱照同分母之例减之故不再设或零分有四种五种者亦俱仿此此几种零分相减之法也【如以真数明之其九斤零八分斤之七即九斤十四两也内减二斤零四分斤之一是减去二斤四两又减去八分斤之三是又减去六两也余七斤零四两即七斤零四分斤之一也葢一斤分为四分则每一分得四两今七斤零四两故谓七斤零四分斤之一也】

　　乘法

　　零分与零分相乘者两分母两分子各相乘所得之数即乘出之分也

　　设如有三分丈之二与五分丈之四相乘问得几何法以两分母三五相乘得十五分为乘出之分母又以两分子二四相乘得八分为乘出之分子即定为十五分丈之八为所得之数也今以图明之如甲乙为一丈而甲丁亦为一丈作一甲乙丙丁正方形将甲丁分为三分甲乙分为五分内共容十五分即共母数乃两分母三与五乘出之数也其甲丁之三分之二为甲戊甲乙之五分之四为甲己二数相乘得甲已庚戊长方形内容八分即共子数乃两分子二与四乘出之数也甲乙丙丁正方与甲己庚戊长方相较即知甲己庚戊长方为甲乙丙丁正方中之十五分之八矣此零分乘零分之法也【如以真数明之其三分丈之二即六尺六寸六分六厘有余也其五分丈之四即八尺也相乘得五十三尺三十三寸三十三分三十三厘有余即十五分丈之八也葢一丈正方内容百尺分为十五分则每一分得六尺六十六寸六十六分六十六厘有余今得其八分即五十三尺三十三寸三十三分三十三厘有余也】

　　零分与整数相乘者分子乘整数而以分母归之即所得之数也

　　设如有七人每人赏银五分两之二问共得若干法以分子二与七人相乘得十四以分母五归之得二两八钱即七人共得之数也葢五分两之二是一两分为五分而得其二分也一人得二分则七人必共得十四分既以一两分为五分今满五分收为一两故以五归十四得二两八钱为共数此零分与整数相乘之法也

　　整数带零分与整数乘者先将整数俱通为零分相乘得数以分母自乘之数除之即得

　　设如有整数二丈又四分丈之一与八丈相乘问得几何

　　法以整数二丈用分母四通为八分加入分子一共得九分又以整数八丈用分母四通为三十二分乃与九分相乘得二百八十八分以分母四自乘之一十六除之得一十八即定为一丈正方一十八为所得之数也此法葢以一丈通为四分是四四自乘之数始合一丈自乘之数故一十六者即分母四自乘之数未乘之先既以四通之故相乘之后必以四四自乘之数收之乃得真数此整数带零分与整数相乘之法也【如以真数明之其二丈又四分丈之一即二丈二尺五寸与八丈相乘即得一十八丈也】

　　整数带零分与零分乘者先将整数通为零分相乘得数以分母自乘之数除之即得

　　设如有整数二丈又五分丈之四与零分五分丈之三相乘问得几何

　　法以整数二丈用分母五通为十分加入分子四得十四分乃与零分分子三相乘得四十二以分母五自乘之二十五除之得一六八即定为一丈正方一又一尺正方六十八为所得之数也此法葢以一丈通为五分是五五自乘之数始合一丈自乘之数故以二十五除之又二丈之零分五分之四与所乘之零分五分之三为同母故用此法如两零分分母不同则先将两零分用互乘法变为同母然后用所变之分母化整为零再与彼一零分相乘得数以所变之分母自乘之数除之即得乘出之数【法见下节】此整数带零分与零分相乘之法也【如以真数明之其二丈又五分丈之四即二丈八尺也其五分丈之三即六尺也以六尺与二丈八尺相乘即得一丈六十八尺也】

　　整数带零分与整数带零分相乘而零分之分母不同者则以两零分之分母用互乘法齐其数然后各以相同之分母化整为零两数相乘再以同母自乘之数除之即得【如所带零分本为同母者可省互乘】

　　设如有长方田阔二丈又四分丈之三长三丈又三分丈之二求积

　　法以两分母四三相乘得一十二为共母数以前分母四乘后分子二得八以后分母三乘前分子三得九为两分子数乃以共母数十二化阔二丈为二十四分加入分子九得三十三分为阔边所变之分数又以共母数十二化长三丈为三十六分加入分子八得四十四分为长边所变之分数爰以阔三十三分与长四十四分相乘得一千四百五十二乃以共母数十二自乘之一百四十四除之得一○○八余四八不尽即定为一丈正方十一尺正方八零一百四十四分尺之四十八约为三分尺之一为所得之数也此整数带零分与整数带零分相乘之法也【如以真数明之其阔二丈又四分丈之三即二丈七尺五寸也其长三丈又三分丈之二即三丈六尺六寸六分六厘有余也以二丈七尺五寸与三丈六尺六寸六分六厘有余相乘即得一十丈零八尺有余也】

　　大分下又带小分相乘者其例有四【所谓大分下带小分者是将大分之一分又分为几分如大分五分之三又带小分四分之一是将大分五分之三之一分又分为四分而得其一分也】有大小分母俱同者有大小分母俱不同者有大分母同而小分母不同者有大分母不同而小分母同者今以一法驭之总以小分母通大分母为母数又以小分母通大分子加入小分子为子数然后以所变之两母数两子数对乘即得【总以小分母通之者葢小分母又为大分母之每一分之几分小分不能使大大分可以变小使大分母大分子俱变为小分母一体然后可以相乘乘之即所以通之也设法中以度数明之其理自显】

　　设如有甲数五分丈之三又带此一分之四分之一与乙数五分丈之四又带此一分之四分之二相乘问得几何【此大小分母俱同者也】

　　法以甲数小分母四通大分母五得二十仍以小分母四通大分子三得一十二再加入小分子一得一十三共得二十分之十三为甲大小分所变之数又以乙数小分母四通大分母五得二十仍以小分母四通大分子四得一十六再加入小分子二得一十八共得二十分之十八为乙大小分所变之数然后以甲所变之分母二十与乙所变之分母二十相乘得四百分为乘出之分母又以甲所变之分子十三与乙所变之分子十八相乘得二百三十四分为乘出之分子即定为四百分丈之二百三十四为所得之数也【此法甲乙之小分母俱为四故将其大分母之每分亦俱化为四分又将大分子之每分亦俱化为四分使大分与小分之子母一体然后乘之今以度数明之甲之五分丈之三乃一丈内之六尺其所带小分之四分之一乃二尺内之五寸是甲数共为六尺五寸乙之五分丈之四乃一丈内之八尺其所带小分之四分之二乃二尺内之一尺是乙数共为九尺六尺五寸与九尺相乘得五十八尺五十寸是一丈正方为一百尺而得其五十八尺又小余五十寸也若以分母四乘一百尺得四百分又乘得数五十八尺五十寸得二百三十四分故为四百分之二百三十四也若以尺随寸命之则五十八尺五十寸又为五千八百五十寸以大分每一分通为小分四分则每一千寸分为四分每分得二百五十寸以二百五十寸归五千八百五十寸得二十三寸四十分乃四十分中之二十三又小零分之四分进而命为丈则为四百分丈之二百三十四也】

　　设如有甲数四分丈之三又带此一分之七分之二与乙数九分丈之五又带此一分之三分之一相乘问得几何【为所得之数也此大小分】

　　法以甲数小分母七通大分母四得二十八仍以小分母七通大分子三得二十一再加入小分子二得二十三共得二十八分之二十三为甲大小分所变之数又以乙数小分母三通大分母九得二十七仍以小分母三通大分子五得一十五再加入小分子一得一十六共得二十七分之一十六为乙大小分所变之数然后以甲所变之分母二十八与乙所变之分母二十七相乘得七百五十六分为乘出之分母又以甲所变之分子二十三与乙所变之分子一十六相乘得三百六十八分为乘出之分子即定为七百五十【母俱不同者也】六分丈之三百六十八【如以真数明之甲四分丈之三即一丈内之七尺五寸又带小分七分之二即二尺五寸内之七寸一分四厘二豪有余是甲数共为八尺二寸一分四厘二豪有余也乙九分丈之五即一丈内之五尺五寸五分五厘五豪有余又带小分三分之一即一尺一寸一分一厘一豪有余内之三寸七分零三豪有余是乙共为五尺九寸二分五厘九豪有余也两数相乘得四十八尺六十七寸六十五分有余即七百五十六分丈之三百六十八也如以七百五十六分除三百六十八分亦得四十八尺六十七寸六十五分不尽之数葢七百五十六分为一百尺则三百六十八分自得四十八尺六十七寸六十五分有余也】

　　设如有甲数八分丈之三又带此一分之四分之一与乙数八分丈之四又带此一分之六分之五相乘问得几何【此大分母同而小分母不同者也】

　　法以甲数小分母四通大分母八得三十二仍以小分母四通大分子三得一十二再加入小分子一得一十三共得三十二分之一十三为甲大小分所变之数又以乙数小分母六通大分母八得四十八仍以小分母六通大分子四得二十四再加入小分子五得二十九共得四十八分之二十九为乙大小分所变之数然后以甲所变之分母三十二与乙所变之分母四十八相乘得一千五百三十六分为乘出之分母又以甲所变之分子十三与乙所变之分子二十九相乘得三百七十七分为乘出之分子即定为一千五百三十六分丈之三百七十七为所得之数也【二相乘问得几何如以真数明之甲八分丈之三即三尺七寸五分又带此一分之四分之一即三寸一分二厘五豪是甲数共为四尺零六分二厘五豪也乙八分丈之四即五尺又带此一分之六分之五即一尺零四分一厘六豪有余是乙数共为六尺零四分一厘六豪有余也两数相乘得二十四尺五十四寸四十二分有余即一千五百三十六分丈之三百七十七也如以一千五百三十六分除三百七十七分亦得二十四尺五十四寸四十二分不尽之数葢一千五百三十六分为一百尺则三百七十七分自得二十四尺五十四寸】

　　设如有甲数六分丈之四又带此一分之五分之一

　　与乙数九分　　　　　　　　　　　　　　　【四十二分有余也】丈之七又带此一分之五分之【此大分母不同而小分母同者也】

　　法以甲数小分母五通大分母六得三十仍以小分母五通大分子四得二十再加入小分子一得二十一共得三十分丈之二十一为甲大小分所变之数又以乙数小分母五通大分母九得四十五仍以小分母五通大分子七得三十五再加入小分子二得三十七共得四十五分之三十七为乙大小分所变之数然后以甲所变之分母三十与乙所变之分母四十五相乘得一千三百五十分为乘出之分母又以甲所变之分子二十一与乙所变之分子三十七相乘得七百七十七分为乘出之分子即定为一千三百五十分之七百七十七为所得之数也【如以真数明之甲六分丈之四即六尺六寸六分六厘六豪有余又带此一分之五分之一即三寸三分三厘三豪有余是甲数共为六尺九寸九分九厘九豪有余也乙九分丈之七即七尺七寸七分七厘七豪有余又带此一分之五分之二即四寸四分四厘四豪有余是乙数共为八尺二寸二分二厘二豪有余也两数相乘得五十七尺五十五寸五十五分有余即一千三百五十分丈之七百七十七也如以一千三百五十分除七百七十七分亦得五十七尺五十五寸五十五分不尽之数葢一千三百五十分为一百尺则七百七十七分自得五十七尺五十五寸五十五分有余也】

　　除法

　　零分归除零分者两分母两分子各自除之所得之数即除出之分也如有竒零不尽者用互乘法齐之即得分数其比例与除出之法同

　　设如有九分丈之二以三分丈之一除之求得几何法以九分丈之二为实三分丈之一为法以法分母三除实分母九得三为除出之分母又以法分子一除实分子二仍得二为除出之分子即定为三分丈之二为所得之数也此法即乘法内两分母两分子各相乘为所得之数者转用之耳此零分除零分之法也

　　又法以互乘代除以实分母九乘法分子一得九为除出之分母又以法分母三乘实分子二得六为除出之分子共得九分丈之六即所求之数也此法与前法所得之分母分子之数虽不同而理则一前法之三分之二与此法之九分之六其比例实同葢前法以法除实其得数为减分之比例此法以两数互乘其得数为加分之比例故九分之六即三分之二也但法中不用两分母相乘之数省去一层耳如欲明晰其故则以两分母九与三相乘得二十七法分母三与实分子二相乘得六实分母九与法分子一相乘得九是将三分之一变为二十七分之九将九分之二变为二十七分之六其两分母既等则其两分子自成比例故九与六之比即同于三与二之【六以三约之非三分之二耶】比九分之【如以真数明之实九分丈之二为面积即二十二尺二十二寸二十二分二十二厘有余也法三分丈之一为边线即三尺三寸三分三厘有余也除之得六尺六寸六分六厘有余即三分丈之二也如以三分除二分亦得六尺六寸六分六厘不尽之数葢三分为一丈其二分自得六尺六寸六分六厘有余也】

　　整数归除零分者分母通整数以除分子即得所求之数

　　设如有五分丈之三以八丈除之求得几何

　　法以分子三为实以分母五通整数八丈得四十为法除之得七寸五分即所求之数也此法以五分乘八丈者是分母通整数将每丈俱通为五分也八丈既通为四十分则五分之三之每一分即与四十分中之每一分同等然而零数三分以四十分除之而得七寸五分者则又为变分为尺寸之比例矣四十分与一丈之比即同于三分与七寸五分之比此整数除零分之法也

　　零分归除整数者分母通整数而以分子除之即得所求之数

　　设如有六丈以三分丈之二除之求得几何

　　法以分母三通整数六丈得一十八为实以分子二为法除之得九丈即所求之数也此法以三分乘六丈者是将每丈俱通为三分也六丈既通为十八分则十八分中之每一分与三分之二之每一分同等故以分子二除十八得九丈此零分除整数之法也

　　整数带零分归除整数者先将法实之两整数俱通为零分而于法中加入分子除之即得

　　设如有二十四丈以二丈零三分丈之二除之求得几何

　　法以分母三通二十四丈得七十二为实又以分母三通二丈得六加入分子二得八为法除之得九丈即所求之数也此法以分母三通实二十四丈是将实之每丈俱化为三分也又以分母三通法二丈是将法之每丈亦俱化为三分也两整数俱化为同等则法实一体故法除实而得所求之数也此整数带零分除整数之法也

　　整数归除整数带零分者先将法实之两整数俱通为零分而于实中加入分子以法除之即得

　　设如有二丈零三分丈之二以二十四丈除之求得几何【即以前法数目作题者取其易明也】

　　法以分母三通二丈得六加入分子二得八为实又以分母三通二十四丈得七十二为法除之得一尺一寸一分不尽约为九分丈之一即所求之数也此法以分母三通法实之两整数者是将两整数之每丈俱通为三分也一得七十二分一得八分以七十二与八之比即同于九与一之比故约为九分之一且以七十二除八得一一一不尽之数定为一尺一寸一分有余者葢七十二分与一丈之比即同于八分与一尺一寸一分有余之比也此整数除整数带零分之法也

　　整数带零分归除零分者先将整数通为零分加入分子除之即得

　　设如有五分丈之四以三丈零八分丈之一除之求得几何

　　法以五分丈之四为实以法之分母八通三丈得二十四加入分子一得二十五共得八分丈之二十五为法用两分母两分子各自归除之法以法分母八除实分母五得六二五为除出之分母以法分子二五除实分子四得一六○为除出之分子乃以所得之分母除所得之分子得二尺五寸六分即所求之数也葢法之三丈又八分丈之一乃三丈一尺二寸五分也实之五分丈之四乃八尺也以三丈一尺二寸五分归除八尺每丈得二尺五寸六分是三丈一尺二寸五分与一丈之比即同于八尺与二尺五寸六分之比也今以分母六二五除分子一六○亦得二尺五寸六分是六二五与一丈之比即同于一六○与二尺五寸六分之比也然六二五与三丈一尺二寸五分之比又即同于一六○与八尺之比而皆为加倍之比例也此整数带零分除零分之法也又或整数通为零分加入分子之后以法除实而数有竒零不尽者则用互乘代除之法如前数已将整数通为八分丈之二十五为法乃以实分母五乘法分子二十五得一百二十五为除出之分母又以法分母八乘实分子四得三十二为除出之分子乃以所得之分母除所得之分子亦得二尺五寸六分葢一百二十五分与一丈之比即同于三十二分与二尺五寸六分之比也后法之有竒零数而用互乘代除者皆同此例

　　零分归除整数带零分者先将整数通为零分加入分子以法除之即得

　　设如有四丈又三分丈之二以七分丈之四除之求得几何

　　法以实之分母三通四丈得十二加入分子二得十四共得三分丈之十四为实以七分丈之四为法用互乘代除之法以实分母三乘法分子四得十二为除出之分母以法分母七乘实分子一十四得九十八为除出之分子乃以所得之分母除所得之分子得八尺仍余二不尽命为十二分尺之二以法约之为六分尺之一共得八尺零六分尺之一即所求之数也葢十二与一尺之比即同于九十八与八尺有余之比也此零分除整数带零分之法也

　　整数带零分归除整数带零分者先各以整数通为零分加入分子而以法除实即得

　　设如有田五亩又三分亩之二共租银五两又二十七分两之一求每亩得租银几何

　　法以银分母二十七通五两得一百三十五加入分子一得一百三十六共得二十七分两之一百三十六为实又以田分母三通五亩得十五加入分子二得十七共得三分亩之十七为法用互乘代除之法以银分母二十七乘田分子一十七得四百五十九为除出之分母以田分母三乘银分子一百三十六得四百零八为除出之分子乃以所得之分母除所得之分子得八钱八分八厘零四百五十九分厘之四百零八即每亩所租之银数也葢四五九与一两之比即同于四○八与八钱八分八厘有余之比也此整数带零分除整数带零分之法也

　　大零分下又带小零分相除者其例有四【有大小分母俱同者有大小分母俱不同者有大分母同而小分母不同者有大分母不同而小分母同者】今以一法驭之总以小分母通大分母为母数又以小分母通大分子加入小分子为子数然后以所变之子母数用互乘代除之法归之即得【如用子母各自对除亦得但恐数有竒零故用此法】

　　设如有甲八分丈之七又带此一分之五分之三以乙五分丈之二又带此一分之四分之一除之求

　　法以甲小分母五通大分母八得四十仍以小分母五通大分子七得三十五再加入小分子三得三十八共得四十分丈之三十八为甲大小分所变之数以之为实又以乙小分母四通大分母五得二十仍以小分母四通大分子二得八再加入小分子一得九共得二十分丈之九为乙大小分所变之数以之为法然后用互乘代除之法以甲所变之分母四十乘乙所变之分子九得三百六十为除出之分母又以乙所变之分母二十乘甲所变之分子三十八得七百六十为除出之分子乃以所得之分母三百六十除所得之分子七百六十得二尺一寸一分一厘零三百六十分厘之四十约为九分厘之一即所求之数也葢三六○与一尺之比即同于七六○与二尺一寸一分一厘有余之比也此大零分下带小零分相除之法也【其分母分子俱同及分母同而分子不同分母不同而分子同者皆用此例故不重设】

　　御制数理精蕴下编卷二

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

　　钦定四库全书

　　御制数理精蕴下编卷三

　　线部一

　　正比例

　　转比例

　　合率比例

　　正比例带分

　　转比例带分

　　比例

　　凡物彼此相形并之而用加较之而用减聚之而用乘散之而用除观之不过两率然乘除之间四率之理已黙寓其中如因乘命法曰人几何每人得物几何求总物几何则是每一人得物几何与几何人共得物几何相比而成四率乃自小而得大者也如归除命法曰有物几何命几何人分之每人得物几何则是共人几何共物几何与每一人得物几何相比而成四率乃自大而得小者也葢因命数以一人为法故乘与除各省其率耳是虽名为乘除而实为相比之四率也至于比例正法则所该甚广大而推歩七政天行测量髙深广逺小而量功命事度大移小无一非由比例而得葢以两数为比例用今有之数即可以得未有之数也比例之理虽分相连相当二种而相当比例之中实又兼相连比例相当比例一率比二率如三率比四率而相连比例首率比中率若中率比末率者即是中率为二率而又为三率也尽人皆知线有线之比例面有面之比例体有体之比例殊不知差分盈朒方程借衰疉借之类正皆比例之属也然此类中有合数之比例分数之比例均数之比例借数之比例非条分缕析各项专论则不备故仍旧各自为类而独于比例中最切者详明其理以列法焉其法一名异乘同除【或名为准测或名为顺单】以原有之两件相除故为同除以今有之一件乘之故为异乘【如先乘而后除亦同】而今则质言之曰正比例葢以原有之两件为一率二率以今有之一件为三率而所求之一件则为四率也一名为同乘异除【或名为变测或名为互视或名为逆单】以原有之两件相乘故为同乘以今有之一件除之故为异除而今则质言之曰转比例葢以原有之两件为二率三率以今有之一件为一率而所求之一件则为四率也然论其乘除之名虽异究其比例之理则一而已今以数明之如原有之两数为二与四今有之一数为八以原有之二作一率原有之四作二率今有之八作三率即得今所求之四率为十六而一率二与二率四之比即三率八与四率十六之比为相当之比例也如原有之两数为八与四今有之一数为十六以原有之八作二率原有之四作三率今有之十六作一率即得今所求之四率为二而一率十六与二率八之比即三率四与四率二之比或以一率十六与三率四之比即同于二率八与四率二之比皆为相当之比例也总之乘除之名有异同四率之列有更换而既成比例之后其理无不归于大同由此引伸触类推而广之有合几四率而为一四率者则名为同乘同除【或名为重测或名为顺较逆较】而今则质言之曰合率比例葢其理亦不过合几乘而为一乘合几除而为一除各按四率参互错综岂能岀于比例之外哉凡此各种比例俱设数例于后以明立法之根加之解说以广用法之意

　　正比例

　　设如有银买米每米一石银八钱今买米二百四十石问共该银若干

　　法以米一石为一率银八钱为二率今买米二百四十石为三率二三率相乘一率除之得四率一百九十二两即共银数也葢一石与二百四十石为加二百四十倍而八钱与一百九十二两亦为加二百四十倍【见几何原本六卷第十五节】故一石与八钱之比即同于二百四十石与一百九十二两之比也【此法一率是一止用八钱乘二百四十石亦得但为明正比例之理故首设一二易法使人好推寻也】

　　设如有银买米每银一两买米一石三斗今有银三百二十两问共买米若干

　　法以银一两为一率米一石三斗为二率今银三百二十两为三率二三率相乘一率除之得四率四百一十六石即共米数也葢一两与一石三斗之比即同于三百二十两与四百一十六石之比也

　　设如有银赏人每三人赏银一两八钱今有二百四十人问共该银若干

　　法以三人为一率一两八钱为二率今有二百四十人为三率二三率相乘一率除之得四率一百四十四两即共银数也葢三人与一两八钱之比即同于二百四十人与一百四十四两之比也

　　设如有谷换米每谷一石四斗换米八斗四升今有谷三十二石六斗八升问换米若干

　　法以谷一石四斗为一率米八斗四升为二率今有谷三十二石六斗八升为三率二三率相乘一率除之得四率一十九石六斗零八合即所换共米数也葢谷一石四斗与米八斗四升之比即同于谷三十二石六斗八升与米一十九石六斗零八合之比也

　　设如天上二度当地面四百里今七度该里数若干法以原有之二度为一率四百里为二率今有之七度为三率二三率相乘一率除之得四率一千四百里即七度之里数也葢一率二与二率四之比为加一倍而三率七与四率十四之比亦为加一倍故二率得一率中之几分之几则四率亦得三率中之几分之几而为相当比例四率也

　　设如一星一日内行一度三十分今问八刻内应行若干

　　法以原数一日变作九十六刻为一率一度三十分变作九十分【一度作六十分加入三十分共九十分】为二率今星行八刻为三率二三率相乘一率除之得四率七分半即八刻内所行之数葢九十六刻与九十分之比即同于八刻与七分半之比也然将日变为刻者因每日九十六刻不以十进位又今所有者为八刻故以刻数与刻数相比也度变为分者因每度六十分亦不以十进位而今八刻内所行者必为分故以分数与分数相比也

　　设如验时仪算炮声自烟起至闻声计七秒得五里今得十四秒问里数若干

　　法以七秒为一率五里为二率今得十四秒为三率二三率相乘一率除之得四率十里即十四秒之里数也葢七秒与五里之比即同于十四秒与十里之比也

　　设如有羊四百六十只共卖银八十二两八钱问每羊一只价银几何

　　法以羊四百六十只为一率银八十二两八钱为二率羊一只为三率推得四率一钱八分即每羊一只之价也【此法三率是一止用羊四百六十只归除八十二两八钱亦得但列四率法中不得不备其一体也】

　　设如有羊一羣共二百四十只又生羔七十二只问加羊羣内十分之几

　　法以羊二百四十只为一率十分为二率今生羔七十二只为三率推得四率三分即为加羊羣内十分之三也葢二百四十与十分之比即同于七十二与三分之比若将二百四十作十分每分得二十四将羊羔七十二作三分每分亦得二十四总而约之故为十分之三也

　　设如有田科粮每三亩科粮八斗四升今有四千六百三十五亩问得粮若干

　　法以三亩为一率八斗四升为二率今有四千六百三十五亩为三率推得四率一千二百九十七石八斗即所得共粮数也葢三亩与八斗四升之比即同于四千六百三十五亩与一千二百九十七石八斗之比也

　　设如用古量法豆区釜皆以四进有八十豆当二十区有二十区当釜若干

　　法以八十豆为一率二十区为二率又为三率推得四率五釜即二十区所当釜数也此正比例中相连比例法也葢因二十区与二十区相乘得四百区而八十豆与五釜相乘亦得四百区二十区既为二率又为三率故谓相连比例是以八十豆与二十区之比即同于二十区与五釜之比也

　　设如一商原有本银三千两一年得利银九百两今复将九百两为本问一年得利若干

　　法以三千两为一率九百两为二率又为三率推得四率二百七十两即九百两所得之利也此法以九百两为二率又为三率葢三千两与九百两之比为三与九之比例而九百两与二百七十两之比亦为三与九之比例也

　　转比例

　　设如有田一亩原阔八歩长三十歩今阔要十二歩问长得几何

　　法以今阔十二歩为一率原长三十歩为二率原阔八歩为三率二三率相乘一率除之得四率二十歩即今阔十二歩之长也此法以原有之两数相乘以今有之一数除之而得今所求之数者因乘出两数相同故也在正比例原有之两件为一率二率今有之一件为三率而今所求之一件为四率俱以原有之一件与今有之一件相乘其积相同在转比例则原有之两件为二率三率今有之一件为一率而今所求之一件为四率是原有之两件相乘今有之两件相乘其积相同此两法异同之故也

　　虽今阔比原　　　　　　　　　　　　　【得】阔多　　　　　　　　　　　　　　　　　【二百】而今长却比原长少故原【八歩】有之【三十歩】阔与长相乘四十歩而今有之阔【十二歩】与长【二十歩】相乘亦得二百四十歩其积既同是以转而比之自成比例葢今阔比原阔多三分之一今长比原长少三分之一其比例相同【见几何原本七卷第三节】故今阔十二歩与原阔八歩之比即同于原长三十歩与今长二十歩之比也若借正比例论之以原阔八歩为一率原长三十歩为二率今阔十二歩为三率二三率相乘一率除之得四率四十五歩则是今阔比原阔多今长亦比原长多所容积数亦多而与一亩之数不合矣故转以今阔十二歩为一率原长三十歩为二率原阔八歩为三率而得四率二十歩是为一率与三率之比同于二率与四率之比也

　　设如有地寛二十丈长一百二十丈今换地寛三十丈问长得几何

　　法以今寛三十丈为一率原长一百二十丈为二率原寛二十丈为三率二三率相乘一率除之得八十丈即今寛三十丈之长也此法原有之寛与长相乘得二千四百丈今有之寛与长相乘亦得二千四百丈其积既同故转而比之自成比例以今寛比原寛以原长比今长俱三与二之比例是以今寛三十丈与原寛二十丈之比即同于原长一百二十丈与今长八十丈之比也

　　设如佣工开渠八人开之二十日完今加倍用十六人开之问得几日完

　　法以今十六人为一率原二十日为二率原八人为三率二三率相乘一率除之得四率十日即十六人完工之日也此法因工少而用日多故加人使工多而用日少葢今十六人与原八人之比即今之工加一倍而原二十日与今十日之比则今所得之日亦必减一倍故一率十六人与三率八人之比即同于二率二十日与四率十日之比也

　　设如有地四百八十亩八人耕之十二日完今用六人耕之问得几日完

　　法以今六人为一率原十二日为二率原八人为三率二三率相乘一率除之得四率十六日即六人耕完之日也此法人数日数不同而所耕之田则同为四百八十亩而所用之工又同为九十六故以八人论一日八工十二日则用九十六工以六人论一日六工十六日亦用九十六工也故转用四率自成比例以一率六人与三率八人之比即同于二率十二日与四率十六日之比也

　　设如众军支米足用四年则每人每月支米三斗今欲将四年之米足用十二年问每人每月应支几何

　　法以今欲用十二年为一率原支米三斗为二率足用四年为三率二三率相乘一率除之得四率一斗即足用十二年每人每月应支之数也此法支米多则足用年数少今支米少则足用年数多葢四年与十二年之比在年为加三分之二而三斗与一斗之比在米又为减三分之二其比例固同也

　　设如木星十二年一周天每年行三十度土星则二十八年一周天问每年行几度

　　法以土星所行一周二十八年为一率木星每年所行三十度为二率木星所行一周十二年为三率二三率相乘一率除之得四率十二度五十一分二十五秒有余即土星每年所行之度数也葢木星周天比土星年数少而行度却多土星周天比木星年数多而行度却少多得少而少反得多故转而比之以二十八年与十二年之比即同于三十度与十二度有余之比也

　　设如一人借人之绢宽三尺长二十四丈今还绢宽四尺问长该若干

　　法以今绢宽四尺为一率原绢长二十四丈为二率原绢宽三尺为三率二三率相乘一率除之得四率十八丈即为今所还宽四尺绢之长也葢原绢宽三尺长二十四丈相乘得七百二十尺今绢宽四尺长十八丈相乘亦得七百二十尺因其积数相同故今绢宽四尺与原绢宽三尺之比即同于原绢长二十四丈与今绢长十八丈之比也

　　设如验时仪坠子其绳长四尺四寸八分一厘二豪八丝四刻内来往共三千次今造一坠欲使来一秒往一秒问绳长若干

　　法以四刻化三千六百秒为今坠子往来次数自乘得一千二百九十六万次为一率原坠绳长四尺四寸八分一厘二豪八丝为二率以原坠往来三千次自乘得九百万次为三率二三率相乘一率除之得四率三尺一寸一分二厘即今所求坠绳之长也夫以四刻化秒者葢以所求之坠子欲其来一秒往一秒也故秒数即次数四刻所化之秒即今坠子在四刻内往来之次数也其比例以次数自乘者因坠子往来之际已成平面形故以往来之方数相比为面比面而原坠与今坠之长数相比为线比线务使其类相当而后可以相比也是以今坠往来次数自乘与原坠往来次数自乘之比即同于原坠长数与今坠长数之比也然原坠于四刻内往来之次数少而坠却长今坠于四刻内往来之次数多而坠却短故以今坠之往来次数与原坠之往来次数为比即同于原坠之长与今坠之长为比所以为转比例也

　　设如有正方池一面每边十二丈今欲作宽八丈之池使其池面积数与方池等问长得几何

　　法以今池宽八丈为一率原池长十二丈为二率原池宽十二丈为三率推得四率十八丈即今欲作池之长也此转比例中相连比例法也葢原池方面每边十二丈其积一百四十四丈即二率三率相乘之数今所得四率长十八丈与一率宽八丈相乘亦得一百四十四丈两数相等故以一率今池宽八丈与三率原池宽十二丈之比即同于二率原池长十二丈与四率今池长十八丈之比也

　　设如原用金九两系九成今用八成金折还当加几两

　　法以今金八成为一率原金九两为二率原金九成为三率推得四率十两零一钱二分五厘内减九两余一两一钱二分五厘即八成金当加之数也此法二率三率为体虽不同而数则一故亦为相连比例葢以原金九两又系九成相乘得十成金八两一钱以今之八成与所得十两零一钱二分五厘相乘亦得十成金八两一钱是八成与九成之比即同于九两与十两零一钱二分五厘之比也

　　合率比例

　　设如以夏布换棉布但知每夏布三丈价银二钱每棉布七丈价银七钱五分今有夏布四十五丈问换棉布若干

　　法以夏布三丈与棉布价银七钱五分相乘得二两二钱五分为一率夏布价银二钱与棉布七丈相乘得一两四钱为二率夏布四十五丈为三率推得四率二十八丈即夏布四十五丈所换之棉布数也此法乃两比例合为一比例也如分作两比例明之每夏布三丈价银二钱今夏布四十五丈则价银应得三两此一比例也棉布价银七钱五分得棉布七丈今夏布四十五丈之价三两则应得棉布二十八丈此又一比例也夫银三两原为夏布四十五丈之价则夏布四十五丈所换之棉布二十八丈价银亦应三两可知矣葢两比例中一以三丈作一率一以七钱五分作一率故三丈与七钱五分相乘得二两二钱五分而为一率是合两一率而为一一率也一以二钱作二率一以七丈作二率故二钱与七丈相乘得一两四钱而为二率是合两二率而为一二率也而后比例之三率即前比例之四率如以两三率相乘为三率则所得四率亦为两四率相乘之数必须以前比例之四率除之方得后比例之四率故即以夏布之四十五丈为三率而得棉布之二十八丈为四率也

　　设如以芝麻换黄米但知每芝麻三石换菉豆五石每菉豆四石换黄米三石今有芝麻五十四石问换黄米若干

　　法以芝麻三石与菉豆四石相乘得十二石为一率又以菉豆五石与黄米三石相乘得十五石为二率芝麻五十四石为三率推得四率六十七石五斗即芝麻五十四石所换之黄米数也此法亦两比例合为一比例也如分作两比例明之每芝麻三石换菉豆五石则芝麻五十四石必换菉豆九十石此一比例也菉豆四石换黄米三石则菉豆九十石必换黄米六十七石五斗此又一比例也夫菉豆九十石原为芝麻五十四石所换则菉豆九十石所换之黄米即芝麻五十四石所换之黄米可知矣葢以两比例之各一率相乘为一率两比例之各二率相乘为二率者即合两次乘除为一次乘除也

　　设如养兵七百名每年额饷一万二千六百两内有新着伍兵三百名已应役七个月问该饷银若干法以原养兵七百名与十二个月相乘得八千四百为一率额饷一万二千六百两为二率新兵三百名与七个月相乘得二千一百为三率推得四率三千一百五十两即兵三百名七个月应得之饷银数也此法亦两比例合为一比例也如分作两比例明之兵七百名得一万二千六百两则兵三百名应得五千四百两【乃兵三百名十二个月应得之数】此一比例也兵三百名十二个月应得五千四百两则七个月应得三千一百五十两此又一比例也今以两比例之各一率相乘为一率两比例之各三率相乘为三率者亦如两比例之各一率二率相乘合为一一率二率也

　　设如原有鹅八只换鸡二十只又鸡三十只换鸭九十只又鸭六十只换羊二只今有羊五只问换鹅几何

　　法以所换羊二只与所换鸭九十只相乘得一百八十只再以所换鸡二十只乘之得三千六百只为一率又以原鸭六十只与原鸡三十只相乘得一千八百只又以原鹅八只乘之得一万四千四百只为二率今羊五只为三率推得四率二十只即羊五只所换之鹅数也此法乃三比例合为一比例也如分作三比例明之羊二只换鸭六十只则羊五只必换鸭一百五十只此一比例也鸭九十只换鸡三十只则鸭一百五十只必换鸡五十只此二比例也鸡二十只换鹅八只则鸡五十只必换鹅二十只此三比例也夫鸡五十只原为鸭一百五十只之所换而鸭一百五十只又原为羊五只之所换则鸡五十只所换之鹅二十只即为羊五只之所换可知矣今以三比例之各一率连乘之为一率又以三比例之各二率连乘之为二率者正合三比例为一比例也

　　设如原有菽三斗换黍二斗又黍四斗换稷三斗又稷五斗换稻四斗又稻六斗换麦五斗今有麦七斗问换菽几何

　　法以所换麦五斗与所换稻四斗相乘得二石复以所换稷三斗乘之得六石再以所换黍二斗乘之得一十二石为一率又以原有稻六斗与原有稷五斗相乘得三石复以原有黍四斗乘之得一十二石再以原有菽三斗乘之得三十六石为二率今有麦七斗为三率推得四率二石一斗即麦七斗所换之菽数也此合四比例为一比例也如分作四比例明之麦五斗换稻六斗则麦七斗必换稻八斗四升此一比例也稻四斗换稷五斗则稻八斗四升必换稷一石零五升此二比例也稷三斗换黍四斗则稷一石零五升必换黍一石四斗此三比例也黍二斗换菽三斗则黍一石四斗必换菽二石一斗此四比例也夫黍一石四斗原为稷一石零五升之所换而稷一石零五升又为稻八斗四升之所换而稻八斗四升又为麦七斗之所换则黍一石四斗所换之菽二石一斗即为麦七斗之所换可知矣今以四比例之各一率连乘之为一率又以四比例之各二率连乘之为二率者正合四比例为一比例也

　　设如原有工人一百开河四十丈二十日工完今有工人一千开河八十丈问得日数几何

　　法以今有工人一千与原开河四十丈相乘得四万丈为一率二十日为二率以原有工人一百与今开河八十丈相乘得八千丈为三率推得四率四日即一千人开河八十丈之日数也此法以原有今有两数互乘以比例者所以齐其分也试将两首位一千工与一百工互乘得十万工然后互乘丈数原有一边得四万丈今有一边得八千丈是原一百工开四十丈则十万工开四万丈其比例相同今一千工开八十丈则十万工开八千丈其比例亦同也因两工数相同故以四万丈与二十日之比即同于八千丈与四日之比葢原有十万工开河四万丈二十日可完今亦有十万工开河八千丈则四日可完为比例四率也然此法实系两比例合为一比例也如分作两比例明之则先以人工为比例原一百工开二十日今一千工即应开二日为今一千工开河四十丈之日数此一转比例也次用丈数为比例原四十丈应开二日今八十丈则应开四日为今一千工开河八十丈之日数此一正比例也法以两比例之一率相乘为一率两比例之三率相乘为三率者正合两比例为一比例也

　　设如原有书一百篇六人写之十日完每篇三百字今有书二百篇八人写之十二日完问每篇得字若干

　　法以今有二百篇与原有六人相乘得一千二百又以原有十日乘之得一万二千为一率每篇三百字为二率以原有一百篇与今有八人相乘得八百又以今有十二日乘之得九千六百为三率推得四率二百四十字即今八人写十二日每篇之字数也试将两首位一百篇与二百篇互乘得二万篇然后互乘人工与日原有一边得一万二千工今有一边得九千六百工葢原有二万篇用一万二千工每篇三百字今亦有二万篇用九千六百工其每篇必二百四十字为比例四率也然此法实系三比例合为一比例也如分作三比例明之则先以篇数为比例原一百篇每篇三百字今匀为二百篇则每篇只应一百五十字此一转比例也然人数不同故次以人数为比例原六人写之每篇应一百五十字今八人写之则每篇应二百字此一正比例也然日数又不同故次以日数为比例原写十日每篇应二百字今写十二日则每篇应二百四十字此又一正比例也法以三比例之各一率连乘之为一率三比例之各三率连乘之为三率者正合三比例为一比例也

　　设如原雇人写书每篇六百字八人写二十日得一百二十篇今写书每篇四百五十字却用十二人写三十日问得篇数几何

　　法以今有四百五十字与原有八人相乘得三千六百又以原有二十日乘之得七万二千为一率一百二十篇为二率以原有六百字与今有十二人相乘得七千二百又以今有三十日乘之得二十一万六千为三率推得四率三百六十篇即今十二人写三十日之篇数也试将两首位六百字与四百五十字互乘得二十七万字然后互乘人工与日原有一边得七万二千工今有一边得二十一万六千工葢原有一边二十七万字用七万二千工得一百二十篇今一边亦二十七万字用二十一万六千工则得三百六十篇为比例四率也然此法亦系三比例合为一比例也如分作三比例明之则先以字数为比例原每篇六百字为一百二十篇今每篇四百五十字则必匀为一百六十篇此一转比例也然人数不同故次以人数为比例原八人写之应得一百六十篇今十二人写之则应得二百四十篇此一正比例也然日数又不同故次以日数为比例原写二十日应得二百四十篇今写三十日则应得三百六十篇此又一正比例也法以三比例之各一率连乘之为一率三比例之各三率连乘之为三率者正合三比例为一比例也

　　设如海船内原有甜水二万零一百六十斤每人每日用二斤足用四个月今又添四千零三十二斤合前数共二万四千一百九十二斤欲用六个月问每日每人应用几何

　　法以原有二万零一百六十斤与今六个月相乘得一十二万零九百六十个月为一率每人每日用水二斤通为三十二两为二率以今有二万四千一百九十二斤与原四个月相乘得九万六千七百六十八个月为三率推得四率二十五两六钱即今每人每日应用之数也试将两首位数互乘得四亿八千七百七十一万零七百斤然后互乘月数原有一边得九万六千七百六十八个月今有一边得一十二万零九百六十个月葢原有水四亿八千七百七十一万零七百斤足用九万六千七百六十八个月每人得三十二两今有水亦四亿八千七百七十一万零七百斤欲用十三万零九百六十个月则每人得二十五两六钱为转比例四率也然此法亦系两比例合为一比例也如分作两比例明之则先以水数为比例原有水二万零一百六十斤每人每日用三十二两今水二万四千一百九十二斤则每人每日应用三十八两四钱此一正比例也然月数不同故次以月数为比例原用四个月每日应用三十八两四钱今欲用六个月则每日应用二十五两六钱此一转比例也法以两一率相乘为一率两三率相乘为三率者正合两比例为一比例也

　　设如原有米八万石用车二十四辆日行四十里二十日运完今有米十万石用车三十辆日行六十里问运完日数几何

　　法以原有八万石与今用车三十辆相乘得二百四十万辆又以今行六十里乘之得一亿四千四百万里为一率二十日为二率以今有十万石与原用车二十四辆相乘亦得二百四十万辆又以原行四十里乘之得九千六百万里为三率推得四率十三日又三分日之一即今米十万石运完之日数也试将两首位数互乘得八十亿石然后互乘车数里数原有一边得九千六百万里今有一边得一亿四千四百万里葢原有米八十亿石用车二百四十万辆行九千六百万里得二十日运完今有米亦八十亿石亦用车二百四十万辆行一亿四千四百万里故十三日又三分日之一运完为转比例四率也然此法亦系三比例合为一比例也如分作三比例明之则先以米数为比例原米八万石运二十日今米十万石则应运二十五日此一正比例也然车数不同故次以车数为比例原车二十四辆应运二十五日今车三十辆则应运二十日此一转比例也然日行里数又不同故次以里数为比例原行四十里应运二十日今行六十里则应运十三日又三分日之一此又一转比例也法以三比例之各一率连乘之为一率三比例之各三率连乘之为三率者正合三比例为一比例也

　　设如原有麦子一万二千石车十二辆每车载三石日行八十里四十日运完今有麦三万石车十六辆每车载四石日行六十里问运完日数几何法以原有麦子一万二千石与今车十六辆相乘得一十九万二千辆又以今每车载麦四石乘之得七十六万八千石又以今行六十里乘之得四千六百零八万里为一率四十日为二率以今有麦子三万石与原有车十二辆相乘得三十六万辆又以原每车载麦三石乘之得一百零八万石又以原行八十里乘之得八千六百四十万里为三率推得四率七十五日即今麦三万石运完之日数也试将两首位数互乘得三亿六千万石然后互乘车数石数里数原有一边得八千六百四十万里今有一边得四千六百零八万里葢原有麦三亿六千万石用车三十六万辆载一百零八万石行八千六百四十万里得四十日运完今有麦亦三亿六千万石用车一十九万二千辆载七十六万八千石行四千六百零八万里得七十五日运完为转比例四率也然此法系四比例合为一比例也如分作四比例明之则先以麦数为比例原麦一万二千石运四十日今麦三万石则应运一百日此一正比例也然车数不同故次以车数为比例原车十二辆应运一百日今车十六辆则应运七十五日此一转比例也然每车所载石数不同故次以石数为比例原每车载三石应运七十五日今每车载四石则应运五十六日二五【即四分日之一】此又一转比例也然日行里数又不同故次以里数为比例原日行八十里应运五十六日二五今日行六十里则应运七十五日此又一转比例也法以四比例之各一率连乘之为一率四比例之各三率连乘之为三率者正合四比例为一比例也

　　正比例带分

　　设如有银买米每米一石价银八钱四分今买米三分石之二问该银若干

　　法以米一石用分母三通为三分为一率银八钱四分为二率分子二分为三率二三率相乘一率除之得四率五钱六分即银数也葢米一石通为三分以三分与八钱四分之比即同于二分与五钱六分之比皆为三分之二之比例也

　　设如有人行路行过五分之二系八十里问总里数几何

　　法以分子二分为一率分母五分为二率行过八十里为三率二三率相乘一率除之得四率二百里即总里数也葢总里数之五分之二为八十里以二分与五分之比即同于八十里与二百里之比皆为五分之二之比例也

　　设如有银买米每米三分石之二价银七分两之五今买米四分石之三问该银若干

　　法以三分石之二为一率七分两之五为二率四分石之三为三率用通分乘法以二率分母七与三率分母四相乘得二十八为乘出之分母又以二率分子五与三率分子三相乘得一十五为乘出之分子是为二十八分之十五为二率三率相乘之数以一率三分石之二除之因分母除不尽乃用通分互乘代除之法除之以乘出之分母二十八与一率之分子二相乘得五十六为除出之分母又以一率之分母三与乘出之分子十五相乘得四十五为除出之分子即得四率五十六分两之四十五为所求之数也如求真数则变零分为两以分母五十六为一率一两为二率分子四十五为三率推得四率八钱余二不尽命为五十六分钱之二约为二十八分钱之一即所求之真数也

　　设如有银买蜡每银二两六钱买蜡十斤零五分斤之二又七两零二分两之一今有银九钱问买蜡几何

　　法以银二两六钱为一率以蜡十斤通为一百六十两又五分斤之二通为六两四钱又七两零二分两之一通为七两五钱共得一百七十三两九钱为二率今有银九钱为三率推得四率六十两零一钱九分收为三斤零十二两一钱九分即所求之蜡数也此法虽有零分而分两实可相通故各相通以为比例四率也

　　设如有银买羽绒每三分丈之一价银四分两之三今欲买八分丈之七问该银若干

　　法以原羽绒三分丈之一为一率原银四分两之三为二率今羽绒八分丈之七为三率用通分乘法以二率分母四与三率分母八相乘得三十二为乘出之分母又以二率分子三与三率分子七相乘得二十一为乘出之分子是为三十二分之二十一为二率三率相乘之数乃以一率三分丈之一除之因分母除不尽乃用通分互乘代除之法除之以乘出之分母三十二与一率之分子一相乘仍得三十二为除出之分母又以一率之分母三与乘出之分子二十一相乘得六十三为除出之分子即得四率三十二分两之六十三为所求之数也满分母三十二分收为一两余三十一【六十三分内减去三十二分仍余三十一】为一两又三十二分两之三十一如求真数则以分母三十二为一率一两为二率分子三十一为三率推得四率九钱六分八厘七豪五丝与整数一两相加得一两九钱六分八厘七豪五丝即真数也

　　设如有银买缎每缎二疋共价八两又五分两之四今欲买三十六疋问共价若干

　　法以二疋为一率共价八两用分母五通为四十分加分子四得四十四分为二率今买三十六疋为三率推得四率七百九十二分以每分母五分收为一两得一百五十八两又五分两之二【以五分为一率一两为二率七百九十二分为三率推得四率一百五十八两余二分即命为五分两之二】即所求之数也如以五分两之二收为四钱【五分为一两则二分为四钱】则得一百五十八两四钱即缎三十六疋之共价也如以子母分变为真数求之二疋共价八两又五分两之四则五分为一两四分为八钱是二疋共价为八两八钱即以二疋为一率八两八钱为二率三十六疋为三率亦得四率一百五十八两四钱为缎三十六疋之共价也

　　转比例带分

　　设如一案长九尺宽一尺六寸今欲将原长减三分之一其面积仍与原案等问宽几何

　　法以原长九尺用分母三归之得每分三尺于原长九尺内减去一分之三尺余六尺为今长为一率原宽一尺六寸为二率原长九尺为三率二三率相乘一率除之得四率二尺四寸即今所求之宽也此法因分母三可以度尽原长故变今长为真数与他率为比例也

　　设如营造原每日用五十六人为一月又九分月之三可以完工今每日用六十四人问完工之日得几何

　　法以今用六十四人为一率以分母九通一月为九分加入分子三共为九分月之十二为二率原用五十六人为三率推得四率九分月之十【月余一分半】分半满分母九分收为一【十分半内减去九分余一分半】约为六分月之一即得一月又六分月之一为今用六十四人完工之日也葢六十四人与一月又九分月之三之比即同于五十六人与一月又六分月之一之比也

　　设如原有一门帘用绫一丈二尺其绫宽一尺五寸今欲作一新帘其绫比原绫宽七分尺之三问应用长数几何

　　法以原宽一尺五寸用分母七通为十分半加入分子三得今宽一十三分半为一率原长一丈二尺为二率原宽十分半为三率推得四率九尺又一百三十五分尺之四十五约为三分尺之一即得九尺又三分尺之一为今应用之长数也葢今宽十三分半与原宽十分半之比即同于原长一丈二尺与今长九尺又三分尺之一之比也

　　设如城守兵一营其粮可支一年又七分年之二今汰去三分之一问应支年数几何

　　法先以年分母七通一年为七分加入分子二得七分年之九又以兵分子一减分母三得二为三分之二为现存兵数【汰去三分之一则存者为三分之二】因两分母不同故用互乘以齐之以两分母三七相乘得二十一为共母分即原兵分以年分母七互乘兵分子二得十四为今存兵分以兵分母三互乘年分子九得二十七为原年分即以所通今存兵十四分为一率原年数二十七分为二率原兵二十一分为三率推得四率二十一分年之四十分半满分母二十一分收为一年余十九分半【四十分半内减二十一分余十九分半】约为七分年之六分半即得一年又七分年之六分半为今应支之年数也葢今存兵比原兵少三分之一则支粮年数必多三分之一故今存兵十四分与原兵二十一分之比即同于原年数二十七分与今年数四十分半之比也

　　御制数理精蕴下编卷三

　　钦定四库全书

　　御制数理精蕴下编卷四

　　线部二

　　按分递折比例【二八差分　三七差分　　四六差分递折差分　加倍减半差分】

　　按分递折比例

　　差分之欵项虽多而按分递折者皆为相连比例故约之而归一类如二八三七四六差分俱以十分为总率而按各分以分之者也如递折差分亦以十分为率而按十分之几以递折之者也如加倍减半差分则以倍半为率按一定之分而加减之者也今细分其目如左

　　二八差分者以总物平分十分一得十分之二一得十分之八有三色者则以二与八与三十二为衰数葢八与三十二之比即如二与八之比也有四色者则以二与八与三十二与一百二十八为衰数葢三十二与一百二十八之比亦如二与八之比也至于五色以上者皆以相连比例求各衰数总不越乎二八之比例故曰二八差分

　　三七差分者以总物平分十分一得十分之三一得十分之七有三色者则以九与二十一及四十九为【与二以九为第一衰数者因三与七非彼此度尽之数七作三分必至竒零不尽故以三因三得九为三分则以三因七得二十一为七分如二十一转为三分则四十九又为七分矣】衰数葢九十一即如三与七之比而二十一与四十九亦如三与七之比也有四色者则以二十七与六十三及一百四十七与三百四十三为衰数【以三因九得二十七为三分故以七因九得六十三为七分若六十三转为三分则一百四十七为七分一百四十七转为三分则三百四十三又为七分矣】葢二十七与六十三六十三与一百四十七一百四十七与三百四十三皆如三与七之比也五色以上者皆以相连比例求各衰数总不越乎三七之比例故曰三七差分

　　四六差分者以总物平分十分一得十分之四一得十分之六有三色者则以四与六与九为衰数葢六与九之比即如四与六之比也有四色者则以四与六与九与一三五为衰数葢九与一三五之比亦如四与六之比也五色以上者亦以相连比例求各衰数总不越乎四六之比例故曰四六差分

　　递折差分者十分之中得其几分即为几折如得其六分即为六折得其四分即为四折若夫五折则为十分之半故载于倍半法中而别为一类

　　加倍差分其数自少而多皆以倍而加减半差分则数自多而少皆以半而减因加减有定分故立衰有定例总以加倍减半之数为相连比例设为借数以求正数也

　　二八差分

　　设如有银三千两令二等人户二八纳之问各该若干

　　法以二分八分相并得十分为一率银三千两为二率二分为三率推得四率六百两为下等人户所纳之数仍以二分八分相并之十分为一率银三千两为二率以八分为三率推得四率二千四百两即为上等人户所纳之数也此法两用四率者正为明比例之理葢二分八分相并之十分与总银三千之比即如二分之与六百之比八分之与二千四百之比也

　　又捷法以二八所并之十分归除总银三千两得每分三百两以二分乘之得六百以八分乘之得二千四百葢每一分得三百而二分得六百八分得二千四百也又或先得二分所纳之数于总银内减之即八分所纳之数此又正法外之变法也

　　设如有人一千六百名二分赏银八分赏米问赏银人若干赏米人若干

　　法以二分八分相并得十分为一率人一千六百名为二率二分为三率推得四率三百二十名为应赏银之人如以八分为三率推得四率一千二百八十名即应赏米之人也葢二分八分相并之十分与总人一千六百之比即如二分之与三百二十名之比八分之与一千二百八十名之比也

　　又捷法以二八所并之十分归除总人数一千六百名得每分一百六十名以二分乘之得赏银人三百二十名以八分乘之得赏米人一千二百八十名葢每一分得一百六十名而二分得三百二十名八分得一千二百八十名也

　　设如有米五百八十八石令甲乙丙三人二八分之问每人应得几何

　　法以二分为甲衰八分为乙衰三十二分为丙衰相并得四十二分为一率总米五百八十八石为二率以甲二分为三率推得四率二十八石即甲分米数以乙八分为三率得四率一百一十二石即乙分米数以丙三十二分为三率得四率四百四十八石即丙分米数也此法用二与八八与三十二者即二八相连比例分葢总分数四十二分与总米五百八十八石之比即二分与二十八石之比八分与一百一十二石之比即三十二分与四百四十八石之比也又捷法以总数四十二分归除总米五百八十八石得每分一十四石以二分乘之得甲米二十八石以八分乘之得乙米一百一十二石以三十二分乘之得丙米四百四十八石也

　　设如有铜五百二十斤錬成精铜每十分中去渣二分余精铜八分问精铜与渣各得若干

　　法以十分为一率铜五百二十斤为二率八分为三率推得四率四百一十六斤为精铜之数如以二分为三率推得四率一百零四斤即铜渣之数也葢十分与五百二十斤之比即如八分之与四百一十六斤之比二分之与一百零四斤之比也

　　又捷法以十分归除总铜五百二十斤得每分五十二斤以八分乘之得四百一十六斤以二分乘之得一百零四斤葢每一分五十二斤而二分得一百零四斤八分得四百一十六斤也又或先得精铜八分数减总铜余即铜渣二分数也

　　设如有田二千六百三十五亩以麦谷豆麻四色递次二八分种问各田应得几何

　　法以二分为麻衰八分为豆衰三十二分为谷衰一百二十八分为麦衰并之得一百七十分为一率总田二千六百三十五亩为二率以麦一百二十八分为三率得四率一千九百八十四亩即麦田数如以谷三十二分为三率得四率四百九十六亩即谷田数如以豆八分或麻二分为三率所得四率即豆一百二十四亩与麻三十一亩之田数也又捷法以总数一百七十分除总田数二千六百三十五亩得每分一十五亩五分乃以每色分数乘之即得每色应种数也

　　设如有银三千四百一十两令五商递次二八分出问各出几何

　　法以一商为二分一商为八分一商为三十二分一商为一百二十八分一商为五百一十二分并之得六百八十二分为一率总银三千四百一十两为二率以五百一十二分为三率得四率二千五百六十两即五百一十二分应出之数如以一百二十八分为三率得四率六百四十两即一百二十八分应出之数如以三十二分为三率得四率一百六十两即三十二分应出之数如以八分或二分为三率所得四率四十两即八分应出之数一十两即二分应出之数也

　　又捷法以总数六百八十二分除总银三千四百一十两得每分五两再以每人分数乘之即得每人应出银数也

　　设如有粮二千六百五十五石九斗令甲乙丙丁戊五等人户照二八递减纳之甲三十户乙四十户丙五十户丁六十户戊七十户问各户所纳几何各等户共纳几何

　　法以五百一十二为甲一户分数再以甲三十户乘之得一万五千三百六十为甲三十户共分数以一百二十八为乙一户分数再以乙四十户乘之得五千一百二十为乙四十户共分数又以三十二为丙一户分数再以丙五十户乘之得一千六百为丙五十户共分数又以八为丁一户分数再以丁六十户乘之得四百八十为丁六十户共分数又以二为戊一户分数再以戊七十户乘之得一百四十为戊七十户共分数以所得五等共分数并之得二万二千七百为总分数为一率总粮二千六百五十五石九斗为二率以甲五百一十二分为三率得甲一户纳五十九石九斗零四合又以甲三十户乘之得甲共纳一千七百九十七石一斗二升以乙一百二十八分为三率得乙一户纳十四石九斗七升六合又以乙四十户乘之得乙共纳五百九十九石零四升以丙三十二分为三率得丙一户纳三石七斗四升四合又以丙五十户乘之得丙共纳一百八十七石二斗以丁八分为三率得丁一户纳九斗三升六合又以丁六十户乘之得丁共纳五十六石一斗六升以戊二分为三率得戊一户纳二斗三升四合又以戊七十户乘之得戊共纳十六石三斗八升也

　　又捷法以总分数除总粮数得每一分一斗一升七合以各等一户分数乘之得各等一户纳粮之数以各等共户分数乘之得各等共户纳粮之数葢前法有各等户而各等之中又有众户故以定分数【二八三十二一百二十八五百一十二之数】为各等分数又以众户乘之为各等共户之分数此捷法以总分数除总粮是得各等每一户中之一分故以每一户分数乘之得每一户之数以每一等共分数乘之得每一等之全数也

　　三七差分

　　设如有银五千两令东西二县三七支销问各该几何

　　法以七分为东县衰数三分为西县衰数并之得十分为一率总银五千两为二率以七分为三率得四率三千五百两即东县应支之数如以三分为三率得四率一千五百两即西县应支之数也葢三七比例亦以总衰数与总银数之比即若每县衰数与每县银数之比故十分与五千之比即若三分与一千五百之比七分与三千五百之比也又捷法先以总衰十分除总银五千两得每分五百两以七分乘之即东县之数以三分乘之即西县之数或得东县数于总银内减之余即西县数也此法以总衰除总银得每分五百两以七乘之即得七分以三乘之即得三分也前法先乘而后除后法先除而后乘其理一也

　　设如有田二千五百亩令上等户七分种之下等户三分种之问各该几何

　　法以七分三分相并得十分为一率二千五百亩为二率上户七分为三率得四率一千七百五十亩即上户应种田数如以三分为三率得四率七百五十亩即下户应种田数葢十分与二千五百亩之比即七分与一千七百五十亩之比三分与七百五十亩之比也又捷法以三七相并之十分归除总田二千五百亩得每分二百五十亩以三分乘之得下户七百五十亩以七分乘之得上户一千七百五十亩葢一分为二百五十亩而三分得七百五十亩七分得一千七百五十亩也

　　设如以车运物行十里二十刻到今已行七里问尚得几刻到

　　法以十里为一率二十刻为二率以七里与十里相减余三里为三率推得四率六刻即运到刻数也如以七里为三率推得四率十四刻与总二十刻相减余六刻亦即运到刻数也葢十里与二十刻之比即三里与六刻之比七里与十四刻之比也

　　又捷法以十里归除二十刻得每里二刻以三里乘之得六刻以七里乘之得十四刻葢每一里为二刻则三里得六刻七里得十四刻也

　　设如种树一千一百六十株按松柏桃栁四色递次三七分种问各该几何

　　法以三百四十三分为松衰一百四十七分为柏衰六十三分为桃衰二十七分为栁衰并之得五百八十分为一率一千一百六十株为二率以三百四十三分为三率得四率六百八十六株即种松之数以一百四十七分为三率得四率二百九十四株即种柏之数以六十三分为三率得四率一百二十六株即种桃之数以二十七分为三率得四率五十四株即种栁之数也

　　又捷法以总衰数五百八十归除总树一千一百六十得每分二株以三百四十三分乘之得种松之数以一百四十七分乘之得种柏之数以六十三分乘之得种桃之数以二十七分乘之得种栁之数也此法有四位故以三因九得二十七为栁衰数又递用七因三归为桃柏松之衰数也

　　设如有熟丝四百九十七两七钱按绢绫缎递次三七分织问各该丝几何

　　法以九分为绢衰二十一分为绫衰四十九分为缎衰并之得七十九分为一率丝四百九十七两七钱为二率以缎四十九分为三率得四率三百零八两七钱即缎丝数如以绫二十一分为三率得四率一百三十二两三钱即绫丝数如以绢九分为三率得四率五十六两七钱即绢丝数也

　　又捷法以总衰数七十九分除总丝四百九十七两七钱得每分六两三钱以缎四十九分乘之得缎丝之数以绫二十一分乘之得绫丝之数以绢九分乘之得绢丝之数也此法有三位故以三因三得九为绢之衰数又递用七因三归为绫与缎之衰数葢九与二十一二十一与四十九为相连比例三率而九与二十一之比即二十一与四十九之比也

　　设如编银八百二十八两二钱令甲乙丙丁戊五等户三七徴纳问各户所纳几何

　　法以八十一分为甲衰一百八十九分为乙衰四百四十一分为丙衰一千零二十九分为丁衰二千四百零一分为戊衰并之得四千一百四十一分为一率总银八百二十八两二钱为二率以每人分数各为三率得四率之一十六两二钱即甲所纳银数得四率之三十七两八钱即乙所纳银数得四率之八十八两二钱即丙所纳银数得四率之二百零五两八钱即丁所纳银数得四率之四百八十两二钱即戊所纳银数也

　　又捷法以总衰数四千一百四十一分归除总银八百二十八两二钱得每分二钱以甲乙丙丁戊各人分数乘之即得各人所纳银数也此法有五位故以三因二十七得八十一分为甲之衰数又递用七因三归即得乙丙丁戊各衰数矣

　　设如有田一百三十八亩每亩徴米二斗今七分徴米三分折丝每米一石折丝一斤问各该几何法以七分为米衰三分为丝衰并之得十分为一率又以徴米二斗乘田一百三十八亩得总米二十七石六斗为二率以米七分为三率得四率一十九石三斗二升即徴米七分之数与总米相减余八石二斗八升为三分折丝之数按米每石折丝一斤则以八石二斗八升用十六两乘之得一百三十二两四钱八分为八斤四两四钱八分即折丝三分之数也此法以徴米二斗乘总田是得总徴米数而三七分之也总米分去七分即本色米数余者折为丝即三分丝数也折丝之法每石既为一斤则八石二斗四升自得八斤四两四钱八分也

　　又捷法以总衰十分归除总米二十七石六斗得每分二石七斗六升以米七分乘之得米数以丝三分乘之得折丝之米数既得折丝之米数而丝之斤两亦得矣

　　四六差分

　　设如有金四千两令上下二等金户六四倾销问各该几何

　　法以六分为上等衰数四分为下等衰数并之得十分为一率共金四千两为二率以六分为三率得四率二千四百两即上等金户倾销之数如以四分为三率得四率一千六百两即下等金户倾销之数此法以四分六分相并之十分与共金四千两之比即如六分与二千四百两之比四分与一千六百两之比也

　　又捷法以总衰十分归除共金四千两得每分四百两以六分乘之得二千四百两为上等金户倾销之数以四分乘之得一千六百两为下等金户倾销之数如先得上等六分金数于共金数内减之其余即下等四分金数也

　　设如有水田三百亩令上下二户四六分灌问各灌若干

　　法以四分六分相并得十分为一率三百亩为二率六分为三率推得四率一百八十亩即上户所灌之田以四分为三率推得四率一百二十亩即下户所灌之田也葢四六相并之十分与三百亩之比即六分与一百八十亩之比四分与一百二十亩之比也

　　又捷法以相并之十分归除总田三百亩得每分三十亩以六分乘之即上户田数以四分乘之即下户田数葢每一分得三十亩而六分得一百八十亩四分得一百二十亩也如或先得六分田数减总田余即四分田数也

　　设如有丝二百五十斤换米每丝一斤换米一石今已换过六分尚余丝四分问已换未换各若干法以四分六分相并得十分为一率将二百五十斤丝变作二百五十石米为二率【每丝一斤换米一石故也】以六分为三率推得四率一百五十石为已换之米数以四分为三率推得四率一百石为未换之米数葢四六相并之十分与二百五十石之比即六分与一百五十石之比四分与一百石之比也

　　又捷法以相并之十分归除总米二百五十石得每分二十五石以六分乘之得已换之一百五十石以四分乘之得未换之一百石葢每一分得二十五石而四分得一百石六分得一百五十石也

　　设如有丝一千五百五十八斤令甲乙丙三家四六分织问各该几何

　　法以四为甲衰数六为乙衰数九为丙衰数并之得十九为一率总丝一千五百五十八斤为二率以甲四分为三率即得甲丝三百二十八斤以乙六分为三率即得乙丝四百九十二斤以丙九分为三率即得丙丝七百三十八斤此法以总衰十九分与总丝一千五百五十八斤之比即甲四分与三百二十八斤之比乙六分与四百九十二斤之比丙九分与七百三十八斤之比也又捷法以总衰数十九分除总丝一千五百五十八斤得每分八十二斤以甲四分乘之得甲丝三百二十八斤以乙六分乘之得乙丝四百九十二斤以丙九分乘之得丙丝七百三十八斤也

　　设如有田九百七十五亩令甲乙丙丁四人四六分种问每人各得几何

　　法以四分为甲衰六分为乙衰九分为丙衰一十三分半为丁衰并之得三十二分半为一率总田九百七十五亩为二率以甲四分为三率即得甲田一百二十亩以乙六分为三率即得乙田一百八十亩以丙九分丁一十三分半各为三率即得二百七十亩为丙田得四百零五亩为丁田也葢三十二分半与九百七十五亩之比即甲四分与一百二十亩之比乙六分与一百八十亩之比亦即丙九分与二百七十亩之比丁十三分半与四百零五亩之比也又捷法以总衰数三十二分半归除总田九百七十五亩得每分三十亩以甲乙丙丁各衰数乘之即得每人田数也

　　设如有粮一千二百六十六石令甲乙丙丁戊五舟按六分四分递次运载问各该几何

　　法以四分为戊衰六分为丁衰九分为丙衰一十三分半为乙衰二十分二五为甲衰并之得五十二分七五为一率总粮一千二百六十六石为二率以甲二十分二五为三率得甲运四百八十六石以乙一十三分半为三率得乙运三百二十四石以丙九分为三率得丙运二百一十六石以丁六分为三率得丁运一百四十四石以戊四分为三率得戊运九十六石此法总衰数与总粮之比即各人分数与各人粮数之比也葢六与九九与一三五一三五与二○二五皆同为四六之比例也

　　又捷法以总衰五十二分七五归除总粮一千二百六十六石得每分二十四石以甲乙丙丁戊各舟衰数乘之即得各舟运粮之数也

　　设如有米三百八十五石五斗二升令上等人户六分下等人户四分交纳上等二十六户下等四十户问各等每户各该几何

　　法以六为上等衰数以上户二十六户乘之得一百五十六为上等二十六户共衰数以四为下等衰数以下户四十乘之得一百六十为下等四十户共衰数并之得三百一十六为一率总米三百八十五石五斗二升为二率以上等六分为三率得四率七石三斗二升为上等一户米数以上等共分数一百五十六为三率得一百九十石三斗二升为上等二十六户共米数如以下等四分为三率得四率四石八斗八升为下等一户米数以下等共分数一百六十为三率得一百九十五石二斗即下等四十户共米数也

　　又捷法以总衰三百一十六分归除总米三百八十五石五斗二升得每分一石二斗二升以六分乘之得上等一户米数以上等共分数乘之得上等共米数以四分乘之得下等一户米数以下等共分数乘之得下等共米数也

　　递折差分

　　设如有熟稻七百九十九亩六分八厘令三人以十分之六收割问每人得几何

　　法以一百为第一人分数六十为第二人分数三十六为第三人分数三分数相并得一百九十六分为一率总稻七百九十九亩六分八厘为二率第一人分数一百为三率得四率四百零八亩即第一人收割田数如以第二人分数六十为三率得四率二百四十四亩八分即第二人收割田数如以第三人分数三十六为三率得四率一百四十六亩八分八厘即第三人收割田数葢十分之六如彼得十分此得六分也第二人得第一人十分之六第三人又得第二人十分之六故一百与六十之比即六十与三十六之比递次比例皆十分之六也其得数四百零八亩与二百四十四亩八分之比即二百四十四亩八分与一百四十六亩八分八厘之比亦皆为十分之六也

　　又捷法以总分一百九十六除总田七百九十九亩六分八厘得每一分四亩零八厘以一百分乘之得第一人四百零八亩以六十分乘之得第二人二百四十四亩八分以三十六分乘之得第三人一百四十六亩八分八厘也

　　设如有银一千二百六十六两五钱令四商以十分之七递次贩货出卖问每人该银几何

　　法以一千为第一人分数七百为第二人分数四百九十为第三人分数三百四十三为第四人分数相并得二千五百三十三分为一率总银一千二百六十六两五钱为二率以一千分为三率得四率五百两即第一人银数以七百分为三率得四率三百五十两即第二人银数以四百九十分为三率得四率二百四十五两即第三人银数以三百四十三分为三率得四率一百七十一两五钱即第四人银数葢十分之七递折而下第二人得第一人十分之七则第三人亦得第二人十分之七而第四人又得第三人之十分之七其先立衰数一千分七百分四百九十分三百四十三分皆十与七之比例也

　　又捷法以总分二千五百三十三除总银一千二百六十六两五钱得每一分五钱以一千分乘之得第一人五百两以七百分乘之得第二人三百五十两以四百九十分乘之得第三人二百四十五两以三百四十三分乘之得第四人一百七十一两五钱也

　　设如生铜入炉镕化三次每一次去渣十分之二净得上好熟铜二百四十八两问原铜几何

　　法即以十分之八为分数【十分之中去渣二分得净铜八分故以十分之八为比例】以八分为一率十分为二率熟铜二百四十八两为三率得四率三百一十两为第三次入炉铜数又以八分为一率十分为二率三百一十两为三率得四率三百八十七两五钱为第二次入炉铜数再以八分为一率十分为二率三百八十七两五钱为三率得四率四百八十四两三钱七分五厘即第一次入炉生铜数也此法因八折三次而转求原数故以八分为一率十分为二率转求三次而始得也又法以八分自乘再乘得五百一十二分为一率十分自乘再乘得一千分为二率熟铜二百四十八两为三率得四率四百八十四两三钱七分五厘即第一次入炉生铜数也前法以三次三率各求四率故必乘除三次此法则以一率二率俱各自乘再乘止以第三次熟铜数为三率即得第一次生铜数是合三次乘除而为一次乘除也

　　设如有丝三百六十九斤令甲乙丙丁四人照十分之八折分问各得几何

　　法以一千为甲分数八百为乙分数六百四十为丙分数五百一十二为丁分数相并得二千九百五十二分为一率总丝三百六十九斤为二率以每人分数各为三率所得各四率一百二十五斤为甲数一百斤为乙数八十斤为丙数六十四斤为丁数葢十分之八递折而下乙得甲十分之八丙得乙亦十分之八而丁得丙亦十分之八其先立衰数一千分八百分六百四十分五百一十二分皆十与八之比例也如捷法先除后乘须用通分不然则斤数有竒零矣

　　设如有绢四百七十丈一尺八寸四分令三等人户照十分之六出之上等户二十五中等户三十下等户四十八问每户该出几何

　　法以一百为上等分数用二十五乘之得二千五百为上等户共分数以六十为中等分数用三十乘之得一千八百为中等户共分数以三十六为下等分数用四十八乘之得一千七百二十八为下等户共分数并之共六千零二十八分为一率绢四百七十丈一尺八寸四分为二率以三等各分数各为三率所得各四率上等每户出七丈八尺中等每户出四丈六尺八寸下等每户出二丈八尺零八分又以各等户数乘各等每户绢数得上等二十五户共出绢一百九十五丈中等三十户共出绢一百四十丈零四尺下等四十八户共出绢一百三十四丈七尺八寸四分也又捷法以总分数六千零二十八分除总绢四百七十丈一尺八寸四分得每一分为七寸八分以各等分数乘之得各等每一户绢数再以各等户数乘之即得各等众户共出绢数也

　　设如有官粮一百六十八石四斗八升八合令四等人户以十分之七依次递折交纳一等二十二户二等三十六户三等四十二户四等四十八户问每等每户各纳几何

　　法以一千为一等分数用二十二户乘之得二万二千即一等户共分数以七百为二等分数用三十六户乘之得二万五千二百即二等户共分数以四百九十为三等分数用四十二户乘之得二万零五百八十为三等户共分数以三百四十三为四等分数用四十八户乘之得一万六千四百六十四为四等户共分数并之共八万四千二百四十四分为一率总粮一百六十八石四斗八升八合为二率以一千分为三率得四率一等每户二石以共户数乘之得共纳四十四石以七百分为三率得四率二等每户一石四斗以共户数乘之得共纳五十石零四斗以四百九十分为三率得四率三等每户九斗八升以共户数乘之得共纳四十一石一斗六升以三百四十三分为三率得四率四等每户六斗八升六合以共户数乘之得共纳三十二石九斗二升八合也又捷法以总分数八万四千二百四十四除总粮一百六十八石四斗八升八合得每一分为二合以各等分数乘之得各等每一户粮数再以各等户数乘之即得各等众户共纳粮数也

　　加倍减半差分

　　设如一人读书日加一倍三日共读三千四百六十五字问每日所读几何

　　法以一为第一日分数二为第二日分数四为第三日分数并之得七分为一率总字三千四百六十五为二率一分为三率得四率四百九十五字即第一日所读之数倍之得九百九十字即第二日所读之数又倍之得一千九百八十字即第三日所读之数也葢加倍者是第二日增于第一日一倍第三日又增于第二日一倍倍数多者由此递加如二与四四与八八与十六之类皆为加一倍之比例也

　　设如一人织绢日加一倍至第四日织成六丈七尺五寸问每日织几何

　　法以一为第一日分数二为第二日分数四为第三日分数八为第四日分数并之得十五分为一率总绢六丈七尺五寸为二率一分为三率得四率四尺五寸即第一日之数倍之得九尺为第二日之数又倍之得一丈八尺为第三日之数又倍之得三丈六尺为第四日之数四数相加共得六丈七尺五寸以合原数也

　　设如一人借银为商三次每次得利银比本银加一倍每次还人二百两三次之后本利还尽问原本银若干

　　法以一为本银分数二为第一次本利共分四为第二次本利共分八为第三次本利共分即以八分为一率原本银一分为二率又以一为第三次还银分二为第二次还银分四为第一次还银分并之得七分与每次还人二百两相乘得一千四百两为三率得四率一百七十五两即原本银数也葢每次得利银比本银加一倍则原本银为一分第一次必得二分第二次必得四分至第三次必得八分此以未还人计也然每次还人二百两三次之后本利还尽若第三次不还则得二百两者一分第二次不还则至第三次必得二百两者二分第一次不还则至第三次必得二百两者四分【以第一次之一分第二次加倍得二分第三次加倍得四分】是第三次应得二百两者七分而为一千四百两矣故以八分与一分之比同于一千四百两与一百七十五两之比也

　　又法以二百两用三次还银共分七乘之得一千四百两折半三次亦得本银之数葢折半三次即以八除也

　　设如一人卖酒每日比原数加一倍一日卖一斤六日卖尽问原酒若干

　　法以一为原酒分数按六日加倍六次得六十四分为一率原酒一分为二率又以一为第六次卖酒分二为第五次卖酒分四为第四次卖酒分八为第三次卖酒分十六为第二次卖酒分三十二为第一次卖酒分并之得六十三分与每斤十六两相乘得一千零八两为三率得四率十五两七钱五分即原酒数也

　　又法以每斤十六两用六次卖酒共分六十三乘之得一千零八两折半六次亦得原酒之数葢折半六次即以六十四除也

　　设如有田一千二百亩分与甲乙丙丁四人种之自上以下递减一半问各该若干

　　法以八为甲分四为乙分二为丙分一为丁分并之得十五分为一率田一千二百亩为二率以甲八分为三率得四率六百四十亩即甲田数以乙四分为三率得四率三百二十亩即乙田数以丙二分为三率得四率一百六十亩即丙田数以丁一分为三率得四率八十亩即丁田数如以甲田六百四十亩折半即乙田数以乙田三百二十亩折半即丙田数以丙田一百六十亩折半即丁田数也

　　设如有银一万八千零八十八两令甲乙丙三人减半分之问各该几何

　　法以四为甲分数二为乙分数一为丙分数并之得七分为一率总银一万八千零八十八两为二率以甲四分为三率得四率一万零三百三十六两即甲所得银数以乙二分为三率得四率五千一百六十八两即乙所得银数以丙一分为三率得四率二千五百八十四两即丙所得银数也葢减半者即自上而下折半减之也如四折半为二二折半为一是也今以甲银一万零三百三十六两折半即得乙银五千一百六十八两将乙银再折半即得丙银二千五百八十四两也

　　设如有银三千一百六十两分与三等人第一等人二十名第二等人二十四名第三等人三十名第二等比一等之银减一倍第三等比二等之银减一倍问各等每人分银几何

　　法以四为一等分数二为二等分数一为三等分数以一分乘三等三十名仍得三十分以二分乘二等二十四名得四十八分以四分乘一等二十名得八十分三数相并共得一百五十八分为一率总银三千一百六十两为二率四分为三率得四率八十两为第一等每人所得银数减半得四十两为二等每人所得银数又减半得二十两为三等每人所得银数以各等人数乘各等每人所得银数即各等共人所得共银数并之以合原银数也

　　御制数理精蕴下编卷四

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

　　钦定四库全书

　　御制数理精蕴下编卷五

　　线部三

　　按数加减比例【递加递减差　分超位加减差分互□□平　差分首尾互凖】

　　按数加减比例

　　差分之内又有按数递加递减或互和折半者皆为相当比例其法有四一曰递加递减差分盖所加所减之中递次数目皆同者也一曰超位加减差分乃加减之中彼此分数不同者也一曰互和折半差分盖立法以首尾二数之较互和折半以求中数而递加递减者也一曰首尾互准差分乃以前几分之数与后几分之数互相比较或以前几分与后几分定为同数以立准则然后立衰数以求之者也然超位加减即递加递减之一类也首尾互凖又为互和折半之变体也

　　递加者其数自少而多以渐而加也递减者其数自多而少以渐而减也加减之数递次皆同故以递次名之法中有三色者以总法比总实即得中一数凡单位者俱按此例如五色七色九色之类是也有四色者以总法比总实得中二数相和折半之数凡双位者皆按此例如六色八色十色之类是也既得中数按定数加减则各色之数可得矣

　　超位加减者加减之中递次分数不同即如三人分银若干一得三分一得五分一得八分而彼此分数之比例不同又如三人买物第一人比第二人多出二倍第二人比第三人又多出一倍而加倍之比例不同故谓之超位加减然立衰分求之与递次加减无异故次于递次加减之后

　　互和折半者亦如递次加减之理但用法防异递次加减知总物数知总人数并知递加递减之数以求各数互和折半则亦知总物数总人数但知首一人比末一人之较数而求递加递减之数以得各数是以三色者第一数第三数相和折半即第二数四色者第一数第四数相和折半即第二数第三数之中数既得中数按较数之分加减之即得递加之数五色六色以至多位者止分竒偶立法总以三四为例俱可以相和折半而得故名之曰互和折半也首尾互准者即互和折半之变体盖互和折半知总物数知总人数又知首一人比末一人之较数因此较数而得各人分数首尾互准则不知总物数但知总人数与首尾二人各分数或但知首尾几位共分数由此互相准折而得各项分数与总数要之但以互和折半之法逆推之而即得故次于互和折半之后焉

　　递加递减差分

　　设如有金六十两令甲乙丙三人依次递加五两分之问各得几何

　　法以三人为一率金六十两为二率一人为三率推得四率二十两即乙应得之数自乙数加五两得二十五两即丙应得之数自乙数减五两得十五两即甲应得之数也此法因甲丙二人所得较之乙所得加减之数皆同故以总三人与总六十两之比即若中一人与中一分二十两之比也

　　设如有铅三百五十斤欲作四球依次递加二十五斤问每球重数若干

　　法以四球为一率铅三百五十斤为二率一球为三率推得四率八十七斤半即第二球第三球相和折半之数乃以递加二十五斤折半得十二斤半与八十七斤半相加得一百斤即第三球之重与八十七斤半相减余七十五斤即第二球之重于第三球重数内再加二十五斤得一百二十五斤即第四球之重于第二球重数内再减二十五斤余五十斤即第一球之重也此法比例所得八十七斤半较之第二球多十二斤半较之第三球则少十二斤半故为二球相和折半之数以递加二十五斤之数折半加减之即得中二球之重再以二十五斤加减之即得第一与第四球之重也

　　设如有金七十五斤分与公侯伯子男五等自男以上递加五斤问各该几何

　　法以五人为一率金七十五斤为二率一人爲三率推得四率十五斤即伯所得之数自伯十五斤而上加五斤得二十斤即侯所得之数再加五斤得二十五斤即公所得之数自伯十五斤而下减五斤余十斤即子所得之数再减五斤余五斤即男所得之数也

　　设如有俸粮三百零五石令五等官依品级递减十三石给之问各得若干

　　法以五分为一率【即五等官五分也】粮三百零五石为二率一分为三率推得四率六十一石即三等官俸自六十一石递加十三石得二等七十四石一等八十七石自六十一石递减十三石得四等四十八石五等三十五石也

　　设如有银九百九十六锭分给八人自末名以上依次递加十七锭问首末两人各该几何

　　法以八人为一率银九百九十六锭为二率一人为三率推得四率一百二十四锭半为第四人第五人相和折半之数乃以递加十七锭折半得八锭半与一百二十四锭半相加得一百三十三锭即第四人应得之数再以十七锭递加三次得一百八十四锭即第一人应得之数以八锭半与一百二十四锭半相减余一百一十六锭即第五人应得之数再以十七锭递减三次余六十五锭即第八人应得之数也

　　设如一人有九子不明説出各人岁数但云共有二百零七岁自长至少皆递差三嵗问各岁几何法以九分为一率【即以九子为九分也】二百零七岁为二率一分为三率推得四率二十三岁即第五子之年自二十三嵗递加三岁得四子二十六嵗三子二十九歳二子三十二岁长子三十五岁自二十三岁递减三嵗得六子二十岁七子十七嵗八子十四岁九子十一岁也

　　设如有叙功之二十人其末一人赏银一百两以上递加三十两问第一人赏银几何共赏银几何法以一分为一率递加三十两为二率十九分为三率推得四率五百七十两即第一人比末一人共多之数于此数内加入末名之一百两共六百七十两即第一人应得之数以第一人所得之数与末一人所得之数并之共七百七十两复以二十人乘之得一万五千四百两折半得七千七百两即二十人共得之银数也此法盖以第一人比第二十人共多十九个三十两故以一分与递加之三十两相比即如十九分与第一人共多于第二十人之五百七十两相比也既得十九分共多之数再加入末一人之一百两即得第一人应得之数矣又首末二数相并以人数二十乘之折半得其银数者盖以递加之数彼此均同首一人得数至多末一人得数至少首末二人之数相并折半即为中数以中数乘人数而得共数今首末二人之数相并而末折半即用人数乗之故所得之数为应得共数之加倍数是以半之而始得共银数也

　　设如有牛四十区但云第一区是三十头余递加二十头问第四十区该几何总数几何

　　法以一分为一率递加二十头为二率三十九分为三率推得四率七百八十加入第一区之三十共八百一十头即第四十区之数以首末二区数相并共八百四十头用四十区乗之得三万三千六百头折半得一万六千八百头即四十区之总数也此法第二区比第一区加二十由此递加则第四十区比第一区共多三十九个二十故以一分与二十头相比即如三十九分与第四十区共多于第一区之七百八十头相比也再加入第一区之三十头即第四十区之数继而并首末两数以总区数四十乗之折半即得共数也

　　设如有人一百名第一人赏银一百两以下递减五钱问共该银几何

　　法以一分为一率递减五钱为二率九十九分为三率推得四率四十九两五钱即第一名多于第一百名之数于一百两内减之余五十两零五钱即第一百名应赏之数又与第一名赏银相并得一百五十两零五钱以一百名乗之得一万五千零五十两折半得七千五百二十五两即共赏银数也盖赏银递减五钱则第一名比第一百名多九十九个五钱故以一分与五钱相比即如九十九分与第一名总多于第一百名之数相比也爰以首尾两数相并以名数一百乗之折半而得总银数也

　　设如一人染绢初日染八尺日加一尺加至六十尺止问日与绢各几何

　　法以初日之八尺与末日之六十尺相加得六十八尺为首尾两日共染之绢数又看八尺以前递减至一尺有几分今有七分即为七尺乃于末日之六十尺减去七尺余五十三尺即为共日五十三日乃以二日为一率六十八尺为二率五十三日为三率推得四率一千八百零二尺即五十三日共染之绢数也此法以二日为一率者取其首末相合之共日为准也以初日末日之尺数相并为二率者取其首末尺数相合与首末两日为比也以八尺递减至一尺而得日数为三率者盖以初日之八尺

　　【十尺内减】上数至一尺得数必为七分【理与一面尖堆法同】即爲七尺而今有之末日六去七尺余五十三尺即为五十三日故二日与首末相合之尺数相比即如共日五十三日与共绢之尺数相比也

　　设如一人行路日増六里共行三百二十里但知初末两日所行共一百六十里问共行几日及初日末日各行几里

　　法以初末两日行数一百六十里折半得八十里乃共日之中数为一率一日为二率共行三百二十里为三率推得四率四日即共行日数也又以日増六里折半得三里与六里相并得九里加于中数八十里得八十九里即第四日所行之数减于中数八十里余七十一里即第一日所行之数也此法以第四日第一日行数相并折半者为得四日之中数既得四日之中数与一日之比即如共数与四日之比也又以日増之数折半而与日増之数相并加于中数而得末日所行之数减于中数而得初日所行之数者其所得之中数在第二日第三日之间故此中数内加日増数之半即得第三日所行之数减日増数之半即得第二日所行之数故再加日増数之全而得末日所行之数再减日増数之全而得初日所行之数也

　　设如一人织布厯十三日共织一千三百五十二寸因日渐长每日加功六寸至末日比初日多织七十二寸问初末二日各织几何

　　法以十三日为一率共织数一千三百五十二寸为二率一日为三率推得四率一百零四寸乃初末二日之中数为第七日所织之数以第七日上计初日下计末日俱得六分于是以六分与日加六寸相乗得三十六寸乃以三十六寸于第七日之一百零四寸内减之得六十八寸即初日所织之数于第七日之一百零四寸上加之得一百四十寸即末日所织之数也此法虽求初末两日之数然以十三日与总织数之比即一日与初末两日中数之比既得中数按分加之何所不得此又递次加减法中之又一例也

　　设如有田七百二十亩令甲乙丙三戸依次递减分耕问各该几何

　　法以三分为甲衰数二分为乙衰数一分为丙衰数相并得六分为一率总田七百二十亩为二率一分为三率推得四率一百二十亩为一分即丙所耕之数以二分因之得二百四十亩即乙所耕之数以三分因之得三百六十亩即甲所耕之数也此法并总衰分为一率总田数为二率者是将总衰分比总田数故六分得七百二十亩而一分得一百二十亩也六分中甲得三分乙得二分丙得一分自甲递次至乙至丙皆减一百二十亩故为递减也凡命法中不定所减分数者即以此法为例

　　设如有银九十二两令伯仲叔季四人递减分之问各得几何

　　法以四分为伯衰数三分为仲衰数二分为叔衰数一分为季衰数相并得十分为一率总银九十二两为二率一分为三率推得四率九两二钱即季所得之数以二分因之得一十八两四钱即叔所得之数以三分因之得二十七两六钱即仲所得之数以四分因之得三十六两八钱即伯所得之数也此法以十分比总银即如总银分为十分也是以十分中伯得四分仲得三分叔得二分季得一分自伯递次至季皆减一分故谓之递减差分也

　　设如有金一十二两六钱欲挨次递减造套杯六个问各重若干

　　法以六五四三二一为六杯衰分并之得二十一分为一率共金数一十二两六钱为二率一分为三率推得四率六钱即第六杯之重以二分因之得一两二钱即第五杯之重以三分因之得一两八钱即第四杯之重以四分因之得二两四钱即第三杯之重以五分因之得三两即第二杯之重以六分因之得三两六钱即第一杯之重也此法以总分比总银即如以一分比末一杯之重也以上递加一分即各杯之重矣

　　设如有粮一千一百三十四石令五等戸递减纳之一等二十四戸二等三十三户三等四十二戸四等五十一户五等六十户问各等每戸应纳若干法以五四三二一为五等衰分以五分因一等户二十四得一百二十分以四分因二等戸三十三得一百三十二分以三分因三等户四十二得一百二十六分以二分因四等戸五十一得一百零二分以一分因五等户六十仍得六十分总并之得五百四十分为一率总粮一千一百三十四石为二率一分为三率推得四率二石一斗即五等每户所纳之数以二分因之得四石二斗即四等每户所纳之数以三分因之得六石三斗即三等每户所纳之数以四因之得八石四斗即二等每戸所纳之数以五因之得十石五斗即一等每戸所纳之数也

　　超位加减差分

　　设如甲丙丁三人买房一所共价八百一十两丙比甲出银加一倍丁比甲丙共出银又加一倍问每人各出几何

　　法以一分为甲衰数加一倍得二分为丙衰数又以甲一分丙二分相并为三分复加一倍得六分为丁衰数相并得九分为一率总银八百一十两为二率以甲一分为三率得四率九十两即甲所出银数加一倍得一百八十两即丙所出银数将甲丙共银复加一倍得五百四十两即丁所出银数也此法以一分为甲数加一倍为丙数者因丙比甲银多一倍也又共甲丙两数加一倍为丁数者因丁比甲丙共银又多一倍也故以所命各人分数相并得共分数以此共分数比共银数即如各人分数比各人所出银数也

　　设如有银五千两买马四匹园一区宅一所其园价比马价多三倍而宅价比园价又多四倍问各价几何

　　法以一分为马衰数加三倍【为三分】得四分为园衰数又将园四分加四倍【为十六分】得二十分为宅衰数相并得二十五分为一率总价五千两为二率马一分为三率推得四率二百两即马四匹之价【马每匹价五十两】加三分六百两得八百两即园一区之价再将园价加四分三千二百两得四千两即宅一所之价也此法将马为一分而加三分为园价者因园价比马价多三倍也又将园价为一分而加四分为宅价者因宅价比园价又多四倍也是以共分之比共价即如马四匹之一分比各色每一分之价也

　　设如有粮七百六十石以船三次运之第一次运十分二次运七分三次运二分问每次运粮几何法以十分七分二分相并得十九分为一率共粮七百六十石为二率十分为三率得四率四百石即第一次所运之数如以七分为三率得四率二百八十石即第二次所运之数如以二分为三率得四率八十石即第三次所运之数也此法第一次之十分二次之七分三次之二分即三次之衰数分数已明故即以运分作衰分也

　　设如有铜一百八十两依次递减造三等仪器上等比中等加二倍中等比下等加一倍问三等仪器各得铜几何

　　法以一分为下等衰数二分为中等衰数二分加二倍得六分为上等衰数并之得九分为一率共铜一百八十两为二率下等之一分为三率推得四率二十两即下等仪器之重加一倍得四十两即中等仪器之重又加二倍得一百二十两即上等仪器之重也此法命一分为下等数故加倍为中等数而得二分复以二分加二倍为上等数故上等数又为六分也

　　设如有银七十两买骆驼马驴各一匹而价之多少不等但知马比驼价为九分之四驴比驼价为九分之一问各价几何

　　法以一分为驴衰数四分为马衰数九分为驼衰数并之得十四分为一率银七十两为二率驴一分为三率推得四率五两即驴一匹之价以四分因之得二十两即马一匹之价以九分因之得四十五两即驼一匹之价此法因驼价为九分故即以九为衰数且两分母俱同为九分而马居九分之四故即以四为马分驴居九分之一故即以一为驴分也既得驴价取其四分即马价取其九分即驼价也

　　设如一人为商三次初次获利比原银多二倍二次获利比初次本利共银多四倍三次获利比二次本利共银又多三倍共计获利并原银得九百两问原银几何

　　法以一分为初商原银衰数加二倍得三分为初次本利共分又比三分加四倍得十五分为二次本利共分又比十五分加三倍得六十分为三次本利共分即以此六十分为一率三次本利共银九百两为二率一分为三率推得四率一十五两即原银数也此法初次加二倍是原银之外加二倍也又加四倍是比初次本利共银之外又加四倍也又加三倍是比二次本利共银之外又加三倍也故以总分比总银即如一分之比原银也

　　设如有米二十四石分与四人甲四分乙五分丙七分丁九分问各该几何

　　法以甲之四分乙之五分丙之七分丁之九分相并得二十五分为一率共米二十四石为二率一分为三率推得四率九斗六升乃每一分之数以甲四分因之即得甲之三石八斗四升以乙五分因之即得乙之四石八斗以丙七分因之即得丙之六石七斗二升以丁九分因之即得丁之八石六斗四升也此法以一分为三率故得每人一分之数如以各人分数各为三率即得各人之全分矣

　　设如有银九十二两赏二十人分上中下三等上等四人中等六人下等十人其中等比下等赏加一倍上等比中等赏加二倍问各等每人得赏几何法以一分为下等衰数乗下等十人得十分又将一分加一倍得二分为中等衰数乗中等六人得十二分又将二分加二倍得六分为上等衰数乗上等四人得二十四分乃以十分十二分二十四分相并得四十六分为一率总银九十二两为二率下等一分为三率推得四率二两即下等每人应得之数将二两加一倍得四两即中等每人应得之数将四两再加二倍得十二两即上等每人应得之数复以各等人数乗各等每人应得之数即得上等四人共得四十八两中等六人共得二十四两下等十人共得二十两也此法以下等一分为三率故得下等每人一分之数按分倍加而得中等上等如以各等众人分数各为三率即得各等之共数矣

　　设如有米五百三十五石赏与三等人第一等二十名第二等五十名第三等一百一十名一等比二等每名加七斗二等比三等每名加五斗问三等每名各得几何

　　法以二等比三等每名多五斗与二等五十名相乗得二百五十斗又以一等比二等每名多七斗与二等比三等每名多五斗相加得十二斗与一等二十名相乗得二百四十斗两数相并得四百九十斗乃于总米五百三十五石内减之余四百八十六石乃以一等二十人二等五十人三等一百一十人相并得一百八十人为一率四百八十六石为二率一人为三率推得四率二石七斗即三等毎一人应得之数加五斗得三石二斗即二等毎一人应得之数再加七斗得三石九斗即一等每一人应得之数也此法以二等比三等毎名多五斗与二等五十人相乗者是求二等比三等共多之数又以一等比二等毎名多七斗并二等比三等毎名多五斗与一等二十人相乗者是求一等比三等共多之数也既得一等二等共多于三等之数于总数内减之所余即三等相并共一百八十人均分之数故以一百八十人比总米四百八十六石即第三等每一人之比二石七斗也由此加五斗即得第二等每一人所得之数于第二等每一人数内再加七斗即得第一等每一人所得之数矣

　　互和折半差分

　　设如有米一百八十石令甲乙丙三人互和折半分之但知甲多丙三十六石问各该若干

　　法以三人为一率总米一百八十石为二率一人为三率推得四率六十石即乙应得之数次以甲多丙三十六石二分之毎分得一十八石于乙数内加之得七十八石即甲应得之数于乙数内减之得四十二石即丙应得之数也此法盖以三人共得之数比一人所得之数其一人所得之数即中一人应得之数甲多乙几何即乙多丙几何而甲多丙之数又为甲多乙之倍数故以甲多丙之数分为二分于中数内一加一减则彼此相较之数自得均平故谓之互和折半也

　　设如有银二百四十两令赵钱孙李四人互和折半分之但知赵多李一十八两问各该若干

　　法以四人为一率总银二百四十两为二率一人为三率推得四率六十两即钱孙中二人相和折半之数次取赵多李十八两之数以三归之【以三立法者用二归以四立法者用三归盖以之相比而得较也】得六两即四人递加之数折半得三两乃中二人相和折半数与中二人应得数之较以此三两加于六十两得六十三两即钱银数减于六十两余五十七两即孙银数钱银数内再加六两得六十九两即赵银数孙银数内再减六两余五十一两即李银数也此法盖以四人共得之数比一人应得之数其一人应得之数固非四人平分之数故比例所得六十两为钱孙二人之中数较之钱数少三两较之孙数多三两故于六十两中加三两即钱数减三两即孙数既得钱孙中二人数则首末二人只按分数加之而已

　　设如有兵二万三千八百令甲乙丙丁戊五将互和折半领之只云戊少甲三千三百六十问各将所领若干

　　法以五分为一率兵数二万三千八百为二率一分为三率推得四率四千七百六十即丙所领之数又取戊少甲之三千三千六十以四归之【此有五人而较为四故用四归也】得八百四十为平分加减之数自丙数而上递加之得五千六百即乙所领之数得六千四百四十即甲所领之数由丙数而下递减之得三千九百二十即丁所领之数得三千零八十即戊所领之数也

　　设如有稻一百九十八亩令甲乙丙丁戊己六人收割但知甲比己多收三十亩问各该收稻几何法以六人为一率总田一百九十八亩为二率一人为三率推得四率三十三亩即丙丁中二人相和折半之数次取甲多己三十亩以五归之得六亩折半得三亩加于三十三亩得三十六亩即丙收数再加六亩得四十二亩即乙收数再加六亩得四十八亩即甲收数又以折半三亩减于三十三亩余三十亩即丁收数再减六亩余二十四亩即戊收数再减六亩余十八亩即己收数此法因三十三亩为丙丁二人之中数较之丙少三亩较之丁多三亩故以丙与丁总差六亩折半加减之即得也

　　首尾互准差分

　　设如甲乙丙丁四人递次分银但知甲得六十九两丁得五十一两问乙丙各得银几何

　　法以三分为甲多于丁之衰数【有四人故用三分如或五人则用四分六人则用五分】为一率甲六十九两与丁五十一两相减余一十八两为二率一分为三率推得四率六两即四人所得递加之数将丁银五十一两加六两得五十七两即丙应得之数再加六两得六十三两即乙应得之数也盖甲数最多丁数最少相差一十八两由丁至丙至乙至甲相隔三位则知有三差故用三分比一十八两即如一分比六两而为递加数也若三色者以首尾两数相加折半即中数其法易求故不设例

　　设如五人递次络丝第一人络丝四十两第五人络丝二十四两问中三人各络丝几何

　　法以四分为第一人多于第五人之衰数为一率第一第五两数相减余一十六两为二率一分为三率推得四率四两即五人络丝递加之数将第五人络丝二十四两加四两得二十八两即第四人所络之数再加四两得三十二两即第三人所络之数再加四两得三十六两即第二人所络之数也此法用四为除法葢第五与第一相隔四位则知有四差故用四为比例也

　　又捷法以第一第五两数相加折半得三十二两即第三人所络之数又以第一第三两数相加折半得三十六两即第二人所络之数复以第三第五两数相加折半得二十八两即第四人所络之数此法即前互和折半之法凡位数竒者俱可用如三五七九是也

　　设如七人运粮不言总数但知第一人第二人共运二十三石七斗第五人第六人第七人共运二十六石一斗其递加之数俱相等问第三人第四人与前后五人各运几何

　　法以第一第二两人共运二十三石七斗折半得十一石八斗五升为第一第二两人相和折半之数第五第六第七三人共运二十六石一斗三归之得八石七斗即第六人应运之数乃以第一分第二分之中数一分半与第六分相减余四分半为一率第一第二两人相和折半之十一石八斗五升内减第六人之八石七斗余三石一斗五升为二率一分为三率推得四率七斗即每人递加之数由第六人八石七斗而下减七斗得八石即第七人应运之数由第六人八石七斗而上递加七斗得九石四斗即第五人应运之数得十石一斗即第四人应运之数得十石八斗即第三人应运之数得十一石五斗即第二人应运之数得十二石二斗即第一人应运之数也此法盖因第一人第二人相和折半之数至第二人差半分至第三人差一分半至第四人差二分半至第五人差三分半至第六人则差四分半故先以第一第二之中数与第六相减得其四分半之差数而以四分半比前二人相和折半多于第六人之六石三斗即如一分比每人递加之七斗也

　　设如八人分银不言总数但知第一第二第三三人共得四十五两第七第八二人共得八十五两其递加之数俱相等问各人应得若干

　　法以前三人共得银数四十五两用三归之得十五两即第二人应得之数后二人共得八十五两折半得四十二两五钱即第七第八两人相和折半之数乃以第二分与第七分第八分之中数七分半相减余五分半为一率第二人应得之十五两与后二人相和折半之四十二两五钱相减余二十七两五钱为二率一分为三率推得四率五两即每人递加之数于第二人十五两内减五两即得第一人十两于第二人十五两外递加五两即得第三人二十两第四人二十五两第五人三十两第六人三十五两第七人四十两第八人四十五两之数也此法葢因第二人至第三人差一分至第四人差二分至第五人差三分至第六人差四分至第七人差五分至第七第八两人相和折半之数则差五分半故先以第二与第七第八之中数相减得其五分半之差数而以五分半比后二人相和折半多于第二人之数即如每一分比每人递加之数也

　　设如八人分米不言总数但知第一第二两人共得一十一石九斗第七第八两人共得八石三斗其递加之数俱相等问每人应得若干

　　法以第一第二两人共数一十一石九斗折半得五石九斗五升即第一第二两人相和折半之数再以第七第八两人共数八石三斗折半得四石一斗五升即第七第八两人相和折半之数乃以第一分第二分之中数一分半与第七分第八分之中数七分半相减余六分为一率第一第二两人相和折半之五石九斗五升内减第七第八两人相和折半之四石一斗五升余一石八斗为二率一分为三率推得四率三斗即每人递加之数折半得一斗五升加于第一第二两人相和折半之五石九斗五升得六石一斗即第一人之数以次递减三斗即得第二人五石八斗第三人五石五斗第四人五石二斗第五人四石九斗第六人四石六斗第七人四石三斗第八人四石之数也此法盖因第一第二两人相和折半之数至第二人差半分至第三人差一分半至第四人差二分半至第五人差三分半至第六人差四分半至第七人差五分半至第七第八两人相和折半之数则差六分故先以第一第二之中数与第七第八之中数相减得其六分之差数而以六分比第一第二相和折半多于第七第八相和折半之数即如每一分比每人递加之数也又以第一第二之中数比第一人差半分故以一分之三斗折半得一斗五升加于第一第二两人相和折半之数即得第一人之数也

　　设如有竹九节截为九筩盛米递次长短不均但知根底三节共盛米三升九合梢上四节共盛米三升问九节各盛米数几何

　　法以根底第一第二第三三节共盛米三升九合用三归之得一升三合即第二节盛米之数梢上第六第七第八第九四节共盛米三升用四归之得七合五勺即第七第八两节相和折半之数乃以第二分与第七分第八分之中数七分半相减余五分半为一率第二节盛米一升三合内减第七第八两节相和折半之七合五勺余五合五勺为二率一分为三率推得四率一合即每节递加之数自第二节盛米一升三合而上加一合即得第一节盛米一升四合自第二节盛米一升三合而下递减一合即得第三节盛一升二合第四节盛一升一合第五节盛一升第六节盛九合第七节盛八合第八节盛七合第九节盛六合也

　　设如有竹九节截为九筩盛米但知根底二节盛米六升三合梢上二节盛米二升一合问各节所盛米数若干

　　法以根底二节共盛米六升三合折半得三升一合五勺为第一第二两节相和折半之数梢上二节共盛米二升一合折半得一升零五勺为第八第九两节相和折半之数乃以第一分第二分之中数一分半与第八分第九分之中数八分半相减余七分为一率第一第二两节相和折半之三升一合五勺内减第八第九两节相和折半之一升零五勺余二升一合为二率一分为三率推得四率三合即毎节递加之数折半得一合五勺加于第一第二两节相和折半之三升一合五勺得三升三合即第一节盛米之数以次递减三合即得第二节盛三升第三节盛二升七合第四节盛二升四合第五节盛二升一合第六节盛一升八合第七节盛一升五合第八节盛一升二合第九节盛九合也

　　设如十人按数挨次纳粮前三人共纳一十三石八斗后四人共纳一十三石二斗问十人各纳粮数若干

　　法以前三人共纳一十三石八斗用三归之得四石六斗为第二人所纳之数后四人共纳一十三石二斗用四归之得三石三斗为第八第九两人相和折半之数乃以第二分与第八分第九分之中数八分半相减余六分半为一率第二人之四石六斗内减第八第九两人相和折半之三石三斗余一石三斗为二率一分为三率推得四率二斗即每人递加之数自第二人四石六斗以上加二斗得四石八斗即第一人所纳之数自第二人四石六斗以下递减二斗得四石四斗即第三人所纳之数得四石二斗即第四人所纳之数得四石即第五人所纳之数得三石八斗即第六人所纳之数得三石六斗即第七人所纳之数得三石四斗即第八人所纳之数得三石二斗即第九人所纳之数得三石即第十人所纳之数也

　　设如有米二百四十石令甲乙丙丁戊五人递减纳之定甲乙二人纳数与丙丁戊三人纳数相等问五人各纳几何

　　法以四分为甲多于戊之衰数【自甲至乙至丙至丁至戊隔四位故以四分为衰数】三分为乙多于戊之衰数并之为七分以二分为丙多于戊之衰数一分为丁多于戊之衰数并之为三分乃以三分与七分相减余四分为前二人多于后三人之较又以前二人与后三人相减余一人为后三人多于前二人之较夫前多四分后多一人而其数相等则四分即为一人之数乃以一人为一率四分为二率戊一人为三率推得四率仍得四分即定为戊一人之分数各加毎人所多衰数则甲得八分乙得七分并之得十五分丙得六分丁得五分并戊之四分亦得十五分是前后分数已同矣乃以两总分相并得三十分为一率总米二百四十石为二率一分为三率推得四率八石即每一分之数用甲之八分乗之得甲之六十四石用乙之七分乘之得乙之五十六石并之共得一百二十石用丙之六分乗之得丙之四十八石用丁之五分乗之得丁之四十石用戊之四分乗之得戊之三十二石并之亦共得一百二十石是甲乙二人纳数与丙丁戊三人纳数等也

　　设如有银六百两令甲乙丙丁戊己六人递加分之定甲乙丙丁四人与戊己二人分数相等问六人各分几何

　　法以一分为乙多于甲之衰数二分为丙多于甲之衰数三分为丁多于甲之衰数并之为六分四分为戊多于甲之衰数五分为己多于甲之衰数并之为九分乃以六分与九分相减余三分为后二人多于前四人之较又以前四人与后二人相减余二人为前四人多于后二人之较夫前多二人后多三分而其数相等则三分即为二人之数乃以二人为一率三分为二率甲一人为三率推得四率一分五【即一分半也】即定为甲一人之分数各加每人所多衰数则乙得二分半丙得三分半丁得四分半并甲乙丙丁四人数得十二分戊得五分半己得六分半并戊己二人数亦得十二分是前后分数已同矣乃以两总分相并得二十四分为一率总银六百两为二率一分为三率推得四率二十五两即每一分之数用甲一分半乗之得甲三十七两五钱用乙二分半乗之得乙六十二两五钱用丙三分半乗之得丙八十七两五钱用丁四分半乗之得丁一百一十二两五钱并四人数共得三百两用戊五分半乗之得戊一百三十七两五钱用己六分半乗之得己一百六十二两五钱并二人数亦共得三百两是甲乙丙丁四人银数与戊己二人银数等也