御制数理精蕴卷四

御制数理精蕴卷四

　　勾股和较相求法【下】

　　设如有勾股较七尺勾股总和四十尺求勾股各几何【第三十四】

　　法以勾股总和四十尺内减勾股较七尺余三十三尺为两勾一之共数【葢勾股总和为一勾一股一之共数内减勾股较是于股内减勾股较即又得一勾矣故为两勾一也】自乗得一千零八十九尺又以勾股较七尺自乗得四十九尺两自乗数相减余一千零四十尺折半得五百二十尺为长方积乃以勾股总和四十尺与两勾一之共数三十三尺相加得七十三尺为长阔和用纵和数开方法算之得阔八尺为勾加勾股较七尺得十五尺为股于勾股总和四十尺内减勾八尺又减股十五尺余十七尺为也如图甲乙丙丁为两勾一自乗之一大正方内戊己庚辛为自乗之一正方甲子戊壬丑乙寅己庚夘丙辰癸辛己丁为勾自乗之四正方壬戊辛癸子丑巳戊巳寅卯庚辛庚辰己为勾相乗之四长方自乗之一正方内容四勾股积为勾股相乗之二长方又勾股较自乗之一小正方今于甲乙丙丁两勾一自乗之一大正方内减去午未申酉勾股较自乗之一小正方尚余勾股相乗之二长方勾相乗之四长方勾自乗之四正方折半得勾股相乗之一长方勾相乗之二长方勾自乗之二正方与戌亥干坎长方形等其濶即勾其长为两勾两一股其长濶和为三勾两一股故以勾股总和与两勾一之共数相并为长阔和用纵和数开方法算之得阔为勾也

　　又法以勾股总和四十尺自乗得一千六百尺折半得八百尺为长方积乃以勾股较七尺为长阔较用纵较数开方法筭之得阔二十五尺为勾和得长三十二尺为股和于勾股总和四十尺内减勾和二十五尺余十五尺为股减勾股较七尺余八尺为勾又于勾和二十五尺内减勾八尺余十七尺为也如图甲乙丙丁为勾股总和自乗之一大正方内戊己庚丁为自乗之一正方辛壬癸己为股自乗之一正方子乙丑壬为勾自乗之一正方甲辰辛寅与癸己卯丙为勾相乗之二长方寅辛己戊与己癸卯庚为股相乗之二长方辰子壬辛与壬丑己癸为勾股相乗之二长方如以勾自乗之一正方与股自乗之一正方相并则又与自乗之一正方相等是为自乗之正方二股相乗之长方二勾相乗之长方二勾股相乗之长方二折半即得自乗之正方一股相乗之长方一勾相乗之长方一勾股相乗之长方一而与午未申酉勾和与股和相乗之长方等葢午未申酉之长方内戌亥干酉为自乗之一正方午坎亥戌为股相乗之一长方亥艮申干为勾相乗之一长方坎未艮亥为勾股相乗之一长方其濶即勾和其长即股和其长濶较即勾股较故以勾股较为长阔较用纵较数开方法算之得濶为勾和也

　　设如有勾较九尺勾股总和四十尺求勾股各几何【第三十五】

　　法以勾股总和四十尺内减勾较九尺余三十一尺为两勾一股之共数【盖勾股总和为一勾一股一之共数内减勾较是于内减勾较即又得一勾矣故为两勾一股也】自乗得九百六十一尺又以勾股总和四十尺与勾较九尺相加得四十九尺爲两一股之共数【葢勾股总和为一勾一股一之共数今加勾较是于勾数加勾较即又得一矣故为两一股也】自乗得二千四百零一尺两数相减余一千四百四十尺四归之得三百六十尺为长方积乃以勾较九尺为长阔较用纵较数开方法算之得濶十五尺为股于勾股总和四十尺内减股十五尺余二十五尺为勾和减勾较九尺余十六尺折半得八尺为勾加勾较九尺得十七尺为也如图甲乙丙丁为两勾一股自乗之一大正方内戊己庚辛为股自乗之一正方甲子戊壬丑乙寅己庚卯丙辰癸辛己丁为勾自乗之四正方壬戊辛癸子丑己戊己寅卯庚辛庚辰己为勾股相乗之四长方又午未申酉为两一股自乗之一大正方内戊己庚辛为股自乗之一正方午干戊戌坎未艮己庚震申巽亥辛离酉为自乗之四正方戌戊辛亥干坎巳戊巳艮震庚辛庚巽离为股相乗之四长方今于午未申酉之正方内减去甲乙丙丁之正方所余四隅之午干子甲壬戌等类四磬折形皆为自乗之方内减去勾自乗之方与股自乗之四正方积相等四面之戌壬癸亥等类四长方形乃勾较与股相乗之四长方【戌戊为壬戊为勾故戌壬为勾较】以四归之则余股自乗之一正方勾较与股相乗之一长方共为戌坤兑亥一长方其阔即股其长即股与勾较之和故以勾较为长阔较用纵较数开方法算之得濶为股也

　　设如有股较二尺勾股总和四十尺求勾股各几何【第三十六】

　　法以勾股总和四十尺内减股较二尺余三十八尺为两股一勾之共数【盖勾股总和为一勾一股一之共数内减股较是于内减股较即又得一股矣故为两股一勾也】自乗得一千四百四十四尺又以勾股总和四十尺与股较二尺相加得四十二尺为两一勾之共数【葢勾股总和为一勾一股一之共数今加股较是于股数加股较即又得一矣故为两一勾也】自乗得一千七百六十四尺两数相减余三百二十尺四归之得八十尺为长方积乃以股较二尺为长阔较用纵较数开方法算之得阔八尺为勾于勾股总和四十尺内减勾八尺余三十二尺为股和减股较二尺余三十尺折半得十五尺为股加股较二尺得十七尺为也如图甲乙丙丁为两股一勾自乗之一大正方内戊己庚辛为勾自乗之一正方甲子戊壬丑乙寅己庚卯丙辰癸辛己丁为股自乗之四正方壬戊辛癸子丑巳戊己寅卯庚辛庚辰己为勾股相乗之四长方又午未申酉为两一勾自乗之一大正方内戊己庚辛为勾自乗之一正方午干戊戌坎未艮己庚震申巽亥辛离酉为自乗之四正方戌戊辛亥干坎巳戊巳艮震庚辛庚巽离为勾相乗之四长方今于午未申酉之正方内减去甲乙丙丁之正方所余四隅之午干子甲壬戌等类四磬折形皆为自乗之方内减去股自乗之方与勾自乗之四正方积相等四面之戌壬癸亥等类四长方形乃股较与勾相乗之四长方【戌戊为壬戊为股故戌壬为股较】以四归之则余勾自乗之一正方股较与勾相乗之一长方共为戌坤兊亥一长方其阔即勾其长即勾与股较之和故以股较为长阔较用纵较数开方法算之得阔为勾也

　　设如有勾股和二十三尺与勾股较之较十尺求勾股各几何【第三十七】

　　法以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺又以勾股和二十三尺与与勾股较之较十尺相加得三十三尺为两勾一之共数【葢与勾股较之较为一勾一股较之共数与勾股和相加则得两勾一股一股较而股加股较即故为两勾一之共数也】自乗得一千零八十九尺两自乗数相减余五百六十尺折半得二百八十尺为长方积乃以与勾股较之较十尺与两勾一之共数三十三尺相加得四十三尺为长濶和用纵和数开方法算之得阔八尺为勾于勾股和二十三尺内减勾八尺余十五尺为股又于股十五尺内减勾八尺余七尺为勾股较与与勾股较之较十尺相加得十七尺为也如图甲乙丙丁为勾股和自乗之一大正方内戊己庚丁为股自乗之一正方辛乙壬己为勾自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为勾股相乗之二长方又癸子丑寅为两勾一自乗之一大正方内卯辰巳寅为自乗之一正方未申酉辰亥干申未干子坎申申坎艮酉为勾自乗之四正方癸亥未午午未辰卯辰酉戌己酉艮丑戌为勾相乗之四长方今以两正方相减则是癸子丑寅方内减去离辰坤震股自乗之一正方即如前图之戊己庚丁然又未申酉辰勾自乗之一正方即如前图之辛乙壬己然又巽未辰离辰酉兑坤勾股相乗之二长方即如前图之甲辛己戊己壬丙庚然所余之卯离震坤己寅一磬折形与勾自乗之一正方等【自乗之正方内减股自乗之方则与勾自乗之方等】再午巽离卯与坤兑戌己二小长方为股较与勾相乗之二长方若各补于勾自乗之二正方内即成勾与与勾股较之较相乗二长方【葢与勾股较之较乃内减去勾股较之余然内有一勾一勾股较一股较若减去勾股较则所余为一勾一股较矣今以股较与勾相乗之长方补于勾自乗之正方内则其长为一勾一股较即与勾股较之较其濶即勾故为勾与与勾股较之较相乗之长方也】合计之则为勾自乗二正方勾相乗二长方勾与与勾股较之较相乗二长方折半则余勾自乗一正方勾相乗一长方勾与与勾股较之较相乗一长方之共积与金木水火长方形等其阔即勾其长为一勾一一与勾股较之较其长阔和为两勾一一与勾股较之较故以与勾股较之较与两勾一之共数相加用帯纵和数开方法算之得阔为勾也

　　设如有勾股和二十三尺与勾股较之和二十四尺求勾股各几何【第三十八】

　　法以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺又以与勾股较之和二十四尺自乗得五百七十六尺两数相加得一千一百零五尺为长方积乃以与勾股较之和二十四尺倍之得四十八尺为长阔较用纵较数开方法算之得十七尺为于与勾股较之和二十四尺内减十七尺余七尺为勾股较于勾股和二十三尺内减勾股较七尺余十六尺折半得八尺为勾加勾股较七尺得十五尺为股也如图甲乙丙丁为勾股和自乗之一大正方内戊己庚丁为股自乗之一正方辛乙壬己为勾自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为勾股相乗之二长方又癸子丑寅为与勾股较之和自乗之一大正方内卯辰巳寅为自乗之一正方午子未辰为勾股较自乗之一正方癸午辰卯与辰未丑巳为勾股较与相乗之二长方两大正方相并则得自乗三正方勾股较与相乗二长方共为申酉戌亥一长方形何也卯辰巳寅为一方戊己庚丁一股方与辛乙壬己一勾方相并为一方甲辛己戊己壬丙庚勾股相乗之二长方即四勾股积与午子未辰勾股较自乗之一正方相并又为一方癸午辰卯辰未丑巳即勾股较与相乗之二长方今二自乗方相加则成申酉戌亥之一大长方其阔即其长为三二勾股较其长濶较为二二勾股较故将与勾股较之和倍之为二二勾股较之共数用纵较数开方法算之得阔为也

　　设如有勾和二十五尺与勾股和之较六尺求勾股各几何【第三十九】

　　法以勾和二十五尺自乗得六百二十五尺又以勾和二十五尺与与勾股和之较六尺相加得三十一尺为两勾一股之共数【葢勾和为一勾一之共数今于数内加与勾股和之较即为勾股和是为两勾一股之共数矣】与勾和二十五尺相乗得七百七十五尺两数相减余一百五十尺为长方积乃以勾和二十五尺为长濶和用纵和数开方法算之得长十五尺为股于股十五尺内减与勾股和之较六尺余九尺为勾较与勾和二十五尺相加得三十四尺折半得十七尺为内减勾较九尺余八尺为勾也如图甲乙丙丁为勾和自乗之一大正方内戊巳庚丁为自乗之一正方辛乙壬己为勾自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为勾相乗之二长方又癸子丑寅为两勾一股与勾和相乗之一大长方内卯辰己寅为股自乗之一正方午未申卯与癸酉未午为勾与相乗之二长方与甲乙丙丁大正方内之甲辛巳戊己壬丙庚二长方等未戌亥申为勾自乗之一正方与甲乙丙丁大正方内之辛乙壬己一正方等而酉子戌未亦为勾自乗之一正方与卯辰巳寅股自乗之一正方相并乃与甲乙丙丁大正方内之戊己庚丁自乗之一正方等两数相减所余为辰亥丑巳一长方其辰巳长即股其辰巳巳丑长阔和即勾和故以纵和数开方法算之得长为股也

　　设如有勾和二十五尺与勾股较之和二十四尺求勾股各几何【第四十】

　　法以勾和二十五尺自乗得六百二十五尺又以勾和二十五尺与与勾股较之和二十四尺相加得四十九尺为两一股之共数【葢勾和加与勾股较之和则得两一勾一勾股较而勾加勾股较即股故为两一股也】自乗得二千四百零一尺两自乗数相加得三千零二十六尺为长方积乃以两一股之共数倍之得九十八尺为四二股之共数与勾和相加得一百二十三尺为长濶和用纵和数开方法算之得濶三十四尺折半得十七尺为于勾和二十五尺内减十七尺余八尺为勾又于与勾股较之和二十四尺内减十七尺余七尺为勾股较与勾八尺相加得十五尺为股也如图甲乙丙丁为勾和自乗之一大正方内戊己庚丁为自乗之一正方辛乙壬己为勾自乗之一正方甲辛己戊与巳壬丙庚为勾相乗之二长方又癸子丑寅为两一股自乗之一大正方内卯辰己寅为自乗之四正方午未子辰为股自乗之一正方癸申酉卯申午辰酉辰未亥戌戌亥丑己为股相乗之四长方今以两自乗之方相并则得自乗五正方又勾自乗之一正方与股自乗之一正方相并为自乗之一正方共为自乗六正方勾相乗二长方股相乗四长方相合共成干坎艮震一大长方其濶即二数其长为三一勾二股数其长濶和为五一勾二股数故将两一股之共数倍之与勾和相加为长阔和用纵和数开方法算之得濶为二而折半为也

　　设如有股和三十二尺与勾股和之较六尺求勾股各几何【第四十一】

　　法以股和三十二尺自乗得一千零二十四尺又以股和三十二尺与与勾股和之较六尺相加得三十八尺为两股一勾之共数【葢股和为一股一之共数今于数内加与勾股和之较即为勾股和是为两股一勾之共数矣】与股和三十二尺相乗得一千二百一十六尺两数相减余一百九十二尺为长方积乃以股和三十二尺为长阔和用纵和数开方法算之得阔八尺为勾于勾八尺内减与勾股和之较六尺余二尺为股较与股和三十二尺相加得三十四尺折半得十七尺为内减股较二尺余十五尺为股也如图甲乙丙丁为股和自乗之一大正方内戊己庚丁为自乗之一正方辛乙壬己为股自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为股相乗之二长方又癸子丑寅为两股一勾与股和相乗之一大长方内卯辰巳寅为勾自乗之一正方午未申卯与癸酉未午为股相乗之二长方与甲乙丙丁大正方内之甲辛己戊己壬丙庚二长方等未戌亥申为股自乗之一正方与甲乙丙丁大正方内之辛乙壬己一正方等而酉子戌未亦为股自乗之一正方与卯辰己寅勾自乗之一正方相并乃与甲乙丙丁大正方内之戊己庚丁自乗之一正方等两数相减所余为辰亥丑己一长方其辰己濶即勾其辰己巳丑长濶和即股和故以纵和数开方法算之得阔为勾也

　　设如有股和三十二尺与勾股较之较十尺求勾股各几何【第四十二】

　　法以股和三十二尺自乗得一千零二十四尺又以股和三十二尺与与勾股较之较十尺相加得四十二尺为两一勾之共数【葢与勾股较之较为一勾一股较之共数与股和相加则得一勾一股一一股较而股加股较即又得一故为两一勾也】自乗得一千七百六十四尺两自乗数相加得二千七百八十八尺为长方积乃以两一勾之共数倍之得八十四尺为四二勾之共数与股和三十二尺相加得一百一十六尺为长濶和用纵和数开方法算之得阔三十四尺折半得十七尺为于股和三十二尺内减十七尺余十五尺为股又于十七尺内减与勾股较之较十尺余七尺为勾股较于股十五尺内减勾股较七尺余八尺为勾也如图甲乙丙丁为股和自乗之一大正方内戊己庚丁为自乗之一正方辛乙壬巳为股自乗之一正方甲辛己戊与巳壬丙庚为股相乗之二长方又癸子丑寅为两一勾自乗之一大正方内卯辰巳寅为自乗之四正方午子未辰为勾自乗之一正方癸申酉卯申午辰酉辰未亥戌戌亥丑巳为勾相乗之四长方今以两自乗之方相并则得自乗五正方又勾自乗之一正方与股自乗之一正方相并为自乗之一正方共为自乗六正方股相乗二长方勾相乗四长方相合共成干坎艮震一大长方其阔即二数其长为三一股二勾数其长濶和为五一股二勾数故将两一勾之共数倍之与股和相加为长阔和用纵和数开方法算之得濶为二而折半为也

　　设如有勾股较七尺与勾股和之较六尺求勾股各几何【第四十三】

　　法以与勾股和之较六尺自乗得三十六尺折半得十八尺为长方积以勾股较七尺为长阔较用纵较数开方法算之得二尺为股较与与勾股和之较六尺相加得八尺为勾加勾股较七尺得十五尺为股再加股较二尺得十七尺为也如图甲乙丙丁为自乗之一正方戊己丙庚为股自乗之一正方甲壬癸辛为勾自乗之一正方戊丑癸子为与勾股和之较自乗之一正方其积与壬乙己丑辛子庚丁之勾较与股较相乗之二长方等【与股较之共数见前有勾较股】今以与勾股和之较自乗折半必与壬乙己丑一长方积相等其乙己阔即股较其壬乙长即勾较而勾较之中有一股较一勾股较故以勾股较为长阔较用帯纵较数开方法算之得濶为股较也

　　设如有勾较九尺与勾股较之较十尺求勾股各几何【较求勾】

　　法以与勾股较之较十尺为勾与股较之共数【股法第四十四葢与勾股较之较乃内减去勾股较之余然内有一勾一勾股较一股较今减去勾股较故余为勾与】自乗得一百尺又以勾较九尺与与勾股较之较十尺【股较之共数也】相加得十九尺为【葢勾加勾较即今与勾股较之较既为勾与股较之共数若加勾较则为与股较之共数矣】自乗得三百六十一尺两自乗数相减余二百六十一尺又以勾较九尺自乗得八十一尺于两自乗数相减之余二百六十一尺内减之余一百八十尺折半得九十尺为长方积以勾较九尺为长濶较用纵较数开方法算之得长十五尺为股以股十五尺与与股较之共数十九尺相加得三十四尺折半得十七尺为内减勾较九尺余八尺为勾也

如图甲乙丙丁为勾与股较相和自乗之一大正方内戊己庚丁为勾自乗之一正方辛乙壬己为股较自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为股较与勾相乗之二长方又癸子丑寅为与股较相和自乗之一大正方内卯辰巳寅为自乗之一正方午未子辰为股较自乗之一正方即如前图之辛乙壬巳然癸午辰卯与辰未丑巳为股较与相乗之二长方两自乗方相减则于癸子丑寅正方形内减去与甲乙丙丁正方形相等之申子干戌正方形余卯酉戌亥巳寅磬折形为自乗方内减去勾自乗方所余之股自乗之方积其癸申酉卯与亥干丑巳为勾较与股较相乗之二长方共积与与勾股和之较自乗之正方等今以卯酉戌亥巳寅磬折形变为股自乗之方作一坎艮震巽正方形又以癸申酉卯亥干丑己二长方共积变为与

勾股和之较自乗之方作一巽离坤兑正方形则此二正方邉之较即勾较【并见勾较股较求勾股法中】是以坎艮震巽股自乗之正方形内减去水艮金木勾较自乗之正方则余坎水木金震巽一磬折形而此磬折形内火木离巽之一正方形与巽离坤兑之正方形等是则坎水木金震巽磬折形与巽离坤兑正方形相合共为坎水离巽类之二长方矣折半则为一长方其阔即与勾股和之较其长即股其长阔较即勾较故以勾较为长濶较用纵较数开方法算之得长为股也又法以与勾股较之较十尺为勾与股较之共数与勾较九尺相加得十九尺为与股较之共数两数相并得二十九尺为一勾一二股较之共数与勾较九尺相乗得二百六十一尺又以勾较九尺自乗得八十一尺两积相减余一百八十尺折

半得九十尺为长方积以勾较九尺为长阔较用帯纵较数开方法算之得长十五尺为股与与股较之共数十九尺相加得三十四尺折半得十七尺为内减勾较九尺余八尺为勾也如图甲乙丙丁为勾较与一勾一二股较相乗之长方内甲乙己戊为勾较与勾和相乗之一长方与庚辛壬癸股自乗之一正方积等【见股与勾较求勾法中】戊己丙丁为勾较与股较相乗之二长方与癸子丑寅与勾股和之较自乗之一正方积等此二正方邉之较即勾较【并见勾较股较求勾股法中】是以庚辛壬癸股自乗之正方形内减去卯辛巳辰勾较自乗之正方则余庚卯辰己壬癸一磬折形而此磬折形内午辰子癸之一正方与癸子丑寅之正方形等庚卯辰午之一长方与辰己壬子之长方形等折半即余庚卯子癸一长方形其阔即与勾股和之较其长即股其长阔较即勾较故以勾较为长阔较用纵较数开方法算之得长为股也

　　设如有股较二尺与勾股较之和二十四尺求勾股各几何【第四十五】

　　法以与勾股较之和二十四尺减股较二尺余二十二尺为股与勾股较之共数【葢内减股较余即股故于与勾股较之和内减股较余即为股与勾股较之共数也】自乗得四百八十四尺又以与勾股较之和二十四尺自乗得五百七十六尺两自乗数相减余九十二尺又于股与勾股较之共数自乗之四百八十四尺内减两自乗数相减所余之九十二尺余三百九十二尺为长方积乃以股与勾股较之共数二十二尺倍之得四十四尺内减股较二尺余四十二尺为长阔和用纵和数开方法算之得濶十四尺折半得七尺为勾股较于与勾股较之和二十四尺内减勾股较七尺余十七尺为于内减股较二尺余十五尺为股于股内减勾股较七尺余八尺为勾也如图甲乙丙丁为股与勾股较相和自乗之一大正方内戊己庚丁为股自乗之一正方辛乙壬己为勾股较自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为勾股较与股相乗之二长方又癸子丑寅为与勾股较相和自乗之一大正方内卯辰巳寅为自乗之一正方午子未辰为勾股较自乗之一正方即如前图之辛乙壬己然癸午辰卯与辰未丑己为勾股较与相乗之二长方两自乗方相减则于癸子丑寅正方形内减去与甲乙丙丁正方形相等之申子干戌正方形所余卯酉戌亥巳寅磬折形为自乗方内减去股自乗方所余之勾自乗之方积其癸申酉卯与亥干丑巳为勾股较与股较相乗之二长方今以此余积再于甲乙丙丁正方形内减之则减去坎艮震丁勾自乗之一正方其积与卯酉戌亥巳寅磬折形等又甲巽离戊与戊离坤坎二长方即如癸申酉卯亥干丑巳二长方然所余兑巳庚震与己壬丙庚为股与勾股较相乗之二长方火辛己兑与辛乙壬己为勾股较自乗之二正方巽火兑离与离兑艮坤为勾与股较之较与勾股较相乗之二长方试将巽火兑离离兑艮坤二长方移为水木辛火木金乙辛则成水金丙震一大长方形其阔即二勾股较其长即二股内少一股较其长濶和为二勾股较二股少一股较故以股与勾股较之共数倍之得二股二勾股较内减去一股较为长濶和用帯纵和数开方法算之得濶为二勾股较折半得勾股较也

　　又法以与勾股较之和二十四尺减股较二尺余二十二尺为股与勾股较之共数自乗得四百八十四尺又以与勾股较之和二十四尺与股与勾股较之共数二十二尺相加得四十六尺为一股一二勾股较之共数以股较二尺乗之得九十二尺两数相减余三百九十二尺为长方积乃以股与勾股较之共数二十二尺倍之得四十四尺内减股较二尺余四十二尺为长阔和用纵和数开方法算之得阔十四尺折半得七尺为勾股较于与勾股较之和二十四尺内减勾股较七尺余十七尺为于内减股较二尺余十五尺为股于股内减勾股较七尺余八尺为勾也如图甲乙丙丁为股与勾股较相和自乗之一大正方亦即一勾二勾股较之共数自乗之正方也【盖图以甲辛为股辛乙为勾股较若以甲申为勾则申辛亦勾股较故为一勾两勾股较也】内巳午未丁为勾自乗之一正方申辛己酉酉巳戌午辛乙壬己巳壬亥戌为勾股较自乗之四正方甲申酉戊戊酉午巳午戌庚未戊亥丙庚为勾股较与勾相乗之四长方又癸子丑寅为股较与一股一二勾股较相乗之一长方内癸子辰夘为股较与股和相乗之一长方与勾自乗之一正方等【见勾与股较求股法中】卯辰丑寅为股较与二勾股较相乗之二长方今以两积相减则于甲乙丙丁正方形内减去与癸子辰卯相等之巳午未丁之勾自乗之一正方又减去与卯辰丑寅相等之甲干坎戊戊坎艮巳之股较与二勾股较相乗之二长方所余酉巳庚未与己壬丙庚为股与勾股较相乗之二长方申辛己酉与辛乙壬己为勾股较自乗之二正方干申酉坎坎酉午艮为勾与股较之较与勾股较相乗之二长方试将干申酉坎坎酉午艮二长方移为震巽辛申巽离乙辛则成震离丙未一大长方形其濶即二勾股较其长即二股内少一股较其长濶和为二勾股较二股内少一股较故以股与勾股较之共数倍之得二股二勾股较内减去一股较为长阔和用纵和数开方法算之得阔为二勾股较折半得勾股较也

　　勾股积与勾股和较相求法

　　设如有勾股积一百二十尺勾十尺求股各几何法以勾股积一百二十尺倍之得二百四十尺以勾十尺除之得二十四尺为股勾股求得二十六尺如图甲乙丙勾股形积倍之成甲乙丙丁长方形积其阔即勾其长即股故以勾除倍积而得股也

　　设如有勾股积六十尺股十五尺求勾各几何法以勾股积六十尺倍之得一百二十尺以股十五尺除之得八尺为勾勾股求得十七尺如图甲乙丙勾股形积倍之成甲乙丙丁长方形积其长即股其濶即勾故以股除倍积而得勾也

　　设如有勾股积三十尺十三尺求勾股各几何法以勾股积三十尺四因之得一百二十尺又以十三尺自乗得一百六十九尺相减余四十九尺开方得七尺为勾股较乃以勾股积倍之为长方积以勾股较为长濶较用帯纵较数开方法算之得濶五尺为勾得长十二尺为股如图甲乙丙丁为自乗之方内容甲戊乙乙己丙丙庚丁丁辛甲四勾股积戊己庚辛一勾股较自乗方积故于自乗方内减四勾股积即余勾股较自乗之方而开方得勾股较也

　　设如有勾股积六十尺勾股较七尺求勾股各几何

　　法以勾股积六十尺倍之得一百二十尺以勾股较七尺为长濶较用纵较数开方法算之得濶八尺为勾加勾股较七尺得十五尺为股勾股求得十七尺如图甲乙丙勾股形积倍之成甲乙丙丁长方形积其濶即勾其长即股其长濶较即勾股较故用纵较数开方法算之得阔为勾也又如有勾股积几何知勾较或股较求勾股法中用帯纵立方算之始得兹故不设设在纵立方之后

　　设如有勾股积六十尺勾股和二十三尺求勾股各几何

　　法以勾股积六十尺八因之得四百八十尺又以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺两数相减余四十九尺开方得七尺为勾股较于勾股和二十三尺内减勾股较七尺余十六尺折半得八尺为勾加勾股较七尺得十五尺为股勾股求得十七尺如图甲乙丙丁为勾股和自乗之方内容八勾股积一勾股较自乗方积今于勾股和自乗之方内减八勾股积所余戊己庚辛正方即勾股较自乗之方故开方而得勾股较也又如有勾股积几何知勾和或股和求勾股法中用帯纵立方算之始得兹故不设设在纵立方之后

　　设如有勾股积六十尺勾股总和四十尺求勾股各几何

　　法以勾股积六十尺四因之得二百四十尺又以勾股总和四十尺自乗得一千六百尺两数相减余一千三百六十尺折半得六百八十尺以勾股总和四十尺除之得十七尺为于勾股总和四十尺内减十七尺余二十三尺为勾股和用有有勾股和求勾股法算之得勾八尺股十五尺如图甲乙丙丁为勾股总和自乗之一大正方内戊己庚丁为勾自乗之一正方辛壬癸己为股自乗之一正方子乙丑壬为自乗之一正方寅子壬辛与壬丑卯癸为股相乗之二长方甲寅辛辰与癸卯丙己为勾相乗之二长方辰辛己戊与己癸己庚为勾股相乗之二长方夫勾股相乗之二长方与四勾股积等今于勾股总和自乗之一大正方内减去四勾股积即减去勾股相乗之二长方而勾自乗之一正方与股自乗之一正方相并又与自乗之一正方等故所余者为自乗之二正方股相乗之二长方勾相乗之二长方折半即得自乗之一正方股相乗之一长方勾相乗之一长方与甲乙丑辰长方形等其濶即其长即勾股总和故以勾股总和除之而得也

　　设如有勾股积六十尺与勾股和之较六尺求勾股各几何

　　法以勾股积六十尺四因之得二百四十尺以与勾股和之较六尺除之得四十尺为勾股总数内减与勾股和之较六尺余三十四尺折半得十七尺为加与勾股和之较六尺得二十三尺为勾股和用有有勾股和求勾股法算之得股十五尺勾八尺如图甲乙为勾股和丙乙为甲丙为与勾股和之较试依甲乙线作甲丁戊乙勾股和自乗之一正方又以丙乙线作丙己庚乙自乗之一正方二方相较其甲丁戊庚己丙磬折形乃与四勾股积相等【葢勾股和自乗方内容八勾股积一勾股较自乗方积自乗方内容四勾股积一勾股较自乗方积二方相减所余磬折形积与四勾股积相等】引而长之即如丙甲戊庚一长方形其濶即与勾股和之较其长即与勾股和之和故以与勾股和之较除之得勾股总数也

　　设如有勾股积六十尺与勾股较之和二十四尺求勾股各几何

　　法以勾股积六十尺四因之得二百四十尺又以与勾股较之和二十四尺自乗得五百七十六尺两数相减余三百三十六尺折半得一百六十八尺用与勾股较之和二十四尺除之得七尺为勾股较于与勾股较之和二十四尺内减勾股较七尺余十七尺为用有有勾股较求勾股法算之得勾八尺股十五尺如图甲乙丙丁为与勾股较之和自乗之一正方甲戊己庚为自乗之一正方而自乗之方内容四勾股积一勾股较自乗方积今减去四勾股积余辛壬癸子为勾股较自乗之一正方而巳丑丙寅亦为勾股较自乗之一正方再戊乙丑巳与庚己寅丁又为勾股较与相乗之二长方折半则余戊乙丑己一长方己丑丙寅一正方其戊寅长即与勾股较之和其戊乙阔即勾股较故以与勾股较之和除之而得勾股较也

　　设如有勾股积六十尺与勾股较之较十尺求勾股各几何

　　法以勾股积六十尺四因之得二百四十尺又以与勾股较之较十尺自乗得一百尺两数相减余一百四十尺折半得七十尺以与勾股较之较十尺除之得七尺为勾股较与与勾股较之较十尺相加得十七尺为用有有勾股较求勾股法算之得勾八尺股十五尺如图甲乙丙丁为自乗之一大正方内丁戊己庚为勾股较自乗之一正方辛乙壬己为与勾股较之较自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为勾股较与与勾股较之较相乗之二长方葢自乗方内容四勾股积一勾股较自乗方积今丁戊己庚既为勾股较自乗之方若于甲乙丙丁自乗方内减之则所余甲乙丙庚巳戊磬折形即与四勾股积相等又于四勾股积相等之甲乙丙庚己戊磬折形内减辛乙壬己与勾股较之较自乗之方则尚余甲辛己戊己壬丙庚二长方折半则得巳壬丙庚一长方其己壬长即与勾股较之较其己庚阔即勾股较故以与勾股较之较除之而得勾股较也

　　正勾股比例

　　设如有正勾股知勾十二尺求股与各几何法以正勾股定分之勾三分为一率股四分为二率今所设之勾一十二尺为三率推得四率十六尺为股仍以勾三分为一率五分为二率今所设之勾十二尺为三率推得四率二十尺为也葢大小两同式形其相当各界互相比之比例俱为相当比例四率【见几何原夲八卷第三节】故正勾股定分之勾三与股四之比即同于今所设之勾十二与股十六之比又正勾股定分之勾三与五之比亦同于今所设之勾十二与二十之比也

　　又防法以勾十二尺用正勾股定分之勾三分除之得四尺即知今所设之勾股形为加四倍之比例乃以正勾股定分之股四分五分各加四倍即得所求之股之各数矣

　　设如有正勾股知勾股和六十三尺求勾股各几何

　　法以正勾股定分之勾三分股四分相并得七分为一率勾三分为二率今所设之勾股和六十三尺为三率推得四率二十七尺为勾若以股四分为二率即得四率三十六尺为股若以五分为二率即得四率四十五尺为也葢正勾股定分之勾股和七尺与勾三股四五各相为比即同于今所设之勾股和六十三尺与勾二十七尺股三十六尺四十五尺各相比之比例也又防法以勾股和六十三尺用正勾股定分之勾三股四相和之七分除之得九尺即知今所设之勾股形为加九倍之比例乃以正勾股定分之勾三股四五各加九倍即得所求之各数也

　　设如有正勾股知勾股总和六十尺求勾股各几何

　　法以正勾股定分之勾三分股四分五分相并共得十二分为一率勾三分为二率今所设之勾股总和六十尺为三率推得四率十五尺为勾若以股四分为二率即得四率二十尺为股若以五分为二率即得四率二十五尺为也

　　又防法以勾股总和六十尺用正勾股定分之勾三股四五相并之十二分除之得五尺即知今所设之勾股形为加五倍之比例乃以正勾股定分之勾三股四五各加五倍即得所求之各数也

　　设如有正勾股勾九尺股十二尺求内容方邉几何法以股十二尺七归三因得五尺一寸四分二厘八毫有余或以勾九尺七归四因亦得五尺一寸四分二厘八毫有余为内容方邉也葢勾三分股四分者则以勾股和七分为一率勾三分为二率股四分为三率推得四率为内容方邉是内容方邉得股七分之三得勾七分之四也今九尺与十二尺之比仍同于三分与四分之比故以其分数相求得内容方边仍为比例四率也

　　设如有正勾股勾九尺股十二尺求内容圜径几何法以股十二尺折半得六尺或以勾九尺取其三分之二亦得六尺即为内容圜径也葢勾三分股四分五分者则于勾股和七分内减五分余二分为内容圜径【见勾股容圜第二法】是内容圜径得股四分之二得勾三分之二也今九尺与十二尺之比同于三分与四分之比故十二尺与六尺之比仍同于四与二之比而九尺与六尺之比亦仍同于三与二之比也

　　设如有正勾股知勾股和二十一尺求内容方边几何

　　法以正勾股定分比例得勾九尺股十二尺以勾九尺七归四因或以股十二尺七归三因得五尺一寸四分二厘八毫有余即内容方边也葢内容方边得勾七分之四得股七分之三【圜径见】故必先比例得勾数或股数复比例得内容方边也

　　设如有正勾股知勾股和二十一尺求内容圜径几何

　　法以正勾股定分之勾三分股四分相加之七分为一率内容圜径二分为二率今所设之勾股和二十一尺为三率推得四率六尺即内容圜径也葢勾三

　　分　　　　　　　　　　【前法】股四分五分者其内容圜径为【见前法】二分故勾股和之七分与内容二分之比即同于今所设之勾股和之二十一尺与内容圜径六尺之比也总之正勾股形知一数即得所求之各数要先以勾三股四五求得所知之定分及所求之定分【如勾股较则以勾三分与股四分相减余一分又如与勾股较之和则以勾股较一分与五分相加得六分之类】乃以所知之定分与所求之定分之比即同于今所知之数与今所求之数之比也

　　设如有正勾股面积九十六尺求勾股各几何法以正勾股定分之面积六分为一率勾三分自乗得九分为二率今所设之勾股积九十六尺为三率推得四率一百四十四尺为勾自乗之方开方得十二尺为勾如以正勾股定分之股四分自乗为二率则得今所设之股自乗之方如以正勾股定分之五分自乗为二率则得今所设之自乗之方各开方而即得各数矣或得勾而以正勾股定分之勾股各比例之亦可葢同式两勾股形其面积互相为比即同于勾股形各相当界所作正方形互相为比【见几何原夲八卷第四节】故以正勾股定分之面积六尺与勾股各方之比即同于今所设之面积九十六尺与勾股各方之比也

　　又防法以面积九十六尺用正勾股定分之面积六尺除之得十六尺开方得四尺即知今所设之勾股为各加四倍之比例乃以正勾股定分之各数各加四倍即得各数葢两直角方面形其两方面之比例比之两界之比例为连比例隔一位相加之比例【见几何原夲七卷第五节今勾股为长方之半正方与正方为比长方与长方为比其比例相同并见第六节】故积大十六倍者界必大四倍既知其大四倍则以正勾股之定分各加四倍即得矣

　　设如有正勾股知勾自乗股自乗自乗共积四百五十尺求勾股各几何

　　法以共积四百五十尺折半得二百二十五尺为自乗方积开方得一十五尺为既得则以勾股之定分比例之得九尺为勾得十二尺为股也如用面积为比例则以五分自乗之二十五分为一率勾三分自乗之九分为二率今所得之自乗方二百二十五尺为三率求得四率八十一尺为勾自乗方积开方得九尺为勾若以股四分自乗之十六分为二率则得四率一百四十四尺为股自乗方积开方得十二尺为股也葢自乗之一方既与勾自乗股自乗之二方等则勾自乗股自乗自乗之三方必与自乗之二方等故折半即得自乗之一方而开方得也

　　御制数理精蕴下编卷十三

　　钦定四库全书

　　御制数理精蕴下编卷十四

　　面部四

　　三角形

　　三角形

　　凡三角形立于圆界之一半者为直角即勾股过圆界之一半者为鋭角不及圆界之一半者为钝角然不拘鋭角钝角自一角至底边作垂线即分为两直角是仍不离乎勾股也两腰等者垂线即当底之一半而两腰不等者所分底界则有大小不同故和较相比之法因之而生葢和求较较求和要必归于勾股相求之理由勾股而得垂线则凡面积及内容方圆等形皆无不可得至于三角形角度相求之法乃割圆八线实所以极三角之用即如周髀所谓仰矩知髙俯矩知深是也故另为一卷兹但取三角形之面线相求诸法悉具图觧以次勾股使与勾股相表里焉

　　设如有等边三角形每邉十尺求中垂线几何法以底邉十尺折半得五尺为勾任以两腰之一邉十尺为勾求股得八尺六寸六分零二毫有余即为中垂线也如图甲乙丙三角形其甲乙甲丙两腰相等则其底边之乙丙两角度亦必相等【见几何原夲二卷第九节】今所求之垂线为甲丁即将甲乙丙三角形平分为两直角三角形而甲丁乙甲丁丙皆为直角其度又等故所分之两直角三角形为同式形而甲丁垂线又为两三角形所共用之邉线则所分之底边之乙丁丁丙焉得不等故将乙丙底边折半为勾任以甲乙甲丙两邉之一边为求得股为中垂线也

　　又法以底边十尺折半得五尺自乗得二十五尺三因之得七十五尺开方得八尺六寸六分零二毫有余即为中垂线也葢比勾大一倍则之自乗之方必比勾之自乗之方大四倍为连比例隔一位相加之比例【见几何原夲七卷第五节】依勾求股之法于自乗方积之四倍内减勾自乗方积之一倍余三倍即为股自乗之方积是中垂线之自乗方积为勾自乗方积之三倍故将底边折半自乗三因之即与中垂线自乗之方积等而开方得中垂线也

　　设如有鋭角三角形大腰一百二十二尺小腰一百一十二尺底一百五十尺求中垂线几何

　　法以底一百五十尺为一率大腰一百二十二尺与小腰一百一十二尺相加得二百三十四尺为二率以大腰一百二十二尺与小腰一百一十二尺相减余十尺为三率求得四率十五尺六寸为底边之较与底一百五十尺相减余一百三十四尺四寸折半得六十七尺二寸为勾以小腰一百一十二尺为求得股八十九尺六寸为中垂线也如图甲乙丙三角形甲乙为大腰甲丙为小腰乙丙为底甲丁为所求中垂线试以甲为心丙为界作一圜截甲乙大腰于庚截乙丙底于戊又将甲乙大腰引长至己作甲己线与甲丙小腰相等则己乙为两腰之和庚乙为两腰之较【葢甲庚与甲丙等故庚乙为两腰之较】乙丙为底边之和乙戊为底邉之较【葢丁丙与丁戊等故乙戊为底邉之较】今以乙丙底邉之和与乙己两腰之和为比即同于乙庚两腰之较与乙戊底边之较为比为转比例之四率【几何原夲九卷第八节自圜外一点至圜内所作之两线此两全线之比例同于圜外两叚转相比之比例】故乙丙为一率乙己为二率乙庚为三率求得四率为乙戊既得乙戊则于乙丙底边内减去乙戊余戊丙折半得丁丙为勾甲丙为求为股为甲丁中垂线也

　　又法以大腰一百二十二尺自乘得一万四千八百八十四尺又以小腰一百一十二尺自乘得一万二千五百四十四尺两自乘数相减余二千三百四十尺以底边一百五十尺除之得十五尺六寸为底边之较与底边一百五十尺相减余一百三十四尺四寸折半得六十七尺二寸为勾以小腰一百一十二尺为求得股八十九尺六寸为中垂线也如图甲乙丙三角形试自甲角作甲丁垂线则分为甲丁乙甲丁丙两勾股形甲乙甲丙皆为乙丁丁丙皆为勾共以甲丁为股乙丙为两勾之和乙戊为两勾之较今以甲乙自乘则成甲戊己乙一正方形内丁庚辛乙为乙丁勾自乘之一正方形于甲戊己乙正方形内减去丁庚辛乙正方形所余甲戊己辛庚丁磬折形积即与甲丁股自乘之一正方形等又以甲丙自乘则成甲壬癸丙一正方形内丁子丑丙为丁丙勾自乘之一正方形于甲壬癸丙正方形内减去丁子丑丙正方形所余甲壬癸丑子丁磬折形积亦与甲丁股自乘之一正方形等是则前图之甲戊己辛庚丁磬折形与后图之甲壬癸丑子丁磬折形相等矣若两自乘之数相减则如甲戊己乙正方形内减去与甲壬癸丑子丁磬折形相等之甲戊己辛庚丁磬折形又减去丁子丑丙一小正方形所余为子庚辛乙丙丑一小磬折形引而长之成一长方形其长即乙丁与丁丙之和其濶即乙丁与丁丙之较故以乙丁与丁丙之和除子庚辛乙丙丑磬折形之积而得乙丁与丁丙之较也又图甲乙丙三角形作甲丁垂线分为两勾股形共以甲丁垂线为股故甲乙自乘方内有甲丁股自乘一方乙丁勾自乘一方而甲丙自乘方内有甲丁股自乘一方丁丙勾自乘一方今两勾股形之股既同则两方相减所余之数即两勾方相减所余之数故甲丁乙勾股形之甲乙自乘方内减甲丁丙勾股形之甲丙自乘方所余庚辛乙寅丑子磬折形即与甲丁乙勾股形之丁乙勾自乘方内减甲丁丙勾股形之丁丙勾自乘方所余乙卯辰己申未磬折形相等若将乙卯辰己申未磬折形引而长之遂成乙壬酉未长方形其长即乙丁丁丙两勾之和其阔即乙丁丁丙两勾之较其积即乙丁丁丙两勾方相减之余亦即甲乙甲丙两方相减之余是以两自乘相减之余积以两勾之和除之而得两勾之较也

　　设如有鋭角三角形大腰十七尺小腰十尺底二十一尺求中垂线几何

　　法以底二十一尺为一率以大腰十七尺与小腰十尺相加得二十七尺为二率以大腰十七尺与小腰十尺相减余七尺为三率求得四率九尺为底边之较与底二十一尺相减余十二尺折半得六尺为勾以小腰十尺为求得股八尺为中垂线也如图甲乙丙三角形甲乙为大腰甲丙为小腰乙丙为底甲丁为所求中垂线试以甲为心丙为界作一圜截甲乙大腰于庚截乙丙底边于戊又将甲乙大腰引长至己作甲己线与甲丙小腰等则己乙为两腰之和庚乙为两腰之较乙丙为底边之和乙戊为底邉之较其乙丙与乙己之比即同于庚乙与乙戊之比为转比例四率也

　　又法以大腰十七尺自乘得二百八十九尺又以小腰十尺自乘得一百尺两自乘数相减余一百八十九尺以底二十一尺除之得九尺为底边之较与底二十一尺相减余十二尺折半得六尺为勾以小腰十尺为求得股八尺为中垂线也图解同前

　　设如有斜立鋭角三角形大腰二十一尺小腰十七尺底十尺求形外垂线几何

　　法以底十尺为一率大腰二十一尺与小腰十七尺相减余四尺为二率大腰二十一尺与小腰十七尺相加得三十八尺为三率求得四率十五尺二寸为底与形外垂线两边连底之总内减去底十尺余五尺二寸折半得二尺六寸为勾以小腰十七尺为求得股十六尺八尺为形外垂线也如图甲乙丙三角形甲乙为大腰甲丙为小腰乙丙为底甲丁为所求形外垂线试以甲为心丙为界作一圜截甲乙大腰于庚又将甲乙大腰引长至己作甲己线与甲丙小腰相等复将乙丙底引长至戊作乙戊线则成甲乙戊三角形其乙丙为底邉之较乙戊为底边之和乙庚为两腰之较乙己为两腰之和自圜外至圜内所作两线之比例既同于圜外两叚转相比之比例则圜外两叚之比例亦必同于两全线转相比之比例故乙丙与乙庚之比即同于乙己与乙戊之比为比例四率既得乙戊则减乙丙余丙戊折半得丙丁为勾甲丙为求得股即甲丁垂线也

　　又法以大腰二十一尺自乘得四百四十一尺又以小腰十七尺自乘得二百八十九尺两自乘数相减余一百五十二尺以底十尺除之得十五尺二寸为底与形外垂线两边连底之总内减底十尺余五尺二寸折半得二尺六寸为勾以小腰十七尺为求得股十六尺八寸为形外垂线也如图甲乙丙三角形将乙丙底引长至戊自甲作垂线至丁则丁戊与丁丙等又自甲至戊作甲戊线与甲丙小腰等则成甲丁乙甲丁戊两勾股形甲乙甲戊皆为乙丁丁戊皆为勾共以甲丁为股而乙丙为两勾之较乙戊为两勾之和前法以和求较此法以较求和其理一也图解并同前

　　设如有鋭角三角形两腰俱五尺底六尺求面积几何

　　法先以底六尺折半得三尺为勾任以两腰之一边五尺为求得股四尺为中垂线与底六尺相乘得二十四尺折半得一十二尺为三角面积也如图甲乙丙三角形以乙丙底边与甲丁中垂线相乘成戊乙丙己长方形积比三角形积正大一倍故折半得三角积也

　　设如有钝角三角形大腰十七尺小腰十尺底二十一尺求面积几何

　　法先用求中垂线法求得中垂线八尺与底二十一尺相乘得一百六十八尺折半得八十四尺为三角面积也如图甲乙丙三角形先求甲丁垂线既得甲丁垂线乃与乙丙底边相乘成戊乙丙己长方形比三角形积正大一倍故折半得三角积也

　　又法以甲乙边十七尺乙丙边二十一尺甲丙边十尺三数相加得四十八尺为三边之总折半得二十四尺为半总以甲乙边十七尺与半总二十四尺相减余七尺为甲乙边与半总之较以乙丙边二十一尺与半总二十四尺相减余三尺为乙丙边与半总之较以甲丙边十尺与半总二十四尺相减余十四尺为甲丙边与半总之较乃以半总二十四尺为一率甲丙边与半总之较十四尺为二率乙丙边与半总之较三尺与甲乙边与半总之较七尺相乘得二十一尺为三率求得四率十二尺二十五寸开方得三尺五寸为三角形自中心至三边之垂线与三边之总四十八尺相乘得一百六十八尺折半得八十四尺即三角形之面积或以所得垂线三尺五寸与半总二十四尺相乘亦得八十四尺为三角形之面积也此法葢一率二率以线与线为比三率四率以面与面为比也如甲乙丙三角形自中心丁至三边各作一垂线又自中心丁至三角各作一分角线即成六直角三角形俱两两相等【丁巳丙与丁庚丙等丁巳乙与丁戊乙等丁戊甲与丁庚甲等】又按甲戊度引乙丙线至辛则乙辛为三边之半总即三较之和【乙巳与乙戊等即甲丙边与半总之较巳丙与丙庚等即甲乙边与半总之较丙辛与甲戊甲庚等即乙丙边与半总之较】试自辛作直角将乙丁线引长作一乙辛壬直角形则壬辛与丁巳平行乙辛壬形与乙巳丁形遂为同式形其乙辛与乙巳之比即同于壬辛与丁巳之比然乙辛一率乙巳二率之数虽有而壬辛之数却无又但知巳丙与丙辛相乘之数即丁巳与壬辛相乘之数故以巳丙与丙辛相乘之数为三率【何以知巳丙与丙辛相乘之数即丁巳与壬辛相乘之数试作壬丙线壬癸线使丙癸与丙辛等癸角辛角皆为直角癸丙辛角与辛壬癸角相合共成一百八十度然庚丙巳角为癸丙辛角之外角相合亦共成一百八十度是庚丙巳角与辛壬癸角等庚丁巳角与癸丙辛角等是以壬癸丙辛形与丙庚丁巳形为同式形而丙辛壬勾股形与丁己丙勾股形亦为同式形可互相比例矣以丁己作一率巳丙作二率丙辛作三率即得四率壬辛是以巳丙二率与丙辛三率相乘之数即与丁巳一率与壬辛四率相乘之数等故直以己丙丙辛相乘之数作三率也】其所得四率即丁己自乘之数是故乙辛与乙巳之比同于丁己与壬辛相乘之面【即己丙与丙辛相乘之面】与丁己自乘之面之比也既得丁己自乘之面故开方而得丁巳为三角形自中心至三边之垂线与丁戊丁庚俱相等又即三角形容圜之半径也既得自中心至三边之垂线则用垂线与三边之总相乘所得一长方积【即如用垂线与三边各相乘所得三长方积合为一长方】比三角形积大一倍故折半而得三角形之面积如以垂线与半总相乘即与三角形积等而不用折半矣

　　设如有鋭角三角形大腰三十七尺小腰十五尺底四十四尺求内容正方边几何

　　法先用求中垂线法求得中垂线十二尺与底边四十四尺相加得五十六尺为一率中垂线十二尺为二率底边四十四尺为三率推得四率九尺四寸二分八厘五毫有余即三角形内所容正方之一边也如图甲乙丙三角形甲乙为大腰甲丙为小腰乙丙为底甲丁为所得中垂线戊己庚辛为今所求内容正方形试依甲丁中垂线度将乙丙线引长作乙癸线为五十六尺又与甲丙线平行作壬癸线又将甲乙线引长作壬乙线则成与甲乙丙同式之壬乙癸三角形复与底线平行作甲子线与丙癸等即与甲丁垂线等又与甲丁平行作子丑线与甲丁等则甲丁垂线所作甲丁丑子正方形即为壬乙癸三角形内所容之正方形矣故壬乙癸三角形之乙癸底与甲丁方边之比即同于甲乙丙三角形之乙丙底与戊巳方边之比故中垂线与底边相加为一率中垂线为二率底邉为三率推得四率为内容正方之一边也

　　设如等边三角形每边一尺二寸求内容圜径几何法先用求中垂线法求得中垂线一尺零三分九厘二毫有余以三归之得三寸四分六厘四毫有余即内容圜形半径倍之得六寸九分二厘八毫有余即内容圜形全径也如图甲乙丙三角形内容丁圜形先求得甲戊中垂线又自丙角至甲乙线界作丙巳垂线与甲戊中垂线相交于丁即三角形之中心亦即内容圜形之中心故丁戊与丁己即内容圜形之半径又甲戊乙甲巳丁两勾股形为同式形甲乙为乙戊之二倍则甲丁亦必为丁巳或丁戊之二倍丁戊既为内容圜形之半径则甲丁即为内容圜形之全径而甲戊中垂线必为丁戊半径之三倍矣故求得甲戊中垂线以三归之得丁戊即内容圜形之半径倍之得庚戊即内容圜形之全径也

　　设如等边三角形每边一尺二寸求外切圜径几何法先用求中垂线法求得中垂线一尺零三分九厘二毫有余三归四因得一尺三寸八分五厘六毫有余即外切圜形全径也如图甲乙丙三角形外切丁圜形先求得甲戊中垂线又自丙角至甲乙线界作丙己垂线与甲戊中垂线相交于丁即三角形之中心亦即外切圜形之中心故甲丁与丙丁即外切圜形之半径又甲戊乙甲巳丁两勾股形为同式形甲乙为乙戊之二倍则甲丁亦必为丁己或丁戊之二倍甲丁既为外切圜形之半径则为甲戊中垂线之三分之二而甲戊中垂线却为甲庚全径之四分之三矣故求得甲戊中垂线三归四因得甲庚即外切圜形之全径也

　　又法以每边一尺二寸自乘三归四因开方得一尺三寸八分五厘六毫有余即外切圜形全径也如图甲乙丙三角形外切甲乙丁丙圜形试自甲角作甲戊中垂线又引长作甲丁全径线复自丁至乙作丁乙线遂成甲乙丁甲戊乙两勾股形为同式形甲乙既为乙戊之二倍则甲丁亦必为乙丁之二倍故甲丁自乘方积比乙丁自乘方积大四倍若依勾求股之法言之则甲丁自乘方积内减乙丁勾自乘方积所余为甲乙股自乘之方积今甲丁自乘方积既为乙丁勾自乘方积之四倍则是甲乙每边自乘方积为甲丁全径自乘方积之四分之三矣故以一边自乘三归四因即与全径自乘之方积等而开方得外切圜形之全径也

　　设如有鋭角三角形大腰三百三十八尺小腰三百尺底四百一十八尺求内容圜径几何

　　法先用求中垂线法求得中垂线二百四十尺与底四百一十八尺相乘得一十万零三百二十尺以大腰三百三十八尺小腰三百尺底四百一十八尺三数相加得一千零五十六尺除之得九十五尺即内容圜半径倍之得一百九十尺即内容圜全径也如图甲乙丙三角形内容戊圜形试自圜之中心至甲乙丙三角各作戊甲戊乙戊丙三线遂分甲乙丙三角形为甲戊乙甲戊丙乙戊丙三三角形其三边皆为三角形之底而戊巳半径皆为三角形之垂线今乙丙底边与甲丁中垂线相乘所得之长方积原比甲乙丙三角形积大一倍即如将所分三三角形各用垂线乘底边所得之三长方积合为一长方也三长方之长虽不同而濶则一故各以长除积而得濶者即如合三角形之三边除三角形之倍积而得半径也

　　设如有鋭角三角形大腰一百八十三尺小腰一百六十八尺底二百二十五尺求外切圜径几何法用求中垂线法求得中垂线一百三十四尺四寸为一率小腰一百六十八尺为二率大腰一百八十三尺为三率推得四率二百二十八尺七寸五分即外切圜径也如图甲乙丙三角形甲乙为小腰甲丙为大腰乙丙为底甲丁为中垂线试作切三角一圜自甲角至圜对界作甲戊全径线又自丙角至戊作丙戊线则甲丙戊三角形之丙角立于圜界之一半必为直角与甲丁垂线所分甲丁乙三角形之丁角等而戊角与乙角皆对甲丙弧其度又等故甲丙戊与甲丁乙两三角形为同式形是以甲丁与甲乙之比同于甲丙与甲戊之比而为相当比例四率也

　　设如有钝角三角形大腰十七尺小腰十尺底二十一尺求外切圜径几何

　　法用求中垂线法求得中垂线八尺为一率小腰十尺为二率大腰十七尺为三率推得四率二十一尺二寸五分即外切圜径也如图甲乙丙三角形甲乙为小腰甲丙为大腰乙丙为底甲丁为中垂线试作切三角一圜自甲角至圜对界作甲戊全径线又自丙角至戊作丙戊线则甲丙戊三角形之丙角立于圜界之一半必为直角与甲丁垂线所分甲丁乙三角形之丁角等而戊角与乙角皆对甲丙弧其度又等故甲丙戊与甲丁乙两三角形为同式形是以甲丁与甲乙之比同于甲丙与甲戊之比而为相当比例四率也

　　御数精蕴下编卷十四

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

　　钦定四库全书

　　御制数理精蕴下编卷十五

　　面部五

　　割圜【屡求勾股】

　　割圜

　　周髀曰圆出于方方出于矩矩者所谓直角即勾股也葢因方易度而圆难测方有尽而圆无尽故古人用割圜之法内外切屡求勾股为无数多边形以切近圜界使弧线直线渐合为一而圆周始得是则推圜者以方推方者以矩矣刘宋祖冲之以圜容六边起算元赵友钦以圜容四边起算自明末西法入中国又有割圜八线六宗三要等説而圜度内外诸线相求之法始偹要之圜内六边起算者圜径折半即圜内六边之一乃用屡求勾股之法自六边而十二边自十二边而二十四边自二十四边而四十八边如是累至亿万边设径为一而周得三一四一五九二六五三有余圜内四边起算者则以圜径为内容正方之斜自乗折半开方而得四边之一亦用屡求勾股之法自四边而八边自八边而十六边自十六边而三十二边如是累至亿万边设径为一而周亦得三一四一五九二六五三有余圜外四边起算者圜径即四边之一圜径自乗倍之开方即圜外正方之斜减去圜径即圜外两角之余又即圜外八边之一以八边之一折半为勾半径为股求得与半径相减即股较又即小同式形之勾乃以八边之一折半之勾为一率半径之股为二率小同式形之勾为三率推得四率为小同式形之股倍之即十六边之一如是累至亿万边设径为一而周亦得三一四一五九二六五三有余圜外六边起算者圜径为半径为勾求得股倍之即圜外三边之一取其三分之一即圜外六边之一以六边之一折半为勾半径为股求得与半径相减即股较又即小同式形之勾乃以六边之一折半之勾为一率半径之股为二率小同式形之勾为三率推得四率为小同式形之股倍之即十二边之一如是累至亿万边设径为一而周亦得三一四一五九二六五三有余此两法者或自圜内容形之边为勾股法使无数勾股小逼近圜周将与圜周合而为一或自圜外切形之边为勾股法使无数勾股小股逼近圜周亦将与圜周合而为一二法既立故凡圜周圜径诸法皆可以互相比例矣割圜八线则将圜周分为三百六十度先求弧度通折半为正既得正而圜内之正矢圜外之正切正割由之而生至于余余矢余切余割则又由正而得名三百六十度平分四象限每一象限九十度九十度之中得其正角为正余角为余是以正余相对而割圜八线之表以立一象限中成勾股形者五千四百故凡勾股三角测量诸法皆可以互相比例矣自圜内容形屡求勾股而得无数多边自圜外切形屡求勾股而得无数多边内外凑集则圜周渐变为直线而设圜界为度分者内而正外而切线至于无数则圜周亦渐变为直线二者互相考俱为相符可见理之至者先后一揆法之精者中外一理然则勾股即割圜之体而割圜即勾股之用二者交相成而两相得乎

　　圜内容六边起算

　　设如圜径二兆用内容六边起算问得圜周几何法以圜径二兆折半得一兆为圜内所容六边形之每一边乃以半径一兆为六边之一边一兆折半得五千亿为勾求得股八千六百六十亿二千五百四十万三千七百八十四【四百四十零小余四三八六四六七六三七二三一七○七五二九三六一】与半径相减余一千三百三十九亿七千四百五十九万六千二百一十五【八三四七一小余五六一三五三二三六二七六八二九二四七○六三八】复为勾六边之一边折半之五千亿为股求得五千一百七十六亿三千八百零九万零二百零五【一六五二九小余○四一五二四六九七七九七六七五二四八○九六六】为圜内所容十二边形之每一边如是屡求得圜内二十四边形之每一边为二千六百一十亿【五七六六四】五千二百

三十八万四千【小余一○三一八三○九六八一二四五五七九○九七八○二○三八七】圜内四十八边形之每一边为一千三百零八亿零六百二十五万八千四百六十零【小余二八六一三三六三○六三一一一七五五○三五○八八二八七九】圜内九十六边形之每一边为六百五十四亿三千八百一十六万五千六百四十三【小余五五二二八四一二七三一二二八八二四一六○八六七八四三三】圜内一百九十二边形之每一边为三百二十七亿二千三百四十六万三千二百五十二【小余九七三五六三二八五九二八五六五八九九一八九八三三二一三】圜内三百八十四边形之每一边为一百六十三亿六千二百二十七万九千二百零七【小余八七四二五八五七○三九八一四六五八九五二六六七九九六四】圜内七百

六十八邉形之每一边为八十一亿八千一百二十万八千零五十二【小余四六九五七九一八九二四八二一九九一○○三六二五二三三七】圜内一千五百三十六边形之每一边为四十亿九千零六十一万二千五百八十二【十三万一千七百三十二小余三二八一九○二二八八二六一一七九六】圜内三千零七十二边形之每一边为二十亿四千五百三十万七千三百六十零【八五八五一九○○三九小余六七六六○九○八二三八五九二二二九】圜内六千一百四十四边形之每一边为一十亿二千二百六十五万三千八百一十四【二一○二○七九○二九小余○二七三九五○二二○二八五九八九五】圜内一万二千二百八十八边形之毎一边为五亿一千一百三十二万六千九百二十三【八八五二二四三九一七小余七二

四八三四六二八一二三二九九○三】圜内二万四千五百七十六边形之每一边为二亿五千五百六十六万三千四百六十三【一九○八八四七六七九小余九五一三○九四八○五二三四四九○一】圜内四万九千一百五十二边形之每一边为一亿【一一四一○六三一七六】二千七百八【小余二三六七六六二六一八六九四七六四六四○四九二○九九九七】圜内九万八千三百零四边形之毎一边为六千三百九十一万五千八百六十六【小余一五一○二二○七一一六○七○八○七一二六三八七○七五三】圜内一十九万六千六百零八边形之每一边为三千一百九十五万七千九百三十三【小余○七九五九○九○三一○九三八一五四一九三○六五三八○○】圜内三十九万三千二百一十六边形之毎一边为一千

五百九十七万八千九百六十六【小余五四○三○五五二八八九六二四八七七九三七二三七五九六七】圜内七十八万六千四百三十二边形之每一边为七百九十八万九千四百八十三【小余二七○二一六四六五四二八○六六六八一○五六一一一一四八】圜内一百五十七万二千八百六十四边形之每一边为三百九十九万四千七百四十一【小余六二五一一七四五二九七五八六八○七○六八一一七九三三九】圜内三百一十四万五千七百二十八边形之毎一边为一百九十九万七千三百七十零【一边为六万二千四百一十七小余八一七五五九○九六六六四○五九】圜内六百二十九万一千四百五十六边形之毎一边为九十九万八千六百八十五【二五四○○二八六七九六四小余四○八七七九六七二八三九

七五五】圜内一千二百五十八万二千九百一十二边形之每一边为四十九万九千三百四十二【七五七四○六一一三六一四小余七○四三八九八五一九八三三一二】圜内二千五百一十六万五千八百二十四边形之每一边为二十四万九千六百七十一【三六三九八二九九六三五五小余三五二一九四九二七九三七○八八】圜内五千零三十三万一千六百四十八边形之每一边为一十二万四千八百三十五【六一七六九八八○二六五六小余六七六○九七四六四二一一七二三】圜内一亿零六十六万三千二百九十六边【三二二五○四七○九四一八】形之毎【小余八三八○四八七三二一三六二五九○六三二○九五八七八四三】圜内二亿零一百三十二万六千五百九十二边形之每一边为三万一千二百零八【

小余九一九○二四三六六○七一九二九二○四二六九一一八四○二】圜内四亿零二百六十五万三千一百八十四边形之每一边为一万五千六百零四【小余四五九五一二一八三○三六四三九四九七一○七三二○九五一】圜内八亿零五百三十万六千三百六十八边形之毎一边为七千八百零二【小余二二九七五六○九一五一八二七九一五○四八二九一五一四二】圜内一十六亿一千零六十一万二千七百三十六边形之每一边为三千九百零一【小余一一四八七八○四五七五九一四六九九六五八一四八七○一五】圜内三十二亿二千一百二十二万五千四百七十二边形之每一边为一千九百五十零【小余五五七四三九○二二八七九五七四五二九五三四四○六八七四】圜内六十四亿四千二百四十五万零

九百四十四边形之每一边为九百七十五【二兆之周数小余二七八七一九五一一四三九七八七三二九三六四一】圜内一百二十八亿八千四百九十万一千八百八十八边形之每一边为四百八十七【一九九二六小余六三九三五九七五五七一九八九三六七七四九八九】圜内二百五十七亿六千九百八十万三千七百七十六边形之每一边为二百四十三【○九九○五小余八一九六七九八七七八五九九四六八三八七四九四】圜内五百一十五亿三千九百六十万七千五百五十二边形之每一边为一百二十一【五四九五三小余九○九八三九九三八九二九九七三四一四二四七九】乃以五百一十五亿三千九百六十万七千五百五十二边之数与其每一边一百二十一【八七九○九小余九○九八三九九三八九二九九七三四一四二四七九】之数相乗得六兆二千八百三十一亿八千五百三十万七千

　　【八七九○九】【小余五八六四七六五八○一三四八二二○三五五○一○八八七六八】一百七十九为圜径

　　圜内容四边起算

　　设如圜径二兆用内容四边起算问得圜周几何法以圜径二兆折半得一兆自乗得一穣倍之开方得一兆四千一百四十二亿一千三百五十六万二千三百七十三【小余○九五○四八八○一六八八七二四二○九六九八○七八五六九】为圜内所容四边形之每一边乃以半径一兆为四边之一边一兆四千一百四十二亿一千三百五十六万二千三百七十三【小余○九五○四八八○一六八八七二四二○九六九八○七八五六九】折半得七千零七十一亿零六百七十八万一千一百八十六【小余五四七五二四四○○八四四三六二一○四八四九○三九二八四】为勾亦即为股【四边折半所成之勾股形其勾与股相等】与半径相减余二千九百二十八亿九千三百二十一万八千八百一十三【小余四五二四七五五九九一

五五六三七八九五一五○九六○七一六】复为勾四边之一边折半之七千零七十一亿零六百七十八万一千一百八十六【三百四十三万二千三　　百六十五小余五　四七五二　四四八四四】为股求得七千六百五十三亿六千六百八十六万四千七百三十零【三六二一四八四九三九二八四小余一七九　五四三四五六九一九】为圜内所容八边形之每一边复以半径一兆为八边之一边折半得三千八百二十六亿八千三百四十三万二千三百六十五【九六　八六七九七七三三五二三小余八　九　七七一七二八四五九】为勾求得股九千二百三十八亿七千九百五十三万二千五百一十一【九八四三三九八八六六七六一小余二八六七五六一二八一八三一八】与半径相减余七百六十一亿二千零四十六万七

千四百八十八【九三九六七八八二八六八二二小余七一三二四三八七一八一六八一】复为勾八边之一边折半之三千八百二十六亿【○六○三二一一七一三一七八】八千【小余○八九七七一七二八四五九九八四○三○三九八八六六七六一】为股求得三千九百零一亿八千零六十四万四千零三十二【小余二五六五三五六九六五六九七三六九五四○四四四八一八五五】为圜内所容十六边形之毎一边如是屡求得圜内三十二边形之每一边为一千九百六十亿三千四百二十八万零六百五十九【小余一二一二○三九八八三九一一二七七七七二八三六九一七二二】圜内六十四边形之每一边为九百八十一亿三千五百三十四万八千六百五十四【小余八三六○二八五○九九一五○七三五四一九二一八

○四五八六】圜内一百二十八边形之每一边为四百九十亿八千二百四十五万七千零四十五【小余八二四五七六○六三四七一六二一○六二○八五七五四一三二】圜内二百五十六边形之每一边为二百四十五亿四千三百零七万六千五百七十一【小余四三九八五二一五八八一七八○五二八三二二七○七一六○○】圜内五百一十二边形之每一边为一百二十二亿七千一百七十六万九千二百九十八【四十九万五千一百九十四小余三○八九五○七一九二八一一○九八】圜内一千零二十四边形之毎一边为六十一亿三千五百九十一万三千五百二十五【九七五三九一五○二八七小余九三四八一八四○○九三五六一三五】圜内二千零四十八边形之每一边为三十亿六千七百九十六万零三百七十二【六

一一八八八五○三一八小余五六九五三一二二四六○七五五四四】圜内四千零九十六边形之每一边为一十五亿三千三百九十八万零六百三十七【八二五五三五七八○五四小余四八五四○九○五三八七七二一六八】圜内八千一百九十二边形之每一边为七亿六千六百九十九万零三百七十五【○六九八○五三六五二九小余一四二七九一一七八一四四九六三四】圜内一万六千三百八十四边形之毎一边为三亿【○七九一三二八八三一一】八千三百【小余六二一四○六六一四八七九八三九一四六七五四三七○三三三】圜内三万二千七百六十八边形之每一边为一亿九千一百七十四万七千五百九十八【小余一九一九五四六九一七四一○四四四三三三四一二七四三一七】圜内六万五千五百三十

六边形之每一边为九千五百八十七万三千七百九十九【小余二○六一三三七六九○九八○一二九八六六八三四九五八○七】圜内一十三万一千零七十二边形之每一边为四千七百九十三万六千八百九十九【小余六一六八三六四三七四五八三七五六五七一七七一三四八二七】圜内二十六万二千一百四十四邉形之每一边为二千三百九十六万八千四百四十九【小余八一○一三九四一二八四三○四四三七四六一七五二八三三○】圜内五十二万四千二百八十八边形之毎一边为一千一百九十八万四千二百二十四【小余九○五二八四八五五六八五七六○○四九三二九五五四六八八】圜内一百零四万八千五百七十六边形之每一边为五百九十九万二千一百一十二【一边为一十八万七千二百五十三

小余四五二六六九三二一五○○九】圜内二百零九万七千一百五十二边形之每一边为二百九十九万六千零五十六【○九九三八七二六○○六○六五小余二二六三三八○二二四五七七】圜内四百一十九万四千三百零四边形之毎一边为一百四十九万八千零二十八【○八七一四一二○二五三九六六小余一一三一六九四三一四四二二】圜内八百三十八万八千六百零八边形之毎一边为七十四万九千零一十四【六一○七五三四七四三二九三三小余○五六五八四七六八二四七八】圜内一千六百七十七万七千二百一十六边形之毎一边为三十七万四千五百零七【○六三七七四六五一五五○七七小余○二八二九二三九○六八九七】圜内三千三百五十五万四千四百三十二边形之【三七六六八七○六

六八○○三二】每【小余五一四一四六一九六一六五五九八一四四三五○一○八二二四】圜内六千七百一十万八千八百六十四边形之每一边为九万三千六百二十六【小余七五七○七三○九八一八五三九○二三五九二四六五○三○六】圜内一亿三千四百二十一万七千七百二十八边形之毎一边为四万六千八百一十三【小余三七八五三六五四九一○五五一九○一三四三一○二四六八二】圜内二亿六千八百四十三万五千四百五十六边形之每一边为二万三千四百零六【小余六八九二六八二七四五五四三六二四九三六四九○九九七八四】圜内五亿三千六百八十七万零九百一十二边形之每一边为一万一千七百零三【小余三四四六三四一三七二七七三八一六二○一九一二四八三二一】圜内一

十亿七千三百七十四万一千八百二十四边形之每一边为五千八百五十一【小余六七二三一七○六八六三八七一五八五六七六六四六一四六四】圜内二十一亿四千七百四十八万三千六百四十八边形之每一边为二千九百二十五【之数与其每一边一百八十二小余八三六一五八五三四三一九三六一】圜内四十二亿九千四百九十六万七千二百九十六边形之毎一边为一千四百六十二【○五九二一七○八五三九四小余九一八○七九二六七一五九六八○】圜内八十五亿八千九百九十三万四千五百九十二边形之每一边为七百三十一【九二○九六二七七四五二九小余四九五○三九六三三五七九八四○】圜内一百七十一亿七千九百八十六万九千一百八十四边形之每一边为三百六十五【五○三一四○

一六六○二七小余七二九五一九八一六七八九九二○】圜内三百四十三亿五千九百七十三万八千三百六十八边形之毎一边为一百八十二【二五七六八四九九二八八六小余八六四七五九九○八三九四九六○】乃以三百四十三亿五千九百七十三万八千三百六【一二九六○六八六○七七○】十八边【小余八六四七五九九○八三九四九六○一二九六○六八六○七七○】之数相乗得六兆二千八百三十一亿八千五百三十万七千一百七十九【小余五八六四七六八六三○八三一○六七五五○○三○二三三六○】为圜径二兆之周数

　　圜外切六边起算

　　设如圜径二兆用外切六边起算问得圜周几何法以圜径二兆为半径一兆为勾求得股一兆七千三百二十亿五千零八十万七千五百六十八【二十六万九千一百八十九为勾小余八七七二九三五二七四四六三四】取其三分之二得一兆一千五百四十七亿零五十三万八千三百七十九【一五○五八七二三六六九四二小余二五一五二九○一八二九七五六】即圜外六边形之毎一边【一○○三九一四九一一二九五葢圜径为半径为勾所得股即圜外三边形之每边之一半倍之为圜外三边形之每一边其毎一边之三分之一即圜外六边形之每一边今以六边起算故省求三边止以所得之股取其】乃以六边形之每一边一兆一千五百四十七亿零五十三万八千三百七十九【三分之二为六边形之毎一边也小余二五一五二九○一八二九七五六】折半得五千七百七十三亿五

　　【一○○三九一四九一一二九五】【小余六二五七六四五○九一四八七八○五○一九五七四五五六四七】千零半径一兆为股即用六边之一边为【四千八百六十二圜内六边与半径等圜外六边亦与本形半径等故即用六】与半径相减余一千五百四十七亿零五十三万八千三百七十九【边之一边为也小余二五一五二九○一八二九七五六一○○三九一】即股较又即小同式形之勾复以六边形之一边折半之勾五千七百七十三亿五千零二十六万九千一百八十九【四九一一二九五小余六二五七六四五○九一四八七八○五○一九五】为一率半径之股一兆为二率小同式形之勾一千五百四十七亿零五十三万八千三百七十九【七四五五六四七小余二五一五二九○一八二九七五六一○○三九一】为三率推得四率二千六百七十九亿四千九百一十九万二千四百三十一【四九一一二九五小余一二二七○六四七二五五三六五八四九四一二】为小同式形之股倍之得五千三百五十八亿【七六三三○五七】九千八百三十八万【小余二四五四一二九四五一○七百八十二万六千八百零七圜外三一】为圜外十二边形之每一边如是屡求得圜外二十四边形之毎一边为二千六百三十三亿零四百九十九万五千一百七十四【六九八八二五五二六六一一四小余七九一七○六九四三○五二九一】圜外四十八边形之每一边为一千三百一十亿八千六百九十二万五千六百三十零【四八一九四三四二○七一八四小余四七六四五七一二九○八七四四】圜外九十六边形之每一边为六百五十四亿七千三百二十二万零八百二十五【九七五九八八五五八九八四二小余九四五一七二八七八五一七八九】圜外一百九十二边形之每一边为三百二十七亿二千七百八十四万四千二百七十零【七七八六九一九二四七三一○小余六二三一六五三三○六八二一五】圜外三百八十四边形之每一边为一百六十三亿六

　　【七二二五九三九八八九七五六】【小余五八七七五二七四○七五○一二四一四二六二九三○五五○二】千二七百六十八边形之每一边为八十一亿八千一百二十七万六千五百零一【小余五七四七一二三四○五二八六五四七○二○六三七八四二四六】圜外一千五百三十六边形之毎一边为四十亿九千零六十二万一千一百三十八【小余四三九四八七一七七○七三八九五七六二五○九三○八六七○】圜外三千零七十二边形之毎一边为二十亿四千五百三十万八千四百三十零【小余一八九六八二三○九八七九八九二○四九四○七三○一四三八】圜外六千一百四十四边形之毎一边为一十亿二千二百六十五万三千九百四十七【小余七一六五○二九四○六○七九二三六一七○八二四○○七六八】圜外一万二千二百八十八边形之每一边为五亿一千一百三十二万六千九百四十零【小余四三五九七二三○一一六二四八九八六三九六七三七八二六二】圜外二万四千五百七十六边形之每一边为二亿五千五百六十六万三千四百六十六【三圜外一百五十七小余○四○二○一六六四○五二四五三七一九三】圜外四万九千一百五十二边形之每一边为一亿二千七百八十三万一千七百三十二【三九一五○五八二小余四九七八七七七八四○一○五六○七七四○】圜外九万八千三百零四边形之毎一边为六千三百九十一万五千八百六十六【一○四六二三四八小余一八三六六一○一一四○三三三五六四一三】圜外一十九万六千六百零八边形之每一边为三千一百九十五万七千九百三十三【七七六七八四八四小余○八三六七○七七○六三八九二五一四九七】圜外三十九万三千二百一十六边形之毎一边为一千五百九十七万八千九百六十六【五○二五一六九四小余五四○八一五四一八四三七○一○三七九二】圜外七十八万六千四百三十二边形之每一边为七百九十八

　　【○二九四三三二二】【小余二七○二八○二一三三五八二一○八七二五八六○四二○三○】万九千四百八十万二千八百六十四边形之每一边为三百九十九万四千七百四十一【小余六三五一二四一六九六九六五六九○二八一四八七○四五五八】圜外三百一十四万五千七百二十八边形之每一边为一百九十九万七千三百七十零【小余八一七五六○○九二七二五四六七四七四九七七六四四三五四】圜外六百二十九万一千四百五十六边形之每一边为九十九万八千六百八十五【小余四○八七七九七九七三四七三八一六○七九七四二七五二九八】圜外一千二百五十八万二千九百一十二边形之毎一边为四十九万九千三百四十二【小余七○四三八九八六七五四六七七一七八七八○九四六一二一四】圜外二千五百一十六万五千八百二十四边形之每一边为二十四万九千六百七十一【小余三五二一九四九二九八八二五二一○六八八二八八四八八六二】圜外五千零三十三万一千六百四十八边形之每一边为一十二万四千八百三十五【万小余六七六○九七四六四四五四九○二三九八八一三七二三○八】圜外一亿零六十六万三千二百九十六边形之每一边为六万二千四百一十七【二小余八三八○四八七三二一六六六五六四三五七○三三九六九七】圜外二亿零一百三十二万六千五百九十二边形之每一边为三万一千二百零八【六小余九一九○二四三六六○七五七二八八七二三八八七六五四二】圜外四亿零二百六十五万三千一百八十四边形之毎一边为一万五千六百零四【八小余四五九五一二一八三○三六九一四五一八○一一五一六○八】圜外八亿零五百三十万六千三百六十八边形之每一边为七千八百零二【○小余二二九七五六○九一五一八二三八五一九二三二八九九七一】圜外一十六亿一千零六十一万二千七百三十六边形之毎一边为三千九百零

　　【○】【小余一一四八七八○四五七五九一五四四一七一四四八四二五六二】一圜外三十二亿二千一百二十二五千四百七十二边形之每一边为一千九百五十零【一百二十一小余五五七四三九○二二八七九五七五三五三二六三四】圜外六十四亿四千二百四十五万零九百四十四边形之每一边为九百七十五【七○三六八小余二七八七一九五一一四三九七八七四四四七一八一】圜外一百二十八亿八千四百九十万一千八百八十八边形之毎一边为四百八十七【一六三二○小余六三九三五九七五五七一九八九三六九三三六九八】圜外二百五十七亿六千九百八十万三千七百七十六边形之每一边为二百四十三【五五八○二小余八一九六七九八七七八五九九四六八四三○六一二】圜外五百一十五亿三千九百六十万七千五百五十二边形之每一边为一百二十一【七七六○六小余九○九八三九九三八九二九九七三四二一○七七六】乃以五百一十五亿三千九百六十万七千五百五【八二五一六】十二边之数与其每一边【小余九○九八三九九三八九二九九七三四二一○七七六八二五一六】之数相乗得六兆二千八百三十一亿八千五百三十万七千一百七十九【小余五八六四七六九三二一五四六○一七七八二八三九六○八三二】为圜径二兆之周数

　　圜外切四边起算

　　设如圜径二兆用外切四边起算问得圜周几何法以圜径二兆为外切四边形之每一边乃以圜径二兆为股亦即为勾求得二兆八千二百八十四亿二千七百一十二万四千七百四十六【小余一九○○九七六○三三七七四四八四一九三九六一五七一三八】为圜外四边形之斜与圜径相减余八千二百八十四亿二千七百一十二万四千七百四十六【小余一九○○九七六○三三七七四四八四一九三九六一五七一三八】即圜外八边形之每一边又以八边形之毎一边八千二百八十四亿二千七百一十二万四千七百四十六【小余一九○○九七六○三三七七四四八四一九三九六一五七一三八】折半得四千一百四十二亿一千三百五十六万二千三百七十三【小余○九五○四八八○一六八八七二四二○九六九八○七八五六九】为勾半径一兆为股求得一兆零八百二十三亿九千二百二十万零二百九十二【万四千七百五十九小余三九三九六八八九九四四六四一○七三二七】与半径相减余八百二十三亿九千二百二十万零二百九十二【七八八四○一二一小余三九三九六八八九九四四六四一○七三二七】即股较又即小同式形之勾复以八边形之一边折半之勾四千一百四十二亿一千三百五十六万二千三百七十三【七八八四○一二一小余○九五○四八八○一六八八七二四二○九六】为一率半径之股一兆为二率小同式形之勾八百二十三亿九千二百二十万零二百九十二【九八○七八五六九小余三九三九六八八九九四四六四一○七三二七】为三率推得四率一千九百八十九亿一千二百三十六万七千三百七十九【七八八四○一二一小余六五八○○六九一一五九七六二二六四四六】为小同式形之股倍之得三千九百七十八亿【七六二二八五九七】二千四百七十三【小余三一六○一三八二三一九五二四三百一十五圜外一千零五二八】为圜外十六边形之每一边如是屡求得圜外三十二边形之毎一边为一千九百六十九亿八千二百八十万六千七百一十四【九三五二四五七一九四小余三二八五○六一五四三九五○四二五八】圜外六十四边形之每一边为九百八十二亿五千三百六十九万九千五百三十八【二六五四八六四五八四小余九三四五○八二一○六八六六四二五四】圜外一百二十八边形之毎一边为四百九十亿九千七百二十四万四千二百一十七【二六二七二三四一五八小余八五○八八八二○九一五九五○七九二】圜外二百五十六边形之毎一边为二百四十五亿四千四百九十二万四千七百五十九【一八一七四四二三八四小余一三二五五○四六一七七五一○六四六】圜外五百一十二边形之毎一边为一百二十二亿七

　　【八五四一五九二八九○】【小余二四六八○三九二八五八八七三一二○二六二一六七○五八二】千二百万零二十四边形之毎一边为六十一亿三千五百九十四万二千四百零二【小余八四五三二九九七四一四七八三一三六四二四三四七六五八四】圜外二千零四十八边形之每一边为三十亿六千七百九十六万三千九百八十二【小余一七七三三三○五六九八五四四一六三六七○○八七四九四四】圜外四千零九十六边形之每一边为一十五亿三千三百九十八万一千零八十八【小余六八六一八五二一○三四六四一五四二三二五五八四七五三八】圜外八千一百九十二边形之每一边为七亿六千六百九十九万零四百三十一【小余五四二八八一九七六六九一四六八三六八一五四四三九三二○】圜外一万六千三百八十四边形之毎一边为三亿八千三百四十九万五千二百零一【小余六七一四一七七七○二九一五五五一二一七二六一八二一一○】圜外三万二千七百六十八边形之每一边为一亿九千一百七十四万七千五百九十九【百零九万七千小余○七三二○六○八○○九二二九六○九三一四五】圜外六万五千五百三十六边形之毎一边为九千五百八十七万三千七百九十九【一四六一○六小余三一六二九○一九二四五二○六五五二六二○七】圜外一十三万一千零七十二边形之每一边为四千七百九十三万六千八百九十九【六一九八五八小余六三○六○五九九○三七一六九七五二九八八九】圜外二十六万二千一百四十四边形之每一边为二千三百九十六万八千四百四十九【四六二九四四小余八一一八六○六○六九五七○二三二六九五八九】圜外五十二万四千二百八十八边形之每一边为一千一百九十八万四千二百二十四【三○一三二○小余九○五五○○○○四九五○○○一一四八一五○】圜外一百零四万八千五百七十六边形之每一边为五百九十九万二

　　【○二三三六六】【小余四五二六九六二一五一五八九三九六六○一二八○二○一五四】千一百一十二圜外二一百五十二边形之毎一边为二百九十九万六千零五十六【千六百二十六小余二二六三四一三八四一六四九六二三○六三四八】圜外四百一十九万四千三百零四边形之每一边为一百四十九万八千零二十八【二四八二二○小余一一三一六九八五一六五五六六七七一五五三八】圜外八百三十八万八千六百零八边形之每一边为七十四万九千零一十四【六四一七五四小余○五六五八四八二○七七四四八二一七八一五三】圜外一千六百七十七万七千二百一十六边形之每一边为三十七万四千五百零七【二九一四五二小余○二八二九二三九七二五五五七二一二九一二七】圜外三千

三百五十五万四千四百三十二边形之毎一边为一十八万七千二百五十三【四○四七三○小余五一四一四六一九六九八六三二七四四四五七○】圜外六千七百一十万八千八百六十四边【一三三五七四】形之每一边为九万三【小余七五七○七三○九八二八七九八一三九四七八五八七三三八六】圜外一亿三千四百二十一万七千七百二十八边形之毎一边为四万六千八百一十三【小余三七八五三六五四九一一八三五二九○六四五五五三七六○二】圜外二亿六千八百四十三万五千四百五十六边形之毎一边为二万三千四百零六【小余六八九二六八二七四五五五九六五四七九三六○五九三九一六】圜外五亿三千六百八十七万零九百一十二边形之每一边为一万一千七百零三【小余三四四六三四

一三七二七七五八一九九二九四六九○○○九六】圜外一十亿七千三百七十四万一千八百二十四边形之毎一边为五千八百五十一【小余六七二三一七○六八六三八七四○九○三一三一七七五四四○】圜外二十一亿四千七百四十八万三千六百四十八边形之每一边为二千九百二十五【小余八三六一五八五三四三一九三六四一八九八九八一七八三九四】圜外四十二亿九千四百九十六万七千二百九十六边形之毎一边为一千四百六十二【七千一百七十九小余九一八○七九二六七一五九六八一三九八三六】圜外八十五亿八千九百九十三万四千五百九十二边形之每一边为七百三十一【九八五○二五二小余四五九○三九六三三五七九八四○六○一三四】圜外一百七十一亿七千九百八十六万九

千一百八十四边形之每一边为三百六十五【六三六七一六六小余七二九五一九八一六七八九九二○二八八四四】圜外三百四十三亿五千九百七十三万八千三百六十八边形之每一边为一百八十二【三三六三八三八小余八六四七五九九○八三九四九六○一四二六九】乃以三百四十三亿五千九百七十三万八千三百六十八边之数与其每一边一百八十二【二九五四四五○小余八六四七五九九○八三九四九六○一四二六九】之数相乗得六兆二千八百三十一【二九五四四五○】亿八千五百三十万【小余五八六四七七三一二七一七八六一八五八九四一三三七六○○】为圜径二兆之周数

　　御制数理精蕴下编卷十五

　　钦定四库全书

　　御制数理精蕴下编卷十六

　　面部

　　割圜【割圜八线　六宗　　三要　　二简法八线相求　求象限内各线总法】

　　割圜八线

　　圜周定为三百六十度大而周天小而寸许皆如之葢圜有大小而度分随之其为数则同自圜心平分圜周为四分名曰四象限每一象限九十度一象限之中设为正余正矢余矢正切余切正割余割名之曰割圜八线

　　设如甲乙丙丁之圜自圜心戊平分全圜为甲乙乙丙丙丁丁甲四象限其每一象限皆九十度乃自圜心戊任作一戊己半径则将甲丁九十度之弧分为甲己己丁二己丁为己戊丁角所对之弧甲己为甲戊己角所对之弧如命己戊丁为正角则甲戊己为余角甲戊己为正角则己戊丁为余角正角所对为正弧余角所对为余弧今以己丁为正弧故甲己为余弧又自己与甲丙全径平行作己辛线谓之通其对己丁正弧而立于戊丁半径者曰正又与戊丁半径平行作壬己线谓之余以其为甲己余弧之所对也于戊丁半径内减戊庚余庚丁谓之正矢于甲戊半径内减壬戊余甲壬谓之余矢自圜界与甲戊半径平行立于戊丁半径之末作垂线仍与己戊丁角相对者曰正切将己戊半径引长与正切相遇于癸成戊癸线谓之正割又自圜界与戊丁半径平行作甲子线谓之余切戊癸正割被甲子余切截于子所分戊子谓之余割每一角一弧即有正余正矢余矢己成四线于圜界之内复引出半径于圜界之外而成正切余切正割余割之四线内外共为八线故曰割圜八线逐度逐分正弧之余即为余弧之正余弧之正即为正弧之余是以前四十五度之八线正余互相对待为用不必复求后四十五度之八线也凡此八线皆九十度以内鋭角之所成若直角九十度者则不能成八线葢因半径即九十度之正甲戊半径即甲丁弧之而切线割线为平行终无相遇之处也若钝角过九十度以外者则于半周一百八十度内减其角度用其余度之八线即如己庚为己丁弧之正亦即乙己弧之正也要之八线以正为本有正则诸线皆由此生故六宗三要皆系正之法

　　六宗三要【二简法附】

　　西洋厯算家作割圜八线表始自圜内容六边四边十边三边五边十五边名曰六宗葢用圜径求各等边形之一边为相当弧之通以为立表之原故谓之宗然六者实本于三如六边形之一边即圜之半径不借他求数无零余而理最易见此其一也四边形之一边则为半径所作正方形之对角斜此又其一也十边形之一边则为半径所作连比例三率之中率西法谓之理分中末线此又其一也至于三边形则出于六边五边形则出于十边十五边形则又出于三边及五边非别自立一法也既得此六种形之一边各半之即得六种弧之各正爰命此六种弧为本弧按法可求本弧之余可求倍本弧之正余亦可求半本弧之正余是为三要又以不等两弧之正余求相加相减弧之正又两弧距六十度前后之度等得其两正之较即得距弧之正是又名为二简法由此错综之可得正一百二十其中最小者为四十五分之其次一度三十分又次为二度十五分又次为三度如此每越四十五分而得一其自一分至四十四分之则以比例求之因弧分甚微与直线所差无几故以求而得之此西法立割圜八线表之大纲也尔来西法对数表内有设连比例四率以求圜内容七边九边二法因推广其理于六宗之外增求圜内容十八边形十四边形之法俱以半径为首率求连比例四率之第二率即十八边形十四边形之每一边而七邉又因之以生亦犹三边之出于六边五边之出于十边也有此二形与六宗相叅伍可得正三百六十其中最小者为十五分之正又增一法求十五分之三分之一五分之正所少者止一分至四分之正较之四十五分为尤密可知矣今以六宗三要二简法理分中末线并新增数法皆按类具例于左

　　六宗【圜内容六边形四边形三边形十边形五边形十五边形】

　　设如圜径二十万求内容六边形之一边几何法以圜径二十万折半得半径十万即圜内容六边形之每一边也如甲圜内容六边形每边之弧得圜周六分之一皆六十度试自圜心甲至圜界乙丙二处作甲乙甲丙二半径线成甲乙丙三角形则甲角所对之弧为六十度而甲乙甲丙两腰俱为半径既相等则乙角丙角亦必相等而各为六十度矣三角既等则三边亦必相等故乙丙边即与甲乙甲丙半径相等也乙丙弧既为六十度则乙丙边十万为六十度之通折半得乙丁五万即乙戊弧三十度之正也此即六边起算之理前设圜径为二兆者所以求其密合今设圜径为二十万所以取其便于用也

　　设如圜径二十万求内容三边形之一边几何法以圜径二十万为自乗得四百亿又以半径十万为勾自乗得一百亿相减余三百亿开方得股一十七万三千二百零五【小余○八○七五六八】即圜内容三边形之每一边也如甲圜内容三边形毎边之弧得圜周三分之一皆一百二十度为六边形每边弧之一倍试自乙角过圜心至对界作乙丁全径线又自丁依半径度至丙作丁丙线则成六边形之每一边其丙丁弧即为三边形之每边弧之一半而丙角立于圜界之一半必为直角故半径为勾全径为求得股即三边形之每一边也乙丙弧既为一百二十度则乙丙边一十七万三千二百零五【小余○八○七五六八】为一百二十度之通折半得乙戊八万六千六百零二【小余五四○三七八四】即乙己弧六十度之正也

　　设如圜径二十万求内容四边形之一边几何法以圜径二十万折半得半径十万自乗得一百亿倍之得二百亿开方得一十四万一千四百二十一【小余三五六二三七三】即圜内容四边形之每一边也如甲圜内容四边形每边之弧得圜周四分之一皆九十度试自圜心甲至圜界乙丙二处作甲乙甲丙二半径线成甲乙丙勾股形若命甲乙半径为股则甲丙半径为勾若命甲丙半径为股则甲乙半径为勾因勾股皆为半径故以半径自乗倍之开方而得即如勾股各自乗并之开方而得也乙丙弧既为九十度则乙丙边一十四万一千四百二十一【小余三五六二三七三】为九十度之通折半得乙丁七万零七百一十【小余六七八一一八六】即乙戊弧四十五度之正也

　　理分中末线【此西法名也因命一线为首率将此首率分为大小两分大分为中率小分为末率与原线共为相连比例三率故谓之理分中末线也】

　　设如以十万为首率作相连比例三率使中率末率相加与首率等求中率末率各几何

　　法以十万自乗得一百亿为长方积以十万为长阔之较用带纵较数开方法算之得阔六万一千八百零二即相连比例之中率以中率与首率十万相减余三万八千一百九十七即相连比例之末率也此法葢因连比例三率之首率末率相乗之长方积与中率自乗之正方积等而首率之中有一中率一末率之数故首率自乗之一正方积中有首率中率相乗之一长方又有首率末率相乗之一长方即如甲乙为首率丙乙为中率甲丙为末率丙乙中率自乗之正方为丁戊乙丙甲丙末率与甲乙首率相乗之长方为甲丙庚辛【甲辛与甲乙等】此一正方一长方之积等而甲乙首率自乗之正方为甲乙己辛丙乙中率与甲乙首率相乗之长方为丙乙己庚【丙庚与甲乙等】夫甲丙庚辛之长方既与丁戊乙丙之正方等则甲乙己辛之正方亦必与丁戊己庚之长方等是以丁戊己庚长方形之阔即中率其长比阔之较即首率故以首率自乗为长方积仍以首率为长比阔之较用带纵平方法开之得阔为中率也

　　又法以首率十万为股首率十万折半得五万为勾求得一十一万一千八百零三内减勾五万余六万一千八百零三为相连比例之中率以中率与首率相减余三万八千一百九十七即为相连比例之末率也如图甲乙与乙丙皆为首率今以甲乙为股乙丙折半得乙丁为勾求得甲丁试依甲丁度将乙丁勾引长至戊作丁乙戊线仍自甲至戊作一圜界则甲丁戊丁同为半径且皆为于戊丁内减乙丁勾所余乙戊与己乙等即中率于甲乙首率内减去与乙戊相等之己乙中率所余甲己即末率也此法与前法理实相同带纵较数开方法有以半较自乗与原积相加开方得半和于半和内减半较得阔者今此法以首率为股自乘得甲乙丙壬正方形即与庚戊丙辛长方形积等乙丙即长阔之较乙丁即半较戊丁即半和今以乙丁为勾自乘甲乙为股自乘相加开方得甲丁即如乙丁半较自乘与甲乙自乘原积相加开方而得甲丁与戊丁等戊丁内减乙丁余戊乙即半和内减半较得阔为中率也

　　设如圜径二十万求内容十边形之一边几何法用连比例三率有首率求中率末率使中率末率相加与首率等之法以圜径二十万折半得十万为首率自乘得一百亿为长方积以十万为长阔之较用带纵较数开方法算之得六万一千八百零三【小余三九八八七四九】为连比例之中率即圜内容十边形之每一边也如甲圜内容十边形每边之弧得圜周十分之一皆三十六度其通即圜内十边形之一边试自圜心甲至圜界乙丙二处作甲乙甲丙二半径线遂成甲乙丙三角形复自圜界乙至圜界戊作一乙戊线则截甲丙线于丁又成乙丙丁三角形而乙戊遂为一百零八度之通此乙丙丁三角形与甲乙丙三角形为同式形【乙丙丁三角形之乙角当戊丙弧为乙丙弧之倍则乙丙丁三角形之乙角与甲乙丙三角形之甲角等又同用丙角其余一角亦必等故为同式形】其相当各边俱成相连比例故甲乙与乙丙之比同于乙丙与丙丁之比为相连比例三率而甲乙为首率乙丙为中率丙丁为末率也又甲乙丙三角形其甲角既居全圜十分之一为三十六度则乙角必比甲角大一倍为七十二度【三角形之三角共一百八十度甲角既为三十六度则乙丙两角必为一百四十四度平分之各得七十二度比甲角为大一倍也】而乙丙丁三角形之乙角与甲乙丙三角形之甲角等则甲丁乙三角形之乙角亦必与甲角等是则甲丁乙三角形必两边相等之三角形而乙丙丁三角形亦为两边相等之三角形也夫甲丁既与丁乙等而丁乙又与乙丙中率等则甲丁亦必与中率等矣是以甲丁中率与丁丙末率相加与甲丙首率等故用连比例三率有首率求中率法算之得中率为十边形之一边也

　　又法以圜径二十万折半得半径十万为股自乘得一百亿又以半径十万折半得五万为勾自乗得二十五亿相加得一百二十五亿开方得一十一万一千八百零三【小余三九八八七四九】于数内减去勾数余六万一千八百零三【小余三九八八七四九】即圜内容十边形之每一边也如甲圜内容十边形每边之弧得圜周十分之一皆三十六度试自圜心甲至圜界乙作甲乙半径线为股又自圜心甲取直角作甲丙半径线折半得甲丁为勾求得乙丁内减与甲丁相等之戊丁余乙戊即与乙己等为圜内容十边形之毎一边也乙己弧既为三十六度则乙己边六万一千八百零三【小余三九八八七四九】为三十六度之通折半得乙庚三万零九百零一【小余六九九四三七四】即乙辛弧十八度之正也

　　设如圜径二十万求内容五边形之一边几何法以半径十万为底仍以半径十万与圜内容十边形之一边六万一千八百零三【小余三九八八七四九】为两腰用三角形求中垂线法算之得中垂线五万八千七百七十八【小余五二五二二九二】倍之得一十一万七千五百五十七【小余○五○四五八四】即圜内容五边形之每一边也如甲圜内容五边形每边之弧得圜周五分之一皆七十二度试自圜心甲至圜界乙丙二处作甲乙甲丙二半径线遂成甲乙丙三角形其乙丙边为七十二度之通如以乙丙弧七十二度折半于丁作乙丁线即圜内容十边形之一边仍自圜心甲至圜界丁作甲丁半径线又成甲乙丁三角形而甲丁线平分乙丙线于戊此乙戊线为甲乙丁三角形之中垂线即五边形每边之一半故以甲丁半径为底甲乙半径为大腰乙丁十边形之一边为小腰求得乙戊中垂线倍之为五边形之毎一边也

　　又法以半径十万为股自乘得一百亿圜内容十边形之一边六万一千八百零三【小余三九八八七四九】为勾自乘得三十八亿一千九百六十六万零一百一十二【小余四八九九九○五八五八五○○一】相加得一百三十八亿一千九百六十六万零一百一十二【小余四八九九九○五八五八五○○一】开方得一十一万七千五百五十七【小余○五○四五八四】即圜内容五边形之每一边也此法葢因半径自乘十边形之一边自乘两自乘方积相并即与五边形之一边自乘之方积等故用勾股求之法算之如甲圜内容五边形将乙丙弧折半于丁作乙丁线即圜内容十边形之一边仍自圜心甲至丁作甲丁半径线遂成甲乙丁三角形又依乙丁线度截甲丁半径于己作乙己线成乙己丁三角形与甲乙丁三角形为同式形故甲乙为首率乙丁为中率己丁为末率甲己亦与乙丁等为中率而乙丙边平分己丁末率于戊又成乙戊丁勾股形乙戊五边形每边之半为股丁戊末率之半为勾乙丁中率为试依甲丁半径度作甲庚辛丁正方形又依乙丙五边形之一边度作乙丙癸壬正方形其甲庚辛丁正方形内甲子丑已为乙丁自乘之一正方【甲已既与乙丁等故甲子丑已为自乘之正方】已寅辛丁长方形亦与乙丁自乘之一正方等【丁辛原与甲丁首率等己丁末率与丁辛首率相乘自与乙丁中率自乘之正方等】而子庚寅丑长方形为乙丁自乘之一正方内少勾自乘之四正方【葢子庚辛夘长方形为首率与末率相乘之长方与乙丁中率自乘之正方等内却少丑寅辛夘正方形而丑寅辛夘正方形实为戊丁勾自乘之四正方故子庚寅丑长方形为乙丁自乘之一正方少勾自乘之四正方也】是则甲丁半径自乘之甲庚辛丁正方形内有自乘之三正方而少勾自乘之四正方再加乙丁自乘之一正方共得自乘之四正方而少勾自乘之四正方大凡自乘之正方内原有勾自乘之一正方股自乘之一正方今自乘之四正方内少勾自乘之四正方即与股自乘之四正方等而乙丙一边自乘之乙丙癸壬正方形实为乙戊股自乘之四正方然则甲丁半径自乘方与乙丁十边形之一边自乘方相并既与乙戊股自乘之四正方等而乙丙一边自乘之正方岂不与甲丁半径自乘乙丁十边形之一边自乘之两正方等乎故以甲丁半径为股乙丁十边形之一边为勾求得而为五边形之一边也又法以半径十万自乘得一百亿为长方积仍以半径十万为长阔之较用带

　　纵较数开方　　　　　　　　　　　　　　　　　【折半得八万】法算之得长一十六万一【小余三九八八七四九】千八百零三零九百零一【小余六九九四三七四】为自圜心至五边形每边之垂线乃以半径十万为圜心至五边形每边之垂线为股求得勾五万八千七百七十八【小余五二五二二九二】倍之得一十一万七千五百五十七【小余○五○四五八四】即圜内容五边形之每一边也如甲圜内容五边形将乙丙弧折半于丁作乙丁线即圜内容十边形之一边仍自圜心甲至丁作甲丁半径线成甲乙丁三角形又依乙丁线度截甲丁半径于己作乙己线成乙己丁三角形与甲乙丁三角形为同式形故甲乙为首率乙丁为中率己丁为末率甲己亦与乙丁等为中率而乙丙边平分己丁末率于戊是以己戊与戊丁俱为半末率而甲戊自圜心至边之垂线则为一中率半末率之共数今以半径首率自乘为长方积开带纵平方得长乃首率与中率之和其内有两中率一末率折半得一中率半末率即甲戊自圜心至边之垂线既得甲戊垂线乃以甲乙半径为甲戊垂线为股求得乙戊勾倍之得乙丙即圜内容五边形之一边也或以乙丁中率为戊丁半末率为勾求得乙戊股倍之亦即圜内容五边形之一边也乙丙弧既为七十二度则乙丙边一十一万七千五百五十七【次以圜内容小余○五】为七十二度之通折半得乙戊五万八千七百七十八【○四五八四小余五二】即乙丁弧三十六度之正也

　　设如圜径二十万求内容十五边形之一边几何法以半径十万为圜内容五边形之半五万八千七百七十八【五二二九二小余五二】为勾求得股八万零九百零一【五二二九二小

　　余六九】内　　　　　　　　　　　　　　　【九四三七五】减半径之半五万余三万【小余六九九四三七五】零九百零一为股三边形之一边一十七万三千二百零五【小余○八○七五六八】内减圜内容五边形之一边一十一万七千五百五十七【小余○五○四五八四】余五万五千六百四十八【小余○三○二九八四】折半得二万七千八百二十四【小余○一五一四九二】为勾求得四万一千五百八十二【小余三三八一六三五】即圜内容十五边形之每一边也如甲圜内容十五边形每边之弧得圜周十五分之一皆二十四度试从圜界乙作圜内容三边形又作圜内容五边形将三边形之每一边弧分五段五边形之每一边弧分三即得十五边形之每一边弧如戊庚与己丁二段皆为十五边形之弧故以甲丁半径为丁丙五边之半为勾求得甲丙股内减甲辛自圜心至三角底边之垂线为半径之半余辛丙与癸丁或壬庚等复于三边形之戊己边内减五边形之庚丁边即如戊己线内减壬癸余戊壬与癸己二折半得癸己或戊壬今任以癸丁或壬庚为股癸己或戊壬为勾求得己丁或戊庚即圜内容十五边形之每一边也己丁弧既为二十四度则己丁边四万一千五百八十二【小余三三八一六三五】为二十四度之通折半得己子二万零七百九十一【小余一六九○八一七】即己丑弧十二度之正也

　　新增按分作相连比例四率法

　　设如以十万为一率作相连比例四率使一率与四率相加与二率三倍等问二率三率四率各几何法以一率十万自乘再乘得一千兆【成一立方积】为实又以一率十万自乘三因之得三百亿【成三平面积】为法以除原实一千兆得三万乃以三万自乘再乘得二十七兆益于原实一千兆内得一千零二十七兆为共实按除法以所得三万与法三百亿相因得九百兆与共实相减余一百二十七兆为第二位实以法之三百亿除之得四千乃以首位所得三万合次位所得四千共三万四千自乘再乘得三十九兆三千零四十亿仍益于原实一千兆内得一千零三十九兆三千零四十亿为共实按除法减首位所得三万与法三百亿相因之九百兆又减次位所得四千与法三百亿相因之一百二十兆余一十九兆三千零四十亿为第三位实以法之三

百亿除之得六百所余太多因益积故取畧大之数为七百合前两位所得三万四千共三万四千七百自乘再乘得四十一兆七千八百一十九亿二千三百万仍益于原实一千兆内得一千零四十一兆七千八百一十九亿二千三百万为共实按除法减首位所得三万与法三百亿相因之九百兆又减次位所得四千与法三百亿相因之一百二十兆又减三位所得七百与法三百亿相因之二十一兆余七千八百一十九亿二千三百万为第四位实以法之三百亿除之得二十合前三位所得三万四千七百共三万四千七百二十自乘再乘得四十一兆八千五百四十二亿一千零四万八千仍益于原实一千兆内得一千零四十一兆八千五百四十二亿一千零四万八千为共实按除法减首位所得三万与法三百亿相因之九百兆又减次位所得四千与法三百

亿相因之一百二十兆又减三位所得七百与法三百亿相因之二十一兆又减四位所得二十与法三百亿相因之六千亿余二千五百四十二亿一千零四万八千为末位实以法之三百亿除之得八所余亦太多因益积仍取畧大之数为九合前四位所得三万四千七百二十共三万四千七百二十九自乘再乘得四十一兆八千八百六十七亿六千六百四十万零二千四百八十九仍益于原实一千兆内得一千零四十一兆八千八百六十七亿六千六百四十万二千四百八十九为共实按除法以五次所得之数与法相因之数递减之仍余一百六十七亿六千六百四十万二千四百八十九不尽是共除得三万四千七百二十九为相连比例之二率也以二率之三万四千七百二十九自乘得一十二亿零六百一十万三千四百四十一以一率之十万除之得一

万二千零六十一为三率以二率之三万四千七百二十九三倍之得十万四千一百八十七内减去一率之十万余四千一百八十七为四率如以三率之一万二千零六十一自乘以二率之三万四千七百二十九除之亦得四千一百八十七为四率也此为益实归除之法葢因此法止有一率之数作相连比例四率使一率与四率之共数与二率三倍等而连比例四率之理一率自乘用四率再乘与二率自乘再乘之数等今立法以一率自乘再乘为原实较之三倍二率与一率自乘之面积相乘之数却少一二率自乘再乘之数故以累除所得之数屡次自乘再乘益入原实然后按法除之始足二率三倍之数也如图甲乙为一率庚子子辰辰乙皆为二率庚甲为四率庚乙为一率四率之共数又为二率之三倍甲乙丙丁戊己为一率自乘再乘之正方体庚乙丙丁

壬癸为三倍二率与一率自乘面积相乘之长方体【一率自乘三因之得三平面如以二率乘之成三扁方体合之即成三倍二率乘一率自乘面积之一长方体】比一率自乘再乘之正方体多一庚甲酉戊壬癸扁方体此扁方体即一率自乘用四率再乘之数与二率自乘再乘之积等若于一率自乘再乘之正方体内加入二率自乘再乘之正方体即如于甲乙丙丁戊己正方体上加一庚甲酉戊壬癸之扁方体成庚乙丙丁壬癸之长方体而以一率自乘之乙丙丁申方面除之必得庚乙为二率之三倍苟合乙丙丁申与辰己午未及子丑寅夘三方面除之必得庚子或子辰或辰乙为二率若不加积止以三方面除之则所得仍为一率之三分之一比二率数必小故以屡除所得之数屡次自乘再乘益入原积则积渐增而得数亦渐大递及末位则所少之积已足而除得之数即为二率之全数焉

　　设如圜径二十万求内容十八边形之一边几何法用连比例四率有一率求二率使一率与四率相加与二率三倍等之法以圜径二十万折半得十万为一率自乘再乘得一千兆为实又以半径十万自乘三因之得三百亿为法按益实归除之法除实得三万四千七百二十九【小余六三五五三三四】为二率即圜内十八边形之每一边也如甲圜内容十八边形每边之弧得圜周十八分之一皆二十度其通即圜内十八边形之一边试自圜心至圜界乙丙作甲乙甲丙二半径线遂成甲乙丙三角形复自圜界乙至圜界庚作一乙庚线则截甲丙线于戊又成乙丙戊三角形而乙庚为六十度之通复自圜界丙按丙戊线度至乙庚线之丁作一丙丁线则又成丙丁戊三角形此三三角形皆为同式形【乙丙戊三角形之乙角当庚丙弧为乙丙弧之倍则乙丙戊三角形之乙角与甲乙丙三角形之甲角等又与甲乙丙三角形同用丙角丙丁戊三角形之丁丙线与甲辛半径平行则丙丁戊三角形之丙角与甲丙辛三角形之甲角为相对错角亦必等又与乙丙戊三角形同用戊角是此三三角形之各角互相等而为同式形也】其相当各边俱成相连比例故甲乙与乙丙之比同于乙丙与丙戊之比乙丙与丙戊之比又同于丙戊与戊丁之比为相连比例四率而甲乙为一率乙丙为二率丙戊为三率戊丁为四率也又乙庚为六十度之通与甲乙一率等而乙戊丁己己庚三段皆与乙丙二率等是乙庚一率中有乙丙二率之三倍而少一丁戊四率也必以乙庚一率与丁戊四率相加方与乙丙二率之三倍等故用连比例四率有一率求二率法算之得二率为十八边形之一边也乙丙弧既为二十度乙丙边三万四千七百二十九【小余六三五五三三四】为二十度之通折半得一万七千三百六十四【小余八一七七六六七】即十度之正也

　　设如圜径二十万求内容九边形之一边几何法以半径十万为底仍以半径十万与圜内容十八边形之一边三万四千七百二十九【小余六三五五三三四】为两腰用三角形求中垂线法算之得中垂线三万四千二百零二【小余○一四三三二六】倍之得六万八千四百零四【小余○二八六六五二】即圜内容九边形之每一边也如甲圜容九边形每边之弧得圜周九分之一皆四十度试自圜心甲至圜界乙丙二处作甲乙甲丙二半径线遂成甲乙丙三角形其乙丙边为四十度之通如以乙丙弧四十度折半于丁作乙丁线即圜内容十八边形之一边仍自圜心甲至圜界丁作甲丁半径线又成甲乙丁三角形而甲丁线平分乙丙线于戊此乙戊线为甲乙丁三角形之中垂线即九边形每边之一半故以甲丁半径为底甲乙半径为大腰乙丁十八边形之一边为小腰求得中垂线倍之为九边形之每一边也乙丙弧既为四十度乙丙边为四十度之通其乙戊中垂线三万四千二百零二【小余○一四三三二六】即乙丁弧二十度之正也

　　按分作相连比例四率又法

　　设如以十万为一率作相连比例四率使一率与四率相加与二率两倍再加一三率之数等问二率三率四率各几何

　　法以一率十万自乘再乘得一千兆【成一立方体】为实又以一率十万自乘二因之得二百亿【成二平面积】为法以除原实一千兆得五万为尽数因减实大于益实故取畧小之数为四万乃以四万自乘再乘得六十四兆益于原实一千兆内得一千零六十四兆为益实复以所得四万自乘得一十六亿以一率十万再乘得一百六十兆于益实内减之余九百零四兆为正实按除法以所得四万与法二百亿相因得八百兆与正实相减余一百零四兆为第二位实以法之二百亿除之得五千仍取畧小之数为四千乃以首位所得四万合次位所得四千共四万四千自乘再乘得八十五兆一千八百四十亿益于原实一千兆内得一千零八十五兆一千八百四十亿为益实复以所得四万四千自乘得一十九亿三千六百万以一率十万再乘得一百九十

三兆六千亿于益实内减之余八百九十一兆五千八百四十亿为正实按除法减首位所得四万与法二百亿相因之八百兆又减次位所得四千与法二百亿相因之八十兆余一十一兆五千八百四十亿为第三位实以法之二百亿除之得五百合前两位所得四万四千共四万四千五百自乗再乗得八十八兆一千二百一十一亿二千五百万益于原实一千兆内得一千零八十八兆一千二百一十一亿二千五百万为益实复以所得四万四千五百自乗得一十九亿八千零二十五万以一率十万再乗得一百九十八兆零二百五十亿于益实内减之余八百九十兆零九百六十一亿二千五百万为正实按除法减首位所得四万与法二百亿相因之八百兆又减次位所得四千与法二百亿相因之八十兆又减三位所得五百与法二百亿相因之一十兆余九百

六十一亿二千五百万为第四位实以法之二百亿除之实不足法乃以第四位为空位而第五位得四故以四为末位合前四位所得四万四千五百空十共四万四千五百零四自乗再乗得八十八兆一千四百四十八亿九千零一十三万六千零六十四益于原实一千兆内得一千零八十八兆一千四百四十八亿九千零一十三万六千零六十四为益实复以所得四万四千五百零四自乗得一十九亿八千零六十万六千零一十六以十万再乗得一百九十八兆零六百零六亿零一百六十万于益实内减之余八百九十兆零八百四十二亿八千八百五十二万六千零六十四为正实按除法以五次所得之数于法相因之数递减之仍余四十二亿八千八百五十三万六千零六十四不尽是共除得四万四千五百零四为相连比例之二率也以二率之四万四千

五百零四自乗得一十九亿八千零六十万六千零一十六以一率之十万除之得一万九千八百零六为三率以二率之四万四千五百零四二因之与三率之一万九千八百零六相加得十万八千八百一十四减去一率之十万余八千八百一十四为四率如以三率之一万九千八百零六自乗以一率之四万四千五百零四除之亦得八千八百一十四为四率也此为益实兼减实归除之法葢因此法止有一率之数作相连比例四率使一率与四率之共数与二率两倍再加一三率之数等而相连比例四率之理一率自乗用四率再乗与二率自乘再乗之数等又一率自乗用三率再乗与二率自乗用一率再乗之数等今立法以一率自乘再乗为原实较之二率加倍与一率自乗之面积相乗之数却少一一率自乗四率再乗之数又多一一率自乗三率再乗之数

故以屡除所得之数屡次自乗再乗益入原实又以屡除所得之数屡次自乗以一率再乗与益实相减然后按法除之始足二率两倍之数也如图甲乙为一率庚子子辰皆为二率辰乙为三率庚甲为四率庚乙为一率四率之共数又为二率两倍再加一三率之共数甲乙丙丁戊巳为一率自乗再乘之正方体庚乙丙丁壬癸为两倍二率并一三率与一率自乗面积相乘之长方体比一率自乗再乗之正方体多一庚甲酉戊壬癸扁方体此扁方体即一率自乗四率再乗之扁方体与二率自乗再乗之积等比两倍二率与一率自乗面积相乗之扁方体多一辰乙丙丁午未扁方体此扁方体即一率自乗三率再乗之扁方体与二率自乗一率再乗之积等若于一率自乗再乗之正方体内加入二率自乗再乗之数再减去二率自乗一率再乗之数即如于甲乙丙丁戊

己正方体内加入庚甲酉戊壬癸之扁方体减去辰乙丙丁午未之扁方体成一庚辰己午壬癸之扁方体而以一率自乗之辰己午未方面除之必得庚辰为二率之两倍苟合辰巳午未子丑寅夘二方面除之必得庚子或子辰为二率若不益少减多而以二方面除之则所得仍为一率之二分之一比二率数必大故以屡除所得之数屡次自乗再乗益入原积复以屡除所得之数自乗用一率再乗逐层与原积相减递及末位则所少之积渐足所多之积渐消而除得之数即为二率之全数焉

　　设如圜径二十万求内容十四边形之一边几何法用连比例四率有一率求第二率使一率与四率相加与二率两倍再加一三率等之法以圜径二十万折半得十万为一率自乗再乗得一千兆为实又以半径十万自乗倍之得二百亿为法按益实兼减实归除之法除实得四万四千五百零四【小余一八六七九一三】为二率即圜内十四边形之每一边也如甲圜内容十四边形每边之弧得圜周十四分之一皆二十五度四十二分五十一秒有余其通即圜内十四边形之一边试自圜心至圜界乙丙作甲乙甲丙二半径线遂成甲乙丙三角形复自圜界乙至圜界庚作一乙庚线则截甲丙线于戊又成乙丙戊三角形复自圜界丙按丙戊线度至乙庚线之丁作一丙丁线则又成丙丁戊三角形此三三角形皆为同式形【乙戊丙三角形之乙角当丙庚弧为乙丙弧之倍则乙戊丙三角形之乙角与乙甲丙三角形之甲角等又与乙甲丙三角形同用丙角而丙丁戊三角形之丁丙线与甲辛半径平行即丙丁戊三角形之丙角与甲丙辛三角形之甲角为相对错角亦必等又与乙丙戊三角形同用戊角是此三三角形之各角互相等而为同式形也】其相当各边俱成相连比例故甲乙与乙丙之比同于乙丙与丙戊之比乙丙与丙戊之比又同于丙戊与戊丁之比为相连比例四率而甲乙为一率乙丙为二率丙戊为三率戊丁为四率也又按乙戊度作壬戊线与丁丙平行则截甲乙线于壬乃自壬与乙丙平行作壬子线复自壬与乙戊平行作壬癸线则又成甲壬子与壬戊癸丙三角形与乙丙戊三角形等成壬癸子一三角形与丙丁戊三角形等其甲子癸戊皆与乙丙二率等而癸子与丁戊四率等是甲丙一率内有两二率一三率而少一四率也若以甲丙一率与癸子四率相加方与二率之两倍再加一三率之数等故用连比例四率有一率求二率法算之得二率为十四边形之每一边也

　　设如圜径二十万求内容七边形之一边几何法以半径十万为底仍以半径十万与圜内容十四边形之一边四万四千五百零四【小余一八六七九一三】为两腰用三角形求中垂线法算之得中垂线四万三千三百八十八【小余三七三九一一八】倍之得八万六千七百七十六【小余七四七八二三六】即圜内容七边形之每一边也如甲圜容七边形每边之弧得圜周七分之一皆五十一度二十五分四十二秒有余试自圜心甲至圜界乙丙二处作甲乙甲丙二半径线遂成甲乙丙三角形其乙丙边为五十一度二十五分四十二秒有余之通如以乙丙弧五十一度二十五分四十二秒有余折半于丁作乙丁线即圜内容十四边形之一边仍自圜心甲至圜界丁作甲丁半径线又成甲乙丁三角形而甲丁线平分乙丙线于戊此乙戊线为甲乙丁三角形之中垂线即七边形每边之一半故以甲丁半径为底甲乙半径为大腰乙丁十四边形之一边为小腰求得乙戊中垂线倍之为七边形之每一边也

　　三要【八余八万零九百零一有本弧之正求本弧之余有本弧之正余求倍弧之正余有本弧之正】

　　设如本弧三十六度之正五万八千七百七十八【余求半弧之正余】求余弧五十四度之正几何法以三十六度之正五万八千七百七十八【小余五二五二二九】为勾半径十万为求得股八万零九百零一【二小余五二五二二九】为五十四度之正即三十六度之余也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙正弧三十六度乙丙余弧五十四度乙丁为三十六度之正试自乙至象限中心戊作乙戊半径线遂成乙丁戊勾股形乙戊为乙丁为勾求得丁戊股与乙己等为乙丙余弧五十四度之正即甲乙正弧三十六度之余也

　　设　　　　　　　　【二小余六九】如本弧三十六度之正【九四三七五小余五二五二二九二】五万八千七百七十【小余六九九四三七五】求倍弧七十二度之正余各几何

　　法以半径十万为一率本弧之正五万八千七百七十八【六度之余与戊辛等】为二率本弧之余八万零九百零一【小余五二五二二九二】为三率求得四率四万七千五百五十二【小余六九九四三七五】倍之得九万五千一百零五【小余八二五八一四七】即倍弧七十二度之正也求余则以三十六度之正五万八千七百七十八【小余六五一六二九四】自乘以半径十万除之得三万四千五百四十九【小余五二五二二九二】倍之得六万九千零九十八【小余一五○二八一二】与半径十万相减余三万零九百零一【小余三○○五六二四】即倍弧七十二度之余也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧三十六度倍之为甲丁弧七十二度乙己为三十六度之正【小余六九九四三七六】庚乙为三十【葢辛甲与乙己等则戊辛必与戊己等戊己即庚乙也】丁壬为七十二度之正试与乙己平行作辛癸线遂成戊乙己戊辛癸同式两勾股形其戊乙己勾股形之戊乙与乙己勾之比同于戊辛癸勾股形之戊辛与辛癸勾之比为相当比例四率而辛癸与子壬等为丁壬之半【葢辛甲为丁甲之半则辛癸亦为丁壬之半】故倍之得丁壬为甲丁七十二度之正也又如求余其甲辛戊甲癸辛为同式两勾股形其甲辛戊勾股形之甲戊与甲辛勾之比同于甲癸辛勾股形之甲辛与甲癸勾之比为相连比例三率既得甲癸倍之得甲壬【葢甲丁为甲辛之倍则甲壬亦为甲癸之倍】与甲戊半径相减余壬戊与丁丑等即甲丁七十二度之余也

　　设如本弧四十五度之正七万零七百一十【小余六七八一一八六】余亦七万零七百一十【小余六七八一一八六】求半弧二十二度三十分之正几何

　　法以本弧之正七万零七百一十【八十九小余六七八一】为股本弧之余七万零七百一十【一八六小余六七八一】与半径十万相减余二万九千二百八十九【一八六小余三二一八】为勾求得七万六千五百三十六【八一四小余六八六四】折半得三万八千二百六十八【七三○小余三四三二】即半弧二十二度三十分之正也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧四十五度折半为丁乙弧二十二度三十分乙己为四十五度之正戊己与庚乙等为四十五度之余于戊甲半径内减去戊己余己甲为勾乙己为股求得乙甲为四十五度之通折半得乙辛即丁乙二十二度三十分之正也

　　又捷法以本弧四十五度之余七万零七百一十【三六五小余六七八一】与半【一八六】径十万相减余二万九千二百【小余三二一八几何】折半得一万四千六百四十四【八一四小余六六○九】与半径十万相乘开方得三万八千二百六十八【四○七小余三四三二】即半弧二十二度三十分之正也葢乙己为四十五度之正甲己为四十五度之正矢乙辛辛甲皆二十二度三十分之正如与乙己平行作一辛壬线平分甲己于壬成甲辛戊甲壬辛同式两勾股形其甲辛戊勾股形之甲戊与甲辛勾之比同于甲壬辛勾股形之甲辛与甲壬勾之比为连比例三率故首率甲戊与末率甲壬相乘【三六五首率甲戊与末率甲壬相乘与中率甲辛自乘之】开方得甲辛为二十二度三十分之正也

　　新增有本弧之余求倍弧之余及半弧之余

　　设　　　　　　【积相等】如本弧三十六度之余八万零九【小余六九九四三七五】百零一求倍弧七十二度之余

　　法以本弧三十六度之余八万零九百零一【小余六九九四三七五】自乘以半径十万除之得六万五千四百五十【小余八四九七一八七】与半径十万相减余三万四千五百四十九【小余一五○二八一三】倍之得六万九千零九十八【小余三○○五六二六】仍与半径十万相减余三万零九百零一【小余六九九四三七四】即倍弧七十二度之余也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧三十六度倍之为甲丁弧七十二度丁己为三十六度之正戊己为三十六度之余丁庚为七十二度之正辛丁为七十二度之余与戊庚等试自己至壬作己壬垂线遂成甲己戊己壬戊同式两勾股形其甲己戊勾股形之戊甲与戊己股之比同于己壬戊勾股形之戊己与戊壬股之比为连比例三率故中率戊己自乘以首率戊甲除之得末率戊壬既得戊壬与戊甲半径相减余壬甲倍之得庚甲仍与戊甲半径相减余戊庚与辛丁等即甲丁弧七十二度之余也

　　设如本弧四十五度之余七万零七百一十【小余六七八一一八六】求半弧二十二度三十分之余几何法以本弧四十五度之余七万零七百一十【小余六七八一一八六】与半径十万相减余二万九千二百八十九【小余三二一八八一四】折半得一万四千六百四十四【小余六六○九四○七】与本弧四十五度之余七万零七百一十【小余六七八一一八六】相加得八万五千三百五十五【小余三三九○五九三】与半径十万相乘开方得九万二千三百八十七【小余九五三二五一一】即半弧二十二度三十分之余也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧四十五度折半为丁乙弧二十二度三十分乙己为四十五度之正戊己与庚乙等为四十五度之余乙辛为二十二度三十分之正戊辛为二十二度三十分之余戊己四十五度之余与戊甲半径相减余己甲折半得己壬再与戊己相加得戊壬试自辛至壬作辛壬垂线遂成甲辛戊辛壬戊同式两勾股形其甲辛戊勾股形之戊甲与戊辛股之比同于辛壬戊勾股形之戊辛与戊壬股之比为连比例三率故首率戊甲与末率戊壬相乘开方得戊辛为二十二度三十分之余也

　　新增有本弧之正求其三分之一弧之正

　　设如三十六度之正五万八千七百七十八【小余五二五二二九二】求其三分之一十二度之正几何法用连比例四率有一率求二率使一率与四率相加与二率三倍等之法以三十六度之正五万八千七百七十八【小余五二五二二九二】倍之得一十一万七千五百五十七【小余○五○四五八四】为七十二度之通乃以半径十万自乘得一百亿用七十二度之通再乘得一千一百七十五兆五千七百零五亿零四百五十八万四千为实又以半径十万自乘三因之得三百亿为法按益实归除之法除实得四万一千五百八十二【小余三三八一六三四】为二十四度之通折半得二万零七百九十一【小余一六九○八一七】即十二度之正也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧三十六度甲丁为其正倍之得甲己即甲乙己七十二度弧之通试以七十二度取其三分之一二十四度为甲庚弧其通甲庚与甲戊庚戊两半径成一戊甲庚三角形又庚戊半径截甲己通于辛成一庚甲辛三角形又依庚辛度向辛甲边作庚壬线成一庚辛壬三角形此两三角形俱与戊甲庚三角形为同式形其相当各边俱成相连比例故戊甲为一率甲庚为二率庚辛为三率辛壬为四率也今甲己七十二度之通内有甲庚二率之三倍而少一辛壬四率【葢己癸癸壬辛甲三段皆与甲庚二率等而癸壬辛甲二段内却重辛壬一小段是甲己通内有己癸癸壬辛甲三二率而少一辛壬四率也】若以甲己通为髙与一率半径自乘之方面相乘所成之长方体则比三倍二率为高与一率半径自乘之方面相乘所成之长方体必少一四率为高与一率半径自乘之方面相乘所成之扁方体此扁方体与二率自乘再乘之正方体等故以一率半径自乘之三方面为法除实每次所得二率之数自乘再乘益入原积则积渐增与三倍二率与一率半径自乘之方面相乘所成之长方体合而除得之数即为二率既得甲庚二率为二十四度之通半之得甲子即甲丑弧十二度之正也

　　二简法【以两四率相有两弧之正余求两弧相加相减之正有距六十度前后相等弧之正求】

　　设如四十五度之正七万零七百一十【距弧之正小余六七】余亦七万零七百一十【八一一八六小余六七】又有二十四度之正四万零六百七十三【八一一八六小余六六】余九万一千三百五十四【四三○七五小余五四】求两弧相加六十九度之正及两弧相减二十一度之正各几何

　　法以半径十万为一率四十五度之正七万零七百一十【五七六四二小余六七】为二率二十四度之余九万一千三百五十四【八一一八六小余五四】为三率求得四率六万四千五百九十七【五七六四二小余四一】又以半径十万为一率四十五度之余七万零七百一十【八八○二○小余六七】为二率二十四度之正四万零六百七十三【八一

　　一八六小余六六】　　　　　　　　　　　　　　　　【四三○七五】为三率求得四率二万八【小余六二三八四七六】千七百六十乃加得九万三千三百五十八【小余○四二六四九六】即两弧相加所得六十九度之正如以两四率相减余三万五千八百三十六【小余七九四九五四五】即两弧相减所余二十一度之正也如甲乙丙丁九十度之一象限其乙甲弧四十五度乙己为四十五度之正己戊为四十五度之余于乙甲弧四十五度加丙乙弧二十四度得丙甲弧六十九度又于乙甲弧四十五度减乙子弧二十四度余子甲弧二十一度试自丙至子作丙子线则丙乙弧乙子弧皆为二十四度丙庚与庚子皆为二十四度之正庚戊则为二十四度之余今以乙戊半径为一率乙己四十五度之正为二率庚戊二十四度之余为三率求得四率庚辛与壬癸等又以乙戊半径为一率己戊四十五度之余为二率丙庚二十四度之正为三率求得四率丙壬故以丙壬加于庚辛【庚辛原与壬癸等】共得丙癸即丙甲弧六十九度之正如于庚辛内减与丙壬相等之庚夘余夘辛与子丑等即子甲弧二十一度之正也葢乙己戊与庚辛戊为同式勾股形故乙戊与乙己之比同于庚戊与庚辛之比为相当比例四率又寅癸戊与乙己戊亦为同式勾股形而寅癸戊勾股形之寅角与丙庚寅勾股形之寅角为两尖相对角其度等癸角与庚角俱为直角其度又等则戊角必与丙角等如作庚壬线成丙壬庚勾股形则此形之丙角既与乙己戊勾股形之戊角等而壬角又为直角与乙己戊勾股形之己角等故亦为同式勾股形而乙戊与己戊之比同于丙庚与丙壬之比为相当比例四率也

　　设如八十四度之弧距六十度二十四度其正九万九千四百五十二【相加得九万小余一八】又有三十六度之弧距六十度亦二十四度其正五万八千七百七十八【九五三六八小余五二】求距弧二十四度之正几何

　　法以八十四度之正九万九千四百五十二【五二二九二小余一八】内减三十六度之正五万八千七百七十八【九五三六八小余五二】余四万零六百七十三【五二二九二小余六六】即距弧二十四度之正也如有距六十度前二十四度为三十六度其正五万八千七百七十八【四三○七六小余五二】距弧二十四度之正四万零六百七十三【五二二九二小余六六】求距六十度后二十四度为八十四度之正则以三十六度之正五万八千七百七十八【四三○七六小

　　余五二】与距弧　　　　　　　　　　　　　　　　　【五二二九二】二十四度之正四万零【小余六六四三○七六】六百七十三九千四百五十二【小余一八九五三六八】即八十四度之正也又如有距六十度后二十四度为八十四度其正九万九千四百五十二【小余一八九五三六八】距弧二十四度之正四万零六百七十三【小余六六四三○七六】求距六十度前二十四度为三十六度之正则以八十四度之正九万九千四百五十二【小余一八九五三六八】与距弧二十四度之正四万零六百七十三【小余六六四三○七六】相减余五万八千七百七十八【小余五二五二二九二】即三十六度之正也如甲乙丙丁九十度之一象限其己甲弧六十度丙甲弧八十四度丙距己二十四度乙甲弧三十六度乙距己亦二十四度丙庚为八十四度之正乙辛为三十六度之正与壬庚等丙壬为两正之较试自巳至象限中心戊作己戊线又自丙至乙作丙乙线则丙癸癸乙皆为距弧二十四度之正与丙壬两正之较相等葢己戊甲角六十度则己戊丁角为三十度丙庚与丁戊平行则丙子己角与丁戊己角为二平行线上所成之内外角必相等皆为三十度丙癸子角为直角则子丙癸角必为六十度矣又自乙至子作乙子线则乙癸子与丙癸子为同形勾股形癸乙子角亦必为六十度癸子乙角亦必为三十度两勾股形合之共成一丙乙子三角形而丙子乙角亦必为六十度矣三角度既等则三边必相等今丙壬为丙子之半丙癸为丙乙之半丙子既与丙乙等故丙壬亦必与丙癸等也有此法凡有六十度以前各弧之正则以各距弧之正与之相加可得六十度以后三十度各弧之正若有六十度以后各弧之正则以各距弧之正与之相减可得六十度以前三十度各弧之正六十度前后三十度之正用加减而即得较之勾股比例诸法甚为简便也

　　八线相求

　　设如四十八度之正七万四千三百一十四【小余四八二五四七七】余六万六千九百一十三【小余○六○六三五八】求正矢正切正割各几何

　　法以半径十万内减四十八度之余六万六千九百一十三【小余○六○六三五八】余三万三千零八十六【小余九三九三六四二】为正矢以余六万六千九百一十三【小余○六○六三五八】为一率正七万四千三百一十四【小余四八二五四七七】为二率半径十万为三率求得四率一十一万一千零六十一【小余二五一四八三○】为正切以余六万六千九百一十三【小余○六○六三五八】为一率半径十万为二率仍以半径十万为三率求得四率一十四万九千四百四十七【小余六五四九八六六】为正割也如图甲乙弧四十八度甲丙为正甲丁为余与丙戊等乙丙为正矢故乙戊半径内减与甲丁余相等之丙戊余乙丙即为正矢己乙为正切巳戊为正割甲丙戊己乙戊两勾股形为同式形故丙戊余与甲丙正之比同于乙戊半径与己乙正切之比为相当比例四率又丙戊余与甲戊半径之比同于乙戊半径与己戊正割之比亦为相当比例四率也

　　又正切求正割捷法以余弧折半得二十一度乃以二十一度之正切三万八千三百八十六【小余四○三三五○三六】与本弧之正切一十一万一千零六十一【小余二五一四八三○】相加得一十四万九千四百四十七【小余六五四八三三三】即为本弧之正割也如图甲乙弧四十八度己乙为正切己戊为正割试将甲庚余弧四十二度折半得庚辛二十一度移于乙壬又作乙癸为乙壬弧二十一度之正切与己乙相加得己癸与己戊正割相等葢甲戊乙角四十八度己乙戊角为直角九十度二角并之为一百三十八度于一百八十度内减之余四十二度为戊己乙角今于甲戊乙角四十八度加乙戊壬角二十一度遂成己戊癸角为六十九度仍与戊己乙角四十二度相加于一百八十度内减之所余亦六十九度即为戊癸己角戊癸己角既与己戊癸角相等则己戊与己癸边亦必相等也有此法则凡有逐度逐分之切线求割线可止用加法不用四率矣又凡有本弧之正切正割相减即得半余弧之正切若有本弧之正割及半余弧之正切相减即得本弧之正切也

　　设如四十八度之正弧七万四千三百一十四【小余四八二五四七七】余六万六千九百一十三【小余○六○六三五八】求余矢余切余割各几何

　　法以半径十万内减四十八度之正七万四千三百一十四【小余四八二五四七七】余二万五千六百八十五【小余五一七四五二三】为余矢以正七万四千三百一十四【小余四八二五四七七】为一率余六万六千九百一十三【小余○六○六三五八】为二率半径十万为三率求得四率九万零四十【小余四○四四二九七】为余切以正七万四千三百一十四【小余四八二五四七七】为一率半径十万为二率仍以半径十万为三率求得四率一十三万四千五百六十三【小余二七二九六○七】为余割也如图甲乙弧四十八度甲丙为正与丁戊等甲丁为余巳丁为余矢故已戊半径内减与甲丙正相等之丁戊余己丁即为余矢庚己为余切庚戊为余割甲丁戊庚己戊两勾股形为同式形故丁戊正与甲丁余之比同于己戊半径与庚己余切之比为相当比例四率又丁戊正与甲戊半径之比同于己戊半径与庚戊余割之比亦为相当比例四率也

　　又余切求余割捷法以本弧折半得二十四度乃以二十四度之正切四万四千五百二十二【小余六八六五三一○】与本弧之余切九万零四十【小余四○四四二九七】相加得一十三万四千五百六十三【小余二七二九六○七】即为本弧之余割也如图甲乙弧四十八度庚己为其余切庚戊为其余割试将甲乙正弧四十八度折半得辛乙二十四度移于壬己又作癸己为壬己弧二十四度之正切与庚己相加得庚癸与庚戊余割相等葢甲戊己角四十二度庚己戊角为直角九十度二角相并为一百三十二度于一百八十度内减之余四十八度为戊庚己角今于甲戊己角四十二度加己戊壬角二十四度遂成庚戊癸角为六十六度仍与戊庚己角四十八度相加于一百八十度内减之所余亦为六十六度即为戊癸庚角戊癸庚角既与庚戊癸角相等则庚戊与庚癸边亦必相等也有此法则凡有逐度逐分之切线求余割亦可止用加法不用四率矣又凡有本弧之余切余割相减即得半本弧之正切若有本弧之余割及半本弧之正切相减即得本弧之余切矣

　　求象限内各线总法

　　六宗倂新增十八边形及九边形之每边各半之得八弧之正用要法之一各求其余次取十二度【十五边之半】用要法之三折半四次得六度三度一度三十分及四十五分之正复用新增法求其三分之一得十五分之正复求其三分之一即得五分之正既得五分之正乃用简法之一求六十度以内之正每越五分而得一可得七百二十又用简法之二求六十度以外之正亦越五分而得一又得三百六十【如以一度之与五十九度之相加即六十一度之以二度之与五十八度之相加即六十二度之以至二十九度之与三十一度之相加即得八十九度之也】总而计之一象限中共得正一千零八十己居全表五分之一【象限中逐分计之共正五千四百故一千零八十为五分之一也】再以五分之用要法之三得二分三十秒之复用新增法求其三分之一得五十秒之乃以五十秒之弧为一率五十秒之为二率一分之弧化六十秒为三率得四率为一分之既得一分之即用简法之一简法之二错综加减之则一象限中每度每分之正悉得矣既得每度每分之正则用前八线相求之法即得每度每分之切割诸线矣如于一分之中欲析为六十秒则以比例四率求之即得每秒之八线也

　　御制数理精蕴下编卷十六

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

　　钦定四库全书

　　御制数理精蕴下编卷十七

　　面部

　　三角形边线角度相求

　　三角形边线角度相求

　　三角形有直角者为勾股无直角者作中垂线分为两直角形则亦成两勾股是皆有其二而得其一或有其三而分为二防以边线相求者也至于割圜之法则凡三角形有一角即有八线皆成勾股而可比例以相求故三角形不论角之直与锐钝要以角度为凖而三角之度必与两直角之度等角之大者所对之边亦大角之小者所对之边亦小凡三角三边但知其三而其余者悉可得若直角则惟知其二而其余者亦可得此三角之法所由立而测量之用所由广也如知两角一边求又一边者以对所知之角与对所求之角为比即如所知之边与所求之边为比也知两边一角求又一角者以对所知之边与对所求之边为比即如所知之角与所求之角为比也或所知之一角在所知两边之间而求又一角者则角无所对之边而边亦无所对之角必用两边之和较与所知角之外角半弧之切线为比而得所求两角与所知角之外角半弧之较既得较而角度亦得矣又如知三边而求三角者则以三角形求中垂线法分为两直角形而三角自随之而得或用三边之方面按法比例而得两直角形之各一角既得一角而三角亦可得矣若止有三角则三边无所约束故不成法葢角度为虚率而边线为实数无实数而虚率可驭总以比例四率展转用之惟在分合有法相度得宜耳

　　设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知丙角五十七度丙乙边五丈求甲乙边几何

　　法以丙角五十七度与象限九十度相减余三十三度为甲角乃以甲角为对所知之角其正五万四千四百六十四为一率丙角为对所求之角其正八万三千八百六十七为二率丙乙边为所知之边其数五丈为三率求得四率七丈六尺九寸九分三厘有余即甲乙为所求之边也如丙丁戊一象限己戊弧为丙角之正弧己庚线为丙角之正丁己弧为丙角之余弧即甲角之正弧辛己线为丙角之余即甲角之正是故丙角五十七度之余弧为三十三度丙角五十七度之余为三十三度之正己庚丙与甲乙丙两勾股形为同式形故甲角正丙庚【即辛己】与丙角正己庚之比同于丙乙边与甲乙边之比为相当比例四率也

　　又法以半径十万为一率丙角五十七度之正切一十五万三千九百八十六为二率丙乙边五丈为三率求得四率七丈六尺九寸九分三厘即甲乙边也如丙丁戊一象限切己戊弧作庚戊线为丙角之正切则丙戊为半径庚戊丙与甲乙丙两勾股形为同式形故丙戊半径与庚戊正切之比同于丙乙边与甲乙边之比为相当比例四率也

　　设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知丙角二十三度三十五分甲乙边三十二丈求丙乙边几何

　　法以丙角二十三度三十五分与九十度相减余六十六度二十五分为甲角乃以丙角为对所知之角其正四万零八为一率以甲角为对所求之角其正九万一千六百四十八为二率甲乙边为所知之边其数三十二丈为三率求得四率七十三丈三尺零三分有余即丙乙为所求之边也如丙丁戊一象限己戊弧为丙角之正弧己庚线为丙角之正丁己弧为丙角之余弧即甲角之正弧辛己线为丙角之余即甲角之正故丙角二十三度三十五分之余弧为六十六度二十五分丙角二十三度三十五分之余为六十六度二十五分之正己庚丙与甲乙丙两勾股形为同式形故丙角正己庚与甲角正丙庚之比同于甲乙边与丙乙边之比为相当比例四率也又法以半径十万为一率丙角二十三度三十五分之余切线二十二万九千零七十三为二率甲乙边三十二丈为三率求得四率七十三丈三尺零三分有余即丙乙边也如丙丁戊一象限切丁己弧作丁庚线为丙角之余切即甲角之正切则丁丙为半径丙丁庚与甲乙丙两勾股形为同式形故丁丙半径与丁庚余切之比同于甲乙边与丙乙边之比为相当比例四率也

　　设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知丙角四十三度三十七分丙乙边二十一尺求甲丙边几何

　　法以丙角四十三度三十七分与九十度相减余四十六度二十三分为甲角乃以甲角为对所知之角其正七万二千三百九十七为一率【甲角正即丙角余或直用丙角余亦可】以乙角为对所求之角其正即半径十万为二率丙乙边为所知之边其数二十一尺为三率求得四率二十九尺零六厘有余即甲丙为所求之边也如丙丁戊一象限己戊弧为丙角之正弧丁己弧为丙角之余弧即甲角之正弧辛己线为丙角之余即甲角之正【与丙庚等】己丙线为半径即九十度之正己庚丙与甲乙丙两勾股形为同式形故甲角正丙庚与半径己丙之比同于丙乙边与甲丙边之比为相当比例四率也

　　又法以半径十万为一率丙角四十三度三十七分之正割一十三万八千一百二十七为二率丙乙边二十一尺为三率求得四率二十九尺零六厘有余即甲丙边也如丙丁戊一象限切己戊弧作庚戊线为丙角之正切则丙戊为半径庚丙为正割庚戊丙与甲乙丙两勾股形为同式形故丙戊半径与庚丙正割之比同于丙乙边与甲丙边之比为相当比例四率也

　　设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知丙角五十一度五十一分甲丙边八十九丈零二寸二分求甲乙边丙乙边各几何

　　法以丙角五十一度五十一分与九十度相减余三十八度零九分为甲角求甲乙边则以乙角为对所知之角其正即半径十万为一率以丙角为对所求之角其正七万八千六百四十为二率甲丙边为所知之边其数八十九丈零二寸二分为三率求得四率七十丈零六分有余即甲乙为所求之边也求丙乙边亦以乙角为对所知之角其正即半径十万为一率而以甲角为对所求之角其正六万一千七百七十二为二率甲丙边为所知之边其数八十九丈零二寸二分为三率求得四率五十四丈九尺九寸有余即丙乙为所求之边也如丙丁戊一象限己戊弧为丙角之正弧己庚线为丙角之正丁己弧为丙角之余弧即甲角之正弧辛己线为丙角之余即甲角之正己庚丙与甲乙丙两勾股形为同式形故半径己丙与丙角正己庚之比同于甲丙边与甲乙边之比为相当比例四率又半径巳丙与甲角正丙庚之比同于甲丙边与丙乙边之比为相当比例四率也

　　又法求甲乙边以丙角五十一度五十一分之正割一十六万一千八百八十五为一率其正切一十二万七千三百零六为二率甲丙边八十九丈零二寸二分为三率求得四率七十丈零六分有余即甲乙边也求丙乙边则仍以丙角正割一十六万一千八百八十五为一率而以半径十万为二率仍以甲丙边八十九丈零二寸二分为三率求得四率五十四丈九尺九寸有余即丙乙边也如丙丁戊一象限己戊弧为丙角之正弧庚戊线为丙角之正切庚丙线为丙角之正割庚戊丙与甲乙丙两勾股形为同式形故丙角正割庚丙与正切庚戊之比同于甲丙边与甲乙边之比又丙角正割庚丙与半径丙戊之比同于甲丙边与丙乙边之比皆为相当比例四率也

　　设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知甲乙边二十丈丙乙边三十四丈六尺四寸一分求甲角丙角各几何

　　法以甲乙边二十丈为一率丙乙边三十四丈六尺四寸一分为二率半径十万为三率求得四率一十七万三千二百零五为甲角之正切捡八线表得六十度即甲角之度与九十度相减余三十度即丙角之度也如先求丙角则以丙乙边三十四丈六尺四寸一分为一率甲乙边二十丈为二率半径十万为三率求得四率五万七千七百三十五为丙角之正切捡八线表得三十度即丙角之度与九十度相减余六十度即甲角之度也如图先求甲角则如甲丁戊一象限己戊弧为甲角六十度之弧庚戊为甲角之正切甲戊为半径甲戊庚与甲乙丙两勾股形为同式形故甲乙边与丙乙边之比同于甲戊半径与庚戊正切之比为相当比例四率先求丙角则如丙丁戊一象限己丁弧为丙角三十度之弧辛丁为丙角之正切丙丁为半径丙丁辛与丙乙甲两勾股形为同式形故丙乙边与甲乙边之比同于丙丁半径与辛丁正切之比为相当比例四率也

　　又法以甲乙边二十丈与丙乙边三十四丈六尺四寸一分相加得五十四丈六尺四寸一分为两边之和为一率又以甲乙边二十丈与丙乙边三十四丈六尺四寸一分相减余一十四丈六尺四寸一分为两边之较为二率以乙角之外角九十度折半得四十五度为半外角其正切十万为三率【四十五度之正切与半径十万等】求得四率二十六万七千九百四十八为半较角之正切捡八线表得十五度为半较角与半外角四十五度相减余三十度即丙角之度如以半较角十五度与半外角四十五度相加得六十度即甲角之度也如图甲乙丙直角三角形以乙直角为心甲乙小边为半径作一甲戊丁圜截丙乙大边于戊将丙乙引长至圜界丁则丁乙戊乙俱为半径与甲乙等自丁至丙即两边之和自戊至丙即两边之较甲乙丁角即乙角之外角试自甲至戊作一甲戊线则成甲乙戊直角三角形其乙甲戊与乙戊甲二角相并与甲乙丁外角度等今折半用其正切即如用甲戊乙角之正切又心角与边角度等其切线亦等故自甲至丁作一丁甲线即甲戊丁角之正切又戊甲丙角即甲角大于甲戊乙角之较又即丙角小于甲戊乙角之较故于圜界戊至甲丙边己作己戊线与甲丁线平行即戊甲己角之正切且丙丁甲三角形与丙戊己三角形为同式形故两边之和丙丁与甲戊丁半外角切线甲丁之比即同于两边之较丙戊与半较角切线己戊之比为相当比例四率也

　　设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知甲乙边六十尺丙乙边三十二尺求甲丙边几何法以甲乙边六十尺为一率丙乙边三十二尺为二率半径十万为三率求得四率五万三千三百三十三为甲角之正切捡八线表得二十八度零四分即甲角之度【如用丙乙边作一率甲乙边作二率即先得丙角度】乃以甲角为对所知之角其正四万七千零五十为一率乙角为对所求之角其正即半径十万为二率丙乙边为所知之边其数三十二尺为三率求得四率六十八尺零一分二厘有余即甲丙为所求之边也又既得甲角之后用割线法则以半径为一率甲角之正割为二率甲乙边为三率求得四率即甲丙为所求之边也或得丙角则用丙角之正割为二率丙乙边为三率亦得甲丙边若得丙角仍用甲乙边为三率则用丙角余割【即甲角之正割】为二率而亦得甲丙边也

　　又法用勾股求以甲乙为股丙乙为勾求得即甲丙边也法已载于勾股集中

　　设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知甲丙边一百零二丈二尺丙乙边四十八丈求甲角丙角各几何

　　法以甲丙边为对所知之边其数一百零二丈二尺为一率丙乙边为对所求之边其数四十八丈为二率乙角为所知之角其正即半径十万为三率求得四率四万六千九百六十六为甲角之正捡八线表得二十八度零一分即甲角之度也甲角之余即丙角之正如捡八线表余数得六十一度五十九分即丙角之度也如甲丁戊一象限己庚爲甲角正辛己与甲庚等为甲角之余即丙角之正甲庚己与甲乙丙両勾股形为同式形故甲丙边与丙乙边之比同于甲己半径与己庚正之比为相当比例四率也又法以丙乙边四十八丈为一率甲丙边一百零二丈二尺为二率半径十万为三率求得四率二十一万二千九百一十六为丙角之正割捡八线表得六十一度五十九分即丙角之度也其丙角之余割即甲角之正割如捡余割数得二十八度零一分即甲角之度也如丙丁戊一象限丙戊为半径己戊为丙角之正切己丙为丙角之正割甲乙丙与己戊丙两勾股形为同式形故丙乙边与甲丙边之比同与丙戊半径与己丙正割之比为相当比例四率也

　　设如甲乙丙锐角三角形知乙丙边三十二丈乙角六十度丙角四十六度求甲乙边甲丙边各几何法以乙角六十度与丙角四十六度相加得一百零六度与半圜一百八十度相减余七十四度为甲角求甲丙边则以甲角为对所知之角其正九万六千一百二十六为一率以乙角为对所求之角其正八万六千六百零三为二率乙丙边为所知之边其数三十二丈为三率求得四率二十八丈八尺二寸九分有余即甲丙为所求之一边也求甲乙边则仍以甲角为对所知之角其正九万六千一百二十六为一率而以丙角为对所求之角其正七万一千九百三十四为二率仍以乙丙边为所知之边其数三十二丈为三率求得四率二十三丈九尺四寸六分有余即甲乙为所求之又一边也如图甲乙丙三角形作含三角形之圜则每界角各对一弧试自圜心丁作三角形各边之垂线即将每角所对之弧平分一半各成两心角其每一心角与相当各界角之度等【见几何原本四卷第十三节】是以乙角所对甲丙弧原系一百二十度今为丁庚癸垂线所平分各为六十度一为甲丁癸一为癸丁丙皆与乙角原度等丙角所对甲乙弧原系九十二度今为丁戊辛垂线所平分各为四十六度一为甲丁辛一为辛丁乙皆与丙角原度等甲角所对乙丙弧原系一百四十八度今为丁己壬垂线所平分各为七十四度一为乙丁壬一为壬丁丙皆与甲角原度等乙己为乙丁壬角之正己丙为壬丁丙角之正亦即甲角之正甲庚为甲丁癸角之正庚丙为癸丁丙角之正亦即乙角之正甲戊为甲丁辛角之正戊乙为辛丁乙角之正亦即丙角之正故求甲丙边者以乙己与甲庚之比或己丙与庚丙之比皆同于乙丙与甲丙之比又如求甲乙边者以己丙与甲戊之比或乙己与戊乙之比皆同于乙丙与甲乙之比俱是半与半全与全之比例而各为相当比例四率也又图求甲丙边者则用甲丙为半径自丙角至甲乙界作丙丁垂线为甲角正又依甲丙度截丙乙于戊使戊乙与甲丙等【凡用正比例因在圜内皆同半径今使戊乙与甲丙相同而后正之大小乃见】乃自戊至甲乙界又作戊己垂线为乙角正观戊己小于丙丁则知甲丙【同戊乙】亦小于乙丙故甲角正丙丁与乙角正戊己之比同于乙丙边与甲丙边之比为相当比例四率也又如求甲乙边者则用甲乙为半径自乙角至甲丙界作乙丁垂线为甲角正又依甲乙度截乙丙于戊使戊丙与甲乙等乃自戊至甲丙界又作戊己垂线为丙角正观戊己小于乙丁则知甲乙【同戊丙】亦小于乙丙故甲角正乙丁与丙角正戊己之比同于乙丙边与甲乙边之比为相当比例四率也

　　又法求甲乙边以乙角六十度之余切五万七千七百三十五与丙角四十六度之余切九万六千五百六十九相加得一十五万四千三百零四为一率乙角之余割一十一万五千四百七十为二率乙丙边三十二丈为三率求得四率二十三丈九尺四寸六分有余即甲乙边求甲丙边则仍以两角余切相加之一十五万四千三百零四为一率而以丙角余割一十三万九千零一十六为二率仍以乙丙边三十二丈为三率求得四率二十八丈八尺二寸九分有余即甲丙边也此法葢以甲乙丙一鋭角三角形分为甲丁乙甲丁丙两直角三角形即如乙角六十度与象限九十度相减余三十度为甲丁乙三角形之甲角又丙角四十六度与象限九十度相减余四十四度为甲丁丙三角形之甲角乙角之余切戊己即甲丁乙三角形之甲角之正切如壬癸乙角之余割己乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲壬而丙角之余切庚辛即甲丁丙三角形之甲角之正切如癸子丙角之余割庚丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲子若乙角丙角两余切相加即两甲角正切相加之和如壬子甲癸壬与甲丁乙两三角形为同式形甲癸子与甲丁丙两三角形为同式形故甲壬子与甲乙丙两三角形亦为同式形是故求甲乙边者以壬子与甲壬之比同于乙丙与甲乙之比求甲丙边者以壬子与甲子之比同于乙丙与甲丙之比皆为相当比例四率也

　　设如甲乙丙鋭角三角形知甲角五十度乙角七十度乙丙边九丈七尺八寸求丙角甲乙边甲丙边各几何

　　法以甲角五十度与乙角七十度相加得一百二十度与半圜一百八十度相减余六十度为丙角求甲乙边则以甲角为对所知之角其正七万六千六百零四为一率以丙角为对所求之角其正八万六千六百零三为二率乙丙边为所知之边其数九丈七尺八寸为三率求得四率一十一丈零五寸六分有余即甲乙为所求之一边也求甲丙边则仍以甲角为对所知之角其正七万六千六百零四为一率而以乙角为对所求之角其正九万三千九百六十九为二率仍以乙丙边为所知之边其数九丈七尺八寸为三率求得四率一十一丈九尺九寸六分有余即甲丙为所求之又一边也此法所知之角与边虽与前法少异然总是有两角一边得其所余一角则仍与前法同矣

　　设如甲乙丙钝角三角形知乙角二十四度丙角三十六度三十分乙丙边七十九丈零一寸求甲乙边甲丙边各几何

　　法以乙角二十四度与丙角三十六度三十分相加得六十度三十分与半圜一百八十度相减余一百一十九度三十分为甲钝角求甲乙边则以甲钝角为对所知之角夫甲角既为钝角过九十度乃用其外角将甲角一百一十九度三十分与半圜一百八十度相减余六十度三十分为甲角之外角其正八万七千零三十六为一率【凡钝角之外角其正即钝角之正解见割圜集内】丙角为对所求之角其正五万九千四百八十二为二率乙丙边为所知之边其数七十九丈零一寸为三率求得四率五十三丈九尺九寸七分即甲乙为所求之一边也如求甲丙边则仍以甲角为对所知之角用其外角正八万七千零三十六为一率而以乙角为对所求之角其正四万零六百七十四为二率仍以乙丙边七十九丈零一寸为三率求得四率三十六丈九尺二寸三分有余【如既得甲乙边而以丙角为对所知之角其正为一率甲乙边为所知之边其数为三率所得亦同】即甲丙为所求之又一边也此法亦有两角一边但甲为钝角故用外角正求法畧异试以求甲乙边言之则甲乙边为半径于甲角之外作乙丁垂线则成乙甲丁之外角其乙丁垂线即乙甲丁外角之正又按甲乙边度截乙丙边于戊使戊丙与甲乙半径等作戊己垂线即丙角之正夫戊己丙与乙丁丙两勾股形为同式形故乙甲丁外角之正乙丁与丙角之正戊己之比即同于乙丙边与等甲乙边之戊丙之比为相当比例四率也其求甲丙边用外角正其理亦同

　　又法求甲乙边以乙角二十四度之余切二十二万四千六百零四与丙角三十六度三十分之余切一十三万五千一百四十二相加得三十五万九千七百四十六为一率乙角之余割二十四万五千八百五十九为二率乙丙边七十九丈零一寸为三率求得四率五十三丈九尺九寸七分有余即甲乙边求甲丙边则仍以两角余切相加之三十五万九千七百四十六为一率而以丙角之余割一十六万八千一百一十七为二率乙丙边七十九丈零一寸为三率求得四率三十六丈九尺二寸三分有余即甲丙边也此法葢以甲乙丙一钝角三角形分为甲丁乙甲丁丙两直角三角形其乙角之余切戊己即甲丁乙三角形之甲角之正切如壬癸乙角之余割己乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲壬而丙角之余切庚辛即甲丁丙三角形之甲角之正切如癸子丙角之余割庚丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲子乙角丙角两余切相加之数即两甲角正切相加之和如壬子甲癸壬与甲丁乙两三角形为同式形甲癸子与甲丁丙两三角形为同式形故甲壬子与甲乙丙两三角形亦为同式形是以求甲乙边者以壬子与甲壬之比同于乙丙与甲乙之比求甲丙边者以壬子与甲子之比同于乙丙与甲丙之比皆为相当比例四率也

　　设如甲乙丙钝角三角形知乙角三十三度三十八分四十秒丙外角五十五度五十三分乙丙边一十六丈求甲角甲乙边甲丙边各几何

　　法以乙角三十三度三十八分四十秒与丙外角五十五度五十三分相减余二十二度一十四分二十秒即甲角【取甲角当以丙外角与半圜一百八十度相减余为丙钝角仍以丙钝角与乙角相加又与半圜一百八十度相减余为甲角今止以丙外角内减乙角即得甲角者葢因丙外角与乙甲二内角相倂之度等又三角形三角相倂共为一百八十度与半圜等今于半圜内减去丙钝角所余为丙外角而一百八十度内减丙钝角则余乙甲二角共度是甲乙二角共度与丙外角之度等故于丙外角内减去乙角即甲角也】求甲乙边则以甲角为对所知之角其正三万七千八百四十七为一率以丙外角为对所求之角其正八万二千七百九十为二率乙丙边为所知之边其数一十六丈为三率求得四率三十五丈即甲乙为所求之一边求甲丙边则仍以甲角为对所知之角其正三万七千八百四十七为一率而以乙角为对所求之角其正五万五千四百零四为二率仍以乙丙边为所知之边其数一十六丈为三率求得四率二十三丈四尺二寸二分有余【如既得甲乙边而以丙外角为对所知之角其正为一率甲乙边为所知之边其数为三率所得亦同】即甲丙为所求之又一边也此法亦有两角一边与前法同但先有外角少异耳

　　又法求甲乙边以乙角三十三度三十八分四十秒之余切一十五万零二百五十九与丙外角五十五度五十三分之余切六万七千七百四十八相减余八万二千五百一十一为一率乙角之余割一十八万零四百九十三为二率乙丙边一十六丈为三率求得四率三十五丈即甲乙边求甲丙边则仍以两角余切相减之八万二千五百一十一为一率而以丙外角之余割一十二万零七百八十八为二率仍以乙丙边一十六丈为三率求得四率二十三丈四尺二寸二分有余即甲丙边也此法葢以乙丙边引长自甲角作甲丁垂线遂成甲丁乙甲丁丙两直角三角形甲丁丙三角形之丙角即甲乙丙三角形之丙角之外角其余切戊己即甲丁丙三角形之甲角之正切如壬癸丙外角之余割己丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲壬甲乙丙三角形之乙角之余切庚辛即甲丁乙三角形之甲角之正切如子癸甲乙丙三角形之乙角之余割辛乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲子甲丁丙三角形之丙角余切与甲丁乙三角形之乙角余切相减之数即两甲角之正切相减之较如子壬甲癸壬三角形与甲丁丙三角形为同式形甲癸子三角形与甲丁乙三角形为同式形故甲子壬三角形与甲乙丙三角形亦为同式形是以子壬与甲子之比同于乙丙与甲乙之比又子壬与甲壬之比同于乙丙与甲丙之比皆为相当比例四率也

　　设如甲乙丙鋭角三角形知甲角六十度甲乙边四十丈甲丙边二十六丈一尺零八分求乙角丙角及乙丙边各几何

　　法以甲乙边四十丈与甲丙边二十六丈一尺零八分相加得六十六丈一尺零八分为两边之和为一率又以甲乙边四十丈与甲丙边二十六丈一尺零八分相减余一十三丈八尺九寸二分为两边之较为二率以甲角六十度与半圜一百八十度相减余一百二十度为外角折半得六十度为半外角其正切一十七万三千二百零五为三率求得四率三万六千三百九十七为半较角之正切捡八线表得二十度为半较角与半外角六十度相减余四十度即乙角之度如以半较角二十度与半外角六十度相加得八十度即丙角之度也既得乙丙两角即以丙角为对所知之角其正九万八千四百八十一为一率以甲角为对所求之角其正八万六千六百零三为二率甲乙边为所知之边其数四十丈为三率求得四率三十五丈一尺七寸五分有余即乙丙为所求之边也如图甲乙丙鋭角三角形以甲角为心甲丙小边为半径作一丙丁戊圜截甲乙大边于戊将甲乙引长至圜界丁则甲丁甲戊俱为半径与甲丙等自丁至乙即两边之和自戊至乙即两边之较丁甲丙角即甲角之外角试自丙至戊作一丙戊线则成甲丙戊三角形其甲丙戊与甲戊丙二角并之与丁甲丙外角度等今折半用其正切即如用丁戊丙角之正切又心角与边角度等其切线亦等故自丙至丁作一丙丁线即丁戊丙角之正切又戊丙乙角即丙角大于甲戊丙角之较亦即乙角小于甲戊丙角之较故自圜界戊至乙丙边己作己戊线与丙丁平行即戊丙己角之正切且乙丁丙三角形与乙戊己三角形为同式形故两边之和丁乙与丁戊丙半外角切线丁丙之比即同于两边之较戊乙与半较角切线戊己之比为相当比例四率也

　　又法自丙角作丙丁垂线分为丙丁甲丙丁乙两直角形算之先用丙丁甲直角形求丙丁垂线及甲丁分边以丁角为对所知之角其正即半径十万为一率以甲角为对所求之角其正八万六千六百零三为二率甲丙边为所知之边其数二十六丈一尺零八分为三率求得四率二十二丈六尺一寸有余为丙丁垂线又以丁角为对所知之角其正即半径十万为一率以甲角六十度与九十度相减余三十度即甲丙丁角【即丙之分角】为对所求之角其正五万为二率【直用甲角余亦可】甲丙边为所知之边其数二十六丈一尺零八分为三率求得四率十三丈零五寸四分为甲丁分边既得甲丁分边乃与甲乙边四十丈相减余二十六丈九尺四寸六分为丁乙分边于是用丙丁乙直角形求乙角及乙丙边以丁乙二十六丈九尺四寸六分为一率丙丁二十二丈六尺一寸有余为二率半径十万为三率求得四率八万三千九百零八为乙角正切捡八线表得四十度为乙角以乙角四十度与甲角六十度相加得一百度与一百八十度相减余八十度为丙角既得乙丙两角则用两角一边求又一边之法算之即得乙丙边矣或先求乙丙边则以丁乙二十六丈九尺四寸六分为勾丙丁二十二丈六尺一寸为股求得三十五丈一尺七寸五分有余即乙丙边也

　　又法先求甲丁分边比例而得乙角以半径十万为一率【即丁直角之正】以甲角六十度之余五万为二率【即丙分角之正】以甲丙边二十六丈一尺零八分为三率求得四率十三丈零五寸四分为甲丁分边乃以甲丁分边十三丈零五寸四分为一率以甲丁分边与甲乙全边四十丈相减余二十六丈九尺四寸六分为丁乙分边为二率甲角六十度之余切五万七千七百三十五为三率求得四率一十一万九千一百七十六为乙角余切捡表得四十度即乙角也如甲角之戊庚一象限其庚己为甲角之余切而庚己甲与甲丁丙为同式形又如乙角之辛癸一象限其壬癸为乙角之余切而壬癸乙与乙丁丙为同式形故甲丁与丁乙之比同于庚己与壬癸之比也

　　又法用甲角余割余切求乙角丙角以甲丙边二十六丈一尺零八分为一率甲乙边四十丈为二率甲角六十度余割一十一万五千四百七十为三率求得四率一十七万六千九百一十一为甲角余切与乙角余切之共数即甲丙丁与乙丙丁两分角之共切又将甲角六十度与象限九十度相减余三十度即甲丙丁之分角捡其正切五万七千七百三十五与两分角之共切一十七万六千九百一十一相减余一十一万九千一百七十六为丁丙乙分角之正切即乙角之余切捡表得四十度即乙角之度也以乙角四十度与甲角六十度相加得一百度又与半圜一百八十度相减余八十度即丙角之度也如甲乙丙鋭角三角形作丙丁垂线分为甲丁丙与乙丁丙两直角形以丙角为心作一戊己庚半圜则丙丁垂线平分于己两边各成一象限试与甲乙边平行作一辛壬线则辛己一段为甲丙丁分角之正切即甲角之余切己壬一段为乙丙丁分角之正切又即乙角之余切而辛丙为甲丙丁分角之正割亦即甲角之余割辛壬丙与甲乙丙两三角形为同式形故甲丙边与甲乙边之比即同于甲角余割辛丙【即甲丙丁分角之正割】与甲丙丁乙丙丁两分角之正切相合之辛壬之比为相当比例四率也既得辛壬两分角之共切内减去甲丙丁分角三十度之正切辛己所余己壬为乙丙丁分角之正切即为乙角之余切捡表即得乙角也

　　设如甲乙丙钝角三角形知甲角一百一十九度三十四分甲乙边五十四尺甲丙边三十六尺九寸求乙角丙角及乙丙边各几何

　　法以甲乙边五十四尺与甲丙边三十六尺九寸相加得九十尺九寸为两边之和为一率又以甲乙边与甲丙边相减余一十七尺一寸为两边之较为二率以甲角一百一十九度三十四分与半圜一百八十度相减余六十度二十六分为外角折半得三十度一十三分为半外角其正切五万八千二百四十为三率求得四率一万零九百五十六为半较角之正切捡八线表得六度一十五分为半较角与半外角三十度一十三分相减余二十三度五十八分即乙角之度如以半较角六度一十五分与半外角三十度一十三分相加得三十六度二十八分即丙角之度也既得乙丙二角求乙丙边则以丙角为对所知之角其正五万九千四百三十五为一率甲外角为对所求之角【甲角为钝角故用外角】其正八万六千九百七十八为二率甲乙边为所

知之边其数五十四尺为三率求得四率七十九尺零二分四厘有余即乙丙边也如图甲乙丙钝角三角形以甲角为心甲丙为半径作一丙丁戊圜其乙丁为两边之和乙戊为两边之较丙丁为半外角之正切己戊为半较角之正切乙丁丙三角形与乙戊己三角形为同式形故以两边之和乙丁与丁戊丙半外角切线丙丁之比即同于两边之较乙戊与半较角切线己戊之比为相当比例四率也又法自丙角作丙丁垂线于形外成丙丁乙与丙丁甲两直角形先用丙丁乙直角形求丙丁垂线及甲丁虚边以丁直角为对所知之角其正即半径十万为一率以甲角一百一十九度三十四分与半圜一百八十度相减余六十度二十六分即甲外角为对所求之角其正八万六千九百七十八为二率甲丙边为所知之边其数三十六尺九寸为三率求得四率三

十二尺零九分五厘为丙丁垂线又以丁直角为对所知之角其正即半径十万为一率又以甲外角六十度二十六分与九十度相减余二十九度三十四分为甲丙丁角【即丙外分角】为对所求之角其正四万九千三百四十四为二率【如直用甲外角之余为二率亦可】甲丙边为所知之边其数三十六尺九寸为三率求得四率十八尺二寸零八厘为甲丁虚边与甲乙边五十四尺相加得七十二尺二寸零八厘为乙丁全边又以乙丁全边七十二尺二寸零八厘为一率丙丁垂线三十二尺零九分五厘为二率半径十万为三率求得四率四万四千四百四十八为乙角正切捡八线表得二十三度五十八分为乙角之度与甲外角六十度二十六分相减余三十六度二十八分即丙角之度【甲外角与乙丙二内角等故减去乙角余即丙角】既得乙

丙二角则用两角一边求又一边之法算之即得乙丙边或先求乙丙边则以乙丁全边七十二尺二寸零八厘为股丙丁垂线三十二尺零九分五厘为勾求得七十九尺零二分即乙丙边也又法用甲角余割余切求乙角丙角以甲丙边三十六尺九寸为一率甲乙边五十四尺为二率以甲外角六十度二十六分之余割一十一万四千九百七十一为三率求得四率一十六万八千二百五十为甲外角余切与乙角余切之较数乃以甲外角六十度二十六分之余切五万六千七百三十一与两余切之较相加得二十二万四千九百八十一为乙角余切捡表得二十三度五十八分即乙角之度与甲角一百一十九度三十四分相加得一百四十三度三十二分与半圜一百八十度相减余三十六度二十八分即丙角之度也如甲乙丙钝角形将甲乙边引长自丙角

作丙丁垂线遂成丙丁甲丙丁乙两直角三角形丙丁甲三角形之甲角即甲乙丙三角形之甲角之外角其余切戊己即丙丁甲三角形之丙角之正切如庚辛甲外角之余割甲己即丙丁甲三角形之丙角之正割如庚丙而丙丁乙三角形之乙角之余切壬癸即丙丁乙三角形之丙角之正切如子辛若丙丁乙三角形之乙角余切与丙丁甲三角形之甲角余切相减即两丙角相差之较如子庚丙辛庚三角形与丙丁甲三角形为同式形丙辛子三角形与丙丁乙三角形为同式形故丙庚子三角形与丙甲乙三角形亦为同式形是以甲丙边与甲乙边之比同于甲外角余割庚丙【即甲己】与两余切之较子庚之比为相当比例四率也既得子庚两余切之较与甲外角之余切庚辛【即戊己】相加得子辛即乙角之余切捡表得乙角度既得乙角则以乙角与甲角相并与半圜相减余即丙角矣

　　设如甲乙丙鋭角三角形知乙角六十度甲乙边八十丈甲丙边七十丈三尺四寸求甲角丙角及乙丙边各几何

　　法以甲丙边为对所知之边其数七十丈三尺四寸为一率甲乙边为对所求之边其数八十丈为二率乙角为所知之角其正八万六千六百零三为三率求得四率九万八千四百九十六为丙角正捡表得八十度零三分即丙角度也既得丙角度则以乙角六十度与丙角八十度零三分相加得一百四十度零三分与一百八十度相减余三十九度五十七分即甲角度也既得甲角求乙丙边则以乙角为对所知之角其正八万六千六百零三为一率甲角为对所求之角其正六万四千二百一十二为二率甲丙边为所知之边其数七十丈三尺四寸为三率求得四率五十二丈一尺五寸三分有余即乙丙为所求之边也

　　又法用余割求丙角以甲乙边八十丈为一率甲丙边七十丈三尺四寸为二率乙角六十度之余割十一万五千四百七十为三率求得四率十万一千五百二十六为丙角余割捡表得八十度零三分即丙角度也如甲乙丙鋭角三角形作甲丁垂线分为甲丁乙甲丁丙两直角三角形其乙角之余割戊乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲庚丙角之余割己丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲辛甲庚辛与甲乙丙两三角形为同式形故甲乙边与甲丙边之比同于乙角余割甲庚【即戊乙】与丙角余割甲辛【即己丙】之比为相当比例四率也

　　设如甲乙丙钝角三角形知丙角一百一十度甲乙边二十二丈五尺五寸甲丙边十二丈求甲角乙角及乙丙边各几何

　　法以甲乙边为对所知之边其数二十二丈五尺五寸为一率甲丙边为对所求之边其数十二丈为二率丙角为所知之角其外角七十度之正九万三千九百六十九为三率求得四率五万为乙角正捡表得三十度即乙角度也既得乙角度则以乙角三十度与丙角一百一十度相加得一百四十度与一百八十度相减余四十度即甲角度也既得甲角求乙丙边则以乙角为对所知之角其正五万为一率甲角为对所求之角其正六万四千二百七十九为二率甲丙边为所知之边其数十二丈为三率求得四率十五丈四尺二寸七分即乙丙为所求之边也又法用余割求乙角以甲丙边十二丈为一率甲乙边二十二丈五尺五寸为二率丙外角七十度之余割十万六千四百一十八为三率求得四率一十九万九千九百七十七为乙角之余割捡表得三十度即乙角度也如甲乙丙钝角三角形将乙丙边引长自甲角作甲丁垂线遂成甲丁丙甲丁乙两直角三角形甲丁丙三角形之丙角即甲乙丙三角形之丙角之外角其余割己丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲辛甲丁乙三角形之乙角之余割戊乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲庚甲庚辛与甲乙丙两三角形为同式形故甲丙边与甲乙边之比同于丙外角余割甲辛【即己丙】与乙角余割甲庚【即戊乙】之比为相当比例四率也

　　设如甲乙丙鋭角三角形知甲乙边一百二十二尺甲丙边一百一十二尺乙丙边一百五十尺求甲乙丙三角各几何

　　法求丙角以甲丙边一百一十二尺与乙丙边一百五十尺相乗得一万六千八百尺倍之得三万三千六百尺为一率以甲丙边一百一十二尺自乘得一万二千五百四十四尺乙丙边一百五十尺自乘得二万二千五百尺以两边各自乘数相加得三万五千零四十四尺又以甲乙边一百二十二尺自乘得一万四千八百八十四尺与两边各自乘相加数三万五千零四十四尺相减余二万零一尺六十尺为二率半径十万为三率求得四率六万为甲分角之正即丙角之余捡表得五十三度零八分即丙角之度也求乙角则以甲乙边与乙丙边相乘得数倍之为一率以甲乙边乙丙边各自乘相加内减去甲丙边自乘之数余为二率半径十万为三率求得四率为甲分角之正即乙角之余捡表即得乙角之度也或既得丙角用两边一角比例之法即得甲乙二角矣此法葢以三边之面积互相加减使面与面比而得线与线之比也如甲乙丙三角形自甲角至乙丙边作一甲丁垂线分为甲丁丙甲丁乙两勾股形又作三边之各正方复作两边相乘之长方其甲丙戊己为甲丙边自乘之一正方庚辛乙甲为甲乙边自乘之一正方乙壬癸丙为乙丙边自乘之一正方丙癸丑子为甲丙边与乙丙边相乘之一长方倍之为丙癸卯寅一大长方今于甲丙戊己与乙壬癸丙两正方相并数内减庚辛乙甲一正方则是减去辰己午甲一正方即如甲丙戊己之一正方又减去庚辛乙午己辰一磬折形即如庚辛乙甲之正方比甲丙戊己之正方所多之较其积与乙壬申未一长方等【寅之长方与未申癸甲丁丙甲丁乙两勾股形同用一甲丁股是以甲丙方内有甲丁一股方丁丙一勾方而甲乙方内有甲丁一股方乙丁一勾方因两三角形同用一股故其两较与两和相乘之数两勾较与两勾和相乗之数必然相等午乙即两之较辰己与辛乙相并即两之和庚辛乙午己辰磬折形即两较与两和相乗之积而乙未为两勾之较乙丙为两勾之和乙壬申未即两勾较与两勾和相乗之】所余为未申癸丙一长方试以甲丁垂线引长则平分未申癸丙一长方为未申酉丁与丁酉癸丙二长方此二长方与丙癸丑子子丑夘寅二长方同用一边为二平行线内所有二方面互相为比同于其底互相为比之例故丙癸夘寅之长方与未申癸丙之长方之比即同于丙寅边与未丙边之比也又比例之理全

　　与全半　　　　　　　　　　　　　　　　　　【积所以知其相等也】与半之比例相同【为甲丙边与乙丙边相乗又加一倍之积】故丙癸夘丙之长方【即甲丙边乙丙边两正方相并内减甲乙边一正方所余之积】相比同于丙子边【与甲丙边同】与丁丙边之比也又甲丙边即如甲丁垂线所分丁直角之正而甲丁垂线所分之丁丙边即如甲分角之正是以甲丙边与乙丙边相乘加倍之丙癸夘寅长方积为一率甲丙边乙丙边两正方相并积内减甲乙边一正方所余未申癸丙长方积为二率对丁直角之正半径十万为三率求得四率为甲分角之正即丙角之余也

　　又求分边得角法以乙丙边为底其数一百五十尺为一率甲乙边大腰一百二十二尺与甲丙边小腰一百一十二尺相加得二百三十四尺为二率两边相减余一十尺为三率求得四率一十五尺六寸为分边之较与乙丙边一百五十尺相减余一百三十四尺四寸折半得六十七尺二寸为丁丙分边之数乃以甲丙边为对所知之边其数一百一十二尺为一率丁丙分边为对所求之边其数六十七尺二寸为二率丁角为所知之角其正半径十万为三率求得四率六万为甲丁丙三角形之甲角正又即丙角之余捡表得五十三度零八分为丙角之度既得丙角则用两边一角比例之法遂得甲乙二角矣如图以甲角为心甲丙小边为半径作一戊丙己庚圜截甲乙边于庚截丙乙边于戊将甲乙引长至圜界己则甲己与甲丙等自己至乙即两边之和自庚至乙即两边之较乙戊即乙丁丁丙两分边之较是故分边之和乙丙与两边之和己乙之比即同于两边之较庚乙与分边之较乙戊之比为转比例四率也

　　又法以甲乙边一百二十二尺乙丙边一百五十尺甲丙边一百一十二尺三数相加得三百八十四尺为三边之总折半得一百九十二尺为半总以甲乙边一百二十二尺与半总一百九十二尺相减余七十尺为甲乙边与半总之较以乙丙边一百五十尺与半总一百九十二尺相减余四十二尺为乙丙边与半总之较以甲丙边一百一十二尺与半总一百九十二尺相减余八十尺为甲丙边与半总之较乃以半总一百九十二尺为一率甲丙边与半总之较八十尺为二率甲乙边与半总之较七十尺与乙丙边与半总之较四十二尺相乗得二千九百四十尺为三率求得四率一千二百二十五尺开方得三十五尺为三角形自中心至三边之垂线先求丙角则用甲乙边与半总之较七十尺为一率三角形自中心至三边之垂线三十五尺为二率半径十万

为三率求得四率五万为丙半角之正切捡表得二十六度三十四分倍之得五十三度零八分即丙角之度也如先求乙角则用甲丙边与半总之较八十尺为一率先求甲角则用乙丙边与半总之较四十二尺为一率俱用三角形自中心至三边之垂线三十五尺为二率半径十万为三率即各得各半角之正切焉此法葢一率二率以线与线为比三率四率以面与面为比也如甲乙丙三角形自中心丁至三边各作一垂线又自中心丁至三角各作一分角线即成六直角三角形俱两两相等【辛为三边之半总即三较之和丁己丙与丁庚丙等丁己乙与】又按甲戊度引乙丙线至【丁戊乙等丁戊甲与丁庚甲等】辛则乙【乙己与乙戊等即甲丙边与半总之较己丙与丙庚等即甲乙之面边与半总之较丙辛与甲戊甲庚等即乙丙边与半总】试自辛作直

角将乙丁线引长作一乙辛壬直角形则壬辛与丁己平行乙辛壬形与乙己丁形遂为同式形其乙辛与乙己之比即同于壬辛与丁己之比然乙辛一率乙己二率之数虽有而壬辛之数却无又但知己丙与丙辛相乘之数即丁己与壬辛相乘之数故以己丙与丙辛相乘之数为三率【之较何以知己丙与丙辛相乘之数即丁己与壬辛相乘之数试作壬丙线壬癸线使丙癸与丙辛等癸角辛角皆为直角癸丙辛角与辛壬癸角相合共成一百八十度然庚丙己角为癸丙辛角之外角相合亦共成一百八十度是庚丙己角与辛壬癸角等庚丁己角与癸丙辛角等是以壬癸丙辛形与丙庚丁己形为同式形而丙辛壬勾股形与丁巳丙勾股形亦为同式形可互相比例矣以丁己作一率己丙作二率丙辛作三率即得四率壬辛是以己丙二率与丙辛三率相乘之数

即与丁己一率壬辛四率相乘之数等故直以己丙丙辛相乘之数作三】其所得四率即丁己自乘之数是故乙辛与【率也】乙己之比同于丁己与壬辛相乘【即己丙与丙辛相乗之面】与丁己自乘之面之比也既得丁己自乘之面故开方而得丁己为三角形自中心至三边之垂线与丁戊与丁庚俱相等又即三角形容圜之半径也

　　制数理蕴下编卷十七

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

　　钦定四库全书

　　御制数理精蕴下编卷十八

　　面部八

　　测量【勾股测量三角测量】

　　测量

　　周髀曰偃矩以窥髙覆矩以测深卧矩以知逺盖以矩度或表杆相度窥测立者则取其直平者则取其方必使成直角以大小勾股为比例以在器之勾股比所测之勾股彼此相形而得之者也然勾股必为直角而三角形则惟变所适而无定形要以角度为准而用割圜八线以为比例凡求角求边皆以三角形之法为本总以对所知为一率对所求为二率所知为三率得四率即所求也或一测或屡测惟在随时而致用或用正或用余惟在比例之相当不特凡物之髙深广逺可得而推即七政之躔度天地之形体俱可得而测也

　　勾股测量【凡用矩度或立表杆必用垂线取其与地平成直角以为准则若地不平

　　须记取某处与人目所看相平为记】

　　设如有一旗杆欲测其髙但知距旗杆之逺为三丈问得髙几何

　　法用矩度【矩度之制必用正方每边定一百分或二百分横俱界线画成小方分自中心所出线俱平分每边一半对中心所出线两邉安定表取中心安游表看分数必以其自中心所出线为准见几何原本十二卷】定准坠线以定表看地平游表看旗杆顶得距地平分四十分【此矩度前边为百分自中心平分半边为五十分】乃以中心平分距分五十分为一率所得距分四十分为二率距旗杆之逺三丈为三率求得四率二丈四尺即矩度中心定表所对地平至旗杆顶之髙加矩度中心距地之髙四尺共得二丈八尺即所求旗杆之髙也如图甲乙为旗杆之髙丙乙为距旗杆之逺丁为矩度中心丁丙为矩度中心距地之高己庚为定表所对地平为戊辛壬为游表看旗杆顶甲其丁庚为矩度中心平分距分五十分壬庚为游表距地平分四十分其丁庚与壬庚之比同于丁戊与甲戊之比故丁庚五十分为一率壬庚四十分为二率丁戊距旗杆之逺三丈为三率得四率甲戊二丈四尺加同丁丙高之戊乙四尺即得甲乙二丈八尺为旗杆之高也

　　又用表杆测法于距旗杆三丈处立一表高四尺向前又立一表高八尺看二表端与旗杆顶齐量二表间相距得五尺乃以五尺为一率前表八尺内减后表四尺余四尺为二率距旗杆之逺三丈为三率求得四率二丈四尺加入后表高四尺得二丈八尺即旗杆之高也如图甲乙为旗杆之高乙丙为距旗杆之逺三丈丁丙为后表之髙四尺戊己为前表之高八尺丙己为二表之距五尺戊庚为二表之较四尺丁戊甲为人目视线试与乙丙平行作辛丁线遂成甲辛丁戊庚丁两勾股形为同式形故丁庚与戊庚之比同于丁辛与甲辛之比既得甲辛加与丁丙相等之辛乙即得甲乙为旗杆之高也

　　设如一树欲测其逺爰取一直角横量十五丈问得逺几何

　　法以矩度定表与游表定准直角以定表对树游表随直角立表杆二三处横量十五丈于此处复安矩度以定表对所立表杆取直看原处以游表看树得距矩度中心平分线距分三十分乃以所得距分三十分为一率矩度中心平分距分五十分为二率横量十五丈为三率求得四率二十五丈即离树之逺也如图甲为树甲乙为离树之逺乙为直角乙丙为横量十五丈丁戊为所立二表杆丙为矩度中心丙己为矩度中心平分距分五十分己庚为所得距分三十分丙己庚勾股形与甲乙丙勾股形为同式形故己庚与己丙之比即同于丙乙与甲乙之比也

　　又用表杆测法先立一表于乙取直角横量十五丈至丙次立一表于丙自丙对甲相直复立一表于丁次依丁丙度引至乙丙线上截乙丙于戊乃以丙戊折半于己遂得丁己丙勾股形与甲乙丙勾股形为同式形因量丙己得三丈为一率丁己得五丈为二率丙乙十五丈为三率求得四率二十五丈即甲乙之逺也

　　设如有山一座欲知其高用重矩之法测之问山之高得几何

　　法用矩度定准坠线以定表看地平游表看山顶得距地平分四十分又向后量九丈复安矩度定准坠线以定表仍看前矩度定表所看地平原处游表看山顶得距地平分三十二分乃以前矩度距地平分四十分为一率中心平分距分五十分为二率后矩度距地平分三十二分为三率求得四率四十分为前矩度游表与后矩度游表同距地平分所得之中心距分乃以所得四十分与后矩度中心平分距分五十分相减余十分为一率后矩度距地平分三十二分为二率向后量九丈为三率求得四率二十八丈八尺即矩度中心定表所对地平至山顶之高加矩度中心距地之高四尺共得二十九丈二尺即所求之山之髙也如图甲乙为山之高丙为前矩度中心丙庚为定表所对地平为戊丙己为游表看山顶甲其己庚为游表距地平分四十分丙庚为中

心平分距分五十分丙丁为向后量九丈丁为后矩度中心丁壬为定表所对地平亦为戊丁辛为游表看山顶甲其辛壬为游表距地平分三十二分丁壬为中心平分距分五十分试依后矩度游表距地平分辛壬度于前矩度作癸子线则丙子中心距分必小于丙庚故己庚与丙庚之比同于癸子与丙子之比而得丙子之分既得丙子则以丙子与丁壬相减余丁丑【与前矩度子庚等】即前后两矩度游表同距地平分所得中心距分之较乃自辛至丑作辛丑线遂成辛壬丑勾股形与癸子丙同度俱与甲戊丙勾股形为同式形而辛壬丁勾股形又与甲戊丁勾股形为同式形且丁丙与丁丑皆为两勾股形之各股之较故辛丑丁三角形与甲丙丁三角形亦为同式形是以丁丑与辛壬之比同于丁丙与甲戊之比而为相当比例四率也又法用矩度定准坠线以

定表看地平游表看山顶向后量九丈复安矩度定准坠线以定表仍看前矩度定表所看地平原处游表看山顶得距地平分三十二分其中心平分距分为五十分爰察前矩度距地平分三十二分处得距中心距分为四十分乃以所得四十分与后矩度中心平分距分五十分相减余十分为一率距地平分三十二分为二率向后量九丈为三率求得四率二十八丈八尺即矩度中心定表所对地平至山顶之高加矩度中心距地之高四尺共得二十九丈二尺即所求之山之高也如图甲乙为山之高丙为前矩度中心定表所对地平为戊游表看山顶甲丙丁为向后量九丈丁为后矩度中心其辛壬为游表距地平分三十二分丁壬为中心平分距分五十分试依后矩度距地平分三十二分辛壬度于前矩度三十二分处作己庚线其丙庚距中心距分得四十分乃

以丙庚四十分截后矩度丁壬中心平分距分于癸则丁癸为减余十分其丁癸与辛壬之比即同于丁丙与甲戊之比也前法两矩度游表距地平分不同故用比例四率而得其距地平相等之中心距分以取其两中心距分之较此法因取其距地平相等之分故其两中心距分不同相减即得其两中心距分之较也

　　设如一墙欲知其逺用重矩之法测之问墙之逺得几何

　　法用矩度定凖坠线以定表看地平游表看墙顶得距地平分四十分又向后量一丈复安矩度定凖坠线以定表仍看前矩度定表所看地平原处游表看墙顶得距地平分二十四分乃以前矩度距地平分四十分为一率中心平分距分五十分为二率后矩度距地平分二十四分为三率求得四率三十分为前矩度游表与后矩度游表同距地平分所得之中心距分乃以所得三十分与后矩度中心平分距分五十分相减余二十分为一率前矩度所得中心距分三十分为二率向后量一丈为三率求得四率一丈五尺即前矩度距墙之逺若求后矩度距墙之逺则以后矩度中心平分距分五十分为二率所得四率二丈五尺即后矩度距墙之逺也如图甲乙为墙之高丙为前矩度中心丙庚为定表所对地平为戊丙己为游表看墙顶甲其己庚为游表距地平分四十分丙庚为中心平分距分五十分丙丁为向后量一丈丁为后矩度中心丁壬为定表所对地平亦为戊丁辛为游表看墙顶甲其辛壬为游表距地平分二十四分丁壬为中心平分距分五十分试依后矩度游表距地平分辛壬度于前矩度作癸子线则丙子中心距分必小于丙庚故己庚与丙庚之比同于癸子与丙子之比而得丙子之分既得丙子则以丙子与丁壬相减余丁丑【与前矩度子庚等】即前后两矩度游表同距地平分所得中心距分之较乃自辛至丑作辛丑线遂成辛壬丑勾股形与癸子丙同度俱与甲戊丙勾股形为同式形而辛壬丁勾股形又与甲戊丁勾股形为同式形且丁丙与丁丑皆为两勾股形之各股之较故辛丑丁三角形与甲丙丁三角形亦为同式形是以丁丑与丑壬之比同于丁丙与丙戊之比又丁丑与丁壬之比亦同于丁丙与丁戊之比也

　　又法用矩度定凖坠线以定表看地平游表看墙顶向后量一丈复安矩度定凖坠线以定表对前矩度中心游表看墙顶得距地平分二十四分其中心平分距分为五十分爰察前矩度距地平分二十四分处得距中心距分为三十分乃以所得三十分与后矩度中心平分距分五十分相减余二十分为一率前矩度中心距分三十分为二率向后量一丈为三率求得四率一丈五尺即前矩度距墙之逺若求后矩度距墙之逺则以后矩度中心平分距分五十分为二率所得四率二丈五尺即后矩度距墙之逺也如图甲乙为墙之高丙为前矩度中心定表所对地平为戊游表看墙顶甲丙丁为向后量一丈丁为后矩度中心其辛壬为游表距地平分二十四分丁壬为中心平分距分五十分试依后矩度距地平分二十四分辛壬度于前矩度二十四分处作己庚线其丙庚距中心距分得三十分乃以丙庚三十分截后矩度丁壬中心平分距分于癸则丁癸为减余二十分其丁癸与癸壬之比同于丁丙与丙戊之比又丁癸与丁壬之比亦同于丁丙与丁戊之比也

　　设如一石欲知其逺不取直角于左右两处横量三十九丈测之问两处各距石几何

　　法先平安矩度于右以定表看左矩度之中心游表看石得距矩度中心距分三十七分五厘其游表之斜距分为六十二分五厘次平安矩度于左以定表看右矩度之中心游表看石得距矩度中心距分十一分二厘五豪其游表之斜距分为五十一分二厘五豪乃以所得两距分相并得四十八分七厘五豪为一率右矩度所得之游表斜距分六十二分五厘为二率横量三十九丈为三率求得四率五十丈为右矩度距石之逺若求左矩度距石之逺则仍以两距分相并为一率左矩度所得之游表斜距分五十一分二厘五豪为二率横量三十九丈为三率求得四率四十一丈为左矩度距石之逺也如图甲为石乙为右矩度中心其丁戊为距分三十七分五厘戊乙为游表斜距分六十二分五厘乙丙为横量三十九丈丙为左矩度中心其己庚为距分十一分二厘五豪己丙为游表斜距分五十一分二厘五豪试自甲角至乙丙线作甲辛垂线分为两勾股形则丁戊乙勾股形与甲辛乙勾股形为同式形已庚丙勾股形与甲辛丙勾股形为同式形而乙丙即为两勾之和故以丁戊与己庚两勾相并与戊乙之比同于乙丙与甲乙之比又丁戊与己庚两勾相并与己丙之比同于乙丙与甲丙之比俱为相当比例四率也

　　设如隔河一树欲测其逺不能定直角爰取两处俱斜对树横量十七丈测之问离树之逺得几何法先平安矩度于一处随定表横量十七丈复安一矩度【若止用一矩度则记凖一处亦可】以先安矩度定表看后安矩度中心游表看树得距矩度中心距分四十九分其游表之斜距分为七十分次以后安矩度定表看先安矩度中心游表看树得距矩度中心距分十五分其游表之斜距分为五十二分二厘乃以先安矩度之中心距分四十九分与后安矩度之中心距分十五分相减余三十四分为一率先安矩度游表斜距分七十分为二率横量十七丈为三率求得四率三十五丈为先安矩度距树之逺若以后安矩度游表斜距分五十二分二厘为二率则得四率二十六丈一尺为后安矩度距树之逺也如图甲为树乙为先安矩度中心其丁戊为距矩度中心距分四十九分戊乙为游表斜距分七十分乙丙为横量十七丈丙为后安矩度中心其己庚为距矩度中心距分十五分庚丙为游表斜距分五十二分二厘按己庚十五分截丁戊四十九分于辛则辛戊为减余三十四分乃自辛至乙作辛乙线与庚丙等又将乙丙线引长于壬自甲作甲壬垂线遂成甲壬丙甲壬乙两勾股形其乙丁辛勾股形与丙己庚勾股形同度俱与甲壬丙勾股形为同式形而乙丁戊勾股形又与甲壬乙勾股形为同式形故乙戊辛三角形与甲乙丙三角形亦为同式形是以辛戊与乙戊之比同于乙丙与甲乙之比而辛戊与乙辛【乙辛即与丙庚度等】之比又同于乙丙与甲丙之比也此法盖因游表视线俱在对角以外故甲壬垂线所成甲壬乙甲壬丙两勾股形同以甲壬为股而矩度上所得之乙丁戊乙丁辛两勾股形【乙丁辛即丙己庚】亦同以乙丁为股故即成两两同式形若游表视线在对角以内或一在对角之内一在对角之外所得距矩度中心距分不同者则须取其同距矩度中心距分之度以为比例如后法

　　设如隔河一亭欲测其逺不能定直角爰取两处俱斜对亭横量三十丈测之问距亭之逺得几何法先平安矩度于一处随定表横量三十丈复安一矩度以先安矩度定表看后安矩度中心游表看亭得距矩度中心距分二十七分其游表之斜距分为五十六分八厘有余次以后安矩度看先安矩度中心游表看亭亦察距矩度中心距分二十七分处得距中心距分三十分其游表之斜距分为四十分三厘有余乃以所得距中心距分三十分与先安矩度中心平分距分五十分相减余二十分为一率先安矩度游表斜距分五十六分八厘有余为二率横量三十丈为三率求得四率八十五丈二尺有余为先安矩度距亭之逺若以后安矩度游表斜距分四十分三厘有余为二率则得四率六十丈四尺五寸有余为后安矩度距亭之逺也如图甲为亭乙为先安矩度中心其丁戊为距矩度中心距分二十七分乙戊为中心平分距分五十分丁乙为游表斜距分五十六分八厘有余乙丙为横量三十丈丙为后安矩度中心其己庚亦为距矩度中心距分二十七分丙庚为距中心平分距分三十分己丙为游表斜距分四十分三厘有余按丙庚三十分截乙戊中心平分距分五十分于辛则乙辛为减余二十分又自丁至辛作丁辛线与己丙等又将乙丙线引长于壬自甲作甲壬垂线遂成甲壬丙甲壬乙两勾股形其丁戊辛勾股形与己庚丙勾股形同度俱与甲壬丙勾股形为同式形而丁戊乙勾股形又与甲壬乙勾股形为同式形故丁乙辛三角形与甲乙丙三角形亦为同式形是以乙辛与丁乙之比同于乙丙与甲乙之比又乙辛与丁辛【即己丙】之比同于乙丙与甲丙之比也此法盖因游表视线俱在对角以内故甲壬垂线所成甲壬乙甲壬丙两勾股形同以甲壬为勾而两矩度上亦取与丁戊相等之己庚为勾使成两两同式形然后可以为比例也

　　设如有塔一座欲知其高用相等两表测之问得高几何

　　法先立一表比人目高四尺看塔顶得距分六尺又自前表向后量六丈复立一表亦比人目高四尺看塔顶得距分八尺乃以前距分六尺与后距分八尺相减余二尺为一率表比人目高四尺为二率向后量六丈为三率求得四率十二丈加表比人目之高四尺共得十二丈四尺即人目以上之高也若求前表距塔顶下地平之逺则以两距分相减之较为一率前表距分六尺为二率向后量之数为三率得四率十八丈为前表距塔顶下地平之逺若求后表距塔顶下地平之逺则以后表距分八尺为二率得四率二十四丈即后表距塔顶下地平之逺也如图甲乙为塔之高丙丁与戊己为两表比人目之高四尺丁目为前表距分六尺丁己为向后量六丈己目为后表距分八尺试依前距分丁目六尺度截后距分己目于庚则庚目为减余二尺乃自戊过丙至辛作戊丙辛线又自戊至庚作戊庚线遂成戊己庚勾股形与丙丁目勾股形同度俱与甲辛丙勾股形为同式形而戊己目勾股形又与甲辛戊勾股形为同式形且丙戊与庚目皆为两勾股形之各股之较故戊庚目三角形与甲丙戊三角形又为同式形是以庚目与戊己之比同于戊丙与甲辛之比又庚目与己庚之比同于丙戊与辛丙之比庚目与己目之比并同于丙戊与辛戊之比也

　　设如有楼一座欲知其高用不等两表测之问得高几何

　　法先立长表比人目高六尺看楼脊得距分五尺四寸又自先立长表向后量二丈立短表比人目高四尺看楼脊得距分六尺四寸乃以前表比人目之高六尺为一率前表距分五尺四寸为二率后表比人目之高四尺为三率求得四率三尺六寸为前表与后表同高所得之距分爰以所得之三尺六寸与后表距分六尺四寸相减余二尺八寸为一率后表比人目之高四尺为二率以前表距分五尺四寸内减所得之三尺六寸余一尺八寸与两表相距二丈相减余一丈八尺二寸为三率求得四率二丈六尺加后表比人目之高四尺得三丈即人目以上之高也如图甲乙为楼之高丙丁为前表比人目之高六尺丁目为前表距分五尺四寸丁己为向后量二丈戊己为后表比人目之高四尺己目为后表距分六尺四寸试依后表戊己度作庚辛垂线截丁目于辛则辛目距分必小于丁目故丙丁与丁目之比同于庚辛与辛目之比而得辛目之分既得辛目则以辛目与己目相减余壬目即前后两表同高所得距分之较又于两表相距丁己内减丁辛余辛己即同高两表相距之分故壬目与戊己【即庚辛】之比即同于戊庚【即辛己】与甲癸之比也

　　三角度数测量【度数测量必取资于仪器全圜仪半圜仪象限仪虽为体不同其为用则一以九十度为准以定表游表为二视线其相距之度即为所测之角】

　　设如一塔不知其髙但知距塔之逺为三十丈欲测其高几何

　　法以仪器定凖坠线以定表看地平游表看塔尖得两表相距二十四度乃以二十四度与九十度相减余六十六度为对所知之角其正九万一千三百五十五为一率仪器上二十四度为对所求之角其正四万零六百七十四为二率距塔之逺三十丈为所知之边为三率求得四率十三丈三尺五寸七分加仪器之高即所求之塔之高也如图甲乙为塔之高丙乙为距塔之逺仪器中心为丁丁丙为仪器中心距地之高丁戊为定表所对地平为庚丁己为游表看塔尖甲得两表距弧二十四度为己戊其正为己辛其余为壬己与丁辛等象限九十度内减二十四度余六十六度为癸己即甲角之正弧其正即壬己是以与壬己相等之丁辛与己辛之比同于丁庚与甲庚之比为相当比例四率既得甲庚加同丁丙高之庚乙得甲乙即塔之高也

　　又法以半径十万为一率二十四度之切线四万四千五百二十三为二率距塔之逺三十丈为三率求得四率十三丈三尺五寸七分加仪器之高即塔之高也如图己戊弧为二十四度丁戊为半径壬戊为二十四度之正切故丁戊与壬戊之比同于丁庚与甲庚之比为相当比例四率也

　　设如一树欲知其逺取一直角横量十五丈测之问得几何

　　法以仪器定游表于九十度定表看树对游表立两表竿取直横量十五丈复安仪器于此以定表看原处游表看树得两表相距六十度乃以六十度与九十度相减余三十度为对所知之角其正五万为一率仪器上六十度为对所求之角其正八万六千六百零三为二率横量十五丈为所知之边为三率求得四率二十五丈九尺八寸即所测之树之逺也如图甲为树甲乙为距树之逺乙为所定直角丙乙为横量十五丈丙为仪器中心丙丁为定表看原处乙丙戊为游表看甲得两表距弧六十度为戊丁其正为戊己余为庚戊与丙己等象限九十度内减六十度余三十度为辛戊即甲角之正弧其正即庚戊是以与庚戊相等之丙己与戊己之比同于丙乙与甲乙之比为相当比例四率也

　　又法以半径十万为一率丙角六十度之正切十七万三千二百零五为二率横量十五丈为三率求得四率二十五丈九尺八寸即所测之树之逺也若求甲丙斜距则以半径十万为一率丙角六十度之正割二十万为二率横量十五丈为三率求得四率三十丈即甲丙斜距之逺也如图戊丁弧为六十度丙丁为半径己丁为六十度之正切己丙为六十度之正割故丙丁与己丁之比同于丙乙与甲乙之比又丙丁与己丙之比同于丙乙与甲丙之比俱各为相当比例四率也

　　设如一山欲知其高用重测之法测之退步十丈问山之高得几何

　　法先安仪器定准坠线以定表看地平游表看山顶得两表相距五十度又退行十丈复安仪器定准坠线以定表仍看前仪器定表所看地平原处仍以游表看山顶得两表相距四十度乃以前仪器所得五十度内减后仪器所得四十度余十度为对所知之角其正一万七千三百六十五为一率后仪器所得四十度为对所求之角其正六万四千二百七十九为二率退行十丈为所知之边为三率求得四率三十七丈零一寸为前仪器中心至山顶之斜距次以山顶垂线与地平所成直角为对所知之角其正即半径十万为一率前仪器所得五十度为对所求之角其正七万六千六百零四为二率前仪器中心至山顶之斜距三十七丈零一寸为所知之边为三率求得四率二十八丈三尺五寸即所测之山之高也如图甲乙为山之高丙丁为退行十丈前测得丙角五十度后测得丁角四十度而丙角为甲丙丁三角形之外角与丁甲二内角相并之度等【解见三角形边线角度相求巻中】故丙角五十度内减丁角四十度余十度即甲丙丁三角形之甲角故先用甲丙丁钝角三角形求甲丙边既得甲丙边然后用甲乙丙直角三角形求甲乙边为山之高也

　　又法以前测所得五十度之余切八万三千九百一十与后测所得四十度之余切十一万九千一百七十五相减余三万五千二百六十五为一率半径十万为二率退行十丈为三率求得四率二十八丈三尺五寸即所求之山之高也如图戊己为丙角之余切即丙甲乙角之正切与壬癸等庚辛为丁角之余切即丁甲乙角之正切与子癸等子壬即两余切之较甲癸与戊丙及庚丁俱同为半径甲癸壬三角形与甲乙丙三角形为同式形而甲癸子三角形与甲乙丁三角形为同式形故甲壬子三角形与甲丙丁三角形亦为同式形是以子壬与甲癸之比同于丁丙与甲乙之比而为相当比例四率也

　　设如人在山上欲测山之高但知山前有二树与山参直二树相距十八丈问山之高得几何

　　法于山顶安仪器定准坠线以定表向空中取一平线先以游表看逺树得游表距垂线四十九度次以游表看近树得游表距垂线三十八度乃以所得两数相减余十一度为对所知之角其正一万九千零八十一为一率以看逺树所得之四十九度与九十度相减余四十一度为对所求之角其正六万五千六百零六为二率二树相距十八丈为三率求得四率六十一丈八尺九寸为近树距山顶之斜距次以山顶垂线与地平所成直角为对所知之角其正即半径十万为一率以看近树所得之三十八度与九十度相减余五十二度为对所求之角其正七万八千八百零一为二率近树距山顶之斜距六十一丈八尺九寸为所知之边为三率求得四率四十八丈七尺七寸即所测之山之高也如图甲乙为两树相距十八丈丙丁为山之高甲丙丁角为看逺树所得之四十九度乙丙丁角为看近树所得之三十八度两数相减余十一度为甲丙乙角甲丙丁角四十九度与九十度相减所余之四十一度为甲角乙丙丁角三十八度与九十度相减所余之五十二度为乙角先用甲乙丙钝角三角形求丙乙边既得丙乙边然后用乙丙丁直角三角形求丙丁边为山之高也

　　又法以先看逺树所得四十九度之正切十一万五千零三十七与后看近树所得三十八度之正切七万八千一百二十九相减余三万六千九百零八为一率半径十万为二率二树相距之十八丈为三率求得四率四十八丈七尺七寸即山之高也如图戊己为甲丙丁角之正切庚己为乙丙丁角之正切戊庚即两正切之较丙己为半径故戊庚与丙己之比同于甲乙与丙丁之比而为相当比例四率也

　　设如一石欲知其逺不取直角于左右两处横量五十丈测之问两处各距石几何

　　法先平安仪器于左以定表看右仪器之中心游表看石得两表相距七十度次平安仪器于右以定表看左仪器之中心游表看石得两表相距六十度乃以两角度相并得一百三十度与一百八十度相减余五十度为对所知之角其正七万六千六百零四为一率求右边则以左边仪器所得七十度为对所求之角其正九万三千九百六十九为二率左右相距五十丈为所知之边为三率求得四率六十一丈三尺三寸为右边距石之逺若求左边距石之逺则以右边仪器所得六十度为对所求之角其正八万六千六百零三为二率左右相距五十丈为所知之边为三率求得四率五十六丈五尺三寸为左边距石之逺也如图甲为石乙丙为左右相距五十丈乙角为左边所测七十度丙角为右边所测六十度两角相并与一百八十度相减得甲角五十度共为甲乙丙锐角三角形盖知乙丙二角及乙丙边而求甲乙边及甲丙边也又法以左边仪器所得七十度之余切三万六千三百九十七与右边仪器所得六十度之余切五万七千七百三十五相并得九万四千一百三十二为一率右边仪器所得六十度之余割十一万五千四百三十为二率左右相距五十丈为三率求得四率六十一丈三尺三寸为右边距石之逺若求左邉距石之逺则以左边仪器所得七十度之余割十万六千四百一十八为二率左右相距五十丈为三率求得四率五十六丈五尺三寸为左边距石之逺也如图甲为石乙丙为左右相距五十丈乙角为左边所测七十度丙角为右边所测六十度试自甲至乙丙线上作甲丁垂线分为甲丁乙甲丁丙两直角形戊己为丙角之余切即丁甲丙角之正切与壬癸等己丙为丙角之余割即丁甲丙角之正割与甲癸等庚辛为乙角之余切即丁甲乙角之正切与壬子等庚乙为乙角之余割即丁甲乙角之正割与甲子等而癸子即两余切之和甲壬癸与甲丁丙为同式形甲壬子与甲丁乙为同式形故甲子癸与甲乙丙亦为同式形是以癸子与甲癸之比同于丙乙与甲丙之比又癸子与甲子之比同于丙乙与甲乙之比皆为相当比例四率也

　　设如隔河一树欲知其逺不能定直角爰取两处俱斜对树横量十二丈测之问离树之逺得几何法平安仪器于一处随定表横量十二丈复安一仪器【若止用一仪器则记凖一处亦可】以先安仪器定表看后安仪器中心游表看树得两表相距一百一十度次以后安仪器定表看先安仪器中心游表看树得两表相距四十度乃以两角度相并得一百五十度与一百八十度相减余三十度为对所知之角其正五万为一率后安仪器所得四十度为对所求之角其正六万四千二百七十九为二率横量十二丈为所知之边为三率求得四率十五丈四尺二寸七分即所测之树之逺也如图甲为树甲乙为离树之逺乙丙为横量十二丈乙角为一百一十度丙角为四十度两角相并与一百八十度相减得甲角三十度共为甲乙丙钝角三角形盖知乙丙二角及乙丙边而求甲乙边也

　　又法以先安仪器所得之外角七十度之余切三万六千三百九十七与后安仪器所得四十度之余切十一万九千一百七十五相减余八万二千七百七十八为一率先安仪器所得之外角七十度之余割十万六千四百一十八为二率横量十二丈为三率求得四率十五丈四尺二寸七分即所测之树之逺也如图甲为树甲乙为离树之逺乙丙为横量十二丈乙角为先安仪器所得一百一十度丙角为后安仪器所得四十度试将乙丙线引长自甲角作甲丁垂线遂成甲丁乙直角三角形而甲乙丁角即乙角之外角戊己为乙外角之余切即乙甲丁角之正切与壬癸等己乙为乙外角之余割即乙甲丁角之正割与甲壬等庚辛为丙角之余切即丙甲丁角之正切与子癸等子壬即两余切之较甲癸壬三角形与甲丁乙三角形为同式形甲癸子三角形与甲丁丙三角形为同式形故甲壬子三角形与甲乙丙三角形亦为同式形是以子壬与甲壬之比同于丙乙与甲乙之比而为相当比例四率也

　　设如逺望一山欲知其高不得退步爰取左右两处横量一百丈先求斜距测之问山之高得几何法以仪器斜对山顶随定表横量一百丈任记一处游表看山顶得两表相距八十六度五十三分又随定表横量一百丈所记之处复安仪器斜对山顶以定表看原处游表看山顶得两表相距七十八度零七分乃以两角度相并得一百六十五度与一百八十度相减余一十五度为对所知之角其正二万五千八百八十二为一率后测所得七十八度零七分为对所求之角其正九万七千八百五十七为二率横量一百丈为所知之边为三率求得四率三百七十八丈零九寸为先安仪器至山顶之斜距次以仪器安于原处定凖坠线定表看地平游表看山顶得两表相距五十一度乃以山顶垂线与地平所成直角为对所知之角其正即半径十万为一率仪器所得五十一度为对所求之角其正七万七千七百一十五为二率仪器至山顶之斜距三百七十八丈零九寸为所知之边为三率求得四率二百九十三丈八尺三寸即所测之山之高也如图甲为山顶甲乙为先安仪器至山顶之斜距乙丙为横量一百丈甲丙为后安仪器至山顶之斜距乙角为八十六度五十三分丙角为七十八度零七分两角相并与一百八十度相减得甲角一十五度遂成甲乙丙鋭角三角形今有乙丙二角与乙丙边求甲乙边即先安仪器至山顶之斜距又甲丁为山之高甲乙为仪器至山顶之斜距丁角即山顶垂线与地平所成直角乙角为五十一度复成甲丁乙直角三角形今有乙丁二角与甲乙边求甲丁边即山之高也

　　设如人在山坡测山之高前后不得地平爰取斜坡前后两处相距一百丈测之问山之高得几何法于山坡先安仪器定准坠线以定表空取一地平以游表看山顶得两表相距四十度于是向后就斜坡直量一百丈复安仪器定准坠线以定表空取一地平以游表看山顶得两表相距三十五度又以游表看前仪器中心得两表相距十三度乃以前仪器所得四十度内减后仪器所得三十五度余五度为对所知之角其正八千七百一十六为一率以前仪器所得四十度内减后仪器看前仪器中心所得十三度余二十七度为对所求之外角其正四万五千三百九十九为二率退量一百丈为所知之边为三率求得四率五百二十丈八尺七寸为山顶至后仪器之斜距次以山顶垂线与地平所成直角为对所知之角其正即半径十万为一率后仪器所得三十五度为对所求之角其正五万七千三百五十八为二率山顶至后仪器之斜距五百二十丈八尺七寸为所知之边为三率求得四率二百九十八丈七尺六寸即所测之山之高也如图甲乙为山之高丙丁为山坡斜距一百丈甲丙戊角为前仪器所得四十度甲丁乙角为后仪器所得三十五度丙丁乙角为后仪器看前仪器中心所得十三度若将戊丙线引长至己则甲己戊角与甲丁乙角为二平行线之内外角其度必等故于甲丙戊角四十度内减甲丁乙角三十五度余五度为丁甲丙角【此即前题退步两测之理】又试将丁丙线引长至庚则庚丙戊角与丙丁乙角亦为二平行线之内外角其度亦等故于甲丙戊角四十度内减与庚丙戊角相等之丙丁乙角十三度余甲丙庚角二十七度为甲丙丁钝角之外角故先用甲丙丁钝角三角形求甲丁边为后仪器至山顶之斜距次用甲乙丁直角三角形求甲乙边为山之高也

　　设如东西二树欲知其相距之逺测处距西树五十丈距东树七十丈问二树相距几何

　　法以仪器定表看东树游表看西树得两表相距五十度乃以距西树五十丈与距东树七十丈相加得一百二十丈为一率又以五十丈与七十丈相减余二十丈为二率两表相距五十度与一百八十度相减余一百三十度为外角折半得六十五度为半外角其正切二十一万四千四百五十一为三率求得四率三万五千七百四十二为半较角之正切检表得十九度四十分与半外角六十五度相减余四十五度二十分为小角与半外角六十五度相加得八十四度四十分为大角既得二角则以小角四十五度二十分为对所知之角其正七万一千一百二十一为一率两表相距五十度为对所求之角其正七万六千六百零四为二率距西树之逺为所知之边其数五十丈为三率求得四率五十三丈八尺五寸即东西二树相距之逺也如图甲为西树乙为东树丙为仪器中心甲丙为距西树五十丈乙丙为距东树七十丈丙角为两表视线相距五十度今以丙角为心甲丙小边为半径作一甲丁戊圜截乙丙大边于戊将乙丙引长至圜界丁则丙戊丙丁俱为半径与甲丙等自丁至乙即两边之和自戊至乙即两边之较试自甲至戊作甲戊线则成丙甲戊三角形其丙甲戊与丙戊甲二角并之与甲丙丁外角度等今折半用其正切即如用丁戊甲角之正切故自甲至丁作甲丁线即丁戊甲角之正切又戊甲乙角即甲角大于丙甲戊角之较亦即乙角小于丙戊甲角之较故自圜界戊至甲乙边作己戊线与甲丁平行即戊甲乙角之正切且乙甲丁与乙己戊为同式形故两边之和乙丁与丁戊甲半外角切线甲丁之比即同于两边之较乙戊与半较角切线己戊之比为相当比例四率也

　　又法以半径十万为一率两表相距五十度之正七万六千六百零四为二率距西树之逺五十丈为三率求得四率三十八丈三尺为西树至看东树视线上之垂线又以半径十万为一率两表相距五十度之余六万四千二百七十九为二率距西树之逺五十丈为三率求得四率三十二丈一尺四寸为西树至看东树视线上垂线所分之小段分边线将此数与距东树之逺七十丈相减余三十七丈八尺六寸亦为西树至看东树视线上垂线所分之大段分边线爰以此线为勾所得垂线为股求得五十三丈八尺五寸即东西二树相距之逺也如图甲乙丙三角形甲为西树乙为东树丙为仪器中心甲丙为距西树五十丈乙丙为距东树七十丈试自甲角至乙丙视线上作甲丁垂线遂分甲乙丙三角形为甲丁乙甲丁丙两直角三角形先求得甲丁垂线为股次求得丁丙小段分边线与乙丙相减余乙丁大段分边线为勾求得甲乙即二树相距之逺也

　　又法以距西树之逺五十丈为一率距东树之逺七十丈为二率两表相距五十度之余割一十三万零五百四十一为三率求得四率一十八万二千七百五十七为西树至看东树视线上垂线所分两分角之两正切之和内减两表相距五十度之余切八万三千九百一十余九万八千八百四十七为对西树视线之对边角之余切检表得四十五度二十分即对西树视线之对边角乃以此角度为对所知之角其正七万一千一百二十一为一率两表相距五十度为对所求之角其正七万六千六百零四为二率距西树之逺为所知之边其数五十丈为三率求得四率五十三丈八尺五寸即东西二树相距之逺也如图甲乙丙三角形甲为西树乙为东树丙为仪器中心甲丙为距西树五十丈乙丙为距东树七十丈丙角为两表视线相距五十度试自甲角至乙丙视线上作甲丁垂线遂分甲乙丙三角形为甲丁乙甲丁丙两直角三角形以甲角为心作一戊己庚半圜则甲丁垂线平分于己两边各成一象限又与乙丙平行作一辛壬线则辛己一段为乙甲丁分角之正切即乙角之余切己壬一段为丙甲丁分角之正切即丙角之余切而甲壬为丙甲丁分角之正割亦即丙角之余割甲辛壬与甲乙丙两三角形为同式形故甲丙边与乙丙边之比同于丙角余割甲壬【即丙甲丁分角之正割】与丙甲丁乙甲丁两分角之正切相合之辛壬之比为相当比例四率既得辛壬两分角之共切内减去丙甲丁分角之正切己壬【即丙角之余切】所余辛己为乙甲丁分角之正切即为乙角之余切检表即得乙角既得乙角则用两角一边比例求之而得甲乙边矣

　　设如南北二桥欲知其相距之逺测处距南桥九十丈距北桥一百二十丈问二桥相距几何

　　法以仪器定表看北桥游表看南桥得两表相距一百二十度乃以距南桥九十丈与距北桥一百二十丈相加得二百一十丈为一率又以九十丈与一百二十丈相减余三十丈为二率两表相距一百二十度与一百八十度相减余六十度为外角折半得三十度为半外角其正切五万七千七百三十五为三率求得四率八千二百四十八为半较角之正切检表得四度四十三分与半外角三十度相减余二十五度一十七分为小角与半外角三十度相加得三十四度四十三分为大角既得二角则以小角二十五度十七分为对所知之角其正四万二千七百零九为一率两表相距一百二十度为对所求之角其外角六十度之正八万六千六百零三为二率距南桥之逺为所知之边其数九十丈为三率求得四率一百八十二丈四尺九寸为南北二桥相距之逺也如图甲为南桥乙为北桥丙为仪器中心甲丙为距南桥九十丈乙丙为距北桥一百二十丈丙角为两表视线相距一百二十度今以丙角为心甲丙小边为半径作一甲丁戊圜截乙丙大边于戊将乙丙引长至圜界丁则乙丁为两边之和乙戊为两边之较试自甲至戊作甲戊线成甲丙戊三角形其丙甲戊与丙戊甲二角并之与甲丙丁外角度等今折半用其正切即如用丁戊甲角之正切故自甲至丁作甲丁线即丁戊甲角之正切又戊甲乙角即甲角大于丙甲戊角之较亦即乙角小于丙戊甲角之较故自圜界戊至甲乙边作己戊线与甲丁平行即戊甲乙角之正切且乙甲丁与乙己戊为同式形故两边之和乙丁与丁戊甲半外角切线甲丁之比即同于两边之较乙戊与半较角切线己戊之比为相当比例四率也又法以半径十万为一率两表相距一百二十度之外角六十度之正八万六千六百零三为二率距南桥之逺九十丈为三率求得四率七十七丈九尺四寸为南桥至看北桥视线引长虚边线上之垂线又以半径十万为一率两表相距一百二十度之外角六十度之余五万为二率距南桥之逺五十丈为三率求得四率四十五丈为南桥至看北桥视线引长所成直角之虚边线与距北桥一百二十丈相加得一百六十五丈为南桥至看北桥视线引长之总边线爰以此线为股所得南桥至虚边之垂线为勾求得一百八十二丈四尺八寸即南北二桥相距之逺也如图甲乙丙三角形甲为南桥乙为北桥丙为仪器中心甲丙为距南桥九十丈乙丙为距北桥一百二十丈试将乙丙线引长自甲角作甲丁垂线遂成甲丁丙甲丁乙两直角三角形先求得甲丁垂线为勾次求得丙丁虚边线与乙丙相加得乙丁总边线为股求得甲乙即二桥相距之逺也

　　又法以距南桥之逺九十丈为一率距北桥之逺一百二十丈为二率两表相距一百二十度之外角六十度之余割一十一万五千四百七十为三率求得四率一十五万三千九百六十为南桥至看北桥视线引长虚边线上之垂线所成两分角之正切之较与两表相距一百二十度之外角六十度之余切五万七十七百三十五相加得二十一万一千六百九十五为对南桥视线之对边角之余切检表得二十五度十七分即对南桥视线之对边角乃以此角度为对所知之角其正四万二千七百零九为一率两表相距一百二十度为对所求之角其外角六十度之正八万六千六百零三为二率距南桥之逺为所知之边其数九十丈为三率求得四率一百八十二丈四尺九寸即南北二桥相距之逺也如图甲乙丙三角形甲为南桥乙为北桥丙为仪器中心甲丙为距南桥九十丈乙丙为距北桥一百二十丈丙角为两表视线相距一百二十度试将乙丙边引长自甲角作甲丁垂线遂成甲丁丙甲丁乙两直角三角形甲丁丙三角形之丙角即甲乙丙三角形之丙角之外角其余切戊己即

　　甲丁丙三　　　　　　　　　　　　　　【角】形之甲角之正切如度辛丙外角之余割己丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲庚而甲乙丙三角形之乙角之余切壬癸即甲丁乙三角形之甲角之正切如子辛若甲丁乙三角形之乙角余切与甲丁丙三角形之丙角余切相减即两甲角相差之较如子庚甲辛庚三角形与甲丁丙三角形为同式形甲辛子三角形与甲丁乙三角形为同式形故甲子庚三角形与甲乙丙三角形亦为同式形是以甲丙边与乙丙边之比同于丙外角余割甲庚【即己丙】与两余切之较子庚之比为相当比例四率既得子庚两余切之较与丙外角之余切庚辛【即戊己】相加得子辛即乙角之余切捡表得乙角既得乙角则用两角一边比例求之而得甲乙边矣

　　设如隔河东西二树欲知其相距之逺爰对一树取一直角左右横量十三丈测之问二树相距几何法先对西树安仪器于右定游表于九十度以定表看西树随游表横量十三丈乃以游表看东树得西树视线距横量边线九十度东树视线距横量边线三十八度西树东树两视线相距为五十二度次于直角横量十三丈处安仪器于左以定表看右仪器中心游表看东树得东树视线距横量边线一百一十度复以游表看西树得西树视线距横量边线四十五度乃先求右仪器距西树之逺以左仪器看西树距横量边线之四十五度与九十度相减余四十五度为对所知之角其正七万零七百一十一为一率以左仪器看西树距横量边线之四十五度为对所求之角其正七万零七百一十一为二率左右横量十三丈为所知之边为三率求得四率十

三丈为右仪器距西树之逺次求右仪器距东树之逺以右仪器看东树距横量边线三十八度与左仪器看东树距横量边线一百一十度相并得一百四十八度与一百八十度相减余三十二度为对所知之角其正五万二千九百九十二为一率以左仪器看东树距横量边线一百一十度为对所求之角其外角七十度之正九万三千九百六十九为二率左右横量十三丈为所知之边为三率求得四率二十三丈零五寸为右仪器距东树之逺末求东西二树相距之逺以右仪器距西树十三丈与右仪器距东树二十三丈零五寸相加得三十六丈零五寸为一率又以十三丈与二十三丈零五寸相减余十丈零五寸为二率以右仪器看西树东树两表相距五十二度与一百八十度相减余一百二十八度为外角折半得六十四度为半外角其正切二十万零

五千零三十为三率求得四率五万七千一百五十八为半较角之正切捡表得二十九度四十五分与半外角六十四度相减余三十四度十五分为小角以半较角二十九度四十五分与半外角六十四度相加得九十三度四十五分为大角乃以小角三十四度十五分为对所知之角其正五万六千二百八十为一率看西树东树两表相距之五十二度为对所求之角其正七万八千八百零一为二率右仪器距西树之逺十三丈为所知之边为三率求得四率十八丈二尺为东西二树相距之逺也如图甲为西树乙为东树丙为右仪器中心丁为左仪器中心丙丁为两测之距十三丈甲丙丁角为直角九十度甲丙乙角为右仪器看东树西树两表相距之五十二度乙丙丁角为右仪器看东树视线距横量边线三十八度乙丁丙角为左仪器看东树视线距横

量边线一百一十度甲丁丙角为左仪器看西树距横量边线四十五度先以甲丁丙角四十五度与九十度相减余四十五度为丁甲丙角遂成甲丙丁三角形求甲丙边为右仪器距西树之逺次以乙丙丁角三十八度与乙丁丙角一百一十度并之与一百八十度相减余三十二度为丙乙丁角遂成乙丙丁三角形求乙丙边为右仪器距东树之逺末以甲乙丙三角形之甲丙乙丙二边甲丙乙一角求乙甲丙大角九十三度四十五分甲乙丙小角三十四度十五分而得甲乙边为东西二树相距之逺也

　　设如南北二峯欲知其相距之逺不取直角于左右两处横量一百丈测之问二峯相距几何

　　法安仪器于右随定表向左横量一百丈乃以游表看南峯得南峯视线距横量边线一百零七度复以游表看北峯得北峯视线距横量边线四十六度南峯北峯两视线相距为六十一度次于横量一百丈处安仪器于左以定表看右仪器中心游表看北峯得北峯视线距横量边线九十九度复以游表看南峯得南峯视线距横量边线五十度北峯南峯两视线相距为四十九度乃先求左仪器距北峯之逺以右仪器看北峯距横量边线之四十六度与左仪器看北峯距横量边线之九十九度相倂得一百四十五度与一百八十度相减余三十五度为对所知之角其正五万七千三百五十八为一率以右仪器看北峯距横量边线之四十六度为对所求之角其正七万一千九百三十四为二率横量一百丈为所知之边为三率求得四率一百二十五丈四

尺一寸为左仪器距北峯之逺次求左仪器距南峯之逺以左仪器看南峯距横量边线之五十度与右仪器看南峯距横量边线之一百零七度相并得一百五十七度与一百八十度相减余二十三度为对所知之角其正三万九千零七十三为一率右仪器看南峯距横量边线一百零七度为对所求之角其外角七十三度之正九万五千六百三十为二率横量一百丈为所知之边为三率求得四率二百四十四丈七尺四寸为左仪器距南峯之逺末求南北二峯相距之逺以左仪器距北峯一百二十五丈四尺一寸与左仪器距南峯二百四十四丈七尺四寸相加得三百七十丈一尺五寸为一率又以一百二十五丈四尺一寸与二百四十四丈七尺四寸相减余一百一十九丈三尺三寸为二率以左仪器看南峯北峯两视线相距四十九度与一百八十度相

减余一百三十一度为外角折半得六十五度三十分为半外角其正切二十一万九千四百三十为三率求得四率七万零七百四十为半较角之正切查表得三十五度十六分与半外角六十五度三十分相减余三十度十四分为小角与半外角六十五度三十分相加得一百度四十六分为大角乃以小角三十度十四分为对所知之角其正五万零三百五十二为一率左仪器看南峯北峯两视线相距之四十九度为对所求之角其正七万五千四百七十一为二率左仪器距北峯之逺一百二十五丈四尺一寸为所知之边为三率求得四率一百八十七丈九尺七寸为南北二峯相距之逺也又法求自北峯至左仪器距南峯视线上之垂线作勾股法算之则以垂线所分直角为对所知之角其正即半径十万为一率左仪器看南峯北峯两视线相距之四

十九度为对所求之角其正七万五千四百七十一为二率左仪器距北峯之逺为所知之边其数一百二十五丈四尺一寸为三率求得四率九十四丈六尺四寸为自北峯至左仪器距南峯视线上之垂线次求左仪器至垂线末之分边线仍以垂线所分直角为对所知之角其正即半径十万为一率以左仪器看南峯北峯两视线相距之四十九度与九十度相减余四十一度为对所求之角其正六万五千六百零六为二率【即四十九度之余】左仪器距北峯之逺为所知之边其数一百二十五丈四尺一寸为三率求得四率八十二丈二尺七寸为自左仪器至垂线末之分边线与左仪器距南峯之二百四十四丈七尺四寸相减余一百六十二丈四尺七寸为南峯距垂线末之分边线乃以此数为股所得垂线九十四丈六尺四寸为勾求得一百八

十八丈零二寸即南北二峯相距之逺也如图甲为南峯乙为北峯丙为右仪器中心丁为左仪器中心丙丁为两测之距一百丈甲丙丁角为右仪器看南峯视线距横量边线一百零七度乙丙丁角为右仪器看北峯视线距横量边线四十六度乙丁丙角为左仪器看北峯视线距横量边线九十九度甲丁丙角为左仪器看南峯视线距横量边线五十度甲丁乙角为左仪器看南峯北峯两表相距之四十九度先以乙丙丁角四十六度与乙丁丙角九十九度并之与一百八十度相减余三十五度为丁乙丙角遂成乙丁丙三角形而求乙丁边为左仪器距北峯之逺次以甲丁丙角五十度与甲丙丁角一百零七度并之与一百八十度相减余二十三度为丁甲丙角遂成甲丙丁三角形而求甲丁边为左仪器距南峯之逺末以甲乙丁三角形之甲丁乙丁二边甲丁乙

一角求甲乙丁大角一百度四十六分乙甲丁小角三十度十四分而得甲乙边为南北二峯相距之逺也又或求得乙戊垂线又求得丁戊为左仪器至垂线末之分边线则以丁戊与甲丁相减余甲戊为股乙戊垂线为勾而得甲乙为南北二峯相距之逺也

　　御制数理精蕴下编卷十八

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

　　钦定四库全书

　　御制数理精蕴下编卷十九

　　面部九

　　各面形縂论

　　直线形

　　各面形总论

　　面之爲形成于方圜直线所成皆方之类曲线所成皆圜之类立法则方爲圜之本度圜者必以方而度方者必以矩所谓方有尽而圜无尽是也论理则圜又爲众界形之本葢众界形或函圜或函于圜其边皆当弧线之度故求众界形者必以圜界爲宗也因有方圜众界之各异是以边线等者面积不等如众界形之毎一边与圜径俱设爲一○○○○则方面积爲一○○○○○○○○而圜面积爲七八五三九八一六三等边形之面积爲四三三○一二七○五等边形之面积爲一七二○四七七四一六等边形之面积爲二五九八○七六二○七等边形之面积爲三六三三九一二四○八等边形之面积爲四八二八四二七一二九等边形之面积爲六一八一八二四二○十等边形之面积爲七六九四二○八八三此各形之面积皆以方积比例者也或以

圜面积设爲一○○○○○○○○则圜径得一一二八三小余七九一六如圜径与众界形之毎一边俱设爲一一二八三小余七九一六则圜面积爲一○○○○○○○○而三等边形之面积爲五五一三二八八九方面积爲一二七三二三九五四五等边形之面积爲二一九○五七九八六六等边形之面积爲三三○七九七三三四七等边形之面积爲四六二六八四○九八八等边形之面积爲六一四七七四四三五九等边形之面积爲七八七○九四三○二十等边形之面积爲九七九六五七○九九此各形之面积皆以圜积比例者也葢因各形之边线相等面积不同故皆定爲面与面之比例也面积等者边线不等如众界形之面积与圜面积俱设爲一○○○○○○○○○○○○○○○○则方边爲一○○○○○○○○而圜径爲一一二八三七

九一六三等边形之毎边爲一五一九六七一三七五等边形之毎边爲七六二三八七○五六等边形之毎边爲六二○四○三二四七等边形之毎边爲五二四五八一二六八等边形之毎边爲四五五○八九八五九等边形之毎边爲四○二一九九六三十等边形之毎边爲三六○五一○五八此各形之边线皆以方边比例者也或以圜径设爲一○○○○○○○○则圜面积爲七八五三九八一六三三九七四四八三如圜面积与众界形之面积俱设爲七八五三九八一六三三九七四四八三则圜径爲一○○○○○○○○而二等边形之毎边爲一三四六七七三六九四等边形【卽正方】之毎边爲八八六二二六九二五等边形之毎边爲六七五六四七九三六等边形之毎边爲五四九八一八○五七等边形之毎边爲四六四八九八○三八等边形

之毎边爲四○三三一二八八九等边形之毎边爲三五六四四○一四十等边形之毎边爲三一九四九四一八此各形之边线皆以圜径比例者也葢因各形之面积相等边线不同故皆定爲线与线之比例也然自众界形之中心分之则又各成三角形皆以勾股爲准则故勾股三角形虽爲面而不囿于面之中却别立一章焉要之众界形边求积者归之勾股积求边者归之正方引而伸之触类而长之凡爲面形者不能违是也

　　直线形

　　设如正方形每边五十尺问对角斜线几何

　　法以方边五十尺自乗得二千五百尺倍之得五千尺开方得七十尺七寸一分零六豪有余即所求之对角斜线也如图甲乙丙丁正方形其甲乙乙丙丙丁丁甲每边皆五十尺甲丙为所求对角斜线甲乙为股则乙丙为勾乙丙为股则甲乙为勾因甲乙与乙丙相等皆可互为勾股故以一边自乗倍之开方得卽如各自乗相并开方而得也又用定率比例法以定率之方边一○○○○○○○爲一率对角斜线一四一四二一三五为二率今所设之方边五十尺为三率求得四率七十尺七寸一分零六豪有余卽所求之对角斜线也葢定率设方边为一千万其对角斜线为一千四百一十四万二千一百三十五故定率之方边一千万与定率之对角斜线一千四百一十四万二千一百三十五之比卽如今所设之方边五十尺与所求之对角斜线七十尺七寸一分零六豪有余之比也

　　若有对角斜线求方边则以对角斜线自乗折半开方所得为正方形之每一边也葢甲丙自乗之方与甲乙股乙丙勾两正方相并之积等今以甲丙自乗折半则必与甲乙或乙丙自乗之一正方相等故开方而得每一边也或用定率比例法以定率之对角斜线一四一四二一三五为一率方边一○○○○○○○为二率今所设之对角斜线为三率求得四率卽方边也

　　设如正方形每边二尺今将其积倍之问得方边几何

　　法以每边二尺自乗得四尺倍之得八尺开方得二尺八寸二分八厘四豪有余卽所求之方边数也如图甲乙丙丁正方形每边二尺其面积四尺倍之得八尺卽如戊乙己庚正方形其每边即甲乙丙丁方形之对角斜线试于戊乙己庚正方形内作甲乙丙丁正方形以乙为心戊为界作戊己弧与丁角相切则丁乙与己乙皆为半径其度相等葢丁乙对角斜线自乗之方为甲乙边自乗之方之二倍故戊乙己庚正方形卽为甲乙丙丁正方形之二倍而戊甲丁丙己庚磬折形积即与甲乙丙丁正方形积相等也

　　设如正方形每边二尺今将其积四倍之问得方边几何

　　法以每边二尺倍之得四尺卽所求之方边数也如图甲乙丙丁正方形每边二尺其面积四尺四倍之得一十六尺卽如戊乙己庚正方形之面积其每边得甲乙丙丁正方形每边之二倍是故不用四倍其积开方止以每边二尺倍之而卽得也此法葢因两方面之比例比之两界之比例为连比例隔一位相加之比例【见几何原本七卷第五节】故戊乙己庚正方面积一十六尺与甲乙丙丁正方面积之四尺相比为四分之一而戊乙己庚正方边之四尺与甲乙丙丁正方边之二尺之比为二分之一夫十六与八八与四四与二皆为二分之一之连比例而十六与四之比其间隔八之一位故为连比例隔一位相加之比例也

　　设如长方形长十二尺阔八尺今将其积倍之仍与原形为同式形问得长阔各几何

　　法以阔八尺自乗得六十四尺倍之得一百二十八尺开方得一十一尺三寸一分三厘七豪有余即所求之阔旣得阔乃以原阔八尺为一率原长十二尺为二率今所得阔一十一尺三寸一分三厘七豪有余为三率求得四率一十六尺九寸七分零五豪有余卽所求之长也或以长十二尺自乗倍之开方亦得一十六尺九寸七分零五豪有余为所求之长也如图甲乙丙丁长方形甲乙阔八尺甲丁长十二尺将其积倍之即如戊己庚辛长方形此两长方面积之比例卽同于其相当二界各作一正方面积之比例【见几何原本七卷第七节】故依甲乙丙丁长方形之丁丙阔界作丁丙壬癸正方形将其积倍之卽如戊己庚辛长方形之辛庚阔界所作之辛庚子丑正方形故开方得辛庚为所求之阔也既得辛庚之阔则以甲乙与甲丁之比卽同于戊己与戊辛之比得戊辛为所求之长也若以原长自乗倍之开方卽如以二长界各作一正方形互相为比例也

　　设如长方形长十二尺阔八尺今将其积四倍之仍与原形为同式形问得长阔各几何

　　法以阔八尺倍之得十六尺卽所求之阔又以原长十二尺倍之得二十四尺即所求之长也如图甲乙丙丁长方形甲乙阔八尺甲丁长十二尺将其积四倍之卽如戊己庚辛长方形其每边得甲乙丙丁长方形每边之二倍是故不用四倍其积开方止以各边之数倍之而即得也此法葢因两长方面之比例既同于其相当二界各作一正方面之比例而两正方面之比例比之二界之比例为连比例隔一位相加之比例故两长方面之比例较之两界之比例亦为连比例隔一位相加之比例也

　　设如三角形面积三千尺底阔八十尺问中长几何法以积三千尺倍之得六千尺用底阔八十尺除之得七十五尺卽所求之长也如图甲乙丙三角形其积倍之成丁乙丙戊长方形乙丙为底阔故以底阔除长方积得甲己为中长也

　　设如两两等边无直角斜方形【一日象目形】小边皆二十五丈大边皆三十九丈对两小角斜线五十六丈问面积防何

　　法以对角斜线分斜方形为两三角形算之以对角斜线五十六丈为底大边三十九丈小边二十五丈为两腰用三角形求中垂线法求得中垂线十五丈乃以对角斜线五十六丈与中垂线十五丈相乗得八百四十丈即斜方形之面积也如图甲乙丙丁斜方形甲丁乙丙二小边皆二十五丈甲乙丁丙二大边皆三十九丈甲丙对两小角斜线五十六丈今以甲丙斜线分甲乙丙丁斜方形为甲乙丙甲丁丙两三角形俱以甲丙为底甲丁与丁丙为两腰求得丁戊或乙己皆为中垂线故以甲丙斜线与丁戊垂线相乗所得甲丙庚辛长方形比甲丁丙三角形积大一倍而甲乙丙丁斜方形亦函两三角形积故所得之甲丙庚辛长方形与甲乙丙丁斜方形之面积相等也

　　设如不等边两直角斜方形直角之边长五十丈上阔二十丈下阔二十八丈问面积几何

　　法以上阔二十丈与下阔二十八丈相加得四十八丈折半得二十四丈与长五十丈相乗得一千二百丈即斜方形之积面也如图甲乙丙丁斜方形以上阔甲丁与下阔乙丙相加得乙戊折半为乙己与甲乙长相乗遂成甲乙己庚长方形其斜方外所多之丁庚辛勾股形与斜方内所少之辛己丙勾股形之

　　积等故所得之甲乙己庚长方形即甲乙丙丁斜方形之面积也

　　又法上阔下阔相并与长相乗得数折半即斜方形之面积也葢前法上阔下阔相加折半而后与长相乗此法则上阔下阔相加卽与长相乗而后折半其理一也

　　设如梯形长三十丈上阔十二丈下阔二十丈问面积防何

　　法以上阔十二丈与下阔二十丈相加得三十二丈折半得十六丈与长三十丈相乗得四百八十丈即梯形之面积也如图甲乙丙丁梯形以上阔甲丁与下阔乙丙相加得乙戊折半为乙己与丁己长相乗遂成庚乙己丁长方形其梯形外所多之甲庚乙勾股形与梯形内所少之丁己丙勾股形之面积等故所得之庚乙己丁长方形卽甲乙丙丁梯形之面积也

　　又法以上阔下阔相并与长相乗得数折半即梯形之面积也

　　设如三角形自尖至底中长二百尺底阔一百五十尺今欲自尖截长一百二十尺问截阔防何法以中长二百尺为一率底阔一百五十尺为二率截长一百二十尺为三率求得四率九十尺即所截之阔也如图甲乙丙三角形甲丁中长二百尺乙丙底阔一百五十尺甲戊为所截长一百二十尺而甲丁与乙丙之比即同于甲戊与己庚之比也如以截阔求截长则以底阔为一率中长为二率截阔为三率所得四率即所截之长也

　　设如不等边两直角斜方形长九十尺上阔二十尺下阔三十八尺今欲截中阔二十七尺问上下各截长防何

　　法以上阔二十尺与下阔三十八尺相减余一十八尺为一率长九十尺为二率以上阔二十尺与所截中阔二十七尺相减余七尺为三率求得四率三十五尺即上所截之长以上所截之长三十五尺与总长九十尺相减余五十五尺即下所截之长也如欲先得下所截之长则仍以上阔二十尺与下阔三十八尺相减余一十八尺为一率长九十尺为二率乃以所截中阔二十七尺与下阔三十八尺相减余一十一尺为三率求得四率五十五尺即下所截之长也如图甲乙丙丁斜方形甲乙为长九十尺与丁戊等乙丙为下阔三十八尺甲丁为上阔二十尺与乙戊等己庚为所截中阔二十七尺上阔与下阔相减余戊丙十八尺上阔与所截中阔相减余辛庚七尺而戊丙与丁戊之比即同于辛庚与丁辛之比也又甲乙丙丁斜方形上阔与下阔相减余戊丙十八尺所截中阔与下阔相减余壬丙十一尺而戊丙与丁戊之比又同于壬丙与庚壬之比也如有所截上长或所截下长求截阔则以总长为一率上下阔相减所余为二率截长为三率求得四率有上截长则与上阔相加有下截长则与下阔相减所得即所截之阔也

　　设如梯形面积一千五百尺下阔四十尺中长五十尺问上阔几何

　　法以积一千五百尺倍之得三千尺用长五十尺除之得六十尺为上下两阔相和之数内减下阔四十尺余二十尺即上阔也如图甲乙丙丁梯形倍之成甲乙己戊斜方形试将己角取直作己辛线则截斜方形一叚为己辛戊勾股形如以己辛戊勾股形移补于甲庚乙遂成庚乙己辛长方形其积原与甲乙己戊斜方形等今用庚乙中长除之得乙己即上下两阔相和之数内减乙丙下阔所余丙己与甲丁等即上阔也

　　设如不等边两直角斜方形积九千六百尺长一百二十尺上下两阔相差之较四十尺问上阔下阔各防何

　　法以积九千六百尺倍之得一万九千二百尺用长一百二十尺除之得一百六十尺为上下两阔相和之数内减上下两阔相差之较四十尺余一百二十尺折半得六十尺为上阔加上下两阔相差之较四十尺得一百尺即下阔也如图甲乙丙丁斜方形其甲乙长一百二十尺甲丁上阔与乙丙下阔相差戊丙四十尺试将原积倍之遂成甲乙己庚长方形故以甲乙长除之得乙己为上下阔相和之数内减戊丙上下两阔相差之较余数折半得乙戊与甲丁等

　　为上阔加戊丙较得乙丙为下阔也

　　设如梯形面积六千六百五十尺长九十五尺上下两阔相差之较二十尺问上阔下阔各几何法以积六千六百五十尺倍之得一万三千三百尺用长九十五尺除之得一百四十尺为上下两阔相和之数内减上下两阔相差之较二十尺余一百二十尺折半得六十尺为上阔加上下两阔相差之较二十尺得八十尺为下阔也如图甲乙丙丁梯形甲戊长九十五尺甲丁上阔与乙丙下阔相差乙戊与己丙共二十尺试将原积倍之成甲乙庚辛斜方形与壬乙庚癸长方形之积等故以甲戊长除壬乙庚癸长方形得乙庚为上下两阔相和之数内减乙戊与己丙上下两阔相差之较余折半得戊己与甲丁等为上阔加乙戊与己丙上下两阔相差之较得乙丙为下阔也

　　设如方环形外周二百八十丈内周一百二十丈求面积几何

　　法以外周二百八十丈四归之得七十丈自乗得四千九百丈又以内周一百二十丈四归之得三十丈自乗得九百丈两自乗数相减余四千丈卽方环之面积也如图甲乙丙丁外周二百八十丈四归之得甲乙之一边自乗得甲乙丙丁大方积戊己庚辛内周一百二十丈四归之得戊己之一边自乗得戊己庚辛小方积两方积相减所余即方环之面积也

　　又法以外周二百八十丈自乗得七万八千四百丈内周一百二十丈自乗得一万四千四百丈两数相减余六万四千丈以十六除之得四千丈即方环面积也前法将内外周各四归之而得内外方边故以内外方边各自乗相减而

　　得方环面积此法即以内外周各自乘相减以十六除之而得方环面积也葢内外周为内外方边之四倍内外周自乘之积必比内外方边自乘之积大十六倍【凡方边大一倍则面积大四倍今方边大四倍故面积大十六倍为隔一位相加之连比例也】是以两周各自乗相减之余积比两方边各自乘相减之余积亦大十六倍也

　　又有方环面积求外方边至内方边之阔则以外周二百八十丈与内周一百二十丈相加得四百丈折半得二百丈以除方环面积四千丈得二十丈即外方边至内方边之阔也如图自方环内边作壬癸子丑二线则甲乙癸壬子丑丙丁为外方边与阔相乘之二长方壬戊辛子己癸丑庚为内方边与阔相乘之二长方引而长之成寅夘辰己一长方其长即半外周与半内周之和其阔即外方边至内方边之阔故以外周与内周相并折半除方环面积而得外方边至内方边之阔也

　　又法以内方边三十丈与外方边七十丈相减余四十丈折半得二十丈亦即外方边至内方边之阔也如图甲丁为外方边减与戊辛内方边相等之壬子余甲壬与子丁折半得甲壬即方环之阔也

　　设如方环面积四千尺阔二十尺求内外方边各几何

　　法以阔二十尺自乘得四百尺四因之得一千六百尺与环积四千尺相减余二千四百尺四归之得六百尺以阔二十尺除之得三十尺即内方边又以阔二十尺倍之得四十尺加内方边三十尺得七十尺即外方边也如图甲乙丙丁戊己庚辛方环形内减甲寅戊壬辰乙癸已子辛卯丁庚丑丙巳阔自乘之四正方余寅辰巳戊辛庚巳卯壬戊辛子巳癸丑庚四长方四归之得寅辰已戊一长方其阔即方环之阔其长即方环内边之长故以寅戊阔除之得戊己为内方边也

　　又法置环积四千尺以阔二十尺除之得二百尺四归之得五十尺加阔二十尺得七十尺即外方边于五十尺内减阔二十尺余三十尺即内方边也如图甲乙丙丁戊己庚辛方环积以阔除之即得壬癸子丑为内周外周相并折半之中数以四归之即得壬癸一边与戊寅等故加阔得外边减阔得内边也

　　设如勾股形股三十六尺勾二十七尺今从上叚截勾股形积五十四尺问截长阔各几何

　　法以股三十六尺为一率勾二十七尺为二率截积五十四尺倍之得一百零八尺为三率求得四率八十一尺开方得九尺即所截之阔既得所截之阔则以勾二十七尺为一率股三十六尺为二率所截之阔九尺为三率求得四率十二尺即所截之长也此法一率与二率为线与线之比例三率与四率为面与面之比例也如图甲乙丙勾股形甲乙为股三十六尺乙丙为勾二十七尺甲丁戊勾股形为截积五十四尺是故甲乙与乙丙之比应同于甲丁与丁戊之比然而无甲丁之数故将截积倍之为甲丁与丁戊相乘之长方则甲乙与乙丙之比必同于甲丁与丁戊相乘之长方与丁戊自乘之正方之比【葢截积倍之成己甲丁戊长方形丁戊自乘成庚丁戊辛正方形此二形为二平行线内直角方形其面之互相为比同于其底之互相为比见几何原本八卷第七节】故开方而得丁戊为所截之阔又乙丙与甲乙之比即同于丁戊与甲丁之比而得甲丁为所截之长也若先求截长则以勾二十七尺为一率股三十六尺为二率倍截积一百零八尺为三率求得四率一百四十四尺开方得十二尺为所截之长葢乙丙与甲乙之比同于丁戊与甲丁之比亦必同于丁戊与甲丁相乘之长方与甲丁自乘之正方之比【截积倍之成甲丁戊己长方形甲丁自乘成甲丁庚辛正方形此二形之面互相为比亦同于其底之互相为比也】故开方而得甲丁为所截之长也既得截长则用比例四率求之亦得所截之阔矣

　　又法以勾二十七尺与股三十六尺相乘折半得勾股积四百八十六尺为一率所截之勾股形积五十四尺为二率勾二十七尺自乘得七百二十九尺为三率求得四率八十一尺开方得九尺为所截之阔若以股二十六尺自乘得一千二百九十六尺为三率则得四率

　　一百四十四尺开方得十二尺为所截之长也如图甲乙丙勾股形截甲丁戊勾股形积五十四尺此两勾股形为同式形故甲乙丙勾股积与甲丁戊勾股积之比同于乙丙勾自乘之乙己庚丙正方形与丁戊勾自乘之丁辛壬戊正方形之比亦必同于甲乙股自乗之癸子乙甲正方形与甲丁股自乗之丑寅丁甲正方形之比也

　　设如勾股形股三十六尺勾二十七尺今从下叚截斜方形积四百三十二尺问截长及上阔各几何法以股三十六尺为一率勾二十七尺为二率截积四百三十二尺倍之得八百六十四尺为三率求得四率六百四十八尺乃以勾二十七尺自乗得七百二十九尺内减所得四率六百四十八尺余八十一尺开方得九尺为所截之上阔既得所截之上阔则以勾二十七尺为一率股三十六尺为二率所截之上阔九尺与勾二十七尺相减余一十八尺为三率求得四率二十四尺即所截之长也此法亦系线与线为比面与面为比也如图甲乙丙勾股形甲乙为股三十六尺乙丙为勾二十七尺丁乙丙戊斜方形为截积四百三十二尺其甲乙与乙丙之比应同于戊己【即丁乙】与己丙之比然而无戊己之数故将截积倍之遂成戊己之长与丁戊乙丙上下两阔之和相乘之长方形将此长方形为三率所得四率即丁戊乙丙上下两阔之较【即己丙也】与丁戊乙丙上下两阔之和相乘之长方形也【葢截积倍之成庚丁乙辛长方形己丙两阔之较与两阔之和相乘成壬己丙癸长方形此二长方形同以两阔之和为长故丁乙与己丙之比即如庚丁乙辛长方形与壬己丙癸长方形之比也】又己丙上下两阔之较与丁戊乙丙上下两阔之和相乘之积与丁戊乙丙上下两阔之数各自乗相减之余积等试依乙丙度作子丑寅卯一大正方形又依丁戊度作子辰巳午一小正方形两正方形相减所余为辰丑寅卯午巳磬折形引而长之遂成辰丑申未长方形其辰丑即上下两阔之较其丑申即上下两阔之和故所得四率长方形积与辰丑寅卯午巳磬折形之积等今于乙丙自乘之子丑寅卯大正方形内减辰丑寅卯午巳磬折形所余即丁戊自乘之子辰巳午小正方形故开方而得丁戊为所截之阔也既得所截之阔则以丁戊与乙丙相减余巳丙而乙丙与甲乙之比卽同于己丙与戊己【卽丁乙】之比也

　　又法以勾二十七尺与股三十六尺相乘折半得勾股积四百八十六尺内减从下叚所截之斜方积四百三十二尺余五十四尺即为从上段所截之勾股形积依前法比例求之所得亦同

　　设如三角形中长二十尺底阔一十五尺今从上段截三角形积五十四尺问截长阔各几何

　　法以底阔一十五尺为一率中长二十尺为二率截积五十四尺倍之得一百零八尺为三率求得四率一百四十四尺开方得一十二尺即所截之长既得所截之长则以中长二十尺为一率底阔十五尺为二率所截之长十二尺为三率求得四率九尺卽所截之阔也此法亦一率与二率为线与线之比例三率与四率为面与面之比例也如图甲乙丙三角形甲丁中长二十尺乙丙底阔十五尺甲戊己三角形为截积五十四尺是故乙丙与甲丁之比应同于戊己与甲庚之比然而无戊己之数故将截积倍之为戊己与甲庚相乘之长方

　　则乙丙与甲丁之比必同于戊己与甲庚相乘之长方与甲庚自乘之正方之比故开方而得甲庚为所截之长又甲丁与乙丙之比同于甲庚与戊己之比而得戊己为所截之阔也若先求截阔则以中长二十尺为一率底阔一十五尺为二率倍截积一百零八尺为三率求得四率八十一尺开方得九尺为所截之阔葢甲丁与乙丙之比同于甲庚与戊己之比亦同于甲庚与戊己相乘之长方与戊己自乘之正方之比故开方而得戊己为所截之阔也既得截阔则用比例四率求之亦得所截之长矣又法以底阔十五尺与中长二十尺相乘折半得三角积一百五十尺为一率所截之三角积五十四尺为二率以底阔十五尺自乘得二百二十五尺为三率求得四率八十一尺开方得九尺为所截之阔若以中长二十尺自乘得四百尺为三率则得四率一百四十四尺开方得十二尺为所截之长也如图甲乙丙三角形截甲戊己三角形积五十四尺此两三角形为同式形故甲乙丙三角形积与甲戊己三角形积之比同于甲丁中长自乘之甲丁辛壬正方形与甲庚截长自乘之甲庚癸子正方形之比亦同于乙丙底阔自乘之乙丙丑寅正方形与戊己截阔自乘之戊巳卯辰正方形之比也

　　设如三角形中长二十尺底阔十五尺今从下段截梯形积九十六尺问截长及上阔各几何

　　法以中长二十尺为一率底阔十五尺为二率截积九十六尺倍之得一百九十二尺为三率求得四率一百四十四尺乃以底阔十五尺自乘得二百二十五尺内减所得四率一百四十四尺余八十一尺开方得九尺为所截之上阔既得所截之上阔则以底阔十五尺为一率中长二十尺为二率所截之上阔九尺与底阔十五尺相减余六尺为三率求得四率八尺即所截下段之长也如图甲乙丙三角形甲丁为中长二十尺乙丙为底阔十五尺戊乙丙己梯形为截积九十六尺戊己为所截之阔庚丁【与戊辛己壬等】为所截之长乙辛壬丙两叚为截阔与底阔之较是故甲丁与乙丙之比应同于庚丁与乙辛壬丙两段之比矣【葢甲丁与乙丁之比同于等庚丁之戊辛与乙辛之比又甲丁与丁丙之比同于等庚丁之己壬与壬丙之比合之则甲丁与乙丁丁丙两叚之比亦同于庚丁与乙辛壬丙两段之比也】但今无庚丁之数故将截积倍之遂成庚丁所截之长与戊己乙丙上下两阔之和相乘之长方形将此长方形为三率所得四率即乙辛壬丙上下两阔之较与戊己乙丙上下两阔之和相乘之长方形也又乙辛壬丙上下两阔之较与戊己乙丙上下两阔之和相乘之积与戊己乙丙上下两阔之数各自乘相减之余积等故以所得四率长方形积与乙丙自乘方积相减即余戊己自乘方积开方而得戊己为所截之阔也既得戊己截阔则于乙丙底阔内减之余乙辛壬丙而乙丙与甲丁之比又同于乙辛壬丙两段与庚丁截长之比也

　　又法以底阔十五尺与中长二十尺相乘折半得三角形积一百五十尺内减从下段所截之梯形积九十六尺余五十四尺卽为从上段所截之三角形积依前法比例求之所得亦同

　　设如不等边两直角斜方形长二十四尺上阔十二尺下阔二十尺今从上段截积一百六十八尺问截长阔各几何

　　法以长二十四尺为一率下阔二十尺内减上阔十二尺余八尺为二率截积一百六十八尺倍之得三百三十六尺为三率求得四率一百一十二尺乃以上阔十二尺自乘得一百四十四尺与所得四率一百一十二尺相加得二百五十六尺开方得十六尺即所截之阔既得所截之阔则以上下两阔相减之较八尺为一率长二十四尺为二率截阔十六尺内减上阔十二尺余四尺为三率求得四率十二尺即所截之长也此法亦系一率与二率为线与线之比例三率与四率为面与面之比例也如图甲乙丙丁斜方形甲乙长二十四尺与丁戊等甲丁为上阔十二尺乙丙为下阔二十尺甲己庚丁斜方形为截积一百六十八尺是故丁戊与戊丙之比应同于丁辛与辛庚之比然而无丁辛

　　之数故将截积倍之爲丁辛截长与甲丁己庚上中两阔之和相乘之长方形为三率所得四率即辛庚上中两阔之较与甲丁己庚上中两阔之和相乘之长方形也又辛庚上中两阔之较与甲丁己庚上中两阔之和相乘之积与甲丁己庚上中两阔之数各自乘相减之余积等试依己庚度作壬癸子丑一大正方形又依甲丁度作壬寅卯辰一小正方形两正方形相减所余为寅癸子丑辰卯磬折形引而长之遂成寅癸巳午长方形其寅癸即上中两阔之较其癸己即上中两阔之和故所得四率长方形积与寅癸子丑辰卯磬折形之积等今于甲丁自乘之壬寅卯辰小正方形外加寅癸子丑辰卯磬折形即得巳庚自乘之壬癸子丑大正方形故开方而得已庚为所截之阔也既得所截之阔则以己庚与甲丁相减余辛庚而戊丙与丁戊之比卽同于辛庚与丁辛之比也

　　又法将斜方形增作勾股形算之以上阔十二尺与下阔二十尺相减余八尺为一率长二十四尺为二率上阔十二尺为三率求得四率三十六尺为斜方形上所增小勾股形之股与斜方形之长二十四尺相加得六十尺为斜方形与所增小勾股形相并所成之大勾股形之股乃以上阔十二尺为小勾所得三十六尺为小股相乘得四百三十二尺折半得二百一十六尺为斜方形上所增之小勾股形积与截积一百六十八尺相加得三百八十四尺为所截之勾股形积乃用勾股形从上段截勾股积法算之而得所截之阔焉如图甲乙丙丁斜方形增作勾股形为壬乙丙其

　　上阔甲丁与下阔乙丙相减所余为戊丙以戊丙与丁戊之比同于甲丁与壬甲之比得壬甲为小勾股形之股以壬甲与甲乙相加得壬乙为大勾股形之股又壬甲丁勾股形积与甲己庚丁斜方形截积相加得壬己庚勾股形积即壬乙丙大勾股形从上段截壬己庚勾股形积也

　　设如不等边两直角斜方形长二十四尺上阔十二尺下阔二十尺今从下段截积二百一十六尺求截长阔各几何

　　法以长二十四尺为一率下阔二十尺内减上阔十二尺余八尺为二率截积二百一十六尺倍之得四百三十二尺为三率求得四率一百四十四尺乃以下阔二十尺自乘得四百尺内减所得四率一百四十四尺余二百五十六尺开方得一十六尺为所截之阔既得所截之阔则以上下两阔相减之较八尺为一率长二十四尺为二率下阔二十尺内减截阔十六尺余四尺为三率求得四率十二尺即所截下段之长也此与勾股形从下叚截斜方形积之理同前法从上段截积所得四率为上阔与截阔各自乘相减之余积上阔小而截阔大故以上阔自乘与所得四率相加开方而得截阔此法从下段截积所得四率为下阔与截阔各自乘相减之余积下阔大而截阔小故以下阔自乘内减所得四率开方而得截阔也

　　设如梯形长十二丈上阔五丈下阔十一丈今从上段截积二十四丈问截长阔各几何

　　法以长十二丈为一率上阔五丈与下阔十一丈相减余六丈为二率截积二十四丈倍之得四十八丈为三率求得四率二十四丈乃以上阔五丈自乘得二十五丈与所得四率二十四丈相加得四十九丈开方得七丈即所截之阔既得所截之阔则以上下两阔相减之较六丈为一率长十二丈为二率截阔七丈内减上阔五丈余二丈为三率求得四率四丈即所截之长也此法亦系一率与二率为线与线之比例三率与四率为面与面之比例也如图甲乙丙丁梯形甲戊长十二丈甲丁上阔五丈戊己庚辛俱相等乙丙下阔十一丈乙戊与己丙两段为上下两阔相减之较六丈甲壬癸丁小梯形为截积二十四丈是故甲戊总长与乙戊己丙上下两阔之较之比应同于甲庚截长与壬庚辛癸上中两阔之较之比然无甲庚之数故将截积倍之为甲庚截长与甲丁壬癸上中两阔之和相乘之长方形为三率所得四率即壬庚辛癸上中两阔之较与甲丁壬癸上中两阔之和相乘之长方形也又壬庚辛癸上中两阔之较与甲丁壬癸上中两阔之和相乘之积与甲丁壬癸上中两阔之数各自乘相减之余积等故以所得四率长方形积与甲丁自乘方积相加即得壬癸自乗方积开方而得壬癸为所截之阔也既得壬癸截阔则以上下两阔相减之乙戊己丙两叚与甲戊总长之比卽同于上中两阔相减之壬庚辛癸两叚与甲庚截长之比矣

　　又法将梯形增作三角形算之以上阔五丈与下阔十一丈相减余六丈为一率长十二丈为二率上阔五丈为三率求得四率十丈为梯形上所増小三角形之中长与梯形之长十二丈相加得二十二丈为梯形与所増小三角形相并所成之大三角形之中长乃以上阔

　　五丈为底所得十丈为中长相乗得五十丈折半得二十五丈为梯形上所増之小三角形积与截积二十四丈相加得四十九丈为所截之三角形积乃用三角形从上段截三角积法算之而得所截之阔焉如图甲乙丙丁梯形增作三角形为子乙丙其上阔甲丁与下阔乙丙相减所余为乙戊己丙而乙戊己丙与甲戊之比即同于甲丁与子丑之比得子丑为小三角形之中长以子丑与等甲戊之丑寅相加得子寅为大三角形之中长又子甲丁三角形积与甲壬癸丁斜方形截积相加得子壬癸三角形积即子乙丙大三角形从上段截子壬癸三角形积也

　　设如梯形长十二丈上阔五丈下阔十一丈今自下叚截积七十二丈问截长阔各几何

　　法以长十二丈为一率上阔五丈与下阔十一丈相减余六丈为二率以截积七十二丈倍之得一百四十四丈为三率求得四率七十二丈乃以下阔十一丈自乗得一百二十一丈内减所得四率七十二丈余四十九丈开方得七丈即所截之阔既得所截之阔则以上下两阔相减之较六丈为一率长十二丈为二率截阔七丈与下阔十一丈相减余四丈为三率求得四率八丈即所截之长也如图甲乙丙丁梯形甲戊长十二丈甲丁上阔五丈与戊己等乙丙下阔十一丈乙戊与己丙两段为上下两阔相减之较六丈庚乙丙辛梯形为截积七十二丈是故甲戊总长与乙戊己丙上下两阔之较之比应同于庚壬截长与乙壬癸丙中下两阔之较之比然无庚壬之数故将截积倍之为庚壬截长与庚辛乙丙中下两阔之和相乗之长方形为三率所得四率卽乙壬癸丙中下两阔之较与庚辛乙丙中下两阔之和相乗之长方形也又乙壬癸丙中下两阔之较与庚辛乙丙中下两阔之和相乗之积与庚辛乙丙中下两阔之数各自乗相减之余积等故以所得四率长方形积与乙丙自乗方积相减即余庚辛自乗方积开方而得庚辛为所截之阔也

　　设如梯形长一百二十尺上阔二十尺下阔八十尺今自一边截勾股积四百五十尺问截长阔各几何

　　法以长一百二十尺为一率上阔二十尺与下阔八十尺相减余六十尺折半得三十尺为二率截积四百五十尺倍之得九百尺为三率求得四率二百二十五尺开方得一十五尺为所截之阔既得所截之阔则以上下两阔相减折半之三十尺为一率长一百二十尺为二率截阔十五尺为三率求得四率六十尺为所截之长也如图甲乙丙丁梯形甲丁上阔二十尺与戊己等乙丙下阔八十尺甲戊长一百二十尺乙戊为上下阔相减折半之三十尺庚乙辛为所截勾股积四百五十尺甲乙戊勾股形与庚乙辛勾股形为同式形故立算与勾股形从上段截勾股积之法相同也

　　设如梯形长一百二十尺上阔四十尺下阔八十尺今自一边截斜方形积四千二百尺问截上阔下阔各几何

　　法以上阔四十尺与下阔八十尺相减余四十尺折半得二十尺为所截斜方形上阔与下阔之较又以截积四千二百尺倍之得八千四百尺以长一百二十尺余之得七十尺为所截斜方形上阔与下阔之和内减上阔下阔之较二十尺余五十尺折半得二十五尺为上阔加较二十尺得四十五尺为下阔也如图甲乙丙丁梯形甲丁为上阔四十尺与戊己等乙丙为下阔八十尺甲戊为长一百二十尺甲乙辛庚为所截斜方形积四千二百尺倍之成壬癸辛庚长方形乙戊为所截斜方形上下两阔之较今以甲戊长除壬癸辛庚长方积得癸辛为上下两阔之和内减乙戊上下两阔之较余癸乙与戊辛折半得戊辛与甲庚等即所截斜方形之上阔加乙戊上下两阔之较得乙辛即所截斜方形之下阔也

　　设如三角形小腰边二十丈大腰边三十四丈底边四十二丈面积三百三十六丈今欲平分面积一半与原三角形为同式形问所截三边各几何法以原面积三百三十六丈为一率原面积折半得一百六十八丈为二率底边四十二丈自乗得一千七百六十四丈为三率求得四率八百八十二丈开方得二十九丈六尺九寸八分四厘八豪有余为所截之底边乃以全底边四十二丈为一率大腰边三十四丈为二率所截之底边二十九丈六尺九寸八分四厘八豪有余为三率求得四率二十四丈零四寸一分六厘二豪有余为所截之大腰边仍以全底边四十二丈为一率小腰边二十丈为二率所截之底边二十九丈六尺九寸八分有余为三率求得四率十四丈一尺四寸二分一厘三豪有余即所截之小腰边也如图甲乙丙三角形平分面积一半成丁戊丙三角形此两三角形既为同式形则甲乙丙三角形之面积与丁戊丙三角形之面积之比同于各边各自乗之正方面积与所截各边各自乗之正方面积之比故以甲乙丙三角形面积为一率丁戊丙三角形面积为二率乙丙底边自乗如乙己庚丙正方面为三率所得四率即戊丙截底自乗如戊辛壬丙正方面故开方得戊丙也既得戊丙则乙丙与甲丙之比同于戊丙与丁丙之比又乙丙与甲乙之比同于戊丙与丁戊之比俱为相当比例四率也若取原积三分之一或几分之几者则将其积以其分数归之比例并同

　　又法以乙丙边四十二丈自乗折半开方即得戊丙边甲丙边自乗折半开方即得丁丙边甲乙边自乗折半开方即得丁戊边此即面与面比线与线比之理也

　　又法设全积为一尺半积为五十寸乃以五十寸开方得七寸零七厘一豪零六忽而以各边之数乗之即得各边所截之数葢全积为一尺其全边亦为一尺半积为五十寸其截边为七寸零七厘一豪零六忽今以一尺与全边之比即同于七寸零七厘一豪零六忽与截边之比又因一尺为一率故省一率之除止用乗而即得也若取几分之一者皆仿此类推之

　　设如大小两正方面积共四百一十尺大正方边比小正方边多六尺问两正方边及面积各几何法以两正方面积共四百一十尺倍之得八百二十尺又以多六尺自乗得三十六尺与倍共积八百二十尺相减余七百八十四尺开方得二十八尺为大小两正方边之和加大正方比小正方每边所多六尺得三十四尺折半得十七尺为大正方之边内减六尺余十一尺为小正方之边以大正方边十七尺自乗得二百八十九尺为大正方之面积以小正方边十一尺自乗得一百二十一尺为小正方之面积也如图甲乙丙丁一大正方形丁戊己庚一小正方形戊丙为两正方边之较试以两正方之共积倍之则得甲辛壬庚一正方形仍余癸子丙戊两正方边之较自乗之一正方形葢癸丑壬己正方形与甲乙丙丁正方形等乙辛丑子正方形与丁戊己庚正方形等其中叠一癸子丙戊正方形即戊丙较自乗之积故以戊丙较自乗与所倍共积相减即得甲辛壬庚正方形开方得甲庚为两正方边之和加较折半得丁丙为大正方边内减戊丙较得丁戊为小正方边既得方边则各自乗即得各面积矣

　　又法以两正方边之较六尺自乗得三十六尺与两正方共积四百一十尺相

　　减余三百七十四尺折半得一百八十七尺为长方积以两正方边之较六尺为长阔之较用带纵较数开方法算之得阔十一尺为小正方之边加较六尺得十七尺为大正方之边也如图甲乙丙丁一大正方形丁戊己庚一小正方形戊丙为两正方边之较以戊丙边较自乗得辛壬丙戊一正方形与共积相减余甲乙壬辛己庚磬折形如以癸乙壬辛长方形移于庚己子丑即戊甲癸子丑一长方形折半得丁戊子丑一长方形庚丑与戊丙等即长阔之较故用带纵较数开方法算之得丁戊阔即小方边加庚丑较得丁丑与丁丙等即大方边也

　　设如大小两正方面积共六百一十七尺大小两正方边共三十五尺问大小两正方边及面积各几何

　　法以两正方面积共六百一十七尺倍之得一千二百三十四尺又以两正方边共三十五尺自乗得一千二百二十五尺与倍共积一千二百三十四尺相减余九尺开方得三尺为大小两正方边之较与共边三十五尺相加得三十八尺折半得十九尺为大正方之边内减两正方边之较三尺余十六尺为小正方之边以大正方边十九尺自乗得三百六十一尺为大正方之面积以小正方边十六尺自乗得二百五十六尺为小正方之面积也如图甲乙丙丁一大正方形丁戊己庚一小正方形甲庚为两正方边之和戊丙为两正方边之较试以两正方之共积倍之则得甲辛壬庚正方形而多癸子丙戊较自乗之一正方形故以甲庚共边自乗得甲辛壬庚正方形与倍共积相减卽余癸子丙戊一小正方形开方得戊丙即两正方边之较与两正方边之和相加折半得丁丙为大正方边内减戊丙较得丁戊为小正方边旣得方边则各自乗卽得各面积矣

　　又法以两正方边之和三十五尺自乗得一千二百二十五尺内减两正方共积六百一十七尺余六百零八尺折半得三百零四尺为长方积以两正方边之和三十五尺为长阔和用带纵和数开方法算之得阔十六尺为小正方之边与共积三十五尺相减余十九尺为大正方之边也如图甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方形以共边自乗得壬癸子丑一正方形内减与甲乙丙丁大正方形相等之寅癸卯辰一正方形又减与戊己庚辛小正方形相等之午辰己丑一正方形余壬寅辰午与辰卯子己二长方形折半得壬寅辰午一长方形其壬午长与甲乙大方边等壬寅阔与戊己小方边等两正方之共边卽长阔之和故用带纵和数开方法算之得阔为小方边得长为大方边也

　　设如大小两正方形大正方边比小正方边多七尺大正方积比小正方积多三百四十三尺问大小两正方边各几何

　　法以大正方积比小正方积所多三百四十三尺用大正方边比小正方边所多七尺除之得四十九尺为大小两正方边之和加两正方边之较七尺得五十六尺折半得二十八尺为大正方之边与共边四十九尺相减余二十一尺为小正方之边也如图甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方形试于甲乙丙丁大正方形内作与戊己庚辛相等之甲壬癸子小正方形则壬乙丙丁子癸磬折形即大正方比小正方所多之积引而长之成壬乙丑寅一长方形其壬乙阔即两正方边之较乙丑长卽两正方边之和故以壬乙两正方边之较除之得乙丑两正方边之和以乙丑与丁乙相加折半得乙丙为大正方形之边将乙丙与乙丑共边相减余丙丑与子癸等卽戊己为小正方形之边也

　　设如大小两正方形共边三十一尺大正方积比小正方积多一百五十五尺问大小两正方边各几何

　　法以大正方积比小正方积所多一百五十五尺用共边三十一尺除之得五尺为大小两正方边之较与共边三十一尺相加得三十六尺折半得十八尺为大正方之边与共边三十一尺相减余十三尺为小正方之边也如图甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方

　　形试于甲乙丙丁大正方形内作与戊己庚辛相等之甲壬癸子小正方形则壬乙丙丁子癸磬折形即大正方比小正方所多之积引而长之成壬乙丑寅长方形其乙丑长即两正方边之和其壬乙阔即两正方边之较故以乙丑两正方边之和除之得壬乙与乙丑相加折半得乙丙为大正方形之边以乙丙与乙丑相减余丙丑与子癸等即戊己为小正方形之边也

　　设如大小两正方形共积一百三十尺大正方积比小正方积多三十二尺问大小两正方边各几何法以大正方积比小正方积所多三十二尺与共积一百三十尺相减余九十八尺折半得四十九尺为小正方之积开方得七尺为小正方之边又以小正方积四十九尺与大正方积比小正方积多三十二尺相加得八十一尺为大正方之积开方得九尺为大正方之边也如图甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方形试于甲乙丙丁大正方形内作与戊己庚辛相等之壬癸丙子小正方形则甲乙癸壬子丁磬折形即大正方比小正方所多之积以此磬折形积与两正方形之共积相减余壬癸丙子与戊己庚辛两小正方形折半得戊己庚辛一小正方形故开方得戊己为小方边又以戊己庚辛相等之壬癸丙子小正方形积与甲乙癸壬子丁磬折形积相加即得甲乙丙丁大正方形故开方得甲乙为大方边也

　　设如不等三正方形共积三百八十一尺大方边比次方边多三尺次方边比小方边多三尺问三方边各几何

　　法以大方边比次方边所多三尺与次方边比小方边所多三尺相加得六尺为大方边比小方边所多之较自乗得二十六尺又以次方边比小方边所多三尺自乗得九尺两数相并得四十五尺与共积三百八十一尺相减余三百三十六尺三因之得一千零八尺为长方积以大方边比小方边多六尺倍之得十二尺又以次方边比小方边多三尺倍之得六尺两数相并得十八尺为长阔之较用带纵较数开方法算之得阔二十四尺三归之得八尺为小正方形之边加次方边比小方边多三尺得十一尺为次正方形之边又加大方边比次方边多三尺得十四尺为大正方形之边也如图甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一次正方形壬癸子丑一小正方形试于甲乙丙丁大正方形内作与壬癸子丑相等之寅乙卯辰小正方形则辰己即大正方边比小正方边所

　　多之较又于戊己庚辛次正方形内作与壬癸子丑相等之午己未申小正方形则申酉即次正方边比小正方边所多之较以辰己自乗得辰己丁戌一正方形以申酉自乗得申酉辛亥一正形形以所得两正方形之共积与三正方形之共积相减则余寅乙卯辰午己未申壬癸子丑三小正方形及甲寅辰戌辰卯丙己戊午申亥申未庚酉四长方形又试将此所余三小正方形及四长方形之积共作壬癸干坎一长方形加三倍卽成艮癸干震一大长方形其艮癸阔为壬癸小方边之三倍与癸巽等巽干卽长阔之较而巽离乃辰己与甲寅相并之数为大方边比小方边所多之较之二倍离干乃申酉与戊午相并之数为次方边比小方边所多之较之二倍故以大方边与小方边之较倍之得巽离又以次方边与小方边之较亦倍之得离干巽离与离干相并得巽干为长阔之较用带纵较数开方法算之得艮癸阔三归之得壬癸为小正方形之边加次方边比小方边所多之较卽得次正方形之边又加大方边比次方边所多之较卽得大正方形之边也

　　设如甲乙丙丁不等边无直角四边形甲乙边十尺甲丁边十七尺丁丙边二十八尺乙丙边三十五尺自丁角至乙角斜线二十一尺问面积几何法以丁乙斜线分为甲乙丁丁乙丙两三角形算之先用甲乙丁三角形求得甲戊埀线八尺与乙丁二十一尺相乗折半得八十四尺为甲乙丁三角形之面积又用丁乙丙三角形求得丁己垂线一十六尺八寸与乙丙三十五尺相乗折半得二百九十四尺为丁乙丙三角形之面积以两三角形之面积相并得三百七十八尺卽甲乙丙丁四边形之面积也凡无法多边形皆任以两角作对角斜线分为几三角形算之旧术四不等边形分为两段一为勾股形一为斜方形葢必有二平行线然后可算若此法非二平行线者则必分为丁己丙与丁甲庚二勾股形甲乙己庚一斜方然后可算不如分为两三角形算之为简防而密合也

　　设如甲乙丙三角形面积三百八十四尺乙丙底边二十二尺今自甲角将原积平分为二问每分底边几何

　　法以乙丙底边三十二尺折半得十六尺卽每分底边之数也葢自甲至乙丙线上作甲戊垂线则甲丁乙甲丁丙两三角形同以甲戊为髙即为二平行线

　　【积为】内同底两三角形其面积【见几何原本三卷第十节】必等故甲丁乙甲丁丙两三角形相等而各得甲乙丙三角形积之一半也如分三分或四分者仿此类推

　　设如甲乙丙丁二平行线无直角四边形甲乙边八丈丙丁边十二丈面积一百六十丈今将原积分为四分问每分截边几何

　　法以甲乙八丈与丙丁十二丈相加得二十丈四归之得五丈即每分所截之边乃自甲量至戊得五丈自戊至丙作戊丙线成甲戊丙三角形为第一分又从丙量至己得五丈自戊至己作戊己线成丙戊己三角形为第二分又从己量至庚得五丈自戊至庚作戊庚线成己戊庚三角形为第三分又自庚至丁余二丈自戊至乙余三丈庚丁与戊乙相并亦得五丈成戊庚丁乙斜方形即为第四分也葢甲乙与丙丁二线既为平行自乙至辛作乙辛垂线则三三角形与一斜方形同以乙辛为高其边线既等则所得各形之面积亦必相等而各为四边形面积之四分之一也

　　设如甲乙丙丁戊不等边无直角五边形面积一十九丈九十八尺甲乙边二丈五尺乙丙边三丈九尺丙丁边六丈丁戊边一丈五尺甲戊边四丈一尺自甲角至丙角斜线五丈六尺自甲角至丁角斜线五丈二尺今自甲角将面积平分为三分问截各边几何

　　法以面积十九丈九十八尺三分之每分得六丈六十六尺乃以甲丙甲丁二斜线分为甲乙丙甲丙丁甲丁戊三三角形算之用三角形求面积法求得甲乙丙三角形面积四丈二十尺甲丙丁三角形面积一十三丈四十四尺甲丁戊三角形面积二丈三十四尺因甲乙丙甲丁戊两三角形面积俱不足一分所应得之数而甲丙丁三角形面积又过一分所应得之数故先以甲乙丙三角形面积四丈二十尺与每分所应得六丈六十六尺相减余二丈四十六尺卽第一分应得甲乙丙三角形面积外又截甲丙丁三角形以补之之数乃以甲丙丁三角形面积一十三丈四十四尺为一率所应截之二丈四十六尺为二率丙丁边六丈为三率求得四率一丈零九寸八分有余为甲丙丁三角形补甲乙丙三角形分数之边如丙己乃自甲至己作甲己线成甲乙丙己不等边四边形为第一分又以甲丙丁三角形面积一十三丈四十四尺为一率每分所应得六丈六十六尺为二率丙丁边六丈为三率求得四率二丈九尺七寸三分有余为甲丙丁三角形内应得一分之边如己庚又自甲至庚作甲庚线成甲己庚三角形为第二分余甲庚丁戊不等边四边形即第三分此三分之面积俱为相等也葢两形同髙者其面积之比例同于其底边之比例故以甲丙丁三角形面积与甲丙己三角形截积之比同于丙丁与丙己之比而得甲丙己三角形面积为二丈四十六尺与甲乙丙三角形面积四丈二十尺相加得六丈六十六尺又甲丙丁三角形面积与甲己庚三角形面积之比同于丙丁与己庚之比而得甲己庚三角形面积六丈六十六尺则所余甲庚丁戊四边形面积亦必为六丈六十六尺若以甲丁戊三角形面积二丈三十四尺与每分六丈六十六尺相减余四丈三十二尺卽甲庚丁三角形面积乃以甲丙丁三角形面积与甲庚丁三角形面积之比同于丙丁与庚丁之比而得庚丁一丈九尺二寸八分有余与丙己己庚相加得六丈以合丙丁原数也

　　御制数理精蕴下编卷十九

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

　　钦定四库全书

　　御制数理精蕴下编卷二十

　　面部十

　　曲线形

　　曲线形

　　设如圜径一尺二寸问周几何

　　法用周径定率比例以径数一○○○○○○○○为一率周数三一四一五九二六五为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率三尺七寸六分九厘九豪一丝一忽一微八纤卽所求之圜之周数也葢圜之数竒零不尽立法必自方数始是故圜内容形屡求勾股至亿万边圜外切形屡求勾股至亿万边内外凑集使圜周变为直线精密已极始为得之爰设圜径为一而圜周得三一四一五九二六五有余是为定率故以圜径一与圜周三一四一五九二六五之比卽同于今所设之圜径一尺二寸与今所得之圜周三尺七寸六分九厘九豪一丝一忽一防八纤之比也

　　又周径定率比例以径数一一三为一率周数三五五为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率三尺七寸六分九厘九豪一丝一忽五微有余为圜之周数也葢以径一周三一四一五九二六五之定率约之径一一三周得三五四九九九九六九有余进而为三五五则周数微大故今所得圜周亦微大然止在忽微之间耳

　　又周径定率比例以径数七为一率周数二十二为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率三尺七寸七分一厘四豪二丝八忽五防七纤有余为圜之周数也葢以径一周三一四一五九二六五之定率约之径七周得二一九九一一四八五有余进而为二二则周数大而所得周数亦大至于旧术径一围三乃圜内容六等边形之共度实小于圜之周线故径一则围三有余围三则径一不足也

　　设如圜周一丈五尺问径几何

　　法用周径定率比例以周数三一四一五九二六五为一率径数一○○○○○○○○为二率今所设之圜周一丈五尺为三率求得四率四尺七寸七分四厘六豪四丝八忽二防有余即所求之圜之径数也葢前法有径求周故以定率之径与定率之周为比卽如今所设之径与今所得之周为比此法有周求径故以定率之周与定率之径为比卽如今所设之周与今所得之径为比也

　　又周径定率比例以周数一○○○○○○○○为一率径数三一八三○九八八为二率今所设之圜周一丈五尺为三率求得四率四尺七寸七分四厘六豪四丝八忽二防为圜之径数也葢圜周为三一四一五九二六五则圜径为一○○○○○○○○若圜周为一○○○○○○○○则圜径为三一八三○九八八其比例仍同也如以周数三五五为一率径数一一三为二率今所设之圜周一丈五尺为三率亦得四率四尺七寸七分四厘六豪四丝七忽八微有余为圜之径数又或以周数二二为一率径数七为二率今所设之圜周一丈五尺为三率则得四率四尺七寸七分二厘七豪二丝七忽二微有余较之前法所得径数稍小葢径为七而周稍小于二二若周为二二径必稍大于七今截而为七则径数稍小故所得径数亦稍小也

　　设如圜径八寸问面积几何

　　法以圜径八寸用径求周法求得圜周二尺五寸一分三厘二豪七丝四忽一微二纤折半得一尺二寸五分六厘六豪二丝七忽零六纤与半径四寸相乘得五十寸二十六分五十四厘八十二豪有余卽圜之面积也葢圜之半径线若与直角三角形之小边线度等而圜之周界又与直角三角形之大边线度等则此直角三角形之面积与圜形之面积相等【见几何原本四卷第二十一节】如甲乙丙丁圜形其戊丙半径与己庚辛直角三角形之己庚小边线度等而甲乙丙丁圜周界与己庚辛直角三角形之庚辛大边线度等则此己庚辛三角形之面积即与甲乙丙丁圜形之面积相等是故以戊丙半径相等之己庚与乙丙丁半周相等之庚壬相乗所得之癸壬庚己长方形【癸壬庚己长方形积即与己庚辛三角形积等】卽为圜之面积也如以全周与全径相乗则以四归之亦得圜面积葢全径为半径之倍全周为半周之倍则全周全径相乗之积必大于半周半径相乗之积四倍为隔一位相加之比例故全周与全径相乗以四归之而得圜面积也

　　又法用方边圜径相等方积圜积不同之定率比例以方积一○○○○○○○○为一率圜积七八五三九八一六为二率今所设之圜径八寸自乗得六十四寸为三率求得四率五十寸二十六分五十四厘八十二豪有余即圜之面积也此法葢因圜径方边相等圜积方积不同故以圜径自乗作方积定为面与面之比例如子寅圜径为一○○○○则其自乗之辰己午未正方积为一○○○○○○○○而圜径一○○○○所得之子丑寅卯圜面积为七八五三九八一六故以子寅圜径一○○○○自乗之辰己午未正方积一○○○○○○○○与子寅圜径所得之子丑寅卯圜面积七八五三九八一六之比即同于今所设之甲丙圜径八寸自乗之戊己庚辛正方积六十四寸与今所得之甲乙丙丁圜面积五十寸二十六分五十四厘八十二豪有余之比也又法用圜积方积相等圜径方边不同之定率比例以圜径一○○○○○○○○为一率方边八八六二二六九二为二率今所设之圜径八寸为三率求得四率七寸零八厘九豪八丝一忽五微四纤有余为与圜面积相等之正方形每边之数自乗得五十寸二十六分五十四厘八十二豪有余即圜之面积也此法葢以圜积方积设为相等使圜径与方边不同先定为线与线之比例既得线而后自乗之为面也如子寅圜径一○○○○○○○○其所得之积开方则得八八六二二六九二即为辰己午未正方之每边是以子丑寅卯圜面积与辰己午未方面积为相等故子寅圜径一○○○○○○○○与辰己方边八八六二二六九二之比即同于今所设之甲丙圜径八寸与今所得之戊己方边七寸零八厘九豪八丝一忽五微四纤之比既得戊己方边自乗得戊己庚辛方面积即与甲乙丙丁圜面积为相等也

　　又法用方周圜周定率比例以方周数四五二为一率圜周数三五五为二率圜径八寸自乗得六十四寸为三率求得四率五十寸二十六分五十四厘八十六豪有余即圜之面积也此法葢因

　　方　　　　　　　　　　　　　　【丑圜径为一一】周与圜周之比同于方【见算法原本二卷第二十八节】积与圜积之比如子三则子丑圜周为三五五寅卯辰己正方边与圜径同亦为一一三则寅卯辰己方周为四五二【方边一一三以四因之则得四五二】试以正方面之午丑半径为高寅卯辰己方周为底作一午丑未申长方形则比寅卯辰己正方形之面积大一倍又以圜面之午丑半径为高子丑圜周为底作一午丑酉戌长方形则比子丑圜形之面积亦大一倍此两长方形同以午丑为高故此两长方面积之比例必同于两底边丑未与丑酉之比例且全与全之比例又同于半与半之比例故方积与圜积之比例亦必同于两底边丑未与丑酉之比例矣夫丑未即寅卯辰己方周丑酉即子丑圜周故以方周四五二与圜周三五五之比即同于今所设之甲丙圜径自乗之戊己庚辛正方积与今所得之甲乙丙丁圜面积之比也

　　又法以十四分为一率十一分为二率圜径八寸自乗得六十四寸为三率求得四率五十寸二十八分五十七厘一十四豪有余为圜之面积也此法亦系方周与圜周之比同于方积与圜积之比葢圜径七则圜周为二二半之得一一方边七则方周为二八半之得一四故以十四分与十一分之比亦同于今所设圜径自乗之方积与今所得圜面积之比也然所得之面积过大者因径七围二十二之定率其周既大故所得之圜积亦大也旧术圜积得方积四分之三求积则以圜径自乗四分损一得圜积求径则以圜积三分益一开方得圜径此仍以径一围三立法故径求积所得之数必小积求径所得之数必大也

　　设如圜周六尺六寸问面积几何

　　法以圜周六尺六寸用圜周求径法求得圜径二尺一寸零八豪四丝五忽二微有余折半得一尺零五分零四豪二丝二忽六微有余与半周三尺三寸相乗得三尺四十六寸六十三分九十四厘五十八豪有余即圜之面积也又法用圜周方积与圜积定率比例以圜周方积一○○○○○○○○为一率圜积七九五七七四七为二率今所设之圜周六尺六寸自乗得四十三尺五十六寸为三率求得四率三尺四十六寸六十三分九十四厘五十九豪有余即圜之面积也此法葢以圜周自乗之正方积与圜积设为比例为面与面之比例也圜周为一○○○○则其自乗方积为一○○○○○○○○而圜周一○○○○所得之圜面积为七九五七七四七有余故以圜周一○○○○自乗之方积一○○○○○○○○与圜积七九五七七四七之比即同于今所设之圜周六尺六寸自乗之方积四十三尺五十六寸与今所得之圜面积三尺四十六寸六十三分九十四厘五十九豪有余之比也旧术圜积为周自乗方积十二分之一有圜周求积则以圜周自乗以十二除之得圜积有圜积求周则将圜积以十二因之开方得圜周此仍以径一围三立法故周求积所得之数必大积求周所得之数必小也

　　设如圜面积六尺一十六寸问径几何

　　法用圜径方边相等圜积方积不同之定率比例以圜积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率今所设之圜面积六尺一十六

　　寸为三率求得四率七尺八十四寸三十一分五十五厘五十六豪六十四丝为与圜径相等之正方边之正方面积开方得二尺八寸零五豪六丝有余即圜之径数也葢圜积为七八五三九八一六则方积为一○○○○○○○○若圜积为一○○○○○○○○则方积为一二七三二三九五四其比例仍同故以圜积一○○○○○○○○为一率者即如以圜积七八五三九八一六为一率而以方积一二七三二三九五四为二率者即如以方积一○○○○○○○○为二率也

　　又法用圜积方积相等圜径方边不同之定率比例以方边一○○○○○○○○为一率圜径一一二八三七九一六为二率今所设之圜面积六尺一十六寸开方得二尺四寸八分一厘九豪三丝四忽有余为三率求得四率二尺八寸零五豪六丝二忽有余即圜之径数也此法亦以圜积方积设为相等使圜径与方边不同故以圜面积开方得方边为线与线之比例葢方边为八八六二二六九二则圜径为一○○○○○○○○若方边为一○○○○○○○○则圜径为一一二八三七九一六其比例仍同故以方边一○○○○○○○○为一率者即如以方边八八六二二六九二为一率而以圜径一一二八三七九一六为二率者即如以圜径一○○○○○○○○为二率也又法用圜周方周定率比例以圜周三五五为一率方周四五二为二率今所设之圜面积六尺一十六寸为三率求得四率七尺八十四寸三十一分五十四厘九十二豪九十五丝有余开方亦得二尺八寸零五豪六丝有余为圜之径数也

　　又法以十一分为一率十四分为二率今所设之圜面积六尺一十六寸为三率求得四率七尺八十四寸开方得二尺八寸为圜之径数也葢径七围二十二之定率其径既小则方周与方积亦皆小故开方所得之圜径亦小也

　　设如圜面积六尺一十六寸问周几何

　　法以圜面积六尺一十六寸用圜积求径法求得圜径二尺八寸零五豪六丝有余又用圜径求周法求得八尺七寸九分八厘二豪二丝有余即圜之周数也

　　又法用圜积与圜周方积定率比例以圜积一○○○○○○○○为一率圜周方积一二五六六三七○六二为二率今所设之圜面积六尺一十六寸为三率求得四率七十七尺四十寸八十八分四十三厘零一豪有余开方得八尺七寸九分八厘二豪有余即圜之周数也葢圜积为七九五七七四七则圜周自乗方积为一○○○○○○○○若圜积为一○○○○○○○○则圜周自乗方积为一二五六六三七○六二其比例仍同故以圜积一○○○○○○○○与圜周自乗方积一二五六六三七○六二之比即同于今所设之圜面积六尺一十六寸与今所得之圜周自乗方积七十七尺四十寸八十八分四十三厘零一豪之比既得圜周自乗方积开方即得圜周也

　　设如撱圜形【一音鸭蛋形】大径九尺小径六尺问面积几何

　　法以大径九尺与小径六尺相乗得五十四尺为长方积乃用方边圜径相等方积圜积不同之定率比例以方积一○○○○○○○○为一率圜积七八五三九八一六为二率今所得之大小径相乗之长方积五十四尺为三率求得四率四十二尺四十一寸一十五分零六十四豪即撱圜形之面积也葢圜面积与撱圜面积之比同于圜外所切之正方形积与撱圜形外所切之长方积之比【见几何原本八卷第十二节】则圜外所切之正方形积与圜面积之比亦必同于撱圜形外所切之长方形积与撱圜面积之比也如甲乙丙丁撱圜形甲丙大径九尺乙丁小径六尺以大径与小径相乗遂成戊己庚辛长方形此长方形积与撱圜形积之比即同于正方积与圜积之比故以定率之方积数为一率圜积数为二率今所得之大小径相乗之长方积为三率求得四率为撱圜形之面积也

　　设如撱圜形面积四十二尺四十一寸一十五分零六十四豪大径九尺问小径几何

　　法用圜径方边相等圜积方积不同之定率比例以圜积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率今所设之撱圜形面积四十二尺四十一寸一十五分零六十四豪为三率求得四率五十四尺为长方积以大径九尺除之得六尺即撱圜形之小径也葢方面积与圜面积之比既同于长方面积与撱圜形面积之比则圜面积与方面积之比亦必同于撱圜形面积与长方面积之比也如甲乙丙丁撱圜形用定率比例而得戊己庚辛长方形其戊己长与甲丙大径等其己庚阔与乙丁小径等故以大径除之得小径也如有小径求大径则以所得长方积用小径除之而得大径也

　　设如圆环形外周二十一尺三寸内周七尺一寸阔二尺二寸六分求面积几何

　　法以外周二十一尺三寸与内周七尺一寸相加得二十八尺四寸折半得一十四尺二寸以阔二尺二寸六分乗之得三十二尺零九寸二十分即圆环形之面积也如图甲乙丙丁圆环形甲乙外周二十一尺三寸丙丁内周七尺一寸甲丙与丁乙皆二尺二寸六分试依甲乙大圜之戊乙半径度与甲乙圜周度作一己庚辛直角三角形其己庚小边与甲乙大圜之戊乙半径等庚辛大边与大圜之周界等则己庚辛直角三角形之面积与甲乙大圜之面积等又依丙丁小圜之戊丁半径截己庚辛三角形之己庚小边于壬又依丙丁小圜周度作壬癸线与庚辛平行则成己壬癸一小直角三角形其面积与丙丁小圜之面积等如于己庚辛大三角形内减己壬癸小三角形所余癸辛庚壬斜尖方形之面积必与甲乙丙丁圆环形之面积等矣故如斜尖方形求积法以如丙丁内周之壬癸与如甲乙外周之庚辛相加折半得丑庚而以如丁乙阔之壬庚乗之得子丑庚壬一长方形与癸辛庚壬斜尖方形等即甲乙丙丁圆环形之面积也

　　设如圆环形外径二尺四寸内径一尺二寸求面积几何

　　法以外径二尺四寸求得周七尺五寸三分九厘八豪二丝有余又以内径一尺二寸求得周三尺七寸六分九厘九豪一丝有余乃以内径一尺二寸与外径二尺四寸相减余一尺二寸折半得六寸为圆环形之阔依前法算之得三尺三十九寸二十九分二十厘有余为圆环形之面积也

　　又法以外径二尺四寸自乗得五尺七十六寸又以内径一尺二寸自乗得一尺四十四寸两数相减余四尺三十二寸为方环面积乃用方积圜积定率比例以方积一○○○○○○○○为一率圜积七八五三九八一六为二率今所得之方环面积四尺三十二寸为三率求得四率三尺三十九寸二十九分二十厘有余即圆环形之面积也此法葢以方环圆环为比例即如用方积圜积定率为比例也分而言之则外径自乗与外大圜面积为比内径自乗与内小圜面积为比既得两圜面积相减始为圆环面积今以内外径各自乗相减即用方积圜积定率比例是合两比例而为一比例也

　　设如圆环形外周六尺六寸内周二尺二寸求面积几何

　　法以外周六尺六寸求得径二尺一寸零八豪四丝有余又以内周二尺二寸求得径七寸零二豪八丝有余两径相减余一尺四寸零五豪六丝有余折半得七寸零二豪八丝有余为圆环形之阔依前法算之得三尺零八寸一十二分三十二厘有余即圆环形之面积也又法以外周六尺六寸自乗得四十三尺五十六寸内周二尺二寸自乗得四尺八十四寸两数相减余三十八尺七十二寸乃用圜周方积与圜积定率比例以圜周方积一○○○○○○○○为一率圜积七九五七七四七为二率两周自乗相减之余三十八尺七十二寸为三率求得四率三尺零八寸一十二分三十九厘有余即圆环形之面积也此法葢以两圜周自乗相减之余积与圆环积为比例卽如用圜周方积圜积定率为比例也分而言之则外周自乗与外大圜面积为比内周自乗与内小圜面积为比既得两圜面积相减始为圆环面积今以内外周各自乗相减即用圜周方积圜积定率比例是合两比例而为一比例也

　　设如圆环形面积四百六十二尺阔七尺求内外径各几何

　　法以阔七尺除圆环面积四百六十二尺得六十六尺即内外周相并折半之数为中周乃以周求径法求得径二十一尺零八厘四豪五丝有余为内外径相并折半之数为中径加阔七尺得二十八尺零八厘四豪五丝有余卽外径中径内减阔七尺余一十四尺零八厘四豪五丝有余即内径也如图甲乙丙丁圆环形其面积四百六十二尺甲丙与丁乙皆七尺先所得之中周六十六尺为戊己周次所得之中径二十一尺零八厘四豪五丝有余为戊己径其甲戊与戊丙等丁己与己乙等故甲戊与己乙两段戊丙与丁己两段皆与丁乙及甲丙阔度等是以于中径内加阔得外径减阔得内径也

　　又法先用圜积方积定率比例以圜积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率圆环积四百六十二尺为三率求得四率五百八十八尺二十三寸六十六分六十七厘有余为方环积乃以阔七尺自乗得四十九尺以四因之得一百九十六尺与所得之方环积相减余三百九十二尺二十三寸六十六分六十七厘有余四归之得九十八尺零五寸九十一分六十六厘有余以阔七尺除之得一十四尺零八厘四豪五丝有余为内圜径加倍阔十四尺得二十八尺零八厘四豪五丝有余为外圜径也此法葢以圆环积变为方环积卽如前法方环积变为圆环积也如甲乙丙丁圆环形变为戊己庚辛壬癸子丑方环形内减戊寅壬辰卯已巳癸子午庚酉未丑申辛阔自乗之四正方形余寅卯癸壬癸巳午子丑子酉申辰壬丑未四长方形四归之余寅卯癸壬一长方形以寅壬阔除之得壬癸长与丙丁内径等加甲丙与丁乙得甲乙即外径也

　　设如圆环形面积三百零八尺阔七尺求内外周各几何

　　法以阔七尺除圆环面积三百零八尺得四十四尺为内外周相并折半之数为中周又用径求周法以径数一○○○○○○○○为一率周数三一四一五九二六五为二率阔七尺为三率求得四率二十一尺九寸九分一厘一豪四丝有余为内外周相减折半之数为半较乃以半较二十一尺九寸九分一厘一豪四丝有余与中周四十四尺相加得六十五尺九寸九分一厘一豪四丝有余卽外周数以半较二十一尺九寸九分一厘一豪四丝有余与中周四十四尺相减余二十二尺零八厘八豪六丝有余即内周数也如图甲乙丙丁圆环形其面积三百零八尺丁乙阔七尺试依甲乙大圜之戊乙半径度与甲乙圜周度作一己庚辛直角三角形则己庚辛三角形之面积与甲乙大圜之面积等又依丙丁小圜之戊丁半径截己庚辛三角形之己庚小边于壬又依丙丁小圜周度作壬癸线与庚辛平行则成己壬癸一小直角之三角形积乃与丙丁小圜之面积等如于己庚辛大三角形内减己壬癸小三角形所余癸辛庚壬斜尖方形之面积必与甲乙丙丁圆环面积等矣而癸辛庚壬斜尖方形积又与子丑庚壬长方形积等故以如丁乙阔之壬庚除之得丑庚为内外周相并折半之中周数又以寅庚全径与庚辛全周之比同于丁乙圆环阔【与子丑等】与辛丑半较之比葢丁乙为内外径相减折半之较辛丑即内外周相减折半之较为相当比例四率也既得辛丑与丑卯等即辛庚外周大于丑庚中周之较亦即癸壬内周【与卯庚等】小于丑庚中周之较故于中周加半较得外周减半较得内周也

　　设如圆环形面积三尺三十六寸内周一尺一寸求外周及阔各几何

　　法以内周一尺一寸用周求径法求得内径三寸五分零一豪有余又用周径求积法求得内周圜面积九寸六十二分七十七厘五十豪有余与圆环积三尺三十六寸相加得三尺四十五寸六十二分七十七厘五十豪有余即外周圆面积乃用圜积方积定率比例以圜积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率今所得之外周圜面积三尺四十五寸六十二分七十七厘五十豪有余为三率求得四率四尺四十寸零六分六十九厘一十七豪有余为外径自乗之方积开方得二尺零九分七厘七豪有余即外径减去内径三寸五分零一豪余一尺七寸四分七厘六豪折半得八寸七分三厘八豪即圆环形之阔又用径求周法求得周六尺五寸九分零一豪有余即外周数也

　　设如圆环形面积三百八十四尺外周八十八尺求内周及阔各几何

　　法以外周八十八尺用周求径法求得外径二十八尺零一分一厘二豪有余又用周径求积法求得外周圜面积六百一十六尺二十四寸六十四分有余内减去圆环积三百八十四尺余二百三十二尺二十四寸六十四分有余为内周圜面积乃用圜积方积定率比例以圜积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率今所得之内周圜面积二百三十二尺二十四寸六十四分为三率求得四率二百九十五尺七十寸五十二分九十九厘五十豪有余即内径自乗之方积开方得一十七尺一寸九分六厘有余即内径与外径二十八尺零一分一厘二豪相减余一十尺八寸一分五厘二豪有余折半得五尺四寸零七厘六豪即圆环形之阔又用径求周法求得周五十四尺零二分二厘八豪有余即内周数也

　　设如圜径一尺二寸今截弧矢形一段矢阔二寸四分求长几何

　　法以矢阔二寸四分为首率圜径一尺二寸内减矢阔二寸四分余九寸六分为末率首率末率相乗得二十三寸零四分开方得四寸八分为中率倍之得九寸六分即弧矢形之数也如图甲乙圜径一尺二寸截甲丙丁弧矢形其甲戊为矢阔二寸四分试自甲至丙作甲丙线自丙至乙作丙乙线遂成甲丙乙直角三角形而丙戊半即为其垂线故所截甲戊为首率戊乙为末率求得丙戊为中率【见几何原本九卷第二节并见勾股卷定勾股无零数法中】倍之得丙丁即弧矢形之也又法以圜径一尺二寸折半得半径六寸为矢阔二寸四分与半径六寸相减余三寸六分为勾求得股四寸八分倍之得九寸六分得弧矢形之数也如图甲乙圜径一尺二寸折半得甲己半径六寸与丙己等为又于甲己半径六寸内减甲戊矢阔二寸四分余戊己三寸六分为勾求得丙戊股倍之得丙丁为弧矢形之也

　　设如圜径一　尺七寸今截弧矢形一段长一尺五寸求矢阔几何

　　法以长一尺五寸折半得半七寸五分自乗得五十六寸二十五分为长方积以圜径一尺七寸为长阔和用带纵和数开方法算之得阔四寸五分卽矢之阔也如图甲乙圜径一尺七寸截甲丙丁弧矢形其丙丁为长一尺五寸自甲至丙自丙至乙作二线成甲丙乙直角三角形而丙戊为垂线故甲戊为首率戊乙为末率丙戊为中率中率自乗之正方与首率末率相乗之长方等今以丙丁折半得半丙戊自乗即与甲戊矢为阔戊乙截径为长相乗之长方等故以甲乙为长阔和求得甲戊阔即矢也

　　又法以圜径一尺七寸折半得八寸五分为以长一尺五寸折半得七寸五分为股求得勾四寸与半径八寸五分相减余四寸五分卽矢之阔也如图甲乙圜径一尺七寸折半得丙己半径八寸五分为丙丁一尺五寸折半得丙戊七寸五分为股求得戊己勾与甲己半径相减余甲戊卽矢之阔也又法以圜径一尺七寸为弧一尺五寸为股求得勾八寸与圜径一尺七寸相减余九寸折半得四寸五分卽矢之阔也如图甲乙圜径一尺七寸与丁庚等如自丙至庚作丙庚线则成丁丙庚直角三角形故以丁庚为丙丁为股求得丙庚勾与戊辛等以戊辛与甲乙全径相减余甲戊与辛乙两叚折半卽得甲戊为矢之阔也

　　设如弧矢形长一尺二寸矢阔四寸求圜径几何法以矢阔四寸为首率长一尺二寸折半得六寸为中率乃以中率六寸自乗用首率四寸除之得九寸为圜之截径加矢阔四寸得一尺三寸卽圜之径数也如图甲乙丙丁弧矢形甲丙长一尺二寸丁乙矢阔四寸试继甲丁丙弧作一全圜【法见几何原本十一卷十三节】将丁乙矢线引长作丁戊全径线又自甲至丁作甲丁线自甲至戊作甲戊线遂成丁甲戊直角三角形而甲乙半即为其中垂线故丁乙矢为首率乙戊截径为末率而甲乙半即为中率故丁乙与甲乙之比同于甲乙与乙戊之比而得乙戊截径加丁乙矢卽得丁戊为圜之全径也

　　设如弧矢形长八尺矢阔二尺求面积几何

　　法先用弧矢形有矢求圜径法求得圜之全径十尺折半得半径五尺为一率半四尺为二率以半径十万为三率求得四率八万为正数捡八线表得五十三度零七分四十九秒为半弧之度分倍之得一百零六度一十五分三十八秒为全弧之度分乃以全圜三百六十度化作一百二十九万六千秒为一率全弧一百零六度十五分三十八秒化作三十八万二千五百三十八秒为二率全径十尺求得全周三十一尺四寸一分五厘九豪二丝有余为三率求得四率九尺二寸七分二厘九豪八丝有余为全弧之数与半径五尺相乗得四十六尺三十六寸四十九分折半得二十三尺一十八寸二十四分五十厘为自圜心所分弧背三角形积又于半径五尺内减矢二尺余三尺与八尺相乗得二十四尺折半得十二尺为自圜心至所分直线三角形积与弧背三角形积二十三尺一十八寸二十四分五十厘相减余一十一尺一十八寸二十四分五十厘即弧矢形之面积也如图甲乙丙丁弧矢形甲丙长八尺丁乙矢阔二尺甲乙为半四尺试继此弧作一全圜求得丁戊全径【解见前】折半得己丁半径既得半径而甲乙半又即为甲丁半弧之正故比例得正数捡表而得甲丁半弧之度分倍之得甲丁丙全弧之度分又甲戊丙丁全圜之度分与甲丁丙全弧之度分之比同于甲戊丙丁全周之尺寸与甲丁丙全弧之尺寸之比而得甲丁丙全弧之数与己丁半径相乘折半即得甲己丙丁弧背三角形之面积又于丁己半径内减丁乙矢余乙己为截半径与甲丙相乘折半得甲己丙直线三角形面积与甲己丙丁弧背三角形面积相减余即甲乙丙丁弧矢形之面积也

　　设如圜形截弧矢一段所截弧度一百二十度弧界长二尺二寸求圜径及长矢阔各几何

　　法以截弧一百二十度为一率全圜三百六十度为二率截弧二尺二寸为三率求得四率六尺六寸为圜之周数用圜周求径法求得圜径二尺一寸零八豪四丝有余乃以半径十万为一率截弧一百二十度折半得六十度查正得八万六千六百零三倍之得一十七万三千二百零六即一百二十度之通为二率今所得之圜径二尺一寸零八豪四丝有余折半得一尺零五分零四豪二丝有余为三率求得四率一尺八寸一分九厘三豪九丝有余卽弧矢形之数又以半径十万为一率六十度之余五万与半径十万相减余五万卽六十度之正矢为二率今所得之半径一尺零五分零四豪二丝有余为三率求得四率五寸二分五厘二豪一丝有余即弧矢形之矢数也如图甲乙丙丁圜形截甲乙戊丁弧矢形一段知乙甲丁弧一百二十度又知乙甲丁弧界为二尺二寸求甲丙全径及乙丁甲戊矢则以乙甲丁弧一百二十度与甲乙丙丁全圜三百六十度之比卽同于乙甲丁弧界二尺二寸与甲乙丙丁全圜界六尺六寸之比也旣得全周求得甲丙全径折半于己心自己至乙作己乙半径线则乙戊卽如六十度之正乙丁卽如一百二十度之通甲戊即如六十度之正矢故以半径十万与一百二十度之通一十七万三千二百零六之比卽同于己乙半径一尺零五分零四豪二丝有余与乙丁全一尺八寸一分九厘三豪九丝有余之比又半径十万与六十度之正矢五万之比卽同于己乙半径与甲戊矢五寸二分五厘二豪一丝有余之比也

　　设如圜形截弧矢一段任自弧界一处对圜心至作一斜线长一尺二寸将全分为大小两段大段长一尺八寸小段长一尺六寸问圜径几何法以所作之斜线一尺二寸为一率截小段一尺六寸为二率大段一尺八寸为三率求得四率二尺四寸为自截处过圜心至圜对界之线将此线与所作之斜线一尺二寸相加得三尺六寸卽圜径也如图甲乙丙丁圜形截甲乙丁弧矢形任自圜界甲对圜心戊至乙丁上作甲己斜线将乙丁分为乙己己丁两段乙己小段一尺六寸己丁大段一尺八寸试将甲己斜线引长过圜心至圜对界丙作甲丙线又自甲至乙作甲乙线复自丁至丙作丁丙线遂成甲己乙丁己丙两同式三角形【乙角对甲丁弧丙角亦对甲丁弧甲角对乙丙弧丁角亦对乙丙弧两己角为对角故两三角形为同式形也】故以甲己与乙己之比即同于己丁与己丙之比既得己丙与甲己相加卽得甲丙为圜径也

　　设如圜形截弧矢一段任自弧界一处至作一垂线长一尺二寸将全分为大小两段其大段长三尺小段长一尺问圜径几何

　　法以所作垂线一尺二寸为一率截小段一尺为二率大段三尺为三率求得四率二尺五寸为自截处至圜对界之直线乃以此线与所作之垂线一尺二寸相加得三尺七寸为股以截小段一尺与大段三尺相减余二尺为勾求得四尺二寸卽圜径也如图甲乙丙丁圜形截甲乙丁弧矢形任自弧界甲至乙丁上作甲戊线长一尺二寸将乙丁分为乙戊戊丁两叚乙戊小段一尺戊丁大叚三尺试将甲戊线引长至圜对界丙作甲丙线又自甲至乙作甲乙线复自丁至丙作丁丙线遂成甲戊乙丁戊丙两同式三角形【乙角对甲丁弧丙角亦对甲丁弧甲角对乙丙弧丁角亦对乙丙弧两戊角俱为直角故两三角形为同式形也】故以甲戊与戊乙之比同于丁戊与戊丙之比既得戊丙与甲戊相加即得甲丙又以乙戊【同己丁】与戊丁相减余戊己与甲庚等乃自甲至庚作甲庚线与乙丁平行则甲角为直角必立于圜界之一半又自庚至丙作庚丙线则又成庚甲丙勾股形故以庚甲为勾甲丙为股求得庚丙即圜径也

　　设如一大圜形内容四小圜形但知大圜形径一尺二寸求小圜形径几何

　　法以大圜形径一尺二寸自乘倍之开方得一尺六寸九分七厘零五丝有余内减大圜形径一尺二寸余四寸九分七厘零五丝有余即小圜形径也如图甲大圜形内容乙丙丁戊四小圜形试切甲大圜形界作己庚辛壬正方形其方边即大圜形全径用方边求斜法求得壬庚己辛两斜即成己甲壬己甲庚庚甲辛壬甲辛四勾股形内各容一小圜形而四方边遂为四勾股形之各两斜各折半遂各为四勾股形之各勾股任取一勾股和减即得容圜全径也【觧见勾股容圜法中】

　　设如一大圜形内容四小圜形但知小圜形径五寸求大圜形径几何

　　法以小圜形径五寸自乘倍之开方得七寸零七厘一豪有余加小圜形径五寸得一尺二寸零七厘一豪有余即大圜形径也如图甲大圜形内容乙丙丁戊四小圜形试连四小圜形中心作乙丙丙丁丁戊戊乙四线遂成乙丙丁戊一正方形用方边求斜法求得乙丁斜加己乙与丁庚两半径【即一小圜形之全径】即得己庚大圜形全径也

　　设如一大圜形内容三小圜形但知大圜形径一尺二寸求内容小圜形径几何

　　法以大圜形径一尺二寸求得外切三角形之每边为二尺零七分八厘四豪六丝有余乃以大圜形径一尺二寸为三角形之两腰半径六寸为中埀线用三角形容圜法求得容圜半径二寸七分八厘四豪六丝有余倍之得五寸五分六厘九豪二丝有余卽小圜形全径也如图甲大圜形内容乙丙丁三小圜形试求外切甲大圜界戊己庚三角形自圜心甲至戊己庚三角各作一分角线皆与圜之全径等卽成戊甲己己甲庚戊甲庚三三角形内各容一小圜形故任以两全径为两腰一半径为中线用三角形容圜法算之卽得一小圜径也

　　设如一大圜形内容三小圜形但知小圜形径五寸求大圜形径几何

　　法以小圜形径五寸为等边三角形之每一边用等边三角形求外切圜形全径法求得外切圜径五寸七分七厘三豪五丝有余加小圜全径五寸得一尺零七分七厘三豪五丝有余卽大圜形

　　全径也如图甲大圜形内容乙丙丁三

　　小圜形试连三小圜形中心作乙丙乙

　　丁丙丁三线遂成乙丙丁等边三角形

　　其毎边皆与小圜全径等又切乙丙丁

　　三角作一圜形用等边三角形求外切

　　圜形全径法【解见三角形卷】求得乙戊径线加

　　己乙与戊庚两半径【即一小圜形之全径】卽得己

　　庚大圜形全径也

　　御制数理精蕴下编卷二十

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

　　钦定四库全书

　　御制数理精蕴下编卷二十一

　　面部十一

　　圜内容各等边形

　　圜外切各等边形