御制数理精蕴卷一十二
十三则
布帛
设原买布长四十尺濶二尺二寸价银七钱五分今有布长三十六尺濶一尺八寸求价法曰置今布长三十六尺以濶一尺八寸乘之【得六十四尺八寸】再以原价七钱五分乘之【得四十八两六钱】为实另置原布长四十尺以濶二尺二寸乘之【得八十八尺】为法除实得五钱五分二厘二毫有竒即所求
十四则
银色一法
设九三色银一两二钱倾销足色求银数法曰置银一两二钱为实以银色九三乘之得一两一钱一分六厘即所求
十五则
银色一法
设足色银一两一钱一分六厘改倾九三色求银数法曰置银一两一钱一分六厘为实以九三除之得一两二钱即所求
十六则
银色三法
设八五色银五两六钱改倾九五色银求银数法曰置银五两六钱为实以八五乘之【得四两七钱六分】再以九五除之得五两零一分零五毫即所求
十七则
银色四法
设足色银七两六钱五分倾成九两求银色法曰置银七两六钱五分为实以九两除之得八五即所求十八则
银色五法
设足色银三十五两二钱改倾八八色银求加铜数法曰置银三十五两二钱为实以八八除之【得四十两】与原银相减余四两八钱即所求
十九则
银色六法
设倾八八色银用铜四两八钱求用银数法曰置铜四两八钱为实以八八与一两相减余一钱二分为法除之【得四十两】与铜数相减余三十五两二钱即所求二十则
斤两一法
设物重一千四十两求斤法曰置物重为实以斤法十六除之得六十五斤即所求
二十一则
斤两二法
设物重六十五斤求两法曰置物重为实以斤法十六乘之得一千四十两即所求
二十二则
斤两三法
设物重六十五斤四两每斤价二钱五分求共价法曰先取四两以斤法十六除之【得二五】并六十五斤之下【成六五二五】为实以价乘之得一十六两三钱一分二厘五毫即所求
二十三则
斤两四法
设物每斤价二钱五分今银一十六两三钱一分二厘五毫求值物重法曰置今银为实以价为法除之得六十五斤二五取斤下二五以斤法十六乘之得四两共六十五斤四两即所求
二十四则
斤两五法
设物每斤价四两求每两价法曰置每斤价为实以斤法十六除之得二钱五分即所求
二十五则
斤两六法
设物每两价二钱五分求斤价法曰置每两价为实以斤法十六乘之得四两即所求
二十六则
权重一法
设秤原锤重二十六两遇重物不能胜另取一物重四十六两八钱作锤秤之得一千零七十二两求物重真数法曰置物重一千零七十二两为实以借用作锤之四十六两八钱乘之【得五万零一百六十九两六钱】再以原锤二十六两除之得一千九百二十九两六钱即所求
解曰借用之锤重于原锤若干倍则借用之锤所秤之物重亦重于原锤所秤之物重若干倍以原锤除借用之锤得一八是借用之锤重于原锤十分之八也则于借用锤所秤之一千零七十二两以十分之八加之必得一千九百二十九两六钱为原锤所秤之重法先乘后除者亦异乘同除也【本巻五则】
二十七则
权重二法
设秤失其锤止有原秤过轻重二物重者重一千九百二十九两六钱轻者重四十六两八钱以轻者作锤秤重者得一千零七十二两求原锤重法曰置四十六两八钱为实以一千零七十二两乘之【得五万零一百六十九两六钱】以一千九百二十九两六钱除之得二十六两即所求
解曰一千九百二十九两六钱之与一千零七十二两若四十六两八钱之与原锤也故以之乘除得原锤之重
二十八则
权重三法
设秤失其锤有轻重两物不知斤两以轻者作锤秤重者得五十二两以重者作锤秤轻者得一十三两求原锤重法曰置两数相乘【得六百七十六两】平方开之得二十六两即所求
解曰两数之中率即原锤之重两数相乘平方开之求中率之法也【二巻十六则】○又法以等重二物一作锤一作物秤之所得之数即原锤之重○按以上三法用之于平星提索同居一位之秤虽有微差尚可得近似之数至于平星提索不同一位相去愈逺其差愈多甚至与真数悬絶留心此道者不可不知也数学钥巻三上
钦定四库全书
数学钥巻三下
柘城杜知耕撰
衰分【诸分附】
一则
合率差分
设有银一百二十一两一钱七分五厘买稻麦菽三等粮买稻一分每斗价九分二厘麦二分毎斗价八分五厘菽三分每斗价三分六厘求三色粮各若干法曰置共银为实另二因麦价【得一钱七分】三因菽价【得一钱零八厘】与稻价并【共三钱七分】为法除实得三十二石七斗五升为稻数二因稻数得六十五石五斗为麦数三因稻数得九十八石二斗五升为菽数
解曰稻一麦二菽三共六衰而稻为六分之一麦为六分之二菽为六分之三二因麦价者令麦二倍于稻也三因菽价者令菽三倍于稻也合二与三得五是麦菽得五而稻得一则稻为六分之一矣故并价除实即得稻数也麦原二倍于稻故二因稻数得麦数菽原三倍于稻故三因稻数得菽数○如求各银数则以各价乘各数即得
二则
折半差分
设银六百七十二两令甲乙丙三等人折半纳之求各应纳银数法曰置共银为实定丙为一衰乙倍丙为二衰甲倍乙为四衰并之共七衰为法除实得九十六两为丙数二因丙数得一百九十二两为乙数二因乙数得三百八十四两为甲数
解曰所谓折半者令乙半于甲丙半于乙以一为丙衰倍一得二为乙衰乙倍于丙即丙半于乙也倍二得四为甲衰甲倍于乙即乙半于甲也并之共得七衰而丙为七分之一故以七除实得丙数余同前解三则
四六差分
设银八百一十二两五钱令甲乙丙丁四等人四六纳之求各应纳银数法曰置共银为实先定丁为四衰以一五乘四得六为丙衰再以一五乘六得九为乙衰再以一五乘九得十三衰五分为甲衰并之共三十二衰五分为法除实得二十五两为一衰之数四因二十五两得一百两为丁数六因二十五两得一百五十两为丙数九因二十五两得二百二十五两为乙数以十三衰五分乗二十五两得三百三十七两五钱为甲数
解曰定衰之法当六乘四除今用一五乘何也葢四之于六若一与一五也以一五乘四得六乘六得九乗九得十三五而十三五之与九九之与六皆若六之与四也并四数共三十二衰半除实所得银数即原银三十二分五厘之一而丁应纳者则三十二分五厘之四故四因一衰之数得丁数也余同前解四则
三七差分
设有银一千九百七十五两令甲乙丙三等人三七纳之求各应纳银数法曰置共银为实先定丙为九衰七因三归得二十一为乙衰再七因三归得四十九为甲衰并之共七十九衰为法除实得二十五两为一衰之数九因之得二百二十五两为丙数以二十一乘之得五百二十五两为乙数以四十九乘之得一千二百二十五两为甲数
解曰不以三为丙衰而以九为丙衰者以三为丙衰则不能得甲衰也何也试定三为丙衰七为乙衰七因三归则得一六三三不尽定九为丙衰正为甲衰地也若甲乙丙丁四位则九又不可为丁衰必三倍之得二十七为丁衰若五位又三倍二十七得八十一为戊衰位多者仿此
五则
二八差分
设有银一千零五十两令甲乙丙三等人二八纳之求各应纳银数法曰置共银为实先定二为丙衰四因二得八为乙衰四因八得三十二为甲衰并之共四十二衰为法除实得二十五两为一衰之数二因之得五十两为丙数八因之得二百两为乙数三十二乘之得八百两为甲数
解曰逓以四因定衰者以八四倍于二也
六则
逓减差分一法
设米一千一百三十四石令五等人户逓减纳之一等二十四戸二等三十三戸三等四十二戸四等五十一戸五等六十户求毎等及毎戸应纳银数法曰置共米为实先定五等六十戸为六十衰二因四等戸数得一百零二衰三因三等戸数得一百二十六衰四因二等戸数得一百三十二衰五因一等戸数得一百二十衰五数并共五百四十衰为法除实得二石一斗为第五等每戸纳数以五等六十戸乘之得一百二十六石为第五等共纳数以二因二石一斗得四石二斗为第四等毎戸纳数以四等五十一戸乘之得二百一十四石二斗为第四等共纳数以三因二石一斗得六石三斗为第三等毎戸纳数以三等四十二戸乘之得二百六十四石六斗为第三等共纳数以四因二石一斗得八石四斗为第二等每户纳数以二等三十三戸乗之得二百七十七石二斗为第二等共纳数以五因二石一斗得十石零五斗为第一等每戸纳数以一等二十四戸乘之得二百五十二石为第一等共纳数
解同本巻一则
七则
逓减差分二法
设有米二百四十石令甲乙丙丁戊五人纳之定甲乙二人纳数与丙丁戊三人纳数等求各应纳米数法曰置共米为实先以一为戊衰二为丁衰三为丙衰四为乙衰五为甲衰次并戊一丁二丙三得六并乙四甲五得九以六减九余三于每人衰数各増三戊得四衰丁得五衰丙得六衰乙得七衰甲得八衰并之共三十衰为法除实得八石为一衰之数四因之得三十二石为戊数五因之得四十石为丁数六因之得四十八石为丙数七因之得五十六石为乙数八因之得六十四石为甲数
解曰若六位令丙丁戊己四人与甲乙二人纳数等则并己一戊二丁三丙四共十并乙五甲六共十一两数相减余一为实另以甲乙二人与丙丁戊己四人相减余二人为法归之得五各加入每人衰数己得一五戊得二五丁得三五丙得四五乙得五五甲得六五若七位令丙丁戊己庚五人与甲乙二人纳数等并庚一己二戊三丁四丙五共十五并乙六甲七共十三是四人衰数反多于二人衰数前法不行矣则置各衰自乘庚得一己得四戊得九丁得十六丙得二十五并之共五十五乙得三十六甲得四十九并之共八十五两数相减余三十为实另以甲乙二人与丙丁戊己庚五人相减余三人为法归之得十各加入每人衰数庚得十一己得十四戊得十九丁得二十六丙得三十五乙得四十六甲得五十九余仿此
八则
逓减差分三法
设米二百六十五石令三等人戸纳之上等二十戸每戸多中等七斗中等五十戸每戸多下等五斗下等一百一十戸求各应纳米数法曰置共米为实并七斗五斗【共一石二斗】乘上等尸数【得二十四石】以五斗因中等尸数【得二十五石】两数并【共四十九石】减实余二百一十六石并三等尸数【共一百八十戸】为法除之得一石二斗为下等纳数加五斗共一石七斗为中等纳数再加七斗共二石四斗为上等纳数以每等纳数乘每等戸数得每等共纳数
解曰共米内减去上中两等多于下等米数所余即一百八十戸均平公纳之米除实得一石二斗即每戸均纳之数均纳之数即下等每戸应纳之数也故加五斗得中等每戸纳数再加七斗得上等每戸纳数
九则
带分子母差分一法
设甲乙丙三人纳银令乙纳甲数六分之五丙纳甲数四分之三乙多丙纳银八两求共银及各应纳银数法曰列母四子三于左母六子五于右右上互乘左下得十八左上互乘右下得二十左上右上相乘得二十四以十八减二十余二为法另以乙多丙八两乘二十四【得一百九十二两】以法除之得九十六两即甲
数以八两乘二十【得一百六十两】以法除之得八十两即乙
数以八两乘十八【得一百四十四
两】以法除之得七十二两
即丙数并之得二百四十
八两即共银数
解曰此借比例以求真数也二十四与二十六分之五也二十四与十八四分之三也六分之五之二十较四分之三之十八多二六分之五之乙数较四分之三之丙数却多八两则二十四之与甲数二十之与乙数十八之与丙数其比例必皆若二与八也故八乘二除各得真数也
十则
带分子母差分二法
设布一十二万四千四百八十五疋给散军士每三名给袄布七疋每四名给裤布五疋求军数法曰列三名七疋于右四名五疋于左右上互乘左下【得十五】左上互乘右下【得二十八】并之【共四十三】为法另以左上右上
相乘【得一十二】以乘共布【得一百四
十九万三千八百二十疋】以法除之得
三万四千七百四十名即
所求
解曰十二为三名者四当
给袄布二十八疋为四名者三当给裤布一十五疋是毎军士十二名给布四十三疋也反之每给布四十三疋得军士一十二名也故十二乘四十三除得军数也
十一则
互和逓减差分一法
设米一百八十石令甲乙丙三人逓减纳之定甲多丙米三十六石求各应纳米数法曰置共米以人数归之得六十石为乙数另置甲多丙数折半【得一十八石】加乙数得七十八石为甲数减乙数得四十二石为丙数
解曰甲多于乙数必为甲多于丙数之半丙少于乙数亦必为丙少于甲数之半两相折凖是甲丙共得三分之二而乙自得三分之一故三归之得乙数加减之得甲与丙数也
十二则
互和逓减差分二法
设令甲乙丙丁四人逓减纳银定甲纳六十九两丁纳五十一两求乙丙应纳数及共银数法曰以丁数减甲数【余一十八两】三归之得六两加丁数得五十七两为丙数加丙数得六十三两为乙数并之共二百四十两为共银数
解曰甲多于乙乙多于丙丙多于丁三数并与甲多于丁数等故三归得每率逓差之数凡四位以上皆取首尾两数相减五位则四归之六位则五归之七位则六归之即得每率逓差之数余同前
十三则
匿价差分一法
设银一百八十两零二钱五分买麦六十五石菽二十五石麦每石多菽价一两零七分求各价法曰置麦以麦多菽价乗之【得六十九两五钱五分】以减元银【余一百一十两零七钱】并麦菽两数除之得一两二钱三分即菽价加麦多菽价得二两三钱即麦价
解曰减去麦多菽价余银即菽九十石之共价故以九十石归之得菽价
十四则
匿价差分二法
设稻一十八石稷二十二石其值适等交换五石则两率差银一两六钱二分五厘求各价法曰置一两六钱二分五厘以交换五石归之得三钱二分五厘以乗稻一十八石【得五两八钱五分】另以稻一十八石减稷二十二石余四石为法除之得一两四钱六分二厘五毫即稷价另以三钱二分五厘乗稷二十二石【得七两一钱五分】以前法除之得一两七钱八分七厘五毫即稻价
解曰交换五石两率相差一两六钱二分五厘则一两六钱二分五厘必稻五石多稷五石之价也以五归之得三钱二分五厘即稻稷每石相差之价稻稷既每石相差三钱二分五厘则一十八石必差五两八钱五分矣今稷多稻四石而价适等是稷四石之价必五两八钱五分也故四归之得稷价又稻与稷价之比例原若十八与二十二既以三钱二分五厘乗稻一十八石得稷每四石之价则以三钱二分五厘乗稷二十二石必得稻每四石之价无疑矣故四归之得稻价
十五则
二色差分
设银六十七两五钱共买稻菽一百石稻毎石价八钱菽毎石价三钱求稻菽各若干法曰以菽价乗共一百石【得三十两】以减原银【余三十七两五钱】为实以两价相减【余五钱】为法除之得七十五石即稻数以减共一百石余二十五石即菽数
解曰原银为稻菽共百石之价以菽价乗百石为菽百石之价两率不等者以稻贵于菽也今稻毎石多菽价五钱是两率毎相差五钱百石内必有稻一石两率相减余银三十七两五钱凡为五钱者七十五故得稻七十五石也
十六则
三色差分【四色五色六色附】
设银十两零五钱共买稻麦菽一十八石稻每石价八钱麦每石价六钱菽毎石价三钱求三色各若干法曰置共粮以三归之得六石为麦数以麦价因之得三两六钱为麦共价另以麦数减共粮【余一十二石】以菽价因之【得三两六钱】另以麦共价减原银【余六两九钱】两数相减【余三两三钱】为实稻菽两价相减【余五钱】为法除之得六石六斗为稻数以稻麦两数减共粮余五石四斗为菽数
解曰若四色则四归共物得若干即第二色数亦即第三色数以第二色价乗之得第二色共价以第三色价乗之得第三色共价以两数减共物两共价减原银余依二色差分法求之五色则五归六色则六归之仿此○按三色以上亦可与共物共价相合无差然实非一定不易之数即前三色论之设稻九石共价七两二钱麦二石共价一两二钱菽七石共价二两一钱亦与原银共粮共价皆合而与上法所求三色之数不同
十七则
贵贱和率差分
设银一百二十七两五钱共买稻麦一百零八石毎稻三石价四两毎麦四石价三两五钱求二色数及价各若干法曰列稻三石麦四石共稻麦一百零八石于右次列稻价四两麦价三两五钱原银一百二十七两五钱于左以右上互乘左中【得十两零五钱】以左上互乘右中【得一十六两】两数相减余五两五钱为长法次
以右中互乗左下
【得五百一十两】以左中互
乗右下【得三百七十八两】两数相减【余一百三十二
两】以长法除之得
二十四为短法以稻三石乗短法得七十二石即稻数以稻价乗短法得九十六两即稻共价以稻数减共稻麦一百零八石余三十六石即麦数以稻共价减原银一百二十七两五钱余三十一两五钱即麦共价
解曰此与前二色差分同但彼数齐此数不齐耳凡数之不齐者必假一数以齐之今稻三石麦四石则以十二齐之何为必齐之十二也十二为四倍稻三石三倍麦四石之数也以稻三乗麦价即得麦十二石之价以麦四乗稻价即稻十二石之价两数相减为长法者即稻十二石多于麦十二石之银数亦即稻四石多于麦四石之价又三倍之之数也以麦价乗共稻麦一百零八石即麦四百三十二石之价亦即一百零八石尽皆为麦而又四倍其价之数也以麦四乗原银即稻麦四百三十二石之共价亦即稻麦一百零八石之原价而又四倍之之数也两数相减之余即麦四百三十二石少于稻麦共四百三十二石之价实即稻七十二石多于麦七十二石之价又四倍之之数也以之为实若以稻四石多于麦四石之价除之必得稻七十二石今稻四石多于麦四石之价不可得止得稻十二石多于麦十二石之价为长法除实得二十四二十四者即为稻三石者二十四也【十二石三倍多于四石二十四三倍少于七十二石葢法増若干倍得数即减若干倍也】故为短法以稻三石乗之得稻数以稻价乗之得共稻价○若欲先得麦数则以稻三石乗元银以稻价乗共稻麦数两数相减以长法除之得数为短法以麦四石乗之得麦数以麦价乗之得共麦价【解同前】○按此条当列稻三石价四两共稻麦一百零八石于右列麦四石价三两五钱共银一百二十七两五钱于左以左上互乗右中【得一十六两】以右上互乗右中【得十两零五钱】两数相减【余五两五钱】为法次以左上右上相乗【得一
十二石】以乗左下【得一
千五百三十两】以左中十
两零五钱乗右下
【得一千一百三十四两】两数
相减【余三百九十六两】为
实以法除之得七十二石即稻数似较旧法更捷○旧法以十二倍之法除四倍之实故止得二十四以稻三石乗之方得稻数后法以十二倍之法除十二倍之实故一除即得稻数无须再乗也
十八则
首尾两和差分
设十人挨次逓减纳银甲乙丙三人共纳一十三两八钱庚辛壬癸四人共纳一十三两求各应纳银数
法曰列三人于右
上定甲九衰乙八
衰丙七衰共二十
四衰列于右中三
人纳数列于右下
次列四人于左上定庚三衰辛二衰壬一衰共六衰列于左中四人纳数列于左下先以右上徧乗左行【中得一十八衰下得三十九两六钱】次以左上徧乗右行【中得九十六衰下得五十五两二钱】以两下对减【余一十五两六钱】为实两中对减【余七十八衰】为法除之得二钱【为十人挨次逓减之数】另以右上归右下得四两六钱为乙数加乙二钱得四两八钱为甲数减乙二钱得四两四钱为丙数减丙二钱得四两二钱为丁数以下各逓减二钱得应纳银数
解曰首三人尾四人两数不齐不可相减以求首尾相差之数故互乗以齐之夫左下尾四人共纳之银数也以右上三人乗之得三十九两六钱即三倍尾四人为一十二人之纳数右下首三人共纳之银数也以左上四人乘之得五十五两二钱即四倍首三人亦为一十二人之纳数对减之余即首十二人多于尾十二人之纳数故以为实左中尾四人之衰数以右上三人乗之得十八即三倍尾四人为一十二人之衰数右中首三人之衰数以左上四人乗之得九十六即四倍首三人亦为一十二人之衰数对减之余即首十二人多于尾十二人之衰数故以为法以法除实所得非一衰之银数而何一衰之银数即十人挨次逓减之数也以右上三人归右下纳数即得乙数何也葢乙多于丙者即甲多于乙者也减甲之多补丙之少则成三平数乙居甲丙之中故三归之得平数即得乙数也
数学钥巻三下
钦定四库全书
数学钥巻三附
柘城杜知耕撰
分法
一则
命分
设银四十两三人分之求毎人应分银数法曰置银为实以人数除之得一十三两余一不尽则以法为分母以不尽之一为分子命为一十三两又三分两之一
解曰三分两之一即三钱三分三三不尽
二则
约分
设以九十八为法除实不尽者四十二求约若干法曰以子四十二减母九十八【余五十六】再减之余一十四复以母十四减子四十二【余二十八】再减之亦余一十四谓之子母相同即以十四为法除母九十八得七除子四十二得三即命为七分之三
解曰母数九十八是七个十四子数四十二是三个十四九十八之与四十二若七之与三也故命为七分之三遇不可约之数直以本数命之如母九十七子四十二此数之不可约者也直命为九十七之四十二
三则
乘分
设一十八人分银毎人分得三百七十六两又九分两之六求共银法曰置三百七十六两为实以母九因之【得三千三百八十四两】加入子六【共三千三百九十两】以人数乘之【得六万一千零二十两】再以母九归之得六千七百八十两即所求
解曰不以母因实则不能加入子数故因实以就子也
四则
课分
设有布二疋又九分疋之五用过一疋又六分疋之一求余布法曰置用过布一疋以母六因之【仍得六】加入子一【共七】又以原布母九因之【得六十三】另置原布二疋以母九因之【得一十八】加入子五【共二十三】又以用过布母六因之【得一百三十八】两数相减【余七十五】为实以两母【谓九与六】相乘【得五十四】为法除之得一疋零二十一以约分法约之得十八之七即命为余布一疋又十八分疋之七解曰两数各带子母不得不两因之两因之不得不两归之法以两母相乘除实者与两归得数同也五则
通分
设粟四十五石毎七分石之五值银八分两之六求共银法曰置粟为实以粟母七乘银子六【得四十二】为法乘实【得一千八百九十】另以银母八乘粟子五【得四十】为法除之得四十七两二钱五分即所求
解曰原当置粟为实以粟母七乘之粟子五除之求得共粟七分之五再以银子六乘之银母八除之即得银数然既以粟母七乘之又以银子六乘之不如以粟母七乘银子六以乘之也既以粟子五除之又以银母八除之不如以银母八乘粟子五以除之也
数学钥巻三附
<子部,天文算法类,算书之属,数学钥>
钦定四库全书
数学钥巻四凡例
柘城杜知耕撰
凡例
一则
形为体之界在上之界曰靣在下之界曰底底与面有长广而无厚薄故底面之积曰平积
二则
体之纵者曰长衡者曰广立者曰髙
三则
底面长广及髙皆等者曰立方如第一图底面皆方而
髙不与长
广等者曰
方体如第
二图长广
及髙皆不
等而角方
者曰直体
亦曰直方体如第三图底或方或直而傍为勾股形曰堑堵如第四图底或方或直而傍为三角形曰刍荛如第五图底或方或圆或多边而上鋭至尽者曰锥体如第六图凡底面相等者即取底之形为体之名设底六边即为六边体如第七图浑然无界无棱者曰浑体浑圆如第八图浑撱圆如第九图面长杀于底长而无广者曰鋭脊如第十图面之长广各杀于底者曰鋭面如第十一图上下皆有长无广者曰鼈臑如第十二图
四则
锥及鋭面等体自傍科量之度非正髙五边七边等底中长折半之防非正心
五则
线之度尺容十寸寸容十分形之度尺容百寸寸容百分体之度尺容千寸寸容千分
六则
相似两形之比例为线与线再加之比例再加者谓两线各自乘以为比例也相似两体之比例为线与线三加之比例三加者谓两线各自乘再乘以为比例也两形有一度等者同两线之比例两体有一度等者同两形之比例两体有两度等者亦同两线之比例
七则
堆止一层曰平堆二层以上曰髙堆
数学钥巻四凡例
钦定四库全书
数学钥卷四目録
柘城杜知耕撰
少广
一则立方求积
二则直体求积
三则堑堵求积
四则刍荛求积
五则三角体求积
六则六边体求积【八边十二边附】
【増】七则五边体求积【九边附】
八则圆体求积
【増】九则撱圆体求积
【増】十则弧矢体求积
十一则锥体求积
十二则诸杂线体求积
【西法】十三则浑圆求积【二法】
【增】十四则浑撱圆求积
十五则鋭脊体求积
【増】十六则鼈臑求积
【増】十七则等广鋭面体求积
十八则鋭面方体求积
十九则鋭面直体求积【二法 后法増】
二十则鋭面圆体求积
【増】二十一则鋭面撱图体求积
【西法】二十二则诸鋭面体求积
二十三则求锥体之正髙
二十四则立方以积求边一法【即开立方法】二十五则立方以积求边二法
【増】二十六则方体以积求边一法【即带纵开立方法増】二十七则方体以积求边二法
二十八则直体以积求边一法
【増】二十九则直体以积求边二法
三十则浑圆以积求径
【増】三十一则浑撱圆以积求径
三十二则三乗还原【即开三乗方法 五乗七乗附】三十三则委粟求积
三十四则倚壁委粟求积
三十五则倚外角委粟求积
三十六则倚内角委粟求积
三十七则方平堆以周求积
三十八则方平堆以积求周
三十九则三角平堆以濶求积
四十则三角平堆以积求濶
四十一则梯形平堆以濶求积
四十二则六边平堆以边求积
四十三则六边平堆以积求边【求周附】
四十四则堑堵髙堆求积
四十五则方底髙堆求积
四十六则三角髙堆求积
四十七则直底髙堆求积
四十八则直底鋭面堆求积
四十九则三角鋭面堆求积
数学钥巻四目録
钦定四库全书
数学钥巻四
柘城杜知耕撰
少广
一则
立方求积
设立方方三尺求积法曰置三尺自乘【得九尺】再以三尺乘之得二十七尺即所求
解曰算体之法先求底积【即方圆等形求积详一二巻】以髙为底
积倍数如图长广各三尺相乘得九尺
为底积若髙二尺则二倍底积之数得
一十八尺髙三尺则三倍底积之数得
二十七尺
二则
直体求积
设直体长七尺广五尺髙一十二尺
求积法曰以广乘长【得三十五尺】以髙乘
之得四百二十尺即所求
解同前
三则
堑堵求积
设堑堵长一十二尺广五尺髙七尺求积法曰以广
乘长【得六十尺】以髙
乘之【得四百二十尺】折
半得二百一十
尺即所求
解曰甲乙丙丁直体与堑堵髙广长各等依甲乙线丙乙棱分之必成二堑堵夫一直体既能当二堑堵则一堑堵必当半直体也故折半得积
四则
刍荛求积
设刍荛长一十二尺广五尺髙七尺求积法同堑堵
解曰甲乙丙戊
刍荛依丙丁线
丙戊脊分之必
成二堑堵各为
相当直方之半两直方并必成一直方夫直方之两分既倍于刍荛之两分直方之全体不倍于刍荛之全体乎故亦折半得积同堑堵也
五则
三角体求积
设三角体广六尺
中长五尺高一十
二尺求积法曰置
长广相乘【得三十尺】以
髙乘之【得三百六十尺】折半得一百八十尺即所求
解曰即刍荛但彼横此纵耳○勾股体同
六则
六边体求积【八边及十二边附】
设六边体每边广二十尺中长三十四尺六寸四分
有竒髙四十尺
求积法曰置广
三因之【得六十尺】以
长折半【得一十七尺三】
【寸二分零二毫】乘之【得一千零三十九尺二寸一分二厘】为底积再以高乘之得四万一千五百六十八尺四寸八分即所求解曰六边底依各角分之成三角形六三角求积法以广乘长折半【一巻五则】不折则得两三角积故三因边广以底长之半乘之【底之半长即三角之中长】即得六三角积【即全底积】犹平圆半径乘半周之义也【二巻三则】若无底长之度则取边广为【全底分为六三角形每形之三边俱等以甲乙为即以丙乙为也】半广为勾【丁乙】各自乘相减平方开之得股【丙丁】即底长之半【六巻二则】○设八边底每边广二十尺求底长即以二十尺折半为勾【丁乙】另置二十尺以七六五三六除之得二六一三一四强为【丙乙】各自乘相减平方开之得股【丙丁】即底长之半设十二边底每边广二十尺求底长即以二十尺折半为勾【丁乙】另置二十尺以五一七六四除之得三八六三六八强为【丙乙】各自乘
相减平方开之
得股【丙丁】即底长
之半按七六五
三六乃四十五
度弧之通四十五度为三百六十度八之一故以之除八边底之一边即得外切圆形之半径五一七六四乃三十度弧之通三十度为三百六十度十二之一故以之除十二边底之一边即得外切圆形之半径外切圆形之半径即三角形之腰线【丙乙】也【见大测及八线表】
七则
五边体求积
设五边体毎边广二十尺中长三十尺零七寸七分
六厘六毫强高
四十尺求积法
曰置边广以边
数五因之【得一百尺】
折半【得五十尺】为实另置边广折半【得十尺】自乘【得一百尺】以中长除之【得三尺二寸四分九厘一毫强】与中长相减【余二十七尺五寸二分七厘四毫强】折半【得一十三尺七寸六分三厘七毫强】为法乘实【得六百八十八尺一寸八分八厘】为底积再以高乘之得二万七千五百二十七尺五寸二分即所求
解曰五边底依各角分之成三
角形五欲求底积必先得三角
积欲求三角积必先得三角之
中长【丙丁】然上则六边边为偶数
角与角相对边与边相对其全底之长即相对两三角之中长令五边边为竒数边与角相对其底长【己丁】小半为此三角之中线【丙丁】大半为彼三角之腰线【己丙】折半则得庚丁不能得丙丁也若欲得丙丁必先求己丙【于己丁底长减去己丙余即丁丙】欲得己丙必先求外切圆形之己戊径【己戊折半即己丙】欲得己戊必先求外切圆径大于底长之丁戊【底长加丁戊即己戊】欲求丁戊则用弧矢以及余径求矢法【二巻二十二则】今边广甲戊乙弧矢形之甲乙也边广折半自乘丁乙半上方形也底长己丁余径也以除半上方形所得者丁戊矢也以矢减底长所余者倍三角中长之辛丁也故半之为三角之中长又五因边广折半者取五三角底之半也若无底长之度则取边广折半为勾【丁乙】另置边广以一一七五五八除之得一七零一二八八为【丙乙】各自乘相减平方开之得股【丙丁】即三角形之中长【六巻二则】
一 一七五五八乃七十二度弧
之通七十二度为三百六十
度五之一故以之除五边之一
即得外切圆形之半径【丙乙】为三
角形之腰线也○设九边底每边广二十尺求三角分形之中长则以二十尺折半为勾【丁乙】另置二十尺以六八四零四除之得二九二三八为【丙乙】自乘相减平方开之得股【丙丁】即三角形之中长六八四零四乃四十度弧之通四十度为三百六十度九之一故以之除九边之一即得三角形之腰线也
八则
圆体求积
设圆体径三十尺高四十尺求积法曰置径自乘【得九
百尺】再以高乘之
【得三万六千尺】用圆法
十一乘十四除
【二巻四则】得二万八
千二百八十五尺七寸有竒即所求
解曰以径自乘再以髙乘之方体积也方体与圆体等髙则两体即若两底之比例故用平圆法求圆体之积也
九则
撱圆体求积
设撱圆体大径三十六尺小径一十六尺髙四十尺求积法曰置两径相乘【得五百七十六尺】再以高乘之【得二万三千零四十尺】用圆法十一乘十四除得一万八千一百零
二尺八寸有竒
即所求
解同前则及二
巻十六则
十则
弧矢体求积
设弧矢体矢濶八尺六寸六分零二毫长三十尺背三十六尺二寸九分零三毫六丝高四十尺求积法曰置半自乘【得二百二十五步】以矢除之【得二十五尺九寸八分零
九壹强】为余径余
径加矢折半【得一
十七尺三寸二分零五毫五丝】为法乘背【得六百二】
【十八尺五寸六分九厘】另以余径减矢折半【得八尺六寸六分零四毫弱】为法乘【得二百五十九尺八寸一分二厘】两数相减【余三百六十八尺七寸五分七厘】折半【得一百八十四尺三寸七分八厘】为底积再以高乘之得七千三百七十五尺一寸四分即所求【二卷十七则】
十一则
锥体求积
设方锥方二十尺高四十尺求积法曰置二十尺自
乘【得四百尺】为底积
再以高乘之【得一
万六千尺】以锥法三
归之得五千三
百三十三尺三寸三分有奇即所求
解曰方边自乘再以高乘之方体也方锥居方体三之一故三归得积也何以知方锥居体三之一也试
作立方如甲乙
自心至各棱分
之必成锥体六
俱以方靣为底
方边之半为高
更作一方体与
锥体同底等高
如丙丁丙丁方
体既与锥体同
底必亦与甲乙立方同底既与锥体等高必以甲乙方边之半为高两方体既同底则两体之比例若高与高丙丁体必为甲乙立方二之一矣锥体既为甲乙立方六之一不为等高同底丙丁方体三之一乎再作直体广二尺长四尺高八尺如癸辛亦自心至各棱分之亦成锥体六底等戊庚辛己高等辛子之半如丑者二底等癸壬庚戊高等庚辛之半如寅者二底等庚壬子辛高等辛己之半如卯者二六锥体形势虽殊而俱等何也丑与寅同长丑之高倍于寅而寅之广倍于丑折寅之广凖丑之高则丑寅二体等矣又丑与卯同广丑之长倍于卯而卯之高倍于丑折丑之长凖卯之高则丑卯二体亦等矣夫寅等于丑丑等于卯是六锥俱等矣今癸辛一直体能分为相等之六锥体则一锥体不为癸辛直体六之一乎锥体既为同底倍高直体六之一必为同底等高三之一无疑矣○从此推之不论方圆多边弧矢凡属锥体者皆为同底等高体三之一
十二则
诸杂线体求积
凡体先求底积底属直线依一巻九则例属曲线及杂线依二巻四十则例裁之得底积再以高乘之即得体积
十三则
浑圆求积
设浑圆径十尺求积法曰置径自乘【得一百尺】四因之【得四百尺】十一乘十四除【得三百一十四尺二寸八分六厘弱】为靣积再以半径乘之【得一千五百七十一尺四寸三分弱】以三归之得五百二十三
尺八寸一分即所求
解曰置径自乘再以十一乘十
十四除者浑圆中丙子乙丑平
圆积也以四因之者浑圆面积
当平圆积四也何也浑圆面任割一分【如甲丁己戊】欲求面分之容则取自甲顶至戊界之度【甲戊线】为半径作平圆【如辛癸平圆辛壬与甲戊等】其容即等若自乙丙平割浑圆之半取自甲顶至乙界之度为半径作平圆其容必与浑圆半靣等今丙子乙丑平圆半径为乙庚乙庚
与甲庚等乙庚甲庚
两线偕甲乙线则成
一勾股形甲乙为
乙庚甲庚一为勾一
为股也以为半径之平圆必倍大于或勾或股为半径之平圆浑圆半靣既等于以甲乙弦为半径之平圆不倍大于以乙庚勾为半径之丙子乙丑平圆乎半面既倍大于丙子乙丑平圆全靣不四倍大于丙子乙丑平圆乎法以半径乘之以三归之又何也平圆求积同于以圆周为底以半径为高之三角形【二巻四则】故浑圆求积同于以全面为底以半径为高之
锥体以高乘底以三归之者
锥体求积之法也【本巻十一则】○
又尝借西洋割圆八线表考
之如前径十尺之浑圆自顶
中剖之再以乙丙线平分之依八线表例分乙丁甲曲线为九十度设任割球分为甲丁己戊其甲丁曲线三十度自丁戊向甲截作三十段梯形于八线表中求三十度通得五尺二十九度通得四尺八寸四分八厘一毫用梯形求积法【一巻七则】并两数折半得四尺九寸二分四厘零五丝再求二十八度通得四尺六寸九分四厘七毫与二十九度通并而折半得四尺七寸七分一厘四毫依次折尽三十度共得通数七十六尺七寸五分九厘七毫五丝用圆径求周法【二巻一则】求得二百四十一尺二寸四分五厘弱【为球分面上三十段梯形两濶折半之数】为实复求甲丁曲线三十分之一得八分七厘三毫有竒【取浑圆全周以三十六归之即得】为
梯长乘实得割 【即】球靣积二十一尺零五分有奇叧求甲戊直线得二尺五寸八分八厘二【即表中十五度通】毫倍之得五尺一寸七分六厘四毫为径求圆积亦得二十一尺零五分有竒与前数
合又法置径自乘再以径乘【得一千尺】之以十一乘二十一除得数
同解曰圆体与方体等高则两体之比例若两底之比例是方体与圆体若十四与十一也又圆体与浑圆等高令圆体之底同浑圆中心之平圆则圆体之
容必等于以平圆为底以浑圆
半径为【浑圆半径即固体高度之半也】高之锥
体【本巻十一则】六浑圆之面既四倍
于中心平圆而浑圆求积之法
又同锥体则浑圆之容必等于以平圆为底半径为高之锥体四夫以相等之锥体圆体得六而浑圆得四是圆体与浑圆若六之与四六之与四即三之与二也又以三因十四得四十二以二因十一得二十二各以二约之为二十一与十一则二十一与十一等高立方浑圆之比例也法置径自乘再乘立方也十一乘二十一除取立方二十一之十一为浑圆也十四则
浑撱圆求积
设浑撱圆大径四十尺小径二十尺求积法曰置小
径自乘【得四百尺】再
以大径乘之【得一
万六千尺】以十一乘
二十一除得八
千三百八十尺零九寸五分即所求
解曰小径自乘再以大径乘之甲乙方体也方体浑撱圆比例亦犹立方与浑圆故十一乘二十一除得浑撱圆之积
十五则
鋭脊体求积
设鋭脊体脊长十尺底长十四尺广五尺高十二尺求积法曰倍底长加脊长【得三十八尺】以广乘之【得一百九十尺】再以高乘之【得二千二百八十尺】以六归之得三百八十尺即
所求
解曰依甲丙乙丁两线
分之成刍荛一斜锥二
【斜锥与正锥同论】刍荛以高乘
底积之半得积【本巻四则】锥以高乘底积三之一得积【本巻十一则】夫刍荛之底长即鋭脊之脊长也若三倍脊长以六归之即得刍荛底长之半又两斜锥之底长即鋭脊之脊长与底长之较也【即戊庚己辛两线并之度】若二倍较线以六归之即得斜锥底长三之一今倍底长加脊长非即三倍脊长二倍较线乎以六归之以广乘之再以高乘之得三分体之积即全体之积法先乘后归亦异乘同除之意也
十六则
鼈臑求积
设鼈臑上长二
尺下长四尺高
九尺求积法曰
置两长相乘【得八】
【尺】再以高乘之【得七十二尺】以六归之得一十二尺即所求
解曰叧作一刍荛如下图刍荛原为等高同底方体二之一【本巻四则】依甲丙乙丙两线各从底棱分之成一锥体二鼈臑锥体原为等高同底方体三之一【本巻十一则】必为刍荛三之二于刍荛内减去锥体所余三之一则两鼈臑也两鼈臑并既为刍荛三之一必为与刍荛等高同底方体六之一矣与刍荛等高同底即为鼈臑等高倍底者也两鼈臑既为等高倍底方体六之一则一鳖臑亦必为等高同底方体六之一故用六归也
十七则
等广鋭面体求积
设等广鋭靣体靣长四尺底长一十二尺底面俱广
五尺高一十二
尺求积法曰并
两长折半【得八尺】以广乘之【得四十尺】
再以高乘之得四百八十尺即所求
解曰依甲丙乙丁两线分之成一直体二堑堵全靣即一直体底全底即一直体二堑堵底底靣并而折半则成一直体一堑堵底矣夫直体以高乘本底得积【本巻二则】堑堵以高乘半底得积【本巻三则】今一堑堵之全底即两堑堵之半底也故以高乘防靣相并折半之数得全积十八则
鋭靣方体求积
设鋭靣方体靣方六尺底方八尺高一十二尺求积
法曰置上方自
乘【得三十六尺】下方
自乘【得六十四尺】上
下两方相乘【得四】
【十八尺】三数并【共一百四十八尺】以高乘之【得一千七百七十六尺】以三归之得五百九十二尺即所求
解曰各依面棱分之成方体一堑堵方锥各四凡九体而有三等三等求积之法则各殊方体以高乘底得积【本巻二则】堑堵以高乘底二之一得积【本巻三则】方锥以高乘底三之一得积【本巻十一则】若从方体则与堑堵不合从堑堵又与方锥不合不得不用三归以就方锥然用三归必三倍方体之底半倍堑堵之底而后可今下方自乘即甲乙方形得方体之底一堑堵方锥之底各四上方自乘即丙丁方形得方体之底一上下相乘即戊己直形得方体之底一堑堵之底二合三形共方体底三堑堵底六方锥底四夫方体底三三归之仍得一堑堵底六三归之得二二堑堵底即四堑堵底二之一也方锥底四三归之各得三之一今以高乘一方体底四堑堵底二之一四方锥底三之一故得全积【余同本巻十五则】
十九则
鋭靣直体求积
设鋭靣直体靣长六尺广五尺底长十尺广八尺高
一十二尺求积
法曰倍上长加
下长【共二十二尺】以
上广乘之【得一百一】
【十尺】另倍下长加上长【共二十六尺】以下广乘之【得二百零八尺】两数并【得三百一十八尺】以高乘之【得三千八百一十六尺】以六归之得六百三十六尺即所求
解曰依各靣棱分之亦成九体与前则同但四堑堵两两相等辛戊与庚己等丙戊与丁己等四堑堵既不等则三归之法不可用矣于是有六归之法倍上长加下长以上广乘之即戊己直形二丙丁直形一得戊己直体底三丙戊己丁堑堵底各一倍下长加上长以下广乘之即甲乙直形二辛庚直形一得戊己直体底三辛戊庚己堑堵底各三丙戊丁己堑堵底各二甲戊等四锥底各二合之共直体底六堑堵底十二与辛戊等者六与丙戊等者六锥底八以六归之得一直体底四堑堵底二之一四锥底三之一故以高乘之得全积○按鋭靣直体亦有可用三归
者如后图面长五尺广三尺底
长七尺广四尺二寸高一十二
尺用前法得积二百六十一尺
六寸今以面广乘靣长得一十
五尺以底广乘底长得二十九尺四寸以靣广乘底长得二十一尺【或以底广乘靣长亦同】三数并共六十五尺四寸以高乘之以三归之得积同用此法求前体则不合其故何也葢前体乃鋭脊之截体后体乃直锥之截体后体底靣长广可互为比例若依四角斜线引而高之必成直锥是以谓之直锥之截体依前例分为九体其四堑堵虽体势不同而容积皆等故用三归而合也若前体底靣长广不可为比例亦依四角斜线引而高之止成鋭脊终不成锥体是以谓之鋭脊之截体如前分为九体其四堑堵体势既异而大小复殊故用三归必不合也鋭靣直体有此二等不可不知也
二十则
鋭靣圆体求积
设鋭靣圆体靣径六尺底径八
尺高一十二尺求积法曰置靣
径自乘【得三十六尺】底径自乘【得六十四
尺】两径相乘【得四十八尺】三数并【共一】
【百四十八尺】以高乘之【得一千七百七十六尺】再十一乘四十二除得四百六十五尺一寸四分有竒即所求
解曰此与鋭靣方体法同元当用三归得鋭靣方体积再十一乘十四除为本积今用十一乘四十二除者以三因十四得四十二以四十二除犹三归又十四除也
二十一则
鋭面撱圆体求积
设鋭面撱圆体面大径四尺小径二尺底大径八尺
小径六尺高一十二尺求积法
曰倍靣大径加底大径以靣小
径乘之【得三十二尺】另倍底大径加
靣大径以底小径乘之【得一百二十尺】
两数并【共一百五十二尺】以高乘之【得一千八百二十四尺】再以十一乘八十四除得二百三十八尺八寸五分有竒即所求
解曰此与鋭靣直体法同元当用六归得鋭靣直体积再十一乘十四除为本积今以八十四除者以六因十四得八十四以八十四除犹六归又十四除也二十二则
诸鋭靣体求积
设鋭靣六边体靣每边广一尺中长一尺七寸三分二厘【所谓中长者乃边与边相对之度非角与角相对之度也底同】底每边广二尺
中长三尺四寸
六分四厘高四
尺求积法曰置
高以底长折半
乘之【得六尺九寸二分八厘】以两长相减折半【得八寸六分六厘】除之得八尺为锥高另三因底边二尺【得六尺】以底长之半乘之【得十尺零三寸九分二厘】以锥高八尺乘之三归之【得二十七尺七寸一分强】为锥积另三因靣边一尺【得三尺】以靣长之半乘之【得二尺五寸九分八厘】以原高减锥高余四尺乘之三归之【得三尺四寸六分四厘】为虚积以虚积减锥积余二十四尺二寸四分八厘即所求
解曰凡鋭靣体底靣长广能为比例者皆诸锥之截体既得锥积复得体外虚积相减之余即为所求之实积然欲求锥积必先求锥高锥高甲丙与元高甲丁之比例若底长之半甲乙与底靣两半长之较线己乙也法以底长之半乘高以两半长之较线除之者乃借乙己与己戊之比例【己戊即甲丁】因甲乙以求甲丙也凡鋭靣体俱同此法
二十三则
求锥体之正高
设方锥底方十尺斜高一十三尺求正高法曰置斜高自乘【得一百六十九尺】另以底方折半自乘【得二十五尺】两数相
减【余一百四十四尺】平方开之得一十
二尺即所求
解曰此勾求股法也【六巻二则】凡
求诸锥体之积须得诸锥正高
自傍面量者乃斜高非正高也自顶至底中心方为正高方锥系偶边故折底长为勾如遇竒边则求底中心至边之度为勾【本巻七则】
二十四则
立方以积求边一法【即开立方】
设立方积三千三百七十五尺求方边法曰置积于中为实先商十尺于左下法亦置十尺于右自乘再乘【得一千尺】除实【余二千三百七十五尺】三因下法十尺【得三十尺】为方法次商五尺置于左初商十尺之次下法亦置五尺于初商十尺之次【共一十五尺】以次商五尺徧乘之【得七十五尺】为廉法再以方法乘廉法【得二千二百五十尺】除实【余一百二十五尺】又置次商五尺自乘再乘【得一百二十五尺】为隅法除实恰尽合左初商次商得一十五尺即所求
解曰初商自乘再乘大方积也次商五尺乘下法十
尺得五十尺即
方廉甲乙丙丁
一侧面之平积
也【丁乙五尺丁丙十尺相乘
得五十尺】以初商乘
之必得一方廉
之积【每一方廉积五百尺】若以方法三十
尺乘之则得三
方廉之积【三方廉皆等】又以次商五尺乘下法五尺得二十五尺即戊己庚辛长廉一方面之平积也【戊己五尺戊庚亦五尺相乘得二十五尺】以初商乘之必得一长亷之积【每一长廉积二百五十尺】若以方法三十尺乘之则得三长廉之积【三长廉皆等】今以次商五尺徧乘下法十五尺得七十五尺即方廉之侧面长亷之方面两平积也总以方法三十尺乘之即得三方廉三长廉之共积矣又次商五尺自乘再乘得一百二十五尺即隅方积以三方廉附于大方之三面以三长廉补方廉之缺又以一隅方补长廉之缺八体凑合则成一纵广皆一十五尺之立方矣
二十五则
立方以积求边二法
设立方积三百六十五万二千二百六十四尺求方边法曰置积于中为实先商一百尺于左下法亦置一百尺于右自乘再乘【得一百万尺】除实【余二百六十五万二千二百六十四尺】三因下法一百尺【得三百尺】为方法次商五十尺置于左初商一百尺之次下法亦置五十尺于初商一百尺之次【共一百五十尺】次商五十尺徧乘之【得七千五百尺】为廉法以方法乘廉法【得二百二十五万尺】除实【余四十万零二千二百六十四尺】又以次商自乘再乘【得一十二万五千尺】为隅法除实【余二十七万七千二百六十四尺】复三因下法一百五十尺【得四百五十尺】为方法三商四尺于左初商次商一百五十尺之次下法亦置四尺于初商次商一百五十尺之次【共一百五十四尺】以三商四尺徧乘之【得六百一十六尺】又为廉法以方法乘廉法【得二十七万七千二百尺】除实【余六十四尺】又以三商四尺自乘再乘【得六十四尺】为隅法除实恰尽合左初次三商共得一百五十四尺即所求
解曰此与前则同但彼二位此三位耳设三商又不尽复三因初次三商为方法四商之仿此
二十六则
方体以积求边一法【即带纵开立方】
设方体积二千九百二十五尺长广相等高朒二尺求各度法曰置积于中为实初商十尺自乘又以朒二尺减十尺余八尺乘之【得 百尺】除实【余二千一百二十五尺】倍八尺加初商十尺【共二十六尺】为方廉法又倍初商十尺加八尺【共二十八尺】为长廉法次商五尺置于初商之次以初商十尺乘方廉法【得二百六十尺】以次商五尺乘长廉法【得一百四十尺】两数并【共四百尺】以次商五尺乘之【得二千尺】除实【余一百二十五尺】又置次商五尺自乘再乘【得一百二十五尺】为隅法除实恰尽合初商次商共得一十五尺即底方之度减高朒二尺余一十三尺即高度
解曰初商自乘大方之底积又减二尺乘之高朒于纵及广也倍八尺加十尺为方廉法者以方廉广十尺者一广八尺者二也又以十尺乘之者三方廉之
长皆十尺也倍
十尺加八尺为
长廉法者以长
廉长八尺者一
长十尺者二也
又以次商五尺
乘之者三长廉
之广皆五尺也
又并六廉以五
尺乘之者六廉之厚皆五尺也余同前则○改设前积为三千二百四十三尺三寸七分五厘初商十尺次商五尺仍余积三百一十八尺三寸七分五厘又以朒二尺减初次两商十五尺余十三尺倍之加十五尺共四十一尺为方廉法倍十五尺加十三尺共四十三尺为长廉法三商五寸于初次两商一十五尺之次以初次两商十五尺乘方廉法得六百一十五尺以三商五寸乘长廉法得二十一尺五寸并两数共六百三十六尺五寸又以三商五寸乘之得三百一十八尺二寸五分除实余一寸二分五厘陞二位作一百二十五寸又置三商五寸自乘再乘得一百二十五寸除实恰尽合初次三商得一十五尺五寸为底方之度减高朒二尺余一十三尺五寸为高度○余积一寸二分五厘陞二位何也葢体以纵广及高各一尺为积一尺一尺实积千寸取十分尺之一为寸是一寸而实积百寸也故寸以下皆陞二位二十七则
方体以积求边二法
设方体积四千二百七十五尺长广相等高多四尺求各度法曰置积于中为实初商十尺自乘又以多四尺并十尺共十四尺乘之【得一千四百尺】除实【余二千八百七十五尺】倍十四尺加初商十尺【共三十八尺】为方廉法倍初商十尺加十四尺【共三十四尺】为长廉法次商五尺置于初商之次以初商十尺乘方廉法【得三百八十尺】以次商五尺乘长廉法【得一百七十尺】两数并【共五百五十尺】又以次商五尺乘之【得二千七百五十尺】除实【余一百二十五尺】又置次商五尺自乘再乘【得一百二十五尺】为隅法除实恰尽合初次两商共得一十五尺即底方之度加高多四尺共一十九尺即高度解同前
二十八则
直体以积求边一法
设直体积七千二百尺高一十二尺广朒于长十尺求长广法曰置积以高除之【得六百尺】四因之【得二千四百尺】叧置广朒于长十尺自乘【得一百尺】两数并平方开之【得五十尺】减广朒于长十尺【余四十尺】折半得二十尺即广加十尺得三十尺即长
解曰以高除积所得者直体底积也故平方带纵开之即得所求也
二十九则
直体以积求边二法
设直体积三千一百三十五尺高多长四尺长多广四尺求各度法曰置积于中为实初商十尺以十尺减长多广四尺余六尺乘之又以十尺加高多长四尺共十四尺乘之【得八百四十尺】除实【余二千二百九十五尺】列十尺六尺十四尺为方廉法并十尺六尺十四尺共三十尺为长廉法次商五尺置于初商之次方廉法维乘以六尺乘十尺【得六十尺】十尺乘十四尺【得一百四十尺】十四尺乘六尺【得八十四尺】并之【共二百八十四尺】又以次商五尺乘长廉法【得一百五十尺】两数并【共四百二十四尺】再以次商五尺乘之【得二千一百七十尺】除实【余一百二十五尺】又置次商五尺自乘再乘【得一百十五尺】 为隅法除实恰尽合初次两商共一十五尺即长増四尺共一十九尺即高减长四尺余一十一尺即广
解曰初商十尺为大方之长减四尺余六尺为广増
四尺共一十四尺为高故两乘
得大方积大方三面之平积即
三方廉之底积也而大方之三
面各不等以广六尺乘长十尺
得甲乙丙丁面平积以长十尺乘高一十四尺得戊己甲乙面平积以高一十四尺乘广六尺得已庚乙丁面平积故列三位为方廉法维乘也又大方三棱之度即三长廉之高也而大方三棱亦不等甲乙棱十尺乙丁棱六尺乙己棱一十四尺故并三数为长
廉法也余同前解
三十则
浑圆以积求径
设浑圆积一千七百六十七尺八分五厘七毫有竒求圆径法曰置积二十一乘十一除【得三千三百七十五尺】立方开之得一十五尺即所求
解曰十一与二十一浑圆立方之比例也【本巻十三则】二十一乘十一除令浑圆化为相当之立方故立方开之得方边即得圆径也
三十一则
浑撱圆以积求径
设浑撱圆积二千二百三十九尺二寸八分五厘有竒大径多小径四尺求两径法曰置积二十一乘十一除【得四千二百七十五尺】以带纵立方开之得一十五尺即小径加多四尺得一十九尺即大径
解曰浑防圆与方体之比例亦若浑圆与立方故二十一乘十一除带纵立方开之得方体之广及高即浑撱圆之两径也
三十二则
三乘还原【即开三乘方】
设三乘积六百二十五尺求还原法曰置积为实平方开之【得二十五尺】再以平方开之得五尺即所求解曰以五自乘再乘三乘得六百二十五即所谓三乘方也反求元数即所谓开三乘方也三乘原无形体可言但法类于开平方立方故亦谓之方耳○从此推之一次平方一次立方可开五乘方三次平方可开七乘方
三十三则
委粟求积
设委粟底周八十八尺高八尺八寸求积法曰置周自乘【得七千七百四十四尺】以高乘之【得六万八千一百四十七尺二寸】再七乘二百六十四除得一千八百零六尺九寸三分有竒即所求
解曰此即圆锥也圆形与周上方形之比例若七与
八十八【二巻五则】凡两体等高者体与
体之比例若底与底圆体与周上
等高方体之比例必亦若七与八
十八今圆锥居圆体三之一以三
乘八十八得二百六十四则是圆锥与周上等高方体之比例必若七与二百六十四矣
二十四则
倚壁委粟求积
设倚壁委粟周四十
四尺高八尺八寸求
积法曰置周自乘【得一
千九百三十六尺】以高乘之
【得一万七千零三十六尺八寸】再七乘一百三十二除得九百零三尺四寸六分有竒即所求
解曰此圆锥之半也半锥居全锥二之一半周上方体【与圆锥等高下同】居全周上方体四之一故其比例为七与一百三十二也
三十五则
倚外角委粟求积
设倚外角委粟周六十六尺高八尺八寸求积法曰
置周自乘【得四千三百五十六
尺】以高乘之【得三万八千三
百三十二尺八寸】再七乘一
百九十八除得一千
三百五十五尺二寸即所求
解曰此圆锥四之三也与全周上方体【与圆锥等高下同】之
钦定四库全书
数学钥巻五凡例
柘城杜知耕撰
凡例
一则
以此防分之防为彼几分之几之倍数即以彼防分之防为此防分之防之倍数两数必相等设甲数十二乙为甲四分之三数九丙为甲三分之二数八以丙乗乙得七十二以乙乗丙亦得七十二更设丁数四十八戊为丁四分之三数三十六己为丁三分之二数三十二以己乗乙得二百八十八以戊乗丙亦得二百八十八故曰两数必相等
二则
设乙四倍之多于甲数为三七倍之多于甲数为十五以倍数四互乗十五得六十为二十八倍乙多于四倍甲之数以倍数七互乗三得二十一为二十八倍乙多于七倍甲之数两数对减所余必七倍甲多于四倍甲之数七倍甲多于四倍甲之数则三甲之数也
三则
同名相减犹异名相加故异名相加者必同名相减同名相加犹异名相减故异名相减者必同名相加四则
正与正负与负为同名正与负为异名
五则
有一数为法中之闗键而乗除加减反不用者曰暗用数
数学钥巻五凡例
钦定四库全书
数学钥巻五上之上目録
柘城杜知耕撰
商功
一则修筑计积
二则以积计工
三则以工计日一法
四则以工计日二法
五则坚土壤土之较
六则迟疾求齐一法
七则迟疾求齐二法
八则迟疾求齐三法
巻五上之下
均输
一则田地之多寡
二则方物之贵贱
三则道里之逺近一法
四则道里之逺近二法
五则任载之重轻一法
六则任载之重轻二法
七则合均田地多寡方物贵贱道里逺近
卷五下之上
盈朒
一则盈适足
二则朒适足
三则两盈
四则两朒
五则一盈一朒
六则带分子母盈适足【朒适足同】
七则带分子母两盈【两朒同】
八则带分子母一盈一朒【二法】
卷五下之下
方程
一则二色方程
二则三色方程一法
三则三色方程二法
四则正负同异加减一法
五则正负同异加减二法
六则正负同异加减三法
七则正负同异加减四法
八则正负同异加减五法
九则四色方程
数学钥巻五目録
钦定四库全书
数学钥卷五上之上
柘城杜知耕撰
商功
一则
修筑计积
设修堤七千二百尺上濶八尺下濶三十尺髙四十尺求积法曰并两濶折半【得一十九尺】为实以髙乗之【得七百六十尺】再以长【七千二百尺】乗之得五百四十七万二千尺即所求
解曰此等广锐靣体求积法也【详四巻十七则】
二则
以积计工
设筑堤一座积五百四十七万二千尺每夫日筑八尺求用夫数法曰置积为实以八尺除之得六十八万四千名即所求
解曰此求一日筑完
三则
以工计日一法
设修堤同前欲一年筑完求用夫数法曰置积为实以每夫日筑八尺乗三百六十日【得二千八百八十尺】为法除之得一千九百名即所求
解曰二千八百八十尺乃一夫一年所筑者故以之除实得夫数
四则
以工计日二法
设原议用夫一千九百名一年筑完今欲速成增夫九百五十名求用日数法曰以一千九百名乗三百六十日【得六十八万四千日】为实并原夫增夫【共二千八百五十名】为法除之得二百四十日即所求
解曰六十八万四千日乃一夫筑完所用之日数故并原夫增夫除之得二千八百五十名所用之日数五则
坚土壤土之较
设凿池土筑堤堤积五百四十七万二千尺池长七千五百尺濶三十五尺求池深法曰置堤积四因三归【得七百二十九万六千尺】为实以池濶乗长【得二十六万二千五百尺】为法除之得二十七尺七寸九分四厘有竒即所求解曰凡阙地四尺为壤五尺筑坚三尺故于堤积四因三归为池积以濶乗长池靣平积也以平积除池积所得非池深而何
六则
迟疾求齐一法
设甲日筑九尺乙日筑六尺乙先筑十日方令甲筑求防日工齐法曰以乙日筑六尺乗先筑十日【得六十尺】为实以甲日筑九尺乙日筑六尺相减【余三尺】为法除之得二十日即所求
解曰乙先筑十日必多甲六十尺甲日筑多乙三尺二十日必亦多六十尺故同筑二十日而齐
七则
迟疾求齐二法
设一台甲约五日筑完乙约七日筑完丙约九日筑完令甲乙丙同筑求防日完法曰以七乗五【得三十五日】再以九乗之【得三百一十五日】为实另以七乗五【得三十五】以五
乗九【得四十五】以九乗七【得六十三】三
数并【共一百四十三】为法除之得二
日又一百四十三分日之二
十九即所求
解曰以乙乗甲又以丙乗之
者求三率之齐数也【三百一十五日是六十三个五日四十五个七日三十五个九日也】甲五日筑一台则三百一十五日必能筑六十三台乙七日筑一台则三百一十五日必能筑四十五台丙九日筑一台则三百一十五日必能筑三十五台是三人三百一十五日共筑一百四十三台也故以一百四十三台除三百一十五日得三人共筑一台之日数
八则
迟疾求齐三法
设一夫一日阙土可成五十尺一日运土可成三十尺一日筑土可成二十尺令一夫自阙自运自筑求日成防何法曰以二十尺乗三十尺【得六百尺】再以五十尺乗之【得三万只】为实另以二十尺乗三十尺【得六百日】五十
尺乗二十尺【得一千日】三十尺乗
五十尺【得一千五百日】三数并【共三千一
百日】为法除之得九尺又三十
一分尺之二十一即所求
解曰以二十尺乗三十尺再
以五十尺乗之亦取三率之齐数也【三万尺是一千五百个二十尺一千个三十尺六百个五十尺也】一日阙土成五十尺必六百日成三万尺一日运土成三十尺必一千日成三万尺一日筑土成二十尺必一千五百日成三万尺是一夫六百日阙土一千日运土一千五百日筑土共计三千一百日乃成三万尺也故以三千一百日除三万尺得一日所成之数
数学钥巻五上之上
钦定四库全书
数学钥巻五上之下
柘城杜知耕撰
均输
一则
田地之多寡
设甲乙丙三人以田地多寡应一年差役甲田八十畆乙田六十畆丙田四十畆求各值日数法曰分置三人田数各以三百六十日乗之【甲得二万八千八百乙得二万一千六百丙得一万四千四百】并三人田数【共一百八十畆】为法除甲得一百六十日除乙得一百二十日除丙得八十日即所求二则
方物之贵贱
设米九百石令甲乙二处以米价之贵贱均纳之甲处米价每石五钱乙处米价毎石七钱求各应纳米数法曰置米为实并两价【共一两二钱】除之得七十五以七钱乗七十五得五百二十五石价二百六十二两五钱为甲数以五钱乗七十五得三百七十五石价亦二百六十二两五钱为乙数
解曰甲乙米价既为五与七则甲乙纳数必若七与五矣甲纳数与共米必若乙价七钱与两价并之一两二钱也此借五钱与一两二钱之比例因元米以求甲数也乙同此论
三则
道里之逺近一法
设牛车已行七日马车方行六日行齐其程五百八十五里求各日行里数法曰置五百八十五里为实以六日除之得九十七里半为马车日行里数以七日六日相并【共一十三日】除实得四十五里为牛车日行里数
四则
道里之逺近二法
设自甲至乙八百五十五里牛车自甲反乙日行四十五里马车自乙往甲日行九十七里半同日行求防日相遇法曰置八百五十五里为实并牛马车日行里数【共一百四十二里半】除之得六日即所求
解曰此是彼来此往两行相就与以疾追迟者不同故并两日行数为法也
五则
任载之重轻一法
设原车载重八百斤行一千二百里与僦值八两今载重一千二百斤行一千八百里求僦值法曰置僦值八两为实以今重一千二百斤乗今行一千八百里【得二百一十六万】为法乗实【得一千七百二十八万】另以原重八百斤乗原行一千二百里【得九十六万】为法除之得一十八两即所求
解曰此同乗同除法也任载半倍于原数僦值已当半倍八两为十二两道里复半倍于原数僦值故又半倍十二两为十八两
六则
任载之重轻二法
设重车日行五十里轻车日行七十里今载米至仓五日三返求至仓里数法曰置轻重车日行里数相乗【得三百五十里】又以五日乗之【得一千七百五十里】为实另并轻重车日行里数以三返乗之【得三百六十】为法除之得四十八里又三十六分里之二十二即所求
解曰两车日行里数相乗得三百五十里是两车行之齐数也【三百五十里是七个五十里亦五个七十里】乃轻车五日重车七日所行之里数并两车日行里数除之即得一日重往轻来之里数再以五日乗之三返除之即得至仓之里数法变用五日乗实三返乗法者亦同乗同除法也
七则
合均田地多寡方物贵贱道里逺近
设甲乙丙丁戊五处定粟二千石以田地之多寡道里之逺近粟价之贵贱均输之甲地二万零五百二十畆粟价每石二两自输本处乙地一万二千三百一十二畆粟价每石一两至输所二百里丙地七千一百八十二畆粟价每石一两二钱至输所一百五十里丁地一万三千三百三十八畆粟价每石一两七钱至输所二百五十里戊地五千一百三十畆粟价每石一两三钱至输所一百五十里每石每里僦车银四厘求各应输数法曰先置甲地为实以粟价二两为法除之得一千零二十六衰次置乙地为实以僦银四厘因至输所二百里【得八钱】并入粟价一两【共一两八钱】为法除实得六百八十四衰次置丙地为实以僦银四厘因至输所一百五十里【得六钱】并入粟价一两二钱【共一两八钱】为法除实得三百九十九衰又次置丁地为实以僦银四厘因至输所二百五十里【得一两】并入粟价一两七钱【共二两七钱】为法除实得四百九十四衰末置戊地为实以僦银四厘因至输所一百五十里【得六钱】并入粟价一两三钱【共一两九钱】为法除实得二百七十衰合五数【共二千八百七十三衰】为总衰置定粟二千石以甲衰乘之【得二百零五万二千石】以总衰除之得七百一十四石二斗三升五合九勺九抄为甲数置二千石以乙衰乗之【得一百三十六万八千石】以总衰除之得四百七十六石一斗五升七合三勺三抄为乙数置二千石以丙衰乗之【得七十九万八千石】以总衰除之得二百七十七石七斗五升八合四勺四抄为丙数置二千石以丁衰乗之【得九十八万八千石】以总衰除之得三百四十三石八斗九升一合四勺为丁数置二千石以戊衰乗之【得五十四万石】以总衰除之得一百八十七石九斗五升六合八勺四抄为戊数
解曰因地畆以定粟数则输粟均矣而价值有贵贱犹未均也故取粟价除地畆以均贵贱贵贱均矣而道里有逺近犹未均也故又取僦值并入粟价以均逺近此衰分法也
数学钥巻五上之下
钦定四库全书
数学钥巻五下之上
柘城杜知耕撰
盈朒
一则
盈适足
设和买一物每人出银七两盈六两每人出银五两适足求物价人数法曰列七两盈六两于右列五两于左以左上乗右下【得三十两】为物实右下六两为人实
另以左上右上对减【余二两】为
法以法除物实得一十五两
为物价以法除人实得三为
人数
解曰甲为七两乙为五两
丙为五两七两对减之二两各三倍之为丁戊己己即出七两所盈之六两己与戊或与丁之比例必若丙与乙或与甲也丁与甲戊与乙之比例必皆若己与丙也法以五两乗盈六两以对减所
余之二两除之者借
丙与己之比例因乙
以求戊也戊即物价
倍数则人数也
二则
朒适足
设贵贱二物贵价七两贱价五两以银买贵物朒六两买贱物适足求物数银数法曰列贵价
七两朒六两于右列贱价
五两于左以左上乗右下
【得三十两】为银实右下六两
为物实另以左上右上
对减【余二两】为法以法除
银实得一十五两为银数以法除物实得三为物数
解曰甲为贱价乙为贵价丙为两价之较丁为贱物之共价即银数也戊为贵物之共价己则
两共价之较也丁与
甲戊与乙之比例皆
若己与丙此借丙与
己之比例因甲以求
丁也既得丁而戊不