御制数理精蕴卷一十九
【名目二】
【名目三】
名目四
【名目五】
【名目六】
度说
设有多度彼此俱与他等则彼与此自相等
有多度等若所加之度等则合并之度亦等
有多度等若所减之度等则所存之度亦等
有多度不等若所加之度等则合并之度不等
有多度不等若所减之度等则所存之度不等
有多度俱倍于此度则彼多度俱等
有多度俱半于此度则彼多度亦等
有二度自相合则二度必等以一度加一度之上也全大于其分如一尺大于一寸寸乃全尺十之一也
有几何度等若所加之度各不等则合并之差与所加之差等
有几何度不等若所加之度等则合并所赢之度与原所赢之度等
有几何度等若所减之度不等则余度所赢之度与减去所赢之度等
有几何度不等若所减之度等则余度所赢之度与原所赢之度等
全与诸分之并等
有二全度此全倍于彼全若此全所减之度倍于彼全所减之度则此较亦倍于彼较如此度二十彼度十于二十减六于十减三则此较十四彼较七
度各形之髙皆以垂线之亘为度两形同在两平行线内其髙必等凡度物髙以顶底为界以垂线为度不论物之偏正也盖物之定度有一无二自顶至底垂线一而已偏线无数也
线说
有二横直线任加一纵线或正或偏若三线之间同方两角小于两直角则此二横直线愈长愈相近必至相遇如甲乙丙丁二横直线任意作戊巳线交于二横直线之上而戊巳线或正或偏若戊巳线旁同方两角俱小于直角或并之小于两直角则甲乙丙丁二线必有相遇之处
两直线不能为有界之形
两直线止能于一防相遇
凡圜内直线从心下垂线其垂线大小之度即直线距心逺近之度如甲乙丙丁圜内甲乙线丙丁线其去戊心逺近等因己戊戊庚两垂线等故也若辛壬线去戊心近矣因戊癸垂线小故也
凡一防至直线上惟垂线至近垂线之两旁渐逺平行方形不满一线为形小于线若形有余线不足为形大于线
角说
凡直角俱相等
直线上立垂线则两旁皆直角若立偏线则一为钝角
其一必为锐角如子丑线上甲乙
垂线也丙丁偏线也
比例说
比例者两几何以几何相比之理几两几何相比以此几何比他几何则此几何为前率所比之他几何为后率如以六尺之线比三尺之线则六尺为前率三尺为后率也反用之以三尺之线比六尺之线则三尺为前率六尺为后率也
凡比例有二种有大合有小合以数可明者为大合如二十尺之线比十尺之线是也其非数可明者为小合如直角方形之两边与其对角线可以相比而非数可明者是也其大合线为有两度之线其小合线为无两度之线
凡大合有二种有等者如二十比二十十比十是也有不等者如二十比十八比四十是也
凡等者为相同之比例其不等者又有二种有以大不等者如二十比十是也有以小不等者如十比二十是也
大合比例之以大不等者又有五种一为几倍大二为等带一分三为等带几分四为几倍大带一分五为几倍大带几分其一为几倍大者如二十与四是二十内为四者五如三十尺与五尺是三十尺内为五尺者六则二十与四名为五倍大之比例也三十尺与五尺名为六倍大之比例也其二为等带一分者如三与二是三内既有二别带一以为二之半如十二与九是十二内既有九别带三以为九之三分之一则三与二名为等带半也十二与九名为等带三分之一也其三为等带几分者如八与五是八内既有五别带三一每一各为五之分而三一不能合而为五之分也他如十与八其十内既有八别带二一虽每一各为八之分与前例相似而二一却能为八之四分之一是为带一分属在第二不属三也则八与五名为等带三分也又如二十二与十六即名为等带六分也其四为几倍大带一分者如九与四是九内既有二四别带一一为四之四分之一则九与四名为二倍大带四分之一也其五为几倍大带几分者如十一与三是十一内既有三三别带二一每一各为三之分而二一不能合而为三之分也则十一与三名为三倍大带二分也
大合比例之以小不等者亦有五种俱与右相反为名一为反几倍大二为反等带一分三为反等带几分四为反几倍大带一分五为反几倍大带几分凡诸数俱有书法有全数有分数全数依本数书之分数有二一为命分数一为得分数如分一以三而取其二则书为三分之二三为命分数二为得分数也其一几倍大以全数书之如二十与四为五倍大之比例即书五是也若反几倍大则用分数书之而以大比例之数为命分之数以一为得分之数如大为五倍大之比例则此书五之一是也其二等带一分之比例有全数有分数其全数恒为一其分数则以分率之数为命分数恒以一为得分数如三与二名为等带半即书一又二之一也若反等带一分则全用分数而以大比例之命分数为此之得分数以大比例之命分数加一为此之命分数如大为等带二之一即此书三之二也又如等带八分之一反书之即书九之八也其三等带几分之比例亦有全数有分数其全数亦恒为一其分数亦以分率之数为命分数以所分之数为得分数如十与七名为等带三分即书一又七之三也若反等带几分亦全用分数而以大比例之命分数为此之得分数以大比例之命分数如大之得分数为此之命分数如大为等带七之三命数七得数三七加三为十即书十之七也又如等带二十之三反书之二十加三即书二十三之二十也其四几倍大带一分之比例则以几倍大之数为全数以分率之数为命分数恒以一为得分数如二十二与七二十二内既有三七别带一一为七分之一名为三倍大带七分之一即以三为全数七为命分数一为得分数书三又七之一也若反几倍大带一分则大比例之命分数为此之得分数以大之命分数乗大之倍数加一为此之命分数如大为三带七之一即以七乗三得二十一又加一为命分数书二十二之七也又如五带九之一反书之九乗五得四十五加一为四十六即书四十六之九也其五几倍大带几分之比例亦以几倍大之数为全数以分率之数为命分数以所分之数为得分数如二十九与八二十九内既有三八别带五一名为三倍大带五分即以三为全数八为命分数五为得分数书三又八之五也若反几倍大带几分则以大比例之命分数为此之得分数以大比例之命分数乗大倍数加大之得分数为此之命分数如大为三带八之五即以八乗三得二十四加五为二十九书二十九之八也又如四带五之二即书二十二之五也通曰右皆化整为零之法也法详竒零
两几何倍其身而能相胜者为有比例之几何如三尺之线与八尺之线三尺之线三倍其身即大于八尺之线是为有比例之线也又如直角方形之一边与其对角线虽非大合之比例可以数明而直角方形之一边一倍之即大于对角线是亦有小合比例之线也又圜之径四倍之即大于圜之界则径与界亦有小合比例之线也又曲线与直线亦有比例如以大小两曲线相合为初月形别作一直角方形与之等即曲线直线两视有大有小亦有比例也又方形与圜不能为等形然相视有大有小亦不可谓无比例也又直线角与曲线
角亦有比例如上图直
角钝角锐角皆有与曲
线角等者如甲乙丙直
角在甲乙乙丙两直线内而其间设有甲乙丁与丙乙戊两圜分角等即于甲乙丁角加甲乙戊角则丁乙戊曲线角与甲乙丙直角等矣因知壬庚癸曲线角与己庚辛钝角等也又知卯丑辰曲线角与子丑寅锐角各减同用之子丑丑辰内圜小分即两角亦等也他若有穷之线与无穷之线虽则同类实无比例何者有穷之线毕世倍之不能胜无穷之线也又线与面面与体及切圜角与直线锐角皆无比例也
四几何若第一与二偕第三与四为同理之比例则第一第三之几倍偕第二第四之几倍其相视或等或俱为大俱为小恒如是如有四几何第一曰三第二曰二第三曰六第四曰四今以第一之三第三之六同加四倍为十二为二十四次以第二之二第四之四同加七倍为十四为二十八其倍第一之十二既小于倍第二之十四则倍第三之二十四必小于倍第四之二十八也又以第一之三第三之六同加六倍为十八为三十六次以第二之二第四之四同加四倍为十八为三十六其倍第一之十八既等于倍第二之十八则倍第三之三十六必等于倍第四之三十六也又以第一之三第三之六同加三倍为九为十八次以第二之二第四之四同加二倍为四为八其倍第一之九既大于倍第二之四则倍第三之十八必大于倍第四之八也乃知三与二偕六与四得为同理之比例也此断比例之法若连比例则以中率两用之既为第二又为第三也若第一之几倍大于第二之几倍而第三之几倍不大于第四之几倍则第一与二之比例大于第三与四之比例矣
三几何为同理之连比例则第一与三为再加之比例四几何为同理之连比例则第一与四为三加之比例仿此以至无穷如甲与乙若乙与丙乙与丙若丙与丁丙与丁若丁与戊五几何为同理之连比例其一甲与三丙为
再加之比例其一甲与四丁为三加之比例其一甲与五戊为四加之比例若反用之以戊为首则一戊与三丙为再加与四乙为三加与五甲为四加也再以数明之如此直角方形之边三尺彼直角方形之边一尺若九与一夫九与一之间有三为同理之连比例则此九三一之三数既有三与一为比例又以九比三三比一为再加之比例也故彼直角方形当为此形九分之一不止为此形三分之一也大约第一与二之比例若线相比第一与三若平面相比第一与四若体相比第一与五若少广之三乗方与六则若四乗方与七则若五乗方也
同理之几何前与前相当后与后相当
比例以比例相结者以多比例之命数相乗除而结为一比例之命数盖中率相结者于不同理之中求其同
理也如十二倍
之此比例则以
彼二倍六倍两
比例相结也二
六相乗为十二故也或以彼三倍四倍两比例相结三四相乗亦十二故也又如三十倍之此比例则以彼二倍三倍五倍三比例相结也二乗三为六六乗五为三十故也大约以三率为始三率则两比例相乗除而中
率为纽也若四率则先以前
三率之两比例相乗除而结
为一比例又以此与第三比
例相乗除而总结为一比例也若五率则先以前三率之两比例乗除相结又以此与第三比例乘除相结又以此与第四比例乗除相结而为一比例也或如下图亦可
三几何为二比例不同理而合为一比例则以第一与二第二与三两比例相结也如第一图三几何二比例皆以大不等者其甲乙与丙丁为二倍大丙丁与戊己为三倍大则甲乙与戊己为六倍大二乗三为六也若以小不等戊己为第一甲乙为第三三乗二亦六则戊己与甲乙为反六倍大也又
如次图前以大不等后以小不等者中率小于前后两率也其甲乙与丙丁为三倍大丙丁与戊己为反二倍大则甲乙与戊己为等带半三乗半得等带半也若以戊己为第一甲乙为第三反
推之半除三为反等带半也又如末图前以小不等后以大不等者中率大于前后两率也其甲乙与丙丁为反二倍大丙丁与戊己为等
带三分之一即甲乙与戊己为反等带半何者如甲乙二即丙丁当四丙丁四即戊己当三是甲乙二戊己当三也又法以命数三带得数一为四半除得二二比三为反等带半也若戊己为首则为等帯半矣
若多几何各带分而多寡不等者当用通分法如设前比例为反五倍带三之二后比例为二倍大带八之一即以前命数三通其五倍为十五得分数从之为十七是前比例为三与十七也以后命数八通其二倍为十六得分数从之为十七是后比例为十七与八也即首尾二几何之比例为三与八得二倍大带三之二也右说连比例之不同理者用中率以结矣若不同理之断比例异中率而无可结者当于其所设几何之外别立三几何二比例而同中率者乗除相结即得如所设几何十六为首十二为尾却云十六与十二之比例若
八与三及二与四之比例八为前之
前四为后之后三为前之后二为后
之前此二比例无可结乃别立同中率之二比例如其八与三二与四之比例如三其八得二十四为前之前三其三得九为前之后即以九为后之前又求得十八为后之后其二十四与九若八与三也九与十八若二与四也则十六与十二若二十四与十八俱为等带半之比例矣
通曰十六内去十二余四为十二三之一当曰等带三之一也
论三角形
一于有界直线上求立平边三角形如甲乙线先以甲为心乙为界作丙乙丁圜次以乙为心甲为界作丙甲丁圜两圜相交于丙于丁末自甲至丙丙至乙各作直线即成甲乙丙平边三
角形
二一直线线或内或外有一防求以防为界作直线与元线等如甲防乙丙线先以丙为心乙为界作丙乙圜
次观甲防若在丙乙外则自
甲至丙作线如上图或在丙
乙内则截取甲至丙一分线
如下图俱以甲丙为底作甲丁丙平边三角形次引丁丙至丙乙圜界为丙戊引丁甲出丙乙圜外至己为甲己乃以丁为心戊为界作丁戊圜其甲己线与丁戊圜相交于庚即甲庚线与乙丙线等
三两直线一长一短求于长线减去短线之度如甲短线乙丙长线先引乙至别界作乙丁线与甲等乃以乙为心丁为界作圜交乙丙线于戊
则戊丙为余也
四两三角形若两腰线各等各两腰间之角等则底必等
五三角形若两腰等则底线两端之两角等而两腰引出之其底外两角必等
六三角形若底线两端之两角等则两腰必等
七一线为底出两腰线其相遇止一防不得别有腰线与元腰线等如甲乙底于甲于乙各出一线至丙相遇此一定之处也若至丁则不与元
腰线甲丙等矣
八两三角形若两腰两底俱等则两腰间角必等九有直线角求两平分如乙甲丙角先于甲乙线任截一分为甲丁亦截甲戊与甲丁等作丁戊直线次以丁戊为底倒立丁戊己平边三角形
再作甲己直线即得
通曰乙丙底作甲己垂线亦得
十有界线求两平分如右图乙丙线以乙丙为底作甲乙丙两边等三角形两平分之得甲己直线即分乙丙线于己
十一一直线任于一防上求作垂线如甲乙线上任指一防于丙先于丙之左右各截一界为丁为戊次以丁戊为底作丁己戊两边等角形再作己
丙直线即己丙为甲乙之垂线若欲于甲防立垂线则任取丙防立丁丙垂线乃以甲丙丁角平分得丙己线次以甲丙为度截戊丙又于戊上立垂
线与己丙线相遇于庚再作庚甲直线即得
十二无界直线外有一防求于防上作垂线至直线上如甲乙线外有丙防先以丙为心作圜令两交于甲乙线为丁为戊次从丁戊各作直线至丙
又两平分丁戊线于己作丙己线即甲乙之垂线也又法于甲乙线上近甲近乙任取一防为心以丙为界作一圜界于丙防及相望
处各稍引长之次于甲乙线上视前心或相望如上图或进或退如下图任移一防为心以丙为界作一圜界交处得丁乃作丙丁垂线
十三一直线至他直线上所作两角非直角即等于两直角如甲线下至丙丁线遇于乙其甲乙丙钝角与甲乙丁锐角相并必等于戊乙丙戊乙丁
两直角
十四一直线于线上一防出不同方两直线偕元线毎旁作两角若每旁两角与两直角等即后出两线为一直线如甲乙线于丙防左出丙丁线右
出丙戊线若甲丙戊甲丙丁两角与两直角等则丁丙丙戊必成丁戊一直线
十五凡两直线相交作四角每两交角必等如甲乙与丙丁两线相交于戊则甲戊丙角与丁戊乙角必等甲戊丁角与丙戊乙角必等
十六凡三角形之外角必大于相对之各角如甲乙丙角形引乙甲至丁则外角丁甲丙必大于相对之内角甲乙丙甲丙乙引丙甲至戊其外角戊甲乙亦大
通曰此不论乙甲丙角也葢有时丁甲丙角反
小于乙甲丙角故不论
十七凡三角形之每两角必小于两直角如甲乙丙角形甲乙丙甲丙乙两角并小于戊乙丁戊乙丙两直角丙甲乙甲乙丙两角亦小甲丙乙丙甲
乙两角亦小
十八凡三角形大边对大角小边对小角如甲乙丙角形甲乙边大于甲丙丙乙两边则甲乙边所对之甲丙乙角必大甲丙边所对之乙角乙丙边
所对之甲角皆小
十九凡三角形大角对大边小角对小边
二十凡三角形之两边并之必大于一边
二十一凡三角形于一边之两界出两线作小三角形于内则内形两腰并必小于外相对两腰而内所作角必大于外相对角如甲乙丙角形于乙
丙边之两界作丁乙丙小角形则丁丙丁乙两线并必小于甲乙甲丙并而乙丁丙角必大于乙甲丙
角
二十二三直线求作三角形其每两线并大于一线如甲乙丙三边先任作丁戊线长于三线并次以甲为度截丁己以乙为度截己庚以丙为度截庚辛乃以己为心丁为界作丁壬癸圜
以庚为心辛为界作辛壬癸圜两圜相遇于壬于癸再以庚己为底作癸庚癸己两直线即得己癸庚三角形若两线并与其一线或等或小即不能成三角形也
通曰若庚防在丁壬圜内及庚防虽在
丁壬圜外而两圜不交皆不能成三角形也
二十三一直线任于一防上求作一角与所设角等如
甲乙线与设丁戊己角先于戊丁任
取庚防于戊己任取辛防作庚辛线
次将甲乙线依庚戊戊辛辛庚度用右法作壬丙癸角形与丁戊角等
通曰壬丙等庚戊丙癸等戊辛癸壬等辛庚即右之甲乙丙三线也
二十四两三角形相当两腰各等若一形腰间角大则底亦大如甲乙甲丙两腰与丁戊丁己两腰左右各等若甲角大于丁角其乙丙底必大于戊己底
二十五两三角形相当两腰各等若一形底大则腰间角亦大
二十六两三角形相当之两角等及相当之一边等则余两边必等余一角亦等其一边不论在两角之内及一角之对
二十七两直线有他直线交加其上若相对内两角等则两直线必平行如甲乙丙丁两线加戊己线交于庚辛而甲庚辛角与丁辛庚角等则甲乙丙丁两线必平行
二十八两直线有他直线交加其上若外角与同方相对之内角等或同方两内角与两直角等其两直线必平行如甲乙丙丁两线加戊己线
交于庚辛其戊庚甲外角与庚辛丙内角等或甲庚辛丙辛庚两内角与两直角等则甲乙丙丁两线必平行二十九两平行线有他直线交加其上则内相对两角必等外角与同方相对之内角亦等同方两内角亦与两直角等
三十两直线与他直线平行则元两线亦平行【此论同面不同面线后别有论】如甲乙丙丁两线与戊己平行则甲乙
与丙丁亦平行
三十一一防上求作直线与所设直线平行如甲防与乙丙线先从甲向乙丙线任指丁防作甲丁线成甲丁乙角次于甲作戊甲丁角与甲丁乙角
等再引戊甲至己则己戊线与乙丙平行又法作甲丁线以丁为心任作戊己圜界次用元度以甲为心作庚辛圜界稍长于戊己乃取戊己为度截取庚辛再作甲辛线各引长之即得用法设丙角甲乙两线求作有法四边形先作丁己庚角与丙角等次截己庚与甲等丁己与乙等再依丁己平
行作戊庚己庚平行作丁戊即得
三十二凡三角形之外角与相对之内两角并等三角形之内三角并与两直角等如甲乙丙角形引乙丙至丁则甲丙丁外角与内甲乙两角并等
又甲乙丙三角并如甲丙丁角既等于甲乙两角又加丙甲岂不与戊丙乙戊丙丁两直角等乎从此推之如后图甲当两直角乙当四直角丙当六直角
丁当八直角自此可至无穷其多
边求当几直角者以其所有之边内减二倍其余即得如丁形六边减二存四倍八故知当八直角也 凡诸种角形之三角并俱相等 凡两腰等角形若腰间直角则余两角每当直角之半腰间钝角则余两角俱小于半直角腰间锐角则余两角俱大于半直角 平边角形每角当直角三分之二 平边角形若从一角向对边作垂线分为两角形此分形各有一直角在垂线下两旁则垂线上两旁角毎当直角三分之一其余两角每当直角三分之二
三十三两平行相等线之界有两线聫之其两线亦平行亦相等如甲丙乙丁两平行相等线有甲乙丙丁两线聫之则甲乙丙丁亦平行相等线
三十四凡平行线方形毎相对两边线各等每相对两角各等对角线分本形两平分
三十五两平行方形若同在平行线内又同底则两形等如甲乙丙丁两平行线内有丙丁戊甲丙
丁乙己两平行方形同丙丁底则此二形等或戊己同防其甲戊丁丙戊乙丁丙两形亦等或己在戊外其丙丁戊甲丙丁乙己两
形亦等此言形等者非腰等角等乃所函之地等也后言形等者仿此
三十六两平行线内有两平行方形若底等则形亦等三十七两平行线内有两三角形若同底则两形必等如甲乙丙丁两平行线内有甲丙丁乙丙丁两三角形
同丙丁底则两形等
三十八两平行线内有两三角形若底等则两形必等又凡角形任于一边任作一防求从防分本形为两平分如取丁防先向甲角作直线次平分
乙丙于戊作戊己线与甲丁平行末作己丁直线即分本形为两平分
三十九两三角形其底同其形等必在两平行线内如甲乙丙形与丁丙乙形同乙丙底而两形复等则自丁
至甲作直线必与乙丙平行
四十两三角形其底等其形等必在两平行线内四十一两平行线内有一平行方形一三角形同底则方形倍大于三角形如甲乙丙丁两平行线内有甲丙戊丁方形乙丁丙三角形同丙丁底则
方形必倍大于角形
四十二有三角形求作平行方形与之等而方形角与所设角等如甲乙丙角形先两平分乙丙边于戊作丙戊己角与所设丁角等次自甲作直线与乙丙平行而遇戊己线于己末自丙作直线与戊己
平行为丙庚得己戊丙庚平行方形与甲乙丙角形等四十三凡方形对角线旁两余方形自相等如甲乙丙丁方形有甲丙对角线则两旁之乙壬庚戊与庚己丁辛两形必等
四十四一直线上求作平行方形与所设三角形等而方形角有与所设角等如甲线乙角形丙角先作丁戊己庚平行方形与乙角形等而戊己庚角与丙角等次引庚己至辛作己辛线与甲线等次作辛壬线与戊己平行又引丁戊至壬次自壬至己作对角线引出至癸又引丁
庚至癸相遇再作癸子线与庚辛平行又引壬辛至子引戊己至丑得巳丑子辛平行方形如求与乙角形等四十五有多边直线形求作一平行方形与之等而方形角有与所设角等如甲乙丙五边形丁角先分五边形为甲乙丙三其三角形次作戊己庚辛平行方形与甲等而有丁角次于戊
辛己庚两平行线引长之作庚辛壬癸平行方形与乙等又引前线作壬癸子丑平行方形与丙等并为戊己子丑平行方形与五边形等而有丁角
又甲与乙两直线形不等甲大乙小以乙减甲求较几何先任作丁丙己戊平行方
形与甲等次于丙丁线上依丁角作丁丙辛庚平行方形与乙等得辛庚戊己平行方形为相减之较矣四十六一直线上求立直角方形如丙丁线上两界各立垂线甲丙乙丁与丙丁等再作甲乙线即得
四十七凡三边直角形对直角边上所作直角方形与余两边上所作两直角方形并等如甲乙丙角形甲为直角对甲之乙丙边上作子直角
方形与甲丙甲乙两边所作丑寅两直角方形并等通曰此幂内有勾股二幂也乙丙也
又凡直角方形之对角线如甲丙则甲丙线上
所作直角方形必倍大于甲乙丙丁形
又设不等两直角方形一以甲为边一以乙为边求别作两直角方形自相等并之又与
元设两形并等先作丙戊线与甲等次作戊丙丁直角而丙丁与乙等作戊丁线相聫再于丁戊两角各作一角皆半于直角者为己戊己丁相等而遇于己则己戊己丁两线上所作两直角方形自相等而并之又与丙戊丙丁两线上所作两直角方形并等其曰半直角者己戊丁半于庚戊丁己丁戊半于辛丁戊也
又多直角方形求并作一直角方形
与之等如五直角方形以甲乙丙丁
戊为边先作己庚辛直角而己庚线
与甲等庚辛线与乙等次作己辛线即作己辛壬直角而壬辛与丙等次作壬己线即作己壬癸直角而壬癸与丁等次作己癸线即作己癸子直角而癸子与戊等末作己子线于此线上作直角方形如求
四十八凡三角形之一边上所作直角方形与余边所作两直角方形并等则对一边之角必直角
论线
一两直线任以一线任分为若干分其两元线矩内直角形与不分线偕诸分线矩内直角形并等如甲乙乙丙两线以乙丙三分之为乙庚庚戊戊丙则甲乙偕乙丙之矩线内直角形与甲乙偕乙
庚甲乙偕庚戊甲乙偕戊丙三矩线内直角形并等二一直线任两分之其元线上直角方形与元线偕两分线两矩内直角形并必等如甲乙线任两分于丙则甲乙上直角方形与甲乙偕甲丙甲乙
偕丙乙两矩线内直角形并等
三一直线任两分之其元线任偕一分线矩内直角形与分余线偕一分线矩内直角形及一分线上直角方形并等如甲乙线分于丙甲乙偕甲丙矩内直角形与分余丙乙偕甲丙矩内直角形及甲丙上直角方形并必等或如后图甲乙偕丙乙矩内直角形与分余甲丙偕丙乙矩内直角形及
丙乙上直角方形并亦等
四一直线任两分之其元线上直角方形与各分上两直角方形及两分互偕矩线内直角形并等如甲乙线分于丙甲乙线上直角方形与甲
丙丙乙线上两直角方形及甲丙偕丙乙丙乙偕甲丙
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍,附録 几何约>甲丙上及分内线丙丁上两直角方形相并成庚辛丁磬折形盖子与子等丑寅与丑寅等卯辰与卯辰等故也
十一直线两平分之又任引增一线共为一全线其全线上及引増线上两直角方形并倍大于平分半线上及分余半线偕引增线上两直角方形并
通曰如甲乙线平分于丙又任引增为乙丁则甲丁线上直角方形如丁戊者与乙丁线上直角方形如乙己者相并成戊己乙磬折形倍大于甲丙线上直角方形如甲庚者与丙丁线上直角方形如辛丙者相并成辛庚甲磬折形盖子丑与子丑等寅卯与寅卯等故也
十一 一直线求两分之而元线偕初分线矩内直角形与分余线上直角方形等如甲乙线先作甲丙直角方形次以甲丁平分于戊作戊乙线
从戊甲引至己令戊己与戊乙等乃于甲乙线截取甲庚与甲己等则甲乙偕庚乙矩线内直角形与甲庚上直角方形等
十二三边钝角形之对钝角边上直角方形大于余边上两直角方形并之较为钝角旁任用一边偕其引増线之与对角所下垂线相遇者矩内直角形二如甲乙丙形乙为钝角从余角如甲下一垂线与钝角旁一边如丙乙引长之遇于丁为直角则对钝角之甲丙边上直角方形大于甲乙乙丙边上两
直角方形并之较为丙乙偕乙丁矩内直角形二反说之则甲乙乙丙上两直角方形及丙乙偕乙丁矩线内直角形二相并与甲丙上直角方形等
十三三边锐角形之对锐角边上直角方形小于余边上两直角方形并之较为锐角旁任用一边偕其对角所下垂线旁之近锐角分线矩内直角形二如甲乙丙三边锐角形从一角如甲向对边乙丙下一垂线分乙丙于丁则甲丙乙锐角
之相对甲乙边上直角方形小于乙丙甲丙边上两直角方形并之较为乙丙偕丁丙矩线内直角形二反说之则乙丙甲丙上两直角方形并与甲乙上直角方形及乙丙偕丁丙矩线内直角形二并等
十四有直线形求作直角方形与之等如甲无法四边形先作乙丁形与之等而直角次任用一边引长之如丁丙引至己而丙己与乙丙等次以丁己两平分于庚其庚防若在丙即乙丁是直角方形与甲等矣若庚防在
丙外则以庚为心丁己为界作丁辛己半圜再从乙丙线引长之遇圜界于辛即丙辛上直角方形与甲等又直角方形之对角线所长于本形边之较为甲乙而求本形边先于甲乙上作甲丙直
角方形次作乙丁对角线又引长之为丁戊线而丁戊与甲丁等即得乙戊线如求
论圜
一有圜求防其心如甲乙丙丁圜先于圜之两界任作一甲丙直线次两平分于戊再于戊上作乙丁垂线两平分于己己即圜心因显圜内有直线
分他线为两平分而作直角即圜心在其内
二圜界任取二防以直线相聨则直线全在圜内三直线过圜心分他直线为两平分其分处必为两直角为两直角必两平分如乙丙丁圜有丙戊线过甲心分乙丁线为两平分则己旁必两直角
甲己为垂线故也
四圜内不过心两直线相交不得俱为两平分如甲丙乙丁圜内有甲乙丙丁两直线俱不过己心而交于戊若甲乙为两平分则丁丙不得两平分
若一过心一不过心即两线亦不得俱为两平分五两圜相交必有同心
六两圜内相切必不同心
七圜径离心任取一防从防至圜界任出几线其过心最大不过心最小余线愈近心者愈大愈近不过心者愈小诸线中止两线等如甲丙丁戊乙圜其径甲乙其心己离心任取一防为庚从庚至圜界
任出几线为庚丙庚丁庚戊庚乙庚甲惟过心庚甲最大不过心庚乙最小庚丙大于庚丁庚丁大于庚戊而庚乙两旁止可出两线等如庚辛等庚戊庚壬等庚丁也
八圜外任取一防从防任出几线其至规内则过圜心线最大余线愈离心愈小其至规外则过圜心线为径之余者最小余线愈近径余愈小而诸线中止两线等
如乙己壬圜之外从甲防任出几
线其一为过癸心之甲壬其余为
甲辛甲庚甲己皆至规内则过心
之甲壬最大近心之甲辛大于甲
庚甲己最小规外之甲乙为乙壬径余者最小近径余之甲丙小于甲丁甲戊为大矣甲乙丙旁止可出两线等如甲子等甲丙也
九圜内从一防至界作三线以上皆等即此防必圜心如从甲防至乙丙丁作三线为甲乙甲丙甲丁若三线等则甲防必圜心
十两圜相交止于两防
十一两圜内相切作直线聫两心引出之必至切界如甲乙丙甲丁戊两圜内切于甲己为甲乙丙之心庚为甲丁戊之心作己庚直线聫两心又引
己至圜界必至相切之甲防
十二两圜外相切以直线聫两心必过切界如甲乙两圜外切于丁甲心为丙乙心为戊作丙戊直线聫之必过丁界
十三圜相切不论内外止于一防
十四圜内两直线等即距心之逺近等距心逺近等即两直线等如甲乙丙丁圜心戊圜内甲乙丁丙两线等则庚戊己戊逺近必等
十五径为圜内之大线其余线近心大于逺心
十六圜径末之直角线全在圜外而直线偕圜界所作切边角不得更作一直线入其内其半圜分角大于各直线锐角切边角小于各直线锐角如甲丙径末之甲戊垂线全在圜外戊甲垂线偕乙甲圜
界所作切边角不得更作一直线入其内丙甲线偕乙甲圜界所作丙甲乙圜分角大于各直线锐角而戊甲线偕乙甲圜界所作切边角小于各直线锐角又有两种几何一大一小以小率半増之递增至于无穷以大率半减之递减至于无穷其元大者恒大元小者恒小
如后图直线切圜之戊甲乙切边角
为小率壬庚辛直线锐角为大率今
别作甲丙甲丁各圜俱切戊己线于
甲其切边角愈增愈大别以庚癸庚子线作角分壬庚辛角于庚愈分愈小恒大恒小终不得相比
又甲丙径甲不动引丙线向己渐移其所经乙丁戊中间无数凡割圜皆为锐角即小于半圜
分角才离锐角便为直角即大于半圜分角是所经无数线终无有相等线也又直线锐角皆小于半圜分角直角钝角皆大于半圜分角是大小终无等也
十七设一防一圜求从防作切线如甲防与乙丙圜其圜心丁先从甲作甲丁直线截圜于乙次以丁为心甲为界作甲戊圜乃作甲丁之垂线为乙戊遇甲戊圜于戊又作戊丁直线截乙丙圜于丙再作甲丙直线即切乙丙圜于丙也
十八直线切圜从圜心作直线至切界必为切线之垂线
十九直线切圜圜内作切线之垂线则圜心必在垂线之内
二十负圜角与分圜角所负所分之圜分同则分圜角必倍大于负圜角如甲乙丙圜其心丁有乙丁丙分圜角乙甲丙负圜角同以乙丙圜分为底
则乙丁丙角倍大于乙甲丙角
又乙丁丁丙不作角于心或如上图为半圜或如下图为小半圜则丁心外余
地为乙丁戊戊丁丙两角倍大于同乙丁丙之底负圜角为乙甲丙角也
二十一凡同圜分内所作负圜角俱等如丁甲乙丙圜
分内不论此为大分小分函心不函
心但分内任作丁甲丙丁乙丙两角
必等
二十二圜内切界四边形每相对两角并与两直角等如圜心为戊圜内有甲乙丙丁四边形则甲乙丙丙丁甲两角并或乙丙丁丁
甲乙两角并与两直角必等
二十三一直线上作两圜分不得相似而不相等二十四相等两直线上作相似两圜分必等如甲乙丁戊两等直线上作甲丙乙丁己戊两相似
圜分必等
二十五有圜之分求成圜如甲乙丙圜分先作甲丙线
次作乙丁为甲丙之垂线丁即分甲
丙为两平分次作甲乙线须视丁乙
甲角或大于丁甲乙角或小或等若大则甲乙丙当为圜小分也即作乙甲戊角与丁乙甲角等次引乙丁至戊戊即圜心若丁乙甲角小于丁甲乙角则甲乙丙当为圜大分也即作乙甲戊角与丁乙甲角等戊即圜心若乙甲两角正等则甲乙丙当为半圜分丁即圜心矣又法于甲乙丙圜分任取三防于甲于乙于丙以两直线聫之各两平分于丁于戊从丁从戊作甲乙乙丙之各垂线为己丁为己戊而相遇于己即己为圜心又法任取四防为甲为乙为丙为丁每两防各自为心相向各任作圜分四圜分两相交于戊于己于庚于辛从戊己从庚辛各作
直线引长之交于壬即壬为圜心
二十六等圜之乗圜分角或在心或在界等其所乗之圜分亦等如在心者为甲庚丙丁辛己两角等在界者为甲乙丙丁戊己两角
等其甲丙丁己两圜分必等
二十七等圜之角所乗圜分等则其角或在心在界俱等此反前题也如甲丁乙丙两直线在一圜内而不相交其相去之甲乙丁丙两圜分等则两
线必平行
二十八等圜内之直线等则其割本圜之分大与大小与小各等
二十九等圜之圜分等则其割圜分之直线亦等三十有圜之分求两平分之如甲乙丙圜分先作甲丙线次两平分于丁作乙丁线为甲丙之垂线即分甲乙丙圜为两平分
三十一负半圜角必直角负大分角小于直角负小分角大于直角大圜分角大于直角小圜分角小于直角如甲乙戊丙圜其心丁径甲丙于半圜分内任作甲乙丙角负半圜分乙甲丙角负乙甲丙大
分又任作乙戊丙角负乙戊丙小分则负半圜之甲乙丙为直角负大分之乙甲丙为锐角负小分之乙戊丙为钝角丙乙甲大圜分角大于直角丙乙戊小圜分角小于直角
又凡角形之内一角与两角并等其一角必直角何者其外角与内相对之两角等则与外角等之内交角岂非直角
三十二直线切圜从切界任作直线割圜为两分分内各任为负圜角其切线与割线所作两角与两负圜角交互相等如甲乙线切圜于丙从丙任作丙戊直线不论过己心与不过己心
割圜两分两分内任作丙丁戊丙庚戊两负圜角则甲丙戊角与丙庚戊角等乙丙戊角与丙丁戊角等通曰割线正则左与左等右与右等割线偏则左与右等右与左等盖切线在外割线在内故也
三十三一线上求作圜分而负圜分角与所设直线角等如甲乙线丙直角先以甲乙两平分于丁以丁为心甲乙为界作半圜圜分内作甲戊乙角
即负半圜角为直角而与丙等若丙系锐角先于甲防上作丁甲乙锐角与丙等次作戊甲为甲丁之垂线次作己乙甲角与己甲乙角等乙己线遇甲戊线于己即己乙己甲两线等以己
为心甲为界作圜则甲庚乙圜分内所作负圜角必为锐角而与丙等若丙系钝角如辛者即作壬甲乙钝角与辛等又作戊甲为壬甲之垂线余仿锐角法而于甲乙线上作甲癸乙角即与辛等
三十四设圜求割一分而负圜分角与所设直线角等如甲乙丙圜丁角先作戊己线切圜于甲次作己甲乙角与丁等即割圜之甲乙线上所
作甲丙乙角负甲丙乙圜分而与丁等
三十五圜内两直线交而相分各两分线矩内直角形等如甲乙丙丁两线圜内交于戊若两线俱过心者其各分四线等则甲戊偕戊乙与丙戊偕戊丁两矩内直角形等或丙丁线过心
而甲乙线不过心者或
两线俱不过心者其甲
戊偕戊乙与丙戊偕戊丁两矩内直角形亦等
三十六圜外任取一防从防出两直线一切圜一割圜其割圜全线偕规外线矩内直角形与切圜线上直角方形等如甲乙丙圜外任取丁防从丁作丁乙切圜线而切于乙作丁甲割
线毋论过心不过心而截圜界于丙则甲丁偕丙丁矩内直角形与丁乙上直角方形等
又从圜外甲防作数线至规内各全线偕各规外线如甲戊偕甲丁甲己偕甲丙两矩内直角形必等
又从圜外甲防作两直线切圜如甲乙甲丙
必等亦止可作两线切圜无三线也
三十七圜外任于一防出两直线一至规外一割圜其割圜全线偕割圜之规外线矩内直角形与至规外之线上直角方形等则至规外者必切圜线此反前题也
论圜内外形
一有圜求作合圜线与所设线等此设线不大于圜之径线如甲乙丙圜与丁线其丁线不大于径线若大则不可合矣先作圜径为乙丙若乙丙与丁等者即是合线若丁小于径者即乙丙上截取乙戊与丁等次以乙为心戊为界作甲戊圜交甲乙
丙圜于甲末作甲乙合线即与丁等
通曰甲乙与乙戊等凡两圜相交毋论深浅其一圜之半径必与合圜线等
二有圜求作圜内三角切形与所设三角形等角如甲乙丙圜与设角形先作庚辛线切圜于甲次作庚甲乙角与己角等次作辛甲丙角
与戊角等末作乙丙线即圜内三角切形与所设形之三角各等甲等丁乙等戊丙等己也
通曰凡三角形并三角为一处必成直线盖圜外切线自切界出两线入规内分切处为
三角并此三角必与设形三角相并等也
三有圜求作圜外三角切形与所设三角形等角如图先于戊己一边引长之为庚辛次于圜界抵心作甲壬线次作甲壬乙角与丁戊庚
角等次作乙壬丙角与丁己辛角等次于甲乙丙上作癸子子丑丑癸三垂线切圜而令角上相遇则癸子丑三角与设形之丁戊己三角各等
四三角形求作形内切圜如图先以甲乙丙角甲丙乙角各两平分作乙丁丙丁两直线遇于丁自丁至角形之三边各作垂线为丁己丁庚丁
戊以丁为心戊庚己为界作圜切甲乙丙角形之三边五三角形求作形外切圜如图先平分两边分甲丙于
戊甲乙于丁各作垂线为丁己
戊己而遇于己其己防或在形
内或在形外或在乙丙边上再作己甲己丙己乙三线等以己为心甲为界作圜切三角
六有圜求作内切圜直角方形如图作甲丙乙丁两径线直角相交于戊次作甲乙乙丙丙丁丁甲四线即成甲乙丙丁内切圜直角方形
七有圜求作外切圜直角方形如图作甲丙乙丁两径线直角交于戊次于甲乙丙丁作庚己己辛辛壬壬庚四线为两径之垂线而相遇于己
辛壬庚即成己庚壬辛外切圜直角方形
八直角方形求作形内切圜如图以四边各两平分之于戊于己于庚于辛作辛己戊庚两线交于壬以壬为心戊为界作圜如所求
九直角方形求作形外切圜如图作甲丙丁乙对角两线而交于戊以戊为心甲为界作圜如所求通曰方外圆内同径圆外方内方斜为圆径也
十求作两边等三角形而底上两角各倍大于腰间角如图先任作甲乙线次分之于丙其分法须甲乙偕丙乙矩内直角形与甲丙上直角方形等
次以甲为心乙为界作乙丁圜次作乙丁合圜线与甲丙等末作甲丁线相聨其甲乙甲丁等成两边等三角形底上乙丁两角各倍大于甲角
十一有圜求作圜内五边切形其形等边等角如图先作己庚辛两边等角形而庚辛两角各倍大于己角次于圜内作甲丙丁角形与己庚辛角形各等角次以甲丙丁甲丁丙两角各两平分为
丙戊丁乙两线末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五线相聫即得
十二有圜求作圜外五边切形其形等边等角如图先用右法作圜内五边等边等角切形乃从己心作己甲己乙己丙己丁己戊五线再从此五线
作庚辛辛壬壬癸癸子子庚五垂线各界相遇即得十三五边等边等角形求作形内切圜如图先分乙甲戊甲乙丙两角各两平分为己甲己乙两线遇于己又自己作己庚为甲乙之垂线而平分甲
乙于庚再以己为心庚为界作圜如求
十四五边等边等角形求作形外切圜如图分乙甲戊甲乙丙两角各两平分为己甲己乙两线遇于己以己为心甲为界如求
十五有圜求作圜内六边切形其形等边等角如图先作甲丁径线庚为心次以丁为心庚为界作圜两圜相交于丙于戊次从庚心作丙
庚戊庚各引长之为丙己戊乙末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己甲六线相聫即得
又凡圜之半径为六分圜之一之分庚丁与丙丁等也
十六有圜求作圜内十五边切形其形等边等角如图先作甲乙丙内切圜平边三角形与丁等角三边等也次作甲戊己庚辛内切圜五边形等角甲乙圜分之圜界为十五分之
五分甲戊圜分之圜界为十五分之三分戊乙为十五分之二分乙己为十五分之一分也依度作十五合圜线如求盖甲乙圜分为三分圜之一即命三甲戊圜分为五分圜之一即命五三五相乗得十五即知两分法可作十五边形也又如甲乙命三甲戊命五三五相较得二即知戊乙得十五分之二也以此法为例
又从甲防作数形之各一边如甲乙为六边形之一边甲丙为五边形之一边甲丁为四边形之一边甲戊为三边形之一边甲乙命
六甲丙命五较数一乗数三十即知乙丙圜分为所作三十边等边等角形之一边也又如后图甲乙丙与丁戊两圜同己心求于甲乙丙大圜丙作多边切形不至丁戊小圜其多边为偶数而等先从己心作甲丙径线截丁戊圜于戊
从戊作庚辛切线而为甲戊之垂线乃于甲庚丙圜分减半存乙丙又减半存壬丙又减半存癸丙小于庚丙而止作癸丙合圜线此即所求切圜形之一边也
论比例
一此数几何彼数几何此之各率同几倍于彼之各率则此之并率亦几倍于彼之并率如甲乙二几何大于丙丁二几何各三倍则
甲乙并亦大于丙丁并三倍
二六几何其第一倍第二之数等于第三倍第四之数而第五倍第二之数等于第六倍第四之数则第一第五并倍第二之数等于第三第六并倍第四之数如甲乙【一】倍丙【二】之数若丁
戊【三】倍己【四】之数又乙庚【五】倍丙之数若戊辛【六】倍己之数则甲乙乙庚并倍丙之数若丁戊戊辛并倍己之数
三四几何其第一之倍于第二若第三之倍于第四次
倍第一又倍第三其数等则第一所
倍之与第二若第三所倍之与第四
如甲【一】所倍于乙【二】若丙【三】所倍于丁【四】次作戊己两几何同若干倍于甲于丙则以平理推之戊倍乙之数若己倍丁
四四几何其第一与二偕第三与四比例等第一第三同任为若干倍第二第四同任为若干倍则第一所倍与第二所倍第三所倍与第四所倍比例等如甲【一】与乙【二】偕丙【三】与丁【四】比
例等作戊与己同任若干倍于甲丙别作庚与辛同任若干倍于乙丁则戊与庚偕己与辛比例亦等
五大小两几何此全所倍于彼全若此全截取之分所倍于彼全截取之分则此全之分余所倍于彼全之分余亦如之如甲乙大几何倍于丙丁小几何若所截之甲戊倍于丙己则分余之戊
乙亦倍于己丁
六此两几何各倍于彼两几何其数等于此两几何每减一分其一分之各倍于所当彼几何其数等则其分余或各与彼几何等或尚各倍于彼几何其数亦等如甲乙丙丁两几何各倍
于戊己两几何其数等减甲庚丙辛若所减之倍戊己等则所余之倍等戊己亦等
七此两几何等则与彼几何各为比例必等而彼几何与此相等之两几何各为比例亦等如甲乙两几何等彼几何丙不论其等大小于甲乙
则甲与丙偕乙与丙各为比例必等即丙与甲偕丙与乙各为比例亦等
八大小两几何各与他几何为比例则大与他之比例大于小与他之比例而他与小之比例大于他与大之比例如甲大乙小又有丙不论其等大小于甲乙则甲与丙之比例大于乙与丙之比例
丙与乙亦大于丙与甲
九两几何与一几何各为比例而等则两几何必等一几何与两几何各为比例而等则两几何亦等如甲乙两几何各与丙为比例等或丙几
何与甲与乙各为比例等则甲与乙必等
十彼此两几何此几何与他几何之比例大于彼与他之比例则此几何大于彼他几何与彼几何之比例大于他与此之比例则彼几何小于此如甲乙两几何又有他几何丙若甲与丙之比例大
于乙与丙则甲大于乙若丙与乙之比例大于丙与甲则乙小于甲
十一此两几何之比例与他两几何之比例等而彼两几何之比例与他两几何之比例亦等则彼两几何之比例与此两几何之比例亦等如甲乙偕丙丁之比例各与戊己之比例等则甲乙
与丙丁之比例亦等
十二数几何所为比例皆等则并前率与并后率之比例若各前率与各后率之比例如甲乙丙丁戊己数几何所为比例皆等者甲与乙若丙与丁丙与丁若戊与己也则甲丙戊诸前率并与
乙丁己诸后率并之比例若甲与乙丙与丁戊与己各前各后之比例也
十三数几何第一与二之比例若第三与四之比例而第三与四之比例大于第五与六之比例则第一与二之比例亦大于第五与六之
比例如甲【一】与乙【二】之比例若丙【三】与丁【四】而丙丁之比例大于戊【五】与己【六】则甲乙之比例亦大于戊己十四四几何第一与二之比例若第三与四之比例而第一大于三则第二亦大于四第一或等小于三则第二亦等小于三
十五两分之比例与两多分并之比例等如甲与乙同任倍之为丙丁为戊己则丙丁与戊己之比例若甲与乙
十六四几何为两比例等即更推前与前后与后为比例亦等如甲乙丙丁四几何甲与乙之比例若丙与丁更推之则甲与丙之比例亦
若乙与丁
十七相合之两几何为比例等则分之为比例亦等如甲乙合丁乙丙戊合己戊其甲乙与丁乙之比例若丙戊与己戊分之甲丁与丁乙亦若
丙己与己戊
十八两几何分之为比例等则合之为比例亦等此即反前题之说也
十九两几何各截取一分其所截取之比例与两全之比例等则分余之比例与两全之比例亦等如甲乙全与丙丁全之比例若截甲戊与丙己则余戊乙与己丁之比例亦若甲乙与丙丁又甲乙
与戊乙若丙丁与己丁即转推甲乙与甲戊若丙丁与丙己也
二十有三几何又有三几何相为连比例而第一几何大于第三则第四亦大于第六第一或等小于第三则第四亦等小于第六如甲乙丙三几何丁戊己三几何
其甲与乙之比例若丁与戊乙与丙
之比例若戊与己如甲大于丙丁亦
大于己甲丙等丁己亦等甲小于丙
丁亦小于己
二十一有三几何又有三几何相为连比例而错以平理推之若第一几何大于第三则第四亦大于第六第
一或等小于第三则第四亦等小于
第六如甲乙丙三几何丁戊己三几
何相为连比例不序不序者甲与乙
若戊与己乙与丙若丁与戊也以平理推之若甲大于于丙丁亦大于己甲丙等丁己亦等甲小于丙丁亦小于己
二十二有若干几何又有若干几何其数等相为连比例则以平理推如有甲乙丙又有丁戊己而甲与乙之比例若丁与戊乙与丙若戊与己
以平理推甲与丙之比例若丁与己
二十三若干几何又若干几何相为连比例而错亦以平理推如甲乙丙又丁戊己相为连比例而错者甲与乙若戊与己乙与丙若丁与戊以平理推甲与丙之比例亦若丁与己
二十四凡第一与二几何之比例若第三与四几何之比例而第五与二之比例若第六与四则第一第五并与二之比例若第三第六并与四如甲乙【一】与丙【二】若丁戊【三】与己【四】而乙庚【五】与
丙若戊辛【六】与己则甲乙乙庚并与丙若丁戊戊辛并与己
二十五四几何为断比例则最大与最小两几何并大于余两几何并如甲与乙若丙与丁甲最大丁最小则甲与丁并大于丙与乙并也
二十六第一与二之比例大于第三与四之比例反之则第二与一之比例小于第四与三之比例如甲【一】与乙【二】之比例大于丙【三】与丁【四】反
之则乙与甲之比例小于丁与丙
二十七第一与二之比例大于第三与四之比例更之则第一与三之比例亦大于第二与四之比例如甲【一】与乙【二】之比例大于丙【三】与丁【四】
更之则甲与丙之比例亦大于乙与丁
二十八第一与二之比例大于第三与四之比例合之则第一第二并与二之比例亦大于第三第四并与四之比例如甲乙【一】与乙丙【二】之比例大于丁戊三与戊己【四】合之则甲丙与乙丙之比例亦大
于丁己与戊己
二十九第一合第二与二之比例大于第三合第四与四之比例分之则第一与二之比例亦大于第三与四之比例此反前题之说也
三十第一合第二与二之比例大于第三合第四与四之比例转之则第一合第二与一之比例小于第三合第四与三之比例如甲丙与乙丙之比例大于丁己与戊己转之则甲丙与甲乙之比例小于
丁己于丁戊
三十一此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第一与二之比例此第二与三之比例大于彼第二与三之比例如是序者以平理推则此第一与三之比例亦大于彼第一与三之比
例如甲乙丙此三几何丁戊己彼三几何而甲与乙之比例大于丁与戊乙与丙之比例大于戊与己如是序者以平理推则甲与丙之比例亦大于丁与己
三十二此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第二与三之比例此第二与三之比例大于彼第一与二之比例如是错者以平理推则此第一与三之比例亦大于彼第一与三之比例如此甲乙丙彼丁戊己而甲与乙之比例大于戊与
己乙与丙之比例大于丁与戊如是错者以平理推则甲与丙之比例亦大于丁与己
三十三此全与彼全之比例大于此全截分与彼全截分之比例则此全分余与彼全分余之比例大于此全与彼全之比例如甲乙全与丙丁全之比例大于两截分甲戊与丙己则两分余戊乙与
己丁之比例大于甲乙与丙丁
三十四若干几何又有若干几何其数等而此第一与彼第一之比例大于此第二与彼第二之比例此第二与彼第二之比例大于此第三与彼第三之比例以后俱如是则此并与彼并之比例大于此末与彼末之比例亦大于此并减第一与彼并减第一之比例而小于此第一与彼第一之比例如甲乙丙又丁戊己其甲与丁之比例大于乙与戊乙与戊之比例大于丙与己则甲乙丙并与丁戊己并之比例
大于丙与己亦大于乙丙并与戊己并但小于甲与丁也
通曰比称数等者是数等也凡称比例等者非数等也数不等而比例等也
论线面之比例
一等髙之三角形方形自相与为比例与其底之比例等如甲乙丙丁戊己两三角形等髙其底乙丙戊己如庚丙戊辛两方形等髙其底乙丙戊己则甲乙丙与丁戊己之比例庚丙与戊辛之比例皆若
乙丙与戊己
又甲乙丙与丁戊己两角形甲庚乙丙与丁戊己辛两方形其底乙丙与戊己
等则甲乙丙与丁戊己两角形之比例甲庚乙丙与丁戊己辛两方形之比例皆若甲壬与丁癸之髙之比例也
二三角形任依一边作平行线即此线分两余边以为比例必等三角形内有一边分两边以为比例而等即此线与余边为平行如甲乙丙角形作丁戊与乙丙平行线于形内则甲丁与丁乙之比例若甲戊与戊丙反言之甲丁与丁乙甲戊与戊丙比例若
等则丁戊与乙丙两线必平行
三三角形任以直线分一角为两平分而分对角边为两分则两分之比例若余两边之比例三角形分角之线所分对角边之比例若余两边则所分角为两平分如甲乙丙角形以甲丁线分乙甲丙角
为两平分则乙丁与丁丙之比例若乙甲与甲丙反言亦可
四凡等角三角形其在等角旁之各两腰线相与为比例必等而对等角之边为相似之边如甲乙丙丁丙戊两角形各角俱等则甲乙与乙丙之比例若丁丙与丙戊甲乙与甲丙若丁丙与丁戊甲丙
与丙乙若丁戊与戊丙而每对等角之边各相似相似者谓各前各后率各对本形之相当等角也
又凡角形内之直线如丁戊与乙丙平行则截一分之甲丁戊角形必与甲乙丙全角形相似又甲乙丙角形内作丁戊线与乙丙平行于乙丙边任取己防向甲角作线则乙己与己丙之
比例若丁庚与庚戊
五两三角形其各两边之比例等即两形为等角形而对各相似边之角各等此反前题之说也
六两三角形之一角等而等角旁之各两边比例等即两形为等角形而对各相似边之角各等如两角形之乙与戊两角等而甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己则余角丙与己甲与丁俱等
七两三角形之第一角等而第二相当角各两旁之边比例等其第三相当角或俱小于直角或俱不小于直角即两形为等角形而对各相似边之角各等如两角形之甲与丁角等而第二相当角如丙角两旁之甲丙丙乙两边偕己角两旁之丁
己己戊两边比例等其第三之相当角如乙与戊或俱小俱不小于直角则丙角与己等乙角与戊等
八直角三边形从直角向对边作一垂线分本形为两直角三边形即两形皆与全形相似亦自相似如甲乙丙直角三边形从乙甲丙直角作丁垂线则所分甲丁丙甲丁乙两三边形皆与全形相似亦
自相似同直角也
又从直角作垂线即此线为两分对边线比例之中率而直角旁两边各为对角全边与同方分边比例之中率也
九一直线求截所取之分如甲乙线欲取三分之一先从甲任作甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作所命分之平度如甲丁丁戊戊己为三分也次作己乙直线末作丁庚线与己乙平行即甲庚为甲
乙三分之一
十有直线求截各分如所设之截分如甲乙线先任作甲丙线又作丙乙线相聨乃任分于丁于戊即从丁作丁己从戊作戊庚皆与丙乙平行即分
甲乙线于己于庚若甲丙之分于丁于戊又法如后图甲乙线求五平分任作丙乙线次于乙丙上任取一防作丁戊线与甲乙平行次从丁向戊任作五平分为丁己己庚庚辛辛壬壬癸令小于甲乙次作甲癸子线再作子壬子辛子庚子己四线各引长之即分甲乙于丑于寅于夘于辰为五平分也又法从甲从乙作甲丁乙丙两平行线次从乙任作戊己庚辛四平分次用元度从甲作壬癸子丑四平分末作戊丑己子庚癸
辛壬四线即分甲乙于午于辰于卯于寅为五平分又法先作丙丁戊己两平行线任平分若干格今欲分甲线为五平分即观甲线之度
以一角抵戊一角抵庚辛线如长于庚即渐移之至壬而合即戊壬之分为甲线之分
十一两直线求别作一线相与为连比例如甲乙甲丙两线而甲乙与甲丙之比例若甲丙与他线也先引甲乙为乙丁与甲丙等次作丙乙线次作
丁戊线与丙乙平行次引甲丙至戊即丙戊线为所求又法以甲乙乙丙两线别作甲乙丙直角次以甲丙线聨之次作丙丁为甲丙之垂线末引甲
乙至丁即乙丁线为所求
十二三直线求别作一线相与为断比例如甲乙乙丙甲丁三线而甲乙与乙丙之比例若甲丁与他线也先以甲乙乙丙作一直线为甲丙以甲丁线任作甲角次作丁乙线次作丙戊线与丁乙平行次
引甲丁至戊即丁戊线为所求
十三两直线求别作一线为连比例之中率如甲乙乙丙两线求甲乙与他线之比例若他线与乙丙也先以两线作一直线为甲丙次两平分于戊
次以戊为心甲丙为界作半圜次从乙至圜界作乙丁垂线即乙丁线为中率也
又凡半圜内之垂线皆为两分径线之中率线也又甲乙线大于甲丙二倍以上求两分甲乙而以甲丙为中率者先以甲乙甲丙作丙甲乙直
角平分甲乙于丁以丁为心甲乙为界作半圜次作丙戊与甲乙平行遇圜界于戊次作戊己垂线分甲乙于己即戊己为甲己己乙两分之中率戊己与甲丙等也通曰凡半圜外之切线自等半径以下者皆为全径两分之中率也
十四两平行方形等一角又等即等角旁之两边为互相视之边两平行方形之一角等而等角旁两边为互相视之边即两形等如甲乙丙丁乙戊己庚两平行方形等甲乙丙戊己庚两角又等此
两角各两旁之两边甲乙与乙庚之比例若戊乙与乙丙也反言之亦可
十五相等两三角形之一角等即等角旁之各两边互相视两三角形之一角等而等角旁之各两边互相视即两三角形等如甲乙丙乙丁戊两角形等两乙角又等此等角旁之各两边甲乙与乙戊之
比例若丁乙与乙丙也反言之亦可
十六四直线为断比例即首尾两线矩内直角形与中两线矩内直角形等首尾两线与中两线两矩内直角形等即四线为断比例如甲乙丙丁四线为断比例甲与乙若丙与丁而戊形系甲丁首
尾两线矩内直角形己形系乙丙中两线矩内直角形则戊己两形必等反言之亦可
十七三直线为连比例即首尾两线矩内直角形与中线上直角方形等首尾线矩内直角形与中线上直角方形等即三线为连比例如甲乙丙三线为连比例甲与乙若乙与丙而丁形系甲丙首尾两
线矩内直角形戊形系乙上直角方形则丁戊两形必等反言之亦可
十八直线上求作直线形与所设直线形相似而体势等如甲乙线先设丙丁戊己庚形任从一角向各对角各作直线而分本形为若干角形如作己丙己丁分为丙丁己丁己戊丙己庚
三三角形次于甲乙上作甲壬乙角形与丙己丁等角次作乙壬辛与丁己戊等角又作甲壬癸与丙己庚等
角则甲乙辛壬癸与丙丁戊己庚相
似而体势等矣凡设多角形俱仿此
又法如设甲乙丙丁戊己形求于庚
线上作相似而体势等形先引甲乙
至辛甲丑亦然次从甲向角各作直线为甲壬甲癸甲子次于甲乙线上截取甲辛与庚线等不论其在乙内外末作辛壬与乙丙平行作壬癸与丙丁平行作癸子与丁戊平行作子丑与戊己平行即所求
十九相似三角形之比例为其相似边再加之比例如甲乙丙丁戊己两角形等角乙与戊丙与己相当之角各等而甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己则两形之比例为乙丙与戊己两边再加
之比例也
又凡三直线为连比例即第一线上角形与第二线上角形之比例若第一线与第三线之比例也
二十以三角形分相似之多边直线形则分数必等而相当之各三角形各相似其各相当两三角形之比例若两元形之比例为两相似边再加之比例如此甲乙丙丁戊彼己庚辛壬癸两多边直线形其乙甲戊庚己癸两角等余相当之各
角俱等而各等角旁各两边之比例各等则各以角形分之其分数必等如题所云
又甲线倍大于乙线则甲上方形与乙上方形为四倍大之比例
又凢三直线为连比例其线上多边形一与二之比例若一与三
二十一两直线形各与他直线形相似则自相似二十二四直线为断比例则两比例线上各任作自相似之直线形亦为断比例两比例线上各任作自相似之直线形为断比例则四直线为断比例
二十三等角两平行方形之比例以两形之各两边两比例相结如甲丙丙己两平行方形之乙丙丁戊丙庚两角等则两比例之前率在此形两比
例之后率在彼形如甲丙与丙己之比例以乙丙与丙庚偕丁丙与丙戊相结也或以乙丙与丙戊偕丁丙与丙庚相结此乃不同理之比例也
二十四平行线方形之两角线方形自相似亦与全形相似如甲乙丙丁平行方形作甲丙对角线任作戊己庚辛两线与丁丙乙丙平行而与对角
线交相遇于壬则戊庚己辛两角线方形自相似亦与全形相似
二十五两直线形求作他直线形与一形相似与一形相等如甲乙两形先于甲形任取一边如丙丁上作平行方形与甲等为丙戊次于丁戊边上作平行方形与乙等而丙丁庚己戊辛
俱为直线也次作壬癸线为丙丁丁庚之中率次于壬癸上作子形与甲相似而与乙等
通曰似者形似也等者容等也体势等者非容等也二十六平行方形之内减一平行方形其减形与元形相似而体势等又一角同则减形必依元形之对角线如乙丁形内减戊庚形元形减形相似而体势等又戊甲庚同角则戊庚形必依乙丁形之对
角线
二十七凡依直线之有阙平行方形不满线者其阙形与半线上之阙形相似而体势等则半线上似阙形之有阙依形必大于此有阙依形如甲乙线平分于丙于半线丙乙上任作丙丁戊乙平行方形
对角线乙丁次作甲乙戊辛满元线平行方形即甲丁为甲丙半线上之有阙依形丙戊为丙乙半线上之阙形此两形相似相等体势又等则甲乙线上凡作有阙依形不满线者其阙形与丙戊相似而体势等即甲丙半线上之甲丁有阙依形必大于此有阙依形
二十八一直线求作依线之有阙平行方形与所设直线形等而其阙形与所设平行方形相似其所设直线形不大于半线上所作平行方形与所设平行方形相似者如甲乙线平分于戊于戊乙半线上作戊己庚乙平行方形与丁相似而体势
等次作甲辛庚乙满元线平行方形若甲己平行方形与丙等者即得所求甲己依线之有阙平行方形也戊庚阙形也
二十九一直线求作依线之带余平行方形与所设直线形等而其余形与所设平行方形相似如甲乙线平分于戊于戊乙半线上作戊己庚乙平行方形与丁相似别作平行方形与丙及戊庚并相等为辛形又别作平行方形与辛
等又与丁相似为壬癸子丑形乃引己戊至卯与壬丑等引己庚至寅与壬癸等作夘寅平行方形与申等又引甲乙至酉引庚乙至午引午卯至未又作甲未与己卯平行得甲辰带余平行方形依甲乙线与丙等而酉午为其余形与戊庚形相似即与丁相似也
三十有直线求作理分中末线如甲乙线上作甲丙直角方形次依丁甲边作丁己带余平行方形与甲丙形等而甲己为其余形又与甲丙形相似
则戊己线分甲乙于辛为理分中末线也谓甲乙与甲辛若甲辛与辛乙也
三十一三边直角形之对直角边上一形与直角旁边上两形若相似而体势等则一形与两形并等如甲乙丙三边直角形乙甲丙为直角于乙丙
上任作直线形为丁于甲乙甲丙上亦作己戊两形与丁相似而体势等则丁形与戊乙两形并必等
通曰此勾股半幂相并与半幂等也
三十二两三角形此形之两边与彼形之两边相似而平置两形成一外角若各相似之各两边各平行则其余各一边相聨为一直线如甲乙丙丁丙戊两角形甲乙甲丙边与丁丙丁戊边相似则甲乙与甲丙之比例若丁丙与丁戊也试平置两形令相切
成甲丙丁外角而甲乙与丁丙甲丙与丁戊各平行则乙丙丙戊必一直线
三十三等圜之乗圜分角或在心或在界其各相当两乗圜角之比例皆若所乗两圜分之比例而两分圜形之比例亦若所乗两圜分之比例如两圜等其心为丁为辛各任割一圜分为乙丙为己庚其乗圜角之在心者为乙丁丙己辛庚在界者为
乙甲丙己戊庚则乙丙与己庚两圜分之比例若乙丁丙与己辛庚两角又乙甲丙与己戊庚两角之比例若乙丙与己庚又乙丁丁丙两腰偕乙丙圜分内乙丁丙分圜形与己辛辛庚两腰偕己庚圜分内己辛庚分圜形之比例亦若乙丙与己庚
又凡在圜心两角之比例皆若两分圜形
又在圜心角与四直角之比例若圜心角所乗圜分与全圜界
増题
一圜与圜为其径与径再加之比例如甲乙丙丁戊己两圜其径甲丙丁己则甲乙丙与丁戊己为甲丙与丁己再加之比例
又全圜与全圜半圜与半圜相当分与相当分任相与为比例皆等盖诸比例皆两径再加之比例故也又三边直角形对直角边为径所作圜与余两边为径所作两圜并等半圜与两半圜并等圜分与相似两圜分并等
又三线为连比例以为径所作三圜亦为连比例推此可求各圜之相与为比例者又可以圜求各圜之相与为比例者
二直线形求减所命分其所减所存各作形与所设形相似而体势等如甲形求减三分之一先作丙丁形与甲等与乙相似次任于一边如丙戊上作丙己戊半圜次分丙戊为三分而取其庚戊
一分从庚作己庚为丙戊之垂线次作己丙己戊两线次于己丙己戊上作己辛己壬两形各与乙相似又若于大圜求减所设小圜以圜径当形边法如右又依此可作直角方形与初月形等如甲乙丙丁圜其界上有附圜四分之一为乙壬丙戊初
月形先从乙丙作甲乙丙丁内切圜直角方形次用方形法四平分之即其一为所求方形
三两直线形求别作一直线形为连比例如甲子两形先作戊己庚直线形与甲等与子相似以相似两形之各一边如戊己乙丙为前率中率
线而求其连比例之末率线为辛壬于辛壬上作辛壬癸形与子丑两形相似如求
四三直线形求别作一直线形为断比例如甲丁辛三形先作戊形与甲等与丁相似次以三形之任各一边如壬癸乙丙己庚求其断比
例之末率线为寅卯于寅卯上作寅卯辰形与辛相似如求
五两直线形求别作一形为连比例之中率如甲丁两形先作戊己庚直线形与甲等与丁相似次求戊己乙丙两线之中率为辛壬于辛壬上
作辛壬癸形与戊己乙丙上两形相似即为戊己乙丙两形之中率又法如后图甲乙两形先作丁丙戊己平行线形与甲等次作庚己辛壬平行线形与乙等与丁戊相似以所作两形己角相聨令
丁己壬戊己庚俱成直线再引各边成丙子辛癸平行线形即两余方形俱为丁戊庚壬两形之中率
六一直线形求分作两直线形俱与所设形相似而体势等其比例若所设两几何之比例此与二题之法相同但多乙丙两线之比例耳如先取戊己边两分之于庚令戊庚与庚己之比
例若乙与丙也余用前法
七一直线形求分作两直线形俱与所设形相似而体势等其两分形两相似边之比例若所设两几何之比
例如甲形求分两形俱与丁相似其
两分形两相似之边又与乙与丙之
比例相若先以乙丙两线求其连比例之末率为戊次作己庚辛形与甲等与丁相似次分己辛于壬令己壬与壬辛若乙与戊余同二题之法
八两直线形求并一直线形与所设形相似而体势等如甲乙两形先作戊丁己形与甲等作己庚辛形与乙等又各与所设丙相似次令两形
相似之戊己己辛两边聨为直角次作戊辛线聨之于戊辛上作戊辛壬形与丙相似即与上两形并等也又法作一平行方形与甲乙两形并等又作戊辛壬角形与平行方形等又与丙相似即所求
九圜内两合线交而相分其所分之线彼此互相视如圜内有甲丙乙丁两合线交而相分于戊则所分之甲戊戊丙乙戊戊丁为互相视之线谓甲
戊与戊丁若乙戊与戊丙也又甲戊与乙戊若戊丁与戊丙也
通曰两等线交亦等两不等线交亦不等
十圜外任取一防从防出两直线皆割圜至规内其两全线与两规外线彼此互相视若从防作一切圜线则必为各割圜全线与其规外线之各中率如任取戊防作戊丁戊丙两割圜线则戊丙与戊丁若戊甲与戊乙又戊丙与戊甲若戊丁与戊乙也或有
戊己切圜线则戊丙偕戊乙矩内直角形与戊己上直角方形等即戊丁偕戊甲亦然
十一两直线相遇作角从两腰之各一界互下垂线而每方为两线一自界至相遇处一自界至垂线则各相对之两线皆彼此互相视如甲乙丙乙两线相遇于乙作甲乙丙角从甲作丙乙之垂线从丙作甲乙之垂线若甲乙丙为钝角如甲丁丙戊两垂线至甲乙丙乙之各引出线上而甲戊丙丁交而
相分于乙也若甲乙丙为锐角如甲丁丙戊两垂线在甲乙丙乙之内交而相分于己也则两图之甲乙乙戊丙乙乙丁皆互相视者谓甲乙与乙丙若丁乙与乙戊又甲乙与丁乙若乙丙与乙戊也
十二平行线形内两直线与两边平行相交而分元形为四平行线形此四形任相与为比例皆等如甲丙平行线形内戊己庚辛两线与甲丁丁丙各平行而交于壬则所分之戊庚庚己乙壬壬丙四形
任相与为比例皆等
十三凡四边形之对角两线交而相分其所分四三角形任相与为比例皆等如甲乙丙丁四边形之甲丙乙丁两对角线交相分于戊则所分甲戊丁乙戊丙甲戊乙丁戊丙四三角形任相与为比例皆
等
十四三角形任于一边任取一防从防求作一线分本形为两形其两形之比例若所设两几何之比例如甲乙丙角形任于一边如乙丙上任取一防求丁上作线分本形为两形其两形之比例若所设戊与己也先两分乙丙于庚令乙庚与庚丙之
比例若戊与己其庚与丁若同防即作丁甲线则乙丁甲与丁丙甲两角形之比例若戊与己也假若庚防在丁丙之内亦作丁甲线从庚作庚辛线与丁甲平行次作丁辛相聨即丁辛线分本形为两形其比例若戊与己也又若庚防在乙丁之内亦作丁甲线从庚作庚辛线与丁甲平行次作丁辛相聫即丁辛线分本形为两形其比例若戊与己也
又凡角形任于一边任取一防从防求减命分之一如前法作多倍大之比例即得其所作倍数每少于命分之一如求减四分之一即作三倍大之比例减五分之一即作四倍大之比例也则全形与所减分之比例其倍数若命分之数也
十五一直线形求别作一直线形相似而体势等其小大之比例如所设两几何之比例如甲形先以所设乙丙及任用甲之一边如丁戊三线求其断比例之末率为己次求丁戊及己之中率线为
庚辛乃于庚辛上作壬形与甲相似甲与壬之比例若乙与丙
用此法可依此直线形加作两倍大三四五倍以至无穷之他形亦可减作二分之一三四五分之一以至无穷之他形其此形与他形皆相似而体势等也如甲乙丙丁直角方形求别作五倍大之他形先以甲乙线引长之以甲乙为度截取五分至戊令乙至戊五倍大于甲乙也次以甲戊两平
分于己次以己为心甲戊为界作甲庚戊半圜其乙丙线引之至圜界于庚即乙庚为所求方形之一边也再作庚辛壬乙直角方形即五倍大于甲丙
又凡甲乙上不论何等与乙庚上形相似而体势等者其乙庚上形皆五倍大于甲乙上形相加相减俱仿此以至无穷
十六诸三角形求作内切直角方形如甲乙丙锐角形
先从甲角作甲丁为乙丙之垂线次
以甲丁线两分于戊令甲戊与戊丁
之比例若甲丁与乙丙末从戊作己
庚线与乙丙平行从己从庚作己辛庚壬两线皆与戊丁平行即得己壬形如所求若直角钝角则从直角甲钝角甲作垂线余法同前
又若直角三边形求依乙角作内切直角方形则以垂线甲乙两分于丁令甲丁与丁乙之比
例若甲乙与乙丙次从丁作丁戊线与乙丙平行从戊作戊己线与甲乙平行即得丁己形如求
通曰西学莫精于象数象数莫精于几何余初读三过不解忽秉烛玩之竟夜而悟明日质诸穆师极许可凡制器尚象开物成务以前民用以利出入尽乎此矣故约而记之于此
数度衍附录
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙>
钦定四库全书 子部六
勾股引 天文算法类二【算书之属】提要
【臣】等谨案勾股引五卷
国朝陈訏撰訏字言杨海宁人由贡生官淳安县教谕是书成于康熈六十一年壬寅首载加减乗除之法杂引诸书如加法则从同文算指列位自左而右减法则从梅文鼎笔算列位自上而下易横为直乗法则用程大位算法统宗铺地锦法画格为界除法则用梅文鼎筹算直书列位至定位则又用西人横书之式葢兼采诸法故例不画一至开带纵平方但列较数而不列和数开带纵立方但列带一纵而不列带两纵相同及带两纵不同皆为未备所论勾股诸法谓勾股和自乗方与弦积相减所余之积转减积为股较不知以勾股和自乗积与倍积相减所余为勾股较积不得为勾股较也又谓勾股相乗以勾股较除之亦得容方不知既用勾股容方本法以勾股和除勾积股相乗矣则用此一勾股相乗之积而勾股和与勾股较除之皆得容方无是理也又谓勾股相乗之积为容方者四斜内为容方者两不知勾股形内以为界止容一方试以勾三股四之容方积较尚不及勾股积四分之一而股愈长则容方愈小者更无论矣又谓勾股之长恒两倍于容圆之周不知平圆积以半周除之而得半径勾股相乗积以总和除而得半径根既不同不得牵混为一也如斯之类亦多未协其三角法则全録梅文鼎平三角举要畧加诠释所用八线小表以余线可以正正切正割三线加减得之故不备列其半径止用十万亦测量全义所载泰西之旧表无所发明然算法精防猝不易得其门径此书由浅入深循途开示于初学亦不为无功观其名以引宗防可见録存其説亦足为发轫之津梁也乾隆四十六年十二月恭校上
总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
总校官【臣】陆 费 墀
钦定四库全书
句股引
海寜 陈訏 撰
凡例
六艺数居其一句股又九章之一古周髀积羃今三角八线皆句股法也但不得其门每多望洋是编如童初识之无渐至握管作文或析其数或明其理为入门之始故名勾股引
自筹算法行珠算可废至専用笔算筹亦似可不用宣城梅定九先生有笔算一书备极诸用然其要不过加减乘除四字今止发其端余不辞费葢全帙中皆加减乗除故也
筹算剙自逺西较珠算最为雅便但定位置○殊费推今有诀法有假如简明易晓庶无悮用并列制筹之法用时即不必筹便楮可代
数学之有开方为勾股之所必需平方易立方难今不厌其详务使开卷易明至纵方虽于勾股法不恒用然法尤防奥不可不知故并载焉
勾股为测量诸法之原变化神妙不外叅互一定之数今载唐荆川先生论李凉庵水部论为注释数条足以括其变化有志之士亦在熟之而已
测量法西刻备有成书实与中法无异但文义简奥是编显浅明晰且先列中法后列西法知中法自有勾股以来未尝礼失而求诸野但制器之巧当推西法耳
三率为西法比例所通用凡三角法皆三率法也今附测量之末三角法之前一览了然俾习者易如反掌
三角法即测量全义中所载测三角直线法至梅刻三角举要尤明显矣今备录梅本而于取边取线之所以然或附管见或补图明之
三角八线必检表得度虽弧三角【即西法三角曲线】与平三角防有不同未可据平三角遽为步厯之准然算三角若不得表将何印证但八线表未能备刻今附八线小表虽具体而微然与八线全表无异
元李栾城测圆海镜明顾箬溪为之注释宣城梅定九先生谓止容圆一术引而伸之遂如五花八门想昔时视为絶学今昌运作人算学设馆肄习然
天府之书无从窥见即梅刻诸书亦购觅甚难是编不辞固陋视李顾二书似各法具备且由浅入深人易晓悉譬之江河滥觞之始可涓涓不已以至于海云尔
钦定四库全书
句股引卷一
海寜 陈訏 撰
笔算
【古用珠算今资毫颖凡写法俱左为大右为小其法不外加减乗除其用视筹格】
加
如先有几百几十尺【举尺以例其余】又几百几十几尺又几十几尺俱平写写完用横画为界并之从末小位起每留零数写于本位每满十数即于前位加一防其前位仝先所写数又所加一防直下并之留零数进十数如前法一路并向左去凡满十者不论或百或千或万总之左位比本位多十倍俱称为十也假如一百三十四尺 又九十六尺 又一百七十八尺
四六八八 【从末位并起如四六八为一十八进一防于前左位留八零数写本位】三九七○ 【此三九七同所进一防并之得二十进两防于前左位而本位无零置○】一 一四 【此首位有一一又连两防并之得四竟写四字于下】右共四百○八尺【从左首位至末小位】
减
先从左大位减至右末小位
假如四百○八尺先减一百七十八尺【存二百三十尺】
八 四
○ 三四三
四三二一
又减九十六尺【存一百三十四尺如右】
如再减若干亦同此法
乗
有自乗如以一百七十八乗一百七十八有相乗如以一百七十八乗九十六之类依位数画或方或长格各管所乗之位为纵横式俱左为大右为小又每格斜界从末小位界起为斜式亦左为大右为小斜界之末格为最小之位无可并进其余斜界一路并去留零数于本位而以满一十者进一防于前满二十者进二防如前加法倒并至左写完看末位应是尺是寸逆推而上即得所乗之万千百十
假如自乗以一百七十八乗一百七十八
先写一七八于上【平写】再写一七八于侧【直写】依平位侧位画纵横格【或平位多画长方格或侧位多画直方格】再画斜格【末小位起】
先从右边末位乗起以末位之八乗平写之末位八得六十四写六字于末位斜格之左写四字于右
再以右边之八乗平写中位之七得五十六写五字于下格斜界之左写六字于右
再以右边之八乗平写首位之一得八写八字于下格斜界之右【以上右边之八乘完】
次以右边中位之七乗平写末位之八得五十六写五字于中位斜格之左写六字于右次以右边之七乗平写中位之七得四十九写四字于中格斜界之左写九字于右
次以右边中位之七乗平写之一得一七如七写七字于中格斜界之右【以上右边之七乗完】又以右边之一乗平写末位之八得八写八字于上位斜格之右
次以右边之一乗平写中位之七得七写七字于上位斜格之右
次以右边之一乗平写首位之一得一写一字于上位斜格之右【以上右边之一乗完】
各位俱乗毕将斜界各数并之图具右方右末位是尺乘尺即知四字是尺从尺逆推而上至三字是万位得三万一千六百八十四尺【若以尺乗寸则末位之四是四寸凡两钱斤之类俱同此】
假如相乗图算俱同自乗
除
除与减相似而不同犹加与乗亦相似而不同葢加减止用小九数如二与三为五而乗与除则两字合呼如二三得六也除即九归法列筹除实西法始创先列筹式如左
筹算【附筹式】
【筹每副九根每根九格左为大数右为小数以第一格右边字为某号筹如一字即为一号筹二字即为二号筹算时照为法之数列筹从左而右看列实数近少除之其每筹之背俱合九数面一背必八面二背必七第九号筹之背则虚界斜格无字为法数之○用其除法用法另详】
右每筹九格每格已备所乘之数如一号筹一
一如一 一二如二如第二号筹则第一格即一二如二第二格即二二如四第三格即二三如六第四格即二四如八第五格即二五得一十此一十之一字写在斜格之左为大数第六格即二六得一十二以一字写斜格之左二字写斜格之右凡筹俱左为大数右为小数也其列筹亦分左大右小如法数或系一十九则一号筹列左九号筹列右也凡两筹相并成斜方格其斜方格内之数须合并算满十即进于左位而留零数于本位其在斜方外者不可合也
除取近少
除即珠算之归法如以物求价物为法照物之数列筹价为实共若干价横写数目【亦左边起写至右邉】视列筹某格近少除之【如在第一格除即写一字如在第二格除即写二字为商除之数】所以取近少者盖以法除实必非一除可尽故留余实以便再除
假如做工三百八十四丈用银三千五百七十一两二钱求每丈该银若干以做工为法列三八四筹以银为实横写三五七一二取格之近少除之
右列三八四号筹除实视每格自一格至八格
俱少惟九格之 三四五六与实近少除之因在第九格为初商九余实一一五二视列筹第三格之
【为十一进一防于前】一一五二除实尽为次商三按初商之九写于实首位者因在三号筹左边之字除起【左边是大数即是十位】遇十在本身故第一次除写实之第一位所谓在本身也
右工每丈该银九两三钱
按定位【详后】凡法小实大者从实首顺寻法首而法前得令如工三百较之银三千是为法小实大应实上顺寻法首今实之第二位是百即为法之首位而法前得令则实之第一位是法前而第一位上之初商九乃是九两盖令者两斤尺石之所由起也九既为两则三为钱无疑故贵定位也详后法
置○【开方置○不用此法】
逢单须进位 遇十在本身
退位单仍十 两一位还升
各筹俱右为单位左为十位其左边无字而两筹斜格相并如五与六并为一十一之类则进于十位亦谓之十也此进位之位与本身之身俱指所商之数应写实数上之第几位如初商在第一位次商在二位之类为一定之位而进位则从本位而进于左位也依此写法有不相连接中间空一位者是商数大小相悬应置○也
退位单仍十句即补首句逢单须进位之所未尽盖如同是筹上之单位除实而所除之实位或有用退位除者则虽在筹右格之单位除仍作遇十在本身其所写商数初商在首位次商在次位也
假如实一十一两七钱二分 法二十三石【列筹】列三号三号筹视五格至九格俱浮于实惟退位除则第四格 之九二是零数与一之大数相近故从实首除筹之一十为九除十而于次位还一则所除乃在第二位而书商数于实首位是为单仍十耳然次位除起而实首书商数则依然逢单进位也
两一位还升句承上退位句以申明逢单须进位也谓惟退位除者虽单亦同十耳若实首是一法首亦是一而恰用第一格除实则逢单应书商数于实首一之前位上葢总以筹之左大右小为逢单遇十故前句是退位除者虽在单格亦作十论而在本身置商此句两一是虽或一十一百而在筹格之单位除者亦作单论而在本身前一位置商也
假如实一百五十七两 法一百二十六石列一二六筹在第一格右小位除实则应置商于实本位之前一位
若法实俱是一在左大格除者不宜进位置商假如实一七八二 法一八
列一八筹初次商俱在九格除实俱筹上并进左大位是十位是遇十在本身其商数不宜进位也
右依前法写商数而中间空缺不接连者即○位也
定位
法小实大顺寻法首而于法前得令
假如人参三十五两用价共二百二十七两五钱
求每参一两价若干【以银为实 以参为法】
五 列三号五号筹【此即参为法】除实
七 筹第六格除二十一是遇十在本身写
五 二 六字于实之第一位上余实一七五除第六 二 五格亦遇十在本身写五字于实之第
二位上【除尽】
顺寻法首者如上所列实二百二十七两五钱人参为法是三十五两则十为法首而实之第二位是十为法首位直上所写商数之五即法首位而法前得令令者两也实首直上之六为法前法前得令为六两六既为两则五为钱矣答曰每参一两价银六两五钱
法大实小逆寻法首而于法前得令
假如堤工三百五十用银二十二两七钱五分求每一工该银若干【以银为实以工为法】
列三号五号筹除实同前
法之首是百实之首乃是十是为法大实小当实首十逆推法首百则实之前位即法首位而实前第二位是法前位以之得令为两而顺逓推下则初商之六乃是分位次商之五乃是厘矣答曰每人一工该银六分五厘
又如法愈大实愈小则实前逆寻法首或二○三四○法前得令仝前
假如隄三千四百工共银一十五两三钱求每工该银若干【以银为实以工为法】
实 列三号四号筹除实
三 初商四次商五俱筹上左边除实商数各依遇十在本身写法数千银数十为法大实小从实首十数逆寻法首则实前二位为法首而又于法前得令起两退右挨数则实首上之四为四厘挨右之五为五毫矣
答曰每工四厘五毫
法实等者实首即为法首而于法前得令
法实相等如同是千同是百之类
命分
凡除至单位而止故曰实如法而一所谓一者即单也其除之至单位仍有不尽之余实则以分命之其一除之至尽如钱分厘毫丝忽以次求之其一以法数为分母不尽者为分子命为几分之几
假如十九人分银二百五十四两依商除法已各该一十七两矣不尽七两命之曰十九分两之七【葢以不尽之七剖为七个十九分得一百三十三分以十九人分之各得七分并整数零数为每人分得十七两○十九分两之七】
附约法【厯法用之便于积算余可不必】
凡命分可约者约之古法曰可半者半之不可半者以少减多更相减损求其有等者以等约之西法谓之纽数以等数约母子数则皆除尽【如八十一人分银二十七两不能各得一两并不能各得五钱依命分法命为八十一分两之二十七今以法约之为三之一葢八十一是三个二十七若剖两为八十一分即各得二十七分是三之一也】
【均分法曰置分母八十一用逓减法以分子二十七减之余五十四复以二十七减之余仍二十七两数相同是有等也即用此二十七转除分母得三除分子得一如此不用细分但以每两均剖为三而各得其一分即三人共一两也】
【若分子是五十四则用转减法以子五十四转减母八十一余二十七又以母余二十七转减子五十四亦余二十七是相等也即以此等数为法除母得三除子五四得二是为约得三之二又防法八十一乃九九相乗之数二十七乃三九相乗之数皆九也即可为纽数约之为九分两之三】
当位
筹算求两斤尺石之类竟除近少或即除尽不用当位法惟开方每商后应取两廉约数故如余实一百先取长廉时虽或筹之第一格是一百寜可取第九格除九十以便取长廉也今开方依西法用筹故先附此
右各法俱筹算入门之始从此开方句股三角握算推步无虑紊悮矣【惟开方置○与此不同】
句股引卷一
钦定四库全书
句股引卷二
海寜 陈訏 撰
开方
开方为句股积幂测量步算之源其法取积实归除使均齐方正知每边得若干数其用筹除实视某格为某商若干等类俱如前法有平方大筹立方大筹置廉用散筹
平方开面立方开体皆开除所积之实平方则开平面所积之方故大筹每格止一自乗立方则开立体所积之方故大筹每格其右边直行先平列一自乘数其中左两行虽有斜格而平行每格又以自乗之数与每格之一二三四五六七八九相乗盖如围棋子平方则四边十九而三百六十一为十九个十九也立方则十九个三百六十一也又平方立方俱以第一次大筹除实之格为方根后各依法加廉其大筹所除之格其实即隅积其平行之数即隅数且隅积即在平廉约法中并列并除此天然之巧也凡测算虽极逺极大其所测中心止凭一防其逺近多少相距亦止凭一防从此防至彼防则有线线即有所积之面面即有所积之体故平方开面立方开体皆因其所积之面与体以求其所距之线与所测之防为句股三角之用也【此所测之防非开方防定开位之防】
开平方法
先防定开位从末单位防起【如积实尾无单位者于尾位置○防起】隔一位防以至实首一防一开二防二开开不尽者命分
一防者根必单二防者根必十【俱以次増】先从左大数视平方筹相近之格除之开数定则方根之十百千万亦定矣【立方同】
凡初商除至前第一防止次商除至前第二防止如次商防位前原止二位而筹格有三位不得除至第二防后便须置○于次商为次商○三商以下皆然
初商法
平方筹取近少除实至前第一防止在第几格即为初商若干此第一次除之商数名为方根
防前无余者从筹上一二三格之单位除防前有余者从筹上四五六七八九格之双位除如实少于筹者用退位法除
次商法
以初商所得数倍之为廉以所倍之廉数列筹于平方筹左取某格近少除之为次商若干
三商法
以次商所得数倍之为廉列筹于次商筹之右平方筹之左除实同前法【各商同此】
每商置○定位三则【开方定位依防逓加不用顺寻逆寻法立方同】
三商式
如列实三防为三开【从末零位防起每开一位】防前无余该大筹单位除实三格内除九为初商三写三字在首防积实之
二 上
三 九 次商应倍初商之三列六号筹为廉除○ 实若取近少莫如三格但次防位前实止有二位而筹有三位不得除至次防位后便须置○是为次商得○写○于次防位积实上隔○筹于平方筹左三商既列六号筹○筹于平方筹之左便应统取近少除至末防位止今四格恰除尽为三商得四写四于末防位积实之上
三商根必百故初商之三为三百
四商式
防前无余大筹单位除九初商得三书商数及置○与三商俱同前法
四商倍三商之四列八号筹于大筹之左及前六号筹与○筹之右四格除尽
为四商四
四商根必千故初商之三为三千
四商○○式
初商视平方筹取三格除九为初商得三次商倍方根列六号筹于表左应除至次防位止但次防前实止一位而法之一格两位下俱三位便须置○隔○筹于前列筹右平方筹左为次商得○
三商应除至三防位止但三防前止三位取近少在三格法有四位便须置○隔【○】筹于前列筹右平方筹左为三商得【○】四商四格恰除尽为四商得四四商根必千故初商之三为三千
加筹
凡商除之后如两廉必倍前商之数如前商一加二号筹前商二加四号筹之类此易明惟前商五倍之加一十则加一号○号两筹葢五加一筹○筹方是一十若不○筹则一为单数矣若前商之廉是十数又当为升筹
升筹
凡商除之后如有加两筹者当用升筹法葢同位则升也如平方三开其初商二是为二百次商倍之为廉是四百应列四号筹矣其次商六是为六十三商倍之为廉是一百二十似应再列一号二号筹于前商四号筹之右然从四号筹挨次而来似乎四百一十二而非倍六十之一百二十矣故应将一百与四百并之为五百连二十为五百二十升作五二筹列于平方筹左而前商之四号筹去之
隔筹
每商必加倍数筹以为廉法故前商既置○矣亦须隔○筹于前列筹之右以为后商之廉法而取近少除实为后商其前列筹固倍数也而○不必倍者葢置一○只应隔一○筹耳【立方每隔○○两筹与平方异】
命分
见前筹算法视末商筹之第一格为若干分视所余不尽之实命为若干分之若干分
如余积五十七如末商两廉列八号四号筹【连前商筹在内】视第一格八四一命为八百四十一分之五百七十分葢第一格是两廉每加一分之全数故止视第一格而命其全数与现在不尽之分也