御制数理精蕴卷二十
求分杪
凡有开不尽者或不命分欲知若干分杪于余实下增两○位为○○则多开一位而分杪可得矣【平方隔一位防是每开两位故増○○】
右皆开平方法其平方带纵者开方附左
平方纵
列积实依开方商除法每商除实得商数以乘纵数除余实其次商倍初商数除实以次商数乗纵数除余实但倍商不倍纵余商同法合每商之数为阔【即正方】加纵数即纵之长方
如纵数有比例可求者先以比例分其积而余积以平方开之得阔因以知其长
开方得阔加纵式
假如长田六百二十四步 阔不及长二步
初商得二除四百步 又以商数二乗纵二步【二二如四】除四十步 余一百八十四步又倍初商列四号筹次商四格除一百七十六步 又以商数四乘纵二步【二四如八】 共一百八十四步除尽为次商四
开得阔二十四步 加纵二步为长二十六步
比例分积式
假如直田积四百五十步 长多阔一倍法平分其积得二百二十五步平方开之得阔一十五步倍之得三十步即长
假如长田积二百五十二步 长比阔多四分【分母】之三【分子】
法以分子三加分母四共七为法以分母四乗积为实法除实得一百四十四步开方得阔一十二步又以阔一十二步七因四除之得二十一步为长【长比阔多九步较之十二步为四分之三】
开立方法
从末单位防起每防隔二位视列实位一防一开二防二开余同
凡一防者方根必单二防者方根必十以次而増先从列实左大位视立方筹取近少除之
防前无余除一二格之单位防前余一除三四格之十位防前余二除五六七八九之百位
立方根单其积实必从单至几百止如九之所积其平面自乗得八十一而立体则九与八十一相乗得七百二十九故根单必积实至百位而单位防起隔两位至百也
立方根十其积实必从几千至几万几十万止如九十之所积其平面自乗得八千一百而立体则九十与八千一百相乗得七十二万九千故根十其积实必从千位万位至十万位止而防亦隔两位也余以类推
立方积实必得三位故一防一开二防二开而开数定于此矣一防者根必单二防者根必十方根定于此矣初商除至左首防位止次商除至次防位止置○肇于此矣若尾位列实止于十则实右补一○列实止于百则实右补○○以便从单位防起若列实不至单位止则防位一错而开数方根置○俱因之以错矣故列至单位开方之异于筹除者在此
初商
法同平方视列实用立方大筹视单位十位百位依法取近少除之至前首防位止在第几格为初商若干为方根
次商
以初商方根自之【即自乗】又三倍自乗之实得若干列某号筹于立方筹之左为平廉法
再以初商方根竟三倍之列某号筹于立方筹之右为长廉法
视平廉筹及大筹某格近少列为平廉约数
将平廉约数在某格之隅数【即大筹两行平写之数】乗立方大筹右之长廉【如九格之八一为隅数即将长廉筹八格一格所列之数依大小次并之】得若干数为长廉约法
并平廉长廉两约数若干以减初商所余之实至次防位止为次商若干
如并两廉数浮于实须退位改商如位多于实应置○不得除至次防位后
右立方有平廉三长廉三与平方异
三商
去前商左右列筹
以初商两商自之又三倍之为平廉列筹于立方筹左
再以初次两商竟三倍之为长廉列筹于立方筹右如前商法除至三防位止
四商【以下皆同】
去前商筹依法列平廉长廉筹除至末防位止为四商若干如尚有余实依命分法
右前法俱前商之后即将前各商数自之又三倍之为平廉列筹视某格与余实近少列为平廉约数再以前各商竟三倍之为长廉列筹【俱依前法分列大筹左右】视平廉约数在某格之隅数取以乗长廉得若干数为长廉约数其万千百十各依位数附于平廉之本位并之而除余实其隅数即在大筹之除格其廉积即在散筹之每格仍是于全数中除两廉应除之余实而隅数亦不烦再乗再除也梅定九先生筹算仍依古法先以前商三倍之为廉法以前商数自之又三倍之为方法以方法除余积得次商既得次商用其数以乗方法为三平廉积又次商自乗以乗廉法为三长廉积再以次商为隅法以隅法自乗再乗得小立方形为隅积三共并之除余积不知既列筹除则筹之每格即乗有廉之全积何必多此一乗且大筹在初商为方根在每商即为隅积今用筹倂除何必又自乘再乗耶
立方筹右行隅数定位
二开 次商三格以上是单位 四格以下是
十位
三开 三商三格以上是单位 四格以下是
十位
次商三格以上是百位 四格以下是千位
四开 四商三格以上是单位 四格以下是
十位
三商三格以上是百位 四格以下是千位
次商三格以上是万位 四格以下是十万位
右隅数以末商三格以上是单四格以下是十起层累逓加
法式
二开商式
假如积实六千八百五十九
两防两开
两防根必十
防前无余从单位
防俱隔二位【连本位共三位】
初商 列立方大筹视第四格之六四虽系近少然防前无余必从单位除寜可在第一格除一盖第二格虽亦单位然八浮于六不可除实故除一格之一为近少除去一千为初商一【两防根必十此初商一为方根一十】
次商 以方根一十自之又三倍自乗之实得三百列三号筹于立方筹左为平廉筹又以方根竟三倍之得三十列三号筹于立方筹右为长廉筹前商余实五八五九视平廉筹之九格三四二九相近列为平廉约数其九格之隅数八一乗长廉之三十得二千四百三十为长廉约数
并两廉约数共五千八百五十九除实尽在第九格为次商九
次商在九格除尽即次商隅数九亦在除内葢隅在长平两廉相凑之角故次商之隅即同次商之商数其在大筹之第几格者为隅之边数而在第几格之自乗者为隅之实数今与大筹并列同除故隅亦在其中也
三平廉贴于前商方形之正面侧面及或上或下而后成四方平等之方故次商先以方根自乗者乗平廉一面之全数也三倍之则所贴方根三面之平廉全数也但全数与方根等方而全数之积多于现在之余积故于此三平廉全数中视某格与余实近少而为平廉约数然此三平廉者与方根阔狭厚薄相等今三面贴凑止能悉照方根之方而不能凑合成方根外加廉之方故又有长廉三一纵二横补于平廉不能合缝之际始得凑合成方法以方根又三倍之者成三个长廉之全数也再以平廉之隅数乗长廉则为现在平廉贴身应得之数为长廉约数并之除余实而隅亦在所除之中而此四面之方凑合无缺矣葢平廉以方根为准长廉以平廉为准而隅数与平廉长廉又互相为准数藏大筹巧在与大筹并列同除法精密矣
初商次商退位除式
假如积实一万九千六百八十三
初商二十 积实两防两开方根必十防前余一位应从立方筹之十位除实但筹之三格四格俱大于积实应退在第二格之八除八千【筹格退位】余一一六八三
此退位不用三四格除实而退至二格者筹数浮于实数用退位除恰除至防位止故取二格之八为近少也此初商止退筹格不退商位
次商七 先以方根二十自之得四百又三倍之得一千二百取一号二号筹列立方筹左为平廉以方根二十竟三倍之得六十取六号筹列立方筹右为长廉 虽九格一万一千五百二十九相近然再加长廉便浮于实故不取九格【凡平廉筹格与除至防位之实位数相当者则万千十百之数亦必相符今防位前实系一万一千六百八十三平廉九格恰五位便是一万一千五百二十九矣盖二开次商得九以九乗平廉法得廉约数一万○八百加隅约数七百二十九共数如前以此推算即得实数然不如即视位数更为简防故比防位少一位则其数必小多一位便须置○也】八格之一○五一二虽更相近然若以八格之隅数六十四乗长廉之六十得三千八百四十并平廉八格之一○五一二为一万四千三百五十二亦浮于现在之余实故又应退格取七格之八千七百四十三单为平廉约数取七格之四九隅数乗长廉之六十得二千九百四十为长廉约数俱系千数可并进而除首位次位之一 一矣于是并两廉约数共一万一千六百八十三单除尽为次商七
【此退格约廉因筹数虽浮筹位不多于余实故止退格而不改商也】自乗再乗还原
次商置○式 三商加○筹式
假如积实一亿二千九百五十五万四千二百一十六
三防三开
防前余二位
初商防前余二位视立方大筹百位除实第五格之一二五近少除之得初商五百
次商以方根五百自之得二十五万又三倍之得七十五万为平廉列七号五号筹于立方筹左以方根竟三倍之得一千五百为长廉列一号五号筹于立方筹右若取平廉筹相近莫如第六格之四五二一六相近然次商应除至次防位止今筹位多实位少若依筹位即平廉巳除至防位后何况更有长廉是必变商之大位为小位则有后商防前之实应除而不患除至防位之后故应商数置○为次商○【前二商式是退格并亷此处次商是退位再商故有置○不置○之别】
三商 因前平廉筹巳备三廉实数尚未商除而前商之○又无实数可三倍故不去前筹不将前商自之又三倍之止于立方筹左前平廉筹右加○○两筹盖立方毎防隔二位今加○○筹则前商变为后商变次商之十为三商之单矣故平廉筹仍照前七十五万而七五列筹之第六格之四百五十万相近又立方大筹六格之二百一十六单共四五○○二十六列为平廉约数
再以隅数之三六在三开次商为三千六百者今为三开三商之三十六【见前隅数定位】以之乗三倍方根之一千五百为五万四千列为长廉约数并之共四百五十五万四千二百一十六除余实尽为三商六
右共开方得五百○六
自乘再乘还原
五开
三商列筹不隔○ 商数置○式
四商隔○筹式 又商数置○式
五商又隔○筹式
假如积实一万七千三百一十八亿【即万万】九千○百九十一万六千七百二十九
【按他书十万曰亿算学书万万曰亿后同】五开列实如左
五防五开
五防根必万
防前无余从单位
初商 防前无余从立方筹单位一格除实一万亿为初商方根一万
次商 以初商一万自之得一亿又三倍之得三亿列三号筹于立方筹左为平廉
以方根一万竟三倍之得三万列三号筹于立方筹右为长廉
视第二格之六○八近少为平廉约数
以此三号筹二格之隅数四乗长廉之四得一二为长廉约数【按隅数五开次商三格以上是百万位】并之除七千二百八十亿为次商二千
三商 以前初商除一万亿次商除七千二百八十亿余实三八九○九一六七二九
去前所列筹以初次两商【共一万二千】自之得一四四又三倍之得四三二列筹于立方筹左为平廉
【凡乗大数各存○余位则从单位逆推乗数定位不紊】
上图如两商一十二
万自之得一亿四千
四百○○万
再以初次两商一万二千竟三倍之得三万六千列立方筹右为长廉法
如法列两廉约数取近少莫如九格【三八九五二九】但三商应除至三防位止今筹格六位而第三防前连防位亦止四位法实不符应商除退位不但变大数商为小数商又有后商防前之实可合筹格之多位应本商置○为三商○百
四商 立方凡前商置○则后商应隔○○两筹以当每防之隔二位列于平方筹左前商平廉四三二号筹之右为平廉再如法列长廉筹取两廉约数并除余实又莫如九格【三八八○七二九】但五开四商应除至第四防止今第四防之前止七位而筹格有八故又应置○为四商○十
五商 依立方法后商应去前商之廉筹另依商法置平长两廉筹约数除实今前三四两商俱未除实俱退商数置有○○今五商仍存前商廉筹及○○筹再加○○筹以当每防之隔二位列于立方筹左廉筹及○○筹之右为五商之平廉仍用九格之三八八八○○○七二九为平廉约数【此约数首位三系十亿位】
再以九格之隅数八十一【五开五商次格以下是十位】乗长廉之三万六千得二百九十一万六千为长廉约数并之除余实至五开尾防位止为五商九
右五商共一万二千○○九
【末商平廉 三八八八○○○七二九长廉 二九一六
并之 三八九○九一六七二九】
右五开式末商九是单数凡立方积不过至十位百位止今何以能除至三十八亿九千○百万各位之多葢三商○四商○虽两商无除而○无定位列实未除之三八九○万即皆前商平廉之所应有之数改商而未尝改廉但因筹数位多实数位少故知三四商之皆应置○而前商未除之平廉其约数仍在至五商则但以五商之隅数乗前商原有之长廉以为长廉约数葢隅因亷为升降而亷依方限不因商为升降特借五商之九同格幷除非单九能除至十亿位也
立方带纵
方为阔加纵为长法与开方无异先视某格与方根近少为商数乗纵数再乗得纵积并入方积以减原实为初商
次商以下更加纵积纵廉积除余实为次商【余商同】并两商数得阔因阔以知长
【用防定开位悉依立方 纵积除至防后】
如初商视立方大筹某格近少之格数取为方根依定位列于原实之下又以方根之数因纵数若干即以因得之数再乗方根数得若干为纵积依定位列方根之下并减原实为初商若干
【按方根悉如开方法但未即除实如并纵积多于原实应退位或改商或退格在方根不可除至防后其并纵积则除至防位之后葢纵在立方之外积非立方之积不可以每防之位为定也】
如次商列平廉长廉法悉如立方先取平廉约数依定位列余实之下再取长廉约数列平廉约数之下次以次商之商数【有两廉约数在某格即某格是商数】因纵数得若干再以商数乗之为次商纵积依定位列两廉约数之下又以纵数倍之为纵廉法乗初商数得若干以乗得之数与次商数乗之得若干为纵廉积依位列于约数之下共并之减原实为次商若干
右纵方两开者次商之平廉必列至次防位止如有三开者则加纵积纵廉积除至次防位之后【与开方不同】止两开者即并积亦必次防位止若并积之位浮于余实应退格改商以除实若平廉各格多于防前之实或应退格或应置○同前开方置○法
三商以下列廉法悉如前其纵廉法应乗上初商次商再以乗得之数乗末商为纵廉积并除实【四商以下同】
如积实九万七千二百○十○尺但云阔不及长三尺
初商近少在四格即方根四十阔不及长三尺即三为纵法乗初商之四十得一百二十【此纵靣】再以初商四十乗一百二十得纵积四千八百【此纵体】先以方根积六万四千照位列实下又以纵积四千八百列方根积之千位下并之得六万八千八百减原实为初商四十余实二万八千四百不先除方根者恐加纵积多于原实故先并后除
次商以方根四十自乗得一千六百尺又三倍之得四千八百为平廉列大筹左再以方根四十竟三倍之得一百二十为长廉列大筹右取平廉第五格【二四一二五】为近少为平廉约数以五格之隅数【二五】乗长廉之一百二十得三千【两开次商四格以下隅数是十】为长廉约数列于平廉下之千位
以纵法三尺乗次商五得一十五再以五乗一十五得七十五为次商纵积照定位列于两廉之下又以纵法之三竟三倍之得六为纵廉法乗次商四十得二百四十再以二百四十乗次商五得一千二百为纵廉积照定位列于纵积之下
并之共除余实二万八千四百尽为次商五右共开方四十五尺加长三尺为长四十八尺
如积实二百万○○○○○○尺 但云阔不及长三尺
三防三开 初商是百
防前无余
初商一【在大筹单位除实】以三为纵法乗商数一百得三百【此纵靣】又以商数一百乗三百得三万【此纵体】合方根积共一百○三万减积实为初商阔之一百按此初商除方根并除长三尺之纵但止除方根等形之纵未除次商后加纵廉积之纵
次商依立方法平廉三万长廉三百取近少【三格九二七以相近因纵有纵积应加故退格约廉】二格之六○八相近为平廉约数
以第二格隅数四【三开次商三格以上是百位】乗长廉得一十二万为长廉约数
以纵法三尺乗次商二十【取平廉长廉约数俱在二格即是二十】得纵面六十又以商数二十乗纵面六十得纵积一千二百
以纵法三尺倍之得六为纵廉【次商方根加廉则所之纵亦应加廉但次商之纵是小于方根加廉之纵而非短于方根之纵止纵旁两边有廉而纵顶无廉故法止倍之】乗初商一百得六百即以六百乗次商二十得纵廉积一万二千
并之
平廉约数六十○万八千
长廉约数一十二万
纵积一千二百
纵廉积一万二千
共七十四万一千二百减余积仍余二十二万八千八百○十○单
为次商二十
三商平廉三千二百长廉三百六十依开方法置筹取第五格近少二十一万六千一百二十五为平廉约数
以第五格隅数二十五乗长廉三百六十得九千为长廉约数
以纵法三尺乗商数五得一十五又以商数五乗一十五得七十五为纵积
以纵廉六【纵法三尺倍之得六】乗初次两商之一百二十得七百二十又以七百二十乗三商五得三千六百为纵廉积
依法并之共二十二万八千八百○○除实尽为三商五
右共开方一百二十五尺加纵三尺为一百二十八尺
按立方纵初商未开之前其所开之方未有定数而纵长三尺则有定数然虽有定数而如三开者其方阔必等于每开立方之边或匾纵或长纵故每商必先依开方法开本身立方之方再以纵之三尺乗商数得纵之面更以商数乗纵之面而得纵之积在初商无廉故止并方根积与纵积除实为初商若干也至于次商则方根有廉而所立之方其形更大于方根今纵方则其长虽定于三尺而其方之大小应与次商之方相等但立方之廉有三而此纵方则纵首无廉止应两旁有廉故廉止于二但此两廉亦止如方根之方其合缝之处亦如立方平廉之不能凑合必有一长廉焉于是以纵法乗次商而得纵长廉之面又以次商商数乗纵面而得纵长廉之积此所谓纵积也其实乃纵之长廉积也于是纵之两平廉以纵法倍之即以乗初商之数为纵平廉之面以此纵平廉之面乗次商商数而得纵平廉之积于是所之纵其纵则定于三尺而其方之形与次商之方等矣葢其法与开立方同而立方则先有平廉后有长廉今开所之纵乃先有长廉后有平廉此为异耳至三商与次商同惟纵廉积以纵法乗初商次商之商数而以乗得之数再乗三商之商数葢必连初商次商再乗三商方是三商纵之平廉其廉比初商次商较薄而其方之形则初商次商后之三商其阔狭与三商有廉之方相等其理一也
附立方减纵法
假如立方积五千七百七十六尺 但云长不及阔三尺
防前无余除单格
初商除一格之单位因二格之八浮于列实故止除一格之一为商数以三尺为纵法乗商数一十【两防根必十】得三十再以三十乗商数一十得纵积三百以初商方根积一千减去纵积三百余七百以减原实为初商一十
余实五千○七十六尺
次商依开立方法列平廉长廉筹近少取三号筹【次商以初商自之又三倍之】之九格三千四百二十九为平廉约数以隅乗长廉得二千四百三十尺为长廉约数合之为五千八百五十九【其数稍浮于实者立方积也后以纵积等减之乃成匾方形故凡减纵之末商必约数浮于实以待后减】为立方两廉约数次以纵法三尺乗次商九得二十七尺为纵面又以次商九乗纵面之二十七得二百四十三尺为立方减纵之长廉积今名纵积
次以纵法三尺倍之得六尺为纵廉以乗初商一十得六十即以六十乗次商九得五百四十尺为立方减纵之两平廉积今名纵廉积
合纵积纵廉积共七百八十三尺以减立方之两廉约数余廉积五千○七十六尺减余实尽为次商九【此余廉积即前立方两廉不浮之约数葢既先于前所稍浮之立方廉约中除纵廉等积则所余者乃方根应有各廉之真数因本商未除故末后除之而合也】
右共开得阔一十九尺减长不及阔三尺为十六尺长
以上纵方开法初商方根积必至首防位止次商平廉长廉共约数必至次防位止不得除至防位之后惟减纵每商之廉其约数应稍浮于列实以待后减纵廉等积
句股引卷二
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙>
钦定四库全书
句股引卷三
海寜 陈訏 撰
句股法
句股名义
直者为股
横者为句
斜者为
句股并减名义
句股和【句与股相并】 句和【句与相并】
股和【股与相并】
句股较【句与股相较】 句较【句与相较】
股较【股与相较】
和和【与句股和相并】 较和【与句股较相并】和较【与句股和相减】 较较【与句股较相减】右和较等名凡句股书多用此以从简便故备列于前庶一览了然
句股准数
句三股四五
句股无一定之数然必先有一定相差之数以参互之为千变万化之准则不外乎句三股四五而变化由此起焉后俱依此立法
句股求
句自乗股自乗两积实相并开方得
句股各自乗之实必合自乗之实故并积开方得
【按句股开方俱平方后同】
如句【三】自乗得九股【四】自乗得一十六并之共二十五平方开之得五即【五】
句求股
句自乗自乗两积实相减开方得股
股求句
股自乗自乗两积实相减开方得句
自乗之积实必合一句一股自乗之积实故于积内减句积开方得股于积内减股积开方得句
如【五】自乗得二十五为积内减句积九余一十六为股【四】之积若积减股积一十六余九为句【三】之积俱用开方得所求
较求股
句自乗股较自乗两积实相减倍较为法除之得股股又加较得
句积中除股较之积则所余必倍于股之长故以倍较为法除余积得股之长
如句【三】自乗得九减长于股之较一【积亦一】则余积八必倍于股长故倍较【一】为二除之得四即得股四
若不倍较为法但以较除相减之余积则除较之外必尚存倍于股长之数故于减余之积去较折半亦得股长
如句余积八以较一除之仍是八必倍于股【四】故去较又折半亦得股【四】
以上二法于股之长加较即得于股之长减较即得句故不再立求句法
股和求股
句自乗以股和为法除之得数以减股和折半得股股和内减股即得
股和除句则所得数必长于股之较数故于股中去长于股之较则股等长而折半得股
如股【四】五共九除句积【九】得一即股【四】【五】之较【一】去较【一】存【八】则与股齐故折半得股【四】
句和求句
股自乗句和自乗两积实相减折半以句和为法除之得句【句和内减句即得】
句和自乗之积必倍于句与句和相乗之积而尚多一股积故于和积内减股积则所余者为句乗句和之倍积故折半使止存一句乗句和之积而以句股和为法除之得句如股【四】自乗得一十六句和自乗得六十四内减十六余四十八折半余二十四以句【三】【五】为法除之得三为句句既得即于句和除句得五
句和求
股自乗以句和为法除股积得数加句和折半得于之长减句较亦即得句
句和除股积则所得之数即长于句之较数句较既得则加句之长使句长与长等故折半得
如股四自乗得十六以句和八为法除之得二加句和之八为一十折半即五
句股和求句股
自乗句股和自乗两积实相减再以余积减积以平方开之加句股和半之得股股内减商数得句句股和之积几倍于积止少一句股之较积故以句股和积与积相减再以减余之积减积则所存者为长于股之较积于是开方得较而再加句股和则句股等长故折半得股如句【三】股【四】得和七自乗得四十九以自乗得二十五减之存二十四再以二十四减积之二十五存一为长于股之较积开方仍得一加句股和共八折半得股【四】股得亦可依法得句【按此所得之较乃句股较作股较者误】
句股较求句股
句较乗股较倍积实开方加股较得句句加句较得股股又加股较得
如句较【二】乗股较【一】仍得二倍之得四开方得二加股较【一】得句三于句三加股较一得股四于股四又加股较一得五
句股和求句股
句和乗股和得积实倍之开方减股和得句减句和得股减句股和得
如句【三】【五】为句和八乗股【四】【五】之股和九得七十二倍之为一百四十四开方得一十二合句股之长于一边矣故于十二减句和八得股【四】于十二减股【四】【五】之股和九得句【三】于十二减句【三】股【四】之句股和七得【五】
句股求容方
句股相乗以句股并为法除之得容方径若句股较为法除之亦得容方径【按若勾股较二句有误】
容方外余句余股相乗平方开之亦得容方径
以容方径自乗得实以余句为法除之得余股以余股为法除之得余句
句股相乗之实为容方者四斜内为容方者两故容方之实必等于余句余股之实虽长短不齐极致而句伸则股缩股伸则句缩有参互之准此即测望之法所由起也
句股求容圆
句股相乗倍积实并句股为法除之得容圆径句股相乗并句股减半为法除之亦得容圆径圆周恒三倍于圆径而句股之长恒两倍于容圆之周故于句股相乗之稍或倍之而并句股为法或不倍之而以句股折半为法俱得容圆径而容圆径即和较也【按勾股之长两倍于容圆周语误】
句股论【李之藻】
句股三合成形错综立义句股相减其差曰较句股相并其名曰和股之差曰股较句之差曰句较并句股与较其差曰和较句股之差与相减其差曰较较股相并曰股和句相倂曰句和句股之差并曰较和句股并曰和和句股各自乗并之为实故开之得句自乗减余为股实故开之得股股各自乗减余为句实故开之得句句股和自乗倍实相减开其余即句股较也句股较自乗以减倍实开其余即句股和也并句以除股实得句较若以句较除股实即得句和矣并股以除句实得股较若以股较除句实即得股和矣句股和自乗减实除以较较得较和矣除以较和非即较较乎句股较自乗减实除以和和则得和较矣除以和较非即和和乎句乗股为实并句股为法除得容方径句乗股倍之并句股除之得容圆径而容圆之径即和较也又错综论之句为主以加股较即较较以减股较即和较若加较和又即股和也股为主以加句较即较和以减句较即和较若加较较又即句和也句股较为主以加股较即句较若减股和亦即句和也句股和为主以加股较复得句和若减股和亦得句较也至若诸较诸和法相因配连缀减半恒得所求若取句股较以加句股和半之得股以减句股和半之得句若取股较以加股和半之得以减股和半之得股取句较者以加句和半之得以减句和半之得句取和较者以加和和半之得和以减和和半之得勾股取较较者以加较和半之得以减较和半之得较加减乗除圆变不滞神而明之存乎其人逺近髙深方圆弧矢准此而推亦在乎熟之而已
觧注【以句三股四五为准】
句股和自乗倍实相减开其余即句股较
如句【三】股【四】和七自乗四十九如【五】实二十五倍之五十以四十九减五十余一即句三股四之较一
句股较自乗以减倍实开其余即句股和
如句股较一以减倍实之五十余四十九开方得七即句三股四之和七
并句以除股实得句较
如句【三】【五】并之得八以除股【四】之实一六得二为句【三】【五】之较二
句较除股实即得句和
如句【三】【五】之较二以股【四】之实一六除之得八为句【三】【五】之和八
并股以除句实得股较
如股【四】【五】并得九以句三之实九除之得一为股【四】【五】之较一
以股较除句实即得股和
如股【四】【五】之较一以句三之实九除之为股【四】【五】之和九
句股和自乗减实除以较较得较和
如句【三】股【四】之和七自乗得四十九减【五】之实二十五余二十四以句股差【一】与【五】相减之较较四除之得六为句股之差【一】与【五】并之较和六
除以较和即得较较
如二十四以较和之六除之得四为句股之差一减五之较较四
句股较自乗减实除以和和则得和较
如句【三】股【四】之较一自乗仍得一减【五】之实二十五为二十四以句三股四五之和和除之得二为并句【三】股【四】与【五】较之和较
除以和较即和和
如二十四除以和较之二得一十二为句三股四五相并之和和
句股测望论【唐荆川先生】
句股所谓矩也古人执数寸之矩而日月运行朓朒迟速之变山谿之髙深广逺凡目力所及无不可知葢不能逃乎数也句股之法横为句纵为股斜为句股求句股自乗相并为实平方开之得句求股句自乗相减为实平方开之得股股求句同法葢一实藏一句一股之实一句一股之实并得一实也数非两不行因句股而得因股而得句因句而得股三者之中其两者显而可知其一者藏而不可知因两以得三此句股法之可通者也至如逺近可知而高下不可知如卑则塔影髙则日影之类塔影之在地者可量而人足可以至于戴日之下而日与塔髙低之数不可知则是有句而无股三者缺其二数不可起而句股之法穷矣于是有立表之法葢以小句股求大句股也小句股每一寸之句为股长几何则大句股每一尺之句其长几何可知矣此以人目与表与所望之高三相值而知之也人目至表小也人目至所望之髙大也又法表为小股其髙几何与至塔下之数相乗以小句除之则得塔髙葢横之则小股至塔之积纵之则为小句至塔顶之积纵横之数恰同是变句以为股因横而得纵者也句股三者有一可知则立表之法可得而用若其高与逺之数皆不可知而但目力可及如隔海望山之类则句股三者无一可知而立表之法又穷矣于是有重表之法葢两表相去几何为影差者几何因其差以求句股亦可得矣立表者以通句股之穷也重表者以通一表之穷也其实重表一表也一表句股也无二法也
句股容方圆论
凡竒零不齐之数准之于齐圆准之于方不齐之圆准于齐之圆不齐之方准于齐之方句股容圆准于句股容方假令句五股五七有竒此为整方均齐无较之句股其容方径该得句之半盖容方积得句股全积四分之一其取全积时句股分在两亷则句五股五五五二十五内一半为句积一半为股积其求容方则并句股为纵一亷得十为长之数得阔二五与原句相半盖始初则一半句积一半股积横列之而为正方及取容方则股积在上句积在下而为长方矣其容方所以止得半句者则以句股之数均也若句短股长则容方以渐而阔不止于半句矣故大半为股积小半为句积其始横列时句积与股同长而不同阔其纵列时则股积之阔如故而句积截长以为阔则阔与股积同而长与股积异与横列正相反此变长为阔而取容方之法也其谓之句
积股积者从容方径与句股相乗之数而名之也若取容圆径则用句股自之而倍其数以句股与并为法盖容圆之径多于容方方有四角与相碍故其数少圆宛转故其数多若以求容方与求容圆相比则积中恰少一叚圆径与半和较相乗之数和较者句股并与相较之数也假令句五股五相乗亦倍之得五十如求容方则亦倍句股为法得二十亦恰得二寸五分之径如求容圆则不用倍句股为法而用一句股并与一是以一代一句股倂也以一代一句股并恰少一和较加一和较则亦两句股矣假令一句股得十倍句股得二十是取容方之径一句股得十一得七恰少和较三是取容圆之径其所以少一和较者圆径多于方径也假令取容圆不用句股倍积而止用句股本积则宜句股并为亷而除去半和较亦得或约得
圆径之后与半和较相乗添积而以句股并为亷不除亦得或用句股倍积用两句股相并为亷而以全和较与约得圆径相乗添积亦得此改方为圆之妙其机括只寓之于和较间也至于句股积与积亦只于句股较中求之盖数起于参伍参伍起于畸零不齐也假令句五股五齐数之句股则句股幂倍之即得幂盖两句股积而成积也至于句短股长相乗之积则成一长方倍之而侧不当中径亦不成幂维以一句股较积补之乃能使长方为一正方而得积盖句股之差愈逺则长方愈狭长方愈狭则句股之差积愈多故句股差者所以权长方不及正方之数以相补辏此补狭为方之法也右荆川先生论句股测望论句股求容方圆详矣尽矣愚按句股测望即句股求容方法而变化用之但容方则以句股求容方而测望则以容方求句股非
有二法也盖凡平方形若中间十字界之则为容方者四若斜界之则此一半平方之内其为完全容方者一而完全容方之外两角凑成亦必与此完全之容方相等此就句股等长而言也至句股不必等长而同此一容方则句长者股必短股长者句必短亦千变万化自有一定之盈缩也于是通之为测望之法以表代容方边以表前积实代容方之积实若所容为长方则必句短股长若所容为匾方则必股短句长股为纵为髙句为横为逺以或句或股为法除之即得所求之或髙或逺故望髙测逺即变化于句股求容方之一法也
测量法
句股之术可御髙深广逺法本周髀中法用表测西法用矩测
立表测高
设甲防为髙自丙至乙逺二丈求甲乙髙几何
法依地平线立一丈之表为丁丙【逺乙二丈】与地平为直角【凡立表以线下试之三靣附表即与地平为直角】依地平线退行【八尺】为辛巳【巳为人日望处人目以下六尺若立竿为准亦可】视己丁甲三防
令成斜以丁丙表【一丈】减己戊人目以下之六尺余丁辛【四尺】与等戊乙之巳庚【二丈八尺】乗之得【一十一丈八尺】为实以等戊丙之巳辛【八尺】为法除之得甲庚【一丈四尺】加等己戊人目以下之庚乙【六尺】得甲乙髙二丈按此以丁辛与已庚相乗得实以巳辛为法除之得甲庚之髙即已以上之髙若以丁辛乗壬庚得实以已辛为法除之得甲壬之髙即丁以上之髙
附西法三率算术【西法三角八线全用三率算术其法详三角前此先附其略】
三率算术详西法三角八线书中其法同类为比例列一二三四率而二率三率相乗得实一率为法除之四率为所求之数凡言以者为一率言比者为二率言若者为三率言与者为四率如前立表测髙以己辛【小句】比丁辛【小股】若己庚【大句】与庚【甲大股】
一率 己辛八尺 为法
二率 丁辛四尺 与三率相乗得实三率 己庚二丈八尺
四率 庚甲一丈四尺【加庚乙人目以下得甲乙髙】
按右法以己庚为三率故得己以上之髙即甲庚之髙若以丁壬为三率则得丁以上之髙即甲壬之髙变而通之若以之测远以小股【辛丁】比小句【己辛】若大股【或甲庚或甲壬】与大句【大股甲庚即大句庚己大股甲壬即大句壬丁】总之同类比例以二率三率相乗得实以一率为法除之即得所求之四率也余详本法【后省文依西法以比若与不更列三率】
立表测深测逺
设甲乙为壁立深谷甲至丙广二丈七尺求甲乙深防何
法依甲丙线于地立【六尺】之表为戊丁距丙【五尺】人目从表端【戊】窥【乙】使戊丙乙三
防成斜直线以丁戊【六尺】与甲丙【二丈七尺】相乗【得一十六丈二尺】为实以丁丙【五尺】为法除之得甲乙深【三丈二尺四寸】是为以丙丁【小句】比丁戊【小股】若丙甲【大句】与甲乙【大股】
设井一口其径甲乙五尺欲测深防何
法立表于井口为戊甲髙【五尺】从戊视
丙截甲乙径于己【得四寸】减井径【五尺】余
己乙【四尺六寸】以乗戊甲【五尺】得【二千三百寸】为实以甲己【四寸】为法除之得乙丙井深【五丈七尺五寸】是为以己甲比甲戊若己乙与乙丙 又法以己甲比甲戊若甲乙之丙丁与丁戊
设地平有甲防不知其逺人目在乙髙丙地六尺求丙甲逺几何
法依地平立丁表于戊高【四尺五寸】距丙【九尺】人目从表端窥甲令乙丁甲成斜直线次以乙丙【六尺】减丁戊表【四尺五寸】余乙己【一尺五寸】乃以乙丙【六尺】乗等丙戊之己丁【九尺】得【五十四尺】为实以乙巳【一尺五寸】为法除之得丙甲逺【三丈六尺】是为以乙己比己丁若乙丙与丙甲
重表测髙测逺测深
设不知髙之逺不知逺之髙各得几何
欲测甲乙之高而不知逺欲测丙乙之逺而不知髙用重表法先求甲乙之髙于丙地立丁丙表高【十尺】退
后【五尺】立竿于戊高四尺人目在
巳视表末令己丁甲成斜直
线次从丁丙前表退后【十五尺】立
癸壬表亦髙【十尺】退后【八尺】立竿于
子亦高【四尺】人目在丑视表末令
丑癸甲成斜直线以癸壬表
减人目丑子【四尺】余癸辛【四尺】与两表相距【旧名表间】等丙壬之丁癸【十五尺】乘之得【九十尺】为髙实以等丙戊之寅巳减等壬子之辛丑【八尺】余卯丑较【三尺】为法【旧名影差】除高实得甲辰髙【三十尺】是为以丑卯比辛癸若癸丁与甲辰加等癸壬表之【十尺】得甲乙总髙【四十尺】
次求丙乙之逺以等寅巳之辛卯【五尺】与表间相距之丁癸【十五尺】乗之得【七十五尺】为逺实亦以寅巳与辛丑之较卯丑【三尺】为法除之得等丙乙之丁辰【二十五尺】是为以丑卯比卯辛若癸丁与丁辰
右测量法积实除实余昔刻句股述绘图系説已详其数兹不再赘钱唐毛宗旦扆再氏着九章蠡测于测望法论西法比例之理尤明晰详尽今并录于左
毛扆再氏曰测量之理知逺而不知髙以逺测髙知髙而不知逺以髙测逺若髙逺两不知所谓无逺之髙无髙之逺必用重表测之也既有等髙之二表【皆十尺】又有等髙之二人目竿【皆四尺】则甲庚丑大句股形内必函大小六句股形其甲辰丁形为甲庚巳之分形两形之比例必等丁寅巳形亦甲庚巳之分形两形之比例亦等甲辰丁及丁寅巳两形之比例既皆等于甲庚巳是甲辰丁与丁寅巳两形之比例亦等矣后表所得甲辰癸与癸辛丑形之比例皆等于甲庚丑亦同此论夫丁寅巳之比例既同于甲辰丁而癸辛丑之比例亦同于甲辰癸则辰丁与寅巳必若辰癸与辛丑反之则辰癸与辰丁必若辛丑与寅巳也今辰癸与辰丁之较为丁癸而辛丑与寅巳之较为卯丑则卯丑与丁癸两较之比例则必俱等于各线相当之比例即可知辰丁与寅巳【皆句】及甲辰与丁寅【皆股】俱若两较之丁癸与卯丑矣法置辛癸乗癸丁为髙实而以丑卯除得辰甲者是借丑卯与癸丁之比例因寅丁以求辰甲也【寅丁与辛癸等】又置卯辛乗癸丁为逺实而以丑卯除得丁辰者亦借丑卯与癸丁之比例因巳寅以求丁辰也【巳寅与卯辛等】辰甲为表外之髙丁辰亦表外之逺
设不知广之深不知深之广重表测之各得几何如甲乙丙丁壁立之谷既不知深又不知广先求乙甲之深自谷岸乙防退行【四尺】至戊地立人目表为巳戊髙【二尺七寸】依乙岸窥谷底丙防令巳乙丙成斜直
线次于谷旁立表为壬乙髙【五尺】复
依巳戊线立人目表为辛戊髙【八尺
二寸】人目依壬表末望丙令辛壬丙
成斜直线以辛戊【八尺二寸】减壬乙
表【五尺】余辛庚【三尺二寸】再与巳戊【二尺七寸】
相减余辛癸较【五尺】乃以等巳戊之癸庚【二尺七寸】与壬表【五尺】乗之得【一百三十五寸】为深实以辛癸较【五寸】为法除之得乙甲深【二丈七尺】是为以辛癸比癸庚若壬乙与乙甲次求甲丙之广以等戊巳之庚壬【四尺】与壬乙表【五尺】相乘【得二十尺】为广实亦以辛癸较【五寸】为法除之得甲丙广【四丈】是为以辛癸比庚壬若壬乙与甲丙
设甲乙不知逺以矩尺【即木工曲尺】测之
欲知甲乙之逺先立丙表于甲与地平为直角次以矩尺内直角加于丙表之末以丙戊尺向逺视乙令丙戊乙成斜直线次从丙丁尺视巳以甲丙表自乘而以甲
巳相距之逺为法除之得甲乙之逺是为以巳甲比甲丙若甲丙与甲乙则丙甲为连比例之中率按矩尺为直角形若两边等平则甲丙表两平地之句必等今矩尺一昻一俯则巳甲必小于丙甲而丙甲必小于甲乙故以巳甲比丙甲若丙甲与甲乙葢皆以小比大以小大同类为比例而不执句股纵横为同类故三率法应二率三率相乘而此用二率自乘而以一率为法除之非另有连比例之中率也若变而通之以丙子比子戊若丙甲与甲乙
西法矩度测量
矩度代表度有直景倒景有一矩测重矩测积实与为法除悉如中法亦可三率法求之
造矩度用坚木或铜版为之依上图从矩极均分十二度【陈防庵止用一十度省一乘法】或每度更细分之从通光耳视所测相参直以权线所切何度何分比例推算与立表测量等
变景法
景即直景倒景也变景者视权线所切直景不变而倒景必变爲直景也一矩测量即倒景可不必变而重矩测量则倒景必变其法以矩度自乗【如矩度十二自乗得一百四十四为矩幂】以景度【即权线所切之度如几度几分则矩度景度通照几分度分之】为法除之【其变景之理详句股述】
直景必高多逺少如一象限人望四十五度【半象限九十度】以上权线必切直景
倒景必髙少逺多如一象限人望四十五度以下权线必切倒景
变景者变倒景之少度为直景之多度葢测物愈逺则矩愈平其权线所切必在倒景故必变之如上丁戊变乙壬也
矩度测髙
直景以矩度乗逺得积实以景度为法除之
设所测不知其髙距所逺三十尺权线切直景八度法以矩度【十二】与逺【三十】相乗得三百六十为积实以直景八度为法除之【如筹算检八号筹视某格与积实近少除之】得四十五尺为矩乙角以上之髙即所测之髙是为以小句【景度】比小股【矩度】若大句【逺】与大股【髙】
倒景以景度乗逺得积实以矩度为法除之
设逺六十尺权线切倒景七度又五分度之一法以景度【七】通五分之得【三十六】分以乗逺【六十】得积实二千一百六十以矩度【十二】通五分之得【六十】为法除之得三十六尺为矩乙角以上之髙【此倒景不必变但变其法以景度乘逺以矩度为法除之亦同】是为以小句比大句若小股与大股
重矩测髙【测髙先不知其逺则用重矩如重表测法】
前矩直景后矩直景以矩度乗表间得积实以两景较为法除之【表间即悬矩之干两矩相距之间】
设前直景【五度】后直景【十度】两矩相距【十尺】法以矩度【十二】乗表间【十尺】得【一百十尺】 为实以两景较【五度】为法除之得二十四尺为矩乙角以上之髙以小句比小股若大句与大股同前首条
前矩直景后矩倒景以矩度乗表间得积实以倒景变直景与前直景较以景较为法除之
设前直景【十一度】后倒景【九度】两矩相距【二十二尺】法以矩度【十二】乗表间二十得【二百四十】为积实又以倒景【九度】为法除矩幂【一百四十四】得变景十六与前矩直景较余【五】为法除积实得【四十八】为矩乙角以上之髙是为以小句【景较】比小股【矩度】若大句【表间相距】与大股【所测之髙】
前矩倒景后矩倒景将两倒景俱变为直景仍以矩度乗表间得积以两变景较为法除之得所测之髙仝前按测望即容方求余句余股法其矩测之倒景必变者葢立表测髙人目退望使参相直若所测愈髙则人目距表愈近所测愈低则人目距表愈逺表即容方之边而人目退望之处即余句也今矩之甲角愈髙则倒景反多矩之甲角愈低则倒景反少故必变景而后合于人目退望之余句余旧刻句股述论之详矣但旧刻于前后俱倒景一条悮以景较乗逺以矩度为法于三率以小句比大股若大句与大股法不合若依前一表测髙所切倒景之法亦以景度乗逺矩度为法则此两倒景巳俱变直景矣岂可仍用倒景法乎特为改正
测逺
按测无髙之逺先用重矩测得髙【巳壬】次以矩度【甲】为一率以后矩所变之
景【乙戊】为二率以高【巳壬】为三率即得四
率之逺是为以小股【甲乙】比小句【乙戊】若大股【巳壬】与大句【壬乙】
右高【巳壬】得四八变景【乙戊】得一六矩度【甲乙】十二度依三率法得逺六十四葢倒景既变直景则甲乙戊成直角小句股形与巳壬乙之直角大句股相等故用三率比例
以测髙法还原
设逺【六十四尺】倒景【一六】矩度【一二】以矩度乗逺【六四】以变景度【一六】为法除之得高【四八】与前重矩测高第二条相合按重矩测无高之逺西法测量法义同文算指俱未论及钱唐毛扆再氏补论一则但干支字様与图互异且比例之法辨晰各较相比似不若竟以甲乙戊之小句股比巳壬乙之大句股尤易晓然便于初学故创为此图
测深
设井口或径广十二尺求至水面深几何
用矩度视深【辛】使甲巳辛叅相直
视权线在直景乙戊【三度】以矩度【十二】
乘等庚巳之辛壬水面【十二尺】得【一百四十四尺】为实以乙戊【三度】为法除之得【巳壬】深【四十八尺】是为以【乙戊】比【乙甲】若【壬辛】与【壬巳】
设池面不知广就池岸设垂线至水得一丈三尺测广几何
权线切倒景丁戊【三度】依法变为直景【四十八度】以乗巳壬【十三尺】得【六百二十四尺】为实以甲乙矩度【十二】为法除之得庚巳广【五十二尺】是为以甲乙比乙癸若巳壬与等【壬辛】之巳庚
又倒景不变以矩度乘【巳壬】得积以倒景丁戊【三度】为法除之亦得巳庚广【五十二尺】
按倒景必变直景若止一矩测广则倒景亦可不变然在直景则景度乗深而矩度为法除之若在倒景则矩度乗深而景度为法除之固两不相混也至于测髙则必矩度乗取积实而景度为法除之此两矩测一定不易之法也
附三率算术
古名异乗同除西法变为三率
原有丁戊股十四尺
丙戊句十一尺二寸
今截丁乙股十尺
求乙甲截句几何
西法三率
一率 【以】原有股十四尺 为法
二率 【比】原有句十一尺二寸 【相乗为实】三率 【若】今截股十尺
四率 【与】求得截句八尺 法除实所得术以原股比原句若截股与截句
凡言以者为一率言比者为二率言若者为三率言与者为四率
二率三率常相乘为实一率为法除实故名三率而求得之数为四率
按西法三率算术専为比例之用如右所求在截句则以原股比原句若截股与截句如所求在截股则以原句比原股若截句与截股又如所求在原句则以截股比截句若原股与原句再如所求在原股则以截句比截股若原句与原股随所比例各视所求而以同类比之如前测望诸法或以小句比小股若大句与大股或以大句比大股若小句与小股之类其纵横大小不相紊乱后三角法悉依此术纵横大小相为比例而又线与线为类边与边为类法益加宻矣
勾股引卷三
钦定四库全书
勾股引蒙卷四
海宁 陈訏 撰
三角法
八线全图
【周天三百六十度两分之为半
周四分之为一象限 每一象
限各九十度又名弧度 六】
凡正方角【乙】即直角即象限之角其所对弧必九十度
凡在一象限不及九十度者为鋭角【如丙】
凡过一象限多于九十度者为钝角
凡言角以中一字为所指之角【如甲乙癸】
凡求某角者求其角之对弧度与分
凡求某角即本角之弧矢割切为正其外为余凡半径为全数为一○○○○○八线有增减半径无増减常为十万弧中旋转可如如句
凡正角以半径全数为正
凡钝角以外角之正余为正余
直角【即正方角一名勾股形】
有角有边求余角余边【直角之一】
假如【壬癸丁】勾股形有丁角【五十七度】壬丁【九十一丈八尺】求余角余边
先求癸丁边
术曰以半径全数比丁角之余
若壬丁与癸丁句
一率【原设】半径 一○○○○○ 为法二率【原设句】丁角【五十七度】余 五四四六四 【相乗】三率【今有】壬丁边 九十一丈八尺 【为实】四率【今所求句】癸丁边 五十丈 【法除实得所求】右三率法后同 半径即乙丁余即甲丁
求壬癸边
以半径比丁角之正若壬丁与壬癸股
一率【原设】半径 一○○○○○
二率【原设股】丁角【五十七度】正 ○八三八六七
三率【今有】壬丁边 九十一丈八尺
四率【所求股】壬癸边 七十七丈
求壬角
以丁角五十七度与象限九十度相减得余三十三度为壬角
右例先得以求勾股
假如【壬癸丁】勾股形有丁角【六十二度】癸丁勾【二十四丈】求余角余边
求壬角
以丁角【六十二度】与象限相减得余【二十八度】为壬角 平面弧止容一正方角两鋭角今既有勾股形【癸】则于一象限内减丁角之度其余度自必壬角
戊丙丁勾股形以戊丙
切线为股丙丁半径为
勾戊丁割线为是丁
角原有之线 今壬癸丁勾股形与戊丙丁勾股形既同丁角则其比例等
求壬丁边
以半径比丁角之割线若癸丁勾与壬丁
一率【原设勾】半径 一○○○○○二率【原设】丁角【六十二度】割线 二一三○○五
三率【今有勾】癸丁边 二十四丈
四率【所求】壬丁边 五十一丈一尺
求壬癸边
以半径比丁角之切线若癸丁勾与壬癸股
一率【原设勾】半径 一○○○○○二率【原设股】丁角【六十二度】切线 一八八○七三
三率【今有勾】癸丁边 二十四丈
四率【所求股】壬癸边 四十五丈一尺右例先得勾以求及股或先得股以求及勾亦同
按半径随弧旋转无有増减故可为为勾为股各随比例之所取用视边与线之纵横小大为比例
有边求角【直角之二】
假如【壬癸丁】勾股形有壬丁【一百○二丈二尺】癸丁勾【四十八丈】求二角一边
求丁角
以丁壬比癸丁勾若半径乙丁与丁角之余甲丁
一 壬丁边 一百○二丈二尺
二 癸丁边 ○四十八丈
三 半径 一○○○○○
四 丁角余 四六九六六
以所得余检表得六十二度为丁角度
右壬角癸角俱止一边无两边不能以边比边为以线比线之例惟丁角有两边故先求丁角得丁角而丁角度之八线即可为余角之比例矣然丁角必求余为四率者盖若求正正切之股则壬癸无边可例若求正割则虽可以癸丁边比壬丁边若余【甲丁】与正割【壬丁】之例然余尚未求得又无可为比故以壬丁比癸丁句若乙丁之半径与甲丁勾之丁角余相比例也宣城梅定九氏曰得其角度则诸数歴然可于无句股中寻出勾股余亦曰知四率应求之线之故则一率二率三率了然可于无比例中寻出比例矣
求壬角
以丁角六十二度与象限相减得余二十八度为壬角
求壬癸边
以半径比丁角之正若壬丁与壬癸股
一 半径 一○○○○○
二 丁角【六十二度】正 ○八八二五九
三 壬丁边 一百○二丈二尺
四 壬癸边 ○九十丈○二尺三寸右例以边求角而先知方角故止用二边此先有之边是与勾故求壬癸边之股者以壬丁边之斜为比而正如股半径旋转如可线与线相比以为边与边相比之例也若先有者是股边勾边则求切线者以股邉为例而勾之比股者又可以半径为勾如下求丁角法
假如壬癸丁三角形有壬丁边一百○六丈壬癸边九十丈癸丁边五十六丈求角
求癸角
以壬丁大边与丁癸边相加得【一百
六十二丈】为总又相减得【五十丈】为较以
较乘总得【八千一百丈】为实以壬癸边
【九十丈】为法除之仍得【九十丈】与壬癸
边数等即知癸角为正方角
求丁角
以丁癸边比壬癸边若半径与丁角切线
一 丁癸勾 五十六丈
二 壬癸股 九十丈
三 半径 一○○○○○
四 丁角切线 一六○七一四
以所得切线检表得五十八度○六分为丁角
有一角必有一弧每一弧必有八线今求丁角而壬癸边如丁角弧之切线可以半径相比故先以丁癸边比壬癸边为例若半径与丁角之切线
求壬角
以丁角【五十八度○六分】与象限相减得余三十一度五十四分为壬角
右例亦以边求角而先不知其为勾股形故兼用三边
鋭角
有两角一边求余角余边【鋭角之一】
假如【乙丙丁】鋭角有丙角【六十度】丁角【五十度】丙丁边【一百二十尺】
求乙角
以丙角【六十度】丁角【五十度】相并得【一百一十
度】以减半周一百八十度余七十度
为乙角
右丙角丁角有度而无边乙角有边
而无度先以两角之度除半周而乙
角之弧度得矣既得乙角之度即可
以乙角之线比乙角相对之边若他
角之线与他角之边
求乙丁边
以乙角正比丙丁边若丙角正与乙丁边一 乙角【七十度】正 九三九六九
二 丙丁边【即乙角对边】 一百二十尺
三 丙角【六十度】正 八六六○三
四 乙丁边【即丙角对边】 一百一十尺○六寸以前诸法俱线比线边比边互相为例此处以线比边下求乙丙边同
求乙丙边
以乙角正比丙丁边若丁角正与乙丙边一 乙角【七十度】正 九三九六九
二 丙丁【乙角对边】 一百二十尺
三 丁角【五十度】正 七六六○四
四 乙丙【丁角对边】 ○九十七尺八寸右例先有之边在两角之间也若先有之边与一角相对亦同
有一角两边求余角余边【鋭角之二】
假如【甲乙丙】鋭角形有丙角【六十度】甲丙边【八千尺】甲乙边【七千○三十四尺】
求乙角
以甲乙边比甲丙边若丙角正
与乙角正
一 甲乙边 七千○三十四尺
二 甲丙边 八千尺
三 丙角【六十度】正 八六六○三
四 乙角 正 九八四九六
检表得八十度○三分为乙角
凡角俱有正下垂角小亦小角大亦大依割线之低昻也今丙角斜边长近俯乙角斜边短近仰则乙角必大于丙角故以小边比大边亦若正小之比大而可得角也此以小比大也
求甲角
以丙角乙角相并得【一百四十度○三分】以减半周余三十九度五十七分为甲角
求乙丙边
以乙角之正比甲角之正若甲丙边与乙丙边
一 乙角【八十○度三分】正 九八四九六二 甲角【三十九度五十七分】正 六四二一二
三 甲丙【乙角对边】 八千尺
四 乙丙【甲角对边】 五千二百一十五尺乙角以乙丙为底其正从甲下垂故长甲角以甲丙为底正从乙下垂故短今乙丙边小于甲乙甲丙之两边故以最大之邉比之先以最大之线比最小之线用乙角甲角之正为例也
右例有两边一角而角与一边相对
假如【甲乙丙】鋭角形有甲丙边【四百尺】乙丙边【二百六十一尺○八分】丙角【六十度】角在两边之中不与边对求甲乙边
先求中长线分为两勾股形
以半径比丙角正若甲丙边
与甲丁中长线
【此下四则皆为求甲乙边与甲全角故先求分形之边及
分形之角】
一 半径 一○○○○○
二 丙角【六十度】正 ○八六六○三
三 甲丙边 四百尺
四 甲丁中长线 三百四十六尺四寸一分
求丙丁边【求中长线专为分边而求】
以半径比丙角余若甲丙边与丙丁边
一 半径 一○○○○○
二 丙角【六十度】余 ○五○○○○
三 甲丙边 四百尺
四 丙丁边 二百尺
求角者须先审四率之线应求某线而以边之可比例者为一二率求边者须先审二率应用某线可与四率之边相比例而以一率三率比之盖边有定在而线则随所比例而变其所取也如右求丙丁边乃分边而非乙丙之全边妙在八线余限于正而不越于正之外与丁丙分边限于中长线甲丁不能越丁而至乙故二率取为比例而得丙丁之分边
求乙丁边
以丙丁与丙乙相减余六十一尺○八分为乙丁
求丁甲乙分角
以甲丁中长线比乙丁分边若半径与甲分角切线
一 甲丁中长线 三百四十六尺四寸一分二 乙丁分边 ○六十一尺○八分
三 半径 一○○○○○
四 甲分角切线 ○一七六三三
检切线表得一十度为甲分角
右求分角之线自必以分边为例则所得之线乃分角之线而非甲全角之线惟切线即在角之对边故分边之线为分角之度
求甲乙边
以半径比甲分角割线若甲丁中长线与甲乙边
一 半径 一○○○○○
二 甲分角【十度】割线 一○一五四三
三 甲丁中长线 三百四十六尺四寸一分
四 甲乙边 三百五十一尺七寸五分右甲分角以中长线为底则割线即甲乙边
求甲全角
以丙角【六十度】之余角三十度【即分形甲丁丙之甲分角】与求得甲分角【一十度】相并得四十度为甲全角
求乙角
以甲分角【一十度】减象限得八十度为乙角【或并丙甲二角减半周同】
右例有两边一角而角在两边之中不与边对故用分形以取勾股
用切线分外角【梅本新増】
假如【甲乙丙】鋭角形有甲丙边【四百尺】乙丙边【二百六十一尺○八分】丙角六十度
求甲角
以甲丙边乙丙边相并为总相减为较又以丙角【六十度】减半周得外角【一百二十度】半之得半外角【六十度】检其切线依三率法求得半较角以减半外角得甲角
一 两边总 六百六十一尺○八分二 两边较 一百三十八尺九寸三分三 半外角切线 一七三二○五
四 半较角切线 ○三六三九七
检切线表得二十度为半较角转与半外角【六十度】相减得甲角四十度
求乙角
以甲丙二角相并共【一百度】以减半周得余八十度为乙角
求甲乙边
以甲角【四十度】正 六四二七九
比丙角【六十度】正 八六六○三
若乙丙边 二百六十一尺○八分
与甲乙边 三百五十一尺七寸五分按此新増例即前有一角两边而角在边中不与边对之三角也但此不用求分边分角之烦而径求甲角之半较角葢一弧之中既有丙角则所余之度皆甲乙之角为丙之外角应将外角中分为半外角以为甲乙两角之地然甲角边长鋭于乙角则乙角必大甲角必小又应于外角之半分出较角而后甲角始得其真在半外角既中分外角之半则此较角亦必中分较角之半为半较角故先以边总比边较为一二率盖边总如半外角之总犹之外角一百二十而半外角止六十也以边较求甲角之半较角犹甲角小于乙角若干而此求得之较为小于乙角若干之半名半较角也所以求切线者盖切线在各弧之贴际必与本角之底为直角形如勾股其线遇本角之割线而止今所求在所割之半较角则莫如半外角之切线比半较角之切线同在弧之贴际不烦更觅他线也梅刻増此一条简捷巧便而所以然之理初学茫然为补图明之如左
此平三角借弧以明其理
若弧三角所容三角不止
三个如平方立方有面体
之别后同
有三边求角【鋭角之三】
假如【甲乙丙】鋭角形有乙丙边【二十丈】甲丙边【一十七丈五尺八寸五分】乙甲边一【十三丈○五寸】
求两勾相减之数为勾较
任以【乙丙】大边为底从甲角作甲丁虚垂线至底分为两勾股形
一甲丁丙形以甲丙边为丁丙为勾一甲丁乙形以甲乙边为丁乙为勾两相并为总相减为较 两勾相并【即乙丙边原数】为勾总 求戊丙勾较
以勾总比总若较与勾较
一 两勾之总【即乙丙】 二十丈
二 两之总 三十丈○六尺三寸五分三 两之较 四丈五尺三寸五分四 两勾之较【即丙戊】 六丈九尺四寸六分此欲求丙角而甲乙角无度则无线可比止乙至丙之勾似丙角之余然余长短必限于正今甲丁中垂线即丙角之正今若求丙角余又多乙丁勾之长故先求勾较之丙戊既得勾较则可加分形之勾【戊丁】而得丁丙分边与丙角之余等以之比例而得丙角之余即查表得丙角之度
求分形之两勾
以勾较【六丈九尺四寸六分】减勾总【二十丈即乙丙】余乙戊【一十三丈○五寸四分】半之得丁乙【即戊丁】六丈五尺二寸七分为甲丁乙分勾之形
又以戊丁【六丈五尺二寸七分】加勾较【六丈九尺四寸六分 即戊丙】得丁丙一十三丈四尺七寸三分为甲乙丙分勾之形
求丙角
以甲丙比丁丙勾若半径与丙角余
一 甲丙边 一十七丈五尺八寸五分二 丁丙分边 一十三丈四尺七寸三分三 半径 一○○○○○
四 丙角余 ○七六六一六
检余表得丙角四十度
求甲角
先求分形大半之甲角
以丙角【四十度】减象限余五十度为【丁甲丙】分形甲角
次求分形小半之甲角
以甲乙比丁乙勾若半径与分形甲角之正一 甲乙边 一十三丈○五寸
二 丁乙分边 ○六丈五尺二寸七分
三 半径 一○○○○○
四 甲分角正 ○五○○一五
【以甲丁为底则甲乙边如半径而乙丁边如甲分角之正】
检正表得三十度为【丁甲乙】分形之甲角并分形两甲角【先得五十度次得三十度】得共八十度为甲全角
求乙角
并丙甲二角共【一百二十度】以减半周得余六十度为乙角
钝角
有两角一边求余角余边【钝角之一】
假如【乙丙丁】钝角形有丙角【三十六度半】乙角【二十四度】丁乙边【五十四丈】
求丁角
以丙丁二角并共【六十度半】以减
半周得余一百一十九度半为丁
钝角
求乙丙边
以丙角正比丁角正若乙丁边与乙丙边一 丙角【三十六度三十分】正 五九四八二二 丁角【一百十九度三十分】正 八七○三六
三 乙丁边 五十四丈
四 乙丙边 七十九丈○一寸右所用丁角正即六十度半正以钝角度减半周用之凡钝角同
求丁丙边
以丙角正比乙角正若乙丁边与丁丙边一 丙角【三十六度三十分】正 五九四八二二 乙角【二十四度】正 四○六七四
三 乙丁边 五十四丈
四 丁丙边 三十六丈九尺二寸
凡钝角以外角之正为正盖即
此钝角之外角也如图丁为钝角乙
丙为丁角所对之弧乙丁甲为丁角
之外角至于正皆以本角之勾为
底以割线【半径同】与弧之相界处直线
垂下与本角之底为正方直角如图
乙丁甲为丁角之外角乙丁如外角
之割线夘丁如外角之余而夘乙
则外角之正也至如丙角以丙丁
为底其正丑丁近乙丁边乙角以
乙丙为底其正子丁近乙丙边也
补图明之
有一角两边求余角余边【钝角之二】
假如甲乙丙角有乙角九十九度五十七分钝角形【此钝角所对之弧度分】甲丙边四千尺甲乙边三千五百一十七尺
【前则用他角求钝角此则用钝角求他角】
乙角为钝角
甲丙为钝角所对之弧度
乙丁为丙角正
甲戊为钝角用外角之正
求丙角
以甲丙边比甲乙边若乙角正与丙角正
一 甲丙边 四千尺
二 甲乙边 三千五百一十七尺三 乙角【九十九度五十七分】正 九八四九六【即八十度三分正度】四 丙角 正 八六六○三
检表得丙角六十度
按乙角为钝角其所用外角之正即钝角九十九度五十七分减半周一百八十度所余八十度○三分之外角其所有之正也【每度六十分】求丙角者止丁外角之正可比丙角之正故先以甲丙边比甲乙边为例俱以长比短而纵与纵为同类
求甲角
并乙丙二角共一百五十九度五十七分以减半周得余二十度○三分为甲角
求乙丙边
以乙角之正比甲角正若甲丙边与乙丙边一 乙角【九十九度五十七分】正 九八四六九二 甲角【二十度○三分】正 三四二八四
三 甲丙边 四千尺
四 乙丙边 一千三百九十二尺右甲角正以甲丙为底乙已即甲角正与甲已为正方角此二则皆以大比小右例有两角一边而先有对角之边若两边一角而边在角之两旁不与角对又另法如左
假如乙丁丙钝角形有乙丁边【一千○八十尺】乙丙边【一千五百八十二尺】乙角【二十四度】
丙戊为虚股 戊丁为虚勾
乙角乙丁为底丑丁为正 乙丁
即余 丙角丙丁为底子丁为正
先以半径比乙角正若乙丙边与丙戊边
一 半径 一○○○○○
二 乙角【二十四度】正 ○四○六七四
三 乙丙边 一千五百八十二尺四 丙戊边【即虚垂线】 ○六百四十三尺
又以半径比乙角余若乙丙边与乙戊
一 半径 一○○○○○
二 乙角【二十四度】余 ○九一三五五
三 乙丙边 一千五百八十二尺四 乙戊边【即乙丁引长线】 一千四百四十五尺右以原边乙丁【一千○八十尺】与引长乙戊边相减得丁戊【三百六十五尺】为形外所作虚勾股形之勾【先得丙戊垂线为股原有边之丁丙为】
求丁丙边
依勾股求法以丙戊股自乘【四十一万三千四百四十九尺】丁戊勾自乘【一十三万三千二百二十五尺】并之得数【五十四万六千六百七十四尺】为实平方开之得七百三十九尺为丁丙边
求丙角
以丁丙边比丁乙边若乙角正与丙角正一 丁丙边 ○七百三十九尺二 丁乙边 一千○八十尺
三 乙角【二十四度】正 四○六七四
四 丙角 正 五九四四二
检表得丙角三十六度二十九分
求丁角
以丙乙二角并之共【六十度二十九分】以减半周得余一百一十九度三十一分为丁钝角
此三角形既有乙角度当先求丙角之鋭而后丁角之钝可以半周相减即得但求丙角虽有乙丁边可为丙角正之比例【凡正必在本角相对之边】然丙丁无边不能以边比边为乙角正比丙角正之例故又当先求丙丁边但丙丁边如勾股之斜当以勾股求法求之今丁戊无勾丙戊无股故先求丙戊边以作虚股再求乙戊边以作虚勾而后用勾股求法而得丙丁之边三边既得则每角之正必近本角所对之边即可以所对之两边相比为两角之正相比之例求之矣葢丙角以丙丁为底其正子丁近乙丁边而乙角之正子丑近丙丁边故必先得边以为求线之比例也既先有乙角又求得丙角则丁角半周减之即得矣
右两边一角而角不与边对
用切线分外角【梅本新増】
假如乙丁丙钝角形有乙丁边【五百四十尺】丙乙边【七百九十一尺】乙角【二十四】度
求丙角
以【丁乙丙乙】两边相并为总相减为较又以【乙】角【二十四度】减半周得外角【一百五十六度】半之得半外角【七十八度】
以边总比边较若半外角切线与半较角切线一 两边之总 一千三百三十一尺二 两边之较 ○二百五十一尺
三 半外角切线 四七○四六三
四 半较角切线 ○八八七一九
检表得半较角【四十一度三十五分】以减半外角【七十八度】得余【三十六度二十五分】为丙角
求丁角
并乙丙二角共【六十度二十五分】以减半周得一百一十九度三十五分为丁钝角
求丁丙边
以丙角正比乙角正若乙丁边与丁丙边一 丙角【三十六度二十五分】正 五九三六五二 乙角【二十四度】正 四○六七四
三 乙丁边 五百四十尺
四 丁丙边 三百六十九尺九寸八
分
右新増一则亦角在两边之中不与边对与前三角形无异亦俱先求丙角前法先以勾股求法求丙丁边先补虚勾虚股以求丙丁边边得而丙角之线可比例以求丙角其法详此新増法竟求丙角而求丙丁边反在求得丙角之后更简捷矣其边总边较半外角切线与半较角切线补图明之如左
【甲庚癸为半周子庚为半径
甲壬为乙角度壬辛癸为外角
壬辛为半外角子夘为半外角割
线壬夘为半外角切
线己丑为半较角切
线己辛为半较角】
新式三边求角【钝角之三】
假如【乙丙丁】钝角形有乙丙边【三百五十尺】乙丁边【六百○七尺】丁丙边【三百尺】
右有边无角
术自乙角作虚垂线至甲又引丁丙线横出遇于甲而成正方形为乙甲丁勾股形又横线至辛如丙甲成乙甲辛勾股形丁辛为两勾之总丁丙边为两勾之较乙丁边为大形【乙甲丁】之乙丙边为小形【乙甲辛即乙甲丙】之两相并为总相减为较
先求勾总
此因将求丁角度而三角无度则无线可比唯丙丁句似丁角余然丁角以乙丁为半径则乙甲为正而余应自丁至甲今止自丁至丙尚少丙甲之余故必先求甲丁勾始与丁角余相等然欲求甲丁勾又必先求勾总以为分形之勾股而后甲丁之勾可比得丁角之余以查表而得丁角也
一 勾较【即丁丙边】 三百尺
二 较【即乙丁边减乙丙之余】二百三十二尺
三 总【即乙丁乙丙二边相并】 九百八十二尺四 勾总【即丁辛】 七百五十九尺四寸以勾较【三百尺】减所得勾总【七百五十九尺四寸】余数【四百五十九尺四寸】半之得数【二百二十九尺七寸】为小形之勾甲丙
以甲丙小形之勾加丁丙较【三百尺】得数【五百二十九尺七寸】为大形之勾甲丁
求丁角
以乙丁比丁甲勾若半径与丁角之余一 乙丁 六百○七尺
二 甲丁勾 五百二十九尺七寸
三 半径 一○○○○○
四 丁角余 ○八七二六五
检表得丁角二十九度一十四分
求丙角【用乙甲丙小形】
钝角用外角故用乙甲丙之小形勾股此勾股之乙丙即此钝角丙之外角割线
以甲丙勾比乙丙若半径与丙角之割线一 甲丙勾 二百二十九尺七寸二 乙丙 三百七十五尺
三 半径 一○○○○○
四 丙角割线 一六三二五六
检表得丙角【五十二度一十四分】为本形之丙外角以减半周得丙钝角一百二十七度四十六分按此五十二度一十四分乃丙外角之度分故乙丙斜实即丙角之割线至于求丁角求丙角俱以半径为三率而丁角之三率用以作丙角之三率用以作勾半径可勾可股可顾随所取用耳
求乙角
并丁丙二角所得度分共【一百五十七度】以减半周得余二十三度为乙角
右例钝角形三边求角作垂线于形外径求钝角乃新式也若以大边为底从钝角分中长线同鋭角之三
补图 乙丙丁三角形 乙己为丙角
弧度 乙辛为丙外角 丙戊
即【乙丙】为丙外角割线 乙壬壬
辛为外角之丁角乙角
乙甲即中长线 乙甲丙即小
形勾股 乙甲丁即大形勾股
乙丙即虚勾虚股之 戊辛
为切线
右钝角用割线宣城梅定九先生新増此式为割线求度分之法盖割线乃象限中所割各度之线必与切线相遇以为増减割线割于弧内切线切于弧外彼増此减彼减此増如前钝角之二己辛为半较角其切线即从己之弧外起今外角乙辛即从辛之弧外起此新式之用割线视前法无异也至钝角之所以用外角者盖大圜两分之为半周四分之为象限凡象限止九十度而自一度至四十四度为平度自四十五度至八十九度为髙度其髙度之正线即平度之余线而髙度之余线即平度之正线故四十四与四十五同表四十三与四十六同表以至○度○分则与八十九度六十分同表此作八线表者因髙度平度如测望之直景倒景相反而实相通为此省文也今凡钝角度必过象限之外在八线无半弧之表可查则用外角之线度以减半弧而所余之度即钝角所对之弧度明矣此因八线表而立钝角用外角之法也
勾股引防卷四
钦定四库全书
勾股引卷五
海宁 陈訏 撰