御制数理精蕴卷九
十九论有二全度此全倍于彼全若此全所减之度倍于彼全所减之度则此较【相减之余曰较】亦倍于彼较【设此度二十彼度十于二十减六于十减三则此较十四彼较七】
钦定四库全书
几何论约卷一
柘城杜知耕撰
一题
有界直线上求立平边三角形
法曰甲乙直线上求立平边三角
形先以甲为心乙为界作丙乙丁
圜次以乙为心甲为界作丙甲丁
圜两圜相交于丙于丁末作甲丙乙丙两线即甲乙丙为平边三角形
论曰两圜既等甲乙乙丙丙甲三线皆圜之半径故等【界説十五】
用法不必作全圜但作短界线相交处即得丙【下图】二题
一直线或内或外有一防求以防为界作直线与元线等
法曰有甲防及乙丙线求以甲为界作一线与乙丙等先以丙为心乙为界作乙戊圜次观甲防若
在丙乙之外则作甲丙线
如上圗或甲防在丙乙之
内则截取甲丙线如下圗
两法俱以甲丙线为底作甲丁丙平边三角形【本卷一】次引丁丙至乙戊圜界为丙戊引丁甲出圜界外稍长为甲己末以丁为心戊为界作辛戊圜其丁己线与辛戊圜相交于庚即甲庚与乙丙等论曰丁戊丁庚同为外圜半径故等丙戊丙乙同为内圜半径亦等于丁庚减丁甲于丁戊减丁丙其所减两腰等则所存必等【公论三】夫甲庚既等于丙戊即等于丙乙矣
若所设甲防在丙乙线之一界其法尤易若甲防在丙即以丙为心作乙戊圜从丙至戊即所求三题
长短两直线求于长线减去短线之度
法曰甲短线乙丙长线求于乙丙减甲先作乙丁线与甲等次以乙为心丁为
界作圜圜界交乙丙于戊即乙戊与等甲之乙丁等盖乙丁乙戊同心同圜故也【界説十五】
四题
两三角形若相当之两腰各等各两腰间角等则两底必等而两形亦等其余各两角相当者俱等
解曰甲乙丙丁戊己两角形甲与丁两角等甲丙
与丁己两线甲乙与丁戊两线各等题言乙丙与戊己两底必等而两角
形亦等乙与戊两角丙与己两角俱等【三角形称为角形省文也】
五题
三角形若两腰等则底线两端之两角等而两腰引出之其底之外两角亦等
解曰甲乙丙角形其甲丙与甲乙两腰等题言甲丙乙与甲乙丙两角等又引甲丙
至戊引甲乙至丁其乙丙戊与丙乙丁两外角亦等
増凡三边等形其三角俱等
六题
三角形若底线两端之两角等则两腰亦等
七题
一线为底出两腰线其相遇止有一防不得别有腰线与元腰线等而于此防外相遇
解曰乙丙线为底于乙于丙各出一线至甲防相遇不得于乙上更出一线与甲乙等丙
上更出一线与甲丙等而不于甲相遇
八题
两三角形若相当之两腰各等两底亦等则两腰间角必等
解曰甲乙丙丁戊己两角形其甲乙与丁戊两腰甲丙与丁己两腰各等乙丙
与戊己两底亦等题言甲丁两角必等
糸本题止论甲丁两角若旋转依法论之即三角皆同可见凡线等角必等不可疑也
九题
有直线角求两分之
法曰乙甲丙角求两平分之先于甲乙线任截一分为甲丁次于甲丙截甲戊与甲丁等次作丁戊线次以丁戊为底立丁己戊
平边三角形【本卷一】末作甲己线即乙甲丙角为两平分
用法如前截取甲丁甲戊即以丁为心向乙丙间作一短界线次用元度以戊
为心亦如之两界线交处即得己【本巻一】
十题
一有界线求两平分之
法曰甲乙线求两平分先以甲乙为底作甲乙丙两边等三角形【本巻一】次平分丙角【本巻九】作丙丁线即平分甲乙于丁
用法以甲为心任用一度但须长于甲乙线之半向上向下各作一短界线次用元度以乙为心亦如之两界线交处即丙丁末作丙
丁线即平分甲乙于戊
十一题
一直线任于一防上求作垂线
法曰甲乙直线任指丙防求作垂线先任用一度于丙左右各截一界为丁为戊次以丁戊为底作丁己戊两邉等角形【本巻一】末作己丙线即为甲乙之垂线
用法于丙防左右如前截取丁与戊即以丁为心任用一度但须长于丙丁线向丙上方作短界线次用元度以戊为心亦如之两界
线交处即己
増若所欲立垂线之防在线末甲界上甲外无余线可截则于甲乙线上任取丙防如前法于丙上立丁丙垂线次平分甲丙丁角为己丙线次于丁丙线截取戊丙与甲丙等次于戊上立垂线与己丙线相遇于庚末自庚作庚甲线为所求
论曰庚丙甲庚丙戊两角形等甲与戊两角必等戊既直角则甲亦直角故庚甲为甲乙之垂线【界十】用法甲防上欲立垂线先以甲为心向元线上方任抵一界为丙次用元度以丙为心作大半圜圜界遇甲乙线于丁次自丁至丙作直线引长至戊遇圜界于己末作己甲线为所求
耕曰丁己既过丙心即是圜径而己甲丁则全圜之半也丁甲己角既负半圜必为直角【三巻三一】故己甲为甲乙之垂线
十二题
有无界直线之外有一防求自防作垂线至直线上法曰甲乙线外有丙防求自丙作垂线至甲乙先以丙为心作一圜令两交于甲乙线为丁戊次作丙丁丙戊两线次平分丁戊于
己【本巻十】末作丙己为所求
用法以丙为心向直线两处各作短界线为甲为乙次用一度以甲为心向丙防相望处作短界线乙为心亦如之两界线交处为丁末作丙丁交直线于戊即丙戊为垂线
又用法于甲乙线上近甲或近乙任取一防为心以丙为界作一圜界于丙防及相望处各稍引长
之次于甲乙线上视前心或相
望如上圗或进或退如下图任
移一防为心以丙为界作一圜
界与前圜界交处得丁末作丙丁线交甲乙线于戊即丙戊为垂线【若近界作垂线无可截取亦用此法】
十三题
一直线至他直线上所作两角非直角即等于两直角
解曰甲乙线至丙丁线上作甲乙丙甲乙丁两角题言此两角若非直角即一鋭一钝而并之等于两直角
论曰试作戊乙垂线【本巻十一】则成戊乙丁戊乙丙两直角甲乙丁角加一戊乙甲角与戊乙丁直角等甲乙丙角减一戊乙甲角与戊乙丙直角等故甲乙丁甲乙丙两角并与两直角等
十四题
一直线于线上一防岀不同方两直线偕元线毎旁作两角若旁两角与两直角等即后出两线为一直线
解曰甲乙线于丙防上左岀一线为丙丁右出一线为丙戊若甲丙戊甲丙丁两角与两
直角等题言丁丙与丙戊是一直线【论同前题】
十五题
凡两直线相交作四角毎两交角必等
解曰甲乙丙丁两线相交于戊题言甲戊丙丁戊
乙两角甲戊丁丙戊乙两角各等
论曰两直线相交则甲戊丁丁戊乙必等于
两直角甲戊丁甲戊丙亦等于两直角【本巻十三】是甲戊丁丁戊乙两角并与甲戊丁甲戊丙两角并等矣试减同用之甲戊丁角所存丁戊乙甲戊丙两角必等余两角亦同此论
一糸推显两直线相交作四角与四直角等
二糸凡直线相交于一防不论几许线几许角定与四直角等
増题一直线内出不同方两直线而所作两交角等即后出两线为一直线【理同本题反言之】
十六题
凡三角形之外角必大于相对之各角
解曰甲乙丙角形自乙甲线引至丁题言丁甲丙外角必大于相对之甲乙丙甲丙乙内角
论曰试以甲丙平分于戊作乙戊线引长之从戊截取戊己与乙戊等次作甲己线成甲戊己戊乙丙两角形其戊己与戊乙戊甲与戊丙各等甲戊己乙戊丙两交角又等【本巻十五】则甲己与乙丙两底亦等【本巻四】而己甲戊与戊丙乙两角亦等矣夫己甲戊乃丁甲丙之分则丁甲丙大于己甲戊亦大于相等之戊丙乙矣依前
推显庚甲乙大于辛乙丙庚甲乙又与丁甲丙两交角相等【本巻十五】是丁甲丙亦大于辛乙丙矣
十七题
凡三角形之毎两角必小于两直角
解曰甲乙丙角形题言毎两角并俱小于两直角
论曰试引丙乙至丁甲乙丙甲乙丁两角并与两直角等【本巻十三】而甲乙丁外角必大于甲丙乙内角【本巻十六】是甲乙丙与甲丙乙两角并小于两直角矣余二角仿此
十八题
凡三角形大邉对大角小邉对小角
解曰甲乙丙角形之甲丙边大于甲乙边乙丙边题言甲乙丙角大于甲丙两角
论曰试于甲丙线上截甲丁与甲乙等作乙丁线则甲乙丁与甲丁乙两角等矣【本巻五】夫甲丁乙角者乙丙丁角形之外角必大于相对之丁丙乙内角【本巻十六】则甲乙丁角亦大于甲丙乙角而况甲乙丙又函甲乙丁于其中不更大于甲丙乙乎如乙丙边大于甲乙边则甲角亦大于丙角依此推显十九题
凡三角形大角对大边小角对小边
二十题
凡三角形之两边并必大于一边
二十一题
凡三角形于一边之两界出两线复作一三角形在其内则内形两腰并必小于相对两腰并而后两线所作角必大于相对角
解曰甲乙丙角形于乙丙边之两界各出一线遇于丁题言丁丙丁乙两线并必小
于甲乙甲丙并而乙丁丙角必大于乙甲丙角二十二题
三直线其毎两线并大于一线求作三角形
法曰甲乙丙三线其第一第二线并大于第三线【若两线比第三线或等或小即不能作三角形见本巻二十】求作三角形先任作丁戊线长于三线并次截丁己与甲等截己庚与乙等
截庚辛与丙等次以己为心丁为界作丁壬癸圜以庚为心辛为界作辛壬癸圜其两圜相遇下为壬上为癸末以庚己为底作癸庚癸己两线即得己癸庚三角形【壬防亦可作 若两圜不相交即是两线或等或小于第三线不成三角形】
用法先作丁戊线与乙等次以丁为心甲为度向上作短界线次以戊为心丙为度亦如
之交处得己末作己丁己戊两线为所求【若设一三角形求别作一形与之等亦用此法】
二十三题
一直线任于一防上求作一角与所设角等
法曰甲乙线于丙防求作一角与丁戊己角等先任作庚辛线成庚戊辛角形
次依甲乙线作丙壬癸角形与戊庚辛等【本卷二二】二十四题
两三角形相当之两腰各等若一形之腰间角大则底亦大
解曰甲乙丙与丁戊庚两角形其甲乙与丁戊两腰甲丙与丁庚两腰各等若
甲角大于戊丁庚角题言乙丙底亦大于戊庚底耕曰设丁戊己与甲乙丙形等则角与底必俱等若丁己线开至辛甲角小于丁角而乙丙底亦必小于戊辛底若丁己线敛至庚甲角大于丁角而乙丙底亦大于戊庚底
二十五题
两三角形相当之两腰各等若一形之底大则腰间角亦大
二十六题
两三角形有相当之两角等及相当之一边等则余两边必等余一角亦等其一边不论在两角之内及一角之对
解曰甲乙丙形之乙丙两角与丁戊己形之戊己两角各等或两角内之乙丙边与戊己边等或对丙角之甲乙边与对己角之
丁戊邉等题言两形之余两边一角必俱等
二十七题
两直线有他直线交加其上若内相对两角等即两直线必平行
解曰甲乙丙丁两直线加他直线戊己交于庚于辛而甲庚辛与丁辛庚两角等题言甲乙丙丁两线必平行
论曰如不平行两线必相遇于壬成庚辛壬三角形则甲庚辛外角宜大于相对之庚辛壬内角【本巻十六】若两角等则两线必平行
二十八题
两直线有他直线交加其上若外角与同方相对之内角等或同方两内角与两直角等即两直线必平行
解曰甲乙丙丁两直线加他直线戊己交于庚于辛题言若戊庚甲外角与同方相对之庚辛丙内角等则两线必平行又言若甲庚辛与丙辛庚同方两内角并与两直角等则两线必平行
二十九题
两平行线有他直线交加其上则内相对两角必等外角与同方相对之内角亦等同方两内角亦与两直角等【义同上二题反言之】
三十题
两直线与他直线平行则元两线亦平行【此题所指线在同面者不同面线后别有论】
三十一题
一防上求作直线与所设直线平行
法曰甲防求作直线与乙丙平行先从甲向乙丙线任作甲丁线即乙丙线上成甲丁乙角次于甲防上作一角与甲丁乙等【本巻二三】为
戊甲丁引长戊甲至己即己戊为所求
论曰戊甲丁甲丁乙相对之两内角等两线必平行【本巻二八】
用法先从甲防作甲丁线次以丁为心任作戊己圜界次用元度以甲为心作庚辛圜界少长于戊己次取戊己度截庚辛圜界于辛
末作甲辛线为所求
又用法以甲防为心于乙丙线近乙处任作短界线为丁次用元度以丁为心于乙丙线向丙作短界线为戊次用元度以戊为心向
上与甲平处作短界线又用元度以甲为心向甲之平处作短界线两界线交处为己末作己甲线为所求又用法取甲至乙丙线为度于乙丙线近乙处任指一防为心作短界线于甲次用元度近丙处任指一防为心作短界线于丁末作
丁甲线为所求【出几何要法】
増从此题生一用法设一角两线求作四边形有
角与所设角等
法曰先作己丁戊角与丙等次截丁戊与甲等己丁与乙等末依丁戊平行作己庚
依丁己平行作庚戊为所求
三十二题【二支】
凡三角形之外角与相对之内两角并等凡三角形之内三角并与两直角等
先解曰甲乙丙角形乙丙边引至丁题言甲丙丁
外角与甲乙两内角并等
论曰试作戊丙线与甲乙平行即甲丙为甲
乙戊丙之交加线则乙甲丙角与相对之甲丙戊角等【本卷二九】又乙丁与两平行线相遇则戊丙丁外角与相对之乙内角等【本卷二九】故甲丙丁外角与甲乙两内角并等
后解曰甲乙丙三角并与两直角等
论曰甲丙乙甲丙丁两角并与两直角等【本巻十三】又与甲乙丙三角并等是三角亦与两直角等
増从此推知第一形当两直角第二形【可分三角形二】当
四直角第三形【可分三角形三】当六
直角第四形【可分三角形四】当八直
角从此可推至无穷
耕曰不论何形凡形四边可当四直角五边可当六直角六边可当八直角七边可当十直角从此可推至无穷
一糸凡诸种角形之三角并俱相等
二糸凡两腰等角形若腰间直角则余两角毎当直角之半腰间钝角则余两角俱小于半直角腰间鋭角则余两角俱大于半直角
三糸平边角形毎当直角三分之二
四糸甲乙丙平边角形以甲丁垂线分之其丁甲丙丁甲乙两角毎当直角三分之一乙丙两角毎
当直角三分之二
増从三糸可分一直角为三平分如甲乙丙直角于甲乙线上作甲乙丁平边角形【本巻一】次平分甲丁于戊【本巻九】末作乙戊线
三十三题
两平行相等线有两线聨之其两线亦平行亦相等
三十四题
凡平行线方形毎相对两边线各等毎相对两角各等对角线分本形两平分
解曰甲乙丙丁平行方形题言甲乙与丙丁两线甲丙与乙丁两线各等又言乙与丙两角丁与甲两角各等又言若作甲丁对角线
即分本形为两平分
三十五题
两平行方形若同在平行线内又同底则两形必等解曰甲乙丙丁两平行线内有丙丁戊甲与丙丁乙己两平行方形同丙丁底题言两形等【等者谓所函之地等后言形等者多仿此】
先论己防在甲戊之内曰甲戊己乙两线等试于两线各减己戊余甲己戊乙亦等因显甲丙己戊丁乙两角形亦等【本巻四】次于两角
形毎加一丙丁戊己四边形即丙丁戊甲丙丁乙己两方形安得不等
次论己戊同防曰甲丙戊戊丁乙两角形等次于两角形毎加一丙戊丁角形即丙丁戊甲与丙丁戊乙两方形故等
后论己防在甲戊之外曰甲戊己乙两线等
而毎加一戊己线即甲己与戊乙两线亦等因显己甲丙乙戊丁两角形亦等次毎减一己戊庚角形加一庚丁丙角形即丙丁戊甲与丙丁乙己两方形故等
三十六题
两平行线内有两平行方形若底等则形亦等
解曰甲乙丙丁两平行线内有甲丙戊己与庚辛丁乙两平行方形而丙戊与辛丁两底
等题言两形亦等
论曰试作丙庚戊乙两线成庚丙戊乙方形此形与庚辛丁乙方形同庚乙底必等与甲丙戊己方形同丙戊底亦等【本巻三五】即甲丙戊己与庚辛丁乙两方形自相等
三十七题
两平行线内有两三角形若同底则两形必等
三十八题
两平行线内有两三角形若底等则两形必等
耕曰三角形当等髙等底方形之半两方形等则两角形必亦等论同前二题平行方形
増甲乙丙角形任于乙丙边平分于丁作丁甲线
即分本形为两平分
论曰试于甲角上作直线与乙丙平行则甲
乙丁甲丁丙两角形在平行线内两底等则两形亦等
二増甲乙丙角形从丁防求两平分法先作丁甲线次平分乙丙于戊作戊己线与甲丁平行末作
己丁线即分本形为两平分
论曰试作甲戊直线即甲戊己己丁戊两角形在平行线内同己戊底必等而毎加一己
戊丙形则己丁丙与甲戊丙两角形亦等夫甲戊丙为甲乙丙之半则己丁丙亦甲乙丙之半
三十九题
两三角形其底同其形等必在两平行线内
四十题
两三角形其底等其形等必在两平行线内
四十一题
两平行线内有一平行方形一三角形同底则方形倍大于三角形
四十二题
有三角形求作平行方形与之等而方形角有与所设角等
法曰求作平行方形与甲乙丙角形等而有丁角先平分乙丙边于戊次作丙戊己角与丁等【本巻十】次作甲庚直线与乙丙平行末作
丙庚线与戊己平行即得己戊丙庚方形为所求四十三题
凡方形对角线旁两余方形自相等
解曰甲乙丙丁方形有甲丙对角线题言两旁之壬戊与丁庚两余方形自相等
论曰甲乙丙甲丙丁两角形等又甲戊庚甲庚辛两角形庚壬丙庚丙己两角形各等于甲乙丙形内减甲庚戊庚壬丙两形
于甲丙丁形内减甲庚辛庚丙己两形则所存壬戊丁庚两余方形安得不等
四十四题
一直线上求作平行方形与所设三角形等而方形角有与所设角等
法曰求于甲线上作平行方形与乙等而有丙角先作己丁方形与乙等而戊己庚角与丙等次引
长丁戊庚己两线为戊壬己辛令各与甲等次作壬己对角线引出之次引长戊己丁庚两线而丁庚遇对角
线于癸末作癸子与庚辛平行作壬子与戊丑平行即己丑子辛平行方形为所求【论同本巻四二四三】
四十五题
有多边直线形求作一平行方形与之等而方形角有与所设角等
法曰求作平行方形与甲乙丙五边形等而有丁
角先分五边形为甲乙丙三三角形次作戊己庚辛方形与甲等而有丁角次引长戊辛己庚作庚辛壬癸方
形与乙等而有丁角末复引前线作壬癸子丑方形与丙等而有丁角即此三形并成一平行方形为所求【自五以上仿此法论同本巻四二四四】
増题甲乙两形甲大乙小以乙减甲求较几何法先任作丁丙己戊方形与甲等次于丙丁线上作丁丙辛庚方形与乙等即得辛庚戊己为甲乙相减之较
四十六题
一直线上求立直角方形
法曰甲乙线上求立直角方形先于甲乙两界各立垂线为丙甲丁乙皆与甲乙线等末
作丙丁聨之即直角方形
四十七题
凡三边直角形对直角边上所作直角方形与余两边上所作直角方形并等
解曰甲乙丙角形于对乙甲丙直角之乙丙邉上作乙丙丁戊方形题言此方形与甲乙邉上所作甲乙己庚及甲丙邉上所作甲丙辛壬两方形并
等
曰试从甲作甲癸直线
与乙戊平行分乙丙邉于
子次自甲至丁至戊各作
直线末自乙至辛自丙至己各作直线其乙甲丙与乙甲庚既皆直角即庚甲甲丙是一直线【本巻十四】又丙乙戊与甲乙己既皆直角而毎加一甲乙丙角即甲乙戊与丙乙己两角亦等又甲乙戊角形之甲乙乙戊两邉与丙乙己角形之己乙乙丙两
边等甲乙戊与丙乙己两
角既等则对等角之甲戊
与丙己两边亦等而此两
角形亦等矣夫乙庚方形
倍大于同乙己底同在平行线内之丙乙己角形而戊子直角形亦倍大于同乙戊底同在平行线内之甲乙戊角形则乙庚方形不与戊子直角形等乎依显丙壬与癸丙两形亦等是戊丙一形与乙庚丙壬两形并等矣
一増凡直角方形之对角线上所作直角方形倍大于元形
二増设不等两方形一以甲为邉一以乙为邉求别作两方形自相等而并之又与元设两形并等法先作丙丁戊形令丙丁与甲等
丙戊与乙等而直角末于丁戊两端各作半直角两腰遇于己而等则己必直角【本卷三二】即己戊己丁上两方形自相等并之又与甲乙上两方形并等论曰丁戊上方形与丁丙丙戊上两方形并等又与丁己己戊上两方形并等是丁己己戊上两方形并与丁丙丙戊上两方形并亦等
三増多直角方形求并作一方形设不等五方形其边为甲乙丙丁戊先作己庚辛直角令己庚与甲等辛庚与乙等次作己辛线旋作己辛壬直角令辛壬与丙等次作己壬线旋作己壬癸直角令壬癸与丁等次作己癸线旋作己癸子直角令癸子与戊等末作己子线即己子线上所作方形为所求
论曰辛己上方形与甲乙上两方形并等己壬上方形与甲乙丙上三方形并等余仿此
四増甲乙丙三边直角形以两边求第三边长短之度如先得甲乙数六甲丙数八求乙丙之数其甲乙甲丙上两方形并既与乙丙上方形等甲乙之羃三十六【方形自乗之数曰羃】甲丙之羃六十四并之得百而乙丙之羃亦百开方
得十即乙丙之数也又设先得甲乙六乙丙十而求甲丙之数乙丙之羃百减甲乙之羃三十六余六十四开方得八即甲丙之数也求甲乙仿此四十八题
凡三角形之一边上所作直角方形与余边上所作两直角方形并等则对一边之角必直角
几何论约卷一
钦定四库全书
几何论约卷二之首
柘城杜知耕撰
界説二则
一界凡直角形之两边函一直角者为直角形之矩线如甲乙偕乙丙函甲乙丙直角得此两边即知直角形大小之度若别作两线与甲乙
乙丙各等亦知丁乙直角形大小之度则两线为直角形之矩线
二界诸方形有对角线者其两余方形任偕一角线方形为磬折形如乙丁方形不论斜直作甲丙对角线从庚防作戊己辛壬两线与方边平行而分本形为四方形其辛己戊壬为余方形辛戊己壬为角线方形两余方形任
与壬己一角线方形并形曲如磬谓之癸子庚磬折形用戊辛角线方形仿此
钦定四库全书
几何论约卷二
柘城杜知耕撰
一题
两直线任于一直线分为若干分其两元线矩内直角形与不分线偕诸分线矩内直角形并等
解曰甲与乙丙两线任于乙丙三分之为乙丁戊丙题言甲偕乙丙矩内形与甲偕乙丁甲偕丁戊甲偕戊丙三矩内形并等
论曰乙己全形即甲偕乙丙矩内形乙辛丁壬戊己三分形即甲偕乙丁丁戊戊丙三矩内形故三分形并与全形等
二题
一直线任两分之其元线上直角方形与元线偕两分线两矩内形并等
三题
一直线任两分之其元线任偕一分线矩内直角形与分余线偕一分线矩内直角形及一分线上直角方形并等
解曰甲乙线任分于丙题言元线甲乙任偕一分线甲丙矩内形【不论甲丙为大分为小分】与分余丙乙偕甲丙
矩内形及甲丙上方形并等
论曰甲己为元线甲乙偕分线甲
丙矩内形甲丁为分线甲丙上方
形丙己为甲丙偕分余线丙乙矩内形是甲丁及丙己两分形并与甲己全形等
四题
一直线任两分之其元线上直角方形与各分线上两直角方形及两分线矩内形二并等
解曰甲乙线任分于丙题言甲乙线上方形与甲丙丙乙线上两方形及甲丙偕丙乙丙乙偕甲丙
两矩内形并等
论曰甲丁为甲乙元线上方形辛己为甲丙上方形丙壬为丙乙上方形甲庚
庚丁俱甲丙偕丙乙矩内形也故四形并与甲乙元线上甲丁方形等
糸凡直角方形之角线形皆直角方形
五题
一直线两平分之又任两分之其任两分线矩内形及分内线上方形并与平分半线上方形等
解曰甲乙线平分于丙又任分于丁其丙丁为分内线【丙丁线者丙乙所以大于丁乙之较又甲丁所以大于甲丙之较故曰分内线】题言甲丁丁乙矩内形及分内线丙丁上方形并与丙乙线上方形等论曰癸庚为丙丁上方形丁壬为丁乙
上方形丙辛辛己为两余方自相等辛己加一丁壬则与丙壬等即与甲癸等甲癸加一丙辛即甲丁偕丁乙矩内形岂不与卯寅丑磬折形等乎故加一丙丁上癸庚方形与丙乙线上方形等
六题
一直线两平分之又任引増一直线共为一全线其全线偕引増线矩内形及半元线上方形并与半元线偕引増线上方形等
解曰甲乙线平分于丙又从乙引増乙丁与甲乙通为一全线题言甲丁偕乙丁矩内形及半元线丙乙上方形并与丙丁上方形等论曰甲癸与丙辛等又丙辛与辛戊等【一卷】
【四三】即辛戊与甲癸亦等甲癸加一丙壬即甲丁偕丁乙矩内形与卯寅丑磬折形等矣故加一乙丙上癸庚方形与丁丙上丙戊方形等
七题
一直线任两分之其元线上及任用一分线上两方形并与元线偕一分线矩内形二及分余线上方形并等
解曰甲乙线任分于丙题言元线甲乙上及任用
一分线甲丙上两方形并【不论甲丙
为大分为小分】与甲乙偕甲丙矩内形
二及分余线丙乙上方形并等
论曰甲丁为甲乙上方形辛己为甲丙上方形丙壬为丙乙上方形甲己与辛丁皆甲乙偕甲丙矩内形也两矩内形及丙壬方形并与甲丁方形较多一辛己方形故与甲乙及甲丙上两方形并等八题
一直线任两分之其元线偕初分线矩内形四及分余线上方形并与元线偕初分线上方形等
解曰甲乙线任分于丙题言元线甲乙偕初分线丙乙矩内形四【不论丙乙为大分为小分】及分余线甲丙上方形并与甲乙偕丙乙【通作一线】上方形等
论曰丙己庚壬壬丁丁乙皆甲乙偕丙乙矩内形甲子为甲丙上方形此五形并与甲乙偕丙乙上方形
等甲乙偕丙乙上方形即癸己
全形也
九题
一直线两平分之又任两分之任分线上两方形并倍大于平分半线上及分内线上两方形并
解曰甲乙线平分于丙又任分于丁题言甲丁丁乙上两方形并倍大于平分半线甲丙上分余线
丙丁上两方形并
论曰自丙作丙戊垂线与甲丙等次作甲戊戊乙两腰次从丁作丁己垂线遇戊乙于己从己作己庚线与甲乙平行成戊庚己甲丙戊己丁乙角形三皆两腰等而直角末作甲己线成己戊甲甲丁己角形二
皆直角戊庚己形之戊己上方必倍大于己庚上方即倍大于等己庚之丙丁上方甲丙戊形之甲戊上方必倍大于甲丙上方又甲戊己形之甲己上方与戊己甲戊上两方形并等即甲己上方亦倍大于甲丙丙丁上两方形并又甲己上方与甲丁丁己上两方形并等即与甲丁及等丁己之丁乙上两方形并等夫甲丁丁乙上两方形并既等于甲己上方形必亦倍大于甲丙丙丁上两方形并十题
一直线两平分之又任引増一线共为一全线其全线上及引增线上两直角方形并倍大于平分半线上及分余半线偕引増线上两直角方形并
解曰甲乙线平分于丙又任引増乙丁题言甲丁线上及乙丁线上两方形并倍大于甲丙线上及丙丁线上两方形并
论曰自丙作丙戊垂线与甲丙等自戊至甲至乙各作腰线次从丁作己丁垂线引长之又引长戊乙相遇于庚次作戊己线
与丙丁平行成甲丙戊戊己庚庚丁乙角形三各两腰等而直角末作甲庚线成甲戊庚甲丁庚角形二皆直角甲丙戊形之甲戊上方必倍大于甲丙上方戊己庚形之戊庚上方必倍大于等戊己之丙丁上方又甲庚上方与甲戊戊庚上两方形并等即甲庚上方亦倍大于甲丙丙丁上两方形并又甲丁及等丁庚之丁乙上两方形并与甲庚上方形等是甲丁丁乙上两方形并亦倍大于甲丙丙丁上两方形并矣
十一题
一直线求两分之而元线偕初分线矩内形与分余线上方形等
法曰甲乙线求两分之令元线偕初分小线矩内形与分余大线上方形等先
于甲乙线上作甲丙方形次平分甲丁于戊作戊乙线次引戊甲线至己令戊己与戊乙等末截甲乙于庚令甲庚与甲己等即甲乙偕庚乙矩内形与甲庚上方形等为所求
论曰从庚作壬辛线与丁己平行次作己辛线与甲庚平行庚丙为甲乙乙庚矩内形己庚为甲庚上方形己壬为丁己偕甲己矩内形于己壬増一甲戊上方形必与等戊己之戊乙上方形等【本巻六】戊乙上方形又与戊甲甲乙
上两方形并等是戊甲甲乙上两方形并与己壬及戊甲上方形并亦等矣次各减同用之戊甲上方形所存甲丙己壬两形不亦等乎再各减同用之甲壬形所存甲乙乙庚矩内形【即庚丙形】与甲庚上方形【即己庚形】必相等【此题所求即理分中末线详六巻三十】
十二题
三边钝角形其对钝角边上方形大于余邉上两方形并其较为钝角旁任用一邉偕其引増线之与对角所下垂线相遇者矩内形二
解曰甲乙丙钝角形乙为钝角从余角下一垂线
与钝角旁一邉丙乙引増线遇于丁为直角题言对钝角之甲丙邉上方
形大于甲乙乙丙两邉上方形并其较为丙乙偕乙丁矩内形二
论曰丙丁线任分于乙即丙丁上方形与丙乙乙丁上两方形及丙乙偕乙丁矩内形二并等【本卷四】
甲丙上方形与甲丁丙丁上两方形并等即与甲丁乙丁丙乙上三方形
及丙乙偕乙丁矩内形二并等也又甲乙上方形与甲丁乙丁上两方形并等于甲乙上方形再増一丙乙上方形而与甲丙上方形较仍朒丙乙偕乙丁矩内形二也
十三题
三邉鋭角形其对鋭角邉上方形小于余邉上两方形并其较为鋭角旁任用一邉偕其对角所下垂线旁之近鋭角分线矩内形二
解曰甲乙丙鋭角形从甲角向对邉乙丙下一垂线分乙丙于丁题言对
丙鋭角之甲乙邉上方形小于甲丙乙丙邉上两方形并其较为乙丙偕丁丙矩内形二
论曰乙丙线任分于丁即乙丙及丁丙上两方形并与乙丙偕丁丙矩内形二及乙丁上方形并等【本卷七】又甲丙上方形与甲丁丁丙上两方形并等若甲丙乙丙上两方形并必与乙丙偕丁丙矩内
形二及甲丁乙丁上两方形并等又甲乙上方形与甲丁乙丁上两方形
并等即甲乙上方形与甲丙乙丙上两方形较则朒乙丙偕丁丙矩内形二矣
十四题
有直线形求作直角方形与之等
法曰甲无法四邉形求作方形与
之等先作乙丁形与甲等而直角
【一巻四五】任以丁丙邉引之至己令丙
己与乙丙等次平分丁己于庚其庚防若在丙则乙丁即是方形若在丙外即以庚为心丁为界作丁辛己半圜末于乙丙线引长抵圜界于辛即丙辛上方形与甲等
论曰自庚作庚辛线庚辛上方形与庚丙丙辛上两方形并等又等庚辛之庚己上方形与庚丙上方形及丁丙偕等丙乙之丙己矩内形【即乙丁形】并等【本巻五】此二率毎减去同用之庚丙上方形所存乙丁形与丙辛上方形安得不等
増题若先得方形之对角线所长于本形边之较而求本形边其较为甲乙先于甲乙上作甲丙方
形次作乙丁对角线引长至
戊令丁戊与甲乙等即得乙
戊线为所求
论曰依乙戊线作戊庚方形次引乙甲线至己末作戊甲线其己甲丁己戊丁两角必等【两皆直角】同减去丁戊甲形所存己甲戊己戊甲两角亦等角等则己甲己戊两腰必等故乙己角线大于戊己边之较为甲乙
耕曰前论止言当然而未及所以然今补一论以明之另作辛壬为乙己角线上方形次作癸子丑寅两形皆与庚戊等错综加于辛壬方形之上重叠一丑子方形而缺辰己卯午相等两方形凡两方形并与角线上一方形等【一卷四七増】则丑子一形必与两缺形并等次作辛未为卯午缺形之角线而辛未上方形必亦与两缺形并等则丑子形之未丑邉与辛未线必等夫午未为方邉小于角线之较与上圗甲乙等即与上圗丁戊等未丑与辛未等即与上圗丁乙等故并两线为方边
几何讑约巻二
钦定四库全书
几何论约卷三之首
柘城杜知耕撰
界説十则
一界凡圜之径线等或从心至圜界线等为等圜如
甲乙戊己两径等或丁丙辛庚从心至圜界等即两圜等
二界凡直线切圜界过之而不与界交为切圜线甲乙在圜外为切圜线若丙丁入圜内则交线也
三界凡两圜相切而不相交为切圜甲乙两圜相切
于外丙丁两圜
相切于内俱曰
切圜戊己庚辛则交圜也
四界凡圜内直线从心下垂线其垂线大小之度即直线距心逺近之度如甲乙距丁心近则丙丁垂线小戊己距心逺则丁庚垂线大
五界凡直线割圜之形为圜分如丁乙线割圜其乙甲丁乙丙丁皆为圜分圜分有三等过心者为半圜分函心者为圜大分不函心者
为圜小分又割线为圜分为弧
六界凡圜界偕直线作角为圜分角其在半圜内为
半圜角在大分内为大分角在小分内为小分角
七界凡圜界任于一防出两直线作一角为负圜分角甲乙丙圜分甲丙为底于乙防出两直线作甲
乙丙角为负甲乙丙圜分角
八界若两直线之角乗圜之一分为乗圜分角甲乙
丙丁圜内于甲防出甲乙甲丁
两线作乙甲丁角为乗乙丙丁
圜分角圜角三种之外又有一种为切边角或直线切圜如己庚辛或两圜相切于外如辛壬癸或两圜相切于内如癸壬子俱为切边角
九界凡从圜心以两直线作角偕圜界为三角形曰
分圜形
十界两负圜角相等即所负之圜分相似甲乙己与丁丙戊两负圜分角等则所负丙丁戊与乙甲己两圜分相似又两圜或不等其负
圜分角等即两圜分相似【相似者同为几分圜之几也】
钦定四库全书
几何论约巻三
柘城杜知耕撰
一题
有圜求心
解曰甲乙丙丁圜求心先于圜之两界任作一甲丙直线平分于戊次于戊作乙丁
垂线平分于己即己为圜心
糸因此推显圜内有直线分他线为两平分而为直角即圜心在其内
二题
圜界任取两防以直线相聨则直线全在圜内
三题
直线过圜心分他直线为两平分其分处必为两直角为两直角必两平分
解曰甲乙丙丁圜有丙丁线过戊心平分甲乙线于己题言戊己必是垂线而己旁
为两直角又言己旁既为两直角则戊己必分甲乙为两平分
四题
圜内不过心两直线相交不得俱为两平分
解曰甲乙丙圜内有甲乙丙丁两直线俱不过已心而交于戊题言两直线或有一
线为两平分不得俱为两平分
五题
两圜相交必不同心
六题
两圜内相切必不同心
七题
圜径离心任取一防从防至圜界任出几线其过心线最大不过心线最小余线愈近心者愈大愈近不过心线者愈小而诸线中止两线等
解曰甲戊辛圜其径甲乙其心巳离心任取一防为庚从庚至圜界任出几线为庚丙庚丁庚戊题先言从庚所出诸
线惟过心庚甲最大次言不过心庚乙最小三言庚丙大于庚丁庚丁大于庚戊愈近心愈大愈近庚乙愈小后言庚乙两旁如庚戊庚辛止可出两线等不得有三线等
八题
圜外任取一防从防任出几线其至规内则过心线最大余线愈离心愈小其至规外则过心线最小余线愈近径愈小而诸线中止两线等
解曰乙己壬圜之外从甲防任出几线其一过心为甲壬余为甲辛甲庚甲己皆至规内题先言过
心之甲壬最大次言近心之甲辛
大于离心之甲庚甲庚又大于甲
己三言规外之甲乙为乙壬径余
者最小四言甲丙近径余小于甲丁甲丁又小于甲戊后言甲乙两旁止可出两线如甲丙甲子相等不得有三线等
九题
圜内从一防至界作三线以上皆等此防必是圜心论曰三线皆半径故等若非圜心所出止有两线等不得有三线等
十题
两圜相交止于两防
十一题
两圜内相切作直线聨两心引出之必至切界解曰甲乙丙甲戊丁两圜内相切于甲两心为巳为庚题言作直线聨庚己两心引
抵圜界必至甲
十二题
两圜外相切以直线聨两心必过切界
十三题
圜相切不论内外止以一防
十四题
圜内两直线等即距心之逺近等距心之逺近等即两直线等
解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内甲乙丁丙两线等题言两线距心逺近亦等又言两
线距心逺近等则两线亦等
十五题
径为圜内之大线其余线近心大于逺心
解曰甲丙己圜其心庚其径甲己其近心线为乙戊逺心线为丙丁题言甲己最大
乙戊近心大于丙丁逺心
十六题
圜径末之直角线全在圜外而直线偕圜界所作切边角不得更作一直线入其内其半圜分角大于各直线鋭角切边角小于各直线鋭角
解曰甲乙丙圜其心丁甲丙为径从甲作甲戊为甲丙之垂线题言戊甲全在圜外又言戊甲垂线偕乙甲圜界所作切边角
不得更作一直线入其内若作甲己线必割圜为分又言甲丙径线偕甲乙圜界所作丙甲乙圜分角大于各直线鋭角而戊甲垂线偕甲乙圜分所作戊甲乙切边角小于各直线鋭角
论曰甲戊下有直线既云必割圜为分即此直线偕戊甲所作角必大于切边角偕丙甲所作角必小于分圜角
糸戊甲线必切圜以一防
増题有两种几何一大一小以小率半増之逓増至于无穷以大率半减之逓减至于无穷其元大者恒大元小者恒小如戊甲乙切边角为小率壬庚辛直线鋭角为大率今别作甲丙甲丁等圜俱切戊己线于甲其切边角愈増愈大别以庚癸庚子分壬庚
辛角愈分愈小然直线角恒大切邉角恒小乃至终古不得相比
又増题旧有一説以一小率加一大率之上或以一大率加一小率之上不相离逐线渐移之必至一相等之处又一説有率大于此率者有率小于此率者则必有率等于此率者昔人以为皆公论若用以律本题即不可得故今斥为不公论如甲乙丙圜其径甲丙令甲丙之甲界定在于甲而引丙线逐线渐移之向己其所经丁
戊己及中间逐线所经无数凡割圜时皆为鋭角即小于半圜分角才离鋭角便为直角即大于半圜分角终无相等线可见前一旧説未为公论又直线鋭角皆小于半圜分角直角与钝角皆大于半圜分角是有大者有小者终无等者可见后一旧説未为公论
十七题
设一防一圜求从防作切线
法曰甲防求作直线切乙丙圜其心丁先从甲作甲丁直线截圜界于乙次以丁为心甲为界作甲戊圜次从乙作甲丁之垂线而遇甲戊圜于戊次作戊丁线而截乙丙圜于丙末作甲丙线为所求
论曰甲丙丁与戊丁乙两角形各等戊乙丁既直角则甲丙偕丙丁半径亦直角故甲丙为切线十八题
直线切圜从圜心作直线至切界必为切线之垂线解曰甲乙线切丙丁圜于丙从戊心至切界作戊丙线题言戊丙为甲乙之垂线
十九题
直线切圜圜内作切线之垂线则圜心必在垂线内
二十题
负圜角与分圜角所负所分之圜分同则分圜角必倍大于负圜角
解曰甲乙丙圜其心丁有乙丁丙分圜角乙甲丙负圜角同以乙丙圜分为底题言
乙丁丙角倍大于乙甲丙角
先论分圜角在乙甲甲丙之内者曰从甲作甲戊线其甲丁乙形之丁甲丁乙等即丁甲乙丁乙甲两角等【一巻五】而乙丁戊外角与相对两内角并等【一巻三二】即乙丁戊倍大于乙甲丁矣依显丙丁戊亦倍大于丙甲丁则乙丁丙全角亦倍大于乙甲丙全角
次论分圜角不在乙甲甲丙之内而甲乙线过丁心者曰丁甲丙形两腰等则两角亦等而乙丁丙外角与甲丙两内角并等是乙丁
丙角倍大于乙甲丙角
后论分圜角在负圜角之外而甲乙截丁丙者曰乙甲丙负圜角乙丁丙分圜角自甲作甲戊过心线依前论推显戊丁丙分圜角倍
大于戊甲丙负圜角又戊丁乙分圜角倍大于戊甲乙负圜角次于戊丁丙角减戊丁乙角于戊甲丙角减戊甲乙角所余乙丁丙分圜角必倍大于乙甲丙负圜角
増若乙丁丁丙不作角于心或为半圜或大于半圜则心外余地亦倍大于同底之负圜角
论曰作甲戊过心线即心外余地
分为乙丁戊戊丁丙依前论推显
此两角倍大于乙甲丁丁甲丙两角
二十一题
凡同圜分内所作负圜角俱等
解曰甲乙丙丁圜其心戊
于丁甲乙丙圜分丙任作
丁甲丙丁乙丙两角题言此两角等
论曰若函心大分所作如第一图则依丁丙作丁戊丙分圜角此角既倍大于甲角又倍大于乙角是甲乙两角自相等或半圜分所作如第二圗则依二十题増言心外余地倍大于同底各负圜角即各角自相等或不函心小分所作如第三图则作戊丙戊丁两线再作乙庚甲己两过心线丁戊己己戊丙两角并既倍大于丁甲丙角而丁戊庚庚戊丙两角并又倍大于丁乙丙角则甲乙两角必自相等
二十二题
圜内切界四边形毎相对两角并与两直角等
解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内有
甲乙丙丁四边形题言甲乙丙丙
丁甲两角并乙丙丁丁甲乙两角并各与两直角等
论曰试作甲丙乙丁两对角线其甲乙丁甲丙丁两角同负甲乙丙丁圜分即等【本卷二一】依显丙甲丁丙乙丁两角亦等【以同负丙乙甲丁圜分故】则甲乙丁丙乙丁两角并【即一甲乙丙角】与甲丙丁丙甲丁两角并等次毎加一丙丁甲角即甲乙丙丙丁甲两角并与甲丙丁丙甲丁丙丁甲三角并等此三角并元与两直角等【一巻三一】则甲乙丙丙丁甲两角并亦与两直角等依显乙丙丁丁甲乙两角并亦与两直角等二十三题
一直线上作两圜分不得相似而不相等
二十四题
相等两直线上作相似两圜分必等
二十五题
有圜分求成圜
法曰甲乙丙圜分求成圜先作甲丙线次作乙丁为甲丙之垂线次作甲乙线视丁乙甲角或大或小或等于丁甲乙角若等即丁为圜心
何也两角等则对等角之乙丁丁甲两邉必等又丁丙元与甲丁等是从丁出三线至圜界皆等故丁为圜心
次法曰若丁乙甲角大于丁甲乙角当为圜之小分即作乙甲戊角与丁乙甲角等次引
乙丁线与甲戊线遇于戊即戊为圜心
论曰试作戊丙线成甲丁戊丙丁戊相等两角形而甲戊戊丙两线必等又戊乙甲戊甲乙两角等而对等角之戊乙戊甲两线必亦等今戊甲戊乙戊丙三线至界皆等故戊为圜心
后法曰若丁乙甲角小于丁甲乙角甲乙丙当为圜之大分即作乙甲戊角与丁乙
甲角等而甲戊遇丁乙线于戊即戊为圜心论曰试作戊丙线依前推知甲戊与戊丙等又与戊乙等是从戊至界三线皆等而戊为圜心増求圜分之心有一简法于甲乙丙圜分任取三防于甲于乙于丙以两线聨之各平分于丁于戊从丁戊各作垂线相遇于己即己
为圜心
用法圜界上任取四防各为心相向作界线两两相交为戊己庚辛各作直线交于
壬即壬为心
二十六题
等圜之乗圜分角或在心或在界等其所乗之圜分亦等
解曰甲乙丙丁戊己两圜等其心
为庚为辛有甲庚丙丁辛己两乗
圜角等或甲乙丙丁戊己两乗圜角等题言所乗之甲丙丁己两圜分亦等【乗圜角之在心即分圜角在界即负圜角随类异名】
二十七题
等圜之角所乗圜分等则其角或在心或在界俱等増题从此推显有甲丁乙丙两直线不相交而在一圜之内若甲乙与丁丙两圜分等则甲丁乙丙两线必平行若两线平行则甲乙
丁丙两圜分必等
二十八题
等圜内两直线等所割圜分大与大小与小各等
二十九题
等圜之圜分等则其割圜分之直线亦等
三十题
有圜分求两平分之
法曰甲乙丙圜分求两平分先于分之两界作甲丙线次平分于丁作乙丁垂线即
分圜分为两平分
三十一题
负半圜角必直角负大分角小于直角负小分角大于直角大圜分角大于直角小圜分角小于直角解曰甲乙丙圜其心丁其径甲丙于半圜分内任作甲乙丙角形即甲乙丙角负甲乙丙半圜分乙甲丙角负乙甲丙大分又任作乙戊丙角负乙戊丙小分题先言负半圜之甲乙丙角为直角二言负大分之乙甲丙
角小于直角三言负小分之乙戊丙角大于直角四言丙乙庚【谓丙乙直线偕乙庚曲线所作角】大圜分角大于直角后言丙乙辛【谓丙乙直线偕乙辛曲线所作角】小圜分角小于直角
耕曰试作乙壬过心线其壬丁丙分圜角倍大于壬乙丙负圜角甲丁壬分圜角倍大于甲乙壬负圜角甲丁壬壬丁丙两角并与两直角等则甲乙壬壬乙丙两角并必为一直角矣【本巻二十】
次论曰试作甲壬线成乙甲壬角与甲乙丙直角等而乙甲丙为其分故小于直角
三论曰甲乙戊丙四边形在圜内其乙甲丙乙戊丙相对两角并等两直角【本卷二二】而乙甲丙小于直角则乙戊丙必大于直角
四论曰甲乙丙直角为丙乙庚大圜分角之分则丙乙庚角大于直角
后论曰试引甲乙线至已成丙乙巳直角而丙乙辛角为其分故小于直角
一糸凡角形之内一角与两角并等其一角必直角甲乙丙角形之甲丙丁外角与相对之甲乙两角等而甲丙乙内角又与外角等【一巻三二】
非直角而何
二糸大分之角大于直角小分之角小于直角终无等于直角
三十二题
直线切圜从切界任作直线割圜为两分分内各任为负圜角其切线与割线所作两角与两负圜角交互相等
解曰甲乙线切丙丁戊圜于丙任作丙戊直线割圜为两分两分内任作丙丁戊丙
己戊两负圜角题言甲丙戊角与丙己戊角乙丙戊角与丙丁戊角交互相等
先论割圜线过心者曰甲丙戊乙丙戊两皆直角【一巻十八】而丙己戊丙丁戊两负半圜角亦皆直角【本卷】故交互相等
后论割圜线不过心者曰试作丙庚过心线次作戊庚线相聨丙戊庚为直角【以负半圜】
【故】即戊丙庚戊庚丙两角并等于一直角亦等于甲丙庚角此二率各减同用之戊丙庚角即所存甲丙戊与戊庚丙等也而丙己戊与丙庚戊元等【以所负之圜分等故】故甲丙戊与丙己戊交互相等又丙丁戊巳四边形之丙丁戊丙己戊两对角并等两直角【本巻二二】而甲丙戊乙丙戊两交角并亦等两直角【一巻十三】此二率各减一相等之甲丙戊丙己戊则所存之乙丙戊丙丁戊亦交互相等
三十三题
一直线上求作圜分而负圜分角与所设直线角等先法曰设甲乙线丙角求线上作圜分而负圜角与丙等或直或鋭或钝若直角即
平分甲乙于丁以丁为心甲为界作半圜内作乙戊甲即直角【本巻三一】
次法曰若设丙鋭角先依甲乙线作丁甲乙鋭角与丙等次作戊甲为甲
丁之垂线次作己乙甲角与己甲乙角等而乙己线与戊甲线遇于己即以己为心甲为界作甲庚乙圜圜内依甲乙线作甲庚乙鋭角即与丙等论曰甲戊线过己心又为丁甲之垂线丁甲线必切圜于甲【本巻十六之糸】则丁甲乙与甲庚乙两角必交互相等
后法曰若设辛钝角依甲乙线作壬甲乙钝角与辛等余仿次法作甲癸乙钝角与辛等
三十四题
设圜求割一分而负圜分角与所设角等
法曰设甲乙丙圜求割一分作负圜角与丁等先作戊己线切圜于甲次作己
甲乙角与丁等末依甲乙线作甲丙乙角与丁等论曰己甲乙与甲丙乙两角交互相等【本巻三二】三十五题
圜内两直线交而相分各两分线矩内形等
解曰甲丁乙丙圜内有甲乙丙丁两线或俱过心或一过心一不过心或俱不过心
交而相分于戊题言甲戊偕戊乙与丙戊偕戊丁两矩内形等若俱过心其各分四线等即两矩内形亦等
先论曰圜内线独丙丁过心者又有二种其一丙丁平分甲乙线于戊试从心作己乙线其丙丁线既平分于己又任分于戊即丙戊
偕戊丁矩内形及己戊上方形并与等己丁之己乙上方形等【二巻五】又己戊戊乙上两方形并亦与己乙上方形等【一巻四七】是丙戊偕戊丁矩内形及己戊上方形并与己戊戊乙上两方形并亦等矣次每减一同用之戊己上方形则所存丙戊偕戊丁矩内形不与戊乙上方形亦等乎戊乙上方形即戊乙偕甲戊矩内形【以甲戊戊两线等故】 也
次论曰若丙丁任分甲乙线于戊即平分甲乙线于庚次从心作己庚己乙两线即己庚为甲乙之垂线其丙戊偕戊丁矩内形及己
戊上方形并与等己丁之己乙上方形等【二巻五】己戊上方形与己庚庚戊上两方形并等【一巻四七】己乙上方形与巳庚庚乙上两方形并亦等则丙戊偕戊丁矩内形及己庚庚戊上两方形并与己庚庚乙上两方形并等次毎减同用之己庚上方形即所存丙戊偕戊丁矩内形及庚戊上方形不与庚乙上方形等乎又甲戊偕戊乙矩内形及庚戊上方形并亦与庚乙上方形等【二巻五】此相等两率毎减同用之庚戊上方形则所余两矩内形等矣
后论曰甲乙丙丁两线俱不过心
相交于戊或一线平分如上图或
俱任分如下图皆自戊作庚辛过心线依上论推显甲戊偕戊乙丙戊偕戊丁两矩内形皆与庚戊偕戊辛矩内形等即两矩内形自相等
三十六题
圜外任取一防从防出两线一切圜一割圜其割圜全线偕规外线矩内形与切圜线上方形等
解曰甲乙丙圜外任取丁防从丁作丁乙线切圜于乙作丁甲线截圜界于丙题言甲丁偕丙丁矩内形与丁乙上方形等
先论丁甲过心者曰试作乙戊为乙丁之垂线其甲丙线平分于戊又引出一丙丁线即甲丁偕丙丁矩内形及等戊丙之戊乙上方形并与戊丁上方形等【二巻六】又戊丁上方形与戊乙丁乙上两方形并等【一巻四七】即甲丁偕丙丁矩内形及戊乙上方形并与戊乙丁乙上两方形并等毎减同用之戊乙上方形则所存甲丁偕丙丁矩内形与丁乙上方形等
后论丁甲不过心者曰试平分甲
丙于己次从戊心作戊己戊丙戊
丁戊乙四线即戊乙为丁乙之垂线戊己为甲丙之垂线其甲丙线既平分于己又引出一丙丁线即甲丁偕丁丙矩内形及己丙上方形并与己丁上方形等【二巻六】次毎加一戊己上方形即甲丁偕丁丙矩内形及己丙戊己上两方形并与己丁戊己上两方形并等夫己戊丙己上两方形并与戊丙上方形等又戊己己丁上两方形并与戊丁上方形等是甲丁偕丙丁矩内形及戊丙上方形并
与戊丁上方形等又戊丁上方形
与丁乙及等戊乙之戊丙上两方
形并等每减同用之戊丙上方形所存甲丁偕丁丙矩内形与丁乙上方形不亦等乎
一糸若从圜外一防任作几线各全线偕规外线
矩内形俱等
论曰各矩内形俱与乙丁线上方形等即
各矩内形自相等
二糸从圜外丁防作丁甲丁乙两切圜线两线必相等
论曰两线俱与丙丁偕丁戊矩内形等即两线自相等
三糸从圜外一防止可作两直线切圜
三十七题
圜外任于一防出两直线一至规外一割圜止规内而割圜全线偕割圜之规外线矩内形与至规外之线上方形等则止规外之线必切线
解曰甲乙丙圜其心戊从丁防作丁乙至规外遇圜界于乙又作丁甲割圜至规内
而截圜界于丙其丁甲偕丁丙矩内形与丁乙上方形等题言丁乙必切圜线【同前题反言之】
几何论约巻三
<子部,天文算法类,算书之属,几何论约>
钦定四库全书
几何论约巻四之首
柘城杜知耕撰
界説七则
一界此直线形居他直线形内此直线形为他直线形内切形
二界此直线形居他直线形外此直线形为他直线形外切形
三界圜内直线形以各角切圜界为圜内切形四界圜外直线形以各边切圜界为圜外切形五界直线形内圜圜界切直线形之各边为形内切圜
六界直线形外圜圜界切直线形之各角为形外切圜
七界直线之两端各抵圜为合圜线如甲乙丙丁两线俱为合圜线而戊己辛庚两线或至界或不至界或俱不至界皆不得为合圜线
钦定四库全书
几何论约卷四
柘城杜知耕撰
一题
有圜求作合圜线与所设线等
法曰甲乙丙圜求作合圜线与所设丁线等先作丙乙圜径若与丁等即是合线若丁小于径【若大于径即不可合】即于乙丙截
乙戊与丁等次以乙为心戊为界作甲戊圜交甲乙丙圜于甲末作甲乙线为所求【耕日当任指乙为心丁为度向圜界作短界线为甲即作甲乙线】
二题
有圜求作圜内三角切形与所设三角形等
法曰甲乙丙圜求作圜内三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先
作庚辛切圜线次作庚甲乙角与所设己角等次作辛甲丙角与所设戊角等末作乙丙线为所求论曰甲丙乙与庚甲乙两角甲乙丙与辛甲丙两角各交互相等【三巻三一】两角既等余一角必亦等三题
有圜求作圜外三角切形与所设三角形等
法曰甲乙丙圜求作圜外三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先引长戊己邉为庚辛次自圜界
抵心作甲壬线次作甲壬乙角与丁戊庚等次作乙壬丙角与丁己辛等末于三线各作垂线成三角形为所求
论曰甲壬乙子四邉形之四角与四直角等【一巻三二】而壬甲子壬乙子皆直角即甲壬乙甲子乙两角并等两直角彼丁戊庚丁戊己亦等两直角【一巻十三】毎减一相等之丁戊庚甲壬乙则所存丁戊己与甲子乙必等依显五与己癸与丁角俱等【一巻三二】四题
三角形求作形内切圜
法曰甲乙丙角形求作形内切圜先于乙丙两角各平分之作乙丁丙丁两线相遇于丁次自丁至各邉作垂线为丁己丁庚丁戊其戊丁乙角形之丁戊乙丁乙戊两角与乙丁己角形之丁己乙丁乙己两角各等乙
丁同边即丁戊丁己两边亦等【一巻二六】依显丁己丁庚两邉亦等夫三线俱等丁必圜心即以丁为心戊为界在己戊庚圜为所求【耕曰两分角线相遇处即圜心任作一垂线便可作圜不必更作余两线余两线为论理而设非作法所需也】
五题
三角形求作形外切圜
法曰甲乙丙角形求作形
外切圜先平分两邉【若直角钝
角则分直钝两旁之邉】于丁于戊作
丁己戊己为两邉之垂线相遇于己其己防或在形内或在形外俱作己甲己乙己丙三线或在乙丙边上止作己甲线其甲丁己角形之甲丁与乙丁己形之乙丁两腰等丁己同腰丁之两旁俱直角即甲己己乙两底必等【一巻四】依显甲己己丙两底亦等夫三线俱等己必圜心即以己为心甲为界作乙甲丙圜为所求
耕曰两垂线相遇处为心即可作圜不必更作余线
一糸若圜心在三角形内必鋭角形在一邉必直角形在形外必钝角形
二糸若鋭角形圜心必在形内直角形必在一邉钝角形必在形外
増任设三防不在一直线可作过三防之圜其法于三防各作直线相聨成三角形依前法作圜用法甲乙丙三防先以甲乙各自为心相向作圜分相交于丁于戊次于甲丙亦如之相交于己于庚末作丁戊己庚两线引
长相交于辛即辛为圜心
六题
有圜求内切圜直角方形
法曰甲乙丙丁圜其心戊求作内切方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于戊
次作甲乙乙丙等四线为所求
论曰四角皆负半圜分故皆直角【三巻三一】
七题
有圜求作外切圜直角方形
法曰甲乙丙丁圜其心戊求作外切方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于戊
次作庚己己辛等四线各与两径平行为所求八题
直角方形求作形内切圜
法曰辛庚方形求作内切圜先平分四邉作甲丙乙丁两线相交于戊即以戊为心甲为界作甲乙丙丁圜为所求
九题
直角方形求作形外切圜
法曰甲丙方形求作外切圜先作甲丙乙丁对角线相交于戊即以戊为心甲为界
作圜为所求
十题
求作两邉等三角形底上两角各倍大于腰间角法曰先任作甲乙线次分于丙令甲乙偕丙乙矩内形与甲丙上方形等【二巻十一】次以甲为心乙为界作乙丁圜次作乙丁合圜线与甲丙等【本巻一】末作甲丁线相聨即两
边等三角形而乙丁两角倍大于甲角
论曰试作丙丁线成甲丙丁角形外作甲丙丁切圜【本巻五】其甲乙偕丙乙矩内形与甲丙上方形等亦与乙丁上方形等而丁乙必甲丙丁圜之切线【三巻二七】即乙丁丙角与甲角交互相等【三巻三二】于两角毎加一丙丁甲角即甲丁乙全角与丙甲丁丙丁甲两角并等又乙丙丁外角亦与丙甲丁丙丁甲两内角并等【一巻三二】即乙丙丁角与甲丁乙角等而与相等之甲乙丁角亦等乙丙丁丙乙丁两角既等则丙丁乙丁两线必等又乙丁元与甲丙等是丙丁与甲丙亦等两线既等则甲与甲丁丙两角亦等夫乙丁丙丙丁甲既俱等于甲角是甲丁乙倍大于甲角而相等之甲乙丁角亦倍大于甲角十一题
有圜求作圜内五邉切形其形等边等角
法曰甲丙戊圜求作等邉等角五邉内切形先作己庚辛两邉等角形而庚辛两角俱倍大于己角【本巻十】次于圜内作甲丙丁角形与己庚辛等次平分甲丙丁甲丁丙两角作丙戊丁乙两线末作甲乙乙丙等四线为所求
论曰甲丙丁甲丁丙两角皆倍大于丙甲丁角今平分两角即甲丁乙乙丁丙丙甲丁丁丙戊戊丙甲五角皆等五角所乗之五圜分亦等五圜分等则五邉等矣又甲乙丙丁圜分与乙丙丁戊圜分等则乗两圜分之甲戊丁与乙甲戊两角亦等依显余三角俱等而五角等矣
十二题
有圜求圜外五邉切形其形等邉等角
法曰甲乙丙丁戊圜求作五邉外切形等邉等角先作圜内五邉切形次从巳心作已甲巳乙等五线次从此五线作庚辛辛壬
等五垂线为所求
十三题
五边形求作形内切圜
法曰甲乙丙丁戊五边形求作内切圜先平分甲戊邉于庚平分乙丙边于辛次作庚丙辛戊两垂线相交于己末以己为心
庚为界作圜为所求
十四题
五边形求作形外切圜
法曰甲乙丙丁戊五边形求作外切圜先平分乙丙丁丙丁戊两角作庚丙辛丁两线相交于己末以己为心丙为界作圜为所求
十五题
有圜求作圜内六邉切形其形等邉等角
法曰甲丙戊圜其心庚求作六邉内切形等邉等角先作甲丁径线次以丁为
心庚为界作圜两圜相交于丙于戊次从庚心作庚丙庚戊各引长为丙己戊乙末以甲乙乙丙等六线聨之为所求
耕曰两圜既等其庚丙丁角形之庚丁庚丙同为上圜之半径必等而庚丁丙丁同为下圜之半径亦等【六三角形俱依此推显】三邉等故三角亦等也分角等故全角亦等也
一糸凡圜之半径为六分圜之一之分何者庚丁与丁丙等故也
二糸依前十二十三十四题可作六邉形在圜外又六邉形内外俱可作切圜
十六题
有圜求作圜内十五邉切形其形等边等角
法曰甲乙丙圜求作十五邉内切形等邉等角先作甲乙丙内切圜平邉三角形【本巻二】毎一邉当圜三分之一即当十五分之五次从甲作甲戊己
庚辛五邉形毎一邉当圜五分之一即当十五分之三平分戊乙于壬则壬乙得十五分之一即依壬乙作十五合圜线为所求
一糸依前十二十三十四题可作外切圜十五邉形又十五邉形内外俱可作切圜
増题若圜内从一防设不等两内切形之各一邉此两邉各为若干分圜之一其两若干分相乗之数即后作形之分数其两若干分之较数即两邉相距之圜分如甲丙戊圜从甲防作甲乙为六邉形之一邉甲丙为
五邉形之一邉甲丁为四邉形之一邉甲戊为三邉形之一邉甲乙命六甲丙命五较数一即乙丙圜分为三十邉形之一邉何者五六相乗得三十故当为三十边也较数一故当为一邉也又甲乙圜分为六分圜之一即三十分之五甲丙为五分圜之一即三十分
之六则乙丙得三十分之一也依显乙丁为二十四邉形之二邉何者甲乙命六甲丁命四四六相乗得二十四又较数二也因推乙戊为十八邉形之三邉丙戊为十五邉形之二邉丁戊为十二邉形之一邉也
二糸凡作形于圜之内等邉则等角何者形之邉所乗之圜分皆等故【二巻二七】凡作形于圜之外从圜心至角各作直线依本巻十二题可推各角等三糸凡等邉形可作在圜内即可作在圜外又形内外俱可作圜
四糸凡圜内有一形欲作他形其邉倍于此邉即分此一邉所合之圜分为两平分而毎分各作一线即三邉可作六邉四邉可作八邉仿此以至无穷
又补题圜内有同心圜求作一多邉形切大圜不至小圜其多邉为偶数而等如甲乙丙丁戊两圜同以己为心先作甲丙径线截丁戊圜于戊次从戊作庚辛为甲戊之垂线次平分甲乙丙于乙
再平分丙乙于壬再平分丙壬于癸丙癸小于丙庚作丙癸合线即所求多邉形之一邉也
几何论约巻四
钦定四库全书
几何论约巻五之首
柘城杜知耕撰
界説十九则【前四巻所论皆独几何也此下二巻所论皆自两以上多几何同例相比者也此巻以虚例相比絶不及线面体诸类六巻则论线角圜界诸类及诸形之同类相比者也】
一界分者几何之几何也小能度大以小为大之分小能度大者谓小几何度大几何能尽大之分者也如甲为乙三分之一为丙七分之一无赢不足也若戊为丁之一即赢为二即不足己为丁之三即赢为四即不足是不尽大则丁不能为戊己之分也【本书所论皆指能尽分者】
二界小几何能度大者则大为小之几倍
三界比例者两几何以几何相比之理凡两几何相比以此几何比他几何则此为前率他为后率反用之以他几何比此几何则他为前率此为后率凡比例有二种有大合有小合以数可明者为大合非数可明者为小合本篇所论皆大合也凡大合有两种有等者有不等者等者谓相同之比例其不等者又有两种有以大不等如二十比十是也有以小不等如十比二十是也大不等者又有五种一为几倍大谓大几何内有小几何或二或三或八或十也二为等一分谓大几何内既有小之一别一分此一分或元一之半或三分之一四分之一也三为等几分谓大几何内既有小之一别几分不能合为一尽分者也四为几倍大一分五为几倍大几分小不等者亦有五种俱与上五种相反为名
四界两比例之理相似为同理之比例如甲与乙两几何之比例偕丙与丁两几何之比例其理相似为同理之比例同理又有二种一为连比例谓相连不断如后图戊与己比己又与庚比是也二为断比例谓居中两率一取不再用如前圗甲自与乙比丙
自与丁比是也
五界两几何倍其身而能相胜者为有比例之几何如三尺之线与八尺之线三尺之线三倍其身即大于八尺之线是为有比例之线也又如方形之一边与其对角线虽非大合之比例可以数明而方边一倍之即大于对角线是亦有小合比例之线也又圜径四倍之即大于圜界则径与界亦有小合比例之线也又如初月形别作一方形与之等【末巻一増附】即曲直两线相视有大有小亦有比例也又方与圜虽不能为相等之形然两形相视有大有小亦不可谓无比例也又直线角与曲线角亦有比例如丁乙戊角与甲乙丙直角等壬庚癸
角与己庚辛钝角等卯丑辰角与
子丑寅鋭角等此五者皆疑无比
例而实有比例者也他若有穷之线与无穷之线虽为同类实无比例何者有穷之线毕世倍之不能胜无穷之线故也又线与面面与体各自为类亦无比例何者毕世倍线不能及面毕世倍面不能及体故也又切圜角与直线鋭角亦无比例何者毕世倍切圜角不能及至小之鋭角故也此后诸篇中毎有倍此几何令至胜彼几何者故备着其理以需后论也
六界四几何若第一与二偕第三与四为同理之比例则第一与第三之几倍偕第二与第四之几倍其相视或等或俱大或俱小恒如是如第一为三第二为二第三为六第四为四今以第一之三第三之六同加四倍为十二为二十四次以第二之二第四之四同加七倍为十四为二十八其倍第一之十二既小于倍第二之十四而倍第三之二十四亦小于倍第四之二十八也又以第一之三第三之六同加六倍为十八为三十六次以第二之二第
四之四同加九倍为十八为三十六其倍第一之十八既等于倍第二之十八而倍三之三十六亦等于倍第四之三十六也又以第一之三第三之六同加三倍为九为十八次以第二之二第四之四同加二倍为四为八其倍第一之九既大于倍第二之四而倍第三之十八亦大于倍第四之八也或俱等或俱大或俱小累试之皆合则三与二偕六与四得为同理之比例【连比例仿此】
七界同理之几何为相称之几何
八界四几何若第一之几倍大于第二之几倍而第三之几倍不大于第四之几倍则第一与二之比例大于第三与四之比例此反上六界而释不同理之比例
九界同理之比例至少必三率
十界四几何为同理之连比例则第一与三为再加之比例第一与四为三加之比例仿此以至无穷
十一界同理之几何前与前相当后与后相当上文六界八界谓几何之几倍常以一与三同倍二与四同倍以一与三为两前二与四为两后故也
十二界有属理更前与前更后与后如甲与乙之比例若丙与丁今更推甲与丙若乙与丁为属理【下言属理皆省曰更证见本巻十六】此理可施于四率
同类之比例若两线与两面或两面与两数不为同类即不得相更也【此下説比例六理皆后论所需也】
十三界有反理取后为前取前为后如甲与乙之比例若丙与丁今反推乙与甲若丁与丙为反理【证见本巻四之糸】此理亦可施于异类
十四界有合理合前与后为一而比其后如甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己今合甲丙为
一而比乙丙合丁己为一而比戊己即推甲丙与乙丙若丁己与戊己是合两前两后率而比两后率也【证见本巻十八】
十五界有分理取前之较而比其后如甲乙与丙乙之比例若丁戊与己戊今分推甲乙之较
甲丙与丙乙若丁戊之较丁己与己戊【证见本巻十七】
十六界有转理以前为前以前之较为后【图同前界】如甲乙与丙乙之比例若丁戊与己戊今转推甲乙与甲丙若丁戊与丁己【证见本巻十九】
十七界有平理此甲乙丙三几何彼丁戊己三几何相为同理之连比例者甲与乙若丁与戊乙与丙若戊与己也今平推首甲与尾丙若首丁与尾己【平理之分又有二种如后二界】
十八界有平理之序者甲与乙若丁与戊而后乙与他率丙若后戊与他率己是序也今平推甲与丙若丁与己也【此与十七界同重宣序义以别后界也证见本巻二二】
十九界有平理之错者甲与乙若戊与己又此之后乙与他率丙若彼之他率丁与前戊是错也今平推甲与丙若丁与己也
【戊证见本乙巻二三】
増甲与乙为比例即此丙必有彼丁相与为比例若甲与乙也丙与丁为比例必有彼戊与此丙为比例若丙与丁也
钦定四库全书
几何论约巻五
柘城杜知耕撰
一题
此数几何彼数几何此之各率同几倍于彼之各率则此之并率亦几倍于彼之并率
解曰甲乙此二几何大于丙丁彼二几何各若干倍题言甲乙并大于丙丁并亦若干倍
二题
六几何其第一倍第二之数等于第三倍第四之数而第五倍第二之数等于第六倍第四之数则第一第五并倍第二之数等于第三第六并倍第四之数解曰一甲乙倍二丙之数如三丁戊倍四巳之数又五乙庚倍二丙之数如六戊辛倍四巳之数题言一甲乙五乙庚并倍二丙之数若三丁戊六戊辛并倍四巳之数
三题
四几何第一之倍第二若第三之倍第四次倍第一又倍第三其数等则第一所倍之与第二若第三所倍之与第四
解曰一甲所倍于二乙若三丙所倍于四丁次作戊巳两几何同若干倍于甲于丙题言以平理推戊倍乙若巳倍丁
四题
四几何第一与二偕第三与四比例等第一第三同任为若干倍第二第四同任为若干倍则第一所倍与第二所倍第三所倍与第四所倍比例亦等解曰甲与乙偕丙与丁比例等次作戊与巳同任若干倍于一甲三丙别
作庚与辛同任若干倍于二乙四丁题言一甲所倍之戊与二乙所倍之庚偕三丙所倍之巳与四丁所倍之辛比例亦等
论曰试以戊巳同任
倍之为壬为癸别以
庚辛同任倍之为子
为丑其戊之倍甲既若己之倍丙而壬之倍戊亦若癸之倍己即壬之倍甲亦若癸之倍丙也【本巻三】依显子之倍乙亦若丑之倍丁也夫甲与乙偕丙与丁之比例既等而壬癸所倍于甲丙子丑所倍于乙丁各等即三试之若倍甲之壬小于倍乙之子则倍丙之癸亦小于倍丁之丑矣若壬子等即癸丑亦等若壬大于子即癸亦大于丑【本巻界六】不论几许倍其等大小恒如是也则戊与庚偕巳与辛之比例必等
一糸凡四几何一与二偕三与四比例等即可反推二与一偕四与三比例亦等
二糸若甲与乙偕丙与丁比例等则甲之或二或三倍与乙之或二或三倍偕丙之或二或三倍与丁之或二或三倍比例俱等仿此以至无穷五题
大小两几何此全所倍于彼全若此全截分所倍于彼全截分则此全之分余所倍于彼全之分余亦如之
解曰甲乙所倍于丙丁若甲乙截分之甲戊所倍于丙丁截分之丙己题言甲戊分余之戊乙所倍于丙己分余之己丁亦如其数
六题
此两几何各倍于彼两几何其数等于此两几何每减一分其一分之各倍于所当彼几何其数等则其分余或各与彼几何等或尚各倍于彼几何其数亦等
解曰甲乙丙丁各倍于戊己其数等毎减一倍戊己相等之甲庚丙辛题言分余庚乙辛丁或与戊己等或尚各倍于戊己其数亦等
七题
此两几何等则与彼几何各为比例必等而彼几何与此相等之两几何各为比例亦等
解曰甲乙两几何等彼几何丙不论等大小于甲乙题言甲与丙偕乙与丙各为比例必
等又反上言丙与甲偕丙与乙各为比例亦等八题
大小两几何各与他几何为比例则大与他之比例大于小与他之比例而他与小之比例大于他与大之比例
解曰不等两几何甲大乙小又有他几何丙不论等大小于甲于乙题言甲与丙大于乙
与丙之比例又反言丙与乙大于丙与甲之比例九题
两几何与一几何各为比例而等则两几何必等一几何与两几何各为比例而等则两几何亦等
十题
彼此两几何此几何与他几何之比例大于彼与他之比例则此几何大于彼他几何与彼几何之比例大于他与此之比例则彼几何小于此
解曰甲乙两几何又有丙几何甲与丙之比例大于乙与丙题言甲大于乙又言丙与乙
之比例大于丙与甲则乙小于甲
十一题
此两几何之比例与他两几何之比例等而彼两几何之比例与他两几何之比例亦等则彼两几何之比例与此两几何之比例亦等
解曰甲乙偕丙丁之比例各与戊己等题言甲乙与丙丁之比例亦等
十二题
数几何所为比例皆等则并前率与并后率之比例若各前率与各后率之比例
解曰甲乙丙丁戊己数几何甲与乙若丙与丁丙与丁若戊与己题言甲丙戊
诸前率并与乙丁己诸后率并之比例若甲与乙丙与丁戊与己各前与各后也
十三题
数几何第一与二之比例若第三与四而第三与四之比例大于第五与六则第一与二之比例亦大于第五与六
解曰一甲与二乙之比例若三丙与四丁而三丙与四丁之比例大于五戊与
六己题言甲与乙之比例亦大于戊与己
十四题
四几何第一与二之比例若第三与四而第一大于第三则第二亦大于第四第一或小或等于第三则第二亦等亦小于第四
解曰甲与乙之比例若内与丁题言甲大于丙则乙亦大于丁若等亦等若小亦小
十五题
两分之比例与两多分并之比例等
解曰甲与乙同任倍之为丙为丁题言丙与丁之
比例若甲与乙
十六题【更理】
四几何为两比例等即更推前与前后与后为比例亦等
解曰甲与乙之比例若丙与丁题言更推之甲与丙之比例亦若乙与丁
十七题【分理】
相合之两几何为比例等则分之为比例亦等解曰甲乙丁乙与丙戊己戊相合两几何
甲乙与丁乙若丙戊与己戊题言分之甲丁与丁乙若丙己与己戊也
十八题【合理】