御制数理精蕴卷八
分面线
自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线依几何原本十二卷二十一节之法分之即为分面线也或设正方面界一百厘其积数一万厘以二因之得二万厘开平方得一百四十一厘为积二万厘之根又以三因之得三万厘开平方得一百七十三厘为积三万厘之根照此屡倍积数开平方将所得之数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成分面线也
设如有甲乙丙三正方形甲形每边一寸其积数之比例甲为一分乙为六分丙为九分今欲作一大正方形与甲乙丙三正方形之积等问其边几何法以比例尺分面线第一分之两防【因甲方之积为一分故用一分也】依甲正方形每边一寸之度展开勿令移动乃并三正方面积共十六分即取分面线第十六分两防相距之度于分厘尺上量之得四寸即所求大正方形之每一边用其度作正方形其积与甲乙丙三正方形之共积等也葢十六分所作正方形原比一分所作正方形大十六倍则十六分相距之度所作正方形亦必比一分相距之度所作正方形大十六倍矣一分相距之度即甲正方形之一边其积为一分则以十六分相距之度所作正方形其积必为十六分与三正方形之共积相等也
设如有大小等边三角形小形每边一寸大形每边四寸今欲将两面积相减取其余积作同式等边三角形问其边几何
法以比例尺分面线第一分之两防依小形每边一寸之度展开勿令移动次以大形每边四寸之度于分面线上寻至第十六分之两防其相距之度恰合即大形与小形之比例为十六与一相减余十五为较积即取分面线第十五分两防相距之度于分厘尺上量之得三寸八分七厘即较形之每一边也葢大小同式多边形之比例同于相当界所作正方形之比例【见几何原本八卷第九节】今十六分所作正方形与一分所作正方形之比例为十六与一则十六分相距之度所作正方形与一分相距之度所作正方形之比例亦为十六与一矣夫大小两距度即大小两三角形之相当界其所作两正方形之比例既为十六与一则大小两三角形之比例亦必为十六与一矣既得两形之比例乃相减以得较既得较积之比例复用积以求边即得所求之边数也
设如有五等边形每边二尺欲三倍其积作同式五等边形问其每边几何
法以比例尺分面线第一分之两防依分厘尺二寸之度展开勿令移动次取第三分两防相距之度于分厘尺上量之得三寸四分五厘即三尺四寸五分为所求大形之每一边用其度作五等边形其积与原形之三倍等也葢大小同式形之比例同于相当界所作正方形之比例【见几何原本八巻第九节】今一分所作正方形与三分所作正方形之比例为一与三则一分相距之度所作正方形与三分相距之度所作正方形之比例亦必为一与三矣夫一分相距之度即原形之界则以三分相距之度为大形之界其积为原形之三倍可知矣又以二寸当原形之边二尺故三寸四分五厘即为三尺四寸五分也
设如有六等边形每边三尺欲取其积四分之三作同式六等边形问其每边几何
法以比例尺分面线第四分之两防依分厘尺三寸之度展开勿令移动次取分面线第三分两防相距之度于分厘尺上量之得二寸六分即二尺六寸为所求小形之每一边用其度作六边形其积即为原形四分之三也葢大小同式形之比例同于相当界所作正方形之比例今四分所作正方形与三分所作正方形之比例为四与三则四分相距之度所作正方形与三分相距之度所作正方形之比例亦必为四与三矣夫四分相距之度即原形之界则以三分相距之度为小形之界其积为原形四分之三可知矣又以三寸当原形之边三尺故二寸六分即为二尺六寸也
设如有三率相连比例数首率二尺末率八尺问中率几何
法以比例尺分面线第二分之两防依分厘尺二寸之度展开勿令移动次取分面线第八分两防相距之度于分厘尺上量之得四寸即四尺为相连比例之中率也葢相连比例三率其首率所作正方形与中率所作正方形之比同于首率与末率之比今首率为二尺末率为八尺则首率所作正方形与中率所作正方形之比例即如二与八之比例故以二分相距之度为首率之数则八分相距之度必为中率之数可知矣又首率用二寸当二尺故中率四寸即为四尺也
设如有正方面积一千六百尺问每一边几何法以比例尺分面线第一分之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之十分作十尺自乘得一百尺与积数一千六百尺相较其比例如一与十六即取分面线第十六分两防相距之度于分厘尺上量之得四寸即四十尺为所求正方之每一边也葢一分之积既为一百尺则十六分之积必为一千六百尺而一分相距之度既为方积一百尺之每一边则十六分相距之度必为方积一千六百尺之每一边矣又以一寸当十尺故四寸即为四十尺也
设如有正方面积九千零二十五尺问每一边几何法以比例尺分面线第一百分之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之一百厘作一百尺自乘得一万尺与积数九千零二十五尺相较其比例如一百与九十有余即取分面线第九十分有余相距之度于分厘尺上量之得九分五厘即九十五尺为所求正方之每一边也葢一百分之积既为一万尺则九十分有余之积必为九千余尺而一百分相距之度既为方积一万尺之每一边则九十分有余相距之度必为方积九千余尺之每一边矣又以一寸当一百尺故九分五厘即为九十五尺也
更面线
自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线设积数一亿用面部内面积相等边线不同之定率比例得各形之边线其方边一万圜径一万一千二百八十四三等边一万五千一百九十七五等边七千六百二十四六等边六千二百零四七等边五千二百四十六八等边四千五百五十一九等边四千零二十二十等边三千六百零五将各形边数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成更面线也
设如有甲圆形径一尺二寸欲作一正方形其积与圆积等问每边几何
法以比例尺更面线圆号之两防依分厘尺一寸二分之度展开勿令移动次取方号之两防相距之度于分厘尺上量之得一寸零六厘即一尺零六分为正方形之每一边用其度作正方形其积与圜积等也葢圆号与方号之比例原为同积之圆径与方边之比例则其两距度之比例亦必为圆径与方边之比例今圆号相距之度既为圆径则方号相距之度必为方边无疑矣又以一寸二分当圆径一尺二寸故一寸零六厘即为方边一尺零六分也
设如有甲三边形每边一十五尺又有乙五边形每边十尺欲并作一正方形问每边几何
法以比例尺更面线三边号之两防依分厘尺一寸五分之度展开勿令移动次取方号之两防相距之度于分厘尺上量之得九分八厘七豪即九尺八寸七分为正方形之每一边用其度作正方形其积与甲三边形积等也又以五边号之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动次取方号之两防相距之度于分厘尺上量之得一寸三分一厘即十三尺一寸为方正形之每一边用其度作正方形其积与乙五边形积等也乃将两正方形用分面线求其积之比例以分面线第十分之两防依小方边九分八厘七豪之度展开勿令移动复以大方边一寸三分一厘之度于分面线上寻至第十七分六厘之处其相距之度恰合即两方形之比例为十分与十七分六厘并之得二十七分六厘即取分面线第二十七分六厘相距之度于分厘尺上量之得一寸六分四厘即十六尺四寸为正方形之每一边用其度作正方形其积与甲乙两形之积等也葢甲乙两形不同类不能得其比例即不能相加故先用更面线将甲乙两形俱变为正方形复用分面线求其比例而并之即得所求大正方形之一边也
设如有甲八边形每边十二尺又有乙六边形每边六尺今将两面积相减用其余积作一七边形问其边几何
法以比例尺更面线八边号之两防依分厘尺一寸二分之度展开勿令移动次取七边号两防相距之度于分厘尺上量之得一寸三分八厘即十三尺八寸为七边形之每一边用其度作七边形其积与甲八边形积等也又以六边号之两防依分厘尺六分之度展开勿令移动次取七边号两防相距之度于分厘尺上量之得五分零七豪即五尺零七分为七边形之每一边用其度作七边形其积与乙六边形积等也乃将两七边形用分面线求其比例以分面线第十分之两防依小七边形之边五分零七豪之度展开勿令移动复以大七边形之边一寸三分八厘之度于分面线上寻至第七十八分之处其相距之度恰合即两七边形之比例为十分与七十八分相减余六十八分即取分面线第六十八分相距之度于分厘尺上量之得一寸三分即十三尺为所求七边形之每一边用其度作七边形其积与甲乙两形相减之余积等也葢甲乙两形不同类不能得其比例即不能相减故先用更面线将甲乙两形俱变为七边形复用分面线求其比例而后相减即得所求七边形之一边也
设如有十等边形积四千四百四十五尺问每一边几何
法先以比例尺分面线第一分之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之十分作十尺自乘得一百尺与积四千四百四十五尺相较其比例如一与四十四又九之五即取分面线第四十四分又九之五相距之度于分厘尺上量之得六寸六分又三之二即六十六尺又三分尺之二为方形之一边用其度作正方形其积与十边形积等也乃以更面线方号之两防依方形每边六寸六分又三分之二之度展开勿令移动次取十边号两防相距之度于分厘尺上量之得二寸四分即二十四尺为所求十边形之每一边也葢正方形为各面形比例之宗故凡有积求边者必先用分面线求得方形之边然后用更面线使方号两防相距之度与方边等而取所求形之号两防相距之度即所求形之一边自圆形三边形以至九边形皆同一法也
分体线
自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线依几何原本十二卷二十二节之法分之即为分体线也或设正方体界一百厘其积数一百万厘以二因之得二百万厘开立方得一百二十六厘为积二百万厘之根又以三因之得三百万厘开立方得一百四十四厘为积三百万厘之根照此屡倍积数开立方将所得之数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成分体线也
设如有甲乙丙三正方体甲形每边二寸其积数之比例甲为一分乙为三分丙为四分今欲作一大正方体与甲乙丙三正方体之积等问其边几何法以比例尺分体线第一分之两防依甲正方体每边二寸之度展开勿令移动乃并三正方体积共八分即取八分两防相距之度于分厘尺上量之得四寸即所求大正方体之每一边用其度作正方体其积与甲乙丙三正方体之共积等也葢八分所作正方体原比一分所作正方体大八倍则八分相距之度所作正方体亦必比一分相距之度所作正方体大八倍矣一分相距之度即甲正方体之一边其积为一分则以八分相距之度所作正方体其积必为八分与三正方体之共积相等也
设如有大小两四等面体小体每边一寸大体每边三寸今将两体积相减取其余积作同式四面体问其边几何
法以比例尺分体线第一分之两防依小体每边一寸之度展开勿令移动次以大体每边三寸之度于分体线寻至第二十七分之两防其相距之度恰合即大形与小形之比例为二十七与一相减余二十六为较积即取分体线第二十六分两防相距之度于分厘尺上量之得二寸九分六厘即较体之每一边也葢大小同式体之比例同于相当界所作正方体之比例【见几何原本十卷第七节】今二十七分所作正方体与一分所作正方体之比例为二十七与一则二十七分相距之度所作正方体与一分相距之度所作正方体之比例亦必为二十七与一矣夫大小两距度即大小两体之相当界其所作两正方体之比例既为二十七与一则大小两四面体之比例亦必为二十七与一矣既得两体之比例乃相减以得较既得较积之比例复用积以求边即得所求之边数也
设如有八等面体每边一尺欲四倍其积作同式八等面体问其每边几何
法以比例尺分体线第一分之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动次取第四分两防相距之度于分厘尺上量之得一寸五分九厘即一尺五寸九分为所求体之一边用其度作八等面体其积与原体之四倍等也葢大小同式体之比例同于相当界所作正方体之比例今一分所作正方体与四分所作正方体之比例为一与四则一分相距之度所作正方体与四分相距之度所作正方体之比例亦必为一与四矣夫一分相距之度即原体之界则以四分相距之度为大体之界其积为原体之四倍可知矣又以一寸当原形边一尺故一寸五分九厘即为一尺五寸九分也
设如有圆 【依】球径三尺欲取其积五分之二作同式圆球体问其径几
何法以比例尺分体线第五分之两防分厘尺三寸之度展开勿令移动次取分体线第二分两防相距之度于分厘尺上量之得二寸二分一厘即二尺二寸一分为所求小体之一边用其度为
径作圆 【依】球体其积为原体五分之二也葢大小同式体之比例同于相当界所作正方体之比例今五分所作正方体与二分所作正方体之比例为五与二则五分相距之度所作正方体与二分相距之度所作正方体之比例亦必为五与二矣夫五分相距之度即原体之径则以二分相距之度为小体之径其积为原体五分之二可知矣又以三寸当原体之径三尺故二寸二分一厘即为二尺二寸一分
也设如有四率相连比例数一率八尺四率二十七尺求二率三率各几
何法以比例尺分体线第八分之两防分厘尺八分之度展开勿令移动次取分体线第二十七分之两防相距之度于分厘尺上量之得一寸二分即十二尺为连比例四率之第二率既得二率乃用平分线有一率二率求连比例第三率之法以平分线第八分之两防依分厘尺一寸二分之度展开勿令移动次取平分线第十二分两防相距之度于分厘尺上量之得一寸八分即十八尺为连比例四率之第三率也葢相连比例四率其一率所作正方体与二率所作正方体之比例同于一率与四率之比例今一率为八尺四率为二十七尺则一率所作正方体与二率所作正方体之比例即如八与二十七之比例故以八分相距之度为一率之数则二十七分相距之度必为二率之数可知矣又一率用八分当八尺故二率一寸二分即为十二尺至于求第三率之法即平分线求连比例三率之理也
设如有正方体积二万七千尺问每一边几何法以比例尺分体线第一分之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之十分作十尺自乘再乘得一千尺与积数二万七千尺相较其比例如一与二十七即取分体线第二十七分两防相距之度于分厘尺上量之得三寸即三十尺为所求正方体之每一边也葢一分之积既为一千尺则二十七分之积必为二万七千尺而一分相距之度既为方积一千尺之每一边则二十七分相距之度必为方积二万七千尺之每一边矣又以一寸当十尺故三寸即为三十尺也
设如有正方体积八十三万零五百八十四尺问每一边几何
法以比例尺分体线第一百分之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之一百厘作一百尺自乘再乘得一百万尺与积数八十三万零五百八十四尺相较其比例如一百与八十三有余即取分体线第八十三分有余相距之度于分厘尺上量之得九分四厘即九十四尺为所求正方体之每一边也葢一百分之积既为一百万尺则八十三分有余之积必为八十三万余尺而一百分相距之度既为方积一百万尺之每一边则八十三分有余相距之度必为方积八十三万余尺之每一边矣又以一寸当一百尺故九分四厘即为九十四尺也
设如有银正方体每边二寸问重几何
法以比例尺分体线第九分之两防【银正方一寸之定率为九两故用九分度】依分厘尺一寸之度展开勿令移动次取分厘尺二寸之度于分体线上寻至第七十二分之两防其相距之度恰合即七十二两为银正方体之重数也葢各体重数之比例与积数之比例等相距之度一寸其积为九分相距之度二寸其积则为七十二分今相距一寸之九分既为正方一寸银体之重数则相距二寸之七十二分必为正方二寸银体之重数矣又以九分当九两故七十二分为七十二两也
设如有大铜 【之】球体径二寸重三十一两四钱一分
今有小 【比】铜球体径一寸二分问重
几何法以比例尺分体线第三十一分
四厘之处 【例】依大球径二寸之度展开
勿令移动 【与】次取小球径一寸二分之度于分体线上寻至第六分七厘有余之处其相距之度恰合即六两七钱有余为小铜球体之重数也葢各体重数积数之比例等相距之度二寸其积为三十一分四厘相距之度一寸二分其积则为六分七厘今相距一寸之三十
一分四厘既为径二寸大铜 【钱】球体之重数则相距一寸二分之六分七厘必
为径一寸二分小 【也】铜球体之重数矣又以三十一分四厘当三十一两四钱故六分七厘即为六两七
更体线
自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线设积数一兆用体部内体积相等边线不同之定率比例得各体之边
线其立方边一万 【正】球径一万二千四百零七四面体边二万零三百九十七八面体边一万二千八百四十九十二面体边五千零七十二二十面体边七千七百一十将各体边线数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成更体线
也设如有 【方】甲球体径二尺欲作一正方体其 【体】积与球积等问每
边几何法以比例尺 【其】更体线球号之两防依分厘尺二寸之度展开勿令移动次取方号之两防相距之度于分厘尺上量之得一寸六分一厘即一尺六寸一分为正方体之每一边用其度作
积与甲 【厘】球积等也 【即】葢球号与方号
之比例原为同 【三】积之球径与立方边之比例则其两距度之比例亦必为球
径与立方边之 【尺】比例今球号相距【一】之度既为球径则方号相距之度必为
方边无疑矣 【寸】又以二寸当球径二尺故一寸六分一厘即为一
尺六寸一分也设如有甲四面体每边三尺又有乙八面体每边四尺欲并作一正方
体问每边几何法以比例尺更体线四面号之两防依分厘尺三寸之度展开勿令移动次取方号两防相距之度于分厘尺上量之得一寸四分六厘即一尺四寸六分为正方体之每一边用其度作正方体其积与甲四面体积等也又以八面号之两防依分厘尺四寸之度展开勿令移动次取方号两防相距之度于分厘尺上量之得三寸一分一一分为正方体之每一边用其度作正方体其积与乙八面体积等也乃将两正方体用分体线求其积之比例以分体线第一分之两防依小方体每边一寸四分六厘之度展开勿令移动复以大方体每边三寸一分一厘之度于分体线上寻至第九分五厘之处其相距之度恰合即两方体之比例为一与九分五厘并之得十分五厘即取分体线第十分五厘相距之度于分厘尺上量之得三寸二分即三尺二寸为正方体之每一边用其度作正方体其积与甲乙两体之积等也葢甲乙两体不同类不能得其比例即不能相加故先用更体线将甲乙两体俱变为正方体复用分体线求其比例而并之即得所求大方体之一边也
设如有甲正方体每边二尺又有乙球体径亦二尺今将两体积相减用其余积作十二面体问其边几何
法以比例尺更体线方号之两防依分厘尺二寸之度展开勿令移动次取十二面号两防相距之度于分厘尺上量之得一寸零一厘四豪即一尺零一分四厘为十二面体之每一边用其度作十二面体其积与甲正方体积等也又
以 【上】球号之两防依分厘尺二寸之度展开勿令移动次取十二面号两防相距之度于分厘尺上量之得八分一厘七豪即八寸一分七厘为十二面体之每一边用其度作十二面体其积与【寻】乙球体积等也乃将两十二面体用分体线求其比例以分体线第十分之两防依小十二面体每边八分一厘七豪之度展开勿令移动复以大十二面体每边一寸零一厘四豪之度于分体线至第十九分其相距之度恰合即两十二面体之比例为十分与十九分相减余九分即取分体线第九分两防相距之度于分厘尺上量之得七分九厘即七寸九分为所求十二面体之每一边用其度作十二面体与甲乙两体相减之余积等也葢甲乙两体不同类不能得其比例即不能相减故先用更体线将甲乙两体俱变为十二面体复用分体线求其比例而后相减即得所求十二面体之一边也
设如有二十面体积一万七千四百五十五尺问每一边几何
法先以比例尺分体线第一分之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之十分作十尺自乘再乘得一千尺与积数一万七千四百五十五尺相较其比例如一与十七又九之五即取分体线第十七分又九之五相距之度于分厘尺上量之得二寸五分九厘即二十五尺九寸为正方体之一边用其度作正方体其积与二十面体积等也乃以更体线方号之两防依正方体每边二寸五分九厘之度展开勿令移动次取二十面号两防相距之度于分厘尺上量之得二寸即二十尺为所求二十面体之每一边也葢正方体为各体形比例之宗故凡有积求边者必先用分体线求得方体之边然后用更体线使方号两防相距之度与方边等而取所求体之号两防相距之度即所求
体之一边自 【也】球体四面体至二十面体皆同一法
五金线
自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线用各体权度比例定率数金重十六两八钱水银重十二两二钱八分铅重九两九钱三分银重九两铜重七两五钱铁重六两七钱锡重六两三钱为各体正方一寸轻重之比例【定率数有三十余种尺不能尽载惟此数者其用为多故止载此】若重数相等则其积数必不同故又用转比例之法求其体积之比例命金之积为十亿则与金同重之水银积为十三亿六千八百零七万八千一百七十五【水银重十二两二钱八分为一率金重十六两八钱为二率金积十亿为三率得四率即水银积余仿此】铅之积为十六亿九千一百八十四万二千九百银之积为十八亿六千六百六十六万六千六百六十六铜之积为二十二亿四千万铁之积为二十五亿零七百四十六万二千六百八十六锡之积为二十六亿六千六百六十六万六千六百六十六既得各体之积数乃开立方求其方根则金之数为一千水银之数为一千一百一十铅之数为一千一百九十一银之数为一千二百三十一铜之数为一千三百零八铁之数为一千三百五十八锡之数为一千三百八十六爰将各根数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成五金线也
设如有金 【重】球径二尺欲作一 【之】银球其重 【金】与金球等问
径几何法以比例尺五金线金号之两防依分厘尺二寸之度展开勿令移动次取银号两防相距之度于分厘尺上量之得二寸四分六厘即二尺四寸六分为银球径用其度作银球即与金球重等也葢金号与银号之比例原为同体边与银体边之比例则金号与银号两距度之比例亦必为同重之金体边与银体边之比例今金号相距之度既
为金 【面】球径则银号相距之度必为【体】
银球径可知矣又以二寸 【其】当金球径二尺故二寸四分六厘即为二尺四寸
六分也设如有金正方体每边一寸重十六两八钱今欲作银八面体其重与金正方体等问每一边几何法先以比例尺更体线正方体之两防依正方每边一寸之度展开勿令移动次取八面体两防相距之度于分厘尺上量之得一寸二分八厘有余即为金正方体等重之金八面体之每一边数乃以五金线金号之两防依金八面体每边一寸二分八厘之度展开勿令移动次取银号两防相距之度于分厘尺上量之得一寸五分八厘有余即为银八面体之每一边用其度作八重与金正方体等也葢两体不同类不能得其比例故先用更体线变正方体为八面体而后用五金线比例之其法与前同也
设如有铜正方体每边二寸重六十两今有铅一百
两欲铸为 【号】球体问径几
何法先以分体线第六十分之两【两防原重六十两故取六】防依铜正方体每边二寸之度展开勿令移动次取分体线第一百分两防相距之【十分今重一百两故取一】度于分厘尺上量之得二寸三分七厘即重一百两之铜正方体之每一边又以更体线正方号之两防依正方每边二寸三分七
厘之度展开勿令移动次 【百】取球号两防相距之度于分厘尺上量之得二寸
九分四厘即重一百两 【分】之铜球径复以五金线铜号之两防依铜球径二寸九分四厘之度展开勿令移动次取铅相距之度于分厘尺上量之得二寸六
分八厘即重一百两之铅 【边】球径也葢两重数不同而两体又不同不能得其比例故先用分体线变为同重之铜正
方体又用更体线变为同重之 【必】铜球体乃用五金线铜与铅之边线以比例之而后得其径
数也设如银正方一寸重九两问铜正方一寸重几何法以五金线银号之两防依正方一寸之度展开勿令移动次取铜号两防相距之度于分厘尺上量之得一寸零五厘二豪即为重九两之铜正方边数乃以分体线九十分之两防依一寸零五厘二豪之度展开勿令移动而以今铜正方一寸之度于分体线上寻至七十五分之两防其相距之度恰合即七两五钱为铜正方一寸重数也葢银重九两其方边一寸则铜重九两其方为一寸零五厘二豪又铜方边一寸零五厘二豪其重九两则铜方边一寸其重即为七两五钱也
设如有银正方体每边二寸重七十二两今欲作一铜二十面体其边与正方体等问重几何
法先以比例尺更体线正方体之两防依正方每边二寸之度展开勿令移动次取二十面体两防相距之度于分厘尺上量之得一寸五分四厘有余即为银正方体等重之银二十面体之每一边乃以五金线银号之两防依银二十面体每边一寸五分四厘之度展开勿令移动次取铜号两防相距之度于分厘尺上量之得一寸六分三厘有余即为银二十面体同重之铜二十面体之每一边复以分体线第七十二分之两防依铜二十面体每边一寸六分三厘之度展开勿令移动而以今所作铜二十面体每边二寸之度于分体线上寻至第一百三十分有余之处其相距之度恰合即一百三十两有余为铜二十面体之重数也葢两体不同类不能得其比例故先用更体线变正方体为二十面体又用五金线变银二十面体为铜二十面体复用分体线有边求重之法比例之然后得其重数也
御制数理精蕴下编卷三十九
钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷四十
末部十
比例规解【分圆线 正线 正切线 正割线 尽日晷法假数尺 正假数尺 切线假数尺 割线假数尺】
分圆线【即圆内之通线】
自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线依几何原本十二卷二十节之法分之即为分圆线也或用八线表三十分之正倍之即一度之通一度之正倍之即二度之通一度三十分之正倍之即三度之通至于九十度之正倍之即一百八十度之通以所得通之数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成分圆线也
设如甲乙半径六寸丙乙弧二十九度问丙乙通几何
法以比例尺分圆线六十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取分圆线二十九度两防相距之度于分厘尺上量之得三寸即丙乙通之数也葢圆之半径与六十度之通等六十度之通既为六寸则二十九度相距之三寸即为二十九度之通可知矣
设如甲乙半径六寸丙乙通三寸问丙乙弧度几何
法以比例尺分圆线六十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取通三寸之度于分圆线上寻至二十九度之两防其相距之度恰合即丙乙弧为二十九度也葢圆之半径与六十度之通等通六寸相当之度为六十度则丙乙通三寸相当之二十九度即为丙乙弧之度可知矣
设如丙乙弧三十一度丙乙通一寸零三厘问甲乙半径几何
法以比例尺分圆线三十一度之两防依通一寸零三厘之度展开勿令移动次取六十度两防相距之度于分厘尺上量之得二寸即甲乙半径也葢六十度之通与圆之半径等三十一度之通为一寸零三厘则六十度之通二寸即为圆之半径可知矣
设如圆径六寸内容五等边形问每一边几何法以比例尺分圆线六十度之两防依半径三寸之度展开勿令移动次以圆周三百六十度用五归之得七十二度即五等边形每边相当之弧乃取分圆线七十二度两防相距之度于分厘尺上量之得三寸五分有余即圆内五等边形之一边也葢圆内容五边形之每一边即七十二度之通而半径又即六十度之通六十度之通为三寸则七十二度之通三寸五分有余即为圆内容五等边形之一边可知矣
设如有甲乙丙三角形问乙角之度几何
法以乙角为心任以一处为界作丁戊弧则乙丁乙戊皆为圆之半径丁己戊爲乙角之通乃以比例尺分圆线六十度之两防依乙丁半径之度展开勿令移动次取丁己戊通之度于分圆线上寻至三十度之两防其相距之度恰合即乙角为三十度也
正线
自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线用八线表正线自一度至九十度之数【自八十度至九十度正每度之较甚防若尺小不能分或隔一度而作一防或隔五度而作一防】于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成正线也
设如甲乙半径六寸丙乙弧二十一度问丙丁正几何
法以比例尺正线九十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取正线二十一度两防相距之度于分厘尺上量之得二寸一分五厘即丙丁正之数也葢圆之半径与九十度之正等九十度之正既为六寸则二十一度相距之二寸一分五厘即为二十一度之正可知矣若用分圆线则以分圆线六十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次以丙乙弧二十一度倍之得四十二度即取分圆线四十二度两防相距之度于分厘尺上量之得四寸三分为四十二度之通折半得二寸一分五厘即丙丁正之数也葢正之弧为弧背之一半正为通之一半故求得倍弧之通折半即半弧之正此分圆线与正线可以互相为用也
设如甲乙半径六寸乙丁正三寸问乙丙弧之度几何
法以比例尺正线九十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取正三寸之度于正线上寻至三十度之两防其相距之度恰合即乙丙弧为三十度也葢圆之半径与九十度之正等正六寸相当之度为九十度则正三寸相当之三十度为丙乙弧之度可知矣若用分圆线则以分圆线六十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次以正三寸倍之得六寸于分圆线上寻之得六十度折半得三十度亦即乙丙弧之度也
设如甲乙弧三十二度甲丙正一寸零六厘问乙丁半径几何
法以比例尺正线三十二度之两防依正一寸零六厘之度展开勿令移动次取九十度两防相距之度于分厘尺上量之得二寸即乙丁半径也盖九十度之正与圆之半径等三十二度之正为一寸零六厘则九十度之正二寸即为圆之半径可知矣若用分圆线则以三十二度倍之得六十四度以正一寸零六厘倍之得通二寸一分二厘乃以分圆线六十四度之两防依通二寸一分二厘之度展开勿令移动次取分圆线六十度两防相距之度于分厘尺上量之得二寸即乙丁半径也
设如简平仪下盘作节气线问其法若何
法自甲圆心作乙丙径线
又自甲平分作赤道线即
为春分秋分线乃以比例
尺正线九十度之两防
依甲乙半径之度展开勿
令移动次取二十三度半
两防相距之度【二至黄赤道大距度】于赤道线左右丙乙径上
作识如丁戊依识与赤道
平行作线即为夏至冬至
线【丁为夏至戊为冬至】复以正线
九十度之两防依甲戊二
十三度半之正线度展
开勿令移动而取十五度
三十度四十五度六十度七
十五度之各两防相距之度
于赤道左右作识悉与赤道
平行作线即成二十四节气
线也葢赤道即春分秋分距
二分十五度之线左为惊蛰
寒露右为清明白露距二分
三十度之线左为雨水霜降
右为谷雨处暑距二分四十
五度之线左为立春立冬右
为立夏立秋距二分六十度
之线左为大寒小雪右为小
满大暑距二分七十五度之
线左为小寒大雪右为芒种
小暑距二分九十度之线左
即冬至右即夏至也
设如简平仪下盘欲作时刻线问其法若何
法如前作径线及赤道二
至线乃以比例尺正线
九十度之两防依半径【即春
秋分线之半】之度展开勿令移
动次取十五度三十度及
四十五度六十度七十五
度之各两防相距之度自
圆心于赤道线上下作识
即春秋分时之二十四时
刻也又以比例尺正线
九十度之两防依冬夏至
线之半展开勿令移动取
十五度三十度四十五度
六十度七十五度之各两
防相距之度自圆径与二
至线相交之处于二至线
上下作识即二至时之二
十四时刻也乃用三防串圆
之法将二至及二分之防连
为一线即成时刻线矣葢中
心横线为卯正酉正距中心
十五度之线上为辰初酉初
下为卯初戌初距中心三十
度之线上为辰正申正下为
寅正戌正距中心四十五度
之线上为巳初申初下为寅
初亥初距中心六十度之线
上为巳正未正下为丑正亥
正距中心七十五度之线上
为午初未初下为丑初子初
距中心九十度之线即圆周
上为午正下为子正也
正切线
自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线用八线表正切线自一度至四十五度之数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成正切线也至于四十五度以后则与四十五度以前相为正余葢四十五度之正切线与半径等四十五度以前之正切线即四十五度以后之余切线而半径与正切之比同于余切与半径之比故切线止用四十五度即足九十度之用也
设如甲乙半径六寸乙丙弧三十五度问丁乙切线几何
法以比例尺正切线四十五度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取正切线三十五度两防相距之度于分厘尺上量之得四寸二分即丁乙切线之数也葢圆之半径与四十五度之切线等四十五度之切线既为六寸则三十五度相距之四寸二分即为三十五度之切线可知矣
设如甲乙半径六寸乙丙弧五十八度问丁乙切线几何
法以五十八度与九十度相减余三十二度为余弧乃以比例尺正切线三十二度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取四十五度两防相距之度于分厘尺上量之得九寸六分即丁乙切线之数也葢圆之半径与四十五度之切线等而三十二度之正切即为五十八度之余切夫半径与正切之比既同于余切与半径之比故以三十二度相距之六寸当半径而四十五度相距之九寸六分即为五十八度之切线也凡过四十五度者皆仿此
设如甲乙半径六寸丙乙切线四寸二分问丁乙弧之度几何法以比例尺正切线四十五度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取切线四寸二分之度
于正切线上寻至三十五度之两防其相距之度 恰合即丁乙弧为三十五度也葢圆之半径与四十五度之切线等切线六寸相当之度为四十五度则切线四寸二分相当之三十五度即为乙丁弧之度可知矣设如
甲乙弧三十五度丙乙切线一寸零五厘问丁乙半径几何法以比例尺正切线三十五度之两防依切线一寸零五厘之度展开勿令移动次取正切线四十五度两防相距之度于分厘尺上量之得一寸五分即丁乙半径也葢四十五度之切线与圆之半径等三十五度之切线为一寸
零五厘则四十五度之切线一寸五分即为
丁乙半径可知矣
设如地平上立表髙四尺日中影长三尺六寸零二厘问日髙度几何
法以比例尺正切线四十五度之两防依分厘尺四寸之度展开勿令移动次取分厘尺三寸六分零二豪之度于正切线上寻至四十二度之两防其相距之度恰合乃以四十二度与九十度相减得四十八度为日距地平之髙度也盖地平上立表取影以表为半径则影为日距地平之余切线如甲乙表髙为半径乙丙影长为切线求得乙丁弧为甲角之度故与九十度相减得丙角始为日距地平之度也
设如壁上立横表四尺日中影长二尺四寸零三厘问日髙度几何
法以比例尺正切线四十五度之两防依分厘尺四寸之度展开勿令移动次取分厘尺二寸四分零三豪之度于正切线上寻至三十一度之两防其相距之度恰合即日距地平之髙为三十一度也葢壁上立横表取影以表为半径则影即日距地平之正切线如甲乙横表为半径甲丙影长为切线求得甲丁弧为乙角之度与乙丙戊角之度等故即为日距地平之髙度也
正割线
自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线用八线表正割线自初度至七十度之数【初度割线即圆之半径自一度至十度其每度之较甚防若尺小不能分或隔五度作一防自七十度以上渐与切线平行其数甚大尺上不能容故止取七十度也】于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成正割线也
设如甲乙半径六寸乙丙弧四十一度问甲丁割线几何
法以比例尺正割线初度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取正割线四十一度两防相距之度于分厘尺上量之得七寸九分五厘即甲丁割线之数也葢初度尚无切线故其割线即圆之半径初度之割线既为六寸则四十一度相距之七寸九分五厘即为四十一度之割线可知矣
设如甲乙半径六寸甲丙割线一尺二寸问丁乙弧之度几何
法以比例尺正割线初度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取割线一尺二寸之度于正割线上寻至六十度之两防其相距之度恰合即丁乙弧为六十度也葢初度之割线即圆之半径割线六寸相当之度为初度则割线一尺二寸相当之六十度即为丁乙弧之度可知矣
设如甲乙弧四十四度半丙丁割线二寸一分零三豪问丁乙半径几何
法以比例尺正割线四十四度半之两防依割线二寸一分零三豪之度展开勿令移动次取初度两防相距之度于分厘尺上量之得一寸五分即丁乙半径之数也葢初度之割线即圆之半径四十四度半之割线为二寸一分零三豪则初度之割线一寸五分即为丁乙半径可知矣
作地平日晷法【以北极出地四十度为准】
法先作南北东西线相交于
甲各成直角次作甲乙丙晷
表取甲角五十度为赤道髙
丙角四十度为北极高而乙
角为直角次取晷表之甲乙
度截南北线于丁为半径作
圜用比例尺分圆线比得十
五度三十度四十五度六十
度七十五度之各分分圜界
作识乃自丁圜心引出各界
作线至东西线上即得午正
前后各初正时刻或以甲乙
为半径用比例尺正切线比
得十五度三十度四十五度
六十度七十五度之各切线
自甲左右作以北极出地四
十度为准
识于东西线上亦即午正
前后各初正时刻【甲为午正距甲
十五度前为午初后为未初距甲三十度前为巳正
后为未正距甲四十五度前为巳初后为申初距甲
六十度前为辰正后为申正距甲七十五度前为辰
初后为酉初也】乃以晷表之丙为
晷心至各防作线即时刻
线也卯正酉正各距午正
前后九十度故自丙晷心
与东西线平行作线即卯
正酉正线卯正以前酉正
以后则日转在北影转在
南故与辰初酉初反对作
线即卯初戌初线也次按
刻细分则自午正甲防每
加三度四十五分而得一
刻葢十五度当四刻而三
度四十五分则当一刻也
此法葢因北极为天之枢赤
道为天之带太阳虽由黄道
而行时刻皆以赤道而定故
以晷表之甲乙指赤道丙乙
指北极而东西线即为赤道
线丙乙即为过极经圈甲乙
即为半径午正太阳在正南
则影在正北若偏东偏西若
干度则其切线即其影之长
故以甲乙为半径作圜而分
圜界者即所以求切线至于
用比例尺正切线者正以切
线分时刻也地平日晷作节
气线法法以甲乙
丙晷表之甲角与丙乙
平行作戊己线而以甲乙为
半径用比例尺
正切线比得二十三度三
十分二十二度四十分二
十度十二分十六度二十
三分十一度三十分五度
五十五分之各切线自甲
左右作识于戊己线上即
得各节气日影界【春秋分为赤道
冬至距赤道南夏至距赤道北各二十三度三十分
小寒大雪距赤道南芒种小暑距赤道北各二十二
度四十分大寒小雪距赤道南小满大暑距赤道北
各二十度十二分立春立冬距赤道南立夏立秋距
赤道北各十六度二十三分雨水霜降距赤道南谷
雨处暑距赤道北各十一度三十分惊蛰寒露距赤
道南清明白露距赤道北各五度五十五度】或
以二十三度三十分之正
切线甲戊为半径作圜将
甲乙线引长平分为四象
限用比例尺分圆线比得
十五度三十度四十五度
六十度七十五度之各圜
界又以乙戊为半径作戊
己弧而依所分甲戊小圜
界各与甲乙平行作线截
戊己弧界又自乙至戊己
各弧界作线截戊甲己线
亦即得各节气日影界【甲为
春秋分距甲十五度左为惊蛰寒露右为清明白露
距甲三十度左为雨水霜降右为谷雨处暑距甲四
十五度左为立春立冬右为立夏立秋距甲六十度
左为大寒小雪右为小满大暑距甲七十五度左为
小寒大雪右为芒种小暑】乃自乙至各
防作线与午正时刻线相
交其相交之防即午正各
节气日影界也若求未初
节气线则先以丙乙为半
径作圜又依甲乙度截午
正线于庚而以未初线与赤
道相交之辛防至庚相距之
度截圜界于壬作壬辛线乃
与壬辛取直角作癸子十字
线以壬辛为半径如前法比
得二十三度三十分等距纬
之各切线于辛左右作识于
癸子线乃自壬至各防作线
与未初时刻线相交其相交
之防即未初各节气日影界
也仿此类推则得各时刻之
各节气日影界或用捷法另
取一纸画甲乙丙表式将乙
甲乙戊乙己类各节气线俱
画长些如求未初节气线则
以丙合于晷心丙而以甲乙
春秋分线
合于未初时刻线与赤道相
交之辛防乃于各节气线与
未初时刻线相交之处俱作
防识之即得未初各节气之
日影界余仿此乃将各时刻
线与莭气线相交之防作线
聫之即成节气线也葢春秋
分日行赤道而晷表之甲乙
指赤道故赤道线即为春秋
分线春秋分时日在赤道则
午正日影在甲春分以后秋
分以前日在赤道北夏至而
极北则影在南春分以前秋
分以后日在赤道南冬至而
极南则影在北故以甲乙为
半径而取各距度之切线为
各节气之
影界且切线与半径成直
角故先与甲乙取直角作
十字线而后得其切线也
【甲乙本直立之线与之取直角则戊端应在晷面下
己端应在空中出晷面上而其距午正线之逺近与
平面斜线之度同葢平与立之理一也】其以
冬夏至之影界为半径作
圜用分圆线求之者葢半
径与冬夏至距纬正之
比同于各节气距二分度
之正与各节气距纬正
之比故以甲戊为半径
作圜为一率又以乙戊为
半径作戊己弧则甲戊切
线即变为冬夏至距纬之
正为二率而用分圆线
所分各圜界即得各节气
距二分度之正为三率
其自圜界作线截戊己弧
即得各节气距纬之正
为四率既得各节气之距
纬度又自乙至各弧界作
线截戊甲己线则戊甲己
线仍为各节气距纬之切
线故用正即如用切线
也然虽得各节气之影界
而犹不在午正线之上故
自乙至各节气防作线交
于午正线乃自乙表端照
至各节气防所必经之处
故为午正节气日影界也
至于未初春秋分时则日
影至辛乙辛为影线成乙
甲辛勾股形甲乙为股【甲乙
表直立故为股】甲辛为勾乙辛为
故以甲乙度截午正线
于庚而取庚辛之度即与
乙辛影线之度等又乙辛
线与丙乙为直角成丙乙
辛立勾股形丙乙为勾乙
辛影线为股丙辛时刻线
为【葢丙乙为过极经圈乙辛为赤道影线经
圈与赤道无在而非直角故乙辛与影线亦无在而
非直角也】故以丙乙为半径作
圜而取庚辛度截圜界于
壬成丙壬辛平勾股形即
与丙乙辛立勾股形相等
【丙壬与丙乙等壬辛与乙辛等丙辛仍为线故成
相等勾股形】爰以壬辛影线为
半径与壬辛作直角取各
节气之切线为各节气日
影界皆与午正取节气线
之法同至其捷法乃以已
成之勾股已分之切线转
移用之尤为便捷也
向南壁上画立面日晷法【以北极出地四十度为准】
法先作直线及东西横线
相交于甲各成直角次作
甲乙丙晷表取甲角四十
度丙角五十度而乙为直
角乃依地平日晷作时刻
线法求之即得各时刻线
葢晷表之甲丙指天顶甲
乙指赤道故丙甲乙角定
为四十度则乙甲丁外角
为五十度即赤道之髙度
也丙乙指南极丙戊指地
平故甲丙乙角定为五十
度则乙丙戊外角为四十
度乃南极入地之度即北
极出地之度也甲乙既指
赤道丙乙既指南极则丙
乙即为过极经圈甲乙即
为半径午正太阳在正南
则影在正北若偏东偏西
若干度则其切线即其影
之长皆与地平日晷之法
同至于作节气线之法亦
与地平日晷同但赤道线
以上为春分前秋分后至
冬至之节气线赤道线以
下为春分后秋分前至夏
至之节气线葢春分以后
秋分以前日行赤道北夏
至而极北其度髙故其影
在下也秋分以后春分以
前日行赤道南冬至而极
南其度卑故其影在上也
向东壁上画立面日晷法【以北极出地四十度为准】
法先安甲乙直表与壁面
成直角【甲乙表不拘尺寸】次作甲
丙垂线及甲丁横线各成
直角次以甲为心作甲丙
丁象限弧用比例尺分圆
线比得赤道髙五十度之
弧为丁戊自甲至戊作甲
戊赤道线乃以甲乙表长
为半径用比例尺正切线
比得十五度三十度四十
五度六十度七十五度之
各切线于赤道线上作识
按识作十字线即成时刻
线也【甲防为卯正距甲十五度前为卯初后为
辰初距甲三十度为辰正距甲四十五度为巳初距
甲六十度为巳正距甲七十五度为午初】葢时
刻生于赤道春秋分时卯
正日出正东与表对射故
无影若向南若干度则其
切线即其影之长至于午
正则距卯正九十度切线
与割线平行故无切线而
日影即与壁面平行故亦
无影也若于向西壁上画
晷则以午初为未初巳正
为未正巳初为申初辰正
为申正辰初为酉初卯正
为酉正卯初为戌初余俱
与向东壁上画晷法同
向东壁上立面日晷画节气线法
法以乙表端至卯初防相
距之度为半径用比例尺
正切线比得二十三度三
十分二十二度四十分二
十度十二分十六度二十
三分十一度三十分五度
五十五分之各切线于卯
初线左右作识即得各节
气日影界【春秋分为赤道冬至距赤道南
夏至距赤道北各二十三度三十分小寒大雪距赤
道南芒种小暑距赤道北各二十二度四十分大寒
小雪距赤道南小满大暑距赤道北各二十度十二
分立春立冬距赤道南立夏立秋距赤道北各十六
度二十三分雨水霜降距赤道南谷雨处暑距赤道
北各十一度三十分惊蛰寒露距赤道南清明白露
距赤道北各五度五十五分】又以乙表
端至卯正防相距之度【即甲
乙表长】为半径比得各节气
距纬度之切线于卯正线
左右作识即为卯正各节
气日影界凡各时刻节气
俱以乙表端至各时刻防
相距之度为半径比得各
节气距纬度之切线于各
时刻线左右作识即得各
时刻各节气之日影界将各
防作线聨之即成节气线也
葢春秋分时日在赤道故其
影界即在赤道线之上其自
表端至各时刻防相距之度
即春秋分各时刻之影线也
若春分以后秋分以前日在
赤道北夏至而极北则影在
南春分以前秋分以后日在
赤道南冬至而极南则影在
北故以表端至各时刻防相
距之度为半径而取各节气
距纬度之切线即为各时刻
各节气之日影界聨之即成
节气线也向西壁法同
假数尺
法按分厘尺二百分之度作甲丁乙丙二平行线又作甲乙丁丙二线令成直角乃取假数表内自一至一百所对之假数于分厘尺上取其度【如二之假数为○三○一则为三寸零一厘】截甲丁乙丙二边依所截防作线与甲乙边平行又将甲乙丁丙二边各平分为十分作线与甲丁平行自一十以上又依分厘尺法于各平行线之间悉作斜线则斜线与直线相交之处即其间零数之度如一○至一一之斜线其与第一直线相交之处即一○一也故假数虽止于一百而可以当一千之用若尺止长一尺则如上图截去自一至九之数从一十起至一百止葢十之假数为一而百之假数为二今既截去一尺则假数即减去首位之一取其零数作寸分厘豪用时则以十为单总之假数尺虽始于一十终于一百小之则可以为单为零大之则可以为千为万皆因假数之首位虽递加一数而其后之零数皆同故可以进退为用惟在比例分明加减详审则其用自无穷也
设如有十二人每人给银四两五钱问共银几何法以假数尺之四分五厘【即从一十至四十五之度】与一十二分相加得五十四分即五十四两为共银数也葢一人与四两五钱之比同于一十二人与五十四两之比而真数以乘得者假数以加得之故以四分五厘当四两五钱以十二分当十二人两线相加即得五十四两为共银数也
设如有米四百八十石每石价银七钱五分问共价银几何
法以假数尺之七分五厘【即自一十至七十五之度】与四十八分相加过于一百分之度乃以其过于一百分之余度自假数尺十分以上量之得三十六分即三百六十两为共价银数也葢以四十八分当四百八十石是以单当十则相加过于一百分即为过于一千分矣而以其过于一千分之余度自十分以上量之是以十分当千分则三十六分即为三千六百分既以七分五厘当七钱五分故三千六百分即为三百六十两也
设如有银五百一十二两令三十二人分之问每人几何
法以假数尺之五十一分二厘内减去三十二分以其余度自假数尺十分以上量之得十六分即十六两为每人之银数也葢三十二人与五百一十二两之比同于一人与十六两之比而真数以除得者假数以减得之故以五十一分二厘当五百一十二两以三十二分当三十二人相减用其余度自十分以上量之是以十分当一分故十六分即为一分六厘既以五十一分二厘当五百一十二两则一分六厘即为十六两也
设如有米四十二石令六十人分之问每人几何法以假数尺之四十二分内减去六分【即自一十至六十之度】不足于一十之分乃以其不足于一十之度自假数尺一百以下减之余七十分即七斗为每人之米数也葢以四十二分当四十二石以六分当六十人而以相减不足于一十之分自一百以下减之是以百分当十分则所余之七十分即为七分矣且以六分当六十人是所减之数以单当十则减余之数即以十为单而单即为零故所余之七分即为七厘既以四十二分当四十二石故七厘即为七斗也
设如每银二两五钱兑钱四千七百五十文今有银八两问兑钱几何
法以假数尺之二十五分与四十七分五厘相减余度与八十分相加过于一百分乃以其过于一百分之余度自假数尺十分以上量之得十五分二厘即一万五千二百为共钱数也葢二两五钱与四千七百五十文之比同于八两与一万五千二百文之比故以二两五钱为一率四千七百五十为二率八两为三率得一万五千二百为四率本宜以二率与三率相加内减去一率而得四率今先于二率内减去一率以其余度与三率相加而得四率其理同也又四率既过于一百分而以其过于一百分之余度自十分上量之是以十分当百分故十五分二厘即为一百五十二分既以四十七分半当四千七百五十则一百五十二分即为一万五千二百也
设如有银六两买米五石今有银四两八钱问买米几何
法以假数尺之六十分内减去五十分余度与四十八分相减得四十分即四石为米数也葢六两与五石之比同于四两八钱与四石之比故以六两为一率五石为二率四两八钱为三率得四石为四率本宜以二率与三率相加内减去一率而得四率今先于一率内减去二率以其余度与三率相减而得四率其理同也总之二率大于一率者则四率亦大于三率故以二率多于一率之分与三率相加而得四率若二率小于一率者则四率亦小于三率故以二率小于一率之分与三率相减而得四率用虽不同而理实一也
正假数尺
法按分厘尺二百分之度作甲丁乙丙二平行线又作甲乙丁丙二线令成直角乃取八线对数表内自一度至九十度之正假数减去首位之八于分厘尺上取其度【如一度之正假数为八二四一八减去首位之八余二四一八即为二寸四分一厘八豪】截甲丁乙丙二边依所截防作线与甲乙边平行又将甲乙丁丙二边各平分为十二分作线与甲丁平行又依分厘尺法于各平行线之间悉作斜线则斜线与直线相交之处即其间之分数如自一度至二度之斜线其与第一直线相交之处即一度五分其与第二直线相交之处即一度十分葢一度有六十分故直线分为十二每一直线当五分若于直线之间酌量取之则五分中之零分亦可得其大槩矣若尺小止用一百分则截去自一度至五度之数从六度起至九十度止葢九十度之正假数首位为一○一度之正假数首位为八相减余二故二尺之内始可容自一度至九十度之分今既截去一尺则假数首位须再减去一数故从六度起六度之正假数首位为九减去首位之九取其零数作寸分厘豪至九十度则恰得一尺之分也
设如甲乙丙三角形甲角四十四度三十分丙角五十三度乙丙边五尺三寸七分问甲乙边几何法以正假数尺之四十四度三十分与五十三度相减用其余度与假数尺之五十三分七厘相加得六丁一分一厘即六尺一寸一分为甲乙边也葢甲角正与丙角正之比同于乙丙边与甲乙边之比故以四十四度三十分之正为一率五十三度之正为二率假数尺之五十三分七厘当乙丙边为三率得六十一分一厘当甲乙边为四率本宜以二率与三率相加内减去一率而得四率今先于二率内减去一率以其余度与三率相加而得四率其理同也
设如甲乙丙三角形甲乙边六尺一寸一分甲丙边七尺五寸九分乙角八十二度三十分问丙角几何
法以假数尺之六十一分一厘与七十五分九厘相减用其余度与正假数尺之八十二度三十分相减得五十三度为丙角度也葢甲丙边与甲乙边之比同于乙角正与丙角正之比故以七十五分九厘当甲丙边为一率六十一分一厘当甲乙边为二率八十二度三十分之正为三率得乙角五十三度为四率本宜以二率与三率相加内减去一率而得四率今先于一率内减去二率余度与三率相减而得四率其理同也
切线假数尺
法按分厘尺二百分之度作甲丁乙丙二平行线又作甲乙丁丙二线令成直角乃取八线对数表内自一度至四十五度之切线假数减去首位之八于分厘尺上取其度截甲丁乙丙二边依所截防作线与甲乙边平行又将甲乙丁丙二边各平分为十二分作线与甲丁平行又依分厘尺法于各平行线之间悉作斜线则斜线与直线相交之处即其间之分数皆与正假数尺同至于四十五度以后则与四十五度以前相为正余葢四十五度之正切线与半径等四十五度以前之正切线即四十五度以后之余切线而半径与正切之比同于余切与半径之比故切线尺止用四十五度正余相对即足八十九度之用若尺小止用一百分则截去自一度至五度之数从六度起至四十五度止其余度则至八十四度止亦与正假数尺同也
设如甲乙丙直角三角形甲丙边四尺三寸六分乙丙边四尺二寸九分问甲角几何
法以假数尺之四十三分六厘与四十二分九厘相减用其余度与切线假数尺之四十五度相减得四十四度三十分为甲角度也葢甲丙边与乙丙边之比同于半径与甲角切线之比故以四十三分六厘当甲丙边为一率四十二分九厘当乙丙边为二率四十五度之切线当半径为三率得甲角四十四度三十分为四率也因二率小于一率故于一率内减去二率余数于三率内减之即得四率也
设如甲乙丙直角三角形甲角五十三度甲丙边三十二尺三寸问乙丙边几何
法以切线假数尺之五十三度与半径相减用其余度与假数尺之三十二分三厘相加得四十二分九厘即四十二尺九寸为乙丙边也盖半径与甲角正切线之比同于甲丙边与乙丙边之比而甲角余切线与半径之比亦同于甲丙边与乙丙边之比故以五十三度之余切线为一率四十五度之切线当半径为二率三十二分三厘当甲丙边为三率得四十二分九厘当乙丙边为四率因五十三度切线自四十五度起是已减去半径矣故以二率与三率相加即得四率不必更减一率也
割线假数尺
法按分厘尺二百分之度作甲丁乙丙二平行线又作甲乙丁丙二线令成直角乃取八线对数表内自一度至八十九度之割线假数减去首位之一于分厘尺上取其度截甲丁乙丙二边依所截防作线与甲乙边平行又将甲乙丁丙二边各平分为十二分作线与甲丁平行又依分厘尺法于各平行线之间悉作斜线则斜线与直线相交之处即其间之分数皆与正假数尺同若尺小止用一百分则截去自八十五度至八十九度之数从○度起至八十四度止葢○度之割线即半径其假数为一○今从○度起即减去半径之数至八十四度以后则假数甚大一尺之内不能容故止八十四度止也
设如甲乙丙直角三角形甲角四十五度三十分甲丙边四十二尺九寸问甲乙边几何
法以割线假数尺之四十五度三十分与假数尺之四十二分九厘相加得六十一分一厘即六十一尺一寸为甲乙边也葢半径与甲角割线之比同于甲丙边与甲乙边之比故以半径为一率四十五度三十分之割线为二率四十二分九厘当甲丙边为三率得六十一分一厘当甲乙边为四率因割线先巳减去半径之数故二率与三率相加即得四率不必更减半径也
设如甲乙丙直角三角形甲丙边四十二尺九寸甲乙边五十三尺七寸问甲角几何
法以假数尺之四十二分九厘与五十三分七厘相减用其余度自割线假数尺○度以上量之得三十七度为甲角度也葢甲丙边与甲乙边之比同于半径与甲角割线之比故以四十二分九厘当甲丙边为一率五十三分七厘当甲乙边为二率半径为三率得三十七度当甲角为四率因○度之割线即半径故以一率二率相减之余度自○度以上量之即如与半径相加也
御制数理精蕴下编卷四十
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
钦定四库全书
御制数理精蕴表卷一上
八线表
八线表説
八线之用关于数理者甚大立表愈宻则为用愈精西洋旧表设半径为十万用以推测步算秒微或有不合既而又有新表设半径为一千万取数较精但逐分列表用中比例以求秒数止可用于正余若切线割线至六十度以后其递増之数不均用中比例尚不能宻合兹又用本法细推【法见割圜】每十秒递折求零秒则用比例所差无多检用亦便用表之法并列如左列表之法○度至四十四度列于右方之上其分秒顺列右行自上而下检得某度某分秒对上层各线之数用之若有各线之数求度分秒者则对上层各线行内检得某数横对至右行即得某度分秒 四十五度至八十九度列于左方之下其分秒逆列左行自下而上
检得某度某分秒对下层各线之数用之若有各线之数求度分秒者则对下层各线行内检得某数横对至左行即得某度分秒
凡查零秒用中比例如检一度三分十三秒之正则以一度三分十秒与一度三分二十秒相减余十秒为一率一度三分十秒之正一八三七三四与一度三分二十秒之正一八四二一九相减余四八五为二率三秒为三率求得四率一四五与一度三分十秒之正相加得一八三八七九即一度三分十三秒之正盖多十秒则正多四八五今多三秒则正应多一四五为比例四率也如检一度三分十三秒之余则仍以十秒为一率一度三分十秒之余九九九八三一二内减一度三分二十秒之余九九九八三○三余九为二率三秒为三率求得四率三与一度三分十秒之余相减余九九九八三○九即一度三分十三秒之余盖多十秒则余少九今多三秒则余应少三为比例四率也 如有正一八三八七九求度分秒与一度三分十秒之正相较则多与一度三分二十秒之正相较则少即知在十秒二十秒之间乃以一度三分十秒与一度三分二十秒之正相减余四八五为一率十秒为二率今有之正内减一度三分十秒之正余一四五为三率求得四率三秒与一度三分十秒相加即得一度三分十三秒盖多四八五则多十秒今多一四五则应多三秒为比例四率也如有余九九九八三○九求度分秒则以一度三分十秒之余内减一度三分二十秒之余余九为一率十秒为二率一度三分十秒之余内减今有之余余三为三率求得四率三秒与一度三分十秒相加即得一度三分十三秒盖少九则多十秒今少三则应多三秒为比例四率也
八线内有正矢余矢二线正矢即半径减余之数余矢即半径减正之数故表内虽不列正矢余矢而其【数已寓矣】
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,表卷一上>
<子部,天文算法类,算书之属,几何论约>
钦定四库全书 子部六
几何论约 天文算法类二【算书之属】提要
【臣】等谨案几何论约七卷
国朝杜知耕撰知耕字临甫号伯瞿柘城人是编取利玛窦与徐光启所译几何原本复加删削故名曰论约考光启于几何原本之首冠杂议数条有云此书有四不必不必疑不必揣不必试不必改有四不可得欲脱之不可得欲驳之不可得欲减之不可得欲前后更置之不可得知耕乃刋削其文似乎蹈光启之所戒然读古人书者往往各有所会心当其独契不必喻诸人人并不必印诸著书之人几何原本十五卷光启取其六巻萨几里得以絶世之萟传其国递校之秘法其果有九巻之冗赘待光启去取乎亦各取其所欲取而已知耕之取所欲取不足异也梅文鼎算术造微而所着几何摘要亦有所去取于其间且称知耕是书足以相证则是书之删繁举要必非漫然矣乾隆四十六年九月恭校上
总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
总 校 官【臣】陆费墀
原序
凡物之生有理有形有数三者妙于自然不可言合何有于分顾从来语格物者毎详求理而略形与数其于数虽有九章之术求其精确已苦无书至论物之形则絶无及者孟子曰继之以规矩凖绳以为方圆平直不可胜用意古者公输墨翟之流未尝不究心于此而特未及勒为一家之言与然不可考矣尝窃论之理为物原数为物纪而形为物质形也者理数之相附以立者也得形之所以然则理与数皆在其中不得其形则数有穷时而理亦杳而不安非理之不足恃盖离形求理则意与象暌而理为无用即形求理则道与器合而理为有本也防何原本一书创于西洋欧吉里斯自利玛窦携入中国而上海徐元扈先生极为表章译以华文中国人始得读之其书囊括万象包罗诸有以为物之形有短长有濶狭有厚薄短长曰线濶狭曰面厚薄曰体以
三者提其大纲而曲直相参斜正相求方员相凖多寡相较轻重相衡以虚例实用小该大自近测逺参之伍之错之综之物之形得而无阂数无遁理矣顾其书虽存而习者卒鲜即稍窥其籓亦仅以为厯学一家之言不知其用之无所不可也友人杜子端甫束发好学于天文律厯轩岐诸家无不该览极深湛之思而归于平实非心之所安事之所騐虽古人成説不敢从也其于是书九沛然有得以为原书义例条贯已无可议而解论所系间有繁多读者难则知者少矣于是为之删其冗复存其节要解取诂题论取发解有所未明间以已意附之多者取少迂者取径使览者如指掌列眉庶人不苦难而学者益多既成征序于予予谫陋何能为役然念先君子尝精研此书弗释巻不肖总角时毎闻其略今愧不能绍前业读杜子书而附名末议尤所欣愿者故为述其大
意以应杜子之请而因为之言曰今艺学之榛荒乆矣即以律厯论二者虽同出于数然各有本末不必强同汉魏以来务为牵合了无确义至天文一家尤多穿凿凡日月交食五星凌犯有所弗通不咎推歩之失反诬天行之错以致批根人事除翦无辜翕张政刑不可殚述盖不徒时刻愆期分秒失算而已是岂非学而不实之过哉若舍去一切傅会揣合之説而以防何之学求之则数以象明理因数显涣然氷释无往不合即推而广之凡量髙测逺授土工治河渠以及百工技艺之巧日用居室之防无一之可离者然则此书诚格致之要论艺学之津梁也今夫释迦之学亦来自西域中更刘宋萧梁诸人翻演妙谛转渉悬然终属搏沙无禆实用中国人犹嗜之不啻饥渴防何一书絶非其伦徐利二公一本平实杜子所述更归防简学者辍其章句词赋之功假十一
于千百数日间可得之亦何惮而不一观与杜子先有数学钥六巻已行于世正与防何家相为表里合二书评之皆洁浄精实防于不能损益一字语不云乎言之无文行之不逺吾以为言之不简不可为文简而不该不可为简请以此语賛两书读之者既得其简即得其该其于是道也庶防哉吴学颢序
原序
几何原本者西洋欧吉里斯之书自利氏西来始其学元扈徐先生译以华文厯五载三易稿而后成其书题题相因由浅入深似晦而实显似难而实易为人不可不读之书亦人人能读之书故徐公尝言曰百年之后必人人习之即又以为习之晚也书成于万厯丁未至今九十余年而习者尚寥寥无防其故何与盖以毎题必先标大纲继之以解又继之以论多者千言少者亦不下百余言一题必绘数圗一圗必有数线读者须凝精聚神手志目顾方明其义精神少懈一题未竟已不知所言为何事习者之寡不尽由此而未必不由此也若使一题之蕴数语辄尽简而能明约而能该篇幅既短精神易括一目了然如指诸掌吾知人人习之恐晩矣或语余日子盍约之余曰未易也以一语当数语聪頴者所难而况鲁钝如余者乎虽然试为之于是就其原文因其次第论可约者约之别有可发者以已意附之解已尽者节其论题自明者并节其解务简省文句期合题意而止又推义比类复缀数条于末以广其余意既毕事爰授之梓以就正四方倘摘其谬删其繁补其遗漏尤余所厚望焉杜知耕序
钦定四库全书
几何论约巻一之首
柘城杜知耕撰
界説三十六则【凡造论先当分别解説论中所用名目故作界説】
一界防无长短广狭厚薄
二界线有长短无广狭厚薄【线有曲有直】
三界线之界是防
四界直线止有两端两端之间上下更无一防
五界面有长短广狭而无厚薄
六界靣之界是线
七界平面一面平在界之内
八界平角两直线于平靣纵横相遇处如甲乙乙丙两线所作不以线之大小较论【凡言角连用三字中间一字为所指之角如称甲乙丙角乃指乙角而言也】
九界直线相遇作角为直线角本书中所论皆是直
线角角有三等一直线角
二曲线角三杂线角
十界甲乙纵线加丙丁横线上乙左右作两角相等
而直【角方中矩曰直】则甲乙为丙丁之垂线
十一界凡角大于直角曰钝角【如甲乙丙角】
十二界凡角小于直角曰鋭角【如前图甲乙丁角】
十三界界者一物之始终今所论有三界防为线之界线为面之界面为体之界体不可为界
十四界形或在一界【如平圎立圎等形】或在多界之间【如平方立方及平立三角六角八角等形】
十五界圜自界至心任作几许直线俱等
十六界圜之中处为心
十七界自圜之一界作一直线过中心至他界为圜径径分圜为两平分
十八界径线与半圜界所作形为半圜
十九界在直线界中之形为直线形
二十界在三直线界中之形为三边形
二十一界在四直线界中之形为四边形
二十二界在多直线界中之形为多边形
二十三界三边形三邉线等为平边三角形
二十四界三边形两邉线等为两边等三角形
二十五界三邉形三边俱不等为三不等三角形二十六界三邉形有一直角为三邉直角形
二十七界三边形有一钝角为三边钝角形
二十八界三边形三角皆鋭为三边鋭角形【凡三边形恒以在下者为底两旁者为腰】
二十九界四边形四边俱等而角直为直角方形三十界直角形其角皆直其边两两相等
三十一界斜方形四边等而非直角
三十二界长斜方形其邉两两相等而非直角
三十三界已上四种谓之有法四邉形四种之外他方形皆谓之无法四邉形
三十四界两直线【如甲乙丙丁两线】于同面行至无穷不相
离亦不相逺而不相遇为平行线
三十五界一形每两边有平行线【甲丙与乙丁平行甲乙与丙丁平行】
为平行方形
三十六界凡平行方形于对角作直线又于两边纵横各作平行线遇对角线于壬即分此形为四平行方形其两形有对角线者【己辛庚戊两形】为
角线方形其两形无角线者【丁壬壬乙两形】为余方形【甲乙丙丁方形今止称为丁乙方形省文也】
求作四则【求作者不得言不可作】
一求自此防至彼防求作一直线
二求一有界直线求从一界引长之成一直线
三求不论大小以防为心求作圜
四求设一度于此求作彼度较此度或大或小【凡言度者或线或面或体皆是】
公论十九则【公论者不可疑】
一论设有多度彼此俱与他等则彼与此自相等二论有多度等若所加之度等则合并之度亦等三论有多度等若所减之度等则所存之度亦等四论有多度不等若所加之度等则合并之度不等五论有多度不等若所减之度等则所存之度不等六论有多度俱倍于此度则彼多度俱等
七论有多度俱半于此度则彼多度俱等
八论有二度自相合【谓以此度加于彼度之上而自相合】则两度必等九论全大于其分
十论直角俱相等
十一论有甲乙丙丁两横线任作一戊己纵线或正或偏若戊己线旁同方两角俱小于直角或两角并小于两直角则两横线愈长愈相近
必有相遇处
十二论两直线不能为有界之形
十三论两直线止能于一防相遇
十四论有甲乙丙丁两度等若于甲乙加乙戊于丙丁加丁己所加两度不等则合并之差与所
加之差等谓甲戊之大于丙己与乙戊之大于丁己同一戊庚也
十五论有戊乙丁己两度不等若于戊乙加乙甲于己丁加丁丙所加两度等则合并所赢之度
与元所赢之度等谓戊甲之大于己丙与戊乙之大于己丁同一庚戊也
十六论有甲乙丙丁两度等若于甲乙减戊乙于丙丁减己丁所减两度不等则余度所赢之度
与减去所赢之度等谓乙戊之大于己丁与丙己之大于甲戊同一庚戊也
十七论有甲戊丙己两度不等若于甲戊减甲乙于丙己减丙丁所减两度等则余度所赢之度
与元所赢之度等谓乙戊之大于丁己与甲戊之大于丙己同一庚戊也
十八论全与诸分之并等