御制历象考成后编御制厯象考成后编卷三
御制厯象考成后编卷三
交食数理
交食总论
用日躔月离求实朔望
用两经斜距求日月食甚时刻及两心实相距求月食初亏复圆时刻【食既生光附】
求日月实径与地径之比例【视径附】
求影半径及影差
求黄道高弧交角
求月食初亏复圆并径黄道交角【即纬差角】求白经高弧交角
求高下差
求日食食甚真时及两心视相距
求日食初亏复圆时刻【方位附】
求日食带食
交食总论
日月相防为朔相对为望朔而同度同道则月掩日而日为之食望而同度同道则月亢日而月为之食【朔望日月皆东西同度而南北不皆同道同道则食】顾推步之法月食犹易而日食最难以月在日下人在地面随时随处所见常不同也自大衍以至授时其法寖备我朝用西法推验尤请上编言之详矣近日西人噶西尼等益复精求立为新表其理不越乎昔人之范围而其用意细密又有出于昔人所未及者如求实朔实望用前后二时日月实行为比例昔之用平朔平望实距弧者未之及也日月两心相距最近为食甚两周初切为初亏初离为复圆皆用两经斜距为比例昔之用月距日实行者未之及也日食用图算月之视行不与白道平行带食日在地平视差即圆之半径月之视距即见食之浅深昔之言视差者亦未之及也虽其数所差无多而其法实属可取其他或因屡测而小有变更或因屡算而益求简防则又考验之常规而推步所当从也各为之说如左
用日躔月离求实朔望
从来求实朔望有二法一用本日次日两子正日月黄道实行度比例其相防之时刻为实朔相对之时刻为实望推逐月朔望用之【见下编推合朔望法】以巳有本年逐日之日躔月离故也一用本年首朔先求本月平朔望之时刻然后求其平行实行之差比例加减而得实朔望之时刻推交食用之【见上编朔望有平实之殊篇及下编推日食月食法】因上考徃古下推将来不必逐日悉推其躔离而即可迳求其朔望故也斯二法诚不可偏废但从前交食求平行实行之差太隂惟用初均故甚整齐简易今求太隂初均又有诸平均之加减旣属繁难而黄白大距又时时不同非推月离不得其凖故今交食推实朔望合二法而兼用之先推平朔望以求其入交之月次推本日次日两子正之日躔月离以求其实朔望之时又推本时次时两日躔月离以比例其时刻较之旧法似为纡逺然太隂之行甚速因迟疾差之故一日之内行度时时不同且平行实行之差大者至八九度则平朔望与实朔望之相距即至十有余时今以前后两时相比例较之止用两子正实行度相比例者固为精宻即较之以距时为比例者亦又加详矣
用两经斜距求日月食甚时刻及两心实相距
新法算书以实朔用时即为日食食甚用时以实望用时即为月食食甚时刻皆黄白同经【太隂自道度与太阳黄道度相等为黄白同经】上编以此时两心斜距犹逺惟自白极过太阳作经圏与白道成直角太隂临此直角之防两心相距最近始为食甚故以白道升度差为食甚距弧以一小时月距日实行比例得时分与实朔望用时相加减方为食甚时刻【月食即食甚时刻日食为食甚用时】其法较前为加密矣【见月食五限时刻日食三限时刻篇】近日西法用日躔月离比例求实朔望是为黄道同经较之新法算书去食甚为尤逺而其求食甚之法则亦以两心相距最近为食甚实纬以实朔望太隂距最近防之度为食甚距弧又以黄白二道原非平行而日月两经常相斜距若以太阳为不动则太隂如由斜距线行故求两心相距最近之线不
与白道成直角而与斜距线成直角其距弧变时亦不以月距日实行度为比例而以斜距度为比例较之上编为尤近焉虽度分时刻所差无多而其理更为细密图说详着于左如图甲乙为黄道丙乙为白道乙角为中交新法算书以日心在甲月心在丙为实朔影心在甲月心在丙为实望甲乙与丙乙等是为黄白同经无另求食甚之法上编以月行至丁为食甚甲丁距纬与白道成直角较甲丙为近故丙丁为食甚距弧以月距日实行比例得时分加于丙防实朔望之时刻方为食甚时刻今用日躔月离黄道度算则以日心在甲月心在戊为实朔影心在甲月心在戊为实望甲戊距纬与黄道成直角是为黄道同经戊之去丁较丙丁为尤逺按上编之法当以甲乙黄道度求丁乙白道升度与戊乙太隂距交白道度相减余戊丁为食甚距弧而仍以甲丁距纬为食
甚两心实相距夫日月各有行分日在甲月既在戊逮月由戊行至丁则日亦不在甲而顾谓甲丁为食甚两心实相距戊丁为食甚距弧者盖月由戊行至己则日由甲行至庚庚己与甲丁平行甲庚与辛已等庚己与甲辛等丁己与辛己甲丁与庚己皆相差无多故借甲丁为与庚己等为两心实相距借丁己为与辛己等为日行【月食为影心行与日行等】而戊己原为月行则戊丁即为月距日之行故即以戊丁为距弧以一小时月距日实行为比例即得食甚距时也今求食甚之法以戊乙与甲乙原非平行日月两经常相斜距己防固为直角相对之时而其相距尤近必犹在己防之后试与甲乙平行作戊壬线为黄道距等圏取一小时日实行甲癸之分截之于子取一小时月实行截白道于丑则子丑为一小时两经斜距又与戊子平行作丑寅线与子丑平行
作戊寅线则寅丑与戊子等亦为一小时日实行戊寅与子丑等亦为一小时两经斜距戊寅丑与戊辛己为同式形月行为戊丑则日行为寅丑【与甲癸等】斜距为戊寅月行为戊己则日行为辛己【与甲庚等】斜距为戊辛是日月二道原非平行而两经斜距则常为一线若以日心为不动将庚防合于甲则月心己防必合于辛将癸防合于甲则月心丑防必合于寅是月在戊丑白道上行即如在戊寅斜距线上行矣乃自甲防与戊寅斜距成直角作甲夘线与丑寅平行作夘辰线与甲夘平行作辰巳线则甲己与夘辰等为实朔至食甚之日实行戊辰为实朔至食甚之月实行辰巳与甲夘等即食甚两心实相距甲夘相距之近尤近于甲辛【甲夘为股甲辛为股必短于也】是月心临于辰防方为食甚其实行在己防后也若以日心为不动将己防合于
甲则月心辰防必合于夘故戊夘为食甚距弧求之之法先用戊丑寅三角形寅丑边为一小时日实行戊丑边为一小时月实行丑角与乙角等即本时黄白交角用切线分外角法求得戊角为斜距交角差【斜距交角差者乃斜距黄道交角与黄白交角之差此本系弧线三角形因其形甚小故作直线算以从简易】并求得戊寅边为一小时两经斜距次用甲戊夘三角形以丑戊寅角与丑戊壬黄白交角相加【戊壬寅丑二线皆与甲乙线平行故丑角戊角皆与乙角等】得寅戊壬角为斜距黄道交角即与夘甲戊角等【甲戊午与甲夘戊及戊夘午皆为同式三角形故寅戊壬角与夘甲戊角等】乃以半径与甲角余之比同于甲戊与甲夘之比【此亦作直线算】而得甲夘为食甚两心实相距又以半径与甲角正之比同于甲戊与戊夘之比而得戊夘
为食甚距弧然后以戊寅一小时两经斜距为一率一小时为二率戊夘食甚距弧为三率求得四率为食甚距时盖月行为戊辰日行为夘辰斜距为戊夘戊夘辰三角形与戊寅丑三角形为同式比例也今设乙角为四度五十八分三十秒【丁甲戊角戊丑寅角丑戊壬角皆与乙角等】甲乙为实朔太隂黄道距中交前十度戊甲为太隂距黄道北五十一分五十七秒六五寅丑为一小时日实行二分二十七秒八五戊丑为一小时月实行三十二分五十六秒四六旧法用甲乙戊三角形求得甲丁两心实相距为五十一分四十五秒九○戊丁距弧为四分三十秒三五以日月二实行相减得一小时月距日实行为三十分二十八秒六一此例食甚距时得八分五十二秒二四今法先用戊丑寅三角形求得丑戊寅角二十四分五秒八二与丑戊壬角相加得五度二
十二分三十五秒八二为斜距黄道交角与夘甲戊角等又求得戊寅邉三十分二十九秒一九为一小时两经斜距次用甲夘戊三角形求得甲夘两心实相距为五十一分四十三秒九三比甲丁近二秒戊夘距弧为四分五十二秒一三以戊寅两经斜距比例食甚距时得九分三十四秒九四比戊丁距时迟四十三秒是为两心相距最近之时若实朔望在交后则日由乙向甲月由乙向戊两心以渐而逺食甚在实朔望前距时比旧为早其【法并同】
求月食初亏复圆时刻【食既生光附】
月食求初亏复圆时刻以食甚实纬为一边并径为一边以实纬交白道之角为直角用正弧三角形法求得初亏复圆距食甚之弧以一小时月距日实行比例得时分与食甚时刻相加减即得初亏复圆时刻【初亏减复圆加】上编言之详矣【见月食五限时刻篇】今以弧线可作直线算故用勾求股之法即得距弧至以距弧变时则以一小时两经斜距为比例葢食甚两心实相距既与斜距成直角则初亏复圆之并径亦与斜距成勾股故仍以斜距比例时分也图说并着于左如图甲乙为黄道丙乙为白道乙角为黄白交角实望时地影心在甲月心在丙食甚时地影心在丁月心在戊戊丁为食甚两心实相距与甲己等丙己为食甚距弧初亏时地影心在庚月心在辛辛戊为初亏至食甚之月实行庚丁为初亏至食甚之日实行与壬戊等辛壬为初亏至食甚日月两行之斜距与癸巳等即初亏距弧【理与食甚同】庚壬卽食甚两心实相距与甲己等庚辛为并径与甲癸等复圆时地影心在子月心在丑戊丑为食甚至复圆之月实行丁子为食甚至复圆之日实行与戊寅等寅丑为食甚至复圆日月两行之斜距与巳夘等即复圆距弧子寅即食甚两心实相距与甲己等子丑为并径与甲夘等辛壬庚癸己甲丑寅子夘巳甲为相等四股勾形若以地影心为不动以食甚影心丁防合于甲则月心戊防合于巳以初亏影心庚防合于甲则壬防合于巳而月心辛防合于癸以复圆影心子防合于甲则寅防合于巳而月心丑防合于夘初亏复圆距弧即与癸夘斜距合为一线矣故今求初亏复圆距弧即用癸己甲勾股形以己甲为勾癸甲为求得癸己股与巳卯等为初亏复圆距弧夫癸己与己夘二弧既皆为两经斜距则以二弧变时亦当与斜距为比例故以一小时两经斜距与一小时之比同于癸己或己夘初亏复圆距弧与初亏复圆距时之比也若食既生光则甲癸甲夘二线为月半径与影半径相减之较其法并与初亏复圆同
求日月实径与地径之比例【八十四】
从来算家谓日月之在天其实径原为一定之数而视径之大小则因距地有逺近而时时不同然所谓实径者仍以视径之大小距地之逺近比例而得今日月本天心之距地心数皆与旧不同则日月距地之逺近亦因之而各异且视径之大小古今所测相差惟在分秒之间在器只争毫厘而在数已差千百则实径究亦未有一定之数也新法算书载日实径为地径之五倍有余中距日天半径与地半径之比例为一与一千一百四十二月实径为地径百分之二十七强中距朔望时月天半径与地半径之比例为一与五十六又百分之七十二上编仍之以推最高日天半径与地半径之比例为一与一千一百六十二最卑日天半径与地半径之比例为一与一千一百二十一【今监臣戴进视径附】最高朔望时月天半径与地半径之比例为一与五十八又百分之一十六最卑
朔望时月天半径 【见日躔地半径差篇】与地半径之比例为一与五十【见交食日月距地与地半径之比例篇】四又百分之贤等据西人近年所测日天半径与地半径之比例最高为一与二万零九百七十五中距为一与二万零六百二十六最卑为一与二万零二百七十七月天半径与地半径之比例最高为一与六十三又百分之七十七中距为一与五十九又百分之七十八最卑为一与五十五又百分之七十九【详本编曰躔月离地半径差篇】又用逺镜仪【西人黙爵所制以逺镜加衡为窥管】测得日视径最高为三十一分四十秒中距为三十二分一十二秒最卑为三十二分四十五秒月视径最高为二十九分二十三秒中距为三十一分二十一秒最卑为三十三分三十六秒用此数推算日实径为地径之九十六倍又十分之六月实径为地径百分之二十七小余二六强夫月实径与旧大致相符而日实径差至十九倍者盖今所测日距地数比旧原大十八倍余则日实径比旧大十九倍止为大十八分之一故今之日视径亦比旧大十八分之一是则视径之大小固各得之实测要亦合诸推算以成一家之言至于日体纯阳其光恒溢于常径之外新法算书谓周围皆大一分今说谓大一十五秒故推日食之法必于并径内减去太阳光分一十五秒余与视纬相较方为受食之分而日之本径则仍带光分算其理固应尔也测算之法并见上编
求影半径及影差
地影半径之大小由于太阳距地有逺近及太隂距地有高卑故先以太阳在最高所生之大影为率求得太隂从高及卑所当地影之濶为影半径又以太阳从高及卑所生各影小于大影之较为影差与影半径相减乃为实影半径上编言之详矣【见地影半径篇】今以三角形之理考之日月两地半径差相并即与日半径影半径相并之数等而日月地半径差及日半径皆推交食所必用之数且又皆由距地之高卑逺近而生故近日西法皆不用另求影半径惟以日月两地半径差相加内减去日半径余即为实影半径以影差已在其中也此外又有视影之说盖以地上有气差能映小为大则太阳实径必小于视径实径小则影大矣又月食时日在地下气转蔽日光则地影视径必尤大于实径计其所大之分约为太隂地半径差六十九分之一故又以此为影差与实影半径相加为视影半径则所谓影差者名虽同而义实异也总之算家立说古今不必相同然测验皆期于合天而推步必归于有据旧说谓太阳有光分能侵地影使小今说谓地周有气能障地影使大此亦极不同之致矣然最大影半径旧为四十六分四十八秒今为四十六分五十一秒相差不过三秒最小影半径旧为四十二分三十八秒今为三十八分二十八秒相差四分有余盖地影之大小固由于太阳距地之逺近及太隂距地之高卑而太隂所闗为尤重查最卑太隂距地今昔相差不过百分地半径之九十五最高太隂距地则相差至百分地半径之五百六十一夫月之距地既因两心差而不同则月径与影径遂亦因之而各异要皆据一时之所测设法推步以求合而非为臆说也图说详着于左如图甲乙为地半径甲丙为日天半
径丙丁为日半径从丁切乙作光线与丙甲线交于戊甲戊为地影之长
甲己为月天半径庚己辛为月行所当地影之濶己甲辛角为影半径分【详上编地影半径篇】试观甲丁辛三角形丁辛
二内角与壬甲辛一外角等而丁角即太阳地半径差辛角即太隂地半径差【甲丁线畧与甲丙日天半径等甲辛线畧与甲巳月天半径等而其角皆与甲乙地半径相当故其角即为地半径差角】壬甲巳角与丙甲丁角为对角即日半径故以丁角太阳地半径差与辛角太隂
地半径差相加即得壬甲辛角内减日半径壬甲己角余己甲辛角即实影半径盖日月地半径差及日半径
既因日月距地之高卑逺近而时时不同故所得影半径即为本时之实影半径不复有影差也又气映小
为大丙丁为太阳视半径丙癸为太阳实半径从癸切乙作光线与丙甲线交于子则月行所当地影半径为己丑而己丑之分必大于己辛且地球外气之厚如乙寅从丁切寅作光线与丙甲线交于夘则月行所当
地影半径为己辰而己辰之分必尤大于己辛矣此辛辰之分当辛甲辰角约为甲辛乙角六十九分之一故又以此为影差与实影半径己甲辛角相加得己甲辰角为视影半径也
求黄道高弧交角
求交食方位及日食三差皆用黄道高弧交角上编月食方位求交角之法与日食三差之求交角者微有不同而畧为简易葢各圏相交皆成弧线三角形转换相求法可相通而理实一致彼此互相发也近日西法又以黄道赤经交角与赤经高弧交角相加减而得黄道高弧交角用以求月食方位繁简大槪相同而用以求日食三差则甚为省便葢黄道随天西转其象时时不同而黄道赤经交角无异不须逐时推算也因着其法于左
如图甲为天顶甲乙丙为
子午圏乙丙为地平丁为
赤极戊己庚为赤道辛为
黄极壬癸子丑为黄道己
为春分丑为黄道交西地
平之防壬为黄平象限距
丑九十度癸为正午壬癸
为黄平象限距正午之度
壬寅为黄平象限距地平
之度即丑角度子为太隂
实行经度【日食即为太阳经度月食为太
阳对冲地影之经度】子已为太隂距
春分后之经度子壬为太
隂距黄平象限之度甲子
夘为高弧丁子辰为赤道
经圈辰巳为赤道同升度
戊辰为太阴距正午赤道
度【日食即太阳距午正赤道度月食为太阳距子
正赤道度】丑子夘角为黄道高
弧交角求之之法先用戊
己弧求癸己癸戊二弧及
癸角次求癸丑弧及丑角
以求子角者日食三差之
法也先用己庚弧求己丑
弧及丑角以求子角者月
食方位之法也今按己子
辰角即黄道赤经交角甲子
丁角与辰子夘角为对角即
赤经高弧交角两角相减即
得丑子夘黄道高弧交角夫
黄道交地平之丑角时时不
同而己子辰黄道赤经交角
则初亏与复圆无异然则先
求得黄道赤经交角至求黄
道高弧交角则惟求一赤经
高弧交角与之加减而己其
加减之法以太阴在夏至前
后各六宫与距正午之东西
为定试以甲为天顶作乙庚
丙己地平圏乙甲丙为子午
经圏庚甲己为东西经圏庚
戊己为赤道丑己未为黄道
己为春分
当黄平象限丑为冬至当西
地平未为夏至当东地平是
为夏至前六宫在地平上癸
为黄道当正午之度己癸为
黄平象限距午东之度设太
隂子防在正午之西甲子夘
为高弧丁辰子为过赤极经
圏己子辰角为黄道赤经交
角甲子丁角为赤经高弧交
角丑子夘角为黄道高弧交
角与甲子癸角等是以甲子
丁赤经高弧交角与己子辰
黄道赤经交角相减余甲子
癸角即黄道高弧交角也设
太隂申防在正午之东甲申
酉为高弧丁申戌为过赤极
经圏巳申
戌角为黄道赤经交角与丁
申未角等甲申丁角为赤经
高弧交角酉申未角为黄道
高弧交角乃甲申未角之外
角是以甲申丁赤经高弧交
角与丁申未黄道赤经交角
相加得甲申未角与半周相
减余酉申未角即黄道高弧
交角也若己为秋分当黄平
象限未为夏至当西地平丑
为冬至当东地平是为夏至
后六宫在地平上癸为黄道
当正午之度己癸为黄平象
限距午西之度设太隂子防
在正午之西甲子夘为高弧
丁子辰为过赤极经圏己子
辰角为黄
道赤经交角与丁子未角等
甲子丁角为赤经高弧交角
夘子未角为黄道高弧交角
乃甲子未角之外角是以甲
子丁赤经高弧交角与丁子
未黄道赤经交角相加得甲
子未角与半周相减余夘子
未角即黄道高弧交角也设
太隂申防在正午之东甲申
酉为高弧丁戌申为过赤极
经圏己申戌角为黄道赤经
交角甲申丁角为赤经高弧
交角丑申酉角为黄道高弧
交角与甲申癸角等是以甲
申丁赤经高弧交角与己申
戌黄道赤经交角相减余甲
申癸角即
黄道高弧交角也此太隂在
午东而亦在限东太隂在午
西而亦在限西之常法也若
太隂在夏至前六宫而在正
午之东如干以己干亥黄道
赤经交角与甲干丁赤经高
弧交角相加得己干甲角不
足九十度与酉干丑角等则
不与半周相减即以酉干丑
角为黄道高弧交角乃知太
隂干防在黄平象限巳防之
西也葢惟正当黄平象限高
弧与黄道成直角在限西者
则高弧与限西之黄道成锐
角在限东者则高弧与限东
之黄道成锐角今己干甲角
既不及九
十度故知干防在黄平象
限己防之西而干酉高弧
乃与限西之干丑黄道相
交成锐角也太隂在午西
而在限东者仿此【左图以二至当
地平乃黄平象限偏午东午西之极大者如二分当
地平则黄平象限当正午加减之法并同】至求
赤经高弧交角之法则以
北极距天顶为一边影距
北极为一边影距正午赤
道度【日食则为日距正午赤道度】为所
夹之角用弧三角法算之
如太隂在申甲申丁三角
形申角为赤经高弧交角
甲丁为北极距天顶申丁
为影距北极丁角当戊戌
弧为影距正午赤道度因
丁角为锐角则自天顶甲
作甲坎垂弧于形内使坎角
成直角求得甲坎丁坎二边
以丁坎与丁申相减即得坎
申边用之与甲坎边求申角
也如太隂在艮甲丁艮角当
戊己弧适足九十度成直角
则甲丁即为垂弧即用甲丁
艮正弧三角形以求艮角也
如太隂在震甲丁震角当戊
巽弧过于九十度成钝角则
自天顶甲作甲离垂弧于形
外使离角成直角求得甲离
离丁二边以离丁与丁震相
加即得离震边用之与甲离
边求震角也又如黄道在天
顶北太隂在坤甲坤丁赤经
高弧交角
大于九十度则自天顶甲作
垂弧至兊而所求之丁兊距
极分边反大于丁坤影距北
极则以坤兑甲兑二边求坤
角之外角即知甲坤丁角为
钝角也若所求距极分边与
影距北极等即知赤经高弧
交角为直角不待求也至于
赤经高弧交角有与黄道赤
经交角相等者亦有与黄道
赤经交角共为一百八十度
者有反大于黄道赤经交角
而不足减者亦有与黄道赤
经交角相加大于半周而又
减去半周者如北极出地二
十三度二十九分以下夏至
前后黄道
正当天顶太隂子防在夏至
未防之前而在正午之西当
以赤经高弧交角与黄道赤
经交角相减为黄道高弧交
角今甲子丁赤经高弧交角
与己子辰黄道赤经交角相
等两角相减无余即知黄道
与高弧合无交角也又如太
隂申防在夏至未防之前而
在正午之东当以赤经高弧
交角与黄道赤经交角相加
为黄道高弧交角今甲申丁
赤经高弧交角与巳申戌黄
道赤经交角相加共一百八
十度亦如黄道与高弧合无
交角也又如北极出地在二
十三度以
下夏至前后黄道在天顶北
太隂子防在夏至未防之前
而在正午之西当于黄道赤
经交角内减赤经高弧交角
为黄道高弧交角今甲子丁
赤经高弧交角与辰子夘角
等反大于巳子辰黄道赤经
交角则于辰子夘赤经高弧
交角内反减巳子辰黄道赤
经交角余巳子夘角为黄道
高弧交角即知黄平象限在
天顶北也又如太隂申防在
夏至未防之前而在正午之
东当以赤经高弧交角与黄
道赤经交角相加为黄道高
弧交角今甲申丁赤经高弧
交角与戌
申酉角等与巳申戌黄道赤
经交角相加大于一百八十
度则减去巳申戌角及戌申
未角共一百八十度余未申
酉角为黄道高弧交角亦如
黄平象限在天顶北也总之
黄道出入于赤道之内外随
天左旋其高低斜正旣随时
不同又以人所居之南北异
地改观益多变换然定之以
数自无遁形或从地平立算
或从子午圈立算或从赤道
经圈立算法虽不同理实一
致合而观之益见弧线三角
之用至通变矣
求月食初亏复圆并径黄道交角【即纬差角】
定月食方位月当黄道无距纬即用黄道高弧交角为定交角若月在交前后有距纬则又求纬差角与黄道高弧交角相加减为定交角上编言之详矣【见月食方位篇】然求纬差角之法必先用初亏复圆交周各求距纬今初亏复圆距弧皆斜距之度须复以斜距与白道为比例方得交周颇为费算且前已有斜距黄道交角与九十度相加减即黄道交实纬角则求得并径交实纬角与之相减余并径交黄道之角即纬差角甚为简便故质名之曰并径黄道交角至其与黄道高弧交角相加减之法并同上编兹不复载如图甲乙为黄道丙乙为白道丙丁为黄道距等圏戊己为日月两经斜距甲为地影心食甚时月心在庚初亏时月心在戊复圆时月心在己戊甲辛角为初亏并径黄道交角即初亏纬差角己甲乙角为复圆并径黄道交角即复圆纬差角求之之法先以丙甲庚斜距黄道交角【丙甲庚角与庚丙丁角等】与九十度相加得庚甲辛角为初亏黄道交食甚实纬角【甲庚为食甚两心相距不系经圏以其为南北之度故借名实纬】以丙甲庚斜距黄道交角与九十度相减余庚甲乙角为复圆黄道交食甚实纬角【此论在交前地影由甲向乙月由丙向乙故戊为初亏己为复圆若在交后地影由乙向甲月由乙向丙则己为初亏其角与九十度相减戊为复圆其角与九十度相加】次求得庚甲戊角与庚甲己角等为并径交食甚实纬角初亏则与庚甲辛角相减余戊甲辛角即初亏并径黄道交角复圆则与庚甲乙角相减余己甲乙角即复圆并径黄道交角也乃视并径交实纬角小于黄道交实纬角则初亏复圆在黄道之南北与食甚同若并径交实纬角转大于黄道交实纬角则南北与食甚相反盖太隂近交初亏复圆一在交前一在交后则距纬之南北必变如乙为中交食甚地影心在甲月心在庚甲庚为食甚实纬在黄道北初亏庚甲壬并径交实纬角小于庚甲辛黄道交实纬角则初亏亦为纬北与食甚同复圆庚甲癸并径交实纬角大于庚甲乙黄道交实纬角则复圆变为纬南与食甚相反也食甚实纬在黄道南及食甚在交后者皆仿此旣知初亏复圆并径黄道交角及其在黄道之南北则与黄道高弧交角相加减为定交角其理并与上编同
求白经高弧交角
日食三差之法以黄白二道交角与黄道高弧交角相加减得白道高弧交角白道与高弧及白道经圏相交成正弧三角形直角对高下差交角对南北差余角对东西差上编言之详矣今以黄赤二经交角加减黄白二经交角得赤白二经交角与赤经高弧交角相加减得白经高弧交角对东西差余角对南北差盖白道与白道经圏相交其角必九十度白经高弧交角即白道高弧交角之余【凡弧角与九十度相减所余为余余角】是用白经高弧交角与用白道高弧交角等且以赤经高弧交角与黄道赤经交角相加减得黄道高弧交角【见前篇】又加减黄白二道交角为白道高弧交角须加减二次而黄赤二经交角即黄道赤经交角之余交食时日必近交黄白二经交角又即与黄白二道交角等故以黄赤二经交角与黄白二经交角相加减得赤白二经交角则为初亏食甚复圆同用之数至求三限白经高弧交角止与赤经高弧交角一加减而得之其法尤为省便也二经交角加减之法以黄道之二至白道之二交为定盖惟冬夏二至黄经与赤经合无交角冬至后黄道自南而北黄经必在赤经西夏至后黄道自北而南黄经必在赤经东交周初宫十一宫在正交前后白道自南而北白经必在黄经西【犹黄道冬至后】交周五宫六宫在中交前后白道自北而南白经必在黄经东【犹黄道夏至后】乃视黄经在赤经西白经又在黄经西或黄经在赤经东白经又在黄经东则相加得赤白二经交角东仍为东西仍为西若黄经在赤经西而白经在黄经东或黄经在赤经东而白经在黄经西则相减得赤白二经交角黄赤二经交角大则从黄经之向黄白二经交角大则从白经之向若两角相等而减尽无余则白经与赤经合无交角也其与赤经高弧交角加减之法则以日距正午之东西为定盖惟日当正午则赤经与高弧合无交角午前赤经必在高弧东午后赤经必在高弧西乃视赤经在高弧西白经又在赤经西或赤经在高弧东白经又在赤经东则相加得白经高弧交角午东亦为限东午西亦为限西若赤经在高弧东而白经在赤经西或赤经在高弧西而白经在赤经东则相减为白经高弧交角赤白交角小则午东仍为限东午西仍为限西赤白交角大则午东变为限西午西变为限东若两角相等而减尽无余则白经与高弧合无交角即知太阳正当白平象限上若两角相加适足九十度则白道在天顶与高弧合若两角相加过九十度则与半周相减用其余即知白平象限在天顶北也是法也不用求黄道高弧交角而迳求白经高弧交角入算甚简而理亦无遗新法用简平仪绘图尤为明显列图如左
如图甲为天顶乙丙丁戊
为地平圏丙己戊为赤道
庚己辛为黄道己为春分
庚为冬至辛为夏至癸为
赤极【即北极】壬为黄极庚壬
癸辛为过二至经圏即过
二极经圏冬至日行在庚
黄赤二经合为一线无交
角冬至后日行自南而北黄
经必在赤经西渐逺则角渐
大至春分而止如日行在子
壬子黄经在癸子赤经西壬
子癸角为黄赤二经交角即
癸子己黄道赤经交角之余
春分日行在己【己子壬角九十度】壬己黄经在癸己赤经西壬
己癸角为黄赤二经交角与
戊己辛二道交角等是为最
大过此又渐小【壬己辛角戊己癸角
皆九十度】夏至日行在辛则黄
赤二经又合为一线无交角
夏至后日行自北而南黄经
必在赤经东渐逺则角又渐
大至秋分而止如日行在丑
壬丑黄经在癸丑己子壬角
九十度壬己辛角戊己癸角
赤经东壬丑癸角为黄赤
二经交角即癸丑辛黄道
赤经交角之余【癸丑辛角与寅丑夘
角等】秋分日行在寅壬寅黄
经在癸寅赤经东壬寅癸
角为黄赤二经交角与丙
寅辛二道交角等过此又
渐小至冬至乃复合为一
线也至白道之交于黄道
亦如黄道之交于赤道但
其行度自正交起算交食
时日月又必近交故其南
北东西及两经交角惟以
两交为定设白极在辰正
交在午白道自南而北【犹黄
道之春分】日行在正交防如午
或正交前如子正交后如
巳白经皆在黄经西黄白
二经交角皆与黄白二道
交角为相等【惟日在正交午防其壬午
辰黄白二经交角与庚午未黄白二道交角等若在
交前如子交后如巳其壬子辰与壬巳辰黄白二经
交角皆微小于二道交角然所差无多故为相等与
上编捷法同】此黄经在赤经西