御制数理精蕴卷二十二
丙乙之边线为相连比例丙乙之面于相连比例中为隔一位加一倍比例今设一甲线为一分乙线为二分丙线为四分为相连比例则丙面与乙面之比同于丙线与甲线之比盖丙面大于乙面三倍丙线长于甲线三倍共为隔一位加一
倍之比例也
前数节所论直角面之纵横界比例等者谓之同直角面其两相比例之横界俱谓之相当界也
在相同直角面纵横两相当界之比例必等也
在相同直角面于两面相当之一界作为两方面则所作两方面互相之比即同于原面互相之比亦为隔一位加一倍之比例也
直角体则有三比例长也寛也厚也如大形之长寛厚各大于小形之长寛厚一倍则先成长寛倍之平面形于平面形上又叠一相等之平面形则亦倍厚矣倍而成平面则二倍为均者有二倍而成体则四倍为均者有二矣
有直角两体苟此一体之底与他一体之底为大一倍而他一体之厚与此一体之厚亦大一倍则此二体之积等盖即一体之竖起与放倒也
有两直角体苟此体之长寛厚界与彼体之长寛厚界相比之比例若俱同谓之同式体而长寛厚各一边相比例之界俱谓相当界也
凡两直角同式体互相比之比例为界比例之隔二位加二倍之比例也如大体之长寛厚比小体各大一倍则此两体相比之比为隔二位相加之比例也盖界线为相连之比例者倍而为平面为隔一位相加之比例又倍而为体则为隔二位相加之比例也苟作一相连比线之率甲为一分乙为二分丙为四分丁为八分又作一直角体与三界各加一倍之直角体则小体与大体之比同于一率甲线与四率丁线之比若知甲线比丁线为八分之一即可知大体比小体为八分之一也有直角同式两体在此两体比例相当之二界立作两四方体互相以比之其比例仍同于原体之比也盖原体为隔一位加一倍之比例则于两相当界所作体亦为隔一位加一倍之比例均是八分之一也
凡二平行线内凡有直角面互相之比同于与此两底互相之比也如甲己面之丙己底界与戊丁面之己丁底界若大三倍则甲己面与戊丁面亦大三倍也试将戊己相兼之纵界依此
界分与丙己己丁底界相乗成甲己面十二分戊丁面四分总为大三倍也
凡二平行线内所有凡平行四边面互相之比同于其两底界互相之比也盖同底所立之直面斜面积俱同则直面斜面之比例俱等故底若大三倍则
面亦大三倍也
凡在二平行线之间若有两三角形以两形积互相之比必同于两底界互相之比也盖同底所作之三角形为四边形之一半四边形之比例等则三角形之比例亦等故三角底若大一倍则三角形积亦大一倍底若大三倍则积亦大三倍也
凡三角几形之底俱在于一直线又与各底相对之众角皆聚于一处则其三角众形必在二平行线之间也观图可见
凡三角形作与底线平行之线不拘何处截断则两旁之线皆成四比例线如图甲丁与丁乙之比同于甲戊与戊丙之比是二段互相比之比例同也又甲丁一段与甲乙全线之比同于甲戊
一段与甲戊全线之比是分线之比例同也故曰四相比例也盖自乙至戊自丙至丁作乙戊丙丁二线分为几三角形此内之乙戊丁丙丁戊两三角形既在二平行线之间又同立于丁戊之底则其积等也又各増入甲戊丁三角形其积亦等也又甲丁戊丙丁戊两三角形其底线同在甲丙一直线而两角又相遇于丁即如前所云二平行线之间有两三角形则两形积互相之比必同于两形底界互相之比则甲丁戊形积比丙戊丁形亦同于底线甲戊比戊丙之比例再彼甲丁戊乙丁戊两形积之比亦同于甲丁丁乙两底线之比也再甲乙戊甲丁丙两形之积既等则甲丁戊形积与乙丁戊形积之比同于甲丁段与乙丁段之比而又同于甲戊段与丙戊段之比是以甲丁段与乙丁段之比必同于甲戊段与丙戊段之比也故以甲丁为一率丁乙为二率甲戊为三率可以求戊丙之四率也诚如是以甲乙丙全形之三角或与所分甲乙戊三角或与所分甲丙丁三角之比例俱为同也因其比例同而此三角全形所分两形之积既为等则甲丙丁所分形之甲丁底与甲丙乙全形之甲乙底互相之比其甲乙戊所分形之甲戊底与甲丙乙全形之甲丙底互相之比俱为同也则甲丁段之一分为一率甲乙全线三分为二率甲戊段一分为三率甲丙全线四分为四率亦为相比例率也
凡在三角形内不论何处作与底平行直线则以所作平行线与原底线之比同于两边所截一段与各每边全线之比也
如图所截若甲丁段二分甲乙线六分则丁戊线亦为二分乙丙线亦为六分可知也何也试将甲乙丙三角形转以乙甲线为底于戊丁线之
戊处至己处作与甲乙平行线则己乙之度即戊丁之度准前节全线与截段相比之例则戊丁平行线与原为底乙丙全线之比必同于甲戊与甲丙全线甲丁与甲乙全线之比也故以甲戊为一率甲丙为二率戊丁为三率乙丙为四率为四相比例以甲丁为一率甲乙为二率戊丁为三率乙丙为四率亦四相比例率也大小三角形每每相当角若等则其积虽异而其形为同谓同式三角形也再有一三角形自此形分之出一庚子癸三角形又出一子丑
壬三角形此所分出两形与原形每每相当角俱等亦谓同式形也
三角众形内相当各二角度若等则余一角度必等亦谓同式三角形也盖三角相合必与二直角等足半周之度也
有众大小三角形若同式将众形相当界互相比之比例为同俱为相比例率也如二勾股同式形则此股与相当股之比必同于勾与勾之比股与股之比也试将勾股如前截一小勾股可騐矣
同式直角两形互相之比同于在此各一面相当界所作方形相比之比例盖三角积得方形之半全与全之比若半与半之比也
同式直角两形互相之比即是各一面相当界相比之比例为加一倍之比例也如甲线一分乙线二分丙线四分为相连比例线今两形之三边线若各大一倍则亦如直角四边形积为大三倍矣大三倍则非相连比例线而为甲线一分与丙线四分隔一位加一倍之比例也
同式钝角鋭角互相之比亦同于此各一面相当界所作方形互相比之比例而为在此各一边相当界互相比之比例隔一位加一倍之比例也理如前节
有多边众形其边数同而相当角度等谓同式多边形则大形甲边之比与小形甲边之比同于乙边与乙边之比也
有众曲界形在曲界形之或内或外作相函之各种直
界形其
式若等
亦谓同
式曲界形也两襍界形二圆分形亦于两中间各作三角形若同式即谓之同式襍界同式圆分也
大小各圆分之式若同其分限虽殊而分数必等与其分相对所成之心角必俱等也
将同式大小多边两形内为三角以分此所分相当大小三角形之式俱同也如两五边形各分为三三角形
则甲乙丙与己庚辛相当为同
式甲丙丁与己辛壬相当为同
式己壬癸与甲丁戊相当为同式盖两形相当角度等则相当界互相比之比例等也乙丙庚辛二界相当之比同于甲丙己辛相当二界相比之比例由是甲丙己辛之比同于丙丁辛壬之比而丙丁辛壬之比亦犹甲丁己壬之比而甲丁己壬之比亦犹丁戊壬癸之比故曰相同式也
凡同式多边大小众形互相之比同于在此相当界所作四方形互相比之比例而与此各一
面相当界互相比之比例为加一倍之比例也理如前
凡大小同式直界形互相之比同
于在其形内外相函之同式形各
相当界立作平面方形互相比之
比例如图甲乙丙庚辛壬相当三角各二形之比同于在甲丙庚壬所作方形相比之比例也盖大形所函者甲丙己丁之形小形所函者庚壬癸丑之形故于甲丙庚壬相当二界立作方形而得比例也
凡圆曲襍各种界形之内将每每一类同式形互相之
比同于在所比形之内外
相函同式形之每每相当
所作方形相比之比例也如
图大小二圆形内虽函六面同式多边
两形函甲己丙丁庚丑壬癸直角四边同式两形函甲丙丁庚壬癸三角同式两形而但取所函四边形甲丙壬庚相当界所作之方形便得圆形比例也盖众界之界愈多则于圆界愈近故将直角形分为千万界形在圆界可以近用之而圆曲形亦既可以为千万直界形以用之故将此二圆为同式直界互相之比同于在所函同式形之相当二界所作方形相比之比例也然则二圆互相之比同于或在辐线或在径线所作方形相比之比例可知矣
凡大小平面体之相当角度若俱等相当界互相比而比例若同是谓同式体正方体四瓣面体皆然若圆柱体则论其中所函尖瓣等体若同式则谓之同式圆体各种体之式若同将每每一类体互相之比同于在每每相当界作四方体相比之比例如于两同式尖瓣体之相当作四方体是也
同式各种体内将每每一类体互相比者同于在此内外各所函者函于者同式体之每每相当界作方体互相比之比例也如两球体函于两方体以小球则大球则以小方为一率小球为二率大方为三率可以得大球之四率也
自直角三角形之直角至相对界作一垂线分为两直角形则此大小三三角形俱为同式也盖中垂两傍所成俱为直角而乙角又不变两
角相等则一角亦等而丁变为甲甲变为丁矣丙角亦不变而与乙甲丁同为同式三三角形也自直角三角形之直角至于对界作一垂线截相对界为两段则所截之两段长者为一率短
者为三率而垂线为中率为相连比例三率也如甲乙丙甲丁乙两角俱为同式则比例必同以乙丁比甲丁同于甲丁比丁丙也
自直角作垂线至于对界在此垂线作四方形又将所分对界两段一段为长一段为髙合作长方形两积俱等也盖三线既为相连比例线
凡相连比例三线其中线自乗之积同于一线三线相乗之积故也
凡直角三角形是谓勾股勾股上两方合之与上方等积何也如图以甲乙丙全形分为甲乙庚甲庚丙大小两形是为同式形而每每
相当界互相比之比例同也于是以小形庚丙与全形甲丙之比同于全形甲丙与全形乙丙之比为相连比例率也则在甲丙中率所作四方形必同于一率庚丙为髙与三率乙丙为长相乗所
作长方形之积等也又大形乙庚与全形甲乙之比同于全形甲乙与全形乙丙之比亦为相连比例率而在甲乙中率所作方形同于一三合率所作方形之积等也今庚丁乙壬所分之两形与己丙戊乙两方形每等则将所分两形相合则乙丁方形自然与己丙戊乙两方形等可知矣
在勾股三界作凡同式三形上积兼有勾股之积也
在直角三角形之大界作乙戊丁丙一半圆在二小界作甲庚乙两半圆亦如前节为等也而甲庚乙半圆之甲戊乙弧一段甲己丙半圆之甲丁丙弧一段若减之则所余甲庚乙戊甲己丙丁二段又与甲乙丙原三角形之积等也
一圆之内二线不拘何处相交以相交所截之段互相转比之比例俱同为四相比例率也如图二线于己处相交以此戊己段与己丙段相比之比例将己丁己乙相比之位转之为己乙己丁虽以后为前以前为后比之其比例仍同而戊己己丙己乙己丁四段为相比例率也
盖乙戊己丁己丙两形此两形之乙角丁角既俱切于圆界而又同立于戊丙之弧则此二角为等而二角之己角为对尖之角其角亦为等二形之三角俱等即为同式也同式则戊己己丙相当二线互相之比即同于己乙己丁相当二线互相比之比例又戊己己丙己乙己丁四段俱为相比例率也
于圆径线不拘何处作一垂线将径线截为两段则所截之两段为一率三率而垂线为中率成相连比例也即勾股垂线之理
自圆外之凡一防出二线过圆界
之二处至相对弧界则此两全线
互相之比同于在圆界外所有之
二段转位以比之比例而为四相比例率也如圆自丙至丁自戊至乙相交作二线成甲丙丁甲乙戊两三角形则两形之丙戊二角既同切于圆界同立于乙丁之弧则丙戊等角也再甲角既系公共则亦等角也二角既等则同式矣同式则甲丙甲戊相当二界互相之比同于甲丁甲乙相当二界相比之比例以甲丙为一率甲戊为二率转位甲丁为三率转位甲乙为四率俱为相比例率也
将函于圆之三角形于甲角作平分角之甲戊直线则甲乙傍线与甲丁段直线之比即同于甲戊全直线与甲丙傍线之比也盖甲乙戊甲丁丙形之丙戊二角同弧同切其度为等而甲乙戊之甲角丁甲丙之甲角既自一角
而平分为两角其度亦必等是为同式形也则以两形之相当甲乙小界与甲丁小界之比同于又相当甲戊大界与甲丙大界之比也
将函于圆三角形之甲角为两平分自甲角至底线作甲丁直线分底线为两段以乙丁与丁丙之比同于甲乙傍线与甲丙傍线之比也盖自丁处作甲乙平行之丁戊线成戊丁丙小三角形则全形之乙角与小形之丁角为
平行线一边之内外角为等而丙角系公共角亦为等为同式形也再甲丁戊之丁角乙甲丁之甲角为平行线间之尖错交角度为等而甲丁戊甲乙丁之甲角原系平分亦为等是甲丁戊角之丁角甲角等可知两角既等则两等角所对甲戊丁戊线亦必等也是故全形甲乙线与甲丙线之比同于相当丁戊线与戊丙之比而甲戊线与丁戊线等则甲乙比甲丙亦若甲戊比戊丙也又丙乙丙甲二线既为丁戊平行线所截则乙丁比丁丙若甲戊比甲丙也
凡球体在长圆内苟此球径线与长
圆体之底径髙度若俱等则此球积
为长圆体三分之二也何则将球体
合长圆体于乙丁平分之又将半长圆体内减去半球体余乙己庚丁申丙癸凹面体为与己庚壬尖圆体等积等也何以知之将尖圆凹面二体俱与己庚底平行分为几段之面则两体之面积每段各相等也试将尖圆体分癸夘申一段之面积必与分曲凹形午癸申戌一段周围之面积等矣何也以壬癸半径作正方与壬子子癸两线作两正方并之为
等也又以壬癸半径线作一圆与以壬子子癸为两半径线作两圆并之为等也再壬乙与壬癸俱是一圆之
半径线必等而壬乙与夘午俱为
一长方之平行线亦必等则卯午
与壬癸亦必等也是则以壬子子
癸为两半径作两圆亦必等于卯午半径线所作一圆也今将夘午所作圆内减去与壬子线相等之癸卯线所作之圆即余癸午曲凹形一段周围之面与癸子为半径线所作圆面等也夫卯癸线与癸子线既为等线而卯癸与癸子为半径作两圆亦必等则癸午曲凹形之面积必与卯癸为半径作圆之面积等矣再将壬未半径作一圆以壬辰辰未为两半径作两圆等亦如前所云以
辰未为半径作一圆与壬未相等辰已线为半径作一圆之面积内减去辰未作圆之面积所余未巳曲凹形一段周围之面积与壬辰为半径作圆之面积等而壬辰与辰寅既为正方之等线则以尖体内之辰寅为半径作圆之面积与相对未巳曲凹形之面积等也夫两体每段所分既俱相等则全体亦必相等矣前云一尖圆体与一长圆体其底积髙数若等则尖圆体与长圆体为三分之一也所余曲凹形既与尖圆等积则亦三分之一而所减半球为半长圆体三分之二而全球为全长圆体三分之二矣
有一尖圆体又一半球体苟尖圆体底径与半球体径度等而尖圆体髙度与半球体半径又等则此尖圆体为半球体积之一半也盖尖圆为长圆三分之一而半球为长圆体三分之二则尖圆为半球之半也又球体径度与尖圆体底径度若等而球体半径与尖圆体髙又等则此一球体之积当四尖圆体之积也盖将尖圆加一倍则与半球等合四尖圆则与全球等也有一球体又一尖圆体苟尖圆体底面积与球体外面总积若等而尖圆髙度与球体半径又等则此两体之积为等也何也将球体从外面至心分为千万尖体此所分千万尖体之底积必与原球外面之总积等亦即与尖圆体之底面积等也又原尖圆体之髙与所分千万尖体之髙旣等则一尖圆体之积与所分千万尖体总积等也如是其所分千万尖体之总积既与原球之积等则此尖圆体之积必与此球体之积等可知矣
凡有一球体苟以此球体之半径作一圆则所作圆之面积于此球体外面积为四分之一也如前节之言既为相等又作一小尖圆体其底径与原球径等其髙与原球体半径等则于原球为四分之一而于前大尖圆体亦为四分之一也此大小两尖圆体之髙度既等其两底面积之比同于两体积之比例体积为四分之一底面积亦为四分之一而于球体外面之积亦为四分之一也因其为四分之一而小尖圆体之半径原与球体半径等则以此球体半径作圆之面积亦与球体外面积为四分之一可知矣
有一球体又一圆形苟此圆形之半径与球体径度若等则此一圆形之面积为与一球体外面积等也盖以球之半径作圆之半径则其面积为球四分之一若以球之全径为圆之半径则半径所作之圆视全径所作之圆面积又为四分之一矣何则凡圆互相之比同于相当界所作方形互相比之比例又为每相当界互相比之比例为加一倍之比例也兹两半径之比为大一倍而两圆面之比又加一倍即是半径作圆为一分全径作圆为四分既为四分则此圆面积与球体外面等积可知矣有长圆体又一长方体苟此长方体底面积与长圆体周围面积若等又此长方体髙度与长圆体半径之半又等则此长方体之积为与一长圆体之积等也何也将长圆体从壬癸
心线至外面分为千万长体则此所分千万长体之共积为子己长方体积之一半也盖子庚髙度与所分千万长体之壬丁髙度相等又长方体之庚己底面积与所分千万长体之底共
面积及长圆体甲丙周围面积等如前所云所分千万长体之共积与子己长方体为一半亦如以子庚髙度分一半为戊庚而戊己长体即与所分千万长体相等矣如是则戊己长方体积与甲丙长圆体等积可知也有一球体一长圆体苟此长圆体之底径度髙度与球体径度若等则此球体外面之积为与长圆体周围之面积等也
盖将球体半径乙壬分为六分用半径之半三分与戊
己庚辛长圆体之面积相乗得数照
前节所云为长圆体之积也又用所
分六分之二为乙壬半径三分之一
与球体外面积相乗得数为球体之积也夫球体比长圆体积为三分之二矣然用三与长圆体周围之面积相乗者为得长圆体积用二与球体外面积相乗者为得球体积今以球体与长圆体相比之比例同于为乗面积用三二两数之比例如是则球体外面之积与长圆体周围之积等可知也
有一平面鸭卵形其大径度与圆径若等则鸭卵形之平面积与圆面积之比同于以鸭卵形之小径与大径相比之
比例也何也将与戊己径线平行任分几线此每线假如庚辛与壬癸之比同于戊己与乙丁之比而为作鸭卵形之定理也今每平行线俱依此之比例即平行鸭蛋形之积与圆形之积相比同于乙丁小径与戊己大径之比例也
长方面内有平面鸭卵形正方面内有圆形苟长方之寛与鸭蛋形小径度等长与大径度等而正方一边度又圆径度俱与鸭蛋形大径度等则以长方面积与正方面积之比例同于以鸭蛋形面积与圆形面积相比之比例也又鸭蛋体大径与球体径度若等则鸭蛋体外面积与球体外面积相比之比例同于以鸭蛋体小径与大
径相比之比例也何则将两体外面俱分几平行圆此每圆假如以子丑圆界与寅卯圆界之比同于以子丑圆径与寅卯圆径之比也今照作鸭蛋形之定理而子丑径与寅邜径之比同于戊己径乙丁径相比之比例诚如是其每大圆界与相对小圆界俱依此为比例则两外面积之相比同于两径之相比可知矣
有能函鸭蛋体之长圆体则鸭蛋体外面之全积为与长圆体周围之积等也则试以鸭蛋体之大径作球之径又作一函球之长圆则函球之长圆与函鸭蛋之长圆周围面积之比同于两底圆界相比之比例亦同于大径线与小径线相比之比例也又球体之面积与函球体之周围面积既等则以函球体周围面积与函鸭蛋体周圆面积之比亦同于大径与小径之比也则是鸭蛋体面积与函鸭蛋体周围面积二项与球体面积相比皆同于大径与小径之比则鸭蛋与函蛋体两项面积相等可知矣
有一鸭蛋体函于一球体则两积之比同于鸭蛋体小径线所作正方面与球体大径线所作正方面相比之比例也
有一鸭卵体有一恰函鸭蛋体此两体积之比同于球体积与函球体积相比之比例也
有一鸭蛋体恰函于长圆体内则鸭蛋体积为得长圆体积三分之二也盖蛋体与函卵体之比同于球体与函球体之比则彼为三分之二此亦三分之二也有一长方体恰函鸭蛋体有一见方体恰函球体则长方体积与鸭蛋体积之比同于见方体积与球体积相比之比例也又长方体积与见方体积之比同于鸭蛋体积与球体积相比之比例也
有一球体恰函于长圆体内若将此两体俱于寅邜处
分之此所分球体子丙丑一段之
凸面积与所分相对长圆体寅巳
庚卯一段之周围外面积为等也
何则假如于癸子丑辰小长圆体内减去壬子丑小尖圆体此所减小尖圆体积为小长圆体积三分之一其所余者必是三分之二而此所分寅子丑邜曲凹体之一段周围面积与子丑线为径作相对圆之面积等矣如是则乙寅子丑卯丁辰癸长圆一段空心体与癸子丑辰小长圆体此二体之底面积髙度既等其体积亦等而乙寅子丑卯丁曲凹体之积与壬子丑小尖圆之积等矣然因何为等盖壬子丑小尖圆体所分每每圆之面积与所分相对每每曲凸体周圆之面积等也壬子丑小尖圆体积既为癸子丑辰小长圆体积三分之一又此小长圆体积与乙寅子丑卯丁辰癸长圆一段空心体积为相等则是乙寅子丑卯丁曲凹体之积与乙寅子丑卯丁辰癸长圆一段空心体积为三分之一苟于乙子丑丁球段内减去壬子丑一小尖圆体余乙子壬丑丁球体一段之积与乙寅卯丁一长圆体积为三分之二也若于乙寅卯丁长圆体内减去壬寅卯尖圆体为此乙寅卯丁长圆体三分之一余乙寅壬卯丁长圆体一段之积与乙子壬丑丁球体一段之积等也今将乙寅壬卯丁一段之体从外面至心之壬处分为千万尖体之共底面积相乗得数为乙寅壬卯丁一段之体积数也又以此乙子壬丑丁一段之体从外面至心之壬处分为千万尖体若以乙壬半径为髙度用三分之一与所分千万尖体之共底面积相乗得数为乙子壬丑丁一段之体积数也如前所云此乙寅壬卯丁一段体积与乙子壬丑丁一段体积既等则此两体面积亦必等而此乙丙丁半球体凸面积与乙己庚丁半长圆体周围外面积亦等若于半长圆内减去乙寅邜丁一段外面积于半球体内减去乙子丑丁一段外面积此所减之乙子丑丁一段面积与彼所减之乙寅邜丁一段面积为相等此所余子丙丑球体一段面积与彼所余寅己庚邜长圆体一段面积相等可知也有鸭蛋体一半有球体一半若全球体径度与全蛋体大径度等而半鸭蛋体髙度与半球体髙度亦等则此半蛋体外面之积与半球体外面积同于以蛋体小径度与球体径度相比之比例也理同前
有大小半鸭蛋体有大小半长圆体若全体之小径与全体之底径等而大小半体之髙度又等则此大小半鸭蛋体外面之积与大小半长圆体周围外面之积等也何则试作一鸭蛋体外函以球体又外函以长圆体照甲己髙度截于寅丑为长
三分之一则全与全半与半之比亦若三分之一与三分之一之比也是小半蛋体之外面积与小半球体外面之积之比亦若函小半蛋体外面之积与函小半球体长圆之外面积相比之比例而小半球之外面积既与函球小半长圆之外
面积等则小半蛋体之外面积安得不与函蛋体小半长圆之外面积等乎
有一鸭蛋体恰函于一球体内则以鸭蛋每段之积与相对球体每段积之比同于以鸭蛋体小径之所作正方面积与球体径度所
作正方面积之比也如图甲寅邜一段与相对球体甲子丑一段俱与乙丁戊己大小径线平行分为几圆面此所分蛋体每圆之面积与所分相对球体之每圆面积之比同于以乙丁小径度所作正方面积与戊己大径度所作正方面积相比之比例如是则以甲寅邜之体积与甲子丑之体积之比同于乙丁径之方面积与戊己径方面积相比之比例可知矣
在一直线一边立垂线法如乙丁线欲于乙边作垂线则将规矩一股任意立于甲丁线上或
丙处为心又以一股自乙处转作一圆则于丁乙线之甲处相交自相交丁处过丙心至相对圆界作一直线此线于戊处与圆界合自戊处至乙处作一戊乙直线即垂线也
分圆界为三百六十度法则照圆之辐线度分此界为六段六段分为十二段十二段各平分为三段则为三十六段三十六段各平分为五段则为
一 百八十段一百八十段又各平分为二段则成三百六十段矣
一直线上欲作一三十度角则将甲乙线照分度圆之丙丁辐线度截于戊处又以规矩一股立于甲一股自戊处旋转作一弧线乃以规矩取圆界
之丙庚度将弧线截于己处自己至甲作一直线即为三十度角也
有丁戊直线欲于丙处作平行线则以规立于丙向丁戊线作弧线如甲又以规取丙甲度立于乙向丙防平行作一弧线又照甲乙度以规立于丙向第二次所作弧线处再作一弧线则二线于己处相交自丙至乙作一直线则成平行线也
如甲乙线上作一四方形则以规矩立于甲作丙乙弧线又立于乙作甲丁弧线又于甲乙两头如法立甲丙乙丁垂线于丙丁二处相切又作丙丁一直线即成为四方形矣
如乙圆之外有甲防欲于此防作切圆线则于甲防至圆心作一直线又以乙为心
以甲为界作甲丙弧线又自甲乙线所割丁处作丁己垂线截外圆界于丙又自丙至乙作一直线又于丙乙线所割戊处作甲戊线则所求之切线也
欲知圆界内等角之角度则三角形各六十度四界形角各九十度五界形角各一百○八度六界形角各一百二十度七界形角各一百二十八度三十四分十七秒【度各六十分分各六十秒】八界形角各一百三十五度九界形角各一百四十度十界形角各一百四十四度十一界形角各一百四十七度十六分二十二秒十二界形角各一百五十度
作函圆多界等度之各种形法则自圆心作几辐线【三边作三线四边作四线余仿此】
于辐线末各作切界线引至合角则成函圆多界形也
作函多界俱等各种形圆法则照平分直线法作垂线引二垂线相交处为心以角为界即成函多界之圆形也
各形作内切圆亦照分直线法以交合处为心以边为界即是也
一三角形一圆形欲于此圆外作切界三角形与原有之三角形同式如图将乙丙底线引长作辛壬线即成乙丙两外角即于图作
与辛乙甲等之子癸戊角作与壬丙甲等之己癸子角于癸己子三辐线末作垂线引而合之即成同式形也何也盖三角形之三角相并必与两直角等今丑戊癸子四边形作戊子线分
为两形此四边形之四角相并必与四直角等就中减戊子原作之两直角所余癸丑两角相并亦与两直角等也又直线上内外并必与二直角等则辛乙甲外角甲乙丙内角并之必为两直角今戊癸子角既为效辛乙甲所作则戊丑子角必等甲乙丙角可知矣凖此而论则丙角必等于卯角甲角必等于寅角又可知矣若欲于圆内作切界同式三角形如图任意作与甲角等度之辛角将角逐线引至圆界作辛庚辛戊二线再自戊至
庚作一直线又于戊处仿乙角作戊角引线至壬切圆界再自壬至庚作直线即成同式形何也盖戊壬庚庚辛戊两形同立于戊庚之弧而
壬辛两角同切于圆界则两角为等因其为等此辛角原仿甲角而为比壬等于辛则亦必等于甲也又戊角乃仿乙角而为比亦必等也二角既等则庚角之等丙角可知矣
勾股形作容方则以直角为心勾末为界规作一象限将弧线两平分处作直线至直角分线为两于线分处作一勾垂线又作一股垂线
即成两直角也
有甲乙直线欲将此直线为正方对角线与正方边相较之所余求作一正方则以甲乙线为一边线作一小正方作甲丙小对角线又以丙为心乙为界作一圆又引甲丙线至戊作甲戊为大正方一边线作大正方即是所求之正方也何也引甲
乙线至己为对角线乙己之线与戊己之线等盖丙乙丙戊同为小圆之辐线则戊乙两角为等也若于丙乙己丙戊己二直角内减去乙丙戊则所余乙戊两角又等也两角既等则两边亦等而甲乙为戊己相较之余也
有一直线将此线为底作一两边等度而两边各一角为上一角之倍则将两头各作七十二度角两线引长相交则上角必三十六度也若以一直线为两边等度线则作一三十六度角两边如线之长而止又作一底线则下两角各七十二度也
若欲以一直线为五边形之一边则如前于此线之两头各作七十二度之两边等形于此形外作切角圆形再于两长边弧线度各平分
之则成五边形也何则丙乙弧之界角为三十六度若为心角则七十二度则丙乙弧乃得圆分之七十二度于圆分为五分之一也则于甲丙弧及甲乙弧各两分之合成五分故为五边形也
理分中末线将全线求大小分则将全线为一边线作一两边等度两底角与上一角各大一倍之三角形又作五边形乃自甲至乙作直
线截于丙处则丁戊为全丁丙为大分戊丙为小分得相连比例也盖丁甲乙戊两弧线度等则甲戊丁乙甲戊两角度必等又戊甲乙角与
戊丁乙角共立于乙戊弧则角度亦等也再甲戊乙与戊甲丁两角本相等若以等角内减去甲丙戊形则所余丁甲乙丁戊乙两角必等矣然则丁戊乙角原系与乙丁戊角为大一倍作者则丁戊乙角比甲戊丙戊甲丙两角为等矣其丁丙甲角因为甲丙戊之一外角与丙甲戊丙戊甲两内角为等而丁丙甲与丁甲丙两角为等矣因其等则丁甲丁丙两线为等也又丁甲甲戊两线原等其甲丁戊角必与甲乙丁角等而丁戊甲甲戊
丙大小两三角形内小三角形之丙甲戊角与大三角形之甲丁戊角亦等又丙戊甲之戊角与丁戊甲之戊角原系共角亦必等因大小两三角形既等是为同式则以戊丁线与甲丁线相比之比同于以戊甲线与丙戊线相比之比例而丁甲与丁丙等戊
甲与丁甲等亦与丁丙等则以丁戊全线与大分丁丙相比之比同于丁丙大分与丙戊小分相比之比例为相连比例也
欲平分甲乙一直线为数段则于甲乙末各作一直线如丙丁将丙丁各为平分作线割甲乙
线则甲乙线亦为平分也于是甲乙线与乙壬线之比同于甲丁线与丁己线相比之比例矣
又如有甲乙线于己辛两处分为三分又有丙丁一线亦欲分为三分为相比例三率则以甲乙线丙丁线为平行线自甲乙之末各分直线切丙丁线末至
戊相防又自辛己两处各作两线亦合于戊则丙丁线即分为三分而为甲乙线之相比例三率矣
有直线二率作与此相连比例三率线法如有八分
甲乙四分甲丙之二线求作一二分
之相连线则将甲丙甲乙二线合成
甲角又于乙末増甲丙线度为甲戊
线自乙至丙作一直线又于戊作乙
丙之平行线如戊己将甲丙线引至己处则所引丙己线度即为二分之分而为甲乙甲丙相连比例第三率也【甲乙甲丙乙戊丙己为比例四率乙戊同甲丙除去不用则甲乙与甲丙之比同扵甲丙与丙己之比也】有直线三率欲作相比例第四率线再为相比例数率线则照様作甲丙线而以甲乙线度截于乙处乃用规矩以甲为心以乙为界作一弧线而取乙丁线度一股立于乙一股交于弧线得相交之丁处遂作乙丁线又作甲戊线切丁
末如甲丙度长又作与乙丁平行之戊丙线其戊丙线即为第四率也盖甲丙全与甲乙段之比同于丁乙平行线与戊丙底之比比例同也若欲作相比例数率则将甲戊甲丙线引长如癸子中作平行数线分为五叚即得十相比例率也故以甲乙与甲丙之比同于丁乙与戊丙之比例甲丙与甲己之比同于戊丙与庚己之比例甲己与甲辛之比同于庚
己与壬辛之比例甲辛与甲癸之比同于壬辛与子癸之比例也
比例尺二股各有平分线分为二百余分假如有丁戊一线欲分为十分则以规矩取丁戊线度立于尺各二百分之乙丙二防将尺乙丙二处照丁戊线度开之使不移动次以规矩立于尺之第二十分之己庚二防取己庚之间度此间度即是平分丁戊线为十分之度也何也如甲乙丙三
角形为己庚平行线所截则甲己与甲乙之比同于己庚与乙丙之比例甲己二十分甲乙二百分为十分之一乙丙十分己庚一分亦为十分之一也
于比例尺作圆之诸线之总线法则自甲之合处至乙丙二末作二线于甲乙之丁处为心以甲乙两末为界作半圆而分半圆界为百八十度自甲处至所分圆界各作线而立规矩一股于甲处又以一股于戊二十度己四十度庚六十度辛八十度壬百度癸百二十度子百四十度丑百六十度等处取线度各作于甲乙甲丙两线上即为诸线度之总线也其取用之法若欲知寅角之度则以规矩一股立寅处一股任意作夘辰弧线随取寅夘辐线之度立于尺之六十度之丁未处将尺之丁未照辐线度开之勿动乃将
规矩取夘辰弧线之度放于尺两股所容中间何处恰好若恰容在八十度之申酉处则是现原有寅角八十度之线也何则若作丁未申酉二直线则甲申酉之三角形为平行之丁未线所截则甲丁与甲酉之比同于丁未与申酉之比也然则甲丁为六十度线甲酉为八十度线其与底平行之丁未线既与小圆辐线等所以丁未线为小圆六十度之线申酉线亦为小圆八十度之线以此知寅角夘辰度之为八十度也如此凡大小圆之辐线度安于尺之六十度处照此开之其大小圆之诸线之度俱现于两股间也【以六十度通即半径故】
于比例作分平面线法自甲之合处至乙丙二末作直线截甲丙线于丁处照甲丁度于甲末作甲戊垂线自戊处至所截丁处作戊丁线照戊丁线度将甲丙线截于己处自戊至己作戊己线又照戊己线度将甲丙线截于庚处自戊至庚作戊庚线照此不止作至
丙末又将甲乙线亦照甲丙所截截之即成分平面线也何则于甲丁戊直角三角形之三界作三正方形甲丁甲戊上方相等者也丁戊上方兼甲丁甲戊两方者也至甲己之界即丁戊之界是甲己上方比甲丁上方为大一倍甲庚方大甲丁方为二倍也由是推之甲庚方大甲己方一倍甲辛方又大甲庚方一倍如此则甲辛甲壬等界上方俱是大于甲丁界上方三倍四倍可知也苟有一癸子平面四方形欲大于此形二倍之四方形则以规矩取癸子界度立于丁处将尺照此度开之勿动次将规矩取尺庚寅处度作方即大于癸子方二倍也盖于丁丑庚寅作二线而甲庚寅之三角为丑丁平行线所分则以甲丁比甲庚若丑丁比寅庚也甲庚既大于甲丁二倍则寅庚亦大于丑丁二倍矣有二直线欲以此二线作中比例线法则将二直线相连为圆径以平分处为心以两末为界作圆形然后于二线连接处作垂线切圆界则为中比例线也
有二直线作中二率比例线如图将二线合为直角又引作十字线如丁与丙取矩尺庚癸二角正跨两引线上使矩尺壬辛股二处正切于甲戊之末遂作甲癸癸庚庚戊三线其所现乙癸乙庚则为中二率线
也盖以戊癸之丑为心戊末为界作半圆以甲庚之寅为心甲末为界作半圆则乙癸线者甲庚半圆径上之垂线为甲乙乙庚之中率也乙庚线者戊癸半圆径上之垂线
为乙戊乙癸之中率也则以甲乙线比乙癸线同于以乙癸线比乙庚线也以乙癸线比乙庚线同于以乙庚线比乙戊线也故曰中二率也
于比例尺作分体线法则于甲之合处至二股之乙丙二末作甲乙甲丙二线以规矩取丁己方体之戊己界度立于甲而截于甲乙线之庚处次作大于戊己界一倍之辛壬线依前法求得中二率为癸子丑寅二线将癸子界作见方体则此
体大于丁己见方体一倍也盖四线为相连比例率而戊己与辛壬为加二倍之比例则丁己卯子二体为同式而以戊己癸子各一界相比之比例为加二倍之比例也戊己辛壬二线之比因同于丁己卯子二体之比例若辛壬第四线大于戊己一倍则卯子体亦大于丁己体一倍矣次将规矩取癸子界度一股立于甲一股照此度截于甲乙线之辰处则此度所作方体大于原丁己体一倍矣再作比原丁己体之戊己界长二倍之己未线照前求中二率之申酉戌亥二线将申酉第二率线度取于规矩一股立于甲一股截甲乙线之干处则甲干界度所作方体比原丁己体为二倍可知也照此不止作大于丁己体之戊己界或三四倍或五六倍之
长线如前求得中二率将所求第二率度截于尺线上即成比例尺之分体线也若有一坎庚见方体欲作一大于此二倍之体则以规矩取坎庚体之艮庚界度将比例尺之所截庚处照此开之勿动次将比例尺第三所截干处之开度取于规矩即是大于坎庚体二倍之形界盖甲庚线与甲干线之比同于以庚庚与干干线之比例甲干上方大于甲庚上方二倍则干干上方必大于庚庚上方二倍可知矣又有易分之法如一面之界度长一百厘则以此界一百厘自乘再乘则此体积共乙百万厘大此一倍之体数为二百万厘其二百万厘体之一面界度为一百二十五厘又大二倍之体数为三百万厘其三百万厘体之一面界度为一百四十四厘如此累加将外界之厘数书明又将厘度分于尺寸欲书入比例尺则将所书之数以规矩取所分之度初照一百厘界度截比例尺之庚处次照一百二十五厘界度截于辰处三照一百四十四厘界度截于干处不止至末与前法所分俱为同也
有一直角四界形作为与此等积之正方形如图将甲乙乙丙合为一直线求得中率之丁乙线作丁戊正方形为与甲丙等积也盖相连比例三率其中率自乘之积与首率末率相乗之积等故丁己上方与甲乙乗乙丙之方等积也
凡有三角形知其一角之度及角两旁之界
度或知其二角之度及一界之度或知三界度而不知角度欲求全知法如甲乙丙三角形知丙角为三十七度角两旁丙甲界长十四丈丙乙界长十三丈则作与丙角为等之丁角亦三十七度角傍丁戊界作为十四分长丁己界作为十三分长自戊至己作直线相防与甲乙丙大形同式将戊角之度取于规矩安于分度圆界看容多少便知戊角度若干若容七十度则大形甲角之度亦为七十度矣又小形己角可知为七十三度则大形乙角亦七十三度矣再因小形戊己界分作九分可知大形甲乙界之为九丈矣余皆如此盖即小以知大举一以例余也
作不用比筭测髙深广逺各种三角形之仪器法先作甲乙丙半圆界分为百八十度将此半圆之丁甲丁乙丁丙三半径线每每分为一百分各作直线纵横相交防如碁局再于径线之两末作两立表安住不动又于丁心处如图作一逰表如戊己将逰表亦如半径度分为二百分再于此仪器后面挂一坠线为庚即可按线而测矣如欲测旗杆之髙则将仪器之丁心安于所立之处定准坠线
以甲乙径线两末之立表与旗杆癸处对准为地平穏住不动再将戊己逰表与旗杆尖之辛处相对准次量所立之丁处至旗杆癸处得若干若得四十丈则看仪器地平线上自丁心起用四十分当四十丈如子再防子处垂线与上逰表相交处得若干若得三十分如丑则旗杆之髙为三十丈也若欲测丁辛线数则防自丁至丑相交处得若干分若得五十分则相当数为五十丈也若欲测丁癸辛三角形之各角度则癸角既为直角再防圆界自乙至游表相交处得若干度为丁角度与九十度相减所余者为辛角度也
画地图者选戊己两处可以尽见诸形先于戊处立仪器指诸要数处看所成之数角各得几何度记之次移仪器到己处将不动表与己对准为地平亦指于诸要数处看所成之数角亦各几何度亦记之然后取一幅纸任意作一线为戊己相当线将前所测角度仿而作之一 一与前相当成数三角形其中边所有之形一一画上即成图也若将大图蹲入小图则将大图分为数正方形小图亦分为数正方形与大图相当将大图中某方形内所函之山河城渠村林依蹲而入于小图即与原大图同也 凡有多界形仿此或为大或为小之同式形方如甲乙丙丁一无法形欲减各界之半作同式形则任意自一壬处作诸对角线又任意将甲乙界之度取其半为甲乙平行线作于甲壬乙
壬二线之间恰容癸子处照此于对角线间作诸界之平行线则所成癸子卯己之形即是原有形每界减一半之同式小形也苟欲作大于原有之形则将对角线任意引长而照前任意加为界度与原界作平行线即成所欲作之大形也或自一角发线亦可
凡两数相乗者平行方数也如二三相乗为六是也三数连乗者立方数也如二三乗得六又乗以四则为四六二十四也【以上为几何原本】
凡一与三之比同于四与十二之比一与五之比同于十二与六十之比二之比三亦犹四之比六也六之比九也盖凡可以倍计者皆可为比例二其二而为四二其三而为六三其二而为六三其三而为九故三与九之比同于六与三十六之比【按末句有误数】
凡可以度尽大数之众小数相合于此加数根之一所得之总数与所度之大数等也如大数有六可以小数二三度尽若加数根一则亦六也
大数二十八可以小数二四七十四度尽若将二四七十四与数根之一并之则亦二十八也
有一比例数求与此比例相等之相连比例数法如三与五之比例求与此比例相等之相连比例几将三自因得九又三与五因得十五又五自因得二十五则此九与十五及二十五之三数为三与五比例相等之相连比例三数也三与五之比同于九与十五之比例九与十五之比同于十五与二十五之比为相连比例也又将三因九因十五因二十五得二十七及四十五与七十五又将五因二十五得一百二十五此所得二十七四十五七十五一百二十五之四数为三与五比例相等之相连比例四数同于三与五之比例也
凡一数除众数所除得数之比同于原众数之比也如以三归十二而得四以三归十五而得五则四与五之比若十二与十五之比也而四与十二之比同于五与十五之比也
有同相比例四数其首末相乗所得数与中两数相乗之得数等也有相等两方数则此纵与彼纵之比同于以彼横与此横之比也如四六相乗与三八相乗皆为二十四则以此之六比彼之八以彼之三比此之四比例为等也
凡以两数除一数而尽此得之两数相比若所用以归除两数之比也如四除三十六而得九六除三十六而得六则九六两数之比若六四之比也
凡有平加众数此众数内之凡一数若作为原数将此数以上有几位平加几次相差之数与首数并之得数为与原数等也如上所列之数若将十五作原数此十五以上有四位而众数原平加之数系三若将三之四次数而与首数三相并得十五与所作原数之数等也由此推之若于平加众数内凡减一位将所余之位数与原平加之数相乗得数与众小数内至小数相并与众数内至大数为等也假如上六数内减一数余五数将此五与平加之三相因得十五与至小数三相并得【三六九二五八一一一】 十八为与至大数相等矣
凡平加众数若将此数内之两数相并所得数与两傍相等隔位之他两数相并得数等也如十二与九为廿一十五与六亦廿一十八与三亦廿一也盖升愈升降愈降合降与升则但见平也
又将此内凡一数之两傍数相加折半即与中间数等也如十五加九为廿四折半斯得十二矣十二加六为十八折半斯得九矣十八加十二为三十折半斯得十五矣其理则前节可推也
又此平加众数若将首末两数相加以所有几位之位数相乗得数折半则与原有众数之总数等也如十八加三为廿一以位数六乗之得乙百二十六折半得六十三与众数之总数等也盖照前节推六数相加合成三十三今以六乗故必折半也若五位或七位之竒数理亦相同
凡平加之位若是竒数则以中一位之数与位数几相乗即得众数之总数也如所列以中一位一○乗位数五得五十即为众数之总数也盖首尾相加乗位数折半而得总数今中位乃首尾相加之一半故以乗位数【四七○三六一一一】总数【○五】 即为总数也
凡有自一每位平加二比例众竒数之总与位数自乗之得数等也如所列总数得四十九以位数七七自乗亦四十九也若一三五七九五位总数二十五以位数五自乗亦二十五也理如前节以中一位数乗位数同盖七位则七为中五位则五为中故也亦如首乗相并【一三五七九一三一一】 折半乗位数之理也
凡有自二每位平加二之比例众偶数以位数加一以与位数相乗即与众数之总数等也如所列位数是七加一为八以与位数七相乗为五十六即总数之数也亦即首末相加折半乗中一位之理也若位数是偶则【二四六八○二四一一一】 以位数自乗可得众数之总数也
凡平加比例之众数如所列以小数一与大数十一相减余十以平加数根二除之得五再加入小数一得六【一三五七九一一】 即原有之位数也
凡平加比例知小数及位数与平加数根而求大数法如所列知小数三知位数六知平加数根四将位数六减一余五与平加数四相因得二十加十入小数三即大数为廿三也
若欲知小数则亦以位数六减一余五与平加数四相因得二十以与大数十三相减余三则此三即为至小数也
若知小数及位数及平加数根而求知总数则先察得大数为二十三加入小数三为二十六以与位数六相乗得一百五十六折半得七十八为所求之总数也若知大数及平加数根及位数而求知总数法亦如之若知大小两数及位数求平加数根法则将三与廿三相减余二十又将位数六减一为五除之得四则此四为平加数之根也
若知大小两数及平加数根而求位数法则将大数与小数相减余二十以平加数四除之得五加一为六即是所求之位数也
若知平加之数根与位数及众位之总数而求至大至小之两数法则将总数七十八以位数六除之得十三为首末两数相加之一半又将十三加倍作廿六为首末两数相加之总数乃将位数六减一余五与平加数根四相乗得二十为至大数又将前所得之二十六与此二十相减余六为小数之加一倍数此数折半为三是所求之至小数也将三加入二十得二十三为所求之至大数也此法之理备于前矣
凡不等两数求一数可以度尽之法如二十与廿四相减余四又将四与二十相减余十六以十六与四相减余八以四减八则无余则此四为度尽两数之数也谓之转减亦谓之纽数
三边无角不可以相比例则必先求中长线以为正然后角可求也然中长线之数为正而仅有半径无角无余则其数又不可知故以勾求股之术求之除一边为则总较之术所求者勾也盖两之总之较既具于上两边矣所求者欲破下边以为两勾而得其较耳两之总乗之较以两勾之总除之必得较矣【钝角则以较除而得总】以勾较之余取其半以益较必得大勾矣存其半必得小勾矣如此则中长线之数可明而勾股相求之术可施既得勾股之数则用以与半径正余相比例而角可得矣
一角有角无对边数两边有边无对角数则皆不可以互求矣然此两边所对之角乃与得角合成半周度是此角之外之弧度即两角之度也但未知两角之大小何如剖分耳惟外角有平行之对角与两角之一角等度则虽其数未可知而其形可剖欲知其数者必以两角之较求之欲知两角之较者又必以两边之较例之两边有总有较半外角又有切线则可因是以求半较角矣以半较角减半外角则小边对角之度得矣其余一角则可以三隅反矣
三较连乗者求三角容圆之半径也○三较者三边与半总相较之余也三较连乗所得之数乃容员半径自乗又乗半总之数也故以三较连乗为中率而以半总除之则得容员半径之积数矣以积数开方则得半径矣○两数所以相合者何也盖引伸三较于一边则半总也从两边之角直剖为长线于第一较处横断作小勾即容员半径也至末总断作大勾而以容员半径乗之即二较三较相乗之数也小勾自乗比乗大勾如第一较与半总之比例则二较相乗以小勾自乗乗之亦如第一较与半总之比例
【阙】
钱百文买果百颗 梨一颗钱三文 柑一颗钱二文橄榄七颗钱一文 算得梨四颗钱十二文 柑四十颗钱八十文 橄榄五十六颗钱八文【按此条前后皆有阙文】
庄氏算学卷二
<子部,天文算法类,算书之属,庄氏算学>
钦定四库全书
庄氏算学卷三
淮徐海道庄亨阳撰
勾股测量
立表杆测法【凡立表杆必用垂线取直并量所立地距人立尺寸以取凖】
测髙【设有一旗杆距人立处三丈欲知其髙立表杆测之】
法以距旗杆三丈处立一表杆髙四尺【如图丁丙】向前又立一表杆髙八尺【如图戊己】看两表端与旗杆顶齐【如图甲丁】量两表间相距五尺【如图丁庚】乃以五尺为一率前表八尺内减后表四尺余四尺【如图戊庚】为二率距旗杆三丈【如图丁辛】为三率求得四率二丈四尺【如图甲辛】加入后表四尺得二丈八尺【如图甲乙】即旗杆之髙也
测逺【设有一树欲知其逺用表杆测之】
法先立一表杆对树【如图甲乙】次于表杆处取直角横量十五丈立一表杆【如丙】再依次表立一表杆对树参直【如丁】乃于丁表处作垂线至丙乙线界【如图丁己】量得五丈复量丙
己度得三丈爰以三丈为一率五丈为二率十五丈【丙乙】为三率求得四率二十五丈【如图甲乙】即树之逺也
比例【比例者以原有之两数为例以今有之一数与之比较而得所求之数也凡比例皆列四率以二率三率相乗以一】
【率归除得四率为所求】
正比例【一名异乗同除】
法以原有之两数为一率二率今有之一数为三率得四率为所求凡一率与三率为类二率与四率为类设如每三人赏银一两八钱今应赏二百四十人共该银若干 法以原有之三人为一率一两八钱为二率今有之二百四十人为三率求得四率一百四十四两即赏银总数
转比例【一名同乗异除】
法以今有之一数为一率原有之两数为二率三率得四率为所求假如有田一畆原濶八步长三十步今要濶十二步该长若干 法以今濶十二步为一率原长三十步为二率原濶八步为三率求得四率二十步即今所求之长数【葢乗除之数逓増逓减者为正比例总数相同分者多则得数转少分者少则得数转多为转比例】
正比例带分
设如每铜二斤六两换锡三斤九两今有铜七斤十二两该换锡若干
法以原铜二斤六两通为三十八两为一率原锡三斤九两通为五十七两为二率今铜七斤十二两通为一百二十四两为三率求得四率一百八十六两即今所换锡数以每十六两为一斤除之得十一斤零十两
转比例带分
设如营造每日用五十六人计一月又九分月之三可以完工今每日用六十四人完工该几何日
法以今用六十四人为一率因分母为九【即命一月为九分也】加入分子三共十二为二率原用五十六人为三率求得四率十分半满分母九分收为一月余一分半即命为一月又九分月之一分半为完工之日数若欲知一分半之日数则以九分为一率以一月通为三十日为二率以一分半为三率求得四率五日是为分子日数
合率比例【系合两比例或合三比例用一次除乗而得】
设如以夏布换绵布但知每夏布三丈价银二钱每绵布七丈价银七钱五分今有夏布四十五丈应换绵布若干
法以夏布三丈与绵布价银七钱五分相乗得二两二钱五分为一率夏布价银二钱与绵布七丈相乗得一两四钱为二率夏布四十五丈为三率求得四率二十八丈即夏布四十五丈所换绵布之数【此两比例合为一比例法】如分两比例算之则先以夏布三丈为一率价银二钱为二率今夏布四十五丈为三率求得四率为价银三两即夏布四十五丈所值银数再以绵布价银七钱五分为一率绵布七丈为二率夏布所值银三两为三率求得四率二十八丈即为夏布所换绵布之数
设如原有鹅八只换鸡二十只鸡三十只换鸭九十只鸭六十只换羊二只今有羊五只问换鵞几何
法以羊二只与所换鸭九十只相乗得一百八十只再以所换鸡二十只乗之得三千六百只为一率以原鸭六十只与原鸡三十只相乗得一千八百只再以原鹅八只乗之得一万四千四百只为二率今羊五只为三率求得四率二十只即羊五只所换鵞数【此三比例合为一比例法】如欲分三比例算之则先求羊五只所换鸭数以羊二只为一率鸭六十只为二率今羊五只为三率求得四率得鸭一百五十只即羊五只所换鸭数次求鸭一百五十只所换鸡数以鸭九十只为一率鸡三十只为二率今羊五只所值之鸭一百五十只为三率求得四率得鸡五十只即羊五只所值鸡数然后求鸡五十只所换鵞数以鸡二十只为一率鵞八只为二率今羊五只所值之鸡五十只为三率求得四率得鹅二十只即羊五只所换鵞数也
测髙【设有一旗杆不知其逺今欲求其髙用表杆两测求之】
法先立一表杆髙四尺【如图丁丙】向前又立一表杆髙八尺【如图戊己】看两表端与旗杆顶齐【如图甲丁】量两表间相距五尺【如图丁庚】记之再退后三丈对凖前表立一表杆髙四尺【如图壬癸】向前又立一表杆髙八尺【如图子丑】看两表端与旗杆顶齐【如图甲壬】量两表间相距一丈【如图壬夘】乃以再测之距度一丈与先测之距度五尺相减余五尺【如图壬寅】为一率前表八尺与后表四尺相减余四尺【如图子夘】为二率先测与再测相距之三丈【如图壬丁】为三率求得四率二丈四尺【如图甲辛】加入后表髙四尺得二丈八尺【如图甲乙】即旗杆之髙如欲求其逺则以再测之距度一丈与先测之距度五尺相减余五尺【如图壬寅】为一率再测之距度一丈【如图壬夘】
为二率两测相距之三丈【如图壬丁】为三率求得四率六丈【如图壬辛】即旗杆距退后表杆之逺
又法设塔一座欲知其髙用相等两表测之
法先立一表杆比人目髙四尺人离表杆六尺防塔顶与表端齐又自前表退后六丈复立一表杆亦比人目髙四尺人离表杆八尺防塔顶与表端齐乃以前表距分六尺与后表距分八尺相减余二尺【如图己壬】为一率表比人目髙四尺【如图辛庚】为二率两表相距六丈【如图辛戊】为三率求得四率十二丈【如图甲癸】加表比人目髙四尺【如图癸乙】共十二丈四尺【如图甲乙】即人目以上之髙再加人目距地之尺寸即塔顶距地平之髙如求塔距前表之逺则以两表
距分相减之二尺【如图己壬】为一率前表距分六尺【如图丙丁】为二率两表相距之六尺【如图辛戊】为三率求得四率十八丈【如图戊癸】即塔距前表之逺再加六丈即塔距后表之逺又法设楼一座欲知其髙以不等两表测之
法先立一长表比人目髙六尺人离表五尺四寸防楼与表端齐又退后二丈立一短表比人目髙四尺人离表六尺四寸防楼脊与表端齐乃以前表比人目髙六尺【如图丙丁】为一率前表距分五尺四寸【如图目丁】为二率后表比人目髙四尺【如图戊己与庚辛同】为三率求得四率三尺六寸【如图目辛】为前表与后表同髙所得之距分【庚目辛勾股形与戊壬己勾股形同】爰以三尺六寸【如图目辛与壬己同】与后表距分六尺四寸【如图目己】相减余二尺八寸【如目】图壬为一率后表比人目髙四尺【如图戊己】为二率前表距分五尺四寸【如图目丁】内减三尺六寸余一尺八寸【如图辛丁】与两表相距之二丈【如图己丁】相减余一丈八尺二寸【如图戊庚】为三率求得四率二丈六尺【如图甲癸】加表比人目之髙四尺【如图癸乙】共得三丈【如图甲乙】即人目以上之髙再加人目距地尺寸即楼脊距地之髙
又日景测髙【设一旗杆量日景长十丈问髙防何】
法于同时立一表杆髙四尺量表景长二尺乃以表景二尺为一率表髙四尺为二率旗杆之景一丈为三率求得四率二丈即旗杆之髙
矩度测量【矩度之制必用正方每边定一百分或二百分横竖俱界线画成小方分对中
心所出线两边安表取中心安逰表定凖坠线以成勾股】
测髙【设有一旗杆距人立处三丈欲测其髙防何】
法用矩度以定表看地平逰表看旗杆顶得距地平分四十分【此矩度系界画为一百分自中心平分半矩为五十分】乃以半矩五十分【如图丁己】为一率所得距分四十分【如图辛己】为二率距旗杆三丈【如图丁庚】为三率求得四率二丈四尺【如图甲庚】即矩度中心所对地平至旗杆顶之髙再加矩度中心距地【如图庚乙】即所求旗杆之髙也
测逺【设有一树欲求其逺用矩度测之】
法须平安矩度以定表与逰表定凖正方直角定表对树随逰表所指立表杆二三处横量十五丈复安矩度定表对表杆逰表对树得矩中心距分三十分乃以距
分三十分【如图戊丁】为一率半矩五十分【如图戊丙】为二率横量十五丈【如图丙乙】为三率求得四率二十五丈【如图甲乙】即所求树之逺也
重矩测髙【设山一座欲知其髙以重矩测之】
法用矩度以定表看地平逰表看山顶得距地平分四十分又向后量九丈复安矩度以定表仍看前矩定表所看原处逰表看山顶得距地平分三十二分乃以前矩距分四十分【如图己庚】为一率半矩五十分【如图丙庚】为二率后矩距分三十二分【如图辛壬】为三率求得四率四十分【如图丙子】乃以后矩之半矩五十分与四十分相减【后矩之辛壬丑勾股形与前矩之癸子丙勾股形相同】余十分【如图丁丑】为一率后矩距分三十二分【如图辛壬】为二率两矩相距九丈【如图丁丙】为三率求得四率二十八丈八尺【如图甲戊】即矩度中心所对地平至山顶之髙再加矩度中心矩即所求山之髙 若求山距后矩之逺则以相距矩分相减之十分【如图丁丑】为一率半矩五十分【如图丁壬】为二率两矩相距之九丈【如图丁丙】为三率求得四率四十五丈【如图丁戊】即后矩距山之逺减两矩相距九丈即前矩距山之逺
又法设有一石欲知其逺不取直角于左右两处测之
法先平安矩度于右以定表对左矩中心逰表看石得距中心距分三十七分五厘其逰表之斜矩分为六十二分五厘次安矩度于左以定表对右矩中心逰表看石得距中心距分十一分二厘五毫其逰表之斜距分为五十一分二厘五毫横量两矩相距三十九丈乃以两矩中心距分相并得四十八分七厘五毫【如图甲乙与丙丁两勾股相并】为一率右矩逰表之斜距分六十二分五厘【如图右丁】为二率横量三十九丈【如图右左】为三率求得四率五十丈【如图石右】即右矩距石之逺如求左矩距石则仍以四十八分七厘五毫为一率以左矩逰表之斜距分五十一分二厘五毫【如图甲左】为二率仍以三十九丈为三率求得四率四十一丈【如图石左】即左矩距石之逺也
又法设隔河一树欲知其逺不能定直角斜对树两测求之
法先平安矩度于一处复随定表所指横量十七丈安一矩度【如止用一矩度则记凖一处亦可】以先安矩度定表看后安矩度中心逰表看树得距矩度中心距分四十九分其逰表之斜距分为七十分次以后安矩度定表看先安矩度中心逰表看树得距矩度中心距分十五分其逰表之斜距分为五十二分二厘乃以先安矩度之中心距分四十九分与后安矩度之中心距分十五分相减为三十四分【如图戊乙】为一率先安矩度逰表之斜距分七十分【如图乙先】为二率横量十七丈【如图先后】为三率求得四率三十五丈【如图树先】即先安矩度距树之逺如求后安矩度距树则仍以三十四分为一率以后安矩度逰表之斜距分五十二分二厘【如图丁后与戊先等】为二率仍以十七丈为三率求得四率二十六丈一尺【如图树后】即后安矩度距树之逺
尖圆体【圆底尖堆得长圆体三分之一倚壁尖堆二分之一内角堆得圆底尖堆四分之一外角
堆得圆底尖堆四分之三】
圆底尖堆设积米一堆髙五尺底周一十四尺问该米数几何
法以底周十四尺用圆周求面积法求得圆面积一十五尺五十九寸七十一分八十四厘一十二毫有余为尖圆堆之防面积再与髙五尺相乗得七十七尺九百八十五寸九百二十分六百厘有余【为长圆体积】三归之得二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十厘有余为圆底尖堆之积数然后以石率二千五百寸除之得米一十石零三升九合八勺有余即所求圆底尖堆之米数
倚壁尖堆设倚壁积米一堆高四尺底周六尺该米几何
法以底周六尺【此全圆周之半】倍之得一十二尺为全周乃用圆周求面积法求得圆面积一十一尺四十五寸九十一分五十五厘有余【为全圆面积】折半得五尺七十二寸九十五分七十七厘有余为倚壁尖堆之底面积再以髙四尺乗之得二十二尺九百一十八寸三百零八分有余【为半周长圆体积】三归之得七尺六百三十九寸四百三十六分有余为倚壁尖堆之积数然后以石率二千五百寸除之得三石零五升五合七勺有余即所求倚壁尖堆之米数
倚壁内角堆设倚壁内角积米一堆髙五尺周一十二尺该米几何
法以周一十二尺【此全圆周四分之一】四因之得四十八尺为全周乃用圆周求面积法求得圆面积一百八十三尺三十四寸六十四分九十厘有余【此全圆面积】四归之得四十五尺八十三寸六十六分二十二厘有余为倚壁内角凖之底面积再与髙五尺相乗得二百二十九尺一百八十三寸一百一十分【为长圆一角之体积】三归之得七十六尺三百九十四寸三百七十分为倚壁内角堆之积数然后以石率除之得三十石零五斗五升七合有余即所求倚壁内角堆之米数
倚壁外角堆设倚壁外角积米一堆髙六尺底周三十三尺该米几何
法以周三十三尺【此全圆周四分之三】三归四因得四十四尺为全周乃用圆周求面积法求得圆面积一百五十四尺六寸一十九分八十一厘九十二毫有余四归三因得一百一十五尺五十四寸六十四分八十六厘四十四毫有余为倚壁外堆之底面积再以髙六尺乗之得六百九十三尺二百七十八寸九百一十八分六百四十厘有余三归之得二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十厘有余为倚壁外角堆之积数然后以石率除之得九十二石三升七合有余即所求倚壁外角堆之米数
截积
正方形从一边截积设正方积二百二十五尺今欲于一边截积四十五尺问截濶几何
法以总积二百二十五尺开平方得十五尺为正方边以十五尺除截积四十五尺得三尺即截积之濶于十五尺内减三尺余十二尺即截剰余积之濶也
正方形从两边截积设正方积三百六十一尺今欲截积一百六十五尺余积仍为正方形问应得边数几何
法以总积三百六十一尺与截积一百六十五尺相减余一百九十六尺开平方得一十四尺即截积所除之正方边
长方形截积设长方形一万九千二百尺长比濶多四十尺今减积二千八百八十尺问余积长濶各几何
法以总积一万九千二百尺用带縦平方得长一百六十尺濶一百二十尺今如欲截濶则以长一百六十尺除截积二千二百八十尺得十八尺为截积之濶于原濶一百二十尺内减十八尺余一百零二尺即截剰余积之濶如欲截长则以濶一百二十尺除截积二千二百八十尺得二十四尺为截积之濶于原长一百六十尺内减二十四尺余一百三十六尺即截剰余积之长截积
勾股形截上段积设股三十六尺勾二十七尺今从上段截积五十四尺问应截长濶各几何
法以股三十六尺为一率勾二十七尺为二率截积五十四尺倍之【即甲丁与丁戊相乗之长方】为三率求得四率八十一尺开方得九尺即所截之濶【葢股与勾之比必同于甲丁丁戊相乗之长方与丁戊自乗之正方之比】再以勾二十七尺为一率股三十六尺为二率所截之濶九尺为三率求得四率十二尺即所截之长
勾股形截下段积设股三十六尺勾二十七尺今从下段截斜方形积四百三十二尺问截长及上濶各若干
法以股三十六尺为一率勾二十七尺为二率截积四百三十二尺倍之得八百六十四尺为三率求得四率六百四十八尺乃以勾二十七尺自乗得七百二十九尺内减所得四率六百四十八尺余八十一尺开方得九尺为所截之濶再以勾二十七尺为一率股三十六尺为二率濶九尺与勾二十七尺相减余十八尺【如图己丙】为三率求得四率二十四尺【如图戊己与丁乙等】即所截之长或用勾股形有边求积法求得勾股积四百八十六尺内减从下段所截之斜方积四百三十二尺余五十四尺即为从上段所截之勾股形积依前法比例求之所得之濶即上濶上段之长与股三十六相减即下段所截之长
三角形截积算法与勾股形同【底濶如勾中长如股】
斜方形截上段积设两直角斜方形长二十四尺下濶二十尺上濶十二尺今从上股截积一百六十八尺该截长濶各几何
法以长二十四尺为一率下濶二十尺内减上濶十二尺余八尺为二率截积一百六十八尺倍之得三百三十六尺为三率求得四率一百一十二尺再以上濶十二尺自乗得一百四十四尺与所得四率一百一十二尺相加得二百五十六尺开方得十六尺即所截之濶乃以上下两濶相较减之八尺为一率长二十四尺为二率截濶与上濶相减余四尺为三率求得四率十二尺即所截之长
斜方形截下段积设斜方形长二十四尺上濶十二尺下濶二十尺今从下段截积二百一十六尺求截长濶
法以长二十四尺为一率下濶内减上濶余八尺为二率截积二百一十六尺倍之得四百三十二尺为三率求得四率一百四十四尺乃以下濶二十尺自乗得四百尺内减所得四率一百四十四尺余二百五十六尺开方得一十六尺即所截之濶再以上下两濶较减所余之八尺为一率长二十四尺为二率下濶二十尺内减截濶十六尺余四尺为三率求得四率十二尺即所截下段之长
梯形
梯形截上段积截下段积
法俱与斜方形同
上下两濶较比斜方形为二倍截积比斜方形亦为二倍故其比例皆同
梯形自一边截勾股积设梯形长一百二十尺上阔二十尺下阔八十尺今自一边截勾股积四百五十尺求截长阔几何
法以长一百二十尺为一率上濶二十尺与下濶八十尺较减余六十尺折半得三十尺【如图乙戊】为二率截积四百五十尺倍之得九百尺为三率求得四率二百二十五尺开方得一十五尺为所截之濶【如图乙辛】乃以半较三十尺为一率长一百二十尺为二率截濶十五尺为三率求得四率六十尺即所截之长
梯形自一边截斜方形积设梯形长一百二十尺上濶四十尺下濶八十尺今自一边截斜方形积四千二百尺求所截之上下濶
法以上濶四十尺与下濶八十尺较减余四十尺折半得二十尺为所截斜方形上濶与下濶之较又以截积
四千二百尺倍之得八千四百尺以长一百二十尺除之得七十尺为所截斜方形上濶与下濶之和加较二十尺得九十尺折半得四十五尺即下濶减较二十尺得五十尺折半得二十五尺即上濶
分积
三角形平分面积一半仍与原形同式
设三角形小腰边二十丈大腰边三十四丈底边四十二丈面积三百三十六丈今分面积一半与原形同式问所截三边各长若干
法以原面积三百三十六丈为一率原面积折半得一百六十八丈为二率底边四十二丈自乗得一千七百六十四丈为三率求得四率八百八十二丈开方得二十九丈六尺九寸八分四厘八毫为所截之底边乃以原底边为一率大腰边为二率所截底边为三率求得四率二十四丈零四寸一分六厘有余即所截之大腰边又以原底边为一率小腰边为二率所截底边为三率求得四率十四丈一尺四寸二分有余即所截之小腰边○凡各形截积仍欲与原形同式者算法
仿此
圆面截弧矢形有矢求圆设圆形径一尺二寸矢濶二寸四分求长
甲乙为全径甲戊为矢丙丁为甲丙丁为截弧矢形
法以矢濶二寸四分为首率圆径一尺二寸内减矢濶二寸四分余九寸六分为末率首末率相乗得二十三寸零四分开方得四寸八分为中率【即丙戊】倍之得九寸六分为弧矢形之
圆面截弧矢形有求矢设圆形径一尺七寸长一尺五寸求矢濶
法以长一尺五寸折半得七寸五分自乗得五十六寸二十五分为长方积以圆径一尺七寸为长濶和用带縦和数开方法算之得濶四寸五分即矢形之矢弧矢形求圆径设弧矢形长一尺一寸矢濶四寸求圆径
法以矢濶四寸为首率长一尺二寸折半得六寸为中率以中率六寸自乗首率四寸除之得九寸为圆之截径加矢濶四寸即圆径
圆面截弧矢形求积
法用勾股八线表比例求截弧之度分随比例得所截弧背之丈尺乃自截弧至圆心作一弧背三角形以半径数与弧背之丈尺相乗得数折半为弧背三角形之面积又自圆心至作一平三角形用半径与矢相减余数为中垂线以中垂线与相乗得数折半为平三角形面积两三角形面积相减即弧矢形面积
又法以矢与相加以半矢乗之得数为弧矢形面积此法较前法微疎如无八线表则以此法算之并积
两正方形并积有边较求分积及边
设大小两正方积共四百一十尺大方边比小方边多六尺问分积及各边几何
法以共积四百一十尺加倍得八百二十尺又以两方边较六尺自乗得三十六尺与八百二十尺相减余七百八十四尺开方得二十八尺为两方边之和加较六尺折半得十七尺为大正方之边减较六尺折半得十一尺为小正方之边以方边各自乗得积数
两正方形并积有边总求分积及边设大小两正方形积共六百一十七尺两正方边共三十五尺求分积及各边之数几何
法以共积六百一十七尺倍之得一千二百三十四尺又以两边和三十五丈自乗得一千二百二十五尺与倍积相减余九尺开方得三尺即两方边之较两边和三十五尺与边较三尺相加折半得十九尺即大正方之边减边较三尺得十六尺即小正方之边次方边各自乗得积数
两正方形相并有边较积较求各边设大方边比小方边多七尺大方积比小方积多三百四十三尺求各方边
法以积较三百四十三尺用边较七尺除之得四十九尺即两正方边之和加较七尺折半得二十八尺为大正方之边减较七尺余二十一尺为小正方之边两正方形相并有边总积较求各边设大小两正方边共三十一尺大正方积比小正方积多一百五十五尺求各边
法以积较一百五十五尺用两边和三十九尺除之得五尺为两方边之较与两边和三十一尺相加折半得十八尺即大正方之边减较五尺余十三尺即小正方之边
两正方形并积有积较求各边设大小两正方积共一百三十尺大正方积比小正方积多二十二尺求各边
法以积较三十二尺与共积一百三十尺相减余九十八尺折半得四十九尺即小正方之积开方得七尺即小正方之边小方积四十九尺与积较三十二尺相加得八十一尺即大正方之积开方得九尺即大正方之边三正方形并积有三边较求各边设三正方形共积三百八十一尺大方边比次方边多六尺次方边比小方边多三尺求各方边
法以大方边比小方边所多之较六尺自乗得三十六尺又以次方边比小方边所多之较三尺自乗得九尺两数相并得四十五尺与共积三百八十一尺相减余三百三十六尺三因之得一千零八尺为长方积【其濶为三小正方边长为三小正方边两大方边较两次方边较】又以大方边较六尺倍之得十二尺次方边较三尺倍之得六尺两数相并得十八尺为长濶较用带纵较数开方法算之得濶二十四尺归之得八尺即小正方边加次方边所多之较三尺得十一尺即次方边再加大方边所多之较三尺得十四尺即大正方
容面
圆面容正方设圆径十尺问内容正方边几何
法以圆径十尺自乗得一百尺折半得五十尺开平方得七尺零七分一厘有余即圆面内所容正方边也圆面容三角形设圆径二十尺问内容三角形之一边尺寸防何
乙丙与半径等甲乙丙为正勾股形全径为乙丙为勾则甲丙为股
法以圆径二十尺为折半十尺为勾用勾求股法得十七尺三寸二分有余即圆面内所容三角形之一边三角形容正方面设三角形大腰三十七尺小腰十五尺底四十四尺问内容正方边防何
法先用三角形求中垂线法求得十二尺为中垂线与底四十四尺相加得五十六尺为一率中垂线十二尺为二率原底边四十四尺为三率求得四率九尺四寸二分八厘有余即三角形内所容正方边也
三角形容圆面设三角形每边一尺二寸问内容圆面径防何
乙丙丁勾股形与甲丙丁勾股形同式丙丁勾为乙丁之半则甲丙勾亦必为甲丁之半甲丁与乙甲等故甲丙圆面半径得乙丙中垂线三分之一倍之即为全径
法先用三角形求中垂线法求得一尺零三分九厘有余为中垂线以三归之得三寸四分六厘有余为圆面半径倍之得六寸九分二厘有余即所求圆面径
勾股形容正方设勾九尺股十二尺问内容正方边几何
法以勾九尺与股十二尺相加得二十一尺为一率勾九尺为二率股十二尺为三率求得四率五尺一寸四分二厘有余即勾股形内所容正方面边也
勾股形容圆面设勾九尺股十二尺问内容圆面径几何
乙庚与乙戊等庚丁与丁己等于乙丙与丙丁勾股和内减乙丁所余为戊丙及丙己二段各为圆面之半径相并即为全径
法以勾股求法求得十五尺为乃以勾九尺与股十二尺相加得二十一尺内减数十五尺余六尺即所容圆面径
鋭角钝角三角形容圆面式
法先用三角形有边求积法求得三角形积倍之为长方积并三边共数除之得数为圆面半径加倍即为全径
按分逓折比例 二八差分 三七差分 四六差分 逓折差分 加倍减半差分
设有人一千六百名二分赏银八分赏米求赏银赏米人数各几何
法以二分八分相并得十分为一率人一千六百名为二率二分为三率求得四率三百二十名即赏银人数再以八分为三率求得四率一千二百八十名即赏米人数
设有米五百八十八石令甲乙丙三人二八分之求各得米数若干
法以二分为甲衰八分为乙衰二归八因得三十二为丙衰三数相并得四十二分为一率米数五百八十八石为二率若以甲衰二分为三率则求得四率二十八石即甲应分米数若以乙衰八分为三率则求得四率百一十二石即乙应分米数或以丙衰三十二分为三率则求得四率四百四十八石为丙应分之米数设有粮二千六百五十五石九斗令甲乙丙丁戊五等人户照二八逓减纳之甲户三十乙戸四十丙戸五十丁户六十戊户七十问各户该纳若干
法以逓减最少之戊户为二衰丁户为八衰挨次二归八因则丙户为三十二衰乙户为一百二十八衰甲户为五百一十二衰再以甲户三十与甲衰五百一十二相乗得一万五千三百六十为甲户共衰数 以乙户四十与乙衰一百二十八相乗得五千一百二十为乙户共衰数 以丙戸五十与丙衰三十二相乗得一千六百为丙户共衰数 以丁户六十与丁衰八相乗得四百八十为丁户共衰数 以戊戸七十与戊衰二相乗得一百四十为戊户共衰数 乃以五等衰数相并得总衰二万二千七百为一率粮数二千六百五十五石九斗为二率以甲衰五百一十二为三率求得四率五十九石九斗零四合为一甲户应纳粮数以四户三十乗之得一千七百九十七石一斗二升为甲户共纳粮数 以乙衰一百二十八为三率求得四率十四石九斗七升六合为一乙戸应纳粮数以乙户四十乗之得五百九十九石零四升为乙户共纳粮数 以丙衰三十二为三率求得四率为一丙户应纳粮数以丙户五十乗之得数为丙户共纳粮数 丁戊二等算法仿此以上系二八差分之式
设有银五千两令二县分支东县支七分西县支三分问各支若干
法以三分七分相并得十分为一率银五千两为二率若以东县七分为三率求得四率三千五百两即东县应支之数以西县三分为三率求得四率一千五百两即西县应支之数
设以车载物行十里限二十刻今已行七里该几刻方到
法以十里为一率二十刻为二率十里减去已行七里余三里为三率求得四率为六数即再行六刻方到
设有熟丝四百九十七两七钱按绢绫缎逓次三七分织问各该若干
法将三数三因之得九分为绢衰三归七因得二十一分为绫衰七数七因之得四十九分为缎衰三数相并得总衰七十九分为一率总丝四百九十七两七钱为二率若以缎衰四十九分为三率则求得四率三百零八两七钱为织缎余数以绫衰二十一分为三率则求得四率一百三十二两三钱为织绫线数以绢衰九分为三率则求得四率五十七两六钱为织绢线数设有田一百三十八亩每畆徴米二斗今欲七分徴米三分折丝每米一石折丝一斤问各该若干
法以三分七分相并得十分为一率以米二斗乗田一百三十八畆得总米二十七石六斗为二率七分为三率求得四率十九石三斗二升即徴米之数再以总米二十七石六斗减去徴米十九石三斗二升余八石二斗八升为折丝之数以米一石为一率丝一斤通为十六两为二率折丝米八石二斗八升为三率求得四率一百三十二两四钱八分以斤法收之得八斤四两四钱八分即米三分折丝之数
以上系三七差分法
设有水田三百畆令上下二戸四六分灌问各灌若干畆
法以四分六分相并得十分为一率田三百畆为二率以六分为三率求得四率一百八十畆即上户应灌之田以四分为三率求得四率一百二十畆即下户应灌之田
设有粮一千二百六十六石令甲乙丙丁戊五舟按四六逓次应载问各载若干
法以四分为戊衰六分为丁衰挨次六因四归得九分为丙衰十三分半为乙衰二十分二五为甲衰五数相并得总衰五十二分七五为一率粮一千二百六十六石为二率以甲衰二十分二五为三率求得四率四百八十六石即甲舟应运粮数以乙衰十三分半为三率则求得四率三百二十四石以丙衰九分为三率则求得四率二百一十六石以丁衰六分为三率则求得四率一百四十四石以戊衰四分为三率则求得四率九十六石为各舟应运粮之数
设有熟稻七百九十九畆六分八厘令甲乙丙三人挨次以十分之六收获问各分收若干
法以一百为甲衰六十为乙衰三十六为丙衰三数相并得总衰一百九十六为一率稻七百九十九畆六分八厘为二率甲衰一百为三率求得四率四百零八畆又以乙衰六十为三率求得四率二百四十四畆八分以丙衰三十六为三率求得四率一百四十六畆八分八厘即三人应收之米数
以上系四六差分法
设有银一千二百六十六两五钱令四商以十分之七逓次贩货出卖问每人该银若干
法以一千为第一人分数七百为第二人分数四百九十为第三人分数三百四十三为第四人分数合并得二千五百三十三分为一率银一千二百六十六两五钱为二率以四商分数各为二率求得各四率第一人五百两第二人三百五十两第三人二百四十五两第四人一百七十一两五钱为各贩货之数
设有生铜入炉三次每次镕去渣十分之二今得浄熟铜三百四十八两问原铜防何
法以八分自乗再乗得五百十二分为一率十分自乗再乗得一千分为二率熟铜三百四十八两为三率求得四率四百八十四两三钱七分五厘即原铜之数设有绢四百七十丈一尺八寸四分令三等人戸挨次照十分之六出之上户二十五中戸三十下戸四十八问每戸出若干
法以一百为上等分数以二十五戸乗之得二千五百分以六十为中等分数以三十五户乗之得一千八百分以三十六为下等分数以四十八户乗之得一千七百二十八分三数相并得总衰六千零二十八分为一率绢四百七十丈一尺八寸四分为二率以三等各衰为三率求得各四率上户七丈八尺中户四丈六尺八寸下户二丈八尺零八分即三等人应出之数
设一人织绢日加一倍四日而成六丈七尺五寸问日织绢若干
法以一为初日分数二为次日分数四为三日分数八为四日分数合并得十五分为一率绢六丈七尺五寸为二率以一二四分各为三率求得四率四尺五寸为初日所织倍之得九尺为次日所织又倍之得一丈八尺为次三日所织又倍之得三丈六尺为第四日所织合之共六丈七尺五寸也
设一人借银为商三次每次得利比本银加一倍每次还银二百两三次本利还尽亦无余银问原本若干
法以一为本银分数二为本利共分四为二次本利共分八为三次本利共分即以八分为一率原本银一分为二率又以一为第三次还银分二为第二次还银分四为第一次还银分合并得七分与二百两相乗得一千四百两为三率求得四率一百七十五两为原本银数
设有田一千二百畆令甲乙丙丁四人挨次逓减一半分种问各种若干畆
法以八为甲分四为乙分二为丙分一为丁分合并得十五分为一率田一千二百畆为二率以甲八分为三率求得四率六百四十畆即甲所种田数折半则乙得三百二十畆又减半则丙得一百六十畆又减半则丁得八十畆也
设有银三千一百六十两令三等人逓次减半分用一等二十名二等二十四名三等三十名问每等人得银防何
法以四为一等分数以二十乗之得八十分二为二等分数以二十四乗之得四十八分一为三等分数以三十乗之得三十分合并得一百五十八分为一率银三千一百六十两为二率以各等人数各为三率求得四率一等银八十两二等四十两三等二十两即各等每一人应得银数
以上皆各等差分之例
按数加减比例 逓加逓减差分 超位加减差分互和折半差分 首尾互凖差分
设有金六十两令甲乙丙三人依次逓加五两分之问各得若干
法以三人为一率六十两为二率一人为三率求得四率二十两为乙应得金数加五两则为甲之数减五两则为丙之数
设有银九百九十六两分给八人自末名以上逓加十七两问首末二人各得若干
法以八人为一率九百九十六两为二率一人为三率求得四率一百二十四两五钱再以十七两折半得八两五钱加之得一百三十三两为第四人应得银数再加十七两得一百五十两为第三人再加十七两得一百六十七两为第二人再加十七两得一百八十四两为首二人应得银数又将原数以八两五钱减之得一百一十六两为第五人应得银数再以十七两逓减三次余六十五两即末一人应得银数
设有一百人首名赏银一百两以下逓减五钱问该银若干
法以一分为一率逓减五钱为二率九十九分为三率求得四率四十九两五钱即第一名多于百名之数于一百两内减之得五十两零五钱即第一名应赏之数又与第一名赏银各得一百五十两零五钱以百名乗之得一万五千零五十两折半得七千五百二十五两即赏银总数
设一人行路日增六里共行三百二十里但知初末两日所行共一百六十里问该行防日初末两日各该若干里
法以初末二日共行之一百六十里折半得八十里乃共日之中数为一率一日为二率共行三百二十里为三率求得四率四日即所行日数又以日增六里折半得三里加于中数八十里得八十三里为第三日所行里数再加六里得八十九里为第四日所行里数第二日则减中数之三为七十七里初日更减六里为七十一里
设有人十三日共织布一十三丈五尺三寸因日渐长每日加工六寸问初末两日各织布若干
法以十三日为一率布一千三百五十三寸为二率一日为三率求得四率一百零四寸为第七日所织之数亦即初末两日互相折半之中数乃以第七日上计初日下计末日俱得六分与逓加六寸相乗得三十六寸于一百零四寸内减之余六十八寸初日所织之数加之得一百四十寸为末日所织之数
设有田七百二十畆令甲乙丙三人依次逓减分耕问各该若干畆
法以三分为甲衰二分为乙衰一分为丙衰合并得六分为一率田七百二十畆为二率一分为三率求得四率一百二十畆为丙所耕之田二因之乙得二百四十畆三因之甲得三百六十畆凡命法中不足所减分数者以此为例
设有粮一千一百三十四石令五等戸逓减纳之一等二十四户二等三十三戸三等四十四等五十一五等六十问毎户纳若干
法以五四三二一为五等衰分以五衰乗二十四户得一百二十分以四衰乗三十三户得一百三十二分以三衰乗四十二户得一百二十六分以二衰乗五十二戸得一百零二分以一衰乗六十户得六十户五数合并得总衰五百四十分为一率粮一千一百三十四石为二率一分为三率求得四率二石一斗为第五率一户应纳粮数二分因之得四石二斗应第四等三分因之得六石三斗属第三等四分因之得八石四斗属第二等五分因之得十石五斗属第一等皆就一戸算之以上逓加逓减例
设有米二十四石分与甲四分乙五分丙七分丁九分问各得若干
法以四五七九合并得二十五分为一率米二十四石为二率以甲乙丙丁各分数各为三率求得四率甲三石八斗四升乙四石八斗丙六石二斗二升丁八石六斗四升即各得分数
设有银五千两买得马四匹园一区宅一所其园价多马三倍宅价又多园四倍问各价若干
法以一分为马衰加三倍得四分为园衰又将四分加四倍得二十分为宅衰合并得二十五分为一率价五千两为二率以马衰为三率求得四率二百两为马价加三倍得八百两为园价园价加四倍得四千两为宅价设有银七十两买骆驼马驴各一匹但知马比驼价为九分之四驴比驼价为九分之一问各价若干
法以一分为驴衰四分为马衰九分为驼衰合并得十四分为一率银七十两为二率驼马驴各衰数各为三率求得各四率驴为五两马为二十两驼为四十五两即各畜之价
设一人为商三次初收获利比原银多二倍二次获利比初次本利又多四倍三次获利比二次本利又多三倍共计利与原银得九百两问原本银若干
法以一分为初次本衰加二倍得三分为初次本利共衰又于三分加四倍得十五分为二次本利共衰又于十五分加三倍得六十分为三次本利共衰即以六十分为一率三次本利共九百两为二率一分为三率求得四率十五即原本银数
设有米五百三十五石赏三等人一等二十名二等五十名三等一百一十名一等比二等每名加七斗二等比三等每名加五斗问各等每人得米若干
法以五斗米数与二等五十名人数相乗得米二十五石一等多二等七斗是多三等一石二斗与一等二十名人数相乗得米二十四石合并得四十九石于总米五百三十五石内减去此数余得四百八十六石乃以三等人数相并得一百八十人为一率四百八十六石为二率一人为三率求得四率二石七斗即三等一人应得米数加五斗为三石二斗是二等人所得再加七斗为三石九斗是一等人所得
以上系超位加减
设有米一百八十石令甲乙丙三人互相折半分之但知甲多于丙三十六石问各该米若干
法以三人为一率米一百八十石为二率一人为三率求得四率六十石即乙应得米数再以甲多于丙之三十六石折半为十八石加于乙数为七十八石属甲减于乙数为四十二石属丙
设有银二百四十两赵钱孙李四人互相折半分之但知赵多于李十八两问各该银若干
法以四人为一率银二百四十两为二率一人为三率求得四率六十两为钱孙二人相和折半之数再以赵多于李之十八两三归【四人用三归若三人则用二归五人则用四归也】得六两即四人逓加之数较折半得三两加于六十两即钱银数再加六两为六十九两即赵银较于六十两减三两为五十七两属孙再减六两为五十一两属李以上互相折半
设甲乙丙丁四人挨次分银但知甲得六十九两丁得五十一两问乙丙两人银数
法以三分为甲多于丁之衰数【四人故用三分若五人则用四分六人则用五分也】为一率于六十九两中减去五十一两余十八两为二率一分为三率求得四率六两为四人逓加之较于丁之五十一两内加六两得五十七两为丙再加六两得六十三两属乙如三色者则以首尾两数相和折半即得中数
设七人运粮不言总数但知第一人第二人共运二十三石七斗第五第六第七共运二十六石一斗其逓加之数俱相等问每人运粮若干
法以二十三石七斗折半得十一石八斗五升为第一人第二人相和折半之数于二十六石一斗以三归之得八石七斗即第六人应运粮数乃以第一分第二分之中数一分半与第六分相减余四分半为一率第一二人共运折半之中数十一石八斗五升与第六人之八石七斗相减余三石一斗五升为二率一分为三率求得四率七斗即每人逓加之数由第一人而上逓加七斗则第五得九石四斗第四得十石一斗第三得十石八斗第二得十一石五斗第一得十二石二斗设八人分米但知第一二两人共得十一石九斗第七八两人共得八石三斗其逓加之数俱相等问每人应得米数若干
法以十一石九斗折半得五石九斗五升为第一二两人相和折半之数再以八石三斗折半得四石一斗五升为第七八两人相和折半之数乃以第一分第二分之中数一分半与第七分第八分之中数七分半相减余六分为一率第一第二相和折半之五石九斗九升与第七第八相和折半之四石一斗五升相减余一石八斗为二率一分为三率求得四率三斗即每人逓加之较折半为一斗五升加于五石九斗五升得六石一斗为第一人应得米数以次逓减三斗即以下诸人之数
设有竹九节截为九筒逓次长短不均但知根底三节共盛米三升九合梢上四节共盛米三升问九筒各盛米数
法以三升九合三归之得一升三合即第二节盛米之数又以三升四归之得七合五勺即第七八两节相和折半之数乃以第二分与第七第八折半之中数七分半相减余二分半为一率以一升三合与七合五勺相减余五合五勺为二率一分为三率求得四率一合即每节逓加之较自第一节所盛一升三合而加一合即第一节所盛米数逓减一合即以下诸节之数也设有米二百四十石令甲乙丙丁戊五人逓减纳之定甲乙纳数与丙丁戊纳数相等问各纳防何
法以四分为甲多于戊之衰【自甲至戊隔四位故以四分为衰数也】三分为乙多于戊之衰合并得七分以二分为丙多于戊之【次逓加三分而各衰五四三二一俱用三因其比例仍同】十五分为第二次比第七次所多衰数合并得三十三分十二分为第三次比第七次所多衰数九分为第四次比第七次所多衰数六分为第五次比第七次所多衰数三分为第六次比第七次所多衰数合并得三十分乃以三十分同三十三分相减余三分为前两次多于后五次之较又以后五次同前二次相减余三次为后五次多于前两次之较夫前多三分后多五次而其数则相等则三分即为三总分数合之得三十分为一率米二百四十石为二率每人衰数各为三率求得四率甲六十四石乙五十六石共一百二十石丙四十八石丁四十石戊三十二石亦共一百二十石
设有粮一千零九十二石令七次逓减运送定前二次与后五次运数相等问每次运数若干
法以十八分为第一次比第七次所多衰数【第一至第七隔六位应以六为所多衰数则每位逓加一分但前后较归除不尽不可分法故将六分用三因之为十八分则每一次逓加三分而各衰五四三二一俱用三因其比例仍同】十五分为第二次比第七次所多衰数合并得三十三分十二分为第三次比第七次所多衰数九分为第四次比第七次所多衰数六分为第五次比第七次所多衰数三分为第六次比第七次所多衰数合并得三十分乃以三十分同三十三分相减余三分为前两次多于后五次之较又以后五次同前二次相减余三次为后五次多于前两次之较夫前多三分后多五次而其数则相等则三分即为三次之数乃以三次为一率三分为二率一次为三率求得四率一分即第七次之分数每次逓加三分则第六次四分第五次七分第四次十分第三次十三分合并得三十五分第二次十六分第一次十九分合并亦三十五分然后并两总数得七十分为一率粮一千零九十二石为二率一分为三率求得四率十五石六斗即第七次一分之运数再以每次各分较乗之则第一次得二百九十六石四斗第二次得二百四十九石六斗合之为五百四十六石是前两次运数第三次得二百零二石八斗第四次得一百五十六石第五次得一百零九石二斗第六次得六十二石四斗与第七次十五石六斗合之亦为五百四十六石是后五次运数以上首尾互凖
边求积
设三广田南濶六十步北濶八十步中濶四十步长一百二十步中濶距南北边相等问积几何
法宜截作两梯形田算之以南濶六十步与中濶四十步合并折半得五十步与半长六十步相乗得三十步为南半截梯形积又以北濶八十步与中濶四十步合并折半得六十步与半长六十步相乗得三千六百步为北半截梯形积两形相合六千六百步以畆法除之得二十七畆五分即三广积法
积求边
设三广田积二十七畆五分南濶六十步北濶八十步中濶四十步中濶距南北边相等问长几何
法以二十七畆五分用畆法化步得步数四因之置南北濶将中濶数倍之三数相并为法除之得一百二十步即三广田之长
如两距不必相等必有距南北各数或边求积或积求边皆截两梯形算之
庄氏算学卷三
<子部,天文算法类,算书之属,庄氏算学>
钦定四库全书
庄氏算学卷四
淮徐海道庄亨阳撰
曲线体
设长圆体径与高皆七尺问积几何
法以长圆体径七尺求得圆面积三十八尺四十八寸四十五分零九厘九十六豪二十五丝有余以髙七尺乗之得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分七百三十七厘有余即长圆体之积也
又法以长圆体径七尺求得圆周数与髙七尺相乗得数为长圆体之外面积以半径之三尺五寸乗之得数折半即长圆体之积也
又法以长方体积一○○○○○○○○为一率长圆体积七八五三九八一六三为二率现设之长圆体径七尺自乗以髙七尺再乗得数为三率求得四率即长圆体之积也
【一率一○○○○○○○○ 二率七八五三九八一六三 三率三四二四率二六九三九一五六九九○九】
设尖圆体底径六尺中髙六尺问积几何
法以底径六尺求得底面积数以髙六尺乗之得数以三归之即尖圆体之积也
又法以尖方体积一○○○○○○○○为一率尖圆体积七八五三九八一六三为二率现设之尖圆径体底径六尺自乗以髙六尺再乗得数三归之成尖方体积为三率求得四率即尖圆体之积也
【一率一○○○○○○○○○ 二率七八五三九八一六三 三率七二 四率五六四八六六七七三六】
又法以长方体积一○○○○○○○○为一率尖圆体积二六一七九九三八八为二率现设之尖圆体底径六尺自乗以髙六尺再乗得数为三率求得四率即尖圆体之积也
【一率一○○○○○○○○ 二率二六一七九九三八八三率二一六 四率五六五四八六六七八○八】
设尖圆体底周二十二尺自尖至底周之斜线五尺求中垂线之髙几何
法以底周二十二尺求得底径数折半得半径为勾以自尖至底周之斜线五尺为求得股数即中垂线之髙也
【三尺五寸六分九厘三豪三丝三忽有余即中垂线之髙】
设圆球径二尺问外面积几何
法以圆球径二尺求得周数与径二尺相乗得数即圆球之外面积也
【一十二尺五十六寸六十三分七十厘有余即圆珠外面积】
设圆球径一尺二寸问积几何
法以圆球径一尺二寸求得圆面积数以圆球径一尺二寸乗之得数为长圆体积三归之得数倍之即圆球之体积也
又法以圆球径一尺二寸求得圆球之外面积数以半径六寸乗之得数三归之即圆球之体积也
又法用方积一○○○○○○○○为一率球积五二三五九八七七五为二率现设之圆球径一尺二寸自乗再乗得数为三率求得四率即圆球之体积也【一率一○○○○○○○○ 二率五二三五九八七七五 三率一七二八 四率九○四七七八六八三】
又法以圆球径一○○○○○○○○为一率正方边八○五九九五九七为二率现设之圆球径一尺二寸为三率求得四率数为与圎球积相等之正方体每边之数自乗再乗即圆球之体积也
又法以二十一分为一率十一分为二率现设之圆球径一尺二寸自乗再乗得数为三率求得四率即圆球之体积也
设圆球积六尺问径几何
法以球积一○○○○○○○○ 为一率方积一九○九八五九三一七为二率现设之圆球积六尺为三率
求得四率数为与圆球径相等之正方边之正方体积开立方即得圆球之径也
【一率一○○○○○○○○ 二率一九○九八五九二一七 三率六 四率一一四五九一五五九】
【○二】
又法以方边一○○○○○○○○为一率球径一二四○七○○九八为二率现设之圆球积六尺开立方得数为三率求得四率即圆球之径也
【一率一○○○○○○○○ 二率一二四○七○○九八三率一八一七一二○ 四率二二五四五○二】
设撱圆体大径六寸小径四寸问积几何
法以小径四寸求得圆面积数以大径六寸乗之得数为长圆体积三归之得数倍之即撱圆体之积也
又法以小径四寸自乗得数以大径六寸再乗得数为长圆方体积乃以方积一○○○○○○○○为一率球积五二三五九八七七五为二率现得之长方体积为三率求得四率即撱圆体之积也
【一率一○○○○○○○○ 二率五二三五九八七七五 三率九六 四率五○二六五四八二】设撱圆体积五十寸大径比小径多二寸问大小径各几何
法以球积一○○○○○○○○为一率方积一九○九八五九三一七为二率现设撱圆体积五十寸为三率求得四率为长方体积乃以大径比小径多二寸为长圆与濶之较用带一纵开立方法算之得濶数即撱圆体之小径加大径比小径多二寸即撱圆体之大径也【五寸九分九厘二毫大径】
【一率一○○○○○○○○ 二率一九○九八五九三一七 三率五○四率九五四九二九六五八五○】
设上下不等圆面体上径四尺下径六尺髙八尺问积几何
法以上径四尺求得上圆面积又以下径六尺求得下圆面积又以上径四尺与下径六尺相乗得数开方得中径用径求圆面积法求得中圆面积数三数相并与髙八尺相乗得数三归之得一百五十九尺一百七十四寸二十七分四百六十六厘有余即上下不等圆面体之积也
又法以上径四尺与下径六尺相减余二尺折半得一尺为一率髙八尺为二率下径六尺折半得三尺为三率求得四率二十四尺为上下不等圆面体上补成一小尖圆体之共髙乃以下径六尺求得圆面积数与所得共髙数相乗得数三归为大尖圆体之积又以髙八尺与共髙二十四尺相减余数为上尖圆体之髙以上径四尺求得圆面积与上髙数相乗得数三归之为上小尖圆体之积与大尖圆体积相减余即上下不等圆面体之积也
又法以正方体积一○○○○○○○○为一率圆面体积七八五三九八一六三为二率上径四尺自乗下径六尺自乗上下径相乗三数相并以髙八尺乗之得数三归之成上下不等正方体积为三率求得四率一百五十九尺一百七十四寸二十七分七百零一厘有余即上下不等圆面体之积也
【一率一○○○○○○○○ 二率七八五三九八一六三 三率二○二六六六六六六六六 四率一五九一七四○二七七○一】
又防法以一○○○○○○○○为一率二六一七九九三八八为二率上径四尺自乗下径六尺自乗上下径相乗三数相并以髙八尺乗之得数为三率求得四率即上下不等圆面体之积也
设上下不等撱圆面体上大径四尺小径三尺下大径八尺小径六尺髙十尺问积几何
法以上大径四尺与上小径三尺相乗得十二尺以下大径八尺与下小径六尺相乗得四十八尺又以上大径四尺与下小径六尺相乗下大径八尺与上小径三尺相乗共得四十八尺折半得二十四尺三数相并得八十四尺乃以方积一○○○○○○○○为一率圆积七八五三九八一六三为二率三数相并为三率求得四率数与髙十尺相乗得数三归之即上下不等撱圆面体之积也
又防法以一○○○○○○○○为一率一三○八九九六九四为二率以上大径四尺倍之加下大径八尺共十六尺与上小径三尺相乗得四十八尺以下大径八尺倍之加上大径四尺共二十尺与下小径六尺相乗得一百二十尺两数相并以髙十尺乗之得数为三率求得四率即上下不等撱圆面体之积也
设截球体一段髙二寸底径九寸六分问积几何
法以髙二寸为首率底径九寸六分折半为中率求得末率一尺一寸五分二厘为圆球之截径加髙二寸为
圆球之全径折半为圆球之半径又以髙二寸为勾底径折半为股求得五寸二分作平圆半径用求圆面积法求得平圆面积数即为截球体一段之外面积与圆球半径六寸七分六厘相乗得数三归之余为自圆球中心所分球面尖圆体积又以截球体底径九寸六分用求平圆面积法求得截球体之底面积数于圆球半径六寸七分六厘内减去截球体之髙二寸余数与截球体之底面积数相乗得数三归之余为自圆球中心至截球体底径所分平面尖圆体积与球面尖圆体积数相减余即截球体一段之积也
【七十六寸五百七十一分八百八十厘有余即截积数】
设空心圆球积二千寸厚三寸问内外径数各几何
法以球积一○○○○○○○○为一率方积一九○九八五九三一七为二率现设之空心圆球积二千寸为三率求得四率为空心正方体积乃用算空心正方体法以厚三寸自乗再乗得二十七寸八因之得数与所得空心正方体积数相减余数六归之得数用厚三寸除之得内径相乗长方面积数乃以厚三寸倍之得六寸为长濶之较用带纵较数开平方法算之得濶一尺一寸四分六厘三毫九丝七忽有余即空心圆球内径加较六寸即空心圆球外径也
【一率一○○○○○○○○二率一九○九八五九三一七 三率二○○四率三八一九七一八六三四】
设圆窖一座周二十四尺髙十尺问盛米若干
法以周二十四尺求得圆面积数与髙一丈相乗得数为圆窖之积数乃以米一石积数定率二千五百寸为一率一石为二率圆窖体积四百五十八尺三百六十六寸二百二十分有余为三率求得四率一百八十三石三斗四升六合四勺有余即所盛之米也
【一率二千五百寸 二率一石 三率四百五十八尺三百六十六寸二百二十分有余 四率一百八十三石三斗四升六合四勺有余】
设圆窖一座盛米一百六十石髙十尺问周径各几何
法以米一石为一率一石积数二千五百寸为二率盛米一百六十石为三率求得四率四百尺为圆窖之积数以髙十尺除之得四十尺为圆窖之面积乃以圆积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九
五四为二率现得之圆窖面积四十尺为三率求得四率五十尺九十二寸九十五分八十一厘六十毫有余开平方得七尺一寸三分六厘四毫九丝有余即圆窖之径数再用径求周法求得周二十二尺四寸一分九厘九毫四丝有余即圆窖之周数也
【一率一○○○○○○○○二率一二七三二三九五四 三率四○四率十五○九二九五八一六○】设积米一堆髙五尺底周十四尺问米数几何
法以底周十四尺求得圆面积数为尖圆堆之底面积
与髙五尺相乗得数三归之为尖圆堆之积数乃以米一石积数二千五百寸为一率一石为二率现得之尖圆堆之积数二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十厘有余为三率求得四率一十石零三升九合八勺一杪有余即所堆之米数也
【一率二五 二率一 三率二五九九五三○六八二 四率一○三九八一】
设倚壁积米一堆髙四尺底周六尺问米数几何
法以底周六尺为半周倍之为全周以周求得圆面积数折半为倚壁尖圆堆之底面积以髙四尺乗之得数三归之为倚壁尖圆堆之积数以米一石积数二千五百寸为一率一石为二率现得之倚壁尖圆堆之积数七尺六百三十九寸四百三十六分有余为三率求得四率三石零五升五合七勺七杪有余即倚壁所堆之米数也
【一率二五 二率一 三率七六三九四三六 四率三○五五七七】
设倚壁内角积米一堆髙五尺周一十二尺问米数几何
法以周一十二尺四因之得四十八尺为全周以周求
得圆面积数四归之为倚壁内角尖圆堆之底面积与髙五尺相乗得数三归之为倚壁内角尖圆堆之积数乃以米一石积数二千五百寸为一率一石为二率现得之倚壁内角尖圆堆之积数七十六尺三百九十四寸三百七十分为三率求得四率三十石零五斗五升七合七勺有余即倚壁内角所堆之米数也
设倚壁外角积米一堆髙六尺底周三十三尺问米数几何
法以周三十三尺三归四因得四十四尺为全周以周求得圆面积数四归三因得数为倚壁外角尖圆堆之底面积以髙六尺乗之得数三归之即倚壁外角尖圆堆之积数乃以米一石积数二千五百寸为率一石为二率现得之倚壁外角尖圆堆之积数二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十厘有余为三率求得四率九十二石四斗三升七合一勺八杪有余即倚壁外角所堆之米数也
【一率二五 二率一 三率二三一九二九七二八八四率九二四三七一八】
各等面体
设四面体每边一尺二寸求积几何
法以每边一尺二寸为每边折半得六寸为勾求得股数为每一面之中垂线与每边一尺二寸相乗折半为每一面之面积又以每边一尺二寸为每一面之中垂线取其三分之二为勾求得股数为四面体自尖至底中心之立垂线或以每一面之中垂线数为每一面之中垂线取其三分之一为勾亦得股为四面体自尖至底中心之立垂线以此立垂线与每一面之面积数相乗三归之得二百零三寸六百四十六分七百三十七厘有余即四面体之积也
又求自尖至底中心之立垂线防法以每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸三归二因得九十六寸开平方即得自尖至底中心之立垂线
又以正方体积一○○○○○○○○为一率四面体积一一七八五一一二九为二率现设之四面体之每边一尺二寸自乗再乗为三率求得四率即四面体之积也
【一率一○○○○○○○○ 二率一七八五一一二九三率一七二八 四率二○三六四六七五 ○】设四面体体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘问每边数几何
法以四面体积一 一七八五一 一二九为一率正方体积一○○○○○○○○为二率现设之四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即四面体之每一边也
【一率一一七八五一一二九 二率一○○○○○○○○ 三率二○三六四六七五○ 四率 一七二八】
又法以正方体之每边一○○○○○○○○为一率四面体之每边二○三九六四八九○为二率现设之四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘开立方得五寸八分八厘三毫三丝六忽五微有余为三率求得四率一尺二寸即四面体之每一辶也
【一率一○○○○○○○○ 二率二○三九六四八九○三率二○三六四六七五○ 四率一二】设八面体每边一尺二寸求积几何
法以八面体分作二尖方体算之将每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为二尖方体之共底面积又以每边自乗之一尺四十四寸倍之开平方得一尺六寸九分七厘零五丝六忽二微有余为二尖方体之共髙即八面体之对角斜线以此斜线与二尖方体之共底面积一尺四十四寸相乗三归之得八百一十四寸五百八十六分九百七十六厘有余即八面体之积也又法以正方体积一○○○○○○○○为一率八面体积四七一四○四五二一为二率现设之八面体之每边一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率八百一十四寸五百八十七分一十二厘有余即八面体之积也
【一率一○○○○○○○○ 二率四七一四○ 四五二一 三率一七二八 四率八一四五八七○一二】设八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘问每边之数几何
法以八面体积四七一四○四五二一为一率正方体积一○○○○○○○○为二率现设之八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即八面体之每一边也
【一率四七 一 四○四五二一 二率一○○○○○○○ ○ 三率八一四五八七○一二 四率一七三八】
又法以正方体之每一边一○○○○○○○○为一率八面体之每边一二八四八九八二九为二率现设之八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘开立方得九寸三分三厘九毫二丝六忽有余为三率求得四率一尺二寸即八面体之每一边也
【一率一○○○○○○○○ 二率一二八四八九八二九 三率九三三九二六 四率一二】设十二面体每边一尺二寸求积几何
法以十二面体分作十二五角尖体算之将每边一尺二寸求得五等边形之分角线为一尺零二分零七毫八丝零九微有余自中心至每边之垂线为八寸二分五厘八毫二丝九忽一微有余面积为二尺四十七寸七十四分八十七厘三十毫有余乃用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率现设之每邉一尺二寸为三率求得四率一尺九寸四分一厘六毫四丝零七微有余为每一面两角相对之斜线又用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率现得之每一面两角相对之斜线折半得九寸七分零八毫二丝零三微有余为三率求得四率一尺五寸七分零八毫二丝零二微有余为十二面体之中心至每边正中之斜线乃以此斜线为每一面中心至边之垂线八寸二分五厘八毫二丝九忽一微有余为勾求得股一尺三寸三分六厘二毫一丝九忽六微有余为十二面体之中心至每一面中心之立垂线以此立垂线与每一面积二尺四十七寸七十四分八十七厘三十毫有余相乗三归之得一尺一百零三寸四百八十九分零二十九厘有余为一五角尖体积十二因之得一十三尺二百四十一寸八百六十八分三百四十八厘有余即十二面体之总积也
【一率六一八○三三九九 二率一○○○○○○○○ 三率一二 四率一九四一六四○七一率六一八○三三九九 二率一○○○○○○○○ 三率九七○八二○三 四率一五七八○八二○二】
又法以正方体积一○○○○○○○○为一率十二面体积七六六三一一八九○三为二率现设之十二面体之一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘有余即十二面体之积也
【一率一○○○○○○○○ 二率七六六三一 一八九○三 三率一七二八 四率一三二四一 八六九四六四】
设十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘求每边数几何
法以十二面体积七六六三一 一八九○三为一率正方体积一○○○○○○○○为二率现设之十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即十二面体之每一边也
【一率七六六三一一八九○三二率一○○○○○○○○ 三率一三二四一八六九四六四 四率一七二八】
又法以正方体之每边一○○○○○○○○为一率十二面体之每边五○七二二二○七为二率现设之十二面体积开立方得数为三率求得四率即十二面体之每一边也
设二十面体每边一尺二寸求积几何
法以正方体积一○○○○○○○○为一率二十面体积二一八一六九四九六九为二率现设之二十面体之每边一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率三尺七百六十九寸九百六十八分九百○六厘有余即二十面体之积也
【一率一○○○○○○○○ 二辛二一八一六九四九六九 三率一七二八 四率三七六九九六八九○六】
又法以二十面体之每边七七一○二五三四为一率正方体之每边一○○○○○○○○为二率现设之二十面体之每边数为三率求得四率为与二十面体积相等之正方体每邉之数自乗再乗即二十面体之积也
【一率七七一○二五三四 二率一○○○○○○○○ 三率一二 四率一五五六三六九】设二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘求每边数几何
法以二十面体积二一八一六九四九六九为一率正方体积一○○○○○○○○为二率现设之二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即二十面体之每一边也
【一率二一八一六九四九六九 二率一○○○○○○○○ 三率三七六九九六八九○六 四率一七二八】
又法以正方体之每边一○○○○○○○○为一率二十面体之每邉七七一○二五三四为二率现设之二十面体积开立方得数为三率求得四率即二十面体之每一边也
【一率一○○○○○○○○ 二率七七一○二五三四 三率一五五六三六九 四率一二】
庄氏算学卷四
钦定四库全书
庄氏算学卷五
淮徐海道庄亨阳撰
中西笔算
度量权衡
度法
丈 尺 寸 分 厘 毫 丝 忽 微 纎 沙尘埃 漠 模糊 逡巡 须防 瞬息 弹指刹那 六徳 虚空 清浄【俱逓以十析】
量法
石 斗 升 合 勺 撮 抄 圭【俱逓以十析】 粟【六粟为圭】
权衡
两 钱 分 厘 毫 丝 忽【俱逓以十析忽以下并与度法同】凡丈 石 两以上则为十 百 千 万【逓増十倍】 亿兆 京 垓 秭 穰 沟 涧 正 载 极
恒河沙 阿僧秖 那由他【不可思议无量数亿以下俱逓増万倍】
田法
顷【百畆为顷】畆【二百四十步为一畆】分【二十四步为分】步【方五尺为步】
斤法
斤【十六两为一斤】两【以下俱与权衡同】
里法
里【三百六十步为一里计一百八十丈】
厯法
周天【十二宫为周】宫【三十度为宫】度【六十分为度】分 秒 微 纎忽 芒 尘【俱逓以六十析】
日时
日【十二时又为二十四小时】时【八刻又为二小时】刻【十五分】分以下俱与前同
石法
石【积二千五百寸即正方一尺髙二尺五寸此系旧法如以尺度较仓积先将现用斗较准然后用为比例方得宻合也】
命位
凡数视所命单位为本如度法命丈为单位则尺寸分厘皆为竒零命尺为单位则寸以下为竒零而丈则进而为十若命寸为单位则分以下为竒零而尺则进而为十丈则进而为百量法命石为单位则斗升合勺皆为竒零命斗为单位则升以下为竒零而石则进而为十若命升为单位则合以下为竒零而斗则进而为十石则进而为百衡法命两为单位则钱分厘毫皆为竒零命钱为单位则分以下为竒零而两则进而为十若命分为单位则厘以下为竒零而钱则进而为十两则进而为百故凡列数单为一位十为二位百为三位千为四位万为五位如有数一万二千三百四十五则以单位为末向前列之共有五位即知此数首位是万矣至于厯法宫度分秒日时刻分之定位则每项命两位如宫曰几十几宫度曰几十几度分曰几十几分之类葢因秒以六十而进分分以六十而进度度以三十而进宫故常列一位即命一等者宫度时刻则两位命为一等而每一等有十单之列焉此又命位之最要者也
加法
加者命众数而总成也葢数始于一终于九至十又复为一等而上之十百千万以至亿兆京垓皆得名之为一即皆自一而加者也今自一位言之有自一至九之数合前后之位言之有单十千万之等先自单数加起成十则进前一位仍为一以单数纪本位下挨次并之即得总数若夫宫度时刻斤两之数则不以十进必足所命之分始进一位
减法
减者较众数而得余也凡以少减多以小减大原有之数书于上应减之数书于下横列必对其位相减必从其类【如千减千百减百之类】如或下数大于上数不足减则借前之一以减本位【加法由后而进前减法则借前而退后其理一也】前位作一防以志之既得本位则前位所借之一并于前数而为减数然数相减必先辩其多寡首位必大于减数始可其定位亦然原列之次为减余位
因乗
因乗者生数也以数生数有生生不已之义焉凡有几数彼此按次加之为得总数然所加之次数多则必至于繁而无统此因乗之所以立也因者一位相因而得如二因三而成六四因二而成八也乗者多位相乗而得如两位以上则各以每位所因之数而又层累以积之也其法以原数为实乗数为法实列于上法列于下必使法实相当【如千对千百对百十对十单对单之类】按法乗实合而加之为所得数定位之法视其法实所命之单位后有竒零与否如无竒零则实中所命之单位相对即法尾之数若有竒零则法实相乗者法实之一位统得数之二位【如单位后竒零有一位则截得数之二位竒零有二位则截得数之四位向前为单位纪之】法实相乗再以法乗者【即自乗再乗也】法实之一位统得数之三位【如单位后竒零有一位则截得数之三竒零有二位则截得数之六位向前为单位纪之】是故得数以一位论者则为单十百千之类以两位论者则为自乗之类以三位论者则为自乗再乗之类错综交互用法不一必须临题详审求其无误始为得之具见设如于左
开平方法
平方积者两数相乗所得之数也开之之法每方积二位得方边一位
法以自乗数与方根相商以相合者即定为初商书于积之上而以自乗之数书于初商积之下爰以方边末位积数续书于下为次商亷隅之共积乃以初商之数倍之为亷法以除余积足几倍即定次商为几倍书于方积之上而以次商数为隅法与亷法数相加得数为亷隅共法书于余积之左以次商数乗之得数与次商亷隅共积相减减尽则已如有余数又为第三位以后积数商开之法与次商同
开带纵平方法
较法
法以縦方积四因以较自乗二数相加以开平方法开之得边总加较折半为长减较折半为濶也
又法以纵多折半自乗与原积相加以开平方法开之得数为半和于半和较减半较得濶于半和加半较得长也
较数纵平方有较无长濶和故四因积数与较自乗数相加得长濶和积开方为长濶和
和数纵平方有长濶和无长濶较故用和自乗得和积与四因积相减余数为较积开平方为长濶较
总之有长濶和有较者于和内加较折半为长减较折半为濶其理同也
和法
法以纵方积数四因以和自乘得数减去四因之数以开平方法开之即长濶相较之数以较数与和数相加折半为长减较即濶也
又法以和数折半为半和自乗与原积相减以开平方法开之得数为半较于半和减半较为濶于半和加半较为长
开立方法
立方者自乗再乗所得之数也有正方体之积数而求其每一边之数也每积数三位得边数一位其体形有初商之一大正方【此为自一至九自乗再乗数】为首位用各数自乗再乗为首位积以减通积余数为次位以后积数次位积形为磬折体包大方之三面故有三平亷其边与大方等其厚与次商数等有三长亷其长与大方等其寛厚皆与次商数等有一小隅系次商自乗再乗之数法以初商数自乗相因为三平廉面积与余积相商约得几倍【用为少之数】即定次位为几数然后以次商数与初商数相乗三因为三长亷面积又以次商自乗为小隅面积三数相并为平亷长亷小隅之共面积再以次商数乗之为磬折形通积以减余积减尽则止如有余数又为第三位以后积数开之之法与次商同
开平方者有正方面之积数而求其每一边之数也每积二位得方边一位以纵横之积数能至十倍故也法以各数自乗之数除首位积其余数为第二位以后积数次以首位数加倍为亷法以商余积得几倍即定次位为几数并以此数为隅法然后以第二位数与亷法隅法相乗以减余积减尽则止再有不尽之数又为第三位积数照前商除其法皆同
田地顷畆分法
纵横方五尺为一步二百四十步为一畆一百畆为一顷凡地纵横相乗得积步得积步以二百四十步除之得畆数再二十四步为一分除不尽者为零若干步凡得积丈以六十除之得畆数【每边数一丈得积四步】再六丈为一分除不尽者为零若干丈尺
正比例
以原有之两数及现有之一数而求所不知之一数也其法以原有为两数为一率二率以现有之一数为三率二率三率相乗一率除之得四率为所求三率与一率同类四率与二率同类
庄氏算学卷五
钦定四库全书
庄氏算学卷六
淮徐海道庄亨阳撰
比例十法
一法正方
边求积【设正方边五十步问积数若干】
法以方边五十步自乗得二千五百步即正方积如系田地则以畆法二百四十除之得畆数二十四步为一分满一百畆为顷凡面积皆同
积求边
即开平方法
方求斜【设正方边五十尺求对角斜线】
法以方边五十尺自乗得二千五百尺倍之得五千尺开方得七十尺七寸一分○六毫有余即对角斜线又倍积求边与此法同
斜求方【设对角斜线五十尺求正方边】
法以对角斜线五十尺自乗得二千五百尺折半得一千二百五十尺开平方得三十五尺三十五分五厘三毫有余即正方边○又正方积折半求方边与此法同
四倍积求边
法以方边数加倍即得
二法长方
边求积【设濶八尺长十二尺求长方积】
法以濶八尺与长十二尺相乗得九十六尺即长方面积
积求边
有长濶较或长濶和者用开带纵平方法算之有濶边者以濶数除积得长边有长边者以长数除积得濶边
更面【设长方形长十二尺濶八尺今将长积倍之仍与原长方同式问得长濶各几何】
法以濶八尺自乗得六十四尺倍之得一百二十八尺开方得一十一尺三寸一分三厘有余即所求之濶乃以原濶八尺为一率原长十二尺为二率今濶一十一尺三寸一分三厘为三率得四率一十六尺九寸七分有余即所求之长
三法斜方形【有两直角】
有边求积
法以上濶二十丈与下濶二十八丈相加得四十八丈折半得二十四丈与长五十丈相乗得一千二百丈即斜方形积数
有积数有长有上下两濶较求上下濶