御制数理精蕴卷二十四
右例以原乗数减一数为除法亦不必求原乗数而减之但以衰分之数多少相减减余以少数除之即得除法【假如三七衰分三七相减余四以三除四得一又三之一十分之六衰分十六相减余四以六除四得三之二与原乗数减一数同 右一条新订】
减半二八四六三七十分之六各衰分求隔等数不论几乗加但知首等最少之数再知中间一等之数即可隔等而求之假如知首等数与第六等数者第六等数已经五度加矣则以此数自乗以首等数除之即得十度加之数【倍五为十也凡自乗者以倍相求 十度加乃是第十一等】若以六度加之数【第七等】自乗以首等数除之即得十二度加之数【第十三等】若以五度加六度加之数相乗以首等数除之即得十一度加之数【五六并为十一也凡二等数相乗者并而求之 十一度加是第十二等】若以三度加【第四等】八度加【第九等】之数相乗以首等数除之亦得十一度加之数此谓以少求多者或以多求少如以十六度加之数【第十七等】以首等数乗之开方除之即得八度加之数亦可以十六度加之数以首等数乗之以十度加之数除之得六度加之数葢取以少求多之法而反用之即是也【右一条新订】
右求总实求隔等数二法凡三乗加五乗加及十分之七之八之九诸数递减衰分准此推之无不悉合但必每等止一人者乃可用耳又如商贩获息当母二之一并入母银又获息每度皆同此亦一又二之一乗加也但每度加之数俱合子母而言则当以最后一度之数为总实不得并诸度之数为总实且首一数即系原母则一度自有一度之加与甲乙分金十等人止须九度加者亦微有辨也
合率衰分 率者衰分多寡之大率也【与三率之率自不相涉各有取义也】葢衰分各等之实数有所未知而各等之大率已知因合各率以与总实相权而衰分得焉不计其合未有能分者也然则以前诸法无非合率衰分而此独以合率名者何也前诸法若三七若四六皆有准则固宜各有専名而如左法各等多寡之率初不以三七四六为准乃不可専名而独名之合率也各率为各衰并之为总衰乗除如前假如有银二百四十两甲乙丙丁四人分之甲得九分乙得七分丙得五分丁得四分则甲衰九乙衰七丙衰五丁衰四并之为二十五为总衰也其各等中又各有数不齐者亦依前法兹仍具例于左以备参观
假如有银七两零八分欲买铜一停锡二停铅三停其价铜每斤一钱八分锡一钱三分铅五分问三物各几何
一率 五十九【总衰 一铜价二锡价三铅价并】
二率 七百零八【总价 一率除二率得一十二】
三率 一【铜衰】 二【锡】 三【铅】
四率 一十二【铜斤数】二十四【锡】 三十六【铅】
右总衰总价俱化两钱为分者既得三物斤数各以价乗之得各总价数或以铜总衰一十八分锡总衰二十六分铅总衰一十五分为三率即先得各总价乃各以价除之亦得各斤数
又如有银五百九十四两籴米一停麦二停豆三停共三百九十六石其价米一石抵麦一石六斗抵豆二石问三物及价各几何此须用重测法先以米衰一麦衰二豆衰三并之得六为总衰为一率三物共石数为二率各衰为三率求得三物各石数【米六十六麦一百三十二豆一百九十八】然后别求各价其法置三物停数以三物相当抵之数乗除之或益贵物以从贱则用乗或减贱物以从贵则用除以为各衰仍并之为总衰为一率三物共价为二率各衰为三率求得三物各总价乃以前所求三物各石数除之即得每石价【米二两四钱麦一两五钱豆一两二钱】
一率 三又四之三【总衰】
二率 五百九十四【总价两数 一率除二率得一百五十八又五之二】三率 一【米衰】 一又四之一【麦】 一又二之一【豆】四率 【一百五十八 一百九十 二百三十七两四钱米 八两麦 两六钱豆】右以米为主而减麦与豆以从之米衰一得一麦衰二以一又五之三除之【即一六也米一抵麦一六故】得一又四之一豆衰三以二除之【米一抵豆二故】得一又二之一并之得三又四之三
又式
一率 七又二之一【总衰】
二率 五百九十四【总价 一率除二率得七十九又五之一】
三率 二【米衰】 二又二之一【麦】 三【豆】
四率
右以豆为主而益米与麦以从之豆衰三得三米衰一以二乗之得二麦衰二以一又五之三除之【先除以从米】再以二乗之【次乗以从豆】得二又二之一并之得七又二之一
又式
一率 六【总衰】
二率 五百九十四【总价 一率除二率得九十九】
三率 一又五之三【米衰】二【麦】二又五之二【豆】四率
右以麦为主而益米减豆以从之麦衰二得二米衰一以一又五之三乗之得一又五之三豆衰三以二除之【先除以从米】次以一又五之三乗之【次乗以从麦】得二又五之二并之得六
右例或不复用米一麦二豆三等衰但就三物各石数而取一数为主其余则益贵减贱以从之为总衰以除总价即得其物每石之价依法复损益之得余二物每石之价如以米为主米六十六麦一百三十二以一又五之三除之得八十二又二之一豆一百九十八以二除之得九十九并之得二百四十七又二之一以除总价得二两四钱即米每石价也仍以一又五之三除之得麦价以二除之得豆价若以麦豆为主法并仿此【右一条新订】
合率带分母子衰分 合率衰分其间等差各带母子分数者自有带分之法假如有银七百九十五两甲乙丙丁四人分之乙得甲十之七丙得乙十四之三丁得丙十二之十一问各实数几何其法先并各衰分数并各子以乗各母从小数并起惟丁衰十一无并其丙衰系十二又系三则以十二并三用三除十二得四即以四乗乙之十四得五十六为乙衰乙系五十六又系七则以五十六并七用七除五十六得八即以八乗甲之十得八十为甲衰并之得一百五十九为总衰
一率 一百五十九【总衰】
二率 七百九十五【总银 一率除二率得五】
三率 八十【甲衰】五十六【乙】十二【丙】十一【丁】
四率 四百 二百八十 六十 五十五右法或遇不可并者如云丁得丙十三之十一则丙衰系十三又系三欲以十三并三用三除十三除之不尽即不用除却以十三乗乙之十四得一百八十二为乙衰依法推得二百六十为甲衰其丙之十三丁之十一转须用三乗之以为衰丙得三十九丁得三十三也
合率带分匿总实以较求衰分 假如四人分银不知总实但云乙得甲六之五丙得甲四之三丁得甲二十四之一十七其丙与丁差四两问各几何此三母皆甲也用并母法累乗得五百七十六为甲衰乃以乙丙丁之原子乗之原母除之以求其子而得四百八十为乙衰四百三十二为丙衰四百零八为丁衰以丙丁二衰之较为一率丙丁之较为二率各衰为三率【不用约法览之易晓】
一率 二十四
二率 四
三率 五百七十六【甲】四百八十乙四百三十二【丙】四百八【丁】四率 九十六 八十 七十二 六十八右例带分与前例母子不同其法互见而可相通前亦可以较求分此亦可以总实求分也又凡以前诸衰分法若匿其总实任举一等所得之数或两等所差之数皆可仿二例而求之
合率带分匿总实以余实求分 假如四人分银不知总实但云甲得八之三乙得四之一丙得五之一丁得六之一尚余五两问各几何此四母皆银也用并母法得九百六十为总衰乃以甲乙丙丁之原子乗之原母除之而得三百六十为甲衰二百四十为乙衰一百九十二为丙衰一百六十为丁衰以四衰减总衰余八为余银之衰为一率余银为二率各衰为三率【率式不赘但求得总实即得各分数矣】
右例四母皆据总实言之故可以余实求总实求分若以前诸衰分法不可以余实求也
右例亦可任举两等所得之较以求之【又右二例俱可用借征法葢用并分法亦借衰也】
一数递加减衰分以等求总实【与一分递加减相类而不同者一分为不定之数一数则一而已又自此以下及同较衰分共十法皆谓每等只一人者与以前诸法自别】凡一数递加自一而二而三四此不难于衰分须求总实防法耳假如欲分十五等问总实几何法以首等一【以少者为首】并末等十五【等十五则末等所得数亦十五也】得十六以等数乗之折半得一百二十为总实又如有物倚墙一面尖堆下广二十四枚以首层一并下层二十四得二十五以层数【即下广数】乗之折半得三百为总积【前一分递加法若每等只一人者亦可用此以求总实但依法所得数须更以较数乗之方得总实若未经较数相乗止得总衰而非总实也假如每一分银四两递加分十五等依法得一百二十为总衰更以每等之较四乗之得四百八十为总实也】
一数递加减衰分以总实求等 假如总实一百二十以一数递加分之得几等法倍实开方除之得十五而余实亦十五即十五是等数又如总积物三百欲作倚墙一面尖堆倍积开方得二十四而余实亦二十四即二十四是下广数【前一分递加法若每等只一人者亦可用此以求等数但须先以每等之较数为法除实而后依上法求之假如银四百八十两每一分四两递加分之则先以较四除实得一百二十乃依法求得十五为等数也】
右二法谓首等数起于一者故比之倚墙一面尖堆若不从一数起即各等俱以一数递加但谓之同较衰分不在此例如倚墙一面平堆每层亦俱较一而当依同较衰分法也【前一分递加衰分亦谓首等所得之一分同于各等所差之一分也如其不然即是同较衰分矣】
又右二法不可用之同较衰分而下同较诸法【凡七法】则可用之一数递加衰分也【亦可用之一分递加之每等只一人者 右一条新增】
同较衰分【不论较数几何但甲乙之较乙丙之较丙丁之较各等俱同者是也】
假如总实九十九作十一等分之各等俱较一数问各几何法以等数减一存十与等数相乗折半得五十五以较一乗之仍得五十五【较一则乗犹不乗也而于法不可无此一乗者为较不止于一者而设也】以减总实余四十四以等数除之得四为首等数或以并总实得一百五十四以等数除之得十四为末等数余以次推之
同较衰分以等及较与首数求尾数与尾数求首数求总实 如前例十一等每等各较一法以等数减一存十以较一乗之仍得十并首数四得尾数减尾数十四得首数并首尾数以等数乗之折半得总实
同较衰分以较与首尾数求等求总实 法以首尾数相减得首尾较以较除之加一数得等数如前法求总实
同较衰分以总实及较与首尾和求等求分 法以首尾和折半为法除总实得等数即以等数减一乗较数得首尾较和较相减半之得首数相并半之得尾数
同较衰分以总实及等与首尾较求较求分 法倍总实以等数除之得首尾和如前法求之再以等数减一除首尾较得各较
同较衰分以总实及等与首几等和或尾几等和求较求分【言或者首尾不必并举】法以带和之等数乗总实以全等数除之【所得数乃首尾几等应得均平之数也因衰分而多少不均近尾者必盈近首者必不足而此盈彼不足其数必相当故下但云与和相减而不必问其首尾也】与和数相减减余以带和之等数折半为法除之再以全等数减带和等数为法除之得各较【右一条新增】
同较衰分以等与首几等和尾几等和求较求分求总实 假如甲乙丙丁戊己庚辛八人分银甲乙丙三人共一百一十一两庚辛二人共四十一两问各较几何各分几何总实几何法以三互乗四十一得一百二十三以二互乗一百一十一得二百二十二相减余九十九又以二三相并得五折半为二又二之一以减人数总八余五又二之一又以二三相乗得六以乗五又二之一得三十三为法以除九十九得三为各较数乃以甲乙丙和三除之得乙数加较得甲数减较得丙数或以庚辛和并较半之得庚数减较半之得辛数次求丁戊已数并八数为总实【右例但取首尾并举而或举首尾各二人或各三人或各四人或首三人尾五人或首七人尾一人任意多寡于法皆通即总数满百人而但举首尾两三人亦无不可也】
同较衰分令多寡齐数法 假如有银二百七十两作甲乙丙丁戊五等分之甲乙二人数与丙丁戊三人数齐问各几何法如一分递加减列衰甲五乙四丙三丁二戊一乃并甲乙衰得九并丙丁戊衰得六相减较三以二人三人相减之较一为法除之仍得三【较一则亦不必除而言除者为较有不止于一者也】却于五等衰各加三数为各衰并之为总衰列三率求之
一率 三十【总衰】
二率 二百七十【总实 一率除二率得九】
三率 八【甲衰】七【乙】 六【丙】 五【丁】 四【戊】
四率 七十二 六十三 五十四 四十五 三十六又如有银七十两作甲乙丙丁戊已庚七人分之甲乙二人数与丙丁戊已庚五人数齐问各几何法列衰甲七乙六丙五丁四戊三已二庚一并甲乙衰得十三并丙丁戊已庚衰得十五相减较二而此乃五人之数多于二人与前二人之数多于三人者不同亦以二人五人相减之较三为法除之得三之二却于五等衰各减三之二为各衰并为总衰如前求之一率 二十三又三之一【总衰】
二率 七十【总实 一率除二率得三】
按一数递加一分递加衰分只三人甲数与乙丙数齐而余皆不能故此法独不可以相通也
同较衰分又法 前同较衰分八法皆谓每等只一人者据实与等与较及首尾数更互相求于法止可每等一人耳但欲衰分则虽每等之中复有人数多寡不齐非无法以分之 假如银三百二十四两甲乙丙丁四等人分之每等较三两甲等二人乙等四人丙等六人丁等十人问各几何法以较三乗乙四人得十二倍较为六乗丙六人得三十六三乗较为九乗丁十人得九十并之得一百三十八以并总实得四百六十二以甲乙丙丁总二十二人除之得二十一为甲等一人所得数递减较得各等数【右一条新增或以较三乗丙六人较六乗乙四人较九乗甲二人并得六十减总实得二百六十四除得十二为丁等数】
母子差分【此谓商贾以母银得息非带分之母子也】假如三商共得子银四百两甲母三百两经十个月乙母六百两丙母八百两俱不知月其子银则甲得二百两乙得一百二十两丙得八十两问乙丙出母银经几月
一率 二百【甲子】
二率 三千【甲母乗月数】
三率 一百二十【乙子】 八十【丙子】
四率 一千八百【乙母兼月数】 一千二百【丙母兼月数】各再以母除得月数乙得三丙得一又二之一
又如三商共得子银一百三十八两甲出母二百两经十二月乙母二百四十两不知月丙经十个月不知母其子银则甲得六十乙得四十八丙得三十问乙月丙母
一率 六十【甲子】
二率 二千四百【甲母乗月数】
三率 四十八【乙子】 三十【丙子】
四率 一千九百二十【乙母兼月数】一千二百【丙母兼月数
乙再以母除 丙再以月除得得八月 一百二十两】
又如三商共得子银一千五百二十两甲母一千八十两乙母三百六十两丙不知母其子银则丙得二百四十两问甲乙各子及丙母
一率 一千四百四十【甲乙共母】
二率 一千二百八十【总子减丙子得甲乙共子】
三率 一千八十【甲母】三百六十【乙母】
四率 九百六十【甲子】三百二十【乙子】
又
一率 一千二百八十【甲乙共子】
二率 一千四百四十【甲乙共母】
三率 二百四十【丙子】
四率 二百七十【丙母】
又如二商共得子银一百两甲母倍于乙外又一十五两其子银则甲得六十八两乙得三十二两问甲乙母各几何
一率 四【甲子倍乙外又盈此数】
二率 十五【甲母倍乙外又盈此数】
三率 六十八【甲子】 三十二【乙子】
四率 二百五十五【甲母】一百二十【乙母】
贵贱差分 法以贵价乗总物数与总价数相减余以贵贱价较数为法除之得贱物数或以贱价乗总物数与总价数相减余以价较数为法除之得贵物数假如米每石价二两麦每石价一两六钱总银七十四两买米麦共四十石问各几何法以米价乗总石数得八十减总价得六以米麦价较五分两之二为法除之得一十五是麦石数余为米石数或先求米石数亦可
又如上酒每斗价钱三百次酒每斗价二百二十今欲襍和二酒立价二百五十问一斗内上酒几何次酒几何法以上酒价减立价余五十以上次价较八十为法除之得八分斗之五为次酒余八分斗之三为上酒也或以次酒价减立价算之先得上酒数亦同
匿价差分 假如总银八百两买绫一百匹罗二百匹绢二百匹其价绫比罗每匹多六钱罗比绢每匹多八钱问三物各价几何法以罗二百匹乗罗绢价较得一百六十两以绫一百匹乗绫罗罗绢二价较得一百四十两并之得三百两以减总价得五百两以总匹数五百除之得一两为绢每匹价以次推得绫罗价或以罗二百匹乗绫罗价较得一百二十两以绢二百匹乗绫罗罗绢二价较得二百八十两并之得四百两以并总价得一千二百两以总匹数五百除之得二两四钱为绫每匹价又或先求罗价亦可又如米十四石麦十八石两总价适等但云米每石价多于麦三钱六分问二物各价几何法以米麦石数较四除价较得九分以麦数十八乗之得米每石价以米数十四乗之得麦每石价
又如金九块银十一块其总重适等交换一块则金轻十三两问金银各块重法以轻重较十三两折半得六两五钱以金银块数较二除之得三两二钱五分以银数十一乗之得金每块重以金数九乗之得银每块重【此与上米麦例同惟折半不同耳葢轻重交换较二实止较一故须折也】
襍差分法 假如出兵大小船数相等大船每三只载五百名小船每四只载三百名共载兵四千三百五十名问大小船各几只各总载兵几何
一率 二千九百【三只五百名四只三百名互乗并得兵数为兵总衰】
二率 一十二【三只四只相乗船数为大小船各衰】
三率 四千三百五十【总兵数】
四率 一十八【大小船各数】
次求大小船各总载兵数
一率 三 四
二率 五百 三百
三率 一十八 一十八
四率 三千【大船总载兵数】 一千三百五十【小船总载兵数】右例亦可先求大小船各总载兵数
一率 二千九百【三只五百名四只三百名互乗并得兵数为兵总衰】
二率 四千三百五十【总兵数】
三率 二千【四只互乗五百名为大船兵衰】 九百【三只互乗三百名为小船兵衰】
四率 三千 一千三百五十
次求大小船各数
一率 五百 三百
二率 三 四
三率 三千 一千三百五十
四率 一十八 一十八
又如出兵左右营兵数相等左营用大船每三只载五百名右营用小船每四只载三百名共用船一百七十四只问左右营兵各几何各总用船几只一率 二千九百【三只五百名四只三百名互乗并得船数约为二十九】二率 一十五万【五百三百相乗兵数约为一千五百 以百为通数】
三率 一百七十四【总船数】
四率 九千【左右营各兵数】
次求各总用船数
一率 五百 三百
二率 三 四
三率 九千 九千
四率 五十四【左营用大船数】 一百二十【右营用小船数】
右例亦可先求大小船各总数
一率 二千九百【三只五百四只三百互乗并得船数为船总衰约为二十九】二率 一百七十四【总船数】
三率 九百【三百互乗三只为大船衰约为九】 二千【五百互乘四只为小船衰约为二十】
四率 五十四 一百二十
次求各总载兵数
一率 三 四
二率 五百 三百
三率 五十四 一百二十
四率 九千 九千
又如犒师每二十四名给牛一头每五名给羊一头共用牛羊一千七百四十头问兵几何牛羊各几何一率 二十九【二十四名一头五名一头互乗并得牛羊数】
二率 一百二十【二十四名五名相乗兵数】
三率 一千七百四十【牛羊总数】
四率 七千二百【兵数】
次求牛羊各总数
一率 二十四 五
二率 一 一
三率 七千二百 七千二百
四率 三百【牛数】 一千四百四十【羊数】
右例初测第一率不必互乗直以五与二十四并得二十九再测不必列第二率直以二十四与五除兵数即得牛与羊各总数而立法必如是者葢此例与前二例本同一法若从简省乃似别为一法而学者反惑也
右例亦可先求牛羊各数
一率 二十九【如前互乗并得牛羊数为牛羊总衰】
二率 一千七百四十【牛羊总数】
三率 五【五名互乗一头为牛衰】二十四【二十四名互乗一头为羊衰】
四率 三百 一千四百四十
次求兵数如前二例不复赘 又按右例谓兵既给牛又给羊者不然则给牛之兵与给羊之兵数等者若两营兵一给牛一给羊牛羊数等而两营兵数不等乃举两营兵总数问两营各数及牛羊数【依上以一千七百四十为兵总数余并同】则以二十九为一率以一为二率【一与一相乗仍得一也】以一千七百四十为三率求得六十为四率为牛羊各数又或先求两营兵各数则以二十九为兵总衰为一率一千七百四十为二率二十四为给牛兵衰五为给羊兵衰为三率求得一千四百四十与三百为四率为给牛与给羊兵各数也防观前诸例其法自备不复详列
又如赏军毎马兵五名给防三匹毎歩兵四名给布六匹总计马歩兵共八千一百名给防布共九千匹问马歩兵各几何防布各几何此与前例不同葢马兵与步兵数既不等防与布数又不等也法以马兵五名防三匹歩兵四名布六匹互乗得数相减余一十八为法别以马兵五名防三匹马步总八千一百名防布总九千匹互乗得数相减余二万零七百以法除之得一千一百五十为步兵及布衰乃以步兵四名乗之得步兵总四千六百名以布六匹乗之得布总六千九百匹其余则马兵及防总数也或以步兵四名布六匹马步总八千一百名防布总九千匹互乗得数相减余一万二千六百以法除之得七百为马兵及防衰乃以马兵五名乗之得马兵总三千五百名以防三匹乗之得防总二千一百匹其余则步兵及布总数
又如大船四橹四桨小船二橹八桨今但见总作橹一百张桨二百零八张问大小船各几何法以四橹四桨二橹八桨互乗得数相减余二十四为法别以大船四橹四桨总一百橹二百零八桨互乗得数相减余四百三十二以法除之得一十八为小船数或以小船二橹八桨总一百橹二百零八桨互乗得数相减余三百八十四以法除之得一十六为大船数右例与前赏马步兵防布例同前马兵及防衰步兵及布衰在此即大小船各数也【右一条新订】
又如漏壶一具上有渇乌注水三时而满下有天池泄水八时而尽今且注且泄问几时可满一壶【法先求一时所注所泄之数】
一率 三时 八时
二率 一壶 一壶
三率 一时 一时
四率 三分壶之一【注】 八分壶之一【泄】
次以一时所注所泄相减余为一时所注之数而求全壶满时
一率 二十四分壶之五
二率 一时
三率 一壶
四率 四时又五分时之四
又如依前三时注水满一壶八时泄水尽一壶且注且泄问五时又三分时之一可满几何法先求一时所注所泄之数置率如前次以一时所注所泄相减余为一时所注之数而求五时又三分时之一所注之数
一率 一时
二率 二十四分壶之五
三率 五时又三分时之一
四率 一壶又九分壶之一
又如漏壶一具下开三孔泄水大孔四时尽一壶次六时而尽又次十二时而尽若三孔俱开则一壶须几时尽法以三孔一时所泄之数并而计之知一时泄二分壶之一则二时尽一壶
一率 四时 六时 十二时
二率 一壶
三率 一时
四率 【四分壶 六分壶 十二分之一 之一 壶之一】
右例或以最小孔十二时为主求余二孔所注之数乃并而计之知十二时尽几壶则知几时尽一壶【或以中孔六时为主亦同】
一率 四时 六时
二率 一壶
三率 十二时
四率 三壶 二壶
又如甲乙银各不知数取乙九两与甲即甲倍多于乙取甲七两与乙则甲乙正等问各几何法以乙与甲九两甲与乙七两并之得十六两倍之得三十二两是倍多之数即以三十二两为乙衰幷未与甲九两得乙数四十一两以六十四两为甲衰减未得乙九两得甲数五十五两【右一条新订】
又如甲乙银不知数取乙四两与甲即甲多于乙二之一乙二而甲三也取甲七两与乙则甲乙等问各几何法如前并而倍之得二十二两是二之一多数即以四十四两为乙衰六十六两为甲衰依前求得乙数四十八甲数六十二【右一条新订】
又如商贩不知其母但云每度俱获倍息【母一得子亦一】即于中用银三百两如是三度子母俱尽问原母几何凡倍上加倍者率三倍而一得八【一两三倍之成八两也四倍则一得十六余准此推之】法以八除三百得三十七两五钱以减三百得二百六十二两五钱即原母数【若四度而尽者即以十六除而减之】
按右例立法之意乍阅之或未解葢原母倘系三百则每度用其倍息三度后仍存三百矣何得子母俱尽须知三倍后之三百其母为三十七两五钱故于三百内减之而余即原母数也一三倍而成八故用八除三百得母三十七两五钱犹之三度折半尔【右一条新订】
自贵贱差分至此诸例亦可以借征法求之别见数条于后
又如黄金百斤制一鑪既成虑匠人盗金和银销毁验之则损工费乃以器贮水令满已知水几斤即以纯金百斤入器内溢出水六十斤加水令满复以银百斤入之溢水九十斤再贮满水却以鑪入之溢水六十五斤问和银及实金几何法以金银溢水之较三十斤以百斤除之得每斤溢水之较十分斤之三为法以除鑪与金溢水之较五斤得和银数一十六斤又三分斤之二以除鑪与银溢水之较二十五斤得实金数八十三斤又三分斤之一【补贵贱差分第三条】又如犒军每八名给豕一头每六名给羊一头每三名给一头共用豕羊一千一百二十五头问兵几何豕羊各几何法以八名六名相乗为衰八名三名相乗为羊衰六名三名相乗为豕衰【此所谓三维乗也或先求兵总衰而豕羊各以所给兵名数除之亦同】并之得九十为豕羊总衰为一率以八名六名三名累乗得一百四十四为兵总衰为二率豕羊总实为三率求得四率一千八百为兵总数豕羊各以所给兵名数除之得各数或以豕羊总衰为一率豕羊总实为二率豕羊各衰为三率即先得三物各数乃各以所给兵名数乗之得兵总数【按此例亦谓兵既给豕又给羊者下例同】又如赏军每八名给防五匹每六名给绢四匹每四名给布三匹共用防绢布三千六百七十五匹问兵几何防绢布各几何法以八名六名相乗再以三匹乗之为布衰八名四名相乗再以四匹乗之为绢衰六名四名相乗再以五匹乗之为防衰【或先求兵总衰而防绢布各以匹数乗之以所给兵数除之亦同】并之得三百九十二为防绢布总衰八名六名四名累乗得一百九十二为兵总衰如前法求之得兵总数一千八百【右二例与零分章并分法相似】按此例与前例本同一法前例豕羊俱以一头立算故不须以头数与维乗数再相乗耳但今算家相仅知有前例而无后例则法有所穷故特出此条其实前例亦暗寓头数一回乗也【补襍差分第六第七条 右一条新增】
九章録要卷五
<子部,天文算法类,算书之属,九章录要>
钦定四库全书
九章録要卷六
松江屠文漪撰
少广法
古九章四曰少广以御积幂方员
开平方法 平方开除先列实视实有几位【凡实之大数从千起者四位从万起者五位葢实尾虽止于十而无以下小数亦存一虚位止于百而无以下小数亦存两虚位一定不可易也】即知须几开而尽【凡经再开者开得平方大数从十起三开者百四开者千或实尾一开虚拟而未经开者即开得数终于十而无以下小数也】率实两位而一开逆从实尾向左数之【尾在右也】至实首则一位亦一开也其开之法有三曰方曰亷曰隅【方法亦谓之商意中商量而定之也隅即次商三商而又自有隅法】初开视实首位以起方法实首一位开者【一位之实多不过九】取三及以下数自乗两位开者【两位之实少不下十一】取三及以上数自乗所取以自乗之数初商也列实首之左【亦有不列于左而即借实首位列之者説详于后】自乗所得数用以减实是为初开余实须再开则用亷法亷法者倍前方法以之除实得次商相随列初商之右即以次商为隅法自乗得数用减实讫【于亷法下一位减之观后假例自明】是为再开自三开以后俱仿此
【或问亷隅之义曰初开已成平方形矣再开欲增广其前方则不必四边俱加而但于两边各加一亷其长如前方之数亷有二故倍之也此未及亷之广以除实得次商次商乃亷之广数而所加二亷其长各如前方之数则二亷相防之一角犹缺一小平方其四边皆与亷之广等故又以次商为隅法而自乗以足之也】
假如实一万五千一百二十九列甲乙丙丁戊五位此须三度开而实首只甲一位开也甲数一则取一为初商列甲之左而以一自乗仍得一即于甲位去一此初开也再开倍前方一得二【前方是一百倍之为二百而此且勿论也但谓之一谓之二可耳】为亷法以二除乙之五【乙丙两位为再开之位而亷法当于乙位除隅法当于丙位除也】则于乙减四存一于甲空位列二为次商而以隅二自乗得四于丙位减之则去乙之一加丙一为七此再开也三开倍前方一十二得二十四【前方一下复有二则且谓之一十二矣不计其为一百二十也虽更多亦然】为亷法先以二除丙之七【丁戊两位为三开之位则亷法当于丁位除而亷法有二十四即二当于丙位除四乃于丁位除也】则于丙减六存一于乙空位列三为三商次以四与三相乗得一十二于丙丁两位减之【亷之四当于丁位除而与商乗得一十二即一又当于丙位除矣隅法亦然】则并去丙之一丁之二又以隅三自乗得九于戊位减之适尽得方一百二十三
又如实四十五万九千六百八十四列甲乙丙丁戊己六位此亦须三度开而实首乃甲乙两位开也甲乙数四十五【甲四乙五并而计之则曰四十五而不必问其为四十五万也】且取六为初商列甲之左而以六自乗得三十六于甲乙两位减之则去甲之四加乙五为九此初开也再开倍六得一十二为亷法先以一除乙之九则于乙减七存二于甲空位列七为次商【不用 者以八开之则实不足也】次以二与七相乗得一十四于乙丙两位减之则减乙二为一丙九为五又以隅七自乗得四十九于丙丁两位减之则去丙之五加丁六为七此再开也三开倍六十七得一百三十四为亷法先以一除乙之一【戊己两位为三开之位则亷法之一当于丙位除而乙位当列三商矣今乙位有实则亦以除丙之法除之葢乙丙同除犹实首之两位并开也除同而所以除不同假使乙位空而丙位有一则以亷一除丙当去丙之一而列一于乙为三商今以除乙之一则为见一无除改作九而下添一也三商在乙位自不可易耳】则改乙一为九加丙空为一而其下实不足除即又减乙九为八为三商而加丙一为二【乙之一丙之十也试列十于丙而以亷一除之与此同则除乙犹之除丙耳】次以三与八相乗得二十四于丙丁两位减之则去丙之二减丁七为三次以四与八相乗得三十二于丁戊两位减之则去丁之三减戊八为六又以隅八自乗得六十四于戊己两位减之适尽得方六百七十八
又如实六百七十六列甲乙丙三位此只须两度开而实首系甲一位开也甲数六且取二为初商列甲左而以二自乗得四即于甲减四存二此初开也再开倍二得四为亷法以四除甲之二则改甲二为五又以四除乙之七则于乙减四存三于甲加一为六为次商【此甲乙同除如前第二例第三开之乙丙同除也前例只是以亷一除丙之十此例只是以亷四除乙之二十七合观二例其义益明】乃以隅六自乗得三十六减乙丙实并尽得方二十六
开方得数审空位例假如实六十五万四千四百八十一列甲乙丙丁戊己六位此须三度开而实首系甲乙两位开也甲乙数六十五且取八为初商列甲左而以八自乗得六十四于甲乙两位减之则去甲之六减乙五为一此初开也再开倍八得一十六为亷法先以一除乙之一而其下实不足除知再开值空位矣【丙丁为再开之位则亷之六当于丙位除一当于乙位除而除得次商当在甲位今若去乙之一而列一于甲为次商即丙位无六可除此当为见一无除改作九而下添一然则商乃在乙位而甲位空矣可知无次商宜便接三开也】三开倍八十得一百六十【前方八下有空位则谓之八十也若更有空位亦递进之】为亷法仍先以一除乙之一【戊己为三开之位则亷法当于戊位除而亷法有一百六十即六当于丁位除一当于丙位除今乙位有实又须以除丙之法除之葢除乙犹之除丙其説已详前二例矣 三商自当在乙位也】则改乙一为九为三商而加丙四为五次以六与九相乗得五十四于丙丁两位减之则并去丙之五丁之四又以隅九自乗得八十一于戊己两位减之适尽得方八百零九
开方初商列位法 凡初商列于实首位之左者为多而不尽然也须知实首两位开而初商数不满五者必当借实首甲位列之何也实首甲一位开则乙丙为次开之位而乙属亷丙属隅也亷法于乙位除即除得次商当在甲位而初商不得不列甲之左矣实首两位开则丙丁为次开之位而丙属亷丁属隅也亷法于丙位除而初商系五倍之为十遇十进位乃当于乙位除即除得次商亦当在甲位而初商不得不列甲之左矣【五以上更不必言】若实首既以两位开而初商系四倍之为八只当于丙位除然则除得次商当在乙位而初商当列甲位又何疑乎【四以下更不必言】且如实二千四百零一列甲乙丙丁四位当取四为初商而减甲乙实一十六则先去甲之二加乙四为八乃以初商四列甲位再开倍四得八为亷法以除乙之八则改乙八为九为次商加丙空为八而以隅九自乗得八十一减丙丁实并尽得方四十九倘以初商四列甲左竟似四百零九其误甚矣葢开得商数中间应有空位与否信手布算即自然而见本不烦拟议也但审定初商位置则无空者不致误而成空而以后俱任其自然之数可耳
又按右例若以初商列甲左次以亷八除乙之八或去乙之八列一于甲为次商而以隅一自乗减丁之一亦尽乃得方四十一岂非误之尤甚者乎葢丙丁为次开之位而亷法止有八则当于丙位除除得次商当在乙位虽乙位有实而以除丙之法除乙然次商毕竟仍在乙位断无进到甲位之理不辨于此且致大误故详论之而初商若便列在甲位亦自无此弊矣
开方余实命分法 开方余实仅及所开方数一倍以下则命分命分者倍方加一数以命之【倍方者亷法加一数者隅法】假如实五十五开得方七而余实六即倍七又加一数得一十五以为母而以六为子命之曰一十五分之六并整为七零一十五分之六也
开方求零分密法 开方余实欲除令尽即所得方数必带零分而若以所命之分为方数试以自乗见积颇朒于原实则法犹疎也且如实二十开得方四而余实四依命分法为九之四并整为四又九之四乃化整俱为零曰九之四十母子各自乗以见方积母得八十一【此原实一之方积也葢一实而纵横俱分为九则其中应有方积八十一矣】子得一千六百【此总方积也】以母积除子积归整得实一十九又八十一之六十一则朒于原实八十一之二十当更有法以开之其法倍九之四十【倍之为亷法也】为九之八十以除朒八十一之二十得七百二十之二十约为三十六之一与前方九之四十相并得三百二十四之一千四百四十九约为三十六之一百六十一以母除子归整得方四又三十六之一十七仍化整俱为零母子各自乗以见方积母得一千二百九十六子得二万五千九百二十一以母积除子积归整得实二十又一千二百九十六之一虽盈于原实一千二百九十六之一然比之朒于原实八十一之二十则其法已密矣
又法如实二十开得方四而余实四但倍方为分母不复加隅而以余实为子曰八之四约为二之一并整为四又二之一乃化整俱为零曰二之九母子各自乗以见方积母得四子得八十一以母积除子积归整得实二十又四之一则盈于原实四之一亦更有法以开之其法倍二之九为一之九【本欲倍其子而半其母则子自倍矣不须更用约法】以除盈四之一得三十六之一与前方二之九相减【此与前法正同而盈朒并减有辨葢前方朒于原实则以亷法除所朒之数而与之相并前方盈于原实则以亷法除所盈之数而与之相减也】得七十二之三百二十二约为三十六之一百六十一以下各数并与前法同【按二法所得数其归正同葢偶同耳他处则往往小异也】
右二法开方自乗得积并盈于原实一千二百九十六之一必欲除尽依法再开之以四又三十六之一十七复化为三十六之一百六十一倍之为一十八之一百六十一以除盈一千二百九十六之一得一万一千五百九十二之一与前方三十六之一百六十一相减得四十一万七千三百一十二之一百八十六万六千二百七十六约为一万一千五百九十二之五万一千八百四十一以母除子归整得方四又一万一千五百九十二之五千四百七十三仍化整俱为零母子各自乗以见方积母得一亿三千四百三十七万四千四百六十四子得二十六亿八千七百四十八万九千二百八十一以母积除子积归整得实二十又一亿三千四百三十七万四千四百六十四之一此则盈于原实为数甚微矣欲除尽依法再开
又法开方不尽实则增开数以求之凡增一开者化实之一为百而开得方数当十而一增二开者化实之一为万而开得方数当百而一假如实二十四化为二千四百开之得四十九是为一十之四十九以母除子归整得方四又一十之九仍化整俱为零自乗以见方积得一百之二千四百零一以母积除子积归整得实二十四又一百之一乃盈于原实一百之一也或增二开三开者仿此
零分开方法 原实系整数而开之带零分者前法已详矣若原实先系零分而欲开方者法以母自开得数为母子自开得数为子其大端也如实九之四开得方三之二是已更有开得数复成零分乃须分别算之如实九之二十母开得三子开得四又九之四化为九之四十【此只依命分之数聊示其法耳未及密率也】此当用整除零分法以三乗九为母以四十为子得方二十七之四十也如实二十之九母开得九之四十子开得三此当用零分除整法以四十为母以九乗三为子得方四十之二十七也又如实七之二十母开得二又五之三化为五之一十三子开得九之四十此当用零分除零分法以一十三乗九为母以五乗四十为子得方一百一十七之二百也葢原实之母本法也原实之子则实也故右三例用法分别如此前零分篇中于开方法未详兹乃尽其变云
长方以积与长广较求长广 法以四乗积并较实开方得长广和和较相并半之得长相减半之得广
长方以积与长广和求长广 法以四乗积减和实开方得长广较 按四乗积者以四长方两纵两横列四隅合为大平方则四边各兼长广之数而中央不满者正较自乗之小平方故知和实中有四积一较实也【二法亦见句股章彼以八乗积者句股之积半长方积也】右二法可该下文纵方七法而七法更不可不讲者葢变化无穷之用出焉固非右二法所能及矣具详于左
带纵并方亷开平方法长方以积与较求广者其长之积多于广当加法以带除其长积名带纵并方亷开平方依常列实定开位以较为带纵初开稍朒其商以带纵并之为方法【常法以方与商为一此以方与商为二】乃以乗商减实再开倍前商亦以带纵并之为亷法以除实得次商其隅法如常
假如长方积八百六十四列甲乙丙三位其长广较一十二求广者初商得二列甲左而以纵并商得三十二【须知初商之二是二十故并纵得三十二也凡商与纵并者以十随十以百随百并之相减亦然】为方法乃以方法乗商以三乗二得六【此处只作二与三且勿论其为二十与三十可也】于甲位减之【依常法商二自乗当于甲位减今与方法三相乗亦同也】则减甲八为二次以二乗二得四于乙位减之【六于甲位减则四当于乙位减故初开而减及次开之亷位也】则减乙六为二此初开也再开倍前商二得四并纵得五十二【倍商是四十也 倍商不倍纵】为亷法先以五除甲之二【倍商之四当于乙位除因带纵首之一而成五亦同除得次商当在甲位今甲位有实故以除乙之法除甲而次商仍在甲位非因五十而进一位也此五只作五若倍商四纵首六并成一十乃当进一位耳】则改甲二为四为次商次以二乗四得八于丙位减之【五于乙位除则二当于丙位除故亷法而减及隅位也】则减乙二为一加丙四为六又以隅四自乗得一十六减乙丙两位实尽得广二十四【并较得长三十六】
又如实二十三万零四百列甲乙丙丁戊己六位【戊己为虚位】带纵七百二十初商得二【若商三则并纵首之七为一十又与商乗得三十而实首只二十三不足除故用二】列甲左【不列甲位者带纵故也】而以纵并商得九百二十为方法乃以方法乗商以九乗二得一十八于甲乙两位减之则去甲之二加乙三为五次以二乗二得四于丙位减之则减乙五为四加丙空为六此初开也再开倍前商二得四并纵得一千一百二十为亷法先以一除乙之四【倍商之四当于丙位除因并纵首之七而成一十一则此一当进而于乙位除除得次商当在甲位矣初商不列甲位正为此也】则去乙之四于甲空位列四为次商次以一乗四得四于丙位减之则减丙六为二次以二乗四得八于丁位减之则减丙二为一加丁四为六又以隅四自乗得一十六减丙丁实并尽得广二百四十【并较得长九百六十】又如实一万九千四百四十列甲乙丙丁戊五位带纵七十二初商得一列甲左而以纵并商得一百七十二为方法乃以方法乗商以一乗一仍得一于甲位减之则去甲之一次七仍得七于乙位减之则减乙九为二次二仍得二于丙位减之则减丙四为二此初开也再开倍前商一得二并纵得二百七十二为亷法先以二除乙之二而其下实不足除知再开值空位矣【倍商之二当于乙位除除得次商当在甲位今若去乙之二而列一于甲为次商即丙丁两位无七与二可除当为见二无除改作九而下添二然则商乃在乙位矣既退一位知是三商非次商也】三开倍前商一十得二十【此一与二皆百也谓之十者依常法】并纵得二百七十二为亷法仍先以二除乙之二【倍商之二十当于丙位除乙位有实故以除丙之法除乙也】则改乙二为九加丙二为四而其下实又不足除即又减乙九为八为三商而加丙四为六次以七乗八得五十六于丙丁两位减之则去丙之六加丁四为八次以二乗八得一十六于丁戊两位减之则减丁八为六加戊空为四又以隅八自乗得六十四减丁戊实并尽得广一百零八【并较得长一百八十】
又如实一万六千一百二十八列甲乙丙丁戊五位带纵七十二此当减一开而实首取三位并开之【若初商一则并纵得一百七十二而乙丙两位无七与二可除也】初商得九【此当借列实首甲位】而以纵并商得一百六十二为方法乃以方法乗商以一乗九得九于乙位减之【初商之九当于丙位减因并纵首之七而成一十六则此一当进而于乙位减】则去甲之一加乙六为七次以六乗九得五十四于乙丙两位减之则减乙七为一加丙一为七次以二乗九得一十八于丙丁两位减之则减丙七为五加丁二为四此初开也再开倍前商九得一十八并纵得二百五十二为亷法先以二除乙之一【倍商之一十八当于丙丁两位减并纵首七而成二十五其位亦同今乙位有实故以除丙之法除乙也】则改乙一为五又以二除丙之五则于丙减二存三于乙加一为六为次商次以五乗六得三十于丙位减之则去丙之三次以二乗六得一十二于丁戊两位减之则减丁四为三戊八为六又以隅六自乗得三十六减丁戊实并尽得广九十六【并较得长一百六十八】
又如实一十六万六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位带纵一千零八十八初商得一【初商是百而纵乃至千故只可用一】列甲左而以纵并商得一千一百八十八为方法乃以方法乗商以一乗一仍得一于甲位减之【方一百之一当于乙位减此是纵首一千之一故进一位】则去甲之一次一仍得一于乙位减之则减乙六为五次八仍得八于丙位减之则减乙五为四加丙六为八次八仍得八于丁位减之则减丙八为七加丁四为六此初开也再开倍前商一得二并纵得一千二百八十八为亷法先以一除乙之四【倍商之二当于丙位减此是纵首之一故进一位也下三开仿此】则于乙减三存一于甲空位列三为次商次以二乗三得六于丙位减之则减丙七为一次以八乗三得二十四于丙丁两位减之则去乙之一加丙一为九减丁六为二次以八乗三得二十四于丁戊两位减之则去丁之二减戊六为二又以隅三自乗得九于丁位减之则减丙九为八加丁空为一此再开也三开倍前商一十三得二十六并纵得一千三百四十八为亷法先以一除丙之八则于丙减六存二于乙空位列六为三商次以三乗六得一十八于丙丁两位减之则去丙之二加丁一为三次以四乗六得二十四于丁戊两位减之则去丁之三加戊二为八次以八乗六得四十八于戊己两位减之则减戊八为三加己四为六又以隅六自乗得三十六减戊己实并尽得广一百三十六【并较得长一千二百二十四】
带纵减积开平方法 长方积较求广或于实内减长积以就其方名带纵减积开平方列实定位以较为带纵初开亦稍朒其商先以带纵乗商减实乃以商自乗减实再开倍前商为亷法约计当得次商若干亦先以带纵乗商减实乃以亷法除实合次商其隅法如常
假如长方积八百六十四列甲乙丙三位较一十二初商得二列甲左而先以纵乗商以一乗二得二于甲位减之【此纵之一商之二皆十也依常法商二自乗于甲位减今以纵一乗商二亦同葢凡十与十百与百相乗皆于本位减必相乗又得十乃进一位若商系十而乗纵之百则当进一位商系百而乗纵之十则当退一位次商三商其理不殊各以所商应除之位为本位而进退之也负纵益积仿此】则减甲八为六次以二乗二得四于乙位减之则减乙六为二乃以商二自乗得四于甲位减之则又减甲六为二此初开也再开倍前商二得四为亷法约计次商当得四【约计减积之余尚有商亷相乗及隅自乗之数也】亦先以纵乗商以一乗四得四于乙位减之【次商即再开之隅隅本位在丙然隅四只是四数而所与乗之纵一则是一十故进一位也若以比初开所除之位则为退一位至三开即比再开又退一位矣】则减甲二为一加乙二为八次以二乗四得八于丙位减之则减乙八为七加丙四为六乃以亷四除甲之一则改甲一为二加乙七为九又以四除乙之九则于乙减八存一于甲加二为四为次商又以隅四自乗得一十六减乙丙实并尽得广二十四
又如实一万九千四百四十列甲乙丙丁戊五位带纵七十二初商得一列甲左而先以纵乗商以七乗一仍得七于乙位减之则减乙九为二次二仍得二于丙位减之则减丙四为二乃以商一自乗得一于甲位减之则去甲之一此初开也再开倍前商一得二为亷法约计次商不足除知再开值空位【乙位实二试拟一为次商而以纵首之七相乗当比初开退一位于丙位减之则丙实只有二必减及于乙而亷已不足除未暇论其他矣故知再开值空位也】三开倍前商一十得二十为亷法约计三商当得八亦先以纵乗商以七乗八得五十六于丙丁两位减之则减乙二为一加丙二为六丁四为八次以二乗八得一十六于丁戊两位减之则减丁八为六加戊空为四乃以亷二除乙之一则改乙一为五又以二除丙之六则去丙之六于乙加三为八为三商又以隅八自乗得六十四减丁戊实并尽得广一百零八 按积较求广虽有二法只如一法耳前法并纵于方亷以除实此法分纵与方亷先后减实异而不异也分作两度减固不如并作一度除之便然必备识诸法而后可以尽其变化之用不容废云
负纵减方亷开平方法 长方以积与较求长者其广之积少于长当损其法之长名负纵减方亷开平方列实定开位以较为负纵初开稍盈其商以负纵减之为方法乃以乗商减实再开倍前商亦以负纵减之为亷法以除实得次商其隅法如常 假如长方积八百六十四列甲乙丙三位较一十二求长者初商得三列甲左而以负纵减商得一十八为方法乃以方法乗商以一乗三得三于甲位减之则减甲八为五次以八乗三得二十四于甲乙两位减之则减甲五为三乙六为二此初开也再开倍前商三得六减负纵得四十八为亷法先以四除甲之三则改甲三为七于乙加二为四而其下实不足除即又于甲减一存六为次商而于乙加四为八次以八乗六得四十八于乙丙两位减之则减乙八为三加丙四为六又以隅六自乗得三十六减乙丙实并尽得长三十六【减较得广二十四】
又如实一万九千四百四十列甲乙丙丁戊五位负纵七十二初商得一列甲左而以负纵减商得二十八为方法乃以方法乗商以二乗一仍得二于乙位减之【商系百而乗方之十故退一位也】则减乙九为七次八仍得八于丙位减之则减乙七为六加丙四为六此初开也再开倍前商一得二减负纵得一百二十八为亷法先以一除甲之一则改甲一为九于乙加一为七而其下实不足除即又于甲减一存八为次商而于乙加一为八次以二乗八得一十六于乙丙两位减之则减乙八为七去丙之六次以八乗八得六十四于丙丁两位减之则减乙七为六加丙空为四去丁之四又以隅八自乗得六十四减乙丙实并尽得长一百八十【减较得广一百零八】
负纵益积开平方法长方积较求长或益积以补广而就其方名负纵益积开平方列实定位以较为负纵初开亦稍盈其商先以负纵乗商益实乃以商自乗减实再开倍前商为亷法约计当得次商若干亦先以负纵乗商益实乃以亷法除实合次商其隅法如常
假如长方积八百六十四列甲乙丙三位较一十二初商得三【此当列甲左第二位因有益积故也初开毕不妨从甲左第二位移入甲左凡纵方诸例其商位每不可拘善算者自了然于心手之间耳】而先以负纵乗商以一乗三得三于甲位加之则于甲左空位列一而减甲八为一次以二乗三得六于乙位加之则加甲一为二减乙六为二乃以商三自乗得九于甲位减之则去甲左之一加甲二为三此初开也再开倍前商三得六为亷法约计次商当得六亦先以负纵乗商以一乗六得六于乙位加之则加乙二为八次以二乗六得一十二于乙丙两位加之则加乙八为九丙四为六乃以亷六除甲之三则改甲三为五又以六除乙之九则于乙减六存三于甲加一为六为次商又以隅六自乗得三十六减乙丙实并尽得长三十六又如实一十六万六千四
百六十四列甲乙丙丁戊己六位负纵一千零八十八此当增一开【负纵至千而依实位初商只是百数无是理也】初商得一列甲左第二位而先以负纵乗商以一乗一仍得一于甲左空位加之【甲左空位是商千应除之本位也商千乗纵千当于本位加】则列一于甲左次八仍得八于乙位加之则加甲一为二减乙六为四次八仍得八于丙位加之则加乙四为五减丙六为四乃以商一自乗得一于甲左空位减之则去甲左之一此初开也再开倍前商一得二为亷法约计次商当得二亦先以负纵乗商以一乗二得二于甲位加之则加甲二为四次以八乗二得一十六于乙丙两位加之则加乙五为七去丙之四次以八乗二得一十六于丙丁两位加之则加丙空为二去丁之四乃以亷二除甲之四则去甲之四于甲左空位列二为次商又以隅二自乗得四
于乙位减之则减乙七为三此再开也三开倍前商一十二得二十四为亷法约计三商当得二亦先以负纵乗商以一乗二得二于乙位加之则加乙三为五次以八乗二得一十六于丙丁两位加之则加丙二为三丁空为六次以八乗二得一十六于丁戊两位加之则加丁六为八减戊六为二乃以亷二除乙之五则于乙减四存一于甲空位列二为三商次以四乗二得八于丙位减之则去乙之一加丙三为五又以隅二自乗得四于丁位减之则减丁八为四此三开也四开倍前商一百二十二得二百四十四为亷法约计四商当得四亦先以负纵乗商以一乗四得四于丙位加之则加丙五为九次以八乗四得三十二于丁戊两位加之则加丁四为七戊二为四次以八乗四得三十二于戊己两位加之则加戊四为七己四为六乃以亷二除丙之九则于丙减八存一
于乙空位列四为四商次以四乗四得一十六于丙丁两位减之则去丙之一减丁七为一次以四乗四得一十六于丁戊两位减之则去丁之一减戊七为一又以隅四自乗得一十六减戊己实并尽得长一千二百二十四 按积较求长二法不同论负纵以并方亷为便而使负纵多初商少乃宜用益积也别拟取防之术凡负纵减商而商不足则以所负商数为负方【亦可称余负纵也】以负方乗商益积即初开毕矣自再开以后减亷固无碍耳
带纵负隅益积开平方法 长方以积与和求广者用和为带纵【此与用较为带纵又别用较为带纵者以纵并方亷而乗商减实用和为带纵者直以纵乗商减实耳然且患纵多积少而须益积及减纵二法矣】则已兼长广而积有长广相乗无广自乗故置负隅法以益积而以带纵开之名带纵负隅益积开平方列实定开位以和为带纵别置一算为负隅初开稍朒其商以乗负隅【一为负隅则可不必置算亦不必乗而必言置算言乗者此法施之他处即负隅或不止于一也观后各例自见】为方法先以方法乗商益实乃以带纵乗商减实再开倍前商以乗负隅为亷法约计当得次商若干以乗负隅为隅法先以亷法乗商益实又以隅法乗商【隅乗商云者因有负隅之乗故又分隅与商为二也然负隅若止于一则直云商自乗或隅自乗亦可耳】益实乃以带纵除实合次商
假如长方积八百六十四列甲乙丙三位其长广和六十求广者初商得二【此当列甲左第二位】而以乗负隅仍得二为方法先以方二乗商二得四于甲位加之则于甲左空位列一而减甲八为二乃以纵六乗商二得一十二于甲左及甲两位减之则去甲左之一甲之二此初开也再开倍前商二得四以乗负隅仍得四为亷法约计次商当得四以乗负隅仍得四为隅法先以亷四乗商四得一十六于甲乙两位加之则加甲空为二减乙六为二又以隅四乗商四得一十六于乙丙两位加之则加乙二为四去丙之四乃以纵六除甲之二【以纵除与以亷除其位同此纵之六与亷之四皆十也以十随十当于亷本位乙位除之除得次商当在甲位今甲位有实则甲乙同除也 至此宜将初商仍移入甲左矣】则改甲二为三于乙加二为六又以六除乙之六则去乙之六于甲加一为四为次商得广二十四
带纵负隅减纵开平方法 长方积和求广或减负隅于纵而以余纵开之名带纵负隅减纵开平方列实定位以和为带纵别置一算为负隅初开亦稍朒其商以乗负隅为方法以方法减纵乃以余纵乗商减实再开倍前商以乗负隅为亷法约计当得次商若干以乗负隅为隅法以亷法减纵又以隅法减纵乃以余纵除实合次商
假如长方积八百六十四列甲乙丙三位和六十初商得二列甲左而以乗负隅仍得二为方法以方法减纵余四十乃以纵四乗商二得八于甲位减之则去甲之八此初开也再开倍前商二得四以乗负隅仍得四为亷法约计次商当得四以乗负隅仍得四为隅法以亷法减纵余二十又以隅法减纵余一十六乃以纵一除乙之六则于乙减四存二于甲空位列四为次商次以六乗四得二十四减乙丙实并尽得广二十四
又如实一十六万六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位带纵一千三百六十初商得一列甲左而以乗负隅仍得一为方法以方法减纵余一千二百六十乃以纵乗商以一乗一仍得一于甲位减之则去甲之一次二仍得二于乙位减之则减乙六为四次六仍得六于丙位减之则去丙之六此初开也再开倍前商一得二以乗负隅仍得二为亷法约计次商当得三以乗负隅仍得三为隅法以亷法减纵余一千一百六十又以隅法减纵余一千一百三十乃以纵一除乙之四则于乙减三存一于甲空位列三为次商次以一乗三得三于丙位减之则去乙之一加丙空为七次以三乗三得九于丁位减之则减丙七为六加丁四为五此再开也三开倍前商一十三得二十六以乗负隅仍得二十六为亷法约计三商当得六以乗负隅仍得六为隅法以亷法减纵余一千一百又以隅法减纵余一千零九十四乃以纵一除丙之六则去丙之六于乙空位列六为三商次以九乗六得五十四于丁戊两位减之则去丁之五减戊六为二又以四乗六得二十四减戊己实并尽得广一百三十六 按积和求广二法以减纵法为优葢初开以后欲约得续商之数比益积为差易但先以亷减纵而以余纵求之如第一例余实六十四且作四与十六相乗之数而余纵二十析之亦得四与十六两数即四为次商为隅法以再减余纵得一十六而以纵除实正得次商矣如第二例直以亷减余之纵约余实得次商三商虽得商后须再以隅减纵而纵多商少隅减之余与亷减之余当不至大相悬也然此特谓积和求广之本法止以一为负隅者若施之他处负隅不止于一则因续商有负隅之乗理当小异不得仅如右二説且开除往往遇负积更须参用下文翻法耳
带纵负隅减纵翻法开平方法 长方以积与和求长者积有长广相乗无长自乗法当损广以益长故以和为带纵别置一算为负隅初开稍盈其商以乗负隅为方法以方法减纵以余纵乗商减积而积常不足则翻以所负积数为积再开倍前商以乗负隅为亷法以亷法减纵而纵又常不足亦翻以所负纵数为纵既隅积纵三者俱负乃以负纵除负积得次商又以次商乗负隅为隅法以乗商减负积名带纵负隅减纵翻法开平方
假如长方积三千四百五十六列甲乙丙丁四位和一百二十求长者初商得七【此虽列甲左而除得次商乃在乙位则又当借列甲位也】而以乗负隅仍得七为方法以方法减纵余五十乃以纵五乗商七得三十五于甲乙两位减之而积不足四十四则去甲之三乙之四丙之五丁之六而列四于丙列四于丁为负积此初开也再开倍前商七得一十四以乗负隅仍得一十四为亷法以亷法减纵而纵不足二十即以负纵二除丙之四则去丙之四于乙空位列二为次商又以次商乗负隅仍得二为隅法以乗商二得四减丁位负积适尽得长七十二
又如实一十六万六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位带纵一千三百六十此当增一开初商得一【若初商九百或八百商愈少则负积且愈多故知当为一千也】列甲左第二位而以乗负隅仍得一为方法以方法减纵余三百六十乃以纵乗商以三乗一仍得三于甲位减之【商千之位在甲左商千乗纵百则退一位故当于甲位减】以六乗一仍得六于乙位减之而积不足一十九万三千五百三十六则去甲之一乙之六丙之六丁之四戊之六己之四而列一于甲列九于乙列三于丙列五于丁列三于戊列六于己为负积此初开也再开倍前商一得二以乗负隅仍得二为廉法以亷法减纵而纵不足六百四十即以负纵六除甲之一【倍商之二是千也依常法当于甲位除除得次商当在甲左此负纵之六是百也则当于乙位除而甲位有负积故甲乙同除除得次商乃在甲位葢非次商应列之位特因负纵数朒故耳】则于乙加四为十三又以六除乙之十三则于乙减六存七于甲加一为二为次商【此当于再开毕后移列甲左葢三开则负纵亦盈至千与常法倍商数等矣】次以四乗二得八于丙位减之则减乙七为六加丙三为五又以次商乗负隅仍得二为隅法以乗商二得四于乙位减之则减乙六为二此再开也三开倍前商一十二得二十四以乗负隅仍得二十四为亷法以亷法减纵而纵不足一千零四十即以负纵一除乙之二则去乙之二于甲空位列二为三商次以四乗二得八于丁位减之则减丙五为四加丁五为七又以三商乗负隅仍得二为隅法以乗商二得四于丁位减之则减丁七为三此三开也四开倍前商一百二十二得二百四十四以乗负隅仍得二百四十四为亷法以亷法减纵而纵不足一千零八十即以负纵一除丙之四则去丙之四于乙空位列四为四商次以八乗四得三十二于丁戊两位减之则去丁之三减戊三为一又以四商乗负隅仍得四为隅法以乗商四得一十六减戊己负积并尽得长一千二百二十四 按积和求广初开后必有余积【若遇负积即初商是长非广也此亦指一为负隅者而言】求长则初开常负积其大凡也若求长用益积法则初开所负之积不妨于再开所益积内减之【再开所负于三开所益减】但欲约次商患其茫然无绪可寻故只仿减纵法葢减纵则纵常不足因即以负纵除负积而得商此翻法所以为良也其间更有变例不可不知者别详于左
一求长而初开后乃有余积此其初商必与求广相同者也既有余积则以亷减纵亦必有余纵【若积余纵负乃是商数过盈非所求之长当改商就朒】且如实一万九千四百四十和二百八十八初商得一百【求广求长同】而余积六百四十再开以亷减纵余八十八约余积为八与八十相乗之数而余纵析之亦得八与八十两数此若求广即再开为空位以八为三商以再减余纵得八十而以除积正得三商为广一百零八若求长即以八十为次商以再减余纵得八而以除积正得次商为长一百八十葢只用减纵法而广长皆得可不须翻法也又如实二万零九百四十四和二百九十初商得一百而余积一千九百四十四再开以亷减纵余九十约余积一千九百【其下小数且置不算也】为四十与五十相乗之数则朒为三十与六十相乗之数则盈而余纵析之亦得四十与五十两数及三十与六十两数此若求广则取盈数【宜有余积也】以三十为次商【广不合有一百六十故不用六】以再减余纵得六十而以除积一千八百得次商仍余积一百四十四三开以亷减纵余三十约余积为六与二十四相乗之数而余纵析之亦得六与二十四两数即以六为三商以再减余纵得二十四而以除积正得三商为广一百三十六若求长则取朒数【宜负积也】以五十为次商【长不合止一百四十故不用四】以再减余纵得四十而以除积二千合次商积负五十六三开以亷减纵纵负一十以负纵除负积四十得四为三商而以隅四自乗得一十六减负积尽为长一百五十四葢始终用减纵法以得广始于减纵终于翻法以得长非可执一云【右一条及下四条所举假例皆以一为负隅故例中不言负隅之乗取省文便览也又自此以下凡积纵商亷诸数百则曰百千则曰千而不复着甲乙之位非前后互异正取参观以相发明耳】
一负积当以负纵除而以亷减纵适尽者约负积得次商以乗负隅为隅法以乗商减负积【既无负纵则独用隅法减负积也或以负隅除负积以常法平方开之亦可】如实八百六十四初商三十而负积三十六再开以亷减纵适尽即约负积得次商六为隅法自乗得三十六减负积尽为长三十六又如实九千三百七十五和二百初商一百而负积六百二十五再开以亷减纵适尽即约负积得次商二十为隅法自乗得四百减负积三开以亷减纵纵负四十乃以负纵除负积二百得五为三商而以隅五自乗得二十五减负积尽为长一百二十五【负积六百二十五常法开平方亦得二十五平方再开亷法之四十犹翻法三开负纵之四十也葢纵亷相减负纵即是余亷而在负隅法中方亷隅皆负也纵乃正也以相减则负纵固是余负亷也】
一以亷减纵有余纵不可以除负积者约计当得次商若干以乗负隅为隅法再减余纵纵负则以负纵除负积合次商【负纵与隅法皆所用以除负积者也无负纵则独用隅法有余纵则以隅法相减】如实一千六百六十六和八十三初商四十而负积五十四再开以亷减纵余三即约九为次商以再减余纵纵负六乃以负纵除负积合次商为长四十九也
一以亷减纵有余纵不可以除负积再以隅减纵适尽者此为有商无除【隅与纵相减并尽既无负纵即无余隅矣无可用以除负积者也】而其负积则续商以除之如实五万五千五百七十五和四百八十初商二百而负积四百二十五再开以亷减纵余八十即以八十为次商【若以九十为次商则减纵而纵负一十矣然以一十除负积欲合次商之九十当有负积九百乃足除耳今只四百二十五是负积又负于法不得行也】以再减余纵适尽无可除三开以亷减纵纵负八十乃以负纵除负积四百得五为三商而以隅五自乗得二十五减负积尽为长二百八十五一以亷减纵有余纵再以隅减纵仍有余纵者以余纵乗商益负积【余纵以减积负纵以减负积然则余纵当以益负积矣】而续商以除之如实一万六千一百二十八和二百六十四初商一百而负积二百七十二再开以亷减纵余六十四即以六十为次商【不以七十为次商者犹前例不可以九十为次商也】以再减余纵仍余四则以余纵乗商得二百四十以益负积得五百一十二三开以亷减纵纵负五十六乃以负纵除负积四百四十八得八为三商而以隅八自乗得六十四减负积尽为长一百六十八
右自带纵并方亷开平方至此凡有纵方七法六法所以御平方之变而翻法又所以通纵方之穷也此外更有隅算开平方一法其以商亷相乗与负隅同而负隅则以益积及减带纵隅算则以除积而并带纵葢隅有正负犹纵有正负也【若以一为隅算则与无隅算同商亷固即是隅算之一也】以此八法为纲领而错综变化其用不穷矣隅算法前未有例于后见之云
平方以斜径求方 法以斜径自乗为实以二为隅算开方 假如方田斜径七十步求方者以斜径自乗得四千九百为实以二为隅算初商四十以乗隅算得八十为方法以方法乗商得三千二百减实再开倍前商得八十以乗隅算得一百六十为亷法以亷法除实一千四百四十得九为次商又以次商乗隅算得一十八为隅法以隅法乗商得一百六十二减实不尽九十八倍商加隅仍乗隅算以命分为一百九十八之九十八约为九十九之四十九得方四十九零九十九之四十九也 按斜径自乗之实倍方积故以二为隅算开之【或不用隅算以斜径实半之开方亦得】旧説率方五斜径七然方五则斜七而强斜七则方五而弱未可为密率不若方斜积率方一斜二无黍丝差也
平方以方求斜径 法倍方积开方
大小两方以共积及两方互乗数求大小方 法倍两方互乗数减共积开方得两方较乃以两方互乗数为实以较为带纵用带纵并方亷开之【言并方亷而或用减积可知不待言也他仿此】得小方或以较为负纵用负纵减方亷开之得大方
又法倍两方互乗数并共积开方得两方和乃以两方互乗数为实以和为带纵一为负隅用带纵负隅减纵开之得小方或用翻法开之得大方【按此葢以句股法通之大方股也小方句也共积实也两方互乗数句股相乗长方积也故倍互乗数则与共积相并减而开方可得和与较也或和或较但得其一即以互乗数为实用纵方开之自见大小方矣若兼求和与较以见大小方不用纵方之法亦可耳】
大小两方以共积及两方较求大小方 法以较实减共积余为实以二为隅算倍较为带纵用隅算带纵并方亷开之得小方或倍较为负纵用隅算负纵减方亷开之得大方 假如大小两方田共积七千五百九十二步两方较二十八步求大方者以较自乗得七百八十四以减共积得六千八百零八为实以二为隅算倍较得五十六为负纵初商七十以乗隅算得一百四十为方法先以负纵乗商得三千九百二十益实乃以方法乗商得九千八百减实再开倍前商得一百四十以乗隅算得二百八十为亷法约计次商当得四以乗隅算得八为隅法先以负纵乗商得二百二十四益实乃以亷法除实一千一百二十合次商又以隅法乗商得三十二减实尽得大方七十四【此以隅算负纵益积法为例余可类推】
大小两方以共积及两方和求大小方 法以和实减共积余为实以二为负隅倍和为带纵用带纵负隅减纵开之得小方或用翻法开之得大方【按右二条但倍共积以减较实开方得两方和以减和实开方得两方较兼和较以见大小方最为便易然欲仿此意而推之三方以上则格而难通矣若以较和实减共积为实倍较和为带纵负纵则推之三方以上总用此法不过递增其隅算负隅之数及中方以较较为纵微不同耳合下二条观之乃知法之妙也】
大小三方以共积及三方之两较求各方 法以两较实减共积余为实以三为隅算而视其较若系大与小中与小之两较则倍两较为带纵用隅算带纵并方亷开之得小方系大与中大与小之两较则倍两较为负纵用隅算负纵减方亷开之得大方或系大与中中与小之两较而大与中之较盈于中与小之较【可知中方近小方也】则倍两较之较为带纵用隅算带纵并方亷开之大与中之较朒于中与小之较【中方近大方也】则倍较较为负纵用隅算负纵减方亷开之大与中之较中与小之较等则直用隅算开之得中方
大小三方以共积及三方之两和求各方 法以两和实减共积余为实以三为负隅倍两和为带纵用带纵负隅减纵开之得中方及小方或用翻法开之得大方【按并两和实其数自多虽以共积减之犹多也以此为实则除之常有余实矣并两和又倍之其数亦复不少以此为纵则减之常有余纵矣故举大与中与小之两和往往只用负隅减纵法即得大方不须翻法也惟大方与中小二方盈朒迥殊者乃间用翻法耳】
右四条以较求方以和求方其法两两相对由二方以推之三方更推之多方皆可以一理贯也但较有带纵负纵之分和则惟有带纵而已又中方以较较为纵与大小方固殊而以和和为纵则与大小方不异故以较求者其绪繁以和求者其术简也且如甲乙丙丁戊五方举甲与戊乙与戊丙与戊丁与戊之四较即先求戊方以四较实减共积余为实以五为隅算倍四较为带纵用隅算带纵并方亷开之求甲方者用负纵【若四较皆以甲方为主即先求甲方也 甲大戊小】并如右法至于求乙丙丁三方者当倍较较为纵而欲得较较固自有説假使求乙方即并乙与丙与丁与戊之三较而以甲与乙之较减之余则较较也葢以大于乙之较与小于乙之较相减既得较较且可知乙方为近大方为近小方而较较为带纵为负纵矣【乙下于甲一等似近大方而较较当为负纵然使并乙与丙丁戊之三较不及甲与乙一较之数即乙近小方而当为带纵也并三较与一较之数等者但用隅算开之】丙丁仿此其以和求者只如
右法云
三广田以积与三广之两较及长广较求长广 法以中广与长之较为带纵【必以中广为主此算三广之定法 既称长广则中广必朒于长故直称带纵而下文立法皆就带纵言之也然亦或有中广反盈于长者自当为负纵耳】以中广与南北广之两较并而四除之为旁纵【长既有纵广不当又称纵而广之有较亦纵也故谓之旁纵】而中广朒则为旁带纵中广盈则为旁负纵又有不同旁带纵者用双带纵并方亷兼减积开之【带纵法以并方亷为便而两纵分属长广两边则初开未可皆并入方故兼用减积法至再开或减积或并亷者亷固统长广两边不妨并两纵也】旁负纵者用带纵并方亷兼负纵益积减亷开之【带纵既用并方亷法而两纵分属长亷两边则初方不可一并一减故负纵必用益积法至再开或益积或减亷者亷统长广两边不妨且并且减也】得中广 假如三广田积二千四百六十五步中广朒于南广八步朒于北广三十六步朒于长六十七步求三广及长者以长广较六十七为带纵以两广较并而四除之得一十一为旁带纵初商一十并带纵得七十七为方法先以方法乗旁带纵得八百四十七减积乃以方法乗商得七百七十减积再开倍前商得二十并带纵得八十七为亷法约计次商当得八为隅法先以隅法乗旁带纵得八十八减积乃以亷法除积六百九十六合次商又以隅八自乗得六十四减积尽得中广一十八【各加较得南广二十六北广五十四长八十五】或再开以旁带纵并入亷法得九十八以除积七百八十四得八为次商而以隅法减积尽尤简捷
又如三广田积二千四百六十五步中广盈于南广一十五步盈于北广九步朒于长五十步求长广者以长广较五十为带纵以两广较并而四除之得六为旁负纵初商三十并带纵得八十为方法先以方法乗旁负纵得四百八十益积乃以方法乗商得二千四百减积再开倍前商得六十并带纵得一百一十为亷法约计次商当得五为隅法先以隅法乗旁负纵得三十益积乃以亷法除积五百五十合次商又以隅五自乗得二十五减积尽得中广三十五【各加减较得南广二十北广二十六长八十五】或再开以旁负纵减亷法得一百零四以除积五百二十得五为次商而以隅法减积尽尤便【按右条之法亦可以纵为旁纵以旁纵为纵也虽纵有带负之分而带纵兼旁负纵者易为负纵兼旁带纵于算亦通然长广之较自当为纵广与广之较自当为旁纵理固如此耳且如下文各条例中其法更加隅算及负隅者纵与旁纵断不可移易也】
方长带偏斜田以积及四边之三较求长广 法以一边为主若主东一边即以东长与南北广之两较俱盈俱朒者并而半之一盈一朒者相减而以所余盈朒之数半之为纵以东西之较半之为旁纵其为带纵负纵并以东一边之盈朒分之先求东长如前三广田法 假如偏斜田积四千一百四十八步东长盈于南广十步朒于北广四步朒于西长八步求各长广者以东与南北两较相减得盈六半之得三为负纵以东西较半之得四为旁带纵初商六十减负纵得五十七为方法先以方法乗旁带纵得二百二十八减积乃以方法乗商得三千四百二十减积再开倍前商得一百二十减负纵得一百一十七并旁带纵得一百二十一为亷法以亷法除积四百八十四得四为次商而以隅四自乗得一十六减积尽得东长六十四【各加减较得南广五十四北广六十八西长七十二】
又如偏斜田积一万一千四百步东长盈于南广一百三十步盈于北广一百一十步朒于西长二十步求长广者以东与南北两较相并半之得一百二十为负纵以东西较半之得一十为旁带纵初商一百【此因负纵多而初商少兼用益积法】先以负纵乗旁带纵得一千二百益积【凡带纵皆用之减积也此旁带纵何以益积葢以方法相乗则减积耳方法之中有商有带纵方也商也带纵也皆正也两正相乗宜减积一正一负相乗宜益积也】次以商乗旁带纵得一千减积又以负纵乗商得一万二千益积乃以商自乗得一万减积再开倍前商得二百减负纵得八十并旁带纵得九十为亷法以亷法除积七千二百得八十为次商而以隅八十自乗得六千四百减积尽得东长一百八十【南广五十北广七十西长二百】
又如偏斜田积八千一百步东长盈于南广一百二十五步盈于北广一百一十五步盈于西长一十六步求长广者以东与南北两较相并半之得一百二十为负纵以东西较半之得八为旁负纵初商一百先以负纵乗旁负纵得九百六十减积【凡负纵皆用之益积此旁负纵何以减积葢一正一负相乗宜益积则两负相乗又宜减积也两负如无负也】次以商乗旁负纵得八百益积又以负纵乗商得一万二千益积乃以商自乗得一万减积再开倍前商得二百减负纵得八十又减旁负纵得七十二为亷法以亷法除积五千零四十得七十为次商而以隅七十自乗得四千九百减积尽得东长一百七十【南广四十五北广五十五西长一百五十四】 按右三例第一例以负纵减方亷兼带纵减积并亷也其第二例第三例亦是负纵兼旁纵而初开以负纵减商商皆不足当以所负商数各二十为负方第二例以负方乗旁带纵得二百益积又以负方乗商得二千益积第三例以负方乗旁负纵得一百六十减积又以负方乗商得二千益积即初开各毕矣前着例颇详者欲使其中条理显然而防径自出也
三广田以积与三广和两广较及长广较求长广 法以四乗积为实以和为带纵一为隅算【凡三广必倍中广并边两广而四除之以为广今四乗积则可以当四除矣乃以三广和为带纵而犹少一中广即以一隅算并纵隅算固所求之中广也】以中广与长之较为旁带纵【如中广反盈于长则为负也】用隅算双带纵并方亷兼减积开之得中广【以加长广较得长以减三广和得南北二广和欲知南北各广数以两广较推之其较非必南北之较而皆可以次第推也 按此以长广较为旁纵者和不得为旁纵也凡和为带纵必加隅算及负隅而隅算负隅势不得在旁也此隅算只一犹与无隅算同纵与旁纵可以互换非负隅之比负隅虽只一其纵亦不可移耳】
方长带偏斜田以积与三边和及长较广较求长广法以二乗积为实以和为带纵一为负隅【以三边和为带纵非有二长即有二广故以二乗积而有二长者一为负隅以求广因以减纵中之广有二广者一为负隅以求长因以减纵中之长】以长较或广较半之为旁纵【求长则取长较求广则取广较】其为带纵负纵以所求一边之盈朒分之乃用带纵负隅减纵兼旁纵开之得一边长广 假如偏斜田积四千一百四十八步东南北三边和一百八十六步东长朒于西八步南广朒于北一十四步求各长广者以二乗积得八千二百九十六为实以一为负隅以和一百八十六为带纵以东西较半之得四为旁带纵初商六十以乗负隅仍得六十为方法以方法减纵余一百二十六先以余纵乗旁带纵得五百零四减实乃以余纵乗商得七千五百六十减实再开倍前商得一百二十以乗负隅仍得一百二十为亷法约计次商当得四以乗负隅仍得四为隅法以亷法减纵余六十六又以隅法减纵余六十二乃先以隅法乗旁带纵得一十六益实【在负隅法中方亷隅皆负也旁带纵以正而与负乗故宜益实也】而以余纵减实二百四十八合次商得东长六十四【以减和更以广较推之得南广五十四北广六十八以长较见西长七十二】或再开以旁带纵乗负隅仍得四【凡纵不与隅算及负隅二者相乗而旁纵自再开以后欲与亷纵相并减则必与二者相乗也前以隅法乗之而益积隅法固已先乗负隅矣】以减纵余五十八【带纵而乗负隅故以减纵】而以除实二百三十二合次商亦便
又如偏斜田积三千二百五十步东南北三边和一百七十四步东长朒于西一十二步南广朒于北六步此须用带纵负隅减纵翻法【倍积为实则除实宜有余实一长二广为纵则减纵宜有余纵而或须用翻法者必其田狭长之甚也】而兼旁纵开之以二乗积得六千五百为实以一为负隅以和一百七十四为带纵以东西较半之得六为旁带纵初商一百【若商八十或九十则负积愈多而八十且有余纵无以置之九十虽有负纵其数甚少不能除尽负积故定商一百】以乗负隅仍得一百为方法以方法减纵余七十四先以余纵乗旁带纵得四百四十四减实乃以余纵乗商得七千四百减实实负一千三百四十四再开倍前商得二百以乗负隅仍得二百为亷法以亷法减纵纵负二十六约计次商当得二十以乗负隅仍得二十为隅法先以隅法乗旁带纵得一百二十减负实乃以负纵除负实五百二十合次商又以隅法乗商得四百减负实三开倍前商得二百四十以乗负隅仍得二百四十为亷法以亷法减纵纵负六十六约计三商当得四以乗负隅仍得四为隅法先以隅法乗旁带纵得二十四减负实乃以负纵除负实二百六十四合三商又以隅法乗商得一十六减负实尽得东长一百二十四【南广二十二北广二十八西长一百三十六】或再开以旁带纵乗负隅仍得六以并负纵得三十二以除负实六百四十得二十为次商而以隅法减负实四百三开以旁带纵乗负隅仍得六以并负纵得七十二以除负实二百八十八得四为三商而以隅法减负实尽尤便 按算术固不能尽言即如偏斜田设举积及东南和东北和东西较则并两和为带纵以二为负隅而依前半较为旁纵倍积为实开之得东长或举积及东南和东北和东西和则以四乗积为实以东西和除之得南北和而并东南和东北和以南北和减之半其余得东长如三广田举积与三广之两较及长广和则以和为带纵一为负隅并两较而四除之为旁纵以开积得中广神而明之法随问变岂可限也兹因偏斜田而引伸其説凡诸条例莫不皆然请以俟通人之自悟焉
长方以重长重广共步及积求长广 法以共步为带纵而求长则以长数【重几长则为几数也下广数同】为负隅以广数乗积为实求广则以广数为负隅以长数乗积为实用带纵负隅减纵及翻法开之【不论求长求广但负隅数少乗积数多者积与纵常有余往往用带纵负隅减纵法负隅数多乗积数少者积与纵常不足往往用翻法惟田形狭长之甚者则不然临算当自知之不可预定耳】 假如长方积八百六十四步二长五广共一百九十二步为带纵以五乗积得四千三百二十为实【五乗积则得长乗广之数五而可以五广为带纵也】以二为负隅【实中无长自乗之数而带纵有二长故以二为负隅不益实即减纵也】用带纵负隅减纵开之得长三十六或以二乗积得一千七百二十八为实以五为负隅用翻法开之得广二十四 更有重长重广重和重较共步及积求长广者如积八百六十四步一和二较三长四广共二百八十八步法先约一和得一长一广并三长四广得四长五广又以二较益广为长共得六长三广乃如前求之若重较数多既益广尽为长而尚有余较者此则不可求长但可求广【原积无长乗较之数故不可求长原积有广自乗及广乗较之数各一故可求广】且如积八百六十四步一和六较三长四广共三百三十六步约一和三长四广得四长五广又以六较之五益广为长共得九长而余一较则以九长减较为广乃得九广十较而以十乗积得八千六百四十为实以一为隅算【十乗积则得广自乗及广乗较之数各十而带纵少一广故以一为隅算并纵也】以共步为带纵用隅算带纵并方亷开之得广二十四
长方以长广母子分数之共步及积求长广 法以长母乗广子为广率为广数以广母乗长子为长率为长数以两母相乗为总率以乗共步为带纵乃如前重长重广例求之 假如长方积八百四十步五分长之二四分广之一共二十步求长广者以五乗一得五为广率为五广以四乗二得八为长率为八长以五与四乗得二十为总率以乗共步得四百为带纵而此带纵之数凡有八长五广也乃以八乗积得六千七百二十为实以五为负隅用带纵负隅减纵开之得广二十四或以五乗积得四千二百为实以八为负隅用翻法开之得长三十五
长方匿原积以长乗重长重广积步及较或以广乗重长重广积步及较求长广 法以乗积为实并长广数为隅算而长乗求长则以广数乗较为负纵用隅算负纵减方亷开之广乗求广则以长数乗较为带纵用隅算带纵并方亷开之若广乗求长则以广数乗较为负纵又以较为旁负纵用隅算双负纵减方亷兼益积开之长乗求广则以长数乗较为带纵又以较为旁带纵用隅算双带纵并方亷兼减积开之假如长方匿其原积而以广乗六长三广得六千
九百一十二步其长广较一十二步求长者以乗积六千九百一十二为实以九为隅算以三乗较得三十六为负纵又以较一十二为旁负纵初商三十以乗隅算得二百七十减负纵得二百三十四为方法先以方法乗旁负纵得二千八百零八益实乃以方法乗商得七千零二十减实再开倍前商得六十以乗隅算得五百四十减负纵得五百零四为亷法约计次商当得六以乗隅算得五十四为隅法先以隅法乗旁负纵得六百四十八益实乃以亷法除实三千零二十四合次商又以隅法乗商得三百二十四减实尽得长三十六或再开以旁负纵乗隅算得一百零八以减亷法得三百九十六以除实二千三百七十六得六为次商而以隅法减实尽尤捷 右法更有以长乗重长重广重和重较或以广乗之而以其积步及较求长广者并先约和较为长广不待言矣若以较益广尽为长而尚有余较如前九长一较之比者别自有法且如九长一较法以九为隅算而长乗求长则以一乗较为带纵广乗求广则以十乗较为带纵【九广十较也】广乗求长则以一乗较为带纵又以较为旁负纵长乗求广则以十乗较为带纵又以较为旁带纵依例开之
长方匿原积以长乗重长重广积步及和或以广乗重长重广积步及和求长广 此与前一条相似而不同以长乗者但可求长以广乗者但可求广【隅算及负隅无旁加者势不能也故长乗不便于求广广乗不便于求长矣】法亦以乗积为实而长乗求长则以广数乗和为带纵广乗求广则以长数乗和为带纵又以长广数相减余数为隅算不足数为负隅求长取长求广取广为之乃用隅算带纵并方亷或用带纵负隅减纵及翻法开之如六长三广长乗求长则以三乗和为带纵以三为隅算【六长三广相减长余三以为隅算之数葢并三长于带纵得六长三广也】广乗求广则以六乗和为带纵以三为负隅【六长三广相减广不足三以为负隅之数葢减三广于带纵亦得六长三广也】开之是也 右法长广所乗若更兼重和重较者先约和较为长广而约得余较如前九长一较之比亦别有法且如九长一较长乗求长则以一乗和为负纵以十一为隅算【减一长一广于隅算得九长一较也】广乗求广则以十乗和为带纵以十一为负隅【减十一广于带纵亦得九长一较也】依例开之
九章録要卷六
<子部,天文算法类,算书之属,九章录要>
钦定四库全书
九章录要卷七
松江屠文漪撰
商功法
古九章五曰商功以御功程积实
堑堵求积尺 凡筑城墙堤堑之类上下广不等者法并上下广折半以髙乘之复以长乘之得积
堑堵求积又法 堤堑之类亦有两头之上广之下广之髙各不等者法倍东髙加入西髙以东头上下广并而乘之折半又倍西髙加入东髙以西头上下广并而乘之折半并二数以长乘之以六除之或不用两度折半者则以十二除之【右一条新订】
方台求积 法同粟米章方窖
长方台求积法同长方窖
员台求积 法同员窖
长员台求积法同长员窖
方锥求积 法同粟米方尖堆
方锥改方台求各数法 假如方锥下方二十四尺髙三十二尺今改方台上方六尺问髙几何
一率 二十四【原下方尺数无减】
二率 三十二【原髙尺数】
三率 一十八【今上下方较尺数】
四率 二十四【今髙尺数】
又如前例问截去几何
一率 二十四【下方】
二率 三十二【原髙】
三率 六【今台上方即今截下方】
四率 八【今所截之髙】
右二例若求今髙以减原髙亦得所截之髙求截髙以减原髙亦得今髙而必备其法者庻各得所求不须借径也又如前例今髙二十四尺问上方几何
一率 三十二【原髙】
二率 二十四【下方】
三率 八【今髙减原髙为所截之髙】
四率 六【今截下方即今台上方】
右例亦可以今髙列三率求得四率为今上下方较以减下方而得上方也
员台改员锥求各数 假如员台下周七十二尺上周一十八尺髙二十四尺今改员锥问髙防何
一率 五十四【原上下周较】
二率 二十四【原髙】
三率 七十二【今下周无减】
四率 三十二【今髙】
又如前例问增髙防何
一率 五十四【原上下周较】
二率 二十四【原髙】
三率 一十八【原台上周即今增下周】
四率 八【今所增之髙】
又如前例今髙三十二尺问上周
一率 二十四【原髙】
二率 五十四【原上下周较】
三率 三十二【今髙】
四率 七十二【今上下周较以减下周适尽知为员锥也】
右例亦可以今所增之髙列三率求得四率为所增上下周较以减原上周适尽而知为员锥也
又右六法方减员增特互举以见例而法则相通且方或以周算员或以径算亦皆同耳
堑堵增减求数法 假如筑墙上广二尺下广六尺髙二十尺今已筑至上广三尺六寸问髙防何
一率 四十【原上下广较化寸数】
二率 二十【原高尺数】
三率 二十四【今上下广较化寸数】
四率 一十二【今高尺数】
又如前例今欲筑至髙二十四尺问上广防何一率 二十【原高尺数】
二率 四十【原上下广较化寸数】
三率 二十四【今高尺数】
四率 四十八【今上下广较寸数以减下广得一十二寸为今上广】
堑堵以直高求斜高以斜高求直高 法以上下广较半之为勾直高为股斜高为以勾股法互求之【右一条新増】
功程迟速例 假如乙匠制造四十五日而毕加甲匠则十八日而毕问独用甲匠须防日法以十八日减四十五日得二十七日为乙匠未毕之工知甲匠十八日当乙二十七日也列率求之
一率 二十七
二率 一十八
三率 四十五
四率 三十
又如甲匠制造六十日而毕乙匠则百日而毕问两匠并营须防日法以六十日除百日得甲匠一日之工当乙匠一日又三分日之二并乙匠一日得二日又三分日之二以除百日得三十七日又二分日之一为并营日数或以百日除六十日得乙匠一日之工当甲匠五分日之三并甲匠一日得一日又五分日之三以除六十日亦得三十七日又二分日之一【右一条新增】
方尖堆物求积【自此以下皆隙积之法隙积谓积之有隙者如累棊及积酒罂之类与前积尺法不同】 假如方尖堆下广十二问积防何法置下广十二别以下广加一枚为十三而乗之得一百五十六又以下广加半枚为十二有半而乗之得一千九百五十以三除之得积六百五十
方平堆物求积 法以下广依尖堆法求积别以上广减一枚为下广依尖堆法求积两尖堆积相减得平堆积【此以平堆先作尖算乃减上虗尖成平也】
长方平尖堆求积【旣云尖又云平者上广只一故谓之尖上长不止于一故又谓之平也】假如长方平尖堆下广十长十二问积防何法以
长广较半之得一又加半枚得一有半并长得十三有半以广乗之得一百三十五又以广加一枚为十一而乗之得一千四百八十五以三除之得积四百九十五 又法先以广长较加一枚得上长而算之【上广只一不必言】假如平尖堆下广八长十三问积几何此可知上广一而长六也乃倍下长加上长得三十二以下广乗之得二百五十六又以下广乗之得二千零四十八并二百五十六得二千三百零四以六除之得积三百八十四
长方平堆求积 法倍上长加下长以上广乗之又倍下长加上长以下广乗之并二数加上下长较【上下广较同】以髙乗之【上下长较加一数得髙上下广较亦同】以六除之得积按此法长方平尖堆及方尖堆方平堆皆可用之盖一法而兼四法可云居要者也
三角尖堆求积 假如三角尖堆下广八问积防何法置下广八别以下广加一枚为九而乗之得七十二又以下广加二枚为十而乗之得七百二十以六除之得积一百二十
三角平堆求积 法以上广自乗又以下广自乗又以上广乗下广又倍下广加上广并四数以髙乗之【上下广较加一数得髙】以六除之得积 按此法亦可用之三角尖堆
九章录要卷七
钦定四库全书
九章录要卷八
松江屠文漪撰
均输法
古九章六曰均输以御逺近劳费
均输例 假如有粮二万石令甲乙丙丁戊五县依戸口多少道里逺近价値上下而均输之每车载五十石行一里僦値一钱甲县三万零五百二十戸米石价二两乙县一万二千三百一十二戸米石价一两四钱逺输二百里丙县七千一百八十二户米石价一两六钱逺输一百五十里丁县一万三千三百四十三户米石价一两七钱逺输二百五十里戊县一万五千三百一十戸米石价一两三钱逺输三百五十里问五县各防何五县每戸各几何法以僦价并入米价以除各县户数而求各县之衰惟甲县自输本县无僦价以米价化为二十钱除户数得一千五百二十六为甲衰其乙丙丁戊四县俱有僦价各以所输里数乗僦一钱而以每载五十石除之得各运价乙县行二百里乗除得四钱并米价共一十八钱以除戸数得六百八十四为乙衰丙县行一百五十里乗除得三钱并米价共一十九钱以除戸数得三百七十八为丙衰丁县行二百五十里乗除得五钱并米价共二十二钱以除戸数得六百零六又二之一为丁衰戊县行三百五十里乗除得七钱并米价共二十钱以除戸数得七百六十五又二之一为戊衰并五衰共三千九百六十为总衰
一率 三千九百六十
二率 二万
三率 【二千五百 六百八十 三百七十 六百零六 七百六十五二十六 四 八 又二之一 又二之一
甲 乙 丙 丁 戊】
四率 【七千七百 三千四百 一千九百三千零六三千八百零七石零 五十四石 零九石零十三石一六十六石七升又九 五斗四升 九升又十一 斗三升又一斗六升十九分升 又十一分 分升之一 九十九分又九十九
之七 升之六 升 分升之三 十六】
右已得各县米数次以各县戸数除之即得每戸数
逺近劳费襍例 假如僦车运货原议行路二千里载重二千四百斤给値一十五两今重三千斤行二千六百里问値防何
一率 四百八十万【原路及重相乗数约为四十八】
二率 一十五【原値两数】
三率 七百八十万【今路及重相乗数约为七十八】
四率 二十四又八分之三【今値两数】
右亦可用重测法
一率 二千【原行里数】
二率 一十五【原値两数】
三率 二千六百【今行里数】
四率 一十九又二之一【今行路仍载原重僦值两数】
又
一率 二千四百【今行路载原重斤数】
二率 一十九又二之一【原重须僦价两数】
三率 三千【今重斤数】
四率 二十四又八之三
右重测法或先以载重列率次以行路列率求之一率 二千四百【原重】
二率 一十五【原値】
三率 三千【今重】
四率 一十八又四之三【今重仍行原路僦値两数】
又
一率 二千【今重行原路】
二率 一十八又四之三【原路僦价】
三率 二千六百【今行路】
四率 二十四又八之三
又如前例载二千四百斤行二千里値一十五两今载三千二百斤给値一十二两问当行路防何一率 二千四百【原重】
二率 一十五【原値】
三率 三千二百【今重】
四率 二十【今重仍行原路僦値】
又
一率 二十【今重行原路値】
二率 二千【原路】
三率 一十二【今値】
四率 一千二百【今路】
右亦可用并测法求得四率今重兼行路之数再以今重除之得行路数【下同】
又如前例载二千四百斤行二千里値一十五两今路一千七百里给值七两六钱五分问当载重防何一率 二千【原路】
二率 一十五【原値两数 或化为一千五百分】
三率 一千七百【今路】
四率 一十二又四之三【今路仍载原重僦値 或化一千二百七十五分】又
一率 一十二又四之三【今路载原重値 或化一千二百七十五分】二率 二千四百【原重】
三率 七又二十之一十三【今值 或化七百六十五分】
四率 一千四百四十【今重】
又如驿使先发一十三日别遣骑追之驰二日半访之驿舍知先后经过较十一日半问更须防日可及一率 一又二之一【先发日减较日为追上日数】
二率 二又二之一【驰追日数】
三率 一十一又二之一【较日数】
四率 一十九又六之一【追及日数右一条新订】
又如行程二千七百里十八人同行止有马七匹更换骑之十里一换问骑行歩行各防何法以马数乗行程得数以人数除之得每人骑行一千零五十里减行程余为歩行数
又如空车日行七十里若重载即日行五十里今运米到仓五日三返问路逺防何法并空车重车日行数以三返乗之为日数列一率以空车重车日行数相乗为里数列二率知以三百六十日行三千五百里而三返也乃以五日列三率求之
一率 三百六十
二率 三千五百
三率 五
四率 四十八又一十八之一十一【所求里数】
九章录要卷八
钦定四库全书
九章录要卷九
松江屠文漪撰
盈朒法
古九章七曰盈朒亦曰盈不足以御隐襍互见
盈不足例 假如众人分帛每人六匹盈七匹每人八匹不足九匹问人数帛数各防何法以盈不足数相并为人实以分数互乗盈不足数相幷为帛实乃以分数相减之较为法除人实得人数八除帛实得帛数五十五 按盈不足数及分数互乗盈不足数俱相并若遇两盈两不足即相减惟以分数相减之较为法则诸例皆同都不用并也
又按右例若止求人数以乗分数而以盈不足数加减算之亦得帛数即不用互乗之法可也以下诸例仿此
又如田形长方欲于中截分一段截长七歩不足七歩截长九歩盈十一歩问原阔歩及所截积歩各防何法以盈不足数相幷为原阔之实以截长数互乗盈不足数相幷为截积之实俱以截长之较为法除之得原阔歩九截积歩七十
又如绢一匹作帐折成六幅比旧帐长六寸折成七幅比旧帐短四寸问旧帐幅新绢各长防何法先以幅数各乗长短数以为盈不足数【六幅共盈三十六寸七幅共朒二十八寸不以六寸四寸为盈朒数也】然后以盈不足数相并为旧帐幅实以幅数互乗盈不足数相并为新绢实俱以幅数之较为法除之得旧帐幅长六尺四寸新绢长四丈二尺
又如井不知深【谓水面以上至井口非谓水深也】将绳折作三股入井汲水余绳四尺折作四股入井余绳一尺问井深绳长各防何法先以股数各乗余绳数以为两盈数【与上帐幅例同】然后以两盈数相减为井实以股数互乗两盈数相减为绳实俱以股数之较为法除之得井深八尺绳长三丈六尺
又如官米不知其数甲乙二等户并输乙户所输当甲户十之八令甲等八户乙等五戸输之不足三石令甲等六户乙等八戸输之不足一石问二等户输米则例及官米总数各防何法先以甲乙二等衰各乗户数依问所列并之以为输数【此兼用衰分之法甲衰十乗八户乙衰八乗五户并得一百二十甲衰十乗六户乙衰八乗八户并得一百二十四为输数不以原户数为输数也】然后以两不足数相减为则例之实以输数互乗两不足数相减为总米之实乃以输数之较为法除则例实以二等衰各乗之得二等戸输米则例甲每户五石乙每户四石【按以法除则例之实当得则例之数而此条乃不同者前旣以甲户乗衰作十数乙户乗衰作八数则此除得之数仅得甲户十之一乙户八之一故须以二等衰各乗之而后二等则例皆得也】又以输数之较为法除总米实得官米总六十三石
按右三条其法不异于前两条但中间复带细数须相乗者故微有不同耳若带分盈朒虽亦大略相类而自为一法别起例于后
又如长方田中欲截分一段截长三十八歩不足二十五歩截长四十歩适足问原阔歩及所截积歩各防何法以不足数为原阔之实以适足之截长数乗不足数为截积之实俱以截长之较为法除之得原阔十二歩半截积五百歩【一盈一适足者仿此】
带分盈不足例 假如将银买物用银三分之二盈三两用五分之三不足一两问银数物价各防何法先以分子互乗分母以为用银数【分子二乗分母五则以十为用数不以二为用数分子三乗分母三则以九为用数不以三为用数】然后以盈不足数相并以两分母相乗之数乗之为银实【分子旣互乗分母以为用数则盈不足亦必累乗两分母以为银实也】以用银数互乗盈不足数相并为物价实俱以用银数之较为法除之得总银六十两物价三十七两
又如众人买物每六人共出银九两盈三两每四人共出银七两盈六两问人数物价各防何法如前先以银率互乗人率以为出银数然后以两盈数相减以两人率相乗之数乗之为人实以出银数互乗两盈数相减为物价实俱以出银数之较为法除之得人数一十二物价两数一十五
按右例似与带分有别而实则同也六人共银九两即是六分之九零分法原有子数多于母数者也所用算术旣无少异宜附带分之条或别立名目重出一条徒滋学者之惑殆未深知其理之一耳 又按第一例旣以用银数互乗盈不足得数若再以用银数与乗得之数又互换而乗之【前用银数十互乗不足一两仍得十用银数九互乗盈三两得二十七今再以用银数十互乗二十七得二百七十用银数九互乗十得九十也】相并以两分子相乗之数除之以为银实【第二例亦然此姑就第一例言之】于算亦通而叠用互乗数目纷纭非法之良宜从芟削者也【右二条新订】
又如将银买米用银三分之一买十石不足三两用九分之四买十二石不足二两问银数及米每石价各防何法先以分子互乗分母及石数以为用银数以两不足数互乗石数以为两不足数然后以两不足数相减以两分母相乗之数乗之为银实以用银数互乗两不足数相减以两石数相乗之数除之为米价实俱以用银数之较为法除之得总银三十六两米每石价一两五钱
按右例于带分之外更有石数不齐须用乗除故其法颇繁宜依所问列左右二行左分子一乗右分母又乗右石数得一百零八为左用银数左不足三乗右石数得三十六为左不足数右亦如之然后再用互乗庻无淆乱之患 按用银数互乗两不足得数即以为米价实【不用两石数相乗之数除也】以用银数之较为法除之却再以十石除之则得十二石之总价以十二石除之则得十石之总价
又按用银数旣互乗两不足得数再与乗得数互换乗之相减以两石数相乗之数除之又以两分子相乗之数除之以为银实其法亦通然知之则可用之则迂矣【右一条新増】
又如谷不知数取三分之一卖银八两不足一石取九分之四卖银十两适足问总谷防何每银一两直谷防何法如前先以分子互乗分母及两数以为出谷数以适足之两数乗不足数以为不足数然后以不足数以两分母相乗之数乗之为谷实以适足之出谷数乗不足数以两两数相乗之数除之为银直实俱以出谷数之较为法除之得总谷四十五石每银一两之直谷二石
按右例旣得总谷石数但取适足银数以原母乘之原子除之即得总谷所直之银而银一两所直之谷可知矣此法最捷【右一条新订】
又按此章诸例皆可以借征法求之别着一条于第十二篇中余可反隅而得也
九章录要卷九
钦定四库全书
九章录要卷十
松江屠文漪撰
方程法
古九章八曰方程以御错揉正负
二色方程例 假如绫五匹纱八匹共价银二十四两又绫七匹纱四匹共价二十二两八钱问绫纱每匹价各防何法依所问列左右二行以绫五互乗绫七纱四及价所得数各注于其下【绫得三十五纱得二十价得一百一十四】亦以绫七互乗绫五纱八及价注所得数如前【绫得三十五纱得五十六价得一百六十八】两绫数相对减尽两纱数减余【三十六】为法两价数减余【五十四】为实以法除实得纱每匹价一两五钱乃就一行中以纱匹数乗价减共价余以绫匹数除之得绫每匹价二两四钱
按右例若以纱互乗即先得绫价于法皆通以后各例仿此
又按例以绫互乗则两绫所得数必相对减尽矣立法之意正欲使两绫数等而后价数之不齐由于纱数之不齐显然可推也然旣知此义则以后凡同物相乘如绫之比者直可省之故槪不赘书惟于右一条具文见义云
又如七钗九钿共重九两四钱钗重钿轻于中互换其一则轻重适等问钗钿各重防何法依所问钗钿互换其一以六钗一钿一钗八钿左右对列而中分其总重之数系之两行如前求之得一钗之重七钱一钿之重五钱
二色方程兼正负例 假如卖米七石买麦三石米家得银九两六钱又卖米三石买麦九石米家出银三两六钱问米麦每石价各防何法以米为正麦为负米家所得之价为正米家所出之价为负列左右两行如前若以米互乘麦及价者【麦负九得六十三价负得二十五两二钱麦负三得九价正得二十八两八钱】而麦数减余【五十四】为法两价数相并【五十四】为实以法除实得麦每石价一两乃以麦负九石乘价减负价余以米三石除之或以麦负三石乘价并正价以米七石除之得米每石价一两八钱按负有背负之义谓正之反也亦有负欠之义此
例从米家卖米言之故卖米为正买麦为负米家所得之价为正所出之价为负若从麦家言者反是其并减之法此以两正及两负同名者相减一正一负异名者相并自互乗得数及已得一物之价而以其物数乗价与原正负价幷减求第二物之价皆然
二色正负反用并减例 凡互乗所得数固以两正两负同名相减一正一负异名相并为常法而亦有反用之者假如卖米五石麦五石得银一十四两卖米四石买麦七石出银二两问米麦每石价各防何此若以米互乗麦与价【米系两正同名】则两米相乘所得数自必相对减尽不待乗而可知矣两麦两价俱系正负异名其乘得数固宜相并如常法也【麦正得二十麦负得三十五并得五十五价正得五十六价负得一十并得六十六】若以麦互乗米与价【麦系正负异名】则两麦相乘所得数乃须相并殊非立法之意故变通其法反以两麦相减而两米俱正同名反相并【米五得三十五米四得二十并得五十五】两价正负异名亦反相减【价正得九十八价负得一十减得八十八】此其义何也卖米买麦而出银犹之买米卖麦而得银然则正可变为负负可变为正今不变其正负之名但变其并减之法此法之变生乎常而常变不殊其用者也且非特此也同名相减取其数之齐者以相比例而其余之不齐可得而推故同减而异必并异名相减取其数之齐者以相偿补而其余之不齐亦可得而推故异减而同必并此法之变反乎常而常变各成其用者也依法求之得米每石价一两六钱麦每石价一两二钱自三色正负以上凡互乘所得数则两法并用若已得一物之价而以其物数乗价与原正负价相并减求第二物之价者只依常法不在变通之例
按右所论同减异并异减同并明其所以然之故益见法之当然而不可易矣乃旣经并减后所得之数谓之正乎谓之负乎此在二色方程但取其数为法实以相除犹不必深辨也若三色以上而不分正负后更与他数相并减其道何由故特剖而论之曰凡并减虽两行相对要以一行为主如以正并者【为主之行系正也】得数仍为正以负并者得数仍为负也以正减者减而有余【为主之行有余也】则为正减而不足则为负以负减者减而有余则为负减而不足则为正也此一定之理断不容混耳更有为主之行无数而借相对之行所有数虚立于本行以为数者或遇应借而不知借或借而槩称为负则非矣夫数岂可借盖实非借也试思两正相减而此少彼多犹谓之负则此无彼有得不谓之负乎【两负相减亦然】又试思以正幷负而此有正数犹取彼负以益之则此无正数得不取彼负以实之乎【以负并正亦然】故借正为负借负为正凡以同名互乘相减者固宜如是也若以异名互乗则亦当借正为正借负为负此皆自然之理施之于算无往不合者其要则曰同减异借异减同借两言而已每见算家之书于已经并减之数及应借之数处之茫然莫能致辨于是误在毫厘失之千里纵复强为牵合究且于率难通则方程之法或防乎废矣兹因论并减异同而并畅其説然后以三色四色方程着例于左览者当如观火而自五色以上直可推之至于无穷也【右一条新订】
三色方程例 假如绫五匹纱三匹防五匹共价二十二两五钱又绫四匹纱二匹防七匹共价二十一两又绫八匹纱六匹防九匹共价三十九两问三物每匹价各防何法依所问列左右中三行乃以左行中行绫互乘纱防及价又以右行中行绫互乗纱防及价所得数各注于其下次以中行左行相减且如左行为主【或以中行为主亦可】减得纱正八防负二十价负一十二注左行之旁又以中行右行相减且如右行为主减得纱正二防负一十五价负一十五注右行之旁【图式具后其左右中三行上中三层俱可互换耳】
两旁所注数即是二色方程再依二色法求之得防每匹价一两二钱纱每匹一两五钱二价旣得绫价易见每匹二两四钱【按右例原数无正负因相减而有正负也若左例原数已兼正负则别为一条 又按方程章惟右一例不可用借徴法余并可以借徴求之而条缕多者方程为便】
三色方程兼正负例 假如绫五匹换纱三匹绫家得银七两五钱又绫四匹换纱二匹防七匹绫家出银一两八钱又绫八匹换防九匹绫家得银八两四钱问三物每匹价各防何法如前列左右中三行其一物而三行俱有者用以互乘余物及价各注所得数空者阙之【依后图以上乗下为便故第一层三行俱实而空位则在下诸层也】次以中行左行相并减且如左行为主借得纱正一十六减得防正二十并得价正四十八又以中行右行相并减且如右行为主减得纱负二借得防正三十五并得价正三十九注于两旁
再以二色方程法求之【物价同前例右一条新增】
三色方程兼正负又例【前法止于三色而已此法则四色五色所从出也】 假如依前例绫正五纱负三价正七两五钱绫正四纱负二防负七价负一两八钱绫正八防负九价正八两四钱求各物价法列三行如后图式【惟第一行第三层第三行第二层可虗可实余必如图】专以第三行为主先以第三行纱互乗第一行绫防及价以第一行纱互乗第三行绫及价各注所得数乃以第三行与第一行相并减借得防正二十一减得绫负二并得价正二十两零四钱次以第三行借防互乗第二行绫及价以第二行防互乗第三行绫及价【就第一行互乗相并减之数而乗之非乗原数也】各注所得数乃以第三行与第二行相并减减得绫正一百五十为法并得价正三百六十两为实以法除实得绫每匹价以次求各价
又如行程顾骡一匹马一匹共价钱七百又顾马二匹驴一匹共价八百四十又顾骡一匹驴三匹共价七百问三物每匹顾値各防何法列三行如前以第三行与第一行互乗乃相并减借得马负一驴无并减只用乗得之数价减尽不存次与第二行互乗第三行价已尽无乗阙之乃相并减并得驴正七为法借得价正八百四十为实以法除实得驴每匹价一百二十以次求各价驴每匹三百四十马每匹三百六十
按此例三物及价俱正而云正负者三物中缺其一是乃所谓负也算家就物强分正负则谬之甚者又如依前所问更置其位先求一骡之力
又更置其位先求一马之力【此例算家误甚故反覆以明之】
【右一条三式俱新订】
四色方程兼正负例【四色五色以上皆与三色一法聊着此以见例云】假如绫二匹纱七匹共价一十五两三钱又纱 匹绢三匹共价九两又绢五匹防五匹共价一十一两又防四匹绫三匹共价一十二两问四物每匹价各防何法列四行如后图式乃依前法以第四行为主先与第一行互乘而并减之次第二行次第三行最后减得防负一百五十五为法价负一百八十六为实以法除实得防每匹价一两二钱余价次第求之绫每匹二两四钱纱每匹一两五钱绢每匹一两
按自三色方程以上凡前诸行所有之物为末行所无者互乗后即借其乘得之数下层之价亦然如末行无价与第一行互乘而借其数或第一行亦无价则待至二三行互乘后有数而借之也若有数而减尽即彼此俱无数当于次行互乗后借之其末行所有之物为前诸行所无者无可并减末行只用互乗所得之数下层之价亦然【右一条新订】
九章录要卷十
<子部,天文算法类,算书之属,九章录要>
钦定四库全书
九章录要卷十一之一
松江屠文漪撰
句股法
古九章九曰句股以御髙深广逺
广曰句
修曰股
斜径曰
句股相减之差数曰句股较
句相减之差数曰句较
股相减之差数曰股较
与句股较相减之差数曰较较 【句较和 股和较】与句股和相减之差数曰和较 【句较较 股较较】
句股相并之通数曰句股和
句相并之通数曰句和
股相并之通数曰股和
与句股较相并之通数曰较和 【句和较 股较和】
与句股和相并之通数曰和和 【句和和 股和和】
句股求 法并句股实得实开方 又法并句股较实句股和实半之亦得实
句求股 法以句实减实得股实开方 又法以句较乗句和亦得股实
股求句 法以股实减实得句实开方 又法以股较乗股和亦得句实
句与股较求股 法以较除句实得股和【和减较半之得股和幷较半之得余仿此】 又法以句实减较实倍较而除之得股【股并较得】 又法以句实并较实倍较而除之得【减较得股】
股与句较求句 法以较除股实得句和 又法以股实减较实倍较而除之得句 又法以股实并较实倍较而除之得
句与股和求股 法以和除句实得股较 又法以句实减和实倍和而除之得股【股减和得】 又法以句实并和实倍和而除之得【减和得股】
股与句和求句 法以和除股实得句较 又法以股实减和实倍和而除之得句 又法以股实并和实倍和而除之得
句与较较求股 法以句减较较得股较股与较较求句 法以股并较较得句和句与和较求股 法以句减和较得股较股与和较求句 法以股减和较得句较句与较和求股 法以句并较和得股和股与较和求句 法以股减较和得句较句与和和求股 法以句减和和得股和股与和和求句 法以股减和和得句和与句股较求句股 法倍实减较实开方得句股和
与句股和求句股 法倍实减和实开方得句股较
句较股较求句股 法以两较相乗倍之开方得和较并股较得句并句较得股并两较得减句股和亦得
句和股和求句股 法以两和相乘倍之开方得和和减股和得句减句和得股减两和得减句股和亦得
句和股较求句股 法以和较相乘倍之开方得较较减股较得句减句和得股减一较一和得并句股较亦得
句较股和求句股 法以较和相乘倍之开方得较和减股和得句减句较得股减一和一较得减句股较亦得【右二条新增】
较较和较求句股 法以两较相减半之得股较相并半之得句 又法以两较相乘为实以两较相减为法除之得股并两较实半之以两较相减为法除之得
较和和和求句股 法以两和相并半之得股和相减半之得句 又法以两和相乘为实以两和相并为法除之得股并两和实半之以两和相并为法除之得
和较较和求句股 法以较和相减半之得句较相并半之得股 又法以较和相乗为实以较和相减为法除之得句并较和实半之以较和相减为法除之得
较较和和求句股 法以较和相并半之得句和相减半之得股 又法以较和相乗为实以较和相并为法除之得句并较和实半之以较和相并为法除之得【右四条新增】
较较较和求句股 法以较和相减半之得句股较相并半之得
和较和和求句股 法以较和相并半之得句股和相减半之得
句股求积法以句股相乗半之得积
【后凡称积者皆指此其云句股矩者则句股相乗之幂乃少广章所称之积指长方积而言者也】
与句股较求积 法以实减较实以四除之与句股和求积 法以实减和实以四除之积句求股 法倍积以句除之
积股求句 法倍积以股除之
积求句股 法以四乗积减实开方得句股较并实开方得句股和
积与句股较求句股 法以八乗积并较实开方得句股和以四乘积并较实开方得
积与句股和求句股 法以八乗积减和实开方得句股较以四乗积减和实开方得
【右二则或倍积以少广章纵方法求句股亦得】
积与较较求句股 法以四乗积以较较除之得较和
积与较和求句股 法以四乘积以较和除之得较较
积与和较求句股 法以四乗积以和较除之得和和
积与和和求句股 法以四乗积以和和除之得和较【右四条新增】
句股求容方 法以句股相乗以句股和除之得容方边
余句余股求容方求句股 法以余句余股相乗开方得容方边并余句得句并余股得股
容方与余句求余股与余股求余句 法以方自乘以余句除之得余股以余股除之得余句
容方与句求股与股求句法以句减容方得余句乃以句乗容方以余句除之得股以股减容方得余股乃以股乗容方以余股除之得句【右一条新增】
【按句股容方有法而容长方无法者容方大小有一定之形容长方则无定形故也然长方之幂亦必等于余句余股相乗之幂而可以长方与余句求余股与余股求余句盖测望诸法多本于此若以余句余股求长方则必知其长乃可求广知其广乃可求长不然即难求矣又长方形在句股之中有纵有横设以长广并余句股为句股减句股为余句股及与句求股与股求句则非知其纵横不可假如句十股六十与句十四股五十六内容长方广八长十二余句二余股四十八皆同但有纵横之异耳】
余句与股余股与句求容方 法以余句乗股为实以余句为带纵开平方除之得容方【余句乗股之积犹句乗容方之积故以余句为较而用长方积与较求广法也】以余股乗句为实以余股为带纵开平方除之亦得容方【义与上同】
两余句与股求离股容方 前例容方其方一边切句一边切股一角切此则切句与而一边乃离股者也离股处有内余句切处有外余句法以外余句乗股为实并两余句为带纵开平方除之得容方按容方若更离句者如前以外余句乗股为实并
两余句为带纵又以离句数为旁带纵用双带纵开平方除之得容方 又按右例虽称离股称余句然使句股互换者亦即以法互换而用之无异理也
句上容方【方形半在句内半在句外而句当其中也股上容方仿此】 法以句股相乗以股与半句和除之得方边
股上容方 法以句股相乘以句与半股和除之【按句股容长方无法者以长方大小无一定之形若半方则有定而可求矣句上股上容方是也且言句上股上则纵横已见而凡容方与句股余句股互求诸法皆可变通而用之 右二条新增】
句股求容员 法以句股相乘倍之以和和除之得容员径【即和较也】
句外容员【员在句外而从股直望之皆当员边也】 法以句股相乘倍之以较和除之【即较较也】
股外容员 法以句股相乗倍之以较较除之【即较和也】
外容员 法以句股相乘倍之以和较除之【即和和也】
句上容员【句当员径之中也】 法以句股相乗倍之以股和除之
股上容员 法以句股相乗倍之以句和除之上容员 法以句股相乗倍之以句股和除之句股上容员【句股角当员之中央也】 法以句股相乗倍之以除之
句外容半员【从股直望之当员径从直望之当员边也】 法以句股相乗倍之以句较除之
股外容半员 法以句股相乗倍之以股较除之两句中夹容员【于一股为大小二句而员在其间也】 法以两句相乗倍之以两句和除之
两股中夹容员 法以两股相乗倍之以两股和除之两中夹容员 法以两相乗倍之以两较除之句与股率句和率求股【如句三股四五则股得句和二之一是为股率一句和率二也】 法以二率相乗为股准二率各自乗相减半之为句准相并半之为凖乃以句乗股准以句准除之得股以句乘准以句准除之得
股与句率股和率求句 法以二率相乗为句准二率各自乗相减半之为股准相并半之为准乃以股乗句准以股准除之得句以股乗准以股准除之得 假如与股率句和率及与句率股和率求句股则如右二例求各准乃以乘句准以准除之得句以乗股准以准除之得股
容方与股率句和率求句股与句率股和率求句股 法如右二例求各准乃以句准乗容方边以股准除之得余句并容方边得句以股准乗容方边以句准除之得余股并容方边得股【右三条新订】
句股比例用法 木长九尺围之三尺葛生其下围木四周上与木齐问葛长法以木长为句四周三尺相乗一十二尺为股句股求得一十五尺为葛长
又例 员木径二尺五寸当中为板厚七寸问板两面广法以木径为板厚为句句求股得二尺四寸为板广
又例员木不知其径锯深一寸锯道长一尺问木径法以锯道为句锯深倍之为股较【一面锯深一寸若两靣即深二寸故倍之】句与股较求得二尺六寸为木径
又例 木不知髙索不知长木梢垂索委地二尺引索斜去离木八尺乃适到地问木髙与索长法以离木为句委地为股较句与股较求股得一十五尺为木高一十七尺为索长
又例户不知髙广竿不知长短持竿出户横之不出四尺竪之不出二尺斜之适出问户髙广与竿长法以横之不出为句较竪之不出为股较二较求句股得六尺为户广八尺为户髙十尺为竿长
又例 人不知数相与分帛帛总七百六十八匹每人分得帛数多于人数八问防人各分帛防匹法以帛总数为积分帛多于人数为句股较积与句股较求句股得二十四为人数三十二为各分帛数【句股积乃句股相乗数之半故用八乗此只当用四乘】
又例 方城不知大小四靣正中开门东门外百歩有木出南门二百二十五歩斜见木问城方法以东门外为余句南门外为余股余句余股求容方得一百五十歩倍之为城方【所求容方止城方之半故倍之也】
又例 方城不知大小东北角直北八十歩有木从东南角直南行三十八歩折而西行一千一百五十歩斜见木问城方法以直北为外余句直南为内余句西行为股两余句与股求离股容方得二百五十歩为城方【此已是城之全方故不用倍】
又例 城方七百二十歩马歩二卒同发城中央率马行二里歩行一里令歩卒直南行马卒直东行又折而西南直行抹过城东南角与歩卒防问歩卒南行歩防何马卒东行西南行歩各防何法以南行为股东行为句西南行为歩行率为股率马行率为句和率城方之半为容方容方与股率句和率求句股得八百四十为歩卒南行歩六百三十为马卒东行歩一千零五十为马卒西南行歩
九章录要卷十一之一
钦定四库全书
九章录要卷十一之二
松江屠文漪撰
句股图说
句股及诸较和更互相求法已备载于前而其所以然之故非图说不显兹首列周髀三圗而取后人圗说删其繁复补其缺漏正其迂曲辑为一篇若容员非恒用之要术可得略云
周髀句股员方图
<子部,天文算法类,算书之属,九章录要,卷十一之二>
句股相求 左右圗幂中有句股二幂之实故句股三者举两数则其一可知也
句股较句股和积相求 圗外大方为句股和幂中有句股之积八句股较幂之实一【黄实是也】幂中有句股之积四句股较幂之实一故句股较句股和积四者举两数则其余可知
句与股较求股 句实以股较为广股和为长【谓在幂内股幂外者若股实则以句较为广句和为长也】观左右图可见而后圗更显
全圗为幂内分一股幂即其余皆为句实而黄实固股较幂也青实之广亦股较也则句实以股较为广审矣两青一黄三实并其内之长兼两股其外之长兼两法应并而半之则句实以股和为长又审矣故以较除之得和也若于三实内减黄实而半之则得一青实而其长为股于三实外更加一黄实而半之则得一青一黄两实并而其长为故句实较实相减倍较除之得股相并倍较除之得也倍较除犹之半其实也股与句较求句仿此不复为圗【右圗说新订】
句与股和求股 前以股较除句实得股和则以和除必得较即前圗可推矣而句实和实相并减以求句则非后圗不明
全图为股和幂于中四隅各分一股幂即中央黄实为股较幂青实之广皆股较而就一隅论之以一股幂旁加两青实一黄实之磬折形合而成一幂夫幂兼句股二幂者也可知两青一黄三实并固与一句幂之实等也且三实并作磬折形与并作长方形无以异则句实以股较为广股和为长审矣故以和除之得较也若于全圗幂内减两青实一黄实而半之则得两股幂一青实之长方形而其广为股于全图幂外更加两青实一黄实而半之则得两股幂三青实一黄实之长方形而其广为故句实和实相减倍和除之得股相并倍和除之得也倍和除犹之半其实也股与句和求句仿此【右圗说新订】
句较股较求和较 两较相乗之幂二当和较之幂一各为图以相比则明
此图以股和为广倍句和为长而于广边截二股分之则黄实朱实之广皆股较于长边截四句分之则黄实之长青实之广皆句较而黄实固两较相乗之幂且有二也总计全圗中有句股矩八朱实青实各四黄实二夫句股矩幷朱实成句矩幷青实成股矩然则此圗中并得句矩股矩各四而存黄实为两较相乗之幂者二也乃以第二圗参之
此圗为和和幂于其内分句矩股矩各四两纵两横列四隅即中央黄实为和较幂也夫此图大幂与第一圗大幂形异而实同则以此句矩股矩各四与第一图相当而此一黄实当第一圗两黄实无疑矣然何以见右两圗大幂之异形同实更以第三圗参之
此圗亦和和幂而纵横俱截一句一一股分之则一幂旁加一句股矩一句矩一股矩合为长方形固句和股和相乗之幂【句和为广股和为长是两和相乗之幂也】而当第一图半幂也长方形之外亦有句股矩句矩股矩各一又句幂股幂并之成幂一是亦一句和股和相乘之幂而当第一圗半幂也故知第一第二两圗大幂异形同实也【右三圗并说新易】
句和股和求和和 两和相乗之幂二当和和之幂一观前两较求和较第三圗已明不复赘【右旧有圗说新删】
句和股较求较较 一和一较相乗之幂二当较较之幂一
全圗为句和幂于中分一股幂一句幂则黄实之边青实朱实之广皆股较股较乗句和应得一青实一朱实一黄实之长方形又倍之得两青实两朱实一黄实而重借一黄实也且股减句和即较较【原以一句一幷今减股则句尽而内且减一句股较矣存者宜为较较也】则两朱实一黄实一句幂并固较较之幂矣而两青实一黄实一股幂并乃成幂则两青实一黄实并又与句幂等而可代较较幂中之句幂矣故知较较幂亦得两青实两朱实两黄实也【右图説新增】
句较股和求较和 一较一和相乗之幂二当较和之幂一
全图为股和幂于中分一句幂一股幂则黄实之边青实朱实之广皆句较句较乘股和应得一青实一朱实一黄实之长方形又倍之得两青实两朱实一黄实而重借一黄实也且句减股和即较和【原以一股一并今以句减股犹余句股之较并入故为较和也】则两朱实一黄实一股幂并固较和之幂矣而两青实一黄实一句幂并乃成幂则两青实一黄实并又与股幂等而可代较和幂中之股幂矣故知较和幂亦得两青实两朱实两黄实也【右图説新増】
句股求容方
句股和与容方边相乘之幂等于句股相乘之幂何也容方旣四边等试以容方外余句言之余句为小句而方边固小股也然则大句亦小句股和也以小句股和乘大股以大句股和乘小股其幂宜等也又试以容方外余股言之余股为小股而方边固小句也然则大股亦小句股和也以小句股和乘大句以大句股和乘小句其幂又宜等也故以句股和除句股矩得容方边也【右图説新订】
容方余句余股相求
全图为句股矩幂于中斜界一平分为两幂原无小异也然则两朱两青实各自相当而余句余股相乘之幂为长方黄实者不得不等于方黄实矣故容方余句余股可互求也【右图説新订】
容方与句求股
余句与股相乗之幂犹容方邉与句相乗之幂何也余句小句也方邉小股也以小句乗大股以小股乗大句其幂宜等也故以句乗容方以余句除之得股也【容方与股求句仿此 右图説新増】又试以前三色之实言之黄与黄朱与朱青与青旣皆等则长方黄实并两朱实与方黄实并两朱实亦宜等也长方黄实并两青实与方黄实并两青实亦宜等也故容方可与句求股与股求句也
句上容方
股及半句和与方边相乘之幂等于句股相乘之幂何也方形半在句内则余句为小句半方边为小股而若以方边为小股即余句止为小句之半然则大句亦小股及半小句和也以小股及半小句和乘大股以大股及半大句和乘小股其幂宜等也故以股及半句和除句股矩得句上容方也股上容方仿此不复为图【右图说新增】
九章录要卷十一之二
钦定四库全书
九章录要卷十一之三
松江屠文漪撰
句股测望法
句股法所以施之测望而髙深广逺所求不同且古人以表后人以矩其法亦小异也别详于左
表测髙 城不知髙去城趾二丈五尺立表髙一丈却后距表五尺望城头与表末齐人目髙四尺问城髙一率 五【人足距表尺数 按若先知髙欲求逺者一二率互换而以城髙】二率 六【表减目髙尺数 减表为三率】
三率 二十五【表距城趾尺数】
四率 三十【求得尺数加表十尺得城髙】
表式髙者约长十尺或八尺短者约长四尺或三尺其制薄而方广二寸厚半之首平体直二面中心界墨就墨路垂线以权鎭之免令欹侧表趺凿空寸许铁趾实之以便竪立测髙则用髙表测深与广逺则用短表若测极逺立身髙处并用髙表至于人目至足尺寸不一且平视仰窥杪分辄移目足前后亦多难定酌用一身表约髙四尺其表端立一窥筩如荻管大长五六寸以竹与五金为之缀于表端设机仰俯目测更确
表测深 井不知深【谓水靣以上至井口非谓水深也】量井径五尺以三尺表立井沿从表末俯望与下对靣水际相参直人目入井径四寸问井深
一率 四【目入井径寸数】
二率 三十【表髙寸数】
三率 四十六【井径减目入寸数】
四率 三百四十五【井深寸数】
表测逺 江不知阔就江沿立表髙三尺八寸却后一丈六尺望表末与对岸水际相参直人目髙四尺问江阔
一率 二【人目减表寸数】
二率 一百六十【人足距表寸数】
三率 三十八【表髙寸数】
四率 三千零四十【江阔寸数】
又如大湖不知阔防何里湖濵有石壁直髙六十五丈即边壁立表髙三尺八寸却后二丈五尺望表末与对岸水际相参直人目髙四尺问湖阔
一率 二【人目减表寸数】
二率 二百五十【人足距表寸数】
三率 六千五百三十八【壁表相并寸数】
四率 八十一万七千二百五十【湖阔寸数以里法三百六十歩歩法
五尺通之得四十五里一白四十五歩】
两表测广 城墙不知东西之广于城东北隅直北四十歩立东表于东表正西三十歩立西表乃从东表直北行二歩望西表与城西北角相参直问城广一率 二【人足距东表歩数】
二率 三十【两表相距歩数】
三率 四十【东表距城歩数】
四率 六百【求得歩数加两表间三十歩得广】
四表测逺 山不知逺近指山趾一石或楼阁树木为标乃立左两表前后相距十二歩与所指标相参直次从左两表平行向右立右两表三靣表间相距各十二歩却从右后表平行向右望右前表与所指标相参直人立处距右后表二尺问山石距前表逺一率 五之二【立处距右后表尺数化为歩数】二率 十二【右两表间歩数 按右例四表中间正方或作长方形亦可】三率 十二前【两表间歩数 耳】
四率 三百六十【石逺歩数】
按右诸例皆句股容方及容长方以余句求余股法亦以小句股比类求大句股也以下各例其理大畧皆同惟重测为稍异耳
四表测逺又法 山不知逺指山趾一石测之先立甲表从甲表望山石为大股次于甲表之右【或左亦同】任意逺近立乙表甲乙表间为大句【句股之角须令正方下小句股同】次于乙表之右后任意逺近立丙表与乙表及山石相参直乙丙表间为小句又于丙表之右前立丁表与甲乙表相参直丙丁表间为小股且如小句三歩小股二十四歩大句四十歩问山石去甲表逺
一率 三【小句歩数】
二率 二十四【小股歩数】
三率 四十【大句歩数】
四率 三百二十【石逺歩数】
两表重测广逺 方城隔水不知城东西广防何及去城多逺遥对城东北隅之直北立东表于东表正西四十歩立西表齐人目处以索连之乃从东表直北行去表十七歩遥望城西北隅入索东端十歩又直北行去表七十二歩遥望城西北隅与西表相参合问城广及去表逺法先求景差
一率 四十【东西表相距歩数】
二率 七十二【后北行距表歩数】
三率 一十【入索歩数】
四率 一十八【景差歩数】
次求城广
一率 一【前北行距表减景差余歩数】
二率 三十【东西表相距减入索余歩数】
三率 一十七【前北行距表歩数】
四率 五伯一十【求得歩数加表间四十歩得城广】次求城逺
一率 一【同上】
二率 五十四【后北行距表减景差余歩数】
三率 一十七【同上】
四率 九伯一十八【城逺歩数】
重表测高逺 海中有岛不知高逺立二表各髙一丈二尺前后参直相距一百六十歩从前表退行六十九歩三尺望岛峰与前表端齐又从后表退行七十歩望岛峰与后表端齐人目高三尺问岛高
一率 二【前后退行距表歩数相减余尺数】
二率 九【表减人目髙尺数】
三率 八百【前后表相距歩数化为尺数】
四率 三千六百【求得尺数加表十二尺得岛高】次求岛去前表逺
一率 二【同上 按例若以后退行距表歩数为三率即得岛去后表逺也】二率 八百【同上】
三率 三百四十八【前退行距表歩数化为尺数】四率 一十三万九千二百【岛逺尺数】
按右例与前两表测广逺其理本同前两表间横索以测广此竪表以测髙无以异也但前两表横索只如一表而距表或近或逺以再测之此用前后表两测之其法小异耳然前例若于前两表之北相距五十四歩更立后两表横索如前而北行距东后表十八歩望城西北隅亦当入索十歩则置东西表间四十歩不算竟以入索十歩为准而前北行十七歩后北行十八歩前后表间五十四歩与右例全无异矣所求景差即是移表向后通其意者法皆一贯也
矩测髙 城不知髙距城趾二丈四尺以矩测之目窥通光与城头相参直权线在直景八度人目高四尺问城高
一率 八【直景度 按矩测与表同理若已知髙欲求逺者亦以一二率互换而以】二率 十二【矩度 城髙减目为三率也】
三率 二十四【距城尺】数
四率 三十六【求得尺】数【加目高四尺得城髙】又如墙不知髙距墙址三丈如法测之权线在倒景八度人目髙四尺问墙高
一率 十二【矩度】
二率 八【倒景度】
三率 三十【距墙尺数】
四率 二十【求得尺数加目高四尺得墙髙】
矩式以铜版或坚木为四角正方形与楸枰相似甲角乙角立两耳各通一窍名曰通光以便窥望若不设两耳即立相等两小表或安一通光之管皆可甲角为矩极系线任其下垂以权鎭之甲角至丙角斜界一墨路分矩靣为两乃自乙至丙角分直景度丁角至丙角分倒景度度各十二界墨匀分墨路俱从边起望矩极斜行毎度或更分为三分五分至十二分愈细则法愈宻矣用时甲昻乙低测髙目切乙角测深与逺目切甲角窥通光与所测物相参直任权线下垂値何度以算推之
共矩用手持未免动摇又目足游移不易审定宜制一表髙四尺或五尺置矩其上转动以机至测广别是一法以矩平置之若向南测物身在东偏则令通光与东角相参直斜望西角入矩何度乃依法推算但目望西角取准亦难宜更立一短表斜向前数尺与西角参直然后引矩极之线属之表端视线切何度方为精审 直景者句景也倒景者股景也持矩向日令日光正穿通光之两窍若权线适在两景中间是为句股平分即各物在地之景皆与其物之高等若在直景度则景必较短在倒景度则景必较长此二景之义也【假如在直景四度为矩度三之一则凡物景皆当其物三之 在倒景四度则凡物皆当其景三之一故可量物景以测其髙亦可从物髙以测其景量景测髙畧同前测髙例从髙测景畧同后测逺例】今以矩向所求物测望者则亦可前却其歩使权线适在两景中间旣句股平分知句即得股知股即得句矣其不然者分别两景算之如当以直景度为一率矩度为二率而遇倒景则以矩度为一率倒景度为二率也【亦可变倒景为直景而仍为一率然不如一二率易位之便】其当以倒景度为一率者仿此更有重测之术以前后测所値景度之较为一率而使当直得倒当倒得直则必须变倒为直或变直为倒其变之法以矩度自乗为实以所値度为法除之即得变度如倒景三度以矩度自乗得一百四十四为实以三为法除之得四十八为直景度如倒景六度五分度之二以除一百四十四得二十二度二分度之一为直景度也变直为倒亦如之
矩测深 井不知深量井径五尺以矩测之目窥通光与近身井沿及对靣水际相参直权线在直景三度问井深
一率 三【直景度】
二率 十二【矩度】
三率 五【井径尺数】
四率 二十【井深尺数】
又如池不知深已知池径二丈四尺如法测之权线在倒景七度问池深
一率 十二【矩度】
二率 七【倒景度】
三率 二十四【池径尺数】
四率 一十四【池深尺数】
矩测逺 溪不知阔溪岸直髙八尺人立岸边以矩测之通光与对岸水际相参直权线在倒景三度人目髙四尺问溪阔
一率 三【倒景度】
二率 十二【矩度】
三率 十二【人目溪岸并尺数】
四率 四十八【溪阔尺数】
矩测广 城墙不知东西之广于城东北角直北相距三十歩以矩测之通光与城东北角相参直斜望西北角入矩倒景一度五分度之一问城广
一率 六【倒景度通为分数】
二率 六十【矩度通为分数】
三率 三十【距城歩数】
四率 三百【城广歩数】
重矩测髙逺 山不知髙逺以矩测之通光与山顶相参直权线在倒景九度却后直行距前测处八十歩如前测之权线在倒景八度人目髙四尺问山高一率 二【两倒度俱变直度相减余度数】
二率 十二【矩度】
三率 四百【两测处相距歩数化为尺数】
四率 二千四百【求得尺数加目四尺得山髙】次求山去前测处逺
一率 二【同上】
二率 四百【同上】
三率 十六【前测倒度变为直度】
四率 三千二百【山逺尺数】
按重矩测广逺者依前测广法而重之遇直景皆变为倒景其列率则与重表测髙逺同盖横为广竪为髙一理也知此可以通彼不复为例
重矩测深逺 石壁濵江人立壁上不知横截江水其逺防何及石壁直下至水面防何深者边壁竪木木旁垂绳以取端直乃于石上附木用矩测之令通光与垂绳相并斜望对岸水际入矩倒景四度五分度之二却升髙去前测处一丈如前测之入倒景四度五分度之四问水逺
一率 二【两倒景相减余分数】
二率 六十【矩度通为分数】
三率 一十【两测处相去尺数】
四率 三百【水逺尺数】
次求前测处至水靣深
一率 二【同上】
二率 一十【同上】
三率 二十二【前测倒度通为分数】
四率 一百一十【壁深尺数】