新法算书用自分连比例法【防何六卷三十
用自分连比例法【防何六卷三十
称理分中末线】分为大小分其大
为丁己与十边形之乙丙边等盖戊己线与己癸等己癸线既两平分于庚则戊己己庚线上两方并与庚戊上方等【防何一卷四十七】今以庚戊上方开得庚戊线为一千一百一十八万○四百三十○次减去己庚五百万余六百一十八万○四百三十○即丁己线亦即乙丙而乙丙弧为全圏十分之一得三十六度是乙丙为三十六度弧之也
宗率五 圏内五边等切形求边数
防何十三卷第十题言圏内五边等切形其一边上方形与六边等形十边等形之各一边上方形并等如上圏内甲乙戊为五边等形甲丙己为六边等形甲丁乙为十边等形题言甲丁甲丙上两方并与甲乙上
方等者前言甲丙半径为万万甲丁
线为六百一十八万○四百三十○
各自之并得数开方得甲乙线为一
千一百七十五万五千七百○四弱
其弧五分全圏得七十二即甲乙为七十二度弧之度
宗率六 圏内十五边等切形求边数
防何四卷十六题言圏内从一防作一三边等形又作一五边等形同以此防为其一角从此角求两形相近之第一差弧即十五边形之一边
如上图从甲防作甲乙丙三边形甲丁戊五边形求得两形相近之第一差为乙戊即十五边等形之一边乃丁乙全差之半其
数先有三边形之乙丙一百二十度之为一千七百三十二万○五百○八弱又有五边形之戊子七十二度之为一千一百七十五万五千七百○四弱则乙庚六十度之正为乙丙之半得八百六十六万○二百五十四弱戊辛三十六度之正为戊子之半得五百八十七万七千八百五十二两相减余为乙癸得二百七十八万二千四百○二夫乙己半径上方减壬乙六十度之正乙庚上方余己庚依开方法为五百万己子半径上方与己辛三十六度之正辛子上两方并等依前法亦得己辛八百○九万○一百七十○己辛己庚两相减余为庚辛得三百○九万○一百七十○庚辛即戊癸也既得乙癸二百七十八万二千四百○二今得戊癸三百○九万○一百七十○用句股术求得乙戊为四百一十五万八千二百三十四为十五边等形之一边其乙戊弧为全圏十五分之一得二十四则乙戊为二十四度弧之相当
六题总表
边 弧度 数
三 一百二十 一七三二○五○八
四 九十 一四一四二一九六
五 七十二 一一七五五七○四
六 六十
十 三十六 六一八○三四○
十五 二十四 四一五八二三四既得全数今推半弧【即半角】半
弧度 半
六十 八六六○二五四
四十五 七○七一○九八
三十六 五八七七八五二
三十 五○○○○○○
十八 三○九○一七○
十二 二○七九一一七
新法算书卷九
钦定四库全书
新法算书卷十 明 徐光启等 撰大测卷二
表法篇第四
既得前六宗率更用三要法作表
要法一 前后两其能等于半径【图説系法俱见本篇总论第十二条】要法二 有各弧之前后两求倍本弧之正如上甲戊弧三十五度其正为戊己得五七三五七六四其余即乙己得八一九一五二○今以此二求倍甲戊而为甲丁弧之正其法以乙戊半径千万为第一率以戊己正为第二率以乙壬余为第三率即得壬庚第
四率与辛癸等为四六九八四六二倍之得丁癸为九三九六九二四其弧甲丁七十度
论曰乙戊己与乙壬甲两三角形比例等则乙己与乙壬等而戊己与甲壬亦等乙己与乙壬等故乙壬为余也而乙壬庚乙戊己两形之比例等故第四率为壬庚壬庚与辛癸同为直角形之邉故等又丁壬戊戊壬甲同为直角则甲戊戊丁两弧等甲壬壬丁两亦等而丁辛与壬庚亦等故倍辛癸得丁癸也又丁辛壬壬庚甲两形之三邉俱等依句股法得甲庚邉倍之为甲癸以减半径得癸乙为余
要法三各弧之全上方与其正半上偕其矢上两方幷等
句股术也
如上甲丁弧之正为丁辛其矢为甲辛此两线上方幷与甲丁上方等
系法有一弧之正及其余而求其半弧之正弦如上甲丁弧其正为丁辛余为乙辛而求甲戊弧之甲己半其法于甲乙半径减乙辛余得甲辛矢其上方偕丁辛半上方并与甲丁通上方等开方得甲丁线半之
得甲己为甲戊弧之正其数如上甲丁弧三十度其半丁辛为五○○○○○○乙辛余为八六六○二五四以减全半径得甲辛矢一三三九七四六丁辛上方为二五○○○○○○○○○○○○甲辛上方为一七九四九一九三四四五一六并之得二六七九四九一九三四四五一六开方得甲丁线五一七六三六○即甲丁弧三十度之也半之为甲己半得二五八八一九○其弧十五度
用前三要法即大测表大畧可作又有简法二题其用甚便但非恒有
简法一 两正之较与六十度左右距等弧之正等【见本卷第二篇】
解曰甲乙丙象限内有丙己小弧丙己戊丁大弧丙戊弧为六十度而戊己戊丁两弧等其前两正一为己辛一为丁庚其
较丁癸题言丁癸较与己壬壬丁两正各等论曰试作一己子线则丁己子成三邉等角形何也此形中有子丁壬壬己子两三角形此两角形等又何也子壬同腰而丁壬壬己两腰等则丁壬己壬两直角亦等而丁子子己
两底亦等子丁己子己丁两角亦等又丙戊弧既六十度其余戊乙弧必三十度而乙甲戊角为三十度角甲乙庚丁既平行甲戊线截二线于子即内外角等而丁子戊角亦三十度戊子己角亦三十度是丁子己为六十度角也丁与全己全子三角既等两直角【一之三十二】则共为一百八十度于中减全子角六十度则丁己两全角百二十度而此两角既等即各得六十度则此形之三角三边俱等夫丁己己子两线等则己癸垂线所分之丁癸子癸两直角亦等而己癸同腰则丁癸与癸子必等丁癸为丁子之半丁壬为丁己之半全线等则所分必等是丁癸与丁壬等与壬己亦等
系题两弧各有其正半两半至弧之防在六十度之左右而距度防等则前两正半之较即后两半如图丙己戊弧六十度丙己弧五十度己戊弧十度丙己之正半己辛先得七千六百六十丙丁弧七十度丁戊弧亦十度丙丁弧之正半为丁庚先得九千三百九十六今求丁戊弧之半其法以己辛丁庚两半相减得丁癸较一千七百三十六即丁戊弧十度之丁壬半【此数半径设一万】
次系有六十度左右相离弧之正一率又有其原正一率而求其相对之彼正其法有二一以大求小一以小求大以大求小者用大弧之正与相离弧之正相减其较为小弧之正【余则称余倒则称倒】以小求大者用相离弧之半加小弧之半即大弧之半如上丁壬离弧之正即己壬与丁癸较等为一千七百三十六丁庚大为九千三百九十六相减得癸庚七千六六○即
己丙弧之己辛小反之丁癸较为一千七百三十六【即丁壬离】以加于癸庚【即辛己小】七千六百六十得丁庚大九千三百九十六
用此法于象限内先得半六十率用加减法即得其余三十率
简法二 有两弧不等之各正又有其各余而求两弧相加相减弧之各正其法有二一相加一相减相加者以前弧之正乘后弧之余弦以后弧之正乘前弧之余各得数并之为实以半径为法而一得两弧相加为总弧之正相减者亦如前法互乘得各
数相减余为实以半径为法而一为
两弧相减弧之正
如上甲乙前弧二十度乙丙后弧十
五度总三十五度其差五度甲乙弧之半为三四二○二○一其余弧甲丁之半为九三九六九二六乙丙弧之半为二五八八一九○其余弧乙丁之半为九六五九二五八以甲乙半与丙丁余之半乘得三三○三六六○三八七○八五八以乙丙半与甲丁余乘得二四三三二一○二九九○五七四○以相加得五七三五七六三【以下满半收为一不满去之】三七七六五九八以半径为法而一得五七三五七六三即三十五度弧之半若以相减则余八七一五五七三九六五一一八以半径为法而一得八七一五五七即○五度弧之半此题多罗某所用全故説中云半而图与数皆全然全与全半与半比例等则亦未有异也
有前六宗率为资有后三要法为具【资为材料具如器械】即可作大测全表
如用前法求得十二度弧之正半率而求其相通之他率
弧 度 分 用法得半数
正弧 一二 二○七九一一七
【半之】 ○六 一○四五二八五
【又半之】 ○三 五二三三六○
【又半之】 ○一三○ 二六一七六九
【又半之】 ○○四五 一三○八九六其余弧 八四 【六度之余】第一九九四五二一九八七 【三度之余】 九九八六二九五八八三○【一度半之余】 九九九六五七三八九一五【○度四十五分之余】 九九九九一四三
弧 度 分 用法得正数
【半其余八十四度】四二 六六九一三○六
【半之】 二一 三五八三六七九
【又半之】 十○三○ 一八二二三五五
【又半之】 ○五一五 九一五○一六
【半其余八十七度】四三三○ 六八八三五四六
【又半之】 二一四五 三七○五五七四
【半其余八八三○】四十四 十五 六九七七九○五又用前七率之余弧而求其正
四八 【四十二之余】第一七四三一四四八六九 【二十一之余】 九三三五八○四七九三○【十度半之余】 九八二二五四九八四四五【五度十五分之余】 九九五八○四九四六三○【四十三度半之余】 七二五三七四四六八一五【二十一四十五分余】 九二八八○九六四五四五【四十四十五分之余】 七一六三○一九
又半前七率而求其正
二四 【四十八之半】 四○六七三六六
弧 度 分 用法得正数
三四三○【六十九之半】 五六六四○六二一七一五【三十四三十分之半】 二九六五四一六三九四五【七十九三十分之半】 六三九四三九○二三一五【四十六三十分之半】 三九四七四三九
又用前五率之余弧而求其半
六六 【二十四之余】第一九一三五四五五五五三○【三十四三十分之余】 八二四一二六二七二四五【十七度十五分之余】 九五五○一九九五○一五【三十九四十五分余】 七六八八四一八六六四五【二十三度十五分余】 九一八七九一二
又半前五率而求其正
三三 【六十六之半】 五四四六三九○一六三○【三十三之半】 二八四○一五三○八一五【一十六三十分之半】 一四三四九二六二七四五【五十五三十分之半】 四六五六一四五
又用前四率之余弧而求其正
五七 【三十三之余】第一八三八六七○六
弧 度 分 用法得正数
七三三○【十六度三十分之余】第一九五八八一九七八一四五【八度十五分之余】 九八九六五一四六二一五【二十七四十五分余】 八八四九八七六
又半前四率而求其正
二八三○【五十七度之半】 四七七一五八八一四一五【二十八三十分之半】 二四六一五三三三六四五【七十三三十分之半】 五九八三二四六
又用前三率之余而求其正
六一三○【二十八度三十分余】第一八七八八一一一七五四五【十四度十五分之余】 九六九二三○九五三一五【三十六四十五分余】 八○一二五三八
又半前六十一度三十分而求其正
三○四五 五一一二九三一
又用前三十○度四十五分之余而求其正
五九一五 第一八五九四○六四
已上皆十二度所生之率再用其余弧七十八度推之亦如前法又十二度之弧为前六宗率之十五邉形也其余五形如三边四邉五邉六边十邉形亦如前法作此既毕即大测表之大段全具矣何者首得者四十五分其次为一度三十分又次为二度一十五分如此常越四十五分而得一率乃至九十度皆然所少者其中之各第一以至四十四分也今欲求初度一分以至四十五分如何其法以四十五分弧之半一三○八九六用第二第三法半之得二十二分三十秒之弧其半为六五四四九又半前弧得一十一分一十五秒之弧其半为三二七二四半夫二十二分三十秒之前弧倍于一十一分十五秒之后弧而前半亦倍于后半盖繇初度之与弧切近畧似相合为一线故也则用同比例法【即三率法】以二十二分三十秒之弧为第一率以其半六五四四九为第二率设十分之弧为第三率而得第四率为二九○八八再用此法得一分之弧为二九○九弱既得一分即用前法推之可至一十五分此外更用前三要法推之以至九十度
其求切线皆用三率法
以余半为第一率以半为第二率以半径为第三率而得第四切线
如三十度之弧其余半八六六○二五四为第一率其半五○○○○○○为第二率半径一○○○○○○○为第三
率则得第四率五七七三五○二
其求割线亦用三率法
以余半为第一率半径为第二率又为第三率而得割线第四率
如前戊乙为三十度之弧其余半甲丙八六六○二五四为一率半径甲戊一○○○○○○○为二率又以半径甲乙为第三率而得甲丁一一五四七○○五为三十度弧之割线
其求割线之约法不用三率而用加减法
如上乙己弧二十度其切线为乙戊余
弧为己丙七十度半之得己丁三十五
度即截乙庚弧与己丁等次作乙辛切
线得数以加乙戊切线即两切线并为戊乙辛切线与甲戊割线等
其求矢法以余半减半径得小矢
如丙丁弧五十度余弧甲丁四十度其余半丁戊即己乙为六四二七八七六以减乙丙千万得己丙矢
已上所述皆逺西法也彼自度以下逓析为六十今中厯递用百析为便故须会通前表为百分之表其会通法如西六十分即中之百分半之三十分即五十分又半之十五分即二十五分以五为法西三分即中五分次用倍法六分即十分九分即十五分十二分即二十分如是以至六十
【三 六 九 十二 十五 十八 二十一 二十四 二十七 三十五 十 十五 二十 二十五 三十 三十五 四十 四十五 五十】【三三 三六 三九 四二 四五 四八 五一 五四 五七 六十五五 六十 六五 七十 七五 八十 八五 九十 九五 百】通表法书各度之四种割圆线中西法皆同所不同者分也其分数书五分用其三分之率书十分用其六分之率如是逓至于百所阙者每二率相距少其间四率耳则用加减法求之
如二十四度○三分即中五分也其小数【小者十万为半径也】四○七五三又二十四度○六分即中十分也其小半四○八三三其差八十五分之得十六为一差以加于前小半即得四○七六九为中厯二十四度六分之半再加一差得四○七八五为七分之半三加得四○八○一为八分之半四加得四○八一七为九分之半五加得四○八三三为十分之半合前率矣如是逓加之得六十与百分相通之全表西法每二率各有差其差大抵半度而一更也若差数有畸零不尽者如西表二十四度二十七分之半为四一三九○又二十四度三十分之半为四一四六九其差得七十九五分之得十五又五分之四为一差通之则从中表二十四度四十五分首加一差
二十四度四十五分 四一三九○
【差法】一五 五之四
四十六分 【加一差】 四一四○五 五之四四十七分 【加二差】 四一四二一 五之三四十八分 【加三差】 四一四三七 五之二四十九分 【加四差】 四一四五三 五之一五十○分 【加五差】 四一四六九
如上有畸零者满半收为一不满去之
考表法 作表未必无误其考之之法
如表书七十七度一十八分其切线为四四三七三四九九此率如属可疑则以前后各二率考之
表用篇第五
表用一 有弧数求其正
如三十七度五十四分之弧求其正查本度本分表得六一四二八五三
又如三十七度五十四分四十六秒求其半查本度本分之半为六一四二八五三又取次率五十五分之半为六一四五一四八相减得差二二九五【若表上有差率即取本差】此差以当六十秒用三率法以六十秒为第一率以二二九五差为二率以四十六秒为三率而求四率得一七五九以加所取之前半六一四二八五三共得六一四四六一二即所求
系凡求切线割线同上法
次系有正弧求余视本弧同位之余度分向正弧表上取其正
如求三十度之余视正弧表上与同位者为余六十度即向正弧六十度取其八六六○二五四即三十度之余【表上逆列同位者为五十九度六十分而此言六十度盖并其六十分为六十度其逆列六十度者则是六十一度何者凡所书弧分皆所书弧度之算外分故也】
又如求五十度○分之余本表逆列同位者为三十九度六十分即于正表上简三十九度六十分之
得六四二七八七六即所求
三系测三角形欲得见弧【见弧者有己得之弧而求其也隠弧者有己得之而求其弧也凡己得者称见未得称隠诸线诸角之属皆仿此】之各线查表之本度分直取之则各线咸在也如弧三十度求其割圆各线即查表之三十度初分又查其同位之六十度所得如左三十度【初分】正 五○○○○○○
切线 五七七三五○三
割线 一一五四七○○五
余【五十九度六十分】 八六六○三五四
切线 一七三二○五○八
割线 二○○○○○○○
四系有钝角求其各线如钝角一百四十二度六分其正则以一百四十二度六分减半周余三十七度五十四分查表求其正得六一四三八五三
如上丙丁正当丙乙小弧亦当丙戊大弧故当丙甲丁鋭角亦当丙甲戊钝角何者甲上鋭钝二角原当两直角而表上无钝角之弧与其正故减钝角于百八十度得鋭角三十七度五十四分其半丙丁以当丙戊大弧即以当大弧之
钝角也
表用二 有正求其弧
与前题相反如有正八八八八八三九欲求其弧查表上正格得此数即得本度为六十二本分为四十四也
又如正五七六五八三四求弧查表无此数即取其近而畧小者得三十五度十二分之为五七六四三二三与见相减余一五一一又取其近而畧大者得五七六六七○○与前小相减余二三七七以此大差当六十秒用三率法以二三七七大差为第一率以六十秒为第二率以一五一一小差为第三率而得第四率为三十五度十二分三十秒即所求他各线求俱仿此
表用三 有弧求其通
如七十五度四十八分之弧求通其法半之得三十七度五十四分求其正得六一四二八五二倍之得一二二八五七○四即所求
如甲乙弧七十五度四十八分半之为乙戊弧求得乙丁正倍之即乙丁甲通也因通无表故用半弧正倍之即是他准此
表用四 有弧求其大小矢
如乙丁弧三十七度五十四分求两矢查表截矢数得乙丙小矢为二一○九一五九以减全径二○○○○○○○得大矢一七八
九○八四一如表无小矢即求见弧之余得七八九○八四一以减半径得小矢
测平篇第六
测平者测平面上三角形也凡此形皆有六率曰三边曰三角角无测法必以割圆线测之其比例甚多今用四法以为根本依此四根法可用大测表测一切平面三角形亦执简御繁之术也凡测三角形皆用三率法【即同比例】三率法又以相似两三角形【几何六卷四】为宗下文详之
根法一 各三角形之两边与其各对角两正比例等一云右边与左边若左角之与右角之
如上甲乙丙平面三角形其甲丙两为鋭角即以甲为心甲乙为半径作乙戊弧次作乙己垂线即乙戊弧之正亦即甲角之正也又以甲乙为度从丙截取丙庚从丙心庚界作庚辛弧又作垂线庚丁即庚辛弧与丙角之正
也题言乙角之甲乙右边与乙丙左邉若左角丙之庚丁正与右角甲之乙己正
论曰乙丙己三角形有乙己庚丁两平行线即乙丙与乙己若庚丙与庚丁而丙庚原与甲乙等即乙丙与乙己若甲乙与庚丁更之即甲乙与乙丙若庚丁与乙己如上甲乙丙形乙为直角有丙乙丁戊两平行线即甲丙与丙乙若甲丁与丁戊而乙丙与甲丁等即甲丙与丙乙若丙乙与丁戊反之则丙角之丙乙右边与丙甲左边若左角
甲之丁戊与右角乙之丙乙
如上甲乙丙形乙为钝角其正丙壬而甲戊线与乙丙等甲角之正为戊己题言丙角之甲丙右边与丙乙左边若左角乙之丙壬与右角甲之戊己何也试于形外引
甲乙至丁作丙丁线与丙乙等即丁角与乙鋭角等依首条甲丙与丙丁若丙壬与戊己即甲丙与丙乙亦若丙壬与戊己
总论之各三角形各两边之比例与两对角之两正比例等者何也试于形外作切圏则三边为三而本形之各边皆为
各对角之通即乙丙邉与甲乙邉若甲角之与丙角之也当已即是岂止同比例而已乎夫全与全半与半比例等则各半与各通之比例亦等此题为用对角根本
根法二 各三角形以大角为心小边为半径作圏而截两边各为圏内外两线即底线与两腰并若腰之外分与底之外分
如上甲乙丙形其小邉甲丙其底乙丙以甲为心甲丙为半径作圏截底于戊截大腰于庚题言乙丙底与乙甲甲丙两腰并若腰外分乙庚与底外分乙戊
论曰试作乙己引出线即甲己与甲丙等而乙己与两腰并等乙己乙庚矩内形与乙丙乙戊矩内形两容等【几何三卷三五】即两形邉为互相视之边而乙己与乙丙若乙戊与乙庚既得乙戊底外分以减全底得戊丙半之得垂线所至为丁丙
此题为用垂线根本
根法三 有两角并之数又有其各正之比例求两分角之数
如上乙甲丙角有其弧乙辛丙之数其两分之大角为乙甲壬小角为壬甲丙未得数但知大角正乙丁小角正丙戊之比例亦未得数而求两分角之数其法以乙辛丙弧两平分于辛作甲辛线乙甲辛辛甲丙两角等而辛甲壬
角为半弧与小弧之差又为大弧与小弧之半差次截辛庚弧与辛戊等作甲庚线即庚甲壬角为大小两弧之差夫乙丙者总角之乙丑平分弧之正而己辛为乙辛半弧之切线辛癸为辛丙半弧之切线此二线等而辛壬辛庚各为半差弧之切线亦等又乙丁子子丙戊两形为两正上三角形此两形之丁与戊皆直角又同底即两正之对角为子上两交角亦等【几何一卷十题】而丁乙子子丙戊两角亦等【几何一卷三二】则两形为相似形而乙丁正
与丙戊正若乙子与子丙【几何六卷四】先既有乙丁丙戊两正之比例即得乙子与子丙之比例而又得乙子与子丙之较为子寅夫乙丙己癸两线同为甲辛半径上之垂线即平行甲乙丙甲己癸两形之各角等即为相似之形【六卷四】而两形内所分之各两三角形如甲庚癸甲寅丙之类俱相似即以两线之并数乙丙为第一率以两线之差数子寅为第二率以两半弧之两切线己癸为第三率则得两差弧之切线庚壬为第四率矣而此比例稍繁别有简者则半之曰丙丑与子丑若癸辛与壬辛也有更简者则曰乙丙与子寅若辛癸与辛壬也今用第三法云乙丙为两邉之并数子寅其较数辛癸为两角总数内半弧之切线而辛壬为大小两角较弧之切线既得辛壬切线即得辛甲壬角以加乙甲辛半角即得乙甲壬大角以减辛甲丙半角即得壬甲丙小角
以数明之乙甲丙角为四十度所包大小两隠角为乙甲壬壬甲丙其两正乙丁丙戊之比例为七与四即乙子子丙之比
例亦七与四而乙丙之总数如十一平分之于丑即乙丑丑丙各得五有半而乙辛辛丙两弧各二十度又以大线七与半线相减余一有半以半线五有半与小线四相减亦余一有半又甲辛为半径即辛丙二十度弧之切线辛癸为三六三九七○二即以丑丙五有半为第一率以辛癸切线三六三九七○二为第二率以子丑一有半为第三率而得辛壬切线九九二六四六为第四率既得第四率即得辛壬所当辛甲壬角为五度四十○分八秒以减辛丙二十度余壬甲小角一十四度一十九分五十二秒以加半弧乙辛得乙甲壬大角二十五度四十○分八秒
此题为用切线根本
根法四 凡直角三边形之各邉皆能为半径
其一以线为半径作弧即余两腰包直角者各为其对角之正
如上甲乙丙形其乙丙为对直角之线以为半径作丁丙弧即甲丙小腰为对角乙之正甲乙大腰为对角丙之正
其二以大腰为半径即小腰为小角之切线而线为
小角之割线
如上甲乙大腰为半径即甲丙小腰为乙小角之切线而乙丙为乙角之割线
其三以小腰为半径即大腰为大角之切线而线为大角之割线
如上甲丙小腰为半径即甲乙大腰为丙大角之切线而乙丙线为其割线
此题为用割圆各线根本
新法算书卷十
测天约説叙目
测天者脩厯之首务约説者议厯之初言也不从测无縁推筭故测量亟矣即测推筭亦非甚难不可几及之事所难者其数曲而繁其情密而隠耳欲御其繁曲宜自简者始欲穷其密隠宜自显者始约説之义则总厯家之大指先为简显之説大指既明即后来所作易言易知渐次加详如车向康庄此为发轫已又古之造厯者不欲求明抑将晦之诸凡名义故为隠语诸凡作法多未及究论其所从来与其所以然之故墙宇既峻经途斯狭后来学者多不得其门而入矣此篇虽云率略皆从根源起义向后因象立法因法论义亦复称之务期人人可明人人可能人人可改而止是其与古昔异也或云诸天之説无从考证以为疑义不知厯家立此诸名皆为度数言之也一切逺近内外迟速合离皆测所得舍此即推步之法无从可用非能妄作安所置其疑信乎若夫位置形模实然实不然则天载幽人灵浅尠谁能定之姑论而不议可矣都为二卷共八篇如左
钦定四库全书
新法筭书卷十一 明 徐光启等 撰测天约説卷上
首篇
度数之学凡有七种共相连缀初为二本曰数曰度数者论物几何众其用之则筭法也度者论物几何大其用之则测法量法也【测法与量法不异但近小之物寻尺可度者谓之量法逺而山岳又逺而天象非寻尺可度以仪象测知之谓之测法其量法如筭家之专术其测法如算家之缀术也】既有二本因生三干一曰视人目所见一曰听人耳所闻一曰轻重人手所揣耳所闻者因生乐器乐音手所揣者因生举运之器举运之法惟目视一又生二枝一曰测天一曰测地七者在西土庠士俱有专书今翻译未广仅有几何原本一种或多未见未习然欲略举测天之理与法而不言此理此法即説者无所措其辞听者无所施其悟矣七者之中音乐与轻重别为二家故兹所陈特举其四曰数曰测量曰视曰测地四学之中又每举其一二为卷中所必需其余未及缕悉者俟他日续成之也为他篇所共赖故列于篇次之外曰首篇欲知他篇须知此篇故又名须知篇
数学一题
比例者以两数相比论其几何
比例有二一曰相等之比例一曰不等之比例若二数相等以此较彼无余分名曰等比例也若二数不等又有二一曰以大不等一曰以小不等如以四与二相比四之中凡为二者二是为以大即命曰二倍大之比例也如以二与四相比倍其身乃得为四是为以小即命曰二分之一之比例或命曰半比例也
测量学十八题
第一题至十四题论测量之理
第十五题至第十八题论测量之法
几何原本书中论线论面论体今第一至第五论线也第六至十四论体也此书中不及面故不论面几何原本中多言直线圜线其理易明今不及论论其稍异者五题前二题言独线后三题言两线
第一题【独线一】
长圆形者一线作圏而首至尾之径大于腰间径亦名曰瘦圈界亦名撱圏
如甲乙丙丁圏形甲丙与乙丁两径等即成圏今甲首至丙尾之径大于己至庚之腰间径是名长圆或问此形何从生荅曰如一长圆柱横断之其防处为两面皆圆形若防处稍斜其两面必稍长愈斜愈长或
称卵形亦近似然卵两
端大小不等非其类也
【指其面曰平长圆若成体曰立长圆】
第二题【独线三】
蛇蟠线者于平面上作一线自内至外恒平行恒为圏线而不遇不尽如上图自甲至乙者是
旋风线者于平圆柱上作一线亦如蛇蟠但蜿蜓腾凌而
上如旋风也
如上图自甲至乙者是
螺旋线者于球上从腰至顶作一线如蛇蟠而渐髙如旋
风而渐小
如上图自甲至乙者是
此书独用螺旋线欲解其形势故备言之
第三题【下三题言二线者或直或不直或相遇或相离】
二线相遇者有三但相遇而止名曰至线因至线在所至线之上故又曰在上其割截而过者名曰交线亦曰割线亦曰截线其至而不过又不止者名曰切线其至线而有所分截者亦称割线或曰截线或曰分线
如上图甲乙线与丙乙丁线丙乙丁
圈相遇至乙而止则甲乙为至线又
曰丙乙丁上线
如上图甲乙线截丙丁于戊己庚
线截辛壬癸圏于辛子丑寅圏截
丑卯寅圏于丑于寅皆名交线
又如上图甲乙线遇丙丁圏于
丙戊己庚圏遇戊辛壬圈于戊
皆名切线
如上图甲丙线分甲乙丙圈者曰分圈线亦曰割圏线亦曰截圏
第四题
两线不相遇而相离之度恒等名曰距等线【或称平行线侣线俱通用】
如上三图甲至己乙至戊丙至丁
其相离之度俱等
第五题
两线相遇即作角
本是一面为两线所限限以内即成角也
如上图甲乙与乙丙两线相遇于乙即包一甲乙丙角【第二字即所指角】
其球上两圏线相交亦作角如上图甲丙乙丁两线交而相分于戊即成甲戊丁丁戊丙丙戊乙乙戊甲四球上角也
第六题
自此至第十四题皆论体诸体中球为第一此书所用独有球体故未他及【凡物之圆者皆名球诸题中名义凡立圆物皆有之非独天也】第六至第八言球内之理第九至十四言球外之理
球之内有心心者从此引出线至球面俱相等
如上图甲乙丙球丁为心从丁引出线至甲至乙至丙各等即作百千万线皆等
第七题【球内】
径者一直线过球心两端各至面半径者从心至面如上图甲乙球丙为心一直线过丙两端至甲至乙即甲乙为径线其丙乙丙甲皆为半径线
第八题【球内】
球不离于本所而能旋转则其一径之不动者名为轴轴之两端名为两极也凡一球止有一心凡球之转止有
一轴其径甚多无数可尽
如上图甲乙丙丁球戊为心乙丁过心此球从甲向丙丙又向甲旋转而不离其处
则乙戊丁直线为不动之处是名轴也乙与丁则为两极球心若离于戊防如己则从心所出两半径线如庚己己辛必不等故曰止有此心凡轴皆利转若有二轴二俱转即相碍一不转即非轴故曰止有一轴从心出直线茍至面皆径也故曰无数
第九题【球外】
球之面可作多圏圏有大有小大圏者其心即球心若从圏剖球为二则其圏之径过球心也各大圏从圏面作垂线各有其本圏之轴与其两极
如图甲乙丙丁球上作甲戊丙己大圏其垂线乙丁即乙丁为本圈之轴乙丁两防即其两极故大圏在两极间离两极俱等
第十题【球外】
小圏者不分球为两平分不与球同心其去两极一近一逺愈近所向极愈小愈近心愈大
如上图甲乙为大圏丙丁戊己庚皆小圈也故一大圏之上之下可作无数小圏众小圈之间止可作一大圏
第十一题【球外】
圏不论大小其分之有三等
三等者一曰大分一曰小分一曰细分如两平分之为半圏四平分之为象限此大分也每象限分为九十度此小分也每度又析为百分每分为百秒递析为百至纎而止西厯则每度析为六十分每分为六十秒递析为六十至十位而止此细分也
第十二题【球外】
两大圈交而相分为角欲测其角之大从交数两弧各九十度而遇过极之圏两弧所容过极圏之弧度分即命为本角之度分
如上图戊丁乙为过极圏有甲乙丙甲丁丙两大圏交而相分于甲于丙问丁甲乙角为几何度分之角法从甲交数各九十
度而遇过极之戊丁乙圈为甲丁甲乙此两弧间所容过极圏之分为丁乙弧如丁乙六十度即命丁甲乙角为六十度角
第十三题【球外】
凡大圏俱相等两大圏交而相分其所分之圏分两俱相等
凡大圈必于本球之腰腰者最大之线也凡最大之线止有一不得有二故辰转作无数大圈俱相等圈既相等则以大圏分大圏其两交线必在球之腰此交至彼交必居球之半故无数大圏各相分所分之两圏分各相等有不等者即小圏也
第十四题【球外】
大圈俱相等故所分之度分秒各所容皆相等小圏各不相等故度分秒之名数等其所容各不等
如上图甲乙己为大圈丙丁戊为小圈大圈既相等即多作大圈皆与甲乙己圈等而各圏之甲至乙其度皆等若丙丁戊小
圏既与甲乙己大圏不等则甲至乙与丙至丁同名为若干度而所容之广狭不等
第十五题【以下四题言测量之法】
长方面其中任设一防欲定其所在为何度分作经纬度求之法曰先平分其长为若干度分名经线次平分其广为若干度分名纬线经与纬每度分之小大俱等次视经纬之线其过防各若干度分即命为防所在之度分
如上图甲乙丙丁长方形欲知戊防所在先从乙向丙作距等经线次从乙向甲作距等纬线次视戊防在经纬线之交为是
何度即命曰在经度之四纬度之八也【乙至丙丙防得命为第六乙防不得命为第一而命为初厯家言算外者俱准此】
第十六题
其在球也亦如之球之中任设一防欲定其所在为何度分亦先作球之经度
法曰先于两极之间作一大圈为腰圏平分腰圏为三百六十度从各度各作一过极大圏即半圈平分为一百八十度是为腰圏上之经度
如上图甲乙丙丁球乙丁为两极于其
间作甲戊丙己腰圈从戊向丙丙向己
各作过极大圏即乙庚丁乙辛丁等线
皆腰圏上之经度
第十七题
次作球之纬度即定所设防在何度分
腰圏之两旁有两极从腰圏向极分为九十度每度各作一距等小圏渐逺腰渐小至极而为一防即第九十小圏也次视经纬两线之交命所设防在何度分如图甲乙丙丁球上依前题既作甲庚丙甲辛丙各经线次于乙戊丁腰圏上向甲极分为九十度每度各作一距等小圏如壬子癸丑之皆纬圈也次视经纬各遇防之交从腰
圈线考其经度从过极线考其纬度即命所设己防在从戊向丁之第四经圏从戊向甲之第三纬圏凡言度者各有二义其一一度之广能包一度之地是其容也其一自此度至彼度各以一防为界是其限也腰圏度之容以各过极度之线限之过极度之容以各距等线限之
凡圏互相为经亦互相为纬如以过极为经则距等为纬若以距等为经则过极为纬如几何原本之论线互相为直线互相为垂线也
第十八题
论纬圏以大圏为宗
过极经圏皆大圏也皆等距等线限之诸度分之容亦等距等纬圏皆小圏也各不等过极圏限之诸度分之容愈近极愈狭至极而尽矣故纬度之容等于经度者独有腰圏一线独有初度初分初秒之一率过此以上无不狭也故当以大圏为宗大圏左右诸纬圏之上凡言经度之容者皆从此推减之圏愈小度愈狭即差愈多也
视学一题
凡物必有影影有等大小有尽不尽
不透光之物体前对光体后必有影焉若光体大于物体其影渐逺渐杀鋭极而尽若光体小于物体其影渐逺渐大以至无穷若光物相等其影亦相等亦无穷
测地学四题
第一题
地为圆体与海合为一球
何以征之凡人任于一处向北行二日半则北方之星在子午线上者必髙一度次后二日半复髙一度恒如是为相等之差向南行亦如之知从南至北为圆体也
如上图甲为北星
丁为南星乙辛丙
圏为地球人在乙
则见甲正在其顶
至戊则少一度矣从戊至己与乙至戊道里等又少一度矣迨至辛则不见甲至壬则反见丁安得非圆体乎若云地为平体则见星当如癸从丑向寅至辰宜常见不隠又丑至寅寅至卯若见子之髙下所差等则道里宜不等【别有算数】安得有时不见又恒为相等之差也若人东行渐逺则诸星出地者渐先见西行渐逺渐后见故东西人见日月食迟速先后各异是知东西必圆体也
第二题
地在大圜天之最中
何以征之人任于所在见天星半恒在上半恒在下故知地在最中也
如上图丙为地东见甲西见乙甲乙以上恒为天星之半知丙在中也若云非中当在丁则东望戊西望己当见天之小半而
不见者大半
第三题
地之体恒不动
一不去本所二亦不旋转云不去本所者去即不在天之最中也云在本所又不旋转者若旋转人当觉之且不转则已转须一日一周其行至速一切云行鸟飞顺行则迟逆行则速人或从地掷物空中复归于地不宜在其初所今皆不然足明地之不转
第四题
地球在天中止于一防
何以徴之人在地面不论所在仰视填星歳星荧惑彼此所见恒是同度故知地体较于天体则为极小若地大者两人相去絶逺其视三星彼此所见不宜同躔如上图丙己戊乙为天甲为地丁为星地体若大能为天分数者则人在庚宜见丁在己度人在辛宜见丁在戊度今不然者
是地与天其小大无分数可论也
名义篇第一
测天本义 一条
问测天者何事所论者何义也曰此度数之学度数学有七支此为第六也所论者一言三曜【日月星】形像大小之比例一言其各去离地心地面各几何一言其运动自相去离几何一言其躔离逆顺晦明朓朒一言其五相视五相视者一曰会聚【会聚或同一宿或同一宫或相掩或凌犯】二曰六合照【每隔一宫】三曰隅照【三方相望】四曰方照【四方相望】五曰对照【即衘】一因其行度次舍以定歳月日时此为大端也
大圜名数厯十条
大圜者上天下地之总名也【亦称宇宙亦称天下亦称六合之内下文通用】天实浑圆其中毫无空隙譬如葱本重重包裹其分数几何则自下数之【地居天中为最下亦曰最内】第一为地水补其阙【地有卑洼水则就之若据地面则水土相半蹠实论之水之视地仅当千分之一】共为一球地外为气气之外为七政之天七政之外为星【亦曰经星下文通用】之天星之外为宗动之天宗动之外为常静之天问地水与气相次之序其理易明今何以知七政在下星在上曰有二騐焉其一六曜有时能掩恒星【六曜者日五星也不言日者日大光星不可见也唐肃宗上元元年五月癸丑月掩昴代宗大厯三年正月壬子月掩毕八月己未月复掩毕是月掩星也唐髙宗永徽三年正月丁亥歳星掩太微上将五月戊子荧惑掩右执法元武宗至大元年十二月戊寅太白掩建星是五纬掩星也】掩之者在下所掩者在上也其二七政循黄道行皆速星最迟也
问七政中复有上下逺近否曰有之月最近也何以知之亦有二验其一能掩日五星也【月掩日而日为食不待论也唐文宗泰和五年二月甲甲月掩荧惑六年四月辛未月掩填星于端门九年六月庚寅月掩歳星于太微武宗防昌二年正月壬戌月掩太白于羽林是月掩五星也】其二循黄道行二十七日有竒而周天余皆一年以上是七政中为最速也
问行度迟速以别逺近是则然矣太白辰星与日同一歳而周为无逺近乎曰旧説或云日内月外相去絶不应空然无物则当在日天之下或云在日天之上二説皆疑了无确据若以相掩正之则大光中无复可见论其行度则三曜运旋终古若一两説既穷故知从前所论皆为臆説也独西方之国近歳有度数名家造为望逺之镜以测太白则有时晦有时光满有时为上下计太白附日而行逺时仅得象限之半与月异理因悟时在日上故光满而体微【若地日星直则不可见稍逺而犹在上则若几望之月也】时在日下则晦【三叅直故晦稍逺而犹在下若复苏之月体微而光燿煜然】在旁故为上下也辰星体小去日更近难见其晦明因其运行不异太白度亦与之同理
问荧惑歳星填星孰逺近乎曰荧惑在歳填星之内在日之外何者一为其行黄道速于二星迟于日也歳星在其次外其行黄道速于填星迟于荧惑也填星在于最外其行黄道最迟也又恒星皆无视差七政皆有之以此明其逺近又最确之证无可疑者
问何为视差曰如一人在极西一人在极东同一时仰观七政则其躔度各不同也七政愈近人者差愈大愈逺者差愈小月最大日次之荧惑次之歳星又次之填星最小几于无有故知月最近填星最逺也
如上图丙为地甲为东目乙为
西目甲望戊月在己度乙则在
庚度甲望丁星在辛度乙则在
壬度己庚差大则月去人近辛壬差小则星去人逺也问东西相去既是极逺何以得同在一时仰观七政曰此在一时一地亦可测之特縁算数所得难可遽明故以东西权説若月食则亦东西同时两地并测亦足谂知也
问何以知七政之上复有恒星之天曰恒星布列终古常然而一体东行行度最迟殆如不动既与七政异行知其不得共居一天也故当别有一恒星之天众星皆丽其上矣
问恒星天之上何以知有宗动无星之天曰七政恒星其运行皆有两种其一自西而东各有本行如月二十七日而周日则一歳此类是也其一自东而西一日一周者是也非有二天何能作此二动故知七政恒星之上复有宗动一天牵掣诸天一日一周而诸天更在其中各行其本行也又七政恒星既随宗动西行一日而周其为戚速殆非思议所及而诸天又欲各遂其本行一东一西势相违悖故近于宗动东行极难逺于宗动东行最易此又七政恒星迟速所因矣
问宗动天之上又有常静大天何以知之曰今所论者度数也姑以度数之理明之凡测量动物皆以一不动之物为凖譬如舟行水中迟速逺近若干道里何从知之以离地知之地本不动故也若以此舟度彼舟何从可得诸天自宗动以下随时展转八极不同二行各异若以动论动杂糅无纪将何慿借用资考算故当有不动之天其上有不动之道不动之极然后诸天运行依此立算凡所云某曜若干时行天若干度分若干时一周天之类所言天者皆此天也厯家谓之天元道天元极天元分至此皆系于静天终古不动矣
常静篇第三
总论一条 常静天者有三理一为此下各动天之一切诸防【七政恒星彗孛及诸道诸圏之交之分但须测算者总名为防不言星者交与分非星也日月大矣亦言防凡测皆测其心心则防也】借此天以测知其所在也二为测各动天运行之时之度与夫各防之出入隠见以定歳月日时也三为测诸动天之各防相去离防何也凡常静天上诸名皆系之天元因其不动以验他动也其最尊者有三圏一曰天元赤道圏【或称中圏或称腰圏下文通用】以定诸防二曰天元地平圏【或称四方圏或称八风圏或称分光圏下文通用】以验运行三曰天元距圏【或称去离圏下文通用】以辨去离
论三圏共七章
论天元赤道圏一条 天元赤道者系于宗动之天平分天体者也【各圏各有心天元赤道之心即大寰之心也即地心也各圏各有极各有轴天元赤道之极之轴即大寰之极之轴也即地之极之轴也】天元赤道之左右各有距等圏以度论则九十为天元纬圏其前后各有过极圏以度论则一百八十为天元经圏过极圏者所以定经度容纬度也
如上图甲乙为中圏其上五经圏为甲丙有两过极圏以限之丁甲戊限其首丁丙戊限其尾甲丙在其中是大圏上所容之六经度也又如丙己为过极圏上四纬圏则首尾两防
有两距等圏以限之甲丙乙限其首庚己辛限其尾丙己在其中是过极圏上所容之五纬度也
论天元地平圏三条 常静天下诸所测欲知各防所在与各防之道各道之交之分则一中圏足矣为地在中心不能透明明为地隔人在各所所见止有半天其分明分暗处有一大圏即地平圏也地球之大人居各所明暗所分处处各异故随在有一地平圏
地平圏分四象限定天下之东西南北故可曰方道亦可名风道所谓不周广莫八风所来也四象限分为三百六十是地平之经度地平之两端一在人顶为顶极一在人对足之下为底极地平之左右各有距等小圏从大圏至极各九十为地平之纬度【亦名髙度亦名上度下文通用】其算以大圏为初度次小圏为一度其最髙为九十度即顶极下亦如之【亦名低度亦名下度下文通用】其最下为九十度即底极也从地平经度每度出一过顶大圏凡一百八十以定方维之分数其最尊而用大者有二一曰地平东西圏一曰地平南北圈如天元赤道上之有极至极分二圏也【极至极分见后篇】
如上图甲乙为地平丙为顶极丁为底极丙戊丁南北圏也甲丙乙丁东西圏也丙子丁丙丑丁皆经圏庚寅辛壬卯癸皆纬
圏算地平之经度或从东西圏起或从南北圏起其纬度或从地平起或从顶极起各任用
地为圆体故球之上每一防各有一地平圏从人所居目所四望者即是其多无数
如上图戊己为地甲乙丙丁为天人在戊即甲丙是其地平而庚为顶极人在己即乙丁是其地平而辛为顶极
赤道地平二圏比论四条 常静天上有天元赤道天元南北极恒定不动就人目所视又有天元地平圏今以二圏合论则六合之内共有三球一为正球二为欹球三为平球正有一平有一离此即欹欹者无数正球者天元赤道之二极在地平则天元赤道与地平为直角而其左右纬圏各半在地平上半在地平下如上图甲戊丙己为天甲乙丙丁为地平甲丙即天元赤道之两极戊乙丁己为地平之东西圏亦即天元赤道庚辛壬癸等
则地平之经圏是正球也
欹球者天元赤道之二极一在地平上一在地平下赤道与地平为斜角【斜角者一鋭一钝之总名】而天元赤道与地平之各经纬圏伏见多寡各不等其极出地之度为用甚大测者所必须也赤道纬圏之中随地各有一纬圏为用甚大名为常见纬圏凡极出地若干度即有一去极若干度之纬圏其底防常切地平者是也
如上图甲丙乙丁为地平戊己为赤道极若己乙为极出地四十度则壬癸乙常见纬圏亦去极四十度而纬圏之乙防即地
平之乙防
平球者一极在顶天元赤道与地平为一线各距等圏皆与地平平行也
如图甲乙丙丁为地平即为天元赤道而戊极在顶庚
辛等纬圏皆与地平平行
论地平南北圏一条 地平大圏上之过顶圏一百八十名顶圏皆地平圏之伴侣故又名侣圏其中大者二曰东西曰南北其又最尊者南北也其两极在地平与东西侣圏之交此圏平分球为东西二方不但过顶极亦过天元赤道极与天元赤道相交为直角亦不动与地平圏等但其游移也人于地面上南北迁此圏止有一不得有二东西迁则随在不同与地平俱无数如上图甲乙丙为南北圏人在戊在己在庚俱南北一线则恒以甲乙丙圏为顶移极不移圏故云有一无二也若从己东西
迁丁为其顶即以甲丁丙为南北圏矣
地平南北圏与天元赤道比论一条 此圏交于天元赤道即为天元赤道之极髙从天元赤道至顶极之度即北极出地之度
如图甲己为赤道丙为顶极乙为赤道极戊丁为地平
今言甲丙与乙丁等者甲乙弧丙丁弧
各相去九十度各减一丙乙弧则甲丙
与乙丁等若赤道极髙之甲戊弧亦与
丙乙弧等其理同也
论地平东西圏二条 东西亦地平之侣圏也其两极在地平与南北侣圏之交过此两极者有六大圏亦分天元球为十二舍地平以上常见者六舍最尊者地平与南北圏也其次序从东地平起算为初舍入东一舍为第一入东二舍为第二至南北圏之底起第四西地平上起第七南北之顶起第十此法为用甚大医家农家及行海者所必须也
如上图丙丁壬为东西侣圏甲乙为两极甲丁乙为地平圏甲戊乙甲庚乙等皆过极大圏也
其用之则以此图甲乙丙丁为地平甲为东地平起一舍己为底极起四丙为西地平起七戊为顶极起十也
东西圏平分球为南北二方造日晷必用之
论天元去离圏二条 天元三大圏其一赤道其二地平若欲知两防相距几何则二圏为未足也故有去离大圏过所设二防自此防至彼防其间之容则相去离之度分也若此二防俱在天元赤道或俱在其过极圏或俱在地平圏即所在圏为去离圏不用百游去离圏【游者游移不一百言其多】
如上图甲乙丙丁为地平戊己为南北极庚辛为黄道设壬癸防则子癸壬丑大圏上之癸壬是其度分
或问二防或俱在纬圏则即以纬圏为去离圏不可乎曰凡测量必用准分之尺度准度者止有一不得有二静天上之大圏分则准度也各纬圏之小大与其度分之广狭一一不等若多寡不齐之尺度岂能得物之准分乎故测去离必用大圏不得用纬圏也