新法算书卷十九
新法算书卷十九
钦定四库全书
新法算书卷二十 明 徐光启等 撰浑天仪説卷五
浑天仪制度
仪中诸圏宜合天上相应之圏而相合必有定处大小皆如法乃始成一浑仪也但前以所分之仪平与不平定图大小之异今则不然而以能合一器各不失乎应天之理者为则因有三圏内外相等为赤道及两过极圈又有二圈内等而外异为子午及地平圏又二圏外等而内异为太隂本圈及过罗计以从黄极之小圏余则各不等各依本仪大小定度焉
制内外等圈
论过极圏为浑仪之脊骨须先从此圈制起而诸圏依之可定任用银或铜制二圈为匾形各厚约半分【此就径过六七寸者论耳其余以仪大小为度后仿此】阔约二分【以其上能刻度与字为则】大小任意两面磨之使光复如法圏之安于铜板上【小焊焊住】以求中心随用规器齐其内外之周边并于面上作圈线以别度与字之间处必于刻度处缩之刻字处寛之乃度居外而字居内也其度数每面为三百六十至五线稍引长至十其线径过圏面而字乃识度之数者从正对之二处起至九十度于正对之二处止乃初界为赤道交二圏之限末界其二圏自相交之防因以定南北极焉须各圏以两面度及字彼此准对而两圏尤以诸面皆等为务【诸圈当磨之使光乃复齐之使平刻度等皆仿此】圏制矣必以十字直角交之使合法于止数正对之界圏各开小方孔其孔较圏面有半一内一外若公母笋者然乃用铜成二圆条厚分半余长五六分一大端开十字方孔以受二圏之交防一小端不令开孔少锐之便入子午圏以当仪枢复于二圏各起数正对之界与赤道圏如前法各开半孔直角相交以为总合之处如图甲乙为二圏相交之地加丙丁各条利其坚且当天枢故向内开孔以受仪枢向外小鋭以入子午圏中为南北极戊己庚辛皆圏腰之孔皆距极等乃所以受赤道圏者盖二圏既交必少制之使不紧便于入赤道圏矣随从二圏相交之
防任于一圏上数二十三
度半其正相对处皆等复
用二铜条一端开小孔少
许入其处一端向内任意
长短又开一小孔偹以受
月本圏者【如前图壬癸皆指铜条小孔自
显于壬】即月圏本极可当黄
道极乃其圏必为过冬夏二至之圏
赤道圏周分三百六十度二面俱等顺书其数亦二面同乃初度与九十度及一百八十度与二百七十度皆应开孔则初度与一百八十度所交之圏必为定春秋二分过极圏九十度与二百七十度为限冬夏二至过极圏之交界葢春分得初度右行九十度为夏至逓而秋分而冬至至三百六十度止渐又至春分矣即此可以查升度其制法与制二圏同内外周边以规器齐之各面以圏线分度与字度居外字居内皆如前圏图可不赘
制内等外不等圏
论子午及地平圏内周边之齐同较前三圏约寛一分葢安髙弧与时盘必使诸圏利于旋转势不得不少处其盈也且分四象限以九十度正对之合处为止而度反居内字反居外其子午圏之两面度数同地平独用一面惟度数外更増以时与刻故较子午必倍其体也今详各圏之所异子午为诸圏所倚较他圏独厚乃取其坚而濶与之等或微过焉其一面于度数初起处各加一铜耳以便于受天枢因枢左右有钉或螺旋转安于圏面故如图甲乙为各数初起之界并为南北二极而
丙丁正对处则各满一象
限乃正戊己及壬辛为铜
耳长尽于安钉濶止于圏
面之半厚以与圏能开孔
容天枢为则故本面当仪
之正中临用时或安髙弧
或就时盘定时皆以此面为界前卷所谓子午圏正面是也
地平或安于木架上厚薄不拘独下面用三四铜钉透
入木中使之固且令不随
子午圏起动焉或不用木
架而用铜架止令数处倚
于铜柱亦可自立其子午
正对处各开一口深与子
午圏及铜耳之濶等寛如
其圏与铜耳之厚取其便
于髙下出入已耳如图内层分三百六十度为四象限毎象限各九十度外层周分刻数并十二大时乃午在南子在北甲乙其口也寛窄之势以容子午圏及铜耳为度而子午圏之面则又平分地平居浑仪之中焉制外等内不等圏
因太隂本圏用以显交食者故体势稍小居仪之中距日约逺应随浑仪旋转又能依左右那动乃代月轮从黄道并出黄道内外者必更借一轮与之等以支之法本轮两面皆无度数独以十字平分为四界即于正相对二界上各安铜条外出少许各条于末端少鋭用以入黄极所出二铜条中即安于前所云过冬夏二至之圏者复于彼二界向内斜开小孔深入圏面之半以其能受月轮圏且得出入黄道内外其太隂圏外周与前圏等齐内周畧濶为其另加竪圏为月轮所附以旋转者亦无度数独一面分四界为正中二交隂阳二厯之限故于交处外开小孔与前圏斜孔相交加以铜结入圏其中以固之从交处向左因其圏偏内即以所交为正交内半圏皆隂厯从此而圏复偏外即以所交为中交外半圏皆阳厯如图甲乙丙丁为所借圏于正对处载铜条为乙丁乙处少鋭应入南黄极丁之鋭入北黄极
即月本轮随之转因以得隂
阳厯黄道内外者是其甲丙
相交处【一正一中】必居黄道正下
使月可得南北纬度其加戊
己二结者以总合二圏故也
庚辛为太隂本圏载前四限
于其上【二交左右可识日月食限多寡须依法】其内周加竪圏为壬癸周
约等濶半分余即月轮所倚以
旋转者其南黄极于甲乙丙丁
圏内出小表为子表末正向隂厯限为太隂本圏之中心乃开小圆孔内载一铜弧如弓形以此弧之一末安其心一末带月转如上图甲为入心之钩乙即附于竪圏之背使月轮自倚其正面以旋动然未安赤道之前不可不预偹此免后安置之烦耳
制内外不等圏
全不等圏者即黄道髙弧及时圏是小大形势各不一葢黄道有二一在外围仪周为匾圏任寛十二或十六度虽总分三百六十度然复依十二宫为界其横线毎三十度为一宫限引长之为全线毎十五度为一节亦引半线以别之度分细界于中一边书节气一边书二十八宿各以本度得节气而宫名可免矣一在内制与赤道及余圏等独一面书度数各以三十度为限大小较他圏不等外边周与赤道及过极圏之内周等齐任于三十度正对之界开小口用以合乎过冬夏二至极圏所留之口内边周开一深圏即从南黄极中出铜弧如弓形其一末入枢心一末带日轮于深圏中转俱不异于月轮焉如图上圆形为黄道圏之正面甲乙为口丙
为带日轮之弓形开小圆
眼于丁加钩于戊乃戊钩
在本圏之背日轮在前能
对度数旋转其下长方形
为黄道带之一方【举一以槩其余】中线为太阳躔道左右刻
度春秋二分迭易之以便观也先将内黄道圏如法安住【以其缝入内合之或钉或焊令刻度分者向北】其外圏【黄道匾圏】务令春秋分准合过极圏之中以与赤道交夏至则过赤道北【在内】而冬至则又过赤道南【在外】其防亦与极圏合乃圏所应合之四界微开小孔以钉固之复依黄道外圏之濶更制小表为测景表如图甲乙合黄道之濶如法扣之使丙为弯形铜以冷制之得硬体安放进退如意
髙弧为匾圏四分之一以地平或子午圏之内边为长短之则寛取其能容度数及所刻字一端中开小孔以能抱合天顶不脱一端加一小足度数外复余少许能入地平初度之下如笋之有所受者然其书度分从下
而上如图甲为上口度
末齐子午面乙为小足
初度倚地平余入其下
但天顶与髙弧全依北极出地度安置故更有天顶为丙中开一长方口以入子午圏下留小钉为戊安住髙弧其丁为螺旋宜入丙孔定住子午圏可任游移用也时盘以铜为实圆形其势少拱取其与仪圆体相合中心抱北极之枢能随诸圏转亦能自转其时刻自右而左书之盘周以之安于子午圏内而子午圏正面可当切时之表或时盘在子午圏外定住不移盘之上必须加一铜尺以指时刻其尺与枢抱能随诸圏转必能自转与前盘同苐盘周所分时刻从左而右与前盘
异焉如图甲乙为时盘在
子午圏内即丙丁为子午
圏能自切时刻戊己为时
盘在子午圈外枢端出中心为庚辛为时尺乃随仪周转以指南刻者
以上诸圏如法合成随安置于架中必使子午圏半在地平上半在下而负仪之柱长短务如法必先试之而后乃定住所开之孔亦与地平之孔等以其能凾子午圏及两耳可游行不碍也架之下安指南针必线与子午圏正合或与之为平行临用时一与针对而本仪之南北得即东西可定矣
制天地球十二长圆形法
凡造浑球可任意大小界黄赤道等圏其上又依度数带入诸星此元法也但其功甚难故别为简法先制星图及地图刋于平板以楮印之糊于球面必合因其图形为长圆设长直线以三十平分之从苐一分为心十一分为界作弧渐次以往止于十二弧后复从下对前弧
亦如前作十二弧得十二长圆形如前图其中横线应球上黄赤等道两末至极中诸弧并其中顺直线者皆应经圏令弧自得圆自能应其圏形独中之直线较弧反短倘不伸之使长便不能至二极又或伸之使长必令球畧大中腰必寛即长圆形腰线亦应长矣故楮虽宜坚且耐终末得全合欲免楮阙更有捷法求小圏与大圏之比例以限长圆形之旁线大约线稍曲畧就中线而中线无伸长之患可易合法曰全数与小圏相距之余如三百六十度与小圏全周或如九十度与小圏一象限或如一度与小圏一度之分秒得弧后余数复以六十相乘以全数减得分数再乘再减即得秒数如求黄道一宫三十度应如距四十度小圏之弧乃距度之余为七六六○四与三十相乘总数二二九八一二○与全数相减得二十二度余数与六十相乘总数五八八七二○○复与全数相减得五十八分今将球上三十度带于比例尺百平分线上为长圆形之腰线又使之与长直线以直角平分相交遂于比例尺约取二十三度带腰线形左右于直线四十度之距界而各等圏弧依距度推求取于比例尺得直线两旁曲线应过之界以成其长圆形
或不必算即设直线得大圏与球径之比例【一百五十七与五十或三百一十四与一百皆约为准】为甲乙十二平分之为横线以直角交大线之界乃于中线以丙为心以最近左右横线为
界作
圆圏
宜从
丁戊平分毎边十二分而毎正对防以直线相连使线过毎止于本横线如图葢从甲丁乙甲戊乙依其交防两旁过曲线必为长圆形凖与球面合即得之矣随以楮殻或铜木等板依之裁制一长圆形皆以中横线正对为黄赤道线临防星画地图时分黄赤道三百六十度以定经长圆形任一边分一百八十度以定纬【球制已以于子午圏定纬因以防星尽地图用虚纬度亦足】其十二星图等圆形皆以中横线为黄道以两末为南北各黄极因诸星依黄经纬度防入故横线内外各引赤道及冬夏至等线而赤道独分为度余皆依本纬相距总于球上合为圆圏也地图亦分十二形但中横线指赤道分为度余内外线即冬夏二至南北两极圏各于本纬取定也其毎距十度横过线者乃与赤道平行线而过赤道线毎距十度至二极中防复合者为经度线其中能量各处东西之距且可较赤道上度因得各处实度化之为里又于十二防【赤道上四防赤道内外相距等各又为四防】出弯线各三十二以定方向者乃用以分舟行海上之道耳今总天地各球十二等形如左
天地各球十二长圆形图
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷二十>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷二十>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷二十>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷二十>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷二十>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷二十>
因前图未尽圆形至二极中尚差十度故复以此圆圏补之各以十二平分而中心当极可合前图成圆球也临糊时先从此圏始次将长图各于相应之界连接之【法详之后篇】球制已完必地平子午圈髙弧及时盘指南针等与浑仪同乃可以全球之用但前图大小有定则而子午地平必依其则以为径今定其式如左与圏内周
之边等即球与圏相问之空俱在算内而天地球圏同一式矣
制球法
球之制全取其准与便准则必贵极圆以能合天载诸圏与度数相对便则以轻为最体虽大尤宜易为迁动设以铜为之欲其薄且圆固不易制即用木体质浑实亦不便于移置莫若以木板数块渐合成球绘天地等图于其上或糊前长圆形亦可葢球未合时内凿之使空
而已合后外得旋圆使之与图符或用楮须预偹一木模涂膏于上并用坚楮依前所偹长圆形裁十二圆外有二小圏心宜通以抱模枢易于进乃自涂以膏余十二圆必先渍以水两末微糊圏上使其周尽围模面次用楮裁圆形渐次合之以满其体之厚为度【厚一分余】乃更造一半圏任用铜或鐡与应制之球面等以为騐圆之圏【以长圆图之径取正一面宜合枢之中心】安枢上而枢又自安于本架二竪柱上乃令球转髙者去之低者补之必渐得圆乃止也取球法先备其枢随用两木较球径长数寸制为方形其中起槽以藏铜丝为球之极两木已合自中左右量球内空之径【以除球体之一倍得之】于各界留结两结间木以旋转为圆任厚若干于球未合之先安本枢即从外入小钉至两结中定住球如图甲乙为枢之结相距与楮球内面等丙丁皆出球外之鋭中凾铜丝乃球合后亦去之与面为平欲取球即于架转依騐圏之中线界球腰线以十二平分从第一至第七分界依騐圏面至两极引线得正中分球次本线之左右各加平行线各距等依之切楮二三
层复界中线又横加数短线必于中线开球依横线得合为法球取矣遂于中安枢复合二半圆用胶封固之缝宜合之坚后转球试枢居其中否乃随窒之绾于内结务令球得均匀若少有偏即详其轻处钻小孔制一
木螺丝转如下图 以甲为柄乙入球内有数小孔实铅其中得平乃止其出球之柄亦去之与球面等焉
上长圆图于球面法
欲上图先于球面加以白楮安球于架依騐圏之中线复界腰线于上以为赤道又分赤道为四象限使于各界依騐圏面过线至两极中以为二分二至之极圏次下球于铜枢上贯以楮板如尺状从枢心出直线使之顺球至赤道上为防乃自防至枢心分九十度裁其半依长圆形图以赤或黄道为腰线用楮尺先于球面为线令与图上之线相应如设赤道为天中即依楮尺距各极二十三度半为防以界两极圏又距六十六度半为防以界冬夏二至圏更分赤道为十二界各界过线至两极中合即得经圏并为长圆形所依而上界如法黏合矣若设黄道为天中即先依楮尺于二至经圏正对处防二十三度半为黄道极后必用曲腰规器以黄极为心以二分经圏交赤道为界作圏得黄道又合规器任意多寡从各黄极为圏得与黄道为平行乃总应平分以为十二长圆图之界而皆取准于经圏也诸圏已分用楮尺依分界至黄极中引线两线间得长圆形之界故将图于周线中截之先将一半黏上后复合其余半皆以其线合球上线者为准而种种俱得法矣然天球或依前騐圏或依新安子午圏各宜界二十八宿线过本宿距星与前界经圏同但线不必至二极中正于恒见与恒不见之界圏可总之依本北极出地度取则而地球则无线可加也矣
附黄赤全仪说
全仪共有四圏一赤道圏一黄道圏其赤道圏正居天中一面分二十八宿各距宿度分一面分三百六十平度当天上经度而黄道则斜交赤道圏上两相交处即春秋二分两相距最逺界即冬夏二至圏上一面依本道分十二宫一面仍分二十八宿其各宿大小则依本黄极测定故异于赤道宿度矣次子午圏以直角交黄赤两圏乃从赤道内外各分九十平度其距赤道最逺之界则为南北两极而极之两端各出一鐡轴令全仪悬安其上以利旋转焉三圏内又一圏为定经度圈亦名测景圏或安赤极下依赤道旋或安黄极下依黄道旋乃任两道公用者于赤极上另置一盘周分时刻曰时盘随全仪运转亦有时能自转令正午与太阳躔度相对因以定时者复有一小表任游移两道上一面开一长孔深入景圏而以螺旋定住一面所开孔较短而中有一锐尖以指度分
仪架前后竪两木柱而以全仪悬置其上其前柱之端出一铜弧分度数者乃约畧中华南北之广依各北极出地数以上下其南极者如 京师北极出地四十度则南极度入地四十度广东极南之地北极出地二十度则南极应入地二十度是以上至二十下至四十度也后柱端一铜表如手形者乃用以指时刻葢随全仪之逺近以为进退者架之下有三螺旋则因前后或左右以起全架令与地平相准而复设一垂线以考之又设以罗针以定子午大槩为测时计也
安仪法
凡测天之仪必以诸圏正对天上所设之圏令其似直者应直似横者应横乃可葢日月经纬诸星本圏上所得度分乃天上实行度分也今本仪或测诸曜实行度分或测昼夜相当时刻必先以其圏与天上所设之圏取正而后徐议测法焉
依本北极出地数起仪而以地平取凖复以罗针取定子午向次用垂线于后柱之左右相较务令线与柱上下为平行则全仪之东西正矣否则以后螺旋进退之盖垂线逺于东者则架宜东起或西下逺于西者反是末以前螺旋于地平取正南北葢悬垂线于子午圏本极出地度上令线下过正相对之度亦与上同如上在四十度下亦过四十度则地平之南北正矣否则又以前螺旋或出或入便可如法
定子午线法用黄道正面上查本日太阳躔度移测景圏正居其下以表如法定住令全仪渐转若得黄道圏与测景圏内并无日光则子午正矣如两圏内不能并得景必稍那其架之前或后至两圏内无光乃止用仪法
测五纬宿度法从北极中出三线一线直过仪心以穿南极谓之内线余二线俱从赤道上复合于南极谓之外线而逺近可任意游移者临测时将外一线界定某宿初度令与内线并天上本宿距星相叅直复移一线与所欲测之本纬星正对亦令其与内线共在一线上测两星同见其间度即相距之实度而纬星所在之宫度即本星赤道上宿度若欲依黄道测之则移景圏与线于黄极下法与赤道同所得度即黄道宿度
测恒星相距度法用二十八宿距星以外一线安本宿初度以一线正对当测之星俱取与内线相叅直或另测仪所未载之恒星须先查恒星经纬表依本经度识之本圏上测时移线于所识处即因以同测他星必两线中得两星依本道相距之经度【黄赤同一法】
测星黄经度依常法以恒星求经纬诸星经度即可得其恒星所居今恒星有本行较黄道终古如一而较赤道不能为一欲求其实处必从太阳躔度可定法安景圏于黄极下对定太阳本日躔度于日未出之先任取一恒星【测五星不异】测其与太隂或太白相距若千度太阳出地平上转仪正对令黄道圏与景圏内无日光乃止而复测太白得其距太阳度与前所测两星之距度相加即本星距太阳黄经度或日未入之先依此法先与太白同测太阳后以太白并测恒星终亦得恒星距太阳度则其本黄道经度也
测星赤经度法移景圏安本赤极下或晨测夕测俱与前同第景圏既正交赤道即于黄道为斜络不能实指两道相当之度须先查升度表以黄道度取赤道上相应度依之安表于本赤道上如前法测之即得本赤道经度如测星赤纬度从春分防中出二线一线直过仪心以穿秋分防可当内线一线从子午圏上过复合于内线之元防可当外线逺近任意游移临测时亦如测赤经度法将外一线那对所欲测之星亦令其与内线相叅直从子午圏上视其距赤道南北度即得星纬南北若干度
测太阳定时法先查太阳本日赤道度【用升度表求之】约为景圏对黄道本度所指转时盘午正与景圏相对后转全仪至黄景二圏内无光则后指所指即本时刻如未安景圏先以外线在赤道太阳本度对时盘午正即午正线后以目窥之必得线过赤道南者或在北者及午正者皆合一线则准而时刻亦依前法求之乃得
测恒星定时法先对时盘于太阳相应赤道本度皆与前同后任用二十八宿距星即以外线定本宿初度或别用大星须先查本星赤经度识之本圏以定线临测转全仪令内外两线与本星及人目相叅直则后指所指时刻即本时刻
测交食凡交食有三端可测一为食之时其法与昼夜测时无异苐月食时或夜有微云星体不显乃以测月为法必先安景圏于太阳实度并对时盘午正临测时以太阳所正冲景圏用以窥月体令内线与外线叅直则后指所指时刻即食甚时刻可合天若初亏复圆因太隂先未正对太阳或后已过彼此约差半度【东行之度】化为时得二三分则先减后加于见测之时亦可合天一为食之分别有本仪此不论一为方位因人目不能正对太阳故止于测月食以黄道圏及景圏取法葢太隂当食时恒在黄道或黄道内外相近处今仪器既与天合则诸圏亦合天上之圏惟顺黄道及景圏窥太隂缺光之边则以二圏所向与月亏之边相较即可得其方位矣
测北极出地髙法用罗经或别求定子午线以正本仪之南北次安景圏与太阳依赤道所算度分正对而前渐起仪令黄道圏与景圏皆无日光随以螺旋定住则即前极髙弧上得本地北极髙度或以垂线于子午圏上下所得相应之度即本方极髙度
若以本仪制日晷先如法安仪令子午圏竪立合天【以垂线考正是】时盘上之午正与本圏对准后将白纸一幅依当制之晷或立或倒或在仪左右安之使从赤道上毎三度四十五分出线至本纸上所得防引长之为时刻线假如欲制地平晷必安纸在仪下与地平面平行即顺赤道侧以目下视引线至纸上作识或用二三防连之得直线乃赤道线依本线从子午圏交赤道角上下正视之得防为午正处次转仪任时盘所行一刻二刻以至于尽亦如前作识【依时盘刻数与依赤道度同觉此更简便】得午前或午后一边之时刻线则他边之刻数等其相距亦与之等次求晷之心以引其时刻线立表法当于时之距午逺者任指一刻作识随于赤道往南较逺者顺切子午圏视下纸作识从本刻引线过此又从午正引与赤道以直角交之线至此其两线交处即晷之心也若制立晷宜竪纸在仪后法与前同独出线立表心当向北极后求之若制东西晷宜竪纸于正东或西法亦同但时刻线皆为平行线而表则正居赤道卯酉线上其长短以四十五度之切线取规故恒自心至上或下十二刻量之为止若诸偏晷即依偏度多寡安纸与前同一法其求心立表惟以目随内线至极为安表之地必斜出于晷面以当天枢是也总之偏地平晷仿正地平晷表作式偏立晷仿正立晷表作式各依或以北极或以赤道髙取之若欲以直角立表即用仪心为表位其长短俱依切线即本仪半径矣黄赤全仪之用约不外此
新法算书卷二十
钦定四库全书
新法算书卷二十一 明 徐光启等 撰比例规解
论度数者其纲领有二一曰量法一曰算法所量所算其节目有四曰防曰线曰面曰体总命之曰几何之学而其法不出于比例比例法又不出于句股第句股为正方角而别有等角斜角句股不足尽其理故总名之曰三角形此防名比例者用比例法也器不越咫尺而量法算法若线若面若体若弧矢方圆诸法凡度数所须该括欲尽斯亦竒矣所分诸线篇中称引之说特其指要各有本法本论未及详焉若所从出与其致用则三角形之比例而已按几何原本六卷四题云凡等角三角形其在等角旁之各两腰线相与为比例必等而对等角之边为相似之边六题云两三角形之一角等而对等角旁之各两边比例等即两形为等角形而对各相似边之角各等作者因此二
题创为此器今依上图解之如甲乙丙与丁
乙戊大小两三角形同用乙角即为等角则
甲乙与乙丙之比例若丁乙与乙戊而对
等角之边如甲丙与丁戊为相似之边也又显两形为等角形而对各相似边之角各等也今此规之枢心即乙角两股即乙甲乙丙两腰甲丙为底即与乙丁戊为等角形而各相当之各角各边其比例悉等矣任张翕之但取大小两腰其两底必相似也或取两底其两腰必相似也或取此腰此底其与彼腰彼底必相似也以数明之如甲乙大腰一百乙丁小腰六十而设甲丙大底八十以求小底丁戊即定尺用规器量取丁戊为度向平分线取数必四十八不烦乘除矣又如平方积一万其根一百求作别方为大方四之三即以一百为腰分面线之四防为大底次以三防为小腰取小底为度向平分线得八十六半强为小方根自之约得七千五百为小方积不烦开平方矣又如立方积八千其根二十求作大方倍元方即以二十为小底分体线之一防为小腰次以二防为大腰取大底为度于平分线得二十五半自之再自之约得一万六千为大方积不烦开立方矣篇中言某为腰某为底设某数得某数皆此类也防凡二靣靣五线共十线其目如左目
第一平分线
第二分面线
第三更面线
第四分体线
第五更体线
第六分线
第七节气线
第八时刻线
第九表心线
第十五金线
右比例十类之外依几何原本其法甚多因一器难容多线故止设十线其不为恒用者姑置之稍广焉更具四法如左
一平面形之边与其积
二有形五体之边与其积与其面
三有法五体与球或内或外两相容
四随地造日晷求其节气
比例防造法【一名度数尺其式有二】
一以薄铜板或厚纸作两长股如图任长一尺上下广如长八之一两股等长等广股首上角为枢以枢心为心从心出各直线以尺大小定线数今折中作五线两股之面共十线可用十种比例之法线行相距之地取足书字而止尺首半防余地以固枢也用时张翕游移
一以铜或坚木作两股如图厚一分以上长任意股上两用之际以为心规余地以安枢其一规面与尺面平而空其中其一剡规而入于彼尺之空令密无罅也枢欲其无偏也两尺并欲其无罅也枢心为心与两尺之合线欲其中绳也用则张翕游移之张尽令两首相就成一直线可作长尺或以两半直角相就成一直角可作矩尺
比例防之类别有二种一为四锐定心规一为四锐百游规不解之其造法颇难为用未广姑置之
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷二十一>
第一平分线
分法 此线平分为一百或二百乃至一千量尺之大小也分法如取一百先平分之为二又平分为四又各五分之为二十自此以上不容分矣则用更分法以元分四复五分之或以元分六复五分之如上图甲乙线分丙丁戊为元分之四今更五分之得己庚辛壬元分与次分之较为壬丙为戊己皆甲乙二十分之一为元分五之一【毎数至十至百各书字识之】
论曰甲乙【四】与甲丙【一】若甲己【四】与甲壬【一】更之甲乙
【四】与甲己【四】若甲丙【一】与甲壬【一】甲己为甲乙五之四即甲壬为甲丙五之四壬丙为甲丙五之一又甲丁为十甲辛为八辛丁为甲丁十之二或丙丁五之二戊庚为丁戊五之三又壬丙为甲丙五之一必为甲壬四之一【几何五卷】
用法一 凡设一直线任欲作几分假如四分即以设线为度数两尺之各一百以为腰张尺以就度令设线度为两腰之底置尺数两尺之各二十五以为腰敛规取二十五两防间之度以为底向线上简得若干数即所求分数 凡言线者皆直线依几何原本大小两三角形之比例则二十五与得线若一百与设线也更之二十五与一百得线与设线皆若一与四也 若求极微分如一百之一如上以一百为腰设线为底置尺次以九十九为腰取底比设线其较为百之一 若欲设线内取零数如七之三即以七十为腰设线为底置尺次以三十为腰敛规取底即设线七之三【置尺者置不复动下仿此】用法二 凡有线求几倍之以十为腰设线为底置尺如求七倍以七十为腰取底即元线之七倍若求十四倍则倍得线或先取十倍更取四倍并之
用法三 有两直线欲定其比例以大线为尺末之数【尺百即百千即千】置尺敛规取小线度于尺上进退就其等数如大线为一百小线为三十七即两线之比例若一百与三十七可约者约之【约法以两大数约为两小数其比例不异如一百与三十约为十与三】
用法四 乘法与倍法相通【乘者求设数之几倍也】如以七乘十三于腰线取十三为度七倍之即所求数也
用法五 设两线或两数【凡言数者腰上取其分或以数变为线或以线变为数】
欲求一直
线而与元
设两线为
连比例 若设大求小则以
大设为两腰中设为底次以
中设为两腰得小底即所求
如甲乙甲丙尺之两腰所设
两数为三十为十八欲求其
小比例从心向两腰取三十
如甲辛甲己识之敛规取十八为度以为底如辛己次从心取十八如甲丁甲戊即丁戊为连比例之小率得十一有竒 若设小求大则反之以中设为两腰小设为底置尺以中设为度进求其等数以为底从底向心得数即所求如甲丁甲戊为两腰丁戊为底次以甲丁为度引之至辛至己而等从辛从己向心得三十即大率论见几何六卷十一题【凡言等数者皆两腰上纵心取两数等下同】用法六 凡有四率连比例既有三率而求第四或以前求后则丁戊为第一率辛己甲丁甲戊为第二又为第三而得辛甲为第四 若以后求前则甲辛甲己为第一辛己甲戊甲丁为第二又为第三而得丁戊为第四【甲辛与辛己若甲丁与丁戊故也】
用法七 有断比例之三率求第四如一星行九日得一十一度今行二十五度日几何即用三率法以元得一十一度为两腰元行九日为底置尺以二十五度为两腰取大底腰上数之得二十日【十一之五】为所求日【此正三率法九章中名异乘同除也】用法八 句股形有二边而求第三法于一尺取三十为内句一尺取四十为内股更取五十为底以为内即腰间角为直角置尺若求则以各相当之句股进退取数各作识于所得防两防相望得外
线以向尺上取数为外数【言内外者以先定之句股成式为内甲乙丙是以所设所得之他句股形为外甲戊己是】 若求句于内股上取外股作识以设为度从识向句尺取外得防作识从次识向心数之得句求股亦如之【下有开方术为勾股本法可用】
用法九 若杂角形有一角及各傍两腰求余边先以线法依设角作尺之腰间角次用前法取之【见下二十一用四法】
用法十 有小图欲更画大几倍之图则尺
上取元图之各线加几倍如前作之
用法十一 此线上宜定两数其比例若径与周为七
与二十二或七十一与
二百二十三即二十八
数上书径八十六上书
周 有圈求周径法以元周为腰设周为底次于元两径取小底得所求径 反之以径求周径为腰如前用法十二 此线上定两数求为理分中末之比例则
七十二与四十二又三之一
不尽为大分其小分为二十
四又三之二弱 有一直线
欲分中末分则以设线为度依前数取之【几何六卷三十题】
第二分面线
今为一百不平分分法有二一以算一以量
以算分 筭法者以枢心为心任定一度为甲乙十平分之自之得积一百 今求加倍则倍元积得二百其方根为十四又十四之九即于甲乙十分线加四分半强而得甲丙为倍面之边求三倍则开三百之根得十七有半为甲丁求五六
七倍以上边法同【用方根表甚简易】
以量分 任取甲乙度为直角方形之一边求倍则于甲乙引至丁截乙丁倍于甲乙次平分甲丁于戊戊心甲界作半圈从乙作乙己垂线截圏于己即己乙线为二
百容形之一边【六卷二十六増】求三倍则乙丁三倍于甲乙四倍以上法同于尺上从心取甲乙又从心取乙己等线成分面线
试法 元线为一正方【直角方形省曰正方】之边倍之得四倍容方之边否即不合三倍之得九倍容方之边四倍得十六五倍二十五又取三倍之边倍之得十二再加倍得二十七倍之边再加倍得四十八倍之边再加倍得七十五倍之边若五倍容形之边倍之得二十倍容形之边再加倍得四十五倍容形之边再加倍得八十倍容形之边【本边之论见几何六卷十三】
用法一 有同类之几形【方圆三边多边等形
容与容之比例若边与边其理具几何诸题】 欲并而成
一同类之形其容与元几形并之容
等如正方大小四形求作一大方其
容与四形并等第一形之容为二二
形之容为三三形之容为四有半四
形之容为六又四之三其法从心至
第二防为两腰以第一小形之边为
底置尺次并四形之容得十六又四
之一以为两腰取其底为大形边其
容与四形之容并等 若无容积之
比例但设边如甲乙丙丁四方形其
法从心至尺之第一防为两腰小形
甲边为底置尺次以乙形边为度进
退取等数得第二防外又四分之三
即书二又四之三次丙形边为度得
三又五之一丁形边得四又六之五并诸数及甲形一得十又二十之十九向元定尺上进退取等数为底即所设四形同类等容之一大形边【此加形之法】
用法二 设一形求作他形大于元形几倍法曰元形
边为底从心至第一防为腰引至所求
倍数防为大腰取大底即大形之边【此乘
形之法】
用法三 若于元形求几分之几以元
形边为底命分数为腰退至所求数为
腰取小底即得 如正方一形求别作
一正方其容为元形四之三以大形边为底第四防为腰【即命分数】次以第三防为腰【即得分数】得小底即小形边【此除形之法若设一形之积大而求其若干倍小而求其若干分则以原积当单数用第一线求之】
用法四 有同类两形求其较或求其多寡或求其比例若干法曰小形边为底为一防为腰置尺以大形之边为度进退就两等数以为腰得两形比例之数次于得数减一所余为同类他形之一边此他形为两元形之较 如前图小形边为一大形边为六其比例为一与六则从一至六为较形边【此减形之法】
用法五 有一形求作同类之他形但云两形之容积若所设之比例法曰设形边为底比例之相当率为腰次他率为腰取其底为他形之边
用法六 有两数求其中比例之数法
曰先以大数变为线变线者于分度线
上取其分与数等为度也以为底以本
线上之本数为腰置尺次于小数上取
其底线变为数变数者于分度线上查
得若干分也此数为两元数中比例之
数 如前图二与八为两元数先变八为线以为底以本线之第八防为腰置尺次于第二防上取其底线变为四数则二与四若四与八也 若设两线不知其分先于分度数线上查几分法如前
用法七 有长方求作正方其积于元形等法曰长方
两边变两数求其中比例之数变作线
即正方之一边与元形等积
用法八 有数求其方根设数或大或
小若大如一千三百二十五先于度数上取十分为度以为底以本线一防为腰即一正方之边其积一百次求一百与设数之比例得十三倍又四之一以本线十三防强为腰取其底于度线上查分得三十五强为设数之根
第三更面线
分法 如有正方形欲作圆形与元形之积等置公类之容积四三二九六四以开方得六五八正方边也以开三边形之根得一千为三边等形之一边开五边之根得五○二六边形之根为四○八七边形之根为三
四五八边形之根为
二九九九边形之根
为二六○十边形之
根为二三七十一边
形之根为二一四十二边形之根为一九七圆形之径为七四二以本线为千平分而取各类之数从心至末取各数加本类之号【言平形者冇法之形各边各角俱等】
用法一 有异类之形欲相并先以本线各形之边为度以为底以本类之号为腰置尺取正方号之底线别书之末以各正方之边于分面线上取数合之而得总
边 假如甲乙丙三异类形欲相
并先以三边号为腰甲一边为底
置尺取正方号四防内之底向分
面线上用十数为腰正方底为底
于甲形内作方底线书十次五边
号为腰乙一边为底如前取正方
底向分面线得二十一半即于乙
形内作方底线书之次圆号为腰
径为底如前得十六弱并得四十七半弱 若欲相减则先通类如前法次于分面线上相减【用上图】
用法二 有一类之形求变为他类之形同积以元形边为度以为底从心至本号防为腰置尺次以所求变形之号为腰得底即变形边
用法三 凡设数求开各类之根先于分面线求正方之根次以方根度为底本线正方号为腰置尺则所求形之号之底线即元数某类之根【有法之平形其边可名为根与方根相似】用法四 若异类形欲得其比例与其较则先变成正方依分面线求之
第四分体线
线不平分分法有二一以算一以量
以筭分 从尺心任定一度为甲乙十平分自之又自
之得积一千即
定其线为一千
即体之根今求
加一倍积体之
根倍元积得二千开立方根得十二又三之一即于甲乙加二又三之一为甲丙乃倍体之边求三倍开三千数之立方根以上同
又捷法取甲乙元体之边四分之一加于甲乙元边得甲丙即倍体边又取甲丙七分之一加于甲丙得甲丁乃三倍体之边取甲丁十分之一加于甲丁得甲戊乃四倍体之边再分再加如图
试置元体之边二十八四之一得七以加之得三十五法曰两根之实数即用再自之数为一与二不逺葢二十八之立实为二一九五二倍之为四三九○四比于三十五倍体边之实四二八七五其差才○一○二九约之为一千四百五十二分之一不足为差若用三十六之四六六五六其差为逺 又加倍体七之一得再倍体之边三十五又七之一七之一者五也以加之得四十其实为六四○○○元积再倍之数为六五八五六较差才○一八五六或三十五之一可不入算也若用四十一根之实六八九二一其差为逺
又试倍边上之体为体之八倍即依图计零数至第八位为五之四八之七十一之十十四之十三十七之十六二十之十九二十三之二十二用合分法合之得一二○四二八○之六○八六○八约之为一○七五○之五四三四与二之一不逺则法亦不逺 右两则皆用开立方之法不尽数难为定法
以量分 先如图求四率连比例线之第二葢元体之边与倍体之边为三加之比例也今求第二几何法曰第二线上之体与第一线上之体若四率连比例线之第四与第一假如丙乙元体之边求倍体之边则倍丙
乙得甲丁以甲丁乙丙作壬己辛庚矩
形于壬角之两腰引长之以形心为心
如戊作圏分截引长线于子于午渐试
之必令子午直线切矩形之辛角乃止
即乙丙【即辛庚】午庚子己甲丁【即壬庚】为四率连比例线用第二率午庚为次体之一边其体倍大于元体【详双中率论】若甲丁为乙丙之三倍四倍即午庚边上之体大于元体亦三四倍以上仿此 用前法则元体之边倍之得八倍体之边若三之得二十七倍体之边四之得六十四倍体之边五之得一百二十五倍体之边
又取二倍体边倍之得十六再倍得一二八倍体之边本线上量体任用其边其根其面其对角线其轴皆可用法一 设一体求作同类体大于元体几倍法以元体边为底从心至第一防为腰置尺次以所求倍数为腰得大底即所求大体边 若设零数如元体设三求作七以三防为初腰七防为次腰如上法【此乘体之法】用法二 有体求作小体得元体之几分如四分之一四分之三等法以元体之边为底命分数之防为腰置尺退至得分数为小腰得小底是所求分体边【此分体之法】用法三 有两体求其比例以小体边为底第一防为腰置尺次以大体边为底就等数得比例之数也不尽则引小体边于二防以下以大边就等数两得数乃上可得比例之全数而省零数
用法四 有几同类之
体求并作一总体 若
有各体之比例则以比
例之数合为总数以小体边为底一
防以上为腰置尺于总数防内得大
底即总体边 若不知其比例先求
之次用前法【此加体之法】
如图甲乙丙三立方体求并作一大
立方体其甲根一乙三又四之三丙
六并得十又四之三以甲边为底本线一防以上为腰置尺向外求十又四之三为腰取底为度即所求总体之根
用法五 大内咸小所存求成一同类之体 先求其比例次以小体边为底比例之小率防以上为腰置尺次以比例两率较数防上为腰得较底即较体之边【此减体之法】
用法六 有同质同类之两体得一体之重知他体之重葢重与重若容与容先求两体之比例次用三率法某容得某重若千求某容得某重若干【同质者金铅银铜等同体者方圆长立等】
用法七 有积数欲开立方之根 置积与一千数求其比例次于平分线上取十分为底本线一防以上为腰置尺次比例之大率以上为腰得大底于平分线上取其分为所设数之立方根如设四万则四万与一千之比例为四十与一如法于四十防内得大底线变为分得三十四强 若所设积小不及千则以一分为底一防或半防或四之一等数为腰置尺设数内求底而定其分若用半防用所设数之一半用四之一亦用设数四之一葢筭法通变或倍或分不变比例之理用法八 有两线求其双中率【线数同理】如三为第一率二十四为第四率求其比例之中两率 法求两率之约数得一与八以小线为底一防以上为腰置尺次八防以上为腰取大底即第二率有第二第四依平分线求第三
第五变体线
变体者如有一球体求别作立方其容与之等分法 置公积百万依筭法开各类之根则立方之根为一百四等面体之根为二○四八等面体之根为一二八半十二等面体之根为五十二十等面体之根为
七六 圆球之径为
一二六 因诸体中
独四等面体之变最
大故本线用二百○四分平分之从心数各类之根至本数加字【开根法见测量全义六卷】
用法一 有异类之体求相加以各体之边为度以为底本线本类之防以上为腰置尺次从立方防内取底别书之各书讫依分体线法合之
用法二 有异类之几体求其容之比例先以各体变而求同容之立方边次于分体线求其比例乃所设体之比例若知一体之容数因三率法求他体之容数
第六分线
亦曰分圏线 分法有二
一法 别作象限圏分令半径与本线等长分弧为九
十度名作识
从一角向各
识取度移入
尺线从尺心
起度各依所取度作识加字 若尺身大加半度之防可作一百八十○度若身小可六十度或九十度止乂法 用正数表取度分数半之求其正倍之本线上从心数之识之【如求三十度即其半十五度之正为二五九倍之得千分之五一九为三十度之从心识之】
用法一 有圏径设若干之弧求其以半径为底六十度为腰置尺次以设度为腰取底即其移试元圏上合其弧 反之有定度之求元圏径以设弧之为底设度为腰置尺次取六十度为腰取底即圏之半径用法二 有全圏求作若干分法以半径为底六十度【其即半径也】为腰置尺命分数为法全圏为实而一得数为腰取底试元圏上合所求分【此分圏之法】 约法本线上先定各分之防如百二十为三之一九十为四之一七十二为五之一六十为六之一五十一又七之三为七之一四十五为八之一四十为九之一三十六为十之一三十二又十一之八为十一之一三十为十二之一各加字
用法三 凡作有法之平形先作圏以半径为底六十度为腰置尺次本形之号为腰取底移圏上得分用法四 有直线角求其度以角为心任作圏两腰间之弧度即其对角之度【有半径有弧求度如左】
用法五 有半径设弧不知其度法以半径为底六十度为腰置尺次以弧为度就等数作底其等数即弧度反之设角度不知其径及弧求作图其法先作直线一
界为心任作圏分以截
线为底六十度之线
为腰置尺次于本线取
设度之线为腰得底以为度从截圏防取圏分即设度之弧再作线到心即半径成直线角如所求因此有两法可解三角形省布数详测量全义首卷
第七节气线
一名正线
分法 全数为一百平分尺大可作一千用正表从
心数各度之数毎十度加
字 如三十度之正五
十则五十数傍书三十二
度之正五则五数傍书三
简法 第一平分线可当此线为各有百平分则一线两旁一书分数字一书度数字
用法一 半径内有设弧求其正以半径为底百为腰置尺次以设度为腰取底即其正
用法二 凡造简平仪平浑日晷等器用此线甚简易如简平仪之干盘周天圈其赤道线左右求作各节气线先定赤道线为春秋分次于弧上取赤道左右各二十三度半之弧两弧相向作以其半为底本线百数为腰置尺次数各节气离春秋分两节之数寻本线之相等数为腰取底为度移赤道线左右两旁作直线与相对之节气相连为各节气线【或于赤道线上及二至线上定时刻线之相距若干亦可】 如欲定立春立冬立夏立秋【因四节离赤道之度等故为公度】法曰立春至春分四十五度则取本线四十五度内之防线移于仪上春分线左右 若欲定小暑小寒之线离秋分春分各七十五度则取七十五度内之底线为度移二分线左右得小暑小寒之线
第八时刻线
一名切线线
分法 切线之数无限为九十度之切割两线皆平行无界故今止用八十度于本线立成表上查八十度得
五六七即本线作五六七
平分次因各度数加字【一度
至十五切线正微差尺上不显可即用正】
第九表心线
一名割线线
分法 此线亦止八十度依表查得五七五平分之其初防与四十五度之切线等【初防即全数故等】次依本表加之用法一 有正弧或角欲求其切线或割线法以元圏之半径为底切线线四十五度之本数为腰割线线则以○度○分为腰置尺次以设度为腰取底为某度之切线割线 反之有直线又有本弧之径欲求设线之弧若干度以半径为度以为底设弧之度数为腰置尺又设线为底求本线上等数即设线之弧
用法二 表度说以表景长短求日轨髙度分今作简法用切线线凡地平上立物皆可当表以表长为底本线四十五度上数为腰置尺次取景长为底求两腰之等数即日轨髙度分 若用横表法如前但所得度分乃日离天顶之度分也安表法见本说
用法三 地平面上作日晷法先作
子午直线卯酉横线令直角相交从
交至横线端为底就切线线上之八
十二度半为腰置尺次于本线七度
半防内取底为度向卯酉线交处左
左各作识为第一时分次逓加七度半取底为度如前逓作识为各时分【毎七度半者加七度半十五度二十二度半三十度三十七度半四十五度五十二度半六十度六十七度半七十五度八十二度半】若求刻线则逓隔三度四十五分而取底为度也次于元切线上取四十五度线【四十五度之切线即全数】为底割线初防为腰置尺次以本地北极髙度数为腰于本线上取底为表长于子午卯酉两线之交正立之又取北极髙之余度线为度于子午线上从交防起向南得日晷心从心向卯酉线上各时分防作线为时线在子午线西者加午前字如己辰卯在
子午线东者加午后字如未申酉
日晷图说 子午夘酉两线相交于
甲甲酉为度以为底以切线之八十
二度半为腰置尺逓取七度半之底
向甲左右作识如甲乙甲丙次取十
五度线之底作第二识如甲丁甲戊毎识逓加七度半毎识得二刻则丁防为午初戊为未初余防如图 次取甲己线上四十五度之切线为底割线之初防为腰置尺取北极髙余度【顺天府约五十】之割线为度从甲向南取辛辛为心从心过乙丁等防为线为时刻线又割线上取北极髙度之线【顺天府约四十】为表长即甲庚也表与面为垂线【立表法以表位甲为心任作一圏次立表表末为心又作圏若两圏相合或平行则表直矣】用法四 先有表度求作日晷则以表长为底割线上之北极髙度为腰置尺次以极髙余度为腰取底为度定日晷之心次用元尺于切线上取毎七半度之线如前【凡言表长以垂表为主或垂线】
用法五 有立面向正南作日晷法如前但以北极髙度求晷心以北极髙之余度为表长【又平晷之子午线为此之垂线书时创以平晷之夘为此之酉各反之】
用法六 若立面向正东正西先用权线作垂线定表处即晷心从心作横线与垂线为直角 若面正东于横线下向北作象限弧若面正西于横线下向南作弧弧上从下数北极髙之余度为界从心过界作线为赤
道线又以表长为底切线线上之四
十五度为腰置尺逓取七度半之线
从心向外于赤道上各作识从各识
作线与赤道为直角则时刻线也其
过心之线向东晷为夘正线向西晷为酉正线 若欲加入节气线法以表长为度从表位甲上取乙防为表心从心取赤道上各时刻防为度以为底以切线线之四十五度为腰置尺又以二十三度半为小腰取小底
为度于各时刻线上从赤道
向左向右各作识为冬夏至
日景所至之界 如上图甲
乙为夘酉正线以表长为度
从甲取乙为表心以切线上
之四十五度为腰甲乙为底置尺又以二十三度半为小腰取小底于本线上从赤道甲向左向右各作识即夘酉正时冬夏至之景界 次从表心向卯酉初刻线取赤道之交丙防为底切线之四十五度为腰置尺以二十三度半为小腰取小底于丙左右各作识为本时冬夏至之景界次于各时线如上法各作二至景界讫聨之为本晷上冬夏二至之景线 次作二至前后各节气线以节气线之两至防为腰【即鹑首之次西歴为巨蟹宫】以各时线上赤道至两至界为底置尺次以各节气为小腰取小底为度从各线之赤道左右作识如前法
第十五金线
分法用下文各分率及分体线
置金一度【下方所列者先造诸色体大小同度权之得其轻重之差以为比例】
水银一度又七十五分度之三十八
铅一度又二十三分度之一十五
银一度又三十一分度之二十六
铜二度又九分度之一
鐡二度又八分度之三