律吕成书卷一元刘瑾撰

律吕成书卷一元刘瑾撰

律吕成书卷一元刘瑾撰

刘瑾

律吕成书卷一元刘瑾撰

候气求黄钟法第一、第十章及彭氏律法第七章，以律吕新书证辨第一、第九参定。三重缇室图缇，音蹄，又音体，赤色也。

后汉志曰：“候气之法，为室三重，户闭，涂衅必周密。”长乐陈氏曰：三室各有门，为门之位，外以子，中以午，内复以子，杨子所谓九闭之中也。布缇缦，缯无文也。室中以木为案，每律各一案，内庳外髙，从其方位，加律其上，以葭莩灰抑其内端。长乐陈氏曰：室中上圆下方，依辰位埋律管，使其端与地齐，而以薄纱覆之。中秋白露降，采葭莩为灰，加管端。　彭氏曰：律管各当其辰，斜埋地下，入地处庳，出地处髙，故云内庳外髙。黄钟则埋于子位上头向南，按历而候之，气至者灰去，气所动者灰散，人及风所动者灰聚。

蔡氏曰：“律吕散亡，其器不可复见，然古人所以制作之意，则犹可考也。太史公曰：细若气，微若声，圣人因神而存之，虽妙必效。言黄钟始于声气之元也。班固所谓黄帝使伶伦取竹，断两节间吹之以为黄钟。又曰：天地之风气正而十二律定。汉前志曰：黄帝使伶伦自大夏之西，昆仑之阴，取竹之解谷生其窍厚均者，断两节间而吹之，以为黄钟之宫。制十二筒以听凤之鸣，其雄鸣为六，雌鸣亦六，比黄钟之宫而皆可以生之，是为律本。至治之世，天地之气合以生风，天地之风气正，十二律定。刘昭所谓伏羲纪阳气之初，以为律法，又曰吹以考声，列以候气。汉后志曰：伏羲作易，纪阳气之初，以为律法。建日冬至之声，以黄钟为宫，太簇为商，姑洗为角，林钟为徵，南吕为羽，应钟为变宫，蕤宾为变徵，此声气之元，五音之正也。又曰：截管为律，吹以考声，列以候气，道之本也。皆以声之清浊、气之先后求黄钟者也，是古人制作之意也。夫律长则声浊而气先至，极长则不成声而气不应；律短则声清而气后至，极短则不成声而气不应。此其大凡也。今欲求声气之中而莫适为凖，则，莫若且多截竹以拟黄钟之管，或极其短，或极其长，长短之内，每差一分而为一管，皆即以其长权为九分，而度其围径，如黄钟之法焉。如是而更迭以吹，则中声可得；浅深以列，则中气可验。茍声和气应，则黄钟之为黄钟者信矣。黄钟者信，则十一律与度量权衡者得矣。后世不知出此，而唯尺之求。又曰：隋志载十五等尺：一周尺及王莽时刘歆铜斛尺、后汉建武铜尺、晋荀朂所造晋前尺、祖冲之所传铜尺，长短近同。按荀朂尺出于汲冢之律，与刘歆之斛最为近古。葢去古未逺，古之律度量衡犹在也。自董卓之乱而乐律散亡，故魏杜夔之律围径差小，而尺因以长。荀朂虽改定新尺，然其乐声髙急，不知当时律之围径又果何如也。后周以玉斗生律，玉斗之容受则近古矣。然当时以斗制律，围径不及三分，其尺遂长于荀朂尺一寸五分八𨤲。意者后世尺度之差，皆由律围径之误也。今司马公所传此尺者，出于王莽之法钱，葢丁度所奏、髙若讷所定者也。后之君子有能验声气之元以求古之律吕者，于此当有考而不可忽也。二、晋田父玉尺及梁法尺，实比晋前尺一尺七𨤲。三、梁表尺，实比晋前尺一尺二分二𨤲一毫有竒。按：此即祖暅所筭造铜圭影表者也。四、汉官尺及晋时始平掘地所得古铜尺，实比晋前尺一尺三分七毫。五、魏杜夔尺，实比晋前尺一尺四分七𨤲。六、晋后尺，江左所用，实比晋前尺一尺六分二𨤲。七、后魏前尺，实比晋前尺一尺二寸七𨤲。八、后魏中尺，实比晋前尺一尺二寸一分一厘。九、后魏后尺，实比晋前尺一尺二寸八分一𨤲。十、东魏尺，实比晋前尺一尺五寸八毫。十一、蔡邕铜龠尺及后周玉尺，实比晋前尺一尺一寸五分八𨤲。按铜龠、玉斗二者，当是古之嘉量。后周据斗造尺，但以容受乘除求之耳。然皆惑于三分之径，故其尺律遂长。唐之度量权衡与玉斗相符，即此尺尔。十二、宋氏尺及钱乐之浑天仪尺。后周铁尺，实比晋前尺一尺六分四𨤲。按隋平陈以后即用此尺，即本朝和岘所用影表尺也。范蜀公以为即今大府帛尺，误矣。十三万宝常所造律吕水尺，实比晋前尺一尺一寸八分六𨤲。十四杂尺及刘晖浑天仪土圭尺，实比晋前尺一尺五分。十五梁朝俗间尺，实比晋前尺一尺七分一𨤲。按前十五等尺，其间多无所取证，所以存而不削者，要见诸代之不同，多由于累黍及围径之误也。晋氏而下，则多求之金石。梁、隋以来，又参之秬黍。隋志曰：晋泰始十年，中书考古器，揆校今杜夔尺长四分半，所校古法有七器：一曰姑洗玉律，二曰小吕玉律，三曰西京铜望臬，四曰金错望臬，五曰铜斛，六曰古钱，七曰建武铜尺。后魏律历志：公孙崇永平中更造新尺，以一黍之长累为寸法。刘芳受诏修乐，以秬黍中者一黍之广，即为一分。而元匡以一黍之广，度黍二缝，以取一分。三家纷竞，久不能决。大和十九年，遂用刘芳典修金石。后周武帝保定中，诏卢景宣等累黍造尺，纵横不定。后因修仓掘地，得古玉斗，据斗造律度量衡。下至王朴，刚果自用，専恃累黍，而金石亦不复考矣。又曰：唐张文收铸铜斛铭云：大唐贞观十年，岁次元枵，月旅应钟，依新令累黍尺，定律校龠，成兹嘉量，与古玉斗相符。故唐乐器虽无法，而声不失于古。自王朴以黍定尺，以尺生律，声与器始皆失之矣。夫金石真伪，固难尽信，若秬黍则岁有凶丰，地有肥瘠，种有长短、大小、圆妥不同，尤不可恃。况古人谓秬黍中者实其龠，则是先得黄钟而后度之以黍，不足则易之以大，有余则易之以小。约九十黍之长，中容千二百之实，以见周径之广，以生度量权衡之数而已，非律生于黍也。百世之下，欲求百世之前之律者，其亦求之于声气之元，而毋必之于秬黍，则得之矣。又曰：律者，阳气之动，阳气之始，必声和气应，然后可以见天地之心。今不此之先，而乃区区于黍之纵横，古钱之大小，其亦难矣。然非精于历数，则气节亦未易正也。

欧阳颖伯曰：“候冬至，验诸管之中，有气应灰飞之律者，即黄钟九寸之真数。今岁得之，则来年又从而验之，以两冬至相距三百六旬有六日内应者为可凖，不必拘于当时太史筭历所定冬至之时可也。彭氏曰：欲求黄钟的实者，须依蔡元定说，多截竹管以拟黄钟，或短或长，每差纎微，各为一管，悉以此诸管埋地中，俟冬至时验之。若诸管之中有气应者，即知此管合于造化自然也。葢律之大要，莫先候气，故太史论律，谓气始于冬至，周而复生。神生于无形，成于有形，然后数形而成声。

求黄钟从长法第二以新书本原第一章定此即冬至气应之管，即为黄钟，从长九寸，计九十分。

古法黄钟长九寸，今据此冬至气应之管分作九寸。蔡氏曰：天地之数始于一，终于十。其一、三、五、七、九为阳，九者，阳之成也；其二、四、六、八、十为阴，十者，阴之成也。黄钟者，阳声之始，阳气之动也，故其𢿙九分寸之数具于声气之元，不可得而见。及断竹为管，吹之声和，候之气应，而后𢿙始形焉。故约其长得九寸，寸作十分，分作十𨤲，𨤲作十毫，毫作十丝，丝作十忽，此乃元气距地浅深长短自然之度，是为黄钟律管从长之数。欧阳颖伯曰：　一、二、三、四、五皆生𢿙也，六、七、八、九、十皆成𢿙也。天九与地十，则阴阳成数之极者也。以九乘十，以十乘九，皆为九十，此黄钟之长，以九为寸𢿙，以十为分𢿙也。总而计之为九十分者，用阴阳之极也。阳之极则阴生焉，阴之极则阳生焉。是以冬至一阳生于积阴之下，而黄钟之律应，则理也、气也、𢿙也，出于一而不可以异观矣。既得从长之数如此，于是凖此分、𨤲、毫、丝之度，用九章筭经羃音觅。积周径法，互相推筭，以求黄钟律管阔狭之的。筭法详具后章。

求黄钟积实面羃法第三以新书本原第一章及彭氏律法第六章参定。○

此下深至底者，黄钟管内积实也，互算得八百一十方分。此圎内空者，黄钟管内面羃也，互算得九方分。

古法，黄钟积实八百一十分，今据前气应之管，其长九十分之分为凖以度之。凡一分管长，知空围中当积九立方分；十分管长，空围中当积九十立方分；九十分管长，则空围中当积八百一十立方分。是为黄钟之积实也。凡论黄钟管内积分者，宜取方分，而汉志止言积实八百一十分者，省文耳。既得积实之数如此，知管面深一分，则空围中的容九方分无疑，是又黄钟之面羃也。羃者，覆笾豆巾也，有方目可纪，故筭管面平方忽丝、毫𨤲、分者，皆取象于羃，即蔡氏所谓审其围得九分。蔡氏又曰：空围中广九分，积其实得八百一十分者是也。面羃九方分者，九𢿙也。积实八百一十分者，九九𢿙也，皆阳𢿙也。既得面羃之数如此，乃以平方羃法推之，知一分有百𨤲，从长一分该十𨤲，故平方面有百𨤲。余仿此。有图见后。𨤲有百毫，毫有百丝，丝有百忽，积而计之，一平方分通有面羃一万万忽，九平方分通有面羃九万万忽，由是可以起筭黄钟之围径矣。苐历代诸儒议论不一，不可不先知也。并附其说如左。

蔡氏曰：按十二律围径，自先汉以前，传记并无明文。惟班志曰：黄钟八百一十分。繇此之义，起十二律之周径。然其说乃是以律之长自乘，而因之以十，葢配合为说尔，未可以为据也。又曰：汉志以黄钟长九寸，九九八十一，又以十因之，为八百一十，应历一统八十一章之数。此𠋣数配合为说而巳。其云起律之周径者，葢空围九分，长九寸，积八百一十分，则其周径可以数起矣。惟审度章云：一黍之广，度之九十分，黄钟之长，一为一分。嘉量章则以千二百黍实其龠，谨权衡章则以千二百黍为十二铢，则是累九十黍以为长，积千二百黍以为广可见也。夫长九十黍，容千二百黍，则空围当有九方分，乃是围十分三𨤲八毫，径三分四𨤲六毫也。每一分容十三黍又三分黍之一，以九十因之，则一千二百也。又汉斛铭文云：律嘉量方尺，斛面内平方一尺也。圆其外，循其方外四角而规圆之。其径一尺四寸有竒。庣音条。旁九𨤲五毫，庣，过也，谓圆外四旁略加开广也。羃百六十二寸。方尺羃百寸，圎其外，每旁约十五寸，四旁共六十寸，庣旁约二寸，方圎皆在积羃之𢿙。深尺积一千六百二十寸。斛面平方，平圎一寸，面羃一百六十二寸。斛深立方，立圎十寸，故积一千六百二十寸。容十斗。嘉量之法，合龠为合，十合为升，十升为斗，十斗为石。一石积一千六百二十寸，为分者一百六十二万。斛内立方立圎积分之𢿙也。下放此。一斗积一百六十二寸，为分者十六万二千。一升积十六寸二分，为分者一万六千二百。一合积一寸六分二𨤲，为分者一千六百二十。则黄钟之龠为八百一十分明矣。空围八百一十分，则长累九十黍，广容一千二百黍矣。葢十其广之分以为长，十一其长之分以为广，自然之数也。自孟康以律之长十之一为围之谬，其后韦昭之徒，遂皆有径三分之说，而隋志始著以为定论。又曰：郑康成月令注云：凡律空围九分。蔡邕铜𠎤铭亦云：空围九分。葢空围中广九分也。东都之乱，乐律散亡，邕之时未乱，当亲见之，又晓解律书，而于月令章句云径三分，何也？孟康、韦昭之时，汉斛虽在，而律不存矣。康、昭等不通律吕，故康注汉志云：黄钟径三分，围九分；林钟长六寸，围六分；太簇长八寸，围八分。昭注周语云：黄钟径三分，围九分。皆无足怪者。隋氏之失制，律管俱径三分，岂康、昭等有以启之欤？又曰：汉、魏而下，造律竟不能成，而度之长短，量之容受，权衡之轻重，皆戾于古，大率皆由径三分之说误之也。然累九十黍径三分，止容黍八百有竒，终与一千二百黍之法两不相通，而律竟不成。唐因声制乐，虽近于古，而律亦非是。本朝承袭，皆不能觉。独胡安定以为九分者，方分也，以破径三分之法。然所定之律，不本于声气之元，一取之秬黍，故其广量权衡皆与古不合。胡瑗取羊头山黍，用三等筛子筛之，取中等者横累一百黍为尺，又不知变律之法，但见仲吕反生，不及黄钟之数，乃迁就林钟以下诸律围径以就黄钟清声。以夷则、南吕为径三分、围九分；无射为径二分八𨤲、围八分四𨤲；应钟为径二分六𨤲五毫、围七分九𨤲五毫。夫律以空围之同，故其长短之异可以定声之髙下，而其所以为广狭长短者，莫不有自然之数，非人之所能为也。今其律之空围不同如此，则亦不成律矣。遂使十二律之声皆不当位，反不如和岘旧乐之为条理，亦可惜也。房庶以径三分、周围九分，累黍容受不能相通，遂废一黍为一分之法，而増益班志八字以就其说。范蜀公乃从而信之，过矣。

彭氏曰：“予得蔡氏律吕新书，又得九章筭经，载祖冲之筭圎径术，极为精宻。乃若西山推求声气之元，欲多截竹管测候，实为冠绝古今，然布筭又与祖氏未合。窃以为依蔡氏之候法，加之以祖氏之筭术，何黄钟不可定之有？

又曰：“东汉蔡邕始创为径三分之说。试依所言径三分，以祖冲之宻率乘除，止得面羃七分七𨤲竒，乃少一分九十二𨤲竒。平方羃法，方一分计百𨤲也，积实止得六百三十六分竒，乃少一百七十三分竒。如此，则黄钟之管无乃大狭？谓曰不然，请以图证之。凡论黄钟空围内羃积分者，宜取方分。今姑以九方分平置，如此则是九方分纵横信有三分径矣。若以九方分宛转为圎，则须得三分有余径，方可容之。故必如此，使圎径积阔，则圎内始可容九方分。不然，则止从三分方径取圎。如此，则圎内所容方分少，而方分之四角犹有余分者，皆溢出圎外而无所容矣。其面羃既差，则其积实愈差。由此观之，黄钟径止三分，则面羃无九方分，积亦无八百一十分，以之造律，未为得也。晋孟康注汉律历志曰：律孔径三分，参天数也；围九分，终天数也。韦昭注国语，唐魏徴作隋志，及后周王朴、宋房庶、和岘、阮逸、范镇等，并从此说。按此诸儒言径三分，与蔡邕同，其说已差。至于言围九分，用径一围三之法，尤误。盖径一围三虽是古率，然古人大约以此筭圎田耳。若以密率推之，径一则围三有竒。假如径七，则围当有二十二。若依孟氏所言径三分，则围长当九分四𨤲二毫八丝强，不但止于九分也。若依九分围长之数，则径当止有二分八𨤲六毫三丝六忽强，又不及三分也。谓曰不信，请以图证之。今且以此○圎形取径，取得圎内径长如此。又以此○圎长分折为三，如此三折之中，取一折以比圎形内径，○或通以三折比之，圎内之径必短，而三折者必长。以此观之，知围三径一乃大约之法，长短自有差殊，圎田或可用此。至于律管，则空积忽微，以之造律，未为得也。

宋胡瑗不主诸儒径三围九之说，驳之曰：“后世儒者执守孤法，但制尺求律，便为坚证。因谓围九分者，取空围长九分耳。以是围九分之误，遂有径三分之说。若从径三围九之说，则黄钟之管止容九百黍，积止六百七分半，如此则黄钟之声无从而正。大要空围中容九方分，乃是围长十分三𨤲八毫，径三分四𨤲六毫也。按胡氏此言围径数虽与诸儒异，然亦用径一围三之率，殊不知此率未密，故若依所言三分四𨤲六毫径，当得围长十分八𨤲七毫四丝二忽强，不但止于十分三𨤲八毫也。若依十分三𨤲八毫围长之数，则径止得三分三𨤲竒，又不及三分四𨤲六毫也。谓曰不信，亦当以前图证之。大槩胡氏知诸儒径三分之短，不知自说径三分四𨤲六毫者，又失于长。兼又不知径七围二十有二密率，止以径一围三约率言，故所言径围分数皆有参差不齐。圎田或可用此，至于律管，则空积忽微，以之造律，未为得也。宋蔡元定说径围分数与胡氏同，辨己见前。蔡氏又曰：筭法置八百一十分，分作九重，每重得九分。圎田术三分益一，得一十二，以开方法除之，得三分四𨤲六毫强，为实径之数，不尽二毫八丝四忽。今求圎积之数，以径三分四𨤲六毫自相乘，得十一分九𨤲七毫一丝六忽，加以开方不尽之数二毫八丝四忽，得一十二分。以管长九十分乘之，得一千八十分，为方积之数。四分取三为圎积，得八百一十分。今姑依其说，以九方分平置，如此又以三分益一，以三方分割置于九方分之外，如此共积十二方分，其纵横可得三分四𨤲六毫强，不尽二毫八丝四忽，的如蔡氏说。依古率，十二方分通计十二亿忽，开方亦得此数。但依此径以密率相乘，则空围内面羃不但止得九方分，乃得九方分零四十𨤲六十毫五十七丝十四忽竒。空围内积实不但止得八百一十分，乃得八百四十六分五百四十五𨤲一百四十二丝六百忽竒。如此，则黄钟之管无乃太大？谓曰不信，亦当以图证之。假如设此为十二方分，就此十二方分之中取径，则方内径如此，乃就方内之径圎之如此。细考之，则方内之圎所占者不止四分三，圎外之方所当退者，又不及四分一。以此知三分益一，四分退一，乃虚加实退，筭家大约之法。至于律管，则空积忽微，以之造律，未为得也。盖律之大要，莫先候气，以求从长，又在善筭，以求周径。今具筭法于后：

一分从长，十𨤲当万忽。平方百𨤲当万万忽，约一亿忽　立方千𨤲，当万亿忽。

一𨤲从长十毫当千忽，平方百毫当百万忽，立方千毫当十万万忽，约十亿忽。

一毫从长十丝当百忽，平方百丝当万忽，立方千丝，当百万忽。

一丝从长十忽，平方百忽，立方千忽。

彭氏曰：“筭经少广章开圎，唐李氏注：依密率八十八乘之，七而一，开方除之，即周。此置积求周法也。又方田章圎田术，李氏注：密率以七乘周，二十二而一，即径。以二十二乘径，七而一，即周。此置周求径，置径求周法也。此密率本祖氏冲之所作，比之古率，极为精密。今以黄钟面羃开方求周径，一依此术。既得黄钟面羃九方分，该九万万忽，约之为九亿忽。依密律筭圎周法，置九亿忽，以八十八乘之，得七百九十二亿忽，乃以七归之，得一百一十三亿一千四百二十八万五千七百一十四忽七分忽之二，是为实数。以此实数开方求圎周。置此实数在地，借一筭子，歩约至亿，下约得至万而止，是名下法。谓亿之面万，以此记方面从长𢿙。乃于实数之上，商置一十万，名上商。记方面从长，就以此除地上实𢿙，乃于实数之下，下法直上置一十亿，名方法。

方法

一十亿，合商一，呼一　一如一，为一百亿。乃命上商除实数一百亿，犹存实数一十三亿一千四百二十八万五千七百一十四忽、七分忽之二。第二重开之，方法十亿，倍之得二十亿。一退得二亿。下法万，一退得千。乃于上商十万位下，续商置六千。又于方法之下，下法直上置六百万，名廉法。

方法二亿，合商六，得十二亿，呼二六一十二也。廉法六百万，亦从上商六，得三千六百万。呼六六三十六也。乃命上商除实数十二亿三千六百万，犹存实数七千八百二十八万五千七百一十四忽、七分忽之二。第三重开之，倍廉法六百万，得一千二百万。并入方法二亿内，共得二亿一千二百万。一退得二千一百二十万。下法千，再退百。乃命上商六千位下续商，置三百。又于下法直上置三万，亦名廉法。

方法

二千一百二十万。合商三得六千。呼二三得六也。三百，又呼一三如三也。六十万。又呼二三如六也。廉法三万，亦从上商三得九万。呼三三如九也。乃命上商除实数六千三百六十九万，犹存实数一千四百五十九万五千七百一十四忽七分忽之二。第四重开之，倍廉法得六万。并入方法二千一百二十万内，共得二千一百二十六万。一退得二百一十二万六千。下法再退得十。乃于上商三百位下续商，置六十。又于下法之上置六百，亦名

方法。

二百一十二万六千。合商六，得一千二百七十五万六千。呼二六一十二，又呼一六如六，又呼二六一十二，又呼六六三十六，共得此𢿙。廉法六百，亦从上商六得三千六百，呼六六三十六也。乃命上商，除实数一千二百七十五万九千六百忽，犹存实数一百八十三万六千一百一十四忽七分忽之二。第五次开之，又倍廉法六百得一千二百，并入方法二百一十二万六千中，共得二百一十二万七千二百。一退得二十一万二千七百二十。下法再退得一，乃于上商六十位下续商置八，又于下法之上置八，亦名廉法。

方法

二十一万二千七百二十，合商八，得一百七十万一千七百六十。以八呼上方法，而得此𢿙也。廉法八，亦从上商八得六十四，呼八八六十四也，乃命上商，除实数一百七十万一千八百二十四忽，犹存实数一十三万四千二百九十忽七分忽之二在地。又须第六重开之，乃以一忽作万万分，每一忽从计一万分，每一忽平方计一万万方，约之为一亿分，则在地不尽实数。共积得一十三万四千二百九十亿二千八百五十七万一千四百二十六分竒。以一忽作一亿分筭，故通前七分忽之二，以七归之，共得此𢿙。前开方已得毎一面从计一十万六千三百六十八忽，乃倍前廉法八，得一十六忽，并入前方法内，共得二十一万二千七百三十六忽。以亿法通之，前所余实𢿙，既以一忽作一亿分𥮅，故此方法忽𢿙亦以亿法通之。计得二十一万二千七百三十六亿分。一退得二万一千二百七十三亿六十万分。前下法一升为万，再退得千。前上商十万六千三百六十八升，为十亿六千三百六十八万，乃于前上商八忽位下，续商置六千，又于下法之上置六百万，亦名廉法。

方法

二万一千二百七十三亿六千万分，合商六，得一十二万七千六百四十一亿六千万分，以六呼上文方法而得此𢿙也。廉法六百万分，亦从上商六得三千六百万分，呼六六三十六也。乃命上商，除实数一十二万七千六百四十一亿九千六百万分，犹存实数六千六百四十八亿三千二百五十七万一千四百二十六分。第七重开之，倍廉法六百万，得一千二百万，并入前方法内，共得二万一千二百七十三亿七千二百万。一退得二千一百二十七亿三千七百二十万。下法再退得百，乃于上商六千位下续商置三百分，又于下法之上置三万，亦名廉法。

方法

二千一百二十七亿三千七百二十万，合商三，得六千三百八十二亿一千一百六十万分，以三呼上文方法而得此𢿙也。廉法三万，亦从上商三得九万分，呼三三如九也。乃命上商除实数六千三百八十二亿一千一百六十九万分，犹存实数二百六十六亿二千○○八十八万一千四百二十六分。第八重开之，倍廉法三万得六万，并入前方法内，共得二千一百二十七亿三千七百二十六万。一退得二百一十二亿七千三百七十二万六千。下法再退得十，乃于上商三百分下，续商置一十分，又于下法之上置一百分，亦名廉法。

方法

二百一十二亿七千三百七十二万六千分。廉法一百分。皆以上商一命之，共计除实数二百一十二亿七千三百七十二万六千一百分，犹存实数五十三亿四千七百一十五万五千三百二十六分。第九重开之，倍廉法一百得二百，并入前方法内，共得二百一十二亿七千三百七十二万六千二百。一退得二十一亿二千七百三十七万二千六百二十。下法再退得一。乃于上商一十位下，续商置二，又于下

法之上置二，名隅法。

方法二十

一亿二千七百三十七万二千六百二十分。合商二，得四十二亿五千四百七十四万五千二百四十分。以二呼上文方法，而得此𢿙也。隅法二，亦从上商二，得四分，呼二，二如四也。乃命上商除实数四十二亿五千四百七十四万五千二百四十四分，犹存实数一十口。亿九千二百四十一万口。口八十二分。计一十忽竒。开不尽，弃之。

已上黄钟靣幂九方分，该九亿忽，开方得一十万六千三百六十八忽万分忽之六千三百一十二分。即圎周数。以一万忽为从，分法除之，得一十分，不尽六千三百六十八忽万分忽之六千三百一十二分。以一千忽为从，𨤲法除之，得六𨤲，不尽三百六十八忽万分忽之六千三百一十二分。以一百忽为从，毫法除之，得三毫，不尽六十八忽万分忽之六千三百一十二分。以一十忽为从，丝法除之，得六丝，余八忽万分忽之六千三百一十二分。黄钟律圎周的计一十分六𨤲三毫六丝八忽万分忽之六千三百一十二分。

求黄钟径长法第五以彭氏律法八章定

圎内直者，黄钟管内径长也。互算得三分三𨤲八毫四丝四忽强。

彭氏曰：“置前黄钟圎周数一十万六千三百六十八忽万分忽之六千三百一十二分在地。今具数如左：

据前在地之数，依算经密率，置周求径法，以七乘之。其以七相乘布筭之法，㳺移増减，筭位无常，今不可以具图，晓筭法者当自知之。后不具图者仿此。得七十四万四千五百八十忽万分忽之四千一百八十四分。今具所得之数如左。

乃据上文以七之所得之数，却以二十二而一除之，即筭法二归二除也。盖于二十二分中取其一分，以为径长之数。得三万三千八百四十四忽，不尽一十二忽、万分忽之四千一百八十四分。今具所得之数及不尽之数如左：

此上一层三万三千八百四十四忽者，即以二归、二除所得全忽之𢿙也。下一层一十二忽、四千一百八十四分者，乃不尽之余数，不可归除作全忽之𢿙，又须别归除之，作忽外零数，详见下文。

通分内子，即以前不尽之数通而计之也。得一十二万四千一百八十四分。以二十二而一除之，得五千六百四十四分，余二十二分分之一十六，余分少六数，于筭法二十二分之𢿙不足，故不能满一分，止当得七𨤲有竒。今以余分姑作一分，通计五千六百四十五分。今具图说如左：

此上一层五千六百四十四者，即以二归、二除已前不尽之𢿙，而得此忽外全分之𢿙也。下一层一十六

分者，又归除分外不尽之余数，不可归除作全分之

数者也。若归除之，止得七𨤲强，不满一分。然此𢿙所

少者，微尘耳，筭法不容不然。今敁举成数言，姑作五

千六百四十五分计之，

乃合前后归除所得全忽全分之数，通计之，共得三万三千八百四十四忽万分忽之五千六百四十五分，乃黄钟管径长之数也。其图如左：巳

上以七乘黄钟圎周之数，以二十二除之，得三万三千八百四十四忽万分忽之五千六百四十五分。如上文所具，即圎径数也。乃以一万忽为从，分法除之，得三分，不尽三千八百四十四忽万分忽之五千六百四十五分。以一千忽为从，𨤲法除之，得三𨤲，不尽八百四十四忽万分忽之五千六百四十五分。以一百忽为从，毫法除之，得八毫，不尽四十四忽万分忽之五千六百四十五分。以一十忽为从，丝法除之，得四丝，余四忽万分忽之五千六百四十五分。黄钟律圎径的计三分三𨤲八毫四丝四忽、万分忽之五千六百四十五分。

复以半周半径求黄钟羃积元数法第六

以彭氏律法八

章定。

彭氏曰：“既得黄钟周径数，乃以半周半径求面羃九方分。其法置所得圎周数一十万六千三百六十八忽、万分忽之六千三百一十二分。半之，得五万三千一百八十四忽、万分忽之三千一百五十六分。通分内子，计五亿三千一百八十四万三千一百五十六分。各具图如左。

圎周数　半周数　半周通分内子数

另置所得圎径数三万三千八百四十四忽、万分忽之五千六百四十五分。半之，得一万六千九百二十二忽、万分忽之二千八百二十二分半。通分内子，计一亿六千九百二十二万二千八百二十二分半。各具图如左。

圎径数　半径数　半径通分内子数

乃置所得半径内子分数，列于上一位，另置所得半周内子分数，列于下一位，乘之，得八亿九千九百九十九万九千九百九十九亿八千五百六十二万七千八百一十分。各具图如左。

半径置半径内半周置半周乘所得此数下一位。与子分数于　子分数于　上数此上一位，　此下一位。　相乘，巳

上

半周半径相乘所得数即面羃数。乃以亿分当一忽为法除之，得八亿九千九百九十九万九千九百九十九忽亿分忽之八千五百六十二万七千八百一十分。此介乎有形无形之间，虽微尘不足以喻之，筭法不容不然，故云一忽弱。盖前以面羃九亿忽开方求圎周，有不尽之𢿙，故此面羃元𢿙九亿忽内有此　一弱忽。具图如左。

通前一忽弱，姑以成数计之，通作一忽筭，加入所少之数一千四百三十七万二千一百九十分在前数内，凑得面羃元法九亿平方忽。乃以百忽当一丝为法，除之，得九百万平方丝。既得九百万丝，又以百丝当一毫为法，除之，得九万平方毫。既得九万毫，又当以百毫当一𨤲为法，除之，得九百平方𨤲。既得九百𨤲，又以百𨤲为一分除之，得九平方分。是为黄钟面羃元数。既得面羃九平方分，乃以九十分管长乘之，一分管长面羃容九平方分，则十分管长当积九十立方分，九十分管长当积八百一十立方分。是为黄钟积实元数。

　复以羃积求黄钟从长元数法第七

彭氏曰：既得黄钟元积八百一十立方分，知空围内积九立方分，则其管当深长一分。空围内积九十立方分，则其管当深长九分。空围内积八百一十立方分，则其管当深长九十分。是为黄钟从长元数。则黄钟筭法至此而成矣。合而论之，的计从长九十分为九寸，积实八百一十分，面羃九方分，圎周十分六𨤲三毫六丝八忽万分忽之六千三百一十二分，圆径三分三𨤲八毫四丝四忽万分忽之五千六百四十五分。盖以从长、羃、积、周、径五法参较推算，而各得其数。如此皆出于自然，无不符合，则算法于此而成，而黄钟之所以为黄钟者信矣，于是可以造律矣。

造黄钟律管法第八，以彭氏律法六章及新书本原第二章参定。

如上章算法既成之后，或以竹，或以铜，别为黄钟之管，依前冬至气应管长如前，分作九十分，乃取其分为凖，计三分三𨤲八毫四丝四忽万分忽之五千六百四十五，以合孔径。乃取子糓秬黍，汉书师古注曰：子谷犹言谷子。秬即黑黍也。或大者，或中者，或小者，各以一黍凖一分，累九十黍以审其管之长，而实千二百黍于中，以审其管之广。必其所累之黍与其所实之黍，大小一同，而所累之数与所实之数，各无余欠，则与古人造律之法无不合矣。如此，则围长、面羃与夫空围内积实自然无不谐㑹。特径数自八毫以下，非可细分，而算法不容不然。故其制造之际，非有上工如离娄之明，公输之巧，师旷之聪，弗能为己。制造黄钟既成，其从长、羃积、周径皆如前法，则黄钟之体由是立矣。度量权衡可于此而受法，十一律可于此而相生，又所以为黄钟之妙用也。今先具度量权衡之法于下，又可以交相审验黄钟律管之长阔焉。

审度第九以新书本原第十一章定

度者，分、寸、尺、丈、引，所以度长短也。生于黄钟之长以前。黄钟管长，所累秬黍九十枚度之，一黍为一分，凡黍实于管中，则十三黍三分黍之一而满一分，积九十分，长则容千有二百黍矣，其长与广必相符也。十分为寸，十寸为尺，十尺为丈，十丈为引。数始于一，终于十者，天地之全数也。律未成之前，有是数而未见，律成而后数始得以形焉。度之成在律之后，度之数在律之前，故律之长短围径，以度之寸分之数而定焉。

嘉量第十以新书本原第十二章定。

量者，龠、合、升、斗、斛，所以量多少也。生于黄钟之容，以其管内所容秬黍一千二百实其龠，以井水凖其槩，孟康曰：井水清，清则平也。以度数审其容，一龠积八百一十分。合龠为合，两龠也，积一千六百二十分。十合为升，二十龠也，积一万六千二百分。十升为斗，百合，二百龠也，积十六万二千分。十斗为斛，二千龠，千合，百升也，积一百六十二万分。

谨权衡第十一以新书本原第十三章定。

权衡者，铢、两、斤、钧、石，所以权轻重也。生于黄钟之重，以其管内所容秬黍一千二百实其龠。百黍一铢，一龠十二铢，二十四铢为一两，两龠也。十六两为斤，三十二龠，三百八十四铢也。三十斤为钧，九百六十龠，一万一千五百二十铢，四百八十两也。四钧为石，三千八百四十龠，四万六千八十铢，一万九千二百两也。

胡安定曰：“黄钟管长九十黍之广，积九寸，度之所由起也；容千二百黍，积八百一十分，量之所由起也；重十有二铢，权衡之所由起也。既度量权衡皆出于黄钟之龠，则黄钟之龠围径容受可取四者之法交相酬验，使不失其实也。欧阳永叔曰：声无形而乐有器。古之作乐者，知器之必有弊，而声不可以言传，惧夫器失而声遂亡也，乃多为法以识之。故求声者以律，而识律者以黍。自一黍之广积而为分寸，一黍之多积而为龠合，一黍之重积而为铢两，使皆起于黄钟，然后律度量权衡相用为表里，使得律者可以制度量衡，而度量衡亦可以制律。用其长短多少轻重以相参考，四者既同，而声必至，声至而乐可作。　蔡九峰曰：黄钟之长九寸，以之审度而度长短，则九十分黄钟之长一为一分，以之审量而量多少，则其管容子谷秬黍中者一千二百以为龠，而两龠为合。以之平衡而权轻重，则所容千二百黍，其重十二铢，两龠则二十四铢为两。此黄钟所以为万事根本也。

管围径容受，可以参校审验而无差矣。”乃取所造黄钟之管，分为九寸，寸作九分，分作九𨤲，𨤲作九毫，毫作九丝，丝作九忽，以为十一律相生之法。律吕相生，寸、分、𨤲、毫、丝、忽之法，并以九为度。其分数以下，虽别以九纪数，然只是此律也。故蔡氏曰：径围之分，以十为法者，天地之全数也。相生之分𨤲毫丝以九为法者，因三分损益而立也。全数者，即十而取九；相生者，约十而为九。即十而取九者，体之所以立；约十而为九者，用之所以行。盖地之数极于十，十者，阴数也，造化之体所以立也。天之数极扵九，九者，阳数也，造化之用所以行也。体者所以定中声，用者所以生十一律也。

彭氏曰：“诸家言黄钟周径数各有差互，而黄钟管又有九分寸，有十分寸。九分寸则通一管为八十一分，十分寸，则通一管为九十分。管与寸虽无异，而分则有阔狭不同。不知先儒论黄钟周径分数者，指言何分，故今先以十分之分，算出黄钟周径的数，既如前章所载矣。因复用八十一分之分度之，得圆周九分五𨤲一毫五丝四忽强，径长三分，口五毫一丝四忽强，亦不止如先儒所言径三分，围九分也。

　黄钟律本三历十二辰法第十三以新书本原第二章证辨第三

章参定。

子　一　黄钟之律。

辰起于子，数起于一。子之一为黄钟之律者，乃声气之元，而具十二辰之全体者也。故置一而以三历十二辰，则各得黄钟之一体，以为分、寸、𨤲、毫、丝之法与数也。至亥而得十七万七千一百四十七，是为黄钟之实。凡分、寸、𨤲、毫、丝之法与数，皆以此数乘除而得之，详具下文。

丑三，三其子之一也，黄钟丝法，

其法以三为一丝，以此丝法，三归黄钟十七万七千一百四十七之数，则得五万九千口四十九，为丝数。其丝法与丝𢿙自然相符。余仿此。

寅　九，三其丑之三也，黄钟寸数，

其寸数共九，以黄钟十七万七千一百四十七之数九归之，则得一万九千六百八十三，为寸法，其寸数又与寸法自相符。余仿此。

“卯　二十七，三其寅之九也，”黄钟毫法，

其法以二十七为一毫，以此毫法，归除黄钟十七万七千一百四十七之数，则得六千五百六十一为毫数。

“辰　八十一，三其卯之二十七也？”黄钟分数，

其分数共八十一，以黄钟十七万七千一百四十七之数归除之，则得二千一百八十七为分法。巳

二百四十三，三其辰之八十一也？”黄钟𨤲法，

其法以二百四十三为一𨤲，以此𨤲法归除黄钟十七万七千一百四十七之数，则得七百二十九为𨤲数。

“午七百二十九，三其巳之二百四十三也？”黄钟𨤲数，

其𨤲数共七百二十九，以黄钟十七万七千一百四十七之数归除之，则得二百四十三为𨤲法。

“未　二千一百八十七，三其午之七百二十九也。”黄钟分法，其法以二千一百八十七为一分，以此分法归除黄钟十七万七千一百四十七之数，则得八十一为分数。

申：“六千五百六十一，三其未之二千一百八十七也？”黄钟毫数，其毫数共六千五百六十一，以黄钟十七万七千一百四十七之数归除之，则得二十七，为毫法。

酉：　一万九千六百八十三，三其申之六千五百六十一也。黄钟寸法，其法以一万九千六百八十三为一寸，以此寸法除黄钟十七万七千一百四十七之数，则得九为寸数。

戌：　五万九千四十九，三其酉之一万九千六百八十三也。黄钟丝数，其丝数共五万九千四十九，以黄钟十七万七千一百四十七之数归除之，则得三为丝法。

亥：　十七万七千一百四十七，三其戌之五万九千四十九也。黄钟之实，置子之一，而以三历十二辰，至亥而得此数，是为黄钟之实，所以统体十二辰之全数。盖与子之一相为首尾，故凡黄钟寸、分、𨤲、毫、丝之法与数，皆以此数乘除而得之。若由此数而三分损益之，又所以逓生十一律也。详见下章。

蔡氏曰：“黄钟九寸，以三分为损益，故以三历十二辰，得一十七万七千一百四十七，为黄钟之实。其十二辰所得之数，在子、寅、辰、午、申、戌六阳辰，为黄钟寸、分𨤲毫丝之数；在亥、酉、未、己、卯、丑六阴辰，为黄钟寸、分𨤲毫丝之法。其寸、分、厘、毫、丝之法，皆用九数，故九丝为毫，九毫为𨤲，九𨤲为分，九分为寸，九寸为黄钟。由是三分损益，以生十一律焉。

又曰：按淮南子谓置一而十一三之，积十七万七千一百四十七，为黄钟大数，即律书所谓置一而九，三之以为寸法者，其术一也。彭氏曰：史记律书曰：置一而九，三之以为法，实如法，得长一寸，凡得九寸，命曰黄钟之律。按汉志太极元气，函三为一。三者，天地人也。　一即天也，二则兼天与地，三则参天地与人。故元气之动始于子一，而即巳具三。三之于丑，得三。三之于寅，得九。三之子卯，得二十七。三之于辰，得八十　一。三之于巳，得二百四十三；三之于午，得七百二十九。三之于未得二千一百八十七。三之得六千五百六十　一。三之于酉，得一万九千六百八十三。三之子戌，得五万九千四十九。三之于亥，得十七万七千一百四十七。此元气运行于十二辰，用三施化，其自然之数有如此也。黄钟居子位，其忽数亦始于一，凡十一次，三之得十七万七千一百四十七忽，与亥数合，此即是黄钟一律从长忽数，所谓实也。既得实数，乃置一忽之数，凡九次，三之得万九千六百八十三忽，与酉合，以此求黄钟从长寸，此即所谓置一而九三之以为法也。以法除实，毎万九千六百八十三得一寸，凡九次除之而实数尽，适得九寸，此即所谓实如法得长一寸，凡得九寸，命曰黄钟之律也。夫置一而九三之既为寸法，则七三之为分法，五三之为𨤲法，三三之为毫法，一三之为丝法，从可知矣。律书独举寸法者，盖巳于生钟分内默具律寸分𨤲毫丝之法，而又于此律数之下，指其大者，以明凡例也。一三之而得三，三三之而得二十七，五三之而得二百四十三，七三之而得二千一百八十七，九三之而得一万九千六百八十三。故一万九千六百八十三以九分之，则为二千一百八十七。二千一百八十七以九分之，则为二百四十三。二百四十三以九分之，则为二十七，二十七以九分之，则为三。三者，丝法也。九其三得二十七，则毫法也；九其二十七得二百四十三，则厘法也；九其二百四十三得二千一百八十七，则分法也；九其二千一百八十七得一万九千六百八十三，则寸法也。一寸九分，一分九𨤲，一𨤲九毫，一毫九丝，以之生十一律，以之生五声二变，上下乘除，参同契合，无所不通，盖数之自然也。顾自淮南、太史公之后，即无识其意者。如京房之六十律，虽亦用此十七万七千一百四十七之数，然乃谓不盈寸者十之所得为分，又不盈分者十之所得为小分，以其余为强弱。不知黄钟九寸，以三损益，数不出九，茍不盈分者十之，则其竒零无时而能尽，虽泛以强弱该之，而卒无以见强弱之为几何，则其数之精微，固有不可得而纪者矣。至于杜佑、胡瑗、范蜀公等，则又不复知有此数，而以意强为之法。故通典则自南吕而下，各自为法，固不可以见分、𨤲、毫、丝之实。故范则止用八百一十分，乃是以积实生量之数为律之长，而其因乘之法亦用十数，故其余算亦皆弃而不录。盖非有意于弃之，实其重分累析，至于无数之可纪，故有所不得而录耳。夫自丝以下，虽非目力之所能分，然既有其数，而或一算之差，则法于此而遂变，不以约十为九之法分之，则有终不可得而齐者。故淮南、太史公之书，其论此也已详，特房等有不察耳。司马祯史记索隠注黄钟八寸十分云：律九九八十一，故云八寸十分一。汉书云长九寸者，九分之寸也。此则古人论律以九分为寸之明验也。