历算全书厯算全书卷十四
厯算全书卷十四
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷十五>
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷十五>
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厯算全书卷十五
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
钦定四库全书
厯算全书卷十六
宣城梅文鼎撰
五星纪要
论五星嵗轮
五星与日皆东岀而西没宗动天之所运也土木火三星在太阳上而近宗动故其左旋速于日毎日有所差之分即嵗轮心之平行也
五星与太阳有定距嵗轮心旣为宗动所掣渐离太阳而西则星不得不自嵗轮之中线【即平行度】渐移而东以就日而星旣在日之上亦即不得不自嵗轮之顶渐移而下以就日也旣渐移而东又渐移而下则不能平转而成环行嵗轮之圆象成矣
嵗轮心正在太阳之上星又在嵗轮之顶作直线过嵗轮心以过太阳之心而指地心是为合伏合伏以后星在嵗轮上东移有类平转故其东移速【古谓之疾段】嵗轮心离日渐逺星在嵗轮离合伏之度亦渐逺而向下行则东移之度渐迟【古谓之迟段】嵗轮心离日至一象限星在嵗轮直向下行人自地观之不见其动【古为留】过此留轮心距太阳益逺将至半周星行嵗轮之底转成向西行【是为退叚】轮心与日冲星正居轮底自轮心作线过星以过地心而直射太阳之心亦为一直线是为退冲
未至日冲皆为晨见冲日以后则为夕见夕见者西与日近东与日逺轮心反在日后而西行追日日在西星在东星不得不自轮底西移而就日【故仍为退】轮心西距日益近则星渐西而亦渐上行以就其距日之定距星旣在轮边与轮心亦有定距则其西移过半象限不得不转而上行矣
至于西距日一象限上行之势又直人自地观之亦不见动【古亦谓留】
过此而轮心距日益近则星亦在轮上渐向东行以就合伏之度以就其距日之常度于是又见其东移之速而至于合伏【古亦谓疾】是为嵗轮之周
论上三星围日之行左旋
问古以七政右旋宋儒以七政周天左旋今以七政恒星皆为一日一周之天所掣而西发明宋説谓右旋之度因左旋而成可谓无疑义矣兹论七政新图以太阳为心而复谓上三星左旋与金水异何居曰左旋有二前所论七政左旋以地为心者也今上三星左旋以太阳为心者也五星旣为动天所转而成左旋【一日绕地一周之行】又依嵗轮而右旋【以本轮上定度为心】此五纬之所同也然嵗轮上实行之度与太阳相直有定距则仍以太阳为心又成围绕太阳之行矣金水二星即以太阳为嵗轮【或伏见轮】之心故嵗轮即围日之行嵗轮右旋故其围日之行亦右旋也上三星则嵗轮不以太阳为心但其距日有定度而又成围日之形以嵗轮上度言之仍是右旋与金水同以围日之形言之则是左旋与金水异矣
五星与日皆为动天所转绕地左旋但上三星之左旋速于日故合伏之后即在日西【以右旋言为星不及日以左旋言为星过于日】冲日之后乃在日东【以右旋言为日逐星以左旋言则为星逐日】是不特其平行绕地者为左旋而其距日有常以成围日之形者亦左旋也
金水之左旋与日等故合伏之后在日东退合之后在日西则是平行绕地者均为左旋而其围日之行则右旋也故曰上三星左旋与金水异者主乎围日以为言者也
然则嵗轮之度又何以同为右旋乎曰视行之法逺则见迟近则见疾上三星之左旋虽速于日而在嵗轮上半则见过日之度稍迟下半则见过日之度加速矣金水之左旋虽与日等而在嵗轮上半较日距地为逺则见左旋迟于日下半距地近则见右旋速于日夫上半左旋迟则右移反速下半左旋速则右移反迟而成留退此所以嵗轮上度五星皆为右旋也
然五星嵗轮所以有在上在下之分者则以与太阳有定距也因其与日有定距所以能成嵗轮上周转之行因其在嵗轮上周转而行所以与日有定距
杨学山曰上金水左旋右旋之论犹仍厯书之説以伏见轮同嵗轮后言伏见轮乃绕日圆象金水另有其嵗轮乃勿庵晚年新説耳
论五星以日为心之图
法曰上三星其围日之圏左旋下二星其轮右旋皆以从宗动而西运之行为主【论左旋则星之退行乃其行速】假如上三星合伏时在太阳之上及其毎日左旋一周则星行过日若干分而在日西然其旋也距地则渐近其所以低者以就太阳也自此左旋之周益多则其离日而西之度亦渐逺而益旋益低比至在日西满半周而冲日则其旋益近地所以然者因在日冲故必下行嵗轮之底以就日也冲日以后其左旋之行转在日东随日之后而向日行其旋亦自冲日卑处渐向于髙离冲日若干分则其旋渐髙亦若干分自此在日后左旋追日而益近之以复至合伏则其旋益髙而复在太阳之上矣是故上三星之能为围日之圏者以左旋言也
惟以左旋言之则无论冲合之在恒星何度亦无问各星之冲合各有周率经厯之时日几何而其以日为心悉同一法也
其下二星以嵗轮围日其理易明然亦是与太阳同为一日一周之左旋而星之左旋迟于日故合伏时在太阳上毎左旋一周则星不及日若干分度而在日东其行亦渐降至于夕留之后又复渐速而追日其度益降至退合伏而极乃复离日而西度亦渐升而复于合伏矣
地谷曰日之摄五星若磁石之引铁故其距日有定距也惟其然也故日在本天行一周而星之升降之迹亦成一圆相厯家因取而名之曰嵗轮也是故上三星嵗轮约畧皆与太阳天同大而今其径有大小者各以其本天半径为十万之比例也
地谷新图其理如此不知者遂以围日为本天则是嵗轮心而非星体失之逺矣
宗动天左旋星与太阳皆从之左旋而有迟速以其所居有髙下离动天有逺近也
上三星在日天之上近于动天故其毎日左旋比日为速虽不能与恒星同复故处而所差甚防【土星只二分竒木星只五六分火星只半度】不能若太阳之毎差一度也
论五星本天以地为心
问五星之法至西厯而详明然其旧説五星各一重天大小相函而皆以地为心其新説五星天虽亦大小相函而以日为心若是其不同何也曰无不同也西人九重天之説第一重宗动天次则恒星又次土星次木星次火星次太阳次金次水次太隂是皆以其行度之迟速而知其距地有逺近因以知其天周有大小理之可信者也星之天有大小既皆以距地之逺近而知则皆以地心为心矣是故土木火三星距地心甚逺故其天皆大于太阳之天而包于外金水二星距地心渐近故其天皆小于太阳之天而在其内为太阳天所包是其本天皆以地为心无可疑者惟是五星之行各有嵗轮嵗轮亦圆象五星各以其本天载嵗轮嵗轮心行于本天之周星之体则行于嵗轮之周以成迟疾留逆【嵗轮心行于本天周皆平行也星行于嵗轮之周亦平行也人自地测之则有合有冲有疾有迟有留有逆自然之理也】若以嵗轮上星行之度聨之亦成圆象而以太阳为心西洋新説谓五星皆以日为心盖以此耳然此围日圆象原是嵗轮周行度所成而嵗轮之心又行于本天之周本天原以地为心三者相待而成原非两法故曰无不同也【上三星在嵗轮上右旋金水在嵗轮上左旋皆挨度平行】
夫围日圆象既为嵗轮周星行之迹则迟留逆伏之度两轮皆有之故以嵗轮立算可以得其迟留逆伏之度以围日圆轮立算所得不殊立法者溯本穷源用法者从简便算如厯书上三星用嵗轮金水二星用伏见轮皆可以求次均立算虽殊其归一也或者不察遂谓五星之天真以日为心失其指矣
夫太阳去地亦甚逺矣五星本天旣以地为心而又能以日为心将日与地竟合为一乎必不然矣
厯指又尝言火星天独以日为心不与四星同予尝断其非是作图以推明地谷立法之根原以地为本天之心其説甚明其金水二星厯指之説多淆亦乆疑其非今得门人刘允恭悟得金水二星之有嵗轮其理的确而不可易可谓发前人之未发矣
论伏见轮非嵗轮
问金水二星之求次均也【即迟疾留逆】用伏见轮厯指谓其即嵗轮其説非欤曰非也伏见轮之法起于回厯而欧逻因之若果即嵗轮何为别立此名乎由今以观盖即嵗轮上星行绕日之圆象耳【王寅旭书亦云伏见轮非嵗轮】
然则伏见轮旣为围日之迹上三星宜皆有之何以不用而独用之金水曰以其便用也盖五星行于嵗轮起合伏终合伏皆从距日而生故五星之嵗轮并与日天同大而嵗轮之心原在本天周故其围日象又并与本天同大上三星之本天包太阳外其大无伦又其行皆左旋【所以左旋之故详其后论】颇费觧説故只用嵗轮也至于金水本天在太阳天内伏见轮既与之同大又其度顺行故用伏见轮【亦即绕日圎象】若用嵗轮则金水之嵗轮反大于本天【以嵗轮与日天同大故皆大于本天】故不用嵗轮非无嵗轮也承用者未能深考立法之根輙谓伏见轮即嵗轮其説似是而非不可不知也伏见亦起合伏终合伏有似嵗轮然嵗轮之心行于本天之周而伏见轮以太阳为心故遂以太阳之平行为平行皆相因而误者也
论五星平行
然则金水既非以太阳之平行为平行又何以求其平行曰嵗轮之心行于本天是为平行乃实度也实度者周度也【以本天分三百六十度而以各星周率平分之则得其毎日平行如土星二十九年竒而行本天一周则二十九日而行一度毎日平行二十九分度之一是为最迟木星十二年周天毎日平行约为十二分度之一火星二年周天约为毎日平行半度金星二百二十余日周天约毎日平行一度半强水星八十八日竒而周天约毎日平行四度皆平行实度】若嵗轮及伏见轮虽亦各分三百六十度亦各有其平行然而非实度也【既非本天上平行之度又非从地心实测之平行度】乃各星之离度耳因此离度【下文详之】用三角法从地心测之则得其迟留伏逆之状亦为实度矣【此实度不平行与本天之平行实度不同】
本天之度平行实度也嵗轮及伏见乃离度也离度为虚数故皆以半径之大小为大小
伏见轮上行度与嵗轮同所不同者半径也伏见之半径皆同本天嵗轮之半径皆同日天
论离度有顺有逆
问何以谓之离度曰于星平行内减去太阳之平行故曰离度乃离日之行也以太隂譬之其毎日平行十三度竒者太隂平行实度毎日十二度竒者太隂之离度也【于太隂平行内减太阳平行】是故金星毎日行大半度竒水星毎日约行三度皆于星平行内减太阳之平行 因金水行速其离度在太阳之前乃星离于日之度故其度右旋顺行与太隂同法也
若上三星则当于太阳平行内减去星行是为离度盖以上三星行迟在太阳之后乃星不及于日之度其度左旋而成逆行与太隂相反然其为离日之行度一而已矣【王寅旭五星行度觧谓上三星左旋盖谓此也然竟以此为本天则终非了义】
论平行有二用而必以本天之度为宗
平行者对实行而言也然实行有二一是本天最髙卑之行亦曰实行一是黄道上迟留逆伏实测亦曰视行是二者皆必以本天之平行为宗
若金水独以太阳之平行为平行是废本天之平行矣又何以求最髙卑乎
围日之轮【即伏见轮】起合伏终合伏是即古法之合率也本天之行则古法之周率也最髙卑则古法之厯率也又有正交中交以定纬度即如古法之太隂交率也【此一法是西法胜中法之一大端】是数者皆必以本天取之故不得以围日之轮为本天
厯指言金星正交定于最髙前十六度水星正交与最髙同度其所指皆本天之度非伏见行之度则伏见轮不得为本天明矣
今以七政厯征之不惟最髙卑之盈缩有定度即其交南北亦有定度故金星恒以二百二十余日而南北之交一终水星则八十八日竒而交终此皆论本天实度原不论伏见行是尤其较著者矣
论金水交行非徧交黄道
问周云渊言金水遍交黄道不论何宫今日交有定度何也曰云渊之説盖因回回厯纬表而误者也何以言之回回厯以自行度小轮心度立表而定其交黄道之度非以黄道度为主而求其交处也故其所谓宫度者皆小轮之宫度也非黄道之宫度也若谓黄道之宫度而可以徧交将正交之度亦无定在矣又安得谓金星正交在最髙前十六度及水星正交定于最髙同度乎必不然矣【正交定度虽出厯书然与回厯原是大同小异】
今以七政厯攷之金星水星之交周皆有定期【金星以二百二十余日水星以八十八日竒】但嵗轮心行至正交即无纬度不论其为合伏为冲退为疾为迟或留也以此而断其必有本天有嵗轮可以勿疑
论金水伏见轮
伏见轮即绕日圆象也其半径与本天等本天上嵗轮心所行之周半在黄道北半在黄道南其势斜立如太隂之出入黄道为隂阳厯也而星体行伏见轮周其势
亦斜立与之相应故其交角
等
嵗轮心在正交或中交则星无纬度
故伏见轮上亦有正交中交 嵗轮
心行过正交渐生北纬至离正交九十
度则北纬极大如太隂之隂厯半交
也【古法正交后阳厯中交后隂厯西法则反用其号然其用不殊】
嵗轮心行过北大距【离正交九十度至一百七十九度】北纬渐小至中交而复无纬此如太隂之隂厯半周也 嵗轮心行本天隂厯半周即星在伏见轮上亦行北半周而其纬在北纬有大小无不与之相似
嵗轮心行过中交渐生南纬至离中交九十度南纬极大如太隂之阳厯半交也嵗轮心行过南大距南纬渐小复至正交而无纬如太隂之阳厯半周也即星在伏见轮亦行南半周而南纬之大小一一与本天相似聨正交中交成一线此线在本天必过地心以本天圆面与黄道面斜交相割而成也而在伏见轮亦必过日心以伏见轮之绕日圆象亦与黄道面斜交而半在黄南半在黄北圆面相割成线也以此线为横线而均剖之作十字横线则上下两端所指并半交大距度矣此伏见轮上十字线之理也
伏见轮心即太阳太阳行黄道三百六十度伏见轮亦随之行一百六十度而十字之形不变此正视之形也又正视图不能见交角故必以旁视明之伏见轮事事与本天等故以本天明之
如图 甲丙乙壬为本
天浑员之体【因旁视即为本天浑
体】甲心乙即本天之星
道【因旁视故前平视之外周跻缩成一直线
也】心即地心【在伏见轮即为太阳】又
即为正交中交【因旁视正交中
交过心横线竟防成一点】丁心癸即本
天上黄道圈【本天小于黄道然其度一一与黄道相应而成一圈亦因旁视防成】
【一直线】两直线相交于心即成纬度角【两直线相交即两圈】
【相交也亦即为两圆靣相切两圆面者一为星道一为黄道在浑体皆成面】甲心丁角在黄道北其弧甲丁其正甲庚北大距之纬度也【甲丁弧虽在本天然即外应黄道纬】乙心癸角在黄道南其弧乙癸其正乙辛南大距之纬度也【乙癸弧在本天外应黄道与甲丁同】
问何以分南北也曰甲丁与乙癸两大距弧各引长之成一全圈在本天浑体即外与黄道上过极经圈相应而北心南直线为之轴北即北极南即南极亦与黄道之南北极相应矣甲心线在黄道北即生北纬乙心线在黄道南即生南纬又何疑哉【甲心半径也以旁视故正交后北半周一百八十弧度并跻缩成直线与半径等乙心之在南亦然】
然何以谓之大距曰甲丁纬弧与甲心丁角相应为北大纬乙癸弧与乙心癸角相应为南大纬甲乙并居半交故其纬最大其未及半交及已过半交其纬并小南北并同也
问纬度即角度也角同而纬有大小何也曰角虽同而边不同也大距度以半径为全数其余各度并皆以正当全数
假如任举一度如过正交三十度为戊【未至中交三十度亦同】其正戊心法为甲心全数与甲丁大距之正甲庚若戊心正与戊子弧之正戊巳也【戊心巳句股形与甲心庚形相似同用心角而戊心边正得甲心之半则戊巳亦甲庚之半而戊子弧亦必为甲丁之半矣他皆仿此】以上所论皆本天之事然伏见轮之理并无有二故此一图即可作伏见轮观其旁视之交角甚明也
论伏见轮十字线
伏见轮既为绕日员象而生于本天之嵗轮故其面与本天等径而其斜交黄道之势亦与本天等夫本天之斜交黄道也半在北半在南惟正交中交二与黄道合聨此二过心是为交线即两员面相切所成也从交线上中分之作过心十字直线至本天周即大距线也何则黄道面上原有十字线正视之两线合为一直旁视之则本天直线斜穿而成交角故此直线在本天即为大距线也此直线所指本天之度正在二交折半之中其距最大故即为大距线然则此十字线者固本天所原有而伏见轮之斜交黄道既与本天等则其十字线亦无不等矣
伏见轮即为绕日之员象则太阳即轮心太阳行于黄道故伏见心钉于黄道也然其心虽钉于黄道而其面则半在北半在南一定不易任轮心在黄道之何度而其斜交之面总与本天为平行故其交线皆不变其十字大距线亦不变也
由是观之伏见轮亦有二面何则伏见轮之面既斜交黄道与本天之面为平行则其相当之黄道亦即有与伏见轮相应之一圏与黄道面平行而与伏见轮斜交亦如本天之与黄道斜交矣
如是则伏见轮之交线常与本天之交线平行不论在黄道上何度分也而伏见轮上之从心所出之十字大距线及所相当黄道上从太阳心即轮心所出之十字线亦与本天心黄道之十字线平行而两十字线正视之成一直线旁视之一直一斜而成大距之交角亦一一与本天交黄道之角分寸不爽故用伏见即如本天也
论伏见轮之所以然
伏见轮半在日天外半在日天内其半径与本天等即星体所行也【黄道半径与金星本天之比例约为十与七二有竒】伏见轮以日为心绕日环行与本天周上嵗轮心行度相应故其大相等本天半在黄道北半在其南伏见轮亦然【门人刘着云譬如人放纸鸢人在下环行而纸鸢亦在空际环行盖以纸鸢为风所举不能下而又为线所引不能不环行可谓善于形容】故惟本天之度为实度不惟伏见轮为星绕日行之虚迹即嵗轮周上星行之度亦虚设之员周非硬圏有形质也譬如浮屠髙尖有珠如日人持长竿竿上端有微小之珠【如金星】浮屠之中腰有圆圏梯道斜绕之【如金星本天之斜立】人行其上【如嵗轮心之行于本天周】其珠竿直立指天其长也如浮屠尖至其腰围之心【如星在嵗轮周至嵗轮心之径与日天半径等】两珠相望有绳系之其绳常引直而有定距与腰围斜绕之磴道等【如金星绕日有定距与本天半径相等】持竿者循斜梯绕浮屠旋转平行之则竿上珠自然亦绕尖上大珠旋转成员象矣【此如伏见轮为绕日之员象】
由是言之可以免嵗轮大小之疑何则嵗轮之心行于本天之周而本天既有髙卑嵗轮心行于髙度则金星在伏见轮者离地逺矣嵗轮心行低度则星在伏见轮者离地近矣近则觉嵗轮之半径小矣逺则觉嵗轮之半径大矣若嵗轮为坚靭之物何以能伸屈如此乎更以视法徴之何以在最髙反大在最卑反小乎必不然矣
嵗轮之大小又因于太阳髙卑伏见轮既以日为心则太阳行最髙时伏见轮从之亦髙而星去地逺太阳行最卑则伏见轮从之卑而去地近亦遂疑嵗轮之有大小而与视法反若知嵗轮亦非真有轮则羣疑尽释矣
求伏见轮交角
伏见轮斜交黄道旣一一与本天等则伏见轮交角与本天交角亦必相等
假如本天大距纬度之正欲变为伏见轮上大距之正法为黄道半径与本天大距之正【即本天交角】若伏见轮半径【亦即本天半径】与伏见轮之大距正也
金星本天交角定为三度二十九分 水星六度 分一 黄道半径【全数】 一○○○○○
二 本天交角【正】 ○六○七六
二 伏见轮半径 七二二五一
四 伏见轮大距纬【正】 ○四三八九
王寅旭中纬准分是○四三九○葢以得数九九七收作一数故也
其余各度并先以全数为一率交角正为二率各度正为三率得四率为各度纬
再以全数为一率各度纬为二率伏见半径为三率求得四率为各度变率之本纬
简法置交角正以各度正乘之去末五位又以伏见轮半径乘之去末五位即径得各度变率本纬又防法 黄道半径为一率 大距正变率为二率各度正为三率 得各度本纬为四率
假如伏见轮上距交三十度求其本纬
一 黄半径全数一○○○○○
二 【大距正】变率 ○四三九○乘得二一九五○○三 三十度正 五○○○○○○○
四 三十度本纬 ○二一九五
解曰此以变率求变率故径得本纬不须再变寅旭用中纬准分即此理也
求各度正余变率法
置各度正余以伏见轮半径乘之得数去末五位即得变率之正余
求金星视纬法【水星仿此】
一求合伏距交
法以本日太阳实行在正交后宫度【即伏见轮心距交宫度】命为合伏距交度
解曰凡星合伏必与太阳同度太阳行一度小轮上合伏亦随之移一度故太阳实行度即轮心而轮心距交必与轮周之合伏距交等角
二求星距交
法以用日距合伏后日数在位用星离日度三十七分弱为法乘之得离日平行以加合伏距交度为星距交平行度再简本度盈缩差加减之【即加减差从最髙卑起算】为星实行距交度分
解曰金星之行速于太阳太阳行一度金星行一度三十七分弱有竒故虽与太阳同行而常在前谓之离日度厯书以太阳之行为星平行非真平行故必并此离日度始为真平行
星平行在伏见轮周而根本在本天嵗轮心行于本天有髙卑加减古厯谓之盈缩差伏见轮上行旣与本天上嵗轮心行相应则亦必有盈缩加减矣
三求两距交度入隂阳厯及初末限
法以两距交度【一伏见轮心距交是黄道上度一星体距交是伏见轮周度】并视其在半周以下为入隂厯【○一二三四五宫】满半周以上内减去半周为入阳厯【六七八九十十一宫】各视其度在象限以下为初限【○一二宫为隂厯初限六七八宫为阳厯初限】满象限以上用以减半周余为末限【三四五宫为隂厯末限九十十一为为阳厯末限】
四求视纬正
法以星距交正【用变率】及各度本纬【变率】各自乘实相减得数开方得根以加减黄道正【即轮心距交度正用本数】为黄道正又自乘之得数以与本纬自乘实相并【本纬实即上所求】为视纬股实开方得视纬正【防法不必开方只用股实】
加减例 视【黄道上轮心伏见轮上星】两距交度【同在隂厯或同在阳厯则相加或一在隂厯一在阳厯则相减】
解曰星距地心线如句股之即全数也故亦有其正为股余为句
五求视纬余
法以星距交度余【变率】加减黄道余【用本数与正同】为视纬余
加减例 视两距交度【仝在正交边或仝在中交边则相加若一在正交边一在中交边则相减】
解曰在正交边者隂厯初限阳厯末限也隂厯初限为已过正交在正交前一象限也阳厯末限为未到正交在正交后一象限也此两象限共一百八十度在十字直线之右并于正交为近也
在中交边者隂厯末限为未到中交之度在中交后一象限阳厯初限为已过中交之度在中交前此一百八十度在十字直线之左并于中交为近也
又总解曰正之加减论隂阳厯以十字横线为断也余之加减论正中交以十字直线为断也横线者交线也直线者大距线也正线并与大距线平行是各度距交线之数余线并与交线平行是各度距大距线之数于此而知十字线之为用大也
六求星距地心线
法以视纬正余各自之并而开方得星距地心线七求视纬
法以各度本纬【变率】加五位为实星距地心为法除之得视纬论曰必如此下算则事事有着落视纬得数始真若前纬后纬之表以中分取数加减法虽巧便得数亦恐不真耳
假如金星伏见轮心距正交三十度星距合伏三十五度求视纬
如图大圈为黄
道小圈为伏见轮
轮心在日距正交
为井日弧三十度
合伏距正交为
合正亦三十度星在戊过合伏三十五度距正交为戊正弧六十五度
法先用日乙丙丁戊巳两三角形依变率法日乙与乙丙大纬正若丁戊星距交正与戊巳纬次用丁戊巳直角形巳为直角戊丁为戊巳为勾求得巳丁股次用戊巳癸直角形巳为直角以巳丁股加丁癸【丁癸即日壬为轮心距交井日弧正】共己癸为股戊巳为勾求得戊癸为视纬正次以星距交正戊弧余丁日即壬癸也与壬心相加【壬心为轮心距交井日弧之余】共癸心为视纬余次用戊癸心形癸为直角戊癸为股癸心为勾求得戊心星距地心线末用心戊巳直角形巳为直角心戊与戊巳纬若全数与戊心巳角之正求弧得心角视纬度【图内诸三角形俱是立三角须以浑体观之便明】
按右法未加髙卑之算盖前纬后纬表原亦未用髙卑也若求宻率仍当以髙卑入算为穏説具后条
又按依右法用三角形推算可不必立前后纬表亦不用中分厯书盖以作表故用约法以该之也
论大距纬之变率又以髙卑而变
大距纬者即黄道交角之正金水本天半径皆小于黄道半径【黄道常为十万而金星本天半径得其十之七有竒水星得其十之三有竒】故其大距纬亦小于黄道之大距纬而各度从之皆有变率矣然星本天既有髙卑则其半径亦时有大小而其距纬亦从之有大小变率之法又当以此为准的也准前论在本天最髙则半径大而伏见轮半径亦大即距纬亦大矣在最卑则半径小【本天与伏见轮并仝】距纬亦小矣【皆变率之距纬】説者遂谓其与视法之理相反殊不然也何则本纬之变率与视纬之变率不同也
本纬在最髙则半径大本纬亦大在最卑则半径小本纬亦小乃本天自有之数非闗视法【伏见轮上纬仍是本天】视纬星距地逺则大纬变小星距地近则小纬变大全系视法【从地上看伏见轮上星】
论黄道亦有半径之大小
黄道半径常为十万分全数然黄道旣有髙卑则其半径必有大小最髙时半径必十万有竒最卑时半径必十万不足日躔章原有太阳距地髙卑表所当取用者也
太阳距地为黄道半径亦即伏见轮心距地也在上三星用嵗轮即为嵗轮半径王寅旭曰因黄道之髙卑而嵗轮有大小盖谓此也今按嵗轮与黄道同大厯家筭髙卑或用不同心圏则其距地之数有大小乃是半径有大小非以此半径另作一圏也以嵗轮立算乃是数中之象因天运有常故可以轮法测之此可为达者告也论伏见轮半径亦有大小而本纬因之有大小
本天旣有髙卑则半径有大小而伏见轮并与之等伏见轮半径旣有大小则其正余之变率及大距度之变率与各度之本纬并因之而有大小
法以本天髙卑求得各度半径为伏见轮各度半径【最髙距正交十六度起算】
就以半径为法乘各度正余去末五位为正余变率又以半径为法乘大距正【金星大距三度二十九分】去末五位为大距变率
就以大距变率为法乘各度正去末五位为各度本纬
以上数端并以最髙变大最卑变小
论视纬当兼用两种髙卑立算
准上论黄道半径有大小伏见轮半径及正余及本纬并有大小必兼论之则视纬始为宻率
法以伏见轮各度正变率自乘本纬亦自乘两得数相减开方求根以加减黄道正【髙卑所求】为正又自乘之以并本纬自乘为视纬自乘实【即视纬股实】又法不用加减但以伏见轮正【变率】为一边黄道正【髙卑所算】为一边大距度外角【以大距角减半周】为一角用切线分外角法求得视纬正自乘为股实亦同又以伏见轮余黄道余相加减【俱用变率】为视纬余又自乘之为句实并视纬股实句实开方得即星距地心逺近线也
末以星距地心为法本纬【变率】加五位为实实如法而一得视纬宻率
黄道髙卑于太阳实行度取轮心距最髙宫度【在正交后若干度起算】
本天髙卑于伏见轮上星实行度取距最髙宫度【距正交十六度起算】
又按用此宻率当设两表
一伏见轮上各度半径表 以金星髙卑算得其大小一伏见轮上各度大距表 即以各度半径乘大距变率正全数除之即得
其黄道中各度半径即用日躔髙卑表不必另作有各度半径即可求逐度正余变率【黄道仝】
有各度大距变率即可求各度正纬 以上俱用乘法按金星之最髙不与正交同度相差十六度当于伏见轮上安两种十字线水星之最髙则与正交同度
论金星前后纬表南北之向
金星前纬自小轮初宫向北其纬极大为一度二十八分自此渐减至二宫三十度而减尽无纬度【即三宫初度】自三宫初向南渐有南纬至五宫三十度南纬极大为九度○二分【即六宫初度】
自六宫初以后南纬渐减至八宫三十度南纬减尽无纬【即九宫初度】
自九宫初度复向北渐有北纬至十一宫三十度复为一度二十八分【即初宫初度】
据此则金星前纬南纬大北纬小南大纬至九度○二北大纬只一度二八而分为四限
自合伏至留际【乃嵗轮上距合伏九十度亦可名为留际】北纬减尽为初限自留际向南至退合南纬至九度○二分【为南纬极大】为次限
自退合以后南纬渐减至留际【距退合亦九十度】南纬减尽为三限
自留际复向北至合伏北纬至一度二十八分【北纬极大】为末限
此盖以嵗轮上合伏之时星距地逺故纬度见小退合之时星距地近故纬度见大
此前纬是置轮心在正交后大距处而算伏见轮上一周之纬故其南北之向如此
金星后纬自小轮初宫初度无纬度自此向北而生北纬北纬之大为二度三十三分在四宫十五度自此渐减至五宫三十度北纬减尽【即六宫初度】
自六宫初度以后向南而生南纬南纬之大亦二度二十三分在七宫十五度又自此渐减至十一宫三十度南纬减尽【复至初宫初度】
据此则金星后纬向南向北分为两限【其增减之分南北相同但有顺逆而无大小】
自合伏始向北而生北纬至距合伏一百三十五度北纬甚大【至二度三十三分】至距合伏一百八十度北纬减尽而无纬度【即退合时其距大纬度相距四十五度】是为北纬限
自退合后始向南而生南纬至距退合四十五度南纬甚大【亦二度三十三分】从此渐减至退合一百八十度南纬减尽而无纬度【即复至合伏其距南大纬度一百三十五度】是为南纬限此后纬是置轮心在正交而算伏见轮上一周之纬故其南北之向若此 若水星南北之向俱与金星相反然伏见轮之理则同
合前后二纬表观之距合伏后一象限前后纬宜相加以其同为向北也距退合前一象限前后纬宜相减以前纬已改向南而后纬仍向北也
过退合后一象限前后纬又宜相加以前纬仍向南而后纬亦向南也过退合后第二象限【即距合伏前一象限】前后纬又宜相减以前纬已改向北而后纬仍向南也
论金星前后纬加减之法
前纬起大距【凡言起者即合伏所在】自初宫至二宫共九十度为隂厯末限后纬起正交自初宫至二宫共九十度【○一二宫】为隂厯初限虽分初末皆隂厯也故相加
前纬过九十度【三宫四宫五宫】为阳厯初限后纬过九十度【三宫四宫五宫】为隂厯末限一隂厯一阳厯南北相反故相减前纬过一百八十度复行九十度【六宫七宫八宫】为阳厯末限后纬过半周复行九十度【六宫七宫八宫】为阳厯初限并阳厯俱在南故亦相加
前纬过二百七十度行一象限复至合伏【九宫十宫十一宫】为隂厯初限后纬过二百七十度行一象限【九宫十宫十一宫】复至正交为阳厯末限一隂厯一阳厯故又相减
此置轮心【即太阳】于正交【后纬】及正交后大距【前纬】立表若置轮心于中交【为后纬】及中交后大距【为前纬】则隂阳之名相易然加减之法并同
并以合伏后一象限相加【○一二宫】第二象限相减【三四五宫】退合后一象限【六七八宫】又相加第二象限又相减【九十十一宫】又按厯书枢线之説盖是谓交防移则南北变恐非有翕张之形也假如交在合伏则合伏线与交线合而无纬度若合伏过正交若干度则正交上之合伏后若干度【即合伏防距枢线之度】此处无纬度而合伏反有纬度矣是纬度之变动全系乎枢线之移也【即轮心所到】
论五星以髙卑变纬度
本天髙卑能变纬度理宜有之然按图详审其法有三其一于本天之斜交径上作嵗轮三径线与黄道面平行逺近不同纬度自异其二于本天斜径上只作一嵗轮径线而最髙卑之嵗轮心有时而移即其周之长短随之逺近其三亦只作一径线而行最髙时嵗轮圏大行最卑时嵗轮圏小三者虽同用最髙卑立算而加减各异此必徴之实测乃可定之
第一法用三线则交角虽不变而嵗轮面与黄道面之逺近顿殊【角既同矣纬何得异曰所用之本天径线不同也假如中距时交角为三度其所得正乃中距时径线为全数也若最髙时则其全数大矣虽亦三度角之正而其实数则大矣故纬亦大最卑时全数小而正亦小彷此论之其留际上下角不同者又在其外也】
又有异者若用三线则交防亦当有变何也中距面线至正交时与黄道面径合为一线其余两嵗轮面线必一在北一在南【按至交防则三线合一此一节可以勿论】
第二法嵗轮只用一线其面之距纬本无不同而最髙卑时轮心有动移最髙时轮心在上则正线如故而角变小矣【谓小于中距之角】最卑时轮心近下则正如故而角变大矣【大于中距角】何则正虽同【谓嵗轮面与黄道面平行之纬】而轮心在上则逺于地心而见小矣轮心在下则近于地心而见大矣【又法用不同心于黄道则不但正不变角亦不变但人在地心视之则有大小与上法二而一者也】
第三法只作一嵗轮径线【凡言径线皆因旁视而面变为线】而其两端并作三层线折半为嵗轮心而两端无参差尽其轮边【即径线两锐尖尽处】为最大圏之径乃最髙时所用两端各缩进为界则中距时径也两端又缩进为界则最卑时圏径也西厯论火星嵗轮有大小之故解之以髙卑而王寅旭亦取之用此法也
以上三法不知谁为定法故曰必徴诸实测
又按三法在上三星其用皆同至金水则又大异何则金水嵗轮大于本天【以其径同太阳天故】则包过地心退合时轮心在人之背而星在轮周跨过地心在人之上星之下星在轮周与其轮心如月之望而人居其间故最髙时轮心逺于地而星在轮周反近于地纬反变大矣若最卑时轮心近地而星在轮周反逺于地纬反变小矣此自然之势不得不然者也【此在第一法第二法并同】
若用第三法则虽有髙卑而两端之逺近不变与前二法相反故必徴之实测乃取其合者用之
杨学山曰西法歩五星土木火有嵗轮金水有伏见轮虽两轮行度求角之法皆同然嵗轮上为星离日之虚度轮心在本天伏见轮则自有行度轮心即太阳细按厯书之説盖谓上三星本天包太阳天外星离日而又与日有定距是生嵗轮其半径恒与太阳天等若金水之本天即太阳天其平行与太阳同距地亦与太阳等【俱一千一百四十二地半径】而此伏见一轮以日为心绕日环转而为伏见使非此轮则星无所为伏见【以平行同太阳故也】故名伏见轮之半径皆有定度【金星七千二百竒水星三千八百竒】是其意原非以伏见轮当嵗轮若果即为嵗轮则半径宜有大小何则火星因与太阳天近尚有日躔本天二差以变次均角岂金水在太阳天下而反无之今测不然是伏见轮另为一种行动为金水之所独故昔人别立伏见轮之名也其所云即嵗轮者盖因行法相同而混言之耳今勿庵之説又异是谓五星皆同一法皆有嵗轮上三星因本天大故用嵗轮金水因嵗轮大难用故用绕日圆象【即伏见轮如上三星围日之圏】如此可明金水自有本天因得自有髙卑亦自有平行度因在日天下速于太阳本天斜倚黄道因有正交中交之名诸根底俱有着落且五星一贯但依此立算凡星平行自行之根数初均次均之度分南纬北纬之大小皆与厯书数迥异騐之于天末识合否余尝疑厯指论五星纬説多混淆金水尤略因作五星纬行解一巻明之勿庵之説不敢遽定其是非存之以待参攷焉
厯算全书卷十六
钦定四库全书
厯算全书巻十七
宣城梅文鼎撰
火纬本法图説
荧惑一星最为难算至地谷而其法始宻图表具在可攷而知也何尝云火星天独以太阳为心不与余四星同法乎作厯书者突发此语遂令学者沿譌是执图以观图而不以算理观图也不知厯算家有实指之图有借象之图地谷氏之图火星所谓借象也非实指也钱唐友人袁惠子士龙受黄三和先生宪厯学以厯指为金科余故为作此以极论之而徴之切线分角之法以着其理袁子虚懐见从已复质诸睢州友人孔林宗兴秦亦以为然而手抄以去又旁证诸穆氏天歩真原王氏晓庵厯法大防亦多与余合
火星本法【发厯书之覆】
据厯指万厯癸丑年太阳在降娄宫一十四度有半
地谷测火星体防合于井宿第五星
经度为鹑首四度半
纬度在黄道北二度十一分
火星平行在壬
距冬至二百一十七度半强
火星最髙在丙
引数自丙厯丁至壬三百三十八度半弱
图説 乙为地心 即为各天平行之心【亦黄道心】大圈为火星平行之天 内圈为太阳平行天皆以地为心【其度皆应黄道】 太阳在本天自春分壁向娄顺行 火星嵗轮心在本天自丙过丁至壬顺行太阳行速而火星行迟今太阳在后火星在前是
太阳与星已过相冲之度而从后逐星也 火星在嵗轮上亦自戌顺行过亢至申 合伏时星在戊冲日时星在亢今在申是星己过冲日之限而复向合伏也 太阳距星实行为娄张【亦即心氐】以减半周为张角为黄道上星距日冲之度【亦即氐未】太阳在黄道上自娄仍顺行其冲亦自角顺行星亦自氐顺行而日速星迟故其距渐近而星距日冲渐逺则星在嵗轮上距合伏之度亦渐近距冲日之度亦渐逺其嵗轮上渐逺渐近之度皆与黄道上距度相应然黄道上娄张是日在后追星嵗轮上是星向合伏【申戌】黄道上日冲度渐离星【角张】嵗轮上是星离冲日【申亢】
本法以平行壬为心作子癸小轮自最髙子过癸左行为引数之数至丑 又以丑为心作夘辰小均轮自辰最近右行过夘歴寅复过辰歴夘至寅为引数之倍减去全周得嵗轮之心到寅
先以丑寅壬三角形求得丑壬寅角及壬寅线次以寅壬乙形求得寅乙线为嵗轮心距本天心之数 又求得壬乙寅角为平行实行之差即前均也因在后六宫其号为加得寅乙申角为实行视行之差
此以上厯书之法并同以下则异
次以寅为心作嵗轮戊申亢圏也戊为最逺合伏之度也亢为最近冲日之度也今太阳在降娄火星在鹑首是已过冲日之度而日反在后以逐星也其日星之距为降娄至鹑首之度在嵗轮上则为申戊弧乃星行嵗轮末至合伏之度也【厯家谓之距余盖顺数自戊合伏过亢冲日至申为距合伏行度以全周得申戊为距余】以申戊减半周得申亢为巳过冲日之度即申寅亢角【或申寅乙角】
末以申寅乙三角形求申寅半径 此形有先求得寅乙距心线又有申乙寅角为先测火星视行与所算实行之差度有申寅乙角为嵗轮上己过冲日之度有两角自有寅申乙角法为申角之正与乙角之正若寅乙线与申寅线也【此以测得视差而求半径】若先有申寅半径而无视差度求乙角者则以切线法求之以申寅邉乙寅邉并之得戊乙为总数【一率】又以申寅减乙寅得亢乙为较数【二率】以申戊度半之为距余半求其切线【为三率】法为总数与较数若半距余角【即半总角】之切线与半较角之切线也求得四率查切线得其度以减距余半之度余为申乙寅视差角乃以视差角减实径为视径【已过日冲其差为减】此本法也厯书所载求法得数并同而其图迥异盖巧算耳下文详之
厯书之法亦是用两角一邉以求余邉【星过日冲弧度是一角测得视行与实行之差是一角算得寅乙距心线是一边今以法取嵗轮半径为所求一边】然不正作申乙寅视差角而反作乙寅甲为视差角故亦不正作申寅乙星过冲日角而作寅乙甲为星距冲日角然则用本法者惟寅乙距心一线耳
然既有寅乙线为主又有寅乙甲为星距日冲度有乙寅甲角为视差度则乙寅甲三角形与申乙寅三角等而甲乙邉必与申寅半径同矣此倒算防法与加减差法不作角于心而作角于邉同一枢轴也
其法以先得寅乙线为三角之底其两端各作角【即先得两角】
各引其邉遇于甲则甲乙为半径【寅甲亦即为星体距心与申乙之距同矣又大阳心在降娄其冲未在寿星星实行在氐氐末为氐乙未角即星实行己过日冲之真距也正与嵗轮上申亢度等故用氐乙未角为黄道上星距日冲之度与用嵗轮上申寅亢同此为借象之一根】
然又以甲为地心而作圏周分十二宫何也曰此则借象也其法妙在作甲己线与寅乙平行何也先依寅乙线作三角形其寅甲原与申乙平行今己甲又与寅乙平行则寅甲己角与申乙寅角等度而且等势矣【寅甲线斜交于寅乙及甲己两平行线中则所作寅甲己及甲寅乙两角等寅乙线斜交于申乙及寅甲两平行线中则甲寅乙与申乙寅角亦等而寅甲己角与申乙寅不得不等矣○角之度既相等而寅乙线即原用之线也今巳甲与寅乙平行故不惟等度而且等势也】由是而自甲心作春秋分横线井箕直线即与乙心所作大圏上降娄夀星横线及冬夏至直线悉为平行而等势【横与横平行直与直平行则其势等】于是而匀分十二宫即无一不与乙心所作大圏等
十二宫既与大圏等势而寅甲己角又与大圏之申乙寅角等度等势则己甲线即指星实行度寅甲线即指星视行度而可以命其宫度不爽矣推此而辛甲为星最髙指线及作平行线于己甲实行之内一一皆真度矣
又以乙为太阳体何也曰太阳实行降娄宫度原在大圏其离降娄之度为乙角今太阳指线过乙至甲则甲角与乙角等度而乙防在次圏上【甲心所作之甪】距春分之度与大圏等【圏有大小而角度等】即太阳真度可以命之为日矣乙既命为日则次圏可命为太阳所行之天而乙心所作大圏以太阳之冲处割小圏有火星行嵗圏最近侵入太阳天内之象故遂以大圏命为星行之圏也【又寅乙甲角原为星距日冲之度与申寅乙角同而甲己既与寅乙平行甲未即甲乙之截线则己甲未角又与寅乙甲角同而己亥与嵗轮上申亢同为星距日冲之】
此一图也有嵗轮半径之数【甲乙】有火星实行视行差度【寅甲己角】有周天宫度有太阳度及火星最髙卑度又有火星行最近入太阳天内之象可谓简而该巧而妙矣非地谷精于测算神明于法不能为也
然则何以谓之借象曰以其一图而备数端故知之也何以言之甲乙者嵗轮之半径也不得与日距地心同数一也寅乙距心之线从两小轮求出而两小轮在火星本天是从乙心起算不从甲心起算二也因寅乙距心之线以得视差之角亦为乙心之角非甲心之角三也若甲真为地心则与乙太阳有距数太阳乙心所见之差角至地心必不同观四也视行实行之差角为地面实测非乙心之数不得两处悉同五也又大圏既为本天而侵入太阳天内则将为嵗轮之心若冲日之时嵗轮心既在太阳天内星又在嵗轮最近将越过地心如金水之退伏合而不得冲日矣六也由是观之此图但为借象巧算之用而非以是为真象也或者不察遂真以乙为日体则死于古人句下矣
或问五星新图亦以火星天用太阳为心而冲日之处割入太阳天内又何以説焉曰火星之行围日而能割太阳天者乃嵗轮上周行之迹耳非本天也盖火星本天在太阳之外能包太阳之天因嵗轮之行合伏时在嵗轮之顶去太阳益髙合伏以后离太阳渐逺则行于嵗轮中半与本天齐及其冲日则行嵗轮之底而在本天之内去地益近其去地益近者为日所摄也此理五星所同故土木火三星皆可为围日之象今新图五星不以地为心者是也火星则嵗轮最大冲日时稍侵入太阳之天其实嵗轮之心仍系本天在太阳天外耳七政小轮周行于天遂成不同心之圏嵗轮周行于天成围日之形一而已矣今以实数攷之火星嵗轮半径约为本天半径十之六其合伏时则两半径相加成十六冲日时两径相减只余十之四其侵入太阳天内约为一二分则太阳天半径只得火星天半径十之六有竒而火星合伏时在太阳上约为十分冲日时在太阳下亦约十分而成围日之形矣是故以日为心者嵗轮上星行之轨迹也非本天也【图见下】
火星嵗轮上轨迹围日之图 【土木二星因嵗轮之度而成围日之形与此同理但其天更大而嵗轮小故不致侵入余里之天】
丁庚寅辛为太阳天 戊癸己壬为火星本天甲丑嵗轮以戊为心 丙子嵗轮以己为心
丁为日体 甲丙皆星体
甲癸丙壬为嵗轮上星行轨迹成一大圈而以丁日为心
星天日天各有小轮髙卑其本天则皆以地为心星在嵗轮甲为合伏而去地极逺 星在丙为冲日冲日之时庚丙辛割入太阳天庚寅辛之内而去地极近
星在嵗轮丙时已割入日天然嵗轮心则在本天已若如众説以割入日天内者为本天则冲日时当以丙为嵗轮心矣而星在嵗轮之上又当向日岂不越地心乙而过之乎必不然矣
切线法解在后
火星次均解 【火星次均用切线求嵗轮上视差角乃三角法也】
欲明火星次均用切线之法当先明三角形用切线之法
甲夘乙三角形有甲钝角一百五十度有甲乙邉六十有甲夘邉一百整求夘角
法曰以甲角减半周得余三十度为癸甲乙外角 半之得十五度为丙甲辛角 其切线辛癸【二六七九五】并甲乙【六十】甲夘【一百】共得丙夘一百六十为首率【总数】 以甲乙减甲夘余得辰夘四十为二率【较数】 半外角之切线辛癸为三率 二率乗三率为实首率为法除之得辛夘【六六九八】为四率即辛甲壬减之切线也 以四率查切线表得三度五十分弱为辛甲壬减角 以所得辛甲壬减角三度五十分减半外角十五度余壬甲丙角十一度一十分即夘角也
今以火星言之丙乙辰圏则嵗轮也甲为嵗轮之心丙甲辰夘过心线即星实行度分也
夘为本天之心 甲夘者距心线也【即表中距日数】 甲丙甲乙甲辰皆嵗轮半径也【即表中半径合日差而成星数也】
先以前均求到星之实行在甲矣然此嵗轮之心而非星也星则自丙合伏顺行过辰冲日而渐近合伏其体在乙则丙辰乙为星在嵗轮上行之度【与星距太阳实行之度相等】即相距度也
乙丙则距余度半之为辛丙则距余半也 乙辰为星巳过冲日之度则甲角度也
今已知嵗轮心实行之度又已知星在嵗轮上行之度所不知者视差角耳盖自本天心夘作实行线过甲心至黄道又从夘作视行线过乙星体至黄道其差为夘角是故求次均者求此夘角也
用上法以距日【即距心】为一邉【甲夘】以星数为一邉【甲乙】以星行过冲日之度【即乙辰】为一角【甲角】成甲夘乙三角形依上法得夘角即次均也
一率 距日与星数之总【即甲夘并甲乙亦即甲丙】二率 星数减距日之较【即辰夘】
三率 距余半之切线【即半夘角之切线辛癸盖乙甲丙角为距余即乙甲夘角之余度半之为辛甲丙角即距余半】
四率 减之正切线【即辛壬其角为辛甲壬】
末于辛甲丙【距余半角】内减去辛甲壬【减角】余成壬甲癸角与夘角等得视差之度如所求
既知三角形用切线之法尤当进而明其所以用切线之理
如后图乙甲夘三角形 甲角一百五十度 甲乙邉六十甲夘邉一百 两邉之总一百六十为首率两邉之较四十为次率 甲角之余角半之求切
线为三率【即率癸】 求得四率为半较角之切线辛壬求其度以减半余角得夘角
何以用切线也曰此分角法也凡外角【乙甲丙为乙甲夘之余角亦为外角】内兼有形内余两角之度【乙甲丙外角兼有夘角及甲乙夘角之度】试作壬甲线与乙夘平行分外角为两则壬甲丙角如
夘角矣【以壬申及乙夘皆平行线而丙甲夘未一直线故其作角必等】
外总角内减去同夘角之壬甲丙角则其余壬甲乙角必为甲乙夘角矣
今但有外角为总角而不知其分角故以比例分之而切线则其比例也
又试作乙丙线为外角之通又从乙作正线至丁为乙甲壬大角之正从丙作正线至戊为壬甲丙小角之正而通遇壬甲分角线于子成乙子及子丙两线此大小两线之比例与大小两角之正比例等何也乙子丁勾股形与丙子戊勾股形以子为交角则相似而乙子【大】与子丙【小】若乙丁【大股】与丙戊【小股】矣
又甲夘大邉与甲乙小邉原若所对之大角正【乙角】及小角【夘角】正【凡三角形邉之比例与对角正之比例皆等】即乙丁与丙戊也【角同则正同】则甲夘与甲乙亦若乙子与子丙矣
又试作辛甲线分外角为两平分而各作切线为辛癸为辛己【即半外角之切线】则两切线聨为一【己癸】而与乙丙平行又引壬子线割之则分为二线而己壬与壬癸之比例若乙子与子丙亦若甲夘与甲乙矣
又作庚甲线使庚己如壬癸则庚壬为两线之较己癸为两线之总
而甲乙甲夘两邉之较为辰夘其总为丙夘
甲夘大邉与甲乙小邉之比例既若大线【己壬】与小线【壬癸】则两邉之总与较亦必若两线之总与较矣
一率 丙夘【即甲乙甲夘两边之总】
二率 辰夘【即两邉之较】
三率 己癸【即己壬壬癸两线之总】
四率 庚壬【即两线之较】 今各半之
辛癸半总【即半外角辛甲癸之切线】
辛壬半较【即半较角辛甲壬之切线】
既得辛壬切线查表得其角度即半较角也以半较角减【辛甲癸】半外角即半角也
若以半较角加【乙甲辛】半外角亦即甲乙夘角矣
火星测算本法图説【明厯书之倒算】
嵗圏半径【六四七三八】甲乙
查加减表八宫十九度【四十分】 半径数【六四○八七三】太阳引数星纪二十三度加六宫为六宫二十三度日差【一○一六】相并得【六四一八八】为星数与所测防差
若用实引得半径【六四四二五】其数益相近
距心数【九九六九七】寅乙
平引八宫一十九度【四十二分二十秒】
加均数 一十度【三十三分三十秒】
实引九宫初度【一十五分五十秒】
查加减表八宫一十九度【四十分】距日【九九七○一】所差不多若用实引则距心【一○一六七四】差稍大然按图用乙寅线宜用实引
图説本宜用寅防为嵗轮之心以寅乙申角为嵗轮上视差角即寅未也
寅申线则嵗轮之半径也此为本法
今厯书所载地谷图不于寅心作嵗轮圏而以甲为心盖因戌寅亥角与寅乙申视角同度【切线法用此角以代乙角】而甲寅乙角者戌寅亥之交角也凡交角皆同大则甲寅乙角亦即寅乙申视角矣既以甲寅乙角为所测视角则乙防即可为嵗圈之心而甲乙寅角可代乙寅申角矣故以嵗圏上星过冲日之度【冲日即近防亢星过日冲即乙寅申角亦即亢申】移作寅乙甲角自乙嵗圏心依角度作乙甲线与寅甲线遇于甲【先有乙寅甲角自有寅甲线】则甲防即嵗轮上星所到度可代申防而甲乙即嵗轮半径可代寅申矣故以甲乙线为半径者巧法也
然则当以乙为嵗轮之心用代寅防矣何又以甲为心乎曰甲乙既为半径则以乙为心甲为界或以甲为心乙为界其半径等为甲乙也故倒以甲为心其法与诸加减表説作差角于圏界者同也【先倒作均角于寅界法同两术中惯用此倒算之法】
然则以甲为地心何也曰此则其移人耳目之法也何以言之彼固言甲乙为嵗轮半径矣又以甲心乙界之轮为嵗轮矣甲既为嵗轮之心又安得为地心乎然则地心安在曰以理论之仍当以乙防为地心耳何也星之实经在寅其视经在未寅未之成寅乙未角此固实测之度也实测差角从地上得之安得不以乙为地心乎若谓乙为日体则日之去地逺矣日体所见之差角与测所见之差角必有分也而今不然故不得以乙心径为日体也
非地心而地心之何也盖所以使人疑也其使人疑奈何嵗轮心之非地心易见也乙防之非日体难知也以其所易见例其所难知疑则思思则得矣 地心既非地心则日体亦非日体然则其中机彀固以示之矣又论曰借甲为地心妙在作戊己线与乙寅平行葢甲己既与乙寅平行则己甲寅角即甲寅乙角亦即寅乙申均角而甲地心所作之十二宫度一切皆与乙心所作之度相应矣此用法之巧也
先以乙寅甲角代寅乙申视角而取甲乙线以代寅申半径是倒算也复以甲为心乙为界作嵗圏以甲心代乙心亦倒算也两番倒算而倒变为顺故甲可代乙为地心即本天心也而甲己线与寅乙平行即地心所指实行之度也己甲寅角即视差角也寅甲线即视行指线与申乙同也故天度皆应可作十二宫分细度也若于乙作嵗圏则但能得半径而十二宫之向皆反矣故借甲为心法之巧也
乂取甲为心影出火星能入太阳天之象其实火星入太阳天者乃其嵗轮上度非嵗轮心也若真以此为嵗轮心则火星体将过地心而与日同度如金水矣又用甲为心作十二宫则细度可不碍书若用本法则有两小轮各线相襍而不能详书细数故移乙心于甲移寅乙申角为己甲寅角也呜呼可谓巧之至矣但未説破故后学遂妄为作解耳
论曰既火星初均在寅即当以寅为嵗轮心而今不然何耶曰此巧算也甲寅乙角即寅甲己角也何也甲己与乙寅平行也即均角也又乙寅者嵗轮心距日数也乙甲者半径也寅乙甲角者先有之角即星日相距之余数也即己过日冲之度本法以距日数及半径为两邉与先有之角求均数角今先测得均角而无半径故反用其法以求半径法之巧也盖先有两角一邉而求余邉之法也
一率 甲角之正 【有乙寅两角自有甲角】二率 乙寅邉 【即距日数实为嵗轮心距本天心】三率 寅角之正 【即均角乃所测视行与实行之差度】四率 甲乙邉 【即嵗轮半径包有日差在内】
由是言之甲乃嵗轮心耳非地心也若甲真为地心则甲乙非嵗轮半径矣
火星次均解 查火星嵗轮半径与本天半径略如六与十宜即用为比例作图则所得均角亦近【后数系初稿存例非火星正用】
图説 乙甲夘三角形有甲角一百二十度有甲夘邉一百 乙甲邉四十一 求夘角 乙角 乙夘邉
法曰以乙甲甲夘二邉并得一百四十一为总【即丙夘】为一率又相减得五十九为较【即辰夘】为二率 丙甲乙外角六十度半之得三十度【即辛甲丙角】其切线五七七三五【即辛癸】为三率求得【壬辛】为四率得二三九八八查表得十三度二十九分四十秒収作三十分【即辛甲壬角】以辛甲壬角减半外角【辛甲丙角】得壬甲丙角十六度三十分即夘角也 又以辛甲壬角加辛甲丙【即辛甲己】得壬甲己角四十三度三十分【亦即甲乙夘角】末以甲乙夘角四十三度三十分之正六八八三五为二率乙甲四十一为三率全数为一率法为全数与乙角之正若乙甲与甲午也得甲午 又甲乙夘角之余七二五三七为二率乙甲四十一为三率全数为一率法为全数与乙角之余若乙甲与乙午也得乙午 用勾股以甲午幂减甲夘幂余数 开方得数
为午夘乃并乙午午夘共为乙夘邉
一系甲夘如火星距心线【即表中距日数】
甲乙即如火星嵗轮半径【即表中半径加日差为星数之数】丙甲乙外角即如火星行嵗轮上离合伏之度【即日星相距度】
丙甲辛角即如火星半距度【辛癸其切线】
壬甲辛角即火星减【壬辛其切线】卯角即均角
一系丙防如嵗轮合伏度 甲为嵗轮心 夘为本天
心 丙甲夘线即嵗轮心平行线
一系丙夘乙均角在前六宫是平行线东为加
一系嵗轮上加减以夘亥切线所到为限自丙防以至亥防距合伏度渐从小至大其均度渐増过亥防至辰冲日距度渐从大至小均度渐减盖距合伏度大则半距亦大反之则小也
一系星行嵗轮过亥防则距度大而减更大故均数
渐减
如图星行至未成甲未夘三角丙甲未外角半之于酉而壬甲酉为减其得均角夘与星行在乙等
若欲知未甲辰角法用三率求之
一率 甲未邉 二率 夘角正
三率 甲夘邉 四率 未角正
既得未角以并夘角而减半周其余即甲角也
星行到乙与星行到未同以夘角为均度
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷十七>
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷十七>
一系星之离日有定距
一系星之嵗轮与日天略等
一系日距星为日离星而东日速故也
星距日为星离日而西星迟故也
一系日距星为日天之度星距合伏为嵗轮之度一系论右旋则日速星迟若左旋则星反速于日故嵗轮心渐逺于日可称左旋而嵗轮上围日之象亦左旋也
一系星有迟速皆嵗轮心之行而星行嵗轮邉成围日之行则
五星一理
一系星本天右旋星在嵗轮上亦右旋而星围日之行左旋此外仍有自行之髙卑故土星能至甲木能至乙至丙火能至丁各天故不甚相逺
自人所见五星所当宿度则距日有逺近之殊而五星在天以径线距太阳终古如一以此图观之见矣
所异者五星各有髙卑本轮则有微差而火星则兼论太阳髙卑要不能改其径线相距之大致
算火星前均及距地心线用简法 依表説用两小轮图设平引三十度依表説算得均角四度五十分加减表四度五十分七秒 表説差七秒
今用简法得四度五十分十秒 只差三秒
表説又算距心一十○万九千九百○三加减表是一十一万○○一十三差十万分之一百一十【数见表首巻第四章称为火星年嵗圈心距地心数】今用简法得一十一万○○一十九只差十万分之单六又原法用勾股作垂线以求角求邉
今用简法以半外角切线乗两邉之较为实两邉之总为法除之即得半较角以减半外角即为均角工力较前省半其小轮上加减之角用小轮半径四与一之比例乗除工力尤省数倍
求邉之法只用对角之正比例工亦省半
窃意立表时当是用此法
凡诸表数或是西人成法翻译成书或是厯局依法算演俱不可攷然是入用之数当以为主
火星平引三十度算得均角四度【五十分十秒】距心线【一十一万○○一九】查表均角四度【五十分七秒只差三秒】距心【十一万○○一三只差十万分之单六】可谓宻近丙戊甲三角形 求甲角 及戊甲邉 丙甲为一四八四○丙戊三七一○ 其比例为四与一
简法其总为五其较为三 丙角六十度【引数之倍】 先求甲角法以丙角减半周得余外角一百二十度半之六十度查其切线一七三二○五以较【三】因之总【五】除之得一○三九二三查切线表得其度为四十六度六分○八秒为半较角以半较角减半外角六十度余一十三度五十三分五十二秒为丙甲戊角
表説甲角十三度五十四分是不用秒数也
次求戊甲邉
法以甲角之正【二四○二○】为一率 丙戊邉【三七一○】为二率 丙角之正【八六六○三】为三率 求得戊甲邉【一三三七六】为四率次戊甲丁三角形 有甲丁邉【一○○○○○】 有先求到戊甲邉【一三三七六】 有甲角【以求到戊甲丙角加引数丙乙三十度共得四十三度五十四分弱为戊甲乙外角余一百三十六度六分强为甲丙角】
先求丁角【即三十度视差角】
法并【甲丁戊甲】两邉得总【一一三三七六】为一率 又两邉相减得较【八六六二四】为二率 半外角得【二十一度五十七分弱】之切线【四○三○○】为三率求得半较角切线【三○七九○】为四率
查表得角【十七度六分五十秒】以减半外角余四度【五十分一十秒】即丁角次求戊丁线【即表距日数实即嵗轮心距地心之数】
法以丁角之正【八四二六】为一率 戊甲邉【一三三七六】为二率 甲角【用余角四十三度五十四分弱】正【六九三三八】为三率 求得戊丁邉【二○○一九○】为四率
一系凡两小轮有比例者俱可用简法求角七政并同一系凡三角形有一角在两邉中者遇其邉有比例可用简法土星 自行轮半径八七二一小均圏半径二九○七 其比例为三与一 其总为四 其较为二 总与较之比例为折半简法【但以半外角之切线折半即得半较角】
木星 自行轮半径七一五五 小均圏半径二八三五 其比例亦为三与一【法同土星】
金星 自行轮半径二四○六 小均半径八○二 其比例为三与一【法同土木】
水星 地谷宻测自行轮半径六八二二 小均轮一一三七其比例为六与一 总为七较为五 法用五因七除多禄某旧法自行轮九四七九 小均轮一五八○ 其比例为六与一而强
太隂 本轮半径【八千七百】三平分之二为新本轮半径【五千八百】一为均轮半径【二千九百】其比例为二与一其縂为三其较为一法用三为法以除半外角切线得半较角
朔望次轮半径二千一百七十旧为二千三百一十此朔望轮地谷转用于地心之上
太隂朔望次轮全径四千三百四十以全加于本轮半径则一万三千○四十故两之加减至七度四十分 然以比五星嵗轮则太隂最少
太阳 两心差三五八四 折半一七九二
王寅旭法两心差三八八三八八收作三五八四 小均轮半径为两心差四之一 第一均轮半径为两心差四之三两均轮之比例为三与一 其总四其较二亦折半比例也与土木金三星并同
加减差图説以两心差折半作角盖谓此也
两均轮比例
求七政各小轮半径法具厯书今只定其大小之比例
两心差火星最大为一万八千五百竒 次土星一万一千六
百竒 又次木星○万九千九百九十 又次太隂八千七百又次水星七千八百五十 太阳数少三千五百八十四 金星更少只三千二百○六
上三星轨迹成绕日圆象
五星本天并以地为心与日月同至若嵗轮【即古法迟留逆伏之叚日】则惟金水二星绕太阳左右而行其嵗轮直以日为心土木火三星则不然并以本天上平行度为嵗轮心【金水以太阳为嵗轮心亦以二星之平行与太阳同度也】然其轨迹所到并于太阳有一定之距故又成绕日左行之圆象西人所立新图不用九重天而五星并以太阳为心盖以此也然金水嵗轮绕日其度右移上三星【土木火】轨迹其度左转若嵗轮则仍右移耳
七政前均简法【订火纬表説因及七政】
西法用表如古法之用立成不得其列表之根表或笔误无从订改矣故有表説以发明之然或表説所用之数有与表中互异者则是作表者一人作表説者又一人也余因查火星之表而为之推演然后知立表之法甚简洵乎此心此理不以东海西海而殊
厯算全书巻十七
钦定四库全书