历算全书厯算全书卷四十五
厯算全书卷四十五
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
钦定四库全书
歴算全书卷四十六
宣城梅文鼎撰
句股阐微卷一
句股正义
首题
句股者横曰句纵曰股【亦可云勾纵股横】斜曰三线相聨而成句股形也
如图甲乙丙形甲乙为股乙丙为句甲丙为亦可云【甲乙为句乙丙为股】也 凡三角形或三角俱鋭或两鋭一钝或两鋭一
正【鋭钝正説具三角形算法中】句股形者两鋭一正形也其句股两线纵横相遇而成者为正角如乙防句两线及股两线相遇而成者为鋭角如甲丙两防 此三线者或三线俱不等其最大者必或两线等其等者必句股而无三线等何者以句股形一角正故也
一题
句股求
法曰句股各自乘并之开方得
如图甲乙句自乘得乙丁方乙丙股自乗得乙戊方两方相并即甲巳方开之得甲丙
论曰试移庚实形补辛虚形移丑实形补卯虚形移壬实形补子虚形移卯午实形补壬辰虚形所移者恰尽所补者恰足得乙丁与乙戊两方并恰与甲巳方等又论曰更以句与股相等之形观之夫句与股既等则句股各自乗固方也即句股互相乗亦方也【凡句股不等则句股互相乗必是矩形】如丁戊大方平分方边于方形中纵横作线中分四
小方形必等又句与股既等则上方边为句股各自乗两方之对角线亦为句股互相乗两方之对角线如于四小方形中作四对角线相聨而成一中方形也此中方形者割小方形四之半即涵小方形二之全就此图观之尤为明显
又法曰句与股相乗倍之另以句股差自乗并入倍数开方得
论曰甲乙股乙丙句相乗得乙丁矩形中分为庚戊两形夫庚形即辛形也倍之者再加癸卯两形也乙丙为句丙巳
为股乙巳为句股差自乗得乙子方并入倍数共成甲壬方为甲丙上方也
又法曰句自乗倍股依长濶相差法求之得股差加股为
论曰甲乙丙句股形甲丙也丁已亦也丁戊上方也乙丙股也乙壬亦股也乙子股上方也余乙戊子磬折形即句自乗之数也而已壬矩与乙丑矩等即丙戊矩亦
句自乗之数也此丙戊矩形中乙丙为股加乙壬为倍股曰长濶相差者丙午为长午戊为濶与壬午等即壬丙倍股为长濶之差也依法求之得壬午为股差
二题
句求股
法曰自乗内减句自乗余开方得股
论曰一题句股求苐一法句股各自乗并之即自乗数则自乗数中有句股各自乗之数也今于自乗数中减去句自乗所存者即股自乗数矣就一题之图观之自见
又法曰句相并得数相减得数两数相乗得数开方得股
如图甲乙丙句股形乙丙句甲乙股甲丙与乙丙相并即乙丁线相减即乙巳线【乙巳与乙子等】两线【乙丁乙子】相乗得子丁矩即
甲乙股上方
论曰己午方者已丙线上方即甲丙上方也内减子午形为乙丙句上方所存卯巳未磬折形即甲乙股上方矣而巳未矩又与丁卯矩等则丁子矩形即卯巳未磬折形矣亦即甲乙股上方矣
又法曰句自乗倍依长濶相和法求之得股差用减得股
论曰甲乙丙句股形甲丙也丁己亦也丁戊上方也乙丙股也乙壬亦股也乙子股上方也余乙戊子磬折形
即甲乙句自乗之数也而己壬矩与乙丑矩等即丙戊矩亦甲乙句自乗之数也此丙戊矩形中乙午为乙丙并午戊为倍曰长濶相和者丙午为长午戊为濶即丙午午戊并为长濶相和也依法求之得壬午为股差
三题
股求句
法同二题句求股
附长濶相和法
如图丁乙矩形积九百七十二尺丁甲为长乙甲为濶两边之和共六十三尺求甲丁甲乙二边各若干 法以和数
自乗得三千九百六十九尺次以积四倍之得三千八百八十八尺与和自乗相减存八十一尺开方得九尺【即丁甲乙甲二边之较数】以与和【六十三尺】相并折半得三十六尺为甲丁长边又与和相减折半得二十七尺为甲乙矩边长濶相差法【图同上】
丁乙矩形积九百七十二尺甲乙为濶戊乙为长丙戊九尺【乙丙即甲乙】为长濶相差数甲乙戊乙二边各若干法以较数【九尺】自乗得八十一尺次以积四倍之得三千八百八十八尺与较自乗相并得三千九百六十九尺开方得六十三尺【即戊乙甲乙二边之和数】以与较九尺相并折半得三十六尺为戊乙长边又与较【九尺】相减折半得二十七尺为甲乙短边
解曰甲午矩形作乙丙对角线成甲乙丙句股形甲丙长句也甲乙濶股也丙丑长濶和也【甲丑即乙甲】自乗得丙
子大方四倍矩积也并大方内戊丁
庚辛四矩形之积【大方内所容四矩俱与元形等如丙
壬矩即甲午矩其八句股形亦俱等元形】相减存己壬小
方开方得巳未边即甲乙甲丙二边之较数也【卯亥即甲乙股卯壬即甲丙句则壬亥为两边较数即长濶相差也】既得较数与所有和数相加减得甲乙甲丙二边矣
若长濶相差法是先有巳未较数故以上法反用之求得丙丑和得丙丑亦得甲乙与甲丙矣
四题
与句股较求句股
法曰自乗倍之较自乗用减倍数余开方得句股和于是和加较半之得长股和减较半之得短句
论曰甲乙丙句股形甲乙句也乙丁句上方也乙丙股也丙戊股上方也两方并共为上方辛壬亦句上方
庚已亦股上方两方并亦共为上
方此即自乗倍之之数也而两句
方两股方并为丙己大方则中间重
叠庚戊方矣此何方乎曰戊子即句股较也庚戊方即较上方也减之而重叠者去矣所存者为句股和上方矣故开之得丙丑为句股和也
又法曰自乗内减较自乗余半之以较为长濶相差法求之得短句加较得长股
论曰甲乙丙句股形甲丙也甲丁上方也巳子较也己丑较上方也两方相减余壬辛午未四形半之余午未二
形而午形又即戊形则是余未戊二形也此未戊二形者句股矩内形也故以巳子较用长濶相差法求之得子丙短句句加较得巳丙长股
五题
股与句较求句
法曰股自乗内减较自乗余半之以较为法除之得句句加较得
论曰甲乙丙句股形甲丙也甲丁上方也甲巳较也甲戊较上方也庚甲辛磬折形股自乗数也内减甲戊较上
方所余丙戊戊壬两形即为句与句较矩内形者二矣取其一如丙戊形以戊己较除之得己丙句【或不用折半倍较为法除之亦同】
又法曰股自乗以较为法除之得句和于是加较折半得减较折半得句
论曰甲乙丙句股形甲丙也甲丁上方也丙己亦句也丁戊句上方也所余庚甲辛 折形即股自乗数也而壬辛形与戊丙形等即壬己矩形亦股自乗数也以甲巳较除之得甲壬为句和也
又法曰股自乗较自乗相并倍较为法除之得减较得句
论曰甲乙丙句股形甲丙也甲丁上方也丁己为句上方即戊甲辛磬折形为股上方矣又己丙矩与庚壬矩等
即甲辛子磬折形亦股上方也加甲子较上方共得辛丑矩形其庚辛边即是倍较
六题
句与股较求股
法同五题
七题
与句股和求句股
法曰自乗倍之内减句股和自乗余开方得句股较于是较加和半之得长股较减和半之得短句
论曰甲乙丙句股形丙丁句股和也丁子和上方也丁午未子两句上方丙丑壬巳两股上方此即自乗倍之之数
也以较丁子和上方则其中重叠一壬丑方矣而此方之边即是句股较
又法曰句股和自乗内减自乗余半之以句股和用长濶相和法求之得句股
论曰丙丁为句股和丁巳为和上方午乙壬磬折形即上方两方相减余午丑壬磬折形分为午丑及丑壬两形形
之两边即句股
八题
股与句和求句
法曰句和自乗内减股自乗余半之以句和除之得句用减句和得【或不用折半倍句和除之亦同】
论曰甲乙丙句股形甲丁为句和甲巳为和上方又甲午为上方甲子为句上方即未午壬磬折形为股自乗而子丙矩与午辛矩等即戊辛矩形亦股自乗也于和方中减之所存者为未丁及戊己两矩形矣形之一边如甲丁即句和其一邉如甲未即句
又法曰股自乗得数以句和除之得句较于是用加句和半之得用减句和半之得句
论曰甲乙丙句股形甲丁句和也甲戊上方也戊己句上方也即午甲未磬折形为股自乗矣而卯巳矩与午丁
矩等即甲子矩形亦股自乗矣形之甲丁边即句和丁子边即句较
又法曰句和自乗股自乗相并倍和为法除之得减和得句
论曰甲丁为句和甲戊为和自乗
戊丑为句今试依庚戊矩作丁卯矩
即卯甲丑磬折形亦和自乗矣又甲
巳为上方未壬为句上方即未己壬磬折形为股自乗矣而壬子矩与子丑矩等即未丑矩亦股自乗矣然此犹在和自乗数中也今另加一股自乗如丑卯矩并
前卯甲丑磬折形共成一庚癸矩形
即为两自乗相并之数形之甲癸邉
即句和之倍形之甲庚边即是
也
九题
句与股和求股
法同八题
十题
句较股较求句股
法曰先以两较相减得即为句股较次以两较各自乗相并内减句股较自乗余开方得和较【和句股和也】于是加股较得句加句较得股以句较加句或以股较加股得
论曰甲乙丙句股形甲丙也甲巳即股也巳丙股较也甲壬即句也壬丙句较也壬己句股较也今试引甲壬句至丁令甲丁为句股和即丙丁为和较也次作甲戊为和上方午未为句较上方午子为股较上方【即庚辰方】两较上方相并共为午未辰磬折形内减
未子句股较上方余辰午癸磬折形
即戊午和较上方何则试观丑午
已磬折形句上方也子戊形亦句上
方也今于丑午已磬折形中减丑申及辛巳两矩形即是于子戊形中减卯子亥磬折形也然则所余之辰午癸磬折形非即戊午方乎
又法曰两较相乗倍之开方亦得
和较以下同前法
论曰甲乙丙句股形试引甲丙至丁
得甲丁为句股和甲戊为和上方【甲未股未丁句】丁子己子句也丁辛己壬也子辛子壬句较也未子亥子股也未申亥卯也子申子卯股较也然则卯辛与申壬两矩形即是两较相乘倍之之数也此两矩形者即戊午和较上方【丙丁为和较】何则未申亥磬折形句实也子戊方形亦句实也今试于未午亥磬折形减辛丙庚亥两矩形【辛未及亥壬皆是和较】及子午方即是于戊子方中减癸子丑磬折形也然则卯辛与申壬两矩形非戊午方乎
十一题
句股较句较求句股【句短股长看此题】
法曰先以两较相减得即为股较次以两较各自乗相减余为实倍股较为法用长濶相差法求之得句句加句股较得股句加句较得
论曰甲乙丙句股形丙乙股丙戊句
丙巳戊乙句股较戊己句较乙
巳股较乙丁亦为句丙丁为句股
和丙庚为和上方辛壬为句股较上方辛子为句较上方两较上方相减余丑子午磬折形夫乙子卯磬折形句实也壬庚方亦句实也今于壬庚方中作未庚未申两矩形与己丑寅卯两矩形等即所余壬申形与丑
子午磬折形等矣于是依壬申形作
壬亥形此形壬酉为长壬癸为濶与
壬辰等即辰未未酉为股较之倍
为长濶之差
按此法句股较句较相减得股较即三较皆备矣十题第一法句较股较相减得句股较即三较亦皆备矣既皆备三较则法可互用特以就题立法则法固各有攸属耳
十二题
句股较股较求句股【股短句长看此题】
法同十一题
十三题
句和股和求句股
法曰两和各自乗相并两和相减即为句股较自乗用减相并数余开方为和和【和也句股和也和和与句股和相并也】于是内减句和得股内减股和得句内减句股得
论曰甲乙丙形甲乙股也丁乙股
和也乙午股和上方也乙丙
句也丙子句和也丙未句和
上方也甲丙也丙丑股也丑巳
句也甲己和和也甲壬和和
上方也乙午丙未两方并较甲壬
方则两方多一句股较自乗之数何则试观甲壬方中股句三方即乙午丙末两方中句股三方也甲壬方中股矩二句矩二即乙午丙未两方中股矩二句矩二也无或异也所异者惟甲壬方中余句股矩二与乙午丙未两方中余方一则方一与句股
矩二其较为句股较上方何则试
观另图甲丙也甲丁上方也
甲乙股也乙丙勾也甲乙丙形句
股矩形之半也而丙巳丁丁子丑
丑午甲三形皆与甲乙丙形等共
四形即得句股矩之二也中余乙巳子午方即句股较上方然则乙午丙未两方并较甲壬方不多一句股较上方乎故于两方中减之即得甲壬方也
又法曰两和相乗倍之开方得
和和以下同前法
论曰甲乙丙形乙丁股和也丁
午句和也乙午两和矩内形也丙子句和也丙辛股和也丙未两和矩内形也甲丙也丙丑股也丑
巳句也甲己和和也甲壬和
和上方也乙午丙未两矩形与甲
壬方形等者两矩形中有两方
甲壬形中有方一股方一句方
一亦即两方也两矩形中有股
矩二句矩二句股矩二甲壬形亦有股矩二句矩二句股矩二也然则乙午丙未两矩形不与甲壬方形等乎
十四题
句股和句和求句股
法曰先以两和相减得即为股较次以两和各自乗相减余为实倍股较为法依长濶相差法求之得句句减句股和得股句减句和得
论曰甲乙丙形甲丁句和也甲戊句和上方也巳丁句股和也子戊句股和上方也两和之较为甲巳两方之较
为壬甲丑磬折形此形中午甲未磬折形句实也癸戊方形亦句实也夫癸戊方形与壬甲丑磬折形其余为辛未午丁两矩形今试作癸寅寅申两矩形与之等即戊申矩形与壬甲丑磬折形等矣此戊申矩形戊庚为濶即句与庚癸等癸卯卯申为倍数为长濶之差
十五题
句股和股和求句股
法同十四题
十六题
句股形中求容方
先论曰凡于句股形中依句股两边作方形或矩形则作形之外所余之角形二自相似亦与元形相似如图甲乙丙元形作壬丁乙子方形则此形之外所余甲丁壬及壬子丙两角形自相似何则谓甲丁与壬子相似丁壬与子丙相似也若
作壬丁乙子矩形亦然又此两形之各两边与元形之两边相似何则谓甲丁壬子两边与甲乙边相似丁壬子丙两邉与乙丙边相似也于是遂生求容方之法如左【独不能生求容矩之法者以容方则甲丁丁壬两邉即甲乙邉壬子子丙两邉即乙丙邉也若容矩则否】
法曰句股相乗为实并句股为法除之得方边
论曰甲乙股乙丙句相乗得甲丙矩即未午矩矩之甲
午边甲乙股乙午即句乙子即方
边何则甲丙为甲丙矩形之对
角线亦为甲壬壬丙矩形之对角线则甲乙丙与甲丑丙甲丁壬与甲未壬壬子丙与壬亥丙各角形自相等今于甲乙丙甲丑丙相等之两形中各减去相等之角形所余之乙壬方与壬丑方必等次于两方各加一同用之子亥矩则乙亥矩与子丑矩亦必等而子午矩与乙亥矩等亦即与子丑矩等然则甲丙矩不与未午矩等乎
又法曰句自乗为实并句股为法除之得余句用减句余即方边
论曰甲乙丙句股形乙丙句自乗
得乙丁方即未已矩形形之戊丙
即股丙巳即句丙子即余句乙子即方边何则丑丁形即子巳形也壬乙形即壬戊形也然则乙丁方即未巳矩也
十七题
句股形中求容圆
法曰句股相乗倍之为实句股共为法除之得容圆径【或句股相乗为实句股共为法除之得容员之半径 或句股相乗半之为实句股并而半之为法除之得容圆之半径】
论曰试于形之三边截取己子未
三防令乙子与乙巳等甲巳与甲
未等丙未与丙子等次于已子未
三防各作己丁未丁子丁三线为
形三边之垂线必相遇于丁而相
等何则试先就己甲未丁四边形论之甲巳甲未两边等己未两角皆正即巳丁未丁两线必等依显未丁与子丁两线子丁与巳丁两线亦必各等然则丁即圆心三线即圆之半径矣果何术以求之乎曰试作甲丁丙丁乙丁三对角线平分甲乙丙三角及丁角因平分三个四边形为六个三边形各两相等次引乙丙至壬令丙壬与甲已等则乙壬线为甲乙丙三边之半何则乙子者乙子乙巳之半丙子者丙子丙未之半丙壬者甲未甲巳之半然则乙壬者甲乙丙三边之半矣次引长巳丁线至亥令己亥与乙壬等必相与为平行次作壬亥丙午两线与子丁线等而相与为平行末作丙亥对角线则乙亥矩形与甲乙丙元形等何则乙巳丁子方形在元形之内丙子丁角形亦在元形之内丁午丙角形虽不全在元形之内然即丙未丁形而倒置之凑合丙子丁形而成子午矩形者也至于壬午矩形全在元形之外然亦即甲巳丁甲未丁两形颠倒凑合而成者也然则乙亥矩形与甲乙丙元形等矣于是以句股相乗半之得甲乙丙元形即乙亥矩形以乙壬三边之半分之得子丁为圆半径或以三邉之全分元形之倍亦
得圆之半径或三边之全分元形
之四倍得全圆径也
又法曰句股三边半之内减
得圆之半径【或倍用减三邉之全得全圆径】论曰甲乙丙元形之乙角既是正
角乙子丁乙已丁两角又是正角即子丁己亦必正角然则子丁己乙形必是正角方形而四边等矣即乙巳乙子两边必与丁己丁子圆之两半径等矣此乙已乙子之两边果何术以求之乎依前论乙壬线为三边之半而丙壬即甲未也丙子即丙未也则子壬线即甲丙也于是子壬减乙壬三边之半得乙子即圆之半径若倍数用减三边之全得全圆径
又法曰句股并以减之得全圆径
论曰如前图乙丙句也丙壬与乙巳并即甲乙股也何则以丙壬与甲巳等故也壬子即甲丙也何则以丙壬与甲未等丙子与丙未等故也于是以子壬减壬己句股并得子巳为圆之全径何则以乙子与子丁等乙巳又与乙子等故也
巳上十七题除求方求圆二题余十五题已尽句股之蕴矣然论其题则不止于己上十五题也今反覆推之凡得一百四十四题虽究其归不出于己上十五题之法要亦不可不备使习者得以按题而索之逐类而通之也
勾股较勾股和 句股较句和 句股较股和句较句和 句较句股和 句较股和股较股和 股较句股和 股较句和已上共九题
【句】和和
较较 句较较 股较较
和较 句和较 股和较
较和 句较和 股较和
巳上十则各以 【股】三则配之得三十题
各以 【股和】三则配之得三十题
各以 【股较】三则配之得三十题
又巳上十则 【股】和和为一则以下九则配之得九题较较为一则以下八则配之得八题句较较为一则以下七则配之得七题股较较为一则以下六则配之得六题和较为一则以下五则配之得五题句和较为一则以下四则配之得四题股和较为一则以下三则配之得三题较和为一则以下二则配之得二题句较和为一则以下一则配之得一题
已上共一百四十四题学者按题而索之逐类而通之要不出于前所列之十五题也
又一题【后十四题尽句股之变】
容方与余句求余股与余股求余句因得全句全股法曰方边自乗以余句除之得余股以余股除之得余句各以所得加方边因得全句全股
论曰乙丁方边也自乗得乙壬方
即壬丑矩【论详前十六题】故以己壬【即丙未余】
【句】除之得子壬【即甲丁余股】以子壬除之得己壬因以己壬加壬丁共已丁即句以子壬加壬未共子未即股又法曰以余句除方边【余句小于方邉】得数即用以乗方笾得余股或以方边除余股【余股大于方邉】得数即用以除方边得余句
论曰方边为余句余股连比例之中率以前率余句比中率方边则方边为几倍大即以中率方边比后率余股则余股亦必为几倍大又以后率余股比中率方邉
则方边为几倍小即以中率方边
比前率余句则余句亦必为几倍
小故得数者得其几倍大几倍小之数也大用乗小用除
又二题
余句余股求容方因得全句全股
法曰余句股相乗开方得方边各以余句股加之得全句股
论曰子壬即余股也己壬即余句
也丑壬矩即乙壬方也【论详前十六题】因
以甲丁【余股】丙未【余句】加之得全股【甲乙】全句【乙丙】
又法曰以余句除余股【以小除大】得数开方得中率之比例于是以中率之比例除余股得方边或以中率之比例乗余句亦得方邉
论曰余句余股之于方边为连比例之前后率今以己壬余句比子壬余股得子壬为几倍大即是以己壬线上方比己壬线与子壬线上矩得丑壬矩为几倍大也而丑壬矩又与乙壬方等开方得连比例之中率者以方则边等边等则比例连故也既得连比例之中率则方边可得而知矣
右两题宜附前十六题之后
又三题
句股形句股较求句股
法曰形四倍之另以较自乗相并开方得次依前四题法求句股
论曰甲乙丙形四倍之即丁已甲子午丁丙未子与甲乙丙四形也乙巳为句股较
乙午为较上方四形与一方相并成甲子方开方得甲丙
又法曰形八倍之另以较自乗相并开方得句股和于是和加较折半得股和减较折半得句论曰甲乙丙形八倍之即甲丙丙丁丁己己甲四矩形也乙子为句股较乙午
为较上方四矩形与一方并成丑未方开方得丑壬为句股和
又法曰形倍之以句股较用长濶相差法求之得句句加较得股
论曰甲乙丙句股形倍之得乙丁矩形甲乙股乙丙句已甲较即乙已与乙丙句等丙巳为句上方丁句为句与较矩内形今试商
得乙丙为句乙巳加已甲为股
又四题
句股形句股和求句股
法曰形四倍之另以句股和自乗相减开方得次依前七题法求句股
论曰甲乙丙形四倍之者甲乙丙丙戊丁丁己辛辛壬甲四形并也乙壬为句股和乙巳为和上方内减四形并余甲
辛丁丙方开方得甲丙
又法形八倍之另以句股和自乗相减开方得句股较于是用加和折半为股用减和折半为句
论曰甲乙丙形八倍之者即甲丙丙丁丁辛辛甲四矩形并也午戊为和戊壬为和上方内减四矩形并余子乙未丑
方开方得子乙为句股较
又法曰形倍之以句股和用长濶相和法求之得句句减和得股
论曰甲乙丙句股形倍之得乙巳
矩形甲乙股乙丙句并之为和今试
商得乙丙为句用减和余甲乙即股
又五题
句股形中求从直角【句股相联处】至作垂线【与相交为直角】分元形为两句股形
法曰上方句上方并之内减股上方余半之以除之得数为上作垂线之处于是以所得数与句依句求股法作垂线
论曰甲乙丙元形求从直角作乙午线为甲丙之垂线甲丙也甲丑上方也乙丙句也乙己句上方也
甲乙股也乙辛股上方也夫乙辛方中之子未方乙午
线上方也乙巳方中之丁申方亦
乙午线上方也即两方等矣又乙
辛方中之子辛未磬折形甲丑方
中之午壬方也今于甲丑乙巳两
方中减乙辛方即于两方中减丁申方与午壬方也两方中所存者为申巳丁磬折形午丑壬磬折形矣而申巳丁磬折形又与丑卯方等半之即得午丑矩故以丙丑除之得丙午【若乙辛方与甲丑方并内减乙巳方余半之以除之得甲午同上论按此法不但可施诸句股直角形凡鋭角钝角形俱可用此法求垂线】
又法曰句股相并得数相减得数两得数相乗以除之得数用减余半之得数为上作垂线之处
如图甲乙丙形甲乙股乙丙句相
加得甲丁相减得甲巳甲丁与甲
巳相乗得数以甲丙除之得甲
子用减余丙子半之于午即午防为上作垂线之处一论曰甲丁偕甲已矩内形及乙巳上方形并与甲乙上方形等如图壬丁矩甲丁偕甲巳矩内形也【甲壬与甲巳等】辛甲未磬折形即壬丁矩也【壬未矩与辛丁矩等】未辛方
乙巳上方也并之得甲戊方即甲乙上方
二论丁已甲线贯圜心于乙庚甲线切圜周于庚乙庚甲为直角夫丁甲偕巳甲矩内形与甲庚线上方形等何则乙庚庚甲两线上方形与乙甲线上方等而丁甲
偕巳甲矩内形及乙已上方并亦与
乙甲线上方等【一论之图可见】此两率者每
减一相等之乙庚乙巳两线上方则
甲丁偕甲巳矩内形与甲庚线上方形必等
三论曰丙甲线不贯圜心于乙庚甲
线切圜周于庚乙庚甲直角形乙午
甲亦直角形两形合一乙甲则乙
庚庚甲两线上方并与乙午午甲两线上方并必等又乙午子直角形则乙午午子两线上方并与乙子线上方等夫午甲上方形中原有【一论之图可见】丙甲偕子甲矩内
形及午子上方形今于乙甲上方形
中减乙庚上方形即减去同乙庚之
乙子上方同乙子之乙午午子两线
上方然则所余之丙甲偕子甲矩形与甲庚上方形必等四论曰前甲丁偕甲巳矩内形与庚甲上方等【二论之图】甲丙偕甲子矩内形与庚甲上方亦等【三论之图】则两矩形自
相等而等角防之各两边彼此互相
视何则试引戊子壬己两线相遇于
丑而成甲丑形夫甲戊与甲丑两形
同在戊丑丙己两平行线内等髙则两形之比例若其底甲丙与甲己之比例依显甲壬与甲丑两形之比例亦若其底甲丁与甲子之比例夫甲戊与甲壬两矩形元等则甲戊形与甲丑形即甲壬形与甲丑形也即甲丙与甲己之比例亦即甲丁与甲子之比例也更之则甲丙与甲丁之比例亦若甲己与甲子之比例
于是以甲丙为一率甲丁为二率
甲己为三率二三率相乗一率除
之得四率甲子也既得甲子用减
甲丙余丙子半之于午得午防为上作垂线之处何则试作乙子线与乙丙同为圜之半径即等而成乙丙子两边等角形则午点折丙子之半必是直角【此法不但可施诸句股形凡鋭角钝角形俱可用此法求垂线】
右既得乙午垂线即分甲乙丙原形为甲午乙乙午丙两句股形此两形者自相似亦与元形相似
又六题
句股形中求依一边容方
法曰先依又五题法求形中垂线次以与垂线相乗得数并与垂线为法除之得方边
论曰甲乙丙元形乙丁为垂线求依甲乙作方边如子丑而成子午方形夫甲乙丙元形与己乙午分形相似何则以己午与甲丙平行故也次观己午与未丁等即乙未
与己午并是乙丁垂线也然则乙丁偕甲丙并而与甲丙若乙未偕己午并【即乙丁垂线】而与己午
又法曰垂线自乗并与垂线为法除之得数用减垂线得方边
论曰乙丁偕甲丙并【一率】而与乙丁【二率】若乙未偕己午并【三率即乙丁】而与乙未【四率】于是以乙未减乙丁余未丁即方边【此法不但可施诸句股形凡鋭角钝角形俱可用】
又七题
句股形中求分作两边等三角形二
法曰半之即是两边等之一边
论曰甲乙丙形半于丁于是以丁为心甲丙为界作圜必切乙角得乙丁与
半等因成乙甲丁乙丙丁两形皆两边等三角形也
又八题
斜三角形中求作中垂线分元形为两句股形
法具又五题
又九题
斜三角形中求积
先分别是锐角形或是钝角形【若是正角形法以句股相乗半之即得】法曰大中小三边用小中两边依句股求法求之若求得数小于大边即是鋭角形大则是钝角形
鋭角形求积法曰任取一角依又五题求中垂线【鋭角形求中垂线任取一角皆在形内】分元形为两句股形次以两分形句与股各相乗半之得积
论曰甲乙丙鋭角形先求得乙丁中垂线分为甲丁乙乙丁丙两句股形次以
甲丁与丁乙丁乙与丁丙各相乗得丁戊与丁己两矩形各半之得甲乙丙形之积【或以乙丁因甲丙之半亦得或以甲丙因乙丁之半亦得】钝角形求积法【于钝角至对边作垂线则垂线在形内法同前】于鋭角至对边作垂线则垂线在形外而引对边出形外凑之曰大边上方内减中小两边上方余半之以中边除之得引凑数与小边为股求句得垂线【或以小邉除半数得引凑数与中邉为句求股亦得垂线】既得垂线则与引凑数凑成一小句股形又以垂线与引凑数偕元形之边凑成一大句股形大小两句股形相减得所求
论曰甲乙丙钝角形【乙为钝角】求从丙鋭角作丙丁垂线而引乙丁线以凑之【从甲角作垂线亦在形外兹不备述】夫甲丙上方元包
丙丁与甲丁两边上方今于甲丙上
大方中减乙甲乙丙上两方即是减
丙庚与子午两方为乙丙上方减甲
子方为甲乙上方也而所存者为丁
子子辛两矩形矣半之为子丁一矩
形以中边乙子除之得乙丁为引数
也丙丁乙为小句股形丙丁甲为大
句股形两形相减得甲乙丙斜三角形积
又法曰三边数并而半之以每边数各减之得三较数三较连乗【任以二较相乗得数又以一较乗之】得数又以半数乗之得数开方得积
如后图甲乙丙元形求其积
一图 一论曰壬乙矩形与元形等
论同前十七题所论乙亥矩
形与甲乙丙元形等
二论曰丁心方与乙戊相乗又与乙戊相乗开方与乙
二图 壬矩形等如图子壬二丑壬三相
乗得六为子丑矩形今以子壬二
自乗得四为子卯方即壬寅边以
丑壬三乗之得十二为丑寅矩形又以三乗之得三十六为辰寅矩形即午丑方形故开方得辰午六与子丑
三图 矩形等
三论曰丁心偕戊庚矩形与乙丁相乗其所得数与丁心方偕乙戊相乗所得
数等何则乙丁心形与乙戊庚形相似之形也戊庚与丁心若乙戊与乙丁则戊庚偕丁心矩形【即庚未矩形】与丁心方【即己戊方形】亦若乙戊与乙丁也
四论曰丙丁偕丙戊矩形与丁心偕戊庚矩形等【就一图观之】何则心丁丙形与丙戊庚形相似之形也夫庚乙线平分丁乙甲角庚戊为丙戊之垂线则戊为直角次依丙戊线截取丙卯线作卯庚线为丙卯之垂线则卯为直角此庚乙庚戊庚卯三线必相交于庚防三线既相
交于庚点则丙庚线必平分
卯丙戊角而卯丙戊角又即
己心丁角因得心丁丙形与
丙戊庚形为相似之形也两形既相似则丁心与丁丙若丙戊与戊庚也
解庚乙庚卯庚戊三线必相交于庚点所以然之故庚心乙界作圈 次依甲乙丙形作丙丁辛形 次引乙丁线至癸引辛甲线至壬乙庚线平分丙乙甲角则
庚防必是圈心戊防折乙癸线之
半则戊防必直角 卯防折壬辛
线之半则卯防必直角 乙癸与
乙己等 乙丙辛丙为大边甲丙
丁丙为中边甲壬丁癸即小边
总论曰二论丁心方与乙戊相乗又与乙戊相乗所得数开方与乙壬矩形等夫乙戊半数也亦既得之矣次欲求丁心与乙戊相乗而丁心不可得 三论丁心戊庚矩形与乙丁相乗所得数与丁心方偕乙戊相乗所得数等夫乙丁三较之一也则又得之矣次欲求丁心与戊庚两线而两线又不可得 四论丁丙偕丙戊矩形与丁心偕戊庚矩形等夫丁丙丙戊三较之二也则尽得之矣 今法于四论用丁丙偕丙戊二较相乗于三论用乙丁一较乗之于二论用乙戊半数乗之开方得数与乙壬矩形等
又十题
斜三角形中求容圆
法曰先依又九题求积次取三边数并而半之用除积得员之半径【或置二较连乗数以半数除之得开方亦得圆半径】
论曰先依又九题求得乙壬矩
形为甲乙丙元形积次以乙戊
除之【即三边数之半也】得丁心即圆之半径【若以三边之全除元形之倍亦得圆半径若以三边之全除元形之四倍得圆全径】
又十一题
斜三角形中求容方
法同又六题
又十二题
斜三角形有三和数求三边
法曰三和数相减得三较数各置三较数各以非所较之边加减之各半之其加而半者得大边或中边减而半者得小边或中边
如图戊己庚为三和数【戊为大中两和数己为大小两和数庚为小中两和数】甲为戊庚两和之较乙为己庚两和之较丙为戊己两和之较于是置甲较数以己为非所较之边加而半之得大边减而半之得小边置乙较数以戊为非所较之边加而半之得大边减而
半之得中边置丙较数以庚为非所较之边加而半之得中边减而半之得小边
论曰戊者大中两和数也加减用乙者乙为己庚两和之较庚者小中两和数己者大小两和数此两和数中皆有相等之小数而余为大中两数矣此乙所以爲大中两数之较也余仿此
又十三题
句股测髙【测逺测广测深同法】
法曰先准地平【地平者必令所测地面自所测之处至髙之根如水之平也】次立表与地平为垂线退后立望竿令所测髙表尖竿头叅相直末自竿至髙根量得若干逺然后以表竿差与逺相乗而以表竿相去若干除之加竿长若干得所求之髙如图丙乙髙乙甲逺丁甲竿己戊表己子为表竿差戊甲为表竿相去夫丁子己形与丁辛丙形相似故丁子与己子若丁辛
与丙辛也
又十四题
句股重测髙逺【测广测深同法】
法曰若无髙根之可量者则用重测法谓一次立表竿令表竿与髙叅相直二次立表竿令表竿与髙防相直【两表两竿要各相等又要或前或后立成一直线】然后以表竿之较乗两表相去而以两表竿相去之较除之加表髙若干得所求之髙又以前表竿相去乗两表相去而以两表竿相去之较除之加前表竿相去得所求之逺
如图甲乙髙乙丙逺各不知数用重
表测之 丁子为前表己丙为望竿
子丙为表竿相去甲丁己三防叅相
直午壬为后表丑辛为望竿壬辛为
表竿相去甲午丑三防叅相直丁亥为表竿之较子壬为两表相去未辛为两表竿相去之较己上用以测髙借丁卯【元是表竿相去】为表竿相差借卯己【元是表竿相差】为表竿
相去辰戊亦借为表竿相差戊癸亦借为表竿相去甲辰癸三防亦叅相直丁辰亦借为两表相去与丁午等即庚癸亦为两表竿相去之较与辛未等以上用以测逺解庚癸线与辛未线必等所以然之故
如图甲乙矩内形甲乙为对角线丙丁及戊己两线与
矩形之边为平行而交角线
于庚 次任作辛壬线亦交
角线于庚 次截甲癸线与
甲辛线等作癸子线亦交角
线于庚则子乙线与壬乙线必等
论曰试作午丑及午未两线与甲辛及甲癸相线为平行夫庚甲辛及庚午丑两角形相似之形也则庚甲与庚午若甲辛与午丑依显庚甲与庚午若甲癸与午未然则甲辛与甲癸亦若午丑与午未夫午丑与午未如是则子乙与乙壬亦如是矣
先论甲乙矩形此形甲己为对角线寅卯申亥两线交于角线上之丁防则卯申矩形与亥寅矩形等
次论甲丑矩形此形甲丑为对角
线寅酉房壬两线交于角线之午
点则房酉矩形与寅心矩形等
末总论曰夫房酉矩形与寅心矩
形既等而午井形又与卯申形等即亦与亥寅形等然则房酉矩形中所余之井酉形与寅心矩形中所余之丁心形必等
于是以丁亥表竿相差乗丁午两表相去得丁心矩形即井酉形而以井女两表竿相去之较除之得女酉加酉辛表共女辛即甲乙髙
先论甲己矩形同前
次论甲癸矩形此形甲癸为对角线申氐戊亢两线交于角线之辰防则亢氐矩形与戊申矩形等
末总论曰夫亢氐矩形与戊申矩形既等而辰牛形又与亥寅形等即亦与卯申形等然则亢氐矩形中所余之牛氐形与戊申矩形中所余之丁戊形必等
于是以丁卯表竿相差乗丁辰两表相去得丁戊矩形即牛氐形而以牛危两表竿相去之较除之得危氐加氐癸表竿差共危癸即乙丙逺也
求髙又法 既得危氐线即以亢牛乗之得牛辰形此形即寅亥矩形亦即申卯矩形也故以丁卯除之得丁申髙
求逺又法 既得女酉线即以房井乗之得井午矩形此形即申夘矩形亦即寅亥矩形也故以丁亥除之得丁寅逺
歴算全书卷四十六
钦定四库全书
厯算全书卷四十七
宣城梅文鼎撰
句股阐微卷二
句股积求句股句股积与较较求诸数
第一法
假如句股积【一百二十】较较【十二】
法以积四之得【四百八十】较较自之【一百四十四】两数相减余【三百三十六】折半【一百六十八】为实较较【十二】为法除之得句股较【十四】以加较较【十二】共得【二十六】为【有有句股较即诸数可求】论曰甲乙丙丁合形为自乗大方幂甲小方为句股较幂幂内减句股较幂所余丙乙丁磬折形原与四
句股积等于中又减去乙小方
为较较自乗幂仍余丁丙二
长方并以句股较为其长以
较较为其濶故折半而用其一
为实以较较为法除之得句股较矣【是以濶求长】
第二法
置四句股积【四百八十】与较较自幂【一百四十四】相加得共【六百二十四】折半【三百十二】为实较较【十二】为法除之得【二十六】为内减去较【十二】得余【十四】为句股较
论曰乙丙丁磬折形原与四句股积等今加一小方形如己为较自乗幂与乙等又丁丙二长方原相等于是合丁己为一长方合乙丙为一长方必亦相等矣【并以
较较为濶以为长】故折半而用其一
为实以较较为法除之即得
矣【亦是以濶求长】
第三法
置四句股积【四百八十】为实较较【十二】为法除之得【四十】为较和以较较【十二】加较和四十得【五十二】折半【二十六】为以较较【十二】减较和【四十】得【二十八】折半【十四】为句股较于前图乙丙丁磬折形即四句股积移丁长方置于戊
为乙丙戊长方其长如
较和其阔如较较故以
较较除之得较和【若以
较和除之亦得较较】
又简法
置句股积【一百二十】为实以较较【十二】半之得【六】为法除之得【二十】为半较和以半较较【六】加半较和【二十】得【二十六】为又以半较【六】减半和【二十】得【十四】为句股较
论曰长方形濶【十二】如较较长【四十】如较和其积如四
句股今只用一句股积是四
之一也积四之一者其边必
半观图自明
句股积与较和求诸数
第一法
假如句股积【一百二十】较和【四十】
法以积四之得四百八十较和自之得【一千六百】两数相减余【一千一百二十】折半得【五百六十】为实较和【四十】为法除之得【十四】为句股较以减较和得【二十六】为自乗【六百七十六】加四句股积【四百八十】得【一千一百五十六】平方开之得【三十四】为句股和以与句股较【十四】相加得【四十八】折半【二十四】为股又相减得【二十】折半得【一十】为句
句【一十】 股【二十四】 【二十六】
句股和【三十四】 句股较【十四】 较和【四十】
较较【十二】
论曰总方为较和【四十】自乗
之幂内分甲戊己方为自
乗幂乙小方为句股较自乗
幂于幂内减去戊己磬折
形即四句股积则所余者甲
小方即句股较幂与乙方等以甲小方合丁长方即与乙丙长方等【以丁丙小长方原相等故】此二长方并以句股较【十四】为濶以较和为长【四十】故折半而用其一为实较和【四十】为法除之即得句股较【是为以长求濶】
第二法
较和自乗【一千六百】与四句股积【四百八十】两数相加【二千○八十】折半【一千○四十】为实较和【四十】为法除之得【二十六】为以减较和得【十四】为句股较余如前【观后图自明】
第三法
置四句股积【四百八十】为实较和【四十】为法除之得【十二】为较较余同较较第三法
又简法
句股积【一百二十】为实较和【四十】半之得【二十】为法除之得【六】为较较之半余并同较较简法
论曰乙丁丙甲戊己合形为
较和【四十】自乗之大方外加一庚
辛长方为四句股积与戊己磬
折形等于是中分之为两长方
【乙丁庚辛合为左长方丙甲己戊合为右长方】并以为濶【二十六】较和【四十】为长故折半为实以较和除之得【亦为以长求濶】借此图可解第三法之理何则庚辛长方形既为四句股积而其濶【十二】如较较其长【四十】如较和是【十二】与【四十】相乗之积也故以较较除之得较和若以较和除之即复得较较
若庚辛长方横直皆均剖之成四小长方则其濶皆【六】加半较其长【二十】如半和而其积皆【一百二十】为一句股积矣此又简法之理也
句股积与和较求诸数
第一法
假如句股积【六千七百五十】和较【六十】
法以和较自之得【三千六百】与四句股积【二万七千】相减余【二万三千四百】折半【一万一千七百】为实和较【六十】为法除之得【一百九十五】为加较【六十】得句股和【二百五十五】幂内减四句股积开方得句股较以加句股和折半得股以减句股和折半得句
句【七十五】 股【一百八十】 【一百九十五】句股和【二百五十五】 句股较【百○五】 和和【四百五十】较和【三百】 和较【六十】 较较【九十】第二法
以和较自乗【三千六百】与四句股积【二万七千】相加得【三万○六百】折半【一万五千三百】为实和较【六十】为法除之得【二百五十五】为句股和内减和较【六十】得【一百九十五】为
论曰丁丙方为句股和自乗方幂
内减甲戊方为自乗幂其余丁
戊丙磬折形四句股积也内减戊
乙小方为和较自乗积则所余
丁戊长方与戊丙长方等而并以
为长和较为濶故以和较除之得此第一法减四句股积之理也
若于丁戊丙乙磬折形外加一己丙小方与戊乙等乃并之为庚戊长方与辛乙等并以句股和为长和较为濶此第二法加四积之理也【两法并以濶求长】
第三法
置四句股积【二万七千】为实和较【六十】除之得【四百五十】为和和以与和较相加折半为句股和又相减折半为此如有句股积有容圆径而求句股乃还元之法也
论曰前图中辛乙长方并戊丙
长方是四句股积联之为辛丙
长方则其濶丁辛和较也其长丁丙和和也
又简法
置句股积【六千七百五十】为实半和较【三十】除之得【二百二十五】为半和和以与半和较相加得二百五十五为句股和又相减得【一百九十五】为 此如有容圆半径以除句股积而得半和和句股积与和和求诸数
第一法
假如句股积【六千七百五十】和和【四百五十】
法以积四之得【二万七千】和和自之得【二十○万二千五百】两数相减余【十七万五千五百】折半【八万七千七百五十】为实和和【四百五十】为法除之得【一百九十五】为以减和和得【二百五十五】为句股和
第二法
以四句股积与和和幂两数相加得【二十二万九千五百】折半得【十一万四千七百五十】为实和和【四百五十】为法除之得【二百五十五】为句股和以减和和得【一百九十五】为
论曰甲乙大方和和自乗也内分甲丁方自乗也
与丁丙方等丁乙方句股和
自乗也于丁乙内减去丁丙
幂则所余者四句股积即
壬乙丙戊二小长方也而己
辛小长方与丙戊等则己乙
长方亦四句股积也今于甲乙大方内减去己乙则所余者甲戊己戊二长方并以为濶和和为长故以和和除之而得此第一法减四句股积之理也是为以长求濶
又论曰若于甲乙大方外増一甲庚长方与己乙等而中分之于癸戊则癸乙与癸庚两长方等并以句股和为濶和和为长故以和和除之而先得句股和此苐二法加四句股积之理也亦是以长求濶
第三法
置四句股积【二万七千】为实和和【四百五十】除之得和较【六十】此如并句股除四倍积而得容员径
又简法
置句股积【六千七百五十】为实半和和【二百二十五】除之得半和较【三十】此如合半句半股半除积得容员半径欲明加减用四句股之理当观古图
甲乙丙句股形 甲丙句六
甲乙股八 乙丙十
甲丁句股和十四 壬辛句
股较二甲己大方句股和自
乗幂也其积一百九十六 丙戊次方自乗幂也其积一百 壬庚小方句股较自乗幂也其积四 甲己和幂内减幂所余者四句股也 幂内减较幂所余者亦四句股也 句股之积并二十四
甲丁句股和十四癸丁十子丁句股较二甲丙方爲句股和自乗幂【一百九十六】内减癸辛幂【一百】余【九十六】爲甲己丙磬折形【亦卽四句股积】内分甲己直形移置于丙戊成乙戊长方卽爲【和较乗和和】又壬丁小方爲句股较自乗其幂四以减幂一百余九十六爲癸壬辛巳磬折形【亦卽
四句股积】内分癸壬直
形移置于辛庚成
己庚长方卽爲
较较乗较和
假如方环田有积有田之濶问内外方各若干
法以积四之一爲实田濶除之得数爲内外二方半和与田濶相加得外方又相减得内方【葢田濶卽如半较】若但知外方及内小方及环田积法即并大小方边为和以除积得数为较较与和相加折半为外周大方又相减折半为小方以两方之较折半为环田濶
若方田内有方墩法同或方墩不居正中其法亦同但只可求大小方边不能知濶
总论曰较较乗较和之积与和较乗和和之积等为四句股乃立法之根也而其理皆具古图中学者所宜深玩
又如有辛庚壬圆池不知其径法于乙作甲乙直线切员池于庚又乙丙横线切圆池于壬乙为正方角又自
丙望甲作斜线切员池于辛
乃自丙取乙丙之度截斜线
于丁又自甲取甲乙之度截
斜线于戊末但量丁戊有若
干尺即圆池径
解曰此即句股容员法也丙乙句截甲丙于丁则丁甲为句较甲乙股截于戊则戊丙为股较而丁戊为和较故即为圆径 其句股不必问其丈尺但取三直线并切员而乙为方角足矣故为测员简法【凡城堢墩台锥塔员柱之类形正员者并同一法也】
句股容方【系鲍燕翌法】
句股形引股线法
即依正角作方形于形外 又即引小形成大形甲乙丙句股形今欲引甲乙股至丁甲丙至戊而令
乙丁与戊丁等
法曰以乙丙分甲乙得数减一余
用归甲乙得之
解曰乙丙与甲乙原若丁戊与甲
丁故以乙丙分甲乙与以丁戊分甲丁所得之分数等然则减一者虽似于甲乙分数内减乙丙之一分实于甲丁分数内减丁戊之一分也【即乙丁之一分】故以减余分甲乙而得
【勿庵又法句股相乗为实句股较为法除之亦即得所引乙丁与乙戊同数】
句股形截股法
即依正角作方形于形内 又即截大形成小形甲丁戊句股形内今欲截甲丁股于乙甲戊于丙而
令乙丁与乙丙等
法曰以丁戊分甲丁得数加一共
用归甲丁得之 【勿庵又法句股相乗为实句股
和为法除之亦即得所截乙丁与丁丙同数即句股容方法】
解曰丁戊与甲丁原若乙丙与甲乙故以丁戊分甲丁与以乙丙分甲乙所得之分数等然则加一者虽似于甲丁分数外加丁戊之一分实于甲乙分数外加乙丙之一分也【即乙丁之一分】故以加共分甲丁而得
若欲令丙戊与丁戊等或欲令乙丙与丙戊等依法推之按后一法即句股容方也原法简易今鲍燕翼先生所设殊新要其理亦相通耳【勿庵补例】
设甲乙股十六 乙丙句八 今引甲乙股长出至丁
而令引出之乙丁股分与所当之丁
戊句等问若干答曰乙丁十六
法以乙丙句【八】甲乙股【十六】相乗得【一百】
【廿八】为实句股相减得较【八】为法除之得乙丁引出一十六与丁戊句相等 若如鲍法以句【八】除股【十六】得【二】内减去一仍余一用为法以除股【十六】仍得【十六】为乙丁又设甲乙股【四十八】乙丙句【十二】依法引出乙丁股【十六】与丁戊句等
法以句十二乗股【四十八】得积【五百
七十六】为实 句减股得较【三十六】为
法除之得【十六】为乙丁
或以句【十二】除股【四十八】得数【四】内减【一】余【三】为法以除股【四十八】亦得【十六】为乙丁
又设甲乙股【六】乙丙句【四】依法引出乙丁股【十二】与丁戊句等法以句乗股得【二十四】为实 句股较【二】为法除之得【十二】为乙丁
或以句【四】除股【六】得【一半】内减一余【半】为法以除股【六】
亦得【十二】为乙丁
解曰半为除法则得倍数此畸零除
法也详别卷
又设甲乙股【三十】乙丙句【十二】依法引出乙丁股【二十】与丁戊句等
法以句乗股得【三百六十】为实句股较【十八】为法除之得乙丁【二十】
或以句【十二】除股【三十】得【二半】内减
一余【一半】为法以除股【三十】亦得乙
丁【二十】
解两法相同所以然之故 葢此是依句股正角【即乙角】作正方形于形之外也本法以句较为法除句股形倍积【即句股相乗】今不用句股较之本数而用其除过之句股较为法【以句除股则股内所原带句数及句股较数并为句所除而减去其一即减去除过之句也用减余为法即是用其除过之句股较为法也】故亦不用句股形之倍积而用其除过之倍积为实【倍即是句股相乗之数若以句除之必仍得股今径以股数受除即是用其除过之倍积为实也】法实并为除过之数则其理相同而得数亦同矣
以上补第一条之例
设甲丁戊形甲丁股【廿八】丁戊句【廿一】甲戊【三十五】欲截甲
丁股于乙截甲戊于丙而令所截
之乙丁与乙丙等问其数若干
答曰乙丁一十二
法以甲丁股【二十八】丁戊句【二十一】相乗得【五百八十八】为实并句股得和【四十九】为法除之得【一十二】为所截乙丁与乙丙截句等
如鲍法以句【二十一】除股【二十八】得一【又三之一】又外加一数共二【又三之一】为法【通作七】用以除股二十八【通作八十四】亦得【十二】为乙丁截股
设甲丁股【三百四十五】丁戊句【一百八十四】甲戊【三百九十一】欲截乙丁与乙丙等该若干 答曰一百二十
法以句【一百八十四】股【三百四十五】相乗得【六万三千四百八十】为实句股和【五百二十九】为法除之得所截乙丁【一百二十】与截句乙丙等
或以句【一百八十四】除股【三百四十五】得一【又八之七】又外加一共二【又八之七】通作【二十三】为法以股【三百四十五】通作【二千七百六十】为实法除实亦得【一百二十】为乙丁截股
解两法相同所以然之故 葢此是依句股形正角作方形于内【即句股容方】也本法以句股和为法除句股形倍积【即句股相乗】今不用句股和本数而用其除过之句股和为法【股被句除既变为除过之股而得数中之一其本数皆与句同今于得数又加一是又加一除过之句合之则共为除过之句股和矣】故即用股为实以当除过之倍积法与实并为除过之数则其理相同而得数亦同矣以上补第二条之例
按数度衍有在逺测正方形之算立破句名色不穏图亦不真今于此第一例中生二法补之
分角线至对边【亦系鲍法】
甲乙丙句股形 今平分乙方角作乙丁线至对边欲知丁防之所在
法曰先依句股求方求得己丁戊乙正方形
次用丁戊丙形或丁己甲形求得丁丙或甲丁即得
甲乙丙句股形 今平分乙鋭角作线至甲丙股欲知丁防所在
法以甲丙股乙丙句相乗得丙庚长方亦即乙辛长斜
方其辛戊小长斜方又即戊壬长斜
方取甲子癸小句股形补壬寅丑虚
句股形成甲寅长方此即句股相乗
实以句和除之也【甲乙为乙壬即句】得壬寅边
丙甲辛句股形中【即甲乙丙原设形】作甲卯垂线至丙辛【法另具】于是一率甲卯二率甲辛三率甲子四率甲癸【即丁己】成丁己乙戊四斜方形
次用丁戊丙形或丁己甲形依句求股求得丁丙或丁甲即得
按上鲍法此寅甲长方为句和除句股形倍积所得壬寅边必小于句股容方之边其内容丁己乙戊四斜方形之丁己边又必大于句股容方之边二者之间可以得容方边矣【容方邉除倍积得句股和以减句和得股较即其他可知】
求丁己线法 一率甲丙股 二率甲乙 三率壬寅 四率丁己【即壬丑】
甲乙丙鋭角形 求分乙角作线至甲丙边之丁防
法于形中求得辰丙垂线【丙辛甲形即甲乙丙
形故其垂线等】用丙长线乗乙丙所得即辛
乙长斜方形自此以下至成丁己乙
戊四斜方【并同前法】
次用比例法 一率甲乙 二率甲丙 三率丁戊四率得丁丙
或一率甲乙 二率甲丙 三率甲己 四率甲丁甲乙丙钝角形 法先从形外求得甲辰外垂线 引乙丙线与之相遇 次以甲辰垂线乗乙丙得乙辛长
斜方形 余同前法
甲乙丙钝角形 甲辰垂线在形外
与右图同法
鼎按若依几何六卷三题法甚防
句股容员
甲乙丙句股形 求容员径卯戌【即丁辛】
法于甲丙上截丁丙如句【乙丙】又截甲辛如股【乙甲】因得丁辛即容员之径
试依所截丁丙为句作戊丁丙句股形【自丁作之垂线至戊又引乙丙句遇于戊即成此形】又依所截甲辛为股作甲辛氐句股形【自辛作之垂线长出至氐引甲乙股遇于氐】又作戊戌房句股形【引戊丁股至房如之度自房作垂线至戌即成】乃自甲自戊各为分角线遇于己成十字则己即容员心也又引十字线透出而以甲己为度截之于癸于女乃自癸作线与丙戊平行至辰又自女作
辛氐及房戊之垂线穿而
过之与癸辰线遇于辰又
引氐辛线至癸引房戌线
至女得女辰女房癸辰癸
氐四线皆如甲丙女卯
女亢癸丑癸未四线皆如
甲乙股卯辰房亢丑氐辰未四线皆如乙丙句又成女卯辰女亢房癸未辰癸丑氐四句股形共八句股形纵横相叠并以容员心己防为心此同心八句股形各线相交成正方形二其一卯戌丑乙形依原形之句股而立其乙方角即原形之所有也其一丁辛亢未形依原形之而立即所谓和较也此两形者皆相等而其方边并与容员径等即容员径上之方幂也
然则何以又为和较试即以原论之甲丙上所截之丁丙即句也甲辛即股也句股相并即重叠此丁辛一边是句股和多于之数古人以和较为容员径葢谓此也八句股形即有相等之八每一上各有此重叠之线以成两四方形相等之八边可以观矣【因鲍图改作之彼原有八角形外小句股形辏成一等面八角形之论但图欠明显】
相似两句股并求简法
假如癸辛己大形癸壬乙小形其癸角等则为相似之两句股形今欲求两形之两句合线【两句者一为己辛大句一为壬乙小句即辛甲也则己甲为两句合线】
法以两【一癸己大一癸乙小】并之为三率以癸角之正【两癸
角等只用其一】为二率二三相
乗为实半径全数为法
实如法而一得四率己
甲即【己辛壬乙】两句之合
数
何以知之曰试引癸己
至丁截己丁如癸乙则丁癸即两合数也乃以癸角之正乗之半径【全】除之即得丁丙而丁戊即壬乙【以己丁即癸乙也亦即甲辛】戊丙即己辛【同在直线限内也】则所得丁丙亦即己甲矣
有句股和有求句求股【量法】乙甲句股和 丙甲
原法以甲为心作乙己卯
象限 又以丙甲半之
于丁以丁为心作甲戊丙
半圆
次于丙戊半员上任以辛为心丙为界作丙己小员屡试之令小员正切象限如己乃作己辛甲及辛丙二线则辛丙为句辛甲为股如所求按此法不误但己防正切处难真今别立法求己防
法曰自丁防作垂线分半圆于戊以戊为心用丙为界作丙己庚丑甲全员全员与象限相割于己从己向甲作直线割半员于辛乃作辛丙为句即辛甲为股合问如此则径得辛防不用屡试得数既易且真确矣论曰凡平员内作两通至员径两端必为句股而员径常为今既以丙甲为半员径则其辛丙与辛甲两通必句与股也而己辛甲线与乙甲等即句股和也今以辛为心作小员而其边正切己则己辛与丙辛等为小员之半径即等为句线矣于己甲句股和内截己辛为句则辛甲必为股故此法不误也
又论曰半员内所容句股形以半方形为最大【即甲戊丙也其余皆半长方形之句股故小】其句股和亦最大【丙戊句甲戊股相等其和甲戊庚为最大其余股长者句反甚小故其和皆小于甲戊庚】即上方幂之斜径也【甲未庚丙为上平方幂甲戊庚为其斜径】以此为象限之半径【如辰庚亥象限其半径辰甲及亥甲并与庚戊甲等】则能容上平方【如甲未庚丙平方必在辰庚亥象限内】又戊心所作平方外切之平圆亦能容上平方【此员以戊为心以平方四角为界其全径甲戊庚即平方之斜径也】三者相切于庚防惟相切不相割其余句股和并小【如乙甲和必小于辰丙】不能包平方之角即不能外切平员而与之相割矣【如乙甲和为半径作乙己卯象限不能包庚防即与平员相割如己】其自庚至丙并可为相割之己防而四十五度之句股具焉【八线表所列之句股只四十五度互相为正余句为正股即余也分言正则初度小而九十度最大也若合正余为和数则初度与九十度皆最小惟四十五度最大】己足以尽句股之变态矣【若过庚向末亦四十五度己防至此其和数反小而与前四十五度为正余】句股和之最大者以略小于上斜线而止【凡句股有和有较皆长方形之半非正半方也若半方形则有和无较可无用算非句股所设】其最小者以稍大于线而止【若同线即无句股】无有不割平圆故可以己防取之也
又论曰以方斜为半径作象限则能容平方以方斜为半径作半圆则能容方斜上平圆【如庚己丙甲未平圆其径甲戊庚方斜是即方斜上之平圆也若以甲戊庚半径作大半圆即能容之】凡半圆内所容之圆度每以两度当外周半圆之一度何则论度必以角惟在心之角一度为一度若在边之角则两度为一度【如辰庚亥半圆从甲心出两线一至庚一至辰作辰甲庚角其度辰庚四十五度是一度为一度也若庚己丙甲未圆从甲边出两线一遇戊至庚一至丙作庚甲丙角其度庚己丙象限只作四十五度是两度当一度以同用甲角故也】凖此论之则上半圆所作之戊甲丙角亦必四十五度矣【既同用甲角则戊辛丙象限亦两度当一度】若是则庚己丙之度与
戊辛丙等【并同用甲角以庚辰为度故也】而
己防所割之己丙弧及辛丙
弧亦必等度矣【己丙为方外切员之度辛
丙为方内切员之度大小不同而同用甲角以己乙为其
度角等者度亦等】
又引辛丙至寅则寅丑甲与辛戊甲两弧亦必等度【以同用丙角故也】而同为甲角之余【丙角原为甲角之余乃甲角减象限是以己甲乙减象限得己甲卯角与辛丙甲角等也其度则两度为一度乃甲角之倍度减半周是以寅庚减半周得寅丑甲以丙辛弧减半周得辛戊甲也】又己庚丑未弧原为己丙减半周之余即与寅丑甲等于此两弧内各减寅丑未则己庚寅与未癸甲亦等于是作己寅线与未甲等亦即与丙甲等而寅己丙与甲丙己又等【于寅己及甲己各加一己丙】则丙辛寅及己辛甲两直线亦等【皆句股和也】两和线相交于辛则交角等【皆十字正角】
又作己丙线成己辛丙三角形而己角丙角等【己甲丙三角形与己寅丙等则对丙甲之己角对己寅之丙角亦等】则角所对己辛边丙辛边亦等矣 凖上论己辛与丙辛必等故用己防以求辛防而和数中句股可分也
又论曰凡句股和所作象限与斜方上平员相割有二防其一为己其一为丑自丑作直线至甲心【象限心也】割半员于壬作丙壬线即成丙壬甲句股形与甲辛丙等【丑甲丙角为丙甲壬角之余与壬丙甲角等而其度丑卯与己乙等是丙甲辛角与壬丙甲等也辛壬又皆正角又同以丙甲为是两句股形等也】凖此论之凡半员内所作句股皆两两相似【句股之正角必负员周亦两两相对如辛防在戊丙象限内即有壬防在戊甲象限与之相对皆与象限上己防丑相应其所作句股形亦两相似】故四十五度能尽句股之变也【戊丙与戊甲两象限并两度当一度其真度在庚辰及庚亥两半象限中故皆四十五度】试以壬为心丑为界作员界必过丙是丙壬股即丑壬而丑甲为和也丑壬股大于戊丙而丑甲和小于庚甲以是知和数之大至庚甲而极也
凖上论又足以证己庚丑癸员能尽割员句股之理
句股和较
与句股较【相和即 加句即 减股即 内减存较和 股和 句较 句股较相较即 减句即 加股即 用减存较较 股较 句和 句股较】
与句股和【相和即 减即 减股即 减句即和和 句股和 句和 股和相较即 加句 加股 加句较股和较 较即股 较即句 较即】
与句较相和 【加句即 减句即两 减即两 句较 句较】
相较【即句】
句与股较【相和即 加句股 减股 加句较减句较和 较即 较即句 股较即股相较即 加句股较股 加股 加句股较股句较较 较即股 较即句 较较即】
句与股和【相和即 减即 减股即 减句即句和和 句股和 句和 股和
相较即 减股即 减即 加句即句和较 句较 句股较 股和】
句与句股较【相和即股】
相较 【加句股 加两句股较即句 较即股】
句与句股和相和
相较【即 减股即 加股即两股 两句 句股和】
句与句较相和【即】
相较 【加句 加两句较即句 较即】
句与句和相和
相较【即】
句股较句较【相较即股较】 句股较股较【相较即句和内减两句又两股较
相和即股 相和即和内减两句 句较】
句较股较【相较即句股较】
【相和即两内减一句一股】
句股和句和【相较即股较】 句股和股和【相较即句较
相和即两句 相和即两股一股一 一句一】
句和股和【相较即句股较】
【相和即两一句一股】
句股较与【句股】和【相和即两股】 句股较与【句】和【相和即股和】 句股较与股和相和
【相较即 相较即两句 句和】
句较句和【相和即两】 句较与【句股】和【相和即股和】 句较与股和相和
【相较即两句】 相较 【相较即句股和】
和较和和【相和半之为句股和】 和较较和【相和半之为股
相较半 相较半之之为 为句较】
和较较较【相和半之为句】 和较句较和【相和半之为句
相较半之 相较半之为股较 为股较】
和较句和较【相和半之为句】 和较句较较【相和半之仍为和较
相较半之为股较】 相较即减尽
和和较和【相和半之为股和】 和和较较【相和半之为句和
相较半之为句】 相较【半之为股】
和和句较和【相和半之为句和】 和和句和较【相和半之即股和
相较半之为股】 相较【半之为句】
和和句较较【相和半之即句股和】 较和较较【相和半之为
相较半 相较半之之为 为句股较】
较和句较和【相和半之为】 较和句和较【相和半之为股与句较或与句股较】
【相较半之为句股较】 相较恰尽
较和句较较【相和半之为股】 较较句较和【相和半之为句与股较
相较半之为句较】 相较恰尽
较较句和较【相和半之为】 较较句较较【相和半之为句
相较半之 相较半之为句股较 为股较】
句较和句和较【相和半之为】 句较和句较较【相和半之为句
相较半之 相较半之为句股较 为股较】
句和较句较较【相和半之为股】
【相较半之为句较】