历算全书厯算全书卷四十七
厯算全书卷四十七
钦定四库全书
厯算全书卷四十八
宣城梅文鼎撰
句股阐微卷三
句股法解几何原本之根
句股羃与羃相等图
甲乙丙句股形 乙辛大方为羃 羃内兼有句股二羃
论曰试于羃作对角之乙
子线与甲丙股平行而等又
作丙丁对角线与甲乙句平
行与乙子线遇于子成十字
正角则丙子与甲乙句相等
成乙子丙句股形与甲乙丙句股形等又作辛癸及庚戊两线皆与丙丁等亦与乙子等而皆与甲丙股等又辛丁及癸庚及戊乙皆与丙子等即皆与甲乙句等则幂内所作四句股形皆与原设句股形等于是以丙丁辛形移作乙壬庚以癸庚辛形移作甲乙丙成甲丙
丁癸庚壬磬折形末引丁癸
至巳截成大小二方形则丙
巳方形即股幂癸壬小方即
句幂也
若先有丙巳股幂癸壬句幂
则联为磬折形而移乙壬庚
句股补于丙丁辛之位移甲乙丙句股补于癸庚辛之位即复成乙辛大方而为幂
又法
甲乙丙句股形 乙丙 其幂乙戊丁丙
甲丙股其幂甲壬辛丙 甲乙句其幂乙庚癸甲法于原形之甲正角作十字线分幂为两长方【一为丑子丁丙】凖股幂【一为丑子戊乙】凖句幂又引之至己又自庚癸自壬辛并引之至巳而成方角
次移甲丑丙句股补巳子丁虚形又移巳壬甲句股补丁辛丙虚形即成股幂而与丑子丁丙长方等积又移甲丑乙句股补己子戊虚形再移己卯戊句股补戊癸寅虚形又移戊卯甲癸形补癸寅乙庚虚形即成句幂而与丑子戊乙等积
解几何二卷第五题 第六题
甲丙为 丁丙为句
丁甲句和 乙丁句
较【丁甲同丁壬甲癸并同】
庚辛戊己幂也 己句
幂也 戊庚辛较乗和之
长方幂也
移戊补戊移庚辛补庚辛而幂内净多一己形即句幂也故幂内有和较相乗之长方又有句幂也论曰凡大小方形相减则其余必为两形边和较相乗之长方是故己形者句自乗之小方也戊庚辛句较乗句和之长方也合之成戊庚辛巳形即自乗之大方矣
几何二卷第五题以倍为甲乙原线以甲丙为平分之线以甲丁和乙丁较为任分之两线以丁丙句为分内线其理一也
第六题以子丁倍句为原线以丁丙句为平分线以句较乙丁【即子甲】为引増线以丁甲句和为全线其理亦同
以数明之 甲丙八 丁丙句五 乙丁较三 丁甲和十三 和较相乗三十九 句自乗二十五 以句幂加和较长方共六十四与甲丙幂等
又论曰用股和较亦同
解几何二卷第七题
甲丁股幂【即甲乙元线上方】子戊
句幂【即甲乙方内所作已辛方乃任分线甲丙
上方也】并之成癸寅幂【即所
谓两直角方形并也】
幂内有戊甲股【即甲乙原线】戊癸句【即任分之甲丙线】相乗长
方形二【即己甲长方及丁辛长方亦即甲乙偕甲丙矩形二也】及句股较乙丙上方一【即壬丙小方亦即所谓分余线上方也】
何以明之曰试于戊癸线引长至丑令丑癸如已丁较【即乙丙】遂作子丑小长方【与丁庚等】以益亥癸成亥丑长方【与丁辛等亦与已甲等】
次于癸寅内作甲酉寅辰午未癸卯四线皆与甲乙股等 自然有甲卯寅酉午辰癸未四线皆与戊癸句等又自有未卯卯酉等句股较与乙丙较等 即显
幂内有句股形四较幂一也
试于鼏内移午辰寅句股补癸戊甲之位成戊卯长方【与己甲等】又移癸未午句股补甲戌寅之位成戌酉长方【与亥丑等】而较幂未酉小方元与壬丙等又子丑小长方元与丁庚等
合而观之岂非丁甲股幂及子戊句幂并即与己甲亥丑两长方及壬丙小方等积乎
解几何二卷第八题
庚甲乙句股形 取丁乙如
庚甲句则丁甲为句股和
和之幂为丁己大方【即元线甲乙偕
初分线上直角方也】于大方周线取戊
丑己子皆与庚甲句等即丑
丁戊子己庚皆与甲乙股等【即甲乙元线也句线则初分线】
次作丑癸庚辛乙壬子卯四线皆与外周四股线平行而等
自有丑壬子癸庚卯乙辛四线皆与外周四句线平行而等
又有壬癸癸卯卯辛辛壬四句股较线自相等【即分余线也】丁已和幂内有长方形四皆句乗股之积【即元线偕初分线矩内形四也】又有句股较自乗幂一即分余线上方形也
解几何二卷第九题
甲丙为股 丁丙为句
丁甲句股和 乙丁句股
较 壬庚为句幂 辛丙
为股幂 丑丁较幂 丁
癸和幂 戊巳线上方为
句幂之倍 戊甲上方为
斜线上方倍于元方图 股幂之倍并和较幂倍大于句幂股幂之并古法倍幂内减句股和幂开方得较若减较幂亦开方得和即其理也
论曰己丁较上方与丁
甲和上方并之即己甲
上方也戊巳线上方与
戊甲线上方并亦即巳
甲上方也 而戊巳为句幂斜线戊甲为股幂斜线凡斜线上方形倍于原方故较幂并和幂亦倍大于句幂股幂之并也而句幂股幂并之即幂古人所以用倍幂也
此第十题与前题同法 甲
丙即句 丁丙即股 丁甲
全线即和 丁乙引増线即
较
准前论丁庚【即丁乙】较上方幂与丁甲和上方幂并成庚甲线上幂而庚甲幂内原兼有丙丁股【即巳戊亦即己庚】及丙甲句二幂【己壬为股幂辛丙为句幂】之倍数【庚戊为股斜线其幂必倍于股幂戊甲为句斜线其幂必倍于句幂】故庚甲幂内能兼戊庚及戊甲二幂
丙丙线皆也丙丙方幂
也甲丙之长者皆股也【亦即丙丁
丁】甲丙之短者皆句也【亦即丙丁】丁丁线句股较也丁丁小方
较幂也甲丙甲句股和也甲甲大方和幂也
丁甲长方皆句股相乗即倍句股形积也
合而观之则幂内有句股积四及较幂一也和幂内有句股积八及较幂一也 若倍幂则有句股积八及较幂二也故以和幂减倍幂得较幂 若以较幂减之亦得和幂矣
以句股法解理分中末线之根
即几何二卷第十一题 六卷第三十题四卷第十第十一题
古法句较 癸庚 其鼏庚乙 丙癸
乘句和开 句 其鼏丙戊
方得股之图 引庚甲至壬使甲壬如丙
癸句则庚壬为句和丙庚
原为句较 以较乗和成
丙壬长方 长方内截甲丁
小长方与戊辛等 其余庚辛
合而观之是鼏内兼有句较乗和之积及句鼏也
夫鼏内原有句股二鼏而今以句较乗和之积可代股鼏是句较乗和即同股鼏也
句和及股 用法
及句较为 有句和 有句较
连比例图 求股法以较乗和开方得股
或有股有句和求句求
法以股自乗为实以句
和除之得较以较减和
半之得句句加较得若
先有较以除股鼏亦得和矣
如图 丙戊丁句股形 丙丁与丁乙等【亦与丁庚等】丁戊句 亥戊为倍句 乙戊为句较与庚亥等戊庚为句和与亥乙等
亥巳为句股和乗句较之
积与戊癸等
丙戊股 其方鼏甲丙
准前论甲丙方与亥巳长方
等积【戊癸亦同】则庚戊和与丙戊股若丙戊股与戊乙较也一 句和 庚戊
二 股 丙戊
三 股 丙戊
四 句较 戊乙
以戊乙较减亥乙和余亥戊倍句折半为句【丁戊或丁亥】或戊乙较与丙戊股若丙戊股与庚戊和也
一 句股较 戊乙
二 股 丙戊
三 股 丙戊
四 句股和 庚戊
又论曰以二图合观之凡倍句加句较即句和以倍句减句和余即句较
此不论句小股大如前图或句大股小如后图并同此可以明倍句与句较必为句和之两分线故以句和为全线则其内兼有倍句及句较之两线矣但倍句有时而大于较有时而小于较故不能自为
连比例而必借股以通之
今于句和全线内取倍句如股则先以股线为和较之中率者今以如股之倍句当之而倍句原系句和全线之大分于是和与倍句之比例若倍句与较亦即为全与大分若大分与小分此理分中末线所由出也下文详之
丙戊线上取理分中末线
先以丙戊线命为股 以丙戊折半成丁戊命为句取丙丁与丁乙等则戊乙为句较
变股为倍句成 亥戊倍句与丙戊股等 以理分中末线图 加较成亥乙即句和
亥巳为和较相乗积与丙亥
股鼏等【丙亥为丙戊股之方即为亥戊倍句之方】准前论亥乙和与丙戊股
若丙戊股与戊乙较
今亥戊即丙戊则又为亥乙
和与亥戊倍句若亥戊倍句与戊乙较也
夫亥乙者全线也亥戊其大分戊乙其小分也合之则是全线与其大分若大分与其小分
论曰此以丙戊股线为理分中末之大分而求得其全线亥乙与其小分戊乙也而大分与小分之比例原若
理分中末线 全线与大分故即可以丙戊
比例图 大分为全线而以小分戊子
【即戊乙也】为大分则子丙自为小
分矣
以亥乙为全线【亥戊大分即丙戊亦即乙】
【甲 戊乙小分即戊子】
亥乙与乙甲【即亥戊大分】若亥戊与子戊也【即亥戊与戊乙】
理分中末线 此用亥乙甲大句股比亥戊
相生不穷图 子小句股
若丙戊为全线
则又戊子为大分【亦即子巳】子丙
为小分【亦即巳甲】为亥戊与戊子
【即丙戊与戊子】若子巳与巳甲也【即子戊与子丙】
此用亥戊子大句股比子巳甲小句股
亥戊与戊乙若戊子与子丙又相视之理也
又若子巳为全线
则子庚又为大分 庚巳又为小分
其法但于大分子巳内截取子庚如小分丙子作丙庚小方则戊子【即子巳】与子丙若子庚与庚巳
似此推之可至无穷
解几何三卷第二十七题
甲乙丙句股形 以乙丙句
折半于巳 作已戊线与股
平行平分甲丙于戊 又
作戊庚线与句平行平分甲
乙股于庚成巳庚长方此即半句乗半股为句股积之半也
凡句股形内依正角作长方惟此为大 若于形内别作长方皆小【皆不及句股半积也】
今仍作卯丁形则小于巳庚何以知之曰试作丑戊线与丙巳半句平行而等又作丑丙线与戊巳半股平行而等又引壬辰至寅引壬卯至午即显壬丑形与壬巳形等又乙辰原与巳寅等则以巳寅加壬丑而成丑午壬辰巳之磬折形即亦与卯丁形等矣夫磬折形在丑巳方形内而缺午辰之一角即相同磬折之卯丁形以较已庚半积方形亦缺戊未之一角也葢丑巳等巳庚而所缺之午辰小方亦等戊未也 准此言之即凡作长方于丙戊界内者皆小于巳庚半积形也
又作子癸形则亦小于巳庚何以知之曰试作戊乙对角线引之至酉即显癸未形与卯未形等即卯丁形与子癸形亦等而其小于巳庚形为所缺之戊未小方亦等矣 准此言之即凡作长方于甲戊界内者皆小于巳庚半积形也
又知句股内容方之积亦皆小于半积惟句股相等如半方者容方即为半积
论曰此磬折形依线而成葢即几何所谓有阙依形也所阙之小方午辰及戊未皆与丑巳形相似而体势等以有线为之对角也然以句股解之殊简
又论曰若壬角在线上去戊角更逺则所缺之午辰小方亦更大而其形皆相似而体势等辛角亦然
解几何三卷三十五题
甲丙乙句股形 以
甲乙为半径作员
则甲丙股为正
丙乙句为余
己丙矢为句较丁
丙大矢为句和
依句股法 较乗和开方得甲丙股而丙戊亦甲丙也故甲丙乗丙戊与巳丙乗丁丙等积也
几何三卷第三十五题言员内两线相交则其各分之线相乗等积即此理也
巳丁过员心线
有庚壬斜线相交
于丙【分丙巳及丙丁又丙庚及
丙壬】皆分为两法自
员心乙作十字线
至辛平分庚壬为两【辛庚辛壬】皆斜线之半
辛庚半线内又分辛丙为小线
以辛丙减辛庚余庚丙为较以辛丙加辛壬成丙壬为和
以大小二方相较之理言之庚辛方内有庚丙较乗丙壬和之积及辛丙方
乙辛庚句股形以乙庚为幂内兼有庚辛及乙辛句股二幂即兼有庚丙乗丙壬之积及辛丙乙辛二方也又乙辛丙小句股形以乙丙为则乙丙方内兼有辛乙辛丙二方而甲丙乙句股形以同庚乙之甲乙为幂内兼有甲丙及乙丙二方 此两者既等其幂必等而其所兼之辛丙乙辛二方又与乙丙方等则各减等率而其所余之庚丙乗丙壬积亦必与甲丙方等矣
而已丙乗丙丁原与甲丙方等则巳丙乗丙丁亦必与庚丙乗丙壬等矣
辛戊线 庚壬线
相交于丙则戊丙
乗丙辛与庚丙乗
丙壬亦等
何以知之曰试作
一丁巳过心线与
两线交于丙凖前论戊丙乗丙辛之积及庚丙乗丙壬之积皆能与丁丙乗乙丙之积等则亦必自相等矣
丁巳员径 有
庚壬斜线相交
于丙则庚丙乗
丙壬与巳丙乗
丙丁等
如法作乙辛及
乙庚线成乙辛庚句股 又成乙辛丙小句股以丙辛句减庚辛句余庚丙为较 以同丙辛句之辛戊加庚辛句成庚戊为和【即丙壬】
又以乙丙【即乙子亦即乙癸】减庚乙余子庚为较 又两相加成庚癸为和【即子丑】以庚子较乗庚癸和与庚丙较乗丙壬和之积必等【详后条】而巳丙即庚子丙丁即子丑【亦即庚癸】故巳丙乗丙丁与庚丙乗丙壬亦等
又大小方相减之理 庚乙方内兼有庚子乗庚癸之积及乙子方即如兼有庚丙乗丙壬之积及乙丙方也【乙丙即乙子】
而同庚乙之甲乙幂内原兼有甲丙方及乙丙方此庚乙甲乙两积内各减去乙丙方则所存者一为庚丙乗丙壬之积一为甲丙自乗积此所余两积亦必相同可知矣
又巳丙乗丙丁之积原与甲丙方等则亦与庚丙乗丙壬等矣
先解两方相减
寅辛大方内减子巳小方【寅辰为两方边之较卯辰为两方之和即子辛】法以小方边【乙子】为度于大方边截取【乙长乙戊】作辰午线及
戊未线成辰戊
小方与巳子等
为减去之积其
余为寅午长方
【即二方较线寅长乗大方邉之
积】及未辛长方
【即较线午未乗小方邉之积】
末取未辛长方移补丑卯之位成卯寅长方【即较乗和之积】又庚甲大方内减己癸小方【丁辛为两方较已辛为两方和亦即辛丙】如法作丁壬癸戌二线减去丁癸小方与已癸等其余辛壬壬癸两长方又移癸壬为丙壬成丁丙长方即较乗和之积也
凖此论之凡大小二方相减其所余者必皆为较乗和之积
次解两句股形相减 凡两句股同髙即可相加减【谓股数同也】
乙庚辛句股内减乙庚丁句股 则以丁庚句减辛庚句余【辛丁】为两句之较 又以同【丁庚】之巳庚句加辛庚句成辛已为两句之和 和乗较成丁丙长方
又以乙丁减辛乙余辛戊为两之较 又两相加成辛子为两之和【戊乙子乙并同丁乙】 和乗较成卯寅长方
此两长方者其积必等【无论乙为正角或钝角或鋭角并同】
何以明其然也曰依句股法乙辛上方兼有乙庚庚辛上二方又乙巳上方兼有乙庚庚巳上一方今既以乙巳上方减乙辛上方则各所兼之乙庚方巳相同而减尽故乙辛上方之多于乙巳上方者即是庚辛上方多于庚巳上方之数也
又所用者是两分之乙庚辛句股及乙庚已句股【即乙庚丁】故不论乙角锐钝其法悉同也
解几何三卷三十六三十七题
甲乙丙句股形 以丙乙
句为半径作员 则甲丙
股为切线 甲乙为割
线
甲乙割线内减丁乙半径
则甲丁为句较 甲乙割线加戊乙半径成甲戊为句和 和较相乗平方开之得甲丙股
几何三卷第三十六题三十七题之理葢出于此若割员线不过乙心 如甲庚 则以他句股明之法自乙心向割员线作乙巳为十字正交线则割线之
在员内者平分为两【子巳巳庚】并为员内线子庚之半
又作乙子半径成子巳乙
小句股则子乙小上方
幂兼有子巳小股乙巳小
句两幂又甲庚总线既分于巳则甲巳大线内减子巳小线其余甲子在员外者为较 以小线巳庚加大线甲巳成甲庚总为和
凡大小二方相较则大方内兼有较乗和及小方之积
则是甲巳幂内必兼有甲
子乗甲庚之长方及子巳
方也
又甲巳乙亦句股形其甲
乙内原兼有甲巳及乙已句股二幂即是兼有甲子乗甲庚之长方及子巳方与乙巳方也而子巳及巳乙二方原合之成一子乙方子乙即丙乙也是合丙乙方与甲子成甲寅之长方而成甲乙方也
又甲丙乙句股形 同以甲乙为原合丙乙方与甲丙方而成甲乙方
两形之甲乙方内各去其相等之丙乙方则其余积一为甲子乗甲寅之长方一为甲丙自乗方是二者不得不等矣
用法
凡测平员形 既得甲丙切线 自乗为实 以甲丁之距为法除之得甲戊之距以甲丁距减之得丁戊员径
若欲测庚物之在员周者亦以甲丙切线自乗为实以甲子为法除之即得甲庚之距
又法用两句股相加减
甲乙丙句股形 以乙丙句为半径作员 又以甲乙为半径作外员 自外员任取甲防作过心员径至戊 又任作一不过心斜线入内员至庚 则以两员
间距线乗其全线皆与
股幂等而亦自相等
如以甲丁乗甲戊或甲
壬乗甲庚其积皆等又
皆与甲丙切线上方幂等
法以两句股相加减
先自乙心作乙辛十字正线平分壬庚线于辛成乙辛甲句股
又作乙壬乙庚二线成乙辛壬小句股与乙辛庚等法以辛壬与甲辛相减余甲壬为两句之较
又相加成甲庚全线为两句之和则以甲壬乗甲庚为句之较乗和也
又以乙壬与甲乙相减余甲丁为两之较
亦相加成甲戊全线为两之和则以甲丁乗甲戊为之较乗和也
此句与之和较相乗两积必等
而甲丁乗甲戊原与甲丙自乗等【以甲丙乙句股言之也】故三积俱等
凖此论之凡自甲防任作多线入内员其法并同 不但此也但于外员周任作线入内员亦同如于丑作丑戊线则丑卯乗丑戊亦与甲丙幂等
何以知之曰试于丑作丑寅过心线即诸数并同甲戊矣而丑卯戊之于丑辰寅犹甲壬寅之于甲丁戊故也
简法
庚壬斜线交丁巳员径于
丙 如法作乙辛线 成
乙辛庚句股形及乙辛丙
小句股形
又以丙辛小句与辛庚大句相减得庚戊较又相加成庚丙和
再以乙丙小【即乙癸亦即乙子】与庚乙大相减得子庚较又相加成癸庚和
依大小两句股相加减法庚戊较乗庚丙和与子庚较乗庚癸和同积
而壬丙原同庚戊又巳丙原同子庚而丁丙亦同癸庚则壬丙乗庚丙亦必与巳丙乗丁丙同积矣
又简法
壬庚线斜交已丁员径于丙 依法作乙辛又作乙壬线 成乙辛壬句股及乙辛丙小句股皆如前
今自庚别作一过乙心线如
庚戊则乙辛庚与乙辛壬成
相同之两句股即显壬丙为
大小两句之较而丙庚为其
和
又显戊癸为两之较而与巳丙等则巳丙亦较也又癸庚为两之和而与丙丁等则丙丁亦和也是故壬丙乗丙庚较乗和也已丙乗丙丁亦较乗和也而其积必等
厯算全书卷四十八
钦定四库全书
歴算全书卷四十九
宣城梅文鼎撰
句股阐微卷四
几何増解
方斜较求原方【几何约论线第十四条有用法今解其理】
甲乙丙丁正方形 甲乙其对角线 戊乙为方斜之较 于戊乙上作庚癸乙戊小方则丙庚与庚戊等
论曰法于方之一角甲
作员而以丙甲方径为
员之半径则乙丙为切
员线乙辛为自员外割
员之全线乙戊较为割
员在外之余线而两线
皆出一防则乙戊乗乙
辛之矩形与乙丙切线方形等
夫乙丙即原设方也今以同乙戊之癸乙为横乙辛为直作乙已长方【即乙戊乗乙辛之矩】又移切甲己长方为子甲长方又移卯补午移辰补酉移丑补寅则复成乙丙甲丁方形矣而丑卯午酉等斜剖半方形皆以乙戊较为半方形之边是庚戊及丙庚皆与乙戊等而亦自相等又何疑焉
用法 有方斜之较乙戊求原方形之一边法以乙戊较作小方形取其斜乙庚再引长之截丙庚如乙戊得乙丙如所求
从此图生一测员之法 假有员城八面开门正西门如戊门外有塔如乙其距如乙戊西南门如丙距塔若干歩如乙丙问城径
法以乙丙之距自乗得数为实以乙戊之距为法法除实得乙辛于乙辛内减去乙戊即员城之径 防法但倍乙丙即得城径
有员城正西之门如戊西南之门如丙人立于庚可两见之而庚丙与庚戊皆等问城径
法以庚戊自乗成戊癸小方以方斜之法求其斜距为乙庚以乙庚加庚丙为乙丙即城半径
按此即几何约之用法也
又以句股法解之
又论曰试于庚丙上作丙子较线上方引庚戊至丁则丁庚又为丙子方之斜而丁戊与乙丙等从丁戊作丁壬甲戊为元方如所求
又论曰此即句和较相乗
开方得股也 乙甲丁甲皆
如 戊甲甲辛【甲丙甲壬】皆如
句 乙戊如句较【丁丙同】乙辛如句和 和较相乗
成癸辛长方 开方得丁戊
股【乙丙同】
切线角与员周角交互相应【几何三卷三十二三十三増题】
乙丙丁三角形在员内有甲乙切员线则所作丙乙甲
角与丙丁乙角同大又丁乙戊
角与丁丙乙角同大所谓交互
相应也
论曰丁角以乙丙弧分论度而
丙乙甲角亦以乙丙弧分之度为度故丙乙甲角即丁角也丙角以丁乙弧分为度而丁乙戊角亦以丁乙弧分为度故丁乙戊角即丙角也 凡用员周度为角度皆以两度为一度详后第三増题
若丁为钝角则丙乙甲亦钝角两钝角同以丙辛乙弧为度故也其丙锐角与丁乙戊锐角则同以丁乙弧为
度
又増题 员内三角形一角移
动则余二角变而本角度分不
变交互相应之角度亦不变
如上图【三图】丁角移至辛则丙
角加大而相应之辛乙戊角亦
从之而大以辛丁乙弧大于丁
乙弧也辛乙戊大则辛乙丙小
矣其较皆为丁辛弧 若丁角虽移至辛而其度不变相应之丙乙甲角亦不变以所用之丙乙弧不变也又丙角移至壬则丁角加大相应之壬乙甲亦从之而大以壬丙乙弧大于丙乙弧也壬乙甲大则壬乙丁小矣其较皆为丙壬弧 若丙角虽移至壬其度不变相应之丁乙戊亦不变以所用之丁乙弧不变也
此图同论但丁角移则丙角变
小丙角移亦然
又増题 切员线作角与员周弧度相应图
有子甲戊员有干艮线相切于子从子防出线与切线作角必割员周之度其大小皆相应但皆以员周两度当角之一度
如用子午正线则所作两防子角皆正角【百八十度分两正角各皆九十度】而亦剖员为半周【两半员并百八十度】是两度当一度又如用子辛线作辛子艮钝角【四十五度】而本线割员周于辛为九十度象限亦两度当一度
又如用子辛线作辛子干钝角形【百三十五度】而线割辛午干员分【为二百七十度】三象限亦两度当一度
又如于员内任作辛子乙角形乙辛子角所乗之子甲乙弧六十度干子乙角同用子甲乙弧亦六十度然其实度是坎寅弧实只三十度亦两当一也
又子乙辛角乗子癸壬辛弧【一象限】艮子辛角亦割子癸壬辛弧【一象限】然其实度为震酉弧只四十五度亦两当一也所以者何曰试作辛乙线移角于辛则所乗弧【子甲
乙】六十度皆实度也今也
角在心是员周也非员心
也凡员周之角小于员心
一倍故也
论曰员周至员心正得员
径之半故所作角为折半
比例试作乙丙线成辛乙
丙句股形又从心作心周
线与辛乙平行则所作周心丙角与乙辛丙等而此心周线平剖乙丙句亦平分乙周丙于周而正得其半矣系句股形平分线作点从此作线与股平行即平分句线为两
又论曰查角度之法皆以切点为心作半员即见真度此不论半员大小或作于员内或作于员外并同 作于员外其度开明易于简查
又论曰试于所切圈心作横径线与切线平行如辛丙线引长之出员外而以查角度之线割员周而过之则皆成大小句股形而所过横线上防皆即八线中之切线为句股形之股角度斜线为横线所截处即八线中割线常为而切点至员心之半径常为句
如子辛角度线割横线于辛成辛心子句股形其所当角度为酉中四十五度则辛心即四十五度之切线辛子即四十五度之割线余并同 其子心即半径也又论曰角度半员有大小而子心半径常为句者以所作横线在员心欲用员度相较也若于半员之端【如中如外】作横线与切线平行其所作切线割线亦同比例而即以各半员之半径为句矣
不但此也即任于子心外直线上任作一横线其所作句股并同但皆以十字交处距子防之度命为半径此八线割员之法所由以立也
量无法四边形防法
甲乙丙丁形求其容 先作
乙丁对角线分为两三角形
次自丙作丙戊横线与乙
丁线相交于丑为十字正角
而取戊防与甲齐平则戊丑即甲庚也次以丙戊防折半于己 次作壬癸线与乙丁平行而等 又作壬辛癸子二线皆与己丙平行而等 得辛癸长方即原形之容
取平行线简法
法曰乙丙线欲于甲防作
线与之平行法于线外任
取巳防为心甲防为界作
辛甲丁庚圈分次以庚为
心取甲辛之度为界截员分得丁防末自丁作戊丁甲线此线必与乙丙平行矣
论曰凡圈内两直线相距之度等则其线必平行如【丁甲】与【庚辛】两线俱在一圈之内而所距之【甲辛】圈分与【庚丁】圈分等是相距之度等而其线平行也因读数度衍得此法似较他处为防
补测量全义斜坡用切线法【系勿庵补】
斜三角形有一角两边求余边
法用切线分外角求得余
角即以得边可不用垂线
如甲乙己斜角形 有乙
甲及己甲二边 有甲角求乙己边
法以己甲线引长之成乙甲丙角为原有甲角之外角【以元有甲角减半周得】次分外角之度而半之为半外角而求其切线为三率并乙甲己甲二边为首率又以二边相较为次率次率乗三率为实首率为法除之得半较角之切线以查表得半较角之度以减半外角得己角末用正法得己乙边 法为己角正与乙甲若甲角正与乙己
三率法
一 两线之和 己丙
二 两线之较 己丁
三 半外角之切线 戊癸
四 半较角之切线 壬戊
用外角者乙己两角之和度而较角者乙己两角之较度【以用切线故半之也】
论曰又如后图己甲引至丙而乙甲亦引至辛则乙甲丙及丁甲寅两角皆原有甲角之外角再作甲戊线平分外角则丁甲戊及寅甲戊皆半外角 又作甲壬线
与乙已平行则壬
甲癸角即同己角
壬甲辛角即同乙
角再于甲戊半径
之端作癸戊辛十
字线切员于戊则
戊癸及戊辛皆半外角之切线也再以壬甲癸角减壬甲辛角其较为壬甲子角则壬甲戊即半较角而壬戊其切线也
其比例为己丙【二边和】与己丁【二边较】若癸辛【外角全切线即乙己丁角和度之全切】与壬子【较角度之全切线】则亦若癸戊【半外角切线】与壬戊【即半较角之切线】何也全与全若半与半也
理分中末线
甲乙线求作理分中末线
法以甲乙全线折半于庚乃
作垂线于甲端为丙甲如半
线甲庚之度为句全线为
股次作丙乙线为
次以丙为心乙为界作乙丁圈界 次引丙甲句至丁则丙丁即丙乙也 末以甲为心丁为界作丁戊己圈分则甲己为理分中末之大分己乙为小分其比例为甲乙与甲己若甲己与己乙也
逓加法 借右图以乙为心甲为界运规截丁已圈分于戊自戊作线向甲成甲戊线与甲丁等乃自戊作戊乙线与乙甲等成甲乙戊三角形
此形甲戊两角悉倍于乙角乃平分戊角作戊辛线此线与甲戊并大亦与乙辛同大成辛戊甲相似三角形则甲乙与乙辛【即戊辛】若乙辛与辛甲也又平分辛角作
辛壬线与壬戊与辛甲
皆同大则成甲辛壬三
角形与辛戊甲相似则
乙辛【即戊辛亦即戊甲】与辛甲
【即辛壬戊壬】若辛甲与壬甲
也如此逓半则其角比例并同
一【乙甲】 二【乙戊即戊辛戊甲】 三【辛甲即辛壬戊壬】 四【辛癸即壬癸壬甲】五【癸甲即癸子壬子】 六【癸丑即丑子子甲】 七【丑甲即丑寅寅子】 八【丑卯即卯寅寅甲】九【卯甲】 若能知其数则以大分逓乗全数除之得细数
先得甲乙为大分而求乙己全分及
乙庚小分 用此图亦为半圆内求
容方法则以乙巳全分加乙庚小分
折半于戊得戊己为半径若先得戊
己则以戊己【即戊丁】为作丁甲戊句股使戊甲句半于丁甲股则丁甲即为戊己理分中末之大分
解曰甲庚【即乙己】全数与丁甲【大分】若丁甲【大分即甲乙】与甲己小分【即乙庚】也
以量分
甲乙线十数求作理分中末线
先依甲乙线作甲乙丁丙正
方形【四面皆十数】 次任用一面
平分之如甲丙平分于壬【甲壬
及壬丙皆五数】甲乙之半数也【甲丙与甲】
【乙等其分亦等】 次自壬向乙角作乙壬斜线其数一十一【一八○三三九】 次自壬量甲壬或丙壬之度【即甲乙之一半】移置于乙壬线上截壬癸如甲壬则其余癸乙即理分中末之大分其数六【一八○三三九】末以癸乙之度移置于甲乙线上如乙戊则乙戊为大分戊甲为小分其数三【八一九六六○】
简法
作句股形 令甲壬句如甲乙股之
半乃以壬为心甲为界作虚线圆分
截乙壬于癸
末以乙为心癸为界作圆分截甲乙线于戊
则乙戊为大分甲戊为小分
又简法
以甲乙全线为半径作半圆形则乙庚乙辛皆与甲乙等
次平分乙辛于己
次以己为心庚为界运规割甲乙
线于戊【戊己之度即同己庚】
则乙戊为大分 甲戊为小分
又简法
作子寅丑卯十字线相交于乙
次以乙为心甲为界运规截十字
线于甲于庚于辛则乙庚乙辛皆
与设线甲乙等乃折半【乙辛】于己
以己为心庚为界运规截甲乙于戊 则乙戊大分甲戊小分皆得矣 此法可于平面圆器上求之
附长方变正方法
甲乙丙丁长方形欲变正方以长方形之横边【乙丙】直边【丙丁】二线取其中比例即所求
取中比例法以丙丁乙丙【即戊
丙】联为一直线【丁戊】而折半于
己以己为心丁若戊为界作
半圆次引乙丙横线至圆界
截圆界于庚成丙庚线即乙
丙及丙丁二线之中比例线
次于丙庚线上作小方形其容与甲乙丙丁长方形等如右图丙庚线上方形为丙壬乃子壬癸句股形内之容方也而甲丙长方形则子壬癸句股外之余方也余方与容方等积
简法
先引丁丙边至午引乙丙边至
未次以丙角为心乙为界作小
员界虚线截引长线于戊
次以丁戊线折半于己次引乙丙至未次以己为心戊为界运规作小圆界截引长线于庚 则丙庚即所变方形之一边 末依丙庚线作方形与甲乙丙丁长方形等积 其法以丙为心庚为界运规截丙辛与丙庚等
理分中末线用法
一用以分平圆为十平分
法为半径与三十六度之分圆若全分与理分中末之大分也
一用以分平圆为五平分
歴书言以全分为股理分中末之大分为句求其即半径全数为股三十六度之分圆为句求得七十二度之分圆为
一用以量十二等面体
法为立方边与所容十二等面边若理分中末之全分与其小分也又十二等面体之边与内容立方边若理分中末之大分与其全分也又立方内容十二等面体其内又容小立方则外立方与内立方若理分中末之全与其大分也
一用以量二十等面体
法为立方边与所容二十等面边若理分中末之全与其大分也
一用以量圆灯
法为圆灯边与其自心至角线若理分中末之大分与其全分也此自心至角之线即为外切立方立圆及十二等面二十等面之半径又为内切八等面之半径圆灯为有法之形即此可见
用理分中末线説
言西学者以几何为第一义而传只六卷其有所秘耶抑为义理渊深翻译不易而姑有所待耶测量全义言有法之体五其面其积皆等其大小相容相抱与球相似几何十一十二十三十四卷诸题极论此理又几何六卷言理分中末线为用甚广量体所必需几何十三卷诸题全頼之古人目为神分线又言理分中末线求法见本卷三十题而与二卷十一题同理至二卷十一题则但云无数可解详见九卷其义皆引而未发故虽有此线莫适所用疑之者十余年辛未嵗养病山阿游心算学于量体诸法稍得窥其奥爰证厯书之误数端于十二等面二十等面得理分中末之用及诸体相容之确数故以立方为主其内容十二等面边得理分线之末二十等面边得理分线之中反覆推求了无凝滞始信几何诸法可以理解而彼之秘为神授及吾之屏为异学皆非得其平也其理与法详几何补编
遥量平面法
甲乙庚辛为
所欲量之平
面而不能到
如仰视殿
上承尘而人
在殿外又如峭壁悬崖之上有碑若碣凡平面之物人从地面斜视灼然可见而不能到
或平面在下如田池之类人从台上俯视可见或临深崖瞰谷底其理不异但倒用其图即是
欲量甲乙庚辛平面而不能到可到者丙丁则先知丙丁之距及丙丁所作各角即可以知之
先求甲乙线 法于丙于丁各安平圆仪各以指尺向甲向乙又自相向各作角成甲丙丁甲丁乙乙丁丙凡三角形者三依第一法用甲丙丁形此形有丙丁线【两测之距】有丙角有丁角自有甲角可求甲丁线法为甲角之正与丙丁若丙角之正与甲丁也
次仍依第一法用乙丁丙形此形亦有丙丁线【两测之距】有丙角有丁角自有乙角可求乙丁线
法为乙角之正与丙丁若丙角之正与乙丁也【此丙角与前形之丙角不同】
次仍依第一法用甲丁乙形此形有甲丁乙丁两线及两线间所作之丁角【与前形丁角不同】可求甲乙线为所测之一边 法自甲角作甲戊垂线至戊分乙丁线为两而甲丁乙三角形分为两句股形 其一甲戊丁句股形有丁角 有甲丁线为可求甲戊句戊丁股
法为全数与甲丁若丁角之正与甲戊句 又全数与甲丁亦若丁角之余与戊丁股也
其一甲戊乙句股形有甲戊句 有乙戊股【戊丁减乙丁得之】可求甲乙
法以甲戊句乙戊股各自乗而并之开方得甲乙即所测平面之一边
第二求庚辛线 法亦于丙于丁各安平员仪【即先所安之元处】各以指尺向庚向辛又自相向各作角成庚丙丁庚丁辛 辛丙丁 凡三角形亦三
依第一法用庚丙丁形 此形有丙丁线【两测之距】有丙角有丁角自有庚角可求庚丁线
法为庚角之正与丙丁若丙角之正与庚丁也【此丙角与前两丙角不同】
依上法用辛丙丁形 此形有丙角【此丙角又与上不同】有丁角自有辛角 可求辛丁线【丁角与前不同】
法为辛角之正与丙丁若丙角之正与辛丁也仍依上法用庚丁辛形此形有庚丁辛丁两线及两线间所作丁角【此丁角又不同】可求庚辛线为所测之又一边法自庚角作庚己垂线至己分辛丁线为两而庚丁辛三角形分为两句股形
其一庚己丁句股形有丁角有庚丁线为可求庚己句己丁股
法为全数与庚丁若丁角之正与庚己句亦若丁角之余与己丁股也
其一庚己辛句股形有庚己句有辛己股【己丁减辛丁得之】可求庚辛
法以庚己句辛己股各自乗而并之开方得庚辛为所测平面之又一边【即甲乙之对邉】
第三求甲庚线
法于丁防侧安平仪以指尺向甲向庚作甲丁庚角成甲丁庚形此形有甲丁庚丁两线及两线所作之丁角【此丁角在甲丁庚丁两线间】可求甲庚线为所测形之侧边
法自庚角作甲丁之垂线至壬分甲丁线为两而甲丁庚三角形分为两句股形
其一庚壬丁句股形 有庚丁线为有丁角可求庚壬句壬丁股【法同前用丁角之正余】
其一庚壬甲句股形 有庚壬句甲壬股【丁壬减甲丁得甲壬】依句股法可求甲庚线为所测平面之侧边
第四求乙辛线
法亦于丁防侧安平仪指尺向乙向辛作乙丁辛角成乙丁辛形 此形有乙丁辛丁两线及两线所作之丁角此【丁角在辛丁乙丁两线间】可求乙辛线为所测形之又一侧边法自辛角作乙丁之垂线至癸分乙丁线为两而乙丁辛三角形分为两句股形
其一辛癸丁句股形有辛丁线为有丁角可求辛癸句癸丁股【法亦同前用丁角之正余】
其一辛癸乙句股形有辛癸句乙癸股【癸丁减乙丁得乙癸】依句股法可求乙辛线为所测平面之又一侧边
如此则所测形之四边皆具乃用后法求其幂
第五求乙庚线
法仍于丁防斜立平仪以指尺向乙向庚作乙丁庚角成乙丁庚形此形有庚丁乙丁两线及两线所作之丁角【此丁角又在乙丁庚丁两线间】可求乙庚线为所测形内之对角斜线
乙庚丁角形内自庚角作乙丁之垂线至卯分乙丁线为两而乙庚丁三角形亦分为两句股形
其一庚卯丁句股形 有庚丁线为有丁角可求庚卯句卯丁股【依上法用丁角之正余】
其一庚卯乙句股形 有庚卯句有卯乙股【卯丁减乙丁得卯乙】依句股法可求乙庚线为所测平面形内对角之斜线
既有乙庚线则所测甲乙辛庚平面形分为两三角形可以求其幂积
其一乙甲庚形有乙庚底 有甲庚甲乙两腰 法以两腰相减为较相并为和和乗较为实乙庚底为法除之得乙午以减乙庚得午庚半之得子庚乃用句股法以甲庚子庚各自乗相减为实开方得甲子垂线垂线半之以乗乙庚底得乙甲庚形平积
其乙辛庚形有乙庚底 有乙辛辛庚两腰如上法以乙辛辛庚相减为较又相并为和和乗较为实乙庚底为法除之得乙辰为底较以减乙庚得辰庚半之得丑庚乃用句股法以丑庚庚辛各自乗相减为实开方得丑辛垂线垂线半之以乗乙庚底得乙辛庚形平积末以两三角形积并之为所测甲乙辛庚平面四不等形之总积
右法可以不用丈量而遥知亩歩即有种种异态以三角御之足矣新法厯书言测量详矣然未着斯法意者其在几何后数卷中为未译之书欤
庚午蜡月既望晤逺西安先生谈及算数云量田可以不用履亩初闻之甚不以为然归而思之得此法然未知其所用者即此与否而此法固己足用矣若用有纵衡细分之测器指尺一量即得无烦布算矣
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷四十九>
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷四十九>
测量用影差义疏
凡方形内从角剖成两句股形必相似而等【正方或长方并同】
方形内作对角斜线分为两句股又于斜线上任取一防作直线纵横相交如十字而悉与方边平行分方形为大小四句股形此四句股形各两两相似而等【大形丙与丁等小形庚与辛等】
则其四句股旁之两余方形虽不
相似而其容必等
解曰于原斜线所分相等句股内
各减去相等之大小两句股则其余亦等【丙戊庚形内减去大形丙小形庚余戊又于丁己辛形内减去大形丁小形辛余己原形既等所减又等则其余必等故戊己两长方虽不相似而其容必等也】
句股测逺
有甲乙之距人在戊立
表又立表于丁使戊丁
乙为一直线再于丙立
表使丙丁与乙戊如十字之半而与甲乙平行则丁戊小股与丙丁小句若丙庚大股与甲庚大句也
法以丙丁小句为二率乙丁大股为三率【即丙庚】相乗为实戊丁小股为一率为法法除实得大句甲庚再以庚乙加之得甲乙
假如丙丁两表相距【三歩】人在戊窥丁到乙逺【戊丁十二歩丁乙十八歩】欲求甲乙之距
法以丙丁【三歩】乗乙丁【十八歩】得【五十四歩】为实戊丁【十二歩】为法除之得【四十五歩】为甲庚加丙丁【三歩即乙庚】共四十八歩为甲乙
解曰此以乙丙长方形变为丙癸也依前论乙丙实形丙癸虚形不相似而容积等故也
重测法
有巽乙甲井方池欲遥望测其甲乙之一面方并乙丁之距
法立表于丁望测方池之东北角乙至东南角巽使丁乙巽为一直线 再于丁横过立一表于丙使丙丁为乙丁之横立正线【丙丁横六歩四分】次从丁退而北行至【戊】量得【十二歩】 从戊斜望池西北隅【甲】不能当【丙】表而出其间如【戌】又于戌立表【戌丁】之距【四歩】 再退而北行至【己】从【己】窥【甲】正过【丙】表己丙甲为一直线量得己丁之距【三十六歩】
法以【丙丁六歩四分】为一率【丁己三十六歩】为二率【戊丁四歩】为三率 二三相乗得【一百四十四歩】为实一率【六歩四分】为法除之得【二十二歩半】为辛己于辛己内减丁戊【十二歩】余【十歩半】为壬己是为景差
次以【戌丁四歩】减【丙丁六歩四分】余【丙戌二歩四分】以戊丁【十二歩】乗之得【二十八歩八分】为句实 景差【十歩半】为法除句实得二歩【八分弱】为甲申大句之距加丙丁【六歩四分即申乙】得共【九歩二分弱】为甲乙即方池一面之濶
次以辛己【二十二歩半】减丁己【三十六歩】余【十三歩半】辛丁为二率丁戊【十二歩】为三率相乗得【一百六十二歩】为股实 景差【十歩半】为法除之得【十五歩八分半弱】为乙丁大股之距
解曰此以四表重测改为三表乃巧算也 若测髙则重测本为前后二表者亦改用一表故当先知本法然后明其所以然下文详之
试先明四表本法
有甲乙之濶先立【丁】表从戊测之戊【人目】丁【表】乙【逺物之末端】三者参相直 次于【丁】表横过与【甲乙】平行作戊丁乙直线之横直线此线上取戊立表人目从【戊】过【戌】表窥甲逺物之西端亦参相直但于戊丁乙线为斜成句股形 量得戌丁两表横距【四歩】丁戊【人目距东表】直距【十二歩】
次于丁戊直线退而北行至己 又于西表戌作戌干癸直线与丁戊平行此平行线内取癸立西后表人目从【己】过【癸】至甲参相直成己甲癸斜 亦从【癸】横行至【丁己】线寻【辛】立东后表此后两表【癸辛】之距为前表【戌丁】等【四歩】 又量得【辛己】为东后表距人目之数【辛丁二十二歩半】次以丁戊【十二】减辛己【二十二半】得【十歩半】为壬己景差 末以己辛【二十二半】减【己丁三十六】余【十三歩半】为前后表间之距 以表横距【四歩】乗之得【五十四歩】为表间积【即丁癸长方】 置表间积为实以景差【十歩半】为法除之得【五歩一半弱】加表横距【四歩】 得共【九歩二分弱】为所测逺物甲乙之濶解曰前表测得成【戊乙甲】句股形内有戌乙余方与形外戌坤余方等积 后表测得【己乙甲】句股形内有癸乙余方与形外酉癸余方等积 于【癸乙】内减【戌乙】于【酉癸】内减【寅癸即丑戌】则所余之【癸丁】及【酉辰】两余方亦必等积也故以【丁癸】变【辰酉】而得【辰寅】亦即【甲庚】也
次明改用三表之理
用三表者于【丙丁】两表间増一【戌】表其实则于【戌丁】两表外増一【丙】表也前増一表而无后表则无从而得景差故以三率法求而得之其实【癸辛】即后表也其理与四表同
然不用【癸子】形而用【戌子】形何也曰准前论【辰酉】形与【丁癸】形等积而【午癸】形与【丁癸】形亦等积【两余方在己丙丁句股形内外故等】则【酉辰】与【午癸】亦等积矣各减同用之【卯未】则所余之【酉卯】与【卯癸】二形亦自相等积而【卯癸】原与【戌子】等故用【戌子】变为【卯酉】而得【卯寅】即得【甲申】矣是故【戌子】可名句实也
其以【辛丁】乗【戊丁】为股实何也曰此三率法也【丁乙】外加【丁辛】前后两测之表距故【辛壬即戊丁】外亦加【壬己】两测之景差法为壬己与辛丁若戊丁与丁乙也凖此测髙可用一表而成两测【即借前测逺之图而以横为直】
假如有【甲乙】髙立【丙丁】表人目在【戊】测之则表之端不相值而参相直于表之若干度如【戊】退若干歩至【己】测之正对表端【丙】其法并同
因看数度衍中破勾测逺条疑其图不真因作此以证明其説
测量图説
一测股六十四尺
八寸【壬丁】 二测
句四十三尺二寸
【丙丁】 三大股三
千六百八十五尺
二寸【乙丁即丙午】四大
句二千四百五十
六尺八寸【甲午】加【午乙】
得二千五百尺为甲乙之髙
解曰癸丁长方形即古人所谓表间积也以景差壬辛【即丑子】除之变为寅子形是寅子与癸丁同积也 而申癸形原与癸丁同积则寅子与申癸亦同积也 于内各减同用之申子而寅未与未癸亦同积矣夫未癸即氐己也是戊丁【即亥己】乗丙己之积也故可命为句实而以景差壬辛【即申未】除之得甲午句也【甲午即戌酉】其取股实何也曰三率法也表在丁其景丁戊 后表在庚则其景庚壬后表之逺于前表者为庚丁故后景之大于前景者为辛壬则其比例为辛壬与庚丁若丁戊【即庚辛】与丁乙也
试引癸庚至箕截庚箕如庚壬又截尾箕如壬辛于尾于箕各作与庚乙平行线而于乙作垂弧为乙牛联之作长方形又作丁心线截之作箕乙线斜分之则其理着矣
三角形求外切圆法
设如锐角形有甲丙边七十五尺甲乙边六十一尺
乙丙边五十六尺 问外切
圆径若干 畣曰外切圆半
径三十八尺一寸二分五牦
法先求得甲丁中长线六十
尺为一率甲乙边六十一尺
为三率甲丙边折半得戊甲三十七尺五寸为三率二率与三率相乗一率除之得四率【三八一二五】为甲乙圆半径
解曰此甲丁乙三角形与甲己戊三角形同式故其线为相比例率也若甲为钝角其理亦同
以甲丙折半为三率故四率亦为半径若以甲丙全线为三率则四率必得甲辛为全径矣葢甲辛丙形与甲乙丁形同式也何以见甲乙丁形与甲辛丙形同式葢两形之乙角辛角同当甲庚丙弧分则二角必相等而丁丙又同为直角则两甲角亦必等而为同式无疑矣又界角比心角所当之弧大一倍今己心角所当甲庚弧适当乙界角所对甲庚丙之一半则两角为等可知而戊为直角与丁角等则两甲角必等故甲己戊与甲乙丁亦为同式形也
三角举要有量法未着算例因作此补之
又如甲乙丙钝角形 求外切员径【甲辛】 半径【甲己】法先求得中长线【乙丁】得【乙丁丙】句股形
次作【乙辛】线成【甲乙辛】大句股
形
又甲乙半之于戊从员心
【己】作直线过戊至庚又成
【甲戊己】句股形
一率 乙丁股【形内垂线】
三率 甲戊股【即甲乙之半】
四率 甲辛【即外切员径】 四率 甲己【即切员半径】解曰三句股形皆相似故可以三率比例求之
问何以知其为相似形也曰原设形之丙角与甲乙辛形之辛角所当者同为甲庚乙员分则两角等而乙丁丙形之丁角与甲乙辛大形之乙角又皆正角则余角亦等而为相似形
又甲己为甲辛之半甲戊为甲乙之半戊正角与大形乙正角等又同用甲角则己戊亦乙辛之半而为相似形
一系凡三角形求得形内垂线为法 垂线左右两原边相乗 为实 法除实得外切员径 锐钝同法假如甲乙丙钝角形求得中垂线乙丁六分为法 左右两斜边【甲乙十八分乙丙十分】相乗【一百八十分】为实 法除实得外切员径甲辛三十分 即可借用前图【分寸畸零稍为整顿】
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷四十九>
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷四十九>