历算全书歴算全书卷四十九
歴算全书卷四十九
钦定四库全书
厯算全书卷五十
宣城梅文鼎撰
三角形举要法卷一
测算名义
古用句股有割员弧背矢诸名今用三角其类稍广不可以不知爰摘纲要列于首简
防
防如针芒无长短濶狭可论然算从此起譬如算日月行度只论日月中心一点此防所到即为躔离真度线
线有弧直二种皆有长短而无濶狭自一防引而长之至又一防止则成线矣
如测日月相距度皆自太阳心算至太隂心是为弧线如测日月去人逺近皆自人目中一防算至太阳太隂天是为直线
凡句股三角之法俱论线线两端各一防故线以防为其界
面
面有方员各种之形皆有长短有濶狭而无厚薄故谓之幂幂者所以冒物如量田畴界域只论土面之大小
面之方员各类皆以线限之故面以线为界【面之线亦曰邉】惟员面是一线所成乃弧线也若直线必三线以上始能成形体
体或方或员其形不一皆有长短有濶狭又有厚薄【或浅深髙下之类】员体如球如柱方体如柜如防或如员塔方塔皆以面为界【图后】
以上四者【谓防线面体】略尽测量之事矣然其用皆在线如论防则有距线论面则有邉线论体则有棱线【面与面相得则成棱线】凡所谓长短濶狭厚薄浅深髙下皆以线得之三角法者求线之法也
长短濶狭厚薄等类皆以量而得而量者必于一线正中若稍偏于两旁则其度不真矣故凡测量所求者皆线也三角形
欲明三角之法必详三角之形
两直线不能成形成形者必三线以上而三线相遇则有三角故三角形者形之始也
多线皆可成形析之皆可成三角至三角则无可析矣故三角能尽诸形之理
凡可算者为有法之形不可算者为无法之形三角者有法之形也不论长短斜正皆可以求其数故曰有法若无法之形析之成三角则可量故三角者量法之宗也角
三角法异于句股者以用角也故先论角
两线相遇则成角【平行两直线不能作角何也线既平行则虽引而长之至于无穷终无相遇之理角安从生是故作角者必两线相遇必不平行也】
角有三类一正方角一锐角一钝角
如右图以两线十字纵横相遇皆为正方角【亦曰直角亦曰方角】
如右图以两线斜相遇则一为锐角一为钝角
凡锐角必小于正方角凡钝角必大于正方角
正方角止一锐角钝角则有多种而算法生焉
弧
角在小形与在大形无以异也故无丈尺可言必量之以对角之弧
法以角之端为员心用规作员员周分三百六十度乃视本角所对之弧于全员三百六十度中得几何度分其弧分所对正得九十度者为正方角【九十度者全员四之一谓之象限】若所对弧分不满九十度者为锐角【自八十九度以至一度并锐角也】所对弧分在九十度以上者为钝角【自九十一度至百七十九度并钝角也】
如图丁为角即用为员心以作员形
其庚丁丙角【凡论角度并以中一字为所指之角此言庚丁
丙即丁为角也】所对者庚丙弧在全员为四
之一正得象限九十度是为正方角
若乙丁丙角所对者乙丙弧在象限庚丙弧之内小于象限九十度是为锐角
又乙丁壬角所对乙庚壬弧过于壬庚弧【壬庚亦象限九十度弧故庚丁壬亦方角】大于象限九十度是为钝角
角之度生于割员
割员弧矢
有弧则有矢弧矢者古人割员之法也
如图以乙子直线割平员则成弧
矢形
所割乙丙子员分如弓之曲古谓
之弧背以弧背半之则为半弧背
【如乙丙】
通正
割员直线如弓之谓之通【如乙子】
通半之古谓之半弧今曰正【如乙甲】
矢线
正以十字截半径成矢【如丁丙横半径为乙甲正所截成甲丙矢】谓之正矢
【以上二条俱仍前图】
正弧余弧正角余角
所用之弧度为正弧以正弧减象限
为余弧【如庚丙象限内减乙丙正弧则其余乙庚为余弧】
正弧所对为正角【如正弧乙丙对乙丁丙角则为正角】
以正角减正方角为余角【如以乙丁丙正角去减庚丁丙方角则其余乙丁庚角为余角】
正余正矢余矢
有正弧正角即有正【如乙甲】有正矢
【如甲丙】亦即有余【如乙己】有余矢【如己庚】
正正矢余余矢皆乙丙弧所有亦即乙丁丙角所有
自一度至八十九度并得为乙丙并得为正弧即正余矢毕具
若用乙庚为正弧则乙丙反为余弧
角之正余亦同
割线切线
每一弧一角各有正余正矢余矢己成四线于平员内【古人用句股割员即此法也盖此四线己成倒顺二句股】
再引半径透于平员之外与切员直线相遇为割线切线而各有正余复成四线【正割正切余割余切复成倒顺二句股】共为八线故曰割员八线也
如图庚乙丙平员切戊丙直线于丙
又引乙丁半径透出员周外使两线相
遇于戊则戊丙为乙丙弧之正切线
亦即为乙丁丙角之正切线而戊丁
为乙丙弧之正割线亦即为乙丁丙角之正割线又以平员切庚辛直线于庚与乙丁透出线相遇于辛则庚辛为乙丙弧之余切线亦即为乙丁丙角之余切线而辛丁为乙丙弧之余割线亦即为乙丁丙角之余割线割员八线
凡用一弧即对一角用一角亦对一弧故可互求凡一弧即有八线【正正矢正割正切余余矢余割余切】角亦然
凡一弧之八线即成倒顺四句股角亦然
如图庚丙象弧共九十度庚丁丙
为九十度十字正方角
任分乙丙为正弧乙丁丙为正角
则乙庚为余弧乙丁庚为余角
正【乙甲 同丁己】 正矢【甲丙】正切【戊丙】 正割【戊丁】余【乙己 同丁甲】 余矢【庚己】余切【辛庚】 余割【辛丁】
以上八线为乙丙弧所用亦即为乙丁丙角所用【自一度至八十九度并同】若用乙庚弧亦同此八线但以余为正以正为余
乙甲丁句股形乙丁【半径】为乙甲【正】为
股丁甲【余】为句 戊丙丁句股形戊丁
【正割】为戊丙【正切】为股丙丁【半径】为句
以上两顺句股形同用乙丁甲角故其
比例等【凡句股形一角等则余角并等】
乙己丁倒句股形乙丁【半径】为己丁【正】为
股乙己【余】为句 辛庚丁倒句股形辛丁
【余割】为丁庚【半径】为股辛庚【余切】为句 以上两
倒句股形同用乙丁巳角故其比例亦等
乙甲丁句股形乙丁【半径】为乙甲【正】为股甲
丁【余】为句 丁己乙倒句股形乙丁【半径】为
己丁【正】为股乙己【余】为句 此倒顺两句股形等邉又等角【倒形之丁角即顺形丁角之余倒形之乙角即顺形乙角之余】竟如一句股也凖此论之则倒顺四句股之比例亦无不等矣
角度
凡三角形并三角之度皆成两象限【共一百八十度】
假如乙甲丁句股形其丁角五十五
度【当乙丙弧】则乙角必三十五度【当乙庚余弧】两角共一象限九十度其甲角正方
原系九十度合三角成一百八十度
乙角何以必三十五度也试引乙丁过心至夘则夘丁丑角与丁乙甲角等【夘丁乙同为一线丁丑线又与乙甲平行则所作之角必等】而夘丁丑固三十度也则乙角亦三十度矣
又假如丙乙丁三角形从乙角作乙
甲直线至丁丙邉分为两句股形【乙甲
丁乙甲丙】凖前论乙甲丁句股形以乙分
角与丁角合之成一象限九十度又
乙甲丙句股形以乙分角与丙角合之成一象限九十度然则以乙全角【即两分角之合】与丁丙两角合之必两象限一百八十度矣【乙为钝角并同】
以此推知三角形有两角即知余角【并两角以减半周一百八十度得之】句股形有一角即知余角【句股原有正方角九十度则余两角共九十度故得一可知其二】相似形
既知角可以论形有两三角形其各角之度相等则为相似形而两形中各邉之比例相等【谓此形中各邉自相较之比例亦如彼形中各邉自相较之比例也】
比例
两数相形则比例生比例者或相等或大若干或小若干乃两数相比之差数也有两数于此又有两数于此数虽不同而其各两数自相差之比例同谓之比例等或两小数相等又有两大数相等是为相等之比例数虽有大小其相等之比例均也或两小数相差三倍又有两大数亦相差三倍是为三倍之比例或两小数相差为一倍有半又有两大数相差亦一倍有半是为一倍有半之比例数虽有大小其为三倍之比例及一倍有半之比例均也
论八线之比例有二
一为八线自相生之比例
乙甲丁小句股形与戊丙丁大句
股形相似【见前条】故以半径乙丁比
正乙甲若割线戊丁与切线戊
丙之比例也【此为以小比小股若大与大股】股
求亦同
又以半径丙丁比正切戊丙若余甲丁与正乙甲之比例也【此为以大句比大股若小句比小股】股求句亦同余仿此以故凡八线中但得一线则余皆可求观图自明一为八线算他形之比例
乙丁甲角所有八线为表中原设之数亢丁房句股形为今所算之数
或先有丁角有亢丁而求房丁句则为以乙丁半径
比甲丁余若亢丁与房丁句
也【以角与句求亦同】以上是用八线以求
他形
或先有亢丁有亢房股而求丁
角则为以亢丁比亢房股若乙
丁半径与丁角之正乙甲也【得乙
甲得丁角矣】或先有亢房股与房丁句
而求丁角则为以亢房股比房丁
句若丁庚半径与庚辛余切也【得庚辛亦得丁角】以上二者是用他形转求八线
总而言之皆以先有两数之比例为后两数之比例其乗除之法皆依三率也
三率
三率算术古谓之异乗同除今以句股解之
丁戊大股【十四尺】丙戊大句【十一尺二寸】截丁乙小股【十尺】问乙甲截句
答曰八尺
术以所截小股乗大句得数
为实以大股为法除之即得截句
若先以原股【十四尺】除原句【十一尺二寸】得八寸为每一尺之句再以截股【十尺】乗之亦得八尺但先除后乗多有不尽之数故改用先乗后除乃古九章中通用之纲要也
先乗后除何以又谓之异乗同除曰今但有截股而不知句故以原有之句乗之股与句异名故曰异乗然后以原有之股除之股与股同名故曰同除然则又何以谓之三率曰本是以原有之股与句比今截之股与句共四件也然见有者只三件【原有之股与句及今截之股】故必以见有之三件相为乗除而得所不知之第四件故曰三率
三率乗除图式
一率 原有股十四尺 为法
二率 原有句十一尺二寸【相乗】
三率 今截股十尺 【为实】
四率 所求截句八尺 法除实得所求
术曰以原股比原句若截股与截句也
凡言以者为一率言比者为二率言若者为三率言与者为四率
二率三率常相乗为实一率常为法法除实得四率四率乃所求之数其三率者所以求之也三率与异乗同除非有二理但以横列为异然数既平列即可以四率为法除二三相乗之实而得一率并可以一率四率相乗为实用二率为法除之而得三率或用三率为法除之亦得二率是故一四二三之位可以互居【四可为一二可为三】法实可以迭用【二与三可居一四之位一与四可居二三之位】变动不居惟用所适而各有典常于异乗同除之理尤深切而着明者也
三率互用图
反之 更之 又反之
一句八尺 一股十尺 一句十一尺二寸二股十尺 二句八尺 二股十四尺三句十一尺二寸三股十四尺 三句八尺
四股十四尺 四句十一尺二寸四股十尺
右并以二率三率相乗为实一率为法除之而得四率
八线表
八线为各弧各角之句股所成故八线表者即句股形之立成数也古人用句股开方巳尽测量之理然句股皆邉线耳邉之数无方放之则弥四逺近之则陈几案故所传算术皆以一端示例而已不能备详其数也今变而用角则有弧度三百六十以限之而以象限尽全周有合于举一反三之防又析象限之度各六十分凡为句股形二千七百角度五千四百【九十度之分五千四百而句股形并有两角故其形二千七百而角数倍之】为正为切线为割线共一万六千二百【三项各五千四百正余互用也】而句股之形略备用之殊便也锐角分两句股钝角补成句股然惟有八线表中豫定之句股故但得其角度则诸数厯然可于无句股中寻出句股矣
半径全数
全数即半径也不言半径而言全数者省文也凡八线生于角度而有角有弧则有半径八线之数皆依半径而立也半径常为一【或五位则为一万或六位则为十万】则正常为半径之分【正必小于半径】而不得为全数惟半径可称全数也【割切二线皆依正而生亦皆有畸零不得为全数】
用全数为半径有数善焉一立表时易于求数也一用表时便于乗除也【三率中全数为除法则但降位可省一除若全数为乗法则但升位可省一乗】
厯书中多言全数【或但曰全】以从省便今算例中直云半径以欲明比例之理故质言之
补遗
正为八线之主
割圜之法皆作句股于圜内以先得正故古人祗用正亦无不足今用割切诸线而皆生于正
平圜径二尺【即戊壬】半之一尺【即戊丙庚
丙等】为圜里六孤之一面【即乙戊】半径
【戊丙】为半面【戊丁】为句句求股得
股【丁丙】转减半径【庚丙】得余【庚丁】为小句
半面【戊丁】又为小股句股求得小【戊庚】是为割六弧成十二弧之一面如是累析为二十四弧四十八弧至九十六弧以上定为径一尺周三尺一寸四分有竒论曰九章算经载刘徽割圜术大畧如此其以半径为六弧之一面与八线理合半径恒为一即全数半面为股则正也
平方径十寸其积百寸内作同径之平圜平圜内又作平方正得外方之半其积五十寸平方开之得七寸○
七有竒【即离震等四等面之通】乃自
四隅之旁増为八角曲圜
为第一次【即八等面通】至第二
次则为曲十六【即十六等面通】第三次为曲三十二每次
加倍至十二次则为曲一
万六千三百八十四于是方不复方渐变为圜矣其法逐节以大小句股幂相求至十二次所得小以一万六千三百八十四乗之得三十一寸四分一五毫九丝二忽为径十寸之圜周与祖冲之径一百一十三周三百五十五合
论曰元赵友钦革象新书所撰乾象周髀法大略如此所得周径与西术同其逐节所求皆通所用小股皆正也
又论曰刘徽祖冲之以割六孤起数赵友钦以四角起数今西术作割圜八线以六宗率则兼用之可见理之至者先后一揆法之精者中西合辙西人谓古人但知径一围三未深攷也
又论曰中西割圜之法皆以句股法求通通半之为正割圜诸率皆自此出总之为句股之比例而巳钝角正
钝角不立正而即以外角之正为正
钝角之正在形外即外角之正也故乙丙已钝角与乙丙甲外角同以乙丁为正【以钝角减半周得外角假如钝角一百二
十度其所用者即六十度之正】乙丁线能为乙
丙甲角正又能为乙丙已钝角
正八线表止于象限以此【因钝角与
外角同正故表虽一象限而实有半周之用】
钝角余
钝角既以外角之正为正即以外角之余为余如前图乙庚为外角【乙丙甲】余而即为钝角【乙丙己】余
捷法以正角【戊丙巳】减钝角【乙丙巳】得余角【戊丙乙】即得余
过弧
钝角之弧为过弧
巳戊为象限弧而乙戊巳为乙丙
巳钝角之弧是越象限弧而过之
也故曰过弧
大矢
钝角之矢为大矢
如前图以乙丁辛分全圜即全径亦分为二则丁甲为小半圜【乙甲辛】之径谓之正矢丁巳为大半圜【乙已辛】之径谓之大矢大矢者钝角所用也 钝角与外角同用乙丁正乙庚余所不同者惟矢【乙丙巳角用大矢丁已乙丙甲角用正矢丁甲】
捷法以乙庚【即丁丙】余加已丙半径即得【丁巳】大矢【若以余减半径亦得正矢】
正角以半径全数为正
八线起○度一分至八十九度五十九分并有正而九十度无正非无正也盖即以半径全数为其正故凡算三角
有用半径与正相为比例者皆正
角也【其法与锐角形钝角形用两正为比例同理并详后卷】八十九度竒之正至九九九九九
而极迨满一象限始能成半径全数是故半径全数者正角九十度之正也其数为一○○○○○
厯算全书卷五十
钦定四库全书
厯算全书卷五十一
宣城梅文鼎撰
三角法举要卷二
算例
三角形有三类
一曰句股形
即直角三邉形也有正方角一余并锐角
一曰锐角形
三角并锐
一曰钝角形
三角内有钝角一余并锐角
以上三类总谓之三角形其算之各有术
句股形第一术 有一角一邉求余角余邉
内分二支
一先有之邉为
一先有之邉为句【或先有股亦同】
假如【壬癸丁】句股形有丁角【五十七度】壬丁【九十一丈八尺】
求余角余邉
一求癸丁邉
术曰以半径全数比丁角之余
若壬丁与癸丁句【半径即丁乙余即甲丁
以丁乙比甲丁若壬丁比丁癸】
一率【原设】半径 一○○○○○为法
二率【原设句】丁角【五十七度】余 五四四六四【相乘】
三率【今有】壬丁邉 九十一丈八尺【为实】
四率【今所求句】癸丁邉 五十丈 法除实得所求一求壬癸邉
术曰以半径比丁角之正若壬丁与壬癸股
一率【原设股】半径 一○○○○○ 为法二率【原设股】丁角【五十七度】正 八三八六七 【相乗】三率【今有】壬丁邉 九十一丈八尺 【为实】四率【今所求股】壬癸邉 七十七丈 法除实得所求一求壬角
以丁角【五十七度】与象限九十度相减得余三十三度爲壬角
计开
先有之三件
癸正方角【九十度】 丁角【五十七度】 壬丁【九十一丈八尺】
今求得三件
癸丁旬【五十丈】 壬癸股【七十七丈】 壬角【三十三度】
右例先得以求句股也是为句股形第一术之第一支
假如【壬癸丁】句股形有丁角【六十二度】癸丁句【二十四丈】求余角余邉
一求壬角
以丁角【六十二度】与象限相减得余二十八度为壬角
【戊丙丁句股形以戊丙切线为股丙丁半径为句戊丁割线为
是丁角原有之线】
【今壬癸丁句股形既同丁角则其比例等】
一求壬丁邉
术为以半径比丁角之割线若癸丁句与壬丁
一【原设句】半径 一○○○○○ 为法二【原设】丁角【六十二度】割线 二一三○○五 【相乗】
三【今有句】癸丁邉 二十四丈 【为实】
四【所求】壬丁邉 五十一丈二尺 法除实得所求一求壬癸邉
术为以半径比丁角之切线若癸丁句与壬癸股
一【原设句】半径 一○○○○○为法
二【原设股】丁角【六十二度】切线 一八八○七三 【相乗】
三【今有句】癸丁邉 二十四丈 【为实】
四【所求股】壬癸邉 四十五丈一尺 法除实得所求计开
先有之三件
癸正方角 丁角【六十二度】 癸丁句【二十四丈】
今求得三件
壬角【二十八度】 壬丁【五十一丈一尺】 壬癸股【四十五丈一尺】右例先得句以求及股也或先得股以求及句亦同是为句股形第一术之第二支
句股形第二术 有邉求角
亦分二支
一先有二邉
一先不知正方角而有三邉【新増】
假如【壬癸丁】句股形有壬丁【一百零二丈二】癸丁句【尺四十八】
求二角一邉
一求丁角
术为以壬丁比癸丁句若半
径乙丁与丁角之余甲丁
一 壬丁邉 一百○二丈二尺 今有之为法二 癸丁邉 四十八丈 今有之句【丈相】三 半径 一○○○○○ 原设之【乘为】四 丁角余 四六九六六 法除实得所求原设句
依术求得丁角六十二度【实以所得余捡表即】
一求壬角
以丁角【六十二度】与象限相减得余二十八度为壬角一求壬癸邉
术为以半径比丁角之正若壬丁与壬癸股
一 半径 一○○○○○
二 丁角【六十二度】正 八八二九五
三 壬丁邉 一百○二丈二尺
四 壬癸邉 九十丈○二尺三寸
计开
先有之三件
壬丁【一百○二丈二尺】 癸丁句【四十八丈】 癸正方角
今求得三件
丁角【六十二度】 壬角【二十八度】 壬癸股【九十丈○二尺三寸】
右例以邉求角而先知方角故只用二邉也是为句股形第二术之第一支【此先有二邉为与句故用正余若先有者是句与股则用切线其比例之理一也】
假如【壬癸丁】三角形有壬丁邉【一百○六丈】壬癸邉【九十丈】癸丁邉【五十六丈】求角
一求癸角
术以壬丁大邉与丁癸邉相加得【一
百六十二丈】为总又相减得【五十
丈】为较以较乗总得【八千一百丈】为实以壬癸邉【九十丈】为法除之
仍得【九十丈】与壬癸邉数等即知
癸角为正方角
依术求得癸角为正方角定为句股形
一求丁角
术为以丁癸邉比壬癸邉若半径与丁角之切线
一 丁癸句 五十六丈
二 壬癸股 九十丈
三 半径 一○○○○○
四 丁角切线 一六○七一四
依术求得丁角五十八度○六分【以所得切线捡表即得】
一求壬角
以丁角【五十八度○六分】与象限相减得余三十一度五十四分为壬角
计开
先有三邉
壬丁邉【一百零六丈】 壬癸邉【九十丈】 癸丁邉【五十六丈】
求得三角
癸正方角 丁角【五十八度零六分】 壬角【三十一度五十四分】右例亦以邉求角而先不知其为句股形故兼用三邉是为句股形第二术之第二支
锐角形第一术 有两角一邉求余角余邉
假如【乙丙丁】锐角形有丙角【六十度】丁角【五十度】丙丁邉【一百二十尺】
先求乙角
术以丙角【六十度】丁角【五十度】相
并得【一百一十度】以减半周一百
八十度余七十度为乙角
次求乙丁邉
术为以乙角正比丙丁邉若丙角正与乙丁邉
一 乙角【七十度】正 九三九六九
二 丙丁邉【即乙角对邉】 一百二十尺
三 丙角【六十度】正 八六六○三
四 乙丁邉【即丙角对邉】 一百一十尺○六寸
次求乙丙邉
术为以乙角正比丙丁邉若丁角正与乙丙邉
一 乙角【七十度】正 九三九六九
二 丙丁【乙角对邉】 一百二十尺
三 丁角【五十度】正 七六六○四
四 乙丙【丁角对邉】 九十七尺八寸
计开
先有之三件
丙角【六十度】 丁角【五十度】 丙丁邉【一百二十尺】
今求得三件
乙角【七十度】 乙丁邉【一百一十尺零六寸】 乙丙邉【九十七尺八寸】右例先有之邉在两角之间也若先有之邉与一角相对亦同盖三角形有两角即有第三角故无两法
锐角形第二术 有一角两邉求余角余邉
此分二支
一先有之角与一邉相对
一先有之角不与邉相对
假如【甲乙丙】锐角形有丙角【六十度】甲丙邉【八千尺】甲乙邉【七千零三十四尺】
先求乙角
术为以甲乙邉比甲丙邉若丙角
正与乙角正
一 甲乙【丙角对邉】 七千○三十四尺
二 甲丙【乙角对邉】 八千尺
三 丙角【六十度】正 八六六○三
四 乙角 正 九八四九六
捡正表得乙角八十度○三分
次求甲角
以丙角乙角相并得【一百四十度○三分】以减半周余三十九度五十七分为甲角
次求乙丙邉
术为以乙角之正比甲角之正若甲丙邉之与乙丙邉
一 乙角【八十度○三分】正 九八四九六
二 甲角【三十九度五十七分】正 六四二一二
三 甲丙【乙角对邉】 八千尺
四 乙丙【甲角对邉】 五千二百一十五尺计开
先有之三件
丙角【六十度】 甲丙邉【八千尺】 乙甲邉【七千○三十四尺】
今求得三件
乙角【八十度○三分】 甲角【三十九度五十七分】 乙丙邉【五千二百一十五尺】右例有两邉一角而角与一邉相对是为锐角形第二术之第一支
假如【甲乙丙】锐角形有甲丙邉【四百尺】乙丙邉【二百六十一尺○八分】丙角【六十度】 角在两邉之中不与邉对求甲乙邉
先求中长线分为两句股形
术为以半径比丙角正若甲
丙邉与甲丁中长线
一 半径 一○○○○○
二 丙角【六十度】正 ○八六六○三
三 甲丙邉 四百尺
四 甲丁中长线 三百四十六尺四寸一分次求丙丁邉【即所分甲丁丙形之句而甲丙为之】
术为以半径比丙角余若甲丙邉与丙丁邉
一 半径 一○○○○○
二 丙角【六十度】余 五○○○○
三 甲丙邉 四百尺
四 丙丁邉 二百尺
次求乙丁邉【即所分甲丁乙形之句而甲丁为之股】
以丙丁与丙乙相减余六十一尺○八分为乙丁次求丁甲乙分角【即分形甲丁乙句股之甲角】
术为以甲丁中长线比乙丁分邉若半径与甲分角切线
一 甲丁中长线 三百四十六尺四寸一分
二 乙丁分邉 六十一尺○八分
三 半径 一○○○○○
四 甲分角切线 一七六三三
捡切线表得一十度为甲分角
末求甲乙邉
术为以半径比甲分角割线若甲丁中长线与甲乙邉
一 半径 一○○○○○
二 甲分角【十度】割线 一○一五四三
三 甲丁中长线 三百四十六尺四寸一分
四 甲乙邉 三百五十一尺七寸五分求甲全角
以丙角【六十度】之余角三十度【即分形甲丁丙之甲分角】与求到甲分角【一十度】相并得四十度为甲全角
求乙角
以甲分角【一十度】减象限得八十度为乙角【或并丙甲二角减半周亦同】
计开
先有之三件
甲丙邉【四百尺】 乙丙邉【二百六十一尺○八分】 丙角【六十度】
今求得三件
甲乙邉【三百五十一尺七寸五分】 甲角【四十度】 乙角【八十度】右例有两邉一角而角在两邉之中不与邉对故用分形以取句股是为锐角形第二术之第二支
又术【新増】 用切线分外角
假如【甲乙丙】锐角形有甲丙邉【四百尺】乙丙邉【二百六十一尺○八分】丙角【六十度】 此即前例但求甲角
术以【甲丙乙丙】两邉相并为总相减为
较又以丙角【六十度】减半周得外
角【一百二十度】半之得半外角【六
十度】捡其切线依三率法求得半
较角以减半外角得甲角
一 两邉总 六百六十一尺○八分
二 两邉较 一百三十八尺九寸二分
三 半外角切线 一七三二○五
四 半较角切线 三六三九七
捡切线表得【二十度】为半较角转与半外角【六十度】相减得甲角四十度
次求乙角
并甲丙二角共【一百度】以减半周得余八十度为乙角次求甲乙邉
一 甲角【四十度】正 六四二七九
二 丙角【六十度】正 八六六○三
三 乙丙邉 二百六十一尺○八分
四 甲乙邉 三百五十一尺七寸五分
锐角形第三术 有三邉求角
假如【甲乙丙】锐角形有乙丙邉【二十丈】甲丙邉【一十七丈五尺八寸五分】乙甲邉【一十三丈○五寸】
术曰任以【乙丙】大邉为底从甲角
作甲丁虚垂线至底分为两句股
形
一甲丁丙形以甲丙邉为丁丙
为句
一甲丁乙形以甲乙邉为丁乙为句
两相并为总相减为较 两句相并【即乙丙邉原数】为句总求两句相减之数为句较
术为以句总比总若较与句较也
一 两句之总【即乙丙】 二十丈
二 两之总 三十丈○六尺三寸五分三 两之较 四丈五尺三寸五分
四 两句之较【即丙戊】 六丈九尺四寸六分
求分形之两句
以句较【六丈九尺四寸六分】减句总【二十丈即乙丙】余乙戊【一十三丈○五寸四分】半之得丁乙【即戊丁】六丈五尺二寸七分为【甲丁乙】分形之句
又以戊丁【六丈五尺二寸七分】加句较【六丈九尺四寸六分 即戊丙】得丁丙一十三丈四尺七寸三分为【甲丁丙】分形之句
求丙角
术为以甲丙比丁丙句若半径与丙角之余
一 甲丙邉 一十七丈五尺八寸五分
二 丁丙分邉 一十三丈四尺七寸三分
三 半径 一○○○○○
四 丙角余 七六六一六
捡余表得丙角四十度
求甲角
术先求分形大半之甲角
以丙角【四十度】减象限余五十度为【丁甲丙】分形之甲角
次求分形小半之甲角
术为以甲乙比丁乙句若半径与分形甲角之正
一 甲乙邉 一十三丈○五寸
二 丁乙分邉 六丈五尺二寸七分
三 半径 一○○○○○
四 甲分角正 五○○一五
捡正表得三十度为【丁甲乙】分形之甲角
并分形两甲角【先得五十度后得三十度】得共八十度为甲全角求乙角
倂丙甲二角共【一百二十度】以减半周得余六十度为乙角计开
先有三邉
甲丙邉【一十七丈五尺八寸五分】 乙丙邉【二十丈】乙甲邉【一十三丈○五寸】
求得三角
丙角【四十度】 甲角【八十度】 乙角【六十度】
钝角形第一术 有两角一邉求余角余邉
假如【乙丙丁】钝角形有丙角【三十六度半】乙角【二十四度】丁乙邉【五十四丈】
先求丁角
术以丙乙二角并之共【六十度半】以减半周得余一百一十九度半
为丁钝角
次求乙丙邉
术为以丙角正比丁角正若乙丁邉与乙丙邉
一 丙角【三十六度二十分】正 五九四八二
二 丁角【一百十九度三十分】正 八七○三六
三 乙丁邉 五十四丈
四 乙丙邉 七十九丈○一寸
右所用丁角正即六十度半正以钝角度减半周用之凡钝角并同
求丁丙邉
术为以丙角正比乙角正若乙丁邉与丁丙邉
一 丙角【三十六度三十分】正 五九四八二
二 乙角【二十四度】正 四○六七四
三 乙丁邉 五十四丈
四 丁丙邉 三十六丈九尺二寸
计开
先有之三件
丙角【三十六度半】 乙角【二十四度】 丁乙邉【五十四丈】
今求得三件
丁钝角【一百一十九度半】 乙丙邉【七十九丈○一寸】 丁丙邉【三十六丈九尺二寸】
钝角形第二术 有一角两邉求余角余邉
亦分二支
一先有对角之邉
一先有二邉皆角旁之邉而不对角
假如【甲乙丙】钝角形有乙角【九十九度五十七分】甲丙对邉【四千尺】甲乙邉【三千五百一十七尺】
求丙角
术为以甲丙对邉比甲乙邉若
乙角正与丙角正
一 甲丙邉 四千尺
二 甲乙邉 三千五百一十七尺三 乙角【九十九度五十七分】正 九八四九六【即八十度三分正】
四 丙角 正 八六六○三
捡表得丙角六十度
求甲角
并乙丙二角【共一百五十九度五十七分】以减半周得余二十度○三分为甲角
求乙丙邉
术为以乙角之正比甲角之正若甲丙对邉与乙丙邉
一 乙角【九十九度五十七分】正 九八四六九
二 甲角【二十○度三分】正 三四二八四
三 甲丙邉 四千尺
四 乙丙邉 一千三百九十二尺计开
先有之三件
乙钝角【九十九度五十七分】 甲丙邉【四千尺】 甲乙邉【三千五百一十七尺】
今求得三件
丙角【六十度】 甲角【二十度○三分】 乙丙邉【一千三百九十二尺】右例有两邉一角而先有对角之邉是为钝角形第二术之第一支
假如【乙丁丙】钝角形有乙丁邉【一千零八十尺】乙丙邉【一千五百八十二尺】乙角【二十四度】 角在两邉之中不与邉对
术先求形外之虚垂线补成正方角
从不知之丙角作虚垂线于形外
如丙戊亦引乙丁线于形外如丁
戊两虚线遇于戊成正方角
术为以半径比乙角正若乙丙邉
与丙戊
一 半径 一○○○○○
二 乙角【二十四度】正 四○六七四
三 乙丙邉 一千五百八十二尺
四 丙戊邉【即虚垂线】 六百四十三尺
又以半径比乙角之余若乙丙邉与乙戊
一 半径 一○○○○○
二 乙角【二十四度】余 九一三五五
三 乙丙邉 一千五百八十二尺
四 乙戊邉【即乙丁引长线】 一千四百四十五尺
以原邉乙丁【一千○八十尺】与引长乙戊邉相减得丁戊【三百六十五尺】为形外所作虚句股形之句【则先得丙戊垂线为股而原邉丁丙为之】
求丁丙邉
依句股求术以丙戊股自乗【四十一万三千四百四十九尺】丁戊句自乗【一十三万三千二百二十五尺】并之得数【五十四万六千六百七十四尺】为实平方开之得七百三十九尺为丁丙邉
求丙角
术为以丁丙邉比丁乙邉若乙角正与丙角正
一 丁丙邉 七百三十九尺
二 丁乙邉 一千○八十尺
三 乙角【二十四度】正 四○六七四
四 丙角 正 五九四四二
捡表得丙角三十六度二十九分
求丁角
并乙丙二角共【六十度二十九分】以减半周得余一百一十九度三十一分为丁钝角
计开
先有之三件
乙丁邉【一千零八十尺】 乙丙邉【一千五百八十二尺】 乙角【二十四度】
今求得三件
丁丙邉【七百三十九尺】 丙角【三十六度二十九分】 丁钝角【一百一十九度三十一分】
右例有两邉一角而两邉并在角之两旁不与角对是为钝角形第二术之第二支
又术【新增】 用切线分外角
假如【乙丙丁】钝角形有丁乙邉【五百四十尺】丙乙邉【七百九十一尺】乙角【二十四度】 角在两邉之中不与邉对求丙角
以【丁乙丙乙】两邉相并为总相减为较又以乙角【二十四度】减半周得外角【一百五十六度】半之得半外角【七十八度】捡其切线得四七○四六三
术为以邉总比邉较若半外角切线与半较角切线
一 两邉之总 一千三百三十一尺
二 两邉之较 二百五十一尺
三 半外角切线 四七○四六三
四 半较角切线 八八七一九
捡表得半较角【四十一度三十五分】以转减半外角【七十八度】得余三十六度二十五分为丙角
求丁角
并乙丙二角共【六十度二十五分】以减半周得一百一十九度三十五分为丁钝角
求丁丙邉
术为以丙角正比乙角正若乙丁邉与丁丙邉
一 丙角【三十六度二十五分】正 五九三六五
二 乙角【二十四度】正 四○六七四
三 乙丁邉 五百四十尺
四 丁丙邉 三百六十九尺九寸八分计开
先有之三件
丁乙邉【五百四十尺】 丙乙邉【七百九十一尺】 乙角【二十四度】
今求得三件
丙角【三十六度二十五分】 丁钝角【一百一十九度三十五分】 丁丙邉【三百六十九尺九寸八分】
钝角形第三术 有三邉求角【新式】
假如【乙丙丁】钝角形有乙丙邉【三百七十五尺】乙丁邉【六百○七尺】丁丙邉【三百尺】
术自乙角作虚垂线至甲又引丁
丙线横出遇于甲而成正方角则
成乙甲丁句股形
又引横线至辛使甲辛如丙甲成
乙甲辛句股形则丁辛为两句之
总而所设丁丙邉为两句之较
又乙丁邉为大形【乙甲丁】之乙丙邉为小形【乙甲辛即乙甲丙】之两相并为总相减为较
术为以句较比较若总与句总
一 句较【即丁丙邉】 三百尺
二 较【即乙丁内减乙丙之余】 二百三十二尺
三 总【即乙丁乙丙二邉相并】 九百八十二尺
四 句总 七百五十九尺四寸
以句较【三百尺】减所得句总【七百五十九尺四寸】余数【五百二十九尺四寸】为大形之句甲丁
求丁角【用乙甲丁大形】
术为以乙丁比丁甲句若半径与丁角之余
一 乙丁 六百○七尺
二 甲丁句 五百二十九尺七寸
三 半径 一○○○○○
四 丁角余 八七二六五
捡表得丁角二十九度一十四分
求丙角【用乙甲丙小形】
术为以甲丙句比乙丙若半径与丙角之割线
一 甲丙句 二百二十九尺七寸
二 乙丙 三百七十五尺
三 半径 一○○○○○
四 丙角割线 一六三二五六
捡表得丙角【五十二度一十四分】为本形之丙外角以减半周得丙钝角一百二十七度四十六分
求乙角
并丁丙二角所得度分【共一百五十七度】以减半周得余二十三度为乙角
计开
先有三邉
乙丙邉【三百七十五尺】 乙丁邉【六百七尺】 丁丙邉【三百尺】
求得三角
丁角【二十九度一十四分】 丙钝角【一百二十七度四十六分】 乙角【二十三度】
右例钝角形三邉求角作垂线于形外径求钝角乃新式也若以大邉为底从钝角分中长线同锐角第三术