御制数理精蕴卷二十一
象限线度总目
正 正切 正割 正矢【以余减全】
余 余切 余割 余矢【以正减全】
平度【正线即髙度余线】髙度【正线即平度余线】
初
一 八八
二 八七
三 八六
四 八五
五 八四
六 八三
七 八二
八 八一
九 八十
十 七九
十一 七八
十二 七七
十三 七六
十四 七五
十五 七四
十六 七三
十七 七二
十八 七一
十九 七十
二十 六九
二一 六八
二二 六七
二三 六六
二四 六五
二五 六四
二六 六三
二七 六二
二八 六一
二九 六十
三十 五九
三一 五八
三二 五七
三三 五六
三四 五五
三五 五四
三六 五三
三七 五二
三八 五一
三九 五十
四十 四九
四一 四八
四二 四七
四三 四六
四四 四五
求弧度之分秒
如设数与表相合即本度分也不合则表数与设数近少者相减得差乗六十得数为实再表中近多者与近少相减得差为法而一得数以加近少之弧度分即所求之弧度分秒
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股矩测解原>
钦定四库全书 子部六
勾股矩测解原 天文算法类二【算书之属】提要
【臣】等谨案勾股矩测解原二卷
国朝黄百家撰百家有体独私抄已着録是书言勾股测望并详绘矩度之形与徐光啓天学初函矩度表説大防相同而此书専明一义其説尤详考勾股测望自古有之其法或用方矩或立矩表或用重矩引绳如表以测髙深广逺所不能至者总以近者小者与逺者大者相准世刘徽海岛筭经即此法也
本朝
御制割圜八线表出又仪器制作悉备始有三角形测量盖测量用三角度低昻甚便步筭检表数密而功省虽其理与勾股无殊而径捷简易则不可同日而论矣然必仪与表兼备而后其术可施苟缺其一即精于是术者无从措手故勾股之法亦不废也是书虽仅具古法亦足备测量之资焉乾隆四十六年三月恭校上
总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
总 校官【臣】陆 费 墀
钦定四库全书
句股矩测解原卷上 余姚黄百家撰
矩度图
解矩度
或木或铜锡类制极方板一具【不拘大小】空其中【不空亦可】其四角分甲乙丙丁甲乙边为直表为股乙丙边为直景平分十二度【一度中又各细分十二度】为句甲丁边为横表为句丁丙边为倒景为股亦平分十二度直表上作两耳【须极平正不可畧髙低】耳中作细窍甲角置线一条末系小权用时使目光透两窍与物顶相对视权线之下垂所得度分以起算测髙以乙耳近目测低以甲耳近目
解表影
凡欲用矩度必须知造矩度之源矩度之起由乎表表之起由乎日影故先论表影立直表地上其表为股其影为句日自东而上影向西自西而下影向东皆在平地是名直影立横表东西墙上其表为句其影为股影皆自上而下是名倒影凡测影之法以直影言之日晷自地平至天顶则所测在西自天顶至地平则所测在东其表一也以倒影言之日在东则测西表日在西则
<子部,天文算法类,算书之属,句股矩测解原,卷上>
解矩度表影
矩度何以由于表影也曰矩度之上方即直表右方即直影左方即横表下方即倒影无有二也前图之直表直横表横直影横倒影直矩度反是何也曰权线使然也日轮在半象限两表两影相等无较以矩度承之使日光穿两耳而过则权线垂于对角两表两影亦无较葢日轮在半象限权线亦在半象限然矩度两表两影之位尚无从别也日轮在半象限以上则直影短今以矩度承之权线垂于右方亦截句而使之短以是知上方为直表右方为直影也日轮在半象限以下则倒影短今以矩度承之权线垂于下方亦截股而使之短以是知左方为横表下方为倒影也曰权线之使然也曷故葢直表在地横表在墙其有定者也日之或髙或下以为其无定者也以有定待无定而影得焉矩度以耳承日因日光以为俯仰是矩度之表其无定者也而权线之下垂其有定者也以权线之有定切矩度之无定代日以为而影亦得焉是其两表两影之相反此测算之由生天然之巧亦不易之理也其度何以十二也曰用表或八尺或十二尺此十二所以识也非日行之度也右方之度何以自一而至十二下方之度何以自十二而至一也曰日下而直影长日上而直影销右方直影也日上而倒影长日下而倒影销下方倒影也倒影直影至十二不更长乎曰倒影过十二则直影直影过十二则倒影合用之而自足也其倒影直影相通之法详变影中
解物影
矩度为平方两表两影之句股何以分也【矩度直表为股直影为句横表为句倒影为股】曰前已论之详矣今试再以物影明之物为股影为句物高至影末为物与影之句股无较以矩度承之权线必垂于对角其句股亦无较也【第一图】如物高于影则股长句短以矩度承之亦必截直影而使与相应亦股长句短也【第二图】如物短于影则股短句长以矩度承之亦必截倒影而使与相应亦股短句长也【第三图】葢物大股也直表倒影小股也物影大句也直影横表小句也物高至影末大也权线小也此天然之妙合也今于权线所测之度分已定试将矩度转面而观之则小句股与大句股俨然无异也
<子部,天文算法类,算书之属,句股矩测解原,卷上>
解两影消长【即变影】
日在半象限以下影射倒影然直影非无影也试从倒影外斜引长之则仍遇直影日在半象限以上影射直影然倒影非无影也试从直影下斜引长之则仍遇倒影葢直影倒影合成一象限在象限内一消一长其消之分数即长之分数在象限外则倒影之一度为直影之一百四十四度二度为直影之七十二度三度为直影之四十八度四度为直影之三十六度五度为直影之二十八度又三十分度之四六度为直影之二十四度七度为直影之二十度又七十分度之四八度为直影之一十八度九度为直影一十六度十度为直影一十四度又百分度之四十一度为直影一十三度又一百一十分度之一十二度于直影仍为十二度【其法以矩度十二自乗得幂一百四十四即以所得之影度除之其解详后变影法中】若在几分度之几即将度照分分之以除矩幕【如五度三分度之二即将毎度分作三分五度为一十五分又加三分度之二共一十七分以除矩幕其矩幕一百四十四亦毎度三分之为四百三十二以一十七除之得二五四又一十七分之零二】直影于倒影亦然明乎此则直影倒影可变互用之其在矩度即权线之消长也
句股矩测解原卷上
钦定四库全书
句股矩测解原卷下 余姚黄百家撰以影测高
以矩度承日使其光穿两耳而过视权线垂于何度何分若权线垂于对角则影与物等【即前句股无较第一图】量其影长即得物髙在直影则影短于物【即前股长句短第二图】以直表乗物影以直影除之在倒影则影长于物【即前股短句长第三图】以倒影乗物影以横表除之
假如权线在直影五度物影二十尺即以直表【十二】度与物影相乗得二百四十为实以直影【五度】为法除之得物髙四十八尺
解曰物与物影为大句股矩度为小句股大股不可知而大句可知大句可知而大句之长短原出于大股则大股亦可知立一法焉以矩度一定之小股【直表】因大以定小句小句定则小句小股之比例犹大大句大股之比例也于是遂以一定之小股入于大句中而与之相乗使不可知之大股遂与小股之十二相当而后以小句之五度除之而大股得焉葢十二人所任设者也于十二而得五度则本乎大股者也以十二乗大句而五度代二十【物影】以除幂【相乗总数】则大股亦遂因五度而化为十二也大股之四十八其有合于十二者何小句五度其为五分者十积五分而至二十四则为十二大句二十尺其为二尺者十积二尺而至二十四则为四十八也
假如权线在倒影七度五分度之一物影六十尺即以倒影通作三十六分【七度五分度之一毎度即通作五分七度五七三十五分又度之一共三十六分】与物影相乗得二千一百六十为实以横表十二通作六十分为法【亦毎度通作五分】除之得物高三十六尺
解曰倒影与直影相反直影为句倒影为股故直影之度自一而至十二引而逺之句渐长也倒影之度自十二而至一引而逺之股渐短也前权线在直影股长句短由股以截句今在倒影句长股短由句以截股其理一也以倒影乗物影者所求在股以小股乗大句以小句除之与前无二也倒影通作三十六分横表通作六十分者以有五分度之一即以毎度通作五分【如三分度之一即毎度可通作三分余仿此】也葢矩度之妙用借权线以测句测股而得其比例其分度则固任人通变也
重矩
单矩须用量自足至物之数方可入算此句与小句股求股也今不用句止以小句股求股故设重矩
假如立表四尺与目齐以矩度向物顶线在直影五度次退后立表四尺与目齐以矩度向物顶线在直影十度相减得影较五度次量二表相去十尺即以矩度十二与表间十尺相乗得一百二十为实以影较五度除之得二十四加表四尺为物高二十八尺解曰后直影为句目平行至物为句矩度直表为股物高为股其比例一也前直影之比例于前表平行至物矩度之比例于物髙亦一也今以影较为矩度股之句表间为物髙股之句何以知其一哉葢前表平行至物数不可知后表至前表其数可知然前表至物之数虽不可知而已见于两直影互异之中今于后直影减去前直影则将其不可知者置之影较则已移物之股近至前表其表间之数同单矩测髙术量足至物之数故与矩度相乗而得物髙此减句不减股以凖之于也之为凖即在直影假如物髙股二十四尺【表四尺不入算】试截句至一尺直影必五分算之仍得二十四如物高股十二尺试截句至一尺直影必一度算之得十二故曰之为凖即在直影
以目测高
不取日光而用目光别立一表若干尺以审自足至目之数目切矩度乙耳以甲耳向上使物顶从甲耳窍透乙耳窍斜见之视权线在何度分次量自足至物之数其算法与以影测髙术同不另具假令与图
解曰目光斜见即物影之也然物不能常有影即有影有不能摄入耳窍者切矩以目其法更防凡目光所及不论髙深广逺俱可入算不爽毫厘
变影
前矩在直影后矩在倒影者亦以矩度乗表间为实以倒影变直影相较为法除之前后矩俱在倒影者将两倒影俱变直影两影较乗表间为实以矩度为法除之如两影在防分度之防者以矩度照分分之自乗得幂如法变影乗表积如法除之【有防分度之防者测时亦可或前或后使其正当某度无有零分】
假如前矩直影十一度后矩倒影九度表间二十尺法以矩度【十二】乗表间【二十】得二百四十尺为实积又以矩度自乗之幕一百四十四以倒影之九度为法除之得十六变作直影十六度两影较余五度为法除之得四十八尺加表四尺得五十二尺
陈言曰有物于前立两表望之后表之小句必多于前表之小句此视差之理也而今之之前矩在直影之十一度后矩在倒影之九度若不计其直影倒影之何以变通而第执度分之多寡以为法则后表之视差反少于前表之视差有是理乎故必变倒为直而后可以两影较也
假如前矩倒影九度后矩倒影二度表间二十尺法以矩幕【一百四十四】先以前影【九】除之变为十六次以后影【二】除之变为七十二两影较五十六乗表间【二十】得一千一百二十以矩度【十二】为法除之得九尺三寸又一百二十分尺之四【三分】加表四尺得全髙一十三尺三寸三分
陈言曰两矩测物有前直影而后倒影者矣未有前倒影后直影者也葢矩愈逺则愈平平则必切于倒影之度故止有前直后倒之法而不及前倒后直之影也至于两影俱倒其影为同类似可不变而亦必变者何也曰其故有二一则倒影之度少于纵矩之小句假如倒影二度以矩度之甲乙纵之则退望之处其人目与物影相叅者必不止于矩度十二分之二而为矩度十二分度之七十又十二分度之二也故必变也一则倒影之度前表多后表少不合于立表之小句假如矩度之甲乙纵之至顶则为一度渐逺则渐为二度三度四五度不等其前少后多直影与小句同也其在倒影则否如以甲丁之矩而纵之其望髙之线之在倒影者始而近也反切于丙丁之十二度渐逺则十一度或十度九度不等愈退则愈逺愈逺则愈平愈平则倒影之度愈少殊非
小句渐逺渐长之理故两倒不可不变也变之而倒影之一度变为一百四十四矣【矩幕原数一度无殊】倒之二度变为七十二逓变至倒影之十二度以之为法除幕而仍存原度十二岂非愈逺而愈平愈平而变影愈多不失小句近少逺多之至理乎立法至此亦云宻矣或者曰景之变固因小句之多寡而变然使权线之在一度者其小句虽应多而非一百四十四之多权线之在十二度者其小句虽应少而非犹然十二度之少则是多寡之转移西人亦约畧其法而未必有确然之数也不知立法者必穷于法之源必晰于法之委未有悬空拟合而可云法也试先立一平方形其矩之下丙角作平行线如地平如人目望髙然后以矩之甲角渐运渐髙其权线之切于一度者必矩之甲角髙于乙角一度矣由是而因甲乙之渐低者作斜直线引之令切合于地平必
在一百四十四也如在十二度则甲角髙于乙角亦十二度矣其斜切合于地平者亦必在十二度两角形相等凡少于十二度多于一度者推之无不有确然之数也且设有物焉髙十二尺如甲角之髙一度【有原矩度十二】离十二尺以立表表之髙亦十二如乙丙角之髙其离表退望之处为一百四十四如一度之变影以表乗逺得一四四也即矩幕也以退立之一四四为法除而仍得表上之髙一尺即甲角之髙一度也亦即权线之影髙一度也无不合也然其变影之合于小句既有然矣而变影之必以权度除矩幕者何也曰是不难知夫容方求余句余股者以容方自之以余句为法除之而可得余股以余股为法除之而可得余句今矩幕非即容方之自乗乎以权为法其实以甲角之髙为法非以余股求余句乎故立表亦容方法也变影亦容方法也无二
法也至甲角之髙十二则成斜方句股等形故倒影十二则其变影亦十二甲角愈低而后斜线之切于地平愈长其几何长者法也其所以长者理也其所以防何长者穷理以立法而非悬空拟合之为也因创为后图可以作变影观亦可以作立表测髙观亦可以作容方求余句余股观【言图未载】
解曰变影之法言之论辨矣今取其言之未尽者再为悉之夫矩度之测髙于倒影何以必变哉葢矩度之倒影股也故分度自十二而至一【已详前论影测髙中】今所求在股其影为句乃股短句长权线逾直影之句而至倒影则此倒影亦为句也此变法之所由立也然倒影为股究不可为句今云变倒为直者葢矩度止为十二度之平方直影既穷权线侵股而上在倒影十一度在直影则当为十三度又一百一十分之一也在倒影十度在直影则当为十四度又一百分度之四也股渐低则线渐髙而句愈逺以至倒影一度在直影则当为一百四十四度也【详前论两影消长中】此借倒影以推直影而为之凖耳
测深测广
用矩度须以甲耳切目乙耳向外测深线在直影深过于广以矩度乗面之广以影度除之倒影广过于深以影度乗广以矩度除之其测广反是
假如测深水面十二尺直影三度以矩度【十二】乗广【十二】得【一百四十四】为实积以直影【三】除之得四十八尺如在倒影三度即以【三】乗广【十二】得【三十六】为实积以矩度【十二】除之得三尺
假如测广水深四十八尺直影三度则以直影【三】乗【四十八】得【一百四十四】为实积以矩度【十二】除之得广十二尺水深三尺倒影三度则以矩度【十二】乗【三】得【三十六】以倒影【三】除之得广十二
解曰测深亦以小句股与句求股也故与测髙同广即逺也故与测逺同【或云从下望高测逺为逺从髙望逺测逺为广】
测逺
从高测逺先定自地至目之数以甲耳切目乙耳向逺线在直影者以影度乗高以矩度除在倒影者以矩度乗高以影度除望高测逺先以重矩测高得高数视后矩影度线在直影者亦以影度乗高以矩度除在倒影者以矩度乗髙以影度除其前矩俱不必推算
假如髙六丈测逺权线在直影九度即以【九】与【六】相乗得【五十四】为实以矩度【十二】为法除之得逺四丈五尺假如髙九丈倒影八度以矩度【十二】与髙【九】相乗得【一百八丈】以倒影【八】为法除之得逺十三丈五尺
右二则俱从髙测逺其望髙测逺须除矩度乙角下表数【或四尺】如髙六丈除去表四尺得髙五丈六尺与矩度影度相乗其乗除法直影倒影与从髙测逺同不另立假如
解曰测逺者以小句股与股求句也视测髙之以句求股正相反故此直影视彼倒影之法此倒影视彼直影之法所得逺数俱平行句数非从髙至逺斜望数也
句股矩测解原卷下
<子部,天文算法类,算书之属,少广补遗>
钦定四库全书 子部六
少广补遗 天文算法类二【算书之属】提要
【臣】等谨案少广补遗一卷
国朝陈世仁撰世仁海宁人康熈乙未进士其书以一面尖堆及方底三角底六角底尖堆各半堆等题分为十二法后有抽竒抽偶诸目盖堆垜之法也按堆垜乃少广中之一术与尖锥体相似而实不同盖堆体台体外平而中实堆垜为众体所积面有峻峭中多空隙故二法相较烦简顿殊古少广中仅具以边数层数求积数法亦未有解其故者至以积求边数层数之法则未备焉又其为用甚少故算家率畧而不详世仁有见于此専取堆垜诸形反覆相求各立一法虽图説未具不能使学者窥其立法之意而于少广之遗法引伸触类实于数学有禆不可以其一隅而少之也乾隆四十六年五月恭校上
总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
总校官【臣】陆 费 墀
钦定四库全书
少广补遗
海宁陈世仁撰
少广补遗第一篇
凖本章平立方员开三角及诸尖一十二法一平尖
置倍实平方带一纵开之得本数之底数与其径数
二立尖
置六倍实立方法开之内阙一纵所得之数溢于本数之底与径数一数
三倍尖
除原实末必五数进一十除之得本数之底数
四方尖【尖内诸自乗数依根数序次相并】
置三倍实先开立方次以立方根开平方一半平方一次除半方根得本数之径数与其底数
五再乗尖【尖内诸立方依根数序次相并】
置实二除之于除得数内复减原实平方开之继以开得数为实带一纵方开之得原数之底数 从底数逆数至尖数偶者得底所对之前数数竒者得自尖及底之中数中数与底相乘对数加一五数于数之次亦与底相乘所得数为本数径数
六抽竒平尖
置实以带一縦方开之得本数径数亦得本数逆数至尖所对之前数以得本数底数
七抽偶平尖
置实平方法开之得本数径数亦得本数逆数至尖自尖数至底之中数以得本数底数
八抽偶数立尖【本尖内层数及层内诸数偶者尽去之抽竒法反之】
以前方尖法开之得本数径数亦得本数自尖数至底之中数以得本数底数
九抽竒数立尖
三倍置实立方法开之阙一縦以所得数减一得本数径数亦得本数逆数至尖所对之前数因得本数底数
十抽竒偶数方尖
前立尖法开之得本数底数以底数逆数至尖得自尖及底之中数或平分数因得本数径数
十一抽偶再乘尖
二除原实阙半縦平方法开之方之所得之数即得径数平尖抽偶法收之得本数之底数
十二抽竒再乘尖
二除原实平方法开之方之所得之数即径数平尖抽竒法收之得自底至尖一之中分数倍之得本数之底数
少广补遗第二篇
开抽竒抽偶立尖
一本尖内层数偶者去之
置原数十之而加二为实立方带平方法开之次除半平方阙一縦所得数溢于本数底倍于本数径各一数
二本尖诸层内数偶者去之
原数就位十之而加五为实立方法开之所余数及半方根者五除方减一即本数之底与径数 立方带平方法开之所余数及半平方又半方根者五除方得本数径数复减一即本数底数
三本尖内层数竒者去之
一十二倍置实立方带平方法除之余实就方根増一数取縦其方之根视本数底数及本数径倍数各溢一数其縦之限视本数径数及本数底半数各朒一数
四本尖诸层内数竒者去之
原数就位十之而加五为实立方法开之阙一縦者所得数减一以五除之即本数之底与径数 立方带平方法开之所余数及半平方又半方根者五除方得本数底数复减一即本数径数
少广补遗第三篇
准本章带縦诸方开三角及诸尖之半积为三角带一钝角形 诸尖先得径数以法算得底数一平尖
径之半平方加半纵减原实为正实 以径除正实得数径数加之
二抽竒平尖
径之平方加一縦减原实为正实 径除正实得数倍径加之
三抽偶平尖
径之方减原实为正实倍径除正实得数径数加之五除减一取之
四立尖
径之立方一平方三及倍径为数六而一之减原实为正实径竒者径除正实得数次置径加一而二除之为半平方加半縦并径除正实之数半平方加半縦法开之复置径减一亦二除之与开得数并之 径耦者半径除正实得数次置径二除之而加一为平方并半径除正实之数平方法开之复置径二除之减一与开得数并之
五方尖【诸数自乗依根数序次相并】
四因原数为正实置径倍之取其立方与三平方及又倍径为数六而一之减先得正实为次得正实 径除次得正实得数以径之加一为平方并之方法开之开得数复置径减一相并二除之
少广补遗第四篇
开三角及诸尖之半积先得径数以法算得底数
一抽偶立尖【本尖内层数偶者去之】
置径倍之取其方与立方又半平方阙一縦为数一十二而一之减原实为正实 径竒者径除正实得数以径之半平方加半縦并之半平方加半縦法开之开得数复置径减一并之 径偶者半径除正实得数径之加一縦方并之加一縦方法开之开得数置径减一并之
二抽偶立尖之二【本尖内层数及诸层内数偶者皆去之】
置径倍之取其立方与三平方及又倍径为数二十四而一之减原实为正实 径竒者以径除正实得数次置径加一而二除之为平方并径除正实之数方法开之开得数五除之减一与径之减一之数并之 径偶者半径除正实得数次置径二除之又置径二除之而加一各为方以并半径除正实之数复减一而二除之带一縦方开之开得数五除之而加一与径之减二之数并之
三抽竒立尖【本尖内层数竒者去之】
置径倍之而益一取其方与立方为数复置径倍之而益二与径之减一相乘得数并之一十二而一之减原实为正实 径竒者以径除正实得数以径之益一数为半平方带半縦并之半方带半縦法开之开得数径之减一并之 径偶者半径除正实得数以径之益一数为带一縦方并之带一縦方法开之开得数以径之减一并之
四抽竒立尖之二【本尖内层数及诸层内数竒者皆去之】
以径之立方及三平方与倍径为数三而一之减原实为正实 径竒者以径除正实得数次置径加一而二除之为带一縦方并径除正实之数带一縦方开之开得数二因之复置径减一并之 径偶者半径除正实得数次置径二除之而加一为两平方并半径除正实之数减二而以二除之带二縦方法开之开得数复二因而以径加之
五抽竒偶方尖【诸自乗数依根数竒偶序次相并】
置径倍之取其立方与三平方及又倍径为数六而一之减原实为正实 径除正实得数次置径加一为平方并之方法开之开得数置径减一并之
少广补遗第五篇
开抽偶立失之半积合失内竒偶诸层取层内数偶者去之先得径数以法算得底数
其一得径偶
径之立方与三平方及倍径并之一十二而一之减原实为正实 以半径除正实得数复分半径竒偶御之半径竒者置半径加一为方而二除之以并半径除
正实之数复二除之平方开之方之所得之数五除减一与半径减一之数并之 半径偶者置径四除之复置径四除之而加一各为方以并半径除正实之数减一而二除之带一縦方开之方之所得之数五除减一与半径并之 如得正实之后或半径除之不尽与虽尽而并别数平方带一縦方开之不得者设别法如下条
如前取径之立方与三平方及倍径并之一十二而一之复置径益二而二除之取其数为平方减一与前数并之减原实为正实 半径除正实得数分半径之竒偶御之 半径偶者置径四除之而益一为平方以半径除正实之半并之平方开之开得之数五除减一与半径并之 半径竒者置半径益三而二除之为方复置半径益三而二除之转减一为方合之以并半径除正实之数减一而二除之带一縦方开之方之所得之数五除减一与半径益一之数并之
其一得径竒
置径减三而取其倍数及其立方与三平方并之六而一之减原实之倍数为正实 置径减一而二除之为法分法之竒偶御之 法竒者法除正实得数有余实之不及法者别存之次置法减一为方并法除正实之数以方开之余实之不及方者法因之而折半若前有剰实者亦折半并之以平方开之 偶者法除正实得数有余实之不及法者别存之次置法二除之复置法二除之而减一各为方倍之以并法除正实之数减一而平方开之余实之不及方者法因之而折半如前有剰实者亦折半并之以平方开之 凡余实因半法不可方者前一方所商未善也退方根别商之 余实之方二因之而减一为正方与前方较其赢绌若正方绌者径之减一之数并之也其绌以法之加二其赢以法为准
少广补遗第六篇
开抽竒立尖之半积合尖内竒偶诸层取层内数竒者去之 先得径数以法算得底数
其一得径偶
置半径之立方与三平方及全径并而十之一十五而一之以其数减原实为正实 半径除正实得数分半径之竒偶御之 半径竒者置半径加一而二除之为带一縦方倍之并半径除正实之数复加倍以带二縦方开之开得数置半径减一并之 半径偶者置径四分之为带一縦方复置径四分之而加一亦为带一縦方并半径除正实之数皆倍之平方开之若原径过四以上者置径减四而二除之数并之 上法如有不合或得正实之后半径除之不尽与虽尽而并别数平方带二縦方开之不得者设别法如下条
置半径之立方与三平方及全径并而十之一十五而一之复置半径益一为带一縦方并之损二为数以减原实为正实 以半径除半正实得数分半径之竒偶御之 半径竒者置半径加一而二除之复加一而为平方并半径除半正实之数皆四因之平方开之开得数半径减一并之 半径偶者置全径四除之益一为带一縦方并半径除半正实之数皆四因之带二縦平方开之开得数半径并之
其一得径竒
置径减三折半而取其倍数及其立方与三平方并而十之一十五而一之减原实为正实 复置径减一折半为法视法之竒偶分御之 法竒者以半法除正实得数有余实之不及法者别存之次置法减一为带二縦方并之带二縦方法开之余实之不及方者倍法因之若前有剰实者四因并入而开带二縦方其视前方赢绌之数法之加一为率 法偶者半法除正实得数有余实之不及法者别存之次置半法与半法之减一各为带一縦方加倍并之平方法开之其余实之不及方者倍法因之若前有剰实者四因并入而开带二縦方其视前方赢绌之数绌者以法之加二赢者以法为率 凡余实因倍法不可为带二縦方或为之不及率者前方所商未善也退方根别商之末方较前方绌者置径之减一并之
少广补遗第七篇
准本章多乘方以立尖形律余尖得四法
一方尖准立尖
如数一 一四 一四九
一十二倍置实带一縦平方法开之开得数益一复方之所得数溢于本数之底与径一数
二抽偶方尖准立尖
三倍置实阙半縦平方开之带一縦方法收之得本数底加一以二除之之数与本数径数
三抽竒方尖准立尖
三倍置实带一縦平方法开之开得数益一复方之得本数底二除益一与本数径益一数
四立尖还准立尖
如数一 一一二 一一二一二三
六倍置实带一縦方开之开得数益一倍之仍除带一縦方得本数底与本数径溢一数
少广补开尖法设如
第一准本章平立方圆开三角及诸尖计一十二条
平尖设如 原数六
倍数一十二 带一縦方根三
尖之实 一 二 三
立尖设如 原数十
六因数六十 阙一縦立方根四 减一得三
尖之实 一 一二 一二三
倍尖设如 原数七
二除数三五 末五进一十除得四
尖之实 一 二 四
方尖设如 原数十四
三因数四十二 立方二十七 平方九 半平方四五 半方根一五
尖之实 一 四 九
再乘尖设如 原数三十六
二除数十八 内复减原实余一四四 平方根十二带一縦方收得三 三数逆至尖得中数二二乘三
得六
尖之实 一 八 二十七
再乘尖又设如 原数一百
二除数五十 复减原实余四 平方根二十 一縦方收得四 四数逆至尖得对数二 加五数于对数之次得二五四因二五得十
尖之实 一 八 二十七 六十四
抽竒平尖设如 原数十二
一縦方根三 对数三全数六
尖之实 二 四 六
抽偶平尖设如 原数九
平方根三 中数三全数五
尖之实 一 三 五
抽偶数立尖原注本尖内层数及层内诸数偶者去之设如 原数十四
方尖法开之得三 中数三全数五
尖之实 一 一三 一三五
抽竒数立尖原注尖内层数及层内诸数竒者去之设如 原数二十
三因数六十 阙一縦立方根四 四减一得三 对数三全数六
尖之实 二 二四 二四六
抽竒偶数方尖设如原数三十五
六因数二百一十 阙一縦立方根六 六减一得五全数五中数三
尖之实 一 九 二十五
又设如 原数五十六
六因数三百三十六 阙一縦立方根七 七减一得六 全数六对数三
尖之实 四 十六 三十六
抽偶再乘尖设如 原数一百五十三
二除数七六五 阙半縦平方根九 复方之三 中数三全数五
尖之实 一 二十七 一百二十五
抽竒再乘尖设如 原数二百八十八
二除数百四十四 平方根十二 复方之一縦三对数三全数六
尖之实 八 六十四 二百一十六
第二开抽偶抽竒立尖
木尖内层数偶者去之设如 原数二十二
加二得数二百六十四 立方二百一十六 平方三十六 半平方阙一縦十二 方根减一得五折半得三
尖之实 一 一二三 一二三四五
本尖诸层内数偶者去之设如 原数六
就位加五得数九 立方八 半方根一 方根五除得四 四减一得三
尖之实 一 一 一三
又设如 原数十
就位加五得数十五 立方八 平方四 半平方二半方根一 方根五除得四减一得三
尖之实 一 一 一三 一三
本尖内层数竒者去之设如 原数三十四
加二得数四百零八 立方三百四十三 平方四十九 余縦二八一十六 方根七减一得六縦限二益一得三
尖之实 一二 一二三四 一二三四五六本尖诸层内数竒者去之设如 原数十六
就位加五得二十四 阙一縦立方根三 方根减一以五除之得四
尖之实 二 二 二四 二四
又设如 原数十
就位加五得数十五 立方八 平方四 半平方二半方根一 方根五除得四减一得三
尖之实 二 二 二四
第三准本章縦诸方开三角及诸尖之半积似三角一钝角形
平尖设如 原数二十四 径三
减六得十八 三除十八得六 加三得九
尖之实 七 八 九
抽竒平尖设如 原数十八 径三
减十二得六 三除六得二 加六得八
尖之实 四 六 八
抽偶平尖设如 原数二十七 径三
减九得十八 六除十八得三加三得六 五除六减一得十一
尖之实 七 九 十一
立尖设如 原数三十一 径三
减一十得二十一 三除二十一得七 七加三得十半平方加半縦开十得四 四加一得五
尖之实 一二三 一二三四 一二三四五又设如 原数二十五 径二
减四得二十一 加四仍二十五 平方根五
尖之实 一二三四 一二三四五
方尖设如 原数五十 径三
四因数二百 减五十六得百四十四 三除百四十四得四十八并十六得六十四 平方根八并二折半得五
尖之实 九 十六 二十五
第四开三角及诸尖半积
抽偶立尖原注本尖内层数偶者去之设如原数四十九 径三
减二十二得二十七 三除二十七得九并六得十五半方加半縦除十五得五并二得七
尖之实 一二三 一二三四五 一二三四五六七
又设如 原数二十一 径二
减七得十四 复加六得二十 一縦方根四并一得五
尖之实 一二三 一二三四五
抽偶立尖原注本尖内层数及诸层内数偶者皆去之设如 原数五十 径三
减一十四得三十六 三除三十六得十二并四得十六 平方根四 五除方根四减一得七并二得九尖之实 一三五 一三五七 一三五七九又设如 原数四十一 径二
减五得三十六 并五仍四十一 四十一减一而二除之数二十得一縦方根四 五除四加一得九
尖之实 一三五七 一三五七九
抽竒立尖原注本尖内层数竒者去之设如原数六十七 径三
减三十四得三十三 三除三十三得十一并十得二十一 半方半縦开之得六并二得八
尖之实 一二三四 一二三四五六 一二三四五六七八
又设如 原数三十一 径二
减一十三得十八 并十二得三十 一縦方根五并一得六
尖之实 一二三四 一二三四五六
抽竒立尖原注本尖内层数及诸层内数竒者皆去之设如 原数六十二 径三
减二十得四十二 三除四十二得十四并六得二十一縦方根四 二因四得八并二得十
尖之实 二四六 二四六八 二四六八十又设如 原数五十 径二
减八得四十二 并八仍得五十 五十减二而二除之得二十四 二縦方根四 五除四加二得十
尖之实 二四六八 二四六八十
抽竒偶数方尖设如 原数一百五十五 径三
减五十六得九十九 三除九十九得三十三加十六得四十九 平方根七并二得九
尖之实 二十五 四十九 八十一
又设如 原数二百 径三
减五十六得百四十四 三除百四十四得四十八并十六得六十四 平方根八并二得十
尖之实 三十六 六十四 一百
第五开抽偶立尖半积合本尖竒偶诸层取层内数偶者皆去之
先得径偶设如 原数一百 径六
减二十八得七十二 三除七十二得二十四并八得三十二 二除三十二得十六方之得四 五除四减一得七并二得九
尖之实 一三五 一三五 一三五七 一三五七 一三五七九 一三五七九
又设如 原数五十 径四
减十得四十 二除四十得二十 二十并五得二十五减一而半之得十二 一縦方根三倍三得六六减一得五并二得七
尖之实 一三五 一三五 一三五七 一三五七
先得径偶次条设如 原数六十六 径四
减十八得四十八 二除四十八得二十四半之得十二并四得十六 平方根四 五除四减一并二得九尖之实 一三五 一三五七 一三五七 一三五七九
又设如 原数一百二十七 径六
减四十三得八十四 三除八十四得二十八并十三减一得四十 二除四十得二十一縦方根得四五除四减一并四得十一
尖之实 一三五 一三五七 一三五七 一三五七九 一三五七九 一三五七九十一先得径竒设如 原数一百六十三 径七
倍数三百二十六 减二十得三百零六 三除三百零六得百零二并四得百零六 平方开百得十存余实六加五得九 平方开九得三 五除三减一与前方十较之合赢绌率 五并六得十一
尖之实 一三五 一三五七 一三五七一三五七九 一三五七九 一三五七九十一 一三五七九十一
又设如 原数二百零三 径七
倍数四百零六 减二十得三百八十六 三除三百八十六得一百二十八余剰实二 一百二十八并四得百三十二 平方开百二十一得十一余实十一以一五因之并前剰实之半不可方 退方根商一百得方十余实三十二 三十二加五得四十八并前剰实之半得四十九末方得七 五除七减一与前方十较之合赢绌率得十三
尖之实 一三五七 一三五七 一三五七九一三五七九 一三五七九十一 一三五七
九十一 一三五七九十一十三
又设如 原数九十一 径五
倍数一百八十二 减四得一百七十八 二除一百七十八得八十九并二得九十一减一得九十 平方开八十一得九余实九方根得三 五除三减一与前方九较之合赢绌率并四得九
尖之实 一三五 一三五七 一三五七 一三五七九 一三五七九
又设如 原数七十五 径五
倍数一百五十 减四得一百四十六 二除一百四十六得七十三并二得七十五减一得七十四 平方开六十四得八余实一十不可方 退方根商四十九得七余实二十五方根得五 五除五减一与前方较之合赢绌率得九
尖之实 一三五 一三五 一三五七 一三五七 一三五七九
法外设如 原数四十一 径三
倍数八十二 平方商六十四得八 余实十八折半得九方之得三 五除三减一与八较之合赢绌率并二得七
尖之实 一三五 一三五七 一三五七第六开抽竒立尖半积合本尖竒偶诸层取层内数竒者皆去之
先得径偶设如 原数一百二十四 径六
减四十得八十四 三除八十四得二十八并十二得四十倍之得八十 二縦方根八 八并二得十尖之实 二四六 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十 二四六八十
又设如 原数一百 径四
减十六得八十四 二除八十四得四十二并八得五十倍之仍得一百 平方根十
尖之实 二四六八 二四六八 二四六八十二四六八十
先得径偶次条设如 原数一百五十四 径六
减五十八得九十六 三除九十六得三十二半之得十六 并九得二十五四因二十五得一百 半方根十并二得十二
尖之实 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十 二四六八十 二四六八十十二又设如 原数八十二 径四
减二十六得五十六半之得二十八 二除二十八得十四并六得二十加四倍得八十 二縦方根八并二得十
尖之实 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十
先得径竒设如 原数一百九十六 径七
减十六得一百八十 一百八十减五得一百二十一百二十并八为百二十八二縦方开百二十得十存余实八 六因八得四十八二縦方根得六与前方较之合赢绌率 六并六得一十二
尖之实 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十 二四六八十 二四六八十十二二四六八十十二
又设如 原数一百六十六 径七
减十六得一百五十 一百五十减五得一百并八得一百零八 二纵方开九十九得九余实九以六因之不可为二縦方 退方根商八十得八余实二十八以六因之得一百六十八 二縦方商百六十八与前方较合赢绌率得十二
尖之实 二四六 二四六 二四六八 二四六八二四六八十 二四六八十 二四六八十十二
又设如 原数一百十二 径五
减四得一百零八一百零八并四仍一百十二平方开百得十余实十二 四因十二得四十八二縦方根得六较前方合赢绌率六并四得十
尖之实 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十 二四六八十
又设如 原数九十四 径五
减四得数九十 并四仍九十四 平方开八十一得九余实十三以四因之不可为二縦方 退方根商六十四得八余实三十 四因三十得百二十二縦方除之较前方合赢绌率得十
尖之实 二四六 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十
法外设如 原数四十四 径三
五除四十四得八十八 带二縦方商八十得八余实以二因之不可复为带二縦方 带二縦方商六十三得根数竒 商四十八得根数六余实四十 二因四十得八十除带二縦方与前方较之合赢绌率得八尖之实 二四六 二四六 二四六八
第七准本章多乗方依立尖形推余尖
方尖准立尖设如 原数二十
一十二因数二百四十 带一縦方根十五益一数十六 复方之四减一得三
尖之实 一 一四 一四九
抽偶立尖准立尖设如 原数四十六
三因数一百三十八 阙半縦平方根十二 复带一縦方之三 五除三 一得五
尖之实 一 一九 一九二十五
抽竒方尖准立尖设如 原数八十
三因数二百四十 带一縦方根十五益一数十六复方之四 四减一得三倍之得六
尖之实 四 四十六 四十六三十六
立尖还准立尖设如 原数十五
六因数九十 带一縦方根九益一数倍之得二十复除带一縦方四 四减一得三
尖之实 一 一一二 一一二一二三
少广补开尖法覈原
开正尖全积二十法设各就本尖用之
平尖法一之一 尖一
倍数二 带一縦方根一
立尖法一之二 尖一
因数六 阙一縦立方根二 减一得一
倍尖法一之三 尖一
二除数五 进五作十除得一
方尖法一之四 尖一
因数三 方体一 方面一 半方面五 半方根
再乘尖法一之五 尖一
二除数五 减原实余四 平方根二 复除带一縦方一
抽竒平尖法一之六 尖二
带一縦方根一 对数一全数二
抽偶平尖法一之七 尖一
平方根一
抽偶立尖法一之八原注尖内层数及层内诸数偶者尽去之 尖一
因数三 方体一 方面一 半方面五 半方根五抽竒立尖法一之九原注尖内层数及层内诸数竒者尽去之 尖二
因数六 阙一縦立方根二 减一得二之对数
抽竒偶数方尖法一之十 尖一
因数六 阙一縦立方根二 二减一即一
又尖四
因数二十四 阙一縦立方根三 三减一数二
抽偶再乘尖法一之十一 尖一
二除数五 阙半縦平方根一 复方之亦一
抽竒再乘尖法一之十二 尖八
二除数四 平方根二 复带一縦方之一 对数一全数二
抽偶立尖法原注尖内层数偶者去之二之一尖一
加二数十二 方体八 方面四 半方面应阙一縦今阙 二减一得一
抽偶立尖法原注本尖诸层内数偶者去之二之二 尖一
就位加五数一五 方体一 半方根五 五除一得二减一复一
又尖一 一
就位加五数三 方体一 方面一 半方面五 半方根五 五除一得二 二减一复一
抽竒立尖法原注尖内层数竒者去之二之三尖一二
加二数三十六 方体二十七 方面九 縦限视本数径数及本数底半数应朒一数今空 三减一数二抽竒立尖法原注本尖诸层内数竒者去之二之四 尖二二
就位加五数六 阙一縦立方根二 二减一得一以五除之复二
又尖二
就位加五数三 方体一 方面一 半方面五 半方根五 五除一得二 二减一亦一
方尖准立尖法七之一 尖一
加二数十二 带一縦方根三 三益一得四复方之得二 二减一即一
抽偶方尖准立尖法七之二 尖一
倍数三 阙半縦平方根二复带一縦方之一 二因一减一亦一
抽竒方尖准立尖法七之三 尖四
三倍数十二 带一縦方根三益一得四复方之得二二减一以二因之亦二 减一亦一
立尖还准立尖法七之四 尖一
因数六带一縦方根二 二益一得三倍之得六复除带一縦方得二 二减一即一
少广补遗
<子部,天文算法类,算书之属,庄氏算学>
钦定四库全书 子部六
庄氏算学 天文算法类二【算书之属】提要
【臣】等谨案庄氏算学八卷
国朝庄亨阳撰亨阳字元仲南靖人康熙戊戌进士官至淮徐道是编乃其自部曹出董河防于髙深测量之宜随事推究设问答以穷其变因笔之于书其后人取残藁裒缉成帙中间大防皆遵
御制数理精蕴而参以几何原本梅氏全书分条采摘各加剖晰颇称明显末为七政步法亦本之新法算书而节取其要其于推步之法条目赅广缕列星罗无不各有端绪恭案
御制数理精蕴线面体三部凡三十余卷几何原本五卷梅氏全书卷帙亦为浩博学算者非出自专门不能骤窥蹊径今亨阳撮举精要别加荟萃简而不漏括而不支可为入门之津筏虽未能大有所发明而以为学者启之资则殊有禆益矣乾隆四十六年十月恭校上
总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
总 校官【臣】陆 费 墀
钦定四库全书
庄氏算学卷一
淮徐海道庄亨阳撰
梅勿庵开方法
一平方
平方四边相等今所求者其一边之数西法谓之方根方者初商也初商不尽则倍初商之根为廉法除之得两廉又以次商为隅法自乘得隅以补两廉之空而成正方形是谓次商又不尽则合初商次商得数倍之为防法除之得次两廉又以三商为隅法自乘得隅以补次两廉之空而成正方形自此而四商五商仿而加之能事毕矣
凡减隅积皆视其隅数为何等隅数是单则积止于单位隅数是十其积止于百位百止于万位千止于百万位万止于亿位每隅法大一位则隅积大两位所以初商减积止初防次商减积止次防三商四商五商皆可以类推也【自单位作防起每隔一位防之有二防商数有十三防商数有百也】
凡初商得一二三四皆书于防之上一位商得五六七八九皆书于防之上两位其故何也五以上之廉倍之则十故豫进一位以居次商四以下虽倍之犹单数也所以不同
大约所商单数必在亷法上一位乃法上得零之理也开方有实无法廉法者乃其法也
次商用归除凡归除得数皆书于筹之第一位今须看次商所减之数其筹行内第一位是空与否若不空即以次商得数对余实首一位书之若第一位是空则以次商得数对余实上一位书之虽不离筹之第一位而所商之有空位无空位出矣立方审空位之法亦然
一立方
平方则一方次合两廉一隅以成方面立方则一方次有三平廉以辅于方之三面又有三长廉以补三平廉之隙又有小方隅以补三平廉之隙推之三商四商皆然而方体成矣
三平廉长濶相同皆如初商数三长廉长如初商数其两头髙与濶则如次商数
立方三位作防者自乘再乘之积止于三位也初商防在首位则独商首位防在次位则合商两位在三位则合商三位也凡初商得一数者书于防上一位得二三四五者书于防上二位得六七八九者书于防上三位其故何也盖开方以廉为法而平方只有二廉其廉之积数只有进一位故一进而足立方则有三平廉而其积数有进一位者有进两位者故必立三等也要其豫为续商之地使所得单数居于法上之一位则同方单一其廉法单三若方单二则廉法一十二变为十数进一位矣故一用常法二用进法也方单五其廉法七十五若方单六则廉法一百零八又变百数进两位矣故五用进法而六以上用超进之法也
三平廉用自乘者三平面积也三长廉则未有积故与平廉异也次商数自乘以乘长廉者每长廉之一数各分次商自乘之数也
一平方带纵
平方带纵者长方面也初商得平方与纵方纵方之濶如平方之数长则加所设纵之数次商得廉纵一廉二隅一盖倍廉不倍纵一为带纵之廉一为不带纵之廉也用法与平方相似但初商时必以初廉得数乘纵数为纵方积然后合两积以减原实为稍异耳
若应商十数因无纵积改商单九是初商空也则于初商位纪○而纪其改商之数于○下若次商者然既为次商则减积亦尽于第二防
初商得五至得九皆书于防上二位不论纵之多寡若得四以下则视纵之多少而为之进退法以纵折半加入初商【单从单十从十百千各以类加】若满五以上则亦进书于防之上两位【如初商三而纵有四初商四而纵有四之类】若纵数少虽加之而不满五则仍书于防之上一位【如初商四而纵只有一初商六而纵只有二之类】搃而言之所商单数皆书于廉法之上一位故初商得数有进退之法乃豫为廉法之地以居次商也初商五以上倍之则十虽无纵加廉法已进位矣初商虽四以下而以半纵加之满五则其倍之加纵而为廉法也亦满十而进位矣防法进位故初商亦必进盖豫算所商单数已在廉法之上也
又初商若得单数其廉法即为命分凡商得单数必在命分上一位凡开方皆然
一立方带纵
凡立方带纵有三一只带一纵如云长多方若干或高多方若干是也一带两纵而纵数相同如云长不及方若干髙不及方若干是也一带两纵而纵数不相同如云长多濶若干濶又多髙若干是也大约带一纵者只有纵数而已带两纵者有纵数又有纵方故其术不同立方带一纵者长多于方谓之横纵髙多于方谓之直纵初商得立方一方纵一合成长立方形次商平廉三内带纵者二长廉三内带纵者一小隅一合七形而成一形三商以上者皆仿此
以积实列位作防如立方法截首一防为初商之实视立方表中积数有小于初商实者用其方根为初商得数用其积数为初商积数次以初商自乘以乘纵数为纵积合计立方积纵积共数以减原积而定初商不及减者改商之及减而止
次商则以初商得数自乘而三之又以纵与初商相乘而两之共为平廉法或以初商三之纵倍之并其数以乘初商或以初商加纵而倍之并初商数以乘初商竝同【所谓带纵防二不带纵廉一也】又以初商三之加入纵为长廉法【所谓带纵廉一不带纵廉二也】乃以平廉法约第二防上余实商除得数为次商于是以次商乘平廉法为三平廉积又以次商自乘以乘长廉为三长廉积就以次商自乘再乘为隅积合计平廉长廉隅积共若干以减余实不及减者改商之及减而止
三商则以初商次商所得数加纵而倍之并商得数为法仍与商得数相乘为平廉法又以初商次商所得数三之加纵为长廉法以除原实如次商法余仿此列商得数依立方法得一书于防之上一位得二三四五书于防之上两位得六七八九书于防之上三位若纵数多廉法有进位则宜用常法者改用进法宜用进法者用超进之法宜超进者更超一位书之其法于次商时酌而定之盖次商时有三平防三长防再加隅一为命分之法法上一位单数也从此单数逆寻而上自单而十而百而千至初商位止有不合者改而书之若与初商恰合不必强改此法甚妙平方带纵亦可用之也
若宜商一十而改单九或宜商一百而改九十凡得数改退小一等数者皆不用上一防而以第二防论之此尤要诀不可忘【或于初商外作圈而以所商小一等数书于圈下亦可以上一防论也】立方带两纵纵数相同者如髙不及方若干则方之横与直俱多于髙是为两纵初商有纵廉二纵方一并立方而四盖两纵廉辅立方之两面而纵方以补其隅合为一短方形也次商平廉三内带一纵者二带两纵者一长廉三内带纵者二不带纵者一小隅一共七形合一短方形也
用法先以纵倍之为纵廉法又以纵自乘为纵方法乃如立方法列位作防视表中求初商方数及立方积次以初商得数乘纵方数为纵方积又以初商自乘数乘纵廉数为纵廉积合计纵方纵廉立方之积共若干数以减原实而定初商不及减改商之及减而止
次商则以初商得数加纵倍之以乘初商得数【所谓带一纵之廉二也】又以初商加纵自乘得数【所谓带两纵之廉一也】并之共为平廉法或以初商三之加纵以初商加纵乘之亦同次以初商加纵倍之并初商数共为长廉法【所谓带纵者二不带纵者一也】或以初商三之纵倍之亦同乃置余实列位以廉法位酌定初商列法而进退之以平为法而除余实得数为次商【皆所以减首位是空与否而为之进若退】或合平廉长廉两法以求次商亦同于是以次商乘平廉法为平廉积又以次商自乗数乗长廉法为长廉积又以次商自乗再乗为隅积合计平廉长廉隅积共若干以减余实而定次商又法以次商乗长廉法为长廉法又以次商自乗为隅法并长廉平廉隅法以与次商相乗为次商廉隅共积以减余实亦同不及减者改商之及减而止三商四商仿此
立方带两纵纵数不相同者如长多于濶髙又多于长初商有大廉纵一小廉纵一纵方一并立方形而四盖大廉纵以辅髙之一面小廉纵以辅长之一面而纵方以补两纵之阙也次商平廉三内带小纵者一带大纵者亦一兼带两纵者又一长廉三内带小纵者一带大纵者一不带纵者一小隅共七形合成不等方形也用法以两纵相并为纵亷以两纵相乗为纵方乃如立方法列位作防求初商之实以立方表求得初商立方积次以初商乗纵方数得纵方积以初商自乗乗纵廉数得纵亷积合计三积以减原实皆如前法
次商则以初商长濶维乗得数而并之为平廉法又以初商长濶髙并之为长廉法乃置余实列位【以平廉酌定初商之位而进退之】遂以平廉为法求次商以次商乗平廉为平廉积以次商自乗数乗长廉为长廉积以次商自乗再乗为隅积合三积以减余实不及则改及则止以待三商余仿此
凡不能成一单数者则以所商长濶髙维乗并之如平廉又以长濶髙并之如长廉又加单一如隅为命分母以所余之数为命分子
维乗之法如初商三十尺为濶加纵五尺共三十五尺为长又加纵一尺共三十六尺为髙濶乗长得一千零五十尺髙乗濶得一千零八十尺长乗髙得一千二百六十尺并三维乗数共得三千三百九十尺为平廉法若合长亷加隅一即为命分母也
若在次商后则加次商得数若在三商后则加三商得数
用筹法
开方用筹防法廉隅二形也故有二法今借开方大筹为隅法列于亷法筹下而共商之则隅亷合为一法而用加防矣存前法者所以着其理用防法者所以善其事
既得初商即倍根数为廉法以亷法数用筹【如商根为四则用八商根为六则用十二】以列于立方筹之上为廉隅共法合视共法筹某行内有与次商之实同者或畧少者减实以得次商以本行内方根命之既得次商则合初商次商倍之以其数用筹列平方筹以求三商四商以下仿此隅者小平方也故可以平方筹为法廉之数每大于隅一位今以平方筹为隅列于廉下则隅之进位与廉之本位两半圆合成一数故亷隅可合为一法也何以知亷大于隅一位也曰有次商则初商是十数矣平方之廉法是初商倍数故大于隅一位
若次商之实小于廉隅共法之第一行则知次商是空位也【不能成一数故空】则于廉法筹下平方筹上加一空位筹为廉隅共法以求三商既得三商则合初商三商数倍之去空位筹以倍数用筹列于平方筹之上以求四商如初商得四次商得空则用空位筹列于八筹之下及三商既得九则倍四○九而为八一八之数空位筹可不用矣若两空位则加两空筹三空位则加三空筹余仿此
凡余实必在商数下一位起倘空位则可作圏补之又凡亷隅共法筹第一行数即命分母也盖能满此数即成一单数矣
若立方则以初商数自乗而三之为平廉法以平亷法用筹列于立方筹之上为平廉小隅共法别以初商数三之而比共法尾位进一位为长亷法以长亷法用筹列于立方筹之下【法于长廉法筹下加一空筹以合进一位之数】
视共法筹内有小于实者为平廉小隅共积用其根数为次商次以次商自乗数【即平方筹之积数】与长廉法相乗【以平方筹之数寻长廉筹之行取其行内积数用之】得数加入平隅共积为次商搃积以减次商实乃如法以求三商余仿此
隅者小立方也故可以立方筹为法平廉之数每大于隅二位今以立方筹为隅法列于平廉下则隅之首位与平亷之末位两半圆合成一数故平防小隅可合为一法长防之两头皆如次商自乗之数故可以平方乗之又长防之数每大于隅一位故于下加一空筹以进其位便加积也何以知平防大于隅二位而长亷只大一位也盖平防者初商自乗之积也初商于次商为十数十乗十则成百数矣隅积者次商本位也故平防与隅如百与单相去二位也若长防则是初商之三倍位同初商初商与次商如十与单故长亷与小隅亦如十与单相去一位也
若次商之实小于平廉小隅共法之第一行或仅如共法之第一行而无长廉积则次商是空位也法于初商下作空位圈以为次商而于平防筹下立方筹上加两空位筹为三商平亷小隅之共法以求三商其长防法下又加一空位筹并原有一空位筹共两空位筹为三商长防法或长防不必加空筹但于得数下加两圜若商数有两空位者平防下小隅上加四空位筹长防积下加三圈
盖有空位则所求者三商也初商与三商如百与单而平防者初商之自乗百乗百成万故平防与三商之隅如万与单大四位也此加两空筹之理【平防原大二位加二空筹则大四位矣】
初商与三商既如百与单则长防与隅亦如百与单大两位也此又加一空筹之理也
命分还原法如原实八步开得方二步除实四步不尽命为方二步又五分步之四然在两亷可得五之四在隅则得二十五分步之十六而已实不及五之四也故通分法还原以分母五通二步得一十分又纳分子四共一十四分自乗得一百九十六为实以命分五自乘得二十五为法除之只得七步又二十五分步之二十一以较原实少二十五之四矣故必另置分母五以分子四减之余一以转乗分子四得四即隅差也加隅差入方积中然后以分母自乗除之则合原积矣
若立方积一十七步开得立方每面二步除八步余九步如法命为立方二步又十九分步之九在平防可得十九分步之九在长防与隅则不满也法以分母十九通二步为三十八分又纳分子九分共四十七分为立方全数以全数自乗再乗得一十○万三千八百二十三分为通积另置分母十九自乗得三百六十一内减分子九自乗八十一余二百八十分以分子九乗之得二千五百二十分为隅差又置分母十九内减得分九余十分转乗分子九得九十分以乗命分母十九得一千七百一十分为长亷每步虚数又以长防法六步乗之得一万○二百六十分为长防差合二差共一万二千七百八十分以加入通积共得一十一万六千六百○三分为实以分母十九自乗再乗得六千八百五十九分为法以除实得一十七步合原积
庄氏算学卷一
钦定四库全书
庄氏算学卷二
淮徐海道庄亨阳撰
几何原本举要
凡角度皆起于圆心而见于圆界圆不论大小俱有三百六十度之数度有六十分分有六十秒秒有六十微微有六十纎自此以下又有不尽之数分之故执有度之圆界
为凡角大小之规也
二平行线若作一斜线交加于上则二横线内外所成
之二角俱为相等
在平行线上作一斜直线即成八角此八角之
庚戊乙甲戊己两相等角谓之对角甲戊庚庚戊乙两角同心谓之并角庚戊乙戊己丁二角相等角一边谓内外角甲戊己戊己丁二角相等角其尖错交谓相对错角庚戊乙丁己辛二角之等角一边谓之外角乙戊己丁己戊二角之相等角一边谓之内角八角之中半钝半鋭各自相等推之三平行线四平行线皆然也凡三角形之三角相并必与二直角等而具半周之度凡三角形自一界线引长成一外角将三角形内所对二角并之始与一外角等
凡三角有二形两边线之度各等二线所合之角俱等则二形底线之度必等式亦等其下各二角皆等也若二形三界线之度各相等则三角度亦必等而形内所函亦等也
若二形一界线之度相等于相等线左右所生之二角又相等则他线他角俱各等而二形之度俱等也三角形有二边等线者其底线之两角度亦为相等也盖作一长线上剖角下剖底成两直角三角形各相等也则底线左右所成角必等可知
凡三角形之长界线必对大角最长对最大次长对次大短者对小者
凡三角形必有二鋭角何也凡三角形将三角并之必与二直角等故一钝必两鋭一直亦两鋭即三等角亦皆鋭也
凡自一防至一横线作众线众线内有一垂线必短于他线而他线之与垂线相离愈逺者线愈长也
凡三角无论直鋭钝合并二界线必长于所余之一界线所以凡自一防又至
一防画防线其各线中仅一线直而短余必曲而长矣四边形有五种一四方形边角俱等也一长方形角等而两边长两边短也若四边等而角两钝两鋭者谓斜方形又两边长两边短而角两钝两鋭者谓长斜方形若四边不等四角又不等者谓无法形
凡四边平行线形其角之各两对角必俱相等
于对角作线分为两三角形是为对角线必将平行线四边形分为两平分
凡平行线之四边作两对角线相交处为平分二线之正中
凡于四边形对角线之正中作一斜横线截开则将四边形为两平分
四边形若于对角线不拘何处交加依两界作二平行线即成四四边形二形为对角线内之形二形为对角线旁余之形此两旁形其积必
等盖对角线原属平分而等今交加线中所成两大三角两小三角形亦属平分而等于原两三角内对减两大三角两小三角则所旁余四边形其积亦必等两平行线内凡同底所成之四边形其面积俱等何也如甲乙戊丁丙己两三角形其甲丁戊
己二线之度俱与乙丙平行线为等故互相等也若于甲丁戊己二线每加一戊丁线即甲戊丁己两线俱等因甲乙丙丁之四边形为平行线则所各相对之线亦俱等也再戊甲乙己丁丙二角为甲乙丁丙平行线一边之内外角两形为等自此两三角形减去丁戊庚所存之甲乙庚丁戊庚丙己二形俱等于此所存之二形每加一庚乙丙形则成甲乙丙丁戊己丙乙之相等积四边形矣故凡两平行线内凡同立于一底者则线无论短长所存之四边形俱等积也
两平行线内若同立一底凡所有各种三角形之面积亦俱等也盖三角为平行四边形之一半四边既等则三角亦等也底度同亦然
凡众角形自角至心作线有防界即成防角形若作六界即成六三角形矣
欲知众边形角度之数将边数加倍于得总数内减四其所余之数为直角数即为众角
度也如七边形是七个三角形凡三角形并三角等两直角则七三角形等十四直角而圆心所有之七角当四直角矣故将十四直角减四直角余十直角之度为众角之总度也
凡一直线切于圆界虽长过界而不与圆界出入交加此谓之切线又两圆之圆界相过相切而不相交加出入谓之切圆
凡一直线横分圆界谓之如戊所分圆界之一段谓之弧如甲乙丙线与弧线相遇处成两形如甲乙丙俱为圆
之弧分之角
凡自之两头作两线外向圆界相遇此角名为圆分内角又谓对弧立角
自圆心作二辐线至弧线成三角形谓之分圆面形凡自与圆界相切辐线之末作垂线必在圆外
凡在圆线若自圆心作垂线可以平分线垂至圆界便可平分弧线盖自甲心作两半径至乙丙二处其线相等则丙乙二角相等故自甲角至乙丙底线之丁处作垂
线便是平分也
凡自圆外一防至圆界两边作二切线此二线必相等盖自圆心作二辐线与二切线相切则二切线与二辐
线互为垂线而两线相遇之角
必俱为直角又于两直角作一
对角线是谓线而成丁乙丙
与甲乙丁两三角形丙乙丙丁系辐线原等则底线两合角必等减圆内两角数则甲乙丁甲丁乙二角乃两直角之所余也二角既等二切线亦必等矣
凡圆有两线若等其分圆弧面之积亦等若自心至两各作一垂线则二垂线度亦等又自心至两线之各两头作四辐线亦等则所成之两三角形亦等
于甲乙辐线末作垂线者切线也甲
辐线割圆于戊而至丁者割线也戊
垂线至己者正也凡立于乙戊弧
之角者欲求三角之度三边之数皆于是取也
三角俱抵圆边者界角也一角居心二角抵边者心角也心角交与界角有三种其圆心所生界角或在二直线之一线者或在二直线之外者或在二直线之间者此三种心角皆大于界角一倍如第一图心角在丁乙直线之内则心角为甲丙丁钝角形之外角外角则兼有本形丁甲二角之度而丙丁丙甲为一圆之辐线相等则所合丁甲二角亦必相等外角既兼有二角之度则比丁角为大一倍可知矣第二图心角在丁乙直线之外则自丁过内心至戊作一直线成甲丙戊一大心角甲丁戊一大界角乙丙戊一小心角乙丁戊一
小界角凖前论大心角倍于大界角小心角亦倍于小界角今于大心角减去小心角大界角减去小界角则所减之心角倍于所减之界角而所存之原心角亦倍于所存之原界角也第三图心角在丁乙丁甲直线之间自丁界过丙心至对界作一直线亦如第一图论将心角剖为二界角亦剖为二则分为两心角各倍于两界角仍合为一心角则倍于一界角也
自圆之弧线凡一叚任与圆界何处其尖相切所成之界角有防何其度俱为等也盖同立一弧者心角皆大于界角一倍如上节所云则同弧之界角不论何处皆小于心
角一倍也因其俱为心角之半则不拘何处作界角皆相等也
圆内有一心角一界角若心角所对弧度得界角所对弧度之一半此两角度必相等也盖同弧之心角大于界角一倍今于心角弧度去一半则两角必相等也凡圆之界角若立于圆界之半必为直角盖心角所对弧线若是界角所对弧线之一半则二角之度必等今界角对弧为半周将半周弧剖作二心角则二角皆为直角既为直角则界角对弧乃兼两心角对弧者安得不为直角乎
凡圆之界角若在半圆分之小分内必为钝角也如图甲乙丙为小半圆则所余甲丁丙为大半圆若将甲丁丙弧线于丁处平分又自圆心作戊丁戊甲两线丁甲弧大于圆周四分之一为钝角也又心角对弧若为界角对弧
之一半则二角度为相等今甲丁正得甲丁丙之半则戊为钝角乙亦为钝角也
凡圆之界角若在半圆分之大分内必为鋭角也如图甲乙丙为大半圆所余甲戊丙为小半圆若将甲丙为弧线两分于戊又自丁作丁甲丁戊两线成甲丁戊心角形此
心角形所对既不足圆界四分之一则为鋭角也既为鋭角则甲乙丙角必为鋭角可知矣
函圆形者有函圆切三角形函圆切四方形有函圆切多边形圆内切形者有圆内切三角形圆内切四方形圆内切多边形函圆众界形之度大于函于圆之界其函众界形之圆界度亦大于所函之众界形在外者大在内者小也故函形界必大于函于形界也
有一函圆众界形又一直角三角形此三角形一直角所生二直线内一直线度若与所函圆之辐线度等又一直线度与函圆众界形之各界共度等则三角形面积与众界形面积俱等也如自几边形之心至角作几线分为几三角求三角之中长线即辐线也底等髙等所作三角形俱等即所云二平行线内同底所作三角形俱等也合众三角形之底为一大三角形之底其面积当无不等也
一圆所函之众界形一直角三角形此三角形之一直角所生二直线内一直线度与彼圆自心至众界形界所作垂线度若等再一直线度与彼众界形之共界度若等则两形之面积俱等也
有一圆形有一勾股形若股如半径勾若全周则两形之面积必等也盖比前函圆之众界形则为小比前函于圆之众界形则为大就中间取之恰合无疑也夫函于圆之众界形辐线及界而不及弧是比圆为小也函圆之众界形辐线虽及弧而众界度共线又长是比圆为大也今以圆周及辐线取直角三角形而合之相等无疑则可得圆之面积也盖圆线式异于直线式难于符合然苟将圆线作万万段亦与直线近也
众界形或函圆或函于圆其界数愈多愈与圆界度相近如自函三边而为六边六边而为十二边十二边而为廿四边无论内外愈近圆界度数也试设一函于圆九十六边形又设一函圆九十六边形而作一圆若将函圆形作一千五百六十二分又将他形照此所分之度分之则函于圆形仅得一千五百六十一分矣而圆界度大于所函之众界小于函圆之众界必得一千五百六十一分余其圆界中心径线必得四百九十七分若即小数算之将圆界作二十二分则中心径线必得七分余故在圆界可得直线之度在直线亦可得圆界之度也
有一圆形又一众界形此圆界度若与彼众界度等则圆形之面积必大于众界形之面积也试凖前半径作股界度作勾之法求之则方周圆周之界度虽同而圆之垂线长方之垂线短则方所成之三角不及圆所成之三角而所函之面积方亦不及圆矣
凡平面上所立之线若无偏斜犹平阶立直柱其各边所生之角若俱直是谓平面上之垂线
相对两平面之角各垂线度若俱等此相对二平面谓之平行面
平面上所立之平面若无偏斜犹平地上作直壁是谓平面上之直平面
自三面四面以上其各瓣相并所存之角谓之厚角成厚角之平面各角度不足于四直角度也何也试将五面厚角尖使其平伸共为一平面则五瓣各相离而有空处
不能成圆面故不足四直角也若欲将四直角显尖作厚角其瓣大而不能成平面厚角矣
平面三棱厚角其三面内若将两面角并之必大于所余之一角度也试将三平面使之平伸而两角相并一角孤行则可见矣
凡平面上二直线相交处作一垂线莫偏斜则此线于平面上在在俱为垂线也盖若有偏则自平面上视之或成钝角或成鋭角既无偏斜则为直角既为直角则移向平面上处处俱为垂线矣
众线相交处立一垂线其角若俱直此所交之各线必在平面一也
平面上作二垂线正直立之此二线必互为平行也盖于平面上作一直线而正直作二垂线则所交直线之角皆为直角所谓二直线一边成内外之二角也凡平行二线之间任意自此一线至彼一线随处作直线斜线交线三角形线俱同原平行线在平面上二线与他一线平行虽在别面此二线亦互相为平行也
相对二平面间若横一线正垂在二平面上俱生直角此相对二面互相为平行面也盖于二平面上各作对角斜线两相交处为两平面之中而垂线正当两线相交之处而俱成直角则两平面上之两对角四边俱系平行则两平面亦必为平行者也
二平行而上凡相当之各二线俱为平行也
二平行面横穿一平面而皆成直角则中间缝线亦必平行也如以木版穿木版之状
各种面内积之处谓体依面之端名之也设如全身无角只有一圆面此谓圆体全身各面俱平而有角此谓平体立方是也其身有曲平两相襍谓之襍体如半截橄防是也全身相对之各二面俱平行此谓平行面体长立方长斜立方是也全身相对之面不平行而独两底面平行此谓底平行面体三角柱是也周围圆形而底与面平谓长圆体圆柱是也一平面底而立几平面俱合于一角而成大此总谓尖瓣体也底三角者为三瓣尖体底四角者谓四瓣尖体底众角者谓众瓣尖体若在平面上立圆面而成鋭尖此谓尖圆体也
所云圆体长圆体尖圆体此三种面俱生于一动之间耳以甲乙为枢心将甲乙丙作转式旋转一周即成为圆体也于甲乙丙丁平面形以甲乙为枢心以丙丁线界作转式旋转一周即为长圆体也于甲乙丙三角形以甲乙为枢心以丙界作转式旋转一周即尖圆体也枢心正则为正体枢心偏则偏体矣
凡体若面平行相当所对两边面积俱为等也如正方体六面相当则六面面积俱等如长方体各底面相当则底面之面积俱等也
凡体苟面积形式一同俱等谓全等体形不等而积等谓等积体积不等而式等谓等式体
平行面三凡体形自对角线分为两段此两段为全等体也
平行平面之间若同在一底立各平行体形其积俱为等如面例
平行平面之间有在等积底所立之各平行体形其积必俱等盖所立之处不同而其度同也故等也
平行平面之间有在等积三角形两底所立各三面体形此所立各体之积必俱等也理如前节
平行平面之间同在一底作一平行体形作一三面体形则三面体形必为平行体形之一半
各种体形难以发明必作图以明然有空实二端空者宗其空实者宗其实乃可耳
凡等式体苟立于等积之底其体之髙若等则其积俱为等凡尖圆尖瓣皆然也盖将大体截分为众小体其小体底度亦等也
有各种平行底之平面体与各种平面尖体两底积若等其髙数又等则此一平行底之平面体与彼平面尖体三形之积等推之平行面体与四瓣尖体三形之积等平行底之圆面体与圆面尖体三形之积等盖三面尖体为三平面平行底平面体三分之一四面尖体为平行面体三分之一尖圆体为圆柱体三分之一也若将实形作空形以水注之作比例可见
凡相等界度之体内其圆体所函之积数强于他种体所函之积也如一圆一方一十二瓣体论积皆不及圆盖如论面函于圆界之积大于各等边平形所函之积也六面俱为等面八角俱为直角是谓正方体
厚角正体有五种观于各面数而名之也一为四瓣面之体此四面每面有三角各三角各三界度若俱等是谓四瓣体二为六瓣面之体即正方体也三为八瓣面之体共八面面各三角各三界度若俱等是为八瓣面体四为十二瓣面之体此每面有五角各五界度若俱等是谓十二瓣体五为二十瓣面之体此每面有三角每面各三角各三界度若俱等是谓二十瓣体此正体五种外不生他形总不外三角四角五角之平面合而成也盖将三角平面形三瓣形合成一厚角余一面求角合角界合界必取等角等界之平面三角形也四瓣体是也将三角平面四形合之复加四形八瓣体是也将三角平面五形合之复加十五形二十瓣体是也然欲以三角六形合之不能成厚角矣盖六三角平面形界于界角于角而对合之成六角之平面形能为平尖不能显也是故三角形所生只于四瓣八瓣二十瓣自此而外无有也四角所成只于正方角此外无有也将五角平面形三形合之所成厚角即如十二瓣体是也此外不能成他角也至六角平面形则将三角相合已等于四直角能为平而已不成厚角也六角如此七八以上可知矣
凡比例面比面体比体线比线不同者不相谋也凡将两物度数互相比之此比出之度数为大为小谓之比例其比者与所比于物者俱谓率齐数之谓也其比之物谓前率其所比于之物谓后率也如甲乙二线相比此所比出之甲线或为长或为多乙线或为短或为少谓之比例也将此二线相比故谓之二率而所比之甲线谓之前率其比于之乙线谓之后率矣
凡两两相比谓之四率如一率与二率之比同于三率与四率之比此为同理比例也如一率甲二率乙三率丙四率丁乙线为甲线六分之五丁线为丙线六分之五则甲乙二线之比同于丙丁二线之比是谓同理比例苟求得乙线有甲几倍之数则可知丁线有丙几倍之数也
又凡四率将一率与三率分作几分将分数相等定凖此两率分度虽不同而分数为等于是以二从一以四从三防几分为均其一与二之比即如三与四之比为同理比例也
有两不同之比例如二率四率之分数相等而一率于二率为四之六三率于四率为四之五则不同矣而可相比例谓一与二之比大于三与四之比也前比例之数多再比例之数少也故又谓之两不相同之比例也有相连比例率如甲线一【一率】乙线二【二三率同】丙线四【四率】甲与乙之比同于乙与丁之比是谓相连比例仿此于相连比例之内将一率甲与三率丙比者谓隔一位加一倍之比例也将甲与丁比者谓隔二位加二倍之比例也将甲与戊比者谓隔三位加三倍之比例也比例难于讲觧试作圆以明之于大圆内作小圆于圆之中心作二线割小圆弧抵大圆弧则成大圆己甲庚小圆辛甲壬之甲角此甲角之对弧己庚苟为大圆之六十度则亦为辛壬小圆之六十度盖圆之大小虽不同而分数为等故以大圆周为一率庚己弧为二率小圆周为三率壬
辛弧为四率一与二之比同于三与四之比也两圆周为比之之率为前率两弧为比于之率为后率两两相当分数俱等是为顺理比例也仿此凡各率各度虽异相当之数若等一二之比同于三四之比俱为顺理比例又有几种论如左一种反比例反一为二反三为四仍相等也如前大圆周为一率大弧界为二率小圆周为三率小弧界为四率今以大弧界为一率大圆周为二率小弧界为三率小圆周为四率比例亦同也一种转理比例谓一与三比二与四比也以大圆周为一率小圆周为二率大弧界为三率小弧界为四率其比例亦无不同也
一种分理比例谓于一率三率中各减与二率四率相等之一分以比二率四率仍为相当比例也如二率四率原于一率三率为六之一今各减一率三率之一分则又为五之一比例亦然也
一种合理比例谓合原一率二率之数以比二率合原三率四率之数以比四率原各为六之一今又各为七之一也
一种更理比例谓换却二率四率之原数各更以他数如原各为六之一今又各为六之五也
一种隔位比例如有两项四率原为相当比例则以此四率中之一率与四率为比又以彼四率中之一率与四率为比合为一四率仍为相当比例率也
一种错综比例如此边有相连比例三率彼边亦有相连比例三率取此中末之比例彼中末之比固也苟错综之则取此中末之比例彼另设一线置于彼第一线之比又取此上末之比例彼另设一线与彼中线之比盖彼虽另设一线仍是相连比例线此相连之比同于彼相连之比此隔位之比亦同于彼隔位之比也一种相减比例如甲丙乙丁二线所有之三倍内减去丙戊丁己二倍互相之比同于原甲丙乙丁二线之比
也
一种相加比例如甲乙二线照本度各加三倍为丙丁线互相之比同于原甲乙二线之比也
得此比例线之法则面之相当者为比例面体之相当者为比例体也且线亦可以例面面亦可以例体也如甲六分线与乙三分线相比丙六分面与丁三分面相比戊六分体与巳三分体相比每每相当分数相等则互相为比例也
以二数相乗所得两数为均若以二线均为几度每各线度作小方形以此线小方乗彼线小方即成两直角四界形盖以一线为横一线为纵彼此互乗形亦均也又一线分为三度作小方形一线分为四度有竒作小方形一线横一线纵乗成函十二长方形而竒数亦附于方末也
又将前线所作方形取其半相乗亦得四方形也盖取三方之半而为六小方取四方之半而为八小方八六四十八六八亦四十八便成两函四十八之长方形而其总度仍相等也盖兼取其半而无改于原度故也四方直角平面形凡在一线可以相乗也如甲乙形欲
乗丙丁线则将此
形作四小方体又
将丙丁依甲乙所
分之厚分比之若得三分则将甲乙形三层垜之遂成函十二小方形之直角体也凡六面平行直角体必得垒一四边直角平面与一直线相乗而成也
凡两直角平面形欲相比例有两比例焉如大形之长度与小形之长度几倍为均大形之寛度与小形之寛度几倍为均是也然合【阙】比两比例仍是一比例如甲方之长与乙方之长三倍为均甲方之寛与乙方之寛两倍为均二三相乗为六则甲方之形与乙方之形之比例为六倍为均也
若长四倍为均寛三倍为均三四一十二则大
形与小形之比例为十二倍为均也再若大形之横度比小形十二为均小形之直度比大横直度三倍为均则以三除十二得四大形比小形四倍为均也若四倍则以四除十二得三倍为均皆成一比例也
有两直角形若此形之长倍于彼形之长而彼形之寛反倍于此形之寛则此两形之积为等也或一倍或三四五六倍皆然凡有相比例四率其在中之二率三率相乗所得数必同于一率四率相乗所得数也如一率二二率四三率三四率六以中率三四相乘为十二首尾率二六相乗亦一十二也试将三度四度之线相乗作长方形又将二度四度线相乗作长方形形虽不同而积等也故一二三率已知者也所求四率未知者也既求得四率则以一率与四率相乗所得数与二率三率相乗所得数无以异也如东河之水流速三倍西河之水流速六倍东河之流一秒十缸欲知西河之流一秒几何缸则以东河之三倍为一率西河之六倍为一率东河之十缸为三率求得西河之流二十缸试相乗之数为等也又如三个兵每月饷六两今已五月应饷几何则以三兵为一率六两为二率五月为三率求得饷银一十两试相乗之数又等也
有两个直角面苟此面之横界与他面之横界此面之纵界与他面之纵界比例若等则此两面相比之比例即为两界相比之比例隔一位加一倍之比例即前相连比例一条所云也盖两界之比例第为一倍之比例而两面之比例为加一倍之比例也如甲之横界大于乙一倍而为二纵界亦大于乙一倍而
为二则甲之面大于乙之面三倍而为四为二倍为均者二若甲之横界纵界各大于乙五倍则甲之面内与乙之面内六倍为均者有六矣