御制数理精蕴卷二十三
法将积数加倍以长除之得数为上下两濶和加较折半得下濶减较折半得上濶
有积有上下濶求长
法将积加倍以两濶共数除之得数即所求之长梯形【算法与前斜方形同】
四法三角形
有中长有底濶求积【设底濶八十尺中长七十五尺问面积】
法以中长七十五尺与底濶八十尺相乗得六千尺折半得三千尺即三角形面积
有积数有底濶求中长【设三角形积三千尺底濶八十尺问中长】
法以积三千尺倍之得六千尺以底濶八十尺除之得七十五尺即三角形之中长
有积数有中长求底濶
与前法同
勾股形
有边求积有积求边算法俱与三角形同葢三角形之中长即勾股形之股三角形之底为勾之两倍三角形积亦勾股形积之两倍俱得长方面之一半故全与全半与半为比其数相同
甲丙丁为三角形丙丁为底濶甲乙为中长甲丙乙为勾股形甲乙为股丙乙为勾甲丙为
五法鋭角钝角三角形【多边形附】
三角形求中垂线及面积【设三角形大股十七尺小股十尺底二十一尺】
法以底二十一尺为一率两腰相加得二十七尺为二率两腰相减余七尺为三率求得四率九尺为底边之较【如图戊丙】与底二十一尺相减余十二尺【如图乙戊】折半得六尺【如图乙丁】乃用勾求股法以甲乙小腰十尺为自乗得一百尺为方乙丁六尺为勾自乗得三十六尺为勾方方内减去勾方余六十四尺开方得八尺为股即甲丁中垂线再以中垂线八尺与乙丙底二十一尺相乗得一百六十八尺折半得八十四尺即三角形面积
凡十字正方角为直角大于直角者为钝角【如图甲角】不及直角者为鋭角【如图乙角丙角也】甲乙边为小腰甲丙边为大腰乙丙边为底戊丙为底较甲丁为中垂线
多边形
有边有对角斜线求面积
法依对角斜线分多边形为几形算之
六法两两等边无直角斜方形【此等形必有对角斜线方可命算】有边求积【设斜方形两小边皆二十五尺两大边皆三十九尺对两鋭角斜线五十六尺问面积】
法以对角斜线分斜方形为两三角形以对角斜线五十六尺为底大边三十九尺小边二十五尺为两腰用三角形求中垂线法【法载三角形条下】求得中垂线十五尺乃以对角斜线与中垂线相乗得八百四十尺即斜方形之面积
有勾有股求
法以股自乗得股方以勾自乗得勾方两自乗数相加开平方得数为
有勾有求股
法以勾自乗得勾方以自乗得方方内减勾方余数开平方得数为股
有股有求勾
法以股自乗得股方以自乗得方方内减股方余数开平方得数为勾
甲乙为对角斜线丁己与丙戊俱为中垂线
七法方环形
有边求积【设方环外周二十八丈内周一十二丈求面积】
法以外周二十八丈四归之得七丈自乗得四十九丈又以内周一十二丈四归之得三丈自乗得九丈两自乗数相减余四十丈即方环面积
有积及濶求内外边【设面积四千尺濶二十尺求内外方边】
法以濶二十尺自乗得四百尺【如图之甲壬寅戊小正方】四因之【为四正方】得一千六百尺与环积四千尺相减余二千四百尺【壬戊子辛等四縦方共积】四归之得六百尺【一线方积】以濶二十尺除之得三十尺即内方边又以濶二十尺【如图甲壬】倍之【如甲壬并子丁】得四十尺加内方边三十尺【如戊辛与壬子等】得七十尺即外方边
有内外方边求边
法以外周二十八丈四归之得七丈【如图甲丁】又以内周一十二丈四归之得三丈【如图戊辛与壬子等】七丈与三丈相减余四丈【如图甲壬及子丁二段】折半得二丈即方环外周至内周之濶
八法圆面
径求周【设圆径一尺二寸】
法用周径定率比例以径数一一三为一率周数三五五为二率现设圆径一尺二寸为三率求得四率三尺七寸六分九厘九毫有余即所求之圆周
周求径【设圆周一丈五尺】
法以周四三五五为一率径数一一三为二率现设圆周一丈五尺为三率求得四率四尺七寸七分四厘六毫有余即所求之圆径
径求面积【设径八寸】
法用径求周法求得圆周二尺五寸一分三厘二毫七丝有余折半得一尺二寸五分六厘六毫三丝有余又将径八寸折半得四寸两折半数相乗得五十寸二十六分五十四厘八十二毫即所求之圆面积
又法用方周圆周定率比例以方周定率四五二为一率圆周定率三五五为一率现设圆径八寸自乗为三率求得四率即圆面积
周求面积【设圆周六尺六寸】
法用周求径法求得圆径二尺一寸零八毫四丝五忽折半得一尺○五分○四毫二丝二忽又将周六尺六寸折半得三尺三寸两折半数相乗得三尺四十六寸六十三分九十四厘五十八毫即所求之圆面积又法用圆周方积与圆积定率比例以圆周方积一○○○○○○○○为一率圆积七九五七七四七为二率现设之圆周六尺六寸自乗为三率求得四率即圆面积
圆面积求径【设圆面积六尺一十六寸】
法用圆周方周定率比例以圆周二五五为一率方周四五二为二率现设之圆面积六尺一十六寸为三率求得四率七尺八十四寸三十一分五十四厘九十三毫为正方面积开方得二尺八寸○五毫有余即所求之圆径
圆面积求圆周【设圆面积六尺一十六寸】
法用圆积求径法求得圆径二尺八寸零五毫有余又用圆径求周法求得八尺七寸九分八厘有余即圆之周数
九法撱圆【一名鸭蛋形】
径求面积【设大径九尺小径六尺问面积】
法以大径九尺与小径六尺相乗得五十四尺为长方积乃用方积圆积之定率比例以方积一○○○○○○○○为一率圆积七八五三九八一六为二率长方积五十四尺为三率求得四率四十二尺四十一寸一十五分有余即所求撱圆形之面积
积求径【设撱圆积四十二尺四十一寸一十五分零六十四毫大径九尺问小径】
法用圆积方积之定率比例以圆积七八五三九八 一六为一率方积一○○○○○○○○为二率现设撱圆积四十二尺四十一寸一十五分零六十四毫为三率求得四率五十四尺为长方积以大径九尺除之得六尺即撱圆形之小径如有小径求大径则以小径数除长方积得数即大径
十法圆环形
圆环形有内外周及濶求面积【设外周二十一尺三寸内周七尺一寸濶二尺二寸六分问面积】
法以外周二十一尺三寸与内周七尺一寸相加得二十八尺四寸折半得十四尺二寸以濶二尺二寸六分乗之得三十二尺零九寸二十分即圆环形之面积
圆环形有内外径求面积
法用圆径求周法以内径数求得内周外径数求得外周又以内径与外径相减余数折半为环濶依前有内外周及濶求面积法算之即径
圆环形有内外周求面积
法用圆周求径法以内周数求得内径外周数求得外径乃以两径相减余数折半为环濶依前有内外周及濶求面积法算之即得
圆环形有面积及濶求内外径【设面积四百六十二尺濶七尺求内外径】
法以濶七尺除面积得六十六尺即内外周相并折半之数为中周【如图戊己周】乃用周求径法求得径二十一尺有余为内外径相并折半之数为中径【如图戊己径】加濶七尺得二十八尺有余即外径中径内减濶七尺余十四尺有零即内径
圆环形有面积及濶求内外周
依前法求得内外径再用径求周法算之即得
圆环形有面积及内周求外周并濶【设面积三尺三十六寸内周一尺一寸】
法以内周一尺一寸用周求径法求得内径三寸五分零一毫有余又用周径求积法求得内周圆面积九寸六十二分七十七厘五十毫与圆环积三尺三十六寸相加得三尺四十五寸六十二分七十七厘五十毫即外周圆面积乃用有圆面积求径法求得外周径二尺零九分七厘七毫内减去内径三寸五分零一毫余一尺七寸四分七厘六毫折半得八寸七分三厘八毫即圆环形之濶又用径求周法求得周六尺五寸九分有余即外周数也
圆环形有面积及外周求内周并濶【设面积三百八十四尺外周八十八尺】
法以外周八十八尺用周求径法求得外径二十八尺零一分一厘一毫有余又用周径求积法求得外周圆面积六百一十六尺二十四寸六十四分内减去环积三百八十四尺余二百三十二尺二十四寸六十四分
【积乃用有圆面积求径法求得内周径一十七尺一寸九分六厘与外径二十八尺零一分一厘二毫相减余一十尺八寸一分五厘二毫折】【半得五尺四寸零七厘六毫即圆环形之濶再用径求周法求得周五十四尺零二分二厘八毫有余即内周数也庄氏算学巻六】
为内周圆面
<子部,天文算法类,算书之属,庄氏算学>
钦定四库全书
庄氏算学卷七
淮徐海道庄亨阳撰
正方体
边求积
法以边数自乗得平方面积再以边数乗之得立方体积如系米糓则用石法除之得石斗各数【二千五百寸为一石二百五十寸为】
【一斗二十五寸为一升】凡筭积糓法皆同
倍积求边【设正边二尺】
法以每边二尺自乗再乗得八尺倍之得十六尺开立方得二尺五寸一分有余即所求边数
八倍积求边
将边数加倍即得
长方体
边求积
法以长边与濶边相乗得长方面积再与髙数相乗得长方体积○如系米糓则用石法除之得石斗各数
倍积求边【设长一尺二寸濶八寸髙四寸今将其积倍之仍与原形同式问长濶髙】
法用正立方比例先以长一尺二寸自乗再乗得立方积一尺七百二十八寸倍之得三尺四百五十六寸开立方得一尺五寸一分一厘有余即所求之长再用比例以求濶与髙以原长一尺二寸为一率原濶八寸为二率今所得之长一尺五寸一分一厘有余为三率求得四率一尺零七厘有余即所求之濶又以原长一尺二寸为一率原髙四寸为二率今所得之长一尺五寸一分一厘有余为三率求得四率五寸零三厘有余即所求之髙
长圆体
圆周及髙求积【设圆周二十四尺髙十尺】
法用圆周求面积法求得圆径七尺六十三寸九十五分有余又求得圆面积四十五尺八十三寸六十六分有余为圆面积再与髙十尺相乗得四百五十八尺三百六十六寸有余即所求之长圆体积○如系米糓或米窖问盛米几何俱以石法除体积得石斗各数有径求积法同
积及髙求周径【设圆窖一座盛米一百六十石髙十尺问周径】
法以石法二千五百寸与米数相乗得四百尺为圆窖积以髙十尺除之得四十尺为圆窖面积乃用圆面积求径法【用圆周三五五方周四五二比例开平方】求得圆径七尺一寸三分六厘有余即所求之圆径再用径求周法【径二三周三五五比例】求得二十二尺四寸一分九厘有余即所求之圆周
带纵较数立方
带纵立方者两两等边长方体积也髙与濶相等惟长不同者为带一纵立方长与濶相等而皆比髙多者则为带两纵相同之立方至于长与濶与髙皆不同者则为带两纵不同之立方开之之法大槩与立方同止有带纵之异耳其带一纵之法如以髙与濶相等惟长不同为问者则以初商为髙与濶以之自乗又以初商加縦数为长以之再乗得初商积至次商以后亦有三方亷三长亷一小隅但其一方亷附于初商积之方面者即初商数其二方亷附于初商积之长面者则带纵也其二长亷附于初商积之方边者即商数其一长亷附于初商积之长边者则带纵也其带两縦相同之法如以长与濶相等皆比髙多为问者则以初商加纵数为长与阔以之自乗又以初商为髙以之再乗得初商积至次商以后其一方亷附于初商积之正面者则带两纵其二方亷附于初商积之旁面者则各带一縦也其一长亷附于初商积之髙边者即初商数其二长亷附于初商积之长濶两边者即各带一纵也其带两纵不同之法如以濶比髙多长比濶又多为问者则以初商为髙又以初商加濶纵为濶与髙相乗又加长縦为长以之再乗得初商积至次商以后其一方亷附于初商积之正面者则带两縦其二方亷附于初商积之旁面者则一带濶纵一带长纵也其一长亷附于初商积之髙边者即初商数其二长亷附于初商积之长濶两边者则各带一纵也惟小隅则无论带一纵两纵皆各以所商之数自乗再乗成一小正方其每边之数即三方亷之厚亦即三长亷之濶与厚焉凡有几层亷隅皆依次商之例逓析推之法虽不一要皆本于正方而后加带纵故商出之数皆为小边方体共十二面边若带一縦或带两縦相同者则八边相等四边相等若带两縦不同者则每四边各相等是故得其一边加入纵多即得各边也
带一纵立方
设带一纵立方积一百一十二尺其髙与濶相等长比髙濶多三尺问髙濶长各几何
法列积如开立方法商之其
积一百一十二尺止可商四
尺乃以四尺书于原积二尺
之上而以所商四尺为髙与濶【因髙与濶等故四尺即方之髙与濶也】加纵多三尺得七尺为长即以髙与濶四尺自乗得一十六尺又以长七尺再乗得一百一十二尺书于原积之下相减恰尽是知立方之髙与濶俱四尺加纵多三尺得七尺即立方之长也如图甲乙丙丁戊己长方体形容积一百一十二尺其甲乙为髙甲己为濶己戊为长甲乙甲己俱四尺己戊为七尺己戊比己庚多三尺即所带之縦甲乙壬辛庚己正方形即初商之正方积庚辛壬丙丁戊扁方形即带纵所多之扁方积也
设如带一纵立方积二千四百四十八尺其髙濶相等长比髙濶多五尺问髙濶长各几何
法以初商积二千尺商十尺书于原积二千尺之上而以所商十尺为初商之髙濶加縦多五尺得十五尺为初商之长即以初商之髙濶十尺自乗得一百尺又以初商之长十五尺再乗得一千五百尺书于原积之下相减余九百四十八尺为初商积乃以初商之髙濶十尺自乗得一百尺又以初商之髙濶十尺与初商之长十五尺相乗得一百五十尺倍之得三百尺两数相并得四百尺为次商三方亷面积以除次商积九百四十八尺足二尺则以二尺书于原积八尺之上合初商次商共一十二尺为初商次商之
髙濶加纵多五尺得十七尺为初商次商之长乃以初商次商之髙濶十二尺自乗得一百四十四尺又以初商次商之长十七尺再乗得二千四百四十八尺与原积相减恰尽即知立方之髙濶俱十二尺其长为十七尺也设带两纵相同立方积五百六十七尺其长濶俱比髙多二尺问长濶髙各几何
法以共积五百六十七尺可商八尺因留两纵积故取略小数商七尺乃以七尺书于原积七尺之上而以所商七尺为髙加纵多二
尺又以髙七尺再乗得五百六十七尺书于原积之下相减恰尽是知立方之髙为七尺加纵多二尺得九尺即立方之长与濶也
设如带两纵不同立方积三千零二十四尺其濶比髙多二尺其长比濶又多四尺问髙濶长各几何
法以初商积三千尺商十尺书于原积三千尺之上而以所商十尺为初商之髙加濶比髙多二尺得十二尺为初商之濶再加长比濶多四尺得十六尺为初商之长即以初商之髙十尺与初商之濶十二尺相乗得一百二十尺又以初商之长十六尺再乗得一千九百二十尺书于原积之下相减余一千一百零四尺为次商积乃以初商之濶十二尺与初商之长
十六尺相乗得一百九十二尺又以初商之髙十尺与初商之濶十二尺相乗得一百二十尺又以初商之髙十尺与初商之长十六尺相乘得一百六十尺三数相并得四百七十二尺为次商三方亷面积以除次商积一千一百零四尺足二尺则以二尺书于原积四尺之上合初商次商共十二尺为初商次商之髙加濶比髙多二尺得十四尺为初商次商之濶再加长
比濶多四尺得十八尺为初商次商之长乃以初商次商之髙十二尺与初商之濶十四尺相乗得一百六十八尺又以初商次商之长十八尺再乗得三千零二十四尺与原积相减恰尽即知立方之髙十二尺其濶为十四尺其长为十八尺也
直线体
设正方体每边二尺今将其积倍之问得方边几何
法以每边二尺自乗再乗得八尺倍之得十六尺开立方得二尺五寸一分有余即所求之方边数也如图甲乙丙丁正方体每边二尺其体积八尺倍之得一十六
尺即如戊己庚辛正方体积
每边二尺五寸一分有余
设长方体长一尺二寸濶八寸髙四寸今将其积倍之仍与原形为同式形问得长濶髙各几何
法以长一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸倍之得三尺四百五十六寸开立方得一尺五寸一分一厘有余即所求之长既得长乃以原长一尺二寸为一率原濶八寸为二率今长一尺五寸一分一厘有余为三率求得四率一尺零七厘有余即所求之濶也又以原长一尺二寸为一率原高四寸为二率今长一尺五寸一分一厘有余为三率求得四率五寸零三厘有余即所求之髙也或以濶八寸自乗再乗倍之开立方亦得一尺零一厘有余为所求之濶以髙四寸自乗再乗倍之开立方亦得五寸零三厘有余为所求之髙也如图甲乙丙丁长方体甲乙髙四寸丁戊濶八寸甲戊长一尺二寸将其积倍之即如己庚辛壬长方体此两长方体积之比例即如相当二界各作两正方体积之比例也
设堑堵体形濶五尺长十二尺髙七尺问积几何
法以濶五尺与长十二尺相乗得六十尺
又以髙七尺再乗得四百二十尺折半得
二百一十尺即堑堵体形之积也
又法以濶五尺与髙七尺相乗得三十五尺折半得一十七尺五寸与长十二尺相乗得二百一十尺即堑堵体形之积也如图甲乙丙丁戊己堑堵体形以甲乙髙与乙丙濶相乗折半得甲乙丙一勾股面积又与丙丁长相乗即得甲乙丙丁戊己堑堵体形之积也
设刍甍体形濶四尺长十二尺髙四尺问积几何
法以濶四尺与长十二尺相乗得四十八尺又与髙四尺相乗得一百九十二尺折半得九十六尺即刍甍体形之积也
又法以濶四尺与髙四尺相乗得一十六尺折半得八尺与长十二尺相乗得九十六尺即刍甍体形之积也
如甲乙丙丁戊己刍甍体形以乙丙濶与甲庚相乗折半得甲乙丙三角形面积又与丙丁长相乗即得甲乙丙丁戊己刍甍体形之积也
设方底尖体形底方每边五尺自尖至四角之斜线皆六尺问尖至底中垂线之髙几何
法以底方每边五尺求对角斜线法求得底方对角斜线七尺零七分一厘零六丝有余折半得三尺五寸三分五厘五毫三丝有余为勾以自尖至底四角斜线六尺为用勾求股法求得股四尺八寸四分七厘六毫八丝有余即自尖至底中立垂线之髙数也如图甲乙丙丁戊方底尖体形先求得乙丙丁戊底方面之乙丁对角斜线折半于己得乙己为勾以自尖至角之甲乙斜线为求得甲己股即自尖至底中立垂线之髙也
又法以底方每边五尺为平面三角形之底以自尖至四角之斜线六尺为两腰角平面三角形求中垂线法求得一面中垂线五尺四寸五分四厘三毫五丝为以底方每边五尺折半得二尺五寸为勾求得股四尺八寸四分七厘六毫七丝有余即自尖至底中立垂线之髙数也如图甲乙丙丁戊尖方体其四面皆为平面三角形一为甲乙丙一为甲丙丁一为甲丁戊一为甲戊乙任以甲乙丙三角形之乙丙为底以甲乙甲丙为两腰求得甲庚中垂线以甲庚为底边折半得庚己为勾求得甲己股即自尖至底中立垂线之髙也设方底尖体形底方每边六尺髙三尺问积几何
法以下方每边六尺自乗得三十六尺又以髙三尺再乗得一百零八尺三归之得三十六尺即方底尖体形之积也如甲乙丙丁戊方底尖体形以乙丙一边自乗得乙丙丁戊正方面形又以甲乙髙再乗得庚乙丁辛扁方体形此扁方体与尖方体之底面积等其髙又等故庚乙丁辛一扁方体之积与甲乙丙丁戊尖方体三形之积等也
设阳马体形底方每边六尺髙亦六尺问积几何
法以底方每边六尺自乗得三十六尺又以髙六尺再乗得二百一十六尺三归之得七十二尺即阳马体形之积也如甲乙丙丁戊阳马体形以乙丙一边自乗得乙丙丁戊正方面形又以甲丁髙再乗得己乙甲丁正方体形此己乙丁甲一正方体之积与甲乙丙丁戊阳马体三形之积等故三分之即得阳马体之积也此阳
马体形与尖方体形虽不一而法
则同也葢尖方体形尖在正中阳
马体形尖在一隅凡体形其底面
积等髙度又等其体积必相等也
设如鼈臑体形长与濶俱四尺髙九尺问积几何
法以长与濶四尺自乗得十六尺以髙九尺再乗得一百四十四尺六归之得二十四尺即鼈臑体形之积也葢鼈臑体即勾股面之尖体如甲丙乙丁鼈臑体形以丁丙长与乙丙濶相乗成乙丙丁戊正方面形以甲丁髙再乗成甲庚戊乙丙己长方体形此一长方体之积与甲戊乙丙丁阳马体三形之积等而甲乙丙丁鼈臑
体之积又为甲戊乙丙丁阳马体积
之一半阳马体为长方体三分之一
则鼈臑体又为长方体六分之一矣
设上下不等正方体形上方每边四尺下方每边六尺髙八尺问积几何
法以上方每边四尺自乗得一十六尺下方每边六尺自乗得三十六尺又以上方每边四尺与下方每边六尺相乗得二十四尺三数相并得七十六尺与髙八尺相乗得六百零八尺三归之得三百零二尺六百六十六寸有余即上下不等正方体形之积也
又法以上方边四尺与下方边六尺相减余二尺折半得一尺为一率髙八尺为二率下方边六尺折半得三尺为三率求得四率二十四尺为上下不等正方体形上补成一尖方体形之共髙乃以下方边六尺自乗得三十六尺与所得共髙二十四尺相乗得八百六十四尺三归之得三百八十八尺为大尖方体之积又以髙八尺与共髙二十四尺相减余十六尺为上小尖方体之髙以上方边四尺自乗得十六尺与上髙十六尺相乗得二百五十六尺三归之得八十五尺三百三十三寸有余为上小尖方体之积与大尖方体积二百八十八尺相减余三百零二尺六百六十六寸有余即上下不等正方体形之积也
设上下不等长方体形上方长四尺濶三尺下方长八尺濶六尺髙十尺问积几何
法以上长四尺与上濶三尺相乗得十二尺倍之得二十四尺下长八尺与下濶六尺相乗得四十八尺倍之得九十六尺又以上濶三尺与下长八尺相乗得二十四尺以下濶六尺与上长四尺相乗得二十四尺四数相并得一百六十八尺与髙十尺相乗得一千六百八十尺六归之得二百八十尺即上下不等长方体形之积也
又法以上长四尺倍之得八尺加下长八尺共十六尺与上濶三尺相乗得四十八尺又以下长八尺倍之得十六尺加上长四尺得二十尺与下濶六尺相乗得一百二十尺两数相并得一百六十八尺与髙十尺相乗得一千六百八十尺六归之得二百八十尺即上下不等长方体形之积也
设上下不等刍甍体形上长十尺下长十四尺下濶五尺髙十二尺问积几何
法以上长十尺与下濶五尺相乗得五十尺以髙十二尺再乗得六百尺折半得三百尺为上下相等刍甍体积又以上长十尺与下长十四尺相减余四尺与下濶五尺相乗得二十尺以髙十二尺再乗得二百四十尺三归之得八十尺与先所得上下相等刍甍体积三百尺相并得三百八十尺即上下不等刍甍体之积也如甲乙丙丁戊上下不等刍甍体形自其上棱之甲戊两端直剖之则分为甲己辛壬戊一刍甍体甲乙丙辛与戊庚壬丁二尖方体故以与上长相等之己庚与己辛濶相乗即得己辛壬庚刍甍体之面积与甲癸髙相乗折半得甲己辛壬戊刍甍体积又以甲戊上长与丙丁下长相减所余丙辛壬丁二叚即二尖方体之共长与乙丙濶相乗得
乙辛与庚辛二尖方体之底面积与髙相乗三归之即得甲乙丙辛与戊庚壬丁二尖方体积与一甲己辛壬戊一刍甍积相加即得甲乙丙丁戊一上下不等刍甍体之总积也
设两两平行边斜长方体形长二尺四寸濶八寸髙二尺七寸问积几何
法以长二尺四寸与濶八寸相乗得一尺九十二寸又以髙三尺七寸再乗得七尺一百零四寸即两两平行边斜长方体形之积也如图甲乙丙丁戊己斜长方体形以乙丙濶与丙丁长相乗得乙丙丁庚长方面积以戊丙髙再乗成己乙丙丁辛壬长方体凡平行平面之间所有立于等积底之各平行体其积俱相等故甲乙丙丁戊己斜倚之长方体必与己乙丙丁辛壬正立长方之体积为相等也
设空心正方体积一千二百一十六寸厚二寸问内外方边各几何
法以厚二寸自乗再乗得八寸八因之得六十四寸与共积一千二百一十六寸相减余一千一百五十二寸六归之得一百九十二寸用厚二寸除之得九十六寸
为内方边与外方边相乗长方面积乃以厚二寸倍之得四寸为长濶之较用带纵较数开平方法算之得濶八寸即内方边得长一尺二寸即外方边也如图甲乙丙丁戊己庚辛空心正方体其甲丑即空心正方体之厚以之自乗再乗八因之得壬辛子癸类八小隅体与空心正方体相减则余空心正方体之六面丑寅巳子类六长方扁体六归之得丑寅己子一长方扁体用厚二寸除之得丑寅夘辰一长方面积其丑寅濶与戊己等即内方边其丑辰长与甲乙等即外方边其丑戊辛辰皆与甲丑厚度等丑戊辛辰并之即长濶之较故以厚二寸倍之为带纵求得濶为内方边长为外方边也
又法以厚二寸倍之得四寸为内方边与外方边之较自乗再乗得六十四寸与空心正方体积一千二百一十六寸相减余一千一百五十二寸三归之得三百八十四寸以内外方边之较四寸除之得九十六寸为长方面积以内外方边之较四寸为长濶之较用带纵较数开平方法算之得濶八寸即内方边加较四寸得一尺一寸即外方边也
设大小两正方体大正方体比小正方体每边多四寸积多二千三百六十八寸问大小两正方边多几何
法以大正方边比小正方边所多之较四寸自乗再乗得六十四寸与大正方体比小正方体所多之积二千
三百六十八寸相减余二千三百零四寸三归之得七百六十八寸以边较四寸除之得一百九十二寸为长方面积乃以边较四寸为长濶之较用带纵较数开平方法算之得濶十二寸即小正方之边数加较四寸得十六寸即大正方之数也如甲乙丙丁一大正方体戊己庚辛一小正方体试于甲乙丙丁大正方体减出戊己庚辛一小正方体余壬申戊辛庚丙丁三面磬折体形即大正方积比小正方积所多之较甲戊为磬折体之厚即大正方边比小正方边所多之较此三面磬折体形依开立方次商法分之则得癸子丑三方亷体寅夘辰三长亷体己一小隅体以甲戊边较自乗再乗得己一小隅体与磬折体积相减余三方亷体三长亷体三
归之则得癸一方亷体寅一长亷体共成午甲已未庚甲乙扁方体其午甲厚与甲戊等以午甲厚除之则得甲乙庚未之长方面形甲戊即长濶之较故用带纵开平方法算之得乙庚濶与戊乙等即小正方之边数以甲戊与戊乙相加得甲乙即大正方之边数也
设大小二正方体共边二十四尺共积四千六百零八尺问两体之每边及体积各几何
法以共边二十四尺自乗再乗得一万三千八百二十四尺内减共积四千六百零八尺余九千二百十六尺三归之得三千零七十二尺以共边二十四尺除之得
一百二十八尺为长方面积乃以共边二十四尺为长濶和用纵和数开平方法算之得濶八尺即小正方之边数与共濶二十四尺相减余十六尺即大正方之边数也如图甲乙丙丁一大正方体戊己庚辛一小正方体以共边二十四尺自乗再乗则成壬乙癸子一总
正方体内减甲乙丙丁戊己庚辛大小两正方体之共积余丑寅夘三方亷体辰已午三长亷体三归之则得丑一方亷体辰一长亷体共成未壬乙丙戊甲一扁方体用壬乙共边除之则得未壬戊甲之长方面形其未壬濶与壬申等其壬戊长与甲乙等故以壬乙共边为长濶和用带縦和数开平方法算之得未壬濶即小正方之边数与长濶和相减余壬戊长即大正方之边数也
设人立河坡平处欲知水边低于平地之数用重表之法测之
法于河坡平处立四尺表杆测之稍前再立二尺表杆防两表端参对水边低处量得距分六尺向前直量三丈复立四尺表杆重测稍前仍立二尺表杆防两表端参对水边低处量得距分四尺八寸乃以前测之距分六尺与后测之距分四尺八寸相减余一尺二寸为一率表杆四尺与二尺相减余二尺为二率前测与后测相距三丈为三率求得四率五丈为水边低于表尖之数内减去表髙四尺余四丈六尺即水边低于河坡平处之数也
设人在山上欲知山涧之深用重表测之
法于山边立二尺表杆稍后立四尺表杆测之看两表端参对涧底量得两杆相距得三尺再退量五尺复立四尺表杆重测稍前仍立二尺表杆防两表端参对涧底量得两杆相距得三尺四寸乃以后测之距分三尺四寸与前测之距分三尺相减余四寸为一率表杆四尺与二尺相减余二尺为二率两表相距五尺为三率求得四率二丈五尺为山涧距表尖之深内减去表髙四尺余二丈一尺即所求山涧之深也
设东西二树欲知其相距之逺测距东树七十丈距西树五十丈问二树相距
法用同式形比例先以距东树七十丈取其五十分之一得一丈四尺即对东树直量一丈四尺作记又以距西树五十丈亦取其五十分之一得一丈即对西树直量一丈作记乃于两作记处斜量如得四尺五寸是为
同式形之相距数然后以所得之四尺五寸用五十求之得二十二丈五尺【因两作记处为二树测处五十分之一则所得同式形之相距数亦必为二树相距数五十分之一】即二树相距之逺也
设东西二树欲知其相距之逺用重表或取同式形测之问二树相距
法先用不取直角测逺法【如测石测树之法】求得二树距测处之逺再用知两逺求相距之法求之
设左右两峰不知其髙逺欲求两峰相距
法先用重表求髙逺法各求得髙与逺【其髙为尖峰距地平之髙其逺为山根距测处之逺】如求得左峰髙四十八丈逺六十四丈右峰髙六十五丈逺七十二丈乃用勾股求法以左峰四十八丈为股逺六十四丈为勾求得八十丈即左峰距人之逺以右峰髙六十五丈为股逺七十二丈为勾求得九十七丈即右峰距人之逺然后用知两逺求相距法各取其百分之一对左峰直量八尺作记对右峰直量九尺七寸作记如于两作记处横量得一丈二尺即加一百倍为一百二十丈得两峰相距之逺
左峰髙如左甲逺如甲丙右峰髙如右乙逺如乙丙两峰相距如
设如有井不知其深于井沿取一直角横量一尺五寸测之问水面距地之深
设井口径濶九尺法于井沿取直角立表杆测之人目对表端斜向井沿看水以恰见水边为凖如表髙四尺量得表距井沿一尺五寸则以一尺五寸为一率表髙四尺为二率井口濶九尺为三率求得四率二丈四尺即水面距井沿之深也
方圆诸率
径○七
周二二
径○五○
周一五七
径○三二
周一○○
径一一三
周三五五
径一○○○○○○
周三一四一五九二
凡径求周者以周率乗以径率除得周周求径者以径率乗以周率除得径
平方积四○○○○○○○○
平圆积三一四一五九二六五
平方积一○○○○○○○○
平圆积○七八五三九八一六
平方积四五二
平圆积三五五
平方积一四
平圆积一一
立方积 同平方率
圆柱积同平圆率
圆周自乗积八八
圆周中占积○七
方柱积三
方锥积一
圆柱积三
圆尖积一
圆柱积三
圆球积二
立方积六○○○○○○○○
立圆积三一四一五九二六五
立方积一○○○○○○○○
浑圆积○五二三五九八七七
立方积六八七
浑圆积三五五
立方积二一
浑圆积一一
立方积二一
浑圆积一 一
浑圆面积四
平圆面积一
撱圆求积
两径相乗数以十一乗之十四除之得所求
解曰取撱圆两径之中率作圆其容与撱圆等浑撱圆求积
小径自乗再以大径乗之以十一乗二十一除得所求解曰方体浑撱圆之比例犹立方与浑圆也
弧矢求径及离径半径
置折半自乗以矢除之得所求
解曰半股也矢句较也余径句和也股之自乗积以和除之得较以较除之得和故以矢除之得余径余径加矢折半为半径半径减矢为离径也弧矢求积【旧法以矢相并得弧背径一围三之义也疎甚不可法】
置弧背以离径并矢【即半径】乗之别置以离径乗之两数相减余折半得所求
解曰弧背圆周分线也离径并矢圆半径也于弧背两端作线防于圆心成杂线形求积之法当与圆同故以半径乗背折半得积也又杂线形内除弧矢形余一三角形以为濶以离径为高高乘濶折半得积以减杂线形积则所余者弧矢积矣故以半径乗背离径乗相减折半得积也
求中率法
以两率相乗得数平方开之得中率
截方锥体求积法
置上方自乗下方自乗上下方相乗三数并以髙乗之以三除之得所求
右形得方体一堑堵方锥各四今方体三堑堵方锥体各十二故以三除也【凡堑堵二之一方锥三之一】
截圆锥体求积法
置上径自乗下径自乗上下径相乗三数并以髙乗之再十一乗四十二除得所求【元当用三除之又十一乗十四除之今用四十二除者三因十四得四十二合两次除为一次除也】
截直鋭体求积
倍上长加下长以上广乗之又倍下长加上长以下广乗之两数并以髙乗之以六除之得所求
右形具体如截方锥今得直体六堑堵锥体各二十四故以六除也
截撱圆鋭体求积
倍面大径加底大径以面小径乗之又倍底大径加面大径以底小径乗之两数并以髙乗之再以十一乗八十四除得所求【此以六因十四得八十四也】
庄氏算学卷七
钦定四库全书
庄氏算学卷八
淮徐海道庄亨阳撰
七政经纬
日躔法
年根
查二百恒年表内年根録之随记最髙冲之数于旁【表内之数微满三十即进一秒下并同】
日数
查周嵗平行表内日数録之随记最髙行之数于旁
平行
年根与日数相加得之
髙冲
最髙冲与最髙行相加得之
引数
以髙冲减平行得之或平行不及减加十二宫减之
均数
以引数宫度分查加减差表得之【数内秒满三十收为一分也】法○宫至五宫顺查本行与左行相较六宫至十一宫逆查本行与右行相较将较数以引数零分乗之得数视本行大者减小者加若引数无零分则直用本行之数随记加减号【如引数系九宫一十八度十七分逆查本行为一度五十七分四十二秒较右行一度五十七分三十六秒得多六秒以引数七分乗之得四二为四秒一十二微去微数不用净得四秒将本行四十二秒减去四秒为一度五十七分三十八秒得均数记减字号】
细行
以均数依加减号加减于平行得之
宿度
以细行宫度查距宿钤取度分小于细行者用之若本宫宿度分大于细行则借前一宫用【自己巳年起算至本年共若干年以每年五十一秒乗之以六十除之得数何度分以加于用宿之度分内与细行度分相减余为某宿几度几分】月离法
四年根
查二百恒年表録之【月自行即引数 正交年根加减六宫用如七减六为一一加六为七余同】
四日数
查日平行表内日数録之
平行实行
年根日数相加得之正交年根减日数即得
两日差
以太阳宫度查日差表得分数即以分数查时刻平行表得之【表内秒满三十收为一分】随记加减号
平行总平引
以日差依加减号加减于两平行得之
两均数
以平引宫度分查加减差表同日躔随记加减号
实行实行引
以均数依号加减于平行总平引得之
太阳
録本日日躔细行
距日次引
以实行减太阳即得满六宫者去之
次均
以距日次引宫度查二三均表定直行再以实行引宫度定横行○一二宫顺查三四五宫逆查相较【其较出之数若系二四六等行以二除之三六九等以三除之得数或余一二秒复化为微除至三十微即进一秒视本位大小而加减之得次均数记加减号】
白道经
以次均依号加减于实行得之
交均大距数
以距日次引宫度查交均表得之表内距限即大距之数记加减号
正交经
以交均依号加减于正交平行得之
中交
以正交之宫加减六宫用
白经
即録前白道经之数
月距正交
以白经转减正交经得之
同升差
以月距正交宫度查白道升度得之记加减号
黄道视行
以同升差依号加减于白道得之
视纬
以月距正交宫度查黄白距度表定横行又以大距数之数查表内相近之数用之定南北号
四宿
查距宿钤同日躔各以本度分减之
过宫
土木星法
年根交行
查恒年表
两日数
查平行表
两平行
如日躔
前均中分
以引数平行宫度分查表相较同日躔记加减号
实经
以前均依号加减于平行得之
日躔
即録本日细行
次引
以日躔转减实经得之
次均较分
以次引宫度分查表同前均记加减号
三均
以中分较分分数相乗逢三十秒进一分以下十除之即得
并均
二三相加得之
视经
以实经依次均号加减于并均得之
正交实经
以实经数録之
距交
以实经倒减交行得之
中分
以距交宫度查纬行表相较将较出之分化为秒以五除之得若干计本位至本数得几分【如距交二宫十三度即查二宫十度与十五度相较十度系五分四十九秒十五度系四分三十八秒较多一分十一秒将分化为秒共得七十一秒以五除之得一十四秒计十位至十三位得三分为四十二秒得五分○八秒余仿此】视本位大小加减之即得如有纬行细表则不用分如其数直书之纬限亦同
纬限
以次引宫度分查纬行表纬度之数距交在前六宫用北度之数后六宫用南度之数以五分之或以两数平分之亦得表内旁另注加减字于数内加减之
视纬
以纬限度化为分用中分零分相乗得数以六十除之距交在前六宫纬北后六宫纬南
宿度
火星法
年根正交
同土木
两日数
同土木
两平行
同土木
两均数距日
同土木
实行引
同土木
太阳
即日躔
相距
以太阳倒减实行得之
半距距余半
相距在前六宫相距折半为半距不用距余半相距在后六宫以实行正减太阳得半距半距折半为距余半
日引
以太阳减去本年最髙冲之数加减六宫用
半径
以实引宫度分查表相较得之
日差
以日引宫度分查表相较得之
星数
以半径日差相加得之
总
以距日星数相加得之
较
以距日星数用大减小得之
半距均线
有距余半者以距余半查八线表正切线之数无则以半距查正切线之数以较相乗以总除之
减弧
以所除之数查八线表取近者用之
次均
或半距或距余半减去减弧得之
视行
相距在前六宫次均与实行相加相距在后六宫次均与实行相减
距交
以实行减正交得之
中分
以距交查表同土木星得数两平分之
纬限
以相距查表亦平分之即得
视纬
同土木
度
同土木
金水星法
三年根
查同土木
伏见日数
本星平行表内日数録之
距冬至引数 日数
即録太阳平行表内日数
三平行
同土木
三前均中分
同土木
实经引
同土木
实行
视前均号加减反用之
二均较分
以实行宫度分查表同土木
三均
同土木
并均
同土木
视经
同土木
次实引
实引加十六度即得
前中分
金星以次实引查同土木得数平分之水星无次实引以实引宫度查之
前纬限
以实引宫度查小轮之数亦平分之即得
前纬
乗除同土木若中分在前六宫纬限在○一二九十十一六宫中分在后六宫纬限在三四五六七八六宫者纬为北若中分在前六宫纬限在三四五六七八六宫中分在后六宫纬限在○一二九十十一六宫者为纬南
后中分
以实行实引两宫相见之处查同前【如实行四宫实引六宫必欲表内两宫俱有方用或有四宫无六宫有六宫无四宫者不用余仿此】
后纬
同前纬依表内南北号记之
视纬
视前后二纬同号者相加异号者以大减小即得
度
三较连乗发明
分角取心从心作三垂线破为六勾股形其垂线界处即为三边与半总之较者二 三较连为一线即成半总 半总一面线之末作岀线引分角过心中线与垂线合添成大勾股形与中线第一垂线平行即为相似形 第一垂线为小勾股之勾中直线为其旁为股股即第一较添成大勾股其过心中线即为 小勾视大勾如第一较视半总 小勾自乗视小勾乗大勾亦如第一较视半总 小勾乗大勾之积同第二第三较相乗之积第二第三相乗之积以第一较乗之为总积则小勾乗大勾之积亦可以第一较乗之为总积总积以半总除之得小勾之积以小勾之积除之得半总所以然者小勾为勾第二较为股一勾股也大勾为
股以第三较为勾又一勾股也凡勾股相似形小股乗大勾之数即小勾乗大股之数故二三较相乗之积与小勾乗大勾之积均也二三较相乗之积复乗以第一较之所得积与小勾自乗又乗半总所得积均也 如勾三股四五半总六则勾较三股较二较一勾股较相乗得六较乗之仍得六此三较连乗之数也容员半径一乗半总亦仍得六此员半径自乗又乗半总之数也 三较连乗以半总除之者所以取圆半径也三较连乗而以首较乗半总除之者所求对角之线也既以首较乗半总则通二法为一法故中间可省首较一乗【按求对角线语有脱误】
庄氏算学卷八
<子部,天文算法类,算书之属,九章录要>
钦定四库全书 子部六
九章録要 天文算法类二【算书之属】提要
【臣】等谨案九章録要十二卷
国朝屠文漪撰文漪字莼洲松江人其书因古九章之术叅以今法与杜知耕所着数学钥体例相似而互有详畧踈宻知耕详于方田文漪则详于勾股知耕论少广备及形体文漪推少广则研及廉隅之辨知耕叅以西法每于设问之下附着其理文漪则采録梅文鼎诸书推阐以尽其用大致皆缀集今古之法以成书而取舎各异合而视之亦可以互相发也是书有借徴一条即借衰叠借之术为知耕之所未及考其所载虽未极精宻然于借数之巧固已得其大端矣乾隆四十六年五月恭校上
总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
总 校 官【臣】陆费 墀
钦定四库全书
九章録要卷一
松江屠文漪撰
乗除诸法
九章乗除之法各有不同因以分着各章其通用者宜先讲也具详于左
并乗并除 算以速见巧乗或屡乗除或屡除不若一乗一除之捷也假如有数须用一十五乗复一十八乗者直以二百七十乗之【先以十五与十八相乗】余可意推其在除法尤以并为便葢使分除而前除不尽以后必用零除之法仍是并除而更多事固不如先并也惟前除适尽则后除虽有零余亦当无几特便于命分而并除者余实反多然约之亦正相同耳
分乗分除 再三乗除不若一乗除之便而亦有时宜用分者不可以一律拘假如有数须二百四十五乗【凡为四十九者五】则先以五乗之复以七乗之又以七乗之既无易误之患而算较防也其在除法则须审量何也恐前除不尽而后仍用零除也葢以法除实或不能尽者非必如三六七九等除虽破实之一为十为百与千【如实米一石破为十斗为百升为千合之类是也】而终不尽也即如二四五八等除但破实之一为十与百千自无不尽而若不破实则仍不尽矣前除既破实以至于尽后除势不中止此于命分反逺特求分厘数者宜之耳夫既已命分而以母除子亦得分厘数既得分厘数而以原法乗之亦可命分二者固亦相通然而各自取防岂须借径此其宜审者也更恐前除破实且不尽则虽求分厘数亦未能精细故所分之除法孰先孰后【大抵二四五八等除宜居前三六七九等除宜居末】又不可不审总之运算之巧存乎一心非言所可悉矣 假如有银四百五十两用一百六十八除若并除得二两又一百六十八分两之一百一十四即不复破实细除但约之为二十八分两之一十九而可以命分矣若分除者先用三除次八除次七除【以原数四百五十故先用三除若系三百五十便当先用七除次八次三也】得二两六钱七分八厘五毫七丝又七分丝之一【尚可再除而数微已甚矣】倘欲以两命分则惟二两整数已定外余须以原法乗之乃得一百一十四之数仍再约之反不防也【右一条新增】
乗除相减归一法 数须乗除并用而可用乗省除或用除省乗则归一尤为至便如数须一十八乗复三除者直以六乗之须四乗复十二除者直以三除之其法乗数多则从乗除数多则从除而必先取乗除两数以少除多除之可尽即用除得之数不可尽者不能归一也省乗用除倘有零余则约分简易更非原数乗除之比【右一条新订】
两数一半一倍乗法 置两数欲相乗者若倍其一半其一而乗之所得数同如一数五百二十五一数三十二倍上数为一千零五十半下数为一十六乗之视以原数相乗者防矣此特宜于数之少者葢直可以臆计而不烦布算也【右一条新增】
倍除法 置两数欲以法除实者若倍其法除之所得数亦倍之即应得之数如有数须四十五除则用九十除须一百三十五除则用二百七十除亦倍所得数防于以原法除也遇零分欲求分厘数者依此除之若欲命分则仍其子还用原母【即原法也】以命之或须约者更约之满原母者归整为一数俱不用倍【右一条新增】
乗除通用法 二乗与五除同二除与五乗同【置银十两以二乗之得二十两以五除之得二两其差十倍然而可通用者其乗除俱得二数则同耳】 四乗与二五除同四除与二五乗同【其差百倍】 八乗与一二五除同八除与一二五乗同【其差千倍】
以加减代乗法 假如有数须八乗者即于实下一位减二若实数系五二五当减一十则于实之本位减一也有数须一零五乗者即于实下第二位加五若实数系二二五当加一十则于实下一位加一也加减俱从小数始
三率准测乗除法 数有已知者因以测所未知则列前三率求后一率先定三率之位第一率与第三率相准第二率与未知之第四率相准如谷准谷钱准钱之类乃以二率三率相乗为实以一率为法除之得四率为所求数旧名异乗同除【左例原银与原米是为同今银与原米是为异】
假如原有银三十六两籴米四十八石今银六十三两问米几何
一率 原银三十六两
二率 原米四十八石
三率 今银六十三两
四率 八十四石为今米数
右法若先以一率除二率得数乃以乗三率或先以一率除三率得数乃以乗二率所得四率皆同但除之不尽必用零乗之法则不若从前先乗后除为防【凡数须乗除并用者每以乗居先仿此】
右法覆算以二率三率相乗如前以四率除之仍得第一率若以一率四率相乗以二率除之得三率以三率除之得二率
三率化多为寡乗除法 别求一通数可以除尽率中之两数者【其一必系第一率其一或第二率或第三率】即以通数除率数所得数列本率下以代率数乗除如前无通数者则否
一率 三十六 三【此以十二为通数】
二率 四十八 四
三率 六十三
四率 八十四
又式
一率 三十六 四【此以九为通数】
二率 四十八
三率 六十三 七
四率 八十四
三率易位乗除法 前法以原银原米相连置一二率而今银置三率葢以二率视四率犹以一率视三率三率视四率亦犹一率视二率其数可例推也若如左例原珠数多其价数反少今珠数少其价数反多必以一率与三率互换其位而后三率之视四率亦犹一率之视二率矣乗除如前得所求数旧名同乗异除【若如前置率则当以一率二率相乗以三率除之】 假如原有小珠五十颗今有珠稍大三十颗其总重适等原珠共价银一十二两问今价几何
一率 今珠三十颗 三【以十为通数】
二率 原价十二两
三率原珠五十颗 五
四率 二十两为今价
又如有物一枚以称称之称小不及其锤重十两外加一锤重八两称之得三十五斤依小称算该几斤一率 原锤十两 二【以五为通数】
二率 今重三十五斤 七
三率 并两锤十八两
四率 六十三斤为实重数
又如原称称物重三十五斤失原锤欲别作锤配之不知轻重却借一锤重十两以较原称之物得六十三斤问原锤重
一率 原重三十五斤
二率 今锤十两
三率 今重六十三斤
四率 十八两为原锤重
【此即前例一率四率相乗而以二率除得三率也】
三率重测法数或繁襍非三率可尽当叠用三率之法次第推之
假如原母银五十两三月得子银四两今母银二百两欲得子银二百两须几年
一率 原母五十两
二率 原子四两
三率 今母二百两
四率 十六两为今母三月之子
又
一率 子十六两
二率 三月
三率 子二百两
四率 三十七月二分月之一为所求数
右例亦可用并法
一率 原子四两
二率 原母乗三月得一百五十两
三率 今须子二百两
四率 七千五百两为今母乗月之数再以今母除
之得月数
又如客贩布卖之每匹二钱即母银百两已得息三十两设每匹卖二钱四分则百两获息几何
一率 已得息并母一百三十两
二率 母一百两
三率 布价二钱化二十分
四率 十五分又十三分分之五为每匹母银别有防法应补于后
一率 二十分
二率 一百三十两
三率 四分
四率 二十六两
并三十两得五十六两
又
一率 每匹母十五分又十三之五
二率 布价二钱四分内息八分又十三之八三率 母一百两
四率 五十六两为所求息数
又防法
一率 二十分
二率 一百三十两
三率 二十四分
四率 一百五十六两
此为母子并数
三率并乗并除法数虽繁襍而可归并入三率之内则以三率尽之
假如炼矿求银初火得三之二再火得七之五又火得四之三凡三火得银七十五两问原矿几何一率 三子相乗得三十
二率 三母相乗得八十四
三率 炼得银七十五两
四率 二百一十两为原矿
又如原有绫八匹换纱二十匹原纱三十匹换布一百匹原布六十匹换锦二匹今有绫一十八匹问换锦几何
一率 原绫纱布乗得一万四千四百
二率 原换纱布锦乗得四千匹
三率 今绫一十八匹
四率 五匹为换锦数
乗除先化大小数法 凡数大小杂见不便相乗除则先以大数化为小数假如原有银六钱买丝七两今有银五两问买丝几何此因银数有钱复有两须化两为钱其丝自作两算不必化钱也大凡同类者须化殊类则否【遇多数取最小数为主以大数化之仿此如一十二两三钱四分化为一千二百三十四分之类】
一率 六【原银钱数】
二率 七【原丝两数】
三率 五十【今银化为钱数】
四率 五十八又三分之一【今应得丝两数】
右例亦可以钱从两化之而不如前法之防
一率 五分之三【原银化为两数】
二率 七【原丝两数】
三率 五【今银两数】
四率 五十八又三分之一【得丝两数同前】
又如原银六钱二分五厘买丝七两今银一百三十二两问买丝几何此若以大数化小则原银今银当悉化为厘而原银数固可以两命分又不如从两化之为便所贵乎随宜通变者也【因今银是以两计而化之非为丝以两计也】
一率 八分之五【原银化为两数】
二率 七【原丝两数】
三率 一百三十二【今银两数】
四率 一千四百七十八又五分之二【今应得丝两数右一条新增】
九章録要卷一
钦定四库全书
九章録要卷二
松江屠文漪撰
零分法
几数不能有整而无零分有法以通之则零不异于整也知此而零分皆可相并减相乗除乃能尽九章之术故备论于左
竒零命分约法 以法除实除得数为整数余实少于法除之不可乃成竒零或原实先少于法则无整而但有零矣【假如以尺计物是亦以法除实也物不满尺是亦实少于法也】凡此皆须命分而母子数多者必当约之其法有三一曰以实除法假如法一百六十八实一十四则以实除法适尽得一十二是为一十二分之一也一曰减法除实假如法一百六十八实一百四十则以实减法余二十八乃以余法除实适尽得五是为六分之五也一曰以通数并除法实列法实两数以少减多更互相减至两数相等即为通数假如法一百六十八实三十五依前互相减得七为通数因以除实尽得五亦以除法尽得二十四是为二十四分之五也又如二百五十分之二百一十约为二十五分之二十一是亦以十为通数也二十四分之一十约为一十二分之五是亦以二为通数也【前两法之一十四与二十八亦即是通数之易得者耳葢三法小异而理则同】亦有不可约者即以法为母实为子命分
整带零分化整为零分法 凡以法除实务得数归整值余实少于法不得已而命分乃有整带零分此固然也而此特谓归整命分之后其数可定不复与他数相并减相乗除者耳若更有他数须与之相并减相乗除则无论未归整者且当以法为母实为子而勿急于归整【必归整无零分方可归整也】即遇整带零分已成之数亦必化整为零分何也数或零或整皆可与他数相并减乗除若本数自兼零整则难用整法又难用零分法故必须化之而不能化零为整但可化整为零其法以原母为母以原母乗整得数并原子为子如有数七零五分之三则化为五分之三十八是也
零分与整相并法零分并整则成整带零分矣若更须与他数相并减乗除者亦以原母为母以原母乗整得数并原子为子如前法
零分与整相减法 零整相减者法亦以原母为母以原母乗整得数减原子为子如甲数七乙数五分之三相减得五分之三十二是也【归整则为六又五分之二】
零分相并法 诸数皆零分欲相并者法以诸母累乗得数为共母以诸子各累乗他母得数为诸子【本子与本母不相乗 或诸子各乗共母而以本母除之得数为诸子亦可】乃相并为子假如甲数五分之二乙数七分之四丙数八分之三则以三母累乗得二百八十为共母以甲子累乗乙丙二母得一百一十二为甲子以乙子累乗甲丙二母得一百六十为乙子以丙子累乗甲乙二母得一百零五为丙子并之得三百七十七为子凡得二百八十分之三百七十七是也【归整为一又二百八十分之九十七】
右法亦有可省者如甲数五分之四乙数三分之一丙数一十五分之七即以丙母一十五为共母而以甲子乗乙母得一十二为甲子以乙子乗甲母得五为乙子【丙子即用原数】并之得二十四为子凡得一十五分之二十四仍约为五分之八是也【归整为一又五分之三】
零分相减法 零分相减者依并分法累乗为共母为诸子而减之为子如甲数五分之二乙数七分之四内减丙数八分之三得二百八十分之一百六十七是也
零分与整相乗法 零分数整数相乗者以原母为母以原子乗整得数为子如甲数七乙数五分之三相乗得五分之二十一是也【归整为四又五分之一】
零分除整法 以零分数为法除整数者以原子为母以原母乗整得数为子如乙数五分之三除甲数七得三分之三十五是也【归整为一十一又三分之二】
整除零分法 以整数为法除零分数者以整乗原母得数为母以原子为子如甲数七除乙数五分之三得三十五分之三是也
零分相乗法 两零分数相乗者以两母相乗得数为母以两子相乗得数为子如甲数九分之八乙数五分之三相乗得四十五分之二十四仍约为一十五分之八是也【或两母同或两子同者亦必相乗】
右法亦有可省者以两母相乗以甲子除之为母即竟以乙子为子如右例两母相乗以乙子除之为母则以甲子为子得一十五分之八不须更约是也
零分除零分法 以法除实而法实两数俱系零分者以法子乗实母得数为母以法母乗实子得数为子如甲数九分之八除乙数五分之三得四十分之二十七是也【若两母相同者竟以法子为母实子为子两子相同者反以实母为母法母为子也】右法亦有可省者以法子乗实母以法母除之为母即竟以实子为子如甲数九分之八除乙数二十七分之一十三得二十四分之一十三是也
零分自乗法 零分数自乗者以母自乗得数为母以子自乗得数为子如有数三分之五自乗得九分之二十五是也【归整为二又九分之七】
零分开方法 零分开平方除者以母自开得数为母以子自开得数为子如有数九分之二十五开方得三分之五是也【归整为一又三分之二 按此因论零分法而及开方故聊举大畧而已其详在少广章中】
零分求分厘小整数法 实少于法除之不足不能成整而为零分若求分厘小整数则以母除子即得如八分两之三除得三钱七分五厘一十六分两之一除得六分二厘五毫是也葢其初以两计故三不可以八除而析为钱为分厘则可除矣至除尽而止亦有终不可尽者仍当就最后小数命分如七分石之二除得二斗八升五合七勺一抄四撮二圭八粟又七分粟之四是也【或欲还原子即以原母乗之如八乗三钱七分五厘得三两为八分两之三七乗二斗八升五合七勺一抄四撮二圭八粟并七分粟之四得二石为七分石之二是也】
分厘数命分法 据分厘小整数欲以大数命分者法以分厘数依其下最小数化之为子以所用大数亦依最小数化之置一算为母【其为伯千及万亿则因乎所化之数而只置一算也】乃以法约之如六钱六分二厘五毫欲以两命分则以六千六百二十五为子【六千六百二十五毫也】以一万分为母【一两为一万毫也】乃约为八十分两之五十三是也亦有不可约者即以所立之母子命分
九章録要卷二
钦定四库全书
九章録要卷三
松江屠文漪撰
方田法
古九章一曰方田以御田畴界域今其书不特据所见近世之书芟其繁谬补其缺遗以意隶之云尔
方田长方田求积步 方田谓正方四面等者法以方自乗得积长方谓两长两广各等者法以长乗广
方长带偏斜求积 似方与长方而稍偏斜者长不等则并两长半之广不等则并两广半之然后以长乗广如偏斜甚者须裁令方正分别算之勿用此法又有方长田一边斜者假如东长四十步西长四十一步南广三十步北广三十九步于法应得积一千三百九十七步四分步之一也然此乃谓四面俱偏斜者耳若止是西边一面偏斜则从北广东头向西量之尽三十步止即向南直量之其长亦当四十步是田之大体本系长方独北广西头盈九步句九股四十则四十一以斜为西长并东长而半之岂不谬乎法当并两广半之以长四十步乗之得积一千三百八十步斯不误矣
三广求积 三广谓中及两边广各不等者法倍中广并入边两广以四除之以中长乗之其中长亦须于两三处量之如有不等者并而分之以为之长【并三则三分四则四分】边长似斜之处勿量也 按田形不可穷尽善算者以意推之法无预设或赘为四广五广之法固已迂矣且其法云四广并而四除之五广并而五除之尤甚谬误四广须倍其中之两广并边两广以六除之五广须倍其中之三广并边两广以八除之乃合 又按广形亦有须辨者如三广而中广近一边不居正中者是也即须分别算之
句股求积 法以句乗股半之或以半句乗股或以半股乗句 按句股须量其以互求法推之与法合者是也若太长或太短即以三角算三角法兼可施之勾股勾股法不可施之三角
三角求积 法以一面之长乗中广半之 假如三面长等者是真三角也率长七而中广六不待量也不然则量中广处须令如两句股乃合【三角率长七中广六则中广微强然所较甚微即依率算之可也】
四角斜方求积 法以中长乗中广半之 假如中广两角未必相对则中广直径不能与中长如十字矣但各自量之令如四句股者仍并两句为一中广以乗中长如上法
以上诸形皆属方之类故长广必直即遇斜其亦直如有一处弯曲若弧与睂之状者别从圆之类求之乃无失也
员田求积 法以周自乗以十二除之或以径自乗复以三乗之以四除之或以周乗径或以半周乗半径以四除之 按员物率周三而径一然田员岂能中规其小偏者不妨以规员之法施之但将周径并量参互折中亦可无误若偏甚则勿以员论也【员率周三径一则周微强然所较甚微亦依率算之】
环田求积 环田谓于员内减员者法并内外周半之以径乗之半环仿此【其径勿据一处虑广狭不等】
弧矢求积 弧矢谓员田之半若张弓者法并长矢径半之以矢径乗之不及员之半者法亦如之过半者勿得用也凡矢径半是员之半矢长则过矢短则不及【不及员之半者如纵破长员之半若从而益之有可以成员之理者也过员之半者如横截长员之半无可以成员之理者也弧矢之法详见少广章本与员法相防合故惟有可员之理者乃得用之】
枣核长员求积 枣核谓两头尖中广处员者长员谓两头亦员者法半中广并入中长以半广乗之按二者虽不全员然是两弧合并故其法即弧矢法而倍之也此法亦可施之员田但员法不可施之于此耳【旧法枣核乃四角斜方 右一条新增】
横截长员求积 形似弧矢而矢径半有余者固不可用弧矢法而可以弧矢法变通求之葢横截长员之半与纵破长员之半其积正等此之矢径乃彼之半此之长乃彼之二矢也法四除并入矢径以半乗之【右一条新增】
蛾睂牛角求积 蛾睂谓两边之长相随而弯者牛角则横截蛾睂之半也睂有中广无横广角有一头横广无中广其实同耳法并两长半之以半广乗之但牛角横广一头须畧似方形若太偏斜则横广未足为准恐据以下算必浮于实积此又不可不知 以上诸形皆属员之类若应员处乃直者别从方之类求之
亩步互求 二百四十乗亩得步二百四十除步得亩
九章録要卷三
钦定四库全书
九章録要卷四
松江屠文漪撰
粟米法
古九章二曰粟米以御交质变易
方仓窖求积尺 法以方自乗复以髙乗之【窖则当以深乗只言髙者统于仓也深亦髙也】得积
长方仓窖求积 法以长乗广复以髙乗之
员仓窖求积法以员周自乗复以髙乗之以员周率十二除之或以径自乗复以髙乗之以员径率三乗之四除之
长员仓窖求积 法半中广并入中长以半广乗之复以髙乗之【此法亦可用之员仓窖而员法不可用之长员 右一条新增】
方平堆求积【凡窖形上下之大小不等者亦仿此法下三条同】 法以上方自乗又以下方自乗又以上方乗下方并三数以髙乗之以三除之【因并三数故须三除也】
长方平堆求积 法倍上长加下长以上广乗之又倍下长加上长以下广乗之并二数以髙乗之以六除之【并二数中凡有六数故用六除此法亦可用之方平堆也】
员平堆求积 法以上周自乗又以下周自乗又以上周乗下周并三数以髙乗之以三十六除之【并三数应三除员周率十二除故用三十六除也】
或以上径自乗又以下径自乗又以上径乗下径并三数以髙乗之以四除之【并三数应三除员径率三乗四除以三乗当三除并省之故只用四除也】
长员平堆求积 法先半中广并入中长以为长半中广以为广【上下之中广中长俱依此法并不用原广原长】然后倍上长加下长以上广乗之又倍下长加上长以下广乗之并二数以髙乗之以六除之【此法亦可用之员平堆而不如前法之捷 右一条新增】
方尖堆求积 法以下方自乗复以髙乗之以尖率三除之
长方尖堆求积法以下广乗下长复以髙乗之以尖率三除之【右一条新增】
长方平尖堆求积【既云尖又云平者无上广而有上长従横头视之则尖从纵之旁面视之则平故曰平尖】 法倍下长加上长以下广乗之复以髙乗之以六除之【此用六除者何也试从上长两头尽处向下直截之而以两头合成尖堆别算其义自见葢下长多于上长之数乃尖堆之下长所当以下广乗之而用尖率三除者也其与上长相等之下长所当以下广乗之而折半者也今既统下长之全数而倍之则为尖堆之下长者有二二用六除犹一用三除也为上长相等之下长亦二又加上长成三三用六除犹一用折半也】
按此与平堆异者以其无上广故用平堆法之半而亦以六除之此与尖堆异者以其有上长而尖堆既无上长可加则但倍下长以乗下广以六除之于法亦通乃知数之相准而法之可以相推有如此者【右一条新增】
员尖堆求积法以下周自乗复以髙乗之以员周率并尖率三十六除之【员周率十二尖率三故其率三十六】或以下径自乗复以髙乗之以员径率并尖率四除之【尖率应三除员径率三乗四除亦以三乗三除相当省之故只用四除】
长员尖堆求积 法半下中广并入中长以半广乗之复以髙乗之以尖率三除之【右一条新增】
倚壁员尖堆求积 员尖之半也法以下周自乗复以髙乗之以倚壁率十八除之
内角员尖堆求积 员尖四之一也法以下周自乗复以髙乗之以内角率九除之
外角员尖堆求积 员尖四之三也法以下周自乗复以髙乗之以外角率二十七除之
按右三条算家沿习有此然必先取周径较量果恰得员尖二之一四之一四之三而后其法可施耳如或不然则当以长员法及尖堆率参酌求之又方尖亦宜有倚壁内外角之法通于算理者自可意推也凡平堆尖堆法所云以髙乗之者并指直髙而言
非谓斜髙也如直髙不便量者量斜髙以求直髙而算之【法见商功章】 又凡平堆尖堆斜髙之处虽不据以立算然亦必如句股之乃合于法弯曲者则否
方仓以积与方求髙与髙求方 法以方自乗数除积得髙以髙除积开方得方
长方仓以积及髙与广求长与长求广 法以髙长相乗数除积得广以髙广相乗数除积得长【若以积与长广求髙其理易见不复赘】
员仓以积与周径求髙与髙求周径 算周者以员周率十二乗积算径者以员径率四乗三除积乃用方仓法
长员仓以积及髙与广求长与长求广 法以髙与半广相乗数除积减半广得长以髙除积以长为带纵开平方除之得半广倍之得广【其方员长方员尖堆但加尖率三乗余并同上四法不复赘】
方平堆以积及髙与上方求下方与下方求上方 法以三乗积以髙除之乃减上方自乗数以上方为带纵开平方除之得下方减下方自乗数以下方为带纵开平方除之得上方
员平堆以积及髙与上周径求下周径与下周径求上周径 算周者以三十六乗积算径者以四乗积并再以髙除之乃减上周自乗数以上周为带纵开平方除之得下周余仿此
石尺互求 旧法立方二尺五寸为一石【立方一尺者二有半也】故以二又二之一乗石得尺以二又二之一除尺得石然斛尺各随时地不同须临算较量损益其法未可一概也
竹席围米求积 假如竹席大小相等原用两席合作围贮米二十石今用三席合作围问贮米几何法以原席二自乗得四为一率原米石数为二率今席三自乗得九为三率求得四率四十五为今贮米石数
九章録要卷四
<子部,天文算法类,算书之属,九章录要>
钦定四库全书
九章録要卷五
松江屠文漪撰
差分法
古九章三曰差分亦曰衰分以御贵贱廪税
一分递加减衰分【以最少者一分之数递加成多若从多者递减则减至最少者而减尽也】法以一为首衰【从少者起算】自一而二而三四递加为各等衰并之为总衰以为一率总实为二率各等衰为三率求得四率即各等数
假如有银七十二两甲乙丙丁戊五人以一分递加减分之问各几何
一率 一十五【总衰 衰分章三率法独有宜先以一率除二率者】二率 七十二【总实 一率除二率得四两八钱】
三率 五【甲衰】四【乙】 三【丙】 二【丁】 一【戊】
四率 【二十 一十九一十四九两 四两四两 两二钱两四钱六钱 八钱】
右各等中倘复各自有数不齐者先以各衰乗之为各总衰然后并为大总衰
假如有粮二千四百石甲乙丙丁四等户依前例输之甲等二十户乙等三十户丙等四十户丁等五十户则以甲衰四乙衰三丙衰二丁衰一各乗本等户数为各总衰甲得八十乙九十丙八十丁五十并三百为大总衰列一二率如前若以各总衰为三率即得各等总数以各衰为三率即得各等每户数【以下诸法仿此】
减半衰分【乙当甲之半丙又当乙之半也】 法以一为首衰自一而二乗之又二乗之为各等衰【以一二乗得二以二二乗得四并之得七余仿此】列率乗除如前
二八衰分【甲视乙为八与二乙视丙又为八与二也】 法以二为首衰自二而四乗之又四乗之为各等衰【以二四乗得八以八四乗得三十二并之得四十二余仿此】列率乗除如前
四六衰分【同上】 法以四为首衰自四而六乗之四除之又六乗四除之或以一又二之一乗之亦同为各等衰【以四六乗四除得六以六六乗四除得九并之得一十九余仿此】乗除如前
三七衰分【同上】 法以三为首衰自三而七乗之三除之又七乗三除之为各等衰【以三七乗三除得七以七七乗三除得一十六又三分之一并之得二十六又三之一余仿此】乗除如前或厌零分多者就首衰之数以三乗之法通之如甲乙二等衰分不必言如甲乙丙三等衰则三乗首衰之三得九为首衰甲乙丙丁四等衰则又三乗九得二十七为首衰甲乙丙丁戊五等衰则又三乗二十七得八十一为首衰【每多一等则首衰多三乗一番】既增广其首衰然后用七乗三除以求各等之衰可以省零分矣
十分之六递减衰分 法以一为首衰【此从多者起算所谓首衰之一亦与前一为首衰者不同前一只是一数此则无定之数也】遇二等衰则为一十三等衰则为一百四等衰则为一千以为首衰乃自一而六乗之十除之又六乗十除之为各等衰【以一百六乗十除得六十以六十六乗十除得三十六并之得一百九十六余仿此】乗除如前凡十分之七或八九诸数递减衰分俱准此推之不别为法以滋繁琐
减半二八四六三七十分之六各衰分以首尾二数求总实减半衰分亦名倍加衰分葢言其自多而少则曰减半言其自少而多则曰倍加亦曰二乗加二八衰分是四乗加也四六衰分是一又二之一乗加也【零分法一又二之一化为二之三乃用子乗母除则当三乗二除犹之六乗四除也】三七衰分是二又三之一乗加也【零分法二又三之一化为三之七乃用子乗母除亦是七乗三除也】十分之六递减衰分是一又三之二乗加也【零分法一又三之二化为三之五乃用子乗母除则当五乗三除犹之十乗六除以此递加与六乗十除递减同耳】以上所云几乗加者但取衰分之数以少除多即得之【假如三七衰分以三除七得二又三之一十分之六衰分以六除十得一又三之二即所云几乗加也】若各衰分止举首尾二等最少最多之数问总实几何者不必论其中间分作几等但以首尾数多少相减减余以原乗数减一数为法而除之【假如原系四乗加者以三除之原系一又二之一乗加者以二之一除之原系二又三之一乗加者以一又三之一除之原系二乗加者以一除之一除固可不必除然于法不容没此一除恐似别为一法也】即得最少以至次多诸等之总实以并最多数即得全总实